Topology Groove V: Aggiunzioni in Topologia

Topology Groove V: Aggiunzioni in Topologia
Marco Vergura
Venerdì 9 Maggio 2014, Povo, Trento
Note per il Lettore.
Queste note rendono conto del talk da me tenuto in data 9 Maggio 2014 nell’edificio
Povo1 dell’Università degli Studi di Trento, all’interno del ciclo di seminari Topology
Groove, gestito dal gruppo di approfondimento GrAppA.1 Tutti gli errori eventualmente
presenti in quanto segue sono da imputare a me: chiunque vorrà segnalarmene riceverà
la mia gratitudine.2 .
Marco VERGURA
Convenzioni e Notazioni. In questo elaborato, si assume di lavorare in un fissato
universo di Grothendieck U tale che ω (il più piccolo ordinale limite) appartenga ad U.
Dunque, ogni occorrenza dell’aggettivo piccolo è da intendersi relativamente ad U, ossia
come U−piccolo.
Ogni categoria C è inoltre assunta essere localmente piccola, ossia, dati X, Y ∈ Ob(C ),
la classe dei morfismi HomC (X, Y ) di C è, per definizione, un insieme piccolo.
/ D, una trasformazione naturale η : F
Date categorie C e D e funtori F, G : C
sarà denotata con η : F ⇒ G oppure con η : F =⇒ G.
1
2
https://unitn.github.io/grappa/
Scrivere a marco.vergura at gmail.com
2
/G
1. Qualche domanda di senso.
Siano X = (X, τ ) e Y = (Y, σ) due spazi
Q topologici.QÈ d’uso definire il prodotto di X
e Y come lo spazio topologico (X × Y, τ σ), dove τ σ è la più piccola topologia sul
/Y
/ X e pY : X × Y
prodotto cartesiano X × Y che rende le proiezioni pX : X × Y
continue. Analogamente il coprodotto (o unione disgiunta) di X e Y è tipicamente dichiarato essere lo spazio topologico (X t Y, τ q σ), dove τ q σ è la più grande topologia su
/ X tY continue.
/ X tY e iY : Y
X tY in grado di rendere entrambe le iniezioni iX : X
Ora, il punto è: “Perché si devono definire così prodotto e coprodotto di due spazi
topologici? Per quale ragione i loro insiemi soggiacenti sono quelli che sono?”
Si potrebbe rispondere, immediatamente, che il motivo risieda semplicemente nella
capacità di tali posizioni di soddisfare le necessarie proprietà universali. Nulla da eccepire
in tali affermazioni, se non che replicano alle suddette questioni di senso attraverso una
risposta a posteriori, giustificando le cause con gli effetti, il che pare un sofismo inaccettabile al matematico aspirante alla gnosi. Si badi bene, inoltre, che la domanda non è
affatto banale, dal momento che non c’è alcuna ragione aprioristica o metafisica che giustifichi, ad esempio, la costruzione del coprodotto di X e Y a partire dall’unione disgiunta
degli insiemi soggiacenti a X e Y. Tant’è che, in generale, questa operazione di lifting
dell’unione disgiunta tra insiemi non produce il risultato sperato: si pensi ad esempio al
coprodotto tra due moduli (sinistri) M e N su un medesimo anello R, dato da M ⊕ N , il
cui insieme soggiacente non è l’unione disgiunta degli insiemi M e N (per non parlare di
ciò che accade nel caso del coprodotto di due anelli).
Ebbene, queste e altre domande illuminanti circa i motivi soggiacenti a definizioni e
costruzioni varie, trovano risposta come istanze particolari del concetto fondamentale di
aggiunzione.
3
2. Uno strumento essenziale.
/ D, R : D
/C
Definizione 1 (Aggiunzione.). Siano C e D categorie e siano L : C
funtori. Si dice che la coppia (L, R) è un’aggiunzione da C a D se esiste, per ogni
X ∈ Ob(C ) e ogni Y ∈ Ob(D), un isomorfismo di insiemi (biiezione)
ϕX,Y = ϕ(X, Y ) : HomD (L(X), Y ) ' HomC (X, R(Y ))
(1)
naturale in X ∈ Ob(C ) e Y ∈ Ob(D). In tal caso, si dice che L è un aggiunto sinistro e
che R è un aggiunto destro. Si scrive, inoltre, L a R o ϕ : L a R.
Le proprietà di naturalità in X ∈ Ob(C ) e Y ∈ Ob(D) di
ϕ = (ϕX,Y )(X,Y )∈Ob(C )×Ob(D)
(2)
richieste nella definizione di aggiunzione sono chiaramente da intendersi come segue: fissati
Y ∈ Ob(D) e X ∈ Ob(C ) rispettivamente, le famiglie
ϕ•,Y := (ϕX,Y )X∈Ob(C )
e ϕX,• := (ϕX,Y )Y ∈Ob(D)
(3)
devono costituire delle trasformazioni naturali
ϕ•,Y : HomD (L(•), Y ) ⇒ HomC (•, R(Y ))
(4)
ϕX,• : HomD (L(X), •) ⇒ HomC (X, R(•)).
(5)
e
/ Set
Qui HomD (L(•), Y ) è il funtore C op
(Lop , ∆Y )
C op
/
dato come composizione
D op × D
HomD (•,∗)
/
Set,
dove ∆Y è il funtore costante in Y che manda ogni oggetto di C in Y e ogni freccia di
/ D op . Analogamente
C in 1Y , mentre Lop è L, quando considerato come funtore C op
sono da intendersi i funtori che compaiono in (4) e (5).
Esplicitamente, (4) e (5) si traducono nella richiesta di commutatività, per ogni freccia
/ X e h: Y
/ Y 0 di C e di D rispettivamente, dei seguenti diagrammi:
k : X0
HomD (L(X), Y )
ϕX,Y
/
HomC (X, R(Y ))
HomC (k,1R(Y ) )
HomD (L(k),1Y )
HomD (L(X 0 ), Y )
ϕX 0 ,Y
4
/ HomC (X 0 , R(Y ))
(6)
e
ϕX,Y
HomD (L(X), Y )
/ HomC (X, R(Y ))
HomD (1L(X) ,h)
HomC (X,R(h))
HomD (L(X), Y 0 )
ϕX,Y 0
(7)
/ HomC (X, R(Y 0 ))
rispettivamente per Y ∈ Ob(D) e X ∈ Ob(C ) fissati.
Infine, queste ultime proprietà di commutatività sono a loro volta equivalenti a richiedere che ϕ come in (2) costituisca una trasformazione naturale di bifuntori
ϕ : HomD (F (•), ∗) ⇒ HomC (•, G(∗)),
dove i funtori HomD (F (•), ∗) e HomC (•, G(∗)) sono definiti nel modo ovvio come composizioni
C op × D
Lop ×ID
/
D op × D
HomD (•,∗)
C op × C
HomC (•,∗)
/
Set
e
C op × D
op
×R
IC
/
/
Set
rispettivamente (con ID e IC funtori identici).
Dopo questi eccessi di pedanteria, vogliamo ora cercare di sviscerare le informazioni
fornite da un isomorfismo naturale come in (1).
Scegliamo quindi, per ogni X ∈ Ob(C ), Y = L(X) in (1). Allora HomD (L(X), L(X))
contiene un elemento privilegiato dato da 1L(X) . Pertanto, possiamo definire, per tutti gli
X ∈ Ob(C ), una freccia in C
ηX := ϕX,L(X) (1L(X) ) : X
/ R(L(X)).
(8)
Si constata facilmente che in realtà η : x 7→ ηx è una trasformazione naturale IC ⇒ R ◦ L.
/ X 0 freccia in C , ponendo Y = L(X), Y 0 = L(X 0 ) e h := L(f ) in (7)
Infatti, per f : X
e compiendo analoghe scelte accurate in (6), ricaviamo
R(L(f )) ◦ ηX = R(L(f )) ◦ ϕX,L(X) (1L(X) ) = ϕX,L(X 0 ) (L(f ) ◦ 1L(X) ) =
= ϕX,L(X 0 ) (1L(X 0 ) ◦ L(f )) = ϕX 0 ,L(X 0 ) (1L(X 0 ) ) ◦ f = ηX 0 ◦ f,
come richiesto.
