Relatività - Macroarea di Scienze

Relatività
Dalle trasformazioni Galileiane
alle trasformazioni di Lorentz
Trasformazioni Galileiane
•  Stando fermi o viaggiando a 1000 km/
h in moto rettilineo uniforme è, per la
meccanica Galileiana, assolutamente
indifferente.
•  La Relatività Galileiana stabilisce che
le leggi della meccanica sono identiche
per tutti i sistemi di riferimento inerziali
Moto della Terra
rispetto alle stelle fisse
Una misura astronomica eseguita da James
Bradley nel 1725, utilizzando un cannocchiale
fisso ancorato al suolo, dimostrava che la Terra
è in moto relativo rispetto alle “stelle fisse” e
che la velocità della luce è una velocità finita
•  Sia A una stella posta sulla verticale del piano orbitale
terrestre.
•  La luce proveniente da A si propaga secondo la direzione indicata con
velocità c = 2,998 x 108 m/s.
•  La composizione dei vettori c e v (velocità della Terra 3 x 104 m/s),
ovvero c’ = c – v, mostra, ad un osservatore terrestre, la stella in posizione
A’ spostata di un angolo α = arctg(v/c) = 20,64’’
•  Dopo sei mesi, la rivoluzione terrestre intorno al Sole, l’asse TA’ forma
un angolo di 41”.02 rispetto alla misura eseguita precedentemente (cono
con aberrazione 2α) in buonissimo accordo con quello calcolato che è di
41”.38
Meccanica vs. ele4romagne6smo
Le leggi della mecchanica sono invarianti rispetto alle trasformazioni di
Galilei, mentre le leggi dell’elettromagnetismo non lo sono.
Chi sta all’interno (chiuso) di un sistema inerziale non può dire se sta fermo o
se si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un altro riferimento
inerziale. Quindi non esistono sistemi di riferimento inerziali assoluti, ma solo
sistemi di riferimento inerziali relativi.
L’elettromagnetismo invece prevede un
sistema di riferimento assoluto. Infatti, la
luce ha la stessa velocità in qualsiasi
sistema di riferimento, e ha bisogno di un
mezzo attraverso cui propagarsi. L’etere
luminifero.
Purtroppo dell’etere si sono avute solo
ipotetiche congetture, ma non si è mai
riusciti ad averne prove certe (MichelsonMorley)
Newton vs. Maxwell
Le leggi della meccanica Newtoniana sono invarianti rispetto alle
trasformazioni galileiane.
Le leggi dell’elettromagnetismo non sono invariani rispetto alle
trasformazioni galileiane.
Se esistesse un sistema di riferimento inerziale assoluto Sa, in cui la
velocità della luce fosse (2,9979264 x 108 m/s), e accettassimo le
trasformazioni Galileiane, potremmo avere un altro sistema di
riferimento S’, in moto rispetto a Sa , in cui la velocità della luce si
dovrebbe muovere con velocità c’ = c + v . Ma … ma questo
invaliderebbe le equazioni dell’elettromagnetismo che asserisce che
la luce ha la stessa velocità in tutti i sistemi di riferimento..
Quindi una misura della velocità della luce, eseguita nella direzione parallela
al moto della Terra dovrebbe essere diversa da una misura eseguita nella
direzione perpendicolare al moto della Terra (idea di Michelson).
Esperimento di Michelson-Morley
L’esperimento eseguito da Michelson-Morley nel
1881 è costituito da un interferometro poggiato su
un basamento di granito capace di ruotare di 360°
in modo che i cammini ottici perpendicolari fra
loro modificassero le figure di interferenza dovute
all’ipotetico vento dell’etere luminifero.
L’esperimento non mostrò nessuna modifica nelle
figure di interferenza qualunque fosse
l’orientamento dell’interferometro.
La luce viaggiava sempre alla stessa velocità.
Successivamente nel 1930 Joos ripetè
l’esperimento con una precisione 200 volte
maggiore, ma arrivò alla stessa conclusione:
non esistono sistemi di riferimento privilegiati.
