La struttura stellare
( III )
Relazioni di scala dal diagramma HR
Siamo ora in grado di spiegare le relazioni di scala per le stelle che sono
state trovate osservativamente
L⇠M
L⇠
8
Te
3
(per stelle con M >M⊙)
(con Te temperatura superficiale)
Determiniamo la quantità di energia immagazzinata nella stella sotto forma
di radiazione. La pressione di radiazione è
Prad ⇠ T 4
è dimensionalmente (ma anche realmente Prad = 1/3 u) una densità di energia per cui
E ⇠ T 4 R3
Il tempo impiegato a far “uscire” questa energia dalla stella è il tempo che i
fotoni impiegano ad andare dal centro alla superficie della stella ovvero
R2
R 2 ⇥T
⇤=
=
lc
mH c
A. Marconi
⇤ ⇠ ⇥ R2
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
2
Relazioni di scala dal diagramma HR
ovvero
E
T 4 R3
T 4R
L⇠
⇠
⇠
2
⇤
⇥ R
⇥
una relazione analoga si sarebbe scritta partendo dall’equazione del
trasporto radiativo:
!
!
!
dT (r)
=
dr
3L(r)k(r)⇢(r)
4⇡r2 4acT 3 (r)
σ è stato lasciato per far vedere il suo effetto. Considerandolo costante si
ricava la relazione L-M per stelle tipo Sole o più massicce; considerando altri
processi σ non è costante e si ricava la relazione per stelle meno massicce
del Sole. Consideriamo il caso in cui sia costante.
Applicando il teorema del viriale abbiamo trovato
GM 2
P̄ ⇠
4 R4
GM mH
T̄ ⇠
6kB R
A. Marconi
M2
P ⇠ 4
R
M
T ⇠
R
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
3
Relazioni di scala dal diagramma HR
Combinando le relazioni per L, P e T otteniamo
L⇠
R
4
T ⇠
R
✓
M
R
◆4
M4
3
⇠
⇠M
3
R
dato che
3
R ⇠M
cioè la relazione osservata. La diversa pendenza per le stelle di bassa
massa ( L~M5 ) deriva da una dipendenza dell’opacità da T, ovvero da un
diverso processo di scattering che domina in quelle stelle.
Vediamo adesso di capire perché L~Te8
L ⇠ M 3 per stelle con M > M
L ⇠ M 5 per stelle con M < M
L ⇠ Te8 si riferisce a tutta la sequenza principale, per cui consideriamo
una relazione L-M intermedia ovvero
4
L ⇠ M per tutte le stelle
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
4
Relazioni di scala dal diagramma HR
ricordiamo che
L=4 R
2
M
T ⇠
R
⇥Te4
Te superficiale, T media della stella
4
4 2
L
M
M
T
4
2 2
1/2 2
Te ⇠ 2 ⇠ 2 ⇠
⇠
M
T
⇠
L
T
2
R
R
M
come vedremo più avanti l’equilibrio delle stelle sulla sequenza principale è
mantenuto dal bruciamento dell’H nel nucleo che avviene a temperature ben
definite. In pratica T~costante per tutte le stelle di sequenza principale, allora
Te4 ⇠ L1/2
A. Marconi
ovvero
L⇠
8
Te
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
5
La produzione di energia nelle stelle
La cosa che resta per finire di vedere la struttura stellare è capire il
meccanismo di produzione dell’energia all’interno del Sole ovvero
⇥ = ⇥[ (r), T (r), (X, Y, Z)]
Supponiamo che la fonte di energia del Sole sia gravitazionale, ovvero che il
Sole abbia irraggiato fino ad ora l’energia liberata dalla sua contrazione.
All’inizio della contrazione del Sole (ovvero all’infinito)
E(1) = Egrav (1) + Eth (1) = 0
adesso
E(R ) = Egrav (R ) + Eth (R )
dal teorema del Viriale
ovvero
Egrav =
2Eth
E(R ) = Egrav (R ) + Eth (R ) =
A. Marconi
Eth (R ) < E(1)
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
6
La produzione di energia nelle stelle
La diminuzione di energia è dovuta all’energia irraggiata che è pertanto
E = E(1)
E(R ) = Eth (R ) =
1
1 GM 2
Egrav (R ) =
2
2 R
Per quanto tempo il Sole avrebbe potuto irraggiare energia gravitazionale
mantenendo una luminosità L⊙?
