I tre principi matematici alla base delle teorie di stringa

I tre principi matematici alla base delle teorie di stringa
(geometrico, aritmetico, algebrico)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Abstract
In this paper we show some connections between geometric principle,
arithmetic principle an algebraic principle of string theory
Riassunto
In questo breve lavoro riepilogativo – divulgativo parleremo di tre
principi matematici alla base delle teorie di stringa:
geometrico: parabola n2 + n +1 , numeri di Lie a metà dell’intervallo tra
un quadrato e l’altro (con grafico tramite quadrati successivi); 0,dd = 0,50
aritmetico : 1 + ∑ 2n = 2T+1, somma 1 + tutti i successivi numeri pari
con T numeri triangolari. Accenni ai numeri di Fibonacci 0,dd = 0,40 , e
alle partizioni di numeri, o,dd = 0,60
algebrico: 2T +1 , ma ora qui non è l’insieme dei numeri triangolari ma un
operatore.
1
I tre principi sono connessi e tra loro unificabili (vedi equazione preferita
dalla natura, con + c e + c’ al posto di 1 finale) i primi due riguardano
anche fenomeni macrocosmici, il terzo invece in modo particolare la fisica
quantistica, il Modello Standard e le teorie di stringa
Principio geometrico
Come riferimento a lavori precedenti rimandiamo al PGTS (Rif.1)
e a “L’equazione preferita dalla natura”, con la parabola delle
geometrie proiettive n2 + n + 1, con n numero primo o una sua
potenza (Rif.2), e formula dei numeri di Lie L(n) = n2+n+1, che si
trovano esattamente a metà strada tra un quadrato e il successivo.
Qui sottolineeremo e mostreremo, anche con un grafico, come
tali numeri di Lie si trovano esattamente a metà dell’intervallo tra
due quadrati, che com’è noto vale (n + 1)2 – n2 = 2n + 1: se si toglie n
da 2n, rimane la n centrale della formula n2 + n + 1; Poiché la parte
decimale della radice quadrata n = √N di un qualsiasi numero N è
proporzionale alla distanza di N dal quadrato precedente , notiamo che
per i numeri di Lie, soprattutto grandi, la loro radice quadrata è 0,50 (per
fare un esempio 10101 = 1002+100+1 = 10101, e √10101= 100,50
(per i numeri n più piccoli tale parte decimale tende a 0,50), per es. per
91=92+9+1 la radice quadrata è 9,53.
Notiamo che i numeri di Fibonacci sono prossimi ai numeri di Lie, e la
loro radice quadrata tende (ma più lentamente) ad una parte decimale di
0,40 (il 40 % dell’intervallo quadratico), mentre quella delle partizioni di
numeri, anch’essi vicini ai numeri di Lie, tende invece a 0,60, il 60%
dell’intervallo quadratico (ricordiamo che i numeri di Lie sono alla base
dei cinque Gruppi eccezionali di simmetria di Lie, poichè un loro piccolo
multiplo fornisce il numero delle dimensioni di tali gruppi; per es. E8 =248
= 8*31, con 31 = numero di Lie per n = 5, infatti 52+5+1 =31. Rivedremo
E8 nel principio algebrico.
2
Qui sotto i cinque grafici relativi al principio geometrico:
3
4
5
6
Un’altra formula per i numeri di Lie è basata sulla media aritmetica tra
due quadrati successivi con l’aggiunta di 0,5:
L(n) = n2 + (n-1)2 + 0,5, per es. L(3) = 13 = (16+9) + 0,5
2
2
Oppure, equivalentemente , L(n) = (n-a)2 + n2 + 1
2
7
Principio aritmetico
Circa il principio aritmetico (Rif. 3), ricordiamo brevemente che esso
coincide aritmeticamente con il principio geometrico, e che si basa sulle
somme successive dei numeri pari, +1, quindi L(n) = 1 + ∑ 2n, oltre che
n2+n+1.
Infatti
1+2
1+2+4
1+2+4+6
1+2+4+6+8
…
…
=
=
=
=
…
3
7
13
21
…
Se togliamo l’ 1 iniziale avremo 2, 6, 12, 20…, che sono il doppio dei
numeri Triangolari T = 1, 3 6, 10, che costituiscono la seconda diagonale
del Triangolo di Tartaglia, dove rappresentano le combinazioni di n
elementi a due a due,
(n)
e quindi connessi alla matematica
2
combinatoria.
