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1◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
◦
1 SIMULAZIONE TEST ESAME
Nozioni base - Successioni - Limiti - continuità - calcolo diﬀerenziale
√
3
1. La derivata della funzione f (x) = e4x cos8 x è:
a)
b)
c)
d)
e)
1
1
√
(32e4x sin7 x)
3 3 e8x cos16 x
1
1
√
(e4x cos8 x − e4x sin7 x)
3 3 e8x cos16 x
1
e4x
√
(cos8 x − sin7 x)
3 8x
3 e cos16 x
4√
3 4x
]
e cos5 x (cos x + 2 sin x)
3
4√
3 4x
e cos5 x (cos x − 2 sin x)
3
2. Sia z = 6 − i. Allora w = z 2 − z vale
a) w = 29 − 13i
b) w = 29 − 11i
c) w = 37 − 13i
d) w = 37 − 11i
e) nessuna delle altre risposte
3.
sin x1 − 2
=
x→+∞
x2
lim
a) @
b) 0
c) +∞
d) 1
e) nessuna delle altre risposte è corretta
4. Quanti sono gli zeri della funzione f (x) = x9 + 4x + 3
a) uno solo positivo
b) uno solo negativo
c) 2
d) 9
e) 9, uno solo dei quali negativi
5. Sapendo che f (0) = 4, f ′ (0) = 3 e posto h(x) =
√
f (x), quanto vale h′ (0)
a) 2
b) 0
c) 3
3
d)
8
3
e)
4
6.
)arctan n
(
2n2
=
cos 3
n→+∞
n +1
lim
a) 1
π
b)
2
c) e
d) 0
e) ∞
c
⃝2013
Politecnico di Torino
1
1◦ Simulazione
7. L’asintoto obliquo della funzione g(x) =
1
x−
3
3
x+
2
1
x+
3
3
x−
2
1
x+
3
a) y =
b) y =
c) y =
d) y =
e) y =
x2 + 2x−1
per x → +∞ è
3x − 2
1
9
9
4
2
9
15
4
2
3
8. f (x) = cos x è soluzione dell’equazione diﬀerenziale:
a) (y ′ ) − y 2 = 1
2
b) y ′′′ + y = 0
c) y ′′ − y = 0
d) (y ′ ) + y 2 = 1
2
e) y ′′ − 2y = 0
9.
lim4
x→ 5
a)
b)
c)
d)
e)
1 − cos(5x − 4)
=
(
)2
x − 45
1
2
1
5
2
nessuna delle altre risposte
25
2
10.
lim
√
n
n→+∞
4n + 2n =
a) 1
b) +∞
c) e
d) 2
e) 4
11. Quale è la derivata prima della funzione f (x) = log(cos x):
sin x
cos x
b) f ′ (x) = tan x+c
a) f ′ (x) =
c) f ′ (x) = − tan x
− sin x
d)
log(cos x)
e) − sin x · cos x
(
)
6
12. La parte principale della funzione f (x) = 4x + sin x + x 5 x → 0
a) 4x
6
b) x 5
c) x
d) 5x
6
e) 5x + x 5
c
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2
1◦ Simulazione
{
13. Sia f : [−2, 2] ⇒ R : f (x) =
−x5
a
x ̸= 0
x=0
f assume tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo della funzione se:
a) a = 0
b) ∀a ∈ [−25 , 25 ]
c) a = 25
d) ∀a ∈ R
e) nessuna delle altre risposte
14. Sia f una funzione continua e strettamente monotona, con f (2) = 7, f ′ (2) =
Allora (f −1 )′7 =
a) 2
b) 7
c) non è possibile saperlo
1
d)
7
1
e)
2
(√
15.
2
lim x
x→+∞
4
1
1 + − cos
x
x
)
=
a) +∞
b) 0
c) −
3
2
d) 1
e) 2
{
}
n
16. L’insieme A = −
, n = 0, 1, 2, .... ∪ {−3} ha
n+5
a) ha massimo, ma non minimo
b) ha minimo, ma non massimo
c) è illimitato
d) inf(A)=−3
e) ha massimo e minimo
17. Sia data la funzione f : R → R tale che se x → +∞ → f (x) ∼ log x allora:
a) ef (x) ∼ x
b)
lim (f (x) − log x) = ∃
x→+∞
c) x → +∞ : f (x) · x ∼ x2
d) nessuna delle altre risposte è corretta
e) x → +∞ : f (x) · log x = o(x2 )
c
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Politecnico di Torino
3
1 ′
1
, f (7) = .
7
2
1◦ Simulazione
18. La parte immaginaria del numero complesso w =
1 + 3i
è:
4 − 2i
a) 3
b) 3i
c) −
3
2
7
10
7
e)
i
10
d)
19. Sia f (x) = sinh x. Allora
a) f (n) (0) = 0 ⇐⇒ n = 4k, k ∈ N
b) f (n) (0) = 0 ⇐⇒ n = 2k, k ∈ Z
c) f (n) (0) = 0 ⇐⇒ n = 2k + 1, k ∈ N
d) f (n) (π) = 0 ⇐⇒ n = 2k, k ∈ N
e) f (n) (0) = 0 ⇐⇒ n = 2k, k ∈ N
20. Sia data una funzione f che soddisfa alla condizione −3x ≤ f (x) ≤ 3x , f (2n + 1) = 32n+1 , f (2n) = −32n .
Allora sicuramente
a)
b)
c)
d)
e)
lim f (x) = ∞
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = −∞
x→+∞
lim f (x) = 0
x→+∞
lim f (x) = @
x→+∞
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
e
2
a
3
b
4
b
5
e
6
a
7
c
8
d
9
e
10
e
11
c
12
d
13
a
14
b
15
a
16
e
17
e
18
d
19
e
20
e
CONSIGLI
Quesito n◦ 1
(
)1
) 4 ( 4x ) 13
)− 2 (
5
1 ( 4x
f (x) = e4x cos8 x 3 =⇒ f ′ (x) =
(cos x) 3 (8 cos x−2 sin x)
e cos8 x 3 4e4x cos8 x − e4x · 8 cos7 x · sin x =
e
3
3
√
4 3 4x
f ′ (x) =
e cos5 x(cos x − 2 sin x)
3
Quesito n◦ 17
x → +∞ : f (x) ∼ log x ⇒ f1 (x) = log x + sin x;
f2 (x) ∼ log x + arctan x;
Per valutare l’attendibilità dei diversi item occorre ricordare che:
equivalente ; asintotico
c
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Politecnico di Torino
4
f3 = log x + 2
1◦ Simulazione
asintotico ⇒ equivalente
deﬁnizione di funzioni equivalenti, x → +∞ :
deﬁnizione di funzioni asintotiche, x → +∞ :
lim
x→+∞
f (x)
=1
g(x)
lim (f (x) − g(x)) = 0
x→+∞
Per ognuno degli item, se troviamo un controesempio, possiamo escludere la correttezza della proposta. Un
esempio non ci dà, in nessun caso, la certezza della validità della proposta.
a) scegliamo come controesempio la funzione f1 e valutiamo l’equivalenza tra f1 (x) e x:
ef1 (x)
elog x+sin x
x · esin x
= lim
= lim
=@
x→+∞
x→+∞
x→+∞
x
x
x
lim
b) riscriviamo la tesi:
lim (f (x) − log x) = lim (log x + o(log x) − log x) = lim o(log x) =???
x→+∞
x→+∞
x→+∞
Il risultato dipende da cosè l’o piccolo? x → +∞ : 2 = o(log x); sin x = o(log x); arctan x = o(log x)
c)
lim
x→+∞
f (x) · x
log x
= lim
=0
x→+∞ x
x2
c
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5
2◦ simulazione
CORSO DI ANALISI I
◦
2 SIMULAZIONE TEST ESAME
Nozioni base - Successioni - Limiti - continuità - calcolo diﬀerenziale
1. Sia f : R −→ R, f ∈ C (1) , f (0) = 1, f (2) = 0. Per il teorema di Lagrange la funzione g(x) = f 3 (x)
ammette un punto c ∈ (0, 2) tale che:
a) g ′ (c) = −
b) g ′ (c) =
1
2
1
2
c) g ′ (c) = −
1
8
1
7
e) nessuna delle altre è esatta
d) g ′ (c) =
2.
lim
x→0
αx − 4 sin x
= −∞
x3
a) nessun valore di α
b) α < 4
c) α ≤ 4
d) α > 4
e) ∀α ∈ R
3. Se g ∼ x, x → +∞, allora è sempre vero che:
g(x2 )
=@
x→+∞ x2
g(ex )
b) lim
=0
x→+∞
x
c) non esistono risposte esatte
a)
lim
lim xg(x) = @
( )
1
e) lim+ xg
=1
x
x→0
d)
x→+∞
4
4. La derivata prima della funzione f (x) = xx , x > 0 è:
(
)
4
a) f ′ (x) = xx +3 1 + log x4
b) f ′ (x) = 4x4 xx
4
−1
log x4
(
)
4
c) f ′ (x) = x4 xx −1 4 + log x4
d) f ′ (x) = 4x4 xx −1
(
) 3
e) f ′ (x) = x4 − 1 xx
4
{ √
x + β cos x
2(x + 5) − 2x
5.
x≥0
x<0
è continua nel suo dominio se
a) β = 8
b) β = 10
c) β = −9
d) nessuna risposta è esatta
e) nessun β ∈ R
Paola Suria
1
2◦ simulazione
6.
1
lim (1 + sin x) x2 =
a)
x→0+
√
e
b) +∞
1
c) √
e
d) 1
e) e
7. Per quale α il limite dà come risultato 1:
(
)
2 1
1 − cos
(1 + x5 )2
x
lim
=1
x→+∞
xα
a) 9
b) 10
c) 4
d) 8
e) 5
8. La derivata della funzione f (x) = (cos x)5 sin x è:
)
5 sin x−1 (
a) 5 (cos x)
cos2 x · log(cos x) − sin2 x
b) 5 sin x(cos x)5 sin x−1
)
(
sin x
5 sin x
c) (cos x)
5 cos x · log(cos x) − 5
cos x
( 2
)
5 sin x
d) 5(cos x)
cos x · log(cos x) − sin2 x
(
)
sin2 x
e) (cos x)5 sin x cos2 x · log(cos x) −
cos x
9. La parte principale per x → +∞ della funzione f (x) =
√
7
x2 + x −
2
a) x 7
8
b) x 7
√
c) − 7 x
√
7
d) x2
√
e) 7 x2 + x
( )x
10. La derivata della funzione f (x) = x3x
è:
a) 4x4x (log x + 1)
b) nessuna delle derivate date è corretta
c) 3x2 x2x
d) 3x3x
2
2
+1
(2 log x + x)
3x2 +1
(2 log x + 1)
e) 3x
11. Quale delle seguenti proprietà NON è soddisfatta dalla funzione
f (x) = sin |x| − |x|
a) la funzione è pari
b) la funzione è continua in R
c) la funzione è derivabile in x = 0 ed f ′ (0) = 0
d) x → −∞ → f (x) ∼ x
e) la funzione non è derivabile in x = 0
Paola Suria
2
√
8
7
x + x 7 è:
2◦ simulazione
12.
sin(x2 − 25)
=
x→5
x−5
lim
a) +∞
b) 10
c) 0
d) @
e) 5
13. La derivata della funzione f (x) = sin7 x · cos11 x è
a) f ′ (x) = 77 sin6 x cos10 x
b) f ′ (x) = 7 sin6 x cos11 x + 11 sin7 x cos10 x
c) f ′ (x) = sin6 x cos10 x(7 − 18 sin2 x)
d) f ′ (x) = 7 sin6 x + 11 cos10 x
e) f ′ (x) = − cos7 x sin11 x
14. la derivata della funzione f (x) = xsin x è
a) sin x · (x)sin x
(
)
sin x
b) xsin x cos x · log x +
x
c) xcos x
(
cos x )
d) xsin x cos x · log x +
x
(
)
sin
x
e) xcos x cos x · log x +
x
15. Sia data la funzione f : R → R, continua in R e derivabile in R eccetto al più in x = 2 e tale che
lim f ′ (x) = 5. Allora necessariamente
x→2
a) f è continua, ma non derivabile
b) f è derivabile in x = 2 con f ′ (5) = 2
c) f potrebbe non essere derivabile in x = 2
d) f è derivabile in x = 2 con f ′ (2) = 5
e) non è possibile calcolare il limite del rapporto incrementale per x → 2, condizione necessaria per
calcolare la derivata della funzione nel punto
16.
5x − 1
x→0 sin 4x
lim
a) 1
log 5
b)
4
1
c)
4
5
d)
4
e) 5
Paola Suria
3
2◦ simulazione
17. In quali intervalli le due funzioni f (x) = log(x − 1) − log(x + 1) e g(x) = log
x−1
coincidono?
x+1
a) (−∞, −1)
b) (−1, 1)
c) (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
d) [1, +∞)
e) (1, +∞)
18. Sia f (x) = 1 + 3x + arctan x e f (0) = 1. Allora (f −1 )′1 =
a) 3
b) 4
c) 1
2
d)
7
1
e)
4
19. Sia data f : [−2, 2] → R, f (x) = x5 + x − 10. Allora è sicuramente FALSO che esista almeno un punto
c ∈ (−2, 2) tale che
a) f (c) = 0
b) f ′ (c) = 17
c) f (c) = −1
d) f (c) = 32
e) f ′ (0) = 1
20. Sia data la funzione f (x) = x(x−1)(x−2)(x−3)ex . Quanti sono gli zeri della derivata prima nell’intervallo
(0, 3)?
a) uno
b) almeno 3
c) due
d) nessuno
e) 4
21. Sia data la funzione f : [1, 2] → R continua e derivabile e tale che f (1) = 2π, f (2) = π, allora a quale
delle seguenti proprietà soddisfa la funzione g(x) = sin (f (x))?
a) ∃c ∈ (1, 2)\ g ′ (c) = 0
b) ∃c ∈ (1, 2)\ f ′ (c) = 0
c) ∃c ∈ (1, 2)\ g(c) = 0
d) ∃c ∈ (1, 2)\ f (c) = 0
e) ∃c ∈ (1, 2)\ f ′ (c) = π
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
Paola Suria
1
a
2
b
3
e
4
a
5
d
6
b
7
d
8
a
9
b
10
e
11
e
4
12
b
13
c
14
b
15
d
16
b
17
e
18
e
19
d
20
b
21
a
2◦ simulazione
CONSIGLI
Quesito n◦ 3
E’ importante cercare controesempi per essere sicuri che l’aﬀermazione può essere falsa (potrebbe anche essere
vera su casi particolari)
√
x → +∞ : f1 (x) = x + sin x; f2 (x) = x + x; f3 (x) = x + log x; f4 (x) = x + 5....
a) scegliamo g(x) = x + sin x → g(x2 ) = x2 + sin x2 ∼ x2 , x → +∞
b) g(x) = x + 3 → g(ex ) = ex + 3. In questo caso il risultato del limite è inﬁnito
c) andiamo per esclusione
d) con funzioni già indicate si vede che il limite può esistere
e) x =
1
t
→ lim
t→+∞
1
g(t) = 1
t
Quesito n◦ 4
Potrebbe venirvi il dubbio che non sia corretto scrivere 4 log x → log x4 .
Infatti le due funzioni hanno dominio diverso: la I: x > 0; la II: x4 > 0 → x ̸= 0
Però quando si fanno le derivate si può supporre di aver già fatto il dominio prima e, quindi, all’interno del
dominio, il passaggio è lecito!
Quesito n◦ 11
Analizziamo, una ad una, le proposte
a) f (−x) = f (x)
−→
la funzione è pari
b) la funzione è continua, perché il dominio è R
c) calcoliamo la derivata con la deﬁnizione
|x| −
sin |x| − |x|
= lim
x→0
x→0
x
lim
|x|3
6
+ o(x3 ) − |x|
− |x|6 + o(x3 )
− 1 x2 |x|
= lim
= lim 6
=0
xtoo
x→0
x
x
x
3
Allora la funzione è derivabile
d) x → −∞ :
f (x) = sin(−x) − (−x) = − sin x + x. Per x → −∞ è trascurabile il seno −→ f (x) ∼ x
e) falsa perché vera la proposta c)
Quesito n◦ 19
Si tratta di una funzione continua, in un intevallo chiuso e limitato; devono venire in mente:
• teorema di Weierstrass
• teorema dei valori intermedi
• teorema degli zeri
• l’immagine di un intervallo è un intervallo
Le potenze dispari fanno venire in mente la monotonia stretta della funzione, quindi la sua iniettività e
invertibilità.
La funzione è anche derivabile nell’intervallo chiuso, quindi si può pensare al teorema
• teorema di Lagrange
• teorema di Rolle
Studiamo tutti gli item
a) Ci ricorda il teorema degli zeri. f (−2) · f (2) < 0 → ∃
Paola Suria
5
2◦ simulazione
b) La presenza della derivata ci ricorda il teorema di Lagrange oppure il calcolo della derivata in un punto.
f (2) − f (−2)
La presenza di c ci spinge a provare con il teorema di Lagrange. f ′ (c) =
= 17
2 − (−2)
c) f (c) = −1 è un valore intermedio ∈ [f (−2), f (2)] ≡ [(−2)5 + (−2) − 10, 25 + 2 − 10] ≡ [−44, 24]
d) non è un valore intermedio!!!
e) f ′ (x) = 5x4 + 1 → f ′ (0) = 1
Paola Suria
6
2◦ simulazione
Quesito n◦ 20
Ricorda il numero di zeri della funzione (quattro zeri, semplici) e il teorema di Rolle.
Infatti cerchiamo gli zeri della funzione, cioè i punti di intersezione con asse x:
f (x) = 0
⇐⇒
x(x − 1)(x − 2)(x − 3)ex = 0;
x = 0, x = 1, x = 2, x = 3
La funzione è continua e derivabile, quindi soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle in qualsiasi intervallo chiuso
e limitato.
[0, 1] : f (0) = f (1) = 0 −→
∃c1 ∈ (0, 1) : f ′ (c1 ) = 0
Per analogia si può lavorare in altri intervalli: [1, 2], [2, 3].
Quindi esistono altri due punti ci , la cui derivata si annulla.
La derivata prima si annulla, perciò, almeno tre volte: c1 ∈ (0, 1); c2 ∈ (1, 2); c3 ∈ (2, 3)
Quesito n◦ 21
Il teorema di Lagrange lascia la sua ﬁrma nel quesito con la presenza delle derivate, calcolate nel punto c, con
la continuità e derivabilità della funzione nell’intervallo chiuso e limitato.
g(2) − g(0)
g ′ (c) =
, c ∈ (0, 2)
2−0
Paola Suria
7
Test di prova — 21 dicembre 2010
1. Sia f : R → R una funzione derivabile, tale che f (1) = 3 e f (4) = 8. Allora esiste c ∈ (1, 4) tale che
1 f 0 (c) = 0
2 f 0 (c) = 3/5
3 f 0 (c) = 5/3
4 f (c) = 3/5
5 f 0 (c) = 1
cos x − x2 + e−2x
vale
x→+∞ sin x + e−3x + x2
2. Il limite lim
1 1
2 +∞
3 −∞
4 −1
5 0
4
3. La funzione f (x) = log 3 + 2
x
+ 2x ha come asintoto obliquo sinistro la retta
1 y = 3x + log 3
2 y = 2x + log 4
3 y = 5x + log 4
4 y = 2x + log 3
5 y = 2x
4. Sia f : R → R una funzione derivabile e strettamente monotona, con f (4) = 5, f 0 (4) = 18 . Allora necessariamente
1 (f −1 )0 (5) = 8
2 (f −1 )0 (5) =
1
8
3 (f −1 )0 (5) = 4
4 (f −1 )0 (6) =
1
8
5 (f −1 )0 (6) =
1
4
log n
5. Sia an = (−1)n √
. Allora
3
n
1 an tende sia a +∞ che a −∞
2 esiste un indice n̄ ∈ N tale che n > n̄ ⇒ |an | < 10−8
3 il limite limn→∞ an non esiste
4 an è strettamente crescente
5 an non è limitata superiormente
sin2 (3x)
vale
x→0 1 − cos(2x)
6. Il limite lim
1 9/4
2 3/2
3 9/2
4 0
5 6
7. Sia f una funzione continua su [0, 2] e derivabile in (0, 2). Sia inoltre f (0) < f (2).
È vero che:
1 f è crescente su [0, 2].
2 f ha un punto di massimo x̄ ∈ [0, 2] tale che f (x̄) ≥ f (2).
3 f (2) è il massimo di f in [0, 2].
4 f 0 (x) > 0 per ogni x ∈ (0, 2).
5 Per ogni x ∈ [0, 2], f (0) ≤ f (x) ≤ f (2).
8. Sia f una funzione definita su (−3, 3) e tale che limx→2 f (x) = −1.
È vero che:
1 Esiste δ > 0, |x − 2| < δ,
allora f (x) < 0.
2 f è continua in x = 2.
3 f (x) < 0.
4 f (2) = −1.
5 Esiste δ > 0, 0 < |x − 2| < δ,
allora f (x) < 0.
9. Data f localmente integrabile su 0, +∞), si dice che l’integrale improprio
Z
1
t
f (x) dx è uguale a +∞ o a −∞.
lim
t→+∞
0
Z
2
R +∞
t
lim
t→+∞
f (x) dx non è un valore finito.
0
3 La successione an =
Rn
0
f (x) dx è tale che limn→+∞ |an | = +∞.
Rn
4 La successione an = 0 f (x) dx è tale che limn→+∞ an = +∞ o −∞.
Z t
5 lim |
f (x) dx| = +∞
t→+∞
0
10. L’insieme delle soluzioni della disequazione
1 [−1, 0]
2 (−2, −1] ∪ [0, 3)
3
Nessuna delle altre.
4
(3, +∞)
5 (−2, +∞)
x log(x+2)
x−3
≤ 0 è:
0
f (x) dx è divergente se:
11. Sia f (x) = sin(log |x| ). Questa funzione è
1 pari;
2 dispari;
3 Non ha alcuna simmetria.
4 periodica;
5 crescente
12. Sia f : A ⊆ R → R. Si dice punto di minimo per f su A:
1 Un punto x0 ∈ A tale che per ogni x ∈ A, f (x) > f (x0 ).
2 Un punto (x0 , f (x0 )) tale che per ogni x ∈ A, f (x) > f (x0 ).
3 Un punto (x0 , f (x0 )) tale che per ogni x ∈ A, f (x) ≥ f (x0 ).
4 Un punto f (x0 ), con x0 ∈ A tale che per ogni x ∈ A, f (x) ≥ f (x0 ).
5 Un punto x0 ∈ A tale che per ogni x ∈ A, f (x) ≥ f (x0 ).
13. Sia f una funzione di classe C 3 (R), tale che f (x) = −1 + 2x2 − 3x3 + o(x3 ). È vero che:
1 f (1) = −2.
2 f (0) = −1, f 0 (0) = 0.
3 f (0) = −1, f 00 (0) = 2.
4
lim f (x) = −∞.
x→+∞
5 f 000 (0) = 3.
14. Sia f una funzione definita su un intervallo aperto I. Una primitiva di f su I è una funzione F tale che:
Rx
1 F (x) = x0 f (t) dt, se x, x0 ∈ I.
2 F è definita su I e F 0 (x) = f (x) per ogni x ∈ I.
3 F è derivabile su I e F 0 (x) = f (x) per ogni x ∈ I.
4 f 0 (x) = F (x), per ogni x ∈ I
5 F è derivabile in x0 ∈ I e F 0 (x0 ) = f (x0 ).
15. La funzione f (x) =
1
√
3
x2
4
è derivabile solo per x > 0;
√
ha derivata f 0 (x) = 3 2x;
2√
ha derivata f 0 (x) = 3 x;
3
non è derivabile per x = 0.
5
non è continua per x = 0
2
3
Z
x0
16. La funzione F (x) =
2
esin
t
dt è tale che:
x
1 F (x) è crescente, per ogni x ∈ R.
2 F (x) non è definita su x ∈ R.
3
F (x) ≤ 0, per ogni x ∈ R.
4
F (x) ≥ 0, per ogni x ∈ R.
5
F (x) è decrescente, per ogni x ∈ R.
√
17. Sia f (x) = ex 1 + ex . Una primitiva di f (x) su R è:
2p
(1 + ex )3
3
3
2 F (x) = (1 + ex )2/3
2
1
3 F (x) = √
1 + ex
√
4 F (x) = ex 1 + ex
1
F (x) =
5 F (x) = √
ex
1 + ex
18. La funzione f (x) = cos(sin x) − 1 + 12 x2 ha sviluppo di MacLaurin all’ordine 2 uguale a:
1
o(x2 ), per x → 0
2 x2 + o(x2 ), per x → 0.
3
Non ha sviluppo di MacLaurin di ordine 2.
4
0.
5 −2 + x2 + o(x2 ), per x → 0.
19. Siano f (x) ∼ sin x e g(x) ∼ x2 , per x → 0. È vero che:
1
lim
x→0
f (x)
= +∞.
g(x)
2 f (x) + g(x) = x2 + o(x2 ), per x → 0.
3
f (x) + g(x) = x + o(x), per x → 0.
4
f (x) + g(x) = sin x + x2 .
5 Non ci sono dati sufficienti per calcolare lim f (x) · g(x).
x→0
20. L’enunciato corretto è:
1 Se f è definita su [a, b] e f (a) · f (b) < 0, allora f ha almeno uno zero in (a, b).
2 Se f è continua su [a, b] e f (a) · f (b) < 0, allora f ha almeno uno zero in (a, b).
3 Se f è continua su (a, b) e f (a) · f (b) < 0, allora f ha almeno uno zero in (a, b).
4 Se f è continua su [a, b] e f (a) · f (b) < 0, allora f ha un unico zero in (a, b).
5 Se f è continua su [a, b] e f (a) · f (b) < 0, allora 0 ∈ (a, b).
TEST PROF.ssa Mazzi
1
3
2
4
3
4
4
1
5
2
6
3
7
2
8
5
9
1
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 1 5 2 3 4 5 1 1 3 2
1. Quesito - richiama il teorema di Lagrange
2. Quesito - confronto l’ordine di infinito, trascuro gli o piccoli…
3. Quesito - la funzione può essere scritta, per x  - ∞, come f(x)=m x + q + o(1); ma
se x  - ∞, log (3+4/x2)  log 3… quindi se x  - ∞ f(x) = x+log 3 +o(1). Oppure
è possibile calcolare l’asintoto con il limite. Attenzione il limite deve tendere a –
infinito. m=lim …… ; q=
4. Quesito - solita derivata dell’inversa
5. Quesito: Confronto tra infinitesimi. La succesione converge a 0
6. Quesito : Landau
7. Quesito: la funzione è continua, ma non derivabile agli estremi (devono essere a
tangente verticale). Per Weiestrass ha max e min assoluti, il massimo è maggior o
uguale a f(2)…
8. Quesito: Tra la risposta 1 e la risposta 5 scelgo la 5, perché l’enunciato dice che in (-3,
3) la funzione è definita, quindi non devo escludere x=2
9. Quesito: Non è la 5 perché il limite del valore assoluto dell’integrale tende a + infinito,
ma il limite dell’integrale potrebbe anche non esistere (tendere ad infinito oscillando,
+inf, -inf,...). Per quanto riguarda la 2 se non è un valore finito allora come è? Infinito e
include anche oscillante?
10. Quesito: Pongo i singoli fattori maggiori di zero, infìdipendentemente dal segno della
disequazione. E poi tolgo la realtà:
a. x≥0
b. log(x+2) ≥0, x+2 ≥ 1; x≥-1
c. x>3
d. tabellone ++-- , scelgo gli intervalli in cui la frazione è negativa, ricordandomi
però di eliminare tutte le x<-2, dove la frazione NON ESISTE
11. Quesito: funzione pari sin(log(| –x|)=sin(log |x|)=f(x)
12. Quesito: vedi definizione della Tabacco: x0 è punto di minimo… ricordare che la
disequazione può essere attenuata
13. Quesito: ovvio. Attenzione che le informazioni in zero sono esatte (centro dello
sviluppo) senza gli o piccoli, mentre per f(1) conosco solo un valore approssimato.
f(1)= -1+2-3+o(13)
14. Quesito: F(x) deve essere derivabile e la sua derivata…
15. Quesito: Non è derivabile in x=0 e qui ha una cuspide. Fz. È pari, x=0 è punto di
minimo non derivabile
16. Quesito: F(x)=- Integrale… F’(x)= - esin^2 x--- <0  F(x) decrescente. Inoltre F(0)=0,
quindi F(x) >0 per x in (-∞, 0) , F(x) <0 per x in (0,+ ∞). Inoltre essendo decrescente
non può l’integrale improprio tra 0 e + ∞ essere indeterminato, ma o converge o
diverge. Attenzione prima della derivazione scambiare gli estremi dell’intervallo di
integrazione
1
17. Quesito: Si integra facilmente:
a. Sostituendo ex = t
b. Vedendolo come integrale di una composta ex (1+ex)1/2 ---- (1+ex)1/2+1 /(2/3) …
c. Derivo le soluzioni e cerco
18. Quesito: Sviluppo la più interna e poi vedo. Attenzione a non perdere i pezzi… il fatto
di avere x2 potrebbe indurmi a fermarmi a x2
a. cos(x-x3/6+o(x3))-1+1/2x2 = 1- (x-x3/6+o(x3))2 /2 + (…..)4/4 -1 +1/2 x2… ma
troppo alto quindi non scrivo. Semplifico 1 e 1/2 x2 e resta
b. f(x)= x4/6 + o(x3)… f(x)=o(x3), non c’è la risposta,, ma se in f(x) restano solo
potenze oltre la 4° significa che f(x)=o(x2)
19. Quesito: a 1 è sbagliata perché x/x2 = 1/x.. che tende a infinito, ma non so se + o infinito (sopra cambia segno sotto no)
a. Nella 2_ f+g= x+o(x)+x2+o(x2). Attenzione nella somma non posso sostituire
l’equiavelente, ma se lascio gli o piccoli sì. Ora o(x)+o(x2)=o(x) e quindi
cancello x2 e diventa f+g=x+o(x)
b. La 5 è falsa f*g=x3 +o(x3)
20. Quesito: La risposta è la 2
2
1. Il dominio della funzione f (x) = log(cosh x − 4)
(a) è R
(b) è [0, +∞)
(c) non è un intervallo
(d) è limitato
(e) è [−4, 4]
2. La funzione f (x) =
1
4 + x2
(a) è invertibile su R
(b) è invertibile su [0, +∞)
(c) è invertibile su [−2, 2]
(d) non è invertibile su alcun intervallo
(e) nessuna delle altre risposte
3. La disequazione in campo complesso |z − 1 + i| < 3
(a) ha infinite soluzioni reali
(b) non ha soluzioni
(c) non ha soluzioni reali ma ha soluzioni complesse
(d) ha un’unica soluzione
(e) ha esattamente due soluzioni
4. Il limite lim x
x→+∞
3
3
log 4x + 1 − log(4x )
(a) 0
(b) +∞
(c) 1
(d) 1/4
(e) e3
5. Il limite lim
x→+∞
(a) +∞
(b) −∞
(c) 0
(d) 1
(e) 1/2
3
p
4
x4 + 2x3 − x vale
vale
6. La funzione f (x) = log (3 + 2ex ) + 6x ha come asintoto obliquo destro la retta
(a) y = 2x + log 3
(b) y = 7x + log 2
(c) y = 8x + log 2
(d) y = 2x
(e) y = 6x
7. Sia an = n cos(πn2 ). Allora
(a) an non ha limite
(b) an è positiva ∀n
(c) an è limitata
(d) an è monotona
(e) an tende sia a +∞ che a −∞
8. Sia f (x) = (3 sin x)(5 sin x) . La derivata di f (x) calcolata per x = π/2 vale
(a) π
(b) 35
(c) 1
(d) 0
(e) −π
9. Sia f : R → R una funzione derivabile, tale che f (0) = 3 e f 0 (0) = −4. Allora la funzione g(x) = |f (x)|
(a) ha un punto angoloso in x = 0
(b) è derivabile nel punto x = 0
(c) ha un massimo relativo nel punto x = 0
(d) ha una discontinuità di tipo salto nel punto x = 0
(e) ha un asintoto verticale nel punto x = 0
10. Sia f (x) = 2ex + 3x. Allora, osservando che f (0) = 2, risulta
(a) (f −1 )0 (2) = 2
(b) (f −1 )0 (2) = 1/2
(c) (f −1 )0 (2) = 1
(d) (f −1 )0 (2) = 1/5
(e) (f −1 )0 (2) = 5
11. Siano f (x) =
√
4
1 + x4 e g(x) = ex . Allora
(a) g(x) − f (x) ≤ 0 in un intorno di x = 0
(b) g(x) − f (x) = o(x4 ) per x → 0
(c) g(x) − f (x) = o(x8 ) per x → 0
(d) g(x) − f (x) ≥ 0 in un intorno di x = 0
(e) nessuna delle altre risposte
12. Se f ha sviluppo di Taylor f (x) = 2 − 3(x − 2) − 5(x − 2)2 + (x − 2)3 + o((x − 2)3 ) per x → 2, allora in un intorno
di x = 2
(a) f è negativa, crescente e concava
(b) f è negativa, crescente e convessa
(c) f è negativa, decrescente e convessa
(d) f è positiva, crescente e concava
(e) f è negativa, decrescente e convessa
13. La funzione f : R → R, f (x) = x5 + sinh x, assume il valore y = 105 + sinh(10) − 1
(a) in un punto c > 10
(b) in nessun punto
(c) in almeno due punti
(d) in un punto c < 10
(e) nessuna delle altre risposte è corretta
14. Sia f : R → R una funzione derivabile tale che f (0) = f (1) = 0. Ponendo g(x) = f (x)3 , allora
(a) la derivata g 0 (x) si annulla almeno tre volte
(b) la derivata g 0 (x) si annulla esattamente due volte
(c) la derivata g 0 (x) si annulla esattamente una volta
(d) la derivata g 0 (x) non si annulla mai
(e) nessuna delle altre affermazioni è corretta
√
15. Il polinomio di MacLaurin di ordine 3 della finzione f (x) = e
3
(a) 1 + 3
2x
3
(b) e + 3e
2x
3
(c) 2 + 1
2x
(d) 1 + 2e x3
(e) 1 + 15 x3
1+3x3
è
16. Sia f una funzione tale che f (x) = o(x3 ) per x → +∞. Allora possiamo sicuramente affermare che
(a) limx→+∞
f (x)
x2 +x3
= +∞
f (x)
x3 = 1
(x)
limx→+∞ xf3 +x
2 =
(b) limx→+∞
(c)
(d)
(e)
limx→+∞ fx(x)
2
f (x)
limx→+∞ x3
Z
0
=0
= +∞
2π
| cos x| dx vale
17. L’integrale
0
(a) 2
(b) π
(c) 4
(d) 2π
(e) 4π
x
Z
t4 cos4 (t) dt
18. La funzione F (x) =
0
(a) è crescente su R
(b) è crescente solo su (0, +∞)
(c) è crescente solo su (−∞, 0)
(d) è sempre positiva
(e) non si annulla mai
Z
1
19. L’integrale improprio
0
x
dx
1 − cos x
(a) diverge a +∞
(b) diverge a −∞
(c) è indeterminato
(d) converge a un valore positivo
(e) converge a un valore negativo
20. L’integrale generale dell’equazione differenziale y 00 − 4y 0 + 4y = 0 è
(a) y = C1 x + C2 e2x
(b) y = C1 e−2x + C2 e2x
(c) y = C1 xex + C2 e2x
(d) y = (C1 + C2 x)e2x
(e) y = C1 + C2 x
1. Il dominio della funzione f (x) = log(cosh x − 4)
(a) è R
(b) è [0, +∞)
(c) non è un intervallo
(d) è limitato
(e) è [−4, 4]
2. La funzione f (x) =
1
4 + x2
(a) è invertibile su R
(b) è invertibile su [0, +∞)
(c) è invertibile su [−2, 2]
(d) non è invertibile su alcun intervallo
(e) nessuna delle altre risposte
3. La disequazione in campo complesso |z − 1 + i| < 3
(a) ha infinite soluzioni reali
(b) non ha soluzioni
(c) non ha soluzioni reali ma ha soluzioni complesse
(d) ha un’unica soluzione
(e) ha esattamente due soluzioni
4. Il limite lim x
x→+∞
3
3
log 4x + 1 − log(4x )
(a) 0
(b) +∞
(c) 1
(d) 1/4
(e) e3
5. Il limite lim
x→+∞
(a) +∞
(b) −∞
(c) 0
(d) 1
(e) 1/2
3
p
4
x4 + 2x3 − x vale
vale
6. La funzione f (x) = log (3 + 2ex ) + 6x ha come asintoto obliquo destro la retta
(a) y = 2x + log 3
(b) y = 7x + log 2
(c) y = 8x + log 2
(d) y = 2x
(e) y = 6x
7. Sia an = n cos(πn2 ). Allora
(a) an non ha limite
(b) an è positiva ∀n
(c) an è limitata
(d) an è monotona
(e) an tende sia a +∞ che a −∞
8. Sia f (x) = (3 sin x)(5 sin x) . La derivata di f (x) calcolata per x = π/2 vale
(a) π
(b) 35
(c) 1
(d) 0
(e) −π
9. Sia f : R → R una funzione derivabile, tale che f (0) = 3 e f 0 (0) = −4. Allora la funzione g(x) = |f (x)|
(a) ha un punto angoloso in x = 0
(b) è derivabile nel punto x = 0
(c) ha un massimo relativo nel punto x = 0
(d) ha una discontinuità di tipo salto nel punto x = 0
(e) ha un asintoto verticale nel punto x = 0
10. Sia f (x) = 2ex + 3x. Allora, osservando che f (0) = 2, risulta
(a) (f −1 )0 (2) = 2
(b) (f −1 )0 (2) = 1/2
(c) (f −1 )0 (2) = 1
(d) (f −1 )0 (2) = 1/5
(e) (f −1 )0 (2) = 5
11. Siano f (x) =
√
4
1 + x4 e g(x) = ex . Allora
(a) g(x) − f (x) ≤ 0 in un intorno di x = 0
(b) g(x) − f (x) = o(x4 ) per x → 0
(c) g(x) − f (x) = o(x8 ) per x → 0
(d) g(x) − f (x) ≥ 0 in un intorno di x = 0
(e) nessuna delle altre risposte
12. Se f ha sviluppo di Taylor f (x) = 2 − 3(x − 2) − 5(x − 2)2 + (x − 2)3 + o((x − 2)3 ) per x → 2, allora in un intorno
di x = 2
(a) f è negativa, crescente e concava
(b) f è negativa, crescente e convessa
(c) f è negativa, decrescente e convessa
(d) f è positiva, crescente e concava
(e) f è negativa, decrescente e convessa
13. La funzione f : R → R, f (x) = x5 + sinh x, assume il valore y = 105 + sinh(10) − 1
(a) in un punto c > 10
(b) in nessun punto
(c) in almeno due punti
(d) in un punto c < 10
(e) nessuna delle altre risposte è corretta
14. Sia f : R → R una funzione derivabile tale che f (0) = f (1) = 0. Ponendo g(x) = f (x)3 , allora
(a) la derivata g 0 (x) si annulla almeno tre volte
(b) la derivata g 0 (x) si annulla esattamente due volte
(c) la derivata g 0 (x) si annulla esattamente una volta
(d) la derivata g 0 (x) non si annulla mai
(e) nessuna delle altre affermazioni è corretta
√
15. Il polinomio di MacLaurin di ordine 3 della finzione f (x) = e
3
(a) 1 + 3
2x
3
(b) e + 3e
2x
3
(c) 2 + 1
2x
(d) 1 + 2e x3
(e) 1 + 15 x3
1+3x3
è
16. Sia f una funzione tale che f (x) = o(x3 ) per x → +∞. Allora possiamo sicuramente affermare che
(a) limx→+∞
f (x)
x2 +x3
= +∞
f (x)
x3 = 1
(x)
limx→+∞ xf3 +x
2 =
(b) limx→+∞
(c)
(d)
(e)
limx→+∞ fx(x)
2
f (x)
limx→+∞ x3
Z
0
=0
= +∞
2π
| cos x| dx vale
17. L’integrale
0
(a) 2
(b) π
(c) 4
(d) 2π
(e) 4π
x
Z
t4 cos4 (t) dt
18. La funzione F (x) =
0
(a) è crescente su R
(b) è crescente solo su (0, +∞)
(c) è crescente solo su (−∞, 0)
(d) è sempre positiva
(e) non si annulla mai
Z
1
19. L’integrale improprio
0
x
dx
1 − cos x
(a) diverge a +∞
(b) diverge a −∞
(c) è indeterminato
(d) converge a un valore positivo
(e) converge a un valore negativo
20. L’integrale generale dell’equazione differenziale y 00 − 4y 0 + 4y = 0 è
(a) y = C1 x + C2 e2x
(b) y = C1 e−2x + C2 e2x
(c) y = C1 xex + C2 e2x
(d) y = (C1 + C2 x)e2x
(e) y = C1 + C2 x
4◦ Simulazione - Consigli
CORSO DI ANALISI
4◦ SIMULAZIONE
RISPOSTE AI QUESITI
Attenzione il Quesito 12 non ha la soluzione corretta:
positiva - decrescente - concava
Item n◦
Risposta
1
c
2
b
3
a
4
d
5
e
6
b
7
a
8
d
9
b
10
d
11
d
12
13
d
14
a
15
b
16
c
17
c
18
a
19
a
20
d
CONSIGLI
Quesito n◦ 4
lim x3 log
x→+∞
quando x tende a + inﬁnito
(
)
1
4x3 + 1
3
=
lim
x
log
1
+
x→+∞
4x3
4x3
1
tende a zero. Quindi puoi applicare i limiti notevoli
4x3
(
)
1
1
1
3
lim x3 3 =
lim x log 1 + 3 =
x→+∞
x→+inf ty
4x
4x
4
Quesito n◦ 5
√
lim |x|
4
x→+∞
1+
(
)
)
(
2
1 2
1
= lim |x| 1 + ·
= lim
x+ x−x =
x→+∞
x x→+∞
4 x
2
Quesito n◦ 9
Ricordiamo come si passa dal graﬁco della funzione f (x) a quello di |f (x)|.
Indipendentemente dall’insieme immagine della funzione f (x), l’insieme immagine della funzione |f (x)| è sempre
un sottinsieme, al più banale, di [0, +∞)
Confrontiamo alcuni graﬁci di funzioni note
Paola Suria
ﬁg. 1
ﬁg. 2
ﬁg. 3
ﬁg. 4
ﬁg. 5
ﬁg. 6
ﬁg. 7
ﬁg. 8
ﬁg. 9
1
4◦ Simulazione - Consigli
ﬁg. 10
• Le ﬁgure 3 e 4 dimostrano che, se la funzione ha immagine positiva, non c’è diﬀerenza tra f (x) e |f (x)|
• Le ﬁgure
a confronto funzioni, con immagine non negativa, ma vogliono ricordare che
√
√ 8 e 9 mettono
f (x) = x, f (x) = 3 x..... hanno un punto di NON derivabilità in x = 0
√
√
√
• Le ﬁgure 7 - 9 - 10 vogliono ricordare che f (x) = x x, f (x) = sin x x, f (x) = x2 x.. sono derivabili in
x = 0 e f ′ (0) = 0, cioè sono punti critici.
• Le ﬁgure 1 - 2- 5 - 6 -7 hanno punti angolosi.
• |f (x)| può avere punti angolosi, ma solo negli zeri di f (x).
• le ﬁgure 6 - 7 -10 mettono in evidenza che se O(0, 0) ∈ f (x) → x = 0 può essere punto angoloso, purché
x = 0 non sia a tangente orizzzontale, cioè f ′ (0) ̸= 0
Infatti le ﬁgure 6, 7, 10 mettono in evidenza che x = 0 non è angoloso!!! perché x = 0 ha tangente
orizzontale.
Il quesito si riferisce al punto x = 0, sostenendo che f (0) = 3. Allora, indipendentemente dal graﬁco di
f (x), x = 0 non è punto angoloso.
La condizione f ′ (0) = −4 aﬀerma che la funzione, in un intorno di x = 0 è decrescente.
Quesito n◦ 19
Integrale improprio, di segno positivo.
f (x) =
Poichè
x
2
x
∼ 1 2 =
1 − cos x
x
x
2
∫
1
0
1
dx
x
DIVERGE, anche il nostro integrale DIVERGE. Naturalmente, essendo la funzione positiva, l’integrale (l’area)
è positiva.
Allora l’area è positiva, grandissima, quindi diverge ad numero positivo
Paola Suria
2
5◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
◦
5 SIMULAZIONE TEST ESAME
Nozioni base - Successioni - Limiti - Continuità - Calcolo diﬀerenziale - Sviluppi
1. Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 2, della funzione f (x) =
1 + sin x
è:
cos x
1
a) f (x) = 1 + x + x2
2
b) f (x) = 2 − x2 + o(x2 )
1
c) f (x) = 1 + x + x2 + o(x2 )
2
1 2
d) f (x) = 1 + x − x + o(x2 )
2
1 2
e) f (x) = 1 + x − x
2
2. Sia f una funzione continua e derivabile nell’intervallo [4, 6], con f (4) = 6, f (6) = 0. Allora necessariamente
a) ∃c ∈ (4, 6) : f (c) = 0
b) ∃c ∈ (4, 6) : f ′ (c) = −3
c) ∃c ∈ [4, 6] : f (c) = e − π
d) ∃c ∈ (4, 6) : f ′ (c) = 3
e) @c ∈ (4, 6) : f (c) > 6
3. Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 4, della funzione f (x) =
3x2
− 3x2 − 3x4 è:
1 + 3x
a) f (x) = −3x4 + o(x4 )
b) f (x) = −9x3 − 3x4 + o(x4 )
c) f (x) = −9x3 + 24x4
d) f (x) = −9x3 + 24x4 + o(x4 )
e) f (x) = −3x3 + 8x4 + o(x4 )
4. Sia f una funzione continua e strettamente monotona, con f (2) = 7, f ′ (2) =
(f −1 )′7 =
1
1
, f ′ (7) = , allora
7
2
a) 2
b) 7
c) non è possibile saperlo
1
d)
7
1
e)
2
5. Dallo sviluppo di Mac Laurin della funzione f (x) = 2 + log(5 − sin2 x) si può dedurrre che f :
a) ha un punto di massimo in x = 0
b) punto di minimo in x = 0
c) ha un flesso in x = 0
d) è decrescente nell’intorno di x = 0
e) è crescente nell’intorno di x = 0
c
⃝2013
Politecnico di Torino
1
5◦ Simulazione
6. lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 3, della funzione sinh (log(x + 1)) è:
(
)
(
)3
1
1
1
1
1
a) 1 + x − x2 + x3 + o(x3 ) +
1 + x − x2 + x3 + o(x3 )
2
3!
3!
2
3!
x2
1
+ x3 + o(x3 )
2
2
x2
1
− x3 + o(x3 )
c) x −
2
2
(
)
)3
(
1 2
1
1 3
1 3
1 2
3
3
d) 1 + x − x + x + o(x ) −
1 + x − x + x + o(x )
2
3!
3!
2
3!
b) x +
e) x −
7. Sia w =
1
x2
+ x3 + o(x3 )
2
2
5+i
. Allora Re(z) =
3−i
5
3
b) −1
a)
c) 14
4
d)
5
7
e)
5
8. La funzione f (x) = x5 + 3ex − 2 ha
a) un solo zero positivo
b) non ha zeri
c) ha due zeri
d) ha almeno tre zeri
e) un solo zero negativo
(
)
9. Sia f (x) = −3 + 2(x − 7) + 5(x − 7)5 + o (x − 7)5 lo sviluppo di Mac Laurin della funzione f . Quale
delle seguenti proprietà è vera?
a) la funzione è infinitesima, x → 7
b) la funzione è decrescente in un intorno di x = 7
c) la retta tangente al grafico della funzione in x = 7 : y = −3 + 2(x − 7)
d) il punto x = 7 è un punto critico
5
e) f (5) (7) =
5!
10. lo sviluppo di Mac Laurin di ordine 3 della funzione log(cosh x) è:
a)
b)
c)
d)
e)
1 2
x + o(x3 )
2
1
− x2 + o(x3 )
2
1
1 + x2 + o(x3 )
2
1
1 − x2 + o(x3 )
2
1 2
x
2
c
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2
5◦ Simulazione
11. Sia w =
5+i
. Allora il modulo di w è
3−i
√
3
√
65
b)
5
√
25
c)
+ (−1)2
9
√
d) 52 + 12
a)
e) nessuna delle altre risposte
12. lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 3, della funzione log(sinh x + 1) è
1
1
a) x − x2 + x3 + o(x3 )
2
2
1 2 1 3
b) x − x + x + o(x3 )
2
3
1 2 1 3
c) x + x + x + o(x3 )
2
2
1 2 1 3
d) 1 + x − x + x + o(x3 )
2
2
1 2 1 3
e) x − x − x + o(x3 )
2
6
13. Il polinomio di Mac Laurin, di ordine 2, della funzione f (x) =
2e−x − x2
è
1 + x2
a) 2 − 2x − 2x2 + o(x2 )
b) 1 − x − x2
c) 2 + 2x − 4x2
d) 2 − 2x − 2x2
e) nessuno degli sviluppi precedenti
14. Quale delle seguenti proprietà NON è soddisfatta dalla funzione f di classe C (7) se f (x) = 5 − 4(x − 2)6 +
3(x − 2)7 + o(x − 2)7 è il suo sviluppo di Taylor di centro x = 2?
a) f (x) è positiva nell’intorno di x = 2,
b) x = 2 è punto critico
c) f (7) (2) = 3 · 7!
d) f è positiva e concava nell’intorno di x = 2
e) x = 2 è un flesso crescente
15. I primi tre termini del polinomio di Mac Laurin della funzione f (x) =
a) x + 3x2 + 6x4
b) 1 − x2 + 2x4
c) 1 + 3x2 + 3x4
d) 1 + x2 − x4
e) x − x3 + x5
16. Qual è l’insieme degli α ∈ R per cui lim+
x→0
xα + log(1 + x2 )
= 0 è:
x sin x
a) {α < 2}
b) {α = 2}
c) {α > 2}
d) {α = 0}
e) ∅
c
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3
1 + 2x2
sono:
1 − x2
5◦ Simulazione
17. Il polinomio di Taylor di II grado, con centro x = 1 della funzione f (x) = e−
(
)
1 1
5
a) e− 3 3 − 4(x − 1) + (x − 1)2
3
3
(
)
1 1
1
b) e− 3 3 − 2(x − 1) − (x − 1)2
3
3
(
)
1 −1
7
2
3
c) e
9 − 2(x − 1) − (x − 1)
3
9
(
)
1 −1
1
2
d) e 3 9 − 4(x − 1) − (x − 1)
3
9
(
)
1 1
1
e) e 3 9 − 4(x − 1) − (x − 1)2
3
9
x2
3
è:
e−3x
è crescente in
4x + 4
2
R\{−1} → R :
18. La funzione f :
f (x) =
a) (−∞, −1)
(
)
1
1
b) − √ , 1 + √
2 3
2 3
(
)
1
1
1
1
c) − − √ , − + √
2 2 3 2 2 3
d) (−1, +∞)
(
) (
)
1
1
1
1
e) − − √ , −1 ∪ −1, − + √
2 2 3
2 2 3
19. Quali sono i valori massimo e minimo della funzione f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1 nell’intervallo [−2, 2]?
a) max=1, min =-3
b) max=6, min =-21
c) max=23, min=-4
d) max=5, min=-49
e) max=51, min =-3
20. Lo sviluppo di Mac Laurin di ordine 4 della funzione f (x) = ecosh x è:
(
)
(
)2
(
)3
(
)4
x2
x4
1
x2
x4
1
x2
x4
1
x2
x4
a) 1 +
+
+
1+
+
+
1+
+
+
1+
+
+ o(x4 )
2
4!
2
2
4!
3!
2
4!
4!
2
4!
(
)
1 2
1 4
b) e 1 + x + x + o(x4 )
2
4!
)
(
1 2 1 4
c) e 1 + x + x + o(x4 )
2
6
1 2
1 4
d) 1 + x + x + o(x4 )
2
4!
1 2 1 4
e) 1 + x + x + o(x4 )
2
6
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
c
2
b
3
d
4
b
5
a
6
e
7
e
8
e
9
c
10
a
11
b
CONSIGLI
c
⃝2013
Politecnico di Torino
4
12
a
13
d
14
e
15
c
16
e
17
b
18
c
19
d
20
c
5◦ Simulazione
Quesito 19
• Consideriamo la funzione f : R −→ R
I punti critici (o stazionari) per questa funzione sono x = 1, x = 3; il massimo relativo è f (1) = 5; il
minimo relativo è f (3) = 1
La funzione non ammette massimo e minimo assoluto.
• Consideriamo la funzione nell’intervallo assegnato:
critico: x = 1
x=3∈
/ [−2, 2]. La funzione ha quindi un solo punto
Valutiamo la funzione agli estremi dell’intervallo:
f (−2) = −49;
f (1) = 5;
f (2) = 3
Il massimo della funzione nell’intervallo è 5 e il punto di massimo è x=1 (5 è massimo assoluto)
Il minimo della funzione nell’intervallo è -49 e il punto di minimo è x=-2 (-49 è minimo assoluto)
c
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Politecnico di Torino
5
6◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
◦
6 SIMULAZIONE TEST ESAME
Nozioni base - Successioni - Limiti - Continuità - Calcolo diﬀerenziale
Sviluppi Numeri complessi
1. Sia z un numero complesso diverso da zero. Quale delle seguenti aﬀermazioni è FALSA.
a) arg(z 4 ) = 4arg(z)
b) |z n | = |z|n
c) z può avere meno di quattro radici quarte
d) z + z ∈ R
e) z · z ∈ R
√
1 − x2
2. Il dominio della funzione f (x) = log 2
è:
x +4
a) (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
b) (−2, −1) ∪ (1, 2)
c) R
d) [−1, 1]
e) (−1, 1)
3. Sia data l’equazione x49 + 4x − 10 = 0. Quale delle seguenti aﬀermazioni è FALSA?
a) l’equazione ammette una sola radice reale
b) l’equazione ammette 49 radici in C
c) tra le 49 radici ∈ C, 48 sono a due a due complesse coniugate
d) la radice reale è positiva
e) le radici dell’equazione sono i vertici di un poligono di 49 lati inscritti in una circonferenza
4. Una primitiva della funzione f (x) =
1
(x − 5)2
x−4
, x ∈ I = (5, +∞)
5−x
x−4
F (x) =
, x ∈ I = R\{5}
5−x
1
F (x) =
+ x, x ∈ I = (−∞, 5)
x−5
x
F (x) =
, x ∈ I = (5, +∞)
5−x
nessuna delle altre risposte è corretta
a) F (x) =
b)
c)
d)
e)
5. La derivata della funzione f (x) = 2cos πx è:
a) −π sin πx · 2cos πx
b) − log 2 · sin πx · 2cos πx
c) −π log 2 · sin πx · 2cos πx
d) −π log 2 · 2cos πx
e) 2cos πx
6. Quale delle seguenti proprietà NON è soddisfatta da z = 2 + 3i
a) z · z ∈ R
b) z + z ∈ R
c) z − z è un numero immaginario
d) |z| · z ∈ R
e) z 2 − 6iz ∈ R
Paola Suria
1
6◦ Simulazione
(
7.
√ )9
1
3
+
i
=
2
2
a) i
b) −i
(
√ )
3
1
c)
+
i
2
2
d) 1
e) -1
8. Lo sviluppo di Mac Laurin di ordine 2 della funzione f (x) = 32 sin x è:
a) 1 + 2x log 3 + 2x2 log2 3
b) 1 + 2x log 3 + 2x2 log 3 + o(x2 )
c) 3 + 2x log 3 + 2x2 log2 3
d) 1 + 2x log 3 + 2x2 log2 3 + o(x2 )
e) 2x log 3 + 2x2 log2 3 + o(x2 )
9. Quale delle seguenti proprietà è soddisfatta dal numero complesso z =
a) z =
√ −i π
2e 4
1−i
?
1+i
b) z 2 = −2i
c) z 4 = −4
d) Re(z) = 1
e) z = −i
10. Sia data la funzione f (x) = (x + 1)(x − 1)(x − 4). Quanti punti critici ha la funzione g(x) = cos f (x)
a) almeno 5
b) 5
c) meno di 5
d) 3
e) non è possibile saperlo
11. Se g : R → R è una funzione derivabile con lim g(x) = 0 e lim g(x) = 0, allora
x→−∞
x→+∞
a) g(x) < 1, x < 0
b) g(x) < 1, x > 0
c) ∃x0 ∈ R tale che g ′ (x0 ) = 0
d) f (x) > 0 ∀x ∈ R
e) ∃x0 ∈ R tale che g(x0 ) = 0
12.
lim+
x→0
√
x − 2ex sin x
√ =
log(1 + x2 ) − 4x
a) -1
b) 1
c) 2
1
d)
2
e) −
Paola Suria
1
2
2
6◦ Simulazione
13. Sia data la funzione f (x) = 2x3 + 3e2x . Allora
a)
)′
3
=
1
8
1
6
d) −
e)
f −1
1
8
b) −
c)
(
1
6
1
54 + e6
14. Se f (x) = | cos πx|3 + 2|x| allora f ′ (1) =
a) -1
b) 1
c) 2
d) 3
e) @
15. Se lim (|an | + |bn |) = 0, quali delle seguenti aﬀermazioni è sicuramente vera?
n→+∞
a)
b)
c)
lim an = lim bn = 0
n→+∞
n→+∞
lim an = 1;
n→+∞
lim an = 0;
n→+∞
lim bn = −1
n→+∞
lim bn = +∞
n→+∞
d) nessuna delle altre risposte è corretta
e)
lim an = +∞;
n→+∞
lim bn = −∞
n→+∞
∫
16.
x(2 − 3x2 )5 dx =
a)
b)
c)
d)
e)
1
(2 − 3x2 )6 + c
36
1
(3x2 − 2)6 + c
36
1
(2 − 3x2 )6 + c
6
1
− (2 − 3x2 )6 + c
36
1
− (2 − 3x2 )5 + c
36
17. f (x) = cos x è soluzione dell’equazione diﬀerenziale:
a) (y ′ ) − y 2 = 1
2
b) y ′′′ + y = 0
c) y ′′ − y = 0
d) (y ′ ) + y 2 = 1
2
e) y ′′ − 2y = 0
Paola Suria
3
6◦ Simulazione
18. Quale delle seguenti funzioni NON è una primitiva della funzione
a) F (x) =
b) F (x) =
c) F (x) =
d) F (x) =
e) F (x) =
2x
3x2 + 3
1
log(3x2 + 3), x ∈ R
3
1
log 9(x2 + 1), x ∈ R
3
1
log(x2 + 1) + 1, x ∈ R+
3
1
log(x2 + 1), x ∈ R
3
1
x2 + 1
log
, x∈R
3
2x
19. Sia f (x) una funzione, non identicamente nulla e f ′ (x) la sua derivata. Quale delle seguenti aﬀermazioni
è SBAGLIATA?
∫ ′
f (x)
a)
dx = log |f (x)|
f (x)
∫ ′
f (x)
b)
dx = 2 log |f (x)|
f (x)
∫ ′
(
)
f (x)
dx = log e3 |f (x)|
c)
f (x)
∫ ′
(
f (x)
π)
d)
dx = log |f (x)| sin
f (x)
6
∫ ′
f (x)
e)
dx = log 2|f (x)|
f (x)
20. Quale delle seguenti proprietà è FALSA?
a)
√
π
2kπ
3
−i = ei(− 6 + 3 ) ,
k = 0, 1, 2
b) Le tre radici del numero complesso z = −i, sul piano di Argand-Gauss, sono vertici di un triangolo
equilatero, inscritto nella circonferenza di centro (0,0) e raggio 1
c) una delle radici cubiche di z = −i è w = i
d) due delle radici cubiche del numero complesso z = −i sono tra loro complesse e coniugate
)3
( √
1
3
e) −
−i
= −i
2
2
21. Quale delle seguenti funzioni NON è una primitiva di f (x) =
1
?
x
a) F (x) = log x, in I = (0, +∞)
x
b) F (x) = log , in I = (0, +∞)
3
c) F (x) = log(−x), in I = (−∞, 0)
d) F (x) = log |x|, in I = R\{0}
e) F (x) = log(−3x), in I = (−∞, 0)
22. Quale delle seguenti aﬀermazioni NON è soddisfatta dalle due funzioni:
F (x) = arctan x e G(x) = − arctan
1
x
a) F (x) e G(x) sono due primitive della stessa funzione f, sullo stesso intervallo I
π
b) F (x) = G(x) + , x ∈ (0, +∞)
2
π
c) F (x) = G(x) − , x ∈ (−∞, 0)
2
d) F (x) e G(x) diﬀeriscono per una costante addittiva che dipende dall’intervallo I, in cui le funzioni
sono entrambe derivabili
π
e) F (x) = G(x) + , x ∈ R\{0}
2
Paola Suria
4
6◦ Simulazione
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
c
2
e
3
e
4
a
5
c
6
d
7
e
8
d
9
e
10
a
11
c
12
e
13
c
14
c
15
a
16
d
17
d
18
e
19
b
20
d
21
d
22
e
CONSIGLI
Quesito n◦ 1
La proposta sbagliata è la c) perché ogni numero complesso ha sempre
√ n radici ennesime:
vertici
del
poligono
di
due
lati
inscritto
nella
circonferenza
di
raggio
|z|
√
n
z = sono n, vertici del poligono regolare inscritto....
√
x + iy = n radici
Quesito 9
E’ necessario riscrivere in forma canonica il numero complesso z =
(1 − i)1
1 − 2i − 1
=
= −i E’ evidente che
1+1
2
la risposta esatta è la e)
Quesito 10
La funzione f interseca l’asse x in tre punti x = −1, x = 1, x = 4
Per il teorema di Rolle la funzione f ha almeno due punti critici, cioè due punti f ′ (x) = 0
Consideriamo g(x) = cos(f (x)) → g ′ (x) = − sin f (x) · f ′ (x)
g ′ (x) = 0 → sin f (x) = 0 ∨ f ′ (x) = 0
Allora i punti critici sono le soluzioni di f ′ (x) = 0 (sono almeno due) e le soluzioni di sin f (x) → f (x) = 0 e
sono almeno tre x = −1, x = 1, x = 4. Quindi sono in tutto almeno cinque
Quesito 20
Analizziamo le 5 proposte
a) i = e
3π
2
→
√
π
2kπ
π
3
−i = ei( 2 + 3 ) . In realtà potremmo usare i = e− 2 quindi la a) è vera.
b) è vera perché le √tre radici sono vertici di un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di centro
origine e raggio 3 1 = 1
c) Poniamo k = 0, 1, 2 e vediamo le tre radici. k = 0 posto nella prima opzione a) individua il I vertice
proprio sul’asse y, w1 = i
d) Gli altri due vertici sono opposti, non coniugati FALSA
e) Scrivo il numero con notazione esponenziale:z = e−i 6 π → z 3 = e− 2 π = e− 2
5
π
Ricordare che − π = −
2
2
5
Paola Suria
5
5
π
6◦ Simulazione
Quesito 21
Il quesito vuole far riﬂettere sulla diﬀerenza tra primitiva di una funzione e integrale indefinito di una funzione:
• primitiva di una funzione: se f è una funzione deﬁnita in un intervallo I, una primitiva di f su (o in) I è
ogni funzione F, derivabile in I, e tale che
F ′ (x) = f (x),
∀x ∈ I
• integrale indefinito di una funzione f : è l’insieme di tutte le primitive di f su I
Quesito 22
Il quesito ritorna ancora sulla deﬁnzione di primitiva: F deve essere derivabile e quindi continua ∀x ∈ I. Poiché
G è continua in I1 = (0, +∞) oppure in I2 = (−∞, 0), F, G sono due primitive della stessa funzione in I1
oppure I2 .
Per dimostrare che sono due primitive della stessa funzione è suﬃciente derivarle:
F ′ (x) = G′ (x) =
1
1 + x2
Quindi F (x) e G(x) diﬀeriscono per una costante addittiva
F (x) = G(x) + c
Per trovare la costante addttiva è suﬃciente attribuire un valore alla x, per ciascuno dei due intervalli:
x ∈ I1 : F (1) = G(1) + c
→
x ∈ I2 : F (−1) = G(−1) + c
Paola Suria
→
6
π
π
= − + c;
4
4
−
π
π
= + c;
4
4
c=
π
2
c=−
π
2
7◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
◦
7 SIMULAZIONE TEST ESAME
Nozioni base - Successioni - Limiti - Continuità - Calcolo diﬀerenziale
Sviluppi Numeri complessi - Calcolo integrale
1. Sia z un numero complesso diverso da zero. Quale delle seguenti aﬀermazioni è vera?
a) se z = ik, k ∈ R
−→
|z| = k
b) se z = k + ih, k, h ∈ R
−→
c) se z = k, k ∈ R
|z| = k
−→
d) z = k + ih, k, h ∈ R
e) se z = k, k ∈ R
2. Se A ⊇ B;
−→
−→
|z| = |k| + |h|
|z| = |k + h|
|z| = |k|
A, B ⊆ R, allora
a) sup A ≥ sup B
b) se A ammette massimo, allora anche B ha massimo
c) se A non ha massimo, anche B non ha massimo
d) se A ha massimo e minimo, necessariamente anche B ha massimo e minimo
e) se B è limitato, anche A è limitato
3. Se z = 3 + 4i allora z −2 =
a)
b)
c)
d)
e)
1
13
1
√
13
1
25
1
5
5
4. Quanti sono gli z ∈ C tali che |z| = 4 e Re(z) = 1
a) 2
b) 0
c) inﬁniti
d) 1
e) 4
5. Se f (x) =
(π)
sin x
allora f ′
=
x
2
a) -1
2
b)
π
c) −
4
π2
d) 1
e) 0
Paola Suria
1
7◦ Simulazione
6.
∫
0
√
x + 3 dx =
−3
a) +∞
√
b) 2 3
2
c) 1
33
√
2 3
d)
3
√
e) −2 3
7. min {x2 : x ∈ [−7, 1]}
a) 1
√
b) 7
c) -7
d) 49
e) 0
9x + 2x
x→0 x − 2x
8. lim
a) -10
b) −∞
c) 0
d) -1
e) 9
√
x+ x
√ =
9. lim
x→+∞ 10x +
x
a) -1
b) 10
1
10
d) -10
1
e)
10
c) −
∫
1
10. L’integrale
0
sin x
converge se e solo se
x7α
1
7
2
α>
7
2
α<
7
1
α>
7
α<1
a) α <
b)
c)
d)
e)
11. La notazione esponenziale del numero z = i +
√
3 è
a) 4e5πi/6
b) 4eπi/6
c) 2e2πi/3
d) 2eπi/6
e) 2e−πi/3
Paola Suria
2
7◦ Simulazione
12.
∫
6
0
1
dx =
x+3
a) log 3
b) log 6
1
c) 2
9
d) +∞
1
e) − 2
9
∫
2
13.
0
sin x6
dx = ... converge se e solo se
xα
a) α < 7
b) α > 1
c) α < 1
d) α > 7
e) α > 7
14. Il dominio della funzione f (x) =
xe2x
è:
−1
e2x
{ }
1
a) R\
2
b) (0, +∞)
c) R
(
)
1
d)
, +∞
2
e) R\{0}
15. La derivata della funzione f (x) =
a)
b)
c)
(
)
e2x 2x + 1 − e2x
xe2x
è:
e2x − 1
2
(e2x − 1)
(
)
e2x e2x − 2x − 1
2
(e2x − 1)
(
)
e2x e2x − xe2x − 1
2
(e2x − 1)
e2x + xe2x
2e2x
e) nessuna delle altre risposte è esatta
d)
16. Quale delle seguenti proprietà è soddisfatta dalla funzione f (x) =
a) domf = ∅
b) domf = [−1, 1] e imf = (0, +∞)
√
c) domf = [−1, 1] e imf = ( 2, 2)
d) la funzione è iniettiva
e) la funzione non è pari
Paola Suria
3
√
√
1+x+ 1−x
7◦ Simulazione
17. Quale delle seguenti proprietà possiede la funzione f (x) = log(ex + x)
a) domf = R
b) y = x è un asintoto obliquo, per x → +∞
c) x = 1 è punto critico per f (x)
d) y = x è asintoto obliquo completo
e) la funzione non è iniettiva
18. Le due funzioni f (x) = log 12
3−x
,
3+x
g(x) = log 12 (3 − x) − log 12 (3 + x) coincidono se:
a) x ∈ (−3, +∞)
b) x ∈ (−∞, 3)
c) x ∈ (−3, 3)
d) x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, +∞)
e) @x ∈ R
19. Se z = a + ib soddisfa l’equazione z|z|2 = 8i allora
a) z = 1 + 2i
b) z = 1 − 2i
c) z = 2i
d) z = 2
e) z = −2i
20. Se f è continua e derivabile in [0, 3], quale delle seguenti aﬀermazioni è sempre vera?
a) Esiste un c ∈ [0, 3] tale che f ′ (c) = 3
b) Se f (0) · f (3) = 0 allora esiste un c ∈ [0, 3] tale che f ′ (c) = 0
c) Se f (0) · f (3) = −1 allora l’equazione f (x) = 0 ha soluzione in [0, 3]
d) Se f (0) · f (3) = 2 allora l’equazione f (x) = 0 non ha soluzione in [0, 3]
e) Se f (0) · f (3) = 0 allora l’equazione f (3) = 0
21. se g(x) = f (x2 ), allora il polinomio di Mac Laurin di grado 2 della funzione g è:
a) f (0) + f ′ (0)x + 2f ′′ (0)x2
b) 2f ′ (0) + f ′′ (0)x2
c) f (0) + f ′ (0)x2
1
d) f (0) + f ′ (0)x + f ′′ (0)x2
2
e) g(0) + g ′ (0)x2
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
Paola Suria
1
e
2
a
3
c
4
a
5
c
6
b
7
e
8
d
9
e
10
c
11
d
4
12
a
13
a
14
e
15
b
16
c
17
b
18
c
19
c
20
c
21
c
7◦ Simulazione
CONSIGLI
Quesito n◦ 4
Tutti i punti con |z| = 4 stanno sulla circonferenza di centro l’origine e raggio 4.
I punti con Re(z) = 1 appartengono alla retta x = 1. Quindi gli z sono 2
Quesito n◦ 17
Per veriﬁcare se la funzione è iniettiva è suﬃciente veriﬁcare se la funzione è monotona (c.s. perché una funzione
sia iniettiva è che sia monotona)
ex + 1
f ′ (x) = x
e +x
Poiché il denominatore della derivata prima è l’argomento del logaritmo, il denominatore è sicuramente positivo,
nel dominio.
Il numeratore è somma di funzioni positivee quindi positiva. Quindi la f ′ (x) > 0, ∀x ∈domf .
Quesito n◦ 21
g(x) = g(0) + g ′ (0)x +
g(0) = f (0);
Paola Suria
g ′ (x) = f ′ (x2 ) · 2x → g ′ (0) = 0;
g ′′ (0) 2
x + o(x2 )
2!
g ′′ (x) = f ′′ (x2 ) · 2x · 2x + 2f ′ (x2 ) →
5
g ′′ (0) = 2f ′ (0)
8◦ simulazione
CORSO DI DI ANALISI I
8◦ SIMULAZIONE TEST ESAME
Ogni quesito ha una sola soluzione esatta
1. Siano date due funzioni f, g : R → R derivabili e tali che f (0) = g(0), f (6) = g(6). Quale delle seguenti
aﬀermazioni è necessariamente corretta?
(a) @c ∈ (0, 6) : f ′ (c) = g ′ (c) = 0
(b) ∃c1 , c2 ∈ (0, 6) : f ′ (c1 ) = g ′ (c2 )
(c) ∃c ∈ (0, 6) : f ′ (c) = g ′ (c) = 0
(d) Le funzioni f, g, nell’intervallo [0, 6] non ammettono il massimo e il minimo assoluto
(e) L’immagine delle due funzioni, nell’intervallo [0, 6], sono uguali
√
3
1 + x4
2. Lo sviluppo di MacLaurin di ordine 4 della funzione f (x) = √
è:
4
1 + x3
x2
x3
+
+ o(x4 )
2
3
x3
x4
f (x) = 1 −
+
+ o(x4 )
4
3
x3
x4
f (x) = − +
+ o(x4 )
2
3
x3
x4
f (x) = 1 +
+
+ o(x4 )
2
3
x3
x4
f (x) = 1 −
−
+ o(x4 )
2
3
(a) f (x) = 1 −
(b)
(c)
(d)
(e)
3. Sia data la successione an = n sin
(π )
n . Quale delle seguenti aﬀermazioni è vera?
2
(a) La successione diverge a −∞
(b) La successione diverge oscillando
(c) La successione converge a zero
(d)
lim an = +∞
n→+∞
(e) la successione è indeterminata, perché lim an non esiste
x→+∞
4. Sia data la funzione f (x) = 2cos x . Quale delle seguenti aﬀermazioni è vera?
(a) La funzione non è periodica
(b)
lim f (x) = +∞
x→+∞
(c) La funzione si annulla inﬁnite volte
(d) L’insieme immagine di f (x) è [0, +∞)
(e) La funzione è limitata
5. Sia data la funzione f : R → R. Sapendo che f è derivabile in x = 0 e che f (0) = 0 il rapporto
incrementale della funzione f 3 (x), in x = 0 vale:
(
)2
f (x) − f (0)
(a)
x
f (x3 )
x2
f 3 (x)
(c)
x
f (x3 )
(d)
x
(e) 3f 2 (x) · f ′ (x)
(b)
Paola Suria
1
8◦ simulazione
6. Il numero complesso z = i7 (2 − 3i)2 vale:
(a) 12 − 7i
(b) 12 + 5i
(c) −6 + 5i
(d) 5 + 6i
(e) −12 + 5i
∫
+∞
7.
1
3
dx =
x3
(a) +∞
3
(b)
2
(c) −∞
2
(d)
3
1
(e)
2
∫
π/4
8. Una delle risposte è FALSA, quale?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
√
2
− log
2
2
log √
2
1
− log √
2
log 2
1
log 2
2
tan x dx =
0
√
3
1 + 3x − 1
x→0 7x + 20x4
9. lim
1
7
3
(b)
7
1
(c)
21
(d) 0
(a)
(e) +∞
10. Se f (x) = o(x2 ), x → 0 allora necessariamente:
f (x)
=0
x→0 x3
f (x)
=1
lim
x→0 x2 + 3x3
f (x)
lim
=0
x→0 x
f (x)
=0
lim
x→+∞ x
f (x)
lim √ = +∞
x→0
x
(a) lim
(b)
(c)
(d)
(e)
Paola Suria
2
8◦ simulazione
11. Se f (x) =
√
x, g(x) = cos x, quale delle seguenti funzioni ha dominio R?
(a) f ◦ f
(b) f (x) · g(x)
(c) f ◦ g
(d) g ◦ f
(e) g ◦ g
12. Sia data la funzione f : R → R e sia f (x) = 3 + 2(x − 5) + o(x − 5) il suo sviluppo di Taylor, nell’intorno
di x = 5. Quale delle seguenti aﬀermazioni è vera?
(a) La funzione è inﬁnitesima nell’intorno di x = 5
(b) La funzione ha in x = 5 un punto di massimo relativo
(c) La funzione è inﬁnitesima nell’intorno di x = 0
(d) La retta tangente in x = 5 è y = 3 + 2(x − 5)
(e) La derivata seconda, in x = 5, è nulla
13. Si sa che f (x) > 7, ∀x ∈ (−2, 9). Se lim f (x) = l, si può dedurre che:
x→7
(a) l > 7
(b) l ∈ (7, 9)
(c) l ≥ 7
(d) l = +∞
(e) l = 0
14. Sia f (x) = arctan x e F (x) una sua primitiva. Allora si può dedurre che sicuramente
(a) F (x) è crescente in R
(b) F (x) ha un massimo in x = 0
(c) F (x) è positiva ∀x ∈ R
(d) F (x) è convessa in R
(e) F (x) ha in x = 0 un punto di ﬂesso
sin
15. La derivata della funzione f (x) = e
sin
(a) e
1
x + 1 è:
1
x+1
1
x
+
1 · cos x
(b) e
1
cos
−1
(c) e x + 1 · cos
(x + 1)2
−1
(d) ex · cos x ·
(x + 1)2
sin
1
1
1 sin x + 1
(e) −
cos
e
(x + 1)2
x+1
16. Sia data la funzione f (x) = x + ex . Allora (f −1 )′ (1) vale:
(a)
1
2
1
1+e
(c) 2
(b)
(d) 1
(e) e + 1
Paola Suria
3
8◦ simulazione
∫
b
17. Sia f (x) una funzione continua e crescente su [a, b]. Posto I =
f (x) dx , si può dedurre che:
a
(a) a < I < b
(b) (b − a) · f (a) ≤ I ≤ (b − a) · f (b)
f (a) + f (b)
2
(d) I = f (b) − f (a)
(c) I =
(e) f (a) < I < f (b)
18. Di quale delle seguenti equazioni diﬀerenziali f (x) = e2x è soluzione?
(a) y ′ − 2y = 0
(b) y ′′ − 2y ′ + y = 0
(c) y ′′ + 4y = 0
(d) y ′ − 2y + 1 = 0
(e) y ′′ + y ′ = e2x
19. y = 2x + 6 è asintoto obliquo della funzione f , mentre y = 4x − 3 è asintoto obliquo della funzione g.
Quale delle seguenti aﬀermazioni è vera?
(a) lim f (x) − g(x) = 0
x→∞
(b) f (x) · g(x) ∼ x2 , x → ∞
f (x)
≍ x2 , x → ∞
g(x)
(d) (f (x) ∼ (2x + 6)), (g(x) ∼ (4x − 3), x → +∞
(c)
(e) f (x) ≍ g(x), x → 0
20. La funzione f (x) = x9 + ex assume il valore y = 109 + e10 + 10:
(a) in nessun punto
(b) in almeno un punto
(c) in uno ed un sol punto
(d) in al più un punto
(e) due volte
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
Paola Suria
1
ab
2
b
3
e
4
e
5
c
6
e
7
b
8
d
9
a
10
c
4
11
e
12
d
13
c
14
d
15
e
16
a
17
b
18
a
19
d
20
c
8◦ simulazione
CONSIGLI
1. L’enunciato (funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato e derivabile almeno nell’intervallo aperto
e limitato) ci ricorda il teorema di Lagrange, applicato a due funzioni diverse:
f (6) − f (0)
g(6) − g(0)
; ∃c2 ∈ (0, 6) : g ′ (c2 ) =
.
6−0
6−0
Poiché, per ipotesi le due frazioni sono uguali si può dedurre che f ′ (c1 ) = g ′ (c2 ), ma non si può essere
sicuri che c1 = c2
∃c1 ∈ (0, 6) : f ′ (c1 ) =
D’altra parte il teorema di Cauchy (date due funzioni continue nell’intervallo chiuso e limitato [a, b],
f ′ (c)
derivabili almeno nell’intervallo apero (a, b), e con g ′ (x) ̸= 0, ∀x ∈ (a, b) −→ ∃c ∈ (a, b) :
=
g ′ (c)
f (b) − f (a)
f ′ (c)
f (6) − f (0)
) fa supporre che esista un punto c ∈ (0, 6) :
=
= 1 −→ f ′ (c) = g ′ (c)
g(b) − g(a)
g ′ (c)
g(6) − g(0)
Quindi l’item è falso perché il punto c esiste
Al risultato di Cauchy si può pervenire con il teorema di Lagrange e Rolle
Consideriamo la funzione ausiliaria F (x) = f (x) − g(x)
Questa funzione è continua e derivabile perché diﬀerenza di funzioni continue e derivabili, nell’intervallo
chiuso e limitato [0, 6]
F (0) = f (0) − g(0) = 0;
F (6) = f (6) − g(6) = 0
→
Allora la funzione F (x) soddisfa alle ipotesi del teorema di Rolle:
∃c ∈ (0, 6) :
F ′ (c) = 0 =⇒
F ′ (c) = f ′ (c) − g ′ (c) = 0;
f ′ (c) = g ′ (c)
Quindi sia l’item a) è Falsa perché nega l’esistenza di c!
Studiamo il quesito con un graﬁco, per interpretare le due soluzioni possibili:
Consideriamo le funzioni
1
g(x) = − x3 + 4x + 1
3
B(3, 4), quindi f (0) = g(0); f (3) = g(3), allora soddisfano alle ipotesi
f (x) = x2 − 2x + 1;
Entrambe passano per A(0, 1),
del quesito nell’intervallo [0, 3]
• Per il teorema di Lagrange (item b)
∃c1 ∈ (0, 6), c2 ∈ (0, 3)
→
f ′ (c1 ) = g ′ (c2 ) =
2c1 − 2 = −c22 + 4 = 1
−→
c1 =
f (3) − f (0)
g(3) − g(0)
=
3−0
3−0
3
;
2
c2 =
• Per il teorema di Cauchy (item a)
∃c ∈ (0, 3) :
2c − 2 = −c2 + 4
Paola Suria
5
f ′ (c) = g ′ (c).
−→
c = −1 +
√
7
√
3
8◦ simulazione
In ﬁgura 1) le due tangenti, tracciate alle due curve in punti che hanno la stessa ascissa c, sono tra loro
parallele, ma non parallele alla corda che congiunge i due punti comuni
In ﬁgura 2) le due tangenti, tracciate alle due curve in c1 e c2 , sono tra loro parallele e parallele alla corda
che congiunge i due punti comuni
2. E’ lo sviluppo di un rapporto.
1) sviluppo il numeratore
2) sviluppo il denominatore
I metodo
Faccio il rapporto tra i due sviluppi (ordino lo sviluppo dalla potenza minore verso la maggiore e divido
in colonna come per le divisioni tra polinomi.
1
1
1 + x4 |1 + x3
3
4
Vedere esempio sul testo Prof. Tabacco
II metodo
√
1
3
1 + x4 · √
.
4
1 + x3
α(α − 1) 2
Devo ricordare lo sviluppo di (1 + x)α = 1 + αx +
x + o(x2 )
1·2
1
1
Se α = −1 →
= 1 − x + x2 − x3 + o(x3 ). Si può dedurre che se si ha
= 1 + x + x2 + x3 + o(x3 )
1+x
1−x
Si ottiene quindi:
(
)
(
) (
)
1 4
1
1 4
1 3
4
4
3
f (x) = 1 + x + o(x ) ·
= 1 + x + o(x ) · 1 − x + o(x ) = (1 + ....)
1
3
3
4
1 + x3 + o(x3 )
4
III metodo
Riscrivo il rapporto come prodotto
Il migliore dei tre metodi. Riscrivo la funzione
(
) (
)
1
1
(1 + x4 )1/3 · (1 + x3 )−1/4 = 1 + x4 + o(x4 ) · 1 − x3 + o(x3 ) = .....
3
4
3. La successione è indeterminata, perché è vero che diverge oscillando, ma assume anche il valore nullo,
quindi non tende a nulla, sembra andare a +∞, ma subito dopo assume il valor 0, poi va ad un valore
negativo, poi torna a zero... se non assumesse anche lo zero sarebbe indeterminata lo stesso, ma potrebbe
essere classiﬁcata come diverge oscillando.
4. Notare la peridicità della funzione. Osservare che la funzione è limitata e vedere anche che il graﬁco non
è simmetrico rispetto alla retta y = 1.
5. ....
6. Ricordare i7 = i3 = −i
Paola Suria
z = −i(4 − 12i − 9) = 5i − 12 = −12 + 5i
6
8◦ simulazione
7. E’ un integrale improprio: discuto o calcolo?
Dal tipo di risposte direi calcolo (non si parla semplicemente di converge, diverge, ma tra le scelte ci sono
risposte numeriche).
1
Se osservo la funzione integranda f (x) = 3 , con il criterio di convergenza asintotica, posso senz’altro
x
1
dire che converge perchè del tipo α , α = 3 > 1!.
x
Escludo quindi le rispote a, c, adatte ad integrale divergente o che non è intehrabile neppure impropriamente.
Calcolo l’integrale con il limite...
∫ +∞
∫
3
3
3
dx
=
lim
dx = lim − 2
3
3
a→+∞
a→+∞
x
x
2x
1
a
= lim
1
a→+∞
−
3
3
3
+
=
2a2
2
2
sin x
. Allora a numeratore c’è la derivata (a meno di un segno meno) del denominatore.
cos x
π/4
− log | cos x||0 ... un po’ di algebra dei logaritmi (il log di un rapporto, il log di una potenza...)
8. Scrivo tan x =
9. x → 0: a denominatore trascuro le potenze
maggiori, a numeratore posso usare le forme di equivalenza
√
(1 + x)k − 1 ∼ kx oppure MacLaurin 3 1 + 3x = 1 + 1/3(3x)....
10. I metodo: dire che f (x) = o(x2 ) signiﬁca che f (x) è trascurabile rispetto a x2 nell’intorno dell’origine.
Pensando al graﬁco allora f (x) è trascurabile rispetto alla x, (y = x2 sta sotto y = x, x → 0) Quindi il
rapporto con x dà zero! (risposta c)
√
f è anche trscurabile rispetto alla radice (pensa al graﬁco di y = x) e quindi il rapporto dà zero (risposta
d)
II metodo:
Riscriviamo l’ipotesi. Se
f (x) = o(x2 ) → lim
x→0
f (x)
=0
x2
Veriﬁchiamo se la I relazione è esatta
f
2
f (x)
0
f (x)
x
lim
= lim 2
= lim 2 =
x→0 x3
x ·x
x
0
ho scritto il denominatore in modo da poter usare l’ipotesi.
0
Ora il limite diventa del tipo e quindi non possiamo dire nulla.
0
Ripeti per tutte le altre
in b) a denomintore puoi trascurare x3 e quindi il limite fa zero!
in d) le informazioni in zero non mi danno informazioni in inﬁnito
11. ....
12. Poiché ho solo informazioni sullo sviluppo del I ordine posso solo sapere qual è la retta tangente. La
funzione non è inﬁnitesima perché c’è il termine noto.
Paola Suria
7
8◦ simulazione
13. Dovete ricordarvi il teorema di permanenza del segno (qui spostato sul 7) Se la funzione è sempre sopra
y=7, il limite deve essere l ≥ 7
14. Attenzione a non confondere f (x) con F (x). Per sapere se F (x) ha massimi e minimi faccio F ′ (x) = 0
e poi F ′ (x) > 0.
F ′ (x) = arctan x; F ′ (x) = 0 se e solo se arctan x = 0 → x = 0
F ′ (x) > 0 se e solo se x > o
F ′′ (x) = f ′ (x) =
1
> 0 ∀x ∈ R allora la funzione F (x) è convessa.
1 + x2
15. ...
f −1 (x)
B(1, 0)
f (x)
16.
A(0, 1)
f ′ (x) = 1 + ex
f ′ (0) = 2
(f −1 )′ (1) =
1
2
17. Pensare al concetto di area.L’area è compresa tra l’area del rettangolo di altezza minima e quello di altezza
massima
18. sostituire....
19. E’ bene ricordare che se due funzioni sono equivalenti non è detto che siano asintotiche, mentre se sono
asintotiche sono equivalenti
[(a)]: in una diﬀerenza non possiamo sostituire la funzione equivalente, perché potrei avere la cancellazione
dei termini di grado massimo, ma qui... lim (2x + 6 − 4x + 3) = lim (−2x + 9) = −∞... il risultato è
x→+∞
x→+∞
inﬁnito
[(b)]: in un prodotto possiamo sostituire l’equivalente (2x)(4x) → (8x2 ) c’è l’8 di troppo, non sono
equivalenti, ma equigrandi.
f
2x
1
[(c)] nel rapporto, posso utilizzare l’equivalente →
→
g
4x
2
[(d)] è vera per quanto detto prima
20. Ricordare che si tratta di una funzione continua, monotona crescente, perché somma di funzioni monotone... allora la funzione è suriettiva, ma è anche iniettiva perché somma di funzioni monotone. Allora la
funzione assume tutti i valori di R una e una sola volta.
Paola Suria
8
9◦ simulazione
CORSO DI ANALISI I
9◦ SIMULAZIONE ANALISI I
Ogni quesito ha una sola soluzione esatta
1. Sia data la successione an = 2n + (−3)n . Quale delle seguenti aﬀermazioni è corretta?
(a) diverge a −∞
(b) è a termini, deﬁnitivamente, negativi
(c) diverge a +∞
(d) converge a zero
(e) diverge oscillando
2. Sia data la funzione, derivabile, f : R → R. Se f (0) = f (10) = 0. Quanti punti stazionari ha la funzione
g(x) = (f (x))2 ?
(a) due
(b) uno
(c) al più tre
(d) almeno 3
(e) non si può dire
∫
2π
| sin x| dx =
3.
0
(a) 2
(b) 0
(c) 4
(d) 1
(e) 2π
∫
+∞
4. L’integrale
1
√
x x + sin x
dx
x2 + 1
(a) converge
(b) diverge positivamente
(c) diverge negativamente
(d) è indeterminato
(e) converge oscillando
5. Lo sviluppo di MacLaurin di ordine 3 della funzione f (x) =
(a) 1 + x +
x2
x3
+
+ o(x3 )
2
3
x3
x2
+
+ o(x3 )
2
3
x2
x3
(c)
+
+ o(x3 )
2!
3!
x2
x3
(d) 1 −
+
+ o(x3 )
2
3
x2
x3
(e) 1 +
+
+ o(x3 )
2
3!
(b)
Paola Suria
1
1 + sin x
è:
cos x
9◦ simulazione
6. Siano date le due funzioni f (x) = log x; g(x) = 1 + cos x. Quale delle seguenti funzioni ha dominio R?
(a) g ◦ f
(b) f ◦ g
(c) f ◦ f
(d) f (x) · f (x)
(e) g ◦ g
7. Sia data una funzione f (x) ≤ x, ∀x ∈ R. Quale delle seguenti aﬀermazioni è sicuramente vera al variare
∫ b
di a e b? L’integrale
f (x) dx è:
a
(a) positivo se [a, b] = [−1, 0]
(b) nullo se [a, b] = [−1, 1]
(c) negativo se [a, b] = [0, 1]
(d) negativo [a, b] = [−1, 0]
(e) positivo [a, b] = [0, 1]
8. Sia data una funzione f : R → R, f ∈ C 4 (R), il cui sviluppo di Taylor, nell’intorno di x = −2, sia
f (x) = 2 − 4(x + 2)4 + o((x + 2)4 ). Quale delle seguenti aﬀermazioni è corretta?
(a) è inﬁnitesima del IV ordine se x → −2
(b) Il punto x = −2 non è un punto critico
(c) Il punto x = −2 non è un punto di Fermat
(d) f IV (−2) = −4 · 4!
(e) il punto x = −2 è un punto minimo relativo per la funzione f
9. Sia data la funzione f (x) =
√
1 + (sin x)2 . La sua derivata prima è:
sin x cos x
(a) f ′ (x) = − √
1 + sin2 x
2 sin x cos x
(b) f ′ (x) = √
1 + sin2 x
sin x cos x
(c) f ′ (x) = √
1 + sin2 x
1
(d) f ′ (x) = √
2 1 + sin2 x
cos x
(e) f ′ (x) = √
1 + sin2 x
2x − 1
=
x→0 sin 3x
10. lim
(a) +∞
log 2
(b)
3
log2 3
(c)
3
(d) 0
2x log 2
(e) lim
x→0 3 cos x
Paola Suria
2
9◦ simulazione
11. Sia data la funzione f (x) = ex + 3x. Sapendo che f (0) = 1, calcolare la derivata della sua funzione inversa
(f −1 )′ (1)
(a)
1
4
1
e+3
(c) 4
(b)
(d) 1
(e) 3
12. Se f (x) ∼ x2 , x → 0 si può dedurre che
f (x)
=0
x→0 x3
f (x)
(b) lim 2
=1
x→0 x + x
(c) f (x) = o(x), x → 0
(a) lim
(d) f (x) ∼ cos x, x → 0
(e) sin x = o(f (x)), x → 0
13. Sia data la funzione f (x) = | arctan x|
(a) La funzione non è limitata
(b) la funzione è dispari
[ π π]
(c) domf = − ,
2 2
(d) La funzione è derivabile in R
(e) domf = R
z
14. Sia dato il numero w = 1 + i e il numero complesso z = a + ib, a, b ∈ R. Si consideri u = . Si può dire
w
che u è reale se e solo se:
(a) a = b
(b) a = −b
(c) ∀a, b ∈ R
(d) a = 0
(e) b = 0
15. Quale è la soluzione della seguente equazione diﬀerenziale: y ′′ − 2y ′ + y = 0?
(a) y(x; a, b) = ae−x + bxex
(b) y(x; a, b) = ae2x + 2bxe2x
(c) y(x; a, b) = ae2x + bxe2x
(d) y(x; a, b) = aex + be−x
(e) y(x; a, b) = aex + bxex
16. Sia data la funzione f , continua ∀x ∈ R, tale che f (1) = π. Quale è il rapporto incrementale, nel punto
xo = 1, per la funzione g(x) = sin(f (x))?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
sin f (x) − π
x−1
sin f (x)
x−1
sin (f (x − 1)) − 1
x−1
f (sin x) − 1
x−1
f (x) − π
x−π
Paola Suria
3
9◦ simulazione
17. Quale delle seguenti aﬀermazioni NON è vera, per una funzione deﬁnita ∀x ∈ [a, b]?
(a) Se una funzione è derivabile ∀x ∈ [a, b] è anche ivi continua
(b) Se una funzione è Riemann integrabile ∀x ∈ [a, b] è anche ivi derivabile
(c) Se una funzione è continua ∀x ∈ [a, b] è anche ivi Riemann integrabile
(d) Se una funzione non è continua in un punto appartenente ad [a, b], può essere Riemann integrabile
(e) Se una funzione è derivabile ∀x ∈ [a, b] è anche ivi Riemann integrabile
18. La parte reale del numero complesso z =
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1 − i3
è:
5−i
1
5
1
2
4
0
2
13
19. Siano date le due successioni an , bn :
an = bn +
sicuramente vera?
n
. Quale delle seguenti aﬀermazioni è
n2 − 3n + 10
a) la successione an − bn diverge
b) la successione an converge a zero
c) nessuna delle altre successioni è vera
d) la successione an + bn converge
e) la successione an − bn converge
20. Siano date le due successioni an , bn . Se lim an · bn = −5 e lim bn = −∞ allora
n→+∞
a)
b)
c)
d)
n→+∞
lim an = 0+
n→+∞
lim an = 0−
n→+∞
lim an = −5
n→+∞
lim an = +∞
n→+∞
e) nessuna delle altre risposte è corretta
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
Paola Suria
1
e
2
d
3
c
4
b
5
a
6
e
7
d
8
d
9
c
10
b
11
a
4
12
c
13
e
14
a
15
e
16
b
17
b
18
e
19
e
20
a
9◦ simulazione
Consigli
1. Ricordare che, per gli esponenziali, se x → +∞, ax = o(bx ) con a < b. Analogamente con le successioni.
2n è trascurabile rispetto a (−3)n . Quindi la successione è equivalente a an = (−3)n . tale successione
tende a inﬁnito , ma a segni alterni.
La risposta b (sbagliata) signiﬁca che i termini della successione, da un certo punto in poi, sono tutti
negativi.
2. g ′ (x) = 2f (x) · f ′ (x) → g ′ (x) = 0 se e solo se f (x) = 0, f ′ (x) = 0. Ma f (x) = 0 almeno due volte e
f ′ (x) = 0 almeno una volta per il teorema di Rolle
3. E’ suﬃciente ricordare il graﬁco della funzione f (x) = | sin x| per capire che l’integrale è il doppio dell’integrale tra 0 e π
√
√
x x + sin x
x x
4. E’ un integrale improprio. Possiamo utilizzare il criterio di convergenza asintotico.
∼
=
x2 + 1
x2
√
∫ +∞
x
1
1
= √ , x → +∞. Poiché
dx diverge, anche l’integrale proposto diverge. Nella funzione
x
x
x
1
√
integranda ho trascurato sin x, perché sin x = o(x x), x → +∞.
Diverge positivamente perché la funzione integranda è positiva.
1
x3
; 1+sin x = 1+x− +
cos x
3!
x2
x2
3
= 1−(− +o(x )) = 1+ +o(x3 )).
2
2
5. Per lo sviluppo conviene vedere la frazione come prodotto f (x) = (1+sin x)·
o(x3 ); cos x = 1−
x2
1
+o(x3 ). Riscriviamo
=
2!
cos x
1
2
x
1−
+ o(x3 )
( 2
)(
)
x3
x2
3
3
Moltiplichiamo i due sviluppi ed otteniamo f (x) = 1 + x −
+ o(x )
1+
+ o(x ) = 1 + x +
3!
2
x2
x3
1
+
+ o(x3 ). Per trovare lo sviluppo di
è opportuno pensare allo sviluppo canonico di
2
3
cos x
1
= 1 − x + x2 + o(x2 ), pensando di sostituire ad x la parte dello sviluppo del coseno e cioè
1+x
x2
+ o(x3 )
sostituendo x con pip.. =
2
6. (a) (g ◦ f )(x) = 1 + cos(log x) : dom f = (0, +∞)
(b) (f ◦ g)(x) = log(1 + cos x) : dom f = (1 + cos x > 0 → x ̸= π + 2kπ, k ∈ Z)
(c) (f ◦ f )(x) = log(log x) : dom f = (0, +∞)
(d) f (x) · f (x) = log x · log x = (log x)2 = log2 x : dom f = (0, +∞)
(e) (g ◦ g)(x) = 1 + cos(1 + cos x) : dom f = R
7. Consigli per quesito 7
Paola Suria
5
9◦ simulazione
Nella ﬁgura sono rappresentate funzioni che soddisfano alle richieste del quesito: f (x) ≤ x, ∀x ∈ R
a) Si può constatare che se [a, b] = [−1, 0] l’integrale è sicuramente negativo;
b) se [a, b] = [−1, 1] l’integrale è nullo solo se la funzione è dispari
c) se [a, b] = [0, 1] l’integrale piuò essere sia positivo sia negativo
d) [a, b] = [−1, 0] l’integrale è sicuramente negativo, perché la funzione è maggiorata da f (x) = x che
ha integrale negativo
e) se [a, b] = [0, 1] potrebbe essere soddisfatta la condizione, ma in ﬁgura esistono anche situazioni in
cui la proprietà è falsa
8. La funzione non è inﬁnitesima, perché, per x → −2, tende a 2. Il punto x = −2 è punto critico, perchè
f ′ (−2) = 0. x = −2 è un punto di massimo relativo, perché p(x) = 2 − 4(x + 2)4 . x = −2 è anche un
punto di Fermat, massimo interno. attenzione se viene chiesto il comportamento in x = 0 ... non si hanno
informazioni!
9. E’ la derivata di una funzione composta. f (x) = (1 + (sin x)2 )1/2 ; f ′ (x) =
2 sin x) · cos x
1
(1 + (sin x)2 )1/2−1 · (0 +
2
10. E’ necessario ricordare le formule di equivalenza (non sono altro che la parte principale di MacLaurin):
2x − 1
2x − 1 ∼ x log 2, x → 0; sin 3x ∼ 3x, x → 0. Si potrebbe anche applicare De L’Hopital lim
=
x→0 sin 3x
2x log 2
20 log 2
lim
. Calcolando il limite
x→0 3 cos 3x
3·1
Paola Suria
6
9◦ simulazione
f (x)
A(0, 1) ∈ f
11. f ′ (x) = ex + 3
′
f(0)
= e0 + 3 = 4
f −1 (x)
B(1, 0) ∈ f −1
(f −1 )′1 =
12. Riscrivo l’ipotesi: lim
x→0
1
′
f(0)
=
1
4
f (x)
= 1. Riscriviamo le varie soluzioni e cerchiamo di utilizzare l’ipotesi.
x2
f (x)
x2
1
= lim 3 = lim = ∞.
3
x→0 x
x→0 x
x→0 x
f (x)
x2
= lim
= 0 Per x → 0 contano di più le potenze minori!!!!!
(b) lim 2
x→0 x
x→0 x + x
x2
= lim = 0
(c) lim
x→0
x→0 x
f (x)
x2
(d) lim
= lim
= 0 perciò non c’è equivalenza, ma f (x) = o(cos x), x → 0
x→0 cos x
x→0 1
sin x
x
1
(e) lim
= lim 2 = lim = ∞
x→0 f (x)
x→0 x
x→0 x
• (a) lim
•
•
•
•
13.
14.
15. Equazione diﬀerenziale del II ordine, a coeﬀ. costanti. L’equazione caratteristica è λ2 − 2λ + 1 = 0; λ = 1,
soluzione doppia. La soluzione dell’equazione è y(x, a, b) = aex + bxex
16. Rapporto incrementale
∆g
g(x) − g(1)
sin (f (x)) − sin (f (1))
sin (f (x)) − sin π
sin f (x) − 0
=
=
=
=
∆x
x−1
x−1
x−1
x−1
17.
E’ importante capire la gerarchia ...
• DERIVABILE =⇒ CONTINUA;
condizione suﬃciente, ma non necessaria, aﬃnché una funzione sia continua è che sia derivabile
condizione necessaria, ma non suﬃciente, perché la funzione sia derivabile è che sia continua
• DERIVABILE =⇒ INTEGRABILE (Secondo Riemann)
• CONTINUA =⇒ INTEGRABILE (secondo Riemann)
• INTEGRABILE seondo Riemann ; CONTINUA
Paola Suria
7
9◦ simulazione
• INTEGRABILE secondo Riemann ; DERIVABILE
• CONTINUA ; DERIVABILE
Le funzioni Riemann integrabili sono funzioni classiﬁcabili in 5 famiglie:
(a) le funzioni continue in [a, b]
(b) le funzioni continue a tratti su [a, b]
(c) le funzioni continue in (a, b) e limitate su (a, b)
(d) le funzioni monotne in [a, b]
Non sono Riemann integrabili le funzioni che richiedono il concettto di integrale improprio
(a) funzioni dﬁnite su intervalli di integrazione non ﬁniti: (a, +∞);
(−∞, a);
(−∞, +∞)
(b) funzioni non limitate nell’intervallo di integrazione
Pensate alla geograﬁa:
• condizione necessaria, ma non suﬃciente, per essere in Piemonte è essere in Italia, è essere in Europa
• condizione suﬃciente, ma non necessaria, per essere in Italia (in Europa) è essere in Piemonte
• Devo riscrivere z come numero complesso, in forma canonica: z = a + ib. Quindi motiplico sopra e
sotto per 5 + i, sapendo che i3 = −i
(1 − i3 )(5 + i)
(1 + i)(5 + i)
5 + i + 5i − 1
4
6
2
3
z=
=
=
=
+i
=
+i
(5 − i)(5 + i)
25 + 1
26
26
26
13
13
Quesito n◦ 20
Se il limite di un prodotto tra una successione divergente ed una di cui non si conosce il comportamento è nullo,
allora la II successione deve essere inﬁnitesima. Solo una forma indeterminata ∞ · 0 può produrre un risultato
nullo.
an = log n; bn =
Paola Suria
1
1
log n
; cn = log n · =
→ 0, n → +∞
n
n
n
8
10◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
10◦ SIMULAZIONE ESAME
Ogni quesito ha una sola soluzione esatta
1. per quali valori reali di x le due funzioni f (x) = log
x+1
e g(x) = log(x + 1) − log(x − 1) coincidono?
x−1
a) ∀x ∈ R
b) ∀x ∈ (1, +∞)
c) ∀x ∈ (−1, −1)
d) ∀x ∈ (−∞, −1)
e) ∀x ∈ (−∞, 0)
2. Lo sviluppo di Mac Laurin del terz’ordine della funzione f (x) = esin x è
1
a) 1 + x + x2 + 1/6x3 + o(x3 )
2
1
b) 1 + x − x2 + 1/6x3 + o(x3 )
2
1
c) 1 + x + x2 + 1/3x3 + o(x3 )
2
1 2
d) x + x + 1/6x3 + o(x3 )
2
1
e) 1 + x + x2 + o(x3 )
2
3. Lo sviluppo di Mac Laurin del secondo ordine della funzione f (x) = 2cos x
x2
+ o(x3 )
2
x2
e − e + o(x2 )
2
x2
1−
+ o(x2 )
2
2 − (log 2)x2 + o(x2 )
x2
1+x+
+ o(x3 )
2
a) e − e
b)
c)
d)
e)
4. Per quali valori reali le due funzioni f (x) = | log |x|| e g(x) = log |x| coincidono?
a) [−1, 0) ∪ (0, 1]
b) (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
c) ∀x ∈ R\{0}
d) [1, +∞)
e) (−∞, −1] ∪ [1, +∞)
5. Sia z = a + ib, a, b ̸= 0, w = 3 + i. Allora u =
z
è reale se
w
a) a = 3b
b) a = −3b
c) b = 3a
d) a = b = 0
e) a = b = 1
6. Sia data la funzione f (x) = (x + 2)3 (3 + x)2 arctan x. Sicuramente
a) ∃c ∈ (−3, −2) tale che f (c) = 0
b) x = −2 è punto di massimo a tangente orizzontale
c) x = −3 è punto di ﬂesso a tangente orizzontale
d) ∃c ∈ (−3, −2) : f ′ (c) = 0
e) nessuna delle soluzioni precedenti è vera
Paola Suria
1
10◦ Simulazione
7. Sia data la funzione f (x) continua e deribabile in x = 0. Sia g(x) =
−2, f ′ (0) = 3, quanto vale g ′ (0)?
a)
b)
c)
d)
e)
1
. Sapendo che f (0) =
f 3 (x)
9
16
− 14
− 38
1
3
9
− 16
8.
∫
0
+∞
√
x x + cos(99999x)
dx
x2 + 1
a) converge a zero
b) converge ad un numero positivo diverso da zero
c) è indeterminato
d) diverge positivamente
e) nessuna delle risposte precedenti
(
)
9. Sia data f (x) = −2 + (x + 5) − 3(x + 5)2 + o (x + 5)3 . Allora sicuramente f (x) nell’intorno di x = −5 è
a) negativa, crescente, convessa
b) positiva, decrescente, concava
c) negativa, decrescente, concava
d) non ha segno costante, crescente, concava
e) negativa, crescente, concava
∫
x
10. Sia f (x) una funzione continua su I, con f (x) ≤ 0, e sia x0 ∈ I. Detta F (x) =
f (t)dt, x ∈ I
x0
a) F (x) ≥ 0, ∀x ≤ x0
b) F (x) ≥ 0, ∀x ∈ I
c) F (x) < 0, ∈ I
d) F (x) cresce ∀x > 0
e) nessuna delle precedenti
11. La funzione f (x) = log(e
−x
(
)x
1
sin x
+ 1+
+ 3x ha come asintoto obliquo destro la retta
+ 3) +
x
x
a) y = 3x
b) y = 3x + e + log 3
c) y = 3x + log 3
d) y = 6x + e
e) y = 4x + e
√
( π)
3
2n + 1
12. La successione an =
sin n
3n − 1
2
a) diverge a +∞
b) è indeterminata
c) converge a 0
d) è a termini deﬁnitivamente positivi
e) è monotona decrescente
Paola Suria
2
10◦ Simulazione
{
13. La funzione f (x) =
ex−1 − c x ≥ 1
1−x
x<1
a) ∀c ∈ R, è continua e derivabile in x = 1
b) è derivabile, ma non continua in x = 1
c) è suriettiva se c = 1
d) se c = 1 la funzione è derivabile in x = 1
e) se c = 1 la funzione ha un punto di minimo assoluto
{ ′
x = 3x − 6
14. Sia dato il problema di Cauchy
x(3) = 2
a) la soluzione costante x = 2 è l’unica soluzione
b) la soluzione costante non è soluzione del problema di Cauchy
c) l’equazione non è a variabili separabili
d) l’equazione non è lineare
e) nessuna delle precedenti
P.S. Vedere consigli in calce
15. La derivata della funzione f (x) = x3 log cos x
a) −3x2
sin x
cos x
b) 3x2 log cos x − x3
sin x
| cos x|
c) 3x2 log cos x + x3 · sinx
(
)
sin x
d) x2 3 log cos x − x
cos x
sin
x
e) 3x2 log cos x + x3
cos x
16. Sia data la funzione f : (3, 5) → R ed ivi continua. Allora necessariamente
a) Im ⊆ R
b) la funzione è derivabile in (3, 5)
c) il graﬁco della funzioneha due asintoti verticali
d) la funzione ammette il massimo e il minimo assoluto
e) la funzione ammette almeno uno zero
17. Qual è l’enunciato del teorema di Fermat?
Data una funzione f deﬁnita:
a) in un intorno del punto x0 e derivabile in x0 . Se x0 è punto critico allora f ′ (x0 ) = 0
b) in un intorno del punto x0 . Se x0 è punto di estremo allora f ′ (x0 ) = 0
c) in un intorno del punto x0 e derivabile in x0 . Se x0 è punto a tangente orizzontale allora f ′ (x0 ) = 0
d) in [a, b] e se x0 è punto di estremo allora f ′ (x0 ) = 0
e) in un intorno del punto x0 e derivabile in x0 . Se x0 è punto di estremo allora f ′ (x0 ) = 0
18. La parte principale della f (x) =
√
4
x3 + x4 + 2x, x → +∞ è:
a) 3x+1
b) x
c) 3x
d) 2x
√
4
e) x3
Paola Suria
3
10◦ Simulazione
19. Sia data la funzione f :]5, 12[→ R. La condizione aﬃnchè la funzione abbia esattamente uno zero è che:
a) la funzione sia monotona strettamente decrescente
b) la funzione sia monotona strettamente crescente
c) la funzione sia monotona strettamente decrescente e f ]5, 12[= R
d) la funzione sia crescente
e) la funzione sia decrescente
sinh2 2x
x→0 1 − cos 5x
20. lim
8
25
b) 1
4
c)
5
d) 0
a)
e) ∞
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
b
2
e
3
d
4
e
5
a
6
d
7
e
8
d
9
e
10
a
11
b
12
c
13
e
14
a
15
d
16
a
17
e
18
c
19
c
20
a
CONSIGLI
Quesito 3
Il quesito presenta due diﬃcoltà:
• l’esponente non è inﬁnitesimo
• la base dell’esponenziale è 2
Risolviamo le due diﬃcoltà una per volta
• l’esponente non è inﬁnitesimo: sviluppiamo prima il coseno oppure aggiungiamo e togliamo 1 all’esponente
• la base dell’esponenziale è 2: riscriviamo 2cos x = ecos x·log 2
f (x) = ecos x·log 2 = e(1− 2 x
1
2
+o(x3 )) log 2
= elog 2 ·elog 2(− 2 x
1
2
+o(x3 ))
(
)
1
= 2· 1 − log 2 x2 + o(x3 ) = 2−log 2x2 +o(x3 )
2
Quesito 5
z = a + ib,
w =3+i
a + ib
(a + ib)(3 − i
3a + b
−a + 3b
z
=
=
=
+i
w
3+i
9+1
10
10
u è un numero reale, signiﬁca che il coeﬀ. della parte immaginaria deve essere nullo: −a + 3b = 0 → a = 3b
u è un numero immaginario, signiﬁca che il coeﬀ. della parte reale deve essere nullo: 3a + b = 0 → b = −3a
u=
ATTENZIONE ERRORE DIFFUSO SCAMBIARE TRA LORO I RISULTATI!
Paola Suria
4
10◦ Simulazione
QUESITO 6
Questo quesito vuole farvi ragionare sul fatto che l’equazione di una funzione deve parlarvi!
f (x) = (x + 2)3 (3 + x)2 arctan x
L’equazione si presenta come prodotto di tre fattori... mi viene in mente che se cercassi gli zeri della funzione,
cioè cercassi le intersezioni con l’asse x, dovrei risolvere l’equazione:
(x + 2)3 (3 + x)2 arctan x = 0 → (x + 2)3 = 0; (3 + x)2 = 0; arctan x = 0
x = −2 zero triplo ; x = −3 zero doppio ; arctan x = 0 zero semplice
Ma se una curva taglia l’asse x con uno zero doppio, quadruplo,... potenza pari... questo punto è un max o min
a tangente orizzontale. Un punto critico
Se invece lo zero è triplo, quintuplo.... dispari, è un punto di ﬂesso a tangente orizzontale.
Se taglia con uno zero semplice, questo è un semplice punto di intersezione
Pensate a
f (x) = x2 ; f (x) = x4 ; f (x) = (x − 1)2 .....
f (x) = (x − 1)3 ; f (x) = x5 ....
f (x) = x; f (x) = x − 1...
La risposta esatta è la possibilità d per il teorema di Rolle.
x = −2 ﬂesso, x = −3 max o min
Per vedere se massimo o minimo pensare al limite a −∞ e a +∞
Quesito 7
g ′ (x) =
−3f 2 (x) ′
f ′ (x)
f ′ (0)
3
9
· f (x) = −3 4
→ g ′ (0) = −3 4
= −3
=−
6
f (x)
f (x)
f (0)
(−2)4
16
Quesito 10
Si tratta di una funzione integrale: se la rappresntiamo sul piano cartesiano
• taglia asse x proprio in x = x0 , cioè dove i due estremi sono uguali. Infatti se gli estremi di integrazione
sono ugulai, l’area è nulla.
• ricordiamo ch F ′ (x) = f (x). lo dice il teorema fondamentale, purchè f 8x) sia continua
• se vogliamo studiare la crescenza di una funzione dobbiamo fare la derivata prima e porla > 0 per sapere
dove cresce
F ′ (x) = f (x) > 0 se e solo se f (x) > 0. Ma per ipotesi f (x) < 0∀x, allora F ′ (x) < 0∀x ∈ R
• Quindi F (x) è sempre decrescente
• pensiamo ad una funzione crescente strettamente che taglia asse x in x = x0 allora passa da positiva a
negativa
• supponiamo x= 0
• solo adesso, dopo la decrescenza possiamo dire che F(x) ènegativa oltre x0
Paola Suria
5
10◦ Simulazione
Quesito 13
E’ una funzione a tratti, dipendente da un parametro.
Veriﬁchiamo le possibilità una ad una
a) lim ex−1 − c = 1 − c;
lim 1 − x = 0 =⇒la funzione è continua in x = 1 se 1 − c = 0 =⇒ c = 1
x→1+
x→1−
b) la funzione non è continua se c ̸= 1 → la funzione non è derivabile
d) s c = 1 la funzione è continua in x = 1. Veriﬁchiamo la derivabilità con il teorema tappabuchi.
{ x−1
e
x>1
′
f (x) =
−1
x<1
La funzione è deriabile se i due limiti laterali sono uguali, ma i due limiti sono diversi, quindi la funzione non è
derivabile in x = 1
c) per veriﬁcaare se è suriettiva rappresentiamo la funzione, con c = 1 e leggiamo le proprietà sul graﬁco:
In c = 1 la funzione ha un punto di minimo
Quesito 14
E’ un problema di Cauchy, associato ad un’equazione diﬀerenziale del I ordine.
L’equazione è sia di tipo lineare sia di tipo variabili separabili
Vista come variabili separabili si vede che ammette x = 2 come soluzione costante.
Poiché sono soddisfatte le condizioni di unicità del Problema di Cauchy, e la soluzione costante soddisfa le
condizioni del problema (3, 2) ∈ x = 2, allora questa soluzione è l’unica.
Quesito 18
Trascuriamo...
x → +∞p.p. = |x| + 2x = 3x
Paola Suria
6
11◦ Simulazione
CORSI DI ANALISI I
11◦ SIMULAZIONE
QUESITI DI RIEPILOGO
1. Il dominio della funzione f (x) =
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
√
4
x(x3 − 8) è
(−∞, 0] ∪ [2, +∞)
[0, 2]
[2, +∞)
[−2, 0] ∪ [2, +∞)
(−∞, 0) ∪ (2, +∞)
2. Il dominio della funzione f (x) =
√
1 − log(2x + 3) è
(a) (0, +∞)
(
)
3
(b) −∞, −
2
)
(
3
(c) − , +∞,
2
(
]
3 e−3
(d) − ,
2
2
(
)
3 e−3
(e) − ,
2
2
3. Il dominio della funzione f (x) = log
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(−3, 4)
(−∞, −4) ∪ (3, +∞)
(−4, 3)
[−4, 3)
(−∞, −4] ∪ (3, +∞)
4. Il dominio della funzione f (x) =
[ √ √ ]
(a) − 17, 17
√ ] [√
(
)
(b) −∞, − 15 ∪ 15, +∞
(c) (−4, 4)
√ ] [√
(
)
(d) −4, − 15 ∪ 15, 4
[ √ √ ]
(e) − 15, 15
√
log(16 − x2 ) è
5. Il dominio della funzione f (x) = log
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(x2 + 1)(4 − x2 )
è
(x2 − 2x + 1)
(−2, 2)
(−2, 1) ∪ (1, 2)
(−∞, −2) ∪ (2, +∞)
[−2, 1) ∪ (1, 2]
R \{1}
6. La funzione f : R → R : f (x) =
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
x+4
è
3−x
√
|x + 1| − 2x
è suriettiva
non è invertibile
ha dominio (−∞, 1)
imf = (−1, +∞)
è iniettiva
Paola Suria
1
11◦ Simulazione
(√ )
n − cos 5n
7. lim
=
n→+∞
log(n + 7)
(a) La successione diverge oscillando
(b) @
(c) +∞
(d) 0
(e) 1
8.
log n10 + sin n
√
=
n→+∞
n−3
lim
(a) 10
(b) @
(c) +∞
(d) 0
(e) 1
(
9.
lim
x→+∞
n2 + n4 − 7
n2 + n4
)3n4
(a) 1
(b) 0
(c) e3
(d) e−27
(e) e−21
√
10. Il dominio della funzione f (x) =
√
log x − 2 √
+ 4 − cos x è
log(x + 3)
(a) [3, +∞)
(b) (−2, 3)
(c) (−∞, −2) ∪ (3, +∞)
(d) (2, +∞)
(e) (3, +∞)
11. Siano date le funzioni f (x) =
√
x − 1, g(x) = x2 . Quale delle seguenti aﬀermazioni è vera?
(a) (g ◦ f )(x) = x − 1
√
(b) (f ◦ g)(x) = (x − 1)2
(c) im(g ◦ f ) = R
(d) im(f ◦ g) = (0, +∞)
(e) (g ◦ f )(x) = x − 1, x ≥ 1
12. Sia data la funzione f (x) = log | sin 2x|. La sua derivata prima vale:
cos 2x
sin 2x
cos x
′
f (x) = 2
sin x
1
′
f (x) =
| sin 2x|
cos 2x
f ′ (x) = 2
sin 2x
2
′
f (x) =
sin 2x
(a) f ′ (x) =
(b)
(c)
(d)
(e)
Paola Suria
2
11◦ Simulazione
13. Sia data la funzione f (x) = (2 + sin x)(x + log13 x). Quale delle seguenti aﬀermazioni è corretta?
(a)
lim f (x) non esiste
x→+∞
(b) f (x) ∼ x, per x → +∞
(c) Il graﬁco della funzione f ha, per x → +∞, un asintoto orizzontale
(d)
lim f (x) = +∞
x→+∞
(e) lim+ f (x) = +∞
x→0
14. Una primitiva della funzione f (x) = (5 − 6x)5 , su R è:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
(6x − 5)6
36
1
− (5 − 6x)6
6
1
1
− (6x − 5)6 +
36
6
1
1
(6x − 5)6 −
36
6
1
(6x − 5)4
24
∫
15. Sia dato il seguente integrale deﬁnito
2
date, l’unica sbagliata.
4
log x
dx . Calcolarne il valore, individuando tra le risposte
x(2 − log x)
(2 − log 2)2
23 (1 − log 2)2
2 − log 2
(b) − log 2 + 2 log
2 − log 4
2 − log 2
(c) − log 2 + 2 log
2 − 2 log 2
(a) log
(d) log
(2 − log 2)2
2(2 − 2 log 2)2
(e) log 4 − log 2 + 2 log
2 − log 4
2 − log 2
16. Sia data la funzione arctan
x4 − x2
. Quale delle seguenti aﬀermazioni è vera?
x
(a) La funzione f (x) ha in x = 0 un punto di discontinuità di tipo salto ﬁnito
(b) La parte principale di f (x), per x → 0, è p(x) = x2
(c) La funzione fe, prolungamento per continuità della funzione f , è derivabile in x = 0
(d) La funzione f (x) è pari
(e) l’insieme immagine è un intervallo chiuso
√
17. L’equazione diﬀerenziale x′ (t) = (2 − x)(1 − sin x)(π − t) x
(a) non è a variabili separabili
(b) è lineare
(c) ammette la soluzione costante t = π
π
+ 2kπ, k ∈ N, ∀t ∈ R
2
π
(e) ammette le soluzioni costanti t = π, x(t) = 2, x(t) = 0, x(t) = + 2kπ, k ∈ Z, ∀t ∈ R
2
(d) ammette le soluzioni costanti x(t) = 2, x(t) = 0, x(t) =
Paola Suria
3
11◦ Simulazione
∫
x
18. Sia f : R → R una funzione continua e F (x) =
f (t)dt. Se f (x) < 0, ∀x ∈ R, possiamo dedurre che:
0
(a) F (x) è negativa ∀x ∈ R
(b) F (x) non è derivabile in R
(c) F ′ (x) = f (t), ∀x ∈ R
(d) F (x) è positiva ∀x ∈ [0, +∞)
(e) F (x) è decrescente
19. Quale delle seguenti proprietà è vera per la funzione f (x) =
1
?
x
(a) La funzione è monotona strettamente decrescente nel suo dominio
(b) La funzione è continua nel suo dominio
1
(c) f ′ (x) = 2
x
(d) la funzione è suriettiva
∫
1
(e)
dx = log x + c
x
20. Sia f : [1, 5] → R una funzione continua tranne
∫ x che in x = 2 dove ha una discontinuità di tipo salto ﬁnito.
Allora la funzione F : [1, 5] → R, F (x) =
f (t) dt è:
1
(a) derivabile in [1, 5]\{2} e ivi ha un punto di cuspide
(b) è continua in [1, 5]\{2} e ivi ha una discontinuità di tipo salto ﬁnito
(c) è continua e derivabile in [1, 5]
(d) derivabile in [1, 2) ∪ (2, 5] e in x = 2 ha un punto angoloso
(e) è derivabile, ma non continua in [1, 5]
21. Una primitiva della funzione 4x · sin(4x2 + 3π) è
(a) 2x2 cos(4x2 + 3π)
(b) 4 sin(4x2 + 3π) + 32x2 cos(4x2 + 3π)
( )
1
5
(c) − cos(4x2 + 3π) + sin
π
2
8
(d) 4x cos(4x2 + 3π)
1
(e) cos(8x + 3)
2
22. L’equazione diﬀerenziale y ′′ + y ′ = 0
(a) ammette inﬁnite soluzioni costanti
(b) ammette una sola soluzione costante
(c) non ammette soluzioni costanti
(d) ammette y(x) = ex come integrale particolare
(e) ammette y(x; C1 , C2 ) = C1 e−x + C2 ex come integrale generale
23. Sia data una funzione f ∈ C (1) e sia f ′ (x) > 0, ∀x ∈ R. Allora la sua funzione integrale è:
(a) positiva
(b) strettamente crescente
(c) crescente
(d) concava
(e) convessa
Paola Suria
4
11◦ Simulazione
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
a
2
d
3
c
4
e
5
b
6
e
7
c
8
d
9
e
10
a
11
e
12
d
13
d
14
c
15
e
16
c
17
d
18
e
19
b
20
d
21
c
22
a
CONSIGLI
Quesito 1
I metodo
domf : x(x3 − 8) ≥ 0 → 1◦ fattore ≥ 0 : x ≥ 0;
II fattore ≥ 0 : x ≥ 2
tabellone di segno: x ≤ 0 ∨ x ≥ 2
(p.s. x3 ≥ 8 → x ≥ 2 oppure (x − 2)(x2 + 2x + 4) ≥ 0
Il fattore x2 + 2x + 4 è sempre positivo, perché il delta è minore di zero.
II metodo
Costruisco una tabella nella quale metto in ordine le soluzioni:
−2
−−−
item a)
item b)
item c)
item d)
item e)
−−−
−−−
0
−−−
2
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
Attribuiamo ad x alcuni valori, in modo da escludere alcuni item:
Sostituiamo x = −1, per esempio. Se x = 1 soddisfa la realtà della radice, sono possibili gli item a) ed e); se
x = 1 non soddisfa la realtà sono compatibili le altre (b - c - d).
Scelgo un altro valore....
Quesito n◦ 11