I con6 di Michelson La luce andando verso il primo
specchio avrà il “vento di terra”
contro, mentre nel percorso di ritorno
il “Vento di terra” sarà a favore.
Pertanto nel ramo verde la luce
impiega un tempo t1 :
Moto della Terra
v
serie geometrica
Nel ramo bleu, perpendicolare al moto della terra, la descrizione è
un po’ più complessa, ma grazie alla simmetria dei percorsi
avremo:
2 L2
t2 =
c
2 L2 ⎛
v 2 ⎞
⎜⎜1 + 2 ⎟⎟
≈
2
c ⎝ 2c ⎠
v
1− 2
c
1
(v / c)2 << 1
I con6 di Michelson La differenza di fase dei due raggi luminosi che raggiungono
il rivelatore (un semplice schermo) sarà data da:
Ruotando l’interferometro di π/2 dovremmo trovare una
variazione di fase S = δ - δ’ pari a (circa 0,2 µm):
La rotazione dell’interferometro non fa vedere nessuna
variazione di fase, portandoci a concludere che:
l’etere non esiste
Trarre alcune conclusioni
L’aberrazione stellare ci dice che la luce ha un valore finito e che la Terra è in
moto rispetto ad un ipotetico riferimento assoluto, in armonia con le
trasformazioni Galileiane, mentre le leggi dell’elettromagnetismo ci dicono che
la velocità della luce è invariante rispetto a qualunque sistema di riferimento.
Non rimane che trarre alcune conclusioni:
1.  In tutti i sistemi inerziali sono corrette le trasformazioni Galileiane e sono
verificate le leggi della meccanica, ma non quelle dell’elettromagnetismo.
Quindi dovrà esistere un sistema assoluto in cui le onde elettromagnetiche si
propaghino con velocità costante c, mentre in altri la luce si propaghi con
velocità diversa, magari maggiore. Ma dovremmo trovare un esperimento che
suffraghi questa ipotesi.
2.  Oppure ammettiamo che tutte le leggi della Fisica (meccaniche ed
elettromagnetiche) siano invarianti rispetto al passaggio da un sistema di
riferimento inerziale ad un altro, ma allora è necessario cambiare le leggi di
trasformazione (Galileiane) e modificare la meccanica in modo da renderla
compatibile con le nuove leggi.
I postulati della relatività (ristretta)
1. Le leggi della Fisica sono le stesse in tutti i sistemi
di riferimento inerziali.
2. La velocità della luce nello spazio libero è
indipendente dal moto della sorgente e/o dal moto
dell’osservatore.
•  Il primo postulato è molto ragionevole ed è in accordo con le
relatività Galileiana.
•  Il secondo è meno intuitivo, ma è coerente con le
osservazioni e i risultati sperimentali.
•  I due postulati presi insieme conducono a sorprendenti
risultati
Sincronizzazione degli orologi
•  Poichè la velocità della luce non è infinita dobbiamo trovare una
procedura che si basi sui soli postulati della relatività per
sincronizzare due orologi posti a distanza r.
•  Supponiamo che un orologio nel sistema di riferimento O, emetta
un lampo e questo sia il suo t0; a distanza r un secondo orologio,
per il secondo postulato, dovrà segnare t = t0 + r/c.
Ne consegue che eventi posti in luoghi diversi A e B sono
simultanei se: appaiono contemporaneamente ad un osservatore S
posto alla medesima distanza sia da A che da B.
•  Da questa banale affermazione ne consegue che la
simultaneità è relativa all’osservatore, ovvero:
Se due eventi sono simultanei in un sistema S, non lo sono per
un osservatore S’ che sia in moto inerziale rispetto ad S.
Esempio di simultaneità:
S’ in moto rispetto a S
• Per un osservatore in S’: i. l’emissione della
luce, ii. il riflesso degli specchi A e B, iii. la
rivelazione successiva in M sono eventi
simultanei.
