1 Algebre e σ-algebre 2 Boreliani

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Algebre e σ-algebre
Dato un insieme Ω, l’insieme di tutti i suoi sottoinsiemi si dice insieme delle
parti di Ω, e si indica con P(Ω) o con 2Ω . Se Ω è un insieme finito di n elementi,
P(Ω) ha 2n elementi. Ad esempio per n = 2,
se Ω = {0, 1},
allora P(Ω) = {∅, {0}, {1}, Ω}.
Un sottoinsieme A di P(Ω)1 è un’algebra su Ω se è chiuso rispetto alle
operazioni di complementazione e di intersezione finita2 :
• Se A ∈ A, allora anche Ω \ A ∈ A.
• Se A, B ∈ A, allora anche A ∩ B ∈ A.
Non è difficile, partendo da queste ipotesi, verificare che un’algebra contiene
sempre l’insieme vuoto ed è chiusa anche rispetto alla differenza tra insiemi
(esercizio!).
Un sottoinsieme A di P(Ω) è una σ-algebra su Ω se è un’algebra e inoltre è
chiuso rispetto all’intersezione numerabile3 :
T
• Se {An }n∈N è una successione in A, allora anche An ∈ A.
Un qualunque sottoinsieme I di P(Ω) può essere ingrandito fino ad ottenere
una σ-algebra. La più piccola σ-algebra contenente I è detta generata da I e si
denota con σ(I). L’argomento standard per dimostrarne l’esistenza è il seguente
(i vari passi sono semplici verifiche che possono essere fatte per esercizio):
i. Vi è almeno una σ-algebra contenente I. Infatti P(Ω) lo è.
ii. L’intersezione di σ-algebre (una quantità qualsiasi!) è una σ-algebra.
iii. Se si definisce σ(I) come l’intersezione di tutte le σ-algebre che contengono
I si ottiene certamente la più piccola di queste.
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Boreliani
Sia I l’insieme degli intervalli chiusi di R:
I = {[a, b] ⊂ R|a ≤ b}.
La σ-algebra generata da I è detta insieme dei Boreliani di R e si denota con
B(R).
L’insieme B(R) può essere visto come la σ-algebra generata da varie classi
di insiemi. Alcuni esempi sono:
• Gli intervalli chiusi [a, b] con a ≤ b.
• Gli intervalli aperti (a, b) con a < b.
• Le semirette4 sinistre chiuse (−∞, a] con a ∈ R.
1 Si
ragioni sul fatto che un qualunque sottoinsieme P(Ω) è un insieme di sottoinsiemi di
Ω.
2 È facile verificare (esercizio!) che si ottengono definizioni equivalenti se si chiede la chiusura rispetto all’intersezione di due, o di qualunque numero finito di elementi, o anche all’unione,
nelle stesse varianti.
3 Questa definizione non è equivalente alla precedente. Anche qui comunque si può sostituire
la chiusura per intersezione numerabile con quella per unione numerabile.
4 Sinistre o destre, chiuse o aperte, funziona comunque.
1
• Gli insiemi aperti di R (questa è la definizione classica, che si estende a
tutti gli spazi topologici).
Per verificare che due classi di insiemi generano la stessa σ-algebra, bisogna
mostrare che ogni insieme dell’una può essere ottenuto da quelli dell’altra (e
viceversa) con le operazioni lecite nelle σ-algebre.
Ad esempio per la seconda e la terza di quelle elencate:
i. Per ogni intervallo aperto (a, b), si può scrivere
(−∞, b) =
∞ [
1
,
−∞, b −
n
n=1
(a, b) = (−∞, b) \ (−∞, a].
ii. Per ogni semiretta (−∞, a], si può scrivere
(a, ∞) =
∞
[
(a, a + n),
(−∞, a] = (a, ∞)c .
n=1
Non tutti i sottoinsiemi di R sono Boreliani (vedremo più avanti un famoso
controesempio); per quelli che lo sono, la strategia per dimostrarlo è simile
a quelle appena viste. Ad esempio l’insieme di Cantor C si ottiene sottraendo
all’intervallo [0, 1] il terzo centrale, poi il terzo centrale dei due segmenti restanti,
poi il terzo centrale dei quattro segmenti restanti, e cosı̀ via. Con le operazioni
delle σ-algebre:
n
C0 = [0, 1],
Cn+1 = Cn \
3
[
3−n (i − 2/3), 3−n (i − 1/3) ,
C=
∞
\
Cn ,
n=1
i=1
quindi C ∈ B(R).
I Boreliani di sottoinsiemi di R, si definiscono nel modo ovvio. Ad esempio
nel seguito useremo quelli dell’intervallo (0, 1]:
B(0, 1] = {A ∈ B(R)|A ⊂ (0, 1]}.
3
Misure e probabilità
Se Ω è un insieme e F è una σ-algebra su Ω, la coppia (Ω, F) si dice spazio
misurabile o probabilizzabile.
Una misura di probabilità su (Ω, F) è un’applicazione P : F → R tale che:
• P è non negativa.
• P (Ω) = 1.
• P è σ-additiva, ovvero
se {A
S
Pn }n∈N è una successione in F di insiemi
disgiunti, allora P ( An ) =
P (An ).
Se si toglie la seconda richiesta si ha la definizione di misura; noi studieremo
però solo le misure di probabilità.
Tra le conseguenze immediate di questi assiomi, dimostrabili per esercizio,
vi sono:
i. P (∅) = 0.
ii. P (Ac ) = 1 − P (A).