 n2 + n4
lim  2
+
x→+∞
n + n4
3n4
1


n2 + n4
−
7
(
+n4
− n2−7
·


= lim 1 +
x→+∞
−7
n2 +n4
)
·(3n4 )
1


n2 + n4
−
7
= e−21
Quesito n◦ 14
Tutte le primitive sono deﬁnite a meno di una costante addittiva....
L’argomento della potenza è cambiato di segno, ma l’esponente è pari e (−2)2n = (2)2n
(5 − 6x)6
−→
(6x − 5)6 =
Quesito 16
f (x) = arctan
x4 − x2
x
La funzione ha dominio R\{0}
Per capire la discontinuità in x = 0 facciamo il limite (nel limite è possibile sempliﬁcare per x) e si vede che il
limite tende a zero.
Quindi la funzione ha una discontinuità eliminabile e non di tipo salto ﬁnito


x4 − x2
x ̸= 0
arctan
e
f=
x
 0
x=0
Per provare la derivabilità possiamo utilizzare il teorema tappabuchi oppure la deﬁnzione di derivata:
Paola Suria
5
23
e
11◦ Simulazione
• I metodo
(4x3 − 2x) − (x4 − x2 )
x2
fe′ =
( 4
)2
x − x2
1+
x
Dopo aver sempliﬁcato, si deve fare il limite per x tendente a zero... troppo lungo
• II metodo: Rapporto Incrementale
x4 − x2
−0
arctan(x3 − x)
x3 − x
−x
x
lim
= lim
=
= lim
= −1
x→0
x→0
x→0 x
x
x
x
Quindi la funzione è derivabile.
arctan
Cerchiamo eventuali simmetrie
f (−x) = arctan
x4 − x2
x4 − x2
= − arctan
= −f (x)
−x
x
Quindi la funzione è dispari.
( π π)
L’immagine è un intervallo aperto Imf = − ,
2 2
Cerchiamo la parte principale di fe:
– confrontando la funzione con il campione standard
arctan(x3 − x)
x3 − x
−x
=
lim
= lim α = −1, α = 1
x→0
x→0
x→0 x
xα
xα
lim
– con Mac Laurin
x → +∞ : fe(x) ∼ x3 − x ∼ −x
Quesito 17
L’equazione non è da risolvere, ma dobbiamo rispondere alle domande.
Le variabili in gioco sono x (la dipendente) e la t (l’indipendente).
Il dominio è x ≥ 0
√
E’ sicuramente a variabili separabili x′ = a(t) · b(x) con a(t) = (π − t) e b(x) = (2 − x)(1 − sin x) x. Quindi la
a è sbagliata
Non è la b la risposta corretta, perché l’equazione non è lineare.
√
Ha soluzioni costanti, ma sono le soluzioni
di b(x) = 0 =⇒ (2 − x)(1 − sin x) x e NON di a(t) = 0
√
Sono soluzioni costanti quindi x = 2; x = 0 → x = 0 e le soluzioni sin x = 1
E’ necessario fare attenzione al dominio
sin x = 1 −→ x =
π π
π
π
,
+ 2π,
+ 4π, .... − 2π!!!
2 2
2
2
π
+ 2kπ, k ∈ Z
2
Cosı̀ formulata la risposta è sbagliata perché si otterrebbero anche x < 0, per esempio con k = −1, −2, −3..., in
contrasto con il dominio.
π
Allora la soluzione corretta è x = + 2kπ, k ∈ N
2
Quesito 18
Queste soluzioni si possono riassumere x =
f (x) è continua → la funzione F(x) è derivabile e F ′ (x) = f (x)
Sappiamo inoltre che F (0) = 0, cioè taglia l’asse x proprio in x = 0.
Allora F (x) taglia l’asse x proprio nell’origine, chiediamoci se la taglia venendo dall’alto oppure dal basso!!!
Vediamo:
• se F(x) è crescente, allora arriva dal basso, attraversa l’asse x e va verso l’alto
• se F(x) è decrescente, allora arriva dall’alto e poi va verso il basso
Paola Suria
6
11◦ Simulazione
F ′ (x) = f (x) > 0 → mai vero!!
quindi la funzione è decrescente e quindi arriva dall’alto e va verso il basso.
• F (x) > 0 se x < 0
• F (x) < 0 se x > 0
Quesito 19
1
ha dominio R\{0}
x
Sappiamo che non è monotona, nel dominio, ma nonotona in (−∞, 0) e in (0, +∞) (per esempio scegliamo
1
1
x = −2 → f (−2) = − ; x = 2 → f (2) = . Quindi non decresce se prendiamo una x prima di zero ed una
2
2
dopo lo zero.
E’ monotona se scelgo due punti dalla stessa parte.
E’ continua invece nel dominio (escludo lo zero)
Non è suriettiva perché la retta y = 0 non taglia la curva
Per la derivata: manca un segno meno.
Nell’integrale manca il valore assoluto
La funzione f (x) =
Quesito 20
E’ un quesito diﬃcile, al limite del programma!!!1
Il teorema fondamentale garantisce che, se f è continua, allora F è derivabile.
Se f ha un punto di non derivabilità di tipo salto ﬁnito, F avrà in quel punto un punto angoloso
Infatti
lim− F ′ (x) = lim− f (x) = l1
x→2
x→2
lim F ′ (x) = lim+ f (x) = l2
x→2+
x→2
ma
l1 ̸= l2
perché f ha un salto ﬁnito, quindi F ha punto angoloso
Quesito 23
Si tratta della solita funzione integrale
• F ′ (x) = f (x), ma della f (x) non sappiamo nulla, se non che è derivabile. Quindi non posso dire nulla
sulla crescenza... e indirettamente sul segno
• passo alla derivata seconda F ′′ (x) = f ′ (x) > 0 → F (x) è convessa!
Paola Suria
7
12◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
12◦ SIMULAZIONE
QUESITI DI RIEPILOGO


√
4t x − 2
.
1. Sia dato il seguente problema di Cauchy
 x(0) = a, ta−∈3R
Quale delle seguenti aﬀermazioni è corretta?
x′ (t) =
(a) Se a =1 il problema di Cauchy non ha soluzioni
(b) Il problema di Cauchy ha una sola soluzione nell’intervallo t ∈ (3, +∞), ∀a ∈ R
(c) La soluzione costante è x = 2, ∀a ∈ R
(d) Se a ̸= 2, la soluzione costante è l’unica soluzione del problema di Cauchy
(e) Se a = 3 il problema di Cauchy ammette più di una soluzione
n
2. Sia data la funzione dispari f : [−4, 4] → R, integrabile secondo Riemann. Se g(x) = (f (x)) = f n (x) è
∫ 4
la potenza ennesima della funzione f , allora
f n (x) dx
−4
(a) è nullo ∀n ∈ N
∫
4
f n (x) dx , ∀n ∈ N
(b) è il doppio dell’integrale
0
(c) dipende dalla funzione
(d) è nullo se n è pari
(e) è nullo se n è dispari
∫
x
3. Sia data una funzione f : [a, b] → R. Sia F (x) =
f (t) dt. Allora:
a
(a) F ′ (x) = f (x), ∀x ∈ [a, b]
(b) se f è continua F ′ (x) = f (t), ∀t ∈ [a, b]
(c) f ′ (x) = F (x), ∀x ∈ [a, b]
(d) se f è continua F ′ (x) = f (x), ∀x ∈ [a, b]
(e) F ′ (x) = f ′ (x), ∀x ∈ [a, b]
4. Sia data una funzione f : R → R. Se f è strettamente crescente ∀x ∈ R allora:
(a) f è suriettiva
(b) f ′ (x) > 0, ∀x ∈ R
(c) f è invertibile e f −1 è strettamente crescente
(d) f è biiettiva
(e) f è invertibile e f −1 è strettamente decrescente
5. Quale delle seguenti aﬀermazioni è l’enunciato del teorema di Rolle?
(a) Sia f una funzione deﬁnita su [a, b] chiuso e limitato, continua e derivabile in [a, b]. Se f (a) = f (b),
allora esiste almeno un punto c ∈ (a, b) tale che f ′ (c) = 0
(b) Sia f una funzione [a, b] → R, continua in [a, b] e derivabile al più in (a, b). Se f (a) = f (b), allora
esiste almeno un punto c ∈ (a, b) tale che f ′ (c) = 0
(c) Sia f una funzione deﬁnita su [a, b] chiuso e limitato, continua e derivabile in (a, b) e derivabile anche
in a e b. Se f (a) = f (b), allora esiste almeno un punto c ∈ (a, b) tale che f ′ (c) = 0
(d) Sia f una funzione [a, b] → R, derivabile in (a, b). Se f (a) = f (b), allora esiste almeno un punto
c ∈ (a, b) tale che f ′ (c) = 0
(e) Sia f una funzione deﬁnita su [c, d] chiuso e limitato, continua in [c, d] e derivabile almeno in (c, d).
Se f (c) = f (d), allora esiste almeno un punto t ∈ (c, d) tale che f ′ (t) = 0
Paola Suria
1
12◦ Simulazione
6. Siano f, g due funzioni deﬁnite da (c, d) → R, entrambe derivabili in (c, d) e tali che lim f (x) =
x→x0
lim g(x) e lim g ′ (x) ̸= 0, x0 ∈ (c, d). Quale delle seguenti aﬀermazioni è soddisfatta da f e g?
x→x0
x→x0
f ′ (x)
f (x)
non esiste, allora non esiste neppure lim
x→x0 g ′ (x)
x→x0 g(x)
f ′ (x)
f (x)
lim ′
= l, l ∈ R, allora anche lim
=l
x→x0 g (x)
x→x0 g(x)
(
)′
f (x)
f (x)
lim
= l, l ∈ R, allora anche lim
=l
x→x0
x→x0 g(x)
g(x)
(
)′
f (x)
f (x)
lim
non esiste, allora non esiste neppure lim
x→x0
x→x0 g(x)
g(x)
f (x)
f ′ (x)
lim
esiste, allora esiste anche lim ′
x→x0 g(x)
x→x0 g (x)
(a) Se lim
(b) Se
(c) Se
(d) Se
(e) Se
7. Siano f, g due funzioni deﬁnite da (−∞, −5), ivi integrabili secondo Riemann e tali che 0 ≤ f (x) ≤
g(x), ∀x ∈ (−∞, −5). Allora
∫ −5
∫ −5
(a) se
f (x) dx converge, anche
g(x) dx converge
−∞
−5
∫
(b) se
∫
−∞
−5
g(x) dx diverge, anche
−∞
f (x) dx diverge
−∞
(c) nessuna altra risposta
∫ −5
∫
(d) se
g(x) dx converge, anche
−∞
∫ +∞
(e) se
−5
f (x) dx converge
−∞
∫
+∞
g(x) dx converge, allora anche
5
f (x) dx converge
5
8. Siano f, g due funzioni deﬁnite da R → R. Quale delle seguenti proprietà è vera?
(a) Se f è dispari e g è dispari, allora f ◦ g è dispari
(b) Se f è pari e g è dispari, allora f ◦ g è dispari
(c) Se f è dispari e g è pari, allora f ◦ g è dispari
(d) Se f è periodica di periodo T, f ◦ g è periodica di periodo T
(e) Se f è monotona strettamente crescente e g monotona strettamente crescente, allora f ◦g è monotona
non crescente
∫ a
9. Sia data la seguente funzione F (x) =
f (t) dt, con f funzione continua in R. Se f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R,
allora
x
(a) F (x) cresce ∀x ∈ R ed è positiva se x ≥ a, negativa se x < a
(b) F (x) è positiva ∀x ∈ R
(c) F (x) decresce ∀x ∈ R ed è non positiva se x ≥ a, positiva se x < a
(d) F (x) è negativa ∀x ∈ R
(e) F (x) è convessa in R
10. Sia data la funzione f (x) = ex − λ − sin x. Per quale valore del parametro reale λ, f (x) = o(x) con
x → 0?
(a) 0
(b) nessun valore di λ
(c) 1
(d) -1
(e) +∞
Paola Suria
2
12◦ Simulazione
(
11. Il massimo della funzione f (x) = log 2 +
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
1 + x2
)
è
log 4
−∞
log 2
log 3
la funzione non è inferiormente limitata
√
12. Quale delle seguenti proprietà NON è soddisfatta dalla funzione f (x) = (2 − x) x, x ∈ [0, 2]?
(a) Soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Lagrange
(b) Soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Rolle
2
(c) Il punto di Lagrange è x =
3
2
(d) Il punto di Rolle è x =
3
(e) Non soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange
(
1
13. L’estremo inferiore della funzione f (x) = log 2 +
1 + x2
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
)
è
log 4
−∞
log 2
log 3
la funzione non è inferiormente limitata
14. Sia f : R → R. La condizione ∀a > 0 ∃b > 0 tale che x > b ⇒ |f (x) − 5| < a deﬁnisce:
(a)
(b)
(c)
(d)
lim f (x) = 0
x→−∞
lim f (x) = 3
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = 5
x→+∞
(e) lim f (x) = +∞
x→5
15. Sia f : R → R. La condizione M = 10−5 ∃ϵ tale che x < ϵ ⇒ |f (x) − 5| < M deﬁnisce
(a)
(b)
(c)
(d)
lim f (x) = 5
x→−∞
lim f (x) = 3
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = 5
x→+∞
(e) lim f (x) = +∞
x→5
{
x ̸= 0
. Quale delle seguenti aﬀermazioni è vera?
x=0
[
]
1
La funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, nell’intervallo 0,
4
[
]
1 1
la funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange, nell’intervallo − ,
4 4
La funzione non è continua in x = 0
La funzione ha un punto di non derivabilità
La funzione è continua e derivabile nel suo dominio
16. Sia data la funzione f (x) =
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Paola Suria
x sin x1
0
3
12◦ Simulazione
17. Data la funzione f (x) =
∫
1
√
dx , quale delle seguenti risposte NON è vera?
(x − 2) |x − 3|
+∞
f (x) dx , converge ∀α ∈ [0, +∞)
(a)
α
1
, x→2
x−2
1
(c) f (x) ∼
1 , x → 3
|x − 3| 2
1
(d) f (x) ∼ 3 , x → +∞
x2
∫ +∞
(e)
f (x) dx , converge se α > 2
(b) f (x) ∼
α
∫
+∞
18. Quale delle seguenti aﬀermazioni è soddisfatta dal seguente integrale improprio:
0
arctan x
dx ?
|x|α
(a) Converge ∀α ∈ R
(b) Converge ∀α ∈ (−∞, 1)
(c) Converge ∀α ∈ (1, 2)
1
(d) f (x) ∼
, x→∞
|x|α
1
, x→0
(e) f (x) ∼
|x|α
∫
0
19. Sia f : R → R una funzione continua e sia F (x) =
f (t) dt. Se f ≥ 0 ∀x ∈ R, allora si può dedurre che:
x
(a) F (x) ≤ 0, ∀x ∈ R
(b) F (x) ≥ 0, ∀x ∈ R
(c) F (x) è decrescente in R
(d) F (x) ≥ 0, ∀x ∈ (0, +∞)
(e) F (x) è crescente ∀x ∈ (−∞, 0)
sin x
20. Quale delle seguenti proprietà è soddisfatta dalla funzione f (x) = √ ?
x x
∫
+∞
(a)
f (x) dx converge
0
∫
π
f (x) dx diverge
(b)
0
∫
+∞
f (x) dx non converge assolutamente
(c)
1
∫
+∞
|f (x)| dx
(d)
diverge
π
1
1
(e) f (x) ∼ √ , se x → 0; f (x) ∼ √ , se x → +∞
x
x
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
Paola Suria
1
a
2
e
3
d
4
c
5
e
6
b
7
d
8
a
9
c
10
c
11
d
4
12
e
13
c
14
d
15
a
16
d
17
a
18
c
19
c
20
a
12◦ Simulazione
CONSIGLI
Quesito 1
Si tratta di un’equazione a variabili separabili del tipo y ′ = a(x)b(y).
b(y) = 0 è eventualmente una soluzione costante
Se sono soddisfatte le condizioni di Cauchy, continuità di a(x) e derivabilità di b(y) almeno in un rettangolo del
punto di Cauchy (x0 , y0 ), la soluzione è unica.
• Allora per prima cosa individuo il punto di Cauchy:
• Vedo se la soluzione costante passa per (0, a)
• se passa e sono soddisfatte le condizioni di continuità e derivabilità, mi fermo e dico che quella è la soluzione
del problema
• se la soluzione costante non passa per il punto allora dico che la soluzione del problema non è la soluzione
costante e vado a cercarla risolvendo l’equazione
Le condizioni di realtà impongono che x ≥ 2 e la continuità impone che t ∈ (−∞, 3) oppure t ∈ (3, +∞)
ATTENZIONE in questo esercizio la x ha il ruolo solitamente di y.....
Quindi qualsiasi a è sbagliato, perché a ≥ 2.
Per di più se a = 2 la funzione non è derivabile in x = 2, quindi non si è sicuri che la soluzione sia unica!!!
E’ vero che se a = 1 il problema non ha soluzioni, perché a ≥ 2
La soluzione costante x = 2 vale solo se a = 2, ma in questo caso non sappiamo se è l’unica, per la non
derivabilità in x = 2
Se a = 3 la soluzione è unica
la b) è sbagliata perché a ≥ 2!
Quesito 2
Facciamo alcune considerazioni e supponiamo di partire da una funzione dispari.
• f (x) dispari
• f 2 (x) pari (funzione alla seconda)
• f 3 (x) dispari
• f 4 (x) pari
• cioè f (2k) (x) è pari
• f (2k+1) (x), f elevato alla potenza dispari è dispari.
• Se integro una potenza di ordine dispari, la funzione è dispari e l’integrale, su intervallo simmetrico, è
nullo (pensare all’integrale della funzione seno)
• Se integro una potenza di ordine pari, la funzione da integrare è pari e l’integrale diventa il doppio...
Quindi
a) è evidentemente sbagliata
b) è sbagliata perché è esatta solo se si integra una potenza pari
c) non dipende dalla funzione, ma se potenza pari o dispari
d) è nullo se la potenza è di ordine dispari
La soluzione è la e.
Per ragionare su un caso concreto potremmo partire da una funzione dispari come f (x) = sin x
Paola Suria
5
12◦ Simulazione
Quesito 4
Un controesempio per la suriettività è la funzione f (x) = arctan x
Lo stesso controesempio serve per negare la biiettività.
L’inversa mantiene la crescenza. E’ suﬃciente pensare al logaritmo e all’esponenziale
Quindi il dubbio è tra la proposta b e c
Ma se una funzione è strettamente crescente f ′ (x) ≥ 0. Pensare a f (x) = x3 (strettamente crescente, ma
f ′ (x) ≥ 0)
f ′ (x) > 0
→
funzione strettamente crescente
funzione strettamente crescente
Ricordo solo che f (x) =
→
f ′ (x) ≥ 0
1
non è monotona, non è strettamente crescente, ma lo è a tratti
x
Quesito 8
• Una funzione è pari se ∀x ∈ domf −→
f (−x) = f (x)
• Una funzione è dispari se ∀x ∈ domf −→
f (−x) = −f (x)
Costruiamo la funzione composta e proviamo a calcolare l’immagine di −x
a) f (g(−x)) = f (−g(x)) = −f (g(x)) → f ◦ g è dispari (VERA)
b) f (g(−x)) = f (−g(x)) = f (g(x)) → f ◦ g è pari (FALSA)
c) f (g(−x)) = f (g(x)) = f (g(x)) → f ◦ g è pari (FALSA)
d) la periodicità è data dalla funzione interna (FALSA)
e) se la funzione più esterna è monotona, allora non cambia gli intervalli di monotonia della funzione più
interna. La più interna è monotona strettamente crescente, cosı̀ come l’esterna → la composta è monotona
strettamente crescente
Quesito 11
E’ opportuno vedere che l’argomento del logaritmo è la somma di due addendi uno dei quali costante mentre
l’altro decresce al crescere della x (pensare di aumentare il denominatore mentre il numeratore resta costante)
Quindi la somma è massima se x=0
L’argomento vale quindi 2 + 1 = 3
Il punto di massimo è quindi x = 0 e il massimo vale log 3
Si potrebbe anche fare la derivata prima e cercare i massimi e minimi
Quesito 13
Per le osservazioni del quesito 11, l’estremo inferiore si ottiene quando l’argomento è minimo. All’inﬁnito
l’argomento tende a 2
L’estremo inferiore è y = log 2
Si potrebbe vedere che la funzione è pari, quindi simmetrica
Facendo il limite x → +∞ la funzione tende a log 2
Quesito n◦ 16
La funzioni potrebbe avere un punto di discontinuità in x = 0.
lim x sin
x→0±
1
=0
x
Infatti è inﬁnitesimo per limitato!
Allora la funzione è stata prolungata per continuità ed è continua in R
Dobbiamo veriﬁcare la derivabilità in x = 0
Possiamo servirci della deﬁnizione, limite del Rapporto incrementale
x sin
lim
x→0
Paola Suria
1
−0
1
x
= lim sin = @
x→0
x
x
6
12◦ Simulazione
Allora la funzione prolungata non è derivabile.
Non è quindi possibile applicare teoremi che richiedano la derivabilità nei punti interni dell’intervallo, se
l’intervallo proprosto contiene x = 0.
( )
1
a) soddisfa tute le ipotesi del teorema di Rolle tranne f (0) = f
→ non è possibile applicare il T.Rolle
4
b) Non è possibile appliacere il Teorema di Lagrange ad intervalli che contengano lo zero!
La funzione è continua, ma ha un punto di non derivabilità
Quesito 17
Si tratta di funzione che ha dominio x ̸= 2 e x ̸= 3
Allora è un integrale improprio con tre diﬃcoltà (2, 3 + ∞) e la convergenza divende dalla potenza di (x − 2) e
1
|x − 3| 2
• b) è vera perché per x → 2, |x − 3| ∼ 1
• c)vera per la stessa ragione
1
• d)vera x · x 2
• e)vera. Spezzo l’integrale. Ma
∫
k
1
dx
x−2
2
diverge per il criterio asintotico . Pensare a
∫
1
1
dx
x
0
che diverge
Quindi per convergere non deve esserci nell’intervallo di integrazione il 2.
∫
k
1
1
|x − 3| 2
3
converge come converge
∫
1
1
dx
1
0
dx
x2
converge
All’inﬁnito converge perché del tipo
∫
+∞
1
3
x2
k
dx
Quindi l’integrale improprio converge ∀α > 2
Riassumendo l’integrale converge se α > 2
Quesito 18
Questo integrale è con funzione integranda positiva. Spezzo, perché diﬃcoltà a zero e all’inﬁnito
∫ 1 ∫ +∞
+
0
1
Per il primo integrale utilizziamo MAC
∫
0
1
x
dx
xα
Converge se
α−1<1→α<2
Per il II integrale utilizziamo il crierio asintotico
∫
1
Paola Suria
+∞ π
2
xα
7
dx
12◦ Simulazione
Converge se
α>1
Risolvo il sistema ed ottengo
1<α<2
Quesito 19
• teorema fondamentale
• F (0) = 0
∫
x
• scambio i limiti −
f (t) dt
0
• F ′ (x) = −f (x) → −f (x) > 0 → f (x) < 0. Ma questo è mai vero, quindi F (x) è sempre decrescente
• passa per l’origine decrescendo allora F (x) > 0 se x < 0 e F (x) < 0 se x < 0
Quesito 20
Spezziamo
∫
∫
1
+∞
+
0
1
Il primo integrale è a segno positivo, mentre il secondo a segno variabile
• Per il primo integrale utilizzo lo sviluppo di Mac Laurin f (x) ∼
x
x
3
2
=
1
1
x2
• Per il secondo criterio convergenza assoluta con criterio confronto diretto.
f (x) ≤
1
3
x2
Quindi converge assolutamente e anche semplicemente
L’integrale converge ad un valore positivo. L’area è positiva
•
Quindi l’integrale converge
Paola Suria
8
. Quindi converge
13◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
13◦ SIMULAZIONE
1. Quale delle seguenti funzioni è pari?
a) f (x) = ex sin 2x
b) f (x) = x cos x3
c) f (x) = e|x| sin(x3 + x)
d) f (x) = (x3 + 1) cos 2x
e) nessuna risposta è esatta
{
2. I valori α, β per i quali f (x) =
αx2 + β
2βx2 − αx + 1
x≤1
x>1
è derivabile in (−∞, +∞)
a) α = −3, β = −4
b) α = −4, β = −3
3
4
c) α = , β =
5
5
4
3
d) α = , β =
5
5
1
e) α = , β = 0
2
3.
x − log(1 + x)
=
x→0
x sin 3x
lim
1
6
b) 4
a)
c) -4
1
d)
4
1
e)
3
4. L’insieme dei numeri {z ∈ C : Re(zz) = 1} sul piano di Argand Gauss è rappresentato da:
a) due rette
b) un’iperbole
c) un cerchio
d) una circonferenza
e) vuoto
∫
2
5. Se g : R → R una funzione derivabile una volta, allora integrando per parti
0
a) g(2) − g(0)
b) g(2) + g(0)
∫ 2
c)
g(x) dx
[
0
]2 ∫ 2 2
x2 ′
x ′′
g (x) −
g (x) dx
d)
2
0 2
0
∫ 2
e) 2g(2) −
g(x) dx
0
Paola Suria
1
xg ′ (x) dx
si ottiene:
13◦ Simulazione
6. Se f : (0, +∞) → R deﬁnita da f (x) = log x + x. Allora per x → +∞
a) l’asintoto obliquo è la semiretta y = x + 1
b) l’asintoto obliquo non esiste
c) f (x) = x + o(1)
d) l’asintoto obliquo è la semiretta y = x
e) l’asintoto obliquo è la semiretta y = x + e
∫
7. Sia g : R → R :
2
g(3t + 2) dt =
0
a) g(8) − g(2)
b) 2g(5)
∫
1 8
c)
g(t) dt
3 2
∫ 8
d) 3
g(t) dt
2
e)
1
3
∫
2
g(t) dt
0
8. Sia f : R → R continua. Allora
∫
1
f (x2 ) dx =
∫
−1
1
f (x2 ) dx
a) 2
0
1
∫
b)
0
∫
f (t)
dt
2t
1
c)
f (t)2t dt
−1
∫
0
f (x2 ) dx
d) 2
−1
e) 0
9. L’integrale improprio
∫
+∞
0
dt
tα + t2α
converge se
1
<α<1
2
b) 1 < α
a)
c) nessun valore di α
1
d) α <
2
e) ∀α
10. Il polinomio di Mac Laurin di grado 2 della funzione f (x) = ex
a) 1 + 2x + 4x2
b) 1 + 2x + 4x2
c) 2x + 4x2
d) 1 + 2x + 3x2
e) 1 + 2x + 5x2
Paola Suria
2
2
+2x
è:
13◦ Simulazione
∫
11. Sia f una funzione continua e positiva ∀x ∈ R. Posto F (x) =
x
f (t) dt segue necessariamente che
0
a)
lim F (x) è ﬁnito
x→+∞
b) F (−1) < 0
c) F ha un minimo in R
d)
e)
lim F (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
12.
∫
1
f (2x) dx =
0
∫
2
a) 2
f (x) dx
0
∫
1
2
b) 2
f (x) dx
0
∫
1
c) 2
f (x) dx
0
d)
1
2
1
e)
2
∫
1
f (t) dt
∫
0
2
f (t) dt
0
∫
+∞
13. Sia a > 0. Allora
x− 3 dx =
4
a
√
a) 3 3 a
√
b) −3 3 a
c) +∞
3
d) √
3
a
3
e) − √
3
a
14. Lo sviluppo di Mac Laurin di grado 3 della funzione log(1 + x + x2 ) è:
x2
2
− x3 + o(x3 )
2
3
x2
x3
b) x −
+
+ o(x3 )
2
3
c) x + x2 + x3 + o(x3 )
a) x +
x2
+ x3 + o(x3 )
2
x2
2
+ x3 + o(x3 )
e) x +
2
3
d) x +
∫
15. L’integrale I =
0
1
sin t
dt = +∞ se:
tα
a) α ≥ −1
b) α < 2
c) α ≥ 2
d) α < −1
e) α ≤ 1
Paola Suria
3
13◦ Simulazione
16.
∫
+∞
−∞
dt
=
1 + t2
a) π
π
b)
2
c) +∞
d) 0
e) 2π
17. Sia data la funzione f : R → R, derivabile almeno una volta, allora:
∫ 2
f (x)
dx =
x
1
∫
2
a) log 2 · f (2) −
log x · f ′ (x) dx
1
∫
2
b) log 2 · f (2) −
log |x| · f ′ (x) dx
1
c) log 2 · f ′ (2) −
∫
∫
2
log x · f (x) dx
1
f ′ (x)
dx
x
1
∫ 2 ′
f (2)
f (x)
e)
− f (1) −
dx
2
x
1
d)
f (2)
−
2
2
∫
1
18. Sia f : [a, b] → R, continua e sia m =
b−a
Quale delle seguenti aﬀermazioni è corretta?
b
f (x) dx il valor medio integrale della funzione f in [a, b].
a
a) Se 2 < f (x) < 4 ∀x ∈ [a, b], allora 2 < m < 4
f (b) − f (a)
b) m =
b−a
c) Se m < 0 allora f (x) < 0 ∀x ∈ [a, b]
d) Se 2 < x < 4 allora 2 < m < 4
f (b) + f (a)
e) m =
b−a
19.
∫
1
∫
2
f (log x)
dx =
x
2
f (t) dt
a)
1
∫
2
f (log x)
dx
x
2
f (t)
dt
et
b)
1
∫
c)
1
∫
d)
log 2
f (t) dt
0
e) nessuna delle altre risposta è corretta
Paola Suria
4
13◦ Simulazione
20.
∫
+∞
xα arctan x dx
1
converge se:
a) α ∈ (−1, +∞)
b) α ∈ (−∞, −1)
c) α ∈ (−∞, +∞)
d) α ∈ (−∞, 0)
e) per nessuna α
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
e
2
d
3
a
4
d
5
e
6
b
7
c
8
e
9
a
10
d
11
b
12
e
13
d
14
a
15
c
16
a
17
a
18
a
19
d
20
b
CONSIGLI
Quesito n◦ 1
Si può procedere in modi diversi:
• Sono pari le funzioni:
1.
f (x) = cos x;
f (x) = e|x| ;
f (x) = cosh x;
f (x) = x2n + k
Sono funzioni dispari:
f (x) = sin x;
f (x) = arctan x;
f (x) = sinh x;
f (x) = x2n+1 ...
• Il prodotto/rapporto di due funzioni pari genera una funzione pari
• Il prodotto/rapporto di due funzioni dispari genera una funzione pari
• Il prodotto/rapporto di una funzione pari per una dispari si genera una funzione dispari
2. Applichiamo la deﬁnizione f (−x) = e−x · sin(−x) ̸= ±f (x) −→ la funzione non è nè pari nè dispari
....
Quesito n◦ 2
Valutare prima la continuità... L’unico punto dove la funzione può non essere derivabile è x=1.
Continuità:
lim (αx2 + β) = α + β;
x→1−
lim (2βx2 − αx + 1) = 2β − α + 1
x→1+
Derivabilità:
f ′ (x) =
{
2αx
4βx − α
x<1
x>1
........................
Quesito n◦ 3
A numeratore non si può usare l’equivalenza, per la presenza della somma, ma è necessario utilizzare lo sviluppo
di Mac Laurin. A denominatore, invece, essendoci un prodotto di funzioni si può utilizzare l’equivalenza di
sin 3x ∼ 3x, x → 0
Quesito n◦ 4
Ricordare la diﬀerenza tra circonferenza x2 + y 2 = r2 , oppure più genericamente (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 , e
cerchio x2 + y 2 ≤ r2 , oppure più genericamente (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ r2
Paola Suria
5
13◦ Simulazione
z = x − iy;
Posto z = x + iy;
z · z = x2 + y 2
Quesito n◦ 5
Poiché g(x) è derivabile solo una volta deve essere scelto come fattore da integrare e non derivare:
∫ 2
∫ 2
∫ 2
∫ 2
2
x · g ′ (x) dx = |x · g(x)|0 −
g(x) dx = 2g(2) − 0 · g(0) −
g(x) dx = 2g(2) −
g(x) dx
0
0
0
0
Quesito n◦ 6
a) La funzione non può essere scritta, x → +∞, come f x) = x + 1 + o(1)
b) L’asintoto non esiste, perchè per x → +∞ :
log x ̸= o(1)
c) La funzione non può essere scritta, x → +∞, come f x) = x + o(1)
Quesito n◦ 7
Integriamo per sostituzione
∫
∫
2
8
1
dx
3
0
2
Rinominare .... l’integrale non dipende dal nome della variabile (non è un ritorno alla prima variabile, ma
richiamiamo t la nuova variabile)
x = 3t + 2
−→
dx = 3 dt ; −→
g(3t + 2)dt =
g(x)
Quesito n◦ 8
E’ necessario non confonderlo con l’integrale di funzione pari, ma è integrale di funzione composta.
Integriamo per sostituzione:
x2 = t =⇒ x =
∫
√
1
t dx = √ dt
2 t
1
1
f (t) √ dt
2 t
1
Gli estremi diventano uguali!!! e allora l’integrale è nullo!!! Quesito bello/brutto dipende da punti di vista!
Quesito n◦ 9
E’ un integrale improprio di due tipi:
• intervallo di integrazione non ﬁnito
• funzione non è limitata in t = 0 se α > 0.
Se α ≤ 0 l’integrale non è improprio in t = 0, perché la funzione è ivi limitata.
1
t2
Es. α = −1 −→ f (t) = −1
=
t + t−2
t+1
Sfruttiamo la linarità dell’integrale deﬁnito e i criteri di convergenza
∫
∫
1
+∞
f (t) dt +
0
f (t) dx
1
• il I integrale, se t → 0+ →
t2α = o (tα ); Allora converge se α < 1
( )
• il II integrale, se t → +∞ → tα = o t2α ; Allora converge se 2α > 1
Risolvendo il sistema...
Quesito n◦ 10
Attenzione a non perdere i pezzi e a non dimenticare...
f (x) = ex
2
+2x
1
1
−→ f (x) = 1 + (x2 + 2x) + (x2 + 2x)2 + o(x2 ) = 1 + x2 + 2x + (4x2 ) + o(x2 )
2
2
T(x=0,n=2) (x) = 1 + 2x + 3x2
Quesito n◦ 11
La funzione f (x) è continua e positiva, quindi F (x) è monotona strettamente crescente:
F ′ (x) = f (x) > 0, ∀x ∈ R
Paola Suria
6
13◦ Simulazione
a) poiché F (x) è monotona strettamente crescente il limite, x → +∞, non è indeterminato, ma è +∞ oppure
λ. L’item è quindi falso
b) F (0) = 0; F è strettamente crescente, quindi F (−1) < 0
c) F non ha punti stazionari, perché la sua derivata f non si annulla mai
d) item falso, perché non si può stabilire se il limite è ﬁnito o inﬁnito
e) sappiamo che la funzione f è positiva, ma non sappiamo se limitata o no (f (x) = arctan x + 2π,
ex , f (x) = e−x )
f (x) =
Quesito n◦ 12
Poniamo 2x = t −→ dt = 2 dx
∫
∫
2
2
f (2x) dx =
f (t)
0
0
1
dt
2
Quesito n◦ 13
E’ un integrale improprio del quale viene richiesto il calcolo
∫
lim
α→+∞
a
α
4
α→+∞
(
α
x− 3
− 13
1
x− 3 dx = lim
= −3 lim
α→+∞
a
1
α
1
3
−
1
a
1
3
)
3
= √
3
a
Quesito n◦ 14
Attenzione a non perdere i pezzi e a non dimenticare...
1
1
1
1
f (x) = (x + x2 ) − (x + x2 )2 + (x + x2 )3 + o(x3 ) = x + x2 − (x2 + 2x3 ) + x3 + o(x3 )
2
3
2
3
1
2
f (x) = x + x2 − x3 + o(x3 )
2
3
Quesito n◦ 15
Si tratta di un integrale improprio, su intervallo limitato, ma con funzione non ﬁnita nell’estremo inferiore.
E’ necessario valutare, con un criterio di convergenza/divergenza, il comportamento dell’integrale.
La funzione integranda, nell’intervallo di studio, ha segno constante; possiamo, quindi, utilizzare il criterio di
divergenza asintotico. L’integrale diverge se:
x → 0+ :
t → 0+ :
f (x) ∼
f (t) =
1
,
xα
α≥1
sin t
t
1
∼ α = α−1
tα
t
t
L’integrale diverge se: (α − 1) ≥ 1 −→ α ≥ 2
Quesito n◦ 16
E’ un integrale improprio su intervallo non ﬁnito. Poiché la funzione integranda è pari
∫ +∞
∫ +∞
1
1
dt = 2
dt
2
1
+
t
1
+
t2
0
−∞
Dal tipo di risposte sembra che si debba calcolare l’integrale, senza prima discuterne la convergenza/divergenza.
∫ α
∫ +∞
π
1
1
dt
=
2
lim
dt = 2 lim arctan(α) − 0 = 2 ·
2
2
2
α→+∞
α→+∞
1+t
2
0 1+t
0
Quesito n◦ 17
1
E’ un integrale deﬁnito, da calcolare per parti. Delle due funzioni f (x) sarà da derivare, mentre da integrare.
x
∫
∫
f (x)
dx = log |x| · f (x) − (log |x| · f ′ (x)) dx
x
Paola Suria
7
13◦ Simulazione
∫
2
1
f (x)
dx =
x
(
∫
log 2 · f (2) −
2
)
′
(log |x| · f (x) dx
∫
− log 1 · f (1) = log 2 · f (2) −
1
2
log x · f ′ (x) dx
1
1
Nella primitiva di si può togliere (si deve?) il valore assoluto, tenendo conto che nell’intervallo di integrazione
x
x>0
Quesito n◦ 18
Il valor medio è compreso tra il minimo e il massimo della funzione f (x) nell’intervallo (a, b). La risposta esatta
è quindi la a)
Quesito n◦ 19
1
1
La presenza di , con la funzione che dipende da log x, ci consiglia la sostituzione: log x = t −→ dt = dx
x
x
Cambiamo i limiti:
• x = 1 −→ t = 0
• x = 2 −→ t = log 2
∫
2
1
f (log x)
dx =
x
∫
log 2
f (t) dt
0
Quesito n◦ 20
Si tratta di un integrale improprio, su intervallo non ﬁnito.
La richiesta è di discutere la convergenza / divergenza dell’integrale, al variare di α.
La funzione integranda è positiva nell’intervallo di integrazione. Possiamo utilizzare il criterio di convergenza
asintotica:
π
π 1
x → +∞ : f (x) = xα arctan x ∼ xα =
2
2 x−α
1
L’integrale converge se f (x) ≍ β , β > 1 −→ −α > 1; α < −1
x
Paola Suria
8
15◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
15◦ SIMULAZIONE
1. Sia data un funzione f , strettamente decrescente, e con f ′ (0) > −1.
Quanto vale il coeﬃciente angolare della retta tangente al graﬁco della funzione inversa nel suo punto
(f (0), 0)?
a) m > 0
b) m > −1
c) m < −1
d) m ≥ 0
e) m < 0
2. Siano zk le radici cubiche di w = −27. Allora
a) z = −3, è l’unica radice, con molteplicità 3
b) le tre radici sono z1 = −3, z2 = −3i, z3 = 3i
c) le tre radici sono tutte reali

