5. INTRODUZIONE AL CALCOLO DELLE PROBABILITA’ Esercizio n.1 In un esperimento casuale un dado viene lanciato una volta. Si definiscono gli eventi: A := {si presenta un numero pari} B := {si presenta un numero ≤ 3} Determinare: a) b) c) d) e) l’insieme degli eventi elementari che danno l’insieme degli eventi elementari che danno l’insieme degli eventi elementari che danno la probabilità che si verifichi A; la probabilità che si verifichi A dato che si è luogo a B; luogo all’intersezione di A e B; luogo all’unione di A e B; verificato B; Soluzione Esercizio n.1 a) {1,2,3} b) {2} c) {1,2,3,4,6} d) 1 2 e) 1 3 Esercizio n.2 Si effettui un esperimento consistente nel lancio simultaneo di due dadi. Si determini: a) b) c) d) la la la la probabilità probabilità probabilità probabilità che che che che nel primo dado esca il numero 5; in entrambi i dadi esca il numero 5; in almeno un dado esca il numero 5; solo nel secondo dado esca il numero 5. Soluzione Esercizio n.2 Lanciando due dadi si hanno 36 risultati possibili o eventi elementari, che possono rappresentarsi come i 36 punti della figura seguente: 1 2 3 4 5 6 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 2 3 4 5 6 a) Indicando con A l’evento: “nel primo dado si presenta il numero 5”, si ha: P ( A) = 6 1 = 36 6 b) Indicando con B l’evento: “nel secondo dado si presenta il numero 5”, essendo i due eventi indipendenti, si ha: P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) = 1 1 1 ⋅ = 6 6 36 c) La probabilità che in almeno un dado esca il numero 5 è pari a: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 1 1 1 11 + − = 6 6 36 36 e) Indicando con D l’evento: “solo nel secondo dado si presenta il numero 5”, si ha: P ( D) = 5 36 Esercizio n.3 Un collettivo di 100 giovani è stato classificato secondo lo stato civile e l’abitudine al fumo ottenendo la distribuzione seguente: Coniugato (D ) Totale 40 10 50 fumatore 20 30 50 60 40 100 Celibe Fumatore ( A ) Non (C ) (B ) Totale Si estrae dal collettivo casualmente un giovane. Calcolare: a) la probabilità che il giovane sia celibe; b) la probabilità che sia non fumatore; c) la probabilità che sia coniugato e fumatore. Soluzione Esercizio n.3 ( ) a) P C = c) 60 = 0, 6 100 P ( D ∩ A) = b) P (B) = 50 = 0,5 100 10 = 0,1 100 Si ha anche che: P ( D ∩ A ) = 1 − P ( D ∩ A ) = 1 − P ( C ∪ B ) = 1 − ( 0, 6 + 0,5 − 0,2 ) = 0,1 Esercizio n.4 Si consideri l’esperimento consistente nel lanciare due dadi, uno bianco (b) e l’altro nero (n). Sapendo che la somma delle due facce uscite è un numero inferiore a 5, calcolare la probabilità che sia uscita la faccia con il numero 1 nel dado bianco. Soluzione Esercizio n.4 Indicando con A l’evento “ numero 1 nel dado bianco” e con B l’evento “la somma dei valori del dado bianco e del dado nero è inferiore a 5”, i risultati possibili che si verificano con A e B nello spazio campionario sono rispettivamente: Ω, costituito da 36 eventi elementari, A = {(1,1), (1,2 ), (1,3), (1,4 ), (1,5 ), (1,6 )} B = {(1,1), (1,2 ), (1,3), (2,1), (3,1), (2,2 )} L’evento ( A ∩ B ) = {(1,1), (1,2 ), (1,3)} ossia nel dado bianco si è presentata la faccia con il numero 1 e la somma delle due facce è inferiore a 5. Le probabilità sono date da: P ( A) = 6 36 P( B ) = 6 36 P( A ∩ B ) = 3 36 Si applica, quindi, la formula della probabilità condizionata, ottenendo: P( A B ) = P( A ∩ B ) 3 36 1 = = = 0,5 P( B ) 6 36 2 Esercizio 5 Sia Ω uno spazio campionario e siano A e B due eventi di Ω, con P(A) = 0.36 e P(A U B) = 0.91. Si calcoli P(B) nei seguenti due casi: (a) I due eventi sono indipendenti. (b) I due eventi sono incompatibili. In questo caso sono indipendenti? Soluzione Esercizio n.5 (a) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A 0.8594 (b) P(A U B) = P(A) + P(B), B) = P(A) + P(B) – P(A)*P(B), da cui P(B) = 0.5500 da cui: P(B) =