Fisica 1
2011-2012
Relatività
21
Relatività speciale
Trasformazioni Galileiane
Moto relativo puramente traslatorio,
velocità di trascinamento v0 lungo asse x
z
vx ' = vx − v0
vy ' = vy
z' = z
vz ' = vz
r (t )
z'
Trasformazioni galileiane
x ' = x − v0t
y' = y
P
v
r ' (t )
O
y
O'
x
y'
x'
Le leggi della dinamica sono invarianti rispetto a queste trasformazioni
Ciò vale purché vO ' << c
Seconda metà del 1800 Due problemi:
1. Leggi di Maxwell: Elettromagnetismo (1862):
Non invarianti per trasformazioni galileiane
2. Esperimento di Michelson & Morley (1887):
La velocità della luce nel vuoto c è la stessa in ogni
sistema di riferimento inerziale
c = 299 792 458 m/s ≅ 3 ×108 m/s
James Clerk Maxwell
(1831-1879)
Relatività
Principio di relatività
Nessun esperimento di fisica è in
grado di mostrare il moto di un
sistema inerziale
Einstein (1905): Tutte le leggi della fisica sono
invarianti in sistemi di riferimento inerziali
Trasformazioni di Lorentz
Trasformazioni più generali per le quali le leggi di
Maxwell sono invarianti:
Rispetto alle trasf. Galileiane:
x' =
x − v0t
1− v / c
2
0
y' = y
z' = z
v0
t− 2 x
c
t'=
1 − v02 / c 2
2
γ0 ≡
1
1− v / c
2
0
2
→1
v0 << c
Si ritrova la trasformazione
galileiana
Albert Einstein (1879-1955)
Anche il tempo ha un valore
che dipende dalla velocità
relativa tra i sistemi di
riferimento
Trasformazioni galileiane: assumono implicitamente
t'=t
<< Quanto al nome “teoria
della relatività”, confesso
che è infelice e ha dato
spunto a parecchi malintesi
filosofici. >>
A.Einstein, 1921
Lettera a Eberhard Zschimmer
<<Teoria dell’invarianza>>
Relatività
Trasformazione della velocità
Componenti della velocità:
O→
dx dy dz
, ,
dt dt dt
dx ' dy ' dz '
O'→
,
,
dt ' dt ' dt '
Differenziamo le trasformazioni di Lorentz:
dx ' = γ 0 (dx − v0 dt )
x ' = γ 0 ( x − v0t )
v
t ' = γ 0 t − 02
c
y' = y
z'= z
dx ' = γ 0 dt (vx − v0 )
v0
v0 vx
dt ' = γ 0 dt 1 − 2
dt ' = γ 0 dt − 2 dx
c
c
vx − v0
dx '
v 'x =
=
dt ' 1 − v0 vx
c2
Trasformazioni
vy
dy '
relativistiche per le
dy ' = dy
=
v 'y =
componenti della
dt '
v0 vx
γ 0 1 − 2
velocità
c
vz
dz '
dz ' = dz
v 'z =
=
dt '
vv
γ 0 1 − 0 2 x
c
x
Trasformazioni inverse
Trasformazioni di Lorentz:
x=
x '+ v0t '
1 − v02 / c 2
Trasformazioni delle velocità:
= γ 0 ( x '+ v0t ')
y = y'
z = z'
v0
t '+ 2 x '
v0
c
t=
= γ 0 (t '+ 2 x ')
2
2
c
1 − v0 / c
v 'x + v0
vx =
1 + (v0 v 'x / c 2 )
v 'y
vy =
γ 0 1 + v0 v 'x / c 2
)
v 'z
vz =
γ 0 1 + v0 v 'x / c 2
)
(
(
Fattore di Lorentz:
γ0 ≡
1
γ0
1 − v02 / c 2
v0
Relatività
Trasformazione della velocità
Elettrone e positrone
in un acceleratore
y
Qual è la velocità relativa?
