3 Distribuzioni

VARIABILE ALEATORIA o CASUALE: è una funzione
dove Ω è lo spazio campionario.
Una variabile aleatoria è DISCRETA se la sua immagine X(Ω ) è un insieme discreto,
Altrimenti se X(Ω ) è costituita da un’infinità non numerabile di valori allora X si dice
CONTINUA.
ESEMPI DI VARIABILI ALEATORIE DISCRETE
1) Si effettua il lancio di una moneta, Ω ={T,C} e si può definire una variabile
aleatoria del tipo X(T)= 2 e X(C)= 3.
2) Si considera il numero di femmine su famiglie con 4 figli, la variabile aleatoria
associata assumerà i seguenti valori X=0 (4 figli maschi), X=1 (1 figlia femmina e
gli altri maschi), X=2 (2 femmine 2 maschi), X=3 (3 femmine 1 maschio), X=4
(tutte figlie femmine)
3) Si vogliono contare il numero di virus che possono infettare una data cellula in uno
specificato intervallo di tempo.
4) Si vogliono contare il numero di aminoacidi di una proteina
ESEMPI DI VARIABILI ALEATORIE CONTINUE
1) Si vuole descrivere una certa popolazione di un particolare tipo di animali tramite il
logaritmo della massa corporea
2) Si vuole descrivere con X la posizione di un elettrone nello spazio . Tale variabile
aleatoria X può essere qualsiasi punto dello spazio in quanto il modello quantistico
di un atomo asserisce che gli elettroni non sono localizzati in punti è precisi, ma
possono trovarsi in vari punti dello spazio, con certe probabilità.
3) L’altezza di un gruppo di ragazzi
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’: è la legge che associa ad ogni possibile valore di X
la probabilità con cui questo valore si osserva.
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’ DISCRETE
Dunque se X(Ω)={x1 , x2 ,x3……} allora la distribuzione di probabilità della variabile
aleatoria X è
f(xi)= P(X=xi)
per ogni i=1,2,3,…..
Si definisce FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE o DI RIPARTIZIONE della variabile aleatoria X
la funzione
vale la seguente relazione tra
e
:
𝒙𝒊 𝒙
𝒊
ESEMPIO. Si effettuano 2 lanci di moneta. Allora Ω={TT,CC,TC,CT} .
Sia X la variabile aleatoria definita su Ω che rappresenta il numero delle volte che
esce testa:
Elementi di Ω
X
X(Ω)={0,1,2}
TT
CC
TC
CT
2
0
1
1
P(X=0)=1/4
P(X=1)=1/2
P(X=2)=1/4
xi
0
1
2
f(xi)
f(0)=1/4
f(1)=1/2
f(2)=1/4
DISTRIBUZIONE
DI PROBABILITA’
La funzione f(x) può essere rappresentata con un istogramma
x
F(x)=P(X≤x)
x<0
0
0≤x<1
1/4
1≤x<2
1/4 + 1/2 =3/4
2≤x
3/4 + 1/4 =1
F(x)=
0
1/4
3/4
1
se
x<0
se 0≤x<1
se 1≤x<2
se
x≥2
FUNZIONE
DISTRIBUZIONE
VALOR MEDIO DI UNA VARIABILE ALEATORIA DISCRETA
Sia
VARIABILE ALETORIA DISCRETA che assume i valori
rispettivamente
,
si definisce VALOR MEDIO di X la quantità:
+…..+
=
OSSERVAZIONE: quando le probabilità
sono tutte uguali
allora
Si definisce varianza di una variabile aleatoria X la quantità:
dove
è il valor medio di X.
DISTRIBUZIONE BINOMIALE o di BERNOULLI
Questa distribuzione è detta delle “prove ripetute”.
Si applica quando
si effettuano n esperimenti con risposte dicotomiche del tipo
“si/no”,
“successo/fallimento”,
“positivo/negativo”
l’esito della ripetizione di un esperimento è indipendente dagli altri
esperimenti (indipendenza delle prove)
la probabilità di successo p è la stessa in ogni prova.
Se X è la variabile aleatoria che conta il numero di successi, allora
la probabilità di avere k successi su n prove è
n k
P ( X  k )    p (1  p ) n  k
k 
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’ BINOMIALE
FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE BINOMIALE
VALOR MEDIO di X:
  np
Basilea, 1654-1705
n
n!
  
