Microeconomia, Esercitazione 3 Effetto reddito, sostituzione

Microeconomia, Esercitazione 3
Effetto reddito, sostituzione, variazione compensativa, domanda di
mercato, surplus del consumatore.
Dott. Giuseppe Francesco Gori
Domande a risposta multipla
1) Se nel mercato di un bene ci sono 30 consumatori, ciascuno con domanda individuale
!
!"
q = ! − ! allora la curva di domanda di mercato p = f(Q) è data da:
a)
b)
c)
d)
𝑞 = 3 ∙ 𝑝 − 60;
𝒒 = 𝟏𝟎 ∙ 𝒑 − 𝟐𝟎𝟎;
𝑞 = 15 ∙ 𝑝 + 20;
Nessuna delle precedenti.
2) Se, in corrispondenza di una certa combinazione di fattori, il saggio marginale di sostituzione
tecnica tra lavoro e capitale vale -6 e l’impresa rinuncia a 3 unità di lavoro, quante unità
addizionali di capitale sono necessarie affinché l’impresa mantenga costante il livello di
produzione?
a)
b)
c)
d)
1/2;
2;
18;
8.
!
3) Se la funzione di produzione di una impresa è data da 𝐹(𝐿, 𝐾) = 𝐿! 𝐾 ! e se il capitale nel
breve periodo è fisso a 𝐾 = 36 allora il prodotto medio del lavoro è pari a:
a)
b)
c)
d)
6 / 𝐿;
𝟔 ∙ 𝑳;
6 ∙ 𝐾;
4 ∙ 𝐿 ∙ 𝐾.
!
4) Se in un mercato ci sono soltanto due consumatori con funzioni di domanda 𝑝 = 10 − ! ∙ 𝑄 e
𝑝 = 10 − 𝑞 ∙ 2 , rispettivamente, allora la funzione di domanda di mercato è data da:
!
a) 𝑝 = 16 − ! ∙ 𝑞;
!
b) 𝑝 = 6 − ! ∙ 𝑞;
!
c) 𝑝 = 6 − ! ∙ 𝑞;
𝟐
d) 𝒑 = 𝟏𝟎 − 𝟕 ∙ 𝒒.
5) Il surplus del consumatore è pari a:
a) La somma delle disponibilità a pagare per ogni quantità del bene meno il valore degli
scambi;
b) La somma delle disponibilità a pagare per ogni quantità del bene più il valore degli scambi;
c) La somma delle disponibilità a pagare per ogni quantità del bene;
d) Nessuna delle precedenti.
6) La curva reddito-consumo:
a) E’ costituita dai panieri ottimali del consumatore in corrispondenza di diversi livelli di
reddito;
b) Può variare al variare dei prezzi;
c) E’ crescente per i beni normali;
d) Tutte le precedenti.
Esercizi
Esercizio 1 (effetto reddito e sostituzione, variazione compensativa)
Il consumatore ha una funzione di utilità data da
!
!
𝑈 = 𝑥 ! ∙ 𝑦 !
Il prezzo del bene 𝑥 è 4/3, il prezzo di 𝑦 è 1 e il reddito a disposizione 𝑀 = 20.
1) Si calcoli e si rappresenti graficamente la curva di indifferenza di livello 6.
2) Si calcoli e si rappresenti graficamente la scelta ottimale del consumatore (𝑆𝑀𝑆 = 3𝑦/2𝑥).
3) Supponendo che il prezzo del bene x aumenti e sia ora pari a 12, si determini nuovamente la
scelta ottima del consumatore.
4) Si scomponga l’effetto totale della variazione di prezzo del bene x in effetto di reddito e di
sostituzione.
5) Si calcoli la variazione compensativa.
Svolgimento
Punto 1
!
!
La curva in questione ha equazione implicita 6 = 𝑥 ! ∙ 𝑦 ! ed esplicita 𝑦 = 6! /𝑥 !/! . Passa per i
punti (4, 27), (9,8).
Punto 2
Per calcolare la scelta ottimale del consumatore è necessario innanzitutto scrivere l’equazione del
vincolo di bilancio:
4
20 = ∙ 𝑥 + 𝑦
3
ovvero
4
𝑦 = 20 − ∙ 𝑥
3
la cui pendenza è pari a −4/3.
