L’impedenza
RIASSUNTO
• Richiamo: algebra dei numeri complessi
• I FASORI
• Derivate e integrali
• Esempio: circuito RC
– Transiente
– Soluzione stazionaria
• Il concetto di impedenza :
– Resistenza: ZR = R
– Induttanza: ZL = j ω L
– Capacita’: ZC = 1/(j ω C)
•
•
•
•
Sfasamento
Impedenze in serie e parallero
Potenza in a.c.
Esempio: la sonda
1
I numeri complessi
• Ricordare:
z = a + jb = z e jα
z = a +b
2
e
jα
2
z = a − jb = z e − jα
tgα = b / a
= cos(α ) + j sin(α )
z1 ⋅ z 2 = z1 z 2 e
j (α1 +α 2 )
z⋅z = z
2
1 − jα
z = e
z
−1
2
Rappresentazione grafica
• Un numero complesso si può
rappresentare come un vettore nel
piano xy.
• La componente x del vettore è
uguale alla parte reale, la
componente y a quella
immaginaria.
• In questo modo la lunghezza del
vettore è proporzionale al modulo
• l’angolo formato dal vettore con
l’asse x è uguale alla fase.
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Fasori
• Un fasore è un numero complesso della forma:
~
V = V e jωt = V0 eφ e jωt
• Il numero V~ è un numero complesso, con modulo V0 e fase φ
2π
φ
+
ω
t
(
con
ω
=
2
π
f
=
)
• L’angolo formato con l’asse reale è pari a :
T
e quindi aumenta linearmente col tempo: il vettore V ruota in senso
antiorario nel piano complesso.
• La parte reale di V è pari a:
Re(V ) = V0 cos(ωt + φ )
• Se moltiplico un fasore per un numero complesso z trovo un nuovo
fasore, che ruota con la stessa velocità, sfasato rispetto a V di un
angolo pari alla fase di z.
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Derivate e integrali
• La derivata di un fasore V è uguale a:
dV
= jωV = ωVe jπ / 2
dt
• Ovvero: per calcolare la derivata di un fasore si moltiplica per jω,
ottenendo un nuovo fasore sfasato di π/2 rispetto a quello originario.
• Analogamente si calcola l’integrale come inverso della derivata:
∫ Vdt =
V
V
=−j
jω
ω
• Per ottenere l’integrale si divide per jω, ovvero si divide per ω e si
sfasa di -π/2 rispetto a V.
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Iniziamo da un esempio
• Si consideri il circuito in figura:
• L’equazione del circuito è:
V0 cos(ωt ) = R
dq 1
+ q
dt C
• Sappiamo che la soluzione più generale di questa equazione è data
dalla somma di una soluzione particolare più la soluzione
dell’equazione omogenea.
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Il transiente
• Abbiamo già risolto l’equazione omogenea:
t
−
dq 1
R
+ q = 0 q = q0 e RC
dt C
• Il parametro q0 dipende dalle condizioni iniziali.
• Si può notare come la soluzione dell’equazione omogenea va a zero
rapidamente a causa dell’andamento esponenziale decrescente:
costituisce quello che nel linguaggio dell’elettronica si chiama
“transiente”
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La soluzione a regime
• La soluzione particolare può essere quella che si ottiene lasciando il sistema in
funzionamento per molto tempo: per questo è detta anche soluzione a regime. Per
ottenerla, si può cercare una soluzione oscillante con la stessa pulsazione ω:
q (t ) = Q0 cos(ωt + φ ) = Q0 [cos(ωt ) cos φ − sin(ωt ) sin φ ]
dq
= −ωQ0 [sin(ωt ) cos φ + cos(ωt ) sin φ ]
dt
Sostituendo :
i (t ) =
V0 cos(ωt ) = − RQ0ωt sin(ωt ) cos φ − RQ0ωt cos(ωt ) sin φ +
Q0
Q
cos(ωt ) cos φ − 0 sin(ωt ) sin φ
C
C
• Eguagliando i termini in seno e coseno, si trova:
Q0
tan φ = −ωRC
ω
φ
−
RQ
cos
=
sin φ
0
1
C
CV
0
φ
cos
=
Q0 =
2
Q0
2
φ
1
+
tg
V0 = − RQ0ω sin φ +
cos φ
1 + (ωRC )
C
• Si nota che:
– La soluzione a regime non dipende dalle condizioni iniziali
– La mole di conti da effettuare risulta notevole anche per un problema semplice.8
Una via alternativa...