Inoltre, per ogni X ∈ Ob(C ), la coppia (L(X), ηX ) soddisfa la seguente proprietà
universale:
∀Y 0 ∈ Ob(D) ∀f ∈ HomC (X, R(Y 0 )) ∃! f 0 : L(X)
come nel diagramma commutativo:
5
/Y
(R(f 0 ) ◦ ηX = f ),
(9)
X
ηX

R(L(X))
f
R(f 0 )
/
(10)
R(Y 0 )
/ HomC (X, R(Y 0 )) è una biiezione, esiste un’uInfatti, poiché ϕX,Y 0 : HomD (L(X), Y 0 )
nica f 0 ∈ HomD (L(X), Y 0 ) tale che ϕX,Y 0 (f 0 ) = f . Ma allora, prendendo Y = L(X) e
h = f 0 in (7), otteniamo proprio
R(f 0 ) ◦ ηX = R(f 0 ) ◦ ϕX,L(X) (1L(X) ) = ϕX,Y 0 (f 0 ) ◦ 1L(X) = ϕX,Y 0 (f 0 ) = f.
/ R(Y )), dove Y ∈ Ob(D), che
In generale, fissato X ∈ Ob(C ), una coppia (Y, g : X
soddisfi la proprietà universale (9) (in cui, ovviamente, L(X) è da sostituirsi con Y e ηX
va cambiato in g) è detta freccia universale da X a R.
Osserviamo anche che η caratterizza completamente
ϕX,Y : HomD (L(X), Y )
'
/
HomC (X, R(Y )),
nel senso che, per ogni X ∈ Ob(C ), Y ∈ Ob(D) e per tutte le frecce f : L(X)
la commutatività di (7) implica che
(11)
/Y
ϕX,Y (f ) = R(f ) ◦ ηX .
in D,
(12)
Per quel grazioso gioco di simmetrie che è il principio di dualità, possiamo (e dobbiamo)
considerare la costruzione speculare a quella appena compiuta. Se L a R attraverso
l’isomorfismo naturale ϕ come in (11), possiamo considerare, per ogni Y ∈ Ob(D), la
freccia di D definita come
εY := ϕ−1
X,Y (1R(Y ) ) : L(R(Y ))
/ Y.
(13)
Analogamente a quanto visto prima, ε : Y 7→ εY costituisce una trasformazione naturale L ◦ R ⇒ ID e, per ogni Y ∈ Ob(D), la coppia (R(Y ), εY ) soddisfa la seguente
proprietà universale:
∀X 0 ∈ Ob(C ) ∀f ∈ HomD (L(X 0 ), Y ) ∃! f 0 : X 0
/ R(Y )
(εY ◦ L(f 0 ) = f ).
(14)
Chiamiamo, con ovvie definizioni e per un fissato Y ∈ Ob(D), una coppia come
(R(Y ), εY ), una freccia universale da L a Y. Inoltre, per ogni X ∈ Ob(C ) e ogni Y ∈
/ R(Y ) in C , abbiamo
Ob(D), comunque presa una freccia g : X
ϕ−1
X,Y (g) = εY ◦ L(g).
(15)
Notiamo infine che, per ogni Y ∈ Ob(D), scegliendo X = R(Y ) e f = εY in (12),
ricaviamo
1R(Y ) = ϕR(Y ),Y (εY ) = R(εY ) ◦ ηR(Y ) .
Riassumiamo quanto visto nella seguente
6
Proposizione 1. Sia L a R un’aggiunzione con isomorfismo naturale ϕ come in (1).
Allora:
1. esiste una trasformazione naturale η : IC ⇒ R ◦ L tale che, per ogni X ∈ Ob(C ),
ηX è una freccia universale da X a R verificante (12);
2. esiste una trasformazione naturale ε : L ◦ R ⇒ ID tale che, per ogni Y ∈ Ob(D), εY
è una freccia universale da L a Y e vale (15).
Inoltre, se definiamo le funzioni ηR : Y 7→ ηR(Y ) e Rε : Y 7→ R(εY ) da Ob(D) in Ar(C ) e
analogamente per Lη e εL , otteniamo che esse costituiscono delle trasformazioni naturali,
come nei diagrammi (in cui RLR := R ◦ L ◦ R e analogamente per LRL)
R
ηR
/ RLR
Rε
/
R
L
Lη
/
LRL
εL
/
L.
Infine, le composizioni Rε ◦ ηR e εL ◦ Lε sono le trasformazioni identiche di R e di L, 1R
e 1L , rispettivamente.
Definizione 2 (Unità e Counità.). Sia ϕ : L a R un’aggiunzione. Le trasformazioni naturali η e ε definite da (8) e (13) rispettivamente, sono dette unità e counità
dell’aggiunzione.
Teorema 1. Siano C e D categorie. Un’aggiunzione L a R da C a D è completamente
determinata dai dati elencati in uno qualunque dei due punti seguenti:
(i) una coppia di funtori C o
/
L
R
D e una trasformazione naturale η : IC ⇒ R ◦ L tale
che ogni componente ηX sia una freccia universale da X a R. In tal caso ϕ è
determinata come in (12);
(ii) una coppia di funtori C o
L
R
/
D e una trasformazione naturale ε : L◦R ⇒ ID tale che
ogni componente εY sia una freccia universale da L ad Y . In questo caso otteniamo
ϕ−1 definendola tramite l’uguaglianza (15).
Dimostrazione. Proviamo solo il primo punto, perché il secondo segue con un argomento
duale. Poiché ηX è freccia universale da X a R, per ogni oggetto X di C e ogni freccia
f : X → R(Y ), esiste ed è unico un morfismo g : L(X) → Y tale che f = R(g) ◦ ηX . Ciò
significa esattamente che l’assegnazione g 7→ R(g) ◦ ηX definisce una biiezione
ϑX,Y : HomD (L(X), Y ) −→ HomC (X, R(Y )).
La naturalità di η in X e la funtorialità di R garantiscono che la mappa
Ob(C × D) 3 (X, Y ) 7→ ϑX,Y
definisca una trasformazione naturale da HomD (L(•), ∗) a HomC (•, R(∗)), la quale determina quindi un’aggiunzione L a R. Nel caso in cui η sia l’unità di una qualche aggiunzione
ϕ : L a R già data, allora la ϑ sopra definita coincide con ϕ.
Osservazione 1. Unità e counità ci forniscono una sorta di spiegazione intuitiva al
concetto di aggiunzione. Siano infatti C e D categorie e supponiamo di avere funtori
C o
L
R
/
D.
7
(i) Se L e R determinano un isomorfismo di categorie, allora
L ◦ R = ID
IC = R ◦ L.
e
(ii) Se L e R determinano un’equivalenza di categorie, allora
L ◦ R ' ID
IC ' R ◦ L,
e
per opportuni isomorfismi naturali che sostituiscono le uguaglianze presenti nel caso
dell’isomorfismo tra categorie.
(iii) Se L e R determinano un’aggiunzione di categorie, allora
L ◦ R ⇒ ID
IC ⇒ R ◦ L
e
e queste trasformazioni naturali soddisfano le opportune condizioni (di compatibilità) viste sopra, sostituendosi agli isomorfismi naturali del caso precedente.
Dunque, in qualche senso, un’aggiunzione è pensabile come il modo meno rigido che si
possiede per relazionare coerentemente due categorie C e D attraverso due funtori L e R.
Vedremo molti esempi di aggiunzioni nella prossima sezione. Ne diamo comunque uno
qui che ci tornerà utile in seguito.
Esempio 1. È noto ad ogni studente di matematica fin dagli albori della sua carriera
universitaria che, dati X, Y, Z ∈ Ob(Set), vi è una biiezione
def
HomSet (X × Y, Z) ' HomSet (X, Z Y ) = HomSet (X, HomSet (Y, Z))
(16)
ed è un esercizio mentale notare che tale biiezione è naturale in tutte le variabili. In
particolare, per ogni Y ∈ Ob(Set), il funtore
− × Y : Set
/ Set,
Ob(Set) 3 X 7→ X × Y ∈ Ob(Set)
ha un aggiunto destro
(−)Y = HomSet (Y, −) : Set
/ Set.
In tale aggiunzione, la counità è data, per ogni Z ∈ Ob(Set), dalla mappa di valutazione
/ Y,
(f, y) 7→ f (y).
eY,Z : Z Y × Y
In generale, diamo la seguente
Definizione 3 (Categoria cartesiana chiusa.). Sia C una categoria dotata di prodotti
binari arbitrari. Se per ogni Y ∈ Ob(C ), il funtore
−×Y : C
/C
(−)Y : C
/ C,
ammette un aggiunto destro
si dice che C è una categoria cartesiana chiusa. Per ogni Y ∈ Ob(C ), la counità
(−)Y × Y ⇒ IC
è detta (mappa di) valutazione in Y.
8
Pertanto, Set è una categoria cartesiana chiusa.
