Programma di Geometria 2
Anno Accademico 2014-2015 - Prof.ssa Maria Falcitelli
Spazi vettoriali Euclidei. Prodotti scalari. L’applicaziome norma e proprietà. Vettori ortogonali, ortonormali. Procedimento di ortogonalizzazione ed
ortonormalizzazione. Il complemento ortogonale di un sottospazio. Angolo tra
vettori. Applicazioni autoaggiunte. Teorema spettrale. Trasformazioni ortogonali. Rotazioni e ri‡essioni.
Spazi a¢ ni. De…nizione di spazio a¢ ne An (V; K; f ) associato a uno spazio
vettoriale V sul campo K. Esempio: la struttura di spazio a¢ ne su uno spazio
vettoriale di dimensione …nita. Sottospazi a¢ ni. Sottospazio congiungente k + 1
punti. Struttura di spazio a¢ ne su un sottospazio. Sottospazio intersezione e
sottospazio congiungente due sottospazi. Identità di Grassmann a¢ ne. Sottospazi paralleli e proprietà.Baricentri con pesi. Il rapporto semplice. Rette
complanari. caratterizzazioni algebrica e geometrica della complanarità tra
rette. Sottospazi sghembi. Riferimenti a¢ ni e sistemi coordinati. Cambiamento di riferimento. Equazioni di un sottospazio. Orientazione di uno spazio
a¢ ne reale.
Retta a¢ ne A1 (V; K; f ), retta a¢ ne reale orientata.
Piano a¢ ne A2 (V; K; f ). Parallelismo tra rette. Posizioni tra rette. Equazioni
di una retta. Fasci propri e impropri di rette.
Spazio a¢ ne A3 (V; K; f ). Parallelismo tra rette, tra piani, tra una retta e un
piano. Rette sghembe. Posizioni tra rette, tra piani, tra una retta e un piano. Equazioni di un piano. Equazioni di una retta. Condizioni analitiche di
parallelismo. Stelle di rette e di piani. Fasci di rette. Fasci di piani.
Spazi a¢ ni euclidei En :Riferimenti cartesiani. Distanza tra punti. Retta
euclidea.
Piano euclideo. Rette perpendicolari. Equazione vettoriale normale di una
retta. Angoli tra rette. Angolo tra rette orientate. Equazione vettoriale normale di una retta. Coseni direttori, coe¢ ciente angolare di una retta. Coseno
dell’angolo tra rette: determinazione analitica. Distanze.
Spazio euclideo di dimensione 3. Perpendicolarità tra rette, tra una retta e un
piano. Proiezione ortogonale di un punto su una retta, su un piano. Piani perpendicolari. Proiezione ortogonale di una retta su un piano. Retta di minima
distanza tra rette sghembe. Equazione vettoriale normale di un piano. Angolo
tra rette orientate, tra piani orientati, tra un piano e una retta orientati. Coseni
direttori di una retta. Condizioni analitiche di perpendicolarità. Distanze.
Applicazioni a¢ ni e a¢ nità. De…nizione e caratterizzazione algebrica.
Esempio di applicazione a¢ ne: la proiezione su un sottospazio e¤ettuata parallelamente a un sottospazio. Il gruppo delle a¢ nità di uno spazio a¢ ne. Teorema
di esistenza e unicità. Equazioni di un’a¢ nità. Traslazioni: de…nizione e caratterizzazione. Punti uniti di un’a¢ nità: de…nizione e ricerca di eventuali punti
uniti. Centroa¢ nità. Omotetie, simmetrie. Teorema di rappresentazione di
un’a¢ nità. Isomor…smo tra Af f (An ) e Af f (K n ):
Movimenti di uno spazio euclideo. De…nizione e caratterizzazione algebrica. Teorema di esistenza e unicità. Congruenze e simmetrie. Ri‡essioni
1
rispetto a un iperpiano.
Estensione complessa di uno spazio a¢ ne reale. De…nizione e teorema
di esistenza di estensione complessa di un …ssato spazio a¢ ne reale. Punti reali.
Complesso coniugato di un punto. Sottospazi relai. Complesso coniugato di un
sottospazio: de…nizione e proprietà. Estensione complessa di uno spazio a¢ ne
euclideo.
Testi
E. Sernesi, Geometria 1, Boringhieri.
M. I. Stoka, Corso di Geometria, Cedam Padova.
S. Abeasis, Algebra lineare e Geometria, Zanichelli.
G. Anichini, G. Conti, Geometria analitica e algebra lineare, Pearson.
G. Anichini, G. Conti, Algebra lineare e geometria analitica - Eserciziario, Pearson.
G. Campanella, A¢ nità, isometrie, proiettività, Pearson.
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