Momento Angolare e Parentesi di Poisson

Esercizio Meccanica Analitica
Davide Cernuzio
Dimostrare, utilizzando il formalismo hamiltoniano, che in un sistema conservativo con potenziale
centrale si conserva il vettore momento angolare.
Se 𝑓 ≡ 𝑓(𝒒, 𝒑, 𝑡) è una generica funzione delle variabili canoniche (o anche, una osservabile),
la sua variazione nel tempo è data da
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑖=1
𝑑𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓 𝜕𝐻 𝜕𝑓 𝜕𝐻
𝜕𝑓
)+
= ∑(
𝑞𝑖̇ +
𝑝̇𝑖 ) +
= ∑(
−
𝑑𝑡
𝜕𝑞𝑖
𝜕𝑝𝑖
𝜕𝑡
𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑝𝑖 𝜕𝑝𝑖 𝜕𝑞𝑖
𝜕𝑡
𝑑𝑓 𝜕𝑓
=
+ {𝑓, 𝐻}
𝑑𝑡 𝜕𝑡
Cioè, se 𝑓 non dipende esplicitamente dal tempo e ha parentesi di Poisson nulle con
l’hamiltoniana, 𝑓 è una costante del moto. Vogliamo mostrare che è proprio ciò che accade alle
componenti di ⃗𝑳. Per sfruttare la simmetria del sistema, usiamo le coordinate sferiche. Le coordinate
lagrangiane del sistema saranno dunque (𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 ) ≡ (𝑟, 𝜃, 𝜑).
𝑥(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑
𝑦(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑
𝑧(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑟 cos 𝜃
𝑣𝑥 (𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑟̇ sin 𝜃 cos 𝜑 + 𝑟 cos 𝜃 cos 𝜑 𝜃̇ − 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑 𝜑̇
𝑣𝑦 (𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑟̇ sin 𝜃 sin 𝜑 + 𝑟 cos 𝜃 sin 𝜑 𝜃̇ + 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑 𝜑̇
𝑣𝑧 (𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑟̇ cos 𝜃 − 𝑟 sin 𝜃 𝜃̇
𝐿𝑥 (𝑟, 𝜃, 𝜑) ≡ 𝑚(𝑦𝑣𝑧 − 𝑧𝑣𝑦 ) = [⋯ ] = −𝑚𝑟 2 (sin 𝜑 𝜃̇ + cos 𝜃 sin 𝜃 cos 𝜑 𝜑̇ )
𝐿𝑦 (𝑟, 𝜃, 𝜑) ≡ 𝑚(𝑧𝑣𝑥 − 𝑥𝑣𝑧 ) = [⋯ ] = 𝑚𝑟 2 (cos 𝜑 𝜃̇ − cos 𝜃 sin 𝜃 sin 𝜑 𝜑̇ )
𝐿𝑧 (𝑟, 𝜃, 𝜑) ≡ 𝑚(𝑥𝑣𝑦 − 𝑦𝑣𝑧 ) = [⋯ ] = 𝑚𝑟 2 sin2 𝜃 𝜑̇
In questo sistema di coordinate, vediamo che l’espressione del modulo quadro di 𝑳 è
particolarmente semplice:
𝐿2 (𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝐿2𝑥 + 𝐿2𝑦 + 𝐿2𝑧 = [⋯ ] = (𝑚𝑟 2 )2 (𝜃̇ 2 + sin2 𝜃 𝜑̇ 2 )