Gli aggiunti per uno stesso funtore sono essenzialmente unici.
/ D un funtore. Se R e R0 (rispettivamente, L e L0 )
Proposizione 2. Sia F : C
sono entrambi aggiunti destri (rispettivamente, aggiunti sinistri) di F , allora R ' R0
(rispettivamente, L ' L0 ) per un (unico) isomorfismo naturale di funtori.
Dimostrazione. Mostriamo il caso degli aggiunti destri. Per ogni X ∈ Ob(C ) e ogni
Y ∈ Ob(D), abbiamo, per ipotesi, isomorfismi naturali
HomC (X, R(Y )) ' HomD (F (X), Y ) ' HomC (X, R0 (Y )).
Per il lemma di Yoneda, R(Y ) è isomorfo a R0 (Y ) e tale isomorfismo è naturale in Y .
/ D, posOsservazione 2. In virtù della proposizione precedente, dato un funtore F : C
siamo parlare, coscientemente e ragionando a meno di isomorfismo, de l’ aggiunto sinistro
di F (nel caso esista) e de l’ aggiunto destro di F (nel caso esista).
Per dare risposta alle nostre domande iniziali su prodotti e coprodotti (binari) di spazi
topologici, abbiamo bisogno della prossima
/ C un funtore. Se G ha un aggiunProposizione 3. Siano C e D categorie e G : D
to sinistro (quindi se è un aggiunto destro), allora G preserva (o commuta con) tutti i
/ D ha cono limite τ : LimT ⇒ T in D, allora
limiti che esistono in D, i.e. se T : J
←−−
GT := G ◦ T ha cono limite Gτ : G(Lim
T
)
⇒
GT
in
C
.
←−−
Dualmente, se G ha un aggiunto destro (quindi se è un aggiunto sinistro), allora G
preserva tutti i colimiti che esistono in D.
Dimostrazione. Per composizione, Gτ è sicuramente un cono dal vertice G(Lim
←−−T ) a
GT . Siano dunque L un aggiunto sinistro a G e ϕ l’isomorfismo di aggiunzione. Con/ GT in C e, per ogni i ∈ Ob(J ), poniamo σ [ (σi ) :=
sideriamo un cono σ : X
i
−1
/ T (i). Allora σ [ = (σ [ )i∈Ob(J ) forma un cono σ [ : L(X) ⇒ T e, per
ϕX,T (i) : L(X)
i
/ LimT tale
proprietà universale del cono limite τ , esiste un’unica freccia h : L(X)
←−−
che, per ogni i ∈ Ob(J ), (τi ◦ h) = σi[ . Pertanto, otteniamo un’unica freccia h] :=
/ G(LimT ) tale che, per ogni i ∈ Ob(J ), G(τj ) ◦ h] = (τi ◦ h)] = (σ [ )] = σi .
ϕX,Y (h) : X
i
←−−
L’unicità della freccia h] dice esattamente che Gτ è cono limite per T .
Ora, lo slogan è, per dirla con MacLane (cfr. [McL], Note alla fine del quarto capitolo):
“Adjoints occur almost everywhere in Mathematics.”
Questa ubiquità non risparmia ovviamente nemmeno la Topologia.
9
3. Il topologo categorista.
Passiamo quindi, infine, a studiare alcuni esempi concreti di aggiunzioni in Topologia
e a vedere come il linguaggio categoriale possa illuminare e semplificare ragionamenti e
costruzioni anche in questa materia. L’elenco presentato non sarà ovviamente esaustivo
e il lettore è invitato a completarlo come meglio ritenga opportuno.
Di seguito, Top indicherà la categoria degli spazi topologici (piccoli) e delle funzioni
continue tra di essi.
1. Consideriamo il funtore dimenticante
F : Top
/ Set
che ad ogni spazio topologico (X, τ ) associa l’insieme soggiacente X e ad ogni fun/ (Y, σ) associa se stessa, come funzione f : X
/Y.
zione continua f : (X, τ )
Vogliamo mostrare che F ha sia un aggiunto destro che un aggiunto sinistro.
/ Top che sia aggiunto destro di F deve assegnare ad ogni
Un funtore R : Set
insieme Y uno spazio topologico R(Y ) in modo tale che, per ogni X = (X, τ ) ∈
Ob(Top), si abbia un isomorfismo naturale (in X e in Y )
ϕX ,Y : HomSet (X = F (X ), Y ) ' HomTop (X , R(Y )),
(17)
ossia ogni mappa insiemistica da X a Y deve corrispondere ad un’unica funzione
continua da X a R(Y ). Conosciamo una topologia σ su Y tale che R(Y ) := (Y, σ)
soddisfi questa proprietà? Ovviamente sì, è la topologia banale su Y , la quale,
dato un qualsiasi spazio topologico X = (X, τ ), rende ogni funzione insiemistica
/ Top definito ponendo, per ogni
/ Y continua. Pertanto, il funtore R : Set
X
0
/Y ,
Y ∈ Ob(Set) e ogni funzione f : Y
R(Y ) := (Y, {∅, Y }) e R(f ) := f : (Y, {∅, Y })
/ (Y 0 ,
{∅, Y 0 }),
soddisfa (17) dove ϕX ,Y è l’identità (la quale è ovviamente naturale in X e in Y ).
Possiamo quindi dire, con un lieve abuso di linguaggio, che il funtore “topologia
/ Set.
banale” è l’aggiunto destro del funtore smemorato Top
/ Top a F deve essere tale che vi sia, per
Similmente, un aggiunto sinistro L : Set
ogni X ∈ Ob(Set) e ogni Y = (Y, σ) ∈ Ob(Top), un isomorfismo naturale in X e
in Y:
ϕX,Y : HomTop (L(X), Y) ' HomSet (X, Y = F (Y)).
(18)
/ Y = F (Y) di essere una
Dunque L(X) deve permettere ad ogni funzione X
/ Y. Appare perciò evidente che (18) è soddisfatto per
funzione continua L(X)
10
ϕX,Y dato dall’identità, se dotiamo X della topologia discreta, ossia se definiamo L
/ X 0,
ponendo, per ogni X ∈ Ob(Set) e ogni funzione f : X
L(X) := (X, P(X)) e L(f ) := f : (X, P(X))
/ (X 0 ,
P(X 0 )).
Pertanto, il funtore “topologia discreta” è l’aggiunto sinistro del funtore dimenticante
/ Set.
Top
Osservazione 3. L’esistenza di aggiunti destri e sinistri al funtore dimenticante
/ Set permette di rispondere alle nostre domande di senso poste nella
F : Top
prima sezione. Infatti, grazie alla Proposizione 3, F è costretto a preservare tutti i
limiti e i colimiti che esistono in Top e quindi, in particolare, deve commutare con
i prodotti e i coprodotti (binari) di Top. Ciò significa che, dati due spazi topologici
X = (X, τ ) e Y = (Y, σ), se il prodotto
(X × Y, pX : X × Y
/ X,
pY : X × Y
/ Y)
o il coprodotto
(X q Y, iX : X
/X
q Y, iY : Y
/X
q Y)
di X e Y esistono, allora si deve avere
F (X × Y) = X × Y,
F (pX ) = pX : X × Y
/ X,
F (pY ) = pY : X × Y
/Y
e
F (X q Y) = X t Y,
F (iX ) = iX : X
/X
t Y,
F (iY ) = iY : Y
/X
t Y.
Perciò X × Y (rispettivamente X q Y) deve avere (a meno di isomorfismo) come
insieme soggiacente X ×Y (rispettivamente X tY ) ed essere dotato di una topologia
tale da rendere entrambe le proiezioni sui fattori (rispettivamente le inclusioni degli
addendi) continue e da soddisfare la necessaria proprietà universale. Ne segue che
le topologie su X × Y e su X q Y devono essere quelle che sono usualmente loro
assegnate ed il motivo di tale assegnazione risulta ora evidente.
Osservazione 4. Questo esempio permette di spiegare una delle interpretazioni
filosofiche, per così dire, che a volte sono date ai funtori aggiunti, i quali possono
essere pensati come inversi concettuali (si veda [Stf]).
