Lezione introduttiva alla probabilità

Percentuali
Ricordiamo che x% significa
x
, ad esempio:
100
•
Il 50% di una torta corrisponde a
•
Il 30% di un file di 300 MB è
100
di essa cioè alla sua _____.
⋅300 cioè ___ MB.
Esperimenti
Consideriamo un “esperimento” casuale, ad esempio:
•
Lancio di un dado con sei facce.
•
Estrazione di una carta da un mazzo mescolato.
•
Salto in lungo di un certo atleta olimpico.
•
...altre proposte?
L'esperimento potrà avere infiniti risultati, che supponiamo essere
praticamente impredicibili. Potremo considerare però che certi risultati sono
equivalenti: nel primo esempio tutti quelli in cui il dado mostra la faccia 1 in
cima ad esso dopo essersi fermato. Praticamente potremo riassumere i
risultati possibili con i numeri da 1 a 6, che usando il linguaggio matematico
sono classi di equivalenza.
Spazio di probabilità
Consideriamo dunque un insieme S di possibilità (per i risultati di un
esperimento) che soddisfa i seguenti requisiti:
•
Può accadere una e una sola delle possibilità (=elementi) di S.
•
In particolare abbiamo considerato tutte le possibilità, cioè la probabilità
100
=1 . Scriveremo p ( S )=1 .
di ricadere nell'insieme S è il 100 %=
100
•
Stimiamo che ogni possibilità considerata abbia la stessa probabilità di
accadere. Scriveremo ∀ s , t ∈S : p( s)= p( t) .
•
Considerando un sottoinsieme di possibilità con k elementi 1, come
abbiamo fatto con l'insieme totale, la probabilità che accada uno dei suoi
elementi è k volte la probabilità di ogni elemento (come esempio si pensi
al lotto: se gioco 2 numeri diversi invece che 1 ho il doppio di probabilità
che esca uno dei miei numeri, e infatti mi fanno pagare due volte). In
particolare l'insieme vuoto ha probabilità 0 di accadere.
1 Se si vuole essere precisi, i sottoinsiemi di S si chiamano eventi.
Torniamo all'esempio del dado. L'insieme S ={1,2,3 ,4 ,5,6} ha 6 elementi,
dunque avrà 6 volte la probabilità di ogni suo elemento s. Dunque:
1= p(S )=6 p( s)
Cioè rispettando quanto ci eravamo prefissati prima siamo costretti a dare
probabilità 1/6 a ogni elemento dell'insieme. Se poi prendiamo un sottoinsieme
di 3 elementi la probabilità diventerà 3/6. Generalizzando, avremo il
seguente2:
Postulato: dato F ⊆S sottoinsieme dei casi “favorevoli” poniamo p ( F )=
Conseguenza: p (∅)=0 ,
#F
#S
p (S )=1
Diciamo che due sottoinsiemi F e G sono incompatibili se non hanno elementi
in comune, cioè F ∩G=∅ . Non è difficile vedere che l'unione dei due insiemi
F ∪G ha # F+# G elementi, e quindi vale il seguente:
Teorema: se F e G sono incompatibili, p ( F ∪G)=
# F +# G
= p( F )+ p(G)
#S
Conseguenza: indicando con F =S ∖ F il complementare, p ( F )+ p( F )=1
Se F e G non sono incompatibili, ad esempio nel caso del dado l'uscita di un
numero pari e l'uscita di un multiplo di 3 (in entrambi vi sarà il caso che esce il
6), è leggermente più complicato calcolare la probabilità. Per contare gli
elementi, togliamo innanzitutto a ognuno dei due insiemi la parte comune
(intersezione):
# ( F ∖ G)=# F −# (F ∩G)
# (G ∖ F )=# G−# ( F ∩G) .
L'unione sarà allora composta dagli elementi di questi due insiemi più quelli
dell'intersezione, che sono tutti distinti. Dunque:
# ( F ∪G)=# F −# ( F ∩G)+# G−# (F ∩G)+#(F ∩G)=# F +# G−# (F ∩G)
Teorema: dati due insiemi qualsiasi F, G vale # ( F ∪G)=# F +# G−#( F∩G)
Conseguenza: per due eventi qualsiasi vale p ( F ∪G)= p(F )+ p (G)− p(F ∩G)
Nell'esempio del dado, ci sono 4=3+2−1 risultati che sono multipli di 2 o di 3,
e quindi la probabilità dei due sottoinsiemi è:
3 2 1 4 2
p ( F ∪G)= + – = = .
