Esercizi 4

Variabili aleatorie continue
(esercizi di riepilogo)
1. Un grande dispositivo elettronico contiene 2000 componenti. Si assuma che ciascun
componente abbia una probabilità di operare senza malfunzionamenti durante la vita del
dispositivo pari a 0.995 e che i componenti si guastino indipendentemente l’uno dall’altro.
Calcolare la probabilità che 5 o più componenti tra i 2000 originali subiscano un
malfunzionamento durante la vita del dispositivo.
2. E’ data una variabile aleatoria con funzione densità
ce −5 x , x > 0
.
f ( x) = 
0, x ≤ 0
Determinare il valore della costante c affinché la funzione sia una densità di probabilità.
Determinare e disegnare la funzione di ripartizione.
3. Se X è una variabile aleatoria esponenziale di parametro a, verificare che
P ( X < x1 + x 2 | X > x1 ) = P( X < x 2 ) .
4. Assegnata la funzione
 cx + 1 x ∈ [−1,0)

f ( x) = − cx + 1 x ∈ [0,1]
 0
altrove

stabilire per quale valore di c rappresenta una funzione densità. Determinare la relativa funzione
distribuzione e calcolare il valore medio.
5. Una popolazione di bambini di una scuola romana è stata sottoposta a un test con una batteria
di domande. L’andamento della distribuzione dei punteggi conseguiti è risultato di tipo normale,
con varianza pari a 10. La percentuale di bambini che ha riportato un punteggio inferiore a 112 è
risultata pari al 91,92%. Calcolare la media della distribuzione.
6. E’ noto che il tempo di vita medio di un certo dispositivo è pari a 290 ore. Supponendo che il
tempo di vita medio sia distribuito normalmente, qual è il massimo valore che deve avere lo
scarto σ se si vuole che la probabilità che un dispositivo abbia vita compresa tra 250 e 330 ore
sia del 95%?
7. Un'azienda stipula un contratto per vendere barattoli di conserva da 500g. La quantità di
conserva X messa in ciascun barattolo è predeterminata meccanicamente ed è normalmente
distribuita con media µ e deviazione standard 25g. A quale valore minimo µ deve essere tarata
la macchina, perché non più del 2% dei barattoli contenga meno di 500g di conserva?