/ Set infatti scorda da un lato la struttura topoIl funtore smemorato F : Top
logica su un insieme e, dall’altro, la proprietà di continuità di funzioni tra spazi
topologici. Ora, qual è l’inversa concettuale dell’operazione di ignorare la topologia
su un insieme per considerare soltanto l’insieme stesso? Si tratta della costruzione
di uno spazio topologico a partire da un insieme X, basandosi solamente sulla nozione di spazio topologico (ossia, sugli assiomi di topologia) e sul fatto di disporre
di un insieme generico qualsiasi, senza alcuna specificità ulteriore e senza sfruttare
alcuna eventuale proprietà dello stesso (per esempio l’essere finito o meno, l’avere
una certa cardinalità o quant’altro). Chiaramente, ci sono due modi complementari
di realizzare tale scopo: il primo, minimale, equipaggia ogni insieme con la topologia
banale, quella inessenziale, la più piccola ammessa dagli assiomi; il secondo, massimale, dota ogni insieme della topologia discreta, la più fine concessa dagli assiomi.
Tali modalità di realizzazione libera (nel senso di assoluta, scevra di legami, se non
quelli imposti dagli assiomi della teoria stessa) di uno spazio topologico a partire da
un insieme, essendo funtoriali, corrispondono dunque all’aggiunto destro e sinistro
di F .
11
Per il prossimo esempio, necessitiamo di un’innocua definizione di carattere generale.
Definizione 4 (Categoria slice. Categoria coslice). Sia C una categoria e sia X ∈ Ob(C ).
(i) La categoria (slice) su (o sopra) X (anche detta categoria (degli oggetti) sopra X )
è la categoria (C ↓ X) (anche denotata C /X) definita come segue.
/
– Un oggetto di (C ↓ X) è una coppia ordinata (X 0 , f : X 0
Ob(C ) e f è una freccia in C da X 0 a X.
X), dove X 0 ∈
/ X)
/ (X 00 , f 0 : X 00
/ X) in (C ↓ X) è una freccia
– Una freccia (X 0 , f : X 0
00
0
/ X di C tale che commuti il seguente diagramma
g: X
g
X0
f
X
/
X 00
f0

/ X)
Per semplicità notazionale, un oggetto (X 0 , f : X 0
/ X.
indicato soltanto con f : X 0
di (C ↓ X) è usualmente
(ii) La categoria (coslice) sotto X (anche detta categoria (degli oggetti) sotto X ) è la
categoria (X ↓ C ) (anche denotata X/C ) definita come segue.
/
– Un oggetto di (X ↓ C ) è una coppia ordinata (X 0 , g : X
Ob(C ) e g è una freccia in C da X a X 0 .
X 0 ), dove X 0 ∈
/ X 0)
/ (X 00 , g 0 : X
/ X 00 ) in (X ↓ C ) è una freccia
– Una freccia (X 0 , g : X
00
0
/ X di C tale che commuti il diagramma seguente
f: X
X
g0
g
X0

f
/
X 00
Anche in questo caso, per semplicità, un oggetto (X 0 , g : X
/ X 0.
spesso indicato semplicemente con g : X
/
X 0 ) di (X ↓ C ) è
/ Set il funtore dimenticante,
2. Sia X uno spazio topologico fissato e sia F : Top
come al punto precedente. Allora abbiamo un funtore indotto
(F ↓ X ) : (Top ↓ X )
/ (Set
↓ F (X ))
tale che:
/ X è un oggetto di (Top ↓ X ), allora (F ↓ X )(f ) è dato da
– se f : X 0
0
/ F (X );
F (f ) : F (X )
/ f 0 è una freccia in (Top ↓ X ) (con f 0 : X 00
– se g : f
/ F (X 00 ).
è dato da F (g) : F (X 0 )
12
/ X ),
allora (F ↓ X )(g)
/ F (X )
Questo funtore (F ↓ X ) ammette un aggiunto destro R. Sia infatti t : S
un oggetto di (Set ↓ F (X )) e consideriamo su S la topologia τt che ha per base
gli insiemi t−1 (U ), dove U è un aperto di X . Osserviamo che, chiaramente, t è una
/ X e poniamo perciò
funzione continua (S, τt )
/ X ).
R(t) := (t : (S, τt )
Siano a questo punto t : S
/ S 0 una freccia t
h: S
implica evidentemente che h
possiamo definire
/ F (X )
/ F (X ) oggetti di (Set ↓ F (X )) e sia
e t0 : S 0
/ t0 in (Set ↓ F (X )). Per definizione, t0 ◦ h = t e ciò
/ (S 0 , τt0 ). Pertanto
è una funzione continua (S, τt )
R(h) := h : R(t)
/ R(t0 ).
/ F (X ) nella categoria sopra F (X ), la topoOsserviamo che, per un oggetto t : S
/ X è una mappa
logia (S, τt ) soddisfa la seguente proprietà universale: se f : Y
/S
continua di spazi topologici tale che esista una funzione tra insiemi s : F (Y)
/
verificante F (f ) = t ◦ s, allora s è una mappa continua Y
(S, τt ). Ne segue
chiaramente che, per ogni f ∈ Ob(Top ↓ X ) e ogni t ∈ Ob(Set ↓ F (X )), vi è un
isomorfismo
Hom(Set↓F (X )) (F (f ), t) ' Hom(Top↓X ) (f, R(t)),
dato dall’identità, ossia abbiamo l’annunciata aggiunzione F a R. Notare che, in
realtà, R è in questo caso un inverso destro di F ↓ X , nel senso che
(F ↓ X ) ◦ R = I(Set↓F (X )) ,
ossia, la counità dell’aggiunzione è la trasformazione naturale data dall’identità.
Osservazione 5. Nel caso in cui S ⊆ F (X ), detta i l’inclusione S ,→ F (X ), τi
è l’usuale topologia di sottospazio per S e R(i) è i stessa, pensata come funzione
/ X.
continua (S, τi )
Senza stupore alcuno, possiamo considerare anche il sollevamento del funtore dimen/ Set alla categoria coslice (X ↓ Top). Precisamente, abbiamo
ticante F : Top
un funtore
/ (F (X ) ↓ Set)
(X ↓ F ) : (X ↓ Top)
/ Y di (X ↓ Top) in (F (g) : F (X )
/ F (Y)) ∈
che manda un oggetto g : X
Ob(F (X ) ↓ Set) e agisce nel modo ovvio sulle frecce. Tale funtore ha un aggiunto
/ S un oggetto di (F (X ) ↓ Set) e dotiamo S della
sinistro L. Sia infatti t : F (X )
topologia σt che ha per base i sottoinsiemi V ⊆ S tali che t−1 (V ) è un aperto di X .
/ (S, σt ) e possiamo porre
Evidentemente, t diventa così una funzione continua X
L(t) := (t : X
/ (S,
σt )).
/ S 0 ), allora h è
/ t0 è una freccia in (X ↓ F ) (con t0 : X
Chiaramente, se h : t
/ (S 0 , σt0 ) e non ci resta che definire
una funzione continua (S, σt )
L(h) := (h : L(t)
13
/ L(t0 )).
/ (S, σt ) gode della seguente proprietà universale:
Ancora una volta, L(t) = t : X
/ Y è una funzione continua tale che, per qualche k e qualche t, commuti
se f : X
il diagramma
F (X )
F (f )
t
S

/
k
/ Y.
allora k è una funzione continua (S, σt )
costituisce un isomorfismo
F (Y)
Ciò dice precisamente che l’identità
Hom(X ↓Top) (R(t), f ) ' Hom(F (X )↓Set) (t, F (f ))
fornendo l’aggiunzione L a (X ↓ F ), in cui l’unità è la trasformazione naturale data
dall’identità, così che I(X↓Top) = (X ↓ F ) ◦ L.
/ S è una mappa suriettiva, allora (S, σt ) è l’usuale
Osservazione 6. Se t : F (X )
topologia quoziente su S rispetto a t e L(t) è la proiezione al quoziente.
I prossimi esempi che vedremo rientrano in una fondamentale famiglia di aggiunzioni,
la cui importanza e vastità fa meritare loro un nome specifico.
Definizione 5 (Sottocategoria (Co)riflessiva). Sia C una sottocategoria piena di una
/ D il funtore inclusione. Si dice che C è una sottocategoria
categoria D e sia i : C
riflessiva di D se i ammette un aggiunto sinistro T ,
(T a i) : D o
/
T
i
C .
Un tale T è detto riflettore.
Dualmente, si dice che C è una sottocategoria coriflessiva di D se i ammette un
aggiunto destro R,
(i a R) : C o
i
R
/
D.
Un siffatto R è detto coriflettore.
Osservazione 7. Si può dimostrare (si veda [McL] §IV.3) che se C è una sottocategoria
riflessiva di D e T è l’aggiunto sinistro del funtore inclusione, allora, per ogni X ∈ Ob(C ),
la counità εX dell’aggiunzione è un isomorfismo, i.e. T (i(X)) ' X.