Il saggio marginale di sostituzione è
𝑆𝑀𝑆!,! =
e la condizione di tangenza
𝑆𝑀𝑆!,! =
da cui
𝑝! 3 𝑦 4
→ ∙ =
𝑝! 2 𝑥 3
𝑦=
e il sistema sarà
3 𝑦
∙
2 𝑥
8
∙𝑥
9
8
8
8
8
∙𝑥
𝑦= ∙𝑥
𝑦= ∙𝑥
9
9
9
→
→
→ 𝑦=9∙𝑥
4
𝟖
𝟒
𝟐𝟎
𝒙=𝟗
𝑦 = 20 − ∙ 𝑥
∙ 𝒙 = 𝟐𝟎 − ∙ 𝒙
∙ 𝒙 = 𝟐𝟎
3
𝟗
𝟑
𝟗
𝑦=
→
𝑦∗ = 8
𝑥∗ = 9
Sostituendo le quantità ottimali di x e y nella funzione di utilità possiamo verificare che il paniere
ottimale giace sulla curva di indifferenza di livello 6 (U=6). La rappresentazione grafica
dell’equilibrio è la seguente
y
20#
y* = 8
U =6
x* = 9
15#
Punto 3
Dato il nuovo prezzo del bene x il nuovo vincolo di bilancio sarà
20 = 12 ∙ 𝑥 + 𝑦
ovvero
𝑦 = 20 − 12 ∙ 𝑥
e la condizione di tangenza sarà ora
x
𝑆𝑀𝑆!,! =
da cui
𝑝! 3 𝑦
→ ∙ = 12
𝑝! 2 𝑥
𝑦 =8∙𝑥
e il sistema sarà
𝑦=8∙𝑥
𝑦 = 20 − 12 ∙ 𝑥
→
𝑦=8∙𝑥
𝟖 ∙ 𝒙 = 𝟐𝟎 − 𝟏𝟐 ∙ 𝒙
→
→
𝑦=8∙𝑥
𝟐𝟎 ∙ 𝒙 = 𝟐𝟎
→
𝑦=8∙𝑥
𝒙=𝟏
𝑦∗ = 8
𝑥∗ = 1
alla nuova scelta del paniere corrisponde U=2.
y
20#
E1
E0
y* = 8
U =6
5/2#
x1 * = 1
x0 * = 9
15#
x
Punto 4
L'effetto totale su x è dato dalla differenza tra la x di equilibrio con la nuova coppia di prezzi e la x
di equilibrio con la vecchia coppia di prezzi:
𝐸𝑇 = 𝑥!∗ − 𝑥!∗ = 1 − 9 = −8 Per trovare l'effetto di sostituzione è invece necessario capire quanto x verrebbe consumato se i
prezzi fossero quelli nuovi ma se il consumatore si trovasse ancora in corrispondenza della vecchia
curva di indifferenza, ovvero godesse della stessa utilità. Per farlo è necessario mettere a sistema il
nuovo SMS con U=6 (e non, come nel caso in cui si cerchi l’ottimo del consumatore, con il vincolo
di bilancio)
𝑦=8∙𝑥
𝑦 = 63 /𝑥3/2
𝑦=8∙𝑥
→
𝟖 ∙ 𝒙 = 𝟔𝟑 /𝒙𝟑/𝟐
→
𝑦=8∙𝑥
𝒙𝟓/𝟐 = 𝟔𝟑 /𝟖
→
→
𝑦=8∙𝑥
𝒙𝟓/𝟐 = 𝟐𝟕
𝑦=8∙𝑥
→
𝒙=
𝟓
𝟐𝟕𝟐 = 𝟑, 𝟕
𝑦∗2 = 29,6
𝑥∗2 = 3,7
L’effetto di sostituzione è dunque la differenza tra questo valore di x e quello dell’equilibrio
originario:
𝐸𝑆 = 𝑥!∗ − 𝑥!∗ = 3,7 − 9 = −5,3 Mentre l’effetto reddito sarà pari a:
𝐸𝑅 = 𝐸𝑇 − 𝐸𝑆 = 𝑥!∗ − 𝑥!∗ −(𝑥!∗ − 𝑥!∗ ) = 𝑥!∗ − 𝑥!∗ = 1 − 3,7 = −2,7
y
20#
E2
E1
E0
y* = 8
U =6
x1 * = 1
x2 * = 3, 7
ER = −2, 7
x0 * = 9
ES = −5, 3
15#
x
ET = x1 * −x0 * = −8
Punto 5
Per calcolare la variazione compensativa è necessario calcolare la differenza tra il reddito che
occorrerebbe al consumatore per raggiungere il punto E! e quello originario, ovvero quello che gli
è sufficiente a raggiungere E! con i vecchi prezzi e E! con i nuovi prezzi. Dobbiamo quindi scrivere
il vincolo di bilancio con i nuovi prezzi e sostituirvi i valori del paniere E! lasciando come unica
incognita il reddito M:
𝑀! = 12 ∙ 𝑥 + 𝑦 = 12 ∙ 3,7 + 29,6 = 74
la differenza tra questo reddito e quello originario
𝑀! − 𝑀 = 74 − 20 = 54
è la variazione compensativa, che corrisponde all'ammontare di denaro del quale l'individuo
avrebbe bisogno per compensarlo per gli effetti avversi della variazione del prezzo.