2
iii. A ⊂ B implica che P (A) ≤ P (B).
iv. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
v. Se {A
Sn }n è una successione crescente di eventi A1 ⊂ A2 ⊂ . . . con limite
A = An , allora lim P (An ) = P (A).
vi. Se {ATn }n è una successione decrescente di eventi A1 ⊃ A2 ⊃ . . . con limite
A = An , allora lim P (An ) = P (A).
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Carathéodory e Lebesgue
Il Teorema di Carathéodory (che non dimostriamo) dice che se A è un’algebra
su un insieme Ω e P : A → R+ è una funzione σ-additiva e tale che P (Ω) = 1,
allora esiste un’unica misura di probabilità P̃ su (Ω, σ(A)) che coincide con P
su A.
La richiesta che P (che è definita solo su A) sia σ-additiva, va intesa cosı̀: se
{An }n è una successione diSeventi inPA a due a due disgiunti e tali che la loro
unione stia in A, allora P ( An ) =
P (An ).
La prima applicazione di questo teorema è quella di ottenere una famosa
misura di probabilità su Ω definito come l’intervallo (0, 1] (dovuta a Lebesgue).
La misura di Lebesgue viene definita prima di tutto sugli intervalli (a, b]
come la loro lunghezza b − a. Si estende poi all’insieme A di tutte le unioni
finite di intervalli disgiunti di questo tipo:
se H ∈ A e H =
n
[
(ai , bi ], con bi ≤ ai+1 per i < n,
i=1
allora si definisce P (H) :=
n
X
(bi − ai ).
i=1
Non è difficile verificare che quella data è una buona definizione5 , e si vede
subito che la misura di Ω è 1 e che A è un’algebra. Verificare la σ-additività di
P non è difficile, ma richiede delle nozioni di topologia e quindi omettiamo la
dimostrazione.
L’applicazione del Teorema di Carathéodory dimostra che esiste un’unica
misura di probabilità (che denotiamo con L) sui Boreliani di (0, 1] che coincide
con P su A.
Usando gli assiomi e le proprietà delle misure di probabilità si vede facilmente
che:
i. I punti hanno probabilità nulla. Infatti per ε < x,
\
ε
(x − ε/n, x], quindi L(x) = lim L(x − ε/n, x] = lim = 0.
{x} =
n
n n
n
ii. Conseguenza immediata: L(a, b) = L(a, b] = L[a, b) = L[a, b]. Inoltre si
può estendere la misura di Lebesgue su [0, 1] senza problemi.
iii. L’insieme di Cantor ha misura nulla. Infatti si vede facilmente (ad esempio
T
per induzione) che L(Cn ) = (2/3)n e C0 ⊃ C1 ⊃ C2 ⊃ . . . con C = Cn .
5 Vuol
dire che P (H) non cambia anche se si usa per H un’altra decomposizione in intervalli.
3
iv. L è invariante per rotazioni. Diciamo che τ è una rotazione su (0, 1] di
ampiezza t se
τ (x) = x + t − bx + tc
dove b·c rappresenta la parte intera. In pratica, stiamo considerando x + t
modulo 1 o la parte frazionaria di x + t.
Dire che una funzione come L è invariante per rotazioni significa dire che
per ogni rotazione τ e per ogni insieme A ∈ B(0, 1], L(τ (A)) = L(A), ovvero
che L ◦ τ = L.
È immediato (ma andrebbe verificato) che P è invariante per rotazioni su
A. Se il risultato non si estendesse a L, avremmo due probabilità diverse L
e L ◦ τ su B(0, 1], entrambe però coincidenti con P su A (perché P = P ◦ τ ).
Per Carathéodory però l’estensione di P è unica.
5
Insieme di Vitali
Sia Ω = (0, 1]. L’insieme di Vitali è un esempio di sottoinsieme di Ω che non
appartiene ai Boreliani.
Definiamo la relazione ∼ su Ω dicendo che x ∼ y se x − y ∈ Q. Si vede
subito che si tratta di una relazione di equivalenza, che quindi divide Ω in classi
di equivalenza, una delle quali è composta dai razionali stessi.
Sia V un insieme che abbia esattamente un elemento di ciascuna delle classi
di equivalenza e consideriamo le rotazioni razionali di V . Sia cioè Vq la rotazione
di ampiezza q di V , per ogni q ∈ Q. Si verifica facilmente che:
i. Gli insiemi Vq sono tutti disgiunti. Infatti se q, r sono razionali e x è un
qualunque elemento di Vq , allora y = x − q + r è un elemento di Vr . Se
per assurdo anche x lo fosse, siccome y − x = r − q e quindi y ∼ x, Vr
conterrebbe due rappresentanti della stessa classe di equivalenza, ma ciò è
impossibile.
ii. Gli insiemi Vq ricoprono tutto Ω:
[
Vq = Ω.
q∈Q
iii. Se gli insiemi Vq fossero Boreliani, la loro probabilità secondo L sarebbe la
stessa (per quanto detto alla fine della sezione precedente). Denotiamo con
p ∈ [0, 1] questo numero.
Se ne deduce che se gli insiemi Vq fossero Boreliani, si dovrebbe avere, per la
σ-additività che
[ X
X
p,
L(Vq ) =
1 = L(Ω) = L
Vq =
q∈Q
q∈Q
q∈Q
ma non esistono valori di p che rendono vera questa equazione. Quindi V non
è un insieme Boreliano.
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