Numeri di Lie, quindi, anche con la formula equivalente L(n) = 2T + 1
Da non confondere con la formula simile 2T +1, dove T, ora, rappresenta
un operatore algebrico (Vedi successivo paragrafo sul principio algebrico)
Principio algebrico
Il principio algebrico delle teorie di stringa (PAlTS) è invece basato sui
gruppi di simmetria Lie, ed in modo particolare sui cinque gruppi
eccezionali di Lie ;
8
G2 = 14
F4 = 52
E6 = 78
E7 =133
E8 = 248
= 2* 7
= 4*13
= 6*13
= 19* 7
= 8 *31
Con 7, 13, e 31 numeri di Lie per n = 2, 3 e 5 rispettivamente, tutti
numeri primi, come prevede la formula delle geometrie proiettive
n2 + n +1 con n primo o una sua potenza
Un buon riferimento per tale principio algebrico (presente, con E8, nelle
teorie di stringa ecc.) è il Rif. 7
Conclusioni
Come abbiamo visto, i tre principi fondamentali delle teorie di stringa
(geometrico, aritmetico ed algebrico), hanno alcuni elementi geometrici,
aritmetici e algebrici in comune ( in particolar modo le simmetrie), e come
tali ulteriormente migliorabili ed eventualmente unificabili in un solo
principio, che possa rendere le cose ancora più chiare .
Con questo lavoro, la strada verso tale possibile unificazione tra
geometria, aritmetica e algebra delle stringhe, è già aperta agli studiosi
di tali possibili connessioni fisico-matematiche.
Caltanissetta, 15.10.2011
9
Riferimenti
1) L’EQUAZIONE PREFERITA DELLA NATURA:
n2 + n + 1 (con n primo) (alla base de numeri e dei gruppi di Lie, dei
numeri di Fibonacci, delle partizioni di numeri, delle simmetrie e delle
teorie di stringa),Francesco Di Noto, Michele Nardelli, sul sito
www.gruppoeratostene.com
Sezione “Articoli sulla Fisica -Matematica
Abstract
In this new paper, we show with tables and examples, as the equation of the title is
the basis of numbers and Lie groups, partitions and Fibonacci numbers, all three of
these types of numbers are present in many phenomena natural. Here we define the
above equation as “equation preferred from the nature”, based on simple
mathematical concepts: prime numbers, the sums of the first n natural numbers, and
all possible sums that give n as result, and their roles in the symmetry, in the
Fibonacci series, and finally in string theory, related to the symmetries and the golden
number of the Fibonacci series (and to a lesser level, to the partitions of numbers)
Introduzione
Forse Pitagora e Galileo avevano perfettamente ragione: l’universo è basato
sui numeri (Nota1) , l’universo è scritto con caratteri matematici (Nota 2), e
(Rif. 1 e Rif. 2).
Siamo infatti giunti alla conclusione, tramite lavori precedenti (Rif. 1 e Rif .2,
ecc.) che la natura si basa su una speciale e particolare equazione, n2+ n + c,
che unifica i numeri e i gruppi eccezionali di Lie (simmetrie : n2 + n +1 ), i
numeri di Fibonacci (n2+n + c ) e le partizioni di numeri (n2 +n + c’,con n
numeri primi o loro potenze, e con c e c’ piccoli numeri; e con c’ leggermente
maggiore di c. E, in particolare, (n2 + n)/2 = numeri triangolari T, e, com’è
noto, alla base delle combinazioni di n elementi a due a due) e anche somma dei
primi n numeri naturali , per cui le varianti dell’equazione di cui sopra si
possono scrivere anche come 2T + 1, 2T + c, 2T + c’; 2T equivale anche alla
somma dei primi numeri pari; nei numeri di Fibonacci Fn ogni numero della
serie è dato dalla somma dei due numeri precedenti, e le partizioni di numeri
p(n) sono i diversi modi in cui un numero può essere scritto come somma di
numeri più piccoli.
Quindi la somma di piccoli numeri, sottoforma di numeri e gruppi di Lie,
numeri di Fibonacci e partizioni di numeri è alla base di molti fenomeni
naturali, che, sebbene in gran parte noti sotto questo aspetto (per esempio i
numeri delle spirali di semi di certi fiori come i girasoli, corrispondono a numeri
10
di Fibonacci), vedremo nel corso del presente lavoro, dopo le rispettive tabelle
basate sulle suddette versioni dell’equazione principale n2 + n +1
2a) PROGETTO PGTS
Il principio geometrico alla base delle Teorie di
Stringa - La parabola L(n) = n2+n+1 come base per il principio
geometrico delle teorie di stringa (origine “triangolare” dei
numeri di Lie e di Fibonacci) Francesco Di Noto, Michele
Nardelli, su questo sito
Sommario
In questo lavoro riepilogheremo le principali connessioni tra Teoria dei
Numeri (in modo particolare numeri primi, numeri di Lie, numeri di
Fibonacci, ecc.), Geometria (parabole, triangoli, quadrati, solidi
geometrici) e teorie di stringa (numeri di dimensioni coinvolte, ecc.),
cercando di individuare il principio geometrico, essenzialmente ancora
non compreso bene, che è alla base delle teorie di stringa (e indicato
brevemente con pgts).
