Una dimostrazione topologica dell’infinità dei numeri primi Definiamo una topologia su Z tramite la base costituita dalle progressioni aritmetiche U (a, b) = {a + bn | n ∈ Z} con a, b ∈ Z. Questi insiemi costituiscono una base perché l’intersezione di due progressioni aritmetiche è vuota oppure è anch’essa una progressione aritmetica; gli aperti della topologia sono quindi unioni di insiemi U (a, b). Osserviamo che ogni aperto non vuoto contiene infiniti elementi, essendo unione di progressioni aritmetiche (che ne contengono infiniti). Osserviamo anche che gli insiemi U (a, b) sono chiusi, dal momento che il com[ plementare di U (a, b) è U (c, b) e quindi è aperto. c6≡a mod b Se per assurdo i primi fossero in numero finito, {p1 , . . . , pk }, allora avremmo Z \ {1, −1} = k [ U (0, pi ) i=1 unione di un numero finito di chiusi, quindi {−1, 1} sarebbe un aperto costituito da un numero finito di elementi, il che è impossibile. 1