Funzioni Aritmetiche

Funzioni
Aritmetiche
Roberto
Gualdi
Teoria
generale
delle funzioni
aritmetiche
Funzioni Aritmetiche
Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Roberto Gualdi
Università di Milano-Bicocca
30 novembre 2012
Piano della presentazione
Funzioni
Aritmetiche
Roberto
Gualdi
Teoria
generale
delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
1 Teoria generale delle funzioni aritmetiche
2 Inversione di Möbius
3 Serie di Dirichlet
Qualche definizione
Funzioni
Aritmetiche
Roberto
Gualdi
Teoria
generale
delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Definizione
Una funzione aritmetica è una funzione da N in C.
Definizione
Una funzione aritmetica f si dice moltiplicativa se è diversa
dalla funzione nulla e per ogni n, m ∈ N primi tra loro vale che
f (n · m) = f (n) · f (m).
Esempi notevoli
Funzioni
Aritmetiche
Roberto
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Teoria
generale
delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Per esempio:
la funzione costantemente uguale a 1, indicata con 1
la funzione unità
(
1 se n = 1,
e(n) =
0 se n ≥ 2
la funzione di Eulero
ϕ(n) = |{m ∈ {1, . . . , n} : M.C .D.(m, n) = 1}|
Prodotto di Dirichlet tra funzioni aritmetiche
Funzioni
Aritmetiche
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Teoria
generale
delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Definizione
Si dice prodotto di Dirichlet tra due funzioni aritmetiche f e
g la funzione aritmetica
n
X
(f ∗ g )(n) =
f (d )g
d
d|n
Serie di
Dirichlet
Si vede che è:
associativo
commutativo
dotato di elemento neutro, la funzione e.
Prodotto di Dirichlet tra funzioni aritmetiche
Funzioni
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delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Definizione
Si dice prodotto di Dirichlet tra due funzioni aritmetiche f e
g la funzione aritmetica
n
X
(f ∗ g )(n) =
f (d )g
d
d|n
Serie di
Dirichlet
Si vede che è:
associativo
commutativo
dotato di elemento neutro, la funzione e.
Struttura algebrica
Funzioni
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generale
delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Notazioni:
F per l’insieme delle funzioni aritmetiche
M per l’insieme delle funzioni aritmetiche moltiplicative
Teorema
(F; +; ∗) è un anello commutativo con unità e.
Quali funzioni aritmetiche hanno inverso?
Funzioni
Aritmetiche
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Teoria
generale
delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Proposizione
Gli invertibili di F rispetto al prodotto di Dirichlet sono tutte e
sole le funzioni aritmetiche che non si annullano in 1.
Corollario
Ogni funzione moltiplicativa ammette inversa di Dirichlet.
Proposizione
(M; ∗) è un gruppo abeliano.
Quali funzioni aritmetiche hanno inverso?
Funzioni
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generale
delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Proposizione
Gli invertibili di F rispetto al prodotto di Dirichlet sono tutte e
sole le funzioni aritmetiche che non si annullano in 1.
Corollario
Ogni funzione moltiplicativa ammette inversa di Dirichlet.
Proposizione
(M; ∗) è un gruppo abeliano.
Quali funzioni aritmetiche hanno inverso?
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generale
delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Proposizione
Gli invertibili di F rispetto al prodotto di Dirichlet sono tutte e
sole le funzioni aritmetiche che non si annullano in 1.
Corollario
Ogni funzione moltiplicativa ammette inversa di Dirichlet.
Proposizione
(M; ∗) è un gruppo abeliano.
Un’interessante proprietà
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Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Proposizione
Se f , g sono funzioni aritmetiche con la proprietà che g e f ∗ g
sono moltiplicative, anche f lo è.
ESEMPIO
P
Sappiamo che d|n ϕ(d ) = n. Scrivendo ϕ ∗ 1 = id , si deduce
subito che ϕ è moltiplicativa.
Un’interessante proprietà
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Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Proposizione
Se f , g sono funzioni aritmetiche con la proprietà che g e f ∗ g
sono moltiplicative, anche f lo è.
ESEMPIO
P
Sappiamo che d|n ϕ(d ) = n. Scrivendo ϕ ∗ 1 = id , si deduce
subito che ϕ è moltiplicativa.