Questo tempo scala è il cosiddetto tempo di Kelvin-Helmholtz dato da
KH
=
E
L
1 GM 2
14
7
=
= 5 ⇥ 10 s = 1.6 ⇥ 10 yr
2L R
Ma dalla geologia sappiamo che la Terra è esistita da almeno 4 miliardi di
anni e che durante questo tempo non ci sono stati variazioni significative di L⊙.
Evidentemente l’energia irraggiata dal Sole non è di natura gravitazionale.
Similmente si può dimostrare che l’energia prodotta da reazioni chimiche
(es. H+O → H2O) non è sufficiente.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
7
Le reazioni di fusione nucleare
H
Energia di legame dovuta
alla forza nucleare forte.
Meno
strettamente
legato
Energia di legame per
particella nucleare (10-13 J)
Fusione
Più
strettamente
legato
Questo processo è
esoenergetico poiché
l’energia di legame di
atomo di He è inferiore (più
negativa) dell’energia di
legame totale dei singoli
nuclei di H.
Li
He
N
Fissione
U
C
O
56Fe
Numero di massa
Una possibile fonte di
energia per il Sole e le altre
stelle sulla sequenza
principale è la fusione di H
in He.
La diminuzione dell’energia
di legame all’aumento
della massa nucleare
avviene fino al 56Fe, dopo
l’energia di legame cresce
nuovamente.
La catena p-p
La maggior parte dell’energia prodotta dal Sole proviene da una catena di
reazioni detta catena p-p. Il primo passo è
p + p ! d + e+ +
e
d nucleo di Deuterio, isotopo di H con p e n nel nucleo..
Il tempo scala perché questo processo avvenga è τ ~ 1010 yr ovvero se ho 2
protoni devo farli scontrare per ~1010 anni prima che quella reazione
avvenga.
τ è così lungo perché è reazione che coinvolge le interazioni deboli come si
vede dalla presenza del neutrino.
L’energia totale prodotta e distribuita tra le particelle risultanti è 0.425 MeV.
Appena la reazione avviene e+ si annichila con e- rilasciando 0.511 MeV in
fotoni γ.
Il neutrino invece ha una debolissima interazione con la materia (cammino
libero medio ≫ R⊙) per cui scappa dal Sole portandosi via E~0.26 MeV.
Entro ~1 s dalla reazione p+p un deuterone (nucleo deuterio) si fonde con un
protone e
p + d ! 3 He +
con rilascio totale di energia E = 5.40 MeV (γ ed en. cinetica).
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
9
La catena p-p
Infine dopo un tempo scala di circa ~300000 anni si ha
3
3
4
He + He ! He + p + p
con un rilascio di energia cinetica pari a 12.86 MeV.
Ricapitolando, ogni volta che la reazione p+p avviene per due volte, 4
protoni sono convertiti in 4He + 2 neutrini + fotoni + energia cinetica delle
particelle.
p + p ! d + e+ + ⇥ e
⌧ ⇠ 1010 yr
e+ + e ! 2
⌧ ⇠ 1s
E = 0.425 MeV
p + d ! 3 He +
⌧ ⇠ 3 ⇥ 105 yr
3
He +3 He ! 4 He + p + p
A. Marconi
}
E = 2 ⇥ me c2 = 2 ⇥ 0.511 MeV
⇥2
E = 5.49 MeV
E = 12.86 MeV
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
10
La catena p-p
4p ! 4 He + 2⇥e +
Il risultato finale è
!
L’energia prodotta è
E = (2 ⇥ 0.425 + 2 ⇥ 2 ⇥ 0.511 + 2 ⇥ 5.49 + 12.86) MeV
a cui dobbiamo sottrarre 2 x 0.511 MeV che vengono dall’annichilazione di 2 elettroni pre-esistenti ovvero
E = 26.76 MeV
2 ⇥ 0.511 MeV = 25.71 MeV = [m(4p)
m(4 He)]c2
ovvero E è proprio pari alla differenza di energia di legame tra 4He ed i 4
protoni liberi.
E = 0.007 m(4p)c2
Risulta anche
ovvero ò’efficienza di produzione di energia (conversione materia in energia)
è pari allo 0.7% della materia/energia a disposizione (massa dei 4 protoni)
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
11
Catena p-p
Deuterio
Protone
Raggio γ
Neutrone
ν Neutrino
Positrone
La catena p-p nel Sole
Supponiamo adesso che il Sole effettui la reazione 4p → 4He riprocessando il
10% della sua massa. Per quanto tempo è in grado di sostenere
un’emissione con luminosità L⊙?
