Disegna un triangoli isoscele ABC di vertice A e traccia la mediana

Disegna un triangoli isoscele ABC di vertice A e traccia la mediana AM relativa alla base;
prolunga poi la base di due segmenti BP ≅ CQ e unisci A con P e con Q. Dimostra che i triangoli
AMP e AMQ sono congruenti.
Hp: ABC isoscele (AB ≅ AC)
BP ≅ CQ
AM mediana relativa al lato BC
∆
∆
Tesi: AMP ≅ AMQ
Dimostrazione:
∆
∆
Inizio considerando i triangoli APB e AQC , essi hanno rispettivamente:
-) PB ≅ QC per Hp
-) AB ≅ AC per Hp
-) ABˆ P ≅ ACˆ Q perché supplementari rispettivamente di ABˆ M e ACˆ M che sono tra loro congruenti (in
quanto angoli alla base di un triangolo isoscele)
⇒ i due triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza ed in particole hanno AP ≅ AQ.
∆
∆
Considero ora i triangoli APM e AQM , che hanno rispettivamente:
-) AM in comune
-) PM ≅ QM perché somma di segmenti che sono congruenti per Hp (PB+BM ≅ QC+CM)
-) AP ≅ AQ per dimostrazione precedente
⇒ i due triangoli sono congruenti per il terzo criterio di congruenza
La tesi è dimostrata.
Sono possibili dimostrazioni diverse, ad esempio:
∆
∆
Inizio considerando i triangoli ABM e ACM , essi hanno rispettivamente:
-) BM ≅ CM per Hp (M punto medio di BC)
-) AB ≅ AC per Hp
-) AM in comune
∧
∧
⇒ i due triangoli sono congruenti per il terzo criterio di congruenza ed in particolare hanno AMB ≅ AMC
∆
∆
Considero ora i triangoli APM e AQM , che hanno rispettivamente:
-) AM in comune
-) PM ≅ QM perché somma di segmenti che sono congruenti per Hp (PB+BM ≅ QC+CM)
∧
∧
-) AMP ≅ AMQ per dimostrazione precedente
⇒ i due triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza
La tesi è dimostrata.
Sia P un punto interno ad un triangolo isoscele ABC di base AB, e sia AP PB. Dimostra che il
segmento CP appartiene alla bisettrice dell’angolo .
Hp: AC ≅ BC
AP ≅ PB
∧
∧
∧
Tesi: CP bisettrice di ACB , cioè ACP ≅ BCP
∆
∆
Dimostrazione: considero i triangoli ACP e BCP , che hanno rispettivamente:
-) AC ≅ BC per Hp
-) AP ≅ PB per Hp
-) CP in comune
∧
∧
⇒ i due triangoli sono congruenti per il terzo criterio di congruenza, ed in particolare hanno ACP ≅ BCP