Relatività Dalle trasformazioni Galileiane alle trasformazioni di Lorentz Trasformazioni Galileiane • Stando fermi o viaggiando a 1000 km/ h in moto rettilineo uniforme è, per la meccanica Galileiana, assolutamente indifferente. • La Relatività Galileiana stabilisce che le leggi della meccanica sono identiche per tutti i sistemi di riferimento inerziali Moto della Terra rispetto alle stelle fisse Una misura astronomica eseguita da James Bradley nel 1725, utilizzando un cannocchiale fisso ancorato al suolo, dimostrava che la Terra è in moto relativo rispetto alle “stelle fisse” e che la velocità della luce è una velocità finita • Sia A una stella posta sulla verticale del piano orbitale terrestre. • La luce proveniente da A si propaga secondo la direzione indicata con velocità c = 2,998 x 108 m/s. • La composizione dei vettori c e v (velocità della Terra 3 x 104 m/s), ovvero c’ = c – v, mostra, ad un osservatore terrestre, la stella in posizione A’ spostata di un angolo α = arctg(v/c) = 20,64’’ • Dopo sei mesi, la rivoluzione terrestre intorno al Sole, l’asse TA’ forma un angolo di 41”.02 rispetto alla misura eseguita precedentemente (cono con aberrazione 2α) in buonissimo accordo con quello calcolato che è di 41”.38 Meccanica vs. ele4romagne6smo Le leggi della mecchanica sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Galilei, mentre le leggi dell’elettromagnetismo non lo sono. Chi sta all’interno (chiuso) di un sistema inerziale non può dire se sta fermo o se si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un altro riferimento inerziale. Quindi non esistono sistemi di riferimento inerziali assoluti, ma solo sistemi di riferimento inerziali relativi. L’elettromagnetismo invece prevede un sistema di riferimento assoluto. Infatti, la luce ha la stessa velocità in qualsiasi sistema di riferimento, e ha bisogno di un mezzo attraverso cui propagarsi. L’etere luminifero. Purtroppo dell’etere si sono avute solo ipotetiche congetture, ma non si è mai riusciti ad averne prove certe (MichelsonMorley) Newton vs. Maxwell Le leggi della meccanica Newtoniana sono invarianti rispetto alle trasformazioni galileiane. Le leggi dell’elettromagnetismo non sono invariani rispetto alle trasformazioni galileiane. Se esistesse un sistema di riferimento inerziale assoluto Sa, in cui la velocità della luce fosse (2,9979264 x 108 m/s), e accettassimo le trasformazioni Galileiane, potremmo avere un altro sistema di riferimento S’, in moto rispetto a Sa , in cui la velocità della luce si dovrebbe muovere con velocità c’ = c + v . Ma … ma questo invaliderebbe le equazioni dell’elettromagnetismo che asserisce che la luce ha la stessa velocità in tutti i sistemi di riferimento.. Quindi una misura della velocità della luce, eseguita nella direzione parallela al moto della Terra dovrebbe essere diversa da una misura eseguita nella direzione perpendicolare al moto della Terra (idea di Michelson). Esperimento di Michelson-Morley L’esperimento eseguito da Michelson-Morley nel 1881 è costituito da un interferometro poggiato su un basamento di granito capace di ruotare di 360° in modo che i cammini ottici perpendicolari fra loro modificassero le figure di interferenza dovute all’ipotetico vento dell’etere luminifero. L’esperimento non mostrò nessuna modifica nelle figure di interferenza qualunque fosse l’orientamento dell’interferometro. La luce viaggiava sempre alla stessa velocità. Successivamente nel 1930 Joos ripetè l’esperimento con una precisione 200 volte maggiore, ma arrivò alla stessa conclusione: non esistono sistemi di riferimento privilegiati. I con6 di Michelson La luce andando verso il primo specchio avrà il “vento di terra” contro, mentre nel percorso di ritorno il “Vento di terra” sarà a favore. Pertanto nel ramo verde la luce impiega un tempo t1 : Moto della Terra v serie geometrica Nel ramo bleu, perpendicolare al moto della terra, la descrizione è un po’ più complessa, ma grazie alla simmetria dei percorsi avremo: 2 L2 t2 = c 2 L2 ⎛ v 2 ⎞ ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ ≈ 2 c ⎝ 2c ⎠ v 1− 2 c 1 (v / c)2 << 1 I con6 di Michelson La differenza