La funzione di Möbius
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Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Definizione
Si dice funzione di Möbius la funzione aritmetica µ che si
ottiene ponendo µ(1) = 1, µ(n) = 0 se n non è squarefree,
µ(n) = (−1)k se n è prodotto di k fattori primi.
Esplicitamente se n = p1α1 p2α2 . . . pkαk (pi distinti e primi):


1
µ(n) = 0


(−1)k
se n = 1,
se ∃i ∈ {1, 2, . . . , k} : αi ≥ 2
se ∀i ∈ {1, 2, . . . , k} : αi = 1
OSSERVAZIONE: µ è moltiplicativa.
La funzione di Möbius
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Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Definizione
Si dice funzione di Möbius la funzione aritmetica µ che si
ottiene ponendo µ(1) = 1, µ(n) = 0 se n non è squarefree,
µ(n) = (−1)k se n è prodotto di k fattori primi.
Esplicitamente se n = p1α1 p2α2 . . . pkαk (pi distinti e primi):


1
µ(n) = 0


(−1)k
se n = 1,
se ∃i ∈ {1, 2, . . . , k} : αi ≥ 2
se ∀i ∈ {1, 2, . . . , k} : αi = 1
OSSERVAZIONE: µ è moltiplicativa.
La funzione di Möbius
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Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Definizione
Si dice funzione di Möbius la funzione aritmetica µ che si
ottiene ponendo µ(1) = 1, µ(n) = 0 se n non è squarefree,
µ(n) = (−1)k se n è prodotto di k fattori primi.
Esplicitamente se n = p1α1 p2α2 . . . pkαk (pi distinti e primi):


1
µ(n) = 0


(−1)k
se n = 1,
se ∃i ∈ {1, 2, . . . , k} : αi ≥ 2
se ∀i ∈ {1, 2, . . . , k} : αi = 1
OSSERVAZIONE: µ è moltiplicativa.
Identità di Möbius
Funzioni
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generale
delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Teorema
Per ogni n ∈ N vale che
P
d|n
µ(d ) = e(n).
Dimostrazione
Di fatto si vuole provare µ ∗ 1 = e.
Le funzioni sono tutte moltiplicative dunque basta verificare
l’uguaglianza sulle potenze dei primi.
X
(µ ∗ 1)(p m ) =
µ(d ) = µ(1) + µ(p) + · · · + µ(p m ) = 0
d|p m
e(p m ) = 0
Identità di Möbius
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Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Teorema
Per ogni n ∈ N vale che
P
d|n
µ(d ) = e(n).
Dimostrazione
Di fatto si vuole provare µ ∗ 1 = e.
Le funzioni sono tutte moltiplicative dunque basta verificare
l’uguaglianza sulle potenze dei primi.
X
(µ ∗ 1)(p m ) =
µ(d ) = µ(1) + µ(p) + · · · + µ(p m ) = 0
d|p m
e(p m ) = 0
Identità di Möbius
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Möbius
Serie di
Dirichlet
Teorema
Per ogni n ∈ N vale che
P
d|n
µ(d ) = e(n).
Dimostrazione
Di fatto si vuole provare µ ∗ 1 = e.
Le funzioni sono tutte moltiplicative dunque basta verificare
l’uguaglianza sulle potenze dei primi.
X
(µ ∗ 1)(p m ) =
µ(d ) = µ(1) + µ(p) + · · · + µ(p m ) = 0
d|p m
e(p m ) = 0
Identità di Möbius
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Serie di
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Teorema
Per ogni n ∈ N vale che
P
d|n
µ(d ) = e(n).
Dimostrazione
Di fatto si vuole provare µ ∗ 1 = e.
Le funzioni sono tutte moltiplicative dunque basta verificare
l’uguaglianza sulle potenze dei primi.
X
(µ ∗ 1)(p m ) =
µ(d ) = µ(1) + µ(p) + · · · + µ(p m ) = 0
d|p m
e(p m ) = 0
Identità di Möbius
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Serie di
Dirichlet
Teorema
Per ogni n ∈ N vale che
P
d|n
µ(d ) = e(n).
