1 Gli insiemi

Il concetto di insieme
DEFINIZIONE. Per insieme matematico si intende un raggruppamento di elementi che possono
essere definiti con assoluta certezza.
Gli insiemi matematici vengono indicati con una lettera maiuscola dell’alfabeto:
A
B
C
D
…
Gli oggetti che formano un insieme si chiamano elementi di quell’insieme e vengono indicati
con le lettere minuscole dell’alfabeto:
a
Gli insiemi
b
c
d
…
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Il concetto di insieme
Per indicare che un oggetto appartiene ad un insieme si usa il simbolo
a
e si scrive:
A
Si legge << l’elemento a appartiene all’insieme A >>.
Per indicare che un oggetto non appartiene ad un insieme si usa il simbolo
b
e si scrive:
A
Si legge << l’elemento b non appartiene all’insieme A >>.
Gli insiemi
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Il concetto di insieme
DEFINIZIONE. Un insieme si dice finito quando è costituito da un numero limitato di elementi.
ESEMPIO
A
L’insieme A degli utensili da lavoro.
Gli insiemi
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Il concetto di insieme
DEFINIZIONE. Un insieme si dice infinito quando è costituito da un numero illimitato di elementi.
ESEMPIO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
…
L’insieme dei numeri naturali.
Gli insiemi
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Il concetto di insieme
DEFINIZIONE. Un insieme privo di elementi si dice vuoto.
Un insieme vuoto si indica con i seguenti simboli:
oppure
{ }
DEFINIZIONE. Due insiemi sono uguali se sono formati dagli stessi elementi.
ESEMPIO
a ie
ei a
aie
matite
elica
ei a
L’insieme A delle vocali della parola <<matite>> e l’insieme B delle vocali della parola <<elica>>.
Gli insiemi
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La rappresentazione di un insieme
Rappresentazione per elencazione: si scrivono gli elementi dell’insieme all’interno di una parentesi
graffa, separati uno dall’altro da un punto e virgola.
A
{
}
nord ; sud ; ovest ; est
L’insieme A dei punti cardinali.
Rappresentazione per caratteristica: si scrive all’interno di una parentesi graffa la proprietà che
caratterizza gli elementi dell’insieme.
A
{
x | x è una lettera della parola condizionatore
}
Si legge << l’insieme A è formato dagli elementi x tali che ogni x è una lettera della parola “condizionatore” >>.
Rappresentazione grafica: si traccia una linea chiusa e al suo interno
si scrivono gli elementi dell’insieme.
Diagramma di Eulero-Venn
L’insieme A delle lettere che formano la parola “telefono”.
Gli insiemi
•t
•n
•e
•f
•l
•o
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Il concetto di sottoinsieme
DEFINIZIONE. Un insieme B si dice sottoinsieme proprio di un insieme A se ogni elemento di B
appartiene ad A ma c’è almeno un elemento di A che non appartiene a B.
ESEMPIO
A
•t
A={t;e;g;o;l;a}
•o
•e
•l
B={l;e;g;a}
B
•g
•a
DEFINIZIONE. Due particolari sottoinsiemi di A: l’insieme vuoto e lo stesso insieme A. Questi due
sottoinsiemi vengono definiti impropri.
A
Gli insiemi
A
A
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Il concetto di sottoinsieme
Per indicare che A include B come suo sottoinsieme si usa la scrittura
A
B
B
oppure
A
che si leggono
<< l’insieme A include l’insieme B >>.
<< l’insieme B è sottoinsieme dell’insieme A >>.
Se B non è sottoinsieme di A si scrive
B
e si legge
Gli insiemi
A
<< l’insieme B non è incluso nell’insieme A >>.
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L’insieme delle parti
DEFINIZIONE. Dato un insieme A non vuoto si definisce insieme delle parti di A e si indica con P (A)
l’insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi propri ed impropri di A.
Dato l’insieme A = { m; i ; o }
Gli insiemi
l’insieme delle parti è
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Intersezione di insiemi
DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B si dice intersezione di tali insiemi, l’insieme C formato dagli
elementi che appartengono contemporaneamente ad A e B. In simboli si scrive
C
A
B
ESEMPIO
C
A
C
B
•5
• 10
• 12
• 20
A
B
•8
C
{ 10 ; 20 }
DEFINIZIONE. Se due insiemi A e B non hanno alcun elemento in comune la loro intersezione è
l’insieme vuoto e si dice che A e B sono disgiunti.
Gli insiemi
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Unione di insiemi
DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B si dice unione di tali insiemi, l’insieme C formato dagli
elementi che appartengono ad A o B, presi una sola volta, quando esistono elementi comuni. In
simboli si scrive
C
ESEMPIO
A
B
C
A
C
Gli insiemi
B
•5
• 10
• 12
• 20
A
B
•8
C
{ 5 ; 12 ; 10 ; 20 ; 8 }
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La differenza e l’insieme complementare
DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B si dice differenza di tali
insiemi quel nuovo insieme C formato dagli elementi di A che
non appartengono a B. In simboli:
C = A-B
o
C = A\B
Dati gli insiemi della figura a lato si ha che A − B = { g ; t ; i ; e }
DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B, con B Ì A l’insieme
differenza di A e B, si dice insieme complementare di B
rispetto ad A e si scrive:
CA B
Gli insiemi
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La partizione di un insieme
DEFINIZIONE. Si chiama partizione di un insieme la suddivisione dell’insieme stesso in più
sottoinsiemi, i quali devono soddisfare le seguenti condizioni:
 nessuno dei sottoinsiemi deve essere vuoto;
 i vari sottoinsiemi devono essere disgiunti;
 l’unione dei sottoinsiemi è l’insieme di partenza.
Criteri di partizione diversi portano alla formazione di sottoinsiemi diversi.
Dato l’insieme,
possiamo suddividere gli elementi
in base al colore
Gli insiemi
oppure in base alla forma
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