2b) PGTS - Parte seconda
“IL PRINCIPIO GEOMETRICO ALLA BASE
DELLE TEORIE DI STRINGA”Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Abstract
In this paper we will show other interesting or useful citations for PGTS (
Geometric Principle of StringTheory)
Sommario
In questa seconda parte parleremo brevemente della recente scoperta
sull’emergenza del gruppo di simmetria E8 in uno stato critico quantistico
(l’equivalente quantistico dei frattali), associato al numero aureo Φ
=1,618…, e infine aggiungeremo nuova documentazione teorica (citazioni
di brani interessanti, ecc.) e nuove tabelle con i numeri triangolari T, di
Fibonacci e con i numeri di partizione, anche questi connessi ai numeri
triangolari T e quindi alle varie simmetrie osservate in natura. Il nostro
PGTS, principio geometrico delle teorie di stringa, risulta così
11
ulteriormente confermato, oltre che in teoria, anche dal punto di vista
sperimentale, anche se, per questo, siamo solo all’inizio. Un percorso
matematico che va dai numeri triangolari T (connessi alle combinazioni di
n elementi a due a due, con n numero primo o potenza di primo) alle TOE
è quindi, in linea di principio, possibile:
T → 2T+1 → Gruppi di Lie, serie di Fibonacci F(n) e numeri di partizioni
p(n)→ Funzione zeta → Teorie di stringa → TOE. (Vedi PGTS Parte prima)
3) “Una teoria aritmetica, o aritmetica-geometrica, per la TOE
(Il principio aritmetico per le teorie di stringa, PATS, complementare
al PGTS)“ Francesco Di Noto – Michele Nardelli, su questo sito
Riassunto
In questo lavoro rivedremo la Teoria geometrica del Tutto di Garrett Lisi
(Rif. 1) ma dal punto di vista prevalentemente aritmetico (somma dei primi
n numeri pari = 2T con T = numeri triangolari, da cui poi 2T+1 = n2+n+1
(Rif.2), i numeri e i gruppi di Lie, le relative simmetrie ed i gruppi E6 ed
E8 citati e descritti da A. Garrett Lisi e James Owen Weatherall in Rif. 1.
Dalle somme dei primi n numeri pari alle combinazioni (T) , quindi, e
successivamente ai numeri e gruppi di Lie, loro simmetrie geometriche e
quindi la TOE di Lisi, coincidente in tutto o in buona parte con la struttura
algebrica di Lie nota più semplicemente anche come E8, da noi
accennata anche in Rif. 5.
4) Scoperto il legame tra la sezione aurea e la simmetria
Scrivo questo post per informare i lettori su una scoperta che lega la
sezione aurea alla simmetria.
Il titolo del lavoro pubblicato è: Quantum Criticality in an Ising Chain:
Experimental Evidence for Emergent E8 Symmetry. Qui di seguito il
riassunto:
E8, l’Universo e tutto quanto
2010 febbraio 8
tags: algebra di Lie, geometria, matematica, teoria delle stringhe
by Federica Sgorbissa
Una struttura matematica legata alla teoria delle stringhe è stata osservata per la prima volta
nella realtà
NOTIZIE – Se la “Guida galattica per autostoppisti” anziché Douglas Adams, celeberrimo scrittore di fantascienza,
l’avesse scritta un fisico esperto di stringhe, alla “domanda fondamentale sulla vita, l’Universo e tutto quanto”,
Pensiero Profondo, il secondo più grande computer dell’Universo del Tempo e dello Spazio, anziché “42” avrebbe
potuto rispondere “E8”. E8, (per esteso Exeptional Lie Group E8) è una struttura simmetrica complessa che fino ad
oggi era solo un costrutto teorico avanzato dai matematici e che secondo alcuni ha un ruolo nella teoria delle
12
stringhe, una delle possibili “teorie del tutto”. Oggi un gruppo di fisici inglesi e tedeschi dichiara di aver osservato la
struttura per la prima volta nella realtà.