Meccanica classica:
ve + = 0.9c
ve − = −0.9c
O
Relatività:
x
v 'x = vx − v0 = 0.9c + 0.9c = 1.8c
ve+
ve−
vx − v0
1.8c
1.8c
v 'x =
=
=
= 0.994c
v0 vx
(0.9c)(−0.9c) 1 + 0.81
1− 2
1−
c
c2
LHC – Large Hadron Collider
CERN, Ginevra
Collisioni elettrone-positrone
ve + = ve − = 0.999999991 c
3 m/s in meno della
velocità della luce
Fattore di Lorentz:
γ 0 ≅ 7500
Relatività
Trasformazione della velocità
y
Un fotone si propaga lungo asse y del
sistema O. Che cosa vede O’?
v0
c
vy = c
vx = 0
y'
x O’
x'
vy
c
v 'y =
=
v0 vx
γ 0 1 − 2 γ 0
c
O
vx − v0
v 'x =
v0 vx
1− 2
c
= −v0
Nel sistema O’ la velocità del fotone è
c' = v' +v'
2
x
= v +
2
y
2
0
Traiettoria vista da O’
tan ϕ =
v 'y
v 'x
=−
c
v0γ 0
c2
γ 02
v02
= v + c 1 − 2 = v02 + c 2 − v02 = c
c
2
0
2
Le trasformazioni di Lorentz
mantengono c costante in qualunque
sistema inerziale
La direzione di propagazione osservata
dipende dal sistema di riferimento
Contrazione delle lunghezze, dilatazione dei tempi
y
Meccanica Newtoniana: misure di distanza e di tempo
indipendenti dal sistema di riferimento
y'
v0
Lunghezza della sbarra solidale con O’ (in moto con
velocità v0) misurata nel sistema O’:
L ' = x '2 − x '1
x
“Lunghezza propria”
O O’
L = x2 − x1
x '2 = γ 0 ( x2 − v0t )
Nel sistema O nello stesso istante t:
x '1 = γ 0 ( x1 − v0t )
x '1
x '2
x'
L ' = γ 0 ( x2 − v0t − x1 + v0t ) = γ 0 ( x2 − x1 ) = γ 0 L
v02
L = = L ' 1− 2
γ0
c
L'
Contrazione delle lunghezze
La lunghezza (nella direzione del moto) misurata
da O è inferiore a quella misurata da O’
L’osservatore O’, misura in x’, un fenomeno di durata
∆t ' = t '2 − t '1
“Tempo proprio”
Lo stesso fenomeno misurato da un osservatore solidale con O:
Dilatazione dei tempi
v0
v0
Il tempo misurato da un sistema di
t1 = γ 0 t '1 + 2 x ' t2 = γ 0 t '2 + 2 x '
riferimento in moto rispetto al
c
c
fenomeno scorre più lentamente
∆t = t2 − t1 = γ 0 ( t '2 − t '1 ) = γ 0 ∆t '
Simultaneità: dipende dalla
velocità relativa
Contrazione delle lunghezze, dilatazione dei tempi
Decadimento mesoni mu (muoni)
Particelle instabili generate nell’alta atmosfera da raggi cosmici.
Velocità tipica:
Tempo di decadimento:
Spessore atmosfera:
γ ≈ 100
v ≈ 0.99995c
τ µ ≈ 2.2µs = 2.2 ×10−6 s
H ≈ 10 km
Arrivano a terra?
Secondo la fisica classica:
d = vτ µ ≈ (2.2 × 10−6 s)(0.99995)(3 × 108 m/s) ≈ 600m
Secondo la relatività:
Non raggiungono la terra
Sistema di riferimento a terra
Sistema di riferimento del muone
d = vτ O = vγτ µ
d = vτ µ = 600m
H 10 km
= 100 m
Hµ =
≈
γ
100 Raggiungono la terra
Dilatazione del tempo
d ≈ 100 × 600m = 60 km
Raggiungono la terra
Contrazione della lunghezza
Risultato esperimento: I muoni sono osservati anche a terra!