• Si scriva V e q nella forma:
~
V (t ) = Re(V0 e jωt ) = V0 Re(e jωt ), q (t ) = Re(Q0 e jωt ) = Q0 Re(e jφ e jωt ) = Q0 cos(ωt + φ )
• Sostituendo nell’equazione del circuito si ha:
~
~ j ωt Q j ωt
jωRQe + e = V0 e jωt
C
C
C
CV0
(1 − jωRC )
~
Q=
V0 =
V0 =
(1 − jωRC )
2
1 + jωRC
(1 + jωRC ) (1 − jωRC )
1 + (ωRC )
• ...ed infine, separando modulo e fase:
~
Q0 = Q =
CV0
1 + (ωRC )
2
~
Im(Q )
tan(φ ) =
~ = −ωRC
Re(Q )
• Utilizzando i fasori, si esegue un semplice calcolo algebrico.
9
Impedenza
• In generale, dato un circuito contenente elementi lineari, come
resistenze, condensatori, impedenze, se si applica ad esso una tensione
V sinusoidale di pulsazione ω, la corrente che vi scorre ha le seguenti
proprietà:
– E’ anch’essa sinusoidale di pulsazione ω.
– Risulta sfasata rispetto alla tensione di un angolo ϕ che dipende da ω.
– L’ampiezza della corrente è proporzionale all’ampiezza della tensione e il
rapporto dipende da ω.
V
• Si definisce impedenza del circuito la quantità: Z = 0 e jφ =| Z | e jφ
I0
• Nella rappresentazione complessa:
~
V = Ve
jω t
~
I = Ie
jω t
V = ZI
~
V
Z = ~
I
• L’impedenza è una grandezza complessa.
Il modulo si misura in Ohm e la fase in gradi (o radianti).
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Resistenza
• Nel caso della resistenza, lo sfasamento è
zero, e l’impedenza è un numero reale.
~
~
V = RI V = RI
Z=R
• Si possono rappresentare le relazioni di
fase in un diagramma: i 2 vettori I e V
ruotano rimanendo paralleli, mentre il
vettore Z è fisso.
• Si tratta di una rappresentazione arbitraria,
in quanto I,V e Z hanno dimensioni
diverse.
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Induttanza
• Nel caso dell’induttanza ideale, l’impedenza
è immaginaria.
dI ~
~
V = L V = jωLI Z = jωL
dt
• Il modulo di Z cresce linearmente con la
frequenza, mentre lo sfasamento è fisso: la
corrente è in RITARDO rispetto alla
tensione di 90 gradi.
12
Capacità
• Anche nel caso del condensatore,
l’impedenza è puramente immaginaria:
∫ Idt
Q
V= =
C
C
~
I
~
V =
jω C
j
1
Z=
=−
jω C
ωC
• Stavolta il modulo di Z decresce con la
frequenza mentre la corrente è in
ANTICIPO sulla tensione di 90 gradi.
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Lo sfasamento
• Due sinusoidi sfasate presentano il seguente aspetto:
• In questo esempio, la tensione è in anticipo rispetto alla corrente,
ovvero la corrente è in ritardo rispetto alla tensione. Una sinusoide in
ritardo presenta uno sfasamento negativo.
• La distanza temporale tra le due sinusoidi è legata allo sfasamento
dalla formula:
∆T
∆T = φ / ω φ = ω∆T = 2π
T
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Combinazione di impedenze
• E’ facile verificare che:
– Impedenze in serie di sommano:
Z tot = Z1 + Z 2
– L’inverso dell’impedenza equivalente a due impedenze in parallelo è uguale alla
somma degli inversi delle singole impedenze:
1
1
1
= +
Z tot Z1 Z 2
• Tutto questo ovviamente nel caso in cui non esistano effetti di
accoppiamento tra elementi del circuito, cosa quasi mai vera quando
nel circuito sono presenti due induttanze vicine.
