Esercizi Teoria della Probabilità Esercizio 1 Durante un corso universitario, uno studente prova a svolgere una serie di esercizi. La risposta agli esercizi è di tipo binario (SI/NO). Supponendo la completa ignoranza dello studente sull’argomento, la probabilità che indovini per caso la risposta è del 50%. Si supponga inoltre che l’eventuale successo nell’indovinare la risposta esatta non condizioni le probabilità future di indovinare le altre risposte (eventi indipendenti). a. Calcolare la probabilità che ha lo studente di svolgere in maniera corretta due esercizi di fila b. Calcolare la probabilità di svolgerne almeno uno bene c. Calcolare la probabilità di sbagliarli tutti e due d. Si supponga invece che lo studente sia preparato sull’argomento, per cui si assume che la probabilità di svolgere bene un esercizio è pari al 75%. Ripetere il calcolo ai punti a), b) e c) con la nuova probabilità. Esercizio 2 In un’azienda, la probabilità che l’estintore automatico di sicurezza sia in panne è pari al 20%, la probabilità che il sistema d’allarme non funzioni è pari al 10% e la probabilità che entrambi siano rotti è pari al 4% a. Calcolare quale è la probabilità che almeno uno dei due funzioni b. Calcolare la probabilità che entrambi funzionino Esercizio 3 Un rappresentante di commercio effettua 12 visite al giorno. Per ciascuna visita c’è il 20% di probabilità di realizzare una vendita. a.
b.
c.
Quale è la probabilità che non realizzi nessuna vendita in un giorno? Quale è la probabilità che realizzi almeno una vendita? Il rappresentante lavora 200 giorni all’anno. Qual è, approssimativamente, il numero di giorni all’anno in cui non realizza nessuna vendita? Esercizio 4 Siano E ed F due eventi mutuamente incompatibili. Essi sono indipendenti? Esercizio 5 Siano A e B due eventi indipendenti, P(A) = 0.6, P(B)=0.2. Calcolare, se possibile: a.
b.
c.
d.
P(A|B) P(A»B) P(A…B) Ripetere l’esercizio nel caso gli eventi A e B siano mutuamente incompatibili Esercizio 5 Siano A e B due eventi mutuamente esclusivi, con P(A) = 0.5 e P(A » B)=0.7. Calcolare, se possibile P(B). Esercizio 6 Nella tabella seguente è riportata la popolazione degli Stati Uniti (secondo una statistica del 1984) secondo lo stato di occupazione ed il sesso a.
b.
c.
d.
Maschio (M) Femmina (F) Totale Attivo (A) 51.9% 40.9% 92.8% Disoccupato (D) 3.9% 3.3% 7.2% Totale 55.8% 44.2% 100% Quanto è il tasso di disoccupazione? Ovvero, valutare la probabilità P(D) che un individuo scelto a caso nella popolazione sia disoccupato. Calcolare la P(D|M). Che cosa rappresenta questa probabilità? Calcolare la P(D|F). Che cosa rappresenta questa probabilità? Il tasso di disoccupazione dipende dal sesso? Esercizio 8 Un censimento sulla popolazione americana (115 milioni di abitanti) analogo al caso precedente, condotto nel 1985 si è invece focalizzato sulla relazione tra tasso di disoccupazione e età della popolazione, fornendo i seguenti risultati Meno di 25 anni (G) Più di 25 anni (V) Totale Attivo (A) 20.4 86.8 107.2 Disoccupato (D) 3.2 5.1 8.3 Totale 23.6 91.9 115.5 a)
b)
c)
Quale è la probabilità P(D) che un individuo scelto a caso nella popolazione sia disoccupato? Calcolare la probabilita P(D|G) ed enunciare che cosa rappresenta Il tasso di disoccupazione è indipendente dall’età? Variabili aleatorie scalari – Esercizi Esercizio 1 Si consideri l’esperienza costituita dal lancio di una moneta per tre volte. Ciascun lancio avrà come possibili esiti Testa (T) o Croce (C) 1. Definire l’insieme di tutti i possibili eventi elementari di cui è costituita l’esperienza: “tre lanci della moneta”
2. Definire una variabile aleatoria che conti il numero di teste ottenute nella singola esperienza
3. Definire la funzione di distribuzione e la funzione densità di probabilità per la variabile aleatoria.
Esercizio 2 Si consideri la variabile aleatoria discreta X definita come il numero ottenuto dal lancio del dado. 1. Se ne rappresenti la funzione densità di probabilità 2. Si calcolino le probabilità dei seguenti eventi a. sqrt(2) < X < π b. X > 3 c. 2 ≤ X < 3 d. 2 < X < 3 Esercizio 3 Un rappresentante di una casa farmaceutica telefona ad una farmacia tre volte all’anno. Ad ogni chiamata, c’è l’80% di probabilità di realizzare una vendita. Sia X il numero totale di vendite per anno (0,1,2,3) a.
b.