Gli scienziati hanno raffreddato un cristallo di cobalto e niobio fino a temperature vicine allo zero assoluto e come si
legge nell’articolo pubblicato su Science, quando hanno applicato un campo magnetico crescente al cristallo, nella
configurazione elettronica sono apparse delle strutture spontanee che richiamavano appunto l’E8. Questa struttura di
simmetria dagli anni ‘70 è stata messa in connessione con la teoria delle stringhe, una delle candidate a “teoria del
tutto”, e cioè una teoria che colleghi assieme tutti i fenomeni fisici conosciuti in un unico, ed elegante, corpo
matematico. Nel 2007 Garreth Lisi, fisico freelance, ha addirittura proposto una nuova teoria del tutto, basata appunto
sull’E8.
Tutto ciò resta da provare, ma Radu Coldea e colleghi sono comunque entusiasti di aver osservato i primi indizi della
presenza dell’E8 in natura. Banalmente per gruppi di simmetria si intendono tutte le possibilità che un oggetto
geometrico ha di ruotare senza cambiare aspetto. Un quadrato per esempio può ruotare in senso orario e antiorario di
90° e restare sempre identico a se stesso. Tutte le rotazioni che il quadrato può eseguire in questo modo rappresentano
un gruppo di simmetria. Il cerchio può fare anche di più, nel senso che può ruotare di qualsiasi angolo e restare
sempre identico. In questo caso il gruppo di simmetria è detto continuo. Detto in maniera informale i gruppi di
simmetria di Lie (concetto scoperto nel 1887 dal matematico norvegese Sophus Lie), di cui E8 fa parte, sono dei gruppi
di simmetria continui, che possono ricordare quello di un cerchio.
Coldea e colleghi, applicando il campo magnetico al cristallo hanno modificato il valore di spin degli elettroni nel
materiale. Lo spin è una proprietà fondamentale delle particelle elementari: lo spin di un elettrone può trovarsi in uno
solo di due possibili stati. Gli scienziati da un certo valore di campo magnetico in poi (5.5 Tesla), in corrispondenza di
quello che viene chiamato punto quantistico critico, si aspettavano di osservare una disposizione casuale degli spin
elettronici nel cristallo e invece quello che hanno visto al crescere del campo è stato che gli spin si distribuivano
secondo certi pattern regolari.
Radu ritiene che questa scoperta abbia importanti implicazioni in fisica quantistica. “Questi risultati suggeriscono che
simmetrie nascoste simili a questa governino la fisica di altri materiali vicino ai punti quantistici critici, in cui gli
elettroni si organizzano secondo regole quantistiche per ottenere interazioni forti.”
Praticamente, i ricercatori hanno analizzato un materiale magnetico - il niobato di cobalto - composto di atomi
magnetici collegati tra loro che formano catene della grandezza di un atomo. Secondo i ricercatori, il niobato di
cobalto è utile se si vuole descrivere il ferromagnetismo della materia solida a scale infinitesimali.
Il gruppo di ricerca sostiene che la catena magnetica si trasforma in un nuovo stato chiamato "critico
quantistico" quando si applica un campo magnetico ad angolo retto a spin allineati. Il critico quantistico, dicono
gli esperti, può essere considerato come la versione quantistica dei modelli frattali.
"Il sistema raggiunge una indeterminatezza quantistica - ovvero il paradosso del gatto teorizzato da
Schrodinger [ossia, la contemporanea presenza di due condizioni diametralmente opposte]", spiega il professor
Alan Tennant dell'Helmholtz-Zentrum Berlin für Materialien und Energie (HZB), in Germania, coautore dello
studio. "Ecco cosa abbiamo fatto nel corso dei nostri esperimenti con il niobato di cobalto. Abbiamo calibrato il
sistema in modo da farlo arrivare allo stato critico quantistico".
I ricercatori hanno scoperto che al momento della calibrazione del sistema e della introduzione artificiale di una
indeterminatezza quantistica in quantità superiore, la catena atomica si comportava come una corda di chitarra
a livello nanoscala. È stata utilizzata una sonda particolare - il "dispersore di neutroni" - che ha permesso di
visualizzare le effettive vibrazioni che, a livello di sistema, si producevano a scala atomica.
"Qui la tensione deriva dall'interazione tra gli spin. Questa tensione ne provoca la risonanza magnetica", dice
l'autore principale dello studio, il dottor Radu Coldea dell'Università di Oxford, nel Regno Unito. "Per queste
interazioni abbiamo trovato una serie (ossia, una scala) di note risonanti: le prime due note dimostrano di
avere, tra di loro, una perfetta relazione. Le loro frequenze (ossia, i picchi) sono nell'ordine di 1.618…, che è,
appunto, la famosa sezione aurea dell'arte e dell'architettura".
