Corso di Geometria IV - A.A. 2013/14 Esercizi per la tredicesima e

Corso di Geometria IV - A.A. 2013/14
Esercizi per la tredicesima e quattordicesima settimana
Esercizio 13-14.1 Mostrare che un gruppo di Lie connesso e il suo rivestimento
universale hanno la stessa algebra di Lie (a meno di isomorfismi, ovviamente).
Esercizio 13-14.2 Mostrare che, se ϕt e ψs sono due sottogruppi ad un parametro
di un gruppo di Lie G, la derivata seconda
∂2
−1 (ϕt ◦ ψs ◦ ϕ−1
◦
ψ
)
t
s
∂t∂s
(t,s)=(0,0)
coincide con la parentesi di Lie dei due vettori v, w ∈ Te G corrispondenti ai due
sottogruppi.
Esercizio 13-14.3 Utilizzando l’esercizio precedente, mostrare che se H ⊂ G è un
sottogruppo di Lie di un gruppo di Lie, il sottospazio tangente all’identità Te H '
h = Lie(H) è una sottoalgebra di Te G ' g = Lie(G).
Esercizio 13-14.4 Dimostrare che se H ⊂ G è un sottogruppo di Lie normale
di un gruppo di Lie, allora h = Lie(H) è un ideale di g = Lie(G) (Suggerimento:
utilizzare il teorema sulla relazione fra azione aggiunta di un gruppo di Lie e l’azione
aggiunta della corrispondente algebra di Lie).
Esercizio 13-14.5 Fornire un esempio esplicito di un gruppo di Lie reale G e
di una sottoalgebra h ⊂ g = Lie(G) il cui sottogruppo di Lie virtuale non è un
sottogruppo di Lie.
Esercizio 13-14.6 (?) Dimostrare che:
i) per ogni matrice I 6= A ∈ SO3 (R), si ha che det(A − I) = 0 e che quindi A
ammette esattamente un autovettore con autovalore pari a 1;
ii) ogni trasformazione ortogonale propria di R3 , diversa dall’identità, consiste
in una rotazione di un angolo θ intorno ad una retta passante per l’origine
ed è quindi identificabile con un vettore di R3 di lunghezza minore o uguale
a π;
iii) esiste un omeomorfismo fra SO3 (R) e lo spazio quoziente Bπ (0)/ ∼, dove
si indica con Bπ (0) la boccia chiusa di R3 , di centro 0 e raggio π, e con ∼
è la relazione di equivalenza che identifica fra loro gli estremi dei diametri
(= segmenti di lunghezza due volte il raggio, passanti per il centro) di tale
boccia;
iv) l’omeomorfismo indicato in (iii) determina un omeomorfismo fra SO3 (R) e
RP 3 ;
v) esiste un’applicazione di rivestimento fra S 3 e SO3 (R);
vi) la famiglia ad un parametro data dalle rotazioni da 0 a 2π intorno ad un
asse fisso corrisponde ad una curva chiusa di SO3 (R) che non è omotopa a
0;
vii) la famiglia ad un parametro data dalle rotazioni da 0 a 4π intorno ad un
asse fisso corrisponde ad una curva chiusa di SO3 (R) che è omotopa a 0.
1