Rappresentare in forma di tabella la distribuzione di probabilità p(x) Quale è la probabilità di realizzare almeno due vendite? Esercizio 4 Un rivenditore di biciclette, grazie all’esperienza acquisita negli anni, ha stabilito che la domanda annuale di biciclette è una variabile aleatoria con la seguente distribuzione: a.
b.
c.
Numero di biciclette vendute x 40 Probabilità p(x) 50 0.15 60 0.41 70 0.34 80 0.04 90 0.01 0.05 Qual è la domanda media prevista? Qual è la varianza? Se il rivenditore ordina 60 biciclette, qual è la probabilità che esse siano tutte vendute? Qual è la probabilità che ne rimangano di invendute? Per essere abbastanza sicuro (al 95%) di avere abbastanza biciclette da poter rivendere, quante ne deve ordinare? Esercizio 5 Sia data la seguente funzione densità di probabilità per la variabile aleatoria X: 0
8
0 4
1. verificare che f(x) è una funzione densità di probabilità valida (ovvero rispetta le proprietà fondamentali delle funzioni densità di probabilità). 2. Calcolare inoltre le seguenti probabilità: a. X < 2 b. 1 < X <3 c. X = 3 d. 3 < X <5 3. Determinare inoltre (se esiste) il valore atteso della VA X. 4. Determinare inoltre moda e mediana 5. Calcolare infine la varianza della VA Esercizio 6 Si consideri la variabile aleatoria Y caratterizzata dalla seguente funzione densità di probabilità: 0
1
2
1
2 0
1. verificare che f(x) è una funzione densità di probabilità valida (ovvero rispetta le proprietà fondamentali delle funzioni densità di probabilità). 2. Calcolare inoltre le seguenti probabilità: a. 0.2 < Y < 0.8 b. 0.6 < Y < 1.2 c. Y > 1.8 3. Determinare inoltre (se esiste) il valore atteso e la varianza della VA Y 4. Determinare inoltre il 25mo percentile ed il 75mo percentile. Esercizio 7 Si consideri variabile aleatoria Y caratterizzata dalla seguente funzione densità di probabilità: 2 0
1.
2.
3.
4.
5.
0
0
Calcolare la costante A tale che la funzione densità di probabilità rispetti la condizione di normalizzazione Determinare la funzione di distribuzione FY(y) Calcolare media, mediana e moda della variabile aleatoria Y Calcolare varianza e deviazione standard Calcolare le probabilità per i seguenti eventi: a.
3 b.
3
1 Esercizio 8 Si consideri l’esperienza aleatoria X lancio del dado: un giocatore vince o perde a seconda degli esiti secondo la seguente tabella: X Esito 1 Vincita 10 € 3 Vincita 20 € 5 Perdita 30 € Numero pari Nessun guadagno/perdita
Calcolare il valore medio della variabile aleatoria vincite del gioco Esercizio 9 Una variabile aleatoria discreta X ha la seguente funzione densità di probabilità: x 0 1 2 f(x) 0.4 0.4 0.2 Calcolare la media e la varianza della Variabile Aleatoria Y = 2 X – 1 Esercizio 10 Il numero di articoli prodotti da una fabbrica in una settimana è una variabile aleatoria Y di media μY = 500 e varianza σ2Y=100. Calcolare la probabilità (un valore approssimativo) che in una settimana la produzione sia compresa tra 400 e 600 articoli (Suggerimento: Sfruttare il Teorema di Chebyshev) Esercizio 11 Una variabile aleatoria Y ha densità di probabilità: 2 2 0 0
0
1. Calcolare media e varianza per la variabile aleatoria in questione 2. Calcolare: | 1 |
a.
3. Trovare una stima per la probabilità precedente sfruttando il teorema di Chebyshev. a. È rispettato il teorema? b. Il risultato fornito è confrontabile oppure no con il risultato “esatto” fornito dalla conoscenza della funzione densità di probabilità?