•  Per un osservatore in S: all’istante t = 0, due
lampi partono simultaneamente verso A e B che
vengono raggiunti in due istanti successivi, prima
in A (panel c) e poi in B (panel d). L’emissione e
la rivelazione in M è però simultanea come per
l’osservatore in S’. Due specchi piani paralleli
sono posti agli estremi di un vagone ed al centro
del vagone è posta una sorgente luminosa che è
anche rivelatore, MA = MB. Il vagone sia S’ in
moto inerziale rispetto a S.
•  Eventi che si verificano nello stesso punto dello spazio se sono simultanei in S’ lo sono
anche in S.
•  Eventi che si verificano in punti diversi dello spazio se sono simultanei in S’ non lo sono
in S
Non solo il tempo è relativo
•  Dal concetto di simultaneità si deduce che la durata di un evento
è diversa per diversi sistemi di riferimento, cioè il tempo è relativo.
•  Inoltre anche la lunghezza di un oggetto è relativo
all’osservatore.
•  Se l’oggetto è fermo nel sistema S’ (vagone) l’osservatore deve
semplicemente confrontare la lunghezza A’ - B’ con il suo regolo
campione.
•  Mentre l’osservatore posto in S dovrà prima individuare i punti A
e B occupati da A’ e B’ e quindi misurare la lunghezza A-B.
•  Essendo i punti A e B definiti operativamente in modo diverso da
A’ e B’ , la loro distanza è una grandezza fisica diversa. Per v0
prossima alla velocità della luce, la distanza A-B = l(v0) A’-B’,.
Lo Spazio e il Tempo
•  Il concetto di spazio e il concetto di tempo non
sono più indipendenti, ma sono mescolati fra loro e
quindi le leggi di trasformazioni galileiane, che
considerano spazio e tempo in modo indipendente,
sono non più valide.
•  Bisognerà trovare altre leggi di trasformazione che
tengano conto del mescolamento spazio-temporale
Verso le trasformazioni di Lorentz
•  Le leggi di trasformazione di un evento in un sistema inerziale S’
diventano nel sistema S trasformazioni con le coordinate spazio e
tempo mescolate.
•  Le dimostreremo solo nella direzione x assumendo che le direzioni
y e z non siano in moto. Dalla figura si vede che il sistema S’ di
muove con velocità v0 rispetto al sistema S.
y
v0
Al tempo t
p ≡ p'
O' ≡ A
0
quindi per l’osservatore
in S sarà: OP = OA + AP OP = x
€
OA = v0t
o
z
p=p’
o’
x
A
x = v0t + AP
Per la relatività galileiana AP = x’ e OP = x = v0t + x’.
Per la relatività einsteniana AP osservata da S è mutata secondo la
relazione
AP = λ (v0 )O' P' = λ (v0 ) x'
→
x' =
1
λ
(x − v0t )
oppure
x=
1
λ
(x'+v0t ')
Verso le trasformazioni di Lorentz
La composizione delle due ultime relazioni porta:
x=
1 ⎡ 1
⎤ x − v0t v0
(
)
x
−
v
t
+
v
t
'
0
0
⎥ = λ2 + λ t '
λ ⎢⎣ λ
⎦
v t ⎞
t ' = ⎜ x − 2 + 02 ⎟
v0 ⎝
λ λ ⎠
x
λ ⎛
t' =
⎞
1 ⎛ x 2
⎜⎜ λ − 1 + t ⎟⎟
λ ⎝ v0
⎠
(
)
→
da cui
⎞
1 ⎛ λ2
x
t ' = ⎜⎜ x − + t ⎟⎟
λ ⎝ v0
v0 ⎠
→
t' =
⎞
1 ⎛ 2 x x
⎜⎜ λ
− + t ⎟⎟
λ ⎝ v0 v0 ⎠
per λ = 1 → t ' = t Galileo
Mentre per λ = 1
si hanno le
trasformazioni di
Lorentz, a patto
di trovare la
dipendenza di λ
da v0
Sia p una particella che si muova lungo x con velocità v
nel sistema S e con velocità v’ nel sistema S’. Allora in
S sarà v = dx/dt e in S’
dx ' 1 ⎛ dx
⎞ 1
= ⎜ − v0 ⎟ = (v − v0 )
dt λ ⎝ dt
⎠ λ
⎞
dt ' 1 ⎛ λ2 − 1 dx ⎞ 1 ⎛ λ2 − 1
= ⎜⎜
+ 1⎟⎟ = ⎜⎜
v + 1⎟⎟
dt λ ⎝ v0 dt
⎠ λ ⎝ v0
⎠
ovvero
v' =
v − v0
λ (v0 )2 − 1
1+
v
v0
dx '
dx ' dt
v' =
=
dt ' dt '
dt
Verso le trasformazioni di Lorentz
•  La velocità v di una particella in moto nel
riferimento S che sia a sua volta in moto
con velocità v0 rispetto ad un osservatore
in S’ si esprime con la formula
•  Supponiamo ora di avere un altro
sistema di riferimento S” che si muova con
velocità v’ rispetto a S’ e con velocità v
rispetta a S.