Enuc = 0.007 ⇥ 0.1 ⇥ M c2
ovvero
nuc
Enuc
0.007 ⇥ 0.1 ⇥ M c2
17
10
=
=
= 3.3 ⇥ 10 s ' 10 yr
L
L
cioè il Sole riprocessando appena il 10% della sua massa è in grado di
emettere L⊙ per 10 miliardi di anni ovvero la catena pp è in grado di
alimentare l’emissione del Sole e delle stelle.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
13
Le reazioni di fusione nucleare
Quali sono le condizioni perché avvengano le reazioni di fusione nucleare?
Consideriamo due nuclei di numero atomico ZA e ZB (numero di protoni).
I due nuclei si respingono a causa dell’interazione Coulombiana con una
energia di “barriera”
ECoul
ZA ZB e2
=
r
ovvero per portare i due nuclei a distanza r devo avere un’energia cinetica
Ekin > ECoul.
Perché la reazione nucleare avvenga i due protoni devono giungere a
distanze dell’ordine di
r0 ⇡ 1.4 ⇥ 10
13
cm
r0 è il raggio d’azione della forza nucleare forte (quella che tiene insieme
protoni e neutroni nei nuclei atomici) e che per r > r0 è praticamente nulla;
Ekin > ECoul (r0 ) ⇡ ZA ZB MeV
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
14
Le reazioni di fusione nucleare
L’energia tipica dei protoni nei nuclei
delle stelle è
Eth
3
⇠ kT ⇠ 1 keV
2
con T ~ 107 keV dalla stima effettuata
col teorema del viriale.
!
!
con T ⇠ 107 K
“tunnel”
interazione
Coulombiana
Apparentemente questa è troppo
piccola in quanto la distanza minima
a cui i protoni potrebbero giungere è
dell’ordine di
interazione
nucleare forte
2
ZA ZB e2
ZA ZB e2
ZA ZB e2
Z
Z
e
3 A B
3
r1 ⇠
⇠
=
= 10
⇠ 10 r0
3
Eth
1 keV
10 (1 MeV)
Er0
Se l’interazione fosse governata solo dalla meccanica classica i protoni al
centro delle stelle non potrebbero “fondere”.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
15
Le reazioni di fusione nucleare
In realtà avviene un fenomeno prettamente quantistico noto come “effetto
tunnel” (vedi corso di Meccanica Quantistica). In pratica, grazie al principio di indeterminazione di Heisemberg è possibile
violare la conservazione di energia di ΔE per un tempo Δt a patto che
E t
~
2
pertanto esiste una probabilità non nulla che i protoni giungendo ad una
distanza r~r1 possano superare la barriera Coulombiana e passare a r~r0.
Dalla meccanica quantistica si trova che questa probabilità è
g(E) ⇠ e
p
EG /E
E energia cinetica del protone, EG energia di Gamow, g(E) fattore di Gamow
con
EG ⇡ 500 keV
per cui con E~1 keV si ha
g(E) ⇠ e
22
⇠ 10
10
piccolissima, ma NON zero, per cui le reazioni possono avvenire dato anche
il grande numero di protoni e collisioni che avvengono nel nucleo delle stelle.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
16
Le reazioni di fusione nucleare
La probabilità di avere un processo di fusione si può ottenere moltiplicando
la probabilità
di avere effetto tunnel per energia E ( g(E) ) per la probabilità 55
di
STELLAR PHYSICS
avere energia E (distribuzione di Maxwell-Boltzmann dei protoni a
temperatura T).
A. Marconi Figure 3.9 TheIntroduzione
all’Astrofisica
2013/2014
Boltzmann probability
distribution,
P (E), the Gamow factor, g(E), and17
Reazioni di fusione: termostati
Tenendo conto delle sezioni d’urto (probabilità) delle varie reazioni nucleari
nella catena p-p e della distribuzione di energia dei protoni si può ricavare
l’emissività ε (energia prodotta per unità di volume e di tempo).
Si trova che le reazioni nucleari avvengono principalmente nel nucleo delle
stelle (core) dove le temperature sono
7
a quelle temperature
(T ) ⇠ T 4
T ⇠ 1.5 ⇥ 10 K
cioè dipende fortemente da T. Per reazioni nucleari con elementi più pesanti
la dipendenza da T è ancora maggiore.
Questo comporta che la produzione di energia per fusione nucleare agisce
come termostato per tutta la struttura stellare.
Supponiamo che T cresca → aumenta produzione energia; dato il tempo necessario ai fotoni per “uscire”, inizialmente ETOT aumenta;
!
!
!
ET OT
1
= Egrav =
2
Eth
quindi per mantenere l’equilibrio della struttura, Egrav deve aumentare ovvero
la stella si deve espandere.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
18
Reazioni di fusione: termostati
Ma se la stella si espande, Eth deve diminuire, ovvero la stella si raffredda.