La scienza dice che, nell'arte e nella matematica, due quantità rientrano nella sezione aurea se il rapporto tra la
somma delle quantità e la quantità maggiore è uguale al rapporto tra la quantità maggiore e quella inferiore.
Il dottor Coldea sottolinea che questa non è una coincidenza. "Essa rispecchia una bellissima proprietà del
sistema quantistico, ossia una simmetria nascosta. Ed è una simmetria speciale, quella che i matematici
chiamano E8, per la prima volta osservata in un materiale".
Da diversi anni, nei miei articoli, mi occupo delle connessioni tra alcuni settori della Teoria delle
Stringhe e della Teoria dei Numeri, principalmente i numeri p-adici, i numeri di di Fibonacci, e la
sezione aurea. Leggendo l'articolo, deduco che questo potrà essere una importante conferma delle
tante connessioni che ho trovato. L'articolo oltre ad essere affascinante, secondo me andrebbe
approfondito dal punto di vista delle connessioni con la teoria delle stringhe.
Qui di seguito i links dei miei lavori dove tratto, in svariati argomenti, le connessioni tra stringhe e
sezione aurea
http://150.146.3.132/866/01/NardErPa1.pdf
http://150.146.3.132/647/01/NardTurccp.pdf
http://150.146.3.132/968/01/NarTuCo1.pdf
http://150.146.3.132/1032/01/NardMarc4.pdf
13
Qui di seguito i link per accedere al lavoro del Coldea e dei suoi collaboratori
http://www.physics.ox.ac.uk/quantum-magnetism/selected_publications.htm
http://www.sciencemag.org/cgi/content/full/327/5962/177?ijkey=0MPWaFy0y5aMs&keytype=ref
&siteid=sci
5)”E8 dalla chimica alle teorie di stringa e alla matematica”
Gruppo Eratostene, sul sito www.gruppoeratostene.com , articoli sulla
fisica matematica
Riassunto
In questo lavoro parleremo del gruppo di simmetria E8, il più grande dei cinque
gruppi eccezionali di Lie; e importante in fisica e chimica, oltre che in matematica.
perché permette di spiegare almeno parzialmente alcuni fenomeni fisici e chimici. E8
infatti spunta fuori in chimica, ma anche nelle teorie di stringa
Introduzione
Il gruppo di Lie eccezionale E8 è molto importante in chimica, fisica e matematica, e
permette di studiare meglio fenomeni chimici, tramite anche il numero aureo 1,618
dei numeri di Fibonacci, ma anche la teoria delle stringhe, a causa della sua
connessione con la simmetria dei fenomeni naturali , alla quale è connessa anche
la serie di Fibonacci (Rif. 1)
6) Da Garrett Lisi “An exceptional Simple Theory of Everithing” di
A.Garrett Lisi, sul sito
en.wikipedia.org/.../An_Exceptionally_Simple_Theory_of_Everything
dal quale riportiamo parzialmente :
“An Exceptionally Simple Theory of Everything is a preprint proposing a basis for a unified
field theory, which attempts to describe all known fundamental interactions in physics, and to
stand as a possible theory of everything. The preprint was posted to the physics arXiv by
Antony Garrett Lisi in November 2007,[1] and was not submitted to a peer-reviewed scientific
journal.[2] The title is a pun on the algebra used, the Lie algebra of the largest "simple,"
"exceptional" Lie group, E8. Lie groups v • d • e
The theory "received accolades from a few physicists amid a flurry of media coverage," but
also "widespread skepticism."[3] Scientific American reported in March 2008 that the theory
was being "largely but not entirely ignored" by the mainstream physics community, with a
few physicists picking up the work to develop it further.[4] In a critical paper[5] published in
Communications in Mathematical Physics, Jacques Distler and Skip Garibaldi state that Lisi's
theory, and a large class of related models, cannot work.
As of May 2008 Lisi's preprint was the most downloaded article in the arXiv.[6]
A new preprint on the theory was posted to the arXiv by Lisi in June 2010,[7] and submitted
for peer review and publication. Scientific American reported in September 2010 on a
conference inspired by Lisi's work.[8] ….“
14
7) “Gruppi di Lie e meccanica quantistica: un'applicazione”
Francesco Genovese, IUSS , A. A. 2008-2009 sul sito:
anisama.files.wordpress.com/2009/09/liequant.pdf
In questo sito si evidenzia la possibile connessione tra la
simmetria dei gruppi di Lie e la meccanica quantistica, in modo
particolare il doppietto protone-neutrone ecc., come dal
sommario qui riportato:
Sommario
In questo articolo viene mostrata un'applicazione del formalismo matematico della
teoria dei gruppi (in particolare, dei gruppi di Lie) alla meccanica quantistica. Viene
presentato, all'inizio del lavoro, il Teorema di Noether, nell'ottica di “motivazione
generale" dell'approccio alla fisica mediante la ricerca di simmetrie. Viene
brevemente esposto il formalismo matematico utilizzato, e alcuni risultati generali
che si possono dedurre mediante esso nel quadro della meccanica quantistica.
