ANALISI 15/03 FUNZIONI E RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA. 6. Capitolo 1 Siano A e B due insiemi di numeri reali. Una funzione di A in B è una legge che ad ogni elemento di A fa corrispondere uno ed uno solo elemento di B. Se indichiamo con f tale funzione, scriveremo π βΆ π΄ → π΅, oppure π¦ = π(π₯), intendendo che ad ogni elemento π₯ ∈ π΄ corrisponde, tramite la funzione f, l’elemento π¦ = π(π₯) ∈ π΅. Si dice che A è il dominio o insieme di definizione di f. Il simbolo f( ) indica un complesso di operazioni che devono attenuarsi su x (argomento di f) per ottenere y (valore di f). FUNZIONI INVERTIBILI. FUNZIONI MONOTONE. 7. Capitolo 1 Una funzione f da A verso B si dice iniettiva se elementi distinti hanno immagini distinte, cioè, equivalentemente, se sussiste l’implicazione: π(π₯! ) = π(π₯" ) βΉ π₯! = π₯" La funzione f si dice poi suriettiva se per ogni π¦ ∈ π΅ esiste almeno un π₯ ∈ π΄ tale che π¦ = π(π₯). Una funzione f che sia contemporaneamente iniettiva e suriettiva da A verso B si dice biunivoca. Ciò vuol dire che f non solo fa corrispondere ad ogni π₯ ∈ π΄ uno ed un solo valore π¦ ∈ π΅, ma anche che per ogni π¦ ∈ π΅ esiste un solo π₯ ∈ π΄ tale che π¦ = π(π₯). In tali condizioni diciamo che f è invertibile. La funzione da B ad A che ad ogni π¦ ∈ π΅ fa corrispondere l’unico π₯ ∈ π΄ per cui π(π₯) = π¦, si chiama funzione inversa e si indica con π #! . Diciamo che una funzione f è monotona in un insieme A, se verifica una delle seguenti condizioni: (∀π₯! , π₯" ∈ π΄) 1) 2) 3) 4) f strettamente crescente: π₯! < π₯" βΉ π(π₯! ) < π(π₯" ) f crescente: π₯! < π₯" βΉ π(π₯! ) ≤ π(π₯" ) f strettamente decrescente: π₯! < π₯" βΉ π(π₯! ) > π(π₯" ) f decrescente: π₯! < π₯" βΉ π(π₯! ) ≥ π(π₯" ) Una funzione che verifica la 1), oppure la 3), si dice strettamente monotona. FUNZIONI LINEARI. FUNZIONE VALORE ASSOLUTO. 8. Capitolo 1 Si chiama funzione lineare (o funzione affine) una funzione del tipo π¦ = ππ₯ + π ove m, q sono numeri reali fissati. Si verifica facilmente che il grafico di una tale funzione è una retta, di cui il parametro m è detto coefficiente angolare. Ogni funzione lineare è monotona su R, anzi, strettamente monotona se π ≠ 0. Infatti, basta considerare π₯! < π₯" e π(π₯) = ππ₯ + π, da cui: π(π₯! ) = ππ₯! + π, π(π₯" ) = ππ₯" + π; se il coefficiente angolare m è positivo, allora essendo π₯! < π₯" risulta anche ππ₯! < ππ₯" e quindi π(π₯! ) < π(π₯" ) ; in questo caso π(π₯) risulta strettamente crescente su R. Se invece m è negativo, allora da π₯! < π₯" segue ππ₯! > ππ₯" e quindi π(π₯! ) > π(π₯" ); perciò, se m<0, la funzione lineare π(π₯) è strettamente decrescente. Infine, se m=0, allora risulta π(π₯) = π = πππ π‘πππ‘π; essendo π(π₯! ) = π(π₯" ) per ogni coppia di valori π₯! , π₯" , la funzione f(x) è contemporaneamente crescente e decrescente su R; si dice brevemente che la funzione è costante su R. Il grafico di f(x) in questo caso è una retta parallela all’asse x, costituita