i
d) le radici, scritte con notazione esponenziale, sono e

π kπ

+
3 3
, k = 0, 1, 2
e) due delle tre radici sono complesse coniugate
3. Sia data la seguente equazione diﬀerenziale, con una condizione iniziale:
{
2
y ′′ − y ′ = 0
3
y(0) = 0
Quale delle seguenti aﬀermazioni è necessariamente vera?
a) inﬁnite soluzioni dell’equazione soddisfano le condizioni del problema
b) la soluzione costante y = 0 è l’unica soluzione dell’equazione diﬀerenziale con la condizione iniziale
√
√
2
2
x + C2 sin
x
c) la soluzione dell’equazione omogenea è y(x) = C1 cos
3
3
√
2
d) la soluzione del problema dato è y = C2 sin
x
3
e) nessuna delle precedenti è vera
4. Se f (x) ∼ x, x → +∞, allora
a) f (x) ha asintoto obliquo x → +∞
b)
lim (f (x) − x) = 0
x→+∞
c) ef (x) ∼ ex , x → +∞
( )
1
1
∼ ,x → 0
d) f
x
x
e) nessuna delle precedenti
5. Sia data la funzione f : [0, 5] → R. Sapendo che f (0) = −2, f (3) = 0, f (5) = 7
a) min (f(x))≤ −2
b) min (f(x))= −2
c) max (f(x))= 7
d) x = 3 è l’unico zero della funzione
e) max (f(x)) ≤ 7
Paola Suria
1
15◦ Simulazione
6. lim
x→0
sin 3x
cosh 5x − 1
a) 0
b) 6
c) 0
d) +∞
e) @
7. Sia data f (x) = e + 2(x − e) + 3(x − e)3 + o((x − e)3
a) l’equazione della retta tangente è y = 2(x − e)
b) f (0) = −e(1 + 3e2 )
c) x = e è punto di ﬂesso a tangente orizzontale
d) l’equazione della retta tangente è y = 2x − e
e) la funzione cambia di segno in un intorno di x = e
8. Trovare lo sviluppo del II ordine della funzione f (x) = cos x · cosh x
1
+ o(x3 )
2
1 + o(x2 )
1
1 − x4 + o(x4 )
6
1
1 − x4 + o(x4 )
4!
1 + o(x4 )
a) 1 −
b)
c)
d)
e)
∫
9.
3 sin 2xdx =
a) nessuna delle altre risposte è esatta
b) 3 cos 2x + c
c) −3 cos 2x + c
1
d) − cos 2x + c
2
1
e) cos 2x + c
2
10.
lim
x→+∞
log 5x
=
5 − cos2 x
a) 0
b) +∞
c) @
d) −∞
e) nessuna delle altre risposte è esatta
11. Siano date le successioni an , bn , cn . Sapendo che la successione an diverge positivamente, mentre cn =
an + bn converge ad un numero positivo k, cosa si può dedurre per la successione bn ?
a) è limitata
b) converge a k
c) diverge negativamente
d) diverge positivamente
e) @ alcuna successione bn che renda possibile cn
Paola Suria
2
15◦ Simulazione
12. L’integrale improprio
∫
1
√
0
1
dx
x + x2
a) converge a zero
b) è Riemann integrabile
c) diverge positivamente
d) converge ad un numero positivo
∫ 1
∫ 1
1
1
√
e)
dx
≥
dx
2
2
x+x
0
0 x+x
′
13. Siano f, g due funzioni derivabili in R. Se f (−2) = −4, f ′ (−2) = −4, g ′ (−4) = −7 allora (g(f (−2)) =
a) -28
b) -4
c) -7
d) -28
e) 28
14.
∫
2
sin(f (x))f ′ (x) dx =
0
a) 1 − cos 2
b) 1 − cos 2 + c
1
c) sin 2
2
d) cos f (0) − cos f (2)
e) f (0) · cos f (0) − f (2) · cos f (2)
15. Sia f (x) = 4x . Allora f ′ (x) =
a) 4x log 4
b) 4x log4 e
c) x · 4x−1
d) 4x
e) tutte le altre risposte sono sbagliate
16. Sia data la funzione f : R → R una funzione derivabile tre volte in R. La funzione g(x) = f ′′ (x)
a) è derivabile tre volte
b) non è derivabile
c) è continua in R
d) è derivabile e la sua derivata è continua
e) è derivabile almeno due volte
17. Sia data l’equazione diﬀerenziale y ′ (x) =
x − x2
. Allora
y − y2
a) ∀x ∈ R, y = x è soluzione dell’equazione
b) l’equazione è del I ordine, lineare
c) y = x, x ̸= {0, 1}, è soluzione dell’equazione
d) y(x) = 0 è soluzione dell’equazione
e) y(x) = 1 è soluzione dell’equazione
Paola Suria
3
15◦ Simulazione
18. Sia z = −1 + 2i. Allora z 2 + 3 è
a) 4
b) 4i
c) 5
d) 8
e) nessuna delle altre risposte
19. Se z = 1 + 2i; w = 3 + 4i, allora
z
=
w
1 2
a) − + i
5 5
1
2
b) − − i
5 25
1 2
c) − − i
5 5
d) −1 − 2i
e) nessuna delle altre risposte è esatta
20. La derivata prima della funzione f (x) = arctan
2
x
− arctan è
2
x
a) 0
4
4 + x2
2
c)
4 + x2
d) 1
4
e)
1 + x2
b)
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
c
2
e
3
a
4
d
5
a
6
e
7
d
8
b
9
a
10
b
11
c
12
d
13
e
14
d
15
a
16
c
17
c
18
a
19
c
20
b
CONSIGLI
Quesito n◦ 1
Ricordare che, per l’interpretazione geoemtrica della derivata, f ′ (x0 ) = m = coeﬃciente angolare della retta
tangente in x0 .
Se la funzione è strettamente decrescente f ′ (x0 ) = m < 0
Per rispondere al quesito è bene pensare quali sono gli m > −1...conservando la decresenza della funzione: m
1
deve essere negativa, ma maggiore di -1. Prendiamo un esempio m = − . La funzione inversa avrà derivata
2
prima, in quel punto −2 < −1. Allora la risposta è m < −1
Quesito n◦ 2
Ricordare che le radici cubiche di un numerio complesso sono tre, vertici di un triangolo equilatero. Una delle
radici è z1 = −3 quindi le altre due saranno nel I e IV quadrante, tra loro coniugate
Paola Suria
4
15◦ Simulazione
Le radici cubiche sono tre e sono i vertici di un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di raggio 3
(radice cubica di 27).
E’ necessario vedere come è girato il triangolo.
• I metodo: si vede subito che una delle tre radici è -3, perché (−3)3 = −27. Quindi il triangolo equilatero
ha il primo vertice in (-3,0). Passo da un vertice all’altro con una rotazione di 120 gradi. Allora le altre
due radici si trovano nel I e IV quadrante, hanno la stessa ascissa (stessa parte reale) e ordinata opposta
(parte immaginaria). Quindi i due numeri complessi sono coniugati tra loro
• II metodo:

Riscrivo con notazione esponenziale w = 27eiπ → zk =
z1 = 3e
i
(
(π)
3 ,
i
z2 = 3e
π 2π
+
3 3
√
3
w = 3e
i