Se la stella si raffredda a seguito dell’espansione, T diminuisce nuovamente,
Eth diminuisce e la stella deve contrarsi, aumentando nuovamente la sua
temperatura.
Analogamente accadrebbe se si partisse da una diminuzione di T.
In ogni caso la produzione di energia dalla relazioni nucleari tende a
mantenere costante la temperatura della struttura stellare.
!
In seguito a questo effetto di “termostato” le stelle sulla MS che bruciano H
devono avere temperature simili, ovvero
!
!
M
T ⇠
; T ⇠ cost. ! M ⇠ R
R
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
19
Il problema dei neutrini solari
Una predizione chiave del modello riguarda i neutrini.
Per ogni ciclo 4p → 4He si ha la produzione di 26.2 MeV di energia e
l’emissione di 2 neutrini (elettronici νe) che escono senza interazioni dal Sole.
Il flusso di neutrini atteso a Terra è pertanto
f⌫e
L /4 d2
f
=2⇥
=2⇥
= 6.7 ⇥ 1010 s
26.2 MeV
26.2 MeV
1
cm
2
questi attraversano la Terra senza alcuna interazione.
Esperimenti sui neutrini solari sono stati condotti fin dagli anni ’60 ma i
neutrini rivelati erano circa ~1/3 di quelli predetti dal modello.
Oltre ai neutrini elettronici esistono anche i neutrini muonici (νµ ) e tauonici
(ντ), non rivelati negli esperimenti di ricerca.
Con l’esperimento di Superkamiokande in Giappone (2001), si sono cercati i
neutrini elettronici prodotti dalle centrali nucleari giapponesi (numero ben
noto perchè sono noti i processi che li producono) e se ne sono trovati
numero inferiore alle attese:
i neutrini oscillano tra i vari “stati” νe νµ ντ e questo spiega perfettamente il
problema dei neutrini solari mancanti. Questa è la prova che il Sole è alimentato dalla catena p-p.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
20
Il ciclo CNO
Nelle stelle più massicce del Sole (M > 1.2 M⊙) la produzione di energia
segue una sequenza di reazioni diversa detta “ciclo CNO” che ha sempre
come risultato 4p → 4He.
In questo ciclo, C, N ed O presenti in tracce fungono da catalizzatori del
processo di bruciamento H→He, senza che ulteriori C, N e O vengano
sintetizzati.
La reazione più lenta è la prima (p+12C) che ha bisogno di T~107 K ma la sua
velocità è fortemente dipendente da T tanto che
CN O (T ) ⇠ T
20
⇠ T 20 "
log "
CN O
ricordiamo che
4
(T
)
⇠
T
pp
anche se T~cost., l’aumento di M
determina piccoli aumenti di T da ~107 a
oltre 1.5 107 K con conseguente dominio il
ciclo CNO oltre 1.2 M⊙.
A. Marconi
⇠T
"pp
4
1.5 ⇥ 107 K
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
log T
21
Il ciclo CNO
Isotopi di N e O
instabili,
decadono in pochi
minuti.
Il trasporto dell’energia
La produzione di energia nucleare avviene nel nucleo della stella e l’energia
prodotta deve essere “trasportata” verso l’esterno.
In genere il trasporto dell’energia avviene attraverso i fotoni (vedi lezione su
opacità) ovvero si ha un trasporto radiativo.
In certe condizioni si instaura la convezione e si passa al trasporto
convettivo, ovvero il plasma caldo fluisce dalle regioni interne alle regioni
esterne, e quello “freddo” viceversa (vedi corso Termodinamica).
Si può facilmente dimostrare (vedi libro) che questo avviene quando
dT (r)
>
dr
1 T dP (r)
P
dr
in tal caso, questa diventa proprio l’equazione del trasporto radiativo
Per M > 1.2 M⊙ la produzione di energia è col ciclo CNO, il nucleo è
convettivo ed il mantello radiativo.
Per M < 1.2 M⊙ la produzione di energia è col ciclo pp, il nucleo è radiativo
ed il mantello convettivo.
Al diminuire della massa il mantello convettivo cresce in dimensioni fino ad
interessare tutta la stella per M < 0.5 M⊙
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
23
Il trasporto dell’energia
Zon interna convettiva,
zona esterna radiativa
Zona interna
radiativa, zona
esterna convettiva
Interamente
convettiva
Dominate dal ciclo CNO
A. Marconi
Dominate dalla catena p-p
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
24