Esplicitiamo la lagrangiana del sistema e i momenti coniugati:
𝑣 2 (𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2 = [⋯ ] = 𝑟̇ 2 + 𝑟 2 (𝜃̇ 2 + sin2 𝜃 𝜑̇ 2 )
1
ℒ(𝑟, 𝜃, 𝜑; 𝑟̇ , 𝜃̇, 𝜑̇ ) = 𝑇 − 𝑉 = 𝑚[𝑟̇ 2 + 𝑟 2 (𝜃̇ 2 + sin2 𝜃 𝜑̇ 2 )] − 𝑉(𝑟)
2
𝑝𝑟 ≡
𝑝𝜃 ≡
𝑝𝜑 ≡
𝜕ℒ
= 𝑚𝑟̇
𝜕𝑟̇
𝜕ℒ
= 𝑚𝑟 2 𝜃̇
𝜕𝜃̇
𝜕ℒ
= 𝑚𝑟 2 sin2 𝜃 𝜑̇
𝜕𝜑̇
La lagrangiana non dipende esplicitamente da 𝜑. Il momento coniugato 𝑝𝜑 è pertanto una
costante del moto e, anche in tre dimensioni, corrisponde a 𝑳𝒛 . Le velocità generalizzate in funzione
dei momenti canonici sono
𝑝𝑟
𝑚
𝑝𝜃
𝜃̇(𝑟, 𝑝𝜃 ) =
𝑚𝑟 2
𝑝𝜑
𝜑̇ (𝑟, 𝜃, 𝑝𝜑 ) =
𝑚𝑟 2 sin2 𝜃
𝑟̇ (𝑝𝑟 ) =
per cui, l’hamiltoniana sarà
𝐻(𝑟, 𝜃, 𝜑; 𝑝𝑟 , 𝑝𝜃 , 𝑝𝜑 ) = (𝑇 + 𝑉)𝒒̇ =𝒒̇ (𝒒,𝒑) =
𝑝𝜑2
𝑝𝑟2
𝑝𝜃2
+
+
+ 𝑉(𝑟)
2𝑚 2𝑚𝑟 2 2𝑚𝑟 2 sin2 𝜃
mentre 𝐿𝑥 , 𝐿𝑦 , 𝐿𝑧 , 𝐿2 in termini delle variabili canoniche sono dati da
𝐿𝑥 = (𝐿𝑥 )𝒒̇ =𝒒̇ (𝒒,𝒑) = −(sin 𝜑 𝑝𝜃 + cot 𝜃 cos 𝜑 𝑝𝜑 ) ≡ 𝐿𝑥 (𝜃, 𝜑; 𝑝𝜃 , 𝑝𝜑 )
𝐿𝑦 = (𝐿𝑦 )𝒒̇ =𝒒̇ (𝒒,𝒑) = cos 𝜑 𝑝𝜃 − cot 𝜃 sin 𝜑 𝑝𝜑 ≡ 𝐿𝑦 (𝜃, 𝜑; 𝑝𝜃 , 𝑝𝜑 )
𝐿𝑧 = (𝐿𝑧 )𝒒̇ =𝒒̇ (𝒒,𝒑) = 𝑝𝜑 ≡ 𝑐𝑜𝑠𝑡.
𝐿2 (𝑟, 𝜃, 𝜑; 𝑝𝑟 , 𝑝𝜃 , 𝑝𝜑 ) = (𝐿2 )𝒒̇ =𝒒̇ (𝒒,𝒑) = 𝑝𝜃2 +
𝑝𝜑2
sin2 𝜃
Possiamo a questo punto valutare le parentesi di Poisson con l’hamiltoniana. Iniziamo con 𝐿2 :
{𝐿2
𝜕𝐿2 𝜕𝐻 𝜕𝐿2 𝜕𝐻 𝜕𝐿2 𝜕𝐻
𝜕𝐿2 𝜕𝐻 𝜕𝐿2 𝜕𝐻 𝜕𝐿2 𝜕𝐻
, 𝐻} =
+
+
−
+
+
𝜕𝑟 𝜕𝑝𝑟 ⏟
𝜕𝜃 𝜕𝑝𝜃 ⏟
𝜕𝜑 𝜕𝑝𝜑
𝜕𝑝
𝜕𝑝𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝑝
⏟
⏟ 𝑟 𝜕𝑟 ⏟
⏟ 𝜑 𝜕𝜑
(1)
(2)
(4)
(5)
(
)
(3)
(6)
I termini (1), (3), (4) sono nulli in quanto 𝐿2 non dipende né da 𝑟, né da 𝜑, né da 𝑝𝑟 . Il termine
(6) è nullo in quanto, se il potenziale è radiale, 𝐻 non dipende da 𝜑. Restano da valutare (2) e (5):
{𝐿2
𝑝𝜑2
𝜕𝐿2 𝜕𝐻 𝜕𝐿2 𝜕𝐻
2 cos 𝜃 2 𝑝𝜃
cos 𝜃
(−2 3 )] = 0
, 𝐻} =
−
=−
𝑝𝜑
− [2𝑝𝜃
3
2
2
𝜕𝜃 𝜕𝑝𝜃 𝜕𝑝𝜃 𝜕𝜃
sin 𝜃
𝑚𝑟
2𝑚𝑟
sin 𝜃
{𝐿𝑥 , 𝐻} =
=
𝜕𝐿𝑥 𝜕𝐻 𝜕𝐿𝑥 𝜕𝐻 𝜕𝐿𝑥 𝜕𝐻
+
−
𝜕𝜃 𝜕𝑝𝜃 𝜕𝜑 𝜕𝑝𝜑 𝜕𝑝𝜃 𝜕𝜃
cos 𝜑 𝑝𝜑 𝑝𝜃 cos 𝜑 𝑝𝜃 𝑝𝜑 cot 𝜃 sin 𝜑 𝑝𝜑2
sin 𝜑 cos 𝜃 𝑝𝜑2
−
+
−
=0
sin2 𝜃 𝑚𝑟 2 sin2 𝜃 𝑚𝑟 2
sin2 𝜃 𝑚𝑟 2
sin3 𝜃 𝑚𝑟 2
{𝐿𝑦 , 𝐻} =
𝜕𝐿𝑦 𝜕𝐻 𝜕𝐿𝑦 𝜕𝐻 𝜕𝐿𝑦 𝜕𝐻
+
−
𝜕𝜃 𝜕𝑝𝜃 𝜕𝜑 𝜕𝑝𝜑 𝜕𝑝𝜃 𝜕𝜃
sin 𝜑 𝑝𝜑 𝑝𝜃 sin 𝜑 𝑝𝜃 𝑝𝜑 cot 𝜃 cos 𝜑 𝑝𝜑2
cos 𝜑 cos 𝜃 𝑝𝜑2
=
−
−
+
=0
sin2 𝜃 𝑚𝑟 2 sin2 𝜃 𝑚𝑟 2
sin2 𝜃 𝑚𝑟 2
sin3 𝜃 𝑚𝑟 2
⃗ ≡ 𝒄𝒐𝒔𝒕.
