Il concetto di insieme
DEFINIZIONE. Per insieme matematico si intende un raggruppamento di elementi che possono
essere definiti con assoluta certezza.
Gli insiemi matematici vengono indicati con una lettera maiuscola dell’alfabeto:
A
B
C
D
…
Gli oggetti che formano un insieme si chiamano elementi di quell’insieme e vengono indicati
con le lettere minuscole dell’alfabeto:
a
Gli insiemi
b
c
d
…
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Il concetto di insieme
Per indicare che un oggetto appartiene ad un insieme si usa il simbolo
a
e si scrive:
A
Si legge << l’elemento a appartiene all’insieme A >>.
Per indicare che un oggetto non appartiene ad un insieme si usa il simbolo
b
e si scrive:
A
Si legge << l’elemento b non appartiene all’insieme A >>.
Gli insiemi
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Il concetto di insieme
DEFINIZIONE. Un insieme si dice finito quando è costituito da un numero limitato di elementi.
ESEMPIO
A
L’insieme A degli utensili da lavoro.
Gli insiemi
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Il concetto di insieme
DEFINIZIONE. Un insieme si dice infinito quando è costituito da un numero illimitato di elementi.
ESEMPIO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
…
L’insieme dei numeri naturali.
Gli insiemi
4
Il concetto di insieme
DEFINIZIONE. Un insieme privo di elementi si dice vuoto.
Un insieme vuoto si indica con i seguenti simboli:
oppure
{ }
DEFINIZIONE. Due insiemi sono uguali se sono formati dagli stessi elementi.
ESEMPIO
a ie
ei a
aie
matite
elica
ei a
L’insieme A delle vocali della parola <<matite>> e l’insieme B delle vocali della parola <<elica>>.
Gli insiemi
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La rappresentazione di un insieme
Rappresentazione per elencazione: si scrivono gli elementi dell’insieme all’interno di una parentesi
graffa, separati uno dall’altro da un punto e virgola.
A
{
}
nord ; sud ; ovest ; est
L’insieme A dei punti cardinali.
Rappresentazione per caratteristica: si scrive all’interno di una parentesi graffa la proprietà che
caratterizza gli elementi dell’insieme.
A
{
x | x è una lettera della parola condizionatore
}
Si legge << l’insieme A è formato dagli elementi x tali che ogni x è una lettera della parola “condizionatore” >>.
Rappresentazione grafica: si traccia una linea chiusa e al suo interno
si scrivono gli elementi dell’insieme.
Diagramma di Eulero-Venn
L’insieme A delle lettere che formano la parola “telefono”.
Gli insiemi
•t
•n
•e
•f
•l
•o
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Il concetto di sottoinsieme
DEFINIZIONE. Un insieme B si dice sottoinsieme proprio di un insieme A se ogni elemento di B
appartiene ad A ma c’è almeno un elemento di A che non appartiene a B.
ESEMPIO
A
•t
A={t;e;g;o;l;a}
•o
•e
•l
B={l;e;g;a}
B
•g
•a
DEFINIZIONE. Due particolari sottoinsiemi di A: l’insieme vuoto e lo stesso insieme A. Questi due
sottoinsiemi vengono definiti impropri.
A
Gli insiemi
A
A
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Il concetto di sottoinsieme
Per indicare che A include B come suo sottoinsieme si usa la scrittura
A
B
B
oppure
A
che si leggono
<< l’insieme A include l’insieme B >>.
<< l’insieme B è sottoinsieme dell’insieme A >>.
Se B non è sottoinsieme di A si scrive
B
e si legge
Gli insiemi
A
<< l’insieme B non è incluso nell’insieme A >>.
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L’insieme delle parti
DEFINIZIONE. Dato un insieme A non vuoto si definisce insieme delle parti di A e si indica con P (A)
l’insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi propri ed impropri di A.
Dato l’insieme A = { m; i ; o }
Gli insiemi
l’insieme delle parti è
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Intersezione di insiemi
DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B si dice intersezione di tali insiemi, l’insieme C formato dagli
elementi che appartengono contemporaneamente ad A e B. In simboli si scrive
C
A
B
ESEMPIO
C
A
C
B
•5
• 10
• 12
• 20
A
B
•8
C
{ 10 ; 20 }
DEFINIZIONE. Se due insiemi A e B non hanno alcun elemento in comune la loro intersezione è
l’insieme vuoto e si dice che A e B sono disgiunti.
Gli insiemi
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Unione di insiemi
DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B si dice unione di tali insiemi, l’insieme C formato dagli
elementi che appartengono ad A o B, presi una sola volta, quando esistono elementi comuni. In
simboli si scrive
C
ESEMPIO
A
B
C
A
C
Gli insiemi
B
•5
• 10
• 12
• 20
A
B
•8
C
{ 5 ; 12 ; 10 ; 20 ; 8 }
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La differenza e l’insieme complementare
DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B si dice differenza di tali
insiemi quel nuovo insieme C formato dagli elementi di A che
non appartengono a B. In simboli:
C = A-B
o
C = A\B
Dati gli insiemi della figura a lato si ha che A − B = { g ; t ; i ; e }
DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B, con B Ì A l’insieme
differenza di A e B, si dice insieme complementare di B
rispetto ad A e si scrive:
CA B
Gli insiemi
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La partizione di un insieme
DEFINIZIONE. Si chiama partizione di un insieme la suddivisione dell’insieme stesso in più
sottoinsiemi, i quali devono soddisfare le seguenti condizioni:
nessuno dei sottoinsiemi deve essere vuoto;
i vari sottoinsiemi devono essere disgiunti;
l’unione dei sottoinsiemi è l’insieme di partenza.
Criteri di partizione diversi portano alla formazione di sottoinsiemi diversi.
Dato l’insieme,
possiamo suddividere gli elementi
in base al colore
Gli insiemi
oppure in base alla forma
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