y
20#
ΔM = 54
E2
E1
E0
15#
x
Esercizio 2 (domanda di mercato)
Un mercato è costituito da due soli consumatori. Il consumatore 1 ha funzione di domanda
individuale pari a
𝑝 = 12 – 2 ∙ 𝑞!! ed il consumatore 2 ha funzione di domanda pari a
𝑝 = 8 – 2 ∙ 𝑞!! 1) Rappresentare graficamente le due funzioni di domanda individuali;
2) Calcolate e rappresentate sul grafico la funzione di domanda di mercato;
3) Supponete che la funzione di offerta del mercato sia 𝑝 = 𝑞; calcolate l’equilibrio del mercato e
la quantità acquistata rispettivamente dal consumatore 1 e 2.
Svolgimento
Punto 1
Per trovare la domanda aggregata è sempre bene ricavare le singole domande in funzione del
prezzo, quindi:
1
1
𝑞!! = 6 − 𝑃; 𝑞!! = 4 − 𝑃. 2
2
Punto 2
Adesso possiamo trovare la domanda di mercato come somma delle singole domande per ogni
livello di prezzo:
𝑄! = 𝑞!! + 𝑞!! = 10 – 𝑝 𝑝𝑒𝑟 𝑝 < 8; 1
𝑄! = 𝑞!! = 6 – ∙ 𝑝 𝑝𝑒𝑟 8 ≤ 𝑝 < 12.
2
La condizione 𝑝 < 8 è necessaria perché la domanda individuale del consumatore 2 sia positiva.
Solo in quel caso la domanda di mercato è somma di entrambe le curve individuali. La condizione
𝑝 < 12 assicura che la domanda individuale del consumatore 1 sia positiva. Nel caso quindi in cui
valga 8 ≤ 𝑝 < 12 la domanda di mercato coincide con quella del consumatore 1.
p
p = 12
p = 12 − 2 ⋅ Q D
p=8
p = 12 − 2 ⋅ q1D
p = 10 − Q D
D
2
p = 8−2⋅q
q
q=4
q=6
Q D = 10
Punto 3
Per individuare l’equilibrio di mercato è necessario scrivere
𝑝 = 𝑄 ! = 𝑄! = 10 − 𝑝 𝑝𝑒𝑟 𝑝 < 8;
o
1
𝑝 = 𝑄 ! = 𝑄! = 6 – ∙ 𝑃 𝑝𝑒𝑟 8 ≤ 𝑝 < 12
2
Nel primo caso l’equilibrio sarà dunque 𝑝∗ = 5 e 𝑞∗ = 5. Si noti che in questo caso il vincolo p<8
è rispettato. Nel secondo caso invece avremmo che 𝑝∗ = 4 e 𝑞∗ = 4 in corrispondenza del quale
non sarebbe rispettato il vincolo 8 ≤ 𝑝 < 12. La coppia prezzo-quantità di equilibrio è dunque la
prima delle due. Sostituendo nelle due domande individuali il prezzo di equilibrio si ottengono i
valori 𝑞!!∗ = 3,5 e 𝑞!!∗ = 1,5.
p
p = 12
p = QS
p = 12 − 2 ⋅ Q D
p=8
p* = 5
p = 10 − Q D
q2D* = 1, 5
q
q1D* = 3, 5
Q* = 5
Esercizio 3 (domanda di mercato)
Un mercato è costituito da 2 consumatori identici. La curva di domanda individuale è
𝑝 = 10 − 2 ∙ 𝑞!! 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 1,2. Rappresentate graficamente la domanda individuale. Calcolate e rappresentate graficamente la
funzione di domanda aggregata. Come cambia la funzione di domanda aggregata se i consumatori
identici sono 3 anziché 2? E per n consumatori?
