Esercizio Meccanica Analitica Davide Cernuzio Dimostrare, utilizzando il formalismo hamiltoniano, che in un sistema conservativo con potenziale centrale si conserva il vettore momento angolare. Se π ≡ π(π, π, π‘) è una generica funzione delle variabili canoniche (o anche, una osservabile), la sua variazione nel tempo è data da π π π=1 π=1 ππ ππ ππ ππ ππ ππ» ππ ππ» ππ )+ = ∑( ππΜ + πΜπ ) + = ∑( − ππ‘ πππ πππ ππ‘ πππ πππ πππ πππ ππ‘ ππ ππ = + {π, π»} ππ‘ ππ‘ Cioè, se π non dipende esplicitamente dal tempo e ha parentesi di Poisson nulle con l’hamiltoniana, π è una costante del moto. Vogliamo mostrare che è proprio ciò che accade alle componenti di βπ³. Per sfruttare la simmetria del sistema, usiamo le coordinate sferiche. Le coordinate lagrangiane del sistema saranno dunque (π1 , π2 , π3 ) ≡ (π, π, π). π₯(π, π, π) = π sin π cos π π¦(π, π, π) = π sin π sin π π§(π, π, π) = π cos π π£π₯ (π, π, π) = πΜ sin π cos π + π cos π cos π πΜ − π sin π sin π πΜ π£π¦ (π, π, π) = πΜ sin π sin π + π cos π sin π πΜ + π sin π cos π πΜ π£π§ (π, π, π) = πΜ cos π − π sin π πΜ πΏπ₯ (π, π, π) ≡ π(π¦π£π§ − π§π£π¦ ) = [β― ] = −ππ 2 (sin π πΜ + cos π sin π cos π πΜ ) πΏπ¦ (π, π, π) ≡ π(π§π£π₯ − π₯π£π§ ) = [β― ] = ππ 2 (cos π πΜ − cos π sin π sin π πΜ ) πΏπ§ (π, π, π) ≡ π(π₯π£π¦ − π¦π£π§ ) = [β― ] = ππ 2 sin2 π πΜ In questo sistema di coordinate, vediamo che l’espressione del modulo quadro di π³ è particolarmente semplice: πΏ2 (π, π, π) = πΏ2π₯ + πΏ2π¦ + πΏ2π§ = [β― ] = (ππ 2 )2 (πΜ 2 + sin2 π πΜ 2 ) Esplicitiamo la lagrangiana del sistema e i momenti coniugati: π£ 2 (π, π, π) = π£π₯2 + π£π¦2 + π£π§2 = [β― ] = πΜ 2 + π 2 (πΜ 2 + sin2 π πΜ 2 ) 1 β(π, π, π; πΜ , πΜ, πΜ ) = π − π = π[πΜ 2 + π 2 (πΜ 2 + sin2 π πΜ 2 )] − π(π) 2 ππ ≡ ππ ≡ ππ ≡ πβ = ππΜ ππΜ πβ = ππ 2 πΜ ππΜ πβ = ππ 2 sin2 π πΜ ππΜ La lagrangiana non dipende esplicitamente da π. Il momento coniugato ππ è pertanto una costante del moto e, anche in tre dimensioni, corrisponde a π³π . Le velocità generalizzate in funzione dei momenti canonici sono ππ π ππ πΜ(π, ππ ) = ππ 2 ππ πΜ (π, π, ππ ) = ππ 2 sin2 π πΜ (ππ ) = per cui, l’hamiltoniana sarà π»(π, π, π; ππ , ππ , ππ ) = (π + π)πΜ =πΜ (π,π) = ππ2 ππ2 ππ2 + + + π(π) 2π 2ππ 2 2ππ 2 sin2 π mentre πΏπ₯ , πΏπ¦ , πΏπ§ , πΏ2 in termini delle variabili canoniche sono dati da πΏπ₯ = (πΏπ₯ )πΜ =πΜ (π,π) = −(sin π ππ + cot π cos π ππ ) ≡ πΏπ₯ (π, π; ππ , ππ ) πΏπ¦ = (πΏπ¦ )πΜ =πΜ (π,π) = cos π ππ − cot π sin π ππ ≡ πΏπ¦ (π, π; ππ , ππ ) πΏπ§ = (πΏπ§ )πΜ =πΜ (π,π) = ππ ≡ πππ π‘. πΏ2 (π, π, π; ππ , ππ , ππ ) = (πΏ2 )πΜ =πΜ (π,π) = ππ2 + ππ2 sin2 π Possiamo a questo punto valutare le parentesi di Poisson con l’hamiltoniana. Iniziamo con πΏ2 : {πΏ2 ππΏ2 ππ» ππΏ2 ππ» ππΏ2 ππ» ππΏ2 ππ» ππΏ2 ππ» ππΏ2 ππ» , π»} = + + − + + ππ πππ β ππ πππ β ππ πππ ππ πππ ππ ππ β β π ππ β β π ππ (1) (2) (4) (5) ( ) (3) (6) I termini (1), (3), (4) sono nulli in quanto πΏ2 non dipende né da π, né da π, né da ππ . Il termine (6) è nullo in quanto, se il potenziale è radiale, π» non dipende da π. Restano da valutare (2) e (5): {πΏ2 ππ2 ππΏ2 ππ» ππΏ2 ππ» 2 cos π 2 ππ cos π (−2 3 )] = 0 , π»} = − =− ππ − [2ππ 3 2 2 ππ πππ πππ ππ sin π ππ 2ππ sin π {πΏπ₯ , π»} = = ππΏπ₯ ππ» ππΏπ₯ ππ» ππΏπ₯ ππ» + − ππ πππ ππ πππ πππ ππ cos π ππ ππ cos π ππ ππ cot π sin π ππ2 sin π cos π ππ2 − + − =0 sin2 π ππ 2 sin2 π ππ 2 sin2 π ππ 2 sin3 π ππ 2 {πΏπ¦ , π»} = ππΏπ¦ ππ» ππΏπ¦ ππ» ππΏπ¦ ππ» + − ππ πππ ππ πππ πππ ππ sin π ππ ππ sin π ππ ππ cot π cos π ππ2 cos π cos π ππ2 = − − + =0 sin2 π ππ 2 sin2 π ππ 2 sin2 π ππ 2 sin3 π ππ 2 β ≡ ππππ. Tutte le componenti di π³ si conservano: in un moto a potenziale centrale, π³ In effetti, si tratta di un risultato che deriva direttamente dalla seconda equazione cardinale: se π dipende solo da π, il campo di forze π(π) sarà puramente radiale: π(π) ≡ π(π) = −ππ = − ∴ ππ πΜ ππ ππ³ ππ =π΄=π×π=− πΜ × π = π ππ‘ ππ Dal confronto con l’espressione dell’hamiltoniana, è possibile esprimere quest’ultima in maniera più compatta: ππ2 ππ2 1 ππ2 πΏ2 2 π»= + (π + ) + π(π) = + + π(π) 2π 2ππ 2 π sin2 π 2π 2ππ 2 In meccanica classica, si tende spesso ad accorpare il termine con πΏ2 al potenziale proprio definendo un potenziale efficace ππππ : ππππ (π) ≡ πΏ2 + π(π) 2ππ 2 πΏ2 è una costante del moto e può quindi essere inteso come il valore assunto da |π³|2 all’istante iniziale. ππππ viene quindi a essere una funzione unicamente di π; di conseguenza, lo stesso avviene all’hamiltoniana: π» ≡ π»(π; ππ ) = ππ2 + ππππ (π) 2π In altri termini: è possibile ridurre il problema del moto a un sistema unidimensionale nella variabile radiale, a patto di includere nel potenziale il termine πΏ2 /2ππ 2 , detto potenziale centrifugo. Tipicamente, π(π) ha natura attrattiva, per cui è negativa in segno (si pensi a un pianeta in orbita intorno al Sole, o a un elettrone attratto dal nucleo…). Il segno positivo del potenziale centrifugo fa sì che, come suggerisce il nome, esso abbia natura repulsiva: la particella non “precipita” verso il centro attrattore, poiché l’attrazione è compensata da un moto tangenziale di rotazione (non a caso, tale contributo è governato dal momento angolare πΏ2 ). Il potenziale centrifugo, di conseguenza, non deriva da una vera e propria forza; piuttosto, esso compare per aver scelto un sistema di coordinate che ci consentisse di sfruttare le simmetrie del potenziale. L’espressione dell’hamiltoniana in termini di ππππ è particolarmente usata in meccanica quantistica, in quanto permette di ridurre anche l’equazione di Schrödinger stazionaria a un problema radiale (l’assunto di base è sempre che π sia centrale: è il caso, appunto, del potenziale coulombiano che lega l’elettrone dell’atomo di idrogeno al nucleo).