Dimostrazione
Di fatto si vuole provare µ ∗ 1 = e.
Le funzioni sono tutte moltiplicative dunque basta verificare
l’uguaglianza sulle potenze dei primi.
X
(µ ∗ 1)(p m ) =
µ(d ) = µ(1) + µ(p) + · · · + µ(p m ) = 0
d|p m
e(p m ) = 0
Identità di Möbius
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Serie di
Dirichlet
Teorema
Per ogni n ∈ N vale che
P
d|n
µ(d ) = e(n).
Dimostrazione
Di fatto si vuole provare µ ∗ 1 = e.
Le funzioni sono tutte moltiplicative dunque basta verificare
l’uguaglianza sulle potenze dei primi.
X
(µ ∗ 1)(p m ) =
µ(d ) = µ(1) + µ(p) + · · · + µ(p m ) = 0
d|p m
e(p m ) = 0
Identità di Möbius
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Serie di
Dirichlet
Teorema
Per ogni n ∈ N vale che
P
d|n
µ(d ) = e(n).
Dimostrazione
Di fatto si vuole provare µ ∗ 1 = e.
Le funzioni sono tutte moltiplicative dunque basta verificare
l’uguaglianza sulle potenze dei primi.
X
(µ ∗ 1)(p m ) =
µ(d ) = µ(1) + µ(p) + · · · + µ(p m ) = 0
d|p m
e(p m ) = 0
Identità di Möbius
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Serie di
Dirichlet
Teorema
Per ogni n ∈ N vale che
P
d|n
µ(d ) = e(n).
Dimostrazione
Di fatto si vuole provare µ ∗ 1 = e.
Le funzioni sono tutte moltiplicative dunque basta verificare
l’uguaglianza sulle potenze dei primi.
X
(µ ∗ 1)(p m ) =
µ(d ) = µ(1) + µ(p) + · · · + µ(p m ) = 0
d|p m
e(p m ) = 0
Formula di inversione di Möbius
Funzioni
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delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Corollario
Se f e F due funzioni aritmetiche, sono equivalenti:
P
(i) F (n) = d|n f (d ) per ogni n ∈ N;
P
(ii) f (n) = d|n F (d )µ dn per ogni n ∈ N.
Dimostrazione
(i) ⇒ (ii): se F = f ∗ 1:
F ∗ µ = (f ∗ 1) ∗ µ = f ∗ (1 ∗ µ) = f ∗ e = f
(ii) ⇒ (i): viceversa se f = F ∗ µ:
F = F ∗ e = F ∗ (µ ∗ 1) = (F ∗ µ) ∗ 1 = f ∗ 1
Formula di inversione di Möbius
Funzioni
Aritmetiche
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aritmetiche
Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Corollario
Se f e F due funzioni aritmetiche, sono equivalenti:
P
(i) F (n) = d|n f (d ) per ogni n ∈ N;
P
(ii) f (n) = d|n F (d )µ dn per ogni n ∈ N.
Dimostrazione
(i) ⇒ (ii): se F = f ∗ 1:
F ∗ µ = (f ∗ 1) ∗ µ = f ∗ (1 ∗ µ) = f ∗ e = f
(ii) ⇒ (i): viceversa se f = F ∗ µ:
F = F ∗ e = F ∗ (µ ∗ 1) = (F ∗ µ) ∗ 1 = f ∗ 1
Formula di inversione di Möbius
Funzioni
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aritmetiche
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Möbius
Serie di
Dirichlet
Corollario
Se f e F due funzioni aritmetiche, sono equivalenti:
P
(i) F (n) = d|n f (d ) per ogni n ∈ N;
P
(ii) f (n) = d|n F (d )µ dn per ogni n ∈ N.
Dimostrazione
(i) ⇒ (ii): se F = f ∗ 1:
F ∗ µ = (f ∗ 1) ∗ µ = f ∗ (1 ∗ µ) = f ∗ e = f
(ii) ⇒ (i): viceversa se f = F ∗ µ:
F = F ∗ e = F ∗ (µ ∗ 1) = (F ∗ µ) ∗ 1 = f ∗ 1
Formula di inversione di Möbius
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Serie di
Dirichlet
Corollario
Se f e F due funzioni aritmetiche, sono equivalenti:
P
(i) F (n) = d|n f (d ) per ogni n ∈ N;
P
(ii) f (n) = d|n F (d )µ dn per ogni n ∈ N.