 k  k ! ( n  k )!
n x
f ( x)  P( X  x)    p (1 p)n x
 x
n k
F ( x )  P ( X  x )     p (1  p)nk
k 0  k 
x
VARIANZA DI X :
 2  np(1  p)
ANTIBIOTICI e BATTERI
Un antibiotico viene sperimentato su una coltura
batterica e si scopre che riesce a distruggere la
colonia una volta su 5. L’esperimento viene ripetuto
contemporaneamente su tre (n=3) colture.
Stabilire la probabilità
1) con cui una sola coltura non viene distrutta
2) con cui almeno una sopravvive all’antibiotico.
S evento “la coltura sopravvive”
P(S)=p=4/5
D evento “ la coltura viene distrutta”
P(D)=q=1-p=1/5
X variabile aleatoria che conta il
numero di S su n=3 prove
Effetto di un antibiotico su una
colonia di Staphilococcus aureus. Non
è raro che in una colonia batterica sia
presente o si sviluppi per mutazione,
una variante allelica che è resistente
a un antibiotico. In tal caso
l’antibiotico ucciderà i batteri non
resistenti, consentendo una crescita
esponenziale di quelli resistenti.
1) Probabilità con cui una sola coltura non viene distrutta
S= evento “la coltura sopravvive” P(S)=p=4/5
n k
P ( X  k )    p (1  p ) n  k
k 

 3 4 
4
P ( X  1 )     1  
5
1  5 
k=1 , n=3 e p=4/5
31
2
3!
41

 
1! ( 3  1 )! 5  5 
3  2! 4
12


 0 , 096
3
2! 5
125
La probabilità che una sola coltura su tre sia resistente è di circa il 10%.
2) La probabilità con cui almeno una coltura sopravvive all’antibiotico.
S= evento “la coltura sopravvive” P(S)=p=4/5
X=1, X=2 e X=3 sono eventi incompatibili
P ( X  1)  P ( X  1)  P ( X  2 )  P ( X  3 )
+
+
+
+
=0.992
MODO PIU’ VELOCE:
“almeno una coltura sopravvive “ evento opposto di “tutte le colture vengono distrutte”
X=0
=
EFFETTI COLLATERALI
Alcuni farmaci che contengono metilfenidato
sono utilizzati per curare disturbi da iperattività
e deficit dell’attenzione; un recente studio
mostrerebbe che nel 2% dei pazienti trattati con
questi farmaci, sono state evidenziate, come
effetti secondari, forme gravi di depressione.
Nel 2006 in Italia sono stati spesi
2805 euro per farmaci neurologici
Se si utilizza su 10 persone scelte a caso un farmaco contenente metilfenidato, con
quale probabilità qualcuna avrà effetti secondari di questa natura?
S evento “ha effetti secondari”
P(S)=p=0,02 (2%)
N evento “ non ha effetti secondari”
P(N)= q = 1-p =0,98 (98%)
X variabile aleatoria che conta il numero di S su n=10 prove
10
P ( X  1)  1  P( X  0)  1     0,020  0,9810
0 
 1  0,9810  1  0,81  0,19
ESERCIZIO Se il 5% dei chip di memoria prodotti da
una macchina sono difettosi, determinare la
probabilità che su 4 chip scelti a caso:
a) Nessuno sia difettoso
b) Al più 1 sia difettoso;
c) Meno di 2 siano difettosi
d) Calcolare media e deviazione standard del numero
di chip difettosi su un totale di 400 chip.
S evento “ chip difettoso” P(S)=p=0,05 (5%)
X variabile aleatoria che conta il numero di S su n=4 oggetti
a)
b)
 4
P ( X  0)     0,050  0,954  0,8145
 0
P ( X  1)  P ( X  0)  P ( X  1)  0,8145  0,1715  0,9860
 4
P( X  1)     0,051  0,953  0,1715
1 
c)
d)
P ( X  2 )  P ( X  1)  0,986
  np  400 0,05  20
 2  np(1  p)  400 0,05 (1  0,05)  19
  19  4,36
DISTRIBUZIONE DI POISSON
E’ nota come legge degli “eventi rari” e si utilizza per calcolare la
probabilità di ripetizione di eventi, nel caso in cui il singolo evento
ha una bassa probabilità di realizzarsi e le prove ripetute siano molte
1781-1840
Si fissa un dato intervallo di tempo o una data regione dello spazio
In un qualsiasi istante di questo intervallo può accadere un certo evento , ma
non siamo in grado di predire quando o dove
eventi indipendenti
In media accadono μ eventi nell’intervallo di tempo
ESEMPI
il numero di automobili che passano in un tratto di strada isolata in un certo periodo
 numero di richieste di interventi urgenti che arrivano in un’ora ad un servizio di
guardia medica
Il numero di meteoriti che cadono in un vasto territorio
Il numero di globuli bianchi in una gocciolina di sangue
Il fenomeno del crossover per una coppia di cromosomi (cromosomi omologhi si
rompono e si ricongiungono incrociandosi anche più volte
X variabile aleatoria che conta il numero di volte in cui si verifica un evento raro
in un dato intervallo di tempo o di spazio, X(Ω)=0,1,2,3…….
la probabilità che nel dato intervallo di tempo avvengano k eventi è
=
dove
indica il numero medio di realizzazioni dell’evento.
=
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’ POISSONIANA
=
FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE POISSONIANA F
VALOR MEDIO di X:
VARIANZA DI X :
ESERCIZIO. Sapendo che in media in un
anno 12 cavalleggeri prussiani venivano
uccisi dal calcio di un cavallo, qual è la
probabilità che nel 1861 ne vennero uccisi
solo 7?
X variabile aleatoria che conta il numero di cavalleggeri prussiani uccisi dal calcio di un
cavallo avente media µ=12
e  12 12 7
P ( X  7) 
 0 , 044  4 , 4 %
7!
ESERCIZIO .Qual è la probabilità che in un call center che
riceve in media 20 telefonate al minuto non arrivi alcuna
telefonata fra le 9,15 e le 9,16 del 9/12/2008?
X variabile aleatoria che conta il numero di chiamate al
minuto avente media µ =20
e  20 20 0
P ( X  0) 
 e  20  2 , 06  10  9
0!
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’ CONTINUE.
Sia X una variabile aleatoria continua, cioè che assume valori reali.
Proprietà delle distribuzioni di probabilità continue:
1) la probabilità che X sia pari ad un preciso numero è nulla;
2) gli eventi di cui si calcola la probabilità sono del tipo Xє [a,b] , dunque assegnare
una distribuzioni di probabilità continua equivale ad assegnare P ( X  [ a , b ])
per ogni intervallo [a,b].
Invece di procedere con 2) si preferisce assegnare una densità di probabilità, cioè
una funzione f(x) tale che
a) f ( x )  0 per ogni x  R
b)