dai punti (x,y) con ascissa arbitraria e ordinata costante uguale a q. Il valore assoluto (o modulo) di x, indicato con il simbolo |π₯|, è definito da |π₯| = C π₯ π π x ≥ 0 −x se x < 0 Il grafico della funzione valore assoluto π(π₯) = |π₯| è composto da due semirette per l’origine, di equazione rispettivamente π¦ = π₯ e π¦ = −π₯. Ci sono alcune proprietà che sono diretta conseguenza della definizione di valore assoluto: 1) 2) 3) 4) 5) |π₯| ≥ 0, ∀π₯ ∈ π ; |π₯| = 0 βΊ π₯ = 0; |−π₯| = |π₯|, ∀π₯ ∈ π ; |x! β x" | = |x! | β |x" |, ∀x! , x" ∈ π ; |x! /x" | = |x! |/|x" |, ∀x! , x" ∈ π , x" ≠ 0. La seguente proprietà del valore assoluto, detta disuguaglianza triangolare, è di grande importanza. DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE. – Per ogni coppia di numeri reali x! , x" vale la disuguaglianza |x! + x" | ≤ |x! | + |x" |. Dimostrazione: Per ogni numero reale x la relazione |π₯| ≤ |π₯| è ovvia (anzi, vale con il segno =); indicando con r il secondo membro di tale ovvia relazione, per l’equivalenza (|π₯| ≤ π βΊ −π ≤ π₯ ≤ π) abbiamo anche −|π₯| ≤ π₯ ≤ |π₯|; in particolare, per π₯ = x! e π₯ = x" : −|x! | ≤ x! ≤ |x! |, −|x" | ≤ x" ≤ |x" | e, sommando membro a membro: −(|x! | + |x" |) ≤ x! + x" ≤ (|x! | + |x" |). La conclusione segue da una nuova applicazione dell’equivalenza (|π₯| ≤ π βΊ −π ≤ π₯ ≤ π) con π = |x! | + |x" |. LA FUNZIONE POTENZA, ESPONENZIALE, LOGARITMO. 9. Capitolo 1 Consideriamo la funzione potenza con esponente π ∈ π: π(π₯) = x $ che è definita, per ogni π₯ ∈ π , moltiplicando il numero x per se stesso n volte. La funzione f è strettamente crescente per π₯ ≥ 0, cioè: 0 ≤ x! < x" βΉ x!$ < x"$ . Per mezzo del teorema dell’esistenza degli zeri, dimostreremo che ad ogni π¦ ≥ 0 corrisponde almeno un numero reale π₯ ≥ 0 per cui π(π₯) = x $ = π¦. La condizione di stretta monotonia (0 ≤ x! < x" βΉ x!$ < x"$ ) implica, come osservato nel paragrafo 7, che la funzione è invertibile. Perciò è definita la funzione inversa di π(π₯) = x $ (π₯ ≥ 0), che si chiama funzione radice n-esima, e si indica con ! f #! (π₯) = √x = x!/& , (π₯ ≥ 0) Per mezzo delle prime due funzioni citate si può definire l’elevazione ad esponente razionale (π, π ∈ π, π₯ ∈ π , π₯ > 0): ! x '/& = √x ( , x #'/& = 1 ! √x ( , x) = 1 Elenchiamo alcune proprietà: 1) 2) 3) 4) 5) 6) a* β a+ = a*β+ ; (a* )+ = a*β+ a* > 0 π < π, π > 0 βΉ a+ < b+ π < π, π < 0 βΉ a+ > b+ π > 1, π < π βΉ a* < a+ π < 1, π < π βΉ a* > a+ Dall’espressione a* derivano due diversi tipi di funzione, a seconda che si faccia variare la base a o l’esponente b. Nel primo caso consideriamo la funzione potenza π(π₯) = x * , con π ∈ π fissato. Nel secondo caso abbiamo la funzione esponenziale π(π₯) = a- , con un numero reale positivo fissato. Casi particolari della funzione potenza π(π₯) = x * sono quelli con π = π ∈ π, oppure π = 1Un, già esaminati in precedenza. Inoltre, x $ è una funzione strettamente crescente se π > 0 e strettamente decrescente se π < 