Svolgimento
Ricaviamo le domande individuali in funzione del prezzo,
2 ∙ 𝑞!! = 10 − 𝑝 da cui
1
𝑞!! = 5 − 𝑝.
2
Per ottenere la domanda di mercato sommiamo semplicemente le quantità
!
!
𝑄 = che con 3 consumatori diviene
!!!
!
𝑄! = Quindi, con n consumatori sarà
!!!
!
!
𝑄 = !!!
1
𝑞!! = 2 ∙ (5 − 𝑝) = 10 − 𝑝, 2
1
3
𝑞!! = 3 ∙ (5 − 𝑝) = 15 − 𝑝 ∙. 2
2
1
𝑛
𝑞!! = 𝑛 ∙ (5 − 𝑝) = 5 ∙ 𝑛 − 𝑝. 2
2
p
p = 10
n=2
n=3
q
Q D = 10
qiD = 5
Q D = 15
QD = n ⋅ 5
Esercizio 4 (domanda di mercato) (più difficile)
Si consideri un consumatore con funzione di utilità del tipo:
𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥 !/! ∙ 𝑦 !/! I prezzi dei beni sono 𝑝! = 5 e 𝑝! = 7, mentre il reddito del consumatore é pari a 70 euro.
1) Si determinino paniere di equilibrio e curva di domanda individuale per il bene y;
2) Si scriva la funzione di domanda di mercato nell’ipotesi che il numero dei consumatori
(identici) sia pari a 5 e 7;
3) Si calcoli, nei due casi, si individui l’equilibrio di mercato che la curva di offerta è 𝑝! = 8 + 2 ∙
𝑦
Svolgimento
Punto 1
Il vincolo di bilancio è
e quindi la condizione di tangenza sarà:
da cui
70 = 5 · 𝑥 + 7 · 𝑦
1 𝑦 5
∙ =
3 𝑥 7
𝑦=
15
∙𝑥
7
sostituendola nel vincolo di bilancio otteniamo:
70 = 5 · 𝑥 + 7 ·
e
15
7
∙ 𝑥 → 70 = 20 ∙ 𝑥 → 𝑥 ∗ = = 3,5
7
2
𝑦∗ =
15 7 15
∙ =
= 7,5
7 2
2
Per trovare la curva di domanda individuale
𝑆𝑀𝑆!,! =
𝑝! 1 𝑦
5
→ ∙ =
𝑝! 3 𝑥 𝑝!
da cui
𝑥=
𝑝! ∙ 𝑦
15
avremo che il vincolo di bilancio è rappresentabile come
70 = 5 ·
ovvero
𝑝! ∙ 𝑦
𝑝!
210
+ 7 · 𝑦 → 70 = 𝑦 ∙ (7 + ) → 𝑦 =
15
3
21 + 𝑝!
𝑝! =
210
− 21
𝑦
py
py =
210
− 21
y
y
y = 10
Punto 2
Per trovare la domanda di mercato dobbiamo sommare le domande individuali. Dato che i
consumatori sono supposti essere identici basterà moltiplicare la domanda individuale appena
trovata per N:
𝑌 =𝑦∙𝑁 =𝑁∙
210
21 + 𝑝!
dunque, nel caso in cui N=5 avremo che
𝑌=
1.050
1.050
→ 𝑝! =
− 21
21 + 𝑝!
𝑦
mentre nel caso in cui N=7 avremo che
𝑌=
1.470
1.470
→ 𝑝! =
− 21
21 + 𝑝!
𝑦
Punto 3
Individuiamo adesso la coppia prezzo-quantità di equilibrio. Data la funzione di offerta fornita
dall’esercizio, avremo che, nel primo caso:
1.050
− 21 = 8 + 2 ∙ 𝑦 → 29 ∙ 𝑦 + 2 ∙ 𝑦 ! = 1.050 → 2 ∙ 𝑦 ! + 29 ∙ 𝑦 − 1.050 = 0
𝑦
La cui soluzione è
𝑦=
−29 ± 841 + 2 ∙ 1.050 −29 ± 2.941 −29 ± 54
=
=
4
4
4
dato che consideriamo solo le quantità positive avremo che:
𝑦∗ =
25
≅ 6,25
4
𝑝! ∗ =
41
= 20,5
2
e, di conseguenza
nel secondo caso avremo 𝑝! ∗ , 𝑦 ∗ = (8, 24).