3. Sia CHaus la sottocategoria piena di Top data dagli spazi topologici compatti e
/ Top.
di Hausdorff e denotiamo, come sopra, con i il funtore inclusione CHaus
Vogliamo mostrare che CHaus è una sottocategoria riflessiva di Top, trovando un
aggiunto sinistro a i.
Per il Teorema 1, trovare un’aggiunzione in cui i faccia da aggiunto destro è equi/ CHaus e una trasformazione naturale
valente a reperire un funtore β : Top
/ i ◦ L tale che, per ogni X ∈ Ob(Top), per tutti gli Y ∈ Ob(CHaus) e
η : ITop
14
per ogni f ∈ HomTop (X , i(Y) = Y), esista un’unica g ∈ HomCHaus (β(X ), Y) tale
che
i(g) ◦ ηX = (g ◦ ηX =)f,
come nel diagramma commutativo
X
ηX
f

i(β(X)) = β(X )
i(g)=g
/
(19)
i(Y) = Y
Nel contesto classico della Topologia Generale, si conosce un modo essenzialmente
unico di associare ad uno spazio topologico uno spazio compatto e di Hausdorff con
questa peculiarità. Infatti, fissato un qualsiasi spazio topologico X , se scegliamo
come β(X ) la compattificazione di Stone-Čech di X e prendiamo per ηX la mappa
/ β(X ), la proprietà universale di cui sopra risulta soddisfatta. Poiché
canonica X
la costruzione della compattificazione di Stone-Čech è notoriamente funtoriale, possiamo affermare che il funtore “compattificazione di Stone-Čech” è l’aggiunto sinistro
dell’inclusione di CHaus in Top e, ovviamente, tale caratterizzazione determina
completamente (a meno di omeomorfismo) la compattificazione stessa.
Il nostro intento è quello di mostrare che, in realtà, è possibile trovare un aggiunto
/ Top applicando un teorema di Teoria delle Categorie, vasinistro ad i : CHaus
lido in un contesto del tutto generale e che fornisce agilmente l’esistenza del cercato
riflettore.
Il risultato che intendiamo utilizzare ha come possibile punto di partenza la Propo/ D ha un aggiunto sinistro,
sizione 3, la quale afferma che se un funtore G : C
allora preserva tutti i limiti (piccoli) che esistono nel suo dominio. In generale,
l’implicazione non è reversibile: il lettore è invitato a trovare opportuni, personali,
controesempi. L’ostacolo principale è dovuto anzitutto al fatto che la caratteristica
/ D potrebbe essere meno peculiare ed
di preservare i limiti per un funtore C
informativa di quanto possa apparire, nella disgraziata eventualità in cui il dominio
C non ammetta abbastanza limiti (si pensi ad un caso estremo come quello di una
categoria C in cui le uniche frecce siano date dalle identità sui vari oggetti). Una
domanda sorge quindi piuttosto spontanea:3
/ D che preservi tutti i limiti
“Data una categoria completa C e un funtore G : C
(piccoli), esistono delle condizioni sufficienti su G affinché esso ammetta un
aggiunto sinistro?”
La risposta è affermativa ed è data da un importante teorema dovuto a Peter J.
Freyd:
Ricordiamo che una categoria C si dice completa se ogni funtore F : J
piccola, ha un limite (in C ).
3
15
/ C , dove J è una categoria
Teorema 2 ((General) Adjoint Functor Theorem (GAFT)). Sia
completa e sia D una categoria qualsiasi.4 Un funtore G : C
aggiunto sinistro se e soltanto se preserva tutti i limiti piccoli (di
seguente
C una categoria
/ D ammette un
C ) e soddisfa la
Solution Set Condition (SSC). Per ogni oggetto Y ∈ Ob(D), esistono un
/ G(Xi ))i∈I di D indiciata su I,
insieme piccolo I e una famiglia di frecce (fi : Y
/ G(X) di D fattorizzi come h = G(t) ◦ fi , per
tali che ogni altra freccia h : Y
/ X di C .
qualche indice i ∈ I e qualche freccia t : Xi
Non proveremo qui questo teorema, non già perché la sua dimostrazione sia particolarmente difficoltosa, bensì in quanto necessitante di alcuni risultati accessori che
rischierebbero di allontanare lo sguardo dal focus della questione; il lettore interessato è caldamente invitato a consultare [McL] §V.6 oppure [Bor1] §3.3. Ci limitiamo
a fornire una (molto abbozzata) idea per una possibile dimostrazione (conservando
le stesse notazioni dell’enunciato del Teorema):
– si osserva che il problema di costruire un’aggiunzione ϕ : L a G è equivalente a
/ G(X) da
quello di trovare, per ogni Y ∈ Ob(D), una freccia universale Y
Y a G (per qualche X ∈ Ob(C ));
– si nota che, per ogni Y ∈ Ob(D), una freccia universale da Y a G è precisamente un oggetto iniziale nella categoria (Y ↓ G) i cui oggetti sono le coppie
/ G(X)), per qualche X ∈ Ob(C ), e i morfismi
(X, Y
/ G(X))
g : (X, f : Y
sono le frecce g : X
/ X0
/ (X 0 ,
f0 : Y
/ G(X 0 ))
di C tali che G(g) ◦ f = f 0 ;
– poiché G preserva i limiti (piccoli) e C è completa, anche (Y ↓ G) lo è (esiste
un naturale funtore di proiezione
Q : (Y ↓ G)
/ C,
Ob(Y ↓ G) 3 (X, f ) 7→ X ∈ Ob(C ),
il quale crea tutti i limiti piccoli, sotto le ipotesi date);
– la SSC per G si traduce nella seguente proprietà di B := (Y ↓ G):
“Esistono un insieme piccolo I e una famiglia (Ki )i∈I di oggetti di B tali che,
/ B, per qualche i ∈ I”; (†)
per ogni B ∈ Ob(B), esiste una freccia Ki
– si mostra che, per una categoria completa B, l’esistenza di un oggetto iniziale
è equivalente alla validità in B di (†), il che permette di concludere, prendendo
B = (Y ↓ G).
/ D ha un aggiunto sinistro L, allora la
Osservazione 8. Notiamo che, se G : C
SSC per G è chiaramente soddisfatta: basta prendere, per ogni Y ∈ Ob(D), I = {0}
/ G(L(Y )).
e un’unica freccia ηY : Y
Possiamo finalmente utilizzare GAFT per provare la tanto agognata
4
Ricordiamo che, in questa trattazione, tutte le categorie considerate sono, per definzione, localmente
piccole, ossia, se X, Y sono oggetti di una categoria C , HomC (X, Y ) è un insieme piccolo.
16
/ Top ammette un aggiunto
Proposizione 4. Il funtore inclusione i : CHaus
sinistro, ossia CHaus è una sottocategoria riflessiva di Top.
Dimostrazione. Verifichiamo le ipotesi del Teorema 2. Dobbiamo anzitutto provare
che CHaus è completa. Sappiamo che a tal fine è sufficiente mostrare che ogni
insieme piccolo di oggetti di CHaus ammette un prodotto (in CHaus) e ogni
coppia di frecce f e g di CHaus aventi dominio e codominio comuni ammette un
equalizzatore (in CHaus). Validiamo queste proprietà separatamente.
• Sia (Xi )i∈I un insieme piccolo di spazi topologici compatti e di Hausdorff. Possiamo considerare (i(Xi ) = Xi )i∈I come
Q una famiglia di oggetti di Top e possiamo perciò considerare il prodotto i∈I Xi in Top di tale famiglia (assieme alle
varie proiezioni sui fattori). Ora, è noto che il prodotto arbitrario di spazi di
Hausdorff è uno spazio di Hausdorff, mentre il Teorema di Tychonoff garantisce
che Q
il prodotto arbitrario di spazi compatti è a sua volta compatto. Ne segue
che i∈I Xi ∈ Ob(CHaus) e chiaramente costituisce un prodotto di (Xi )i∈I in
CHaus. Dunque, CHaus ammette prodotti piccoli qualsiasi.
• Siano f, g ∈ HomCHaus (X , X 0 ). Vogliamo costruire un equalizzatore di f e g
in CHaus. Anche questa volta, possiamo considerare i(f ) = f e i(g) = g come
frecce di Top e costruire qui un loro equalizzatore che sarà pertanto dato da
(E, ι : E
/ X ),
dove E è l’insieme E := {x ∈ X : f (x) = g(x)} (X è l’insieme soggiacente
a X ) dotato della topologia di sottospazio e ι è l’inclusione E ,→ X. Ora, E
è uno spazio di Hausdorff, in quanto sottospazio di uno spazio di Hausdorff
ed, essendo anche Y di Hausdorff, è in realtà pure chiuso. Ma allora E è
un chiuso nel compatto X , pertanto è esso stesso compatto. Ne segue che
E ∈ Ob(CHaus) e (E, ι) è un equalizzatore di f e di g in CHaus.