Per far questo basta: scambiare –v’ con v’,
v0 con v e sostituire λ(v0) con λ(v), tale
che:
v0 − v
− v' =
λ (v )2 − 1
1+
v0
v
v' =
v − v0
2
λ (v0 ) − 1
1+
v
v0
Confrontando queste due trasformazioni osserviamo che:
2
λ(v 0 ) −1
v
€
2
0
2
=
λ(v ) −1
v
2
1
=− 2
c
→
v 02
λ(v 0 ) = 1− 2 (**)
c
(*)
Trasformazioni di Lorentz (1)
x' =
x − v0t
v02
1− 2
c
y' = y
z' = z
t' =
t − v0 x c 2
v02
1− 2
c
•  La più evidente conclusione è che c’è un
mescolamento tra le trasformazioni della
posizione e del tempo (questo non succede
per le trasformazioni di Galilei)
•  Se la velocità della luce fosse infinita
v02/c2 à 0 e le coordinate delle
trasformazioni non si mescolerebbero più.
•  Dal confronto della (*) con la (**)
abbiamo che
v − v0
v − v0
v − v0
(*)
v' =
v' =
=
2
2
v0v
v
− v0
1 − 0 2 −1
1
−
1+ 2 v
c
c2
c v0
1+
v
v0
Trasformazioni di Lorentz (2)
x' = γ o ' ( x − β o 'ct ) x = γ o ' ( x '+ β o 'ct ' )
y' = y
y = y'
z' = z
z = z'
x
t ' = γ o ' (t − β o ' )
c
x'
t = γ o ' (t '+ β o ' )
c
⎛ x' ⎞ ⎛ γ
⎜ ⎟ ⎜
⎜ y ' ⎟ ⎜ 0
⎜ z ' ⎟ = ⎜ 0
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ict ' ⎟ ⎜ − iβγ
⎝ ⎠ ⎝
0 0 iβγ ⎞⎛ x ⎞
⎟⎜ ⎟
1 0 0 ⎟⎜ y ⎟
0 1 0 ⎟⎜ z ⎟
⎟⎜ ⎟
0 0 γ ⎟⎠⎜⎝ ict ⎟⎠
βO' =
vo '
,
c
γ O' =
1
vO2 '
1− 2
c
=
1
1 − β O2 '
Costanza della velocità della luce
La formula precedente (*) esprime la velocità di un oggetto nel
sistema S’ che si muove con velocità v0 rispetto al sistema S.
Se l’oggetto nel sistema S si muove con velocità v = c dovremo
avere ancora v’ = c per qualunque valore di v0.
c − v0
c − v0
v' =
=c
=c
v0c
c
−
v
0
1− 2
c
v' =
v − v0
vv
1 − 02
c
La velocità della luce è uguale per ogni sistema di riferimento inerziale
Le traformazioni di Lorentz sono compatibili con
entrambi i postulati della relatività ristretta