di fase dei due raggi luminosi che raggiungono il rivelatore (un semplice schermo) sarà data da: Ruotando l’interferometro di π/2 dovremmo trovare una variazione di fase S = δ - δ’ pari a (circa 0,2 µm): La rotazione dell’interferometro non fa vedere nessuna variazione di fase, portandoci a concludere che: l’etere non esiste Trarre alcune conclusioni L’aberrazione stellare ci dice che la luce ha un valore finito e che la Terra è in moto rispetto ad un ipotetico riferimento assoluto, in armonia con le trasformazioni Galileiane, mentre le leggi dell’elettromagnetismo ci dicono che la velocità della luce è invariante rispetto a qualunque sistema di riferimento. Non rimane che trarre alcune conclusioni: 1. In tutti i sistemi inerziali sono corrette le trasformazioni Galileiane e sono verificate le leggi della meccanica, ma non quelle dell’elettromagnetismo. Quindi dovrà esistere un sistema assoluto in cui le onde elettromagnetiche si propaghino con velocità costante c, mentre in altri la luce si propaghi con velocità diversa, magari maggiore. Ma dovremmo trovare un esperimento che suffraghi questa ipotesi. 2. Oppure ammettiamo che tutte le leggi della Fisica (meccaniche ed elettromagnetiche) siano invarianti rispetto al passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, ma allora è necessario cambiare le leggi di trasformazione (Galileiane) e modificare la meccanica in modo da renderla compatibile con le nuove leggi. I postulati della relatività (ristretta) 1. Le leggi della Fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. 2. La velocità della luce nello spazio libero è indipendente dal moto della sorgente e/o dal moto dell’osservatore. • Il primo postulato è molto ragionevole ed è in accordo con le relatività Galileiana. • Il secondo è meno intuitivo, ma è coerente con le osservazioni e i risultati sperimentali. • I due postulati presi insieme conducono a sorprendenti risultati Sincronizzazione degli orologi • Poichè la velocità della luce non è infinita dobbiamo trovare una procedura che si basi sui soli postulati della relatività per sincronizzare due orologi posti a distanza r. • Supponiamo che un orologio nel sistema di riferimento O, emetta un lampo e questo sia il suo t0; a distanza r un secondo orologio, per il secondo postulato, dovrà segnare t = t0 + r/c. Ne consegue che eventi posti in luoghi diversi A e B sono simultanei se: appaiono contemporaneamente ad un osservatore S posto alla medesima distanza sia da A che da B. • Da questa banale affermazione ne consegue che la simultaneità è relativa all’osservatore, ovvero: Se due eventi sono simultanei in un sistema S, non lo sono per un osservatore S’ che sia in moto inerziale rispetto ad S. Esempio di simultaneità: S’ in moto rispetto a S •Per un osservatore in S’: i. l’emissione della luce, ii. il riflesso degli specchi A e B, iii. la rivelazione successiva in M sono eventi simultanei. • Per un osservatore in S: all’istante t = 0, due lampi partono simultaneamente verso A e B che vengono raggiunti in due istanti successivi, prima in A (panel c) e poi in B (panel d). L’emissione e la rivelazione in M è però simultanea come per l’osservatore in S’. Due specchi piani paralleli sono posti agli estremi di un vagone ed al centro del vagone è posta una sorgente luminosa che è anche rivelatore, MA = MB. Il vagone sia S’ in moto inerziale rispetto a S. • Eventi che si verificano nello stesso punto dello spazio se sono simultanei in S’ lo sono anche in S. • Eventi che si verificano in punti diversi dello spazio se sono simultanei in S’ non lo sono in S Non solo il tempo è relativo • Dal concetto di simultaneità si deduce che la durata di un evento è diversa per diversi sistemi di riferimento, cioè il tempo è relativo. • Inoltre anche la lunghezza di un oggetto è relativo all’osservatore. • Se l’oggetto è fermo nel sistema S’ (vagone) l’osservatore deve semplicemente confrontare la lunghezza A’ - B’ con il suo regolo campione. • Mentre l’osservatore posto in S dovrà prima individuare i punti A e B occupati da A’ e B’ e quindi misurare la lunghezza A-B. • Essendo i punti A e B definiti operativamente