Ne ricaviamo che CHaus è completa.
A questo punto, è evidente che l’inclusione i preserva i limiti e quindi ci basta
verificare la SSC per i. Sia dunque S = (S, σ) uno spazio topologico qualsiasi.
/ i(Xi ) =
Dobbiamo trovare un insieme piccolo I e una famiglia di frecce (fi : S
/ i(X ) = X tra spazi topologici
Xi )i∈I di Top tali che ogni funzione continua h : S
(dove X ∈ Ob(CHaus)) fattorizzi mediante una delle fi . Affermiamo che ciò è una
conseguenza del seguente
Lemma 1. Sia K = (K, τ ) uno spazio topologico compatto e di Hausdorff e sia
C ⊆ K un sottospazio di K. Allora la chiusura C di C in K ha cardinalità al più
|C|
22 = |P(P(C))|.
Prima di provare questo risultato, vediamo come esso implichi la SSC desiderata.
Sia S = (S, σ) ∈ Ob(Top) e consideriamo l’insieme I delle funzioni continue
/ (C, ν), dove (C, ν) ∈ Ob(CHaus) con C ⊆ P(P(S)). Prendiamo poi
f: S
/ i(Xi ) = Xi l’insieme I stesso.5 Sia quindi
come famiglia di mappe continue fi : S
5
Ogni insieme può indiciare ed essere indiciato da se stesso!
17
/ X una funzione continua, con X = (X, τ ) ∈ Ob(CHaus). Per il lemma
h: S
precedente e poiché |h(S)| ≤ |S|, abbiamo che
|h(S)|
|h(S)| ≤ 22
|S|
≤ 22 ,
/ P(P(S)). Ne segue che
ossia esiste una mappa iniettiva (di insiemi) j : h(S)
esistono un C ⊆ P(P(S)) (dato da j(h(S))) e una topologia ν su C (dove gli aperti
sono le immagini secondo j degli aperti in h(S)) tale che vi sia un omeomorfismo
/ (C, ν) (h(S) è dotato della topologia di sottospazio). Inoltre, poiché
t : h(S)
h(S) ∈ Ob(CHaus), anche (C, ν) ∈ Ob(CHaus). Ma allora, se h è h considerata
/ h(S), la composizione t ◦ h è uno degli elementi, diciamolo f ,
come funzione S
di I. Concludiamo allora che, detta j 0 l’inclusione di h(S) in X, h = (j 0 ◦ t−1 ) ◦ f è
la fattorizzazione cercata di h.
Ci resta quindi solo da validare il Lemma 1. Osservando le stesse notazioni dell’enunciato, possiamo assumere, senza perdita di generalità, che C sia denso in K
(se così non fosse, basterebbe sostituire K con C). Dobbiamo trovare una mappa
/ P(P(C)). Per k ∈ K, definiamo
iniettiva l : K
l(k) := {T ∈ P(C) : k ∈ T ⊆ K} ∈ P(P(C)).
(Qui T è la chiusura di T in K). Se k, k 0 ∈ K e k 6= k 0 , poiché K è di Hausdorff,
esistono un intorno aperto U di k in K e un intorno aperto di V di k 0 in K tali che
U ∩ V = ∅. Pertanto, U ∩ C ∈
/ l(k 0 ), mentre, essendo C denso in K, U ∩ C ∈ l(k) e
l(k) 6= l(k 0 ), come richiesto per l’iniettività di l.
Ciò conclude la dimostrazione della proposizione.
Prima di addentrarci nel prossimo ed ultimo esempio che vedremo, abbiamo bisogno
di una definizione topologica.
Definizione 6 (Spazio Compattamente Generato). Sia X = (X, τ ) uno spazio topologico.
Si dice che X è compattamente generato se soddisfa la proprietà seguente:
“Un sottospazio A di X è chiuso in X se e solo se, per ogni compatto K di X , A ∩ K è
chiuso in K.”
Raccogliamo qualche fatto sugli spazi compattamente generati.
Osservazione 9.
i. La definizione precedente si può equivalentemente dare sostituendo ovunque il termine chiuso con la parola aperto.
ii. Un chiuso C in uno spazio compattamente generato X è compattamente generato
(con la topologia indotta da X ). Infatti, se A ⊆ C è tale che A ∩ K è chiuso in C
per ogni compatto K di C, poiché C è chiuso in X , basta mostrare che A è chiuso
in X . Sia dunque L un compatto di X . Poiché C è chiuso, C ∩ L è compatto in C
e allora A ∩ L = A ∩ C ∩ L è chiuso in C ∩ L e quindi anche in L (perché C ∩ L è
chiuso in L). Ne segue che A è chiuso in X .
18
iii. Gli spazi localmente compatti sono compattamente generati. Infatti, sia X = (X, τ )
uno spazio localmente compatto e sia A ⊆ X tale che, per ogni compatto K di
X , A ∩ K è chiuso in K. Preso x ∈ A, mostriamo che in realtà x ∈ A. Sia K
un intorno compatto di x in X (esiste per l’ipotesi di compattezza locale). Se V
è un intorno qualsiasi di x in X , allora anche V ∩ K è un intorno di x e, poiché
x ∈ A, V ∩ K ∩ A 6= ∅ (A è l’insieme dei punti di X aderenti ad A). Ciò mostra
che x ∈ K ∩ A. Ma, per l’ipotesi su A, K ∩ A è chiuso in K e quindi otteniamo che
x ∈ A.
iv. Ogni spazio primo-numerabile è compattamente generato. In particolare, quindi, gli
spazi metrizzabili sono compattamente generati. Poiché non tutti gli spazi metrici
sono localmente compatti (basta prendere uno spazio reale di Banach di dimensione
infinita), ciò dice che la proprietà di essere compattamente generato per uno spazio topologico è strettamente più debole di quella di essere localmente compatto.
Mostriamo ora che se X = (X, τ ) è uno spazio topologico primo-numerabile, allora è compattamente generato. Ricordiamo che un sottoinsieme A di uno spazio
primo-numerabile è chiuso se e soltanto se ogni limite di successioni di elementi di
A è ancora un elemento di A. Sia quindi U ⊆ X tale che, per ogni compatto K
di X , U ∩ K è chiuso in K. Consideriamo una successione (xn )n∈N di elementi di
U convergente ad x ∈ U . Chiaramente, C := {xn }n∈N ∪ {x} è compatto, perciò
C ∩ U è un chiuso in C per ipotesi. Poiché xn ∈ C ∩ U per ogni n ∈ N, anche x
appartiene a C ∩ U e quindi, in particolare, ad U . Ne segue che U è chiuso e X è
compattamente generato.
Enunciamo e dimostriamo un risultato che ci servirà nel seguito.
Lemma 2. Sia X = (X, τ ) uno spazio di Hausdorff compattamente generato e sia Y =
(Y, σ) uno spazio topologico qualsiasi. Le seguenti sono equivalenti, per una funzione
/Y:
g: X
i. g è una funzione continua X
/ Y;
/
ii. per ogni compatto K di X , g|K : K
topologia di sottospazio).
Y è continua (quando K è dotato della
Dimostrazione. Ricordiamo anzitutto che i compatti in uno spazio di Hausdorff sono
chiusi. Il primo punto implica banalmente il secondo. Viceversa, supponiamo che valga
ii. e sia Z ⊆ Y un chiuso. Dobbiamo mostrare che g −1 (Z) è chiuso in X ; se K è un
compatto di X , allora g −1 (Z) ∩ K = (g|K )−1 (Z) è chiuso in K per ipotesi. Poiché K è
chiuso in X , g −1 (Z) ∩ K è un chiuso anche di X , il che ci consente di concludere perché
X è compattamente generato.
4. Sia Haus la sottocategoria piena di Top data dagli spazi di Hausdorff e denotiamo
con CGHaus la sottocategoria piena di Haus data dagli spazi di Hausdorff compattamente generati (anche detti spazi di Kelley). Cominciamo col mostrare che
questa sottocategoria dialoga bene con Haus, nel senso precisato dalla
Proposizione 5. CGHaus è una sottocategoria coriflessiva di Haus.
