Una dimostrazione topologica dell`infinit`a dei numeri primi

Una dimostrazione topologica dell’infinità dei numeri primi
Definiamo una topologia su Z tramite la base costituita dalle progressioni aritmetiche U (a, b) = {a + bn | n ∈ Z} con a, b ∈ Z. Questi insiemi costituiscono
una base perché l’intersezione di due progressioni aritmetiche è vuota oppure
è anch’essa una progressione aritmetica; gli aperti della topologia sono quindi
unioni di insiemi U (a, b).
Osserviamo che ogni aperto non vuoto contiene infiniti elementi, essendo unione
di progressioni aritmetiche (che ne contengono infiniti).
Osserviamo anche che gli insiemi
U (a, b) sono chiusi, dal momento che il com[
plementare di U (a, b) è
U (c, b) e quindi è aperto.
c6≡a mod b
Se per assurdo i primi fossero in numero finito, {p1 , . . . , pk }, allora avremmo
Z \ {1, −1} =
k
[
U (0, pi )
i=1
unione di un numero finito di chiusi, quindi {−1, 1} sarebbe un aperto costituito
da un numero finito di elementi, il che è impossibile.
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