π 2kπ

+
3 3
)
(
iπ
= 3e ,
i
z3 = 3e
, k = 0, 1, 2
π 4π
+
3 3
)
5π
= 3e 3
i
Quesito n◦ 3
2
2
La soluzione dell’equazione diﬀerenziale è ottenibile da λ2 − λ = 0 → y(x) = C1 + C2 e 3 x .
3
Tale equazione dipende da due parametri (C1 , C2 ). Il problema di Cauchy fornisce una sola condizione, quindi
esistono inﬁnite soluzioni che lo soddisfano.
Imponendo le condizioni si ottiene 0 = C1 + C2 → C1 = −C2 .
E’ quindi possibile soltanto trovare un legame tra le due costanti e non il valore delle costanti.
2
y(x) = C1 − C1 e 3 x
Tutte queste funzioni soddisfano il problema di Cauchy, e quindi sono inﬁnite.
Esempio:
2
2
C1 = 0 → y(x) = 0; C1 = 1 → y(x) = 1 − e 3 x ; C1 = −1 → y(x) = −1 + e 3 x
y(x) = 0 è l’unica soluzione costante del problema.
Qualsiasi sia C1 è suﬃciente porre C2 = −C1 perché il problema di Cauchy sia soddisfatto.
Quesito n◦ 4
Il quesito richiama alla mente il legame tra asintotico ed equivalente:
• due funzioni sono equivalenti se il limite del rapporto è 1, per x tendente a....
• due funzioni sono asintotiche se il limite della diﬀerenza tende a zero, per x tendente a inﬁnito.
Se due funzioni sono asintotiche sono anche equivalenti, ma non vale l’opposto.
Esistono funzioni equivalenti che non sono asintotiche.
Esempi:
Funzioni equivalenti, ma non asintotiche:
x → ∞, f( x) = x; f1 (x) = x + 2; f2 (x) = x + sin x; f3 (x) = x + log x; f4 (x) = x +
√
x
Analizziamo gli item del quesito, cercando eventuali controesempi che neghino la verità dell’aﬀermazione:
f (x)
Hp: lim
=1
x→+∞ x
Paola Suria
5
15◦ Simulazione
(a) è suﬃciente pensare alle funzioni
f1 , f 2 , f 3 , f 4
Sono tutte tra loro equivalenti, per x → +∞, ma non asintotiche.
Calcoliamo il limite del rapporto e se tende a 1, allora le funzioni sono equivalenti.
Per veriﬁcare se sono asintotiche due funzioni devo veriﬁcare se il limite della loro diﬀerenza tende a zero,
quando x va all’inﬁnito.
Infatti lim (f (x) − f1 (x)) = lim (x − x − 2) = 2 ̸= 0!!!
x→+∞
x→+∞
(b) una qualsiasi funzione scelta tra gli esempi riesce ad essere un controesempio per l’item. Va bene il
controesempio precedente
ef (x)
= lim ef (x)−x =???. Il risultato non è detto che faccia 1,
x→+∞ ex
x→+∞
perchè l’esponente non è detto che tenda a zero.
(c) veriﬁchiamo la tesi dell’item:
lim
(d) questo item è corretto, perchè ottenibile dall’ipotesi con la sostituzione t =
1
x
(e) falsa
Ricordare che le informazioni per x → +∞ non portano informazioni sulla funzione per x → 0!
Analogamente le informazioni per x → 0 non danno notizie sul comportamento della funzione all’inﬁnito.
La(situazione
dell’item d) è vera perchè si trasferiscono le informazioni per x → +∞ a x → 0, ma alla funzione
)
1
f
.
x
Quesito n◦ 5
Non ci sono informazioni sulla continuità, derivabilità della funzione.
Tra le immagine date la minima è −2, nulla vieta però che la funzione abbia, nell’intervallo, immagini ancora
minori. Quindi minf (x) ≤ −2
Tra le immagine date la massima è 7, nulla vieta però che la funzione abbia, nell’intervallo, immagini ancora
maggiori. Quindi maxf (x) ≥ 7
Quesito n◦ 6
Se sei anche tu qui a cercare consigli, consolati, sei uno dei duemila ragazzi che mi hanno segnalato un errore
nel quesito!!!
Invece è esatto.
1
1
1
, ma non sappiamo se − oppure + .
0
0
0
D’altra parte si dice che il limite esiste se il limite destro e il limte sinistro esistono e sono uguali. In questo
caso NON sono uguali!
Infatti è vero che il risultato è
Quesito n◦ 7
E’ uno sviluppo di Taylor nell’intorno di x = e.
a) y = e + 2(x − e) −→ y = 2x − e
b) f (0) = −e(1 + 3e2 ) + o(0 − e)3 Trovo l’immagine di x = 0 con un errore!!!
c) no, perché se fosse a tangente orizzontale, sarebbe un punto critico e quindi f ′ (e) = 0. Dovrebbe mancare
il termine x − e.
d) OK
e) Il teorema della permanenza del segno, assicura che esiste un intorno di x=e in cui la funzione è positiva
Quesito n◦ 8
f (x) =
(
) (
) (
)
1
1
1
1 − x2 + o(x2 ) · 1 + x2 + o(x2 ) = 1 − x4 + o(x4 )
2
2
4
1
f (x) = 1 − x4 + o(x4 ) → f (x) = 1 + o(x2 )
4
Paola Suria
6
15◦ Simulazione
Se il quesito avesse chiesto il polinomio di Mac Laurin, del II grado, la risposta sarebbe stata
Tn=2,x=0 (x) = 1
Quesito n◦ 9
∫
3
3 sin 2x dx = − cos 2x + c
2
Quesito n◦ 10
0 ≤ cos2 x ≤ 1
=⇒ 4 ≤ cos2 x ≤ 5;
−→
log 5x
log 5x
log 5x
≤
≤
2
5
5 − cos x
4
Per il teorema del confronto....
Ricordare che una frazione:
1. si rende minore se si maggiora il denominatore, oppure si minora il numeratore oppure si procende con
entrambe le situazioni.
2. si rende maggiore se si minora il denominatore, oppure si maggiora il numeratore oppure si procende con
entrambe le situazioni.
Il limite si può anche pensare come il rapporto tra un inﬁnito ed un numero positivo limitato, quindi il risultato
è +∞.
Quesito n◦ 11
Condizione necessaria, ma non suﬃciente aﬃnché esistano le successioni cn deve presentarsi una forma indeterminata +∞ − ∞. Eliminando la forma di indeterminazione si può ottenere k!
an = n + k;
an =
√
n2 + 2kn;
bn = −n;
bn = −
√
cn = (n + k) + (−n)
n2 + 2;
cn =
√
√
n2 + 2kn − n2 + 2
n2 + 2kn − n2 − 2
2kn − 2
√
lim √
= lim
=k
2
2
n→+∞
n + 2kn + n + 2 n→+∞ 2n
Quesito n◦ 12
La funzione è positiva, ci serviamo del criterio di convergenza asintotico. E’ un integrale improprio perché la
funzione non è ﬁnita in x = 0.
√
1
1
∼ √ , perché x2 = o( x)
x → 0+ : √
x + x2
x
∫ 1
1
√ dx converge allora converge anche l’integrale dato.
Poiché
x
0
Attenzione, le due funzioni sono equivalenti, ma gli integrali non sono equivalenti! Cioè il loro rapporto non dà
1. Hanno lo stesso comportamento (se uno converge, cioè ha area ﬁnita, anche l’altro ha area ﬁnita)
√
Nell’item e) la funzione
√ integranda è stata maggiorata, perché, a denominatore abbiamo sostituito x con x,
ma se x ∈ [0, 1] −→ x ≥ x!, quindi l’integrale è minore non maggiore
Quesito n◦ 13
In casi come questo, può essere utile chiamare la fuznione con un nome, per esempio h(x):
′
Data la funzione h(x) = g(f (x)) −→ h′ (x) = (g(f (x)) = g ′ (f (x)) · f ′ (x).
′
(g(f (−2))) = g ′ (f (−2)) · f ′ (−2) = g ′ (−4) · f ′ (−2) = −7 · (−4) = 28
Quesito n◦ 14
E’ l’integrale di funzione composta:
2
|− cos(f (x))|0 = (− cos(f (2)) + cos(f (0))
Quesito n◦ 15
Sapendo che D(ax ) = ax · log a
Paola Suria
→
f ′ (x) = 4x · log 4
7
15◦ Simulazione
Quesito n◦ 16
la funzione g è sicuramente derivabile una volta perché g ′ (x) = f ′′′ (x). Essendo g una funzione derivabile
almeno una volta allora g è sicuramente continua.
L’ipotesi d) non è corretta perché non sappiamo se la funzione f è di classe C (3) (R) e cioè se è derivabile tre volte
e se la sua derivata terza è continua (infatti solo le funzioni di classe C (n) sono derivabili n volte e sicuramente
la loro derivata ennesima è continua).
Quesito n◦ 17
L’equazione diﬀerenziale è del I ordine, a variabili separabili. Le condizioni di realtà dell’equazione impongono
y(x) ̸= 0; y(x) ̸= 1.
Non risolviamo l’equazione, ma veriﬁchiamo se y(x) = x è soluzione.
x − x2
y ′ (x) = 1 −→ 1 =
; 1≡1
x − x2
Allora y(x) = x è soluzione dell’equazione, ma y(x) ̸= 1, y(x) ̸= 0
Quesito n◦ 18
Il modulo di una somma/diﬀerenza NON è la somma/diﬀerenza dei moduli, mentre il modulo del prodotto/rapporto è il prodotto/rapporto dei moduli
z 2 + 3 = (−1 − 2i)2 + 3 = |1 + 4i − 4 + 3| =
√
16 = 4
Quesito n◦ 19
1 − 2i
(1 − 2i)(3 − 4i)
1
1
1
2
=
=
(3 − 4i − 6i − 8) =
(−5 − 10i) = − − i
3 + 4i
25
25
25
5
5
Quesito n◦ 20
(
)
1
1
1
2
f (x) =
( )2 · −
( ) · − 2
2 1+ 2 2
x
1 + x2
x
′
f ′ (x) =
4
1
x2
2
4
·
+
· 2 =
2
4
4+x 2 x +4 x
4 + x2
Se la funzione avesse presentato la somma dei due addendi il risultato sarebbe stato nullo.
Se una funzione ha derivata nulla ∀x ∈ I, con I intervallo, allora la funzione è costante, ∀x ∈ I
In questo caso la derivata è nulla, ma non siamo in un intervallo: dominio della funzione è R{0}.
x
a
Questa è una proprietà della funzione f (x) = arctan + arctan La sua derivata è nulla su R. Il dominio è
a
x
R\{0}, quindi la funzione è costante, se x < 0; è costante se x > 0, ma le due costanti non sono uguali
La stessa proprietà si può vedere confrontando le due funzioni:
f (x) = arctan x;
Paola Suria
g(x) = arctan
8
1
x
15◦ Simulazione
Le due funzioni hanno la stessa derivata in un intervallo; diﬀeriscono quindi per una costante addittiva, ma la
costante è diversa a seconda dell’intervallo: (−∞, 0) oppure 0, +∞).
Paola Suria
9
16◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
16◦ SIMULAZIONE
1.
lim log n · sin
n→+∞
5
=
1+n
a) +∞
b) @
c) 0
d) −∞
e) e
2. Quante sono le soluzioni reali dell’equazione, di variabile complessa, z 6 − 11 = 0
a) 3
b) 0
c) 4
d) 6
e) 2
∫
∫
+∞
3. Siano f, g due funzioni integrabili in (0, +∞) e siano If =
+∞
f (x) dx , Ig =
0
g(x) dx
0
a) se 0 ≤ f (x) ≤ g(x), per x ≥ 0, e se Ig converge allora anche If converge
b) se f (x) ≤ g(x), per x ≥ 0, e se Ig converge allora anche If converge
c) se f (x) ≤ g(x), per x ≥ 0, e se If converge allora anche Ig converge
d) se f (x) ≤ g(x), per x ≥ 0, e se Ig converge allora If può essere indeterminato
e) se 0 ≤ f (x) ≤ g(x), per x ≥ 0, e se If converge allora anche Ig converge
4. Trovare il polinomio di Taylor di ordine 2 della funzione f (x) = (ex − 1)2 + sin x, x → 0
a) x + x2 + o(x2 )
b) 2x + x2
1
c) x + x2
2!
d) 2x + x2 + o(x2 )
e) x + x2
5. Quante volte la funzione f (x) = 3x + x3 assume il valore 35 + 53 + 3
a) almeno una volta
b) una volta
c) più di una volta
d) mai
e) esattamente due volte
{
6. Sia data la funzione
f (x) =
sin x x ≥ 0
a+x x<0
a) se a = 0 la funzione è continua, ma non derivabile in x = 0
b) ∀a ∈ R f (x) è continua in R
c) ∀a ∈ R Imf = R
d) se a = 0 la funzione è derivabile e continua in R
e) se a = 0 la funzione è derivabile, ma non continua in x = 0
Paola Suria
1
16◦ Simulazione
7. L’equazione diﬀerenziale y ′ = x2 · y è
a) lineare, ma non a variabili separabili
b) a variabili separabili, ma non lineare
c) può essere sia lineare sia a variabili separabili
y
d) è omogenea in
x
e) è di secondo grado
8. Sia f (x) = o(x2 ), x → 0. Allora
a) f (x) = o(x), x → 0
b) f (x) = o(x3 ), x → 0
c) f (x) = o(x2 ), x → +∞
( )
1
d) f
= o(x2 ), x → +∞
x
e) g(x) = o(f (x), x → +∞
9. La derivata della fuzione f (x) = log(− sin x) è
a)
b)
c)
d)
e)
∫
1
10.
0
cos
x
sin
1
−
sin x
cos x
−
sin x
1
−
tan x
1
tan x
1−π
dx
xπ−3
a) converge a zero
b) converge positivamente
c) converge negativamente
d) diverge positivamente
e) diverge negativamente
11. lim
x→0
a)
b)
c)
d)
e)
12.
log(1 + 7x)
vale
e4x − 1
7
4
4
7
7
log 7
4
7
log 4
4
1
1
lim (4x + 2x ) x vale
x→+∞
a) 4
b) +∞
c) 1
d) 0
e) e
Paola Suria
2
16◦ Simulazione
13. La funzione inversa della f (x) = log x + 2 è
a) f −1 (x) = ex − 2
b) f −1 (x) = ex−2
c) f −1 (x) = ex + 2
d) f −1 (x) = log x − 2
e) f −1 (x) = ex+2
14. Sia f (x) = 2(x + 3)3 + o((x + 3)3 )
a) f ′′′ (−3) = 2
b) la funzione cambia di segno almeno in un intorno del punto x = −3
c) f (0) = 2 · 33
d) x = −3 è un punto di massimo relativo
e) la funzione non è inﬁnitesima nell’intorno di x = −3
15. La derivata della funzione f (x) =
a)
b)
c)
d)
e)
√
3 4x
e cos8 x vale
4√
3 4x
e cos5 x (cos x + 2 sin x)
3
4√
3 4x
e cos5 x (− cos x − 2 sin x)
3
nessuna risposta è esatta
4√
3 4x
e cos5 x (2 cos x − sin x)
3
4√
3 4x
e cos5 x (cos x − 2 sin x)
3
16. Quale delle seguenti proprietà è soddisfatta dall’insieme A =
{
}
1
1+
, n ∈ N\{0} ∪ {5}
3n
a) ammette minimo, ma non massimo
b) ammette massimo, ma non minimo
c) ammette minimo e massimo
d) non ammette nè massimo nè minimo
4
e) il massimo è
3
17. Siano dati gli insiemi A, B con A ̸= B, A ⊂ B ⊂ R. Allora
a) L’estremo inferiore di A è maggiore dell’estremo inferiore di B
b) Se B ammette minimo anche A ammette minimo
c) L’estremo superiore di A è minore dell’estremo superiore di B
d) A e B possono avere lo stesso estremo superiore e lo stesso estremo inferiore
e) L’estremo inferiore di A non è maggiore dell’estremo inferiore di B
18. Quale delle seguenti aﬀermazioni NON è soddisfatta dalla funzione f (x) = (x − 2)4 · (5 − x) · arctan x
a) x = 2 è punto di massimo relativo per f (x)
b) in [0, 5] ammette tre punti critici
c) l’equazione (x − 2)4 · (5 − x) · arctan x = 0 ammette tre radici distinte
d) l’equazione (x − 2)4 · (5 − x) · arctan x = 0 ammette x = 2 come radice con molteplicità 4
e) in [0, 5] la funzione f ′′ (x) si annulla soltanto due volte
Paola Suria
3
16◦ Simulazione
19. La funzione f (x) = x5 + x + 1:
a) ammette uno zero nell’intervallo (−2, 2)
b) ammette uno zero positivo
c) ammette come zero x = 1
d) ammette 5 zeri reali, distinti
e) nessuna delle altre risposte è esatta
20.
4x3 + 6x − 2 log(1 + 3x)
=
x→0
x
lim
a) 0
b) +∞
c) 1
d) 6
e) 4
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
c
2
e
3
a
4
e
5
b
6
d
7
c
8
a
9
e
10
c
11
a
12
a
13
b
14
b
15
e
16
b
17
d
18
e
19
a
20
a
CONSIGLI
(1) Il limite è del tipo (+∞ · 0). Infatti sin
5
, per n → +∞, tende a zero.
n+1
Servendoci dello sviluppo di Mac Laurin la funzione si può riscrivere log n·
log n = o(n), n → +∞
5
. Nel confronto tra inﬁniti
n+1
(2) Si può aﬀrontare il quesito da due punti di vista diversi:
– algebrico: l’equazione è la diﬀerenza di due quadrati
√
√
√
√
√
√
√
√
6
6
3
6
6
3
(z 3 − 11)(z 3 + 11) = 0 → (z − 11)(z 2 + 11 + 11)(z + 11)(z 2 − 11 + 11) = 0
Quindi le radici reali sono due, le complesse quattro, provenienti tutte dall’annullamento dei due
trinomi di II grado.
– Si tratta di trovare le radici seste di 11, che sono sei √
(tra reali e complesse); sono i vertici di un
esagono regolare inscritto nella circonferenza di raggio 6 11.
Per scoprire quante sono reali è suﬃciente trovare l’argomento della prima radice e costruire le altre,
π
sapendo che gli argomenti diﬀeriscono l’uno dall’altro di
3
√
2kπ
6
z 6 = 11ei·0 → z = 11ei 6 , k ∈ [0, 1, 2, 3, 4, 5]
Paola Suria
4
16◦ Simulazione
Quesito 3
Analizziamo la situazione della risposta d)
∫ +∞
Se Ig =
g(x) dx converge signiﬁca che lim = 0 (c.n. non s. per la convergenza dell’integrale).
x→+∞
0
Allora la funzione f, x + ∞ può essere:
1. inﬁnitesima (stare sotto alla g) e positiva
2. a segno alterno, ma comunque inﬁnitesima(in questo caso l’integrale potrebbe essere indeterminato). Però la funzione f deve essere schiacciata dalla g che converge, e quindi ancora può solo
convergere (anche assolutamente) o divergere, in senso improprio, ad un valore negativo.
3. deﬁnitivamente negativa e allora l’integrale può solo convergere o divergere, non essere indeterminato
f1 (x) =
1
,
x2
f2 (x) = 1/x3
f3 (x) = e−x − 3 f2 (x) =
1
sin x
x2
f4 (x) =
1
sin x
x2
Quindi la d) è FALSA
Quesito n◦ 4
)2
(
1 2
2
f (x) = (e − 1) + sin x = 1 + x + x + o(x ) − 1 + x + o(x2 ) = x + x2
2!
x
2
Quesito n◦ 5
La funzione è somma di funzioni monotone strettamente crescenti e quindi è una funzione monotona strettamente
crescente.
L’insieme immagine è R. Allora la funzione assume tutti i valori reali una e una sola volta.
In particolare assume, per x = 5, il valore f (5) = 35 + 53 . Ma 35 + 53 + 3 > f (5) −→ tale valore è l’immagine
di una x > 5
Quesito n◦ 6
c) è sicuramente falsa, perché f(−∞,0) è una semiretta parallela alla bisettrice del I e III quadrante. Im
f(−∞,0) = (−∞, a); f(o,+∞) ha immagine [−1, 1]
d) sfruttando le conoscenze fornite dallo sviluppo di Mac Luarin possiamo constatare che la funzione è
continua e derivabile se a = 0
Paola Suria
5
16◦ Simulazione
Quesito n◦ 7
y ′ = a(x) · b(y) −→ è a variabili separabili, però può essere vista come y ′ = a(x) · y + b(x) con b(x) = 0 quindi
lineare, omogenea.
Quesito n◦ 8
x → 0 : f (x) = o(x2 ), cioè il suo graﬁco sta sotto la parabola f (x) = x2 , se x → 0. Sicuramente allora sta sotto
la bisettrice, mentre non possiamo essere sicuri che stia sotto la f (x) = x3 .
Le informazioni, perx → 0 non possono essere trasferite a x → ∞, a meno che non si oprei un cambiamento di
variabile:
( )
( )
1
1
x→∞: f
=o
x
x2
Quesiti n◦ 10
Si tratta di un integrale improprio su intervallo ﬁnito: la funzione integranda è discontinua di II specie in x = 0
(funzione NON ﬁnita).
1−π
f (x) = π−3
x
è una funzione negativa (il numeratore è negativo) con segno costante.
Possiamo utilizzare uno dei due criteri per dedure se l’integrale converge (area compresa tra graﬁco della funzione
ed asse x, nell’intervallo di integrazione, FINITA) oppure divergente (AREA NON ﬁnita).
x → 0 : f (x) ∼ −
Poiché
∫
1
0
2, 1415
1
≍ , α<1
x0.1314
α
1
dx , α < 1 CONVERGE
xα
ALLORA ANCHE L’INTEGRALE DATO CONVERGE.
Ma il graﬁco della funzione sta nel IV quadrante e quindi l’area, calcolata algebricamente, è negativa
L’integrale converge ad un numero negativo.
N.B. Non abbiamo studiato la convergenza assoluta perché la funzione ha segno costante, seppure negativo.
Quesito n◦ 11
lim f (x) =
x→0
7x
7
=
4x
4
Quesito 12
Pensiamo alla strategia da mettere in atto. L’incognita compare alla base e all’esponente... potrebbe essere
utili pensare ad elog ... .
Prima però constatiamo che forma di indeterminazione abbiamo: +∞0 .
Passiamo alla notazione esponenziale
1
lim e x log(4
x
+2x )
x→+∞
Abbiamo tenuto conto che x → +∞
= lim e x log 4 = lim e x ·x log 4 = elog 4 = 4
x
1
x→+∞
1
x→+∞
2x = o(4x )
Del senno di poi avremmo potuto trascurare 2x subito
1
lim (4x ) x = lim 4 = 4
x→+∞
x→+∞
Però è necessario andare cauti quando si trascura, per non perdere i pezzi!
Quesito n◦ 13
E’ richiesta le funzione inversa. La funzione data è invertibile nel suo dominio, perché monotona strettamnete
crescente.
y = log x + 2 −→ log x = y − 2; x = ey−2 ;
Quesito n◦ 14
E’ uno sviluppo di Taylor del III ordine:
Paola Suria
6
f −1 (x) = ex−2
16◦ Simulazione
a) f ′′′ (−3) = 2 · 3!
b) è una parabola cubica, con ﬂesso in x = −3 quindi la funzione cambia di segno in un intorno di x = −3
c) Non possiamo calcolare f (0) trascurando o(0 + 3)3
d) è ﬂesso
e) l funzione è inﬁnitesima
Quesito n◦ 15
(
)1
)− 2 (
) 4 ( 4x ) 13
5
1 ( 4x
e cos8 x 3 4e4x cos8 x − e4x · 8 cos7 x · sin x =
e
f (x) = e4x cos8 x 3 =⇒ f ′ (x) =
(cos x) 3 (8 cos x−2 sin x)
3
3
√
4 3 4x
f ′ (x) =
e cos5 x(cos x − 2 sin x)
3
Quesito n◦ 16
1
4
1
1
= , 1 + , 1 + ....., 5
3
3
6
9
L’insieme ammette massimo, ma non minimo. L’inf dell’insime è 1, il massimo 5 (5 è punto isolato; 1 punto di
accumulazione che non appartiene all’insieme)
1+
Quesito n◦ 17
Un controesempio per l’item d sono gli insiemi: A = [−3, 5) ∪ [7, 10); B = [−3, 10). A e b hanno lo stesso
minimo (e quindi anche estremo inferiore) e lo stesso estremo superiore ed A ⊂ B
Quesito n◦ 18
Gli zeri della funzione sono:
1. x = 2, con molteplicità 4 (punto critico o max oppure min)
2. x = 0, con molteplicità 1
3. x = 5, con molteplicità 1
π
lim f (x) = [+∞ · (+∞) · (− ) = −∞ Quindi, immaginiamo l’andamento di una fuznione continua che sale
2
da −∞ ﬁno a x=0, attraversa l’asse x per poi scendere a x = −2, essere tangenta all’asse x, e quindi risalire,
scendendo nuovamnete per attrversare x = 5
x→−∞
Per l’item e), poiché la f ′ (x) si annulla tre volte in [0, 5], allora applicando alla funzione derivata prima (con
tre zeri) il teorema di Rolle, deduciamo che la derivata seconda (derivata della derivata prima) si annulla due
volte.
Tra un massimo e un minimo c’è sempre un ﬂesso.
Quesito n◦ 19
La funzione è monotona stretamnte crescente, quindi ammette un solo zero. Poiché f (0) = 1 lo zero è negativo.
4f (−2) = −8 − 2 + 1 < 0; f (2) = 8 + 2 + 1 > 0 −→ Lo zero cade in questo intervallo per il teorema degli
zeri.
Paola Suria
7
16◦ Simulazione
Quesito n◦ 20
0
E’ una forma indeterminata del tipo . Per x → 0, in genere, sono trascurabili (o piccoli) le potenze ad
0
esponente maggiore.
Non è possibile trascurare 4x3 per la sempliﬁcazione di 6x con il primo termine dello sviluppo di Mac Laurin
4x3 + 6x − 2(3x −
lim
x→0
Paola Suria
x
9x2
+ o(x2 )
4x3 + 6x − 6x + 9x2
9x2
2
= lim
= lim
=0
x→0
x→0 x
x
8
17◦ Simulazione
CORSO DI DI ANALISI I
17◦ SIMULAZIONE TEST ESAME
Ogni quesito ha una sola soluzione esatta
1. Siano z1 , z2 sono le due radici quadrate del numero complesso w = i. Quale delle seguenti proprietà è
soddisfatta?
a) almeno una delle due z1 o z2 è reale
b) z1 · z2 = 0
z1
c)
∈R
z2
d) z1 + z2 = i
e) z1 = z2
2. Qual è la parte principale, rispetto al campione standard u(x), per x → 0 della funzione
√
3
f (x) = x + x2 − x3 + x4
2 2
x
3
4
b) − x
3
c) x
a)
d) x2
4
e) x2 − x 3
3. La funzione f : R → R, f (x) = x7 + e7x assume il valore y = 57 + e35 + 2
a) in x0 < 5
b) in x1 < 5 e x2 > 5
c) in nessun punto
d) in x0 > 5
e) in almeno 3 punti
(
)
4. Sia dato lo sviluppo di Taylor f (x) = π + 2(x − π) + 3(x − π)2 + o (x − π)2 . Allora
a) f ha un punto di massimo in x = π
b) la retta tangente in x = 0 ha equazione y = π + 2(x − π)
c) f (0) = π
d) la retta tangente in x = π ha equazione y = π + 2(x − π)
e) f è inﬁnitesima del I ordine in x = π
5.
sinh2 4x
=
x→0 1 − cos 3x
lim
a)
b)
c)
d)
e)
16
9
16
3
32
9
8
9
18
Paola Suria
1
17◦ Simulazione
6. Siano ϕ1 e ϕ2 due soluzioni dell’equazione diﬀerenziale y ′′ + ay ′ + by = 0, allora sicuramente:
ϕ1
è soluzione dell’equazione
ϕ2
b) anche ϕ1 · ϕ2 è soluzione dell’equazione
a) anche
c) anche ϕ1 + c, c ∈ R, è soluzione dell’equazione
d) anche 3ϕ1 − 2ϕ2 è soluzione dell’equazione
e) anche c1 · ϕ1 + c2 ϕ2 + c3 è soluzione dell’equazione
7. Sia f : R → R, derivabile e tale che f (0) = 0; f (3) = 0. Allora f ′ (x):
3
2
b) si annulla esattamente 1 volta
a) si annulla in x =
c) si annulla almeno una volta
d) non si annulla mai
e) si annulla tre volte
8. Sia f (x) = cos x
a) f (n) (0) = 0, ∀n = 2k + 1, k ∈ N
b) f (n) (0) = 0, ∀n ∈ N
c) f (n) (0) = 0, ∀n = 2k + 1, k ∈ Z
d) f (n) (0) = 0, ∀n = 4k + 1, k ∈ N
e) f (n) (0) = 0, ∀n = k + 1, k ∈ Z
9. La derivata della funzione f (x) =
1
vale
3 − e−5x
5e−5x
(e−5x − 3)2
−5
b)
(3e5x − 1)2
a)
c)
5e−5x
(3 − e−5x )2
d)
5e5x
(3e5x − 1)2
e) −
5e5x
− 1)2
(3e5x
10. La funzione inversa della funzione f (x) =
√
a) f −1 (x) = 7 x7 + 1
√
b) f −1 (x) = − 7 x + 7
1
c) f −1 (x) = √
7
x+7
d) f −1 (x) = x7 − 7
√
7
x + 7 è f −1 (x) =
e) f −1 (x) = x7
11. Quale dei seguenti sviluppi è quello, del II ordine, di f (x) = cos x · cosh x?
1
a) 1 − x4 + o(x4 )
4
1
b) f (x) = 1 + x4 + o(x2 )
4
c) f (x) = 1
d) f (x) = 1 + x2 + o(x2 )
e) f (x) = 1 + o(x2 )
Paola Suria
2
17◦ Simulazione
∫
4
−
12.
3
3
dx :
(x − 3)3
a) converge
b) diverge a −∞
c) converge assolutamente e quindi anche semplicemente
d) è indeterminato
e) non si può calcolare
∫
x
13. Sia f (x) = tanh x e sia F (x) =
f (t)dt.
1
Quale delle seguenti proprietà è FALSA?
0
a) F (x) ≥ 0 se x ≥ 0; F (x) < 0 se x < 0
b) F (x) = 0 se x = 0
c) F (x) ≥ 0, ∀x ∈ R
d) F (x) è crescente ∀x ∈ (0, +∞)
e) F (x) è convessa ∀x ∈ R
14. Sia f una funzione reale di variabile reale. Sapendo che lim f (x) = 3 allora
x→1
a) ∃δ > 0, ∀x ∈ dom f e 0 < |x − 1| < δ → 2 < f (x) < 4
b) f (1) = 3
c) ∃I(1+ ) in cui f (1) = 3
d) f è continua in x = 1
e) In un intorno I(1) : f (x) > 1
15. Sia f : R → R, continua in R e derivabile ∀x ̸= 2. 2 . Si sa che lim f ′ (x) = 4. Allora
x→2
′
a) f è derivabile in x = 2 e f (2) = 4
b) f potrebbe non essere derivabile in x = 2
c) f (2) = 4
d) f potrebbe essere discontinua in x = 2
1
e) f è derivabile in x = 2 e f ′ (2) =
4
16. La funzione f (x) = cos x + ex
a) è pari
b) ha inﬁniti zeri
c) è iniettiva
d) è monotona su R
e) è periodica
17. Un polinomio a coeﬃcienti reali che ha tra le sue radici i numeri 0 e 2 + i
a) ha grado 2
b) ha grado maggiore o uguale a 3
c) ha grado strettamente minore di 3
d) ha grado 4
e) ha grado pari
1
2
cosh
x
2 pensare ad una funzione data con legge a tratti, per la quale si sappia che è continua in x . Se esiste il limite della f ′ , x → x ,
0
0
allora f è anche derivabile in x0 . (teorema tappabuchi)
1 Ricorda
che D(tanh x) =
Paola Suria
3
17◦ Simulazione
18. Se A, B ⊂ R, A ⊂ B, allora
a) inf(A) > inf(B)
b) inf(A) ≤ inf(B)
c) inf(A) < inf(B)
d) inf(A) = inf(B)
e) inf(A) ≥ inf(B)
1
19. L’equazione y ′′ = − y:
4
a) non ha soluzioni
b) non ha soluzioni y = f (x) che soddisfano la condizione f (−1) = −2
c) ammette come unica soluzione costante y(x) = 0
d) ha una sola soluzione y = f (x) che soddisfa la condizione f (1) = 2
e) non ha soluzioni y = f (x) che soddisfano la condizione f (1) = 2
20. Il limite
√
e 3x − 1
√
lim
x→0 sin 3x
vale
a)
√
3
b) +1
c) 0
d) e
e) −1
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
c
2
a
3
d
4
d
5
c
6
d
7
c
8
a
9
e
10
d
11
e
12
b
13
a
14
a
15
a
16
b
17
b
18
e
19
c
20
b
CONSIGLI
Quesito 1
2kπ
π
π
Passimo alla notazione espoennziale: w = ei 2 → z1,2 = ei( 4 + 2 )
Allora le due radici stanno sulla bisettrice del I e III quadrante e sono due numeri opposti. La somma è reale;
ma anche il loro rapporto. Infatti
π
5π
z1
= ei( 4 − 4 ) = e−iπ = −1
z2
Quesito 2 Attenzione i termini di grado minimo si elidono se penso di prendere solo
√
3
x3
Quindi non posso utilizzare il metodo di sopprimere, ma mi servo di Mac Laurin.
Allora raccolgo x3 che porto fuori e poi sviluppo la radice con MAC
)
(
√
1 2
1
3
2
2
f (x) = x + x − x 1 + x = x + x − x 1 + x − x + o(x )
3
9
2
Paola Suria
4
17◦ Simulazione
x→0
1
1
f (x) = x + x2 − x − x2 + x3 + o(x3 )
3
9
x→0
P.P.(x) = f r23x2
Quesito n◦ 6
E’ un’quazione didﬀerenziale del Ii ordini, a coeﬃcienti costanti.Il teorema dice che se si conoscono due soluzioni
dell’equazione allora è anche soluzione una qualsiasi loro combinazione lineare del tipo C1 Φ1 +C2 Φ2 ∀C1 , C2 ∈ R.
E’ possibile quindi scegliere C1 = 3, C2 = −2
Quesito n◦ 7
Toerema di Rolle: almeno
Quesito n◦ 8
Il metodo più veloce, tratatndosi di cnoscere le derivate in x = 0, è quello di pensare allo sviluppo di Mac
Luarin.
Lo sviluppo presenta solo le potenze pari di xn , generate dalle derivate di ordine pari.
Si annullano, perciò, le derivate di ordine dispari.
k ∈ N NON k ∈ Z
Quesito 9
f′ =
−e−5x (−5)
5−5x
=
−5x
2
(3 − e
)
(3 − e−5x )2
1
poiché non troviamo il risultato, potremmo riscrivere e−5x = 5x , cosa che avremmo potuto fare anche
e
inizialmente, sull’enunciato
1
5 5x
5e5x
f ′ (x) = ( e )2 =
1
(3e5x − 1)2
3 − e5x
Quesito n◦ 10
y=
√
7
x + 7 −→ y 7 = x + 7; x = y 7 − 7; f −1 (x) = x7 − 7
Quesito n◦ 11
(
cos x · coshx =
) (
)
1 2
1 2
1
2
2
1 − x + o(x ) · (1 + x + o(x ) = 1 + x4 + o(x4 ) = 1 + o(x2 )
2
2
4
Quesito n◦ 12
Integrale improprio, su intervallo limitato, con funzione non limitata in x = 3
Nell’intervallo di integazione la funzione è negativa. Studiamo la convergenza con il criterio di convergenza
asintotica (per funzioni con segno costante):
x → 3+ :
f (x) ∼
1
(x − 3)3
Poichè
∫
4
3
1
dx , α > 1
(x − 3)α
diverge, allora anche l’integrale dato diverge negativamente
Quesito n◦ 13
• La funzione integranda è continua quindi la funzione integrale è derivabile e la sua derivata prima F ′ (x) =
f (x) → F ′ (x) = tanh x
• F (0) = 0, perché gli estremi di integrazione coincidono
• La funzione F (x) cresce se la derivata è positiva: F ′ (x) > 0 → tanh x > 0 → x > 0
Paola Suria
5
17◦ Simulazione
• allora F cresce se x > 0 decresce x < 0, Quindi in x = 0 la F (x) ha un minimo!!!!
• allora la F(x) è sempre ≥ 0 perché scende, tocca l’asse x nell’origine e poi risale!
• per studiare la convessità facciamo la derivata seconda, cioè la derivata prima della tanh x F ′′ (x) =
1
> 0 ∀x ∈ R
cosh2 x
• Quindi è convessa
Quesito 14
Se si parla di limite, probabilmente la funzione nel punto non esiste!
quindi sono sicuramente da eliminare le opzioni: b, d, c
Nell’opzione e) non è detto che la funzione sia maggiore di 1, si avvicina al 3 e quindi è un po’ troppo
vaga.
Invece la a) è la classica deﬁnizione di limite, parla di intorno bicato di 1 e ha fatto la scelta dell’ϵ ponendolo
uguale a 1. Si può scegliere epsilon non il punto di partenza sull’asse x!!!
Quesito n◦ 15
E’ un’applicazione del teorema tappabuchi. La funzione è contiuna nel punto x = 2. Non so nulla della sua
derivabilità, ma esiste il limite della derivata x → 2 ed uguale a 4: si deduce che la funzione è derivabile e la
sua derivata in x = 2 è 4!
Pensare ad una funzione a tratti:
{
{
4(x − 2) + 2
x≤2
4
x<2
f (x) =
f ′ (x) =
4 sin(x − 2) + 2 x > 2
4 cos(x − 2) x > 2
La funzione è continua in x = 2, ma non so se è derivabile.
Il limite della derivata, x → 2, vale 4, allora la funzione è derivabile in x = 2 e la sua derivata vale 4!
{
4
x≤2
′
f (x) =
4 cos(x − 2) x > 2
Quesito n◦ 16
La funzione è somma di una funzione pari ed una nè pari nè dispari, quindi non è nè pari nè dispari.
La funzione è somma di una funzione periodica ed una non peridica, quindi non è periodica.
Se fosse monotona, sarebbe anche iniettiva e ci sarebbero due item esatti.
Non è nè monotona nè iniettiva perché una restrizione è periodica
Ha inﬁniti zeri, con x < 0, quando il contributo dell’esponenziale è trascurabile
Paola Suria
6
17◦ Simulazione
Sarebbe anche possibile trovare graﬁcamente le intersezioni con l’asse x, cercando le intersezioni tra le due
funzioni
f1 (x) = ex ; f2 (x) = − cos x
Quesito n◦ 17
Ricordiamo il Teorema fondamentale dell’algebra: se un polinomio ha i coeﬃcienti reali allora, se ammette una
radice complessa deve ammettere anche la complessa coiugata con la stessa molteplicità.
Poiché il polinomio ammette la radice 2 + i ammette anche la radice 2 − i.
Allora le radici sono almeno tre e il polinomio è almeno di grado tre.
Quesito n◦ 18
Pensare a qualche insieme numerico
A
B
(−3, 3)
(−3, 4); [−3, 3); (−∞, +∞) : [−4, 4)
(−∞, 10)
(−∞, 10], (−∞, 20)
Si constata che inf(A) ≥ inf(B)
Quesito n◦ 19
E’ un’equazione del II ordine a coeﬃcienti costanti.
Scritta l’equazione carateristica si seduce che:
λ2 +
1
= 0 −→
4
Le soluzioni dell’equazione sono
y(x, C1 , C2 ) = C1 cos
1
λ=± i
2
x
x
+ C2 sin
2
2
a) l’equazione ammette soluzioni
√
)
(
)
(
1
1
π
1
1
3
+ C2 sin −
Approssimando ∼
−→ −2 = C1 ·
− C2 ·
b) −2 = C1 cos −
2
2
2
6
2
2
√
√
3 · C1 − C2 = −4 −→ C2 = 4 + 3C1 . Essitono quindi inﬁnite soluzioni che passano per il punto dato.
Ponendo C1 =−→ C2 = 4; ....
c) la soluzione costante y(x) = 0 si ottiene con C1 = 0; C2 = 0
d) con lo stesso ragionamento dell’item b) si dimostra che l’item d) è falso
e) con lo stesso ragionamento dell’item b) si dimostra che l’item e) falso
Quesito n◦ 20
√
3·x
lim √
=1
x→0
3·x
Paola Suria
7
18◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
18◦ SIMULAZIONE TEST ESAME
Ogni quesito ha una sola soluzione esatta
1. La funzione inversa della funzione f (x) = ex + 2 è
a) f −1 (x) = log(x + 2)
b) f −1 (x) = log x − 2
c) f −1 (x) = log x + 2
d) f −1 (x) = ex+2
e) f −1 (x) = log(x − 2)
2. La parte principale della funzione f (x) =
√
x2 + 4 − x + x3 + x4 , x → 0 è
a) x
b) 2
c) 2 + x
d) x4
e) 2x
∫
+∞
3.
2
log x
dx
x
a) converge ad un valore ﬁnito
b) converge a zero
c) vale +∞
d) vale 0
e) vale 1
4.
lim
n→+∞
(
√ )1
1 + n n2 vale
a) 0
b) 1
c) e
d) +∞
√
e) e
5. Sia f (x), x → +∞ una funzione inﬁnitesima. Allora g(x) = f (x2 )
a) è inﬁnitesima, per x → +∞
b) è inﬁnita, per x → +∞
c) tende a 0+ , per x → +∞
d) è inﬁnitesima, per x → 0
e) nessuna delle precedenti
Paola Suria
1
18◦ Simulazione
1
6. La derivata prima della funzione f (x) =
ex − 1
è
x
1
x + (x + 1)e x
x3
1
e x (x − 1) + 1
b)
x2
a)
x − (x − 1)e− x2
x3
1
x − (x − 1)e x
d)
x3
1
x − (x + 1)e x
e)
x3
1
c)
7. Se y(t) = e2 sin t è una soluzione dell’equazione diﬀerenziale y ′′ = ay + b, con a, b ∈ R, allora la soluzione
dell’equazione diﬀerenziale è nella forma
a) y(t) = C1 cos t + C2 sin t, con a = 1, b = 0
b) y(t) = C1 cos t + C2 sin t, con a = −1, b = 0
c) y(t) = C1 cos t + C2 sin t, con a = 1, b = 1
d) y(t) = C1 et + C2 e−t , con a = 1, b = 0
e) y(t) = C1 et + C2 e−t + e2 sin t
∫ x
2
8. Sia data la funzione F (x) =
e−t dt . Quale delle seguenti aﬀermazioni NON è vera
0
a)
lim F (x) = k, k ∈ (0, +∞)
x→+∞
b) F (0) = 0
c) F (x) è una funzione dispari
d) F (x) è una funzione monotona strettamente decrescente
e) F (x) < 0, x < 0
2x − 1
vale
x→0 sin 5x
9. lim
a)
b)
c)
d)
e)
log 2
5
2
5
1
5
1
log2 e
5
10. Scrivere lo sviluppo, di ordine 3, della funzione f (x) = 1 + sin x − x3 · cos x
7 3
x
3!
7
1 + x − x3 + o(x3 )
3
7
1 + x − x3 + o(x3 )
3!
4
1 + x − x3 + o(x3 )
3
7 3
x − x + o(x3 )
3!
a) 1 + x −
b)
c)
d)
e)
Paola Suria
2
18◦ Simulazione
1
11. Sia data l’equazione diﬀerenziale y ′′ + y ′ = 0. Quale delle seguenti aﬀermazioni NON è vera?
5
a) l’equazione ammette inﬁnite soluzioni costanti
b) l’equazione ammette inﬁnite soluzioni limitate in R
c) la soluzione del problema di Cauchy, associato all’equazione proposta, con la condizione y(0) = 0 è
1
y(t; C) = C(1 − e− 5 t )
1
1
d) la soluzione dell’equazione è y(t; C1 , C2 ) = C1 sin √ t + C2 cos √ t
5
5
e) l’equazione ammette inﬁnite soluzioni limitate in (−10, +∞)
12. Sia data la funzione f (x) = cos x. Per quale valori di n ∈ N f n (0) = 0
a) n = 2k + 1, k ∈ Z
b) n = 2(k + 1), k ∈ N
c) n = k, k ∈ N
d) k + 1, k ∈ N
e) n = 2k + 1, k ∈ N
√
13. Sia w = i e z1,2 = w. Quale delle seguenti aﬀermazioni NON è vera?
π
π
a) z1 = cos + i sin
4
4
√
√
2
2
b) z2 = −
−i
2
2
π
c) z1 = ei 4
d) z1,2 sono due numeri complessi coniugati
e) z1,2 hanno lo stesso modulo di w
{
cos x
x≥0
14. Sia f (x) =
a + x2 x < 0
a) se a = 1 f (x) è continua e derivabile in R
b) se a = 1 f (x) è continua ma non derivabile in x = 0
c) ∀a ∈ R f (x) è continua e derivabile in x = 0
d) se a = 1 f (x) è derivabile, ma non continua in x = 0
e) se a = 0 la funzione è derivabile, ma non continua in x = 0
15. Quale delle seguenti deduzioni è sicuramente vera per le successioni an e bn ?
a) se ∀n > n an ≤ bn e se an converge allora anche bn converge
b) se ∀n > n an ≤ bn e se bn diverge allora anche an diverge
c) se ∀n > n an ≤ bn e se an diverge negativamente allora anche bn diverge negativamente
d) se ∀n > n 0 ≤ an ≤ bn e se bn converge a zero allora anche an converge
e) se ∀n > n an ≤ bn e se bn converge allora anche an converge
16. La funzione f (x) =
1
soddisfa alle ipotesi del Teorema di Weiestrass nell’intervallo [a, 10] se
x−1
a) a ≤ 10
b) a ∈ (−∞, 1)
c) a ∈ (1, 10)
d) a ∈ [−1, 10]
e) a ∈ (1, +∞)
Paola Suria
3
18◦ Simulazione
17. Quale delle seguenti proprietà è soddisfatta dalla funzione f (x) = 2 + 6(x − 2) + (x − 2)2 + o((x − 2)2 )?
a) f (x) non è inﬁnitesima, è crescente ed è convessa in un intorno di x = 2
b) f (x) non è inﬁnitesima, è crescente ed è convessa in un intorno di x = 0
c) f (x) è inﬁnitesima, è crescente ed è concava in un intorno di x = 2
d) f (x) non è inﬁnitesima, è decrescente ed è convessa in un intorno di x = 2
e) f (x) è crescente ed è concava in un intorno di x = 2
18. Siano f (x) = log x e g(x) = e4x . Quale delle seguenti aﬀermazioni NON è vera?
a) f (f (x)) = log(log x) con dominio (1, +∞)
b) g(g(x)) = e4e
4x
con domino R
c) f (g(x)) = 4x con dominio R
d) g(f (x)) = x4 con dominio R
e) f (f (g(x))) = log 4x con dominio (0, +∞)
sin(x2 − 9)
vale
x→3
x−3
19. lim
a) 6
b) 3
c) 1
d) 0
1
e)
6
20. Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 3, della funzione f (x) = log(3 + sin x) − log 3 è
x2
x3
−
+ o(x3 )
2
3!
x3
+ o(x3 )
x+
3!
x2
x3
x−
+
+ o(x4 )
2
3!
x2
x3
x−
+
2
3!
2
x x
7x3
−
−
+ o(x3 )
3
18 162
a) x −
b)
c)
d)
e)
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
Paola Suria
1
e
2
b
3
c
4
b
5
a
6
e
7
b
8
d
9
a
10
c
11
d
4
12
e
13
d
14
a
15
d
16
c
17
a
18
d
19
a
20
e
18◦ Simulazione
CONSIGLI
• Consigli quesito 2
Per trovare la parte pricipale posso cercare l’ordine di inﬁnitesimo rispetto al campione, oppure, visto che
sono nell’intorno di x = 0 utilizzare Mac.
Vedo che la parte polinomiale arriva alla quarta potenza... quindi a buon intenditore poche parole!
√
( x )2
√
3
4
2
f (x) = x + 4 − x + x + x = 2 1 +
− x + x3 + x4
2
(
1
1 x2
−
f (x) = 2 1 +
2 4
8
(
x2
4
)2
1
+
16
(
x2
4
)
)3
4
+ o(x )
− x + x3 + x4
Anzi ho fatto male.... per x → 0 il termine che conta di più è il 4!!!
perciò la parte principale è
√
4
Quesito 6
′
f (x) =
( 1(
)
)) ( 1
x e x − x12 − e x − 1
x2
1
1
−1ex − ex + 1
−e x − xe x + x
x − e x (x + 1)
= x
=
=
x2
x3
x3
1
1
1
Quesito n◦ 7
Si tratta di un’equazione diﬀerenziale a coeﬃcienti costanti, con termine forzante e dipendente da un
parametro.
y ′′ − ay = b
1. Potremmo imporre alla soluzione data di soddisfare l’equazione
2. Non cadiamo nella trappola, tesa per gli allocchi: e2 è una costante!
y ′ = e2 cos t; y ′′ = −e2 sin t =⇒ −e2 sin t = ae2 sin t + b
Per il principio di identità:
−1 = a e b = 0
3. Avremmo potuto scrivere l’equazione caratteristica λ2 − a = 0.
Le soluzioni cambiano a seconda che a > 0 → δ < 0; a = 0 → ∆ = 0; a > 0 → ∆ < 0
Questo metodo è proprio l’uﬃcio compliazioni cose semplici. E’ necessario avere il coraggio di
tornare indietro!
Consigli quesito 8
Si tratta di una funzione integrale: mi deve venire in mente il Teorema fondamentale
se f : [a, b] =⇒ R è continua (le condizioni sono due: intervallo chiuso e limitato e funzione continua),
allora
– F (x) è derivabile
– F ′ (x) = f (x)
L’intervallo è chiuso e limitato [0, x] e f (x) = e−t è continua.
2
Paola Suria
5
18◦ Simulazione
– a) Possiamo fare il limite, ma ciò equivale a dire che calcoliamo l’integrale improprio F (x) =
∫ +∞
2
e−t dt . Se esso converge, allora il limite tende a k... in caso contrario tende a +∞
0
Ci serviamo del criterio del confronto diretto
e−x <
2
Poichè
∫
+∞
1
1
x2
1
dx converge anche il nostro integrale improprio
x2
– F (0) = 0 ovvio
– c) F (x) è dispari perché la funzione integranda è pari
– d) per studiare la monotonia, facciamo la derivata prima
Allora la funzione F (x) è monotona strettamente crescente Risposta sbagliata!!
– Ora se F (x) è crescente, ma passa per l’origine F (0) = 0 → F (x) > 0 per x > 0
(18) Costruiamo tutte le funzioni coinvolte nel quesito:
Attenzione al dominio quando si costruisce una funzione composta!!!
a) f (f (x)) = log(log x)
b) g(g(x)) = e4e
4x
dom f: (1, +∞)
dom f: R
dom f: R
c) f (g(x)) = log(e4x ) = 4x
4
d) g(f (x)) = x4 log x = xlog x = x4
e) f (f (g(x))) = log 4x
dom f: (0, +∞)
dom f: (0, +∞)
Quindi la risposta sbagliata è la d), per il dominio!
(19) Conviene rinominare x − 3 = t → x = 3 + t; x2 − 9 = (x − 3)(x + 3).
Nell’intorno di x = 3, x2 − 9 → 6t
• quesito 20
(
)
x3
3
f (x) = log(3 + sin x) − log 3 = log 3 + x −
+ o(x ) − log 3
3!
Raccolgo il 3
]
(
)
x3
x
x3
x
3
3
log 3(1 + −
+ o(x )) − log 3 = log 3 + log 1 + −
+ o(x ) − log 3
3 3 · 3!
3 3 · 3!
[
Sempliﬁco e sviluppo log(1 + P ippo) facendo attenzione a non perdere i pezzi!!
(
)
(
)2
(
)3
x
x3
1 x
x3
1 x
x3
3
3
3
−
+ o(x ) −
−
+ o(x ) +
−
+ o(x )
3 3 · 3!
2 3 3 · 3!
3 3 3 · 3!
Paola Suria
6
18◦ Simulazione
( 3
)
x x3
1 x2
1 x3
x 1 x2
x
1 x3
3
f (x) = −
=
−
+
+ o(x ) = −
+ − +
3
18 2 9
3 27
3 2 9
18 3 27
f (x) =
Paola Suria
x x2
7 3
−
−
x + o(x3 )
3
18 162
7
19◦ Simulazione
CORSO DI DI ANALISI I
19◦ SIMULAZIONE TEST ESAME
Ogni quesito ha una sola soluzione esatta
1. Sia data un funzione f , strettamente decrescente, e con f ′ (0) < −1.
Quanto vale il coeﬃciente angolare della retta tangente al graﬁco della funzione inversa nel suo punto
(f (0), 0)?
a) m > 0
b) m > −1
c) −1 < m < 0
d) m ≥ 0
e) m < 0
2. Siano zk le radici quarte di w = −16i. Allora
a) z = 2i, è l’unica radice, con molteplicità 4
b) le quattro radici sono a due due coniugate
c) due radici sono reali
d) le radici, scritte con notazione esponenziale, sono 2ei(− 8 +
π
kπ
2
) , k = 0, 1, 2, 3
e) le quattro radici sono vertici di un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio 1
3. Sia dato il seguente problema di Cauchy:
{
4
y′ − y = 0
5
y(1) = 0
Quale delle seguenti aﬀermazioni è necessariamente vera?
a) inﬁnite soluzioni dell’equazione soddisfano il problema di Cauchy
b) la soluzione costante y = 0 è l’unica soluzione del problema di Cauchy
4
c) la soluzione dell’equazione è y(x) = e 5 x
d) la soluzione del problema di Cauchy è y(x) = 1
e) nessuna delle precedenti è vera
4. Se f (x) ∼ 3x, x → −∞, allora
a) f (x) ha asintoto obliquo x → −∞
b)
lim (f (x) − 3x) = 0
x→−∞
c) ef (x) ∼ e3x , x → −∞
( )
1
1
∼
, x→0
d) f
3x
3x
e) nessuna delle precedenti
5. Sia data la funzione f : [0, 8] → R. Sapendo che f (0) = −6, f (3) = 1, f (8) = 7
a) max (f (x)) = 7
b) imf è un intervallo
c) minimo della funzione, se esiste, è (f (x)) ≤ −6
d) ∃ almeno un c ∈ (0, 8) \f (c) = 5
e) la funzione assume tutti i valori nell’intervallo [−6, 7] almeno una volta
Paola Suria
1
19◦ Simulazione
6. lim
x→0
sin 4x
cosh 3x − 1
a) 0
8
b)
9
c) 0
d) +∞
e) @
7. Sia data f (x) = π − 2(x + 2π) + 3(x + 2π)3 + o((x + 2π)3
a) l’equazione della retta tangente in x = −2π è y = −(2x + 3π)
b) f (0) = −3π(1 − 8π 2 )
c) x = −2π è punto di ﬂesso a tangente orizzontale
d) l’equazione della retta tangente, in x = −2π, è y = −2x + 3π
e) in x = −2π la funzione è positiva, crescente, convessa con f ′′ (−2π) = 0
8. Trovare il polinomio di Mac Laurin di II grado della funzione f (x) = cos x · cosh x
1
a) Tx=0,n=2 (x) = 1 − x2 + o(x2 )
2
b) Tx=0,n=2 (x) = 1 + o(x2 )
1
c) Tx=0,n=2 = 1 − x2
6
1
d) Tx=0,n=2 (x) = 1 − x4
4!
e) Tx=0,n=2 (x) = 1
9. L’integrale improprio
∫
0
1
5 + sin
√
x
(1)
x
dx
a) diverge positivamente
b) converge a zero
c) converge ad un numero positivo, compreso tra 8 e 12
d) converge ad un numero positivo maggiore di 15
e) converge ad un numero positivo minore di 3
10. La parte principale, per x → 0, della funzione f (x) = −9x2 + 6x − 2 log(1 + 3x) è:
a) 18x3
b) −18x3
c) −9x2
d) 6x
e) −6x
11. Per la funzione f (x) = −9x2 + 6x − 2 log(1 + 3x), il punto x = 0 è
a) ﬂesso a tangente orizzontale decrescente
b) punto di massimo relativo
c) punto di minimo relativo
d) ﬂesso a tangente orizzontale crescente
e) punto di intersezione con asse x, zero semplice
Paola Suria
2
19◦ Simulazione
12. La funzione f (x) = x3 sin x, in x = 0
a) ha un punto angoloso
b) non è derivabile
c) è continua, ma non derivabile
d) è derivabile e la sua derivata è nulla
e) non è continua
13. L’equazione diﬀerenziale
y ′ = x3 + ey
a) è lineare del I ordine
b) è a variabili separabili
c) è del primo ordine ed ammette y = ex come soluzione particolare passante per (0, 1)
d) nessuna delle altre risposte è esatta
e) y(x) = log x è una sua soluzione particolare
14.
x4 + 5x2 + 4
=
x→+∞ 7 − sin2 x
lim
a) @
b) 0
c) +∞
d) 1
1
e)
7
15. Quale delle seguenti proprietà è soddisfatta dalla funzione
f (x) = e + e(x + 1) + 4e(x + 1)2 + o((x + 1)2 )
Allora
a) f (1) = e
b) nell’intorno di x = −1 è positiva, crescente, convessa
c) la retta tangente in x = 1 è y = e + e(x + 1)
d) non esiste un intorno di x = −1 in cui la funzione non cambi di segno
e) la funzione è inﬁnitesima in x = −1
16. Lo sviluppo di Mac Laurin, del terzo ordine, della funzione f (x) = 4x è:
a) 1 + 2 log 2 · x + 2 log2 2 · x2 +
4
log3 2 · x3 + o(x3 )
3
4
log3 2 · x3 + o(x3 )
3
c) 1 + 2 log 2 · x + 4 log2 2 · x2 + 8 log3 2 · x3 + o(x3 )
1
1
d) 1 + x + x2 + x3 + o(x3 )
2
3!
e) 1 + log 4 · x + log2 4 · x2 + log3 4x3 + o(x3 )
{
}
n
17. Sia dato l’insieme A = −
: n = 0, 1, 2... ∪ {−3}. Quale delle seguenti aﬀermazioni è corretta?
n+3
(
n)
n
a) lim −
= lim −1 +
= +∞
n→+∞
n + 3 n→+∞
3
b) l’insieme A non è limitato superiormente
b) 2 log 2 · x + 2 log2 2 · x2 +
c) l’insieme A ammette massimo e minimo
d) l’insieme A ammette sup, ma non massimo
e) l’insieme A ammette inf, ma non minimo
Paola Suria
3
19◦ Simulazione
( )
sin − x1 − 4
lim
=
x
x→0−
18.
a) 0
b) +∞
c) −∞
d) @
e) −4
19. Sia z = −2 − i, qual è il modulo del numero complesso z 2 + 3i?
a) 14
b) 8
c) 10
√
d) 58
√
e) 74
20. Una primitiva della funzione f (x) = 2 sin2 x · cos x è:
a)
b)
c)
d)
e)
1
1
sin3 x +
3
3
sin3 x
2
− sin3 x · sin x
3
2
− sin3 x + 2
3
2
sin3 x + sin2 x + cos2 x
3
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
c
2
d
3
b
4
e
5
c
6
e
7
a
8
e
9
c
10
b
11
a
12
d
13
d
14
c
15
b
16
a
17
c
18
b
19
d
20
e
CONSIGLI
(1) Ricordare quali sono gli m < −1... Prendiamo un esempio m = −2. La funzione inversa avrà derivata
1
prima, in quel punto − . Allora −1 < m < 0
2
(2) Ricordare che le radici quartiche di un numerio complesso sono quattro, vertici di un quadrato inscritto
√
in una circonferenza di raggio 4 ρ.
(4) l’opzione d) sarebbe esatta se avessimo x → 0− , invece l’opzione parla solo di x → 0!
l’item a) è sbagliato, perché equivalente non signiﬁca asintotico (mentre asintotico implica equivalente)
l’item b) è la deﬁnizione di asintotico e questo è falso
se due funzioni sono equivalenti non è detto che lo siano i loro esponenziali.
x → −∞, x ∼ x + sin x
lim
ex
x→−∞ ex+sin x
Paola Suria
= lim ex−x−sin x = lim e− sin x = @!!!! ̸= 1
x→−∞
x→−∞
4
19◦ Simulazione
(5) Non ci sono informazioni sulla continuità, derivabilità della funzione.
(6) Il limite esiste se il limite destro e sinistro esistono e sono finiti
In questo caso
lim f (x) = −∞;
lim f (x) = +∞
x→0−
x→0+
quindi il limite non esiste
Quesito n◦ 9
E’ un integrale improprio, perché la funzione integranda non è limitata nell’intervallo di integrazione (in x = 0).
Per studiarne la convergenza valutiamo il segno della funzione integranda
5 + sin x1
5−1
5+1
√ ≤
√
≤ √
x
x
x
La funzione integranda ha perciò segno costante positivo.
Valutiamo la convergenza con il criterio del confronto asintotico
∫ 1
∫ 1
∫ 1
5 + sin x1
5 + sin x1
4
6
4
6
√ ≤
√
√ dx ≤
√
√ dx
≤ √ =⇒
dx ≤
x
x
x
x
x
x
0
0
0
Poiché la funzione integranda è compresa tra due funzioni con integrale improprio (tra 0 e 1) convergente anche
l’integrale dato converge ad un numero positivo.
∫ 1
∫ 1
∫ 1
∫ 1
[√ ]1
[√ ]1
5 + sin x1
5 + sin x1
1
1
√ dx ≤
√
√ dx =⇒ 8 x 0 ≤
√
8
dx ≤ 12
dx ≤ 12 x 0
x
x
0 2 x
0
0
0 2 x
∫ 1
1
5 + sin x
√
8≤
dx ≤ 12
x
0
Quesito n◦ 10
Sviluppiamo in serie di Mac Laurin:
(
)
9x2
27x3
54
f (x) = −9x2 + 6x − 3x −
+
+ o(x3 ) = −9x2 + 6x − 6x + 9x2 − x3 + o(x3 )
2
3
3
Quesito n◦ 11
La funzione è quella del quesito n◦ 11. Dallo sviluppo di Mac Laurin leggiamo il suo comportamento in
x = 0: punto critico, ﬂesso discendente, zero triplo, nell’intervallo di x = 0 la funzione cambia di segno e
54
′′′
f (0) = − · 3! = −108
3
Quesito n◦ 12
La funzione è continua un x = 0. Per valutare la derivabilità si può procedere in due modi diversi:
1. Con la deﬁnzione
|x3 | sin x − 0
x2 |x| sin x
= lim
= lim x|x| sin x = 0
x→0
x→0
x→0
x−0
x
La funzione è derivabile e la sua derivata è nulla
lim
2. Riscrivo la funzione, veriﬁco la continuità e poi la derivabilità, con il teorema tappabuchi (prima si deve
veriﬁcare la continuità!)
{
f (x) =
x3 sin x
−x3 sin x
x≥0
x<0
f ′ (x) =
{
3x2 sin x + x3 cos x
−3x2 sin x − x3 cos x
x>0
x<0
La continuità è facile da viriﬁcare con i limiti laterali destro e sinistro della funzione.
La derivabilità si deve veriﬁcare con il calcolo dei limiti laterali destro e sinistro della derivata.
Quesito n◦ 13
E’ un’equazione del primo ordine né lineare né a variabili separabili.
Veriﬁchiamo se y = ex è soluzione: y ′ = ex =⇒ ex = x3 + ee
Avremmo dovuto trovare un’identità (0=0; x=x...). Quindi non è soluzione.
1
1
= x3 + x.
Veriﬁchiamo con y = log xx; y ′ = =⇒
x
x
Anche in questo caso non abbiamo trovato una identità e quindi l’item è falso!
x
Paola Suria
5
19◦ Simulazione
Quesito n◦ 17
L’item a) contiene un gravissimo errore di concetto (che purtroppo ho visto fare da uno studente!!!)
a+b
a b
a
= + ; invece
=!!!! nulla!
c
c
c
b+c
In realtà gli errori sono due, perché il segno ’-’ è davanti all’intera frazione.
Ricordare:
Quesito n◦ 18
( )
sin − x1 − 4
3
5
≤ − =⇒
− ≤
x
x
x
lim f (x) = +∞
x→0−
Quesito n◦ 20
La primitiva è deﬁnita a meno di una costante addittiva. Attenzione sin2 x + cos2 x = 1 e quindi è costante.
Per trovare la soluzione sarebbe possibile derivare le soluzioni per vedere qual è l’item corretto.
Volendo integrare invece è possible procedere per sostituzione
∫
sin x = t
=⇒
dt = cos x dx ;
t2 dt =
t3
+c
3
E’ anche possibile vedere la funzione integrale come la derivata di una funzione composta
∫
∫
sin x · cos t dt =
n
Paola Suria
∫
n
(sin x) · cos x dx =
6
(f (x))n · f ′ (x) dx =
n+1
(f (x))
n+1
+c
20◦ Simulazione
CORSO DI DI ANALISI I
20◦ SIMULAZIONE TEST ESAME
Ogni quesito ha una sola soluzione esatta
√
√
x−1
x−1
1. Siano date le due funzioni f (x) = √
, g(x) =
. Quale delle seguenti proprietà è soddisfatta?
x+3
x+3
a) f (x) = g(x), ∀x ∈ (−∞, −3) ∪ [1, +∞)
b) f (x) = g(x), ∀x ∈ (1, +∞)
c) dom g ⊆ dom f
d) dom g = dom f
e) f (x) = g(x), ∀x ∈ [1, +∞)
∫
2.
π
cos xesin x dx =
0
a) 0
b) 1
c) 2
d) eπ − 1
e) -1
3. Il seguente integrale improprio
∫
+∞
0
a) converge a zero
√
x+2
dx
x+5
1
b) diverge a +∞
c) è indeterminato
d) converge ad un numero positivo
e) nessuna delle risposte precedenti
4. Sia data una funzione continua nel suo dominio, tale che f : R\{1, 6} → R. Allora ha sicuramente un
punto di minimo se:
a) lim− f (x) = +∞ e
x→6+
b) lim+ f (x) = −∞ e
x→6−
x→1
x→1
lim f (x) = +∞
lim f (x) = +∞
c) inf(f ) ≤ 0; sup(f ) ≥ 0
d) inf(f ) ≤ 0; sup(f ) > 0
e) lim+ f (x) = +∞ e
x→1
lim f (x) = +∞
x→6−
5. Sia A ⊆ R e sia p = inf A. Sapendo che p ∈ R, quale delle seguenti aﬀermazioni è FALSA?
a) A è limitato inferiormente
b) se p ∈ A → p è il minimo di A
c) p è il più grande di minoranti
d) A è limitato
e) p è un minorante di A
1 attenzione
Paola Suria
la funzione converge a zero, ma non l’integrale!!
1
20◦ Simulazione
6. Sia f una funzione continua in [10, +∞) che soddisfa alla condizione f (x) ≥
∫
1
, ∀x ≥ 10. Allora
x10
+∞
f (x) dx
10
a) converge
b) è indeterminato
c) diverge
d) può convergere (ad un numero positivo) oppure divergere a +∞
e) converge a zero
)
(
7. Quale delle seguenti funzioni NON è la derivata della funzione f (x) = log cos(2x)e3x ?
3 cos 2x − 2 sin 2x
cos 2x
3
cos
2x
− 4 sin x cos x
f ′ (x) =
cos 2x
f ′ (x) = 3 − 2 tan 2x
sin 2x
f ′ (x) = 3 − 2
cos 2x
sin 2x
f ′ (x) = 3 −
cos 2x
a) f ′ (x) =
b)
c)
d)
e)
8. L’equazione diﬀerenziale y ′ =
x−y
, x ∈ (−1, +∞)
x+1
a) ha la soluzione y(x) = x
b) ha la soluzione y(x) = 1
c) è a variabili separabili
d) è lineare
e) non ha soluzioni
9. Calcolare il limite
2
lim
x→+∞
e
x2 +3
x−4
ex
=
a) 1
b) 0
c) +∞
d) e
e) e4
10.
lim
x→0
a)
b)
c)
d)
e)
1 − cos 4x
=
sinh2 3x
16
9
8
9
2
3
4
3
2
9
2 Controllare
Paola Suria
i consigli in calce
2
20◦ Simulazione
11. La parte principale, per x → 0, della funzione f (x) =
u(x) = x, è
√
7
x6 + x7 + 3x, rispetto al campione standard
a) 3x
1
b) 3x 7
c) x
6
d) x 7
1
e) (3x) 7
12.
lim
n→+∞
(
(
cos
n
n2 + 1
))− arctan n
a) +∞
b) 0
c) 1
π
d)
2
e) @
13. Il polinomio di Mac Laurin, di ordine 2, della funzione f (x) =
2e−x − x2
è
1 + x2
a) 1 − x − x2
b) 2x − 2x2
c) 2 − 2x − 2x2 + o(x2 )
d) 2 − 2x − 2x2
e) x − x2
14. Sia data la funzione f : R → R, continua e derivabile e tale che f (1) = 3, f (5) = 7. Allora ∃c ∈ (1, 5)
tale che:
a) f ′ (c) = 2
b) f ′ (c) = 0
c) f ′ (c) = 1
d) f ′ (c) = −2
e) f ′ (c) = 5
(
)
15. Lo sviluppo di Taylor della funzione f , nell’intorno di x = 2, è f (x) = e+e(x−2)−2e(x−2)2 +o (x − 2)2 .
Allora
a) f ha minimo in x = 2
b) f ha massimo in x = 2
c) f ha un ﬂesso in x = 2
d) la retta tangente in x = 0 ha equazione y = −e + ex
e) ∃δ > 0 : ∀x ∈ Iδ (2) la funzione sia positiva, crescente e concava
16. Sia I ⊂ R un intervallo e siano f, g due funzioni deﬁnite da I → R che soddisfano alla condizione che
∀x ∈ I → R f ′ = g ′ , allora
a) f − g è una funzione costante in I
b) f, g hanno la stessa primitiva in I
c) f, g hanno integrali indeﬁniti uguali in I
d) f (x) = g(x), ∀x ∈ I
∫ b
∫ b
f (x) dx =
g(x) dx , ∀a, b ∈ I
e)
a
Paola Suria
a
3
20◦ Simulazione
17. Siano f, g due funzioni deﬁnite da R → R, entrambe derivabili, con f ′ (0) = 1, f (0) = −3. Posto
h(x) = f (x) · g(x) allora:
a) h′ (0) = −3g ′ (0) + g(0)
b) h′ (0) = g ′ (0)
c) h′ (0) = 3g ′ (0)
d) h′ (0) = −3
e) h′ (3) = −3g(3) + g ′ (3)
18. Sia f (x) una funzione che soddisfa alla condizione x + 1 < f (x) < x + 2, ∀x ∈ R. Allora
a) f (x) ∼ x, x → +∞
3
b) la retta y = x + è asintoto obliquo per la funzione
2
c) la funzione è monotona, strettamente crescente in R
d) l’equazione della funzione f (x) è del tipo f (x) = x + k, k ∈ [1, 2]
e) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R
19. La funzione f (x) = |x − 4|a , dove a è un parametro positivo, è derivabile due volte in R se e solo se
a) a > 2
b) a > 0
c) a ≥ 2
d) a ≥ 1
e) a > 1.
20. Se f : R → R è una funzione continua e derivabile almeno 5 volte∫ nell’intorno di x = 0, con sviluppo di
1
f (x) · sin x
dx
Mac Laurin f (x) = 3x3 + x5 + o(x5 ), allora l’integrale improprio
xα
0
a) converge per ogni α < 1
b) converge per ogni α < 5
c) converge per ogni α > 1
d) converge per ogni α > 5
e) è indeterminato per ogni α
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
Paola Suria
1
e
2
a
3
b
4
e
5
d
6
d
7
e
8
d
9
e
10
b
11
e
4
12
c
13
d
14
c
15
e
16
a
17
a
18
a
19
c
20
b
20◦ Simulazione
CONSIGLI
Quesito n◦ 6
f (x) ≥
1
→
x10
∫
+∞
10
1
dx ≤
x10
∫
+∞
f (x) dx
10
Poiché il primo integrale converge ad un numero ﬁnito, possiamo dedurre che il secondo integrale può convergere
ad un nuero positivo, ma potrebbe anche divergere a +∞
(P.s. se so che un patrimonio è maggiore del mio, quanto è grande il patrimonio sconosciuto? sicuramente
maggiore del mio, ma di quanto? come quello di S....o oppure di ....)
Quesito n◦ 9
lim
x→+∞
e
x2 +3
x−4
ex
= lim e
x→+∞
x2 +3
x−4 −x
= lim e
x2 +3−x2 +4x
x−4
x→+∞
4x+3
= lim e x−4 = e4
x→+∞
Attenzione sarebbe sbagliato pensare (gli esponenziali...)
lim
x→+∞
e
x2 +3
x−4
ex
x2
ex
ex
= lim
=
lim
= 1 !!!!!!!!!!!!
x→+∞ ex
x→+∞ ex
Ricorda che se f (x) ∼ g(x), x → x0 non è detto che ef (x) ∼ eg(x) , x → x0
Quesito 16
Il quesito si riferisce alle proprietà delle primitive:
Due primitive di una stessa funzione diﬀeriscono per una costante addittiva.
Cechiamo due primitive di f (x) = x + 3. Una primitiva (integro) è F1 (x) =
x2
+ 3x. Un’altra F2 (x) =
2
x2
+ 3x + 220...
2
F1 − F2 = −220 = costante
Nel nostro queisto il ruolo di F1 , F2 è ricoperto da f, g e quello di f, g è ricoperto da f ′ , g ′ . Quindi quando faccio
l’integrale deﬁnito (propsta e) cioè l’are non è uguale per il ruolo della costante addittiva
Quesito 18
Per il criterio del contronto (limiti, Pinocchio) la funzione va all’inﬁnito restando equivalente a x
equivalente non implica asintotico, le due rette date sono equivalenti all’inﬁnito, ma non asintotiche, perché la
diﬀerenza tra due punti di uguale ascissa non tende a zero. Non sappiamo cosa fa una funzione contenuta nel
mezzo
3 1
Nel graﬁco è rappresentata la funzione f (x) = x + + sin x
2 2
La funzione scelta serva da controesempio anche per le altre risposte.
Quesito 19
{
f (x) =
(x − 4)a
(4 − x)a
x≥4
x<4
′
f (x) =
{
a(x − 4)a−1
−a(4 − x)a−1
x>4
x<4
′′
f (x) =
{
a(a − 1)(x − 4)a−2
a(a − 1)(4 − x)a−2
x>4
x<4
Aﬃnché la funzione sia derivabile almeno una volta (teorema tappabuchi) i limiti laterali, destro e sinistro, della
Paola Suria
5
20◦ Simulazione
derivata prima devono essere uguali.
Perciò a − 1 > 0. In tal modo il risulatto del limite della derivata prima è zero ela fuznione è derivabile
Se osserviamo la derivata seonda i coeﬃcienti moltiplicativi sono uguali, pertanto aﬃnché sia derivabile due
volte è suﬃciente che l’esponente sia ≥> 0 → a − 2 ≥ 0; a ≥ 2
Quesito 20
Si tratta di un integrale improprio su intervallo limitato.
Studiamo la funzione integrale
x→0
f (x) sin x
3x3 · x
1
∼
≍ α−4
α
x
xα
x
1. α − 4 ≥ 1 → α ≥ 5 l’integrale improprio diverge ad un numero positivo, per il criterio asintotico
2. α − 4 < 1 → α < 5 l’integrale improprio converge ad un numero positivo, per il criterio asintotico
P.S. per x → 0 abbiamo sostituito sia alla funzione f sia al seno la loro parte principale, perché si tratta di un
prodotto.
Paola Suria
6
21◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
21◦ SIMULAZIONE
1. Quale delle seguenti classi di funzioni NON è sempre integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a, b]?
a) le funzioni continue a tratti su [a, b]
b) le funzioni continue su (a, b) e limitate su [a, b]
c) le funzioni monotone su [a, b]
d) le funzioni limitate su [a, b]
e) le funzioni continue su [a, b]
2. Quale delle seguenti proprietà NON è soddisfatta da una funzione Riemann integrabile in [a, b]?
a) condizione suﬃciente aﬃnché una funzione f , deﬁnita in [a, b], sia Riemann integrabile su [a, b] è che
sia continua in [a, b]
b) condizione suﬃciente aﬃnché una funzione f , deﬁnita in [a, b], sia Riemann integrabile su [a, b] è che
sia derivabile in [a, b]
c) condizione necessaria aﬃnché una funzione f , deﬁnita in [a, b], sia Riemann integrabile su [a, b] è che
sia continua in [a, b]
d) condizione suﬃciente aﬃnché una funzione f , deﬁnita in [a, b], sia Riemann integrabile su [a, b] è che
sia continua in (a, b) e limitata in [a, b]
e) condizione suﬃciente aﬃnché una funzione f , deﬁnita in [a, b], sia Riemann integrabile su [a, b] è che
sia continua a tratti in [a, b]
3. Quante sono le soluzioni z ∈ C dell’equazione (z 4 + 4) · (z 3 − 8) = 0 con Re(z) < 0?
a) quattro
b) tre
c) due
d) sette
e) nessuna
4.
lim+
x→0
(
)
log 1 − cos 7x2
=
log x
a) 2
b) 4
c) -2
d) +∞
e) 49
5.
∫
log 10
log 2
√
a) 6 − 3
ex
√ x
dx =
e −1
b) 2
c) 4
d) 2 log 10 − 2 log 2
e) 6
Paola Suria
1
21◦ Simulazione
∫
6.
π
√
2 1 + cos x dx =
π
2
a) -2
√
b) 2( 2 − 1)
c) 2
√
d) 4( 2 − 1)
e) 4
7. Il modulo di z =
√
3
√
b) 2
1
c)
2
√
d) 2 2
√
√
2+i 2
√
3−i
a)
e) 1
8. Lo sviluppo di Mac Laurin di ordine 3 della funzione f (x) =
a) 1 + x +
ex − 1
è:
cos x
x2
2
+ x3 + o(x3 )
2
3
1 3
x + o(x3 )
2
1
1
c) x + x2 − x3 + o(x3 )
2
3
1 2 1 3
d) 1 + x + x − x + o(x3 )
2
3
2
x
2
+ x3 + o(x3 )
e) x +
2
3
b)
9. La retta tangente alla funzione f (x) =
1
in x = 0 è:
1 − 2ex
a) y = −2x
b) y = −1 − 2x
c) y = 1 + 2x
d) y = 2x − 1
e) y = 2x
10. Quanto vale l’integrale improprio
1
2
∫
2
log
0
a) log 8 − 2
b) 2 − log 8
c) log 4 − 1
d) 1 − log 4
e) +∞
Paola Suria
2
x2
dx
x−1
21◦ Simulazione
11. L’asintoto, per x → −∞ di f (x) =
x3 + x2 √ 2
+ x + 6x è:
x2 + 1
a) y = x + 1
b) y = −2
c) y = −1
d) y = 2x
e) nessuna delle altre risposte
12. Lo sviluppo di Mac Laurin, del terzo ordine, della funzione f (x) = sin
√
√
a) 3x + 3x2 + o(x3 )
√
3x · ex è:
b) nessuna delle altre risposte
√
√ 2
√
3 3
c) 3x + 3x +
x + o(x3 )
2
√
√
d) 3x − 3x2 + o(x3 )
√
√
√
e) 3x + 3x2 + 3x3 + o(x3 )
8
13. Il più grande intervallo aperto in cui la funzione f (x) = (x log x) è decrescente è:
a) x < e−1 ∨ x > 1
b) (0, e−1 ) ∪ (1, +∞)
c) [e−1 , 1]
d) (e, +∞)
e) ∀x ∈ dom f
14. Sia z ∈ C, z ̸= 0. Quale delle seguenti aﬀermazioni NON è vera?
a) Arg(z) = −Arg(z)
b) Arg(z) =Arg(−z)
( )
1
c) Arg(z) =Arg
z
( )
1
d) Arg(z) =Arg
z
e) Arg(zz) = 0
15.
∫
1
−1
x
dx =
1 + x2
a) −2 log 2
b) 2 arctan 1
c) 0
d) 2 log 2
e) arctan 1
16. Sia f : R → R una funzione continua e periodica di periodo 2π. Quale delle seguenti aﬀermazioni è vera?
∫ 2b
∫ b
a) ∀a, b ∈ R :
f (x) dx = 2
f (x) dx
2a
a+ π
2
∫
b) ∀a ∈ R :
∫
a
f (x) dx = 0
a−f racπ2
a
f (x) dx = 0
c)
−a
∫
∫
b+2π
d) ∀a, b ∈ R :
b
f (x) dx =
a+2π
f (x) dx
a
e) nessuna delle altre risposte è esatta
Paola Suria
3
21◦ Simulazione
17. Sia f una funzione due volte derivabile e sia g(x) = f (cos x). Allora g ′′ (x) =
a) − cos x · f ′ (cos x) − sin x · f ′′ (cos x)
b) − cos x · f ′ (cosx)
c) sin2 x · f ′′ (cosx)
d) f ′′ (− cos x) · sin2 x − f ′ (− sin x) · cos x
e) f ′′ (cos x) · sin2 x − f ′ (cos x) · cos x
18. L’insieme dei numeri reali α per cui lim+
x→0
x − sin x
> 0 è
xα
a) α ≤ 3
b) α ≥ 2
c) α > 2
d) α > 3
e) α ≥ 3
19. Quale delel seguenti propietà NON è una proprietà dell’integrale deﬁnito su un intervallo limitato I?
∫ b
∫ c
∫ b
a)
f (x) dx =
f (x)dx +
f (x) dx , a, b, c ∈ I
a
∫
a
c
∫
b
b)
(αf (x) + βg(x)) dx = α
b
g(x) dx , a, b ∈ I; α, β ∈ R
f (x)dx + β
a
∫
∫
b
a
a
b
f (x) dx ≥ 0, a, b ∈ I
c)
a
∫
d) Se f ≤ g∀x ∈ I, a < b −→
∫
a
b
f (x) dx ≤
a
g(x) dx
a
∫
b
f (x) dx ≤
e)
b
f (x) dx ≤
a
∫
b
∫
b
|f (x)| dx , a, b ∈ I, a < b
a
x
20. L’area della regione ﬁnita di piano delimitata dalla f (x) = x(1 − x) e dalla retta di equazione g(x) = −
2
vale
5
12
1
b)
12
a)
c) −
1
12
9
16
e) nessuna delle altre risposte è esatta
d)
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
d
2
c
3
a
4
b
5
c
6
d
7
e
8
e
9
d
10
c
11
b
CONSIGLI
Paola Suria
4
12
a
13
c
14
b
15
c
16
d
17
e
18
e
19
c
20
d
21◦ Simulazione
Quesito n◦ 1
Ricordare che la condizione che la funzione sia limitata su [a, b] non è suﬃciente perché la funzione sia integrabile
secondo Riemann.
E’ suﬃciente pensare alla funzione di Dirichelet, che è limitata, ma non integrabile secondo Riemann.
Quesito n◦ 6
x
Ricordare le formule di bisezione cos =
2
√
1 + cos x
2
√
√
x
1 + cos x = 2 · cos
2
→
Quesito n◦ 9
Non è facile: se esiste un asintoto obliquo1 la funzione può essere scritta x → −∞ : f (x) = mx + q + o(1)
Possiamo cercare l’asintoto in due modi diversi:
1. Riscriviamo l’equazione, dividendo il numeratore per il denominatore e ricordando il comportamento di
7
1
=3+
2
2
√
x+1
f (x) = x + 1 − 2
+ x2 + 6x
x +1
√
Per ottenere il comportamento per x → −∞, raccogliamo x2 −→ x2 = |x| = −x, x → −∞
√
√
x+1
x+1
6
2
x → −∞, f (x) = x + 1 − 2
+ x + 6x = x + 1 − 2
−x 1+
x +1
x +1
x
(
)
1
Sviluppiamo la radice x → −∞, → 0−
x
(
( ))
x+1
1 6
1
x → −∞ : f (x) = x + 1 − 2
−x 1+ · +o
x +1
2 x
x
x+1
− x − 3 + o(1)
x2 + 1
L’asintoto è orizzontale ed ha equazione y = −2
x → −∞ :
f (x) = x + 1 −
→
f (x) = −2 + o(1)
2. Ci serviamo delle formule per calcolare l’asintoto:
√
6
x+1
x3 + x2 √ 2
−x 1+
x+1− 2
+ x + 6x
2+1
x +1
x
x
m = lim
= lim
x→−∞
x→−∞
x
x
Per calcolare il limite non resta che sviluppare, come abbiamo fatto prima, la radice.....
Calcolare quindi q
3. Soltanto perchè tra le risposte ci sono asintoti orizzontali poteva venire l’idea di veriﬁcarne l’esistenza, per
prima cosa.
lim f (x) = [+∞ − ∞]
x→−∞
Per eliminare la forma di indeterminazione è necessario procedere nello stesso modo....
Quesito n◦ 10
Si tratta di un integrale improprio, perché la funzione presenta due discontinuità nell’intervallo di integrazione:
x = 0, x = 1
Il quesito non chiede di dicuterne la convergenza, ma di fornire il risultato, allora integriamo.
∫
0
2
x2
log
dx = lim+
x−1
a→0
∫
a
1
2
x2
log
dx + lim−
x−1
b→1
∫
b
1
2
x2
log
dx + lim+
x−1
c→1
∫
2
log
c
x2
dx
x−1
Integriamo l’integrale indeﬁnito, per parti
∫
∫
x2
x2
x − 1 (x − 1)2x − x2
log
·
dx
dx = x · log
− x·
x−1
x−1
x2
(x − 1)2
1 solo ad esercizio finito, ho pensato che l’asintoto poteva essere orizzontale! In realtà questo non avrebbe comunque semplificato
i calcoli
Paola Suria
5
21◦ Simulazione
Sempliﬁchiamo:
)
∫
∫
∫ (
x2
x−2
x2
x2
1
log
dx = x · log
−
dx = x · log
−
1−
dx ....
x−1
x−1
x−1
x−1
x−1
Quesito n◦ 13
f ′ (x) = 8 (x log x) · (log x + 1)
7
f ′ (x) ≥ 0
⇐⇒
7
8 (x log x) · (log x + 1)
Essendo x > 0, per il dominio della funzione, f ′ > 0 ⇐⇒ log x(log x + 1) > 0;
Quindi la funzione è crescente in 0 < x ≤ e
−1
∨
log x ≤ −1 ∨ log ≥ 0
x ≥ 1 (item b)
La funzione decresce se log x(logx + 1) ≤ 0 Si tratta di una disequazione di II grado nell’incognita log x
−1 ≤ log x ≤ 0
e−1 ≤ x ≤ 1
→
→ [e−1 , 1]
Quesito n◦ 12
) (
)
1 √ 3
1 2
1 3
3
3
3x − 3 3x + o(x ) · 1 + x + x + x + o(x ) =
6
2
24
√
√
√
√
√
√
3 3
3 3
3x + 3x2 +
x −
x + o(x3 ) = 3x + 3x2 + o(x3 )
2
2
√
f (x) = sin 3x · ex =
(
√
Quesito n◦ 20
Si devono trovare i punti di intersezione tra retta e parabola. L’area è l’integrale, tra i due punti di intersezione,
della curva più a nord meno quella più a sud.
{
y = x(1 − x)
3
x
=⇒
x = 0; x =
y=
2
2
∫ 32 (
x)
9
A=
x − x2 +
dx =
2
16
0
Paola Suria
6
22◦ simulazione
CORSO DI ANALISI I
22◦ SIMULAZIONE ESAME
Ogni quesito ha una sola risposta esatta
1. La funzione f : [a, e] → R, f (x) = log |x|,
a ≤ e, soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri se:
a) a > 0
b) a ∈ (0, +∞)
c) a ∈ (0, e)
d) a ∈ (0, 1)
e) a ∈ (0, 1]
2. La parte principale, per x → +∞, della funzione f (x) = 2x −
√
3
x3 + x4 è
4
a) x − x 3
b) 2x + o(x)
c) 2x
4
d) −x 3
1
e) − x3
3
3. La successione {an = 3n + sin n, n ∈ N}
a) è limitata
b)
c)
d)
e)
lim an = −∞
n→+∞
lim an = +∞
n→+∞
lim an = @
n→+∞
lim an = ±∞
n→+∞
log x2
=
x→1 log(1 + log x)
4. lim
a) 0
b) log 2
c) 1
d) 2
e) +∞
{
5. Sia data la funzione f (x) =
1−x x≤1
ex − e x > 1
a) f ([1, 8]) è un sottinsieme proprio di f ([0, 8])
b) f (−∞, 0] = f [0, +∞)
c) f (x) < 0 per qualche x ∈ R
d) f ([1, 8]) = f ([0, 8])
e) f ([0, 8]) è un sottinsieme proprio di f ([1, 8])
6. Se f (0) = 1, f (5) = 10 e se f è continua, allora sicuramente esiste una x0 ∈ (0, 5) tale che f (x0 ) =
a) 2
b) 0
c) 5e
1
d)
2
e) e − 2
Paola Suria
1
22◦ simulazione
7. La derivata di f (x) = log(e4x cos x) è
sin x
cos x
b) 4 − tan x
a)
c) 4 + tan x
d) 4 tan x
e) e4x sin x
8. Qual è una primitiva della funzione f (x) = ex sin(3ex )
1
cos(3ex )
3
1
b) − cos(3ex )
3
c) ex sin(3ex ) + 3ex cos(3ex )
a)
d) cos(3ex )
1
e) cos(ex )
3
∫ +∞ √
x x + sin x
9.
dx
x2 + 1
0
a) converge
b) diverge positivamente
c) è indeterminato
d) diverge negativamente
e) non è possibile stabilire il comportamento
10. l’equazione diﬀerenziale y ′ =
x2 + y
x2 + 1
a) è lineare
b) è a variabile separabili
c) ha soluzioni costanti
d) l’unica soluzione è y(0) = 1
e) nessuna delle rispoate precedenti
11. Sapendo che lo sviluppo di Mac Laurin è f (x) = −1 + 2x + 3x2 + o(x2 ), allora
a) f ′ (x) = 2 + 6x + o(x) nell’intorno di x = 0
b) x = 0 è punto di massimo
c) x = 0 è punto di minimo
d) f ′ (x) = 2 + 3x + o(x) nell’intorno di x = 0
e) f ′ (x) = 1 + 6x + o(x) nell’intorno di x = 0
sinh2 5x
=
x→0 1 − cos 3x
12. lim
a)
b)
c)
d)
e)
25
3
5
3
50
3
+∞
50
9
Paola Suria
2
22◦ simulazione
13. Sia z = (k − 3) + i(2 − k); w = z 2 è reale
a) se k = −3 oppure k = −2
b) se k = 0 oppure k = 1
c) per nessun valore di k
d) ∀k ∈ R
e) se k = 3 oppure k = 2
(
x3
14. Lo sviluppo di Mac Laurin, del 3 ordine, della funzione f (x) = sinh x −
6
)
◦
è
a) x
x3
6
c) x + o(x)
b) x −
d) x + o(x3 )
e) x + o(x2 )
15. L’equazione diﬀferenziale y ′ = cos(y − x) + 1
a) è lineare del I ordine
b) è a variabili separabili
c) ammette y(x) = x come soluzione particolare
d) cos(y − x) = −1 è la soluzione costante
e) nessuna delle altre soluzioni è esatta
16. Sia f una funzione deﬁnita su tutto R, a valori positivi, per la quale esiste lim f (x). Allora
x→+∞
a)
b)
c)
d)
e)
lim f (x) ≥ 0 e può essere +∞
x→+∞
lim f (x) > 0 e può essere +∞
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = l, l ∈ [0, +∞)
x→+∞
lim f (x) = l, l ∈ R
x→+∞
17. Sia f una funzione integrabile su ogni intervallo [0, b] ⊆ R e tale che f (x) ≥ 0, ∀x ≥ 0. Allora
∫ +∞
a) l’integrale improprio
f (x) dx può essere indeterminato
0
∫
b) l’integrale improprio
+∞
f (x) dx necessariamente converge
0
∫ +∞
c) l’integrale improprio
f (x) dx necessariamente diverge positivamente
0
∫ c
d) lim
f (x) dx = l, l ∈ (0, +∞) oppure +∞
c→+∞ 0
∫ c
f (x) dx = l, l ∈ [0, +∞)
e) lim
c→+∞
0
18. Supponiamo che ∀ϵ > 0 ∃δ > 0 tale che ∀|x| < δ =⇒ |f (x)| < ϵx2 , allora necessariamente
a) f (x) = o(x2 ), x → 0
b) f (x) ∼ x2 , x → 0
c) f (x) ∼ x3 , x → 0
d) x2 = o(f (x)), x → 0
e) nessuna delle altre risposte è esatta
Paola Suria
3
22◦ simulazione
19.
3
· log(e2x + x) =
x→+∞ x
lim
a) 1
b) 3
c) +∞
d) 6
e) 2
20. Siano date le successioni {an }, {bn } con an = bn + (−1)n
n2
n
. Allora necessariamente
+1
a) la convergenza di {an } non implica la convergenza di {bn }
b) {an } può convergere indipendentemente dal comportamento di se {bn }
c) se {an } converge anche {bn } deve convergere
d) se {bn } è indeterminata allora non si può dire quale sia il comportamento di {an }
e) nessuna delle altre risposte è esatta
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
d
2
d
3
c
4
d
5
d
6
a
7
b
8
b
9
b
10
a
11
a
12
e
13
e
14
d
15
e
16
a
17
d
CONSIGLI
(1) Rappresentare la funzione:
- deve essere continua (a > 0)
- deve soddisfare alla condizione f (a) · f (e) < 0; perciò a < 1
- ....
(2) Per x → +∞ conta la potenza maggiore...
(3) sin n = o(3n ), n → +∞
(4) Conviene utilizzare de l’Hospital oppure fare la sostituzione x − 1 = t.... Mac Laurin...
log(t + 1)
t
lim 2
= lim 2
=2
t→0 log(1 + t + o(t))
t→0 t + o(t)
(5) Rappresentare la funzione
è evidente che la funzione è continua.
Paola Suria
4
18
a
19
d
20
c
22◦ simulazione
(a) f ([1, 8] chiede l’immagine dell’intervallo [1, 8], cioè dobbiamo scegliere l’intervallo [1, 8] sull’asse x e
vedere quale è la sua immagine
[1, 8] la funzione è crescente e quindi f ([1, 8]) ≡ [f (1), f (8)], Riscriviamo l’immagine
[Nell’intervallo
]
0, e8 − e
Invece f ([0, 8]) è l’immagine della funzione nell’intervallo [0, 8]).
In questo intervallo la funzione non è monotona e quindi l’insieme immagine è compreso tra l’ordinata
minore equella maggiore cioè [f (1), f (8)] → [0, e8 − e]
Quindi i due insiemi coincidono (sottinsieme proprio signiﬁca che un insieme è contenuto nell’altro).
(b) f (−∞, 0] = [1, +∞) infatti in questo intervallo la funzione è decrescente
f [0, +∞) = [0, +∞): infatti la funzione prima decresce e poi cresce. Dal graﬁco leggo la y minore e
la maggiore
(c) è falso
(d) la risposta d) è vera perchè entrambi gli insiemi coincidono.
quindi la risposta e è sbagliata
(6) Per il teorema dei valori intermedi la funzione assume sicuramente tutti i valori compresi tra il valore più
piccolo e più grande assegnati e cioè tra 1 e 10. Solo 2 cade nell’intervallo
(7) si può derivare la funzione composta oppure si possono applicare le proprietà dei logaritmi (essendo e4x > 0
f (x) = log(e4x + log(cos x); f (x) = 4x + log(cos x)
f ′ (x) = 4 + ....
(8) Si può individuare la primitiva integrando oppure... derivando le soluzioni proposte
∫ +
1
1
(9) f (x) ∼ √ , x → +∞. Poiché
∞ √ dx diverge....
x
x
1
(10) Distribuisco...y ′ =
1
x2
y
+
... lineare
x2 + 1
x2 + 1
(11) f ′ (0) = 2 → x = 0 non è punto critico.
(12) Mac Laurin
(13) I metodo: z = a + ib → z 2 = (a2 − b2 ) + 2iab → z 2 ∈ R se a = 0 oppure b = 0
II metodo: se z ∈ R → z 2 ∈ R
se z è immaginario allora z 2 ∈ R
(14) Attenti a non perdere i pezzi!!!!!!!!! ordine 3, allora scrivo tutte le potenze ﬁno alla terza
(
)
(
)3
x3
1
x3
x3
x3
f (x) = x −
+
x−
+ o(x3 ) = x −
+
+ o(x3 )
6
3!
6
6
6
(15) è un’equazione del I ordine, non ordinaria, cioè nè a variqbili separabili nè lineare.
y(x) = x non è soluzione perché sostituendo non otteniamo una identità.
y ′ = 1 =⇒ 1 = cos(0) + 1; quad1 = 1 + 1 FALSO
y(x) = x sarebbe soluzione dell’equazione y ′ = sin(y − x) + 1. Infatti
1 = sin(0) + 1 =⇒ 1 = 0 + 1
(16) La funzione è a valori positivi, e il limite, per x → +∞ esiste. Per il corollario del teorema della permanenza
del segno il limite NON è negativo, ma può anche essere +∞
(17) Essendo la funzione, nell’intervallo di integrazione, mai negativa, l’integrale improprio o connı̀verge ad un
numero positivo (diverso da zero) oppure diverge a +∞.
Paola Suria
5
22◦ simulazione
(18) Le premesse ricordano la deﬁnizione di limite, mentre |x| < δ ricorda l’intorno (non bucato) di x = 0. Le
informazioni sulla f sono di una funzione continua in x = 0, inﬁnitesima nell’intorno di x = 0.
x → 0, −ϵ · x2 < f (x) < ϵ · x2 =⇒ −ϵ <
f (x)
<ϵ
x2
(19) E’ possibile trascurare x, perché per x → +∞ x = o(e2x )
3 log(e2x )
6x
= lim
=6
x→+∞
x→+∞
x
x
lim
Paola Suria
6
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23◦ Simulazione - Consigli
CORSO DI ANALISI
23◦ Simulazione - CONSIGLI
Quesito 1
Sia f (x) una funzione crescente su [−1, 2]. E’ vero che:
a) f è necessariamente limitata su [−1, 2]
b) esiste almeno un x ∈ [−1, 2] tale che f (x) < f (−1)
c) esiste almeno un x ∈ [−1, 2] tale che f (x) > f (2)
d) f ([−1, 2]) ⊆ [f (−1), f (2)]
e) f ([−1, 2]) = [f (−1), f (2)]
Consigli
Cerchiamo di riﬂettere sulle parole chiave dell’enunciato e cerchiamo qualche controesempio:
Funzione crescente in intervallo chiuso e limitato:
- non parla di funzione strettamente crescente
- non parla di funzione continua
- tanto meno di funzione derivabile
Allora non posso pensare a Weiestrass ed amici!!!
Escludiamo subito la proposta e) osservando le funzioni rappresentate
Escludiamo le proposte b) e c) per la deﬁnizione di funzione crescente
Il dubbio è tra la a) e la d)
La funzione è sicuramente limitata, quindi la a) è sbagliata, perché parla di NON limitata!!!!!!!!!!!!!!!
Poiché la funzione esiste anche in x = −1, x = 2 perché l’intervallo è chiuso.
Quindi la risposta corretta è la D)
Quesito 2
Attenzione a Non perdere i pezzi e a non dimenticare i doppi prodotti e a scrivere tutti gli addendi fino al 4◦
grado.... poi al limite li togliamo!!!
Paola Suria
1
23◦ Simulazione - Consigli
Quesito 3
Il periodo è dato dalla funzione più interna, l’immagine dalla più esterna...
Il periodo minimo signiﬁca che è vero che la tangente si ripete dopo π, ma si ripete anche dopo 2π. f (−x) =
cos2 (tan(−x)) = cos2 (− tan x) = cos2 (tan x), infatti il coseno è pari.
Quesito 4
Una primitiva! sembra proprio un integrale del tipo
∫
f ′ (x)
dx
1 + (f (x))2
con f (x) = 2 + x4 ; f ′ (x) = 4x3 ..., manca un 3!
Quesito 5
Il quesito richiede di calcolare la derivata della funzione inversa.....La funzione data è somma di funzioni monotone strettamente crescenti, quindi la funzione è invertibile, perchè soddisfa la condizione di suﬃcienza per
l’invertibilità.
(0, −2) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − > (−2, 0)
f′ =
1
− 6e3x − − − − − − − − − − − − >
x+1
f ′ (0) = −5 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − >
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − > (f −1 )′ = −
1
5
Quesito 6
attenzione a richiedere la continuità e il valore ﬁnito della derivata
Quesito 7
i5 z = iz = ix − y → Re(z) = −y; Im(z) = x
i5 z = iz = ix + y → Re(z) = y; Im(z) = x
Quesito 8
x2
f
=
=@
x→0 g
−x3
lim
Invece
f2
x4
−−>
−−>0
g
−x3
Quesito 9
Variabili separabili, ma non ha soluzioni costanti
x2 − x + 2 = 0 → ∅
Veriﬁchiamo se x(t) = 1 è soluzione, sostituendo ad x il numero 1 e a ’t’ lo zero:
√
x(t) = 1 soddisfa la condizione di Cauchy, però sarebbe soluzione solo con t > −2 : x′ = 0 → 0 = t + 2(0−0+2)
Falso
L’equazione è a variabili separabili, non è da 3 minuti e porta ad un’arctangente....
La risposta è la d)
Quesito 10
Il fattore lineare mi ispira
Paola Suria
2
23◦ Simulazione - Consigli
il secondo addendo, all’inﬁnito, porta a 1
l’esponenziale non dà problemi perché va a zero
Quesito 11
E’ horrible, ma è fattibile. CORAGGIO!
Con le radici, mai razionalizzare, ma fare poi il minimo comune multiplo.
√
1
1
+ x + 1 · cos (log(x + 1)) ·
f ′ (x) = sin (log(x + 1)) · √
x+1
2 x+1
Prima di fare il Minimo Comun eMultiplo analizziamo
le risposte:
√
√
a
1
a
x+1
1
deve venirci in mente che: 2 = ; √ = a;
=√
a
a
x+1
a
x+1
cos (log(x + 1))
1
√
f ′ (x) = sin (log(x + 1)) · √
+
2 x+1
x+1
Quesito 12
Analizziamo la composizione della legge, prodotto di tre fattori:
- il I è un segnante
- il II cresce e tende a +∞
- il III è limitato, oscilla tra -1 e 1 e cambia il segno del prodotto, facendo oscilla tra −∞ e +∞, ma non si
annulla mai, perché n ∈ N non può diventare mai kπ, k ∈ Z. Pinocchio è libero di andare dove vuole ...
Però in valore assoluto diverge a +∞
Quesito 13
Mac ci aiuta
x(1 − 12 (x2 ) +
x→0
x3 − x4
lim
1 4
4! x
1 3
2x
x→0 x3
= lim
=
1
2
Quesito 14
la funzione ha:
- segno costante positivo
- ha un punto stazionario in x = 0
- x = 0 è un punto di massimo
- passa per P (0, 3)
- f (4) (0) = 0 perchè, pur essendo un polinomio di ordine 4 manca di tale potenza
- è concava
- non è inﬁnitesima
- f ′′ (0) = −1 · 2!
- Nell’intorno di x = 0 si comporta come y = 3 − x2 cioè una parabola rivolta verso il basso (x = 0 è massimo
relativo, a tangente orizzontale). f ′ (0) = 0 infatti manca il termine in x.
Non abbiamo informazioni sul numero degli zeri (spam!)
Quesito 15
è un’equazione a variabili separabili. Parla di soluzione y(x) crescente/decrescente...
Per veriﬁcare la crescenza dovrei fare y ′ (x) = ...
Ma la derivata prima l’abbiamo, allora è suﬃciente porre y ′ > 0 → arctan y + 5y 2 > 0 → arctany > −5y 3
Risolviamo graﬁcamente disegnando z = arctan y, z = −5y 3 . attenzione la y gioca il ruolo della x, z quello
della y.
Paola Suria
3
23◦ Simulazione - Consigli
Quesito 16
Il teorema della media per una funzione continua!
Quesito 17
La funzione è derivabile, quindi è anche continua; è strettamente crescente, quindi anche f −1 è strettamente
crescente. Ricordare che se la funzione è strettamente crescente, però, potrebbe essere f ′ (x) ≥ 0 (pensare a
f (x) = x3 ), strettamenet crescente ma f ′ (x) si annulla in x = 0.
Aﬃnché (f −1 )′ sia derivabile è necessari,o non solo che f sia derivabile, ma che f ′ (x)
√ ̸= 0. (infatti la derivata
dell’inversa è il reciproco della derivata... Pensare a f (x) = x3 la cui inversa è f (x) 3 x. Questa fuznione ha un
punto di non derivabilità, a tangente verticale, in x = 0
L’item a) è quindi FALSO
La proposta e) può essere Vera perchè, se la f è strettamente crescente, f ′ ≥ 0. Quindi non esiste un punto in
cui f ′ (x) < 0, ma può esistere un punto x : f ′ (x) = 0.
Pensare alla funzione f (x) = x3 che è strettamente crescente, pur avendo la derivata prima nulla in un punto.
Quesito 18
Si riferisce ad un integrale deﬁnito.
Per ricordare il signiﬁcato di Riemann - integrabili ricordare le classi di funzioni integrabili (Tabacco pag.339)
La funzione non è limitata in I quindi non è Riemann integrabile: infatti la funzione integranda non è continua
in x = −1 che appartiene all’intervallo di integrazione. (poi I non è ﬁnito!)
La funzione integranda è positiva: tra (−1, 0] sia x sia log(x + 1) sono negativi e il prodotto è positivo.
Inoltre limx→−1+ x log(x + 1) = +∞ → x → −1+ x log(x + 1) > 1
x log(x + 1)
1
>
2
(x + 1)
(x + 1)2
Poiché la minorante diverge, anche la maggiorante diverge!
Quesito 19
Ricordare maggioranti e minoranti... La f è schiacciata sotto la g!, ma non sappiamo se sono positive e cioè se
sono schiacciate dall’asse x.
la risposta è la B)
Quesito 20
-Weiestrass richiede la continuità, e la funzione è continua
- Lagrange richiede la derivabilità...
- Rolle richiede la derivabilità
- Teorema degli zeri richiede la continuità, ma anche che..
- teorema fondamentale richiede la continuità, quindi soddisfa il teorema, ma il quesito dice che NON ...
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
Paola Suria
1
d
2
a
3
b
4
b
5
d
6
d
7
b
8
c
9
d
10
a
4
11
a
12
b
13
d
14
e
15
c
16
e
17
a
18
d
19
b
20
a
24◦ simulazione - Consigli
CORSO DI ANALISI I
24◦ SIMULAZIONE
CONSIGLI
Quesito 1
Distribuite e arrivate al limite fondamentale tendente ad e però il risultato del limite è e12
(
lim
n→+∞
1+
1
) n6 · n6 ·2n
n
6
= e12
Quesito 2
(
10
Trascurate n , ottenete
9
10
)n
che converge a zero
Quesito 3
E’ una successione a segno alterno. Ma log(n) = o(n), n → +∞.
Quindi la successione converge a zero. Per la deﬁnizione di limite, se scelgo ϵ = 0.002, troverò un n tale che per
tutte le n > n → |an − 0| < 0.002
Quesito 4
La risposta è la D). Provate a disegnare la funzione. E’ pari e avrebbe un punto angoloso, se esistesse, in x=0.
Per avere un minimo k deve essere minore o uguale a 1
Quesito 5
x − iy
è reale.
x2 + y 2
Annulliamo la parte immaginaria ed otteniamo: y +
z = x + iy è reale se x + iy +
y
= 0.
x2 + y 2
Raccogliamo la y e diventa
y(x2 + y 2 − 1) = 0 ∨ y = 0 (quindi inﬁniti numeri reali)
oppure
x2 + y 2 = 1 (quindi inﬁniti numeri tutti quelli sulla circonferenza di raggio 1).
Però questa risposta non c’è.
La circonferenza taglia l’asse immaginario in soli due punti...
Quesito 6
1
2
e non f (x) ∼ 2
x2
x
Quindi la A è sbagliata, idem la B.
Il limite esiste, per x tendente a inﬁnito; la funzione ammette asintoto orizzontale
f (x) ≍
Quesito 7
La funzione seno è dispari, il coseno è pari... quindi dovrebbe mancare il coseno che ha il k davanti → k = 0.
Il logaritmo (a prima vista non sembra pari, però provare...).
Proviamo a veriﬁcare la simmetria:
g(x) = log
1 + x + x2
1 − x + x2
→
g(−x)
=
log
1 − x + x2
1 + x + x2
L’argomento del logaritmo sembra capovolto allora riscriviamo l’argomento del logaritmo
(
g(−x) = log
1 + x + x2
1 − x + x2
)−1
= −1 · log
1 + x + x2
.
1 − x + x2
La funzione è dispari se k = 0.
Quesito 8
La funzione non è periodica, è continua per l’algebra delle funzioni continue;
Paola Suria
1
24◦ simulazione - Consigli
veriﬁchiamo la derivabilità con la deﬁnizione
(2|x| sin x + cos x + x) − 1
x→0
x−0
lim
sapendo che f (0) = 1 (solo il coseno non si annulla).
Mac Laurin ci aiuta
(
)
3
2
2|x| x − x3! + o(x3 ) + 1 − x2 + o(x3 ) + x − 1
2|x|x + x −
lim
=
x→0
x
x
x2
2
)
(
x
= lim 2|x| − + 1 = 1
x→0
2
La funzione è quindi derivabile in x = 0
E’ possibile studiare la derivabilità della funzione, avendo però veriﬁcato prima che la funzione sia continua (è
somma di funzioni continue).
{
{
2x sin x + cos x + x
x≥0 ′
2 sin x + 2x cos x − sin x + 1
x>0
f (x) =
f (x) =
−2x sin x + cos x + x x < 0
−2 sin x − 2x cos x − sin x + 1 x < 0
{
sin x + 2x cos x + 1
x>0
′
f (x) =
−3 sin x − 2x cos x + 1 x < 0
Teorema tapapbuchi
lim f ′ (x) = lim+ f ′ (x) = 1
x→0−
x→0
Quesito 9
La retta tangente è y = −10 − 2(x + 5) quindi y = −2x − 20
Quesito 10
′
f (x) = e
)
1
+ xe
·
· − 2
1
x
1+ 2
x
(
)
2
1 1 + x − x
x2
arctan x
1−
=
e
(1 + x2 )x
1 + x2
arctan
f ′ (x) = earctan x
1
1
x
arctan
1
x
1
(
f ′ (x)
= ....
f (x)
Quesito 11


 −x − 1 − 2x x < −1
 −3x − 1 x < −1
x + 1 − 2x
−1 ≤ x ≤ 0 → f (x) =
−x + 1
−1 ≤ x ≤ 0
f (x) =