Dimostrazione. Costruiamo esplicitamente un aggiunto destro all’inclusione
CGHaus
19
/ Haus
e una trasformazione naturale ε che funga da counità dell’aggiunzione. Sia dunque
Y = (Y, σ) ∈ Ob(Haus) e consideriamo lo spazio topologico K(Y) dato dall’insieme
Y con la topologia la cui famiglia di chiusi è costituita da tutti e soli gli A ⊆ Y tali
che A ∩ C è chiuso in C, per ogni compatto C di Y. (K(Y) è detto “Kelleificazione”
o “k-ficazione” di Y). Dunque i sottoinsiemi chiusi di Y sono chiusi anche in K(Y),
/ Y e chiaramente K(Y) è di
ossia l’identità idY è una mappa continua K(Y)
Hausdorff. Per mostrare che K(Y) è compattamente generato, abbiamo bisogno di
alcuni semplici passaggi intermedi che raccogliamo insieme nel prossimo lemma, a
futura referenza.
Lemma 3. Sia Y uno spazio di Hausdorff. Valgono i seguenti fatti.
(i) idY : K(Y)
generato.
/
Y è un omeomorfismo se e soltanto se Y è compattamente
(ii) Sia C ⊆ Y un compatto di Y e denotiamo con C0 l’insieme C quando visto
/ Y.
come sottospazio di K(Y), ossia C0 = id−1 (C), dove id = idY : K(Y)
/ C è un omeomorfismo. In particolare, C0 è compatto in Y
Allora id|C : C0
e un sottoinsieme C di Y è compatto in Y se e solo se è compatto in K(Y).
(iii) K(Y) è compattamente generato.
/ Y è un omeomorfismo se e solo se è una mappa
Dimostrazione. (i) idY : K(Y)
aperta. Ciò è equivalente a chiedere che ogni aperto U di K(Y) è aperto anche
in Y e questo significa precisamente che Y è compattamente generato.
(ii) Ci basta mostrare che id|C è una mappa aperta. Sia dunque U ⊆ C0 aperto e
scriviamo U = O ∩ C0 , per qualche aperto O di K(Y). Abbiamo
id|C (U ) = id|C (O ∩ C0 ) = id(O) ∩ id(C0 ) = id(O) ∩ C
e quest’ultimo è aperto in C, perché, per definizione di K(Y), O è aperto in
K(Y) se e solo se id(O) ∩ C è aperto in C, per ogni compatto C di Y.
(iii) Sia A ⊆ Y un sottospazio di K(Y) tale che A ∩ C è chiuso in C per ogni
compatto C di K(Y). D’altra parte, per definizione di K(Y), A è chiuso in
K(Y) se e soltanto se, per ogni compatto D di Y, D ∩ A è chiuso in D; ma
un tale D è compatto anche in K(Y) per il punto (ii), il che ci permette di
concludere.
/ Y e sia X = (X, τ ) ∈ Ob(CHaus).
A questo punto, poniamo εY := idY : K(Y)
/
/
Se f : X
Y è una mappa continua X
Y, allora, poiché X è compattamente
/ K(Y). Ciò significa che f : X
/Y
generato, f è anche una funzione continua X
fattorizza (unicamente) attraverso εY , come nel diagramma commutativo
f0
X
f
Y
20

/
K(Y)
εY
/ K(Y). Perciò, se per ogni f ∈
dove f 0 è f , vista come funzione continua X
HomHaus (Y, W), definiamo K(f ) come la funzione f vista come mappa continua
/ K(W) (ossia, K(f ) è la funzione continua (f ◦ εY )0 ), allora otteniamo un
K(Y)
funtore
K(−) : Haus
/ CHaus
ed ε : Y 7→ εY definisce una trasformazione naturale i(K(−)) ⇒ IHaus che costituisce
la counità di un aggiunzione i a K(−), per il Teorema 1.
L’interesse per la categoria CGHaus risiede nella sua caratteristica di supplire ad
una mancanza strutturale di Top. Infatti, sebbene la categoria degli spazi topologici
condivida alcune importanti proprietà con Set, come la completezza e la cocompletezza, essa non è cartesiana chiusa (cfr. Definizione 3). La dimostrazione di questo
risultato non è immediata e va decisamente oltre gli scopi di queste note (si veda
[Bor2] §7.1 per una referenza). Possiamo invece provare il prossimo
Teorema 3. CGHaus è una categoria cartesiana chiusa.
Dimostrazione. Cominciamo col notare che CGHaus ammette prodotti binari.6
Infatti, se X , Y ∈ Ob(CGHaus), è facile vedere che un prodotto di X e Y in
CGHaus, X 2Y, è dato dallo spazio topologico
X 2Y = K(i(X ) × i(Y)),
/ Haus è il funtore inclusione e i(X ) × i(Y) è il prodotto di
dove i : CGHaus
X e Y in Haus (il quale ovviamente esiste, perché il prodotto di spazi Hausdorff è
anch’esso Hausdorff), assieme alle proiezioni sui fattori.
Passiamo quindi a costruire un aggiunto destro al funtore
−2Y : CGHaus
/ CGHaus,
per Y ∈ Ob(CGHaus). (Ricordiamo che un tale aggiunto, se esiste, è convenzionalmente denotato con (−)Y ). Per fare ciò, partiamo da una situazione più generale.
Siano quindi W = (W, τW ) e Z = (Z, τZ ) due spazi topologici qualsiasi e definiamo un altro spazio topologico Cop(W, Z) dato dall’insieme HomTop (W, Z) delle
/ Z dotato della topologia dei compatti-aperti. Una sottobase
funzioni continue W
per tale topologia è data, per ogni compatto C di W e ogni aperto U di Z, dai
sottoinsiemi V (C, U ) ⊆ HomTop (W, Z) i cui elementi sono le funzioni continue
/ Z tali che h(C) ⊆ U . Ora, se Z è di Hausdorff, anche Cop(W, Z) lo è.
h: W
Infatti, se f, g ∈ HomTop (W, Z) e f 6= g, allora esiste w ∈ W tale che f (w) 6= g(w).
Prendendo quindi due aperti disgiunti U1 e U2 in Z tali che f (w) ∈ U1 e g(w) ∈ U2
abbiamo V ({w}, U1 )∩V ({w}, U2 ) = ∅, ossia Cop(W, Z) è uno spazio di Hausdorff.
A questo punto, dati X , Y ∈ Ob(CGHaus), definiamo
X Y := K(Cop(Y, X)).
6
In effetti, CGHaus è completa e cocompleta.
21
/ X che costituirà la valutazione
Vogliamo ora definire una freccia eX ,Y : X Y 2Y
in Y, ossia la counità dell’aggiunzione che stiamo costruendo. Consideriamo perciò
la funzione di insiemi
eX,Y : HomTop (Y, X ) × Y
/ X,
(f, x) 7→ f (x)
/X (l’insieme soggiacente a X Y 2Y
e mostriamo che è continua come mappa X Y 2Y
/X è
è HomTop (Y, X ) × Y ). Ora, una mappa insiemistica HomTop (Y, X ) × Y
Y
/ X se e solo se è continua la sua restrizione a ogni
una funzione continua X 2Y
Y
Y
compatto di X 2Y = K(i(X ) × i(Y)) = K(K(Cop(Y, X )) × Y), dove nel lato
destro dell’ultima uguaglianza abbiamo omesso il funtore inclusione i per aumentare la leggibilità. Ma per ogni spazio di Hausdorff W, i compatti di W e di K(W)
sono gli stessi per il Lemma 3. Perciò ci basta mostrare che eX,Y è una funzione
continua sui compatti di Cop(X , Y) × Y (inteso come prodotto in Haus) e, poiché
ogni sottoinsieme compatto nella topologia prodotto è contenuto nel prodotto delle
sue proiezioni sui fattori, possiamo ridurci in ultima analisi a dimostrare che eX,Y
è una funzione continua sugli insiemi della forma D × C, dove D è compatto in
Cop(Y, X ) e C è compatto in Y. Fissiamo dunque un tale insieme D × C e sia
(f, y) un suo elemento. Preso un aperto U di X contenente f (y), poiché f è una
/ X e C è compatto7 , esiste un intorno M di y in C tale che
mappa continua Y
f (M ) ⊆ U (M ha la stessa chiusura sia in C che in X perché C è un chiuso in X ,
in quanto compatto in un Hausdorff). Ma a questo punto V (M , U ) è un aperto in
Cop(Y, X ) e (V (M , U )∩D)×M è aperto in D ×C, contiene (f, y) e viene mappato
da eX,Y in U . Ciò significa che eX,Y è continua e quindi possiamo porre eX ,Y := eX,Y .