6 6 6 6 3
2 Usiamo la notazione per cui il simbolo # indica il numero di elementi di un insieme.
Probabilità condizionata
Supponiamo di avere 5 studenti tra cui vogliamo scegliere casualmente
qualcuno da interrogare. Come facciamo con un dado a 6 facce? Il modo più
semplice è provare a tirarlo, sperando che non venga 6... e se viene 6, lo si tira
di nuovo finché non esce un risultato accettabile. Il nostro esperimento è stato
condizionato: sappiamo a priori che il risultato sarà contenuto in un suo
sottoinsieme (in questo caso di 5 elementi), il quale per evitare situazioni
assurde dovrà essere non vuoto. Dunque il numero di casi possibili diminuisce,
ed è uguale al numero di elementi del sottoinsieme S ' . Qual è la probabilità
che esca un numero pari? Nell'esperimento di partenza ci sono 3 casi favorevoli
( F ={2,4 ,6} ) ma il 6 non ci va più bene: quindi anche i casi favorevoli
diminuiscono, e corrispondono a # ( F ∩S ' )=2 . La probabilità condizionata
verrà indicata con p ( F | S ' ) . Dunque:
Teorema: con le notazioni usate finora, p ( F | S ' )=
# ( F ∩S ' ) p( F ∩S ' )
=
#S'
p( S ')
L'ultima uguaglianza si ottiene semplificando i denominatori # S nell'ultimo
2 2/6
membro (nell'esempio del dado =
). Viene naturale dire che F non è
5 5/6
condizionato da S' se la probabilità non cambia dopo aver ristretto ad S' i casi
p (F ∩S ' )
⇔ p( F ) p(S ' )= p( F ∩S ' ) . Se ci limitiamo
possibili, cioè p ( F )= p( F | S ' )=
p (S ' )
a insiemi non vuoti, questa uguaglianza ci dice subito che F non è condizionato
da S' se e solo se S' non è condizionato da F. Considerando eventualmente
anche l'insieme vuoto, diciamo dunque:
Definizione: F, G si dicono indipendenti se p ( F ) p (G)= p( F ∩G)
Esercizio: con queste ipotesi anche F e G sono indipendenti
Ad esempio nel caso del dado la probabilità che esca un numero pari è
1
2
1
; questi sono indipendenti perché
3
1 1 1
= ⋅ .
l'intersezione ha un solo elemento (6) e quindi ha probabilità
6 2 3
mentre quella che esca un multiplo di 3 è
Esperimenti indipendenti
Dati due esperimenti con risultati possibili rispettivamente S e T, se essi non ci
sembrano “condizionati” l'uno dall'altro cioè ci sembrano “indipendenti”,
possiamo considerarli come un unico esperimento con risultati possibili
dati dal prodotto cartesiano S ×T . Ad esempio lanciamo due dadi, il primo
rosso, il secondo blu:
S\T
1B
2B
3B
4B
5B
6B
1R
(1;1)
(1;2)
(1;3)
(1;4)
(1;5)
(1;6)
2R
(2;1)
(2;2)
(2;3)
(2;4)
(2;5)
(2;6)
3R
(3;1)
(3;2)
(3;3)
(3;4)
(3;5)
(3;6)
4R
(4;1)
(4;2)
(4;3)
(4;4)
(4;5)
(4;6)
5R
(5;1)
(5;2)
(5;3)
(5;4)
(5;5)
(5;6)
6R
(6;1)
(6;2)
(6;3)
(6;4)
(6;5)
(6;6)
L'ipotesi di indipendenza si può formalizzare dicendo che ogni sottoinsieme riga
(evento in cui il primo esperimento ha un certo risultato) è indipendente da
ogni sottoinsieme colonna (evento in cui il secondo esperimento ha un certo
1
risultato), e siccome ognuno ha probabilità
le varie caselle devono essere
6
1 1 1
tutte con probabilità ⋅ =
, in particolare equiprobabili.
6 6 36
A questo punto ci domandiamo: lanciando due dadi, possiamo considerare
come insieme di possibilità il valore della somma (tra 2 e 12)? La risposta è
no: mentre con la schematizzazione appena fatta i casi sono equiprobabili,
dalla stessa schematizzazione si deduce che ad esempio la somma 6 ha
5
1
probabilità
mentre la somma 12 ha probabilità
. Questo ci fa capire
36
36
l'importanza di scegliere bene i casi possibili, in modo che abbiano la stessa
probabilità di uscita.
Esercizio: fare la stessa cosa col lancio di due monete, calcolando tutte le
probabilità che escano un certo numero di teste (da 0 a 2).
Per i più curiosi....
Possiamo descrivere l'esperimento della somma di due dadi con la seguente
notazione:
{
2
1
36
3
2
36
4
3
36
5
4
36
6
5
36
7
6
36
8
5
36
9
4
36
10
3
36
11
2
36
12
1
36
Nella prima riga vi sono i risultati, nella seconda le loro probabilità.