• Nel caso delle resistenze e dei condensatori queste formule portano ai
risultati già noti.
15
Esempio
• Nel caso dell’induttanza reale, dotata di una sua resistenza, si ha:
Z = j ωL + r
Z = (ωL) + r = r 1 + (
2
tan(ϕ ) =
ωL
r
2
=
ωL
r
)2
2πfL
f
=
r
fC
• Il modulo dell’impedenza non si azzera mai, ma ha un valore minimo.
– Lo sfasamento cresce con la frequenza.
• La frequenza critica è data da:
fc =
r
2πL
– Per f<fc prevale il comportamento resistivo
– per f>fc prevale il comportamento induttivo.
– Nel nostro caso, fc è di circa 140 Hz.
16
Somma di tensioni
• Torniamo al circuito proposto all’inizio:
– La corrente è la stessa nella resistenza e nel condensatore.
– La tensione ai capi della resistenza è in fase con la corrente.
– La tensione ai capi del condensatore è un quarto di periodo in ritardo rispetto
alla corrente e quindi anche rispetto alla tensione ai capi della resistenza.
– La tensione V0 di alimentazione sarà la somma vettoriale di VR e VC
• Deve valere la relazione:
V02 = VR2 + VC2
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Somma di correnti
• Un altro circuito è il seguente:
– Stavolta le tensioni V1 ai capi della resistenza R1 e Vc ai capi del del
condensatore sono uguali.
– La tensione V1 e la corrente in R1 hanno la stessa fase.
– La corrente I2 in C è un quarto di periodo in anticipo rispetto alla tensione.
– La corrente I è la somma vettoriale di I1 e I2.
• Si ha:
I 2 = I12 + I 22
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Potenza in a.c.
• La potenza dissipata da un elemento di circuito, ai capi del quale cade una ddp
V(t) ed e’ attraversato da una corrente I(t) risulta:
P (t ) = V (t ) ⋅ I (t )
• La potenza media
dissipata risulta:
T
1
1
< P (t ) > T =
V ( t ) ⋅ I ( t ) dt =
∫
T 0
T
T
∫V
0
cos( ω t + φ V ) ⋅ I 0 cos( ω t + φ I ) dt
0
1
[cos( 2 ω t + φ V + φ I ) + cos( φ V − φ I )]
2
1
1
1
1 ~ ~
~* ~
~ ~*
< P ( t ) > T = V 0 I 0 cos( φ V − φ I ) = Re[ V ⋅ I ] = Re[ V ⋅ I ] = V • I
2
2
2
2
cos( ω t + φ V ) ⋅ cos( ω t + φ I ) =
prodotto scalare
• Come si vede il condensatore e l’induttanza NON dissipano in media potenza
(fasori sono ortogonali).
• Per la resistenza <P>T = ½ V0 I0
(V0 e I0 moduli dei fasori)
• Dato un circuito in alternata, lo sfasamento φV - φI tra corrente e tensione ai capi di
un suo elemento NON ATTIVO deve essere sempre compreso tra [-90o,90o]
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La sonda dell’oscillosopio
Schema circuito:
Rs
Cavo
Vin
Vo
coassiale Ccavo
Il cavo: una capacita’ C
o
connessa a massa
in // con Co:
Cadj
Valori tipici:
Co = 20 pF
Ro = 1 MΩ
Ccavo = 30 pF
Oscilloscopio
Ro
Ceq = Ccavo + Co
Z1
Z2
Vo =
1
1
=
+ jωCadj
Z1 Rs
Rs
Z1 =
1 + jωRs Cadj
1
1
=
+ jωCeq
Z 2 Ro
Z2 =
Ro
1 + jωRoCeq
A=
Z2
Vin
Z1 + Z 2
Vo
=
Vin
Se scegliamo:
Rs= 9 Ro
Cadj =1/9 Ceq
Ro
1 + jωRoCeq
Rs
Ro
+
1 + jωRs Cadj 1 + jωRo Ceq
=
1
= 0. 1
9 +1
Abbiamo realizzato un partitore x 10 (indip. da ω)
ed aumentato di una fattore 10 l’impedenza di
20
ingresso dello strumento di misura.
