La struttura stellare
( II )
Lezione 4
Il trasporto radiativo dell’energia
Il gradiente di pressione P(r) che sostiene una stella è prodotto da un
gradiente in ρ(r) e T(r) e quindi L(r), ovvero l’energia per unità di tempo
prodotta nella sfera di raggio r.
Per trovare come T varia col raggio è necessario studiare il trasporto
dell’energia attraverso la materia.
Il trasporto dell’energia all’interno delle stelle avviene prevalentemente per
irraggiamento e convezione (la conduzione è importante solo in stelle
estremamente dense
come le nane bianche
e le stelle di neutroni).
Accenneremo alla
convezione più avanti.
Per ora limitiamoci al
trasporto radiativo che
è importante nelle
regioni centrali di una
stella tipo sole.
Il trasporto radiativo: opacità
I fotoni all’interno della stella possono essere assorbiti o diffusi (scattered)
per l’interazione con atomi, ioni, molecole, ed elettroni.
L’interazione tra un fotone ed una particella (atomo, ione, elettrone) si può
parametrizzare tramite la sezione d’urto σ, parametro legato alla probabilità
dell’interazione (dimensionalmente è una superficie): se il fotone incide sulla
superficie virtuale σ posta alla posizione della particella si ha l’interazione
(diffusione e/o assorbimento).
dl
σ
dS
dS
Visto dal fotone
Consideriamo un elemento di volume cilindrico attorno alla direzione di
propagazione di un fotone.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2012/2013
3
Il trasporto radiativo: opacità
La probabilità di interazione è data dal rapporto tra l’area “coperta” dalla
sezione d’urto delle particelle e la superficie del volumetto su cui incide il
fotone
dN
con dN numero particelle nel volumetto
dp =
dS
dN = ndSdl
n densità di particelle nel volumetto
dp = n dl
la distanza tipica che il fotone percorrerà tra una interazione e l’altra
(cammino libero medio) si avrà per una probabilità p=1 ovvero
1
1
l=
=
n⇥
k
k=
m̄
opacità
In generale se la materia stellare è composta da vari assorbitori e diffusori di
densità ni e sezione d’urto σi si avrà
1
1
l= P
=
k
i ni ⇥ i
A. Marconi
=
X
i
n i mi
P
P
ni ⇥ i
( i /mi ) ⇥i
i
i
P
k= P
=
i mi ni
i i
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4
Il trasporto radiativo: opacità
k è l’opacità che compare nell’equazione del trasporto radiativo.
Il meccanismo più semplice di opacità è la diffusione della luce da parte di
elettroni liberi (scattering Thomson) caratterizzata da
8
⇥T =
3
✓
2
e
me c2
◆2
= 6.7 ⇥ 10
25
cm
2
σT è la sezione d’urto Thomson; è la minima sezione d’urto per l’interazione
tra materia e radiazione.
Nell’interno delle stelle il gas è completamente ionizzato, è costituito quasi
di solo H, l’interazione avviene con i soli elettroni (σT ~ 1/m2 ) per cui
ne ⇡ nH =
mH
M
⇥⇡
' 1.4 g cm
3
4/3 r
1
mH
1.7 ⇥ 10 24 g
l=
⇡
⇡
ne ⇥ T
⇥T
1.4 g cm 3 6.7 ⇥ 10 25 cm
3
2
' 2 cm
si è usata la densità media del Sole ma se ρ è più grande, come al centro,
l è ancora più piccolo. In effetti una stima più accurata al centro è l~0.1 cm.
A. Marconi
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5
Il trasporto radiativo: opacità
In pratica i fotoni percorrono solo tratti molto piccoli prima di essere deviati.