Dimostrazione
(i) ⇒ (ii): se F = f ∗ 1:
F ∗ µ = (f ∗ 1) ∗ µ = f ∗ (1 ∗ µ) = f ∗ e = f
(ii) ⇒ (i): viceversa se f = F ∗ µ:
F = F ∗ e = F ∗ (µ ∗ 1) = (F ∗ µ) ∗ 1 = f ∗ 1
Formula di inversione di Möbius
Funzioni
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Möbius
Serie di
Dirichlet
Corollario
Se f e F due funzioni aritmetiche, sono equivalenti:
P
(i) F (n) = d|n f (d ) per ogni n ∈ N;
P
(ii) f (n) = d|n F (d )µ dn per ogni n ∈ N.
Dimostrazione
(i) ⇒ (ii): se F = f ∗ 1:
F ∗ µ = (f ∗ 1) ∗ µ = f ∗ (1 ∗ µ) = f ∗ e = f
(ii) ⇒ (i): viceversa se f = F ∗ µ:
F = F ∗ e = F ∗ (µ ∗ 1) = (F ∗ µ) ∗ 1 = f ∗ 1
Formula di inversione di Möbius
Funzioni
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Serie di
Dirichlet
Corollario
Se f e F due funzioni aritmetiche, sono equivalenti:
P
(i) F (n) = d|n f (d ) per ogni n ∈ N;
P
(ii) f (n) = d|n F (d )µ dn per ogni n ∈ N.
Dimostrazione
(i) ⇒ (ii): se F = f ∗ 1:
F ∗ µ = (f ∗ 1) ∗ µ = f ∗ (1 ∗ µ) = f ∗ e = f
(ii) ⇒ (i): viceversa se f = F ∗ µ:
F = F ∗ e = F ∗ (µ ∗ 1) = (F ∗ µ) ∗ 1 = f ∗ 1
Applicazioni della formula
Funzioni
Aritmetiche
Roberto
Gualdi
Teoria
generale
delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Alcune applicazioni:
valutazione della funzione di Eulero ϕ. Sappiamo che
soddisfa id = ϕ ∗ 1. Allora:
id ∗ µ = (ϕ ∗ 1) ∗ µ = ϕ ∗ (1 ∗ µ) = ϕ ∗ e = ϕ
formula
Q di Hall: sen q−a=n 1 − cT con c ∈ Z e
q = n∈N 1 − T
allora:
Serie di
Dirichlet
an =
n
1X
µ(d )c d
n
d|n
il numero di polinomi monici e irriducibili di grado n in
Fq [T ] è
1 X n d
Nq (n) =
µ
q
n
d
d|n
Applicazioni della formula
Funzioni
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generale
delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Alcune applicazioni:
valutazione della funzione di Eulero ϕ. Sappiamo che
soddisfa id = ϕ ∗ 1. Allora:
id ∗ µ = (ϕ ∗ 1) ∗ µ = ϕ ∗ (1 ∗ µ) = ϕ ∗ e = ϕ
formula
Q di Hall: sen q−a=n 1 − cT con c ∈ Z e
q = n∈N 1 − T
allora:
Serie di
Dirichlet
an =
n
1X
µ(d )c d
n
d|n
il numero di polinomi monici e irriducibili di grado n in
Fq [T ] è
1 X n d
Nq (n) =
µ
q
n
d
d|n
Applicazioni della formula
Funzioni
Aritmetiche
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generale
delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Alcune applicazioni:
valutazione della funzione di Eulero ϕ. Sappiamo che
soddisfa id = ϕ ∗ 1. Allora:
id ∗ µ = (ϕ ∗ 1) ∗ µ = ϕ ∗ (1 ∗ µ) = ϕ ∗ e = ϕ
formula
Q di Hall: sen q−a=n 1 − cT con c ∈ Z e
q = n∈N 1 − T
allora:
Serie di
Dirichlet
an =
n
1X
µ(d )c d
n
d|n
il numero di polinomi monici e irriducibili di grado n in
Fq [T ] è
1 X n d
Nq (n) =
µ
q
n
d
d|n
Serie di Dirchlet formali
Funzioni
Aritmetiche
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generale
delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Definizione
Si dice serie formale di Dirichlet indotta da una funzione
aritmetica f l’espressione (formale):
Serie di
Dirichlet
Df (s) =
∞
X
n=1
Ad esempio D1 = ζ
f (n)n−s
Serie di Dirchlet formali
Funzioni
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generale
delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Definizione
Si dice serie formale di Dirichlet indotta da una funzione
aritmetica f l’espressione (formale):
Serie di
Dirichlet
Df (s) =
∞
X
n=1
Ad esempio D1 = ζ
f (n)n−s
Operazioni tra serie di Dirichlet
Funzioni
Aritmetiche
Roberto
Gualdi
Teoria
generale
delle funzioni
aritmetiche
Definiamo sull’insieme D delle serie formali di Dirichlet:
!