Esercizio 5 (surplus dei consumatori)
Supponete che la curva di domanda di un bene sia data da:
𝑞 = 40 − 2𝑝 dove q è la quantità di bene domandate all’anno e p il prezzo (in migliaia di euro).
1) Supponete che il prezzo di equilibrio sia di 10.000 euro. Trovate la quantità domandata, la spesa
totale e il surplus del consumatore.
2) Ora supponete che il governo avvii un programma per limitare l’offerta del bene. Supponete
inoltre che a seguito del programma il prezzo salga a 15.000 euro. Qual è il surplus del
consumatore dopo l’aumento del prezzo?
3) Qual è la cifra massima che i consumatori sarebbero disposti a pagare per corrompere i
legislatori affinché revochino il programma di limitazione dell’offerta?
Svolgimento
Punto 1
Una volta individuata la coppia prezzo-quantità di equilibrio e la relativa spesa, che nel nostro caso
sono (10.000, 20) e 200.000, calcoliamo i surplus. Per calcolare il surplus dei consumatori, dato che
la curva di domanda è lineare basterà calcolare l’area del triangolo che ha come base la quantità di
equilibrio e per altezza la lunghezza del segmento dell’asse delle ascisse compreso tra il prezzo
!
d’equilibrio e l’intercetta della curva di domanda (che possiamo indicare con 𝑝!!!
ovvero il prezzo
corrispondente a una quantità domandata nulla, pari a 20 nel nostro caso). La formula è dunque:
!
(𝑝!!!
− 𝑝∗ ) ∙ 𝑞 ∗
(20 − 10) ∙ 20
𝑆 =
=
= 100
2
2
!
dato che il prezzo è in migliaia di euro, il surplus corrisponderà a 100.000 euro.
p
20#
S C = 100
p* = 10
q* = 20
40#
q
Punto 2
Nel momento in cui il prezzo viene fissato in corrispondenza di p’=15 la quantità scambiata sul
mercato sarà q’ = 10 e, sempre secondo la precedente formula, il surplus sarà pari a 25.000 euro.
p
S C = 25
20#
p* = 15
p = 10
q* = 10
q = 20
40#
q
Punto 3
La cifra massima che l’insieme dei consumatori sarebbe disposto a pagare è pari a 75.000 euro,
ovvero la differenza tra surplus pre-politica e post-politica.
Esercizio 6 (surplus dei consumatori)
Supponete che le funzioni di domanda e offerta di un bene siano le seguenti:
𝑞 = 90 − 2𝑝; 𝑞 = 30 + 2𝑝 dove Q é il numero di partite da 1.000 unità del bene che vengono domandate e offerte, mentre p é
il prezzo di ciascuna partita in migliaia di euro.
1) Calcolate il prezzo e la quantità di equilibrio di mercato.
2) Calcolate il surplus dei consumatori e dei produttori.
3) Supponete che l’offerta venga limitata a 10 partite all’anno. Come varia il surplus del
consumatore?
4) Ripetete l’esercizio fatto ai punti (1), (2) supponendo che la curva di domanda dei consumatori
!
sia 𝑞 = 90 − !
Svolgimento
L’esercizio si risolve in maniera analoga al precedente, unica differenza è che in questo caso viene
richiesto anche il calcolo del surplus dei produttori, quest’ultimo ha forma trapezoidale.
I risultati sono i seguenti:
(1) la quantità di equilibrio è 60, il prezzo di equilibrio è di 15 euro.
(2) il surplus del consumatore è 900 euro, il surplus del produttore è 675 euro.
p
45#
S C = 900
S P = 675
p* = 15
0#
q* = 60
30#
90#
q
(3) il nuovo surplus del consumatore è 25 euro.
(4) il nuovo prezzo di equilibrio è pari a 24 euro, mentre la quantità domandata è pari a 78; il
surplus del consumatore è 6.084 euro, il surplus del produttore è 1296 euro.
Esercizio 7 (surplus dei consumatori)
Supponete che le funzioni di domanda e offerta, in un mercato perfettamente concorrenziale, siano
le seguenti:
𝑝 = 60 − 4𝑞; 𝑝 = 11 + 3𝑞 si calcoli e si rappresenti graficamente il surplus dei consumatori e dei produttori.
Soluzione: Il surplus del consumatore è 98 euro, il surplus dei produttori è 147/2 euro.