numeri Razionali

L’insieme dei numeri Razionali
ITIS Feltrinelli – anno scolastico 2007-2008
R. Folgieri 2007-2008
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Ampliamento di N: le frazioni
Nell’insieme N non possiamo fare operazioni quali 13:5 perché il
risultato non è un numero Naturale (la divisione non è un’operazione
interna ad N).
Dobbiamo introdurre dei nuovi numeri, le frazioni, ampliando l’insieme
dei numeri naturali. Le frazioni rappresentano anche le divisioni che non
possiamo fare, e si indicano in generale (ponendo a e b al posto di
numeri) con a con l’avvertenza che b deve essere diverso da zero.
b
Il numero a si dice numeratore; il numero b si dice denominatore.
Vi sono:
frazioni proprie: denominatore < numeratore es. 3/7
frazioni improprie: numeratore > denominatore es. 5/3
frazioni apparenti: numeratore multiplo del denominatore es. 10/2, 5/5
Due frazioni a/b e c/d si dicono equivalenti se a·d=b·c
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1
L’insieme dei numeri Razionali
Ogni insieme costituito da una frazione e da tutte quelle che le sono
equivalenti (es. 2/3, 4/6, ecc..) si dice classe di equivalenza.
Ogni classe di equivalenza si dice numero razionale assoluto e si
indica con una delle frazioni dell’insieme.
L’insieme dei numeri razionali (per il momento consideriamo quelli
assoluti, cioè quelli positivi) si indica con Q.
Per le frazioni vale la proprietà invariantiva: se si moltiplicano o si
dividono il numeratore o il denominatore di una frazione per uno stesso
numero (diverso da 0), si ottiene una frazione equivalente.
In base alla proprietà invariantiva, se il denominatore e il numeratore di
una frazione possono essere divise per uno sesso numero, la frazione
può essere semplificata.
Così 12/6 diventa 6/3
Ridurre ai minimi termini una frazione significa semplificarla il più
possibile.
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M.C.D. e m.c.m.
Ricordiamo due concetti importanti nelle operazioni di semplificazione e di riduzione
ai minimi termini di una frazione.
Il M.C.D. (Massimo Comun Divisore) tra più numeri si calcola prendendo i fattori
comuni ai numeri, presi con l’esponente maggiore.
Es. M.C.D. tra 6, 4 e 12, è 2, cioè quel numero per cui tutti sono divisibili.
Nel nostro caso ci serve per ridurre ai minimi termini una frazione.
Es. presa la frazione 6/9 il M.C.D. tra 6 e 9 è il numero 3, per cui la frazione può
essere ridotta al massimo a 2/3
Il m.c.m. (minimo comun multiplo) tra più numeri, si calcola prendendo i fattori
comuni e non comuni tra i numeri, presi con il maggior esponente.
Es. m.c.m. tra 2, 4, 12 è 12, cioè 22·3
Nel nostro caso ci p utile per effettuare la somma e la sottrazione tra due frazioni.
Es. 1/2 + 1/6
Si calcola il m.c.m. che è 6. Lo si divide per il denominatore della prima frazione e si
moltiplica il valore ottenuto per il primo numeratore. Poi si divide il m.c.m. per il
secondo denominatore e si moltiplica il valore ottenuto per il secondo numeratore.
A questo punto si sommano i due valori:
1·3+1·1 = 4
6
6
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4
2
Moltiplicazione e divisione
Il prodotto di due frazioni si effettua moltiplicando tra loro i due numeratori e tra loro
i due denominatori.
Es. 2 · 3 = 6
5 7 35
Prima di effettuare la moltiplicazione si deve verificare se è possibile effettuare
semplificazioni. Nel caso della moltiplicazione la semplificazione si effettua
secondo le diagonali.
Es 42 · 62 = 4 = 4
31 21
1
Due frazioni si dicono inverse se il loro prodotto è uguale a 1.
Es. 31 · 51 = 1
51 31
Ne consegue che l’inversa di una frazione è la stessa frazione “capovolta”
Es. 2 è l’inversa di 3
3
2
La divisione si effettua moltiplicando la prima frazione per l’inversa della seconda.
Poi si svolge la moltiplicazione come illustrato sopra.
Es 4 : 2 = 42 · 62 = 4 = 4
3
6
31 21
1
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Elevamento a potenza
L’elevamento a potenza si ottiene elevando a potenza sia il
denominatore, sia il numeratore.
n
an
⎛a⎞
⎜ ⎟ = n
b
⎝b⎠
2
Es.
4
⎛2⎞
⎜ ⎟ =
9
⎝3⎠
Anche per le frazioni si conviene che:
0
⎛a⎞
⎜ ⎟ =1
⎝b⎠
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1
⎛a⎞ a
⎜ ⎟ =
⎝b⎠ b
6
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Frazioni e numeri decimali
In una frazione apparente, dividendo il numeratore per il denominatore
si ottiene un numero naturale.
Negli altri casi, si ottengono numeri decimali. I vari casi sono riassunti
nella tabella.
Frazioni decimali
Frazioni ordinarie con denominatore
che contiene solo i fattori 2 e 5
Numeri decimali finiti
Es. 2/10 che diventa 0,2
Frazioni ordinarie con denominatore
che non contiene né il fattore 2 né il
fattore 5
Numeri decimali periodici semplici
Es. 2/3 che diventa 0,6666…
Cioè 0,6
Frazioni ordinarie con denominatore
che contiene i fattori 2 o 5 insieme ad
altri fattori
Numeri decimali periodici misti
Es. 5/6 che diventa 0,8333…
Quindi 0,83
(si dice antiperiodo 8, periodo 3)
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Da numero decimale a frazione
Nel caso di un numero decimale finito, la frazione generatrice è la
frazione decimale che ha per numeratore il numero scritto senza la
virgola e per denominatore il numero 1 seguito da tanti zeri quante sono
le cifre decimali.
Es. 6,75 = 675/100
Quando abbiamo un numero decimale periodico (semplice o misto),
si procede così:
-Al numeratore si scrive la differenza fra il numero senza la virgola e il
numero formato da tutte le cifre che precedono il periodo
- Al denominatore si scrive il numero formato da tanti 9 quante sono le
cifre del periodo e da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo
(sempre se esiste)
Es. 0,817 = (817 – 81)/900 = 736/900
0,43 = 43/99
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4
Valore approssimato di un
numero decimale
Ai decimi
Ai centesimi
Ai millesimi
.
Per eccesso
36,9762 diventa 36,98
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