!
∞
∞
∞
X
X
X
f (n)n−s +
g (m)ms =
f (n) + g (m) n−s
n=1
Inversione di
Möbius
∞
X
Serie di
Dirichlet
n=1
m=1
!
f (n)n
−s
∞
X
m=1
n=1
!
g (m)m
s
=
∞
X
n,m=1
Proposizione
Df · Dg = Df ∗g
f (n)g (m)(nm)−s
Operazioni tra serie di Dirichlet
Funzioni
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delle funzioni
aritmetiche
Definiamo sull’insieme D delle serie formali di Dirichlet:
!
!
∞
∞
∞
X
X
X
f (n)n−s +
g (m)ms =
f (n) + g (m) n−s
n=1
Inversione di
Möbius
∞
X
Serie di
Dirichlet
n=1
m=1
!
f (n)n
−s
∞
X
m=1
n=1
!
g (m)m
s
=
∞
X
n,m=1
Proposizione
Df · Dg = Df ∗g
f (n)g (m)(nm)−s
Operazioni tra serie di Dirichlet
Funzioni
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aritmetiche
Definiamo sull’insieme D delle serie formali di Dirichlet:
!
!
∞
∞
∞
X
X
X
f (n)n−s +
g (m)ms =
f (n) + g (m) n−s
n=1
Inversione di
Möbius
∞
X
Serie di
Dirichlet
n=1
m=1
!
f (n)n
−s
∞
X
m=1
n=1
!
g (m)m
s
=
∞
X
n,m=1
Proposizione
Df · Dg = Df ∗g
f (n)g (m)(nm)−s
Strutture algebriche su D
Funzioni
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generale
delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Corollario
(D; +; ·) è un anello commutativo con unità la funzione
costantemente uguale 1.
Corollario
La mappa
D : (F; +; ∗) → (D; +; ·)
D : f 7→ Df
è un omomorfismo di anelli.
Strutture algebriche su D
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Serie di
Dirichlet
Corollario
(D; +; ·) è un anello commutativo con unità la funzione
costantemente uguale 1.
Corollario
La mappa
D : (F; +; ∗) → (D; +; ·)
D : f 7→ Df
è un omomorfismo di anelli.
Quando una serie di Dirichlet ha senso analitico?
Funzioni
Aritmetiche
Roberto
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Teoria
generale
delle funzioni
aritmetiche
Teorema
P
−s
Sia data una serie di Dirichlet Df (s) = ∞
n=1 f (n)n , che
converge per un certo numero complesso s0 . Allora essa
converge per tutti i numeri complessi s con <(s) > <(s0 ).
Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Definizione
Diciamo ascissa di convergenza di una serie di Dirichlet D,
l’unico σconv (D) ∈ [−∞; +∞] per cui la serie converge per
<(s) > σconv (D), non converge per <(s) < σconv (D).
Si dice semipiano di convergenza il semipiano (eventualmente
degenere) {s ∈ C : <(s) > σconv (D)}.
Quando una serie di Dirichlet ha senso analitico?