f ( x ) dx  1
Si definisce poi la probabilità che X sia compresa tra a e b:
P ( X  [ a , b ])  P ( a  X  b ) :
In particolare risulta:

b
a
f ( x ) dx
P (a  X  b )  P (a  X  b )  P (a  X  b )  P (a  X  b)
VALOR MEDIO DI UNA VARIABILE ALEATORIA CONTINUA
Si definisce VALOR MEDIO DI X la quantità
dove
è la densità di probabilità associata a X.
Si definisce varianza di una variabile aleatoria X la quantità:
dove
è il valor medio di X
DISTRIBUZIONE NORMALE O DI GAUSS
E’ nota anche come “legge degli errori”, poiché descrive la
distribuzione degli errori casuali relative a successive misure in
fisica.
DENSITA’ DI PROBABILITA’ o DISTRIBUZIONE NORMALE o di GAUSS
1
f ( x) 
e
 2
1  x  
 

2  
1
 2
2
1777–1855
x  R,   0 ,   0.
Facendo i conti risulta che per
Utilizzando l’integrale di Gauss
1
f ( x) 
e
 2
𝟐
1  x  
 

2  
2
b
1
P (a  X  b) 
e

 2 a
a
μ
b
1  t  
 

2  
2
dt
FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE o FUNZIONE di RIPARTIZIONE NORMALE
1
F ( x)  P( X  x) 
 2
x
e

x
1  t  
 

2  
2
dt
1
P(    X     ) 
 2
 
e

 
1 t  
 

2  
2
dt  0,683

La probabilità che una misura estratta a caso da una distribuzione normale si trovi in
[μ-σ,μ +σ] è del 68,3%.
1
P (   2  X    2 ) 
 2
  2
e

 
1 t  
 

2  
2
dt  0,95
2
La probabilità che una misura estratta a caso da una distribuzione normale si trovi in
[μ-2σ,μ +2σ] è del 95%.
DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARDIZZATA:
è una distribuzione normale con μ=0 e
1

2
Z
X 

VARIABILE STANDARDIZZATA
σ=1
f (Z ) 
1
e
2
Z2

2
P ( Z  1,96)

1
2

e
Z2

2
1, 96
a,b c
1,96= 1,9 6
a,b
dZ =0,025=2,5%
2,5%
P (  Z   )  P ( Z   )  P ( Z   )
α
β
α
β
 a X  b 
P ( a  X  b)  P 




 
 
Z
X 

b  
a
 P
Z

 
 
a
b  


 P Z 
  P Z 

  
 

ESERCIZIO. Il peso alla nascita dei neonati italiani segue una legge normale di
media 3.1 Kg e di varianza 0.36 Kg.
a) Qual è la probabilità che un neonato scelto a caso abbia peso compreso tra
2.5 Kg e 2.7 Kg?
b) Qual è la probabilità che un neonato scelto a caso abbia peso minore di 2 Kg?
X variabile aleatoria che rappresenta il peso dei neonati italiani alla nascita
  3,1
a)
  0,36  0,6
 2,5  3,1 X   2,7  3,1 
P ( 2,5  X  2,7 )  P 




0, 6 
 0, 6
 P(-1  Z  0,67)  P(0,67  Z  1)
Z
X 
=

-1
-0,67
0,67
1
P(0,67  Z  1)  P( Z  0,67)  P( Z  1)  0,25143 0,15866  0,09277  9%
Per la simmetria
b) P ( X
2  3 ,1 
 X 
 2)  P 

  P ( Z   1,83 )  P ( Z  1 , 83 )
0 .6 
 
 0 , 03362  3 %