Tutte le componenti di 𝑳 si conservano: in un moto a potenziale centrale, 𝑳
In effetti, si tratta di un risultato che deriva direttamente dalla seconda equazione cardinale:
se 𝑉 dipende solo da 𝑟, il campo di forze 𝑭(𝒓) sarà puramente radiale:
𝑭(𝒓) ≡ 𝑭(𝑟) = −𝛁𝑉 = −
∴
𝑑𝑉
𝒓̂
𝑑𝑟
𝑑𝑳
𝑑𝑉
=𝑴=𝑭×𝒓=−
𝒓̂ × 𝒓 = 𝟎
𝑑𝑡
𝑑𝑟
Dal confronto con l’espressione dell’hamiltoniana, è possibile esprimere quest’ultima in
maniera più compatta:
𝑝𝜑2
𝑝𝑟2
1
𝑝𝑟2
𝐿2
2
𝐻=
+
(𝑝 +
) + 𝑉(𝑟) =
+
+ 𝑉(𝑟)
2𝑚 2𝑚𝑟 2 𝜃 sin2 𝜃
2𝑚 2𝑚𝑟 2
In meccanica classica, si tende spesso ad accorpare il termine con 𝐿2 al potenziale proprio
definendo un potenziale efficace 𝑉𝑒𝑓𝑓 :
𝑉𝑒𝑓𝑓 (𝑟) ≡
𝐿2
+ 𝑉(𝑟)
2𝑚𝑟 2
𝐿2 è una costante del moto e può quindi essere inteso come il valore assunto da |𝑳|2 all’istante
iniziale. 𝑉𝑒𝑓𝑓 viene quindi a essere una funzione unicamente di 𝑟; di conseguenza, lo stesso avviene
all’hamiltoniana:
𝐻 ≡ 𝐻(𝑟; 𝑝𝑟 ) =
𝑝𝑟2
+ 𝑉𝑒𝑓𝑓 (𝑟)
2𝑚
In altri termini: è possibile ridurre il problema del moto a un sistema unidimensionale nella
variabile radiale, a patto di includere nel potenziale il termine 𝐿2 /2𝑚𝑟 2 , detto potenziale centrifugo.
Tipicamente, 𝑉(𝑟) ha natura attrattiva, per cui è negativa in segno (si pensi a un pianeta in orbita
intorno al Sole, o a un elettrone attratto dal nucleo…). Il segno positivo del potenziale centrifugo fa
sì che, come suggerisce il nome, esso abbia natura repulsiva: la particella non “precipita” verso il
centro attrattore, poiché l’attrazione è compensata da un moto tangenziale di rotazione (non a caso,
tale contributo è governato dal momento angolare 𝐿2 ). Il potenziale centrifugo, di conseguenza, non
deriva da una vera e propria forza; piuttosto, esso compare per aver scelto un sistema di coordinate
che ci consentisse di sfruttare le simmetrie del potenziale.
L’espressione dell’hamiltoniana in termini di 𝑉𝑒𝑓𝑓 è particolarmente usata in meccanica
quantistica, in quanto permette di ridurre anche l’equazione di Schrödinger stazionaria a un problema
radiale (l’assunto di base è sempre che 𝑉 sia centrale: è il caso, appunto, del potenziale coulombiano
che lega l’elettrone dell’atomo di idrogeno al nucleo).