Lo spostamento vettoriale totale è
li
D = l1 + l 2 + · · · + l i + · · · + ln
l2
la distanza percorsa è il modulo dello spostamento
|D|2 = |l1 |2 + |l2 |2 + · · · + |li |2 + · · · + |ln |2 +
X
ij
l3
l1
li · l j
se considero una gran numero di processi di diffusione allora poiché gli
spostamenti li hanno direzioni casuali nello spazio
X
ij
li · lj = 0
p
|D|2 =
X
i
| li | 2 =
X
l2 = N l2
i
ovvero D = l N
A. Marconi
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Il trasporto radiativo: opacità
Un fotone che viene prodotto al centro del Sole sarà diffuso N volte prima di
uscire con
N=
⇣ r ⌘2
l
=
✓
10
7 ⇥ 10 cm
2 cm
◆2
= 1.2 ⇥ 1021
Il fotone percorre un tratto pari a N l quindi il tempo necessario ad uscire dal
Sole sarà
r2
Nl
l ⇣ r ⌘2
=
=
=
c
c l
lc
(7 ⇥ 1010 cm)2
=
2 cm ⇥ 3 ⇥ 1010 cm s
A. Marconi
1
' 8 ⇥ 1011 s = 2.5 ⇥ 104 yr
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Il trasporto radiativo
Possiamo adesso ricavare l’equazione che lega T(r) al flusso di energia
radiante attraverso la stella.
Dato il piccolo cammino libero medio dei fotoni all’interno della stella, ed il
numero elevato di processi di diffusione, assorbimento e emissione a cui
sono sottoposti i fotoni, si può pensare che ogni elemento di volume della
stella sia all’equilibrio termodinamico (locale) e che quindi irraggi come un
corpo nero.
Tuttavia, c’è un flusso netto di radiazione verso l’esterno, e quindi deve
esserci una piccola anisotropia nell’emissione (e quindi un piccolo
discostamento dall’emissione di corpo nero).
Il flusso netto di radiazione attraverso un elemento di volume è L(r)
u
Δr
L(r)
u +Δu
Il trasporto radiativo
Questo deve essere pari all’eccesso di energia tra r e r+dr, fratto il tempo
necessario ad attraversare la shell ovvero, se u è la densità di energia
L(r) ⇡
2
( r) /lc
4⇡ r2 r u
=
( r)2 /lc
u
4⇡r lc
r
2
è il tempo necessario ad attraversare la shell
a seguito del cammino casuale visto prima
Una derivazione più rigorosa aggiunge solo un fattore 1/3, per cui passando
alle derivate
L(r)
=
2
4⇡r
lc du
3 dr
Questa è a tutti gli effetti una equazione di diffusione, che descrive il flusso
netto di energia verso l’esterno ( lc/3 è il coefficiente di diffusione).
L’opacità del mezzo compare in l : per valori piccoli si avranno L grandi,
ovviamente a parità di gradienti di u.
Il trasporto radiativo
Poiché siamo vicini all’equilibrio termodinamico ed ogni volumetto si
comporta come un corpo nero, si ha
Z
+1
4
4 4
4⇡
u=
⇡B⌫ (T )d⌫ =
T = aT4
u⌫ =
B⌫ (T )
c 0
c
c
du
du dT
1
1
3 dT
=
= 4aT
l=
=
dr
dT dr
dr
n⇥
k
L(r)
lc du
sostituendo in
si ha l’equazione del trasporto radiativo
=
2
4⇡r
3 dr
dT (r)
3L(r)k(r)⇢(r)
=
dr
4⇡r2 4acT 3 (r)
dI
si noti che questa è una equazione analoga a
=
I +
ds
dove si è integrato sulla frequenza e si è fatta l’assunzione dell’equilibrio
termodinamico locale per cui Iν = Bν e quindi si è usata T per descrivere la
radiazione. Inoltre il cammino libero medio l corrisponde a profondità ottica
unitaria ovvero τν = 1 = αν l pertanto l = 1/αν
Il trasporto radiativo
Possiamo stimare quindi l’ordine di grandezza della luminosità solare da
L(r)
=
2
4⇡r
T
lc du
3 dr
lc u
L
⇠
2
4⇡r
3 r
lc aT 4
⇠
3 r
è la temperatura “media” del Sole e quindi possiamo usare quella
T = Tvir ⇠ 4 ⇥ 106 K
stimata col teorema del viriale
con l = 0.1 cm otteniamo quindi
4⇡
L =
7 ⇥ 1010 cm ⇥ 3 ⇥ 1010 cm sec 1 ⇥10 1 ⇥
3
⇥ 7.6 ⇥ 10 15 cgs ⇥ (4 ⇥ 106 K)4 = 2 ⇥ 1033 erg s 1
33
L
=
3.8
⇥
10
erg s
in ragionevole accordo con la luminosità solare
1
Se il sole non fosse composto principalmente di idrogeno ma, ad esempio,
di carbonio ionizzato, la massa media delle particelle sarebbe
12
m̄ ⇡
mH ⇡ 2mH
7
invece di
mH
m̄ ⇡
2
La temperatura viriale sarebbe 4 volte più grande, e quindi la luminosità
predetta sarebbe sbagliata di 2 ordini di grandezza!
