SISTEMI LINEARI A COEFFICIENTE COSTANTE
Per studiare la velocità, la precisione e la stabilità di un sistema bisogna individuare il modello
matematico del sistema.
Abbiamo visto che un sistema di controllo è formato da alcuni blocchi, ognuno del quale è un
sistema. Per fare in modo che il sistema di controllo sia lineare bisogna che tutti i blocchi lo
siano (lineari).
SISTEMA LINEARE: un sistema lineare è un sistema per cui vale il principio della
sovrapposizione degli effetti; il modello matematico di un sistema
lineare continuo è un’equazione differenziale lineare.
Ad esempio se abbiamo un sistema lineare a cui sono applicati due ingressi i1, i2, per calcolare
l’uscita applichiamo prima l’ingresso i1 ponendo i2=0 e troviamo l’uscita u1. Poi applichiamo
l’ingresso i2 ponendo i1=0 e troviamo l’uscita u2.
Sommando u1 e u2 otteniamo l’uscita u del sistema quando gli ingressi sono applicati
contemporaneamente.
i1
u
i2
u= u1 + u2
Tra uscita e ingresso c’è un rapporto lineare.
I sistemi sono lineari, a parte perché vale il principio della sovrapposizione, anche perché
l’uscita di tali sistemi è un polinomio in cui l’incognita compare elevata solo al primo grado.
u(t)=2 i(t)
lineare
2
u(t)=3 i (t) non lineare
I sistemi lineari, inoltre, sono a coefficiente costante: il rapporto tra uscita e ingresso è
costante (f.d.t.).
1°esempio: SISTEMA ELETTRICO di 1°Ordine
R
i(t)
vi(t)
C
vc(t)
vi(t)
vc(t)
vi(t)= vR(t)+ vc(t)
vR(t)=R . i(t)
i (t ) C
dvc (t )
dt
accumulo delle cariche sulle armature del condensatore
Sostituiamo vR(t) e i(t) nell’equazione di vi(t)
vi (t ) R .C
dvc (t )
vc (t )
dt
R .C
dvc (t )
vc (t ) vi (t )
dt
Legame matematico del sistema:
legame che esiste tra ingresso e uscita
In questo modello matematico sia il termine noto che l’incognita compaiono con grado
“0”. Oltre all’incognita c’è anche la derivata dell’incognita e un’equazione di questo tipo
è detta equazione differenziale.
Le equazioni differenziali si diversificano in base al grado della derivata. In questo caso è
un’equazione del 1° ordine.
Infatti: un sistema che è descritto da un’equazione differenziale del 1° ordine è un sistema di
1° ordine.
un sistema che è descritto da un’equazione differenziale del 2° ordine è un sistema di 2°
ordine ecc.
Il sistema è continuo perché compaiono funzioni continue.
Tutti i sistemi che sono riconducibili ad un modello di questo tipo:
R .C
dvc (t )
vc (t ) vi (t )
dt
sono sistemi del 1° ordine.
Per sapere se i sistemi di 1° ordine sono veloci, precisi e stabili basta studiare un solo sistema
e, in questo modo, sapremo le caratteristiche di tutti i sistemi del 1° ordine.
Infatti, un generico sistema del primo ordine sarà rappresentato da una equazione del tipo:
u’(t) + a
.
u(t) = b . i(t)
Questa equazione, che è di tipo generico, potrà poi essere facilmente adeguata allo studio di
un particolare sistema sostituendo, al posto dei generici parametri a e b , i parametri
caratteristici del sistema in questione.
2°esempio: SISTEMA MECCANICO di 2°Ordine
Modelizzazione di un sistema di ammortizzatore di un’auto
Fm
Fm= forza molla
Fg= Forza gravità
Fa=Forza d’ attrito
m
Fa
Fg
La molla accumula energia e poi la restituisce. La forza della molla è proporzionale al
coefficiente di elasticità della molla (Km) e allo spostamento x(t), cioè la dilatazione:
Fm=Km . x(t)
Fg= m . g
(g 9,8 m/s 2)
Fa= Kv . v(t)
m=massa
a= accelerazione di gravità
Kv= coefficiente d’attrito,
varia in funzione del gas
v(t)= velocità con cui si muove il
corpo
Quindi, il nostro sistema, rappresentato con uno schema a blocchi è:
Fm
Fg
Fa
x(t)
L’uscita che ci interessa conoscere è la posizione del corpo.
Su tale sistema, quindi agiscono 3 forze. Pertanto la forza totale applicata a quel corpo è la
seguente:
FTOT= Fm+Fg+Fa
somma algebrica
FTOT=Km . x(t) + m . g + Kv . v(t)
La seconda legge di Newton dice che la forza applicata ad un corpo in caduta libera è
pari al prodotto tra la massa e l’accelerazione del corpo:
FTOT= m . a(t)
*
Ma l’accelerazione è la variazione della velocità nell’unità di tempo :
dv(t ) d 2 x(t )
a(t )
2
dt
dt
A sua volta la velocità è la variazione dello spazio nell’unità di tempo:
v(t )
dx(t )
dt
- Sostituiamo i valori nella relazione scritta in rosso e contrassegnata dall’asterisco:
m.
d 2 x(t )
dx(t )
Km. x(t ) mg Kv .
2
dt
dt
Portiamo a sinistra i termini che contengono l’uscita x(t):
m.
d 2 x(t )
dx(t )
Kv .
Km. x(t ) mg
2
dt
dt
Dividiamo tutto per m:
.
.
d 2 x(t ) Kv dx(t ) Km
x(t ) g
m dt
m
dt 2
Questa è un’equazione differenziale del 2°ordine; infatti compare l’incognita, la derivata
dell’incognita, e la derivata seconda dell’incognita.
g
x(t)
m
Km
Kv
parametri
Quindi, controllando il modello matematico e la derivata di grado maggiore, possiamo
conoscere l’ordine del sistema.