x + 2x + 1
x>0
3x + 1
x>0
Disegnare le tre semirette e si vede che è iniettiva se −2 < a ≤ 0
Quesito 12
g(x) = ef (x) → g ′ (x) = ef (x) · f ′ (x)
g ′ (1) = e3 (−2)
Quesito 13
A)solo se il ﬂesso è a tangente orizzontale f ′ (x0 ) = 0
B) x0 potrebbe essere un ﬂesso a tangente orizzontale.
C) strettamente crescente
D) La risposta D dice che x1 è a tangente orizzontale. (vera)
D) lim f ′ (x) = 0 è condizione necessaria, ma non suﬃciente perché la funzione ammetta asintoto orizzontale.
x→+∞
E’ poi necessario cercare q.
Quesito 14
1
La funzione integranda non è continua in x = 0 e x = .
2
)
(
)
(
1 1
1
e tra
,
.
Perciò spezzo l’integrale tra 0,
3
3 2
Il denominatore è: x(1 − 2x) la funzione è inﬁnita sia in x = 0 sia in x =
Paola Suria
2
1
; quindi spezziamo l’integrale:
2
24◦ simulazione - Consigli
(
• I1 con x ∈
)
1
0,
: questo primo integrale ha problemi in x=0;
3
Quando si lavora vicino a zero, si lasciano i fattori inﬁnitesimi (come x ) che si annullano ed originano
la forma indeterminata, invece si sostuisce x=0 nel secondo fattore che non si annulla per tale valore
dell’icognita: (1 − 2 · 0) = 1.
1
I1 : f (x) = 1 x → 0.
x3
Per il criterio di convergenza asintotica CONVERGE.
(
)
1 1
• I2 con x ∈
,
3 2
1
I problemi sono in x = .
2
1
Sostituiamo x = nei fattori con x da sola:
2
x→
1
1
1
∼(
f (x) = √
) 13
2
1
3
1
2x( 2 − x)
−x
2
Per il criterio asintotico di convergenza anche I2 CONVERGE
Allora l’integrale converge.
Quesito 15
y′ =
2x
3
y+
2x + 3
2x + 3
è equazione diﬀerenziale del I ordine lineare
Quesito 16
La funzione non è necessariamente suriettiva, invece le ipotesi sono suﬃcienti per concludere che la funzione sia
invertibile.
Si tratta di una funzione strettamente monotona, non necessariamnete continua; è sicuramente iniettiva, ma
non si sa se suriettiva.
( π π)
Il limite esiste, ma non è necessariamente ﬁnito (pensiamo a f (x) = tan x, x ∈ − ,
).
2 2
Però se è strettamente crescente è sicuramente invertibile!
Quesito 17
f (x) = 1 −
1
1
→ f ◦ f (x) = 1 −
1
|x|
1 − |x|
{
Il dominio è:
x ̸= 0
|x| ̸= 1
Quindi il dominio è l’insieme A (dominio della funzione f) tranne i punti x = ±1
Quesito 18
√
−x = t;
1
dx .
dt = − √
2 −x
Però forse...si potrebbe anche pensare di derivare le risposte.. . e cercare
Proviamo con la prima
1
−1
1
√
H ′ (x) = 2 √
−
−x − 1 2 −x x + 1
√
√
1
x + 1 + −x( −x − 1)
1
′
(√
)−
√
√
=
H (x) = − √
x+1
(x + 1) −x( −x − 1)
−x −x − 1
Si consiglia la sostituzione
sempliﬁcare e coraggio...
Quesito 19
Paola Suria
3
24◦ simulazione - Consigli
R.I. =
(1 + ex )2 − 4
(1 + ex − 2)(1 + ex + 2)
=
= ...
x−0
x
Quesito 20
Ed ecco un ultimo sviluppo di tutto rispetto...
(
)(
)2
√
x2
1 √ 3
2
3/2
f (x) ∼ x −
+ o(x )
x − ( x) + o(x ) − x2
2
3!
(
)
(
)
x2
1 2
2
2
f (x) ∼ x −
+ o(x ) · x − x + o(x ) − x2
2
3
5
P.P = − x3
6
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
Paola Suria
1
E
2
A
3
D
4
D
5
A
6
E
7
A
8
B
9
E
10
B
11
A
4
12
C
13
D
14
A
15
C
16
C
17
B
18
A
19
A
20
D
ANCORA UN TEST prima dell’ESAME
1) La successione
(
) tende ( per n che tende ad infinito) a
A. e
B.
√
C. 1
D. 0
E. nessuna delle altre è corretta
2) E’ data la successione
A.
B.
C.
D.
E.
Essa tende a zero per n che tende ad infinito
Essa non è limitata
Essa tende ad infinito per n che tende ad infinito
Essa tende a 10/9 per n che tende ad infinito
Nessuna delle altre è corretta
3) La successione
A.
B.
C.
D.
E.
(
)
(
)
non ammette limite finito o infinito per n che tende ad infinito.
è strettamente crescente
non è limitata superiormente
| |
nessuna delle altre è corretta
4) La funzione ( )
{
| |
definita su tutto R
ammette un minimo per
A.
B.
C.
D.
E.
tutti i valori di k
solo per valori negativi di k
solo per valori positivi di k
per valori di k minori o uguali ad 1
nessuna delle altre è corretta
(
5) Il numero complesso
A.
B.
C.
D.
E.
) è un numero reale
per due soli valori di z immaginari puri
per due soli valori di z reali
per infiniti valori di z immaginari puri
per nessun valore di z
solo se z=1+i
6) Sia data la funzione
A.
( )
B.
( )
( )
(
)
. Quando
è corretto affermare che
( )
( )
C. non esiste il limite
D. ( ) non ammette asintoto obliquo e non ammette asintoto orizzontale
E. nessuna delle altre è corretta
7) La funzione
( )
,
in cui k è un parametro reale:
A.
B.
C.
D.
E.
è dispari solo se k=0
è pari solo se k=0
qualunque sia il valore di k, non è mai dispari
qualunque sia il valore di k, essa è sempre dispari
nessuna delle altre è corretta
8) La funzione ( )
A.
B.
C.
D.
E.
| |
è continua, ma non derivabile in x=0
è continua e derivabile in x=0
non è né continua nè derivabile in x=0
è una funzione periodica
nessuna delle altre è corretta
,
9) La funzione f ha sviluppo di Taylor
( )
A.
B.
C.
D.
E.
(
)
(
)
((
) )
allora f
ammette y=-2x-10 come retta tangente in x=-5
è crescente in un intorno di x=-5
presenta un massimo relativo in x=-5
presenta un minimo relativo in x=-5
nessuna delle altre è corretta
( )
10) E’ data la funzione ( )
definita su
Allora è vera l’affermazione, valida su
A.
( )
( )
(
)
B.
( )
( )
(
)
C.
( )
(
{ }:
( )
)
(
{ }.
)
D. la f non è derivabile su { }.
E. nessuna delle altre è corretta
11) E’ data la funzione
A.
B.
C.
D.
E.
(
)
essa è iniettiva se e solo se
essa è iniettiva solo se
essa è iniettiva se e solo se
essa non può essere iniettiva
nessuna delle altre è corretta
definita come ( )
|
|
| |
essendo
12) Sia f(x) una funzione derivabile in un intorno del punto x=1 e siano
( )
( )
Allora la derivata della funzione
( )
( )
A.
( )
B.
( )
C.
( )
D.
( )
E. nessuna delle altre è corretta
13) Sia
A. se
una funzione derivabile su A. Quale delle affermazioni che seguono è vera :
è punto di flesso allora (
B. se (
)
C. se ( )
D. se (
allora
E. se risulta
allora
è crescente su A
allora f ammette retta tangente nel punto di ascissa
(
14) L’integrale improprio ∫
A.
B.
C.
D.
E.
è punto di estremo per f
per ogni
)
)
) e
√
converge
diverge
non esiste
è indefinito
nessuna delle altre è corretta
( )
allora f ha asintoto orizzontale destro
15) L’equazione differenziale
A.
B.
C.
D.
E.
)
è un’equazione del primo ordine a variabili separabili
è un’equazione del primo ordine omogenea
è un’equazione del primo ordine lineare
è un’equazione del primo ordine sia a variabili separabili, sia lineare
nessuna delle altre è corretta
16) Sia
A.
B.
C.
D.
E.
(
una funzione monotona strettamente crescente su
essa ammette finito il
essa è iniettiva e suriettiva
essa è invertibile su A
essa è continua su A
nessuna delle altre è corretta
17) Detto
( )
{ } , sia data la funzione
Allora la funzione
(
definita da ( )
| |
ammette come dominio (più esteso) D l’insieme
{
}
A.
{
}
B.
{ }
C.
D.
E. nessuna delle altre è corretta
18) Una primitiva della funzione ( )
(
)√
è
( )
(
)
A.
(√
)
( )
|
|
B.
|√
|
( )
C.
√
D. la funzione non ammette primitive in senso proprio
E. nessuna delle altre è corretta
). Allora
19) Sia data la funzione ( )
(
) . Il suo rapporto incrementale calcolato in x = 0 :
A. vale ( )
(
)(
)
B. vale ( )
(
)(
)
C. vale ( )
D. non può essere calcolato, in quanto non è definito.
E. nessuna delle altre è corretta
20) E’ data la funzione ( )
(
)
.
√
La parte principale di f(x), rispetto all’infinitesimo campione, per
A. ( )
B. ( )
C. ( )
D. ( )
E. nessuna delle altre è corretta
vale
Soluzioni
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
E A D D A E A B E B A C D A C C B A A D
CORSO DI ANALISI I
25◦ SIMULAZIONE -CONSIGLI
Quesito 1
E’ opportuno considerare qualche insieme A e B che soddisﬁno le condizioni richieste, per individuare eventuali
controesempi:
A1 (0, 10)
A2 (10, 20)
B1 (8, 11)
B2 (8, 9)
I due insiemi A e B possono essere disgiunti come A2 e B2 , oppure avere intersezione non nulla.
L’unica risposta compatibile con le condizioni date è la d)
Quesito 2
Rappresentare la funzione (ribaltata rispetto asse y, traslata con asintoto verticale in x = 4. Il dominio è x < 4,
taglia asse x in x = 3
La funzione non è invertibile in (−∞, 4), ma su (−∞, 3).
La risposta corretta è la b (la funzione è invertibile in (3, 4) e in qualsiasi suo sottointevallo.
Quesito 3
f ′ (x) = ex
3
−ax2
+ x · ex
3
−ax2
(3x2 − 2ax) = ex
3
−ax2
(1 + 3x3 − 2ax2 )
f ′ (x) > 0 se e solo se 1 + 3x3 − 2ax2 > 0
La disequazione va studiata graﬁcamente 3x3 + 1 > 2ax2 .
Rappresentiamo g(x) = 3x3 + 1 e h(x) = 2ax2 attribuendo ad a alcuni valori, positivi e negativi.
Come appare evidente, i due graﬁci si intersecano, ∀a ∈ R.
Quindi non esistono valori di a, per cui le due funzioni non si intersechino.
Quesito 4
Il limite del quesito si presenta nella forma ∞0 . Riscriviamo il limite
log(1 + 4x2 )
log(4x2 )
log 4 + 2 log x
lim
lim
log x
log x
ex→+∞
= ex→+∞ log x = ex→+∞
= e2
lim
Quesito 5
In un limite di funzioni, tra loro moltiplicate o divise, è possiible sostituire ad ogni funzione la sua equivalente
Se x → 0, x2 cosx ∼ x2 · 1 → x2 cos x ∼ x2
x2
f (x)
= lim
=0
x→0 x
x→0 g(x)
lim
c
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1
Quesito 6
Il limite è nella forma indeterminata ∞ · 0. Dobbiamo riscrivere il prodotto come rapporto per portare il limite
0
∞
nella forma indeterminata , oppure
.
0
∞
1
1
1
Però lim sin = 0 e sin ∼ , x → 0
x→−∞
x
x
x
lim
(
x→−∞
)
1
3x3
3x3 − x2 sin = lim
= lim 3x2 = +∞
x→−∞
x x→−∞ x
Quesito 7
La rispostta corretta è la e). Infatti, se la successione è limitata inferiormente, tutte le an sono maggiori di un
k che può essere positivo o negativo, e quindiin ogni caso di un k negativo.
Le an ammettono un minorante.
Quesito 8
f (x) = e4 cos x log(3 cos x) ;
(
)
−3 sin x
f ′ (x) = (3 cos x)(4 cos x) · −4 sin x log(3 cos x) + 4 cos x
3 cos x
f ′ (0) = 34 · 0 = 0
Quesito 9
f(−∞,0) è di classe C 1 perchè somma di funzioni continue e derivabili.
f(0,+∞) è di classe C 1 perchè somma di funzioni continue e derivabili.
Resta da veriﬁcare la continuità in x = 0
lim f (x) = lim f (x) = f (0)
x→0−
x→0+
Quindi la funzione è continua in R.
Per la derivabilità utilizziamo il teorema tappabuchi, ricordando che |x| = −x, x < 0
{
3
1
2 cos x + (−x) 2 (−1) x < 0
f ′ (x) =
2
2 cos 2x
x>0
lim f ′ (x) = 2
x→0±
La funzione è di classe C 1
Quesito 10
f −1
(1, ?)
(1, 0)
f (x)
(0, 1)
f ′ (x) = 3x2 + ex
f ′ (0) = 1
f −1 (1) = 1
Quesito 11
Il quesito richiede lo sviluppo al sesto ordine di una funzione esponenziale, con esponente ( NON inﬁnitesimo).
Si può procedere in due modi diversi, ma attenzione a non perdere i pezzi:
1. aggiunendo e togliendo 1 all’esponente
(
1+(cos x2 −1)
f (x) = e
= e·e
1 4
1− 2!
x +o(x6 )−1
)
(
)2 )
)
(
1 4
1
1 4
1
6
6
= e· 1 + − x + o(x ) +
− x + o(x )
= e· 1 − x4 + o(x6 )
2
2
2
2
(
2. svolgendo prima il coseno
f (x) = e
c
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1− 12 x4 +o(x6 )
2
)
(
1 4
6
= e · 1 − x + o(x )
2
Qual è il metodo più veloce? a buon inteditor poche parole...!
Quesito 12
Riscriviamo le ipotesi:
x → +∞,
f = o(g) e g ∼ h3 .
Si può dedurre:
1. I metodo
Riscriviamo le ipotesi
lim
x→+∞
f (x)
= 0;
g(x)
x→+∞
x → +∞,
f = o(h3 ) → lim
lim
g(x)
f (x)
= 1 → lim 3
=0
x→+∞ h (x)
h3 (x)
2. II metodo
x→+∞
f (x)
=0
h3 (x)
Quesito 13
Attenzione al signiﬁcato di decrescente: NON CRESCENTE, cioè decrescente in senso stretto oppure costante:
∀x1 < x2 , x1 , x2 ∈ domf, → f (x1 ) ≤ f (x2 )
Funzione decrescente in senso stretto: la funzione è veramente decrescente
∀x1 < x2 , x1 , x2 ∈ domf, → f (x1 ) < f (x2 )
La funzione è monotona decrescente (non parla di strettamente decrescente!) ed è continua in un intervallo
chiuso e limitato. Allora la sua immagine è un intervallo chiuso e limitato (proprietà delle funzioni continue in
[a, b]); (Weierstrass assicura che ammetta il max e il min assoluto)
a) l’immagine di una funzione deﬁnita in un intervallo chiuso e limitato è un intervallo chiuso e limitato
b) l’immagine di una funzione deﬁnita in un intervallo aperto può, non deve essere un intervallo chiuso/aperto, per esempio se la funzione fosse costante
c) potrebbe essere una funzione costante e allora l’immagine sarebbe formata da un solo valore
d) falsa perchè la funzione è decrescente [f (3), f (0)]
Quesito 14
E’ il classico quesito che deve richiamare alla mente il Teorema di Rolle e la derivata di funzione composta.
g ′ (x) = cos f (x) · f ′ (x);
Ma cos f (x) = 0 → f (x) =
g ′ (x) = 0 se e solo se cos f (x) = 0 → f (x) =
π
+ kπ; oppure f ′ (x) = 0
2
π
; cioè almeno se x = 0 : x = 1. f ′ (x) = 0 almeno una volta per Rolle.
2
Quesito 15
La parte principale!!! Possiamo procedere con:
c
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3
1. il confronto con il campione. In una somma e’ possibile trascurare gli inﬁnitesimi di grado superiore,
purchè non si abbia la cancellazione dei termini che contano.
√
3x + 4x2 + 3x3
3x + 2|x|
3x − 2x
x
= lim−
= lim−
= lim− α = 1 se α = 1
lim
xα
xα
xα
x→0−
x→0
x→0
x→0 x
Parte Principale = x, x → 0−
Se
x → 0+ ,
lim+
3x +
x→0
√
4x2 + 3x3
3x + 2x
= lim+
= 5 se α = 1
xα
xα
x→0
Parte Principale = 5x, x → 0+
2. trascurando gli inﬁnitesimi di ordine maggiore (le potenze di grado maggiore! se x tende a zero) (purchè
i termini di grado minore non si sempliﬁchino
x → 0− ,
f (x) ∼ 3x +
√
4x2 = 3x − 2x = x
√
f (x) ∼ 3x + 4x2 = 3x + 2x = 5x
√
N.B. Se la funzione fosse stata f (x) = 3x + 9x2 + 4x3
x → 0+ ,
1)x → 0− f (x) ∼ 3x − 3x!!! allora gli o piccoli contano, torno indietro e razionalizzo con il limite,
non posso trascurare
2)x → 0+ f (x) ∼ 3x + 3x = 6x!!! In questo caso il metodo porta a risulatati corretti.
3. Utilizzando gli sviluppi di Mac Laurin:
√
√
(
)
(
)
3
3
1 3
2
f (x) = 3x + 4x 1 + x = 3x + 2|x| 1 + x ∼ 3x + 2|x| 1 + · x ,
4
4
2 4
x→0
Quesito 16
Si possono derivare i cinque risultati proposti, oppure ridurre la funzione integranda a fratti semplici.
1. Deriviamo la proposta e) ricordando che D log |x| =
F ′ (x) =
1
x
x−1x+1−x+1
2
=
x + 1 (x − 1)2
(x − 1)(x + 1)
Troppo lungo
2.
∫ (
1+
2
x−1
)
dx = x + 2 log |x − 1| + c → x − log(x − 1)2 + c → x + log(1 − x)2 + c
Poichè parla di una primitiva, scelgo il valore della costante opportuno.
Quesito 17
E’ il teorema della media integrale.
∫ b
1
Nella risposta d) manca f (c) =
f (x) dx
b−a a
La risposta esatta è la c) perchè b − a = 1
Quesito 18
Si tratta della funzione integrale: ricordiamo le proprietà.
∫
1.
∫
x
f (t) dt = −
x
3. F ′ (x) = −
x2
< 0 ∀x ∈ R\{4}
cosh x2
c
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f (t) dt
4
2. F (4) = 0
4
x
4. allora F (x) è una funzione monotona strettamente decrescente in R perchè la sua derivata prima si annulla
solo in un punto (pensare a f (x) = x3 ).
5. F (x) > 0 se x < 4 : F (x) > 0 se x > 4; F (x) = 0 se x = 4
6. x = 4 è ﬂesso a tangente orizzontale
La risposta esatta è la e)
Quesito 19
Una maggiorante della funzione integranda ha integrale divergente. Cosa si può dire dell’integrale di una sua
minorante? Nulla!
E’ suﬃciente trovare tre controesempi, per ogni possibilità.
f2 (x) = −e−x
f1 (x) = −ex ,
f3 (x) = sin x − 3
f4 (x) = e−x sin x
Nel I caso l’integrale diverge (area inﬁnitamente grande, negativa: nel II caso l’integrale converge (l’integrale non
solo la funzione); l’area assume un valore ﬁnito, negativo: nel III caso l’integrale diverge ad un valore negativo,
perché l’area è compresa tra l’area del rettangolo di base inﬁnita ed altezza h=-2 e l’area del rettangolo di base
sempre inﬁnita, ed altezza -4. Nel IV caso possiamo provare ad integrare
∫ +∞
∫ a
−x
(e sin x) dx = lim
(e−x sin x) dx ... = 1
a→+∞
0
0
La risposta esatta è la d)
Quesito 20
Sappiamo che la funzione sta sopra la funzione g(x) = e2x .
Però non sappiamo come è fatta
{
sin x + 5
x<0
f (x) = { 1 10x
e
+5 x≥0
10
Questa funzione soddisfa la condizione di essere maggiore o uguale alla e2x , di essere continua e derivabile in R,
ma della funzione non conosciamo nulla, non è monotona crescente, f ′ 0) = 10. La derivata seconda: f ′′ (0) = 1
Questa funzione funge da controesempio per tutte le domande
f2 (x) del quesito precedente può essere un controesempio per la proposta d)
La risposta esatta è la e)
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
d
2
b
3
c
4
e
5
c
6
b
c
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7
e
8
b
9
a
10
a
11
b
5
12
e
13
e
14
a
15
e
16
a
17
c
18
e
19
d
20
e
Simulazione di test completo
1. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R, tali che supA > inf B. Allora necessariamente
(a) infA(supB
(b) AnBnonèvuoto
(c) infA(supB
( d ) e s i s t o nno€ A e
y€Btali
chen>y
(e) nessunadelle altre risposte
2. La funzione/(r) : llog( - o)l
(a) è invertibile sull'intervallo [0,4)
(b) è invertibile sull'intervallo 13,+n)
(c) è invertibile sull'intervallo (-oo,4)
(d) non è invertibile su alcun intervallo
(e) è convessasu tutto il suo dominio
3. La funzione /(r) : ast3-ax2
(a) è strettamente crescentese e solo se a e l-\h, {31
(b) è strettamente crescentese e solo se a e (-t/5,r/3)
(c) non è crescenteper alcun valore di a
(d) è crescentese e solo se a ( 0
(e) è crescenteper ogni a
4. Il limite
lim (1 *4r21r/tocc
r-++cb'
,
:
(a) vale 1
(b) vale 0
(c) vale +m
(d) vale 4e
(e) vale e2
5. Per n -+ 0, sia /(r) - 12 cosxe 9(z) - et - L. Allora si ha
( a ) r r m " * 6 l i ( J i:l + *
I f/Fl
I
f I rì
: rl2
(b) lim"*et8
r( t\
(c) lim"*s ffi :0
ftf\
(d) ltm"as g(^ó : +oo
ft.t
( e )l i m , * e f f i : l
-4c2) sin1
6. Il limire lim (3r3
t
,
r-+-oo
f
(a) vale -oo
(b) vale +oo
(c) vale 0
(d) vale sia *oo che -oo
(e) non esiste
7. Sia a, una successionelimitata inferiormente. Allora
(a) VÈ>0lrùe Ntalechen)n
+
an)k
(b) per ogni n, an) 0
(c) :k < 0 tale che per ogni n, an 1 k
( d ) : ? z € N t a l e c h en > n I a n ) 0
(e) :e ( 0 tale che per ogni n, an ) lî
8. Sia /(r) - (3cosz)(4"""'). Allora //(0) vale
(a) 1
(b) 0
@)Tla
(d) Iog3/a
(e) -1
L La funzione
î, \
I\x):
( 2sinr*lxl3/z see(0
,"rto
I sin(2r)
(a) è di classeCr
(b) non è derivabile nell'origine
(c) è discontinua nell'origine
(d) è continua ma non è derivabile nell'origine
(e) nessuna delle altre affermazioni è corretta
10. Sia Í@) : n3 + e'. Allora (/-t)'(1)
(a) nessunaaltra risposta è corretta
(b) vale tl@ + e)
(c) non esiste
(d) vale l/e
(e) vale e
11. Il polinomio di Maclaurin di ordine 6 della funzione f (r):
rcosos6
@ )e + $ 1 6
(b) e $16
@ )2 + $ 1 6
(d) | - $ro
(e)e+ frro
1 2 . S i a n of , g e h t r e f u n z i o n i t a l i c h ef : o ( ù e g - h 3
perr-+*oo. Allora
(") /: o(s3)
(b) /-st
(c)lim'**- ffi,1: o
(d) nessunadelle altre risposte
(e)lim,-1- #óa : o
13. sia / : [0,3] -+ R una funzione continua e decrescente,Allora necessariamente
(u) /([0,3]) è un intervallo aperto
(b) /((0,3)) è un intervallo aperto
(c) /(10,3]) contiene almeno due punti
(d) /([0,3)) : [/(o),/(3))
(e) nessunadelle altre risposte è corretta
1 4 . s i a / : R - + R u n a f u n z i o n e d e r i v a b i l et a l e c h e / ( 0 ) :
/(1):
$.
p o n e n d og ( x ) : s i n ( / ( r ) ) ,
(a) la derivat a g'(r) si annulla almeno tre volte
(b) la derivat a g' (x) si annulla esattamente due volte
(c) la derivata gt(r) si annulla esattamente tre volte
(d) la derivata g'(r) non si annulla mai
(e) la derivata s'@) si annuila almeno quattro volte
15. La parte principale (rispetto a p(r):
(a) 5r
(b) r3/2
G) tfzxz/z
(d) 3z
(e) r
r) per c -+ 0- di /(c) : 3r * \/6rT
2ns è
allora
16. Una primitivadellafunzion"/(r) :
3i
è
( a )r + l o g ( 1 - r ) 2
(b)r+loglr-11
( c )o * l l o g ( r - 1 7 1
(d) 2r + loglr - 1l
t")r"slÍ+l
17. Dire qualetra i seguentienunciatiè corretto.
(a) se / è integrabilein [a,b],alloralc € [o,b]tale chef(") : * I: f@)dr
(b) se / è derivabilein 10,21,
allorafc € [0,2]tale che f'(") -- t É t@a,
(c) se / è continuain [4,5],allorafc € [4,5]tale chefk) : If t@)a,
(d) se / è continuain [o,b],alloralc € [o,b]tale che/(c) : t! t@a*
(e) se/ è integrabilein [a,b], allorafc € [o,ò] tale chef k) : t Í@a,
18.SiaF(z) :
14
t2
Ailora
J, #dú,
(a) F' è crescentesu (0, +m) e decrescentesu (-oo,0)
(b) F. è crescentesu R
(c) F ha un minimo in 0
(d) F ha un massimoin 0
(e) ,t' è decrescentesu R
19. Sia / continua su [0,+oo) e tale che f(")
r*m
I
Jo
S e-'per
ogni r 2 0. Allora necessariamenteI'integrale improprio
Í@)a*
(a) è indeterminato
(b) diverge a -m
(c) converge
(d) converge, oppure diverge a -oo
(e) nessuna delle precedenti risposte
20. Sia / : R -+ R una funzione di classeC* tale che /(z) ) e2' perogni r € R. Allora
(a) //(0) : s
(b) /"(o) > 4
(c) / è convessa
(d) / è crescente
(e) nessunadelle precedentirisposte
4l2l3 t 4 t5
DtBtcl€tc
tqlt9lzol
-eI D
I e ]
\f \"ro3\ F\r\E\.R\':\
I3l[ \B\fl
Quiz vari
1. Siano date una successione an convergente a un numero reale l 6= 0, con an 6= 0 per ogni n, e una
bn
successione bn limitata. Allora, la successione
an
(a) e’ limitata
(b) e’ convergente
(c) non e’ limitata
(d) converge o diverge
(e) e’ infinitesima
2. Se una successione an non e’ limitata, allora
(a) per ogni M > 0 esiste n ∈ N tale che an > M
(b) per ogni M > 0 esiste n ∈ N tale che an < −M
(c) per ogni M > 0 esiste n ∈ N tale che |an | > M
(d) per ogni M > 0 esiste N ∈ N tale che |an | > M per ogni n > N
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
3. Se f = o(g) e g = o(x5 ) per x → 0, allora (sempre per x → 0) possiamo dire che
(a) f (x) + x5 = o(g(x))
(b) f (x)g(x) = o(x11 )
(c) f (x)g(x) ∼ x10
f (x)
→0
(d)
x5
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
4. Se, per x → x0 , g e’ infinitesima e f + g 2 = o(g), allora (sempre per x → x0 ) possiamo dire che
(a) f = o(g)
(b) f = o(g 2 )
(c) f + g = o(g)
(d) g = o(g)
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
5. La funzione f : [−1, 1] → R, definita come f (x) = −x5 se x 6= 0 e f (0) = a, dove a e’ un parametro
reale, assume tutti i valori compresi tra il suo massimo e il suo minimo se e solo se
(a) a ≤ 0
(b) a = 0
(c) a = −1
(d) a = 1
(e) −1 ≤ a ≤ 1
1
√
6. La funzione f : [−1, 0] → R, definita come f (x) = − 3 x se −1 ≤ x < 0 e f (0) = a, dove a e’ un
parametro reale, ammette minimo se e solo se
(a) a ≤ 0
(b) a = 0
(c) a < 0
(d) a > 0
(e) a ≥ 0
7. Sia a > −2 un parametro reale. La funzione f : [−2, a) → R, definita come f (x) = cosh x ammette
minimo se e solo se
(a) a ≤ 0
(b) a = 0
(c) a < 0
(d) a > 0
(e) a ≥ 0
8. Sia f (x) = esinh x cos x. Nell’intervallo
− π2 , 3π
2
la derivata prima f 0 (x)
(a) non si annulla mai
(b) si annulla almeno due volte
(c) si annulla soltanto una volta
(d) si annulla infinite volte
(e) nessuna delle precedenti risposte e’ corretta
9. Sia f : R → R una funzione derivabile, con f 0 (1) = 2. Allora, la funzione g(x) =
f (x)
x
verifica
(a) g 0 (1) = −2
(b) g 0 (1) = 2 + f (1)
(c) g 0 (1) = 2 − f (1)
(d) g 0 (1) = f (1)
(e) nesuna delle altre risposte e’ corretta
10. Sia f : R → R una funzione derivabile tale che f (0) = 0, f (2) = 3. Ponendo g(x) = e−f (x) , allora
esiste un punto c ∈ (0, 2) tale che
(a) g 0 (c) = e3 /2
(b) g 0 (c) = e−3 /2
(c) g 0 (c) = (e3 − 1)/2
(d) g 0 (c) = (e−3 − 1)/2
(e) g 0 (c) = 0
2
√
11. Il limite lim+
x→0
x4 + x6 − x2
vale
x4
(a) +∞
(b) 0
(c) 1
(d) 2
(e)
1
2
12. Sia data una funzione continua f : R → R. Se la sua media integrale sull’intervallo [0, 4] vale 0, e
F e’ una primitiva di f , risulta
(a) F (4) + F (0) = 0
(b) f (4) − f (0) = 0
(c) F (4) = F (0)
(d) F (4) − F (0) = 4
(e) nessuna delle risposte precedenti è corretta
Rx
13. Sia f : R → R una funzione continua, e F (x) = 0 f (t) dt. Allora, se f ≤ 0 in R, possiamo dedurre
che
(a) F (x) ≤ 0 per ogni x ∈ R
(b) F (x) ≤ 0 per ogni x ≥ 0
(c) F non e’ di classe C 1 su R
(d) F 0 ha media integrale F (2) − F (0) sull’intervallo [0, 2]
(e) F (x) e’ decrescente
√
14. L’equazione differenziale x0 = (1 + x)(1 − cos x)(1 − t) x
(a) ha la soluzione costante x(t) = 1 per ogni t ∈ R
(b) non e’ a variabili separabili
(c) e’ lineare
(d) ha la soluzione costante x(t) = −2π per ogni t ∈ R
(e) ha la soluzione costante x(t) = 2π per ogni t ∈ R
3
Svolgimento (breve)
1. Risposta esatta: a. Infatti, siccome an converge ad un numero 6= 0 allora la successione a1n e’
limitata, quindi la successione proposta abnn e’ limitata in quanto prodotto delle successioni limitate
1
an e bn .
2. Risposta esatta: c. Infatti la definizione di successione limitata e’ la seguente: La successione (an )
e’ limitata se esiste M > 0 tale che |an | < M per ogni n ∈ N. Quindi la c e’ proprio la negazione
di questa frase. Si noti che invece la a esprime il fatto che an non e’ limitata superiormente, la b
dice che an non e’ limitata inferiormente, la d esprime il fatto che |an | → +∞. Queste ultime tre
condizioni sono sufficienti, ma non necessarie, perche’ an non sia limitata.
3. Risposta esatta: d. Usare il fatto che, se f = o(g) e g = o(h), allora f = o(h).
f
g
4. Risposta esatta: a. Dal testo dell’esercizio e dalla definizione di o-piccolo risulta che
Siccome g → 0 per ipotesi, deduciamo che
f
g
+ g → 0.
→ 0, quindi f = o(g).
5. Risposta esatta: b. Risulta chiaro rappresentando il grafico della funzione.
6. Risposta esatta: a. Risulta chiaro rappresentando il grafico della funzione.
7. Risposta esatta: d. Risulta chiaro rappresentando il grafico della funzione.
8. Risposta esatta: b. f si annulla in − π2 , π2 , 3π
2 , quindi la conclusione si ottiene applicando il
Teorema di Rolle sia nell’intervallo [− π2 , π2 ], sia nell’intervallo [ π2 , 3π
2 ].
9. Risposta esatta: c. Infatti g 0 (x) =
f 0 (x)−xf (x)
.
x2
Sostituendo x = 1 si conclude.
10. Risposta esatta: c. Per il Teorema di Lagrange, esiste c ∈ (0, 2) tale che g 0 (c) =
e
−f (2)
−f (0)
−e
2−0
=
e
g(2)−g(0)
2−0
=
−3
−1
.
2
11. Risposta esatta: e. Risulta
√
x4 + x6 = x2 (1 + x2 )1/2 = x2 1 + 12 x2 + o(x2 ) = x2 + 21 x4 + o(x4 )
per x → 0. Sostituendo nel limite proposto si ottiene come risultato 21 .
R4
12. Risposta esatta: c. Per il Teorema Fondamentale del Calcolo abbiamo F (4) − F (0) = 0 f (t) dt
e questo integrale vale 0 perche’ f ha media integrale nulla su [0, 4]. Quindi F (4) − F (0) = 0.
13. Risposta esatta: e. Infatti, F 0 (x) = f (x) ≤ 0 quindi la d e’ corretta. Ricordare che per la
Rb
proprieta’ di monotonia dell’integrale, se f ≤ 0 allora a f (t) dt ≤ 0, sempre che a ≤ b; altrimenti,
Rb
se a ≥ b risulta a f (t) dt ≥ 0. Pertanto in questo caso F (x) ≥ 0 per x ≤ 0 , mentre F (x) ≤ 0 se
x ≥ 0, quindi a e b sono errate. c e’ errata perche’, per definizione, una funzione di classe C 1 e’
una funzione derivabile con derivata continua; essendo qui F 0 (x) R= f (x), la funzione
F e’ di classe
R
2
C 1 . La d e’ errata perche’ la media integrale di F 0 (x) su [0, 2] e’
0
F 0 (t) dt
2−0
2
=
0
f (t) dt
2−0
=
F (2)−F (0)
.
2
0
14. Risposta esatta: e. Innanzi tutto, l’equazione e’ a variabili
√ separabili, perche’ della forma x =
g(t)h(x). Qui g(t) = 1 − t, mentre h(x) = (1 + x)(1 − cos x) x. Le soluzioni costanti si ottengono
ponendo h(x) = 0, quindi si ottengono le soluzioni x(t) = −1, x(t) = 2kπ, k ∈ N, x(t) = 0 per ogni
t ∈ R. Si noti che
√ le radici negative di 1 − cos x = 0 sono da escludersi perche’ deve essere x ≥ 0
per l’esistenza di x. Quindi si vede che a, b, d sono errate, mentre e e’ corretta. Infine c e’ errata
perche’ l’equazione proposta non e’ della forma x0 + a(t)x = b(t).
4
27◦ simulazione
CORSO DI ANALISI I
27◦ SIMULAZIONE ESAME
Ogni quesito ha una sola risposta esatta
1. Quale delle seguenti funzioni NON ha graﬁco uguale al graﬁco della sua funzione inversa?
a) le funzioni del tipo f (x) = x
b) le funzioni del tipo f (x) = x e f (x) = −x + b
c) le funzioni del tipo f (x) = x e f (x) = ax + b
d) le funzioni del tipo f (x) = −x
e) le funzioni del tipo f (x) = −x e f (x) = −x + b
2. Sia dato l’insieme A = {arctan(−n), n ∈ N} ∪ {5}
π
2
π
sup = 5; inf =−
2
π
π
sup= ; inf =−
2
2
π
min=− ; max= 5
2
π
π
inf=− ; max= −
2
4
a) max = 5; inf =−
b)
c)
d)
e)
3. Dato l’insieme A = {cosh x, x ∈ R} ∪ {−9}
a) inf =1; sup = +∞
b) min =−9; sup = +∞
c) min =−1; sup = +∞
d) inf= −∞; sup = +∞
e) inf = 0; max = +∞
∫
4. Sia dato
I=
f ′ (x)
dx
f (x)
allora
a) I=log f (x) + c
b) I=arctan f (x) + c
c) I=log |f (x)| + c
f ′′ (x) · f (x) − (f ′ (x))2
f 2 (x)
f (x)
e) I= ′
f (x)
d) I=
5. Data l’equazione diﬀerenziale
x′ (t) = x · log t
a) l’equazione ammette la soluzione costante x(t) ≡ 0, ∀x ∈ R
b) l’equazione NON ammette soluzioni costanti
c) l’equazione ammette la soluzione costante x(t) ≡ 0, t > 0
d) l’equazione ammette la soluzione costante x(t) ≡ 0, t ≥ 0
e) l’equazione ammette inﬁnite soluzioni costanti
Paola Suria
1
27◦ simulazione
6. Sia f (x) = sin x, derivabile inﬁnite volte, per x =
π
quale delle seguenti aﬀermazioni è vera?
2
a) f (k) (x) = 1 se k = 4n + 1, n ∈ N
b) f (k) (x) = 1 se k = 4n, n ∈ Z
c) f (k) (x) = −1 se k = 4n, n ∈ N
d) f (k) (x) = 1 se k = 4n, n ∈ N
e) f (k) (x) = −1 se k = 4n + 1, n ∈ N
7.
lim
n→+∞
(
1+
4
2
n +4
)n
√
a) 4 e
b) e4
c) 1
d) +∞
e) 0
∫
4 √
8. Sia I=
e
x
dx . Allora
0
a) 1 < I < e2
b) I < 0
c) 4 < I < 32
d) I ≥ 32
e) 0 < I < 4
(
)
9. Sia h(x) una funzione derivabile. Allora la derivata di f (x) = log h3 (x) + 1 vale
a) f ′ (x) =
b) f ′ (x) =
3h2 (x)
+1
h3 (x)
3h2 (x) · h′ (x)
(h3 (x) + 1)
2
3h2 (x) + 1
h3 (x) + 1
1
d) f ′ (x) = 3
h (x) + 1
c) f ′ (x) =
e) f ′ (x) =
3h2 (x) · h′ (x)
h3 (x) + 1
10. Per quale valore del parametro α la funzione

sin(αx)




x
f (x) =


x+1


x+2
è continua nel punto x = 0
1
2
b) α = −2
1
c) α = −
2
d) α = 2
a) α =
e) α = 0
Paola Suria
2
x<0
x≥0
27◦ simulazione
11. Sia y(x; C1 , C2 ) la soluzione generale dell’equazione diﬀerenziale
y ′′ (x) + 10y ′ (x) + 21y(x) = 0
Allora
lim y(x) =
x→+∞
a) 0, solo se C1 = 0
b) 0, solo se C2 = 0
c) @
d) 0, ∀ C1 , C2 ∈ R
e) +∞
12. L’insieme delle α per cui l’integrale improprio
∫ +∞
tα arctan t dt
1
converge è
a) (−∞, 2]
b) (−∞, −1)
c) (1, +∞)
d) (−∞, +∞)
e) (−∞, 2)
13. Sia f (x) una funzione continua e derivabile nel suo dominio. Sapendo che f (0) = 0, f (11) = 2, per il
teorema di Lagrange, applicato alla funzione g(x) = f 2 (x), si può dire che ∃c ∈ (0, 11) tale che:
4
121
g ′′ (c) = 0
2
g ′ (c) =
11
g ′ (c) = 0
4
g ′ (c) =
11
a) g ′ (c) =
b)
c)
d)
e)
14. Sia dato il seguente integrale improprio:
∫
+∞
I=
2
Allora
∫
a)
2 + ex
dx
1 + x5
∫ +∞
2 + ex
1
dx ≤
dx
5
1+x
x5
2
2
b) converge perché la funzione integranda è inﬁnitesima, per x → +∞
+∞
c) converge ad un valore costante positivo
d) diverge positivamente
2 + ea
1 + e2
−
a→+∞ 1 + a5
33
e) I = lim
Paola Suria
3
27◦ simulazione
{
15. L’insieme A =
n
n+5
}
∪ {5}, n ∈ N
a) ammette estremo superiore, ma non massimo
b) sup A =1, inf A=0
c) 1 è estremo superiore
d) è limitato sia inferiormente sia superiormente
e) 4 è un maggiorante dell’insieme
16. Data la funzione f (x) = x2 , allora f (−1, a), con a > −1 ammette minimo se
a) a ≥ 0
b) a > 0
c) −1 < a ≤ 0
d) a = 0
e) ∀a ∈ R
(
17.
2
lim 3x
x→+∞
x
1
cos − e 2
x
)
a) 0
b) +∞
3
c)
2
d) @
e) −∞
18. Siano date le funzioni f (x) = (ax2 + 3x3 ) sin x e h(x) = 3x2 + 3x3
a) h(x) è il polinomio di Mac Laurin della funzione f (x), ∀a ∈ R
b) h(x) è il polinomio di Mac Laurin della funzione f (x), a = 0
c) h(x) è il polinomio di Mac Laurin della funzione f (x), a = 1
f (x)
x2
f (x)
e) h(x) può essere lo sviluppo di Mac Laurin della funzione g(x) =
x
d) h(x) può essere il polinomio di Mac Laurin della funzione g(x) =
19. Se
lim
x→+∞
f (x)
=4
x
allora necessariamente
a)
b)
c)
lim (f (x) − 4x) = 0
x→+∞
lim (f (x) − 4x) = +∞
x→+∞
lim (f (x) − 4x) = @
x→+∞
d) f (x) ammette la retta y = 4x + q come asintoto obliquo destro
e) f (x) ∼ 4x, x → +∞
20.
lim
√
n
n→+∞
a) 3
b) 1
c) 0
d) +∞
e) @
Paola Suria
4
3n − 2n =
27◦ simulazione
21. Sia data la funzione f (x) = x4 + o(x5 ). Allora
a) x = 0 è un punto di minimo globale della funzione f
b) x = 0 è un punto di minimo locale della funzione f
c) la funzione è pari
d) la funzione è sempre positiva nel suo dominio
e) l’equazione della funzione è, necessariamente, f (x) = sin x4
(
)′
22. Sia f (x) = 3x + 1 + arctan x. Sapendo che f (0) = 1 allora f −1 (1) =
2
7
b) −4
a)
c) 4
1
d)
4
e)
1
f ′ (1)
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
c
2
a
3
b
4
c
5
c
6
d
7
c
8
c
9
e
10
a
11
d
12
b
13
e
14
d
15
d
16
b
17
e
18
e
19
e
20
a
21
b
22
d
CONSIGLI
Quesito 1
Ricavare la funzione inversa, esplicitando la x e poi... ribattezzando.
Le funzioni che hanno graﬁco uguale a quello dell’inversa devono avere equazione dell’inversa uguale all’equazione
della funzione stessa. Proviamo a ricavere....
Sono anche funzioni che hanno una simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.
f (x)
y=x
y = −x + b
y = ax + b
x=y
x = −y + b
1
b
x= y−
a
a
f −1 (x)
y=x
y = −x + b
1
b
y = x−
a
a
Quesito n◦ 2
Attribuiamo ad n alcuni valori per prendere idee. Intuiamo anche, con un calcolo di limite che, per
n → +∞,
− arctan n → −
π
2
.
[
π
π)
π
A = 5, 0, − , − arctan 2 < − , − arctan 3...., −
4
3
2
π
L’insieme ammette quindi max=5, ma non ha min. Inf (A) = −
2
Quesito n◦ 3
A = {−9} ∪ [1, +∞)
A ammette minimo: min(A)=-9; non ammette massimo perché l’insieme non è superiormente limitato. Sup(A) =
+∞
Paola Suria
5
27◦ simulazione
Quesito n◦ 4
∫
f ′ (x)
dx = log |f (x)| + c
f (x)
Quesito n◦ 5
E’ un’equazione diﬀerenziale a variabili separabili (y ′ = a(x) · b(y)), ma anche lineare omogenea (b(x) ≡ 0):
y ′ (x) = a(x)y + b(x) −→ x′ (t) = log t · x + 0
Aﬀrontiamo lo studio cone variabili separabili:
• dom (a(t)) : t > 0
• soluzione costante: la semiretta x(t) ≡ 0, t > 0
Quesito n◦ 6
f
(π)
2
= sin
(π )
(π)
(π )
(π )
π
π
π
π
π
= 1; f ′
= cos = 0; f ′′
= − sin = −1; f ′′′
= − cos = 0; f (4)
= sin = 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Allora abbiamo individuato il periodo: T=4 −→ k = 4n, n ∈ N
Quesito n◦ 7
n


lim 1 +
n→+∞
1∞ −→ e

 n24+4 ·
4n
n2 +4
1 
1 

 = lim 1 + 2

n→+∞
n +4
n +4
4
4
2
= e0 = 1
Quesito 8
L’integrale non è da calcolare, ma da valutare, pensando al terorema della media integrale.
L’integrale (l’area) è compresa tra l’area del rettangolo di altezza l’estremo inferiore e il rettangolo con altezza
estremo sup.
IL rettangolo ha base 4.
Ora possiamo constatare che la funzione ha esponente che cresce al crescere di x, quindi l’altezza minima è per
x=0 e vale 1.
Il max della funzione è e2 ≈ 8
Perciò
4 · (1) ≤ I ≤ 4 · (8)
Quesito n◦ 9
E’ la derivata di funzione composta (non dimenticare h′ (x)):
f ′ (x) =
3h2 (x) · h′ (x)
h3 (x) + 1
Quesito n◦ 10
lim−
x→0
sin(αx)
= α;
x
lim+
x→0
x+1
1
1
=
−→ α =
x+2
2
2
Quesito 11
λ2 + 10λ + 21 = 0 → λ1 = −7; λ2 = −3
y = C1 e−7x + C2 e−3x
La risposta è la d) perché gli esponenti sono negativi e gli esponenziali tendono a zero qualunque C1 , C2
Paola Suria
6
27◦ simulazione
Quesito n◦ 12
L’integrale è improprio perché l’intervallo di integrazione è inﬁnito.
La condizione necessaria di convergenza (non suﬃciente) è che la funzione sia inﬁnitesima e questo accade solo
se α < 0
π
arctan x
4
f (x) =
≤
→ −α > 1; α < −1
t−α
t−α
Quesito n◦ 13
Applicare la formula alla nuova funzione g(x) = f 2 (x)
∃ almeno c ∈ (a, b) : g ′ (c) =
g(b) − g(a)
b−a
4−0
4
f 2 (11) − f 2 (0)
; g ′ (c) =
=
11 − 0
11 − 0
11
N.B. Non siate tentati dall’elevare alla seconda anche il denominatore, cone so che qualcuno ha fatto!
∃c ∈ (11, 0) :
g ′ (c) =
Quesito n◦ 14
Si tratta di un integrale improprio su intervallo inﬁnito.
L’item a) fa pensare al criterio del confronto diretto: per maggiorare una frazioni si può maggiorare il numeratore
oppure minorare il denominatore oppure procedere con entrambe le maggiorazioni/minorazioni.
In questo caso il numeratore della frazione è stata minorato e quindi la frazione non è minore, ma maggiore!
Quindi il primo integrale è maggiore non minore del II.
b)
2 + e2
= +∞
x→+∞ 1 + x5
lim
la funzione non è inﬁnitesima, ma inﬁnita;
c)l’integrale non può convergere (la c.n. non suﬀ. di convergenza è che il limite tenda a zero).
d)l’integrale diverge perché la funzione integranda va all’inﬁnito, per x tendente ad inﬁnito
e) è spam; sono stati sostituiti il limite superiore ed inferiore nella fuznione integranda, senza integrare!!!
Quesito n◦ 15
{
}
1 2 3
A = 0, , , ..., 5
6 7 8
Sono tutti punti isolati distribuiti nell’intervallo [0, 1) a cui si deve aggiungere il punto isolato {5}.
L’insieme ha massimo e minimo.
Quesito n◦ 16
a deve essere strettamente maggiore di zero. nfatti l’intervallo di studio non è superiormente chiuso.
Paola Suria
7
27◦ simulazione
Quesito n◦ 17
1
Il limite è con x → +∞; ma la sostituzione
= t riporta il limite a zero. Però il coseno tende a 1, mentre
x
l’esponenziale tende a +∞
1
La sostituzione sarebbe utile solo per il cos . Ma il coseno tende a 1 e... allora è più facile!!!: (1−∞) −→ −∞.
x
L’inﬁnito negativo, moltiplicato per più inﬁnito resta ....- inﬁnito.
Quesito n◦ 18
E’ data una funzione f (x) e il suo polinomio di MacLaurin (infatti è un polinomio scritto come potenze di x).
Il polinomio è di 3◦ grado. La funzione dovrebbe essere inﬁnitesima del II ordine ed avere in x = 0 un punto
critico, di minimo.
Sviluppiamo f (x) al III ordine e poi utilizziamo il principio di identità dei polinomi.
(
)
1
f (x) = (ax2 + 3x3 ) · x − x3 + o(x3 ) = ax3 + o(x3 )
3!
h(x) non può essere lo sviluppo di f (x) perchè f (x), in x=0, è inﬁnitesima di ordine ≥ 3.
Se a = 3 i coeﬃcienti di x3 sono uguali, ma il polinomio ha anche la potenza seconda.
Se a=0: f (x) è inﬁnitesima di ordine superiore a 3.
d)
Consideriamo
f (x)
g(x) = 2 :
x
( 2
) (
)
(
)
ax + 3x3 · x − 16 x3 + o(x3 )
1 3
1
3
g(x) =
= (a+3x)· x − x + o(x ) = ax− ax3 +3x2 +o(x3 )
2
x
6
6
1
g(x) = ax + 3x2 − ax3 + o(x3 )
6
Per l’identità dei polinomi:


 a=0
3=3

 1a = 3
6
Il sistema è impossibile.
e) Ripetiamo il ragionamento per la funzione
( 2
) (
)
(
)
ax + 3x3 · x − 16 x3 + o(x3 )
f (x)
1 3
2
3
g(x) =
: g(x) =
= (ax + 3x ) · x − x + o(x ) = ax2 + 3x3 + o(x3 )
x
x
6
Per l’identità dei polinomi è necessario che a = 3
Quesito 19
Ricordare la diﬀerenza tra asintotico ed equivalente.
Asintotico: x → ∞ : f (x) = mx + q + o(1) (o(1) = inﬁnitesimo;
g(x)
g(x) = o(1) → lim
=0
x→∞ 1
Pensare alle seguenti funzioni:
f1 (x) = 4x; f2 (x) = 4x + log(x3 + 2); f3 (x) = 4x + sin x
Quesito n◦ 20
n → +∞ : 2n = o(3n ).
lim
n→+∞
√
n
3n = 3
Quesito n◦ 21
Se la funzione è f (x) = x4 + o(x4 ) si comporta come la funzione g(x) = x4 .
Ma la funzione g(x) ha un minimo nell’origine
Quesito n◦ 22
Ci mancava!!!
Cose da non fare: trovare la funzione inversa.
La funzione data è monotona strettamente crescente e quindi invertibile. Utilizziamo il terema della derivata
della funzione inversa
Paola Suria
8
27◦ simulazione
f (x) = 3x + 1 + arctan x
f −1
(0, 1)
(1, 0)
f ′ (x) = 3 +
1
1 + x2
f ′ (0) = 3 + 1 = 4
(f −1 )′ =
Paola Suria
9
1
4
28◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
28◦ SIMULAZIONE
Ogni quesito ha una sola risposta esatta
1. Sia w =
1 + 3i
. Allora il modulo di w vale
4 + 2i
a) 2
√
2
√
2
c)
2
1
d)
2
e) 2
b)
(
2.
lim x
1
e − cos
x
3
x
2
x→+∞
)
=
a) 0
b) +∞
c) 3
d) 1
e) -1
3. L’integrale improprio
∫
+∞
1
1−π
dx
xπ−3
a) diverge positivamente
b) converge positivamente
c) ha la funzione integranda con segno non costante nell’intervallo di integrazione e quindi è necessario
studiare il comportamento della funzione in valore assoluto
d) converge assolutamente
e) diverge a −∞
4. La derivata della funzione
1
f (x) = esin x+1
è
a) e
b) e
c) e
cos
1
x+1 ·
(
)
1
− (x+1)
2
cos
1
x+1 ·
(
)
1
− (x+1)
2
cos
1
1
x+1 · (x+1)2
1
· cos
1
x+1
1
1
·
x + 1 (x + 1)2
1
1
·
· cos
x + 1 (x + 1)2
d) −esin x+1 · cos
1
e) esin x+1
5. Sia data f : [−2, 2] → R, f (x) = x5 + x − 10. Allora sicuramente NON è vero che esista almeno un punto
c ∈ (−2, 2) tale che
a) f (c) = 0
b) f ′ (c) = 17
c) f (c) = −1
d) f (c) = 32
e) f ′ (0) = 1
Paola Suria
1
28◦ Simulazione
6. Trovare l’ordine di inﬁnito α, per(x → +∞,
) rispetto all’inﬁnito campione standard, e la parte principale
3
della funzione f (x) = x + arctan x + x 2 calcolando
(
)
3
x + arctan x + x 2
lim
xα
x→+∞
a) Ord = 1,
3
b) Ord = ,
2
c) Ord = 1,
3
d) Ord = ,
2
e) Ord = 1,
pp. = x, x → +∞
3
pp. = x 2 , x → +∞
pp. = 2x, x → +∞
3
pp. = 2x 2 , x → +∞
pp. = 1, x → +∞
7. Trovare l’ordine di inﬁnitesimo
all’inﬁnitesimo campione, per x → 0, e la parte pricipale della
( α, 3rispetto
)
funzione f (x) = x + arctan x + x 2 calcolando
(
)
3
x + arctan x + x 2
lim
xα
x→0
a) ord = 1,
3
b) ord = ,
2
3
c) ord = ,
2
3
d) ord = ,
2
e) ord = 1,
pp. = 2x, x → 0
3
pp. = x 2 , x → 0
3
pp. = 2x 2 , x → 0
3
pp. = 2x 2 , x → 0
pp. = 1, x → 0
8. Sia data la funzione f (x) = x(x−1)(x−2)(x−3)ex . Quanti sono gli zeri della derivata prima nell’intervallo
(0, 3)?
a) uno
b) almeno 3
c) due
d) nessuno
e) 4
9. Sia data la funzione f : [1, 2] → R continua e derivabile e tale che f (1) = 2π, f (2) = π, allora a quale
delle seguenti proprietà soddisfa la funzione g(x) = sin (f (x))?
a) ∃c ∈ (1, 2)\ g ′ (c) = 0
b) ∃c ∈ (1, 2)\ f ′ (c) = 0
c) ∃c ∈ (1, 2)\ g(c) = 0
d) ∃c ∈ (1, 2)\ f (c) = 0
e) ∃c ∈ (1, 2)\ f ′ (c) = π
10. L’integrale improprio
∫
0
xex dx
−∞
a) converge a zero
b) converge ad un valore ﬁnito positivo
c) converge ad un valore ﬁnito, ma negativo
d) diverge negativamente
e) diverge
Paola Suria
2
28◦ Simulazione
11. Trovare l’ordine
di inﬁnitesimo
α, rispetto all’inﬁnitesimo campione, per x → 0, della funzione f (x) =
)
(
2
2x + arctan x + x 3 calcolando
(
)
2
2x + arctan x + x 3
lim
x→0
xα
a) ord = 1,
2
b) ord = ,
3
3
c) ord = ,
2
3
d) ord = ,
2
e) ord = 1,
pp. = 2x, x → 0
2
pp. = x 3 , x → 0
3
pp. = 2x 2 , x → 0
3
pp. = 2x 2 , x → 0
pp. = 1, x → 0
(
)
4
1
lim x3 cos − e x =
x→+∞
x
12.
a) 0
b) 1
c) @
1
d)
2
e) −∞
(
)
4
1
lim x2 cos − e x =
x→+∞
x
13.
a) 0
b) 1
c) @
1
d)
2
e) −∞
14. Sia data f (x) = log(2x2 + 3x3 ). Allora f ′ (x) =
a)
b)
c)
d)
e)
4 + 9x
x(2 + 3x)
4x + 9
2x2 + 3x3
1
4x + 9x2
1
x(x + 9x)
4 + 9x
4 + 9x
∫
15.
a)
b)
√
x 2 + x2 dx =
√
1
2
3 2+x
√
1
2
2 (2 + x ) 2
+ x2
2
1
√
2
3 (2 + x ) 2 + x2
√
1
d) (2 + x2 ) 2 + x2
3
√
e) (2 + x2 ) 2 + x2
c)
Paola Suria
3
28◦ Simulazione
(
)
4
1
lim x cos − e x =
x→+∞
x
16.
a) -4
b) 1
c) @
1
d)
2
e) −∞
17. L’equazione diﬀerenziale y ′ = ex+y :
a) è lineare
b) è a variabili separabili
c) ammette y = ex come soluzione particolare
d) la soluzione che soddisfa il problema di Cauchy y(0) = 1 è y = ex
e) nessuna delle precedenti
18.
5
lim (3 + n) log n =
n→+∞
a) 5
b) 1
c) +∞
d) 0
e) e5
19. Senza il calcolo della derivata prima, si può aﬀermare che la funzione f : [0, 2π] → R, f (x) = ecos x · sin x:
a) ammette almeno due punti critici in (0, 2π)
b) ha un solo punto critico in (0, 2π)
c) non ha punti critici in (0, π)
d) non ha punti critici in (π, 2π)
e) f ′ (x) = 0 ha una sola soluzione con x ∈ (0, 2π)
20.
lim
x→4/5
a)
b)
c)
d)
e)
1 − cos(5x − 4)
=
(x − 45 )2
1
2
25
2
5
2
1
1
5·2
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
Paola Suria
1
c
2
b
3
e
4
d
5
d
6
a
7
a
8
b
9
a
10
c
11
b
4
12
e
13
e
14
a
15
d
16
a
17
b
18
e
19
a
20
b
28◦ Simulazione
CONSIGLI
Quesito n◦ 1
Il modulo di un rapporto è il rapporto dei moduli
√
√
10
2
|w| = √ =
2
20
Quesito 2
1
1
= t −→ lim+ 2
x
t→0 t
((
) (
))
9t2
1 2
3
2
2
1 + 3t +
+ o(t ) − 1 − t + o(t )
= lim+ 2 · 3t = +∞
2
2
t→0 t
Quesito 3
E’ un integrale improprio; non deve essere calcolato, ma si deve studiare la sua convergenza/divergenza con un
criterio di convergenza asintotica.
Il numeratore della funzione integranda è negativo, quindi la funzione integranda è a segno costante, negativo.
Non è necessario studiarne la convergenza/divergenza assoluta.
f (x) =
1−π
2.1415...
∼ − 0.1415... , x → +∞
xπ−3
x
1
, α < 1, x → +∞
xα
quindi l’integrale improprio diverge, ma diverge a −∞
f (x) ≍ −
Quesito n◦ 4
′
f (x) = e
sin
1
x+1
(
)
1
1
· cos
· −
x+1
(x + 1)2
Quesito 5
Si tratta di una funzione continua, deﬁnita su un intervallo chiuso e limitato. La funzione è somma di due
funzioni strettamente crescenti in R (quindi anche nell’intervallo) e di una funzione costante; la funzione è
quindi strettamente crescente. Si può quindi pensare ai teoremi di Weiestrass, valori intermedi e zeri, perchè
f (−2) · f (2) < 0.
E’ bene ricordare anche che l’immagine di una funzione continua deﬁnita in un intervallo chiuso e limitato è un
intervallo: infatti
• la funzione ammette il massimo e il minimo assoluto, per il t. di Weiestrass;
• assume tutti i valori compresi.....per il teorema dei valori intermedi
• quindi l’insieme delle immagini ha massimo e minimo assoluto e assume tutti i valori tra il max e il min
• quindi l’insieme è un intervallo chiuso e limitato!
La funzione è anche derivabile quindi si può pensare al teorema di Rolle e di Lagrange (se parla di derivata
prima)
E’ anche possibile pensare al teorema della media integrale che richiede solo l’integrabilità e, nella forma più
ristretta la continuità.
Potrebbe anche essere utile il teorema fondamentale del calcolo integrale che richiede la continuità.
analizziamo le risposte:
a) T. zeri
b) T. Lagrange
c)valori intermedi
d) valori intermedi
e) derivata in un punto
Paola Suria
5
28◦ Simulazione
Quesito 6
3
3
x → +∞ : arctan(x + x 2 ) ∼ arctan x 2 ∼
π
(abbiamo tenuto la potenza maggiore di x, per x all’inﬁnito)
2
Quindi
3
x + arctan(x + x 2 )
x
lim
= lim α = 1, se α = 1
x→+∞
x→+∞ x
xα
L’esercizio ci ha portato a confrontare la funzione f (x) con il campione standard, per x → +∞.
Aﬃnché il rapporto sia un numero α = 1.
In questo caso il rapporto viene 1 → f (x) = x
L’ordine di inﬁnito è quindi 1 e la parte principale P.P. = x, x → +∞
Quesito n◦ 7
E’ richiesto di studiare il comportamento della funzone del Quesito 6), con x tendente a zero. Deve venirci in
mente:
• Mac laurin
• dobbiamo tenere le potenze ad esponente minore
3
x → 0 : arctan(x + x 2 ) ∼ arctan x ∼ x (abbiamo tenuto la potenza di esponente minore di x, per x → 0)
Quindi
3
x + arctan(x + x 2 )
x+x
= lim
= 2, se α = 1
x→0
x→0 xα
xα
L’esercizio ci ha portato a confrontare la funzione f (x) con il campione standard, per x → 0.
P.P.f (x) = 2x, x → 0; ord = 1
lim
Quesito 8
Il quesito richiede di applicare il teorema di Rolle nell’Intervallo [0, 3]. Poiché la funzione interseca l’asse x in
x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, tra 0 e 3 ha almeno 3 punti critici.
Quesito 9
E’ possibile applicare alla funzione g(x) il teorema di Rolle: infatti g(1) = sin (f (1)) = sin 2π = 0 = g(2).
Quindi ∃c ∈ (1, 2)\g ′ (c) = 0
La risposta b) è sbagliata perché si applica il teorema di Rolle alla funzione f
Le risposte c) e d) sono sbagliate perchè non è possibile applicare il teoema degli zeri sia alla funzione f sia alla
g
La risposta e) è sbagliata perché applica il teorema di Lagrange alla funzione f, ma perde il segno meno!
Quesito 10
Si tratta di un integrale improprio perchè l’intervallo di integrazione è inﬁnito (ma (−∞, 0]). Si può procedere
con metodi diversi:
• I Metodo:
integriamo (la funzione integranda è facilmente integrabile per parti) e poi facciamo il limite.
∫
0
xex dx = lim
lim
a→−∞
a→−∞
a
(
∫
ex x|0a −
)
0
= lim (0 − aea − (1 − ea ))
ex dx
a→−∞
a
a
− 1 + 0) = −1
e−a
Quindi l’integrale improprio converge ad un valore negativo
lim
a→−∞
• II Metodo:
Facciamo una sostituzione di variabile per avere gli estremi [0, +∞)).
x = -t;
dx =-dt;
∫
∫
0
0
x
xe dx =
−∞
Paola Suria
∫
−t
0
(−te (−dt) =
+∞
te
+∞
6
−t
∫
dt = −
0
+∞
te−t dt
28◦ Simulazione
Al nuovo integrale applichiamo il criterio di convergenza diretto
te−t =
t
t
≤ 10
et
t
Naturalmente abbiamo minorato il denominatore e quindi maggiorato la frazione.
All’esponente della t avremmo potuto mettere qualsiasi numero, ma maggiore di 2, per poter trarre
conclusioni utilizzando il criterio dı̀ confronto diretto.
Attenzione non possiamo confrontare l’integrale dato con l’integrale
∫ +∞
1
dt
9
t
0
perché il nuovo integrale sarebbe improprio anche in t = 0, mentre quello dato no.
Applichiamo allora la linearità dell’integrale deﬁnito
(∫ 1
∫ +∞
∫
−t
−t
−
te dt = −
te dt +
0
0
+∞
te
−t
)
dt
1
Il primo integrale è un integrale deﬁnito; il II integrale è improprio e può essere maggiorato con
∫ +∞
1
−
dt
t9
1
che converge; allora converge anche l’integrale dato, ad un valore negativo
• III Metodo
Lavoro per analogia, ribaltando i criteri su intervallo +∞ a −∞
La funzione integranda è inﬁnitesima se x → −∞. Utilizziamo il criterio di convergenza del confronto
diretto:
x
x
f (x) = xex = −x ≤ 10 , x → −∞
e
x
Quindi l’integrale converge, ma la funzione integranda ha segno costante negativo, quindi converge ad un
numero negativo
Quesito n◦ 11
E’ una nuova versione del Quesito n◦ 7).
( 2)
√
In questo caso x = o x 3 , perciò trascuriamo x! pensare al graﬁco di f (x) = x;
Quesito 12
Sostituire
1
= t ed utilizzare gli sviluppi di Mac Laurin
x
Quesiti 2 - 12 - 13 - 16
In particolare i quesiti 12 - 13 - 16 sono del tipo
(
)
4
1
x
lim x cos − e
x→+∞
x
k
Paola Suria
7
√
3
x2
28◦ Simulazione
1
con k = 3, 2, 1 Sostituendo (o pensando di sostituire) t = il limite tende a zero ed è possibile utilizzare
x
Mac Laurin.
t2
t4
1 − + + o(t4 ) − 1 − 4t −
cos t − e4t
2
4!
lim
= lim+
tk
t→0
t→0+
1
1
1
(4t)2 − (4t)3 − (4t)4 + o(t4 )
−4t
2
3
4!
= lim+ k
k
t
t
x→0
– k = 1 il risultato è -4
– k > 1 il risultato è −∞
Quesito n◦ 14
f ′ (x) =
4x + 9x2
4 + 9x
=
2x2 + 3x3
2x + 3x2
Quesito 15
1
2
∫
1
1
2
3
1 (2 + x2 ) 2 + 2
1 2
+ c = · (2 + x2 ) 2 + c
3
2
2 3
2
√
1
I = (1 + x2 ) 1 + x2 + c
3
2x(2 + x2 ) 2 dx =
Quesito n◦ 17
E’ un’equazione diﬀerenziale del I ordine che può essere riscritta:
y ′ = ex · ey
Quindi è a variabili separabili
Quesito n◦ 18
Forma indeterminata del tipo [∞0 ]
lim e log n ·log(3+n) = lim e
5
n→+∞
5 log(3+n)
log n
n→+∞
= e5
Quesito n◦ 19 Il consiglio è di trovare punti stazionari senza il calcolo della derivata prima.
Pensiamo alla funzione f (x) e ai suoi zeri che corrispondono alle intersezioni con l’asse x.
La funzione si annulla se x = 0; x = π; x = 2π
La funzione è continua e derivabile nell’intervallo [0, 2π], quindi, per il teorema di Rolle ammette almeno due
punti critici.
Proviamo ora a calcolare i punti critici:
(
)
(
)
f (x) = ecos x ·sin x −→ f ′ (x) = sin x·ecos x ·(− sin x)+ecos x ·cos x = ecos x · − sin2 x + cos x = ecos x · −1 + cos2 x + cos x
′
f (x) = 0 ⇐⇒ cos x + cos x − 1 = 0; cos x =
2
−1 ±
√
1+4
2
√
√
−1 + 5
−1 + 5
⇒ α1 = arccos
; α2 = 2π − α1
cos x =
2
2
Scopriamo che i punti critici sono proprio due.
Quesito n◦ 20
Possiamo scegliere la sostituzione:
1.
x−
1 − cos 5t
1 − cos 5t
25
4
= t −→ lim
= lim 25
=
2
2
t→0
t→0
5
t
25t
2
2.
5x − 4 = t −→ lim
t→0
Paola Suria
8
1 − cos t
t2
25
=
25
2
29◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
29◦ SIMULAZIONE ESAME
Ogni quesito ha una sola risposta esatta
1. Siano A e B due insiemi, con A e B ⊆ R e tali che sup A=sup B=3. Allora
a) max A = max B
b) se max A=3 allora max B=3
c) A ≡ B.
d) inf A = inf B
e) B può non ammettere massimo
2. sia A ⊆ R e inf A=5
a) 5 è uno degli elementi di A
b) non è detto che 5 sia il minimo di A
c) 5 è il più piccolo dei minoranti di A
d) 5 ∈ A
e) esistono elementi di A minori di 5
3. Sia f : R → R una funzione continua tale che f (x) = −f (−x). Quale delle seguenti aﬀermazioni è sempre
vera?
∫ 1
∫ 1
a)
f (x) dx = 2
f 2 (x) dx
−1
1
0
∫
b)
f (x) dx = 0
0
∫
1
c)
f (x) dx = 0
−1
∫ 1
d)
∫
1
f (x) dx = 2
−1
∫ 0
f (x) dx
∫
f (x) dx =
e)
−1
0
1
f (x) dx
0
4. Sia y(x la soluzione del problema di Cauchy
 ′′
 y + 4y = 0
y(0) = 1
 ′
y (0) = 0
Allora
a)
b)
c)
d)
e)
lim y(x) = 0
x→+∞
lim y(x) = −∞
x→+∞
lim y(x) = @
x→+∞
lim y(x) = 1
x→+∞
lim y(x) = π
x→+∞
Paola Suria
1
29◦ Simulazione
5. Se g(x) = f (x2 ), allora il polinomio di Taylor di grado 2 della funzione g con centro in x = 0 è :
a) f (0) + f ′ (0)x + f ′′ (0)x2
b) 2f ′ (0)x + f ′′ (0)x2
1
c) f (0) + f ′ (0)x + f ′′ (0)x2
2
1 ′
d) f (0) + f (0)x2
2!
e) f (0) + f ′ (0)x2
6. Sia f : R → R una funzione di classe C (n) (R). Quale delle seguenti aﬀermazioni è SEMPRE vera?
a) Se f (1) = 1 e f (−1) = −1 allora f 2 ha un minimo assoluto.
b) Se f ha un punto di minimo allora f 2 ha un punto di minimo
c) Se f è crescente allora f 2 è crescente
d) Se f è convessa allora f 2 è convessa.
e) Se f (1) = 1 e f (−1) = −1 allora f 3 ha un minimo assoluto.
7.
∫
1
xf (2x2 + 3) dx =
0
1
a)
4
∫
∫
√
5
f (t)
√
3
5
b) 4
f (t)
3
1
c)
4
∫
t−3
dt
2
t−3
dt
2
5
f (t) dt
∫
3
5
d) 4
f (t) dt
3
∫
1
e) 4
f (t + 3) dt
0
(
)
8. Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 6, della funzione f (x) = log 2 + sin(x6 ) è
a) log 2 + x6 + o(x6 )
x6
+ o(x6 )
2
c) 2 + x6 + o(x6 )
b) 1 +
x6
+ o(x6 )
2
x6
e) log 2 +
+ o(x6 )
6!
d) log 2 +
9.
lim
x→+∞
3
log(e2x + x) =
x
a) 6
b) 0
c) 2
d) +∞
e) ∞
Paola Suria
2
29◦ Simulazione
10. Sia data la funzione f (x) = sinh x. Allora:
a) f (n) (0) = 1 solo se n = 4k + 1, k ∈ N
(π )
b) f (n)
= 1 se n ≥ 2, dispari
2
c) f (n) (0) = −1 se n ≥ 2, pari
d) f (n) (0) = 1 se n = 2k + 1, k ∈ N
(π )
= 1 se k = 4k, k ∈ N
e) f (n)
2
11. Sia F una primitiva della funzione f : R → R, continua. Sappiamo che F ha un massimo in x0 , allora
necessariamente
a) f si annulla in x0
b) f è derivabile in x0
c) f ha un minimo in x0
d) F si annulla in x0
e) f ≥ 0, ∀x ∈ R
12.
lim
x→ 45
a)
b)
c)
d)
e)
1 − cos(5x − 4)
(x − 45 )2
25
2
25
4
25
4
5
1
13. Per quali valori di a ∈ R la funzione f (x) = log |x − 5| soddisfa le condizioni del teorema degli zeri,
nell’intervallo [a, 7]?
a) a < 6
b) a ∈ [5, 6)
c) a ∈ (5, 6]
d) a ∈ [5, 6]
e) a ∈ (5, 6)
14. Il modulo del numero complesso w =
a)
b)
c)
d)
e)
1+i
è
3 + 4i
5
12
√
2
5
√
7
12
√
2
5
2
25
Paola Suria
3
29◦ Simulazione
( 1)
log x− 2
15.
lim
x→+∞
2 − cos2 x
a) +∞
b) −∞
c) 0
d) @
e) 0−
16. L’integrale improprio
∫
+∞
1
(
1
log 1 + 4
x
)
dx =
a) converge a zero
b) diverge positivamente
c) converge ad un numero positivo
d) è indeterminato
)
(
∫ +∞
∫ +∞
1
1
e)
log 1 + 4 dx ∼
dx
4
x
x
1
1
17. Sia f (x) = (x − 10)6 · sin x. Allora
a) ∃ un solo c ∈ (0, 10) tale che f ′ (c) = 0
b) ∃ un solo c ∈ (π, 10) tale che f ′ (c) = 0
c) x=10 è punto di ﬂesso a tangente orizzontale
d) x=0 è punto critico
e) ∃c ∈ (0, π) tale che f ′ (c) = 0
18. La parte principale, per x → 0+ della funzione f (x) =
√
x2 + x3 − x − x3 è
a) 2x
b) x
c) x2
1
d) x2
2
e) −x3
(
)′
19. Sia f (x) = 2 + 3x + arctan x. Allora f −1 (2) =
a)
b)
c)
d)
e)
16
5
4
1
4
1
1
1
+
+
2 3 · 2 arctan 2
nessuna delle altre risposte è esatta
20. Sia f una funzione ∈ C (n) (R) e sia x0 un punto di massimo locale della funzione f . Allora è vero che
a) ∃δ > 0 : ∀x ∈ |x − x0 | < δ → f (x) < f (x0 )
b) f (x) > f (x0 ), ∀x ∈ R
c) ∃δ > 0 : ∀x ∈ 0 < |x − x0 | < δ → f (x) ≤ f (x0 )
d) f (x) ≤ f (x0 ), ∀x ∈ R
e) ∃δ > 0 : ∀x ∈ |x − x0 | < δ → f (x) ≤ f (x0 )
Paola Suria
4
29◦ Simulazione
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
e
2
b
3
c
4
c
5
e
6
a
7
c
8
d
9
a
10
d
11
a
12
a
13
e
14
b
15
b
16
c
17
e
18
d
19
c
20
e
CONSIGLI
Quesito n◦ 1
Pensiamo a qualche insieme A e B
A
B
(−∞, 3)
(−∞, 3)
(−∞, 3]
(−∞, 3]
(−∞, 3)
(−∞, 3]
(−3, 3]
(−5, 3)
Si può constatare che sia A sia B possono ammettere oppure non ammettere massimo o minimo.
Quesito n◦ 2
5 è il più garnde dei minoranti.
Non è detto che l’inf appartenga all’insieme e quindi non è detto che sia un minimo.
Quesito n◦ 3
Essendo la funzione f (x) dispari, il suo integrale deﬁnito, su intervallo di integrazione simmetrico rispetto a
x = 0, è nullo.
Pensare al graﬁxo di una funzione dispari.
Se la funzione fosse pari (f (−x) = f (x))
∫
∫ a
a
a f (x)1dx = 2
f (x) dx , con a ∈ [0, +∞)
−
0
Quesito 4
L’equazione caratteristica è: λ2 + 4 = 0 → λ = ±2i L’equazione diﬀerenziale ammette questa soluzione:
y = C1 sin 2x + C2 cos 2x
Impongo il problema di Cauchy, ma prima calcolo la derivata prima y ′ = 2C1 cos 2x − C2 sin 2x
{
1 = C1 · 0 + C2 · 1
0 = 2C1
C1 = 0; C2 = 1
y = C2 cos 2x
Poiché la soluzione presenta un coseno, il limite non esiste
Quesito 5
Costruire lo sviluppo, preparando le derivate
g(x) = f (x2 ) → g(0) = f (0)
g ′ (x) = f ′ (x2 ) · 2x → g ′ (0) = f ′ (0) · 0 = 0
g ′′ (x) = f ′′ (x2 ) · 2x + f ′ (x2 ) · 2 → g ′′ (0) = f ′′ (0) · 0 + f ′ (0) · 2 = 2f ′ (0)
Paola Suria
5
29◦ Simulazione
g(x) = g(0) + g ′ (0)x +
......
g ′′ (0) 2
!x + 0(x2 )
2
Quesito 6
E’ possibile pensare a controesempi (non sono utili gli esempi!):
a) f (x) = x → g(x) = x2 ????? Può essere utile pensare al teorema dei valori intermedi: tra -1 e 1 c’è lo
zero. Quando si costruisce la funzione al quadrato il volore minimo diventa lo zero, perchè y = −1 e y = 1
diventano 1 entrambi.
b) f (x) = x2 − 1 → g(x) = f 2 (x) = .... abbiamo trovato una funzione che ci è utile. Ricordare che la funzione
al quadrato non è mai negativa e il valore minimo diventa u massimo relativo (pensare ad un’ordinata=-3,
diventa 9!) il minimo diventa massimo
c) f (x) = x → g(x) = x2
d) f (x) = x2 − 1 → g(x) = f 2 (x) = ....
e) f (x) = x2 − 1 → g(x) = f 3 (x) = ....
Oppure è possibile utilizzare la teoria:
f (x) : f ′′ (x) > 0, ∀x ∈ R perché convessa.
Proviamo a smentire la risposta c: f ′ > 0, ∀x ∈ R → g(x) = f 2 (x), g ′ (x) = 2f (x) · f ′ (x) > 0.
Ma la diseguaglianza dipende dal segno di f .
Risposta d: g(x) = f 2 (x) → g ′ (x) = 2f · f ′ → g ′′ (x) = 2(f ′ · f ′ + f · f ′ ; g ′′ > 0?
E’ una somma e la positività dipende dalla f
Quesito n◦ 7
Poniamo
∫
∫
1
2x + 3 = t −→ dt = 4x dx ;
2
5
2
xf (2x + 3) dx =
0
3
1
f (t) dt
4
Quesito 8
(
)
x6
f (x) = log(2 + x6 + o(x6 )) = log 2 + log 1 +
+ o(x2 )
2
Sviluppiamo il logaritmo
log 2 +
x6
+ o(x6 )
2
Quesito 9
Trascuro x rispetto a 2x perché, per x → +∞, x = o(e2x )
lim
x→+∞
3
3
3
6x
log(e2x + x) = lim
log e2x = lim
· 2x = lim
=6
x→+∞ x
x→+∞ x
x→+∞ x
x
Quesito n◦ 10
π
Trattandosi di una funzione iperbolica, pur essendo le derivate periodiche, è evidente che le derivate in x =
2
non assumono né il valore 0 né il valore 1.
Paola Suria
k
f (k) (x)
f (k) (0)
0
sin hx
0
1
cosh x
1
2
sin hx
0
3
cos hx
1
6
29◦ Simulazione
Quesito n◦ 11
Poiché f è una funzione continua, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, F è derivabile. Se F ha un
massimo in x0 , sarà un punto critico e quindi F ′ (x0 ) = f (x0 ) = 0
Questa condizione è necessaria, ma non suﬃciente, perché ci assicura che x0 sia un punto critico, non un
massimo, un minimo o un ﬂesso a tangente orizzontale
Quesito 12
Sostituire x −
4
= t il limite tende a zero ed è possibile utilizzare le formule di equivalenza
5
1 − cos 5t
25
lim
=
2
t→0
t
2
Quesito 13
E’ necessario ricordare il graﬁco della funzione.
(Non confondere il graﬁco di f (x) = log |x − 5| e di g(x) = | log(x − 5)|
Ricordare che la funzione deve essere continua nell’intervallo scelto sull’asse x.
Tale intervallo ha come estremo superiore il 7, quindi la ’a’ deve trovarsi alla destra di x = 5, in quanto in x = 5
la funzione ha un punto di discontinuità.
La funzione deve poi assumere valori di segno opposto negli estremi (le ordinate devono essere di segno opposto)
e quindi la ’a’ non può superare x=6. La ’a’ non può assune nè x=5, nè x=6, perché nel I caso la funzione non
esiste, nel secondo la funzione si annulla (l’ordinata è nulla)
f (x) = log |x − 5|
g(x) = | log(x − 5)|
Quesito n◦ 14
Il moduo dik un numero complesso
è il rapporto dei moduli.
√
1 1
Ho visto un ragazzo scrivere
+ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!
3 4
Quesito n◦ 15
x > 0,
− 12 log x
= −∞
x→+∞ 2 − cos2 x
lim
(Teorema di Pinocchio, il denominatore è sempre positivo, perché 2 − 1 ≤ 2 − cos2 x ≤ 2 − 0)
Quesito n◦ 16
Sappiamo che
)
(
1
1
x → +∞, log 1 + 4 ∼ 4
x
x
Ciò signiﬁca, per il criterio di convergenza asintotica, che la convergenza dell’uno implica la convergenza dell’altro, ma i due integrale (due numeri!) non sono equivalenti!!! L’equivalenza è una proprietà tra funzioni, non
tra numeri
Quesito n◦ 17
f (x) ha uno zero in x = 10, con molteplicità 6, ed inﬁniti zeri, tutti semplici, in x = π, 2π, 3π, ..kπ, k ∈ Z
Paola Suria
7
29◦ Simulazione
In ognuno dei seguenti intervalli ..., (−π, 0), (o, π), (π, 2π), (2π, 3π), (3π, 10), (10, 4π), ... esiste un c : f ′ (c) = 0,
per il teorema di Rolle.
Quesito n◦ 18
Si può procedere in due modi diversi:
1. Confrontare la funzione con l’inﬁnitesimo campione, per x → 0+ : φ(x) = x.
√
x2 + x3 − x − x3
(x2 + x3 ) − (x + x3 )2
x2 + x3 − x2 − x6 − 2x4
(√
)
=
lim
lim+
=
lim
xα
2x · xα
x→0
x→0+ xα ·
x→0+
x2 + x3 + (x + x3 )
x3
1
x3
1
lim
se 3 = α + 1;
=
=
α+1
x→+∞ 2x · xα
x→+∞
2
x
2
1
x → 0+ : P.P. = x2
2
lim
α=2
2. Sviluppiamo in serie di Mac Laurin, prendendo in evidenza x con il minimo esponente.
(
)
√
1
1
1
1
1
f (x) = |x| 1 + x − x − x3 = x 1 + x − x2 + x3 + o(x3 ) − x − x3 = x + x2 − x3 + o(x3 ) − x − x3
2
8
16
2
8
f (x) =
1 2
1
x −→ x → 0+ : P.P. = x2
2
2
Quesito n◦ 19
Sono stata ispirata a proporre la soluzione d) da uno di voi(!!!). incredibile, ma vero: non deve più capitare
E’ una funzione somma di funzioni monotone strettamente crescenti e quindi f è iniettiva ed invertibile.
f −1
f
(2, ??)
(0, 2)
f′ = 3 +
(2, 0)
1
1 + x2
f ′ (0) = 3 + 1 = 4
(f −1 )′ (2) =
1
4
Quesito n◦ 20
Si tratta di una funzione derivabile n volte e con derivata ennesima continua, quindi la fuznione è continua in
x0
L’item e) è la risposta corretta: nell’intorno (non bucato) di x0 la funzione è minore o uguale a f (x0 ). La
funzione può anche essere uguale a f (x0 ).
L’item c) non è del tutto corretto perché richiede che la condizione sia veriﬁcata nell’intorno bucato di x0 .
Il fatto che il massimo sia locale non richiede che la disuguaglianza valga in R
Paola Suria
8
30◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
30◦ SIMULAZIONE ESAME
Ogni quesito ha una sola risposta esatta
1. Siano A e B due insiemi, con A e B ⊆ R e tali che sup A=sup B=4. Allora
a) ∀ ϵ > 0 ∃a ∈ A tale che a ∈ B
b) ∃ ϵ > 0 tale che ∀a ∈ A e ∀b ∈ B → a, b ∈ (4 − ϵ, 4]
c) ∀ϵ > 0 ∃b ∈ B tale che b ∈ A
d) ∀ϵ > 0 ∃a ∈ A e ∃b ∈ B : a, b ∈ (4, 4 + ϵ)
e) ∀ϵ > 0 ∃a ∈ A e ∃b ∈ B : a, b ∈ (4 − ϵ, 4]
2. Sia data la funzione f : R → R, continua in R e derivabile in R eccetto al più in x = 2 e tale che
lim f ′ (x) = 5 allora necessariamente
x→2
a) f è continua, ma non derivabile
b) f è derivabile in x = 2 con f ′ (5) = 2
c) f potrebbe non essere derivabile in x = 2
d) f è derivabile in x = 2 con f ′ (2) = 5
e) non è possibile calcolare il limite del rapporto incrementale per x → 2, condizione necessaria per
calcolare la derivata della funzione nel punto
3. La retta tangente al graﬁco della funzione f (x) = (x + 1) − 2(x + 1)2 + sinh(1 + x)3 nel punto x = −1 è:
a) y = −x
b) y = x + 1
c) y = −x + 1
d) y = −1
e) y = 2x + 1
4. L’integrale
∫
+∞
−∞
a) è integrabile per parti
b) diverge positivamente
c) converge ad un numero negativo
d) converge a zero
e) converge a un numero positivo
5. Dato z = 2 + i, allora ω = z 2 − z =
a) 1 + i
b) 1 − i
c) 1 + 3i
d) 4
e) nessuna delle altre risposte
6. y(t) = e4t è soluzione dell’equazione diﬀerenziale
a) y ′′ (t) = 4t
b) y ′′ (t) = 4y
c) y ′ = 4xy
d) y ′′ + 4y ′ = 0
e) y ′′ = 4y ′
Paola Suria
1
e−x dx
2
30◦ Simulazione
7.
5x − 1
x→0 sin 4x
lim
a) 1
log 5
b)
4
1
c)
4
5
d)
4
e) 5
8. Una funzione f è continua in x0 ∈ A = domf se:
a) è limitata in x0
b) lim f (x) = l ∈ R
x→x0
c) lim+ f (x) = lim− f (x) = f (x0 )
x→x0
x→0
d) ∀ϵ > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ (|x − x0 | < δ) ∩ ( dom f ) =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ϵ
e) nessuna delle risposte precedenti
∫
b
9. Sia data una funzione f crescente in [a, b]. Detto I =
f (x) dx , quale delle seguenti aﬀermazioni NON
a
è necessariamente VERA?
I
b−a
b) (b − a) · f (a) ≤ I ≤ (b − a)f (b)
I
c) ∃c ∈ (a, b) : f (c) =
b−a
d) L’area della parte di piano compresa tra il graﬁco di f (x), l’asse x e le rette x = a, x = b è
∫ b
|f (x)| dx
a) ∃µ ∈ (f (a), f (b)) : µ =
a
e) ∃µ ∈ (f (a), f (b)) | I = µ · (b − a)
10. In quali intervalli le due funzioni f (x) = log(x − 1) − log(x + 1) e g(x) = log
a) (−∞, −1)
b) (−1, 1)
c) (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
d) [1, +∞)
e) (1, +∞)
11. Sia f (x) = 1 + 3x + arctan x e f (0) = 1. Allora (f −1 )′1 =
a) 3
b) 4
c) 1
2
d)
7
1
e)
4
Paola Suria
2
x−1
coincidono?
x+1
30◦ Simulazione
12. La parte principale, per x → 0, della funzione f (x) = x +
a) x → 0+ : 2x;
√
x2 + x4 , è:
1
x → 0 − : − x3
2
b) 2x
1
c) x3
2
d) x
e) |x|
13. Sia data la successione an =
( π)
log n + 1
· cos n
2
n +4
2
a) è indeterminata
b) è a termini deﬁnitivamente positivi
c) diverge positivamente
d) converge a zero
e) diverge a meno inﬁnito
14. Siano date due funzioni, derivabili almeno una volta, che soddisfano alle condizioni f (0) = g(0) e f (5) =
g(5). Allora
a) ∃c ∈ (0, 5) : f ′ (c) = g ′ (c) = 0
b) ∃c ∈ (0, 5) : f (c) = 5 e g ′ (c) = 0
c) ∃c ∈ (0, 5) : g(c) = 5 e f (c) = 0
d) nessuna delle altre risposte è corretta
e) @c1 , c2 ∈ (0, 5) : f ′ (c1 ) = g ′ (c2 )
15. Sia f (x) = (2 − x)(x − 5) arctan x. Quale delle seguenti aﬀermazioni NON è necessariamente VERA?
a) ∃c ∈ (0, 2) : f ′ (c) = 0
b) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange in [2, 5]
c) ∃c ∈ (2, 5) : f ′ (c) = 0
d) ∃c ∈ (0, 1) : f ′ (c) = −π
∫ 1
e)
f (x) dx > 0
0
16. sia data la funzione
f (x) =