in modo diverso da A’ e B’ , la loro distanza è una grandezza fisica diversa. Per v0 prossima alla velocità della luce, la distanza A-B = l(v0) A’-B’,. Lo Spazio e il Tempo • Il concetto di spazio e il concetto di tempo non sono più indipendenti, ma sono mescolati fra loro e quindi le leggi di trasformazioni galileiane, che considerano spazio e tempo in modo indipendente, sono non più valide. • Bisognerà trovare altre leggi di trasformazione che tengano conto del mescolamento spazio-temporale Verso le trasformazioni di Lorentz • Le leggi di trasformazione di un evento in un sistema inerziale S’ diventano nel sistema S trasformazioni con le coordinate spazio e tempo mescolate. • Le dimostreremo solo nella direzione x assumendo che le direzioni y e z non siano in moto. Dalla figura si vede che il sistema S’ di muove con velocità v0 rispetto al sistema S. y v0 Al tempo t p ≡ p' O' ≡ A 0 quindi per l’osservatore in S sarà: OP = OA + AP OP = x € OA = v0t o z p=p’ o’ x A x = v0t + AP Per la relatività galileiana AP = x’ e OP = x = v0t + x’. Per la relatività einsteniana AP osservata da S è mutata secondo la relazione AP = λ (v0 )O' P' = λ (v0 ) x' → x' = 1 λ (x − v0t ) oppure x= 1 λ (x'+v0t ') Verso le trasformazioni di Lorentz La composizione delle due ultime relazioni porta: x= 1 ⎡ 1 ⎤ x − v0t v0 ( ) x − v t + v t ' 0 0 ⎥ = λ2 + λ t ' λ ⎢⎣ λ ⎦ v t ⎞ t ' = ⎜ x − 2 + 02 ⎟ v0 ⎝ λ λ ⎠ x λ ⎛ t' = ⎞ 1 ⎛ x 2 ⎜⎜ λ − 1 + t ⎟⎟ λ ⎝ v0 ⎠ ( ) → da cui ⎞ 1 ⎛ λ2 x t ' = ⎜⎜ x − + t ⎟⎟ λ ⎝ v0 v0 ⎠ → t' = ⎞ 1 ⎛ 2 x x ⎜⎜ λ − + t ⎟⎟ λ ⎝ v0 v0 ⎠ per λ = 1 → t ' = t Galileo Mentre per λ = 1 si hanno le trasformazioni di Lorentz, a patto di trovare la dipendenza di λ da v0 Sia p una particella che si muova lungo x con velocità v nel sistema S e con velocità v’ nel sistema S’. Allora in S sarà v = dx/dt e in S’ dx ' 1 ⎛ dx ⎞ 1 = ⎜ − v0 ⎟ = (v − v0 ) dt λ ⎝ dt ⎠ λ ⎞ dt ' 1 ⎛ λ2 − 1 dx ⎞ 1 ⎛ λ2 − 1 = ⎜⎜ + 1⎟⎟ = ⎜⎜ v + 1⎟⎟ dt λ ⎝ v0 dt ⎠ λ ⎝ v0 ⎠ ovvero v' = v − v0 λ (v0 )2 − 1 1+ v v0 dx ' dx ' dt v' = = dt ' dt ' dt Verso le trasformazioni di Lorentz • La velocità v di una particella in moto nel riferimento S che sia a sua volta in moto con velocità v0 rispetto ad un osservatore in S’ si esprime con la formula • Supponiamo ora di avere un altro sistema di riferimento S” che si muova con velocità v’ rispetto a S’ e con velocità v rispetta a S. Per far questo basta: scambiare –v’ con v’, v0 con v e sostituire λ(v0) con λ(v), tale che: v0 − v − v' = λ (v )2 − 1 1+ v0 v v' = v − v0 2 λ (v0 ) − 1 1+ v v0 Confrontando queste due trasformazioni osserviamo che: 2 λ(v 0 ) −1 v € 2 0 2 = λ(v ) −1 v 2 1 =− 2 c → v 02 λ(v 0 ) = 1− 2 (**) c (*) Trasformazioni di Lorentz (1) x' = x − v0t v02 1− 2 c y' = y z' = z t' = t − v0 x c 2 v02 1− 2 c • La più evidente conclusione è che c’è un mescolamento tra le trasformazioni della posizione e del tempo (questo non succede per le trasformazioni di Galilei) • Se la velocità della luce fosse infinita v02/c2 à 0 e le coordinate delle trasformazioni non si mescolerebbero più. • Dal confronto della (*) con la (**) abbiamo che v − v0 v − v0 v − v0 (*) v' = v' = = 2 2 v0v v − v0 1 − 0 2 −1 1 − 1+ 2 v c c2 c v0 1+ v v0 Trasformazioni di Lorentz (2) x' = γ o ' ( x − β o 'ct ) x = γ o ' ( x '+ β o 'ct ' ) y' = y y = y' z' = z z = z' x t ' = γ o ' (t − β o ' ) c x' t = γ o ' (t '+ β o ' ) c ⎛ x' ⎞ ⎛ γ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ y ' ⎟ ⎜ 0 ⎜ z ' ⎟ = ⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ict ' ⎟ ⎜ − iβγ ⎝ ⎠ ⎝ 0 0 iβγ ⎞⎛ x ⎞ ⎟⎜ ⎟ 1 0 0 ⎟⎜ y ⎟ 0 1 0 ⎟⎜ z ⎟ ⎟⎜ ⎟ 0 0 γ ⎟⎠⎜⎝ ict ⎟⎠ βO' = vo ' , c γ O' = 1 vO2 ' 1− 2 c = 1 1 − β O2 ' Costanza della velocità della luce La formula precedente (*) esprime la velocità di un oggetto nel sistema S’ che si muove con velocità v0 rispetto al sistema S. Se l’oggetto nel sistema S si muove con velocità v = c dovremo avere ancora v’ = c per qualunque valore di v0. c − v0 c − v0 v' = =c =c v0c c − v 0 1− 2 c v' = v − v0 vv 1 − 02 c La velocità della luce è uguale per ogni sistema di riferimento inerziale Le traformazioni di Lorentz sono compatibili con entrambi i postulati della relatività ristretta
