Capitolo 7 – Sviluppi dell’algebra
1. Un’equazione è detta fratta quando presenta l’incognita a denominatore.
2. Prima di risolvere un’equazione fratta, occorre discutere le condizioni di esistenza, escludendo i
valori che annullano i denominatori.
3. Un’equazione parametrica contiene coefficienti letterali; discuterla significa ricavare
informazioni dai coefficienti, eventualmente senza risolverla. Per trattarla si pongono le condizioni
di esistenza relative ai coefficienti e si sfruttano le relazioni tra coefficienti e radici.
4. Un sistema di secondo grado contiene un’equazione di secondo grado e una di primo grado e
può avere:
- due soluzioni reali distinte;
- due soluzioni reali coincidenti;
- nessuna soluzione reale.
5. Particolari sistemi sono i sistemi simmetrici, nei quali la forma non cambia scambiando tra loro
x e y.
⎧x + y = q
Il sistema simmetrico fondamentale di secondo grado ha la forma ⎨
⎩ xy = p
6. Un’equazione nella forma xn = a è detta equazione binomia e si risolve estraendo la radice nsima, se esiste, di a.
7. Un’equazione binomia può presentare:
• una e una sola soluzione ∀a ∈ R se n è dispari;
• due soluzioni coincidenti se a = 0;
• nessuna soluzione se n è pari e a < 0;
• due soluzioni distinte se n è pari e a > 0.
8. Un’equazione nella forma a x2n + bxn + c = 0 è detta trinomia.
Se, in particolare, n = 2 l’equazione ha la forma ax4 + bx2 + c = 0 ed è detta biquadratica.
9. Per risolvere un’equazione biquadratica, la si riconduce a un’equazione di secondo grado
operando la sostituzione xn = t; poi si ritorna in x risolvendo, se possibile, due equazioni binomie.
10. Un’equazione è detta irrazionale se contiene almeno un radicale in cui compare l’incognita.
11.
Per risolvere equazioni irrazionali:
• se l’indice dei radicali è dispari basta elevare a potenza in modo da eliminare l’irrazionalità;
• se l’indice è pari occorre discutere la realtà dei radicali e il segno dei due membri, per poter
elevare a potenza pari.
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