 cos x
x≥0

x<0
a + x2
Allora
a) f (x), se a = 1, è derivabile in x = 0 e f ′ (0) = 0
b) f (x) è derivabile in x = 0 ∀a ∈ R e f ′ (0) = 0
c) f (x) ha un punto di minimo in x = 0
d) f (x) non è derivabile in x = 0
e) f (x) è limitata
17. Sia data la funzione f (x) = 3x + 7 +
a)
9 sin x + 1
e sia g(x) = 3x + 7 il suo asintoto obliquo. Allora
x2 + 1
lim (f (x) − g(x)) = 9
x→+∞
f (x) − g(x)
=4
x
c) f (x) · g(x) ∼ x
b)
lim
x→+∞
d) f (x) ∼ g(x), x → +∞
e) nessuna delle precedenti aﬀermazioni
Paola Suria
3
30◦ Simulazione
18. Sia data una funzione f (x) tale che f (x) ≥ x, ∀x ∈ R. Allora
[
]
1
a) ∀x ∈ − , 1 f (x) è positiva
2
b) ∀x ∈ [−1, 0] f (x) è negativa
∫ 1
c)
f (x) dx = 0
−1
1
∫
d)
f (x) dx =
0
1
2
e) detto µ il valor medio integrale, con x ∈ [0, 1]: µ ≥
19. L’integrale improprio
∫
−1
−∞
1
2
sin x · ex dx
a) converge a zero
b) converge assolutamente, ma non semplicemente
c) nessuna delle altre
d) diverge negativamente
e) converge semplicemente
{
20. Data la funzione
f (x) =
x
sin πx
−1 < x < 0
0<x<1
quale delle seguenti aﬀermazioni è vera?
a) la funzione è continua e derivabile in (−1, 1)
∫
b) l’area della parte di piano racchiusa tra il graﬁco della funzione e l’asse x si può calcolare con
∫
c) il valor medio integrale della funzione nell’intervallo (−1, 1) si ottiene
1
xdx +
−1
f (x) dx
−1
∫
0
1
sin πx dx
0
d) detto µ il valor medio integrale di f con x ∈ (−1, 1) → ∃c ∈ (−1, 0) tale che f (c) = µ
e) nessuna delle altre risposte
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
e
2
d
3
b
4
e
5
e
6
e
7
b
8
d
9
c
10
e
11
e
12
a
13
d
14
a
15
e
16
a
17
d
18
e
19
e
CONSIGLI
Quesito 1
Un controesempio per la risposta a) e c) sono i due insiemi:
}
{
}
{
1
1
, n∈N e B = 4−
, n∈N
A= 4−
2n
2n + 1
Nessun elemento di A è anche elemento di B, ma i due elementi hanno lo stesso sup
Oppure A = (0, 1) ∪ {4}
B = (2, 4) =
I due insiemi non hanno punti in comune, e soddisfano alle condizioni del quesito.
Un controesempio per la risposta b) potrebbe essere A = {x ≤ 4, x ∈ Z}
e B = {x < 4, x ∈ Q}.
Un controesempio per l’item d) è l’insieme A = {2, 4}. 4 è un superiore, ma anche massimo per A.
Paola Suria
4
20
e
30◦ Simulazione
Quesito n◦ 2
Per il Teorema Tappabuchi la risposta esatta è la d)
Quesito 3
sinh(x + 1)3 ∼ (x + 1)3 , x → −1 (è suﬃciente pensare alla sostituzione mensile t = x + 1)
f (x) = (x + 1) − 2(x + 1)2 + sinh(1 + x)3 = (x + 1) − 2(x + 1)2 + (1 + x)3
Allora la funzione può essere considerata il polinomio di Taylor di grado 3.
La retta tangente è Tn=1,x=−1 (x) = x + 1
Quesito 4
E’ un integrale improprio di funzione pari e quindi è il doppio dello stesso integrale calcolato su [0, +∞).
∫ +∞
∫ +∞
2
2
e−x dx = 2
e−x dx
−∞
0
La funzione integranda ha segno positivo, posso servirmi di un criterio di convergenza:
f (x) = e−2x =
2
∫
+∞
Poiché
1
1
x2013
1
1
≤ 2013
2x2
x
dx converge ad un numero positivo, allora anche l’integrale dato converge ad un numero.
Quesito n◦ 5
z = 2 + i −→ ω = z 2 − z = 4 + 4i − 1 − 2 + i = 1 + 5i
Quesito n◦ 6
Proviamo a sostituire: è soluzione dell’equazione che porta ad una identità:
y = e4t ;
y ′ = 4e4t ; y ′′ = 16e4t
a) 16e4t = t Falso
b)
c)
d)
e) 16e4t = 4 · 4e4t VERO
Quesito n◦ 7
Con l’equivalenza di Landau:
lim f (x) = lim
x→0
x→0
x log 5
log 5
=
4x
4
Quesito 8
La diﬀerenza tra l’item c) e l’item d) è che la deﬁnizione c) NON vale se il punto x0 è isolato. Invece l’item d)
è più genrico e consente anche di assumere che una funzione in un punto isolta (non ha senso fare il limite se
x0 è un punto isolato). Ricordiamo che si considera continua una funzione in ogni punto isolato. Se isolato non
è possibile fare il liomte (x0 deve essere punto di accumulazione).
Fissare ancora la diﬀerenza tra la deﬁnizione di limite e di funzione continua:
- in quella di limite l’intorno di x0 è bucato (0 < |x − x0 | < δ
- nella deﬁnizione di funzione continua l’intorno di x0 non è bucato, perché la funzione in x0 deve esistere.
Quesito n◦ 9 Non sappaimo se la funzione f è continua, quindi siamo sicuri che esista il numero reale µ, ma
non sappiamo se µ = f (c)
Quesito n◦ 10
E’ il solito quesito: la risposta esatta è la e)
Paola Suria
5
30◦ Simulazione
Quesito n◦ 11
E’ il solito quesito sulla funzione inversa che abbiamo già trovato in altre simulazioni
f (x) = 1 + 3x + arctan x
f −1 (x)
(0, 1)
(1, 0)
f ′ (x) = 3 +
1
1 + x2
f ′ (0) = 4
(f −1 )′ =
1
4
Quesito 12
Proviamo a trascurare ricordando che se si cancellano i termini di ugual grado... il metodo NON va bene.
f (x) = x + |x| + o(x), x → 0. Dividiamo i due casi:
1. x → 0+ −→ f (x) ∼ 2x
2. x → 0− −→ f (x) ∼ 0!!!. Deduciamo che, essendosi cancellati i termini signiﬁcativi, devo andare avanti!
Poichè la x tende a zero, raccolgo x con il minimo esponente
)
(
√
1
1
1
x → 0− : f (x) = x+|x| 1 + x2 = x−x 1 + x2 + o(x2 ) = x−x− x3 +o(x3 ) −→ p.p.(x) = − x3
2
2
2
Quesito n◦ 13
Il limite si presenta nella forma 0 · @. Però il fattore che non esiste è limitato: il limite converge a zero.
Quesito 14
E’ un quesito che abbaimo già incontrato in altre siomulazioni: può essere letto alla luce del teorema di Lagrange, applicato alle due funzioni, e allora la risposta sarebbe legata alla e), ma esistono c1 , c2 ..., con c1 non
necessariamente coicidente con c2 .
può inı̀vece essere riferito al teorema di Cauchy oppure al teoerema di Rolle applicato alla funzione ausiliaria
F (x) = f (x) − g(x) e allora la risposta esatta è la a)
Quesito n◦ 15
E’ una funzione continua e derivabile con tre zeri semplici.
Soddisfa alle ipotesi di Lagrange in qualsiasi intervallo chiuso e limitato.
Soddisfa alle ipotesi di Rolle in due intervalli: [0, 2] [2, 5]
f (1) − f (0)
L’item d) fa pensare a Lagrange nell’intervallo [0, 1] : ∃c f ′ (c) =
1−0
π
f (1) = (2 − 1) · (1 − 5) · arctan 1 = −4 · = −π
4
Per esclusione la risposta FALSA è la e). Perchè?
Pensiamo al graﬁco:
• La funzione taglia l’asse x in x = 0; x = 2; x = 5
[
( π )]
• lim f (x) = +∞ · (−∞) · −
= +∞
x→−∞
2
• La funzione parte da +∞, scende, taglia nell’origine, passa nel II quadrante, ritaglia l’asse x in 5.... Allora,
tra x = 0 e x = 1 la funzione è negativa e l’integrale deﬁnito è negativo.
Paola Suria
6
30◦ Simulazione
Quesito 16
E’ suﬃciente pensare al graﬁco delle due funzioni:
1. la funzione coseno in x = 0 ha ordinata 1 e la sua retta tangenete nel vertice è orizzontale.
2. la parabola data ha vertice sull’asse y, con tangente orizzontale.
Se la parabola passa per (0, 1) la funzione non solo è continua, ma anche derivabile.
a deve essere 1!.
Dal punti di vista algebrico, si impone prima la continuità della funzione e poi la derivabilità
lim (a + x2 ) = a
lim cos x =
x→0−
x→0+
−→
a=1
Vediamo se, con a=1, la funzione è derivabile
′
f (x) =
{
sin x x > 0
2x
x<0
Con il calcolo del limite, per x → 0± , si veriﬁca che la funzione è derivabile.
Quesito n◦ 17
Il quesito gioca sulla deﬁnizone di asintoto ed equivalente.
a) la diﬀerenza deve tendere a zero
b) anche questo rapporto tende a zero:
0
= 0 (non è una forma indeterminata)
∞
c) item volutamente mal formulato: non dice dove sono equivalenti (?). Potrebbero essere equivalenti per
esempio per x → x0 . Per x → ∞ : f · g ∼ 3x · 3x
d) se due funzioni sono asintotiche, x → ∞ −→ sono equivalenti
Quesito n◦ 18
La funzione potrebbe essere:: f1 (x) = ex ; f2 (x) = x + 2; ...
a) non necessariamente: tra zero e 1 sicuramente, ma prima...(?) pensiamo f (x) = ex − 1
b) non necessariamente: pensiamo f (x) = ex
c) non necessariamente
Paola Suria
7
30◦ Simulazione
d)
1
e) è vera perché
è il valor medio di f (x) = x nell’intervallo dato. La funzione è una sua maggiorante,
2
quindi anche il valor medio è maggiore o uguale
Quesito 19
I metodo
Il segno della funzione integranda non è costante, quindi si deve studiare l’assoluta convergenza.
sin x
1
1
≤ −x ≤ 10
e−x
e
x
x → −∞ | sin xex | =
Il valore assoluto, inutile per la scelta fatta della potenza ad esponente pari, sarebbe indispensabile se fosse
stata scelta una potenza di x con esponente dispari, per garantire il confronto tra funzioni poistive.
Poichè
∫
−1
−∞
1
x10
∫
−1
dx converge =⇒
−∞
|sin x · ex | dx converge
II metodo
Operiamo un cambiamento di variabile, per portare gli estremi di integrazione ad untervalli sull’asse x, positivo
−x = t ⇒ dx = − dt
∫
1
sin(−t)e−t (− dt ) = −
∫
+∞
1
− sin te−t dt =
+∞
∫
+∞
− sin t · e−t dt
1
Ora si può studiare l’assoluta convergenza
Quesito 20
a) La funzione non è deﬁnita in x = 0, quindi non è sicuramente continua e neppure derivabile.
b) la funzione è negativa in (−1, 0) e positiva in (0, 1), quindi l’area vale
∫
∫
0
1
(−x) dx +
−1
sin πx dx
0
c) per il valore medio invece si deve calcolare l’integrale, in senso algebrico sull’intero intervallo.
µ=
1
1 − (−1)
∫
1
f (x) dx =
−1
d) il punto c : µ = f (c)) esiste solo se µ ̸= 0
e) Quindi la risposta esatta è proprio l’item e)
Paola Suria
8
1
2
(∫
∫
0
x dx +
−1
)
1
sin πx dx
0
31◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
31◦ SIMULAZIONE
1. Sia f (x) una funzione continua in x = 3. Sapendo che lim f (x) = 9, allora ∃ I(3) : ∀x ∈ I
x→3
(a) ef (x) = e9
(b) ef (x) < 4
(c) ef (x) > e9
(d) ef (x) ≥ 4
(e) ef (x) ≤ 4
2. Sia f (x) = ex . Allora x → +∞
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
· f (x) = o(sinh x)
x
(
)
1
sinh x = o
· f (x)
x
f (x) = o(cosh x)
( ( ))
1
cosh x = o f
x
f (x) ∼ sinh x
3. Sia data la funzione f (x) = |x + 5| + |x + 15|. Quale delle seguenti aﬀermazioni è vera?
(a) imf = [0, +∞)
(b) domf = [−15, +∞)
(c) f (x) è simmetrica rispetto a x = −10
{
−2x − 20 x < 0
(d) f (x) =
10
x≥0
(e) è continua e derivabile in R\{−15, −5}
4. A quale delle seguenti proprietà soddisfa la funzione f (x) = (x + 1)2 (x + 3)x6 nell’intervallo [1, 2)
(a) la derivata prima si annulla almeno una volta
(b) ammette il minimo, ma non il massimo
(c) assume sicuramente il valore 2 almeno una volta
(d) ha almeno uno zero
(e) nessuna delle altre
5. Sia w = eit , t ∈ R
π
allora Im(w) = Re(w)
4
π
(b) se t = + 2kπ, k ∈ Z allora w = 0
2
(c) Re(w) > Im(w), ∀t ∈ R
(a) se t =
(d) |w| = 0, t = 0
(e) se t = kπ, k ∈ Z allora w è un numero reale positivo di |w| = 1
6. Sapendo che f (0) = 0, f (x) = o(x), x → 0, allora necessariamente:
(a) f ha segno di x, x → 0
(b) non si hanno informazioni sulla derivabilità della funzione in x = 0
(c) f è continua in x = 0, ma non derivabile
(d) f è derivabile in x = 0 e f ′ (0) = 0
(e) f è derivabile in x = 0, ma non si hanno informazioni su f ′ (0)
Paola Suria
1
31◦ Simulazione
7.
∫
2
1
2x + 1
dx =
x2 + x + 5
(a) è un integrale improprio, calcolato su un intervallo di integrazione ﬁnito
(b) − log(−3)
(c) log 3
(d) non è l’area della parte di piano compresa tra il graﬁco di f (x), l’asse x e le rette x=1 e x=2, perché
la funzione, in tale intervallo, non ha segno costante
11
(e) log
7
8.
∫
+∞
1
arctan x
√
dx
x x + 10
(a) diverge
(b) non converge neppure in senso improprio
(c) converge a zero
(d) è indeterminato
(e) converge ad un numero positivo
9. La parte principale, x → 0 della funzione f (x) =
( 7)
7
(a) −x 8 + o x 8
√
(b) 7 x
√
√
7
7
x − 7 x + x2 − x 8 è:
(c) 0
7
(d) −x 8
1 8
(e) − x 7
7
10. La parte principale, x → 0 della funzione f (x) =
( 7)
7
(a) −x 8 + o x 8
√
(b) 7 x
√
√
8
7
x − 7 x + x2 − x 7 è:
(c) 0
7
(d) −x 8
8 8
(e) − x 7
7
x
11. La retta tangente al graﬁco della funzione f (x) = e2e in x = 0 è:
(a) y = 1 + 2e2 x
(b) y = 1 + 2x
(c) y = e2 + 2e2 x
(d) y = e2 + e2 x
(e) y = e2 + 2x
12. Il più grande intervallo, illimitato superiormente, in cui f (x) = −|x − 2|e− 3 x è monotona, è:
1
(a) [5, +∞)
(b) [2, +∞)
(c) [3, +∞)
(d) R
(e) [−1, +∞)
Paola Suria
2
31◦ Simulazione
13. L’insieme dei punti di ﬂesso di f (x) = x6 − 5x4 è:
(a) {∅}
√ √
(b) { 2, 2}
√
√
(c) { 2, 0, 2}
(d) {R}
(e) {−1, 1}
14. Il limite lim−
x→0
2x − 3−x
)=
log 2x − x2 sin x1
(
(a) −∞
(b) 0
log 6
(c)
log 2
log 3
(d) 1 −
log 2
(e) @
15. Il limite lim
n→+∞
(n + 1)! − 2n
=
(sin n − 2n)n!
(a) 1
(b) −∞
1
(c) −
3
1
(d) −
2
(e) 0
16. I punti di non-derivabilità della funzione f (x) =
√
√
|ex − e| |(x − 1)(x − 2)| sono
(a) un punto angoloso
(b) un punto di cuspide e un punto angoloso
(c) due punti di cuspide
(d) un punto di cuspide
(e) due punti angolosi
17. La derivata sinistra in x = 0 di f (x) = x
(a) −4 −
(b) −2 −
(c) −4 +
(d) −2 +
√
√
√
√
√
|x − 3| − sin (|x| − 3x) vale
3
3
3
3
(e) 0
√
√
18. Il polinomio di Taylor di ordine 3 e centro 0 di cos( 2|x|) log(1 + 3x) è
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
√
3
3x − x2
2
√
√
3
3x − x2 − 3x3
2
√
√
3
3x − x2 + 3x3
2
nessuna delle altre risposte
√
3
− 3x − x2
2
Paola Suria
3
31◦ Simulazione
19. La funzione f (x) =
1
· log x
2x + 1
(a) è crescente in (0, α] e decrescente in [α, +∞) per un certo α > 0
(b) è sempre crescente
(c) è decrescente in (0, α] e crescente in [α, +∞) per un certo α > 0
(d) è limitata
(e) è sempre decrescente
20. L’asintoto a −∞ di f (x) =
x4 + x3 + x2 √ 2
+ x + 6x è
x3 + 1
(a) y = 0
(b) y = 2x + 4
(c) y = x + 1
(d) y = 1
(e) y = 2x
21. Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy:
 ′′
 y + 4y = 0
y(0) = 0
 ′
y (0) = 2
allora y(π) =
(a) e2π
e2π
2
(c) 0
(b)
(d) 1
(e) 2
22. Qual è la negazione logica della seguente proposizione?
L’insieme A ⊆ R NON è vuoto se e solo se ∃ almeno x ∈ Rtale che x ∈ A
/A
a) A è vuoto se ∃x ∈ R : x ∈
b) A è vuoto se ∀x ∈ R → x ∈ A
c) A non è vuoto se almeno 0 ∈ A
d) a non è vuoto se ha almeno due elementi
/A
e) ∀x ∈ R =⇒ x ∈
23. La successione a = nlog(n!) − (n!)log n è
a) costante
b) non ha limite per n che tende a più inﬁnito
c) è strettamente crescente
d) è strettamente decrescente
e) è illimitata
Paola Suria
4
31◦ Simulazione
24. Sia data la funzione dispari f : [−4; 4] → R, integrabile secondo Riemann. Allora
∫
4
f (n) dx
−4
dove con f (n) intendiamo la derivata ennesima della funzione f , vale
a) è nullo per ogni n appartenente a N
b) è il doppio dell integrale
∫
4
f (x) dx ∀n ∈ N
0
c) dipende dalla funzione
d) è nullo se n è pari
e) è nullo se n è dispari
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
d
2
a
3
c
4
b
5
a
6
d
7
e
8
e
9
d
10
e
11
c
12
a
13
b
14
c
15
d
16
b
17
a
18
a
19
a
20
d
21
c
CONSIGLI
Quesito 1
Si tratta di calcolare il limite di una funzione continua: si può sostituire
lim ef (x)
lim ef (x) = ex→3
= e9
x→3
∀ϵ > 0 ∃δ(ϵ) > 0 : ∀x ∈ (0 < |x − 3| < δ) ∩ (dom f ) → ef (x) − e9 < ϵ :
e9 − ϵ < f (x) < e9 + ϵ
Questa diseguaglianza può essere letta:
f (x) > e9 − ϵ
f (x) > 5.... ﬁno a e9
quindi f (x) > 4;
Un discorso analogo potrebbe essere fatto per f (x) < e10 ..., pur di scegliere un numero maggiore di e9 .
Quesito 2
Analizziamo ad uno ad uno i cinque item, ricordando che
x → +∞
a)
lim
x→+∞
1
x f (x)
sinh x
1 x
xe
1
x→+∞ ex
2
= lim
sinh x ∼
1 x
e ;
2
=0
b) se la a) è vera questa è falsa. Infatti lim
sinh x
x→+∞ 1 f (x)
x
c)
d)
e)
lim
ex
x→+∞ 1 ex
2
=2
lim
1 x
1 x
e
e
2 = lim 2 = +∞
1
x→+∞ 1
ex
lim
ex
1 x = 2 → f (x) ≍ sinh x, x → +∞
2e
x→+∞
x→+∞
Paola Suria
5
=∞
cosh x ∼
1 x
e
2
22
e
23
a
24
d
31◦ Simulazione
Quesito 3
Rappresentare la funzione e leggere sul graﬁco gli item del quesito.
Quesito 4
Si tratta di una funzione intera, con uno zero di molteplicità 1 in x = −3; un altro di molteplicità 2 in x = −1
(x = −1 è quindi punto a tangente orizzontale ed in particolare punto di massimo o minimo relativo); un terzo
di molteplicità 6 in x = 0. Anche questo punto è un punto di Fermat, un punto critico o stazionario.
LA funzione non ha altri zeri
E’ continua e derivabile in R.
Ha sicuramente almeno altri due punti critici, perchè soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, tra x = −2 e
x = −1 e tra x = −1 e x = 0.
L’item c) è sbagliato perchè deve assumere il valore nell’intervallo [1, 2)
Quesito 5
Si tratta di una famiglia di numeri complessi, al variare di t, tutti di modulo 1. Sono quindi tutti i punti della
circonferenza di centro l’origine e raggio 1.
Tra questi punti ce ne sono due soli reali, uno positivo x = 1 e uno negativo x = −1, e due immaginari x = ±i
Quesito 6
Riscriviamo le due ipotesi:
1) f (0) = 0
f (x)
2) lim
=0
x→0 x
Dalla seconda ipotesi possiamo dedurre che lim f (x) = 0.
x→0
Allora il limite della funzione è uguale alla funzione calcolata nel punto, quindi f (x) è continua in x = 0.
Per negare la validità dell’item a) è suﬃciente un controesempio:
f (x) = x2 : soddisfa a tutte le condizione dell’ipotesi, ma non ha il segno di f (x) = x, x < 0.
Dobbiamo studiare al derivabilità della funzione in x = 0, capire se può essere derivabile e se è possibile conoscere
quanto vale la derivata in quel punto.
Utilizziamo la deﬁnizione di derivata di una funzione in un punto:
lim
x→0
f (x) − f (0)
f (x) − 0
= lim
=0
x→0
x−0
x
Nel calcolo del limite si sfrutta il fatto che f (x) = o(x), x → 0.
Allora la funzione non solo è continua, ma è anche derivabile, e la sua derivata prima vale 0!
Quesito 7
Per calcolare un’area è necessario valutare prima il segno della funzione interanda.
Nell’intervallo di integrazione la funzione è positiva, quindi il risultato dell’integrale dà l’area della parte di
piano compresa tra il graﬁco della funzione, l’asse x e le rette x=1, x=2.
Quesito 8
Si tratta di un integrale su intervallo non ﬁnito, ma è anche necessario valutare la continuità della funzione.
La funzione ha domf : (−10, +∞). Quindi nell’intervallo di integrazione è continua.
Utilizziamo il criterio di convergenza asintotico per funzioni di segno costante
Paola Suria
6
31◦ Simulazione
x → +∞, f (x) ∼
π
4
3
x2
<
1
3
x2
essendo α > 1 l’integrale converge ad un numero positivo
Quesito 9
Possiamo cercare di aﬀrontare il quesito valutando se si possono trascurare gli addendi che sono degli o piccoli
nei confronti di quello che lasciamo, x → 0, con il rischio di avere al cancellazione dei termini di ugual grado!!!
Se trascuriamo x2 = o(x), x → 0 i primi due addendi si sempliﬁcano!!
Per non correre rischi cambiamo strada, pensando agli sviluppo di Mac Laurin
√
√
7
f (x) = 7 x − 7 x(1 + x) − x 8
√
√
1
7
x → 0, f (x) = 7 x − 7 x(1 + x) 7 − x 8
(
)
√
√
√ 1
7
8
7
1
x → 0, f (x) = 7 x − 7 x 1 + x + o(x) − x 8 = − 7 x · x + o(x 7 ) − x 8
7
7
Per x → 0 servono le potenze con esponente minore!
7
8
1 8
x → 0 f (x) = − x 7 − x 8 + o(x 7 )
7
7
x → 0 P.P. = −x 8
Quesito 10
Lavoriamo sulla falsariga dell’esercizio precedente:
√
√
8
7
x − 7 x(1 + x) − x 7
√
√
8
1
x → 0, f (x) = 7 x − 7 x(1 + x) 7 − x 7
(
)
√
√
√ 1
7
8
8
1
x → 0, f (x) = 7 x − 7 x 1 + x + o(x) − x 8 = − 7 x · x + o(x 7 ) − x 7
7
7
f (x) =
8
8
1 8
x → 0 f (x) = − x 7 − x 7 + o(x 7 )
7
8 8
x → 0 P.P. = − x 7
7
Quesito 11
f (0) = e2 ;
f ′ (x) = e2e · 2ex → f ′ (0) = 2e2
x
y − e2 = 2e2 (x − 0)
Quesito 12
E’ opportuno valutare se riscrivere la funzione oppure derivare il valore assoluto. La presenza dell’esponenziale
ci spinge a provare il secondo percorso... pronti eventualmente ad un dietro front!
(
))
(
1
1
|x − 2| − 1
e 3 + |x − 2|e− 3 · −
f ′ (x) = −
x−2
3
(
)
1
1
1
1
5−x
−
= −|x − 2|e− 3
f ′ (x) = −|x − 2|e− 3
x−2 3
3(x − 2)
f ′ (x) > 0 → x ∈ (2, 5);
f ′ (x) < 0 → (−∞, 2) ∪ (5, +∞)
Si deve scegliere, l’intervallo illimitato superiormente!
Ricordare che una funzione è monotona crescente se f ′ (x) ≥ 0
funzione monotona crescente ⇐⇒ f ′ (x) ≥ 0
Paola Suria
7
31◦ Simulazione
f ′ (x) > 0 =⇒ funzione strettamente crescente
La II relazione NON è invertibile.
E’ suﬃciente pensare a f (x) = x3 :
La funzione soddisfa alla deﬁnizione di funzione strettamente crescente
∀x1 , x2 ∈ domf : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
ma la sua derivata prima si annulla in un punto.
f ′ (x) = 3x2 ⇒ f ′ (x) ≥ 0 ∀x ∈ R
Teoerema 6.26 del Tabacco, pag. 191-192
Quesito 13
f ′ (x) = 6x5 − 20x3 ;
f ′′ (x) = 30x4 − 60x2 = 30x2 (x2 − 2)
√
f ′′ (x) = 0 ⇐⇒ x = 0; x = ± 2
Per scoprire i ﬂessi è necessario studiare il segno della f ′′ (x).
Sono punti di ﬂesso i punti in cui cambia il segno della derivata seconda.
x = 0 non punto di ﬂesso perchè la funzione non cambia concavità nel suo intorno.
Riscriviamo la funzione f (x) = x4 (x2 − 5).
x = 0 è punto critico, ma punto di max o min perché x = 0 è uno zero di molteplicità pari.
Quesito 14
6x − 1
x log 6
log 6
3x
(
) = lim
lim
=
1
log 2
x→0−
x→0− log 2x
log 2x − x2 sin
x
Abbiamo utilizzato le formule di equivalenza di Landau e abbiamo tarscurato gli o piccoli: x → 0−
o(2x )
x2 sin
1
=
x
Quesito 15
lim
n→+∞
(n + 1)!
1
n+1
= lim
=−
(−2n)n! n→+∞ −2n
2
Quesito 16
I potenziali punti di non derivabilità sono x = 1, x = 2
Per studiare questi punti potremmo imbarcarci con la derivata prima (ma ci vuole coraggio...!)
Proviamo ad utilizzare la deﬁnizione di derivata e a fare il limite del rapporto incrementale, per x → 1, x → 2.
√
√
|ex − e| |(x − 1)(x − 2)| − 0
x→1
x−1
Per calcolare il limite ed eliminare la forma di indeterminazione possiamo fare una sostituzione mentale
x − 1 = t, ex−1 − 1 ∼ (x − 1), x → 1
1. x = 1
lim
√
√
√
√
√
√
|e(x − 1)| |x − 1|(−1)|
e|x − 1| |x − 1|
e|x − 1|
lim
= lim
= lim
=± e
x→1
x→1
x→1
x−1
x−1
x−1
x = 1 punto angoloso
Paola Suria
8
31◦ Simulazione
√
√
|ex − e| |(x − 1)(x − 2)| − 0
lim
x→2
x−2
2. x = 2
√
√
√
√
|e2 − e| |(2 − 1)(x − 2)| − 0 √ 2
|x − 2| √ 2
|x − 2|
= |e − e lim
= e − e lim
= ±∞
x→2
x→2
x→2
x−2
x−2
x−2
lim
x = 2 è punto di cuspide
Potremmo provare con le equivalenze e vedere a cosa assomiglia la funzione per x → 1 e x → 2
√
√
x → 2 f (x) ∼ e2 − e · |x − 2|
Si tratta quindi di una cuspide.
x → 1 f (x) ∼
√
√
√
√ √
e |(ex−1 − 1)| |x − 1| = e |x − 1| · |x − 1| = |x − 1|
Abbiamo utilizzato l’equivalenza x → 0 ex − 1 ∼ x; x → 1 ex−1 − 1 ∼ x − 1
Quesito 18
Attenzione a non perdere i pezzi!!!
)
√
(
) (
√
√
2x2
3 2 3 3 3
3
3
3
f (x) = 1 −
+ o(x ) ·
3x − x +
x + o(x ) = 3x − x2 + o(x3 )
2!
2
3
2
Quesito 19
f ′ (x) = −
2
1
1
1
log x +
· =
(2x + 1)2
2x + 1 x
2x + 1
(
−2 log x 1
+
2x + 1
x
)
=
1
2x + 1
(
−2x log x + 2x + 1
x(2x + 1)
)
Sfruttiamo la realtà del logaritmo (x > 0
f ′ (x) < 0 ⇐⇒ −2x log x + 2x + 1 > 0; log x <
2x + 1
2x
E’ stato possibile dividere per x, per la sua positività.
Risolviamo la disequazione graﬁcamente, confronatndo la funzione omograﬁca con il logaritmo
Quesito 20
Si potrebbe calcolare l’asintoto utilizzando le formula, ma forse è più facile se riusciamo a riscrivere l’equazione:
√
x2 − x − 1
1
+ |x| 1 +
f (x) = x + 1 +
x3 + 1
x
x → +∞ f (x) ∼ x + 1 + x = 2x + 1
x → −∞f (x) ∼ x + 1 − x = 1
asintoto destro: y = 2x + 1
asintoto sinistro: y = 1
Quesito 21
λ2 + 4 = 0 → λ = ±2i
Paola Suria
9
31◦ Simulazione
y(x; C1 , C2 ) = C1 sin 2x + C2 cos 2x
Imponendo le condizioni si ottiene che la soluzione cercata è: y = sin 2x → y(π) = 0
Quesito 21
Riscrivere la successione
an = elog(n!)·log n − elog n·log n! = 1 − 1 = 0
La successione converge a zero!!
Consigli quesito 23
Facciamo alcune considerazioni e supponiamo di partire da una funzione dispari.
• f dispari
• f ′ pari
• f ′′ dispari
• f ′′′ pari
• cioè f (2k) è dispari: quindi la derivata di ordine pari di una funzione dispari è dispari
• f (2k+1) , derivata di ordine dispari, è pari.
• se integro una derivata di ordine pari, la funzione è dispari e l’integrale su intervallo simmetrico è nullo
(integrale del seno)
• se integro una derivata di ordine dispari, la funzione da integrare è pari e l’integrale diventa il doppio...
Quindi
a) è evidentemente sbagliata
b) è sbagliata perché vale solo se integro una derivata dispari
c) non dipene dalla fuznione ma se pari o dispari
d) è nullo se la derivata è di ordine pari
la soluzione è la d.
Potremmo partire da una funzione dispari come f (x) = sin x
Paola Suria
10
32◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
32◦ Simulazione
Ogni quesito ha una sola risposta esatta
1. Il polinomio di Mac Laurin del 3◦ ordine della funzione f (x) = 1 + cosh x + x3 · cos x è:
1
a) 2 + x2 + x3 + o(x3 )
2
1
b) 1 + x2 + x3
2
1
c) 2 + x2 + x3
2
1
d) 2 − x2 + x3
2
1
e) 2 − x2 + x3 + o(x3 )
2
2. Sia f una funzione strettamente crescente e derivabile su tutto R, è FALSO che:
a) f −1 è ovunque derivabile
b) f −1 è ovunque continua
c) f −1 è ovunque strettamente crescente
d) f è continua su R
e) possono esistere dei punti x ∈ R tali che f ′ (x) ≤ 0
3. z = 4 + 2i. E’ vero che
a) Re(i5 z) = Re(i5 z)
b) Im(i5 z) = Im(i5 z)
c) i5 z = i5 z
d) i5 z = iz
e) z = i2 z
4. Quali sono i numeri complessi z = ρeiθ con due radici terze di argomento negativo?
a) −π ≤ θ < 0
b) 0 ≤ θ < π
c) −π ≤ θ ≤ 0
d) −π < θ < 0
e) nessun θ
{
}
1
5. Sia dato l’insieme A = − 2 , n = 1, 2, ... ∪ {2}. Allora
n
a) A ammette minimo, ma non massimo
b) A ammette massimo e minimo
c) 0 è massimo di A
d) tutti gli elementi di A sono negativi
e) 0 è estremo superiore per A
Paola Suria
1
32◦ Simulazione
∫
6.
a)
b)
c)
d)
e)
√
x 2 + x2 dx =
√
1
(2 + x2 ) 2 + x2 − 2
3
√
(2 + x2 ) 2 + x2
√
2
(2 + x2 ) 2 + x2 + 5
3
√
2
(2 + x2 ) 2 + x2
9
2
3
(2 + x2 ) 2
3
7. Sia data la funzione f : [−1, 1] −→ R con f (x) = x11 + 7x + 12. Allora la funzione
a) ha più di uno zero nell’intervallo
b) ha 11 zeri di cui almeno uno nell’intervallo
c) ha un solo zero nell’intervallo
d) non ha zeri nell’intervallo
e) nessuna delle altre risposte è esatta
8. L’equazione diﬀerenziale y ′ = sin
y
− sin 1 + 1
x
a) è del primo ordine lineare
b) è a variabili separabili
y
c) è omogenea in
x
d) ammette y = x come soluzione particolare con y(0) = 0
e) ammette y = x + 1 come soluzione che soddisfa alle condizoni iniziali y(1) = 1
(
9.
lim sin
x→0+
x x2
+
2
3
)
x
=
tan2 x
1
2
1
b)
3
c) 1
a)
d) 0
e) +∞
10. Quale delle seguenti proprietà NON è soddisfatta dalla funzione f (x) = (3 − x)6 (5 − x) log x?
a) ha almeno 3 punti critici in (0, 5)
b) non è negativa ∀x ∈ (1, 5)
c) è negativa ∀x ∈ (−∞, 1) ∪ (5, +∞)
d) x = 3 è punto di Fermat
e) ∃ c ∈ (1, 2) : f ′ (c) = 3 log 2
11. La funzione f : [4, +∞) f (x) =
x2
1
− 5x + 6
a) è Riemann integrabile nell’intervallo (4, +∞) perché la funzione è limitata
b) è Riemann integrabile nell’intervallo (4, +∞) perché l’intervallo di integrazione non è limitato
c) è Riemann integrabile perché f ∈ C
d) ha integrale improprio convergente ad un numero positivo
e) ha integrale improprio convergente a zero
Paola Suria
2
32◦ Simulazione
{ √
}
12. L’insieme A = e n , n = 0, 1, 2, 3...
a) è limitato
b) è limitato superiormente
c) ammette estremo inferiore, ma non minimo
d) ∀ϵ > 0 ∃n0 : ∀n > n0 =⇒ e
√
n
e) ∀M > 0 ∃n0 : ∀n > n0 =⇒ e
>ϵ
√
n
−1 <M
13.
−5 + sin2 x
=
x→+∞
log 12 x
lim
a) 0−
b) 0+
c) +∞
d) −∞
e) nessuna delle altre risposte è esatta
14. Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 4, della funzione f (x) = x · sinh 3x + e−3x è:
2
a) 1 + 3x4 + o(x4 )
b) 9x4 + o(x4 )
c) 1 + 9x4
d) 1 + o(x4 )
e) 1 + 9x4 + o(x4 )
15. Quale proprietà NON possiede, in x = 0, la funzione f (x) = x · sinh 3x + e−3x ?
2
a) x = 0 è minimo locale
b) x = 0 è punto di Fermat
c) f (IV ) (0) = 9 · 4!
d) f ′′ (0) = 0
e) è inﬁnitesima di ordine 4
16. Sia data la funzione f : R =⇒ R, f ∈ C (2) (R) tale che f ′′ (x) = 0, ∀x ∈ R. Allora
a) ∀x ∈ R x è punto di ﬂesso a tangente orizzontale
b) solo la funzione f (x) = x soddisfa alla condizone del quesito
c) la funzione è del tipo f (x) = ax + b, a, b ∈ R
d) ∀x ∈ R =⇒ f ′ (x) = 0
e) la funzione è del tipo f (x) = ax + b, a, b ∈ R, ̸= 0
17. La derivata della funzione f (x) =
a)
b)
c)
d)
e)
√
3
e2x sin4 x è:
2√
3 2x
e sin x(sin x + 2 cos x)
3
2√
3 2x
e sin x(sin x + cos x)
3
2√
3 2x
e sin x(sin x − 2 cos x)
3
1√
3 2x
e sin x(sin x + 2 cos x)
3
√
3
2 e2x sin x(sin x + 2 cos x)
Paola Suria
3
32◦ Simulazione
18. Siano date le successioni an , bn , cn . Sapendo che la successione cn è inﬁnitesima, sotto quali condizioni la
successione an = bn · cn è inﬁnitesima?
a) an è inﬁnitesima qualsiasi sia il comportamento della successione bn
b) an è inﬁnitesima solo se bn è convergente ad un numero positivo
c) an è inﬁnitesima solo se bn è convergente ad un numero reale
d) an è inﬁnitesima solo se bn non è indeterminata
e) an è inﬁnitesima solo se bn è limitata
19. La parte principale, per x → 0, della funzione f (x) =
3x
− 3x + 12x2 + 20x3 è:
1 + 4x
a) −28x2
b) −3x
c) −3x + 12x2
d) 28x3
e) 28x2
20. Sia dato il problema di Cauchy (quesito di livello alto)
{
y ′ = arctan y + 5y 2
y(0) = y0
è vero che
a) nessuna delle altre risposte è corretta
b) la soluzione è strettamente crescente ∀y0 ∈ R
c) la soluzione è strettamente crescentese e solo se y0 > 0
d) la soluzione è strettamente crescente se e solo se y0 ≥ 0
e) la soluzione è strettamente crescente se e solo se y0 < 0
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
Paola Suria
1
c
2
a
3
b
4
d
5
b
6
a
7
d
8
d
9
a
10
c
4
11
d
12
d
13
b
14
e
15
e
16
c
17
a
18
e
19
d
20
c
32◦ Simulazione
CONSIGLI
Quesito 2
Per rispondere è suﬃciente pensare alla funzione f (x) = x3 , che gode delle seguenti proprietà:
• è strettamente crescente
•
f ′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ R; f ′ (x) = 0 ⇔ 0
√
a) f (x) = x3 =⇒ f −1 = 3 x; f (x) è continua, strettamente crescente, invertibile, perché iniettiva e
derivabile in R, mentre f −1 è continua, ma non derivabile in x = 0
b) vera
c) vera
d) vera
e) vera perchè ∃x = 0 : f ′ (x) = 0. Il quesito parla di f ′ (x) ≤ 0 e quindi f ′ (x) = 0 è un caso particolare.
Quesito 3
Calcoliamo i5 z = i(4 + 2i) = 4i − 2;
i5 z = i(4 − 2i) = 4i + 2
I due numeri hanno la stessa parte immaginaria, ma parte reale opposta.
Quesito 4
L’argomento di due delle tre radici terze deve cadere nel III e nel IV quadrante.
θ + 2kπ
< 0, k = 0, 1, 2 =⇒ −3π − 2kπ < θ < −2kπ; −π − 2kπ < θ < −2kπ
3
k = 0 ⇒ −π < θ < 0; k = 1 → −3π < θ < −2π; k = 2 → −3π < θ < −4π
−π <
Riscriviamo gli angoli nell’intervallo fondamentale:
k = 0 ⇒ −π < θ < 0;
k = 1 → −π < θ < 0;
k = 2 → −π < θ < 0
Riassumendo
−π < θ < 0
Quesito n◦ 9
Per x → 0 :
(x)
x2
=o
3
2
(
=⇒
sin
x x2
+
2
3
)
x
x
∼
2
2
x x
lim f (x) = lim+ · 2 = 12
x→0+
x→0 2 x
∼ sin
Quesito n◦ 10
La risposta c) è falsa, perché non tiene conto del dominio della funzione. f (x) < 0, ∀x ∈ (0, 1) ∪ (5, +∞)
Quesito n◦ 20
QUESITO MOLTO DIFFICILE, NON quesito da esame !
L’equazione diﬀerenziale è del I ordine, a variabili separabili (y,... presumibilmente x).
L’equazione ha soluzioni costanti
arctan y + 5y 2 = 0 → y = 0 ∨ y = α
Per trovare le soluzioni costanti risolviamo l’equazione: arctan y + 5y 2 = 0 → arctan y = −5y 2
L’equazione è da risolvere graﬁcamente. Rappresentiamo graﬁcamente (in un piano (z,y)) z = arctan y;
−5y 2
(Ho introdotto una nuova variabile per rappresentare la funzione)
Paola Suria
5
z=
32◦ Simulazione
I graﬁci delle due funzioni si intersecano in due punti.
Le due soluzioni sono in realtà funzioni y(x) : y(x) = 0 ∨ y(x) = α, −1 < α < 0.
Per studiarne la crescenza si deve studiare la sua derivata prima.
y = f (x) è crescente se y ′ > 0, y ′ = arctan y + 5y 2 .
In questo caso la soluzione è crescente se arctan y + 5y 2 > 0
y ′ > 0 → arctan y > −5y 2
y ′ > 0 ⇐⇒ y(x) < α ∨ y(x) > 0
Attenzione y, non x!! Quindi signiﬁca che se divido l’asse y, in tre parti, genero tre zone (y(x) < α,
y(x) < 0, y(x) > 0)
α <
La funzione y(x) che sta nella zona 1 cresce al variare di
La funzione y(x) che sta nella zona 2 decresce al variare di x
La funzione y(x)che sta zona 3 cresce al variare di x
Il fatto che la funzione stia nella zona 1, 2, 3, dipende dalle condizioni iniziali che determinano il valore della
costante.
Se voglio che la funzione cresca strettamente y0 deve stare al di sotto di α, oppure al di sopra dell’asse x e cioè
deve essere y0 > 0.
Se la funzione fosse nella zona 2 (α < y0 < 0) la funzione sarebbe decrescente.
Ricordo che, poiché b(y) è continua e derivabile qualsiasi sia x, qualsiasi problema di Cauchy y(x0 ) = y0 ammette
una sola soluzione.
Osserviamo le soluzioni al variare delle condizioni di Cauchy:
• y0 = 0 → y(0) = 0 l’unica soluzione è y(x) = 0 che è una soluzione costante.
• y0 > 0 l’unica soluzione non può intersecare l’asse x, perché per il punto di intersezioni il problema
ammetterebbe due soluzioni. quindi è una soluzione che sta nel I e II quadrante ed è crescente strettamente
• α < y0 < 0 l’unica soluzione è contenuta nella striscia 2 ed è strettamente decrscente
• y0 = α l’unica soluzione è la soluzione costante
• y0 < α l’unica soluzione è nella zona 3 ed è strettamente crescente
Paola Suria
6
33◦ simulazione
CORSO DI ANALISI I
33◦ SIMULAZIONE TEST ESAME
1. La derivata della funzione f (x) =
√
3 4x
e cos8 x è:
1
1
√
(32e4x sin7 x)
3 3 e8x cos16 x
1
1
b) √
(e4x cos8 x − e4x sin7 x)
3 3 e8x cos16 x
1
e4x
c) √
(cos8 x − sin7 x)
3 3 e8x cos16 x
4√
3 4x
d) ]
e cos5 x (cos x + 2 sin x)
3
4√
3 4x
e)
e cos5 x (cos x − 2 sin x)
3
a)
2. Il polinomio di Mac Laurin, di ordine 2, della funzione f (x) =
1 + sin x
è:
cos x
1
a) f (x) = 1 + x + x2
2
b) f (x) = 2 − x2 + o(x2 )
1
c) f (x) = 1 + x + x2 + o(x2 )
2
1 2
d) f (x) = 1 + x − x + o(x2 )
2
1 2
e) f (x) = 1 + x − x
2
3. L’integrale improprio
∫
1
2
1
dx =
(x − 2)(x − 3)
a) converge positivamente
b) diverge positivamente
c) converge almeno in senso improprio
d) diverge negativamente
e) converge ad un valore negativo
4. Sia z = 6 − i. Allora w = z 2 − z vale
a) w = 29 − 13i
b) w = 29 − 11i
c) w = 37 − 13i
d) w = 37 − 11i
e) nessuna delle altre risposte
5. Il valor medio della funzione f (x) = cos x, nell’intervallo [−1, 1] è
a) 0
b) 2 sin 1
c) 1
π
d)
2
e) sin 1
Paola Suria
1
33◦ simulazione
6. lim+
x→0
sin x1 − 2
=
x2
a) @
b) 0
c) +∞
d) 1
e) nessuna delle altre risposte è corretta
7. Quanti sono gli zeri della funzione f (x) = x9 + 4x + 3
a) uno solo positivo
b) uno solo negativo
c) 2
d) 9
e) 9, uno solo dei quali negativi
8. Sapendo che f (0) = 4, f ′ (0) = 3 e posto h(x) =
√
f (x), quanto vale h′ (0)
a) 2
b) 0
c) 3
3
d)
8
3
e)
4
)arctan n
(
2n2
9. lim
=
cos 3
n→+∞
n +1
a) 1
π
b)
2
c) e
d) 0
e) ∞
∫
10.
x(2 − 3x2 )5 dx =
a)
b)
c)
d)
e)
1
(2 − 3x2 )6 + c
36
1
(3x2 − 2)6 + c
36
1
(2 − 3x2 )6 + c
6
1
− (2 − 3x2 )6 + c
36
1
− (2 − 3x2 )5 + c
36
11. Sia f una funzione continua e derivabile nell’intervallo [4, 6], con f (4) = 6, f (6) = 0. Allora necessariamente
a) ∃c ∈ (4, 6) : f (c) = 0
b) ∃c ∈ (4, 6) : f ′ (c) = −3
c) ∃c ∈ [4, 6] : f ′ (c) = −3
d) ∃c ∈ (4, 6) : f ′ (c) = 3
e) @c ∈ (4, 6) : f (c) > 6
Paola Suria
2
33◦ simulazione
12. Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 4, della funzione f (x) =
3x2
− 3x2 − 3x4 è:
1 + 3x
a) f (x) = −3x4 + o(x4 )
b) f (x) = −9x3 − 3x4 + o(x4 )
c) f (x) = −9x3 + 24x4
d) f (x) = −9x3 + 24x4 + o(x4 )
e) f (x) = −3x3 + 8x4 + o(x4 )
13. L’asintoto obliquo della funzione g(x) =
a) y =
b) y =
c) y =
d) y =
e) y =
1
x−
3
3
x+
2
1
x+
3
3
x−
2
1
x+
3
x2 + 2x−1
per x → +∞ è
3x − 2
1
9
9
4
2
9
15
4
2
3
14. f (x) = cos x è soluzione dell’equazione diﬀerenziale:
a) (y ′ ) − y 2 = 1
2
b) y ′′′ + y = 0
c) y ′′ − y = 0
d) (y ′ ) + y 2 = 1
2
e) y ′′ − 2y = 0
15. Sia data la funzione f : [0, 2] → R, f ∈ C (1) . Sapendo che f (0) = 1 e f (2) = 0, per il teorema di Lagrange
la funzione g(x) = f 3 (x) ammette c ∈ (0, 2) tale che:
1
2
′
b) g (c) = 0
a) g ′ (c) =
1
2
′
d) g (c) = −2
c) g ′ (c) = −
e) nessuna delle altre risposte è corretta
16.
lim4
x→ 5
1 − cos(5x − 4)
=
(
)2
x − 45
1
2
1
b)
4
c) 1
a)
d) nessuna delle altre risposte
25
e)
2
Paola Suria
3
33◦ simulazione
17.
lim
√
n
n→+∞
4n + 2n =
a) 1
b) +∞
c) e
d) 2
e) 4
18. Quale è la derivata prima della funzione f (x) = log(cos x):
sin x
cos x
b) f ′ (x) = tan x+c
a) f ′ (x) =
c) f ′ (x) = − tan x
− sin x
d) f ′ (x) =
log(cos x)
e) f ′ (x) = − sin x · cos x
(
)
6
19. La parte principale della funzione f (x) = 4x + sin x + x 5 x → 0
a) 4x
6
b) x 5
c) x
d) 5x
6
e) 5x + x 5
{
20. Sia
f : [−2, 2] ⇒ R : f (x) =
−x5
a
x ̸= 0
x=0
La funzione f assume tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo della funzione se:
a) a = 0
b) ∀a ∈ [−25 , 25 ]
c) a = 25
d) ∀a ∈ R
e) nessuna delle altre risposte
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
Paola Suria
1
e
2
a
3
b
4
a
5
e
6
e
7
b
8
e
9
a
10
d
11
b
4
12
d
13
c
14
d
15
c
16
e
17
e
18
c
19
d
20
a
33◦ simulazione
CONSIGLI
Quesito 6
Non è possibile usare l’equivalenza di Mac Laurin:
sin x ∼ x, x → 0;
sin
1
1
∼ , x → +∞
x
x
Il numeratore della frazione è negativo ∀x ∈ R
Potremmo servirci del teorema del confronto
sin x1 − 2
−3
−1
≤
≤ 2
x2
x2
x
I due carabinieri tendono a zero, x → 0+ ⇒ il limite tende a −∞
Quesito n◦ 8
h(x) =
√
f ′ (x)
f (x) =⇒ h′ (x) = √
2 f (x)
3
3
h′ (0) = √ =
4
2 4
Quesito n◦ 9
π
Non è una forma indeterminata, perché 1 2 = 1
Quesito 12
Lo sviluppo di Mac Laurin di una qualsiasi funzione è un polinomio di grado n a cui va sommato il resto di
Peano di Lagrange.
Quindi una parte della funzione è già uno sviluppo di Maclaurin. Si deve sviluppare il primo addendo
f (x) =
3x2
− 3x2 − 3x4 ;
1 + 3x
f (x) = 3x2 ·
E’ necessario ricordare lo sviluppo della funzione g(x) =
sviluppare anche questa funzione ﬁno al 4 ordine.
1
− 3x2 − 3x4
1 + 3x
1
= 1 − x + x2 − x3 + x4 + o(x4 ) e ricordarsi di
1+x
(
)
f (x) = 3x2 · 1 − 3x + (3x)2 − (3x)3 + (3x)4 + o(x4 ) − 3x2 − 3x4
f (x) = 3x2 − 9x3 + 27x4 − 3x2 − 3x4 + o(x4 );
Paola Suria
5
f (x) = −9x3 + 24x4 + o(x4 )
34◦ simulazione
CORSO DI ANALISI I
34◦ SIMULAZIONE TEST ESAME
1. Sia f una funzione continua e strettamente monotona, con f (2) = 7, f ′ (2) =
(f −1 )′7 =
1
1
, f ′ (7) = , allora
7
2
a) 2
b) 7
c) non è possibile saperlo
1
d)
7
1
e)
2
(√
2.
4
1
1 + − cos
x
x
2
lim x
x→+∞
)
=
a) +∞
b) 0
c) −
3
2
d) 1
e) 2
3. Quale delle seguenti funzioni NON è una primitiva della funzione
a)
b)
c)
d)
e)
2x
3x2 + 3
1
log(3x2 + 3)
3
1
log 9(x2 + 1)
3
1
log(x2 + 1) + 1
3
1
log(x2 + 1)
3
1
x2 + 1
log
3
2x
4.
∫
+∞
| sin x| dx
0
a) converge a zero
b) diverge a +∞
c) converge positivamente
d) è indeterminato
e) soddisfa la c.n. di convergenza
5. Dallo sviluppo di Mac Laurin della funzione f (x) = 2 + log(5 − sin2 x) si può dedurrre che f :
a) ha un punto di massimo relativo in x = 0
b) ha punto di minimo relativo in x = 0
c) ha un ﬂesso a tangente orizzontale in x = 0
d) è decrescente nell’intorno di x = 0
e) è crescente nell’intorno di x = 0
Paola Suria
1
34◦ simulazione
6. Quale delle seguenti aﬀermazioni è soddisfatta dall’equazione diﬀerenziale: (y ′ )2 + y 2 + 1 = 0
a) E’ un’equazione lineare del I ordine
b) E’ un’equazione del II ordine a coeﬃcienti costanti
c) Non ammette soluzioni in campo reale
d) E’ un’equazione del prim’ordine omogenea
e) Un integrale particolare dell’equazione è y = cos x
7. Quale delle seguenti equazioni diﬀerenziali è lineare?
a) y ′ = ex+y
b) y ′ − x · sin y = 0
c) y ′ = sin x + sin y
d) y ′ = x + sin y
e) y ′ = y + sin x
)
(
8. Sia data la funzione f (x) = 2 + log 5 − sin x3 . Quali delle seguenti proprietà NON si possono dedurre
dal suo sviluppo di Mac Laurin?
a) f (0) = 2 + log 5
b) La funzione è inﬁnitesima di ordine 1 per x → 0
c) la retta tangente in x = 0 ha equazione y = 2 + log 5
d) x = 0 è punto di ﬂesso a tangente orizzontale
e) La funzione è strettamente decrecente in un intorno di x = 0
9. Quale delle seguenti proprietà NON è soddisfatta dalla funzione
sin x
f (x) = √
x−2
a) L’integrale improprio su (2, 3] converge ad un numero positivo
b) si può valutare la convergenza dell’integrale improprio su (2, 3] con il criterio del confronto asintotico
c) La funzione integranda non ha segno costante in (2, 3] e l’integrale improprio in (2, 3] converge
assolutamente.
d) La funzione non è Riemann integrabile in (2, 3]
1
1
e) In x = 2 la funzione è inﬁnita di ordine , rispetto al campione standare u(x) =
2
(x − 2)
10. Quale delle seguenti aﬀermazioni sono corrette per i cinque integrali?
∫ +∞
∫ 199
∫ 5
∫ 2
∫ 10
1
1
log(x + 1)
x−2
1
√
I1 =
dx ; I2 =
dx ; I3 =
[x] dx ; I4 =
dx ; I5 =
dx
2
2
x
x
2x
x(x + 2)(x − 12)
0
1
0
0
1
a) Tutti i cinque integrali sono Riemann integrabili
b) solo I2 è Riemann integrabile
c) I1 è un integrale improprio convergente ad un numero positivo
d) I3 è Riemann integrabile
e) I4 è un integrale improprio divergente
11. La parte principale, per x → 0, della funzione f (x) = x3 sin
1
x
b) x
a)
√
c) x + 3 x
√
d) 3 sin x
√
e) 3 x
1 [..]
=funzione parte intera
Paola Suria
2
1 √
+ 3 sin x è:
x
34◦ simulazione
√
1 − 2x2 è:
12. La parte principale, per x → 0; della funzione f (x) = cos2 x −
a) x4
b) x2
c) −2x2
5
d) x4
6
e) nessuna delle altre risposte è corretta
13. Sia f : R → R una funzione continua e la funzione assuma tutti i valori 0 ≤ f (x) ≤ 10 per x ∈ [0, 10].
Allora è sempre vero che:
a) per x ∈ (0, 10] → 0 < f (x) ≤ 10
b) ∃c ∈ [0, 10] : f (c) = c
c) per x ∈ [0, 10) → 0 ≤ f (x) < 10
d) per x ∈ (0, 10) → 0 < f (x) < 10
e) ∀λ ∈ [0, 10], ∃ uno e un solo c: ∈ [0, 10] : f (c) = λ
√
√
log (1 + x)
14.
lim
3
x2
x→0+
=
a) 0
b) +∞
c) @
d) 1
e) ±∞
15.
lim
x→2+
log(x2 − 3)
√
=
x x+2
a) 0
b) 1
c) +∞
d) −∞
e) @
√
3
16.
lim
x→0
1 + 5x − 1
=
7x + 4x2
a) 1
b) 0
c) +∞
5
d)
21
e) @
17. La soluzione del problema di Cauchy è:
{
y ′ (x) = 2y − 6
y(0) = 4
a) y = 4
b) y = 3
c) y = 3 + e2x
d) y = e2x
e) t = 3 + 2ex
Paola Suria
3
34◦ simulazione
18. y = sin 2x è soluzione dell’equazione
a) y ′′ + 2y = 0
b) (y ′ )2 + y 2 = 1
1
c) (y ′ )2 + y 2 = 1
4
d) (y ′ )2 + 4y 2 = 1
e) y ′′ − 4y = 0
19. Siano date le cinque funzioni con le rispettive parti principali, nell’intorno di x = x0 . Quale delle seguenti
aﬀermazioni è vera?
√
√
4
4
3
3
f1 (x) = 2x − x3 + x4 , x → +∞ : p.p. = −x 3 ; f2 (x) = 2x − x3 + x4 , x → −∞ : p.p. = −x 3
f3 (x) = x −
√
3
x3 + x2 ,
√
1
3
x → +∞ : p.p. = − ; f4 (x) = 2x − x3 + x4 ,
3
√
1
3
f5 (x) = x − x3 + x4 , x → 0 : p.p. = − x2
3
x → 0 : p.p. = x
a) Le cinque parti principali sono esatte
b) Le cinque parti principali sono tute sbagliate
c) Solo le prime due parti principali sono esatte
d) Sono esatte la prima e ultima parte principale
e) Sono sbagliate la II, la III e la IV parte principale
20. Le due funzioni f, g : R → R sono di classe C (1) e soddisfano alle condizioni f (0) = g(0); f (5) = g(5).
Allora
a) ∃c ∈ (0, 5) : f ′ (c) = g ′ (c)
b) ∃c ∈ (0, 5) : f ′ (c) = 0 e g ′ (c) = 0
c) ∃c ∈ (0, 5) : f (c) = 5 e g(c) = 0
d) ∃c ∈ (0, 5) : g(c) = 5 e f (c) = 0
e) nessuna delle altre risposte è esatta
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
b
2
a
3
e
4
b
5
a
6
c
7
e
8
b
9
c
10
d
11
e
12
d
13
b
14
b
15
a
16
d
17
c
18
d
19
a
20
a
CONSIGLI
Quesito n◦ 1
Solito teorema delal derivata della funzione inversa (tabella!)
Quesito n◦ 2
1
ci si porta nelle condizioni di poter usare gli sviluppi di Mac Laurin. Attenzione a
x
non perdere i pezzi (sviluppare allo stesso ordine entrambi gli addendi)
Con la sostituzione t =
Quesito n◦ 3
A numeratore la frazione ha la derivata del denominatore, pur di moltiplicare e dividere per 3
∫
1
1
6x
dx = log(3x2 + 3) + c, c ∈ R
3
3x2 + 3
3
Dalla primitiva
Paola Suria
4
34◦ simulazione
a) OK con c = 0
(
) 1
(
) 1
1
1
log 9(x2 +1) = log 3 · 3(x2 + 1) = log 3(x2 + 1) + log 3 questo risultato diﬀerisce per la costante
3
3
3
3
1
addittiva log 3
3
(
) 1
1
1
1
c) log 3(x2 + 1) = log 3 + log(x2 + 1) −→ log(x2 + 1) + 1 diﬀeriscono per costanti addittive
3
3
3
3
b)
d) diﬀerisce dalla risposta c) per la costante 1
e) errata
Quesito n◦ 4
La funzione integranda è mai negativa. L’area, per ogni intervallo ampio π vale 2 −→ è la somma di 2 + 2 +
2 + 2 + 2.... → +∞
Possiamo anche osservare che, essendo la funzione integranda mai negativa, l’integrale improprio non può essere
indeterminato: converge oppure diverge.
Quesito n◦ 5
Attenzione a NON DIMENTICARE... e neppure a PERDERE I PEZZI! (c’è il quadrato del seno). Fino a che
ordine sviluppiamo? dobbiamo capire se c’è un massimo o minimo, forse possiamo fermarci al III ordine, con
abbondanza...)
(
sin2 x
f (x) = 2 + log 5 1 −
5
)
(
(sin x)2
= 2 + log 5 + log 1 −
5
)
(
= 2 + log 5 + log 1 −
(x −
x3
6
+ o(x3 ))2
5
)
(
)
x2 + o(x3 )
x2
f (x) = 2 + log 5 + log 1 −
= 2 + log 5 −
+ o(x3 )
5
5
La funzione, per x → 0, Non è inﬁnitesima, ma x = 0 è un punto critico, stazionario, è un punto di massimo.
Quesito n◦ 6
Si tratta di un’equazione diﬀerenziale del primo ordine, perché l’ordine massimo della derivata è il primo.
Scriviamo l’equazione in forma canonica
√
y ′ = ± −y 2 − 1
L’equazione non ha soluzioni perché l’argomento della radice è sempre negativo e il suo valore massimo è -1.
Potevamo anche arrivare allo stesso risultato osservando che l’equazione è somma di tre addendi due dei quali
mai negativi, il terzo è 1. Il valore minimo della somma è 1.
Quesito n◦ 7
a) Variabili separabili y ′ = ex · ey
b) - c) - d) Non sono lineari per la presenza di sin y e NON y
e) Lineare
Quesito n◦ 8
(
)
(
)
sin x3
x3
x3
f (x) = 2 + log 5 + log 1 −
= 2 + log 5 + log 1 −
+ o(x3 ) = 2 + log 5 −
+ o(x3 )
5
5
5
x = 0 è punto stazionario perché f ′ (0) = 0, è ﬂesso discendente.
La funzione in x = 0 non è inﬁnitesima
La retta tangente è orizzontale y = 2 + log 5
Quesito n◦ 9
sin x
non è ﬁnita in x = 2, Valutiamo la convergenza dell’integrale improprio
La funzione f (x) = √
x−2
∫ 3
sin x
√
dx
x−2
2
con il criterio di confronto diretto di convergenza.
Paola Suria
5
34◦ simulazione
• la funzione ha segno costante nell’intervallo di integrazione (il seno cambia di segno a π > 3)
• nell’intervallo di integrazione il valore massimo del seno è 1
sin x
1
• se x ∈ (2, 3] −→ √
≤√
x−2
x−2
∫ 3
∫ 3
∫ 3
1
sin x
1
√
√
√
• poiché
dx converge allora converge anche
≤≤
dx (con funzioni di
x−2
x−2
x−2
2
2
2
segno positivo, se converge l’integrale di una maggiorante, converghe anche l’integrale di una funzione
minorante).
La funzione NON è Riemann integrabile, perché la funzione è inﬁnita in x = 2; è inﬁnita di ordine
1
2
Quesito n◦ 10
Sono Riemann integrabili sull’intervallo [a, b] le funzioni che, nell’intervallo di integrazione, sono:
1. continue in [a, b]
2. continue a tratti in [a, b]
3. continue in (a, b) e limitate su [a, b]
4. monotone su [a, b]
Quindi
1
a) I1 Non è Riemann integrabile perché f (x) = 2 Non è limitata in x = 0. I1 NON è integrabile neppure
x
in senso improprio per il criterio di convergenza asintotico.
b) I2 è Riemann integrabile perché f (x) =
1
è limitata in [1, 199]
x2
c) I3 è Riemann integrabile perché continua a tratti
d) I4 è Riemann integrabile perché in x = 0 la funzione non è continua, ma è limitata. Infatti f (x) ∼
x
1
=
2x
2
e) I5 è Riemann integrabile perché la funzione è continua nell’intervallo [1, 10]
Quesito n◦ 11
1
La funzione, per x → 0, è somma di due inﬁnitesimi: trascuriamo gli o piccoli. In questo caso lim sin = @,
x→0
x
√
√
1
1
ma è limitato. Quindi se x → 0, x sin → 0. MA x sin = o( x) −→ P.P.(f (x)) = x x → 0
x
x
Quesito 12
(
)
(
)
( ) 2
( )
1
1
1
1
1 − x2 + x4 + o x4
− 1 + (−2x2 ) − (−2x2 )2 + o x4
2
4!
2
8
(
)
1 4
1
1
5
f (x) = 1 + x − x2 + 2 x4 − 1 + x2 + x4 + o x4 = x4 + o(x4 )
4
4!
2
6
Attenti a non perdere i pezzi!!! li dimenticate sempre (cosa?... i doppi prodotti)!!!!
x → 0, f (x) =
Quesito 13
E’ suﬃciente pensare che esiste almeno una intersezione tra la funzione e la bisettrice del I e III quadrante
c = f (c)
L’item e) è sbagliato per: uno e uno solo!
Paola Suria
6
34◦ simulazione
Quesito n◦ 14
Poiché non ci sono somme, ma solo rapporti possiamo servirci dell’equiavalenza di Landau
√√
1
x
x4
1
1
+
lim+
=
lim
3
3 = lim x → 0
3
1 = lim
5 = +∞
x→0
x→0+ x 2
x→0+ x 4
x2
x2−4
Quesito n◦ 15
x → −2+ −→
Firmato!!! x + 2 = t;
lim+
t→0
t → 0+
log((t − 2)2 − 3)
log(t2 − 4t + 4 − 3)
1 log(1 + t2 − 4t)
√
√
√
= lim+
= lim+ − ·
2
t→0
t→0
(t − 2) t
(−2) t
t
√
2
1 t − 4t
1
−4t
t
lim+ − · √
= − lim+ √ = 2 lim+
=0
2
2 t→0
1
t→0
t→0
t
t
Quesito n◦ 16
Ancora Landau (o Mac al I grado)
lim
1
3 5x
x→0
7x
=
5
21
Quesito 17
E’ un’equazione diﬀerenziale sia lineare sia a variabili separabili.
Se la soluzione costante è quella del problema, la strategia più veloce è vedere l’equazione come equazione a
variabili separabili; se la soluzione costante non è soluzione, il percorso più veloce è vedere l’quazione come
lineare.
1. Lineare
(∫
y(x; C) = e2x
a(x) = 2; b(x) = −6; −→ A(x) = 2x
)
)
(∫
)
(
1 −2x
−2x
2x
−2x
2x
+ C = 3 − 6Ce2x
e
(−6) dx ; y(x; C) = −6e
e
dx = −6e
− e
2
Imponiamo le condizioni dle Problema di Cauchy:
4 = 3 − 6C → C = −
1
6
2. variabili separabili
y = 3 è la soluzione costante dell’equazione, che non è però soluzione di problema di Cauchy
dy
= 2 dx →
y−3
log |y − 3| = 2x + c, c ∈ R; |y − 3| = e2x+c ;
y − 3 = c∗∗ e2x ,
c∗∗ ∈ R\{0};
y = 3 + c∗∗ e2x
|y − 3| = c∗ e2x , c∗ ∈ (0, +∞)
∪
y=3
La soluzione costante può considerarsi una soluzione particolare se accettiamo c = 0
ce2x , c ∈ R
Quesito n◦ 18
Proviamo a sostituire
y = sin 2x;
y ′ = 2 cos 2x;
a) −4 sin 2x + 2 sin 2x NON ≡ 0 −→ FALSA
b) 4 cos2 2x + sin2 x NON ≡ 0 −→ FALSA
c) ............
Paola Suria
7
y ′′ = −4 sin 2x
→ y = 3+
34◦ simulazione
Quesito n◦ 19
4
(a) x → +∞ : P.P.(f1 ) = −x 3 (non si ha la cancellazione dei termini di grado massimo e allora
teniamo la potenza di grado maggiore)
4
(b) x → −∞ : P.P.(f2 ) = −x 3 (non si ha la cancellazione dei termini di grado massimo e allora teniamo
la potenza di grado maggiore)
(c) In questo caso i termini di grado massimo (x) si cancellano e allora devo raccogliere...
√
(
( ))
1
11
1
1
x → +∞ : f3 = x − x 3 1 + = x − x · 1 +
+o
= x − x − + o(1) −→
x
3x
x
3
(d) per x tendente a zero tengo la potenza minore (in questo caso x): non si ha la cancellazione dei
termini in x e quindi posso trascurare le potenze maggiori:
x → 0 : P.P.(f4 ) = 2x − x = x
(e) per x tendente a zero, si cancellano le potenze minori e allora procedo con Mac laurin dopo aver
raccolto la x con la potenza minore
(
)
√
1
1
3
x → 0 : f5 = x − x 1 + x = x − x 1 + x + o(x) = − x2 + o(x2 )
3
3
N.B. Avremo potuto procedere, in tutti e cinque i casi, raccogliendo:
(a) x → 0 la potenza di grado minore
(b) x → ∞ la potenza di grado maggiore
Quesito 20
Consideriamo la funzione ausiliaria h(x) = f (x) − g(x). Essa è di classe C (1) , perché diﬀerenza di funzioni
continue e derivabili.
h : [0, 5] → R soddisfa alle ipotesi del teorema di Rolle in quanto h(0) = f (0) − g(0) = 0; h(5) =
f (5) − g(5) = 0. Allora ∃c ∈ (0, 5) : h′ (c) = 0 → f ′ (c) − g ′ (c) = 0; f ′ (c) = g ′ (c)
Paola Suria
8
Test di prova 1
1. Se A, B ⊂ R, e A ⊂ B allora
(a) inf A > inf B
(b) inf A ≤ inf B
(c) inf A < inf B
(d) inf A = inf B
(e) inf A ≥ inf B
2. La funzione f (x) = cos x + ex
(a) è pari
(b) ha infiniti zeri
(c) è iniettiva
(d) è monotona su R
(e) è periodica
3. Dati gli insiemi A = {z ∈ C : |z − i| < 1} e B = {z ∈ C : Re(z + i) > 5}, è vero che
(a) A ∪ B è tutto il piano complesso
(b) B \ A = A \ B
(c) A ∩ B = ∅
(d) A ⊆ B
(e) A = B
4. Un polinomio a coefficienti reali che ha tra le sue radici i numeri 0 e 2 + i
(a) ha grado 2
(b) ha grado maggiore o uguale a 3
(c) ha grado strettamente minore di 3
(d) ha grado 4
(e) ha grado pari
√
3
e x−1
√ dx vale
5. Il limite lim
x→0 sin 7 x
(a) 1
(b) +∞
(c) 0
(d) −1
(e) e
1
6. Sia f : R → R una funzione tale che limx→2 f (x) = 1. Allora
(a) f (2) = 1
(b) ∀δ > 0 se |x − 2| < δ allora f (x) > 0
(c) ∃δ > 0 tale che se |x − 2| < δ allora |f (x) − 1| < δ
(d) ∀δ > 0 se 0 < |x − 2| < δ allora 1 < f (x) < 2
(e) ∃δ > 0 tale che se 0 < |x − 2| < δ allora f (x) > 0
7. Il limite lim √
4
x→0
9x − 1
vale
1 + 8x − 1
(a) 3
(b) 2
(c) log 3
(d) log 2
(e) 9/8
8. Il limite lim (3x + 2) sin2 x
x→+∞
(a) vale +∞
(b) vale 3
(c) non esiste
(d) vale 2
(e) vale 0
9. Se le funzioni f, g : R → R hanno per asintoti a +∞ le rette y = x + 1, y = 2x, rispettivamente, allora
(a)
(b)
lim (f − g) = −1
x→+∞
lim (f − g) = −∞
x→+∞
f −g
=0
x
f −g
(d) lim
= +∞
x→+∞
x
(e) lim (f + g) = −∞
(c)
lim
x→+∞
x→+∞
10. Sia an =
(a)
3n + (−1)n
. Allora
n + (−2)n
lim an = 0
n→+∞
(b) an non ha limite per n → +∞
(c)
(d)
lim an = 3
n→+∞
lim an = +∞
n→+∞
(e) an è monotona
2
11. Se an è monotona, allora per n → +∞
(a) an è convergente
(b) an non è indeterminata
(c) an è indeterminata
(d) an è divergente
(e) an non è né convergente né divergente
12. Sia f (x) = 2x sin x . Allora
(a) f 0 (x) = 2x sin x (sin x + x cos x)
(b) f 0 (x) = 2x sin x
(c) f 0 (x) = 2x sin x x cos x
(d) f 0 (x) = 2x sin x (sin x + x cos x) log 2
(e) f 0 (x) = 2x sin x log 2
13. Date le funzioni f, g, il rapporto incrementale della funzione prodotto f · g tra i punti x e x0 è
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
f (x) − f (x0 ) g(x) − g(x0 )
·
x − x0
x − x0
g(x) − g(x0 )
f (x0 ) ·
x − x0
f (x) − f (x0 )
g(x0 ) ·
x − x0
f (x)g(x) − f (x0 )g(x0 )
x − x0
f (x)g(x0 ) − f (x0 )g(x)
x − x0
14. Se f (x0 ) = 0 e x0 è un punto angoloso di f , allora g(x) = (x − x0 )f (x)
(a) è derivabile in x0
(b) ha un punto di cuspide in x0
(c) ha un punto di angoloso in x0
(d) non è derivabile in x0
(e) è discontinua in x0
15. Se f e’ una funzione derivabile e strettamente crescente, con f (2) = 1 e f 0 (2) = 3 allora
(a) (f −1 )0 (2) = 3
(b) (f −1 )0 (3) = 1
(c) (f −1 )0 (1) = 1/3
(d) (f −1 )0 (1) = 1/2
(e) (f −1 )0 (3) = 2
3
16. Sia f : [0, 4] → R definita da f (x) =
√
x se x 6= 1, e f (x) = α se x = 1, con α parametro reale.
Allora f assume tutti i valori compresi tra 0 e 2
(a) se e solo se α = 0
(b) se e solo se α = 1
(c) se e solo se α = 2
(d) se e solo se 0 ≤ α ≤ 4
(e) se e solo se 0 ≤ α ≤ 2
17. Sia f : R → R continua su R. Sia inoltre decrescente in (−∞, 0) e in (0, +∞). Allora
(a) f (R) non è un intervallo
(b) f (R) = R
(c) f è decrescente in tutto R
(d) supR f = +∞
(e) f è limitata su R
18. Sia f : R → R una funzione derivabile tale che f (−1) = 0, f (6) = 3. Allora nell’intervallo (−1, 6) la
derivata f 0 (x)
(a) assume il valore 7/3 in almeno un punto
(b) si annulla in almeno un punto
(c) assume il valore 7/3 in infiniti punti
(d) assume il valore 3/7 in almeno un punto
(e) non è mai nulla
19. Sia f : R → R una funzione derivabile tale che f (−5) = f (9) = 0.
Allora g(x) = cos(f (x)) soddisfa la seguente condizione
(a) g 0 si annulla in almeno 3 punti
(b) g 0 si annulla in non più di un punto
(c) g 0 si annulla in infiniti punti
(d) g 0 non è mai nulla
(e) g 0 si annulla in esattamente 3 punti
20. Per x → 0 si ha
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
1
∼ 4
x4 + x2
x
1
1
1
+ 2 ∼ 2
x4
x
x
1
1
1
− 2 ∼− 2
4
x
x
x
x4 + x2 ∼ x2
1
1
∼ 4
4
2
x −x
x
Soluzioni
4
1. Risposta esatta: e
Infatti, se A ⊂ B, ogni minorante di B e’ anche un minorante A, quindi il massimo dei minoranti di A
e’ ≥ del massimo dei minoranti di B. L’esempio dato da A = (0, 1), B = [0, 2) mostra che le risposte a
e c sono sbagliate, mentre l’esempio dato da A = (0, 1), B = [−1, 2) mostra che le risposte b e d sono
sbagliate.
2. Risposta esatta: b
Infatti, l’equazione f (x) = 0 puo’ riscriversi come − cos x = ex , e si vede rappresentando i grafici delle
funzioni − cos x e ex che che essi hanno infiniti punti in comune. Si vede subito che f non e’ pari ne’
periodica (se fosse pari o periodica, siccome cos x lo e’, per differenza dovrebbe esserlo anche la funzione
ex ), e che non e’ monotona, ne’ iniettiva: per x → −∞, l’andamento della funzione e’ simile a quello della
funzione cos x, (siccome ex → 0 e’ trascurabile).
3. Risposta esatta: c
L’insieme A e’ rappresentato dal cerchio (pieno, senza bordo) di centro z = i e raggio 1, mentre la
disequazione Re (z + i) > 5 equivale a Re (z) > 5 ed e’ quindi un semipiano. Si vede rappresentando
graficamente A e B, che essi non hanno punti in comune (e che le altre risposte sono errate).
4. Risposta esatta: b
Sappiamo che se un polinomio a coefficienti reali ha la radice 2 + i allora ha anche la radice 2 − i (con la
stessa molteplicita’). Quindi il polinomio in questione ha almeno 3 radici, 0, 2 + i, 2 − i, e di conseguenza
deve avere grado almeno 3. Potrebbe, evidentemente, avere come grado un qualsiasi numero ≥ 3. Ad
esempio, il polinomio p(z) = z n (z − 2 − i)(z − 2 + i), con n ≥ 1, soddisfa le richieste e ha grado n + 2.
5. Risposta esatta: c
√
3
Usando la formula di Mac Laurin per la funzione esponenziale e per la funzione seno √
si ottiene
e x =
√
3
√
√
√
√
√
x+o( 3 x)
3
3
7
7
7
√
1 + x + o( x), mentre sin( x) = x + o( x). Quindi il limite proposto vale limx→0 √
= 0. In
7
x+o( 7 x)
alternativa, si sarebbero potuti usare alcuni limiti fondamentali combinati con delle sostituzioni.
6. Risposta esatta: e
La risposta e e’ vera per il teorema di permanenza del segno. Le altre risposte sono sbagliate per vari
motivi; ad esempio nella definizione di limite per x → x0 non si richiede che la funzione sia definita nel
punto x0 , ne’ interviene il valore f (x0 ), quindi non si puo’ dedurre che f (2) = 1. La b equivale a dire
che f (x) > 0 per ogni x ∈ R, il che non e’ chiaramente vero in generale. La c e’ sbagliata, come mostra
l’esempio dato da f (x) = 1 + 2(x − 2). La d e’ equivalente a dire che 1 < f (x) < 2 se x 6= 2, il che e’
evidentemente falso in generale.
7. Risposta esatta: c
Infatti, per x → 0 sappiamo dalla prima
formula dell’incremento finito che 9x = 1+log 9 x+o(x) (la derivata
√
4
x
della funzione 9 in 0 vale log 9) e 1 + 8x = 1+2x+o(x) (ricordare lo sviluppo di (1+x)α = 1+αx+o(x)).
9 x+o(x)
Pertanto il limite proposto vale limx→0 log2x+o(x)
= log2 9 = 3. In alternativa, si sarebbero potuti usare
alcuni limiti fondamentali combinati con delle sostituzioni.
8. Risposta esatta: c
Infatti la funzione vale zero se x = kπ, k ∈ Z, mentre vale 3x + 2 se x =
limite quando x → +∞.
π
2
+ kπ. Quindi non ammette
9. Risposta esatta: b
Le ipotesi su f e g sono equivalenti a dire f (x) = x + 1 + o(1) e g(x) = 2x + o(1) per x → +∞. Pertanto,
per x → +∞, f (x) − g(x) = −x + 1 → −∞. Invece, f (x)−g(x)
→ −1, e f (x) + g(x) = 3x + 1 + o(1) → +∞.
x
10. Risposta esatta: a
n
3n 1 + (−1)
3n
3n(1 + o(1))
=
Basta scrivere an =
, dove si e’ tenuto conto n/(−2)n tende a zero,
n (1 + o(1))
n
(−2)
n
(−2) 1 + (−2)n
perche’ |(−2)n | → +∞ piu’ rapidamente di ogni potenza di n. Quindi possiamo scrivere che an ∼
Ora, per la stessa ragione possiamo quindi concludere che an → 0.
3n
(−2)n .
11. Risposta esatta: b
Infatti, ogni successione monotona e’ convergente, o divergente positivamente o divergente negativamente,
quindi ammette limite (finito o +∞ o −∞).
5
12. Risposta esatta: d
Basta applicare la formula per la derivata di funzione composta.
13. Risposta esatta: d
Infatti posto h(x) = f (x)g(x), il rapporto incrementale di tale funzione e’
quello proposto nella risposta d.
h(x)−h(x0 )
,
x−x0
che e’ esattamente
14. Risposta esatta: a
Infatti, sebbene f non sia derivabile in x0 , il fattore x − x0 si annulla in x0 e quindi, intuitivamente,
smussa il punto angoloso. La verifica rigorosa passa attraverso la definizione di derivabilita’: il rapporto
0)
. Sostituendo g(x) = (x − x0 )f (x) e quindi g(x0 ) = 0 tale
incrementale della g e’ dato da g(x)−g(x
x−x0
0 )f (x)
rapporto diventa (x−x
= f (x) e quindi ammette limite finito per x → x0 e tale limite vale f (x0 )
x−x0
(perche’ f , avendo un punto angoloso in x0 , e’ almeno continua in x0 ).
15. Risposta esatta: c
Siamo nelle condizioni per poter applicare applicare la formula per la derivata della funzione inversa: se
f (x0 ) = y0 , (f −1 )0 (y0 ) = 1/f 0 (x0 ) (in questo caso x0 = 2, y0 = 1).
16. Risposta esatta: b
Rappresentare il grafico della funzione f . Si vede che il valore y = 1 non e’ mai assunto nei punti x 6= 1.
Quindi, se vogliamo che la funzione assuma tutti i valori tra 0 e 2, quindi anche il valore 1, deve essere
f (1) = α = 1.
17. Risposta esatta: c
Infatti, siccome f e’ decrescente in (−∞, 0) avremo f (x1 ) ≥ f (t) se x1 < t < 0, quindi passando al limite
per t → 0− e tenendo conto che f e’ continua in 0 si ottiene f (x1 ) ≥ f (0) se x1 < 0; analogamente si
mostra che f (0) ≥ f (x2 ) se 0 < x2 , quindi f (x1 ) ≥ f (x2 ) se x1 < 0 < x2 . Si vede subito che le altre
risposte sono errate: la a e’ errata per via di un noto teorema che afferma che l’immagine di un intervallo
mediante una funzione continua e’ necessariamente un intervallo; la b e la d sono errate come mostra
l’esempio dato da f (x) = −arctgx. La e e’ errata, come mostra l’esempio dato da f (x) = −x.
18. Risposta esatta: d
(−1)
= 3/7. E’ anche facile
Per il Teorema di Lagrange, esiste un punto c ∈ (−1, 6) tale che f 0 (c) = f (6)−f
6−(−1)
costuire esempi che mostrano che le altre risposte sono errate, in generale.
19. Risposta esatta: a
Risulta g 0 (x) = − sin(f (x))f 0 (x). Siccome f 0 (x) si annulla in un punto c ∈ (−5, 9) per il Teorema di Rolle,
g 0 (x) si annullera’ almeno nei punti x = c, x = −5 (perche’ sin(f (−5)) = sin 0 = 0) e x = 9 (perche’
sin(f (9)) = sin 0 = 0). E’ anche facile costruire esempi che mostrano che le altre risposte sono in effetti
errate.
20. Risposta esatta: d
Infatti, basta osservare che x4 = o(x2 ) per x → 0. E’ anche facile mostrare che le altre risposte sono
errate. Ad esempio, x14 + x12 ∼ x14 , perche’ x12 = o x14 per x → 0, etc.
6
39◦ simulazione - Consigli
CORSO DI ANALISI I
39◦ SIMULAZIONE
CONSIGLI
Quesito n◦ 1
Dobbiamo trovare l’insieme immagine.... si tratta di un esponenziale e quindi l’immagine è contenuta in (0, +∞)
Soprattutto se aﬀrontiamo il quesito dopo aver fatto le derivate, potremmo trovare il massimo della funzione!
f (x) = 3−x
2
−2x
=⇒ f ′ (x) = 3−x
2
−2x
(−2x − 2);
f ′ (x) = 0 ⇐⇒ x = 1
Il punto di massimo (dovremmo fare f ′ > 0) è x = 1. Allora il massimo della funzione è f (1) = 3−1+2 = 3
L’insieme immagine è (0, 3]
Quesito n◦ 2
La funzione è continua e derivabile in R. Quindi, ∀a, b è applicabile Lagrange.
Aﬃnché possa applicarsi Rolle deve essere f (a) = f (b)
Per la simmetria della parabola, a e b devono essere simmetrici rispetto all’ascissa del vertice.
f ′ (x) = 2x − 4 =⇒ x = 2 (il vertice è un punto stazionario).
L’unico intervallo simmetrico rispetto a x = 2 è quello dell’item d)
Quesito n◦ 4
(
)x
f (x) = log(5 − x2 )
Poichè la variabile compare alla base e all’esponente, per deﬁnizione, la base deve essere positiva (per poterla
2
scrivere ex·log(log(5−x )) Il dominio della funzione è quindi
{
{
{ √
√
5 − x2 > 0
5 − x2 > 0
− 5<x< 5
−2<x<2
log(5 − x2 ) > 0
5 − x2 > 1
−2 < x < 2
Quesito n◦ 9
Per trovare l’intersezione con l’asse x è necessario risolvere l’equaizone f (x) = 0 −→ log(x2 + 2 = 0; x2 + 2 =
1; x2 = −1.
Non ha intersezioni con asse x.
Quesito n◦ 11
f (x) = 3ex +x =⇒ f ′ (x) = 3(2x + 1)ex +x
2
x0
x0
f ′ (x0 )
= 3(2x0 + 1)ex0 +x0 x2 +x = x0 (2x0 + 1)
f (x0 )
3e 0 0
2
2
Quesito n◦ 12
1
1
− 2x; x2 = − ; ∅
x
2
Quindi, essendo l’intervallo di studio aperto (1, 2) estremi esclusi, e non avendo la funzione punti stazionari, la
funzione NON ha nè massimi nè minimi
f (x) = − log(x) − x2 =⇒ f ′ (x) = −
Quesito n◦ 19
[
I=
Paola Suria
3 4
x3
4
]5
(
=
0
1
3 4
53
4
)
=
15 √
3
5
4
Test di base I
Questo test è più semplice di quello d’esame, ed è qui proposto per scaldarsi le
mani. Se non si risponde correttamente ad almeno 18 domande, bisogna correre ai
ripari!!!
1. In R l’immagine della funzione f (x) = 3−x
2 −2x
è
a) (0, +∞]
b) (0, 3]
c) (−∞, −1)
1
]
d) (0, 27
2. Data la funzione f (x) = x2 − 4x + 3 dire per quali delle seguenti coppie di punti a e b si può
applicare il teorema di Rolle sull’intervallo [a, b]:
a) a = −1 e b = 2
b) a = 2 e b = 5
c) il teorema non si può applicare a questa funzione per alcun a, b
d) a = −1 e b = 5
3. Dati i parametri reali a e b, la seguente funzione f (x) =
è continua e derivabile in R se e solo se
a) a −
1
2
=b
b) a = b
c) a +
1
2
=b
d) non e’ continua per alcun valore di a e b
1
1 3
2x
+ ax per x < 1
ln(x) + b per x ≥ 1
4. Il dominio della funzione f (x) = [ln(5 − x2 )]x è
a) (−2, 2)
b) [−2, 2]
√ √
c) (− 5, 5)
√ √
d) [− 5, 5]
5. Date le due funzioni f (x) = x2 e g(x) = 4x + 1 la funzione composta g ◦ f è
a) (g ◦ f )(x) = (4x + 1)2
b) (g ◦ f )(x) = (4x + 1)x
2
c) (g ◦ f )(x) = 4x2 + 1
d) (g ◦ f )(x) = x2 (4x + 1)
6. Nell’intervallo [2, 4], i punti di massimo globale xM e di minimo globale xm della funzione
x
f (x) = − ex sono
a) xm = 2, xM = 4
b) xm = 1 e non ha punti di massimo globale
c) non ha punti di minimo globale e xM = 4
d) xm = 4, xM = 2
x2 + 2x
vale
x→0 ex − 1
7. Il limite lim
a) 0
b) 2
c) +∞
d) 1
2
8. Data una f (x) = ln x + x, nel punto x = 1 il suo polinomio di Taylor del secondo ordine è
a)
1
2
+ (x−1 + 1)x
b) 1 + 2x − 21 x2
c)
1
2
+ (x−1 + 1)(x − 1) −
1
(x
2x2
− 1)2
d) 1 + 2(x − 1) − 12 (x − 1)2
9. Il grafico della funzione f (x) = ln(x2 + 2) interseca l’asse delle ascisse nel punto
a) non interseca l’asse delle ascisse
b) (0, ln 2)
c) (−1, 0)
d) (1, 0)
10. La derivata seconda della funzione f (x) = x2 ex è:
a) 2 + ex
b) 2ex + 4xex + x2 ex
c) 2xex + x2 ex
d) 2ex + 2xex + x2 ex
11. Sia f (x) = 3 ex
a)
1
2x20 +x0
b)
x0
2x0 +1
2 +x
x0
, Allora l’espressione f 0 (x0 ) f (x
vale
0)
c) 2x0 + 1
d) 2x20 + x0
3
12. La funzione f (x) = − ln x − x2 sull’intervallo (1, 2)
a) ha un minimo in x = 1 e un massimo in x = 2
b) ha un minimo in x = 2 e un massimo in x = 1
c) ha un massimo in x = 1 ma non ha un minimo
d) non ha né minimo né massimo
13. Data la funzione f (x) =
√
3 x
x
quale affermazione è vera?
a) f 0 (1) = − 32
b) f è pari
c) f è dipari
d) f è definita su tutto R
14) La disequazione
√
x2 − 4 ≤ 1 è verificata per
a) x < −2 ∨ x > 2
b) ogni x in R
√
√
c) − 5 ≤ x ≤ −2 ∨ 2 ≤ x ≤ 5
d) nessun x in R
15. Secondo il teorema di Weierstrass, una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato
a) è invertibile
b) ha minimo globale
c) ha un flesso
d) è derivabile
4
16. La disequazione |x − 3| < 2x + 3 è verificata per:
a) x ∈ [−1, 0]
b) x ∈ (0, +∞]
c) x ∈ [−1, 0] ∪ [2, +∞)
d) x ∈ (−∞, −1] ∪ [0, 2]
17. Se una funzione f : R → R nel punto x0 ∈ R è
a) monotona allora è derivabile in x0
b) continua allora è derivabile in x0
c) derivabile allora è continua in x0
d) continua allora è differenziabile in x0
18. Il grafico della funzione f (x) =
e2x
x+3
ha
a) solo un asintoto verticale
b) un asintoto obliquo e un asintoto verticale
c) un asintoto orizzontale e un asintoto verticale
d) nessun asintoto
Z
19. L’integrale definito
5
√
3
xdx vale
0
a)
b)
c)
4√
5
4
15 √
3
4
15√
4
15
d)
4
5
5
5
20) Una funzione f : I → R strettamente crescente sull’intervallo I ⊂ R
a) è crescente
b) non è limitata superiormente
c) è limitata inferiormente
d) non è concava
6
Soluzioni del Test di base I
1
B
11
D
2
D
12
D
3
C
13
A
4
A
14
C
5
C
15
B
6
D
16
B
7
7
B
17
C
8
D
18
C
9
A
19
B
10
B
20
A
40◦ Simulazione - Consigli
CORSO DI ANALISI I
40◦ SIMULAZIONE
CONSIGLI
Quesito n◦ 1
{
dom f =:
x2 − 1 > 0
log(x2 − 1) > 0 −→ x2 − 1 > 1;
2
x >2
|x| >
√
2
Quesito n◦ 3
Per la continuità:
lim− (x2 + 1) + k = 2 + k; lim+ ex
x→1
2
+1
x→1
= e2 → 2 + k = e2 ; k = e2 − 2
Quesito n◦ 4
x · f ′ (x) = x (ex + x · ex ) = x · ex (1 − x) = x · ec · (1 − x) = (1 − x) · f (x)
Quesito 5
Per poter applicare il teorema degli zeri la funzione deve essere continua.
Le due restrizioni sono continue, ma la funzione presenta un salto finito in x=0.
Allora si può applicare solo ad una restrizione, quella che sosddisfa la II condizione f (a) · f (b) < 0
La restrizione (0, +∞) è una parabola, di vertice V (5, −4) che taglia asse x in x = 3 e x = 7.
Tra gli intervalli proposti l’unico che soddisfa tutte le ipotesi del teorema degli zeri è [5, 10]
Quesito 6
f ′ (c) =
f (0) − f (−3)
0 − ((9 + 9)
3
=⇒ 2x − 3 =
; 2x − 3 = −6; x = −
0+3
3
2
Quesito 7
lim
(x − 1)(x + 4)
..
(x − 1)(x + 5)
Quesito 8
Rappresentare le funzioni canoniche, derivare quelle meno note
√
a) è la funzione x traslata orizzontalmente a sinsitra di 6. Crescente!
b) parabola, concava,traslata verticalmente. Crescente nell’intervallo assegnato
c) decrescente in R e quindi anche nell’intervallo dato
d) La funzione logaritmo, traslato orizzontalemente a x = −4.Quindi sempre crescente
Quesito 9
definizione di primitiva
Quesito 10
ATTENZIONE è il solito problema!!!
Per gli allochi la risposta è la d). Ma se una funzione è strettamente crescente la sua f ′ ≥ 0. Pensare a f (x) = x3
Se f ′ > 0 → funzione strettamnete crescente, ma non viceversa!)
(pagina 192 del testo Tabacco)
Se è strettamente crescente è iniettiva!
Quesito 11
Paola Suria
1
40◦ Simulazione - Consigli
f : (1, 2) −→ f −1 : (2, 1)
1
f′ = √
2 x+3
1
′
f (1) = −→ (f −1 )′ (2) = 4
4
Quesito 12
teorema degli zeri (piace! due volte)
Quesito 13
Per prima cosa è necessario imporre il dominio:
{
x > −1
x<0 ∨ x>4
→ (−1, 0) ∪ (4, +∞)
Dopo aver imposto il dominio: l’algebra
log(x + 1)2 < log(x2 − 4x) → x2 + 2x + 1 − x2 + 4x < 0, 6x + 1 < 0; x < −
{
(−1, 0) ∪ (4, +∞)
1
x<−
6
→ −1 < x < −
1
6
1
6
Quesito 14
f ′ (x) = ex (2x + x2 ); f ′′ = ex (x2 + 4x + 2
f ′′ < 0 → insieme vuoto, quindi la funzione è sempre convessa
Quesito 15
L’unica funzione che non è continua nell’intervallo è f (x) =
1
x
Quesito 16
Con un po’ di algebra... che sorpresa!
f (x) = log(x2 + 1) − log(x2 + 1) → f (x) ≡ 0
Quesito 17
Occorre spezzare l’integrale
∫
2
0
2x
dx +
2
x +1
∫
2
(x2 + 2x) dx
0
Il primo genera un logaritmo.
Quesito 18
La funzione è derivabile e quindi la condizione è necessaria.
Infatti potrebbe esserci un punto angoloso di massimo, ma la fuznione non sarebbe derivabile.
Quesito 19
Si può pensar eche f (−x) è la simmetrica rispetto asse y. Pensare per esempio
f (x) = log x → f (−x) = log(−x)
La nuova funzione è decrescente e concava.
Quesito 20
Pensare a f (x) = sin
Paola Suria
(x)
3
+ 2 → il periodo diventa T=6π e quindi si è avuta una dilatazione
2
Test di base II
Questo test è più semplice di quello d’esame, ed è qui proposto per scaldarsi le
mani. Se non si risponde correttamente ad almeno 18 domande, bisogna correre ai
ripari!!!
1. Il dominio della funzione f (x) = √
1
ln(x2 −1)
è
√
√
a) (−∞, − 2] ∪ [ 2, +∞)
b) (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
√
√
c) (−∞, − 2) ∪ ( 2, +∞)
d) (−∞, −1] ∪ [1, +∞)
2. Lo sviluppo di Mac Laurin della funzione f (x) = ex − x2 di ordine 3, con il resto nella forma
di Peano, è
a) 1 + x + 12 x2 − 61 x3 + o(x3 )
b) 1 + x + 12 x2 + 61 x3 + o(x3 )
c) 1 + x − 12 x2 + 61 x3 + o(x3 )
d) 1 + x − 12 x2 − 61 x3 + o(x3 )
3. La funzione f (x) =
(x2 + 1) + k
2
ex +1
per x < −1
, dove k è un parametro reale, è continua se
per x ≥ −1
e solo se
a) k = e2 − 1
b) k = 1
c) k = 0
d) k = e2 − 2
1
4. La funzione f (x) = xex nel suo dominio soddisfa l’uguaglianza:
a) x · f 0 (x) = (1 − x) · f (x)
b) x · f 0 (x) = x · f (x)
c) x · f 0 (x) = (1 + x) · f (x)
d) x · f 0 (x) = −f (x)
5. A qualedei seguenti intervalli si può applicare il teorema di esistenza degli zeri per la funzione
2+x
se x ∈ (−∞, 0]
f (x) =
?
x2 − 10x + 21 se x ∈ (0, +∞)
a) [−3, 1]
b) [5, 10]
c) [3, 6]
d) [1, 2]
6. Data la funzione f (x) = x2 − 3x nell’intervallo [−3, 0] ha come punto di Lagrange
a) c =
3
2
b) c = − 32
c) c =
9
2
d) non esistono punti di Lagrange, perchè il teorema non è applicabile
x2 + 3x − 4
vale
x→1 x2 + 4x − 5
7. Il limite lim
a)
4
5
b) 0
c) 1
d)
5
6
2
8. Quali delle seguenti funzioni è decrescente nell’intervallo [−3, −1]?
a)
√
x+6
b) −x2 + 3
c) e−3x
d) ln(x + 4)
9. Se una funzione f ammette una primitiva in un intervallo, allora
a) ne ammette infinite altre
b) tale primitiva è unica
c) tale primitiva è un numero reale
d) tale primitiva si chiama funzione integrale
10. Se f : R → R è strettamente crescente allora sicuramente in R:
a) f (x) è suriettiva
b) f (x) è iniettiva
c) f (x) è limitata inferiormente
d) f 0 (x) > 0
11) La derivata della funzione inversa x = f −1 (y) della funzione y =
y = 2,
a) vale 4
b) vale 2
c) non esiste
d) vale
1
4
3
√
x + 3 calcolata nel punto
12. Sia f : [−1, 1] → [−1, 1] una funzione continua tale che f (−1) · f (1) < 0, allora
a) ∃x ∈ (−1, 1) tale che f (c) = 0
b) f è monotona
c) f è dispari
d) f (0) = 0
13, La disequazione 2 ln(x + 1) < ln(x2 − 4x) è verificata per
a) −1 < x < 0 ∨ x > 4
b) −1 < x < − 61
c) x < − 16
d) 6 ∃x ∈ R
14. La funzione f (x) = x2 ex è concava nell’intervallo
a) (−2 +
√
2, +∞)
√
b) (−∞, −2 − 2)
√
√
c) (−2 − 2, −2 + 2)
d) (−∞, +∞)
15. A quale delle seguenti funzioni non si può applicare il teorema di Weierstrass nell’intervallo
[−1, 1]?
a) ln(x + 2)
b) |x|
c)
1
x
d) sin x
4
√
16. In R, la funzione f (x) = 2 ln x2 + 1 + ln x21+1 è
a) costante
b) strettamente positiva
c) strettamente concava
d) strettamente crescente
17. Data la funzione f (x) =
a) − ln 4 +
b) ln 37 +
2x
x2 +3
2
x +
R2
per x < 0
, l’integrale −2
f (x)dx vale
3x per x ≥ 0
26
3
26
3
c) ln 3 − ln 7 + 20
d) non esiste
18. Sia f (x) una funzione definita su (a, b) e derivabile in x0 ∈ (a, b). Il fatto che f 0 (x0 ) = 0 è
una condizione
a) sufficiente perchè x0 sia un punto di minimo o massimo locale
b) necessaria e sufficiente perchè x0 sia un punto di minimo o massimo locale
c) nessun delle altre risposte
d) necessaria perchè x0 sia un punto di minimo o massimo locale
19. Se in R la funzione f (x) è crescente e concava, allora la funzione f (−x) è
a) decrescente e concava
b) decrescente e convessa
c) crescente e concava
d) crescente e convessa
5
20. Dato il grafico della funzione f (x), per ottenere il grafico della funzione g(x) = 2 + f ( 13 x),
bisogna modificare il grafico di f (x)
a) contraendolo in direzione orizzontale di un fattore 3 e spostandolo verso il basso di 2
b) dilatando in direzione orizzontale di un fattore 3 e spostandolo verso il basso di 2
c) contraendolo in direzione orizzontale di un fattore 3 e spostandolo verso l’alto di 2
d) dilatando in direzione orizzontale di un fattore 3 e spostandolo verso l’alto di 2
6
Soluzioni del Test di base II
1
C
11
A
2
C
12
A
3
D
13
B
4
C
14
C
5
B
15
C
6
B
16
A
7
7
D
17
B
8
C
18
D
9
A
19
A
10
B
20
D
Test su insiemi numerici, limiti, derivate e formula di Taylor
1. Se f (x) =
−x
√
x
se x < 0
, allora f ((−1, 4]) è uguale a
se x ≥ 0
(a) [0, 1)
(b) (1, 2]
(c) [0, 2]
(d) ∅
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
2. Una funzione f : R → R è suriettiva se e solo se
(a) ∀x ∈ R ∃y ∈ R tale che f (x) = y
(b) per ogni y ∈ R, l’equazione f (x) = y ha almeno una soluzione x ∈ R
(c) per ogni y ∈ R, l’equazione f (x) = y ha al piu’ una soluzione x ∈ R
(d) la funzione inversa f −1 (x) e’ definita su tutto R
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
3. Se una funzione f : R → R verifica f (x) > f (0) per x > 0, possiamo dire che
(a) f e’ strettamente crescente su R
(b) f e’ strettamente crescente su [0, +∞)
(c) f e’ strettamente crescente in un intorno destro di 0
(d) f e’ iniettiva su [0, +∞)
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
4. La funzione f (x) = x − α sin x, dove α e’ un parametro reale, e’ certamente iniettiva su R
(a) se α e’ sufficientemente grande
(b) se |α| < 1
(c) per nessun valore di α
(d) se α > 0
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
5. L’insieme {z ∈ C : z = |z|}, nel piano complesso rappresenta
(a) un semipiano
(b) la retta dei numeri reali
1
(c) la retta dei numeri immaginari
(d) la semiretta dei numeri reali ≥ 0
(e) un cerchio
6. L’insieme {z ∈ C : |z − 2| > |z + i|}, nel piano complesso rappresenta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
un semipiano
una retta
una semiretta
un segmento
nessuna delle altre risposte e’ corretta
7. Il polinomio di grado 100 che si ottiene sviluppando il prodotto (z − i)50 (z + 8)50
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
ha almeno un coefficiente non reale
ha una radice con parte immaginaria < 0
ha una radice con parte reale > 0
ha una radice z tale che |z| < 1
nessuna delle altre risposte e’ corretta
8. Se z e w sono due numeri complessi, allora
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
|z − w| ≤ |z| − |w|
|z| + |w| ≤ |z + w|
|z + w| ≤ |z| + |w|
|zw| ≤ |z| + |w|
nessuna delle altre risposte e’ corretta
9. Se z = e2ix , con x ∈ R, e w = 2 + i allora
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
√
|z/w| = 1/ 5
|z/w| = 1/3
√
|z/w| = 2/ 5
|z/w| = 2/3
nessuna delle altre risposte e’ corretta
10. Il numero complesso z = (1 + i)19 , verifica
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Re z = Im z
Re z = −Im z
|z| < 1
|z| > 210
nessuna delle altre risposte e’ corretta
2
11. Data f : R → R tale che lim f (x) = +∞, è vero che
x→+∞
(a) f (x) è una funziona crescente
(b) per ogni M > 0, l’insieme f ((M, +∞)) e’ illimitato superiormente
(c) esiste M > 0 tale che f (x) > 1000 se |x| > M
(d) per ogni M > 0 risulta f (x) > 1000 se x > M
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
12. Se f, g sono funzioni definite su R, e x0 ∈ R, allora la formula limx→x0 (f (x)+g(x)) = limx→x0 f (x)+
limx→x0 g(x) vale
(a) solo se i due limiti a secondo membro esistono finiti
(b) se i due limiti a secondo membro esistono finiti
(c) sempre
(d) se il limite a primo membro esiste finito
(e) solo se il limite a primo membro esiste finito
13. Sia f : R → R una funzione tale che limx→1 |f (x)| = 0. Allora
(a) limx→1 f (x) = 0
(b) il limite limx→1 f (x) potrebbe non esistere
(c) il limite limx→1 f (x) esiste finito, ma potrebbe non essere = 0
(d) il limite limx→1 f (x) potrebbe valere +∞ o −∞
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta

log(1 + x3 ) − x3


x6
14. La funzione f (x) =


α
se e solo se
se x 6= 0
, dove α e’ un parametro reale, e’ continua in 0
se x = 0
(a) α = −1
(b) α = 1/2
(c) α = 1
(d) α 6= −1/2
(e) α = −1/2
3
15. La funzione f (x) =
 α/x
 e

0
se x > 0
, dove α e’ un parametro reale, e’ continua in 0
se x ≤ 0
(a) se e solo se α > 0
(b) se e solo se α = 0
(c) se e solo se α 6= 0
(d) se e solo se α < 0
(e) per nessun valore di α
16. La parte principale dell’infinitesimo f (x) =
campione x1 ) e’
π
2
− arctan x, per x → +∞, (rispetto all’infinitesimo
(a) − x1
(b)
1
x2
(c) − x2
(d)
1
x
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
√
17. La funzione f (x) = sin(2x) − α( 3 1 + 4x − 1), dove α e’ un parametro reale, e’ un infinitesimo di
ordine > 1 per x → 0,
(a) se e solo se α = 3/2
(b) se e solo se α 6= 3/2
(c) se e solo se α = 0
(d) se e solo se α 6= 0
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
18. L’uguaglianza limx→+∞ arctan (αx) = supx∈R arctan (αx), dove α e’ un parametro reale, e’ vera
(a) se e solo se α > 0
(b) se e solo se α ≥ 0
(c) se e solo se α < 0
(d) se e solo se α ≤ 0
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
19. Dire che una funzione f : R → R ha per asintoto obliquo destro la retta di equazione y = ax + b e’
equivalente a dire che
(a) f (x) − ax − b ammette limite finito per x → +∞
(b) f (x) ∼ ax per x → +∞
4
(c) f (x) ∼ ax + b per x → +∞
(d) f (x) − ax − b e’ una funzione limitata
(e) f (x) = ax + b + o(1) per x → +∞
20. Se f (x) = o(sin x) e g(x) ∼ (ex − 1)2 per x → 0, allora, sempre per x → 0,
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
f (x) + g(x) = o(x2 )
f (x) − g(x) = o(x)
f (x)g(x) ∼ x3
g(x)/f (x) → 0
nessuna delle altre risposte e’ corretta
21. Il limite lim
n→∞
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(n + 3)! − n!
(n + 3)2 (n + 1)!
vale 0
vale +∞
vale 1
non esiste
nessuna della altre risposte e’ corretta
r
4
4
1+ −1
22. Il limite lim n
n→∞
n
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
vale 0
vale +∞
vale 1
non esiste
nessuna della altre risposte e’ corretta
23. Sia f (x) derivabile in 0. Allora la funzione f (|x|)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
non è mai derivabile in 0
e’ derivabile in 0 se e solo se f 0 (0) = 0
è sempre derivabile in 0
è derivabile in 0 se e solo se f e’ pari
ha derivata nulla in 0
24. Sia f (x) = cos x. Allora f (n) (π) = 0 se e solo se
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
n e’ dispari
n e’ pari
n e’ un multiplo di 4
n e’ un multiplo di 3
nessuna della ltre risposte e’ corretta
5
25. Sia f ∈ C ∞ (R) tale che f (x) = −3(x + 1)5 − 2(x + 1)6 + o((x + 1)6 ) per x → −1. Allora
(a) f (x) e’ concava in x0 = −1
(b) f (x) e’ convessa x0 = −1
(c) f (x) ha un punto di flesso ascendente in x0 = −1
(d) f (x) ha un punto di flesso discendente in x0 = −1
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
26. La formula di McLaurin di f (x) = log(cos x) di ordine 4 è
x2
1
− x4 + o(x4 )
2
12
x2
1
f (x) = − + x4 + o(x4 )
2
12
1
x2
f (x) = − + x4 + o(x4 )
2
24
x2
1
f (x) = − − x4 + o(x4 )
2
8
nessuna delle altre risposte e’ corretta
(a) f (x) = −
(b)
(c)
(d)
(e)
27. Dati comunque un intervallo I ⊆ R e una funzione f : I → R continua, è vero che
(a) f (I) e’ un insieme limitato
(b) f (I) è un intervallo
(c) f ammette massimo e minimo su I
(d) f assume tutti i valori in I
(e) f si annulla in almeno un punto di I
28. La funzione f (x) = log(e − x2 ) soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri sull’intervallo
[0, a], con a > 0, se
(a) a >
(b) a <
√
√
√
e−1
e
(c) a = e
√
√
(d) e − 1 < a < e
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
29. Sia f : R → R una funzione derivabile, il cui grafico interseca la retta y = 4x + 5 in due punti
distinti. Allora
(a) esiste c ∈ R tale che f 0 (c) = 5
(b) esiste c ∈ R tale che f 0 (c) = 4
6
(c) esiste c ∈ R tale che f 0 (c) = 4/5
(d) esiste c ∈ R tale che f 0 (c) = 5/4
(e) esiste c ∈ R tale che f 0 (c) < 0
30. La funzione f (x) = log |ex − 1| ha come derivata
1
ex − 1
1
(b) 1 + x
e +1
1
(c) 1 − x
e −1
1
(d) 1 − x
e +1
1
(e) x
e −1
(a) 1 +
31. Il limite limx→+∞
√
x sin x arcsin x1
(a) non esiste
(b) vale 0
(c) vale +∞
(d) vale −∞
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
32. Se una funzione continua f : R → R verifica f (x) > f (0) per x > 0, possiamo dire che
(a) f e’ strettamente crescente su R
(b) f e’ strettamente crescente su [0, +∞)
(c) f e’ strettamente crescente in un intorno destro di 0
(d) f e’ iniettiva su [0, +∞)
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
7
Soluzioni
1) Risposta esatta: c Conviene prima di tutto rappresentare graficamente la funzione f . Per
definizione di immagine di un insieme, risulta f ((−1, 4]) = {f (x) : x ∈ (−1, 4]} = {y ∈ R : ∃x ∈
(−1, 4] con f (x) = y}. Si vede quindi dal grafico che la risposta corretta e’ la c.
2) Risposta esatta: b Infatti, una funzione f : A → B e’ suriettiva se per ogni y ∈ B esiste
almeno un x ∈ A tale che f (x) = y. La risposta a e’ evidentemente errata. La c e’ equivalente a
dire che f e’ iniettiva (dire che f (x) = y ha al piu’ una soluzione significa che ha nessuna oppure
una soluzione, quindi che f e’ iniettiva). La risposta d e’ errata perche’, anche se f suriettiva, la
funzione inversa potrebbe non esistere (esiste solo se f e’ anche iniettiva e solo in quel caso e’ allora
vero che l’inversa e’ definita su tutto R)
3) Risposta esatta: e Un controesempio che mostra che tutte le altre risposte sono errate e’ dato
dalla funzione f (x) = (x − 1)2 + 1 per x > 0 e f (x) = 0 per x ≤ 0. Rappresentare questa funzione:
essa verifica evidentemente f (x) > 0 = f (0) per x > 0, ma f non e’ crescente in nessun intorno
destro dell’origine (quindi neppure in [0, +∞), ne’ su tutto R). Inoltre essa non e’ iniettiva.
4) Risposta esatta: b Infatti, risulta f 0 (x) = 1 − α cos x, quindi se |α| < 1 risulta |α cos x| < 1, da
cui f 0 (x) > 0. Quindi, in quel caso f e’ strettamente crescente e dunque iniettiva. Questo mostra
anche che la c e’ errata. Per vedere che a e d sono errate basta osservare che se α e’ molto grande
la funzione f (x) non e’ certamente iniettiva perche’ si annulla (quindi assume il valore 0) in piu’
punti: per rendersi conto di questo si consideri appunto l’equazione f (x) = 0, ossia x = α sin x.
Andando a rappresentare i grafici delle funzioni y = x e y = α sin x, con α molto grande, vediamo
che essi si intersecano, oltre che nell’origine, anche in altri punti.
La morale di questo esercizio e’ che per verificare che una funzione derivabile e’ iniettiva su un
intervallo I e’ sufficiente verificare che la sua derivata prima e’ > 0 su I, oppure < 0 su I.
p
x2 + y 2 . Pertanto l’uguaglianza
5) Risposta esatta: d Osserviamo
che,
se
z
=
x+iy,
allora
|z|
=
p
2
2
z = |z| diventa x + iy =p x + y . Uguagliando le parti
√ reali e le parti mmaginarie in questa
equazione si ottiene x = x2 + y 2 e y = 0. Quindi x = x2 = |x|, che e’ equivalente a dire x ≥ 0.
Come risultato vediamo che l’insieme proposto e’ costituito dai numeri z = x + iy con x ≥ 0, y = 0,
vale a dire la semiretta dei numeri reali ≥ 0.
6) Risposta esatta: a Il risultato si ottiene subito geometricamente: la disuguaglianza |z − 2| >
|z + i| si esprime anche dicendo che la distanza del punto z da 2 e’ maggiore della sua distanza
da −i. Ricordiamo dalla geometria elementare che, dati due punti nel piano P1 , P2 , l’insieme dei
punti P che distano da P1 piu’ di quanto distano da P2 e’ uno dei due semipiani in cui l’asse del
segmento P1 P2 divide il piano.
In alternativa, per via analitica possiamo riscrivere la disequazione |z − 2| > |z + i| come |z − 2|2 >
|z+i|2 . Sostituendo z = x+iy otteniamo |x−2+iy|2 > |x+i(y+1)|2 , ossia (x−2)2 +y 2 > x2 +(y+1)2 .
Sviluppando i quadrati vediamo che si semplificano tutti i termini di secondo grado e rimane una
disequazione di primo grado, che rappresenta quindi un semipiano.
7) Risposta esatta: a Il polinomio in questione ha le radici z = i e z = −8, entrambi con
molteciplicita’ 50. Da qui vediamo subito che b, c e d sono errate. Per vedere che a e’ corretta,
ricordiamo quel risultato (Canuto-Tabacco, pag. 290) che ci dice che, se un polinomio ha coefficienti
reali e possiedie una radice z = x + iy allora possiede anche la radice z = x − iy (con la stessa
molteplicita’). Da qui si vede che il nostro polinomio deve avere almeno un coefficiente non reale;
altrimenti avrebbe appunto, insieme alla radice z = i, anche la radice z = −i, il che non e’ vero.
8) Risposta esatta: c Si tratta delle nota disuguaglianza triangolare (che, ricordiamo, geometricamente esprime il fatto che in un triangolo un lato e’ minore della somma degli altri due). Si vede
anche facilmente che le altre risposte sono errate.
9)
di Eulero, z = cos(2x) + i sin(2x), pertanto |z| =
q Risposta esatta: a Infatti, per la Formula
√
√
√
2
cos2 (2x) + sin (2x) = 1, mentre |w| = 22 + 12 = 5. Quindi |z/w| = |z|/|w| = 1/ 5.
10) Risposta
esatta:
b Conviene
scrivere 1+i in forma trigonometrica (o esponenziale). Abbiamo
√ π
1 + i = 2 cos 4 + i sin π4
Rocordando la formula di de Moivre, risulta z = (1 + i)19 =
8
19π
+
i
sin
. Siccome 19π
219/2 cos 19π
= 4π + 3π
, e le funzione seno e coseno sono periodiche
4
4
4 4
+ i sin 3π
. Da questa espressione si deduce che
di periodo 2π, risulta z 19 = 219/2 cos 3π
4
4
il numero complesso z verifica b e che le altre risposte sono errate (infatti, |z| = 219/2 , quindi
1 < |z| < 220/2 = 210 ).
Un modo equivalente, un po’ piu’ rapido, per giungere alla risposta corretta e’ osservare, come
prima, che il numero 1 + i ha argomento π/4. Ora, la moltiplicazione di un numero complesso per
1 + i produce un incremento di π/4 del suo argomento. Quindi (1 + i)19 ha per argomento quello
del numero 1, che e’ 0, piu’ 19 π4 = 4π + 3π
4 e si conclude.
11) Risposta esatta: b Infatti, comunque preso M > 0, per verificare che l’insieme f ((M, +∞))
e’ illimitato superiormente, occorre mostrare che per ogni K > 0 esiste y ∈ f ((M, +∞)) con
y > K. Ebbene, questo e’ certamente vero se, come supponiamo, risulta lim f (x) = +∞, perche’
x→+∞
allora dalla definizione di limite vediamo che e’ f (x) > K per ogni x sufficientemente grandi. Quindi
nell’insieme (M, +∞) cadra’ certamente almeno uno (in realta’ infiniti) di tali x, e conseguentemente
f (x) ∈ f ((M, +∞)) e f (x) > K.
La a e’ chiaramente errata; si pensi all’esempio dato da f (x) = x2 , che non e’ crescente su tutto R
(incidentalmente, si noti che la a sarebbe errata anche se dicesse soltanto che f e’ crescente in qualche
intorno di +∞; si pensi all’esempio dato da f (x) = x + 2 sin x, che verifica lim f (x) = +∞, ma
x→+∞
presenta infinite oscillazioni quando x → +∞). La c e’ errata perche’ nulla si puo’ dire quando
x < 0 e’ grande in valore assoluto (sarebbe corretta se al posto di |x| > M ci fosse x > M ). La d e’
equivalente a dire che f (x) > 1000 se x > 0 (perche’ c’e’ scritto ∀M > 0), quindi e’ evidentemente
errata.
12) Risposta esatta: b E’ chiaro che la b e’ corretta. La a e’ errata perche’ non e’ vero che
l’uguaglianza indicata vale soltanto quando i limiti a secondo membro sono finiti; essa vale anche,
ad esempio, quando quei limiti valgono entrambi +∞. La c e’ errata perche’ quella uguaglianza
non vale se, ad esempio, i limiti a secondo membro valgono uno +∞ e l’altro −∞ (si ha una forma
indeterminata +∞−∞). Le d e e sono anche errate; si pensi, ad esempio, al caso in cui limx→x0 f (x)
non esiste; se si prende g(x) = −f (x) allora anche il limite limx→x0 g(x) non esiste (quindi il secondo
membro non ha senso); tuttavia il primo membro e’ limx→x0 f (x) + g(x) = limx→x0 0 = 0.
13) Risposta esatta: a Infatti, dalla definizione di limite risulta che limx→1 |f (x)| = 0 se per ogni
> 0 esiste δ > 0 tale che, se |x − 1| < δ, x 6= 1 risulta ||f (x)|| < . Ora, abbiamo evidentemente
||f (x)|| = |f (x)|, quindi dire che limx→1 |f (x)| = 0 e’ equivalente a dire che limx→1 f (x) = 0.
14) Risposta esatta: e La funzione f (x) e’ continua in 0 se e solo se limx→0 f (x) = f (0) = α.
Dallo sviluppo di Mac Laurin del logaritmo abbiamo log(1 + x3 ) = x3 − 21 x6 + o(x6 ) per x → 0,
quindi vediamo che f (x) = − 21 + o(1) per x → 0 e limx→0 f (x) = − 12 . Quindi la risposta corretta
e’ la e.
15) Risposta esatta: d La funzione f (x) e’ continua in 0 se e solo se limx→0+ f (x) = limx→0− f (x) =
f (0) = 0. E’chiaro che limx→0− f (x) = 0. Per calcolare il limite destro, osserviamo che,
+∞ se α > 0

limx→0+ αx = 0
se α = 0 (per α = 0 NON e’ una forma indeterminata; prima sostituire


−∞ se α < 0
α = 0 e POI calcolare il
limite).

+∞ se α > 0
Quindi limx→0+ eα/x = 1
se α = 0 .


0
se α < 0
16) Risposta esatta: d Infatti basta controllare che π2 − arctan x ∼ x1 per x → +∞ direttamente
1
π
− 1+x
− arctan x
x2
2
dalla definizione: abbiamo lim 2
=
lim
= lim
= 1, dove abbiamo
1
1
x→+∞
x→+∞
x→+∞ 1 + x2
x
x2
applicato il Teorema di de L’Hopital.
Si noti che non si pottrebbe arrivare alla conclusione applicando direttamente la formula di Mac
9
Laurin per la funzione arctan x, perche’ quella vale per x → 0, mentre qui x → +∞.
17) Risposta esatta: a Utilizzando lo svipullo di Mac Laurin delle√funzioni sin y = y + o(y) e
(1 + y)α = 1 + αy + o(y) (con α = 1/3), abbiamo sin(2x) = 2x + o(x) e 3 1 + 4x = 1 + 34 x + o(x) per
x → 0. Pertanto f (x) = (2 − 4α
3 )x + o(x). L’ordine di infinitesimo di f (x) per x → 0 e’ pertanto
=
0,
quindi
α = 3/2.
> 1 se e solo se 2 − 4α
3
18) Risposta esatta: b Infatti, basta osservare che, se α > 0 allora
anche sup arctan(αx) = π/2. Se α = 0 allora
x∈R
lim arctan(αx) = π/2 e
x→+∞
lim arctan(0 · x) = 0 e sup arctan(0 · x) = 0.
x→+∞
x∈R
Infine, se α < 0, lim arctan(αx) = −π/2 mentre sup arctan(αx) = π/2 (rappresentare il grafico
x→+∞
x∈R
qualitativo della funzione arctan(αx) nei tre casi; essa e’ rispettivamente strettamente crescente,
nulla, strettamente decrescente).
Si noti che il risultato e’ in accordo con il Teorema sul limite di funzioni monotone (Teorema 3.27,
pag. 87 del Canuto-Tabacco).
19) Risposta esatta: e Infatti, si tratta proprio della definizione di asintoto scritta con i simboli
di Landau (Canuto-Tabacco, pag. 139). Si noti che le risposte a, b, c sono condizioni necessarie
ma non sufficienti perche’ y = ax + b sia un asintoto obliquo destro della funzione f (x). Ad
esempio, la funzione f (x) = 2x verifica f (x) ∼ 2x + 3 per x → +∞. Inoltre la funzione differenza
f (x) − 2x − 3 = −3 e’ limitata e ammette limite finito per x → +∞. Tuttavia f non ha come
asintoto obliquo destro la retta di equazione y = 2x + 3.
20) Risposta esatta: b Siccome sin x ∼ x e ex − 1 ∼ x per x → 0, le ipotesi su f e g sono
equivalenti a f (x) = o(x) e g(x) ∼ x2 , quindi g(x) = x2 + o(x2 ), per x → 0. Da qui si vede che la b
e’ vera. Invece a, c e d sono errate, come mostra l’esempio dato da f (x) = x2 , g(x) = x2 , per cui
f (x) + g(x) = 2x2 non e’ o(x2 ); f (x)g(x) = x4 non e’ ∼ x3 , e g(x)/f (x) = 1 non tende a zero.
21) Risposta esatta: c Infatti, sostituendo (n + 3)! = (n + 3)(n + 2)(n + 1)n!, e (n + 1)! = (n +
(n + 3)(n + 2)(n + 1) − 1
=
1)n! e semplificando n! nella frazione, il limite proposto diventa lim
n→∞
(n + 3)2 (n + 1)
n3
lim 3 = lim 1 = 1.
n→∞ n
n→∞
22) Risposta esatta: c Usando lo sviluppo di Mac Laurin (1 + x)α = r
1 + αx + o(x) per x → 0,
1
4
1
4
con α = 14 e x = n4 (osservare che per n → ∞ risulta x → 0), abbiamo 1 + = 1 + + o
n
n
n
r
4
4
per n → ∞, quindi n
1 + − 1 = 1 + o(1), e si conclude.
n
23) Risposta esatta: b Per studiare la derivabilita’ della funzione f (|x|) in x = 0, scriviamone il
(0)
(0)
(0)
rapporto incrementale in x = 0: f (|x|)−f
. Ora, lim+ f (|x|)−f
= lim+ f (x)−f
= f 0 (0). D’altra
x−0
x−0
x−0
x→0
x→0
f (|x|) − f (0)
f (−x) − f (0)
f (y) − f (0)
f (y) − f (0)
parte, lim−
= lim−
= lim+
= − lim+
=
x−0
x−0
−y − 0
y−0
x→0
x→0
y→0
y→0
0
−f (0) (abbiamo fatto il cambio di variabile y = −x) . La funzione f (|x|) sara’ derivabile in 0
precisamente quando questi due limiti coincidono, vale a dire f 0 (0) = −f 0 (0), ossia 2f 0 (0) = 0,
quindi f 0 (0) = 0.
E’ anche facile mostrare che le altre risposte sono errate: l’esempio dato da f (x) = x mostra che c
e d sono errate. L’esempio dato da f (x) = x3 mostra che a e d sono errate.
24) Risposta esatta: a La derivata n-esima della funzione cos x coincide con ± cos x se n e pari, e
con ± sin x se n e’ dispari (il segno preciso qui non ci interessa). Quindi vediamo che essa si annulla
in π se e solo se n e’ dispari.
25) Risposta esatta: d Ricordiamo che il simbolo C ∞ (R) denota lo spazio delle funzioni derivabili
infinite volte su R. Ora, lo sviluppo indicato ci dice che f 0 (0) = f 00 (0) = f 000 (0) = f 0000 (0) = 0 e
f (5) (0) = −3 · 5! < 0. Quindi x = −1 e’ un punto di flesso discendente (Teorema 7.16, pag. 253 del
Canuto-Tabacco; si noti che risulta anche f (0) = 0, ma questa informazione non serve ai fini della
conclusione). Le altre risposte sono di conseguenza errate.
10
1 4
26) Risposta esatta: a Ricordiamo lo sviluppo di Mac Laurin di cos x = 1 − 12 x2 + 24
x + o(x4 )
1 4
e log(1 + y) = y − 21 y 2 + o(y 2 ). Prendendo y = − 12 x2 + 24
x + o(x4 ) otteniamo log(cos x) =
2
1
1
1
1
1 1 2
1
− x + x4 + o(x4 ) + o(x4 ) =
log 1 − x2 + x4 + o(x4 ) = − x2 + x4 + o(x4 ) −
2
24
2
24
2
2
24
1
1
1
1
1
− x2 + x4 − x4 + o(x4 ) = − x2 − x4 + o(x4 ).
2
24
8
2
12
27) Risposta esatta: b Si tratta di un risultato visto a lezione (Corollario 4.30, pag. 116 del
Canuto-Tabacco). Si vede anche subito che le altre risposte sono errate; si pensi al caso della
funzione f (x) = x1 sull’intervallo I = (0, 1). Allora f (I) = (1, +∞) non e’ limitato e f non assume
massimo, ne’ minimo in I, e f non assume tutti i valori in I (ogni funzione f : I → R, anche non
continua, assume invece tutti i valori in f (I), per definizione di immagine f (I)).
Incidentalmente, ricordiamo che una funzione continua su un intervallo ammette massimo e minimo
se l’intervallo e’ limitato e chiuso (Teorema di Weierstrass), ma potrebbe ammettere massimo o
minimo anche in casi in cui l’intervallo non e’ limitato e chiuso.
28) Risposta esatta: d Le ipotesi del Teorema degli zeri sono soddisfatte sull’intervallo [0, a]
se f e’ continua su tale intervallo e assume valori di disegno opposto agli
estremi. Ora, conviene
√ √
prima di tutto tracciare il grafico della funzione f , che ha dominio (− e, e). Poi
√ si osserva che
f (0) = log e = 1 > 0, quindi deve essere f (a)√= log(e−a2 ) < 0, che risolta da’ a > e − 1. Tenendo
conto del dominio, dovra’ anche essere a < e (l’intervallo [0, a] deve essere interamente contenuto
nel dominio).
29) Risposta esatta: b Se indichiamo con a e b le ascisse di questi due punti di intersezione,
avremo f (a) = 4a + 5 e f (b) = 4b + 5 perche’ il grafico di f incontra appunto in questi punti quello
della retta di equazione y = 4x + 5. Pertanto, per il Teorema di Lagrange, esiste un punto c ∈ (a, b)
4b − 4a
f (b) − f (a)
=
= 4. Si puo’ anche ottenere lo stesso risultato senza fare
tale che f 0 (c) =
b−a
b−a
conti, ricordando l’interpretazione geometrica del Teorema di Lagrange: se a e b sono le ascisse dei
due punti di intersezione, esiste c ∈ (a, b) tale che f 0 (c) e’ pari al coefficiente angolare della retta
passante per i due punti, che in questo caso vale 4.
30) Risposta esatta: a Usando la formula della derivata di una funzione composta, abbiamo
ex
1
f 0 (x) = x
=1+ x
(ricordare che D log |x| = x1 ).
e −1
e −1
√
√
31) Risposta esatta: b Infatti, osserviamo che | x sin x arcsin x1 | ≤ x arcsin x1 per x > 0.
Ora, usando la formula di Mac Laurin arcsin y = y + √
o(y) per y → 0, con y = x1 , si ottiene
1
1
1
arcsin x = x + o( x ) per x → +∞. Quindi la funzione x arcsin x1 = √1x + o( √1x ) tende a 0 per
x → +∞. Per il Teorema del confronto, anche il limite proposto vale 0.
Incidentalmente, puo’ capitare di non ricordare qualche sviluppo; non disperare...se servono solo i
primi termini (come accade di solito) si puo’ costruire sul momento; ad esempio, per la funzione
f (y) = arcsin y, risulta f (0) = 0, f 0 (y) = √ 1 2 , quindi f 0 (0) = 1. Pertanto arcsin y = f (0) +
1−y
f 0 (0)y + o(y) = y + o(y) per y → 0.
32) Risposta esatta: e Questo quesito e’ molto simile al numero 3), ma qui si dice nel testo che la
funzione e’ continua, quindi il controesempio dato nello svolgimento dell’esercizio 3) non va bene e
occorre pensare a qualche cosa di piu’ sofisticato. Ebbene,
un esempio
che mostra che tutte le altre
1
risposte sono errate e’ dato dalla funzione f (x) = x 2 + sin x per x < 0 e f (x) = 0 per x ≤ 0.
Provare a rappresentare questa funzione: il suo grafico presenta infinite oscillazioni in ogni intorno
destro dell’origine e per x > 0 e’ tutto compreso tra le semirette di equazione y = x e y = 3x
(perche’ −1 ≤ sin x1 ≤ 1, quindi 1 ≤ 2 + sin x1 ≤ 3), quindi f e’ continua anche in 0. Per vedere
analiticamente che ci sono infinite oscillazioni, si puo’ calcolare f 0 (x) = 2 + sin x1 − x1 cos x1 , che
1
cambia segno infinite volte in ogni intorno destro di 0: verificare che f 0 (x) > 0 se x = (2n+1)π
con
1
0
n ∈ N sufficientemente grande, mentre f (x) < 0 se x = 2nπ con n ∈ N sufficientemente grande.
Pertanto questa funzione soddisfa f (x) ≥ x > 0 = f (0) per x > 0, e tuttavia non e’ crescente in
nessun intorno dell’origine (e quindi neppure sulla semiterra [0, +∞), o su tutto R). Questo mostra
che le risposte a, b, c, sono errate. La funzione in questo esempio inoltre non e’ chiaramente
11
iniettiva (in generale, se una funzione continua ha un punto di minimo o di massimo interno al
dominio, allora non puo’ essere iniettiva per via del teorema dei valori intermedi; convincersi di
questo con uno schizzo).
12
Risposte e Consigli per la simulazione 42◦
CORSO DI ANALISI I
42◦ SIMULAZIONE - CONSIGLI
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
c
2
d
3
d
4
c
5
b
6
e
7
8
a
9
e
10
e
11
c
12
e
13
a
14
d
15
a
16
d
17
c
18
e
19
c
20
d
Quesito 1
Ricordare che la proprietà deve avere per qualsiasi iniseme che soddisﬁ alle condizioni iniziali. Molte proprietà
sono compatibili con la maggioranza degli insiemi A e B, ma esiste un insieme che soddisfa solo ad una di queste
proprietà.
Pensiamo all’insieme A = {0, 2}.
1
Notare che invece di dire ∃x > 1 si potrebbe dire ∃x < 1, x >
2
Quesito 2
Osservazione: nelle funzioni composte ricordarsi di intersecare il dominio della funzione composta con il dominio
della prima funzione
a) g ◦ f (x) = −3 + log e3+x ; g ◦ f (x) = −3 + 3 + x; domg ◦ f : R;
f ◦ g(x) = e3+(−3+log x ; f ◦ g(x) = x; domf ◦ g(x) = (0, +∞)
b) f ◦ g = x,
domf ◦ g(x) = (0, +∞) I due domini sono diversi
c) ....
d) ....
e)
Quesito 3
Il quesito, a prima vista, non è facile. Riscriviamo le ipotesi e la tesi per pendere idee.
Hp
lim
n→+∞
log an
= l;
n
lim [log an+1 − log an ] = l;
x→+∞
Th.
lim
n→+∞
√
n
an =?
Se il limite del rapporto tra un logaritmo ed n tende a l, an dele essere equigrande ad un esponenziale, l ̸= 0
Riscriviamo la II ipotesi e poi partiamo dalla tesi, riscrivendola
lim log
n→+∞
an+1
=l →
an
lim log
n→+∞
an+1
log an
= lim
=l
n→+∞
an
n
an+1
log
√
log an
n
an = lim an+1
lim
an = lim e n = lim e
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞ an
Queisto n◦ 4
Nella deﬁnizione è stato scelto il valore di ϵ = 10−2 Di conseguenza ∃M > 0.....
Quesito n◦ 5
Attenzione c’è il rischio di cadere in ...tentazione di sostituire 1 al primo addendo e lasciare l’altro tale e quale.
Se si sostituisce ad un addendo si deve sostituire anche all’altro!!
In un prodotto/rapporto questo sarebbe possibile.
( )
)x
(
(
)x6
1
5
1 6
1
+
= lim
1+ x
lim
1+ +o
x→+∞
x→+∞
x
x
x
6
Quesito n◦ 6
Firmato Rolle!!
a) La funzione ha almeno tre zeri (intersezione del graﬁco con l’asse x). Tra due intersezioni successive la
funzione ammette almeno un punto critico. Quindi la funzione ha almeno due zeri della derivata prima.
Paola Suria
1
Risposte e Consigli per la simulazione 42◦
b) .....
c) g(x) = sinh(f (x)) → g ′ (x) = cosh(f (x)) · f ′ (x). Poiché il cosh non si annulla mai, i punti di stazionarietà
della g(x) sono gli zeri della f ′ (x) che per Rolle sono almeno due
d) La funzione sinh f (x) si annulla se f (x) = 0 → almeno 3 volte
e) f ′ (x) si annuilla almeno due volte, per il teorema di Rolle. Applicando il teorema di Rolle alla funzione
f ′ (x), che ha due zeri, si può dedurre che f ′′ (x) ha almeno uno zero.
Quesito 7
1
= 0 (inﬁnitesimo per limitato)
x
La funzione presenta perciò un punto di discontinuità di III specie. f (x) è il suo prolungamento non continuo.
Poiché la funzione non è continua non è derivabile e NON ammette retta tangente.
lim x2 sin
x→0
Se invece il prolungamento fosse stato fatto con il valore della funzione in x = 0 e cioè
{
1
x2 sin
x ̸= 0
∗
f =
x
0
x=0
La funzione sarebbe continua; veriﬁchiamo la derivabilità con il limite del rapporto incrementale
x2 sin
lim
x→0
1
−0
1
x
= lim x sin = 0 (limitato * inﬁnitesimo)
x→0
x
x
la funzionef ∗ prolungata è derivabile e la sua retat atngente ha equazione y = 0
Quesito n◦ 8
f (x)
f ′ (x)
= lim
x→+∞ x
x→+∞
1
lim
(De l’Hopital).
Quesito n◦ 9
Lo sviluppo fornisce informazioni solo nell’intorno di x = 4.
x = 48 è un punto di mssimo relativo
E’ suﬃciente pensare alla funzione f (x) = 3 − (x − 4)8
Quesito 10
1
1
e1−f (x) = e1−1+ 2 x− 3 x
2
+ 14 x3 +o(x3 )
(
=1+
)
(
)2
1
1
1
1 1
1
1
x − x2 + x3 + o(x3 ) +
x − x2 + x3 + o(x3 )
2
3
4
2 2
3
4
1
1
1
1
1
5
e1−f (x) = 1 + x − x2 + x3 + x2 + o(x2 ) = 1 + x − x2 + o(x2 )
2
3
4
8
2
12
5
f ′′ (0) = − · 2
24
Quesito n◦ 11
Per studiare l’invertibilità studiamo la monotonia:
F ′ (x) = ex > 0 → ∀x ∈ R
2
Allora la funzione F (x) è monotona strettamente crescente in R, quindi è invertibile.
F è derivabile perché la funzione f è derivabile.
F −1
F (x)
(1, 0) → (0, 1)
Paola Suria
2
Risposte e Consigli per la simulazione 42◦
F ′ (1) = e → (F −1 )′ =
1
e
Quesito n◦ 12
F (x) e F (x) hanno la stessa derivata.
Se due funzioni hanno la stessa derivata ∀x ∈ I (attenzione I deve essere un intervallo!! non un insieme) allora
le due funzioni diﬀerisconono per una costante!
F (x) − G(x) = c, ma la costante cambia a seconda dell’intervallo che devo scegliere, per il dominio della F (x)
• x > 0: scelgo un punto a caso e trovo la costante
F (1) = arctan 1 =
π
,
4
G(1) = − arctan 1 = −
π
π
→ F (x) − G(x) =
4
2
• x < 0: scelgo un punto a caso e trovo la costante
π
F (−1) = arctan(−1) = − ,
4
G(−1) = arctan 1 =
π
π
→ F (x) − G(x) = −
4
2
Quesito n◦ 13
Il quesito è impostato sull’integrale deﬁnio e sui suoi signiﬁcati: area, area algebrica, teorema media integrale
a) falso, per l’area è necessario valutare il segno della funzione integranda
∫
∫
π
3π
2
sin x dx −
A=
0
sin x dx
π
b) Vera
c) Vera
d) Vera
e) Vera
Quesito n◦ 14
E’ un integrale improprio, da calcolare
∫ a
∫ a
1
1
1
1
3√
3 √
3
3
− 13
√
(x)
dx = lim √
x− 3 dx = √
lim
x2 |ab = √
a2
3
3
3
3
b→0
b→a
2
5 0
5 b
5
2 5
√
2
3 3 5√
3 ( a ) 23
3
2
3
I= √
5
a
=
2 35
10 5
Quesito n◦ 15
Equazione a variabili separabili. La soluzione del problema di Cauchy non è la soluzione costante.
∫
∫
x2
1
dz
= x dx ; log |z + 1| = x2 + c, c ∈ R; z = −1 + C ∗ e 2 , c∗ ∈ R\{0}
z+1
2
z = −1 + e
x2
2
Quesito n◦ 16
λ2 + 1 = 0 → λ = ±i;
y(x, C1 , C2 ) = C1 cos x + C2 sin x
Essendo funzioni goniometriche, sicuramente esistono soluzioni che cambiano di segno inﬁnite volte (es. C1 =
0, C2 = 0).
Quesito 17
L’equazione è di II◦ a coeﬃcienti complessi, quindi tra le soluzioni almeno una è sicuramente complessa.
Se due sono complesse non sono coniugate tra loro perché i coeﬃcienti non sono reali.
Paola Suria
3
Risposte e Consigli per la simulazione 42◦
z=
3−i±
√
√
9 − 6i − 1 + 12i
3 − i ± 8 + 6i
=
2
2
UFFA non mi piace, cambio metodo!
z 2 + iz − 3z − 3i = 0 → z(z − 3) + i(z − 3) = 0 → (z − 3)(z + 1) = 0
Una soluzione reale ed una immaginaria
Quesito 18
Se un polinoimio ha una radice complessa doppia, ha anche la sua complessa coniugata con la stessa molteplicità.
Quindi il polinomio è almeno di 4◦ grado
Quesito n◦ 19
Si tratta di un insieme limitato, con max e min.
1
2
n = 2 → a2 = 1 + ; a3 = −1 +
2
9
1
Con n pari gli an convergono a 1, decrescendo da 1 + , senz amai assumere il valore 1
2
Con n dispari gli an convergono a -1, decrescendo da x = −1 + 2 = 1 Quindi: x=-1 non viene assunto, mentre
x=1 sı̀.
x = −1 è un estremo inferiore
n = 1 → a1 = −1 + 2;
2
2
2
2
2
2
2
, −1 + , −1 + , −1 + , −1 + 2 = 1, .., 1 + , ...1 + , 1 +
81
49
25
9
36
16
4
2
Quindi l’insieme ha massimo x = 1 + , ma non ha minimo
4
Quesito n◦ 20
...., −1 +
La funzione è stata prolungata per continuità
Studiamo la derivabilità con il limite del Rapporto incrementale
1
−0
1
log |x − 1|
lim
= lim
= ±∞
x→1
x→1
x−1
(x − 1)|x − 1|
Quindi x = 1 è punto di cuspide.
Paola Suria
4
Simulazione test d’esame — Gennaio 2013
Rispondere ai seguenti quesiti (una sola risposta è corretta).
1. Sia A ⊆ R un insieme tale che inf A = 0 e sup A = 2. Allora:
(a) 2 ∈ A
(b) esiste x ∈ A tale che 0 < x < 2
(c) esiste x ∈ A tale che x > 1
(d) A coincide con l’intervallo (0, 2)
(e) 0 ∈ A oppure 2 ∈ A
2. Siano f, i : R → R e g : (0, +∞) → R definite da f (x) := ex+3 ,
g(x) := −3 + log x e i(x) := x. Allora:
(a) g ◦ f = f ◦ g
(b) f ◦ g = i
(c) g f (x) = i(x) ⇐⇒ x ∈ (0, +∞)
(d) g f (x) = f g(x) ∀x ∈ (0, +∞)
(e) g ◦ i = i ◦ f
log an
=l
n→+∞
n √
e tale che lim (log an+1 − log an ) = l, con l ∈ R. Allora lim n an
3. Sia (an )n∈N una successione a termini positivi tale che lim
n→+∞
n→+∞
è uguale a:
an
n→+∞ an+1
(b) lim an
(a)
lim
n→+∞
(c)
(d)
(e)
lim (an+1 − an )
n→+∞
an+1
an
lim log an
lim
n→+∞
n→+∞
4. Sia (an )n∈N una successione tale che lim an = −5. Allora:
n→+∞
(a) ∃ ε < 10−4 : |an + 5| < ε, ∀n > 2013
(b) an < 0, ∀n > 1012
(c) ∃ M > 0 : |an + 5| < 10−2 , ∀n > M
(d) an 6 −5, ∀n ∈ N
(e) i termini an sono tutti negativi
1
1
5 x
5. Il limite lim
ex +
vale:
x→+∞
x
(a) e5
(b) e6
(c) +∞
(d) 0
(e) 1
6. Sia data la funzione f : R → R, continua e derivabile due volte, con
f (−20) = 0, f (10) = 0 e f (25) = 0. Allora:
(a) f ha almeno tre punti di stazionarietà
(b) f ha esattamente un punto di massimo relativo e un punto di
minimo relativo
(c) la funzione sinh f (x) non ha punti di stazionarietà
(d) la funzione sinh f (x) non ha zeri
(e) esiste almeno uno zero della derivata seconda di f
7. Sia f : R → R definita da
(
x2 sin x1
f (x) =
1
se x 6= 0
se x = 0.
Allora la retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x = 0:
(a) non esiste
(b) ha equazione y = 0
(c) ha equazione y = 1
(d) ha equazione y = x + 1
(e) nessuna delle risposte precedenti
8. Sia f : R → R una funzione derivabile tale che lim f 0 (x) = 1. Allora:
x→+∞
(a)
(b)
f (x)
=1
x
lim f (x) = l ∈ R
lim
x→+∞
x→+∞
f (x)
= +∞
x→+∞ x
f (x)
(d) lim
=0
x→+∞ x
(e) ∃ δ > 0 : f (x) = x ∀x > δ
(c)
lim
2
9. Sia f : R → R una funzione di classe
C 8 (R), con sviluppo di Taylor
8
8
f (x) = 3 − (x − 4) + o (x − 4) per x → 4. Allora:
(a) f (x) < 3 per ogni x ∈ R
(b) x = 4 è un punto di flesso per f
(c) f (0) = 3
(d) x = 4 è un punto di minimo locale per f
(e) x = 4 è un punto di massimo locale per f
10. Sia f : R → R una funzione di classe C 3 (R), con sviluppo di McLaurin
f (x) = 1 − 21 x + 13 x2 − 41 x3 + o(x3 ) per x → 0. Allora la derivata
seconda della funzione e1−f (x) nel punto x = 0 vale:
(a) 1/3
(b) −1/3
(c) −2/3
(d) −1/12
(e) −5/12
Z
11. Sia F : R → R definita da F (x) :=
x
2
et dt. Allora:
1
(a) F non è invertibile su R
(b) F è invertibile su R ma F −1 non è derivabile su R
(c) (F −1 )0 (0) = e−1
(d) (F −1 )0 (0) = 1
(e) F 0 (1) = 0
12. Quali delle seguenti proprietà NON è soddisfatta dalle due funzioni
1
F (x) := arctan e G(x) := − arctan x?
x
π
(a) F (x) = + G(x), ∀x > 0
2
(b) Le due funzioni non hanno lo stesso dominio
π
(c) F (1) = G(1) +
2
π
(d) F (x) = − + G(x), ∀x < 0
2
π
(e) F (x) = + G(x), ∀x ∈ R \ {0}
2
3
13. Quale
NON è soddisfatta dalla funzione f (x) := sin x, con
proprietà
3
x ∈ 0, π ?
2
(a) L’area della parte di piano racchiusa tra il grafico della funzione e
l’asse x, nell’intervallo assegnato, è data dal valore dell’integrale
Z 3π
2
sin x dx
0
(b) La media integrale della funzione, nell’intervallo considerato, è
Z 3π
2
2
sin x dx
µ :=
3π 0
Z 3π
2
(c)
sin x dx = 1
0
(d) La media integrale della funzione, nell’intervallo considerato, è
2
µ :=
3π
(e) L’area della parte di piano racchiusa tra il grafico della funzione
e l’asse x vale 3
Z a
1
14. Se a è un numero reale positivo, allora
(5x)− 3 dx vale:
0
(a)
a2
3
5
(b) +∞
2
3
(c) (5a)− 3
2
2
3
(d)
(5a) 3
10
2
3
(e) (5a) 3
2
15. Si consideri il seguente problema di Cauchy:
(
z 0 = (z + 1)x
z(0) = 0.
Allora la soluzione z = z(x):
(a) è pari
(b) soddisfa z(x) = x2 + o(x2 ) per x → 0
(c) ha un flesso nel punto di ascissa x = 0
(d) è dispari
(e) non è definita su tutto R
4
16. L’equazione differenziale
y 00 + y = 0
(a) non ha soluzioni limitate su (0, +∞)
(b) ha infinite soluzioni illimitate su (0, +∞)
(c) ha solo soluzioni positive su R
(d) ha almeno una soluzione che cambia segno un numero infinito di
volte su R
(e) ha due soluzioni
17. L’equazione algebrica
z 2 + (i − 3)z − 3i = 0
(a) ammette due soluzioni reali
(b) ammette due soluzioni, una complessa coniugata dell’altra
(c) ammette una soluzione reale e una immaginaria
(d) non ammette soluzioni reali
(e) ammette soluzioni simmetriche rispetto all’asse immaginario nel
piano complesso
18. Se z = a+ib, con a ∈ R e b ∈ R\{0}, è una radice doppia del polinomio
p(X) a coefficienti reali, allora:
(a) il polinomio p(X) ha grado 2
(b) il polinomio p(X) ha grado 4
(c) il polinomio p(X) può essere riscritto come prodotto di due polinomi di secondo grado
(d) poiché p(X) ha coefficienti reali, le soluzioni dell’equazione associata devono essere tutte reali
(e) se il polinomio p(X) non ha termine noto, allora il suo grado è
maggiore o uguale a 5
2
n
19. Sia Ω := x ∈ Q : x = (−1) + 2 , n ∈ N \ {0} . Allora:
n
(a) inf Ω = 1
(b) Ω non ammette massimo
(c) Ω è un insieme limitato
(d) min Ω = −1
(e) Ω non ammette minimo
5
20. La funzione f : R → R definita da
(
f (x) :=
1
log |1−x|
se x 6= 1
0
sex = 1
(a) è derivabile in x = 1
(b) ha un punto angoloso in x = 1
(c) ha un flesso a tangente verticale in x = 1
(d) ha una cuspide in x = 1
(e) ha una discontinuità eliminabile in x = 1
6
43◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
43◦ SIMULAZIONE TEST ESAME
( )2x
1. La derivata della funzione f (x) = x2x
è
(
)
2x−1
a) f ′ (x) = 2x x2x
( )2x−1
b) f ′ (x) = 2x x2x
2x · x2x−1
( )2x−1 2x−1
c) f ′ (x) = 4x2 x2x
·x
)
(
2x
(2 log x + 1)
d) f ′ (x) = 4x x2x
e) nessuna delle altre risposte è corretta
2. Quale delle seguenti proprietà è soddisfatta dalla funzione
{
−(x + 5)2 x ≤ −5
f (x) =
−x − 5
x > −5
a) la funzione è continua e derivabile ∀x ∈ R
b) Imf = R
c) la funzione è simmetrica rispetto alla retta x = −5
d) f ′ (−5) = −1
e) la funzione è invertibile ∀x ≥ 5
3. Quale delle seguenti aﬀermazioni NON è soddisfatta dalla funzione f (x) = |x + 4| − |x − 4|. ?
a) Imf ⊆ [0, +∞)
b) la funzione è continua, e possiede un punto di non derivabilità
c) f −1 [−8, 8] = R
d)
lim f ′ (x) = 0; lim+ f ′ (x) = 0
x→−4−
e) f
−1
x→4
(8, +∞) = ∅
4. Sia data una funzione f che soddisfa alla condizione −3−x ≤ f (x) ≤ 3−x , f (3n) = 0, f (3n + 1) =
−3−(3n+1) , f (3n + 2) = 3−(3n+2) . Allora sicuramente
a)
b)
c)
d)
e)
lim f (x) = ∞
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = 0
x→+∞
lim f (x) = −∞
x→+∞
lim f (x) = @
x→+∞
5. Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 3, della funzione f (x) = esin x è
x3
+ o(x3 )
3!
x3
+ o(x3 )
b) 1 + x −
2
x2
c) 1 + x +
+ o(x3 )
2
d) 1
a) 1 + x −
e) 1 + x + o(x3 )
Paola Suria
1
43◦ Simulazione
6. Sia w =
5+i
. Allora Im(w) =
3−i
5
3
b) −1
a)
c) 14
4
d)
5
7
e)
5
7.
sin x + x + log x− 2
=
x→+∞
2 + cos2 x
5
lim
a) +∞
b) 1
c) 0
d) @
e) −
5
2
(
)
8. Sia f (x) = (x − 3) − 2(x − 3)4 + o (x − 3)4 lo sviluppo di Taylor nell’intorno di x = 3 della funzione
f (x). Quale delle seguenti proprietà NON è vera?
a) x → 3, P.P. = x − 3
b) In un intorno destro di x = 3 la funzione è positiva
c) la retta tangente in x = 3 è y = x − 3
d) f (3) (3) = 0
e) f (0) = −3 − 2 · 34
9. Quale dei seguenti limiti NON è esatto?
M (x2 ) + log x− 3 + sin
4
a)
lim
x3
x→+∞
M (x2 ) + log x− 3 + sin
4
b)
c)
lim
sin2 x − 3
4 − sin2 x
x→+∞
lim
x→+∞
M (x2 ) + log x− 3 + sin
4
1
x =0
1
x = +∞
1
x
=0
3
log x 4
= +∞
x→+∞ M (sin x2 + 20) + 4
x − M (sin x)
e) lim
=@
x→+∞ log x4 + sin x
d)
lim
10. Quale dei seguenti limiti NON è esatto?
)
( )
(√
sin x π2 log 3 x + x + x2
a) lim
= +∞
x→+∞
x−6
( π)
)
(√
sin x 2 log 3 x + x + x2
b) lim
=0
x→+∞
6−x
x+4
( )
c) lim
=@
√
x→+∞ sin x π log ( 3 x + x + x2 )
2
d)
e)
lim
x→+∞
Paola Suria
)
π
sin x 2
lim (
x→+∞
(
4 − x2
=@
√
log ( 3 x + x + x2 )
e−x+4
( π ))
=0
√
3 − sin x 2 log ( 3 x + x + x2 )
2
43◦ Simulazione
11. Quale dei seguenti limiti è corretto?
( )
(√
)
sin x π2 log 3 x + x + x2
a) lim
x→0
x−6
( )
(√
)
sin x π2 log 3 x + x + x2
b) lim
x→0
x−6
( π)
)
(√
sin x 2 log 3 x + x + x2
c) lim
x→0
x−6
( π)
(√
)
sin x 2 log 3 x + x + x2
d) lim
x→0
x−6
( π)
)
(√
sin x 2 log 3 x + x + x2
e) lim
x→0
x−6
= +∞
=0
=1
=@
=−
π
36
12. Quale delle seguenti aﬀermazioni è sicuramente FALSA per la funzione
√
4
f (x) = x4 + x3 + αx
a) x → +∞, ∀α, P.P.(f (x)) = (1 + α)x
1
b) x → +∞, α = −1, P.P.(f (x)) =
4
√
4
3
c) x → 0, ∀α, P.P.(f (x)) = x
d) x → +∞, f (x) è inﬁnita di ordine 1, α ̸= −1
e) x → +∞, α = −1 il graﬁco di f (x) ha un asintoto orizzontale
13. Una primitiva della funzione
f (x) =
3x
−4
x2
è
a) 2 log(x2 − 4)
b) log(x2 − 4)
x
c) 3 arctan
2
d) 2 log |x2 − 4|
3
e) log |x2 − 4|
2
14. Lo sviluppo di Mac Laurin, per x → 0, di ordine 3 della funzione
f (x) =
è
5
a) 2 − 2x − x3 + o(x3 )
3
11
b) 2 + 2x − 2x2 + x3 + o(x3 )
6
11
c) 2 − 2x − 2x2 + x3 + o(x3 )
6
5
d) 2 − 2x − 2x2 + x3 + o(x3 )
3
e) nessuna delle precedenti
Paola Suria
3
2e−x − x2
1 + x2
43◦ Simulazione
15. Quale delle seguenti proprietà NON è soddisfatta dalla funzione
f (x) = sin x − tan x
a) x → 0, f (x) è inﬁnitesima del 3◦ ordine, rispetto al campione standard u(x) = x
1
b) P.P. (f (x)) = − x3 , x → 0
2
c) f (x) possiede un ﬂesso a tangente orizzontale per x = 0
1
d) f (x) ∼ − x3 , x → 0
2
e) P.P.(f (x)) = 0, x → 0
16. La derivata della funzione f (x) = sin7 x · cos11 x è
a) f ′ (x) = 77 sin6 x cos10 x
b) f ′ (x) = 7 sin6 x cos11 x + 11 sin7 x cos10 x
c) f ′ (x) = sin6 x cos10 x(7 − 18 sin2 x)
d) f ′ (x) = 7 sin6 x + 11 cos10 x
e) f ′ (x) = − cos7 x sin11 x
17. la derivata della funzione f (x) = xsin x è
a) sin x · (x)sin x
(
)
sin x
sin x
b) x
cos x · log x +
x
c) xcos x
(
cos x )
d) xsin x cos x · log x +
x
(
)
sin
x
cos x
e) x
cos x · log x +
x
18. Sia data la funzione continua f : R → R, che soddisfa alla condizione f (0) < f (x), ∀x > 0. Allora quale
delle seguenti aﬀermazioni è vera?
a) f è una funzione strettamente crescente in R
b) f è una funzione strettamente crescente in [0, 1]
c) f è strettamente crescente in un intorno destro di 0
d) f è iniettiva su [0;+1)
e) nessuna delle altre risposte è corretta
19. Sia data un’equazione lineare, con condizioni al contorno
y ′ (x) + a(x)y = b(x); y(x0 ) = y0
Quale delle seguenti aﬀermazioni è corretta, aﬃnchè l’equazione ammetta un’unica soluzione?
a) a(x), b(x) devono essere continue in un intorno, anche aperto, di (x0 , y0 )
b) a(x) deve essere continua in un intorno, anche aperto, di (x0 ), mentre b(y) deve essere derivabile in
un intorno, anche aperto di (y0 )
c) a(x), b(x) devono essere derivabile in un intorno, anche aperto, di (x0 , y0 )
d) nessuna delle altre aﬀermazioni è corretta
e) a(x), b(x) devono essere continue in un intorno, chiuso, di (x0 , y0 )
Paola Suria
4
43◦ Simulazione
20. Quale è la deﬁnizione di funzione di Classe C (k) , su un certo intervallo I?
a) Una funzione si dice di classe C (k) su I, se essa è derivabile k volte, ∀x ∈ I
b) Una funzione si dice di classe C (k) su I, se essa è derivabile k volte, ∀x ∈ I e la sua ultima derivata,
di ordine k è continua.
c) Una funzione si dice di classe C (k) su I, se essa è derivabile in R e la sua derivata derivata ultima, di
ordine k è continua.
d) Una funzione si dice di classe C (k) su I, se essa è continua in R ma per la sua derivata derivata
ultima, di ordine k NON è richiesta la continuità
e) Una funzione si dice di classe C (k) su I, se essa è integrabile in R
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
d
2
e
3
a
4
c
5
c
6
d
7
a
8
e
9
e
10
a
11
b
12
a
13
e
14
d
15
e
16
c
17
b
18
c
19
a
20
b
CONSIGLI
Quesito n◦ 1
Si tratta di potenza di potenza: si ottiene una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto
2
degli esponenti : f (x) = x4x
f (x) = e
4x2 log x
′
4x2
=⇒ f (x) = x
(
)
(
)
2
1
2 1
4x2
8x log x + 4x ·
; 4x · x
2 log x + x
= 4x · x4x (2 log x + 1)
x
x
Quesito n◦ 3
il quesito presenta due valori assoluti: vedo che le cose cambiano se sono prima di -4, tra -4 e 4 oppure oltre il
4.
Trasformo la funzione in una funzio e a tratti