0, in base alle formule 3) e 4). La funzione esponenziale π(π₯) = a- , con un numero reale positivo, è una funzione positiva, è strettamente crescente se π > 1 e strettamente decrescente se π < 1, in base alle formule 2), 5) e 6). Un caso notevolmente importante si ha quando la base è uguale al numero di Nepero e=2,7… . In tal caso ovviamente si indica la funzione esponenziale con π(π₯) = e- ; dato che π > 1, la funzione e- è crescente. Se π = 1, la funzione a- è identicamente uguale a 1. Si dice in tal caso che la funzione è costante. Naturalmente una funzione costante non è invertibile. Se invece π ≠ 1, allora la funzione esponenziale a- è invertibile. La funzione inversa è definita sui numeri reali positivi; si chiama funzione logaritmo e si scrive π(π₯) = log . x. Quindi la funzione logaritmo è definita da: π¦ = log . x βΊ a/ = π₯ Si suole omettere l’indicazione esplicita della base, se tale base è il numero e. Quindi: π¦ = log x βΊ e/ = π₯ Le formule sopra citate sono molto usate anche nella forma seguente: a012" - = π₯ ; e012 Se la base è maggiore di 1, il logaritmo è una funzione strettamente crescente. Infatti, siano x! < x" e y! = log x! , y" = log x" . Se fosse y" < y! per la 5) avremmo x" = e/# < e/$ = x! , contrariamente alle ipotesi. Analogamente è assurdo che y! = y" , perché avremmo x! = x" . Quindi deve risultare y! < y" . Con dimostrazione analoga si verifica che il logaritmo è una funzione strettamente decrescente se la base è minore di 1. Elenchiamo alcune proprietà dei logaritmi: 1) 2) 3) 4) log . (x! x" ) = log . x! + log . x" , ∀x! , x" > 0 log . (x! ⁄x" ) = log . x! − log . x" , ∀x! , x" > 0 log . x * = π log . x, ∀π₯ > 0 log * x = log . x / log . b, ∀π₯ > 0 IL PRINCIPIO DI INDUZIONE Abbiamo utilizzato nel paragrafo 9 la seguente affermazione sulla crescenza della funzione potenza x $ : 0 ≤ x! < x" βΉ x!$ < x"$ , ∀π ∈ π Vogliamo dimostrare questa proposizione per mezzo del principio di induzione. Supponiamo preliminarmente che essa valga per un certo indice n. Perciò supponiamo che valgano le disuguaglianze 0 ≤ x! < x" , x!$ < x"$ . Otteniamo: x!$3! = x! x!$ ≤ x" x!$ < x" x"$ = x"$3! Cioè abbiamo provato che, se vale 0 ≤ x! < x" βΉ x!$ < x"$ , ∀π ∈ π per un certo indice n, allora essa vale anche per l’indice successivo n+1. Ma allora la formula 0 ≤ x! < x" βΉ x!$ < x"$ , ∀π ∈ π vale sempre, perché: sappiamo che la proposizione vale per n=1; per quanto sopra detto essa vale anche per l’indice successivo, cioè n=2; ancora, sempre per lo stesso motivo la formula vale per il successivo n=3, e così via... Possiamo raggiungere con questo argomento qualsiasi naturale n. Formuliamo in generale il seguente teorema: PRINCIPIO DI INDUZIONE. – Supponiamo che una proposizione dipendente da un indice π ∈ π sia vera per π = 1 e che inoltre, supposta vera per n, sia vera anche per il successivo n+1. Allora la proposizione è vera per ogni π ∈ π. (DIMOSTRAZIONE CON ARGOMENTI DEL 2 CAPITOLO).