Di seguito, i metodi esposti vengono sfruttati nel “caso concreto" dell'isospin (spin
isobarico): si trattano i concetti di multipletto di isospin e di numero quantico di
isospin, mostrando alcune realizzazioni in natura di tale simmetria (il doppietto
protone-neutrone e il tripletto dei pioni). Si discute infine di alcune simmetrie fisiche
più generali”.
E del quale riportiamo anche le conclusioni:
5 Conclusione: ulteriori simmetrie
Il gruppo di isospin permette di raggruppare, come si è visto, particelle elementari in
multipletti. In sostanza, l'isospin fornisce un modo per classificare tali particelle, in
un'ottica, se vogliamo, “unificatrice". Nello sviluppo della fisica si va quindi alla ricerca di
gruppi di simmetria che rendano possibile un livello sempre maggiore di “unificazione".
Esponiamo quest'idea con un breve esempio: consideriamo il gruppo di simmetria SU(3).
E’ evidente che SU(2) , → SU(3); nondimeno, l'immersione vale per le algebre di Lie
associate: su(2) ,→ su(3). Da questo si può dedurre che nei multipletti della simmetria di
SU(3) vi sono anche i multipletti di isospin. In tal senso, la simmetria di SU(3) risulta essere
più generale della simmetria di isospin, informalmente si può dire che la “contiene al suo
interno". La simmetria di SU(3) è essenziale in fisica perchè permette di individuare il
tripletto dei tre quarks u; d; s (up, down e strange)…:
u
d
s
)
(5.1)
(u; d) è un doppietto di isospin, mentre s è un singoletto di isospin.
L'isospin è una simmetria sostanzialmente globale dell'interazione forte.
15
In fisica, tuttavia, rivestono un'importanza fondamentale anche simmetrie di tipo locale, in
particolare le cosiddette simmetrie di gauge locali; esse, d'altra parte, risultano essere più
adatte in un quadro relativistico. Nascono così le teorie di gauge, ossia teorie quantistiche
di campo in cui il sistema risulta essere invariante sotto determinate trasformazioni locali,
dette trasformazioni di gauge locali, che formano un gruppo di Lie. Di fatto, usando le
parole di Chen-Ning Franklin Yang8, le simmetrie di gauge dettano la forma dell'interazione.
Un esempio di teoria di gauge è l'elettromagnetismo, che ha U(1) come gruppo di gauge. Lo
stesso modello standard delle tre interazioni debole, forte ed elettromagnetica è una teoria
di gauge, e il suo gruppo di simmetria è dato dal seguente prodotto diretto:
SU(3) x SU(2) x U(1) (5.2)
In generale, dunque, risulta chiaro come la Teoria dei Gruppi sia diventata uno strumento
essenziale per i fisici. La ricerca di teorie unificatrici passa per l'individuazione di nuove e
più generali simmetrie, descritte mediante opportuni gruppi. Allo stesso tempo, assume
una rinnovata importanza la ricerca matematica “pura" su argomenti di algebra astratta,
disciplina matematica che è spesso (e, alla luce di quanto visto, erroneamente) vista come
completamente fine a se stessa e distaccata dalla realtà
L’ evidenza in rosso è nostra, per sottolineare come l’algebra, e in
particolare l’algebra dei gruppi di simmetria, è alla base del principio
algebrico, anch’esso alla base delle teorie di stringa, come anche i principi
geometrico e aritmetico sopra brevemente descritti, e più dettagliatamente
nei relativi riferimenti finali.