Funzioni
Aritmetiche
Roberto
Gualdi
Teoria
generale
delle funzioni
aritmetiche
Teorema
P
−s
Sia data una serie di Dirichlet Df (s) = ∞
n=1 f (n)n , che
converge per un certo numero complesso s0 . Allora essa
converge per tutti i numeri complessi s con <(s) > <(s0 ).
Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
Definizione
Diciamo ascissa di convergenza di una serie di Dirichlet D,
l’unico σconv (D) ∈ [−∞; +∞] per cui la serie converge per
<(s) > σconv (D), non converge per <(s) < σconv (D).
Si dice semipiano di convergenza il semipiano (eventualmente
degenere) {s ∈ C : <(s) > σconv (D)}.
Quando una serie di Dirichlet ha senso analitico?
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delle funzioni
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Teorema
P
−s
Sia data una serie di Dirichlet Df (s) = ∞
n=1 f (n)n , che
converge per un certo numero complesso s0 . Allora essa
converge per tutti i numeri complessi s con <(s) > <(s0 ).
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Möbius
Serie di
Dirichlet
Definizione
Diciamo ascissa di convergenza di una serie di Dirichlet D,
l’unico σconv (D) ∈ [−∞; +∞] per cui la serie converge per
<(s) > σconv (D), non converge per <(s) < σconv (D).
Si dice semipiano di convergenza il semipiano (eventualmente
degenere) {s ∈ C : <(s) > σconv (D)}.
Serie di Dirichlet e Ipotesi di Riemann
Funzioni
Aritmetiche
Roberto
Gualdi
Teoria
generale
delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet
La funzione g (n) = (−1)n+1 è aritmetica moltiplicativa e per
<(s) > 1:
Dg (s) =
∞
X
(−1)n+1
n=1
ns
=−
X 1
X
+
ns
n pari
n dispari
1
=
ns
∞
∞
X 1
X
X
1
1
−
2
=
ζ(s)
−
2
=
=
s
s
n
n
(2k)s
n=1
= ζ(s) − 2
1
2s
n pari
∞
X
k=1
1−s
= ζ(s) 1 − 2
k=1
1
= ζ(s) − 21−s ζ(s) =
ks
Funzioni
Aritmetiche
Roberto
Gualdi
Teoria
generale
delle funzioni
aritmetiche
Sia Z (s) =
Dg (s)
.
1−21−s
Vale:
è una funzione olomorfa in <(s) > 0 ovunque tranne che in
s = 1 dove c’è un polo semplice
per <(s) > 1, coincide con ζ(s)
Inversione di
Möbius
Congettura (Ipotesi di Riemann)
Serie di
Dirichlet
Sia s uno zero della funzione
Dg (s) =
∞
X
(−1)n+1
n=1
con 0 < <(s) < 1. Allora <(s) = 12 .
ns
Funzioni
Aritmetiche
Roberto
Gualdi
Teoria
generale
delle funzioni
aritmetiche
Sia Z (s) =
Dg (s)
.
1−21−s
Vale:
è una funzione olomorfa in <(s) > 0 ovunque tranne che in
s = 1 dove c’è un polo semplice
per <(s) > 1, coincide con ζ(s)
Inversione di
Möbius
Congettura (Ipotesi di Riemann)
Serie di
Dirichlet
Sia s uno zero della funzione
Dg (s) =
∞
X
(−1)n+1
n=1
con 0 < <(s) < 1. Allora <(s) = 12 .
ns
Funzioni
Aritmetiche
Roberto
Gualdi
Teoria
generale
delle funzioni
aritmetiche
Sia Z (s) =
Dg (s)
.
1−21−s
Vale:
è una funzione olomorfa in <(s) > 0 ovunque tranne che in
s = 1 dove c’è un polo semplice
per <(s) > 1, coincide con ζ(s)
Inversione di
Möbius
Congettura (Ipotesi di Riemann)
Serie di
Dirichlet
Sia s uno zero della funzione
Dg (s) =
∞
X
(−1)n+1
n=1
con 0 < <(s) < 1. Allora <(s) = 12 .
ns
Funzioni
Aritmetiche
Roberto
Gualdi
Teoria
generale
delle funzioni
aritmetiche
Inversione di
Möbius
Serie di
Dirichlet