Proviamo ora che, per un fissato X ∈ Ob(CHaus), eX ,Y è una freccia universale da
−2Y a X . Consideriamo dunque una freccia h ∈ HomCGHaus (Z2Y, X ) e definiamo
la mappa di insiemi
k: Z
/
HomSet (Y, X),
z 7→ (k(z) : Y 3 y 7→ h(z, y) ∈ X).
(Qui Z è l’insieme soggiacente a Z e analogamente per X e Y ). Si verifica imme/ X . Mostriamo
diatamente che, per ogni z ∈ Z, k(z) è una funzione continua Y
Y
/ X . Poiché Z è compattamente generato, è
ora che k è una mappa continua Z
/ Cop(Y, X ). Siano pertanto
sufficiente verificare che k è una funzione continua Z
z ∈ Z e V (C, U ) un aperto nella sottobase di Cop(Y, X ) tale che k(z) ∈ V (C, U ),
ossia h({z} × C) ⊆ U . Poiché U è aperto in X , C è compatto in Y e h è continua, esiste un intorno V di z in Z tale che h(V × C) ⊆ U . Questo vuol dire che
/ X Y.
k(V ) ⊆ V (C, U ), ossia k è una mappa continua Z
Abbiamo perciò provato che, comunque data h ∈ HomCGHaus (Z2Y, X ), esiste
k ∈ HomCGHaus (Z, X Y ) tale che eX ,Y ◦ (k21Y ) = h. A questo punto è evidente
/ X Y con tale proprietà, perché se k 0 : Z
/ XY
che questa k è l’unica freccia Z
verifica eX ,Y ◦ (k 0 21Y ) = h , allora eX,Y ◦ (k 0 × 1Y ) = h è una fattorizzazione di h in
Set, ossia k = k 0 come mappe di insiemi e dunque anche come morfismi in CGHaus.
7
Gli spazi compatti di Hausdorff sono tali da ammettere, per ogni loro punto, un sistema fondamentale
di intorni compatti.
22
Infine, se g ∈ HomCGHaus (X , Z), g ◦ eX ,Y ∈ HomCGHaus (X Y 2Y, Z) e allora, per
/ Z Y tale che eZ,Y ◦ (t21Y ) =
quanto appena visto, esiste un’unica freccia t : X Y
Y
g ◦ eX ,Y . Ponendo (g) := t, otteniamo un funtore
(−)Y : CGHaus
/ CGHaus
e e•,Y : X 7→ eX ,Y diventa una trasformazione naturale (−)Y 2Y ⇒ ICGHaus , terminando la dimostrazione che CGHaus è una categoria cartesiana chiusa.
Dunque, grazie al teorema appena mostrato, dati X , Y, Z ∈ Ob(CGHaus),
abbiamo una biiezione naturale
ϕ = ϕX ,Y,Z : HomCGHaus (Z2Y, X ) ' HomCGHaus (Z, X Y ).
(20)
In alcuni contesti topologici, è utile considerare la categoria CGHaus∗ degli spazi
di Hausdorff compattamente generati puntati: i suoi oggetti sono le coppie (X , ∗X ),
dove X = (X, τ ) ∈ Ob(CGHaus) e ∗X è un elemento di X (detto punto base di
X ), mentre, per ogni (X , ∗X ), (Y, ∗Y ) ∈ Ob(CGHaus∗ ),
HomCGHaus∗ ((X , ∗X ), (Y, ∗Y )) := {f ∈ HomCGHaus (X , Y) : f (∗X ) = ∗Y }.
Ora, dati (X , ∗X ), (Y, ∗Y ) ∈ Ob(CGHaus∗ ), possiamo considerare X (∗)Y , definito
come il sottospazio di X Y consistente di tutte le mappe in X Y che preservano i punti
base. Poiché X (∗)Y è chiaramente un sottospazio chiuso di X Y , per l’Osservazione
9 è compattamente generato e quindi appartiene a Ob(CGHaus). Inoltre, esso
ammette un naturale punto base, dato dalla funzione costante ∗Y,X che mappa ogni
elemento di Y in ∗X , dunque possiamo considerare (X (∗)Y , ∗Y,X ) come oggetto di
CGHaus∗ .
Consideriamo a questo punto, presi (X , ∗X ), (Y, ∗Y ), (Z, ∗Z ) ∈ Ob(CGHaus∗ ),
l’aggiunzione (20). Possiamo prendere, nel lato destro di tale isomorfismo, il sottoinsieme HomCGHaus∗ (Z, X (∗)Y ) (dove abbiamo omesso di indicare esplicitamente
i punti base per semplicità notazionale) e ci chiediamo se vi sia uno spazio topologico puntato (W, ∗W ) ∈ Ob(CGHaus∗ ) (legato a X e a Z) tale per cui ϕX ,Y,Z si
restringa opportunamente per dare un’aggiunzione
HomCGHaus∗ (W, X ) ' HomCGHaus∗ (Z, X (∗)Y ).
(21)
/ X Y.
Sia dunque f ∈ HomCGHaus (Z2Y, X ) e consideriamo f ] := ϕX ,Y,Z (f ) : Z
]
]
(∗)Y
Quindi, per ogni z ∈ Z, f (z) := f (z, −). Ora, f ∈ HomCGHaus∗ (Z, X
) se e
solo se, per ogni z ∈ Z e ogni y ∈ Y , abbiamo
(f ] (z))(∗Y ) = ∗X
e (f ] (∗Z ))(y) = ∗X ,
ossia
f (z, ∗Y ) = ∗X = f (∗Z , y).
Dunque, f ∗ ∈ HomCGHaus∗ (Z, X (∗)Y ) se e solo se f manda ogni punto di
Z ∨ Y := (Z2{∗Y }) ∪ ({∗Z }2Y)
23
in un punto ∗X o, equivalentemente, se induce una funzione continua Z2Y/Z ∨ Y
(con questa notazione intendiamo il quoziente di Z2Y per la relazione di equivalenza
che collassa Z ∨Y ad un punto). Vorremmo perciò porre W := Z2Y/Z ∨Y, dal momento che questo spazio ha un naturale punto base, dato dalla classe di un qualsiasi
punto in Z ∨ Y. Sappiamo tuttavia che, in generale, nonostante il quoziente di spazi
compattamente generati sia ancora compattamente generato (esercizio!), il quoziente di spazi Hausdorff non è Hausdorff, ossia W non apparterrebbe a CGHaus.
Tuttavia, a ciò c’è rimedio. Infatti, è possibile dimostrare, usando il Teorema 2, che
/ Top ammette un
la categoria Haus è completa e cocompleta e l’inclusione Haus
aggiunto destro H : Top /Haus, ossia Haus è una sottocategoria riflessiva di Top,
/ H(E) (per E ∈ Ob(Top)).
in cui l’unità η è suriettiva in ogni componente ηE : E
Ne segue che, H(Z2Y/Z ∨Y) ∈ Ob(CGHaus) e quindi possiamo scegliere W come
tale spazio, prendendo per punto base l’immagine secondo ηE (E := Z2Y/Z ∨ Y)
della classe di un qualunque punto di Z ∨ Y. Ponendo Z ∧ Y := H(Z2Y/Z ∨ Y),
otteniamo allora la desiderata aggiunzione
HomCGHaus∗ (Z ∧ Y, X ) ' HomCGHaus∗ (Z, X (∗)Y ).
(22)
Osserviamo ora che la circonferenza S 1 si può ottenere come quoziente I/{0, 1},
dove I è l’intervallo chiuso [0, 1], e, poiché S 1 è Hausdorff, I/{0, 1} = H(I/{0, 1}).
Possiamo allora definire due funtori
Σ
CGHaus∗ o
Ω
/
CGHaus∗
dove, per X ∈ Ob(CGHaus∗ ) (al solito omettiamo il punto base per semplicità),
Σ(X ) := X ∧ S 1
1
e Ω(X ) := X (∗)S .
(23)
Σ è detto (funtore) sospensione ridotta, mentre Ω è chiamato (funtore) spazio dei
cappi (loop space) e la discussione precedente assicura che (Σ, Ω) costituisca un’aggiunzione Σ a Ω. Geometricamente, per X ∈ Ob(CGHaus∗ ), Ω(X ) è esattamente
dato dai cappi in X nel punto base ∗X , mentre Σ(X ) è il cilindro X × I dove {∗} × I
e le basi X × {0}, X × {1} sono collassate ad un singolo punto, che è il nuovo punto
base di Σ(X ). Ad esempio, Σ(S 1 ) = S 1 ∧ S 1 ' S 2 , la sfera 2-dimensionale (in R3 ).
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Bibliografia
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Encyclopedia of Mathematics and its Applications 50, Cambridge University Press,
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