Riportiamo anche il brano che riporta la formula 2T +1, dove ora T è un
operatore anziché l’insieme T dei numeri triangolari, come nel principio
aritmetico e geometrico:
“…la dimensione di ciascun multipletto è data da 2T +1. Il numero T caratterizza
completamente ogni multipletto di isospin ed è detto numero quantico di isospin del
multipletto. Per T = 0 abbiamo il singoletto banale; per T = 1 abbiamo il “doppietto
fondamentale di isospin" (il più piccolo multipletto non banale) che in natura si realizza
nella coppia (p; n) di protone e neutrone; per T = ½ troviamo il “tripletto di
isospin" che in natura si può realizzare - come di fatto mostrato poco sopra
- nei tre pioni (π +,
π0; π -)…”
16
(Qui T assume i valori di
0, 1 e ½ , non facilmente collegabili ai
numeri triangolari T, pur essendo le formule simili 2T+1 per il doppio
dei numeri triangolari 2T= n(n+1) e le dimensioni di ciascun
multipletto, date da 2 T+1 , ora con T = 0, 1 e ½ )
8) “Principali connessioni matematiche tra numeri complessi,
fisica quantistica, simmetrie e teorie di stringa”Gruppo Eratostene
sul sito www.gruppoeratostene.com
Riassunto
In questo lavoro essenzialmente divulgativo - riepilogativo
mostreremo brevemente le connessioni più importanti già note tra
numeri complessi, fisica quantistica, simmetrie e teorie di stringa.
Riportiamo inizialmente alcuni brani di articoli, blog, ecc. che
riportano, senza l’uso di difficili formule, l’importanza delle
suddette connessioni, al fine di sottolineare la più generale
connessione tra fisica e matematica, essendo notoriamente la fisica
poco comprensibile senza la matematica.
Dedicandoci all’approfondimento delle connessioni tra concetti
matematici come numeri complessi, simmetrie e discipline fisiche
come fisica quantistica e teorie di stringa, speriamo di rendere
meglio comprensibile queste ultime, soprattutto ai giovani
studiosi di oggi che saranno i fisici di domani…”.
9) sito
www.atuttoportale.it/articoli.php , con articoli sulla sezione aurea
(sezione Didattica, sottosezione Botanica, rubrica “Oltre la botanica”)
10) Mikio Kaku, “Iperspazio” (Macroedizioni)
Riferimento alla teoria decadimensionale e relazioni tra fisica e
matematica da pag. 489 a 495.
17
“Nella teoria delle superstringhe, uno degli aspetti più interessanti è la
complessità della matematica richiesta….ciò è necessario, giacchè
qualsiasi teoria unitaria dei campi deve poter assorbire la geometria
riemanniana della teoria di Einstein ed i gruppi di Lie che scaturiscono
dalla meccanica quantistica, e quindi incorporare il tutto in una forma
matematica sufficientemente evoluta da permetterne la coesistenza. Questa
nuova matematica, responsabile dell’unione di queste due teorie, è la
topologia, che ci ha infine permesso di giungere ad un risultato a lungo
considerato irrealizzabile: abolire le infinità della teoria quantistica della
gravità”.
“Alcuni eminenti matematici, hanno dichiarato che probabilmente la
teoria delle superstringhe potrebbe essere considerata a tutti gli effetti
una nuova branca della matematica, indipendentemente dalla sua
rilevanza fisica”. (il grassetto è nostro)
“Per risolvere un principio fisico, i fisici possono aver bisogno di molte
strutture coerenti. Di conseguenza la fisica riunisce automaticamente
molte diverse branche della matematica”.
“Vista la sua complessità matematica, la teoria delle stringhe ha finito per
collegare settori della matematica profondamente diversi (come le
superfici di Riemann, l’algebra di Kac-Moody e la superalgebra di Lie, i
gruppi finiti, le funzioni modulari e la topologia algebrica) in un modo che
ha finito di stupire gli stessi matematici. Come nel caso di altre teorie
fisiche, anche la teoria delle stringhe finisce per rivelare automaticamente
la correlazione tra molte strutture coerenti assai diverse tra loro. Tuttavia
dobbiamo ricordare come il principio fisico sottostante alla teoria delle
stringhe sia tuttora ignoto. I fisici sperano che la scoperta di questo
misterioso principio possa portare alla scoperta di nuove branche della
matematica (Questo principio potrebbe benissimo essere quello collegato
alla scoperta delle connessioni con i valori di alcune soluzioni delle
equazioni delle stringhe con valori connessi al rapporto aureo, quindi ai
numeri di Fibonacci, a Pigreco ed al fattore medio di crescita delle
partizioni. Il principio fisico potrebbe essere di natura “simmetrica” come
lo sono molti fenomeni naturali la cui base sono i numeri e i gruppi di Lie,
i numeri di Fibonacci e le partizioni di numeri).