Misure del flusso di muoni in accordo quantitativo con le previsioni della relatività
Relatività
Quantità di moto, forza
Generalizzazione relativistiche:
Quantità di moto
p = mγ v = m
II Legge di Newton
v
2
v
1− 2
c
dp
F=
dt
Tendono alle relazioni
classiche per piccole
velocità
La forza aumenta la quantità di moto, ma per
v → c l’aumento è dominato
dal fattore di Lorentz, non dall’aumento di v al numeratore
p = mγ v
dp = md (γ v) = mγ dv + mvd γ
dp dv d γ
dv d γ / γ
=
+
= 1 +
p
v
γ
v
dv / v
2
dp dv
2 v
2 dv
= 1 + γ 2 = γ
p
v
c
v
Differenziamo il fattore di Lorentz:
dv 1 dp
2 −1/2
2 −3/2
v
1 v
v
= 2
d γ = d 1 − 2 = − 1 − 2 (−2 2 )dv
v γ p
c
2
c
c
dγ = γ 3
2
v
3 v dv
dv
=γ 2
2
c
c v
dγ
2
v dv
=γ 2
γ
c v
2
Per grandi velocità
l’aumento di p non
incide su v
Relatività
Energia
Energia cinetica (dalla definizione di lavoro):
dp =
⋅
ds
dW = F ⋅ ds
= dp ⋅ v
dt dv
1 dp
dv
= 2
dp = γ 2 p
v γ p
v
dv
dv = mγ 3v ⋅ v
3 2
=
m
γ
dv ⋅ v = mγ 3vdv
dW = dp ⋅ v = γ p ⋅ v
v
v
dγ
3 v
d γ = γ 2 dv
vdv = c 2 3
c
γ
3 2 dγ
dW = mγ c 3 = mc 2 d γ
γ
Lavoro per portare la particella dalla quiete alla velocità v:
W = mc
2
∫
γ
1
d γ = mc 2 (γ − 1) = EK ?
Velocità iniziale nulla
Espressione molto diversa dalla
forma classica E = ½ mv2 …
Cosa succede a piccole velocità?
Relatività
Energia
Energia cinetica relativistica:
EK = mc 2 (γ − 1)
Che cosa succede per v << c ?
γ=
1
v
≡x
c
1 − v2 / c2
γ=
x << 1
2
1
v
1 2
2
−
1
EK ≃ mc 1 +
=
mv
2
2
2c
1
= (1 − x 2 )−1/2
1 − x2
1
γ ≃ 1 + x2
2
Nel limite di basse velocità
ritroviamo l’espressione
classica dell’energia cinetica
L’energia cinetica relativistica si presenta come differenza di due termini:
EK = mc (γ − 1) = mc γ − mc
2
2
E = E0 + EK
Energia
totale
Energia di
riposo
2
E = mc 2γ
E0 = mc 2
Energia
cinetica
E
=γ
E0
Enormi quantità di energia
sono contenute nella massa
delle particelle
E0 = mc2
Hiroshima, 6 Agosto 1945
Nagasaki, 9 Agosto 1945
ITER
International Thermonuclear Experimental Reactor
Fusione controllata dell’Idrogeno
Reattore deuterio-trizio
Altezza edificio: 24 m
Larghezza edificio: 30 m
Temperatura di plasma: 1,5 × 108 K
Potenza in uscita: 500-700 MW
Volume di plasma: 837 m³
Campo magnetico: 5,3 Tesla
Rendimento: > 10
«La preoccupazione
dell'uomo e del suo
destino devono sempre
costituire l'interesse
principale di tutti gli
sforzi tecnici. Non
dimenticatelo mai in
mezzo a tutti i vostri
diagrammi e alle vostre
equazioni.»
Albert Einstein