Equazioni della struttura stellare
Le equazioni che descrivono la struttura stellare sono:
dP (r)
=
dr
GM (r) (r)
r2
equilibrio idrostatico
dM (r)
2
= 4 r ⇥(r)
dr
conservazione della massa
dT (r)
=
dr
trasporto radiativo
(trasporto energia all’interno
della stella, k(r) è l’opacità)
3L(r)k(r)⇢(r)
4⇡r2 4acT 3 (r)
dL(r)
= 4 r2 ⇥(r)⇤(r)
dr
A. Marconi
conservazione dell’energia
(ε(r) è l’energia prodotta per
unità di tempo e di volume)
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12
Equazioni della struttura stellare
Queste equazioni vanno risolte con le opportune condizioni al contorno
M (r = 0) = 0
M (r = r? ) = M?
L(r = 0) = 0
L★ dipende dalle altre
proprietà della stella, questa
si usa in alternativa a M★
L(r = r? ) = L?
P (r = r? ) = 0
a queste vanno poi aggiunte le equazioni che descrivono lo stato del gas,
l’opacità ed i meccanismi di produzione dell’energia
P = P [ (r), T (r), (X, Y, Z)]
k = k[ (r), T (r), (X, Y, Z)]
⇥ = ⇥[ (r), T (r), (X, Y, Z)]
X=
H
;
A. Marconi
Y =
He
;
Z=
Metalli
composizione chimica del gas
(metalli, elementi più pesanti di He)
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Equazioni della struttura stellare
Ci sono 7 equazioni accoppiate per 7 incognite
P (r), M (r),
(r), T (r), k(r), L(r), ⇥(r)
con 4 condizioni al contorno per le 4 equazioni differenziali del primo ordine;
se c’è una soluzione, questa è unica.
Adesso esploriamo meglio le equazioni della struttura stellare.
Equazione di stato. Dobbiamo tener conto sia della pressione del gas ma
anche della pressione di radiazione.
Per il gas PV = nRT, si può trasformare in
Pgas
A. Marconi
nRT
N R
M R
=
=
T =
T = kT
V
V NA
m̄V NA
m̄
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Equazione di stato
se invece dell’energia passo al numero di fotoni
dE⌫
I⌫
dn⌫ ( ) =
=
cos dA dt d d⇥
h⇥
h⇥
ciascun fotone ha una quantità di moto (diretta
lungo il raggio di propagazione) pari a
h
q⌫ =
c
norm
dE⌫ = I⌫ cos dA dt d d⇥
ale
Riguardo alla pressione di radiazione, ricordiamo la definizione di intensità
θ
dΩ
P
dA
ovvero la quantità di moto trasportata nella direzione Ω è
dE⌫ h
dE⌫
dQ⌫ ( ) = q⌫ dn⌫ ( ) =
=
h c
c
la pressione di radiazione in P sulla superficie dA e dovuta ai fotoni che si
muovono nella direzione Ω è quindi
dF?
dQ ( ) cos
I cos2 d⇥d
Prad ( ) =
=
=
dA
dt
dA
c
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Equazione di stato
per ottenere la pressione totale occorre integrare su frequenza e angolo
solido (supponiamo Iν isotropa)
Prad
1
=
c
Z
1
I d⇥
0
Z
2⇥
d⇤
0
Z
⇥
cos
2
sin d
0
se il sistema è all’equilibrio termodinamico locale (cioè posso definire T
punto per punto) Iν = Bν
Z
Z
1
F⌫ [BB]d =
0
⇡
cos
0
Prad
2
Z
1
⇥B⌫ d = ⇤T
4
0
2
sin d =
3
Z
1
0
⇤T 4
B⌫ d =
⇥
1 ⇥T 4
2
1 4⇥ 4
1
4
=
2
=
T = aT
c
3
3 c
3
Prad
1
= u
3
si noti come la pressione di radiazione corrisponde dimensionalmente ad
una densità di energia (u = aT4 è la densità di energia della radiazione)
In conclusione, l’equazione di stato è
P = Pgas + Prad
kT
1 4
=
+ aT
m̄
3