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Un principio fisico capace di unire molte teorie fisiche minori deve poter
automaticamente riunire anche diverse branche della matematica,
apparentemente prive di connessioni. Si tratta proprio del risultato ottenuto
con la teoria delle stringhe. Anzi, bisogna notare come, tra tutte le teorie
della fisica, la teoria delle stringhe sia quella che riunisce di gran lunga il
maggior numero di branche della matematica fino ad arrivare ad un unico
quadro coerente. Forse uno dei sottoprodotti della ricerca fisica
dell’unificazione delle forze sarà l’unificazione della stessa
matematica!” (il grassetto è nostro)
Nota 1
Numeri di Lie (alla base dei gruppi eccezionali di Lie)
come numeri poligonali centrali
Dalla sequenza OESIS A002061 notiamo che i numeri di Lie sono
anche di forma n2-n+1 (1), oltre che di forma n2+n+1 (2) , per es.
13 = 32+3+1 = 42-4 +1, in tal caso n della (1) equivale ad n+1
della (2), infatti 4 = 3+1
La sequenza A002061 equivale ad ogni modo alla sequenza dei
numeri di Lie, di forma L(n) = n2 + n + 1 secondo la formula delle
geometrie proiettive e relative parabole (vedi grafici nel nostro
lavoro). Riportiamo tale sequenza con relativo grafico e
scatterplot, poiché tale sequenza è in ogni caso (sia con la (1) che
con la (2) ) alla base dei gruppi di Lie (vedi paragrafo sul
19
principio aritmetico), e quindi anche i numeri poligonali centrali
sono connessi alle simmetrie allo stesso modo dei gruppi di Lie ,
e potrebbe essere utile nello studio delle simmetrie della natura,
legate principalmente ai numeri e gruppi di Lie, e anche ai numeri
ad essi vicini (rispettivamente circa -10% e +10%) di Fibonacci e
alle partizioni di numeri.Da Wikipedia, sequenza A002061:
A002061
Central
polygonal
numbers:
n^2
n
+
1. 135
(Formerly M2638 N1049)
1, 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91, 111, 133, 157, 183,
211, 241, 273, 307, 343, 381, 421, 463, 507, 553, 601, 651,
703, 757, 813, 871, 931, 993, 1057, 1123, 1191, 1261, 1333,
1407, 1483, 1561, 1641, 1723, 1807, 1893, 1981, 2071, 2163,
2257, 2353, 2451, 2551, 2653 (list; graph; refs; listen; history; internal
format) “
A002061
as a graph:
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alla quale rimandiamo per ulteriori dettagli per chi volesse approfondire
il principio geometrico, essendo qui coinvolti in qualche modo i poligoni, ed
21
essendo anche in matematica (da Wikipedia, omonima voce) :
“ numero poligonale è un numero figurato che può essere disposto a
raffigurare un poligono regolare”
Alcuni numeri di Lie sono connessi anche ad alcuni poliedri regolari (o solidi
platonici) , legati ai cinque gruppi eccezionali di Lie :
da “Poliedri”, sito www.dmi.unipg.it/iniziative/mostre/italiano/temi/poliedri.htm
“Poliedri regolari
Si dicono "regolari" quei poliedri che hanno come facce tutti poligoni regolari uguali tra loro e in ogni
loro spigolo si incontrano lo stesso numero di facce.
Si dimostra che ci sono soltanto cinque poliedri regolari che sono quelli che vedi sulla foto:
1.
2.
3.
4.
5.
tetraedro (facce triangolari);
cubo (facce quadrate);
ottaedro (facce triangolari);
dodecaedro (facce a forma di pentagono);
icosaedro (facce triangolari).
Prova
Quanti sono
Controlla:
gli
ora
spigoli,
le
facce
e
i
22
vertici
dei
a
diversi
poliedri
contare:
regolari?
Facce (F)
Spigoli (S)
Vertici (V)
Tetraedro
4 triangoli equilateri
6
4
Cubo
6 quadrati
12
8
Ottaedro
8 triangoli equilateri
12
6
Dodecaedro
12 pentagoni regolari
30
20
Icosaedro
20 triangoli equilateri
30
12
Eulero ha scoperto che in ogni poliedro regolare questi numeri sono legati fra di loro da questa
formula:
Vertici - Spigoli + Facce = 2 “
Come si vede, alcuni numeri di facce e spigoli, aumentati o diminuiti di 1,
sono numeri di Lie, o, equivalentemente, numeri poligonali centrali secondo
la definizione e la formula di OESIS:
Facce
4-1=3
6 +1 = 7
8–1=7
12 + 1 = 13
20 + 1 = 21
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Spigoli :
6 + 1 = 7;
12 + 1 = 13
30 + 1 = 31
Vertici:
4-1=3
8-1=7
6+1=7
20 + 1 = 21
12 + 1 = 13
Ecco quindi come dai numeri di Lie ecc. si arriva alle simmetrie dei gruppi
di Lie in base al principio geometrico, oltre che in base al principio
aritmetico e algebrico .
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