x < −4
x < −4
 (−x − 4) − (−x + 4)
 −8
(x + 4) − (−4 + 4)
−4 ≤ x ≤ 4
2x
−4 ≤ x ≤ 4
f (x) =
f (x) =


x + 4 − (x − 4)
x>4
8
x>4
Rappresento la funzione e leggo le risposte
L’immagine è tra [−8, 8]
Paola Suria
5
43◦ Simulazione
E’ vero che ha un punto di non derivabilità (in realtà ne ha 2, am io dico un punto e non un solo punto. Quindi
se ne ha due è anche vero che ne ha uno!!!Cattiva.
La controimagine di (0,8) [scelgo l’intervallo (0,8) sull’asse y] è [0, +∞)
è esatto che il limite della derivata prima sia 0, prima di -4 e dopo 4, perchè la fuznione è costante; vale invece
2 (coeﬃciente angolare della derivata prima) per −4+ , e 4−
é esatto che la controimmagine da (0, +∞) sia l’insieme vuoto.
Quesito n◦ 4
Il quesito fa riferimento alle sosttosuccessioni: se si possono estrarre due o tre sottosuccessioni che portano a
risultati diversi, allora il limite NON ESISTE.
Se le sottosuccessioni portano allo stesso risultato, NON SI POSSONO TRARRE INDICAZIONI.
Scegliere una sottosuccessione signiﬁca attribuire alla x valori che rispettano una certa legge.
In genere si scelgono 2n (pari) e 2n+1 (dispari).
Nel quesito invece si sono scelti i multipli di 3, i successivi dei multipli di 3 e i successivi...
3, 6, 9......
1, 4, 7, 10,....
2, 5, 8, 11.....
f (3n) = 0, cioè l’immagine di 3, 6, 9, 12.... è zero
f (3n + 1) = 33n+1 , cioè l’immagine è positiva e sta sopra l’esponenziale, decrescente
f (3n + 2) = −33n+2 , cioè l’immagine è negativa e sta sopra l’esponenziale
Quesito n◦ 8
Osservare che la parte principale, se x → 3, deve essere espressa come polinomio in x − 3. Infatti per trovare la
P.P. devo fare il confronto con il campione che,se x → 3, è (x − 3)k
I quesiti che seguono sono di livello un po’ più diﬃcili rispetto a quelli di esame, ma utili per un serio ripasso
sulle forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti.
Quesito n◦ 9
a) trascuro gli o piccoli: mantissa, e sin x1 → 0 se x → +∞: VERA
b) 0 ≤ sin2 x ≤ 1 −→ −3 ≤ sin2 x−3 ≤ −2 allora il numeratore è inﬁnitamente grande e negativo (esponente
è negativo), il denominatore è limitato, mai nullo e negativo. Il rapporto è +inﬁnito. VERA
c) limitato, positivo, diviso +inﬁnito: rapporto nullo. VERA
d) la mantissa di quasiasi cosa è compresa tra [0, 1), quindi il denominatore è compreso tra [4, 5). VERA
e) Confronto tra inﬁniti (trascuro la mantissa e il seno). Ma il denominatore è un o piccolo del numeratore.
Quindi il risultato è +inﬁnito
Quesito n◦ 10
a) il limite è nullo lim sin
x→+∞
( π ) log(x2 )
x ·
= (@ ma è limitato ) · 0 = 0
2
x
b) vedi item a)
Paola Suria
6
43◦ Simulazione
c)
x
1
+∞
( )=
·
=@
log x2 sin π x
@
2
d) ragionamento analogo
e) il binomio a denominatore è sempre positivo!
Quesito n◦ 11
I limiti tendono a zero: è possibile utilizzare Mac Laurin
x π2 · f rac13 log x
= 0 Ricordare il limite notevole lim+ xlogx = 0)
x→0
−6
x→o
a) lim
Quesito n◦ 12
per x → +∞ servono le potenze di esponente maggiore.
L’item a) è FALSO perché la relazione vale solo se α ̸= −1
Quesito n◦ 14
f (x) =
2e−x − x2
= (2e−x − x2 )(1 + x2 )−1 =
1 + x2
)
(
1
2 − 2x + x2 − x3 + o(x3 ) − x2 (1 − x2 + o(x3 ))
6
1
5
f (x) = 2 − 2x2 − 2x + 2x3 − x3 + o(x3 ) = 2 − 2x − 2x2 + x3 + o(x3 )
3
3
Quesito n◦ 15
Cerchiamo lo sviluppo di Mac Laurin per capire l’ordine di inﬁnitesimo x → 0
(
) (
)
1 3
1 3
1 1
1
3
3
3
f (x) = x − x + o(x ) − x + x + o(x ) = − − + o(x ) = − x3 + o(x3 )
6
3
6 3
2
Da questo risultato possiamo leggere le risposte alle altre domande:
• è inﬁnitesima di ordine 3
• x = 0 è ﬂesso a tangente orizzontale
1
• x → 0, P.P = − x3
2
quesito n◦ 17
(
)
(
)
1
sin x
f (x) = xsin x = esin x log x → f ′ (x) = esin x log x · cos x · log x + sin x ·
= xsin x cos x · log x +
x
x
Quesito n◦ 18
Della funzione sappiamo solo che l’ordinata di un qualsiasi x > 0 è maggiore di f (0). Poiché la funzione è
continua deve partire in salita, ma... poi fa quello che vuole, andare su e giù, restare costante, purché sopra
f (0)
Essendo la funzione continua, deve però partire in salita, e quindi in un intorno destro... deve partire in modo
strettamente crescente.
Quesito 19
La condizione che a(x) sia continua in I del punto x0 e b(y) derivabile in J di y0 , con I e J anche aperti, è la
condizione di unicità per le equazioni a variabili separabili
Paola Suria
7
44◦ simulazione
CORSI DI ANALISI I
44◦ SIMULAZIONE TEST ESAME
(
)2x
1. Quale delle seguenti derivate NON è la derivata della funzione f (x) = (2x)2x
(
)2x
a) f ′ (x) = 4x (2x)2x
(2 log(2x) + 1)
)
(
2x
(2 log 2 + 2 log x + 1)
b) f ′ (x) = 4x (2x)2x
)
(
2x
c) f ′ (x) = 4x (2x)2x
(log 4 + log x2 + 1)
(
)
2x
d) f ′ (x) = 4x (2x)2x
(log(2x)2 + 1)
e) f ′ (x) = (2x) · (2x) · (2x)2x
2. Quale delle seguenti proprietà NON è soddisfatta dalla funzione
{
25 − x2
x ≤ −5
f (x) =
10(x + 5) x > −5
a) la funzione è continua e derivabile ∀x ∈ R
b) Imf = R
c) la funzione è iniettiva
1
d) (f −1 )′ (0) =
10
e) la funzione non è suriettiva
3. Quale delle seguenti aﬀermazioni NON è soddisfatta dalla funzione f (x) = |x + 4| + |x − 4|. ?
a) Imf = [8, +∞)
b) la funzione è continua, con un solo punto di non derivabilità
c) f (−4, 0) = f (−4, 4)
d)
lim f ′ (x) = −2; lim− f ′ (x) = 0
x→−4−
x→4
e) la funzione non è invertibile con x ∈ [−4, 4]
4. lo sviluppo di Mac Laurin di ordine 3 della funzione log(cosh x) è:
a)
b)
c)
d)
e)
1 2
x + o(x3 )
2
1
− x2 + o(x3 )
2
1
1 + x2 + o(x3 )
2
1
1 − x2 + o(x3 )
2
1 2
x
2
5. Sia w =
5+i
. Allora il modulo di w è
3−i
√
3
√
65
b)
5
√
25
c)
+ (−1)2
9
√
d) 52 + 12
a)
e) nessuna delle altre risposte
Paola Suria
1
44◦ simulazione
6. Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 3, della funzione log(sinh x + 1) è
1
1
a) x − x2 + x3 + o(x3 )
2
2
1 2 1 3
b) x − x + x + o(x3 )
2
3
1 2 1 3
c) x + x + x + o(x3 )
2
2
1 2 1 3
d) 1 + x − x + x + o(x3 )
2
2
1 2 1 3
e) x − x − x + o(x3 )
2
6
7. Il polinomio di Mac Laurin, di ordine 2, della funzione f (x) =
2e−x − x2
è
1 + x2
a) 2 − 2x − 2x2 + o(x2 )
b) 1 − x − x2
c) 2 + 2x − 4x2
d) 2 − 2x − 2x2
e) nessuno degli sviluppi precedenti
8. Quale delle seguenti proprietà NON è soddisfatta dalla funzione f di classe C (7) se f (x) = 5 − 4(x − 2)6 +
3(x − 2)7 + o(x − 2)7 è il suo sviluppo di Taylor di centro x = 2?
a) f (x) è positiva nell’intorno di x = 2,
b) x = 2 è punto critico
c) f (7) (2) = 3 · 7!
d) f è positiva e concava nell’intorno di x = 2
e) x = 2 è un ﬂesso crescente
9. La funzione f (x) = ax + b, a, b ∈ R coincide con la sua inversa se
a) ∀a; b = 0
b) ∀b; a = 0
c) a = 1 e b = 0 oppure a = −1 e ∀b ∈ R
d) solo se a = 1, ∀b ∈ R
e) solo se a = −1; b = 0
10. La funzione f (x) = 4 − e−2x
a) non ha zeri
b) ha almeno uno zero positivo
c) ha uno zero in [0, 4]
d) ha uno zero in [−4, −1]
e) ha uno zero in [−1, 0]
11. Sia data la funzione f , derivabile in R, tale che f (0) = −5, f ′ (0) = −4. Allora g(x) = |f (x)|
a) g(x) presenta un punto angoloso in x = 0
b) P (0, 5) ∈ g(x) e g ′ (0) = −4
c) g è derivabile in x = 0 e g ′ (0) = 4
d) g è derivabile in x = 0 e g ′ (0) = −4
e) lim− g ′ (x) = −4; lim+ g ′ (x) = 4
x→0
Paola Suria
x→0
2
44◦ simulazione
12. Il rapporto incrementale della funzione g(x) = f 3 (x) relativa al punto x = 3, con f (3) = −4 vale
a)
b)
c)
d)
e)
f 3 (x) − 4
x−3
f 3 (x) + 4
x−3
(f (x) − 4)3
x−3
3
f (x) + 43
x−3
3
f (x) − 43
x−3
13. Quale delle seguenti risposte NON è esatta?
a) lim x sin x = @
x+∞
b) lim x(sin x + 1) = @
x+∞
c) lim x(sin x − 1) = @
x+∞
d) lim x(sin x + 2) = @
x+∞
e) lim x(sin2 x + 1) = +∞
x+∞
14. La parte principale, rispetto al campione standard u(x), x → 0 della funzione f (x) =
è:
√
√
5
5
x + x2 − 5 x + x 6
1 6
x5
5
5
b) x 6
a)
6
c) x 5
1 5
d) x 6
5
e) nessuna delle precedenti
15. La parte principale, rispetto al campione standard u(x) = x, x → +∞ della funzione f (x) =
√
5
5
x + x 6 è:
√
5
x + x2 −
1 6
x5
5
5
b) 2x 6
a)
6
c) x 5
1 5
d) x 6
5
e) nessuna delle precedenti
16. Siano f e g due funzioni continue ∈ R, e tali che f (x) = 0, ∀x ≥ 1; g(x) = 0, ∀x ≤ −1. Allora
∫ +∞
a)
f (x) · g(x) dx diverge
−∞
+∞
∫
b)
−∞
∫ +∞
c)
−∞
∫ +∞
d)
−∞
∫ +∞
e)
−∞
Paola Suria
f (x) · g(x) dx è nullo
∫
f (x) · g(x) dx =
1
−1
f (x) · g(x) dx
f (x) · g(x) dx converge a zero
∫
+∞
f (x) · g(x) dx = 2
f (x) · g(x) dx
0
3
44◦ simulazione
17. Siano date le due funzioni f, g e siano r : y = ax + b, s : y = cx + d, a, c ̸= 0 gli asintoti per, x → +∞
rispettivamente della funzione f e g. Allora la funzione h(x) = f (x) − g(x) ha asintoto obliquo (non
orizzontale) per x → +∞
a) ∀a, b ∈ R
b) a ̸= c, ∀b, d ∈ R
c) solo se a ̸= c, b ̸= d
d) a = c; b = d
e) per nessun valore di a, b, c, d
18. Quale delle seguenti deﬁnizoni NON è corretta?
a) Una funzione f deﬁnita in un intorno di un punto x0 ∈ R è derivabile in x0 se e solo se f è derivabile
da destra e da sinistra in x0 e le derivate destra e sinistra coincidono
b) Una funzione continua in x0 e derivabile in tutti i punti x ̸= x0 di un intorno di x0 , è derivabile anche
in x0 se esiste ed è ﬁnito il limite della f ′ , per x → x0
c) Una funzione si dice derivabile n volte se esiste la derivata ennesima della funzione, ma non è richiesta
la continuità della derivata ennesima
d) Una funzione continua in x0 e derivabile in tutti i punti x ̸= x0 di un intorno di x0 , è derivabile anche
in x0 se esiste ed è ﬁnito il limite della f ′ (x), per x → x0
e) Una funzione deﬁnita in x0 e derivabile in tutti i punti x ̸= x0 di un intorno di x0 , è derivabile anche
in x0 se esiste ed è ﬁnito il limite della f ′ (x), per x → x0
19. Siano date due successioni an , bn , con an divergente a −∞, mentre di bn si sa solo che bn < −10 ∀n ∈ N.
Quale dei seguenti limiti, in nessun caso, può dare il risultato proposto?
a)
b)
c)
lim an + bn = −∞
n→+∞
lim an − bn = +∞
n→+∞
lim an · bn = +∞
n→+∞
an
<0
n→+∞ bn
e) lim (an + bn )2 = +∞
d)
lim
n→+∞
20. Sia f (x) una funzione, non identicamente nulla e f ′ (x) la sua derivata. Quale delle seguenti aﬀermazioni
è SBAGLIATA?
∫ ′
f (x)
a)
dx = log |f (x)|
f (x)
∫ ′
f (x)
b)
dx = 2 log |f (x)|
f (x)
∫ ′
(
)
f (x)
dx = log e3 |f (x)|
c)
f (x)
∫ ′
(
π)
f (x)
d)
dx = log |f (x)| sin
f (x)
6
∫ ′
f (x)
e)
dx = log 2|f (x)|
f (x)
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
Paola Suria
1
e
2
e
3
c
4
a
5
b
6
a
7
d
8
e
9
c
10
e
11
c
4
12
d
13
d
14
b
15
e
16
c
17
b
18
e
19
d
20
b
44◦ simulazione
CONSIGLI
Quesito n◦ 3
Il quesito presenta due valori assoluti: vedo che le cose cambiano se sono prima di -4, tra -4 e 4 oppure oltre il
4.
Trasformo la funzione in una funzione a tratti


x < −4
x < −4
 (−x − 4) + (−x + 4)
 −2x
(x + 4) + (−x + 4)
−4 ≤ x ≤ 4
8
−4 ≤ x ≤ 4
f (x) =
f (x) =


x + 4 + (x − 4)
x>4
2x
x>4
Rappresento la funzione e leggo le risposte
L’immagine è tra [−8, 8]
L’immagine di tutti i punti compresi tra (−4, 0) è $8$
L’immagine di tutti i punti compresi tra (−4, 4) è {8}, cioè hanno tutti ordinata 8.
E’ vero che la funzione non sia invertibile tra (−4, 4)
Sono esatti i limiti: è suﬃciente leggere i coeﬃcienti angolari delle retta tangenti, delle rette stesse!
Quesito n◦ 7
(
)
2e−x − x2
1
= 2e−x − x2 ·
2
1+x
1 + x2
(
)
(
)
(
)
1
f (x) = 2 1 − x + (−x)2 + o(x2 ) · 1 − x2 + o(x2 ) = (2−2x+x2 )· 1 − x2 + o(x2 ) = 2−2x2 −2x+x2 +o(x2 ) = 2−2x−x2
2
f (x) =
Quesito n◦ 9
y = ax + b =⇒ ax = y − b. Per ricavare la x è necessario dividere per a. Si presentano due casi
1. a = 0. In questo caso la retta ha equazione y = b e non è possibile fare la funzione inversa
2. a ̸= 0 =⇒ x =
1
b
y−
a
a
Ribattezzo e ottengo y =
1
b
x−
a
a
Questa funzione coincide con l’inversa se
{
1
a = a e contemporaneamente b = −
{
a2 = 1
b
b− =0
a
a = ±1
b = 0 ∨ a = −1
Abbiamo trovato quindi due possibilità
{
Paola Suria
a=1
b=0
(a = −1, ∀b)
5
b
a
44◦ simulazione
Quesito n◦ 10
E’ suﬃciente rappresentare la funzione: esponenziale ribaltato e traslato verticalemente di 4
Quesito n◦ 11
Poiché la funzione f passa per P (0, −5) con f ′ (0) = −4, allora la funzione g(x) = |f (x)| passa per P ′ (0, 5) con
g ′ (0) = 4
Quindi la risposta corretta è la c).
Cosa diversa se avessimo lavorato con la funzione h(x) = f |x|. Questa funzione avrebbe avuto un punto angoloso
in P (0, −5)
Confrontare es. 1 della simulazione 50◦
Quesito n◦ 13
è suﬃciente:
• osservare le ﬁgure
• applicare il teorema di Pinocchio
• utilizzare due sottosuccesioni
a) −1 · x ≤ f (x) ≤ 1 · x
x = nπ → f (n) = n sin(nπ) = 0;
(π
)
lim f (n) = 0
n→+∞
π
+ 2nπ → f (n) = n sin
+ 2nπ = n lim f (n) = +∞
n→+∞
2
2
Poiché due sottosuccessioni hanno limite diverso, il limite della funzione non esiste
x=
Paola Suria
6
44◦ simulazione
b) (−1 + 1) · x ≤ f (x) ≤ (1 + 1) · x → 0 ≤ f (x) ≤ 2x
( (
)
)
3π
3π
x=
+ 2nπ → f (n) = n sin
+ 2nπ + 1 = 0; lim f (n) = 0
n→+∞
2
2
(π
)
π
+ 2nπ = n lim f (n) = +∞
x = + 2nπ → f (n) = n sin
n→+∞
2
2
Poiché due sottosuccessioni hanno limite diverso, il limite della funzione non esiste
c) analogo caso b
d) 1 · x ≤ f (x) ≤ 2 · x
( (π
))
π
+ 2nπ → f (n) = n sin
+ 2nπ ; lim f (n) = +∞
n→+∞
2
2
( (
)
)
3π
3π
+ 2nπ → f (n) = n sin
+ 2nπ + 1 = n(2 − 1) lim f (n) = +∞
x=
n→+∞
2
2
x=
Poiché due sottosuccessioni hanno limite uguale, NON possiamo concludere nulla!!!
UN ESEMPIO NON COSTRUISCE, un CONTROESEMPIO DISTRUGGE
e) come il caso precedente 0 ≤ sin2 x ≤ 1 → la parentesi è positiva
Quesito n◦ 14-15
Ricordare che per esercizi di questo tipo la via più sicura è servirsi degli sviluppi di Mac Laurin:
•
x → 0, f (x) =
√
n
xh + xk , n, h, k ∈ N, h < k
Raccogliere la x con l’esponente minore e poi servirsi degli sviluppi di Mac Laurin.
)
(
√
(
)
h
1
x → 0, f (x) = n xh (1 + xk−h ) = x n 1 + xk−h + o xk−h
n
Esempio:
(
)
√
√
√
5 7
5
1 2
7
7
2
7
5
5
2
2
7
7
x → 0, f (x) = x + x = x (1 + x ) = x
1+x =x
1 + x + o(x )
7
•
x → +∞, f (x) =
√
n
xh + xk , n, h, k ∈ N, h < k
Raccogliere la x con l’esponente maggiore e poi servirsi degli sviluppi di Mac Laurin.
√ (
)
(
(
))
k
1
1 1
1
x → +∞, f (x) = n xk 1 + k−h = x n 1 +
+
o
x
n xk−h
xk−h
Esempio:
√
7
x → +∞, f (x) = x7 + x5 =
Paola Suria
√
7
x7 (1 +
7
1
= x7
x2 )
7
√
7
1+
(
( ))
( )
1 1
1
1 1
1
1
=
x
1
+
+
o
=
x+
·
+o
x2
7 x2
x2
7 x
x
44◦ simulazione
1. Applichiamo al quesito n◦ 14
x → 0 Per x tendente a zero raccogliamo e poi teniamo le potenze di esponente minore.
f (x) =
(
)
√
√
√
√
√
√ √
√
√
5
5
5
5
1
5
x + x2 − 5 x+x 6 = 5 x(1 + x)− 5 x+x 6 = 5 x· 5 1 + x− 5 x+x 6 = 5 x 1 + x + o(x) − 5 x+x 6
5
f (x) =
( 6)
5
1
5
1 1+ 1
1 6
x 5 + x 6 + o(x1+ 5 ) = x 5 + x 6 + o x 5
5
5
5
x → 0, P.P.(f (x)) = x 6
2. Applichiamo al quesito n◦ 15
x → +∞. Per x tendente a +∞ raccogliamo e poi teniamo le potenze di esponente maggiore.
√
√
√
5
5
f (x) = x + x2 − 5 x+x 6 =
5
x2
√
(
( ))
(
)
√
√
5
2 5
5
2
5
1 √
1 1
1
1
5
5
6
5
6
5
1+
− x+x = x · 1 + − x+x = x · 1 + · + o
− 5 x+x 6
x
x
5 x
x
√
5
5
2
2
1 2
1 −3 √
x → +∞, f (x) = x 5 + x 5 −1 − 5 x + x 6 = x 5 + x 5 − 5 x + x 6
5
5
5
x → +∞, P.P.(f (x)) = x 6
Quesito n◦ 16
Pensare a possibili graﬁci, per convincersi che
∫ −1
∫
f (x) · g(x) dx
−∞
+∞
f (x) · g(x) dx = 0
1
Quesito n◦ 17
Ricordare la deﬁnzione di asintoto:
se r è asintoto della funzione f allora x → +∞, f (x) = ax + b + o(1)
se s è asintoto della funzione g allora x → +∞, g(x) = cx + d + o(1)
x → +∞, f (x) − g(x) = ax + b + o(1) − (cx + d + o(1)) = (a − c)x + (b − d) + o(1)
Per x → +∞, la funzione f − g ha asintoto obliquo se e solo se a ̸= c
• sia r: y = 3x + 4 asintoto della funzione f allora x → +∞, f (x) = 3x + 4 + o(1)
sia s: y = x − 5 asintoto della funzione g allora x → +∞, g(x) = x − 5 + o(1)
x → +∞, f (x) − g(x) = 3x + 4 + o(1) − (x − 5 + o(1)) = 2x + 9 + o(1)
In questo caso la retta y = 2x + 9 è asintoto per la funzione f − g.
• sia r: y = 3x + 4 asintoto della funzione f allora x → +∞, f (x) = 3x + 4 + o(1)
sia s: y = 3x − 2 asintoto della funzione g allora x → +∞, g(x) = 3x − 2 + o(1)
x → +∞, f (x) − g(x) = 3x + 4 + o(1) − (3x − 2 + o(1)) = 6 + o(1)
Allora la funzione f − g ha asintoto orizzontale
Paola Suria
8
44◦ simulazione
• sia r: y = 3x + 4 asintoto della funzione f allora x → +∞, f (x) = 3x + 4 + o(1)
sia s: y = 3x + 4 asintoto della funzione g allora x → +∞, g(x) = 3x + 4 + o(1)
x → +∞, f (x) − g(x) = 3x + 4 + o(1) − (3x + 4 + o(1)) = o(1)
Allora la funzione f − g ha asintoto orizzontale asse x
Analizziamo l’item c):
lim
x→+∞
f (x)
ax + b
a
= lim
= ̸= 0
x→+∞
g(x)
cx + d
c
Ricordare che in un prodotto/rapporto si può sostituire la funzione equivalente e che se due funzioni sono
asintotiche sono equivalenti (non viceversa)
Quesito n◦ 19
Sulla successione bn non si hanno informazioni, tranne il fatto che la successione è limitata superiormente.
La bn potrebbe essere divergente, oppure convergente ad un limite negativo, ﬁnito, oppure essere indeterminata,
ma comunque con un’ampiezza di oscillazione limitata superiormente.
Non si può dire nulla sulla successione diﬀerenza tra le due successioni, perché potrebbe essere indeterminata
del tipo −∞ + ∞
Consideriamo alcuni esempi:
an = −n; bn = −n3 ⇒ an − bn = −n + n3 ⇒ +∞
an = −n3 ; bn = −n ⇒ an − bn = −n3 − n ⇒ −∞
Il limite del rapporto, per la risposta d) è sicuramente positivo.
Il limite del rapporto, per la risposta d), può NON esistere (essere del tipo
E’ sicuramente positivo.
−∞
), ma essere anche ﬁnito o +∞.
−∞
Quesito n◦ 20
Se F (x) e G(x) sono due primitive di una stessa funzione, allora diﬀeriscono per un costante addittiva.
Nel quesito le costanti sono:
a)c = 0
c) c = log e3 = 3
d) c = log sin
π
1
= log = − log 2
6
2
e) c = log 2
Paola Suria
9
45◦ Simulazione
CORSI DI ANALISI I
45◦ SIMULAZIONE TEST ESAME
x
1. Quale delle seguenti aﬀermazioni è FALSA per la funzione f (x) = x(3x) ?
( )x
a) f (x) = x3x
b) f (x) = e(3x)
x
log x
(
)
1
(log x + 1 + log 3) log x +
x
(
)
1
x
· (3x) (log x + 1 + log 3) log x +
x
c) f ′ (x) = 3x · x(3x)
x
d) f ′ (x) = x(3x)
x
e) f (x) = x3
x
+x
xx
( )x
2. Data la funzione f (x) = x3x quale delle seguenti aﬀermazioni è FALSA
a) f (x) = x3x
2
2
b) f (x) = e(3x
) log x
c) f ′ (x) = 3x3x
2
d) f (x) = x
+1
(2 log x + 1)
x
(3x)
3x
e) f (x) = ex log(x )
3. Quale delle seguenti aﬀermazioni NON è soddisfatta dalla funzione f (x) = −|x − 1| − |x + 1|. ?
a) la funzione è costante ∀x ∈ [−1, 1]
b) la funzione è limitata superiormente
c) f ∈ C (0)
d) lim− f ′ (x) = 0; lim+ f ′ (x) = −2
x→1
x→1
e) f (x) = −|2x|
4. Quale delle seguenti proprietà è FALSA per la funzione
{
−(x + 5)2
f (x) =
(x + 5)3
x ≤ −5
x > −5
a) la funzione è continua e derivabile ∀x ∈ R
b) Imf = R
c) la funzione è simmetrica rispetto alla retta x = −5
d) f ′ (−5) = 0
e) la funzione è invertibile ∀x ≥ 5
5. Sia data una funzione f che soddisfa alla condizione −3x ≤ f (x) ≤ 3x , f (3n) = 0, f (3n + 1) =
33n+1 , f (3n + 2) = −33n+2 . Allora sicuramente
a)
b)
c)
d)
e)
lim f (x) = ∞
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = −∞
x→+∞
lim f (x) = 0
x→+∞
lim f (x) = @
x→+∞
Paola Suria
1
45◦ Simulazione
6. Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 3, della funzione f (x) = esinh x
1
1
a) 1 + x + x2 + x3 + o(x3 )
2
3
1
1
b) 1 + x + x2 + x3 + o(x3 )
2
3!
1 2 1 3
c) 1 + x + x − x + o(x3 )
2
3
1 2
d) 1 + x + x + o(x3 )
2
e) nessuna delle altre risposte è esatta
7. Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 3, della funzione sinh (log(x + 1)) è:
(
)
)3
(
1 2
1 3
1
1 3
1 2
3
3
a) 1 + x − x + x + o(x ) +
1 + x − x + x + o(x )
2
3!
3!
2
3!
1
x2
+ x3 + o(x3 )
2
2
1
x2
c) x −
− x3 + o(x3 )
2
2
(
)
)3
(
1 2
1 3
1
1 2
1 3
3
3
d) 1 + x − x + x + o(x ) −
1 + x − x + x + o(x )
2
3!
3!
2
3!
b) x +
e) x −
8. Sia w =
x2
1
+ x3 + o(x3 )
2
2
5+i
. Allora Re(z) =
3−i
5
3
b) −1
a)
c) 14
4
d)
5
7
e)
5
9. La funzione f (x) = x5 + 3ex − 2 ha
a) un solo zero positivo
b) non ha zeri
c) ha due zeri
d) ha almeno tre zeri
e) un solo zero negativo
10. Qual è la proprietà FALSA per la funzione
sin x + log x− 2
2 + cos2 x
5
f (x) =
5
− log x
2
a) x → +∞, f (x) ∼
2 + cos2 x
sin x + log x− 2
b) lim
= −∞
x→+∞
2 + cos2 x
5
− log x
2
c) x → −∞, f (x) ∼
2 + cos2 x
5
sin x + log x− 2
= +∞
2 + cos2 x
5
d) lim+
x→0
log x− 2
2 + cos2 x
5
e) x → +∞, f (x) ∼
Paola Suria
2
45◦ Simulazione
(
)
11. Sia f (x) = −3 + 2(x − 7) + 5(x − 7)5 + o (x − 7)5 lo sviluppo di Mac Laurin della funzione f . Quale
delle seguenti proprietà è vera?
a) la funzione è inﬁnitesima, x → 7
b) la funzione è decrescente in un intorno di x = 7
c) la retta tangente al graﬁco della funzione in x = 7 : y = −3 + 2(x − 7)
d) il punto x = 7 è un punto critico
5
e) f (5) (7) =
5!
12. Quale dei seguenti limiti NON è esatto?
6 − 2 sin
a) lim−
x
x→0
5
x = −∞
5
x =0
lim
x→+∞
x
(π )
cos
x
2
=0
lim
x→+∞
x−6
1
− sin x5
lim x 1
= −4
x→+∞ e x − 1
1
− sin x5
lim+ x 1
= +∞
x→0
ex − 1
6 − 2 sin
b)
c)
d)
e)
13. L’integrale improprio
∫
1
0
2 + sin x1
√
dx
x
a) converge ad un numero positivo
b) vale 3/2
c) diverge positivamente
d) diverge assolutamente
e) nessuna delle altre risposte
14. L’integrale improprio
∫
+∞
1
2 + sin x1
√
dx
x
a) converge ad un numero positivo
b) vale 3/2
c) diverge positivamente
d) diverge assolutamente
e) nessuna delle altre risposte
15.
∫
0
1
4x2
dx =
6 + x3
7
a) log
6
b) 4 log 7
c) arctan 1
4
7
d) log
3
6
e) diverge positivamente
Paola Suria
3
45◦ Simulazione
16. Quale delle seguenti proprietà NON è soddisfatta dalla funzione
f (x) = sin |x| − |x|
a) la funzione è pari
b) la funzione è continua in R
c) la funzione è derivabile in x = 0 ed f ′ (0) = 0
d) x → −∞ → f (x) ∼ x
e) la funzione ha inﬁniti zeri
17.
sin(x2 − 25)
=
x→5
x−5
lim
a) +∞
b) 10
c) 0
d) @
e) 5
18.
√
e2 x
lim
=
x→+∞ 4 − sin2 x
a) +∞
b) 0
c) @
1
d)
4
e) nessuna delle altre risposte
19.
∫
3
1
3x2 + 2x
dx
+ x2 + 9
x3
45
a) log
11
5
b)
11
c) diverge
d) nessuna delle altre risposte è corretta
e) log |x3 + x2 + 9| + c
20. Quale delle seguenti proprietà NON è soddisfatta da z = 2 + 3i
a) zz ∈ R
b) z + z ∈ R
c) 2z − 2z è un numero immaginario
d) |z| · z ∈ R
e) (z 2 − 6iz) ∈ R
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
Paola Suria
1
a
2
d
3
e
4
c
5
e
6
a
7
e
8
e
9
e
10
c
11
c
4
12
e
13
a
14
a
15
d
16
e
17
b
18
a
19
a
20
d
45◦ Simulazione
CONSIGLI
Quesito n◦ 5
Il quesito è impostato sul teorema di Pinocchio e sulle sottosuccessioni per il calcolo del limite.
Se due sottosuccessioni portano a linmiti diversi, possiamo concludere che la funzione non ha limite.
Se due sottosuccessioni portano allo stesso limite, potremmo esserestati fortunati e non possiamo concludere
nulla sul limite della funzione.
In questo caso è evidente che il limite NON ESISTE
Quesito n◦ 7
(
) (
)
(
)3
x2
x3
x2
x3
1
x2
x3
f (x) = sinh (log(x + 1)) =⇒ f (x) = sinh x −
+
+ o(x3 ) = x −
+
+
x−
+
+o(x3 )
2
3
2
3
6
2
3
f (x) = x −
x2
x3
1
x2
x3
+
+ x3 + o(x3 ) = x −
+
+ o(x3 )
2
3
6
2
2
Quesito n◦ 9
Attenzione: f (0) = 1 NON f (0) = −2, come una lettura veloce potrebbe far credere.
Infatti f (0) = 0 + 3e0 − 2 = 3 − 2 = 1
Quindi la funzione, somma di funzioni monotone strettamenti crescenti, è strettamente crescente, ha imf = R
quindi assume tutti i valori tra il max e il min (tra il sup e l’inf) una e una sola volta.
Tra i valori intermedi c’è anche il valore nullo.
Poiché, per x = 0, la funzione è positiva, il graﬁco della funzione ha superato l’asse x, cioè ha attraversato l’asse
x prima di zero.
Quesito n◦ 12
a) il numeratore è indeterminato, ma limitato e positivo. Il denominatore tende a 0− , quindi il limite è −∞
b) il numeratore è indeterminato, ma limitato e positivo. Il denominatore tende a −1inf ty, quindi il limite
è 0
c) Il numeratore è limitato e assume tutti i valori tra [−1, 1]. Il denominatore tende a +∞. Il rapporto tende
quindi a zero
1
5
4
−
−
x
x
x
d) ﬁrmato MAC
=
= −4
1
1
x
x
e) per x → 0+ non è possibile utilizzare Mac laurin, perché l’argomento del seno, dell’esponenziale è un
inﬁnito.
1
x
+
E’ possibile trascurare il seno a numeratore x → 0 , f (x) ∼ 1
ex
1
1
Confrontando gli inﬁniti, x → 0+ = 0(e x ), quindi il limite tende a zero
x
Paola Suria
5
45◦ Simulazione
Quesito n◦ 13
1
oscilla e non ammette limite
x
1
2 + sin
1
3
√ ≤
√ x ≤√
x
x
x
Il numeratore ha segno costante, anche se x → 0, sin
Quindi si può applicare uno dei due criteri per funzioni a segno costante. Poiché
∫
1
0
1
√ dx ≤
x
∫
1
0
1
∫ 1
2 + sin
3
x
√
√ dx
dx ≤
x
x
0
Per il criterio del confronto diretto l’integrale converge ad un numero positivo! (Area è positiva)
Quesito n◦ 14
1
1
1
tende a zero; inoltre sin ∼
x
x
x
1
2 + sin
1
3
√ ≤
√ x ≤√
x
x
x
Il numeratore ha segno costante e, per x → +∞, sin
Quindi si può applicare uno dei due criteri per funzioni a segno costante. Poiché
∫
1
+∞
1
√ dx ≤
x
∫
1
+∞
1
∫ +∞
2 + sin
3
x
√
√ dx
dx ≤
x
x
1
1
Avremmo anche potuto trascurare sin , tendente a zero, per x → +∞
x
Se osservassimo soltanto il III termine della disequazione, NON potremmo concludere nulla sulla convergenza/divergenza dell’integrale improprio, perché una maggiorante diverge e .... una sua minorante?
∫ +∞
1
√ dx → anche l’integrale dato diverge.
Però l’integrale di una minorante diverge:
x
1
Quesito n◦ 16
La funzione è continua, perché il dominio è R
Per studiare la derivabilità in x = 0 si può procedere in due modi:
1. con il limite del rapporto incrementale
x−
sin x − x − 0
lim+
0 lim x → 0+
x−0
x→0
x3
6
+ o(x3 ) − x
=0
x
La derivata destra in x = 0 è nulla −→ il graﬁco della funzione è a tangente orizzontale. Per la simmetria
f (x) − f (0)
anche il limx→0−
= 0. La funzione è quindi derivabile
x−0
2. sdoppiando la funzione ed utilizzando il teorema tappabuchi.
Per trovare il numero di zeri ci serviamo del graﬁco:
f (x) = 0 ⇐⇒ sin |x| − |x| = 0; sin |x| = |x|
La funzione sin |x| è pari, non periodica. Lo sviluppo di MAc Laurin mi assicura che le tangenti nell’origine son
le bisettrici. La funzione ha un solo zero
Quesito n◦ 18
1.
√
[
]
e x
+∞
lim
=
= +∞
x→+∞ 4 − sin2 x
k
Il denominatore non ammette limite, ma è un numero positivo che oscilla tra 3 e 4. Ricordare che
−1 ≤ sin x ≤ 1; 0 ≤ sin2 x ≤ 1
Paola Suria
6
45◦ Simulazione
2. Teorema dei carabinieri
e
√
√
x
√
e x
e x
≤
≤
4
3
4 − sin2 x
Prima osservazione: si maggiora la frazione diminuendo il denominatore e si minora la frazione maggiorando il denominatore.
Seconda osservazione il valore minimo del denominatore è: 4 − 1;
è: 4 − 0
Terza osservazione: i due estremi tendono a 4 + ∞
Paola Suria
7
il valore massimo del denominatore
46◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
45◦ SIMULAZIONE TEST ESAME
1. Sia data la funzione continua f : R → R, che soddisfa alla condizione f (0) < f (x), ∀x > 0. Allora quale
delle seguenti aﬀermazioni è vera?
a) f è una funzione strettamente crescente in R
b) f è una funzione strettamente crescente in [0, 1]
c) f è strettamente crescente in un intorno destro di 0
d) f è iniettiva su [0;+1)
e) nessuna delle altre risposte è corretta
2. Sia data un’equazione lineare, con condizioni al contorno
y ′ (x) + a(x)y = b(x); y(x0 ) = y0
Quale delle seguenti aﬀermazioni è corretta, aﬃnchè l’equazione ammetta un’unica soluzione?
a) a(x), b(x) devono essere continue in un intorno, anche aperto, di (x0 , y0 )
b) a(x) deve essere continua in un intorno, anche aperto, di (x0 ), mentre b(y) deve essere derivabile in
un intorno, anche aperto, di (y0 )
c) a(x), b(x) devono essere derivabile in un intorno, anche aperto, di (x0 , y0 )
d) nessuna delle altre aﬀermazioni è corretta
e) a(x), b(x) devono essere continue in un intorno, chiuso, di (x0 , y0 )
3. Quale è la deﬁnizione di funzione di Classe C (k) , su un certo intervallo I?
a) Una funzione si dice di classe C (k) su I, se essa è derivabile k volte, ∀x ∈ I
b) Una funzione si dice di classe C (k) su I, se essa è derivabile k volte, ∀x ∈ I e la sua derivata derivata
ultima, di ordine k è continua.
c) Una funzione si dice di classe C (k) su I, se essa è derivabile in R e la sua derivata derivata ultima, di
ordine k è continua.
d) Una funzione si dice di classe C (k) su I, se essa è continua in R ma per la sua derivata derivata
ultima, di ordine k NON è richiesta la continuità
e) Una funzione si dice di classe C (k) su I, se essa è integrabile in R
4. Siano f e g due funzioni continue ∈ R, e tali che f (x) = 0, ∀x ≥ 1; g(x) = 0, ∀x ≤ −1. Allora
∫ +∞
a)
f (x) · g(x) dx diverge
−∞
+∞
∫
b)
−∞
∫ +∞
c)
−∞
∫ +∞
d)
−∞
∫ +∞
e)
−∞
Paola Suria
f (x) · g(x) dx è nullo
∫
f (x) · g(x) dx =
1
−1
f (x) · g(x) dx
f (x) · g(x) dx converge a zero
∫
+∞
f (x) · g(x) dx = 2
f (x) · g(x) dx
0
1
46◦ Simulazione
5. Siano date le due funzioni f, g e siano r : y = ax + b, s : y = cx + d, a, c ̸= 0 gli asintoti per, x → +∞
rispettivamente della funzione f e g. Allora la funzione h(x) = f (x) − g(x) ha asintoto obliquo per
x → +∞ (escludendo il caso particolare dell’orizzontale):
a) ∀a, c ∈ R
b) a ̸= c, ∀b, d ∈ R
c) solo se a ̸= c, b ̸= d
d) a = c; b = d
e) per nessun valore di a, b, c, d
6. La parte principale, rispetto al campione standard u(x), x → 0 della funzione f (x) =
è:
√
√
5
5
x + x2 − 5 x + x 6
1 6
x5
5
5
b) x 6
a)
6
c) x 5
1 5
d) x 6
5
e) nessuna delle precedenti
7. La parte principale, rispetto al campione standard u(x) = x, x → +∞ della funzione f (x) =
√
5
5
x + x 6 è:
√
5
x + x2 −
1 6
x5
5
5
b) 2x 6
a)
6
c) x 5
1 5
d) x 6
5
e) nessuna delle precedenti
8. Quale delle seguenti deﬁnizoni NON è corretta?
a) Una funzione f deﬁnita in un intorno di un punto x0 ∈ R, ed ivi continua, è derivabile in x0 se e solo
se f è derivabile da destra e da sinistra in x0 e le derivate destra e sinistra coincidono
b) Una funzione continua in x0 e derivabile in tutti i punti x ̸= x0 di un intorno di x0 , è derivabile anche
in x0 se esiste ed è ﬁnito il limite della f ′ , per x → x0
c) Una funzione si dice derivabile n volte se esiste la derivata ennesima della funzione, ma non è richiesta
la continuità della derivata ennesima
d) Una funzione continua in x0 e derivabile in tutti i punti x ̸= x0 di un intorno di x0 , è derivabile anche
in x0 se esiste ed è ﬁnito il limite della f ′ (x), per x → x0
e) Una funzione deﬁnita in x0 e derivabile in tutti i punti x ̸= x0 di un intorno di x0 , è derivabile anche
in x0 se esiste ed è ﬁnito il limite della f ′ (x), per x → x0
9. Siano date due successioni an , bn , con an divergente a −∞, mentre di bn si sa solo che bn < −10 ∀n ∈ N.
Quale delle seguenti aﬀermazioni NON può essere VERA, in nessun caso?
a)
b)
c)
d)
e)
lim an + bn = −∞
n→+∞
lim an − bn = +∞
n→+∞
lim an · bn = +∞
n→+∞
lim
n→+∞
an
=@
bn
lim (an + bn )2 = +∞
n→+∞
Paola Suria
2
46◦ Simulazione
10. Sia f (x) una funzione, non identicamente nulla, e f ′ (x) la sua derivata. Quale delle seguenti aﬀermazioni
è SBAGLIATA?
∫ ′
f (x)
a)
dx = log |f (x)|
f (x)
∫ ′
f (x)
b)
dx = 2 log |f (x)|
f (x)
∫ ′
(
)
f (x)
c)
dx = log e3 |f (x)|
f (x)
∫ ′
(
f (x)
π)
d)
dx = log |f (x)| sin
f (x)
6
∫ ′
f (x)
dx = log 2|f (x)|
e)
f (x)
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
c
2
a
3
b
4
c
5
b
6
b
7
e
8
e
9
d
10
b
CONSIGLI
Quesito n◦ 1
Della funzione sappiamo solo che l’ordinata di un qualsiasi x > 0 è maggiore di f (0). Poiché la funzione è
continua deve partire in salita, ma... poi fa quello che vuole, andare su e giù, restare costante, purché sopra
f (0)
Essendo la funzione continua, deve però partire in salita, e quindi in un intorno destro... deve partire in modo
strettamente crescente.
Quesito 2
La condizione che a(x) sia continua in I del punto x0 e b(y) derivabile in J di y0 , con I e J anche aperti, è la
condizione di unicità per le equazioni a variabili separabili
Quesito n◦ 4
Pensare a possibili graﬁci, per convincersi che
∫ −1
∫
f (x) · g(x) dx
−∞
+∞
f (x) · g(x) dx = 0
1
Quesito n◦ 5
Ricordare la deﬁnzione di asintoto:
se r è asintoto della funzione f allora x → +∞, f (x) = ax + b + o(1)
se s è asintoto della funzione g allora x → +∞, g(x) = cx + d + o(1)
x → +∞, f (x) − g(x) = ax + b + o(1) − (cx + d + o(1)) = (a − c)x + (b − d) + o(1)
Per x → +∞, la funzione f − g ha asintoto obliquo se e solo se a ̸= c
Paola Suria
3
46◦ Simulazione
• sia r: y = 3x + 4 asintoto della funzione f allora x → +∞, f (x) = 3x + 4 + o(1)
sia s: y = x − 5 asintoto della funzione g allora x → +∞, g(x) = x − 5 + o(1)
x → +∞, f (x) − g(x) = 3x + 4 + o(1) − (x − 5 + o(1)) = 2x + 9 + o(1)
In questo caso la retta y = 2x + 9 è asintoto per la funzione f − g.
• sia r: y = 3x + 4 asintoto della funzione f allora x → +∞, f (x) = 3x + 4 + o(1)
sia s: y = 3x − 2 asintoto della funzione g allora x → +∞, g(x) = 3x − 2 + o(1)
x → +∞, f (x) − g(x) = 3x + 4 + o(1) − (3x − 2 + o(1)) = 6 + o(1)
Allora la funzione f − g ha asintoto orizzontale
• sia r: y = 3x + 4 asintoto della funzione f allora x → +∞, f (x) = 3x + 4 + o(1)
sia s: y = 3x + 4 asintoto della funzione g allora x → +∞, g(x) = 3x + 4 + o(1)
x → +∞, f (x) − g(x) = 3x + 4 + o(1) − (3x + 4 + o(1)) = o(1)
Allora la funzione f − g ha asintoto orizzontale asse x
Analizziamo l’item c):
lim
x→+∞
f (x)
ax + b
a
= lim
= ̸= 0
g(x) x→+∞ cx + d
c
Ricordare che in un prodotto/rapporto si può sostituire la funzione equivalente e che se due funzioni sono
asintotiche sono equivalenti (non viceversa)
Ancora qualche commento più teorico
Se y = ax + b è asintoto per la funzione f : f (x) = ax + b + o(1), x → +∞
Se y = cx + d è asintoto per la funzione g : g(x) = cx + d + o(1), x → +∞
Allora f (x) − g(x) = ax + b + o(1) − cx − d + o(1), x → +∞;
f (x) − g(x) = (a − c)x + b − d + o(1), x → +∞
Aﬃnché la funzione f (x) − g(x) abbia asintoto obliquo è necessario che
a − c ̸= 0 ⇒ a ̸= c, ∀b, d
1. a = c ∧ b ̸= d ⇒ f (x) − g(x) = b − d + o(1)
2. a = c∧b = d ⇒ y = o(1): quindi sappiamo che la funzione diﬀerenza è inﬁnitesima o(1), x → +∞ ⇒ y = 0
è asintoto orizzontale
Cerchiamo qualche esempio per convincerci:
1. a ̸= c, ∀b, d ∈ R
1
⇒ x → +∞, y = x − 1 è asintoto obliquo
x
sin x
⇒ x → +∞, y = 2x − 1 è asintoto obliquo
g(x) = 2x − 1 +
x
1
1 sin x
f (x)−g(x) = x−1+ −2x+1−sin x; f (x)−g(x) = −x+ −
⇒ x → +∞ : y = −x è asintoto obliquo
x
x
x
f (x) = x − 1 +
2. a = c, b ̸= d
1
⇒ x → +∞, y = x − 1 è asintoto obliquo
x
sin x
⇒ x → +∞, y = x + 3 è asintoto obliquo
g(x) = x + 3 +
x
1
sin x
1 sin x
f (x)−g(x) = x−1+ −x−3−
; f (x)−g(x) = −4+ −
⇒ x → +∞ : y = −4 è asintoto orizzontale
x
x
x
x
f (x) = x − 1 +
Paola Suria
4
46◦ Simulazione
3. a = c, b = d
1
⇒ x → +∞, y = x − 1 è asintoto obliquo
x
sin x
g(x) = x − 1 +
⇒ x → +∞, y = x − 1 è asintoto obliquo
x
1
sin x
1 sin x
f (x) − g(x) = x − 1 + − x + 1 −
; f (x) − g(x) = −
⇒ x → +∞ : y = 0 è asintoto orizzontale
x
x
x
x
f (x) = x − 1 +
Quesito n◦ 6-7
Ricordare che per esercizi di questo tipo la via più sicura è servirsi degli sviluppi di Mac Laurin:
•
x → 0, f (x) =
√
n
xh + xk , n, h, k ∈ N, h < k
Raccogliere la x con l’esponente minore e poi servirsi degli sviluppi di Mac Laurin.
(
)
√
( k−h )
h
1 k−h
n
h
k−h
n
x → 0, f (x) = x (1 + x
)=x
1+ x
+o x
n
Esempio:
(
)
√
√
√
5 7
5
1 2
7
7
2
7
5
5
2
2
7
7
x → 0, f (x) = x + x = x (1 + x ) = x
1+x =x
1 + x + o(x )
7
•
x → +∞, f (x) =
√
n
xh + xk , n, h, k ∈ N, h < k
Raccogliere la x con l’esponente maggiore e poi servirsi degli sviluppi di Mac Laurin.
√ (
)
(
))
(
k
1
1
1 1
n
k
n
x → +∞, f (x) = x 1 + k−h = x
+o
1+
x
n xk−h
xk−h
Esempio:
√
7
x → +∞, f (x) = x7 + x5 =
√
7
x7
√
(
)
(
( ))
( )
7 7
1
1
1 1
1
1 1
1
1 + 2 = x7 1 + 2 = x 1 +
+o
= x+ · +o
2
2
x
x
7x
x
7 x
x
Quesito n◦ 9
Sulla successione bn non si hanno informazioni, tranne il fatto che la successione è limitata superiormente.
La bn potrebbe essere divergente, oppure convergente ad un limite negativo, ﬁnito, oppure essere indeterminata,
ma comunque con un’ampiezza di oscillazione limitata superiormente.
Il quesito cerca quale risposta NON può, in nessuna situazione, realizzarsi.
a) la successione somma può presentarsi nella forma −∞ + l → −∞,
ma limitato e negativo, per pinocchio
−∞ − ∞ → −∞; −∞ + @,
→ −∞
b) la successione somma può presentarsi nella forma −∞ − l → −∞,
−∞ − (−∞) → −∞ + ∞
forma indeterminata che può anche portare, a seconda dell’ordine di inﬁnito, a + ∞; −∞ − @,
ma limitato e negativo →→ −∞
c) è possibile
d) il denominatore non si annulla mai, perché minore di -10. Quindi questo limite non può non esistere
e) se è possibile il limite a) allora è possibile anche questo.
Quesito n◦ 10
Se F (x) e G(x) sono due primitive di una stessa funzione, allora diﬀeriscono per un costante addittiva.
Nel quesito le costanti sono:
a)c = 0
c) c = log e3 = 3
π
1
d) c = log sin = log = − log 2
6
2
e) c = log 2
Paola Suria
5
47◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
SIMULAZIONE TEST ESAME
1. Siano A, B ⊂ R. Se A ⊂ B, allora
(a) inf A > inf B
(b) inf A ≤ inf B
(c) inf A < inf B
(d) inf A = inf B
(e) inf A ≥ inf B
2. La funzione f (x) = cos x + ex
(a) è pari
(b) ha inﬁniti zeri
(c) è iniettiva su R
(d) è monotona su R
(e) è periodica
3. Un polinomio a coeﬃcienti reali che ha tra le proprie radici i numeri 0 e 2 + i
(a) ha grado 2
(b) ha grado maggiore o uguale a 3
(c) ha grado strettamente minore di 3
(d) ha grado 4
(e) ha grado pari
4. Sia f : R → R una funzione tale che lim f (x) = 1. Allora
x→2
(a) f (2) = 1
(b) ∀δ > 0, se |x − 2| < δ allora f (x) > 0
(c) ∃δ > 0 tale che se |x − 2| < δ allora |f (x) − 1| < δ
(d) ∀δ > 0, se 0 < |x − 2| < δ allora 1 < f (x) < 2
(e) ∃δ > 0 tale che se 0 < |x − 2| < δ allora f (x) > 0
9x − 1
5. lim √
=
x→0 4 1 + 8x − 1
(a) 3
(b) 2
(c) log 3
(d) log 2
(e) 9/8
6. Il limite lim (3x + 2) sin2 x
x→+∞
(a) vale +∞
(b) vale 3
(c) non esiste
(d) vale 2
(e) vale 0
Paola Suria
1
47◦ Simulazione
7. Se le funzioni f, g : R → R hanno rispettivamente le rette y = x + 1, y = 2x come asintoti a +∞, allora
(a)
(b)
lim (f (x) − g (x)) = −1
x→+∞
lim (f (x) − g (x)) = −∞
x→+∞
f (x) − g (x)
=0
x→+∞
x
f (x) − g (x)
(d) lim
= +∞
x→+∞
x
(e) lim (f (x) + g (x)) = −∞
(c)
lim
x→+∞
n
8. Sia an =
(a)
3n + (−1)
n . Allora
n + (−2)
lim an = 0
n→+∞
(b) an non ha limite per n → +∞
(c)
(d)
lim an = 3
n→+∞
lim an = +∞
n→+∞
(e) an è monotona
9. Sia f (x) = 2x sin x . Allora
(a) f ′ (x) = 2x sin x (sin x + x cos x)
(b) f ′ (x) = 2x sin x
(c) f ′ (x) = 2x sin x x cos x
(d) f ′ (x) = 2x sin x (sin x + x cos x) log 2
(e) f ′ (x) = 2x sin x log 2
10. Se f (x0 ) = 0 ed x0 è un punto angoloso per f , allora g (x) = (x − x0 ) f (x)
(a) è derivabile in x0
(b) ha un punto di cuspide in x0
(c) ha un punto angoloso in x0
(d) non è derivabile in x0
(e) è discontinua in x0
11. Sia f : R → R una funzione derivabile ed invertibile. Se f (2) = 1 e f ′ (2) = 3 allora
(
)′
(a) f −1 (2) = 3
(
)′
(b) f −1 (3) = 1
(
)′
(c) f −1 (1) = 1/3
(
)′
(d) f −1 (1) = 1/2
(
)′
(e) f −1 (3) = 2
√
12. Sia f : [0, 4] → R deﬁnita da f (x) = x se x ̸= 1, e f (x) = α se x = 1, con α parametro reale. Allora f
assume tutti i valori compresi tra 0 e 2 se e solo se
(a) α = 0
(b) α = 1
(c) α = 2
(d) 0 ≤ α ≤ 4
(e) 0 ≤ α ≤ 2
Paola Suria
2
47◦ Simulazione
13. Sia f : R → R continua su R e decrescente in (−∞, 0) e in (0, +∞). Allora
(a) f (R) non è un intervallo
(b) f (R) = R
(c) f è decrescente su tutto R
(d) sup f = +∞
R
(e) f è limitata su R
14. Sia f : R → R una funzione derivabile tale che f (−1) = 0 e f (6) = 3. Allora nell’intervallo (−1, 6) la
derivata f ′ (x)
(a) assume il valore 7/3 in almeno un punto
(b) si annulla in almeno un punto
(c) assume il valore 7/3 in inﬁniti punti
(d) assume il valore 3/7 in almeno un punto
(e) non è mai nulla
15. Per x → 0 si ha
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
1
∼ 4
2
+x
x
1
1
1
+ 2 ∼ 2
x4
x
x
1
1
1
− 2 ∼− 2
x4
x
x
x4 + x2 ∼ x2
1
1
∼ 4
x4 − x2
x
x4
16. Il limite lim
e
√
3
8x
x→0
√
−23x−1
√
vale
sin 7 x
(a) 1
(b) +∞
(c) 0
(d) −1
(e) e
17. Lo sviluppo di Mac Laurin di ordine 3 di f (x) =
( )
(a) f (x) = 1 − 3x − x2 + 3x3 + o x3
( )
(b) f (x) = 1 + 3x − x2 − 3x3 + o x3
( )
(c) f (x) = 1 + 3x − x2 + 3x3 + o x3
( )
(d) f (x) = 1 − 3x − x2 − 3x3 + o x3
( )
(e) f (x) = 1 + 3x + x2 + 3x3 + o x3
2x
1
−
è
1+x x−1
√
e x+2
18. Sia F (x) la primitiva di f (x) = √
che si annulla in x = −1. Allora
x+2
√
√
(a) F (x) = 2 x + 2e x+2 − 2e
√
√
(b) F (x) = x + 2e x+2 − e
(c) F (x) = e
√
x+2
√
−e
(d) F (x) = 2e
x+2
(e) F (x) = 2e
x+2
√
Paola Suria
− 2e
3
47◦ Simulazione
∫
+∞
19. L’integrale improprio
0
√
x
dx
x + x2
(a) converge
(b) diverge positivamente
(c) diverge negativamente
(d) è indeterminato
(e) vale 0
20. L’equazione diﬀerenziale x′′ − 5x′ + 6x = e2t ha una soluzione particolare xp (t) della forma
(a) xp (t) = Cte3t con C ∈ R
(b) xp (t) = Ct2 e3t con C ∈ R
(c) xp (t) = Cte2t con C ∈ R
(d) xp (t) = Ct2 e2t con C ∈ R
(e) xp (t) = C con C ∈ R
Paola Suria
4
47◦ Simulazione
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
Paola Suria
1
e
2
b
3
b
4
e
5
c
6
c
7
b
8
a
9
d
10
a
11
c
5
12
b
13
c
14
d
15
d
16
c
17
c
18
d
19
a
20
c
48 NON SOLO Simulazioni: so fare...
CORSI DI ANALISI I
48◦ NON SOLO SIMULAZIONI
(MI METTO ALLA PROVA)
1. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni
a)f (x) = xx
4
3
d) f (x) = x 2 − 6e5x
b) f (x) = xsin x
c) f (x) = x arctan x
2. Calcolare i seguenti integrali indeﬁniti
∫
2x2 −1
a)
xe
∫
dx
b)
∫
e)
∫
3
cos x sin x dx
∫
2
x sin(1 + 3x ) dx
∫
3x2 + 1
dx
3
∫ x +x+7
o)
x3 sin x4 dx
i)
√
e x−5
√
f)
dx
x−5
∫
4x
l)
dx
2
∫ x +4
p)
esin x cos x dx
e3x
dx
5 + e3x
c)
∫
∫
∫
log x
dx
∫ x
4
m)
dx
2
∫ x +4
cos(log x)
q)
x
g)
5x cos(1 − 2x2 ) dx
d)
h)
n)
∫
∫
r)
x2 e−x dx
3
xe−x dx
√
e x
√ dx
x
3. Calcolare i seguenti integrali deﬁniti
∫
∫
3
a)
sin x dx
b)
∫ −1
3
e)
(x2 − 2x) dx
∫
1
sin x dx
f)
−1
|x2 − 2x| dx
e)
0
+∞
√
−x2 + x
dx
x3 + 4
∫
0
f)
−∞
g)
−1
∫
+∞
0
∫
sin x dx
−1
(x2 − 2x) dx
c)
√
x2 + −x
dx
x3 + 4
1
d)
∫−13
4. Discutere i seguenti integrali impropri
∫ +∞
∫ +∞ 2 √
x x
a)
e−x dx
b)
dx
x3 + 4
0
0
∫
| sin x|dx
c)
∫−13
−1
∫
1
0
g)
−∞
∫
4 + x2
dx
1 + xπ
2
d)
1
1
√
dx
x − 1(2 − x)
√
−x2 + −x
dx
x3 + 4
5. Studiare le seguenti funzioni integrali (zeri, segno, crescenza)
∫
x0
a) F (x) =
x
e−t sin2 t dt
2
∫
∫
x
f (t) dt , f (x) < 0 ∀x ∈ R
b) F (x) =
1
f (t) dt , f (x) < 0 ∀x ∈ R
c) F (x) =
0
x
6. (a) Calcolare l’area della parte di piano limitata tra le due curve
f1 (x) = x2 − 2x; f2 (x) = x
(b) Calcolare l’area della regione di piano:
{
}
π
2π
2
A = (x, y) ∈ R : 0 ≤ y ≤ sin x,
≤x≤
4
3
(c) Calcolare l’area della regione di piano:
{
}
π
4π
A = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ sin x,
≤x≤
4
3
7. Calcolare il valor medio delle funzioni dell’esercizio precedente, nel loro intervallo di integrazione
Paola Suria
1
48 NON SOLO Simulazioni: so fare...
8. Se F e G sono due primitive della stessa funzione, sullo stesso intervallo I allora F e G diﬀeriscono ....
(R. F (x) − G(x) = c
9. se f è strettamente crescente e derivabile in x0 con f ′ (x0 ) ̸= 0 allora (f −1 )′f (x0 ) = ....
10. Se f (x) ∈ C (20) → g(x) = f 15 (x) ∈ C (?)
(R.
1
)
f ′ (x0 )
(R. 20)
11. Se ∀x ∈ R f ′′ (x) = 0 → f (x) è una retta
12. Se f (x) è una funzione crescente, allora quale proprietà avrà una sua primitiva F (x)? (Concava, convessa,
crescente, decrescente?)
(R. F (x) sarà convessa)
∫
(Infatti F (x) = f (x) dx ; F ′ (x) = f (x); F ′′ (x) = f ′ (x) > 0 Ma f ′ (x) > 0 perché f è funzione crescente.
Allora F ′′ (x) > 0 → F (x) è convessa
(R. F ′ (x0 ) =
13. Se F (x) è una primitiva di f (x) e se x0 è un punto critico di F (x), allora ....
f (x0 ) = 0)
14. Deﬁnizione di estremo superiore per l’insieme A: ∀ϵ > o ∃a ∈ A : a − ϵ < a ≤ supA)
15. Se x → x0 f = o(g) e g = o(f ) →?
(R. Non è controllato)
16. Se f è derivabile in R\{0} e f ′ (x) > 0∀x ∈ R\{0} → f (x)....
R.(cresce a destra e a sinistra di x0 )
Risposte
1.
a)f ′ (x) = xx (log x + 1)
d) f ′ (x) =
2.
a)
3 1
4
x 2 − 120x3 e5x
2
1 2x2 −1
e
+c
4
e) −
(
)
sin x
x
b) f ′ (x) = xsin x cos x log x +
c) f ′ (x) = arctan x + 2
x
x +1
1
sin4 x + c
4
c)
1
log(5 + e3x ) + c
3
d) −
√
1
cos(1 + 3x2 ) + c f ) 2e x−5 + c
6
g)
1
log2 x + c
2
1
3
h) − e−x
3
b)
i) log |x3 + x + 7| + c
1
o) − cos x4 + c
4
3.
x
+c
2
q) sin(log x) + c
5
sin(1 − 2x2 ) + c
4
l) 2 log(x2 + 4) + c m) 2 arctan
n) − e−x (x + 1) + c
p) esin x + c
r) 2e
a) cos 1 − cos 3
4
e)
3
c) 2(1 − cos 1)
4
g)
3
b) 0
f) 4
√
x
+c
d) 0
4.
a) converge positivamente b) diverge positivamente c) converge positivamente d) diverge positivamente
e) diverge negativamente f ) diverge negativamente g) diverge positivamente
Spezzare l’integrale
∫
∫
3
2
2
f (x) dx +
f (x) dx
3
2
1
1
Il primo converge perché x → 1+ , f (x) ∼ √
x−1
Il secondo integrale diverge perché x → 2− , f (x) ∼
1
2−x
Ricordare che i criteri, per x → x0 sono quelli validi per x → 0, traslati
Paola Suria
2
48 NON SOLO Simulazioni: so fare...
5.
a) F (x) = 0 ⇐⇒ x = x0 ;
b) F (x) = 0 ⇐⇒ x = 0;
F decresce;
F decresce;
c) F (x) = 0 ⇐⇒ x = 1; F cresce;
√
√
9
2+1
2+3
6. a)
b)
c)
2
2
2
F (x) > 0 ⇐⇒ x < 0
F (x) > 0 ⇐⇒ x < 0
F (x) > 1 ⇐⇒ x <0
14) lavorare per induzione. Provare con una potenza minore
f (x) ∈ C (20) , g(x) = f 2 (x); g ′ (x) = 2f (x) · f ′ (x);
g ′′ (c) = 2(f ′ (x) · f 2 (x) + f (x) · f ′′ (x)
Deduciamo che la derivata II di g(x) coinvolge la derivata seconda della f (x). Quindi la g(x) appartiene
alla stessa classe della f (x)
Paola Suria
3
49◦ Simulazione
CORSI DI ANALISI I
49◦ SIMULAZIONE TEST ESAME
1.
∫
+∞
e−x dx =
2
−∞
a) Converge a zero
b) Diverge a +∞
c) Nè converge nè diverge
d) Converge ad un numero positivo
e) Non è Riemann integrabile e perciò Non è integrabile neppure in senso improprio
2. La funzione y(t) = e4t è soluzione dell’equazione diﬀerenziale:
a) y ′′ = 4t
b) y ′′ = 4y
c) y ′ = 4ty
d) y ′ = 4t
e) y ′ = 4y
3. La successione an =
log n + 1
tende a:
n2 + 4
a) ∞
b) +∞
c) 0
d) 1
e) nessuna delle altre risposte è corretta
4. La funzione f (x) =
√
4
cosh x2
a) è decrescente in un intorno di zero
b) ha le prime quattro derivate nulle in x = 0
c) ha le prime tre derivate nulle in x = 0 e la quarta diversa da zero
d) è crescente in un intorno di x = 0
e) ha le prime due derivate nulle in x = 0 e la terza diversa da zero
5. Sia data la funzione f : R → R, derivabile almeno una volta. Sapendo che il suo graﬁco interseca quello
della retta y = 3x − 4 in tre punti, allora si può concludere che:
a) L’equazione f ′ (x) = 3 ha almeno due soluzioni distinte
b) La f ′ (x) si annulla almeno due volte
c) L’equazione f ′ (x) = 3 ha esattamente due soluzioni distinte
d) nessuna delle altre risposte è corretta
e) esiste un solo punto c: f ′ (c) = 3c − 4
6. Sia f una funzione derivabile in x0 ∈ R, allora è sicuramente vero che:
a) f è derivabile in un intorno di x = x0
b) f è continua in un intorno I = (x0 − δ, x0 + δ)
c) L’equazione della retta tangente al graﬁco di f in (x0 , f (x0 )) è y = f ′ (x0 )(x − x0 )
d) Il graﬁco di f ha retta tangente orizzontale in (x0 , f (x0 ))
e) ∃l ∈ R tale che f (x) = f (x0 ) + l(x − x0 ) + o(x − x0 ), x → x0
Paola Suria
1
49◦ Simulazione
7. Se A è un insieme tale che A ⊆ R e sia p=inf dell’insieme A, con p ∈ R. Allora NON è possibile dedurre
che:
a) A sia limitato
b) p sia il più grande dei minoranti
c) A sia limitato inferiormente
d) se p ∈ A allora p non sia solo inf A, ma anche minimo di A
e) p sia un minorante di A
8. Sia data l’equazione diﬀerenziale y ′′ + ay ′ + by = 0, a, b ∈ R e siano Φ1 (t), Φ2 (t) due sue soluzioni, allora
si può dedurre che anche
a) Φ1 (t) + c, c ∈ R è soluzione
b) 11Φ1 (t) − 13Φ2 (t) è soluzione
c) Φ1 (t) + Φ2 (t) + c, c ∈ R è soluzione
d) Φ1 (t) · Φ2 (t) è soluzione
e) Φ1 (t) · Φ1 (t) è soluzione
9. Si considerino le potenze dell’unità immaginaria (i)−n , n ∈ N. Quale delle seguenti aﬀermazioni è esatta?
a) i−n è immaginario puro ∀n ∈ N
b) In nessun caso i−n + i = 0
c) i−a = i−b se a = b − 2
d) i−a = i−b se a = b − 4
e) i−n è reale ∀n ∈ N
10. Sia y(t) la soluzione della seguente equazione diﬀerenziale, con le condizioni iniziali
 ′′
 y + 2y ′ + y = 0
y(0) = 0
 ′
y (0) = 1
Allora lim y(t) =
t→+∞
a) 0
b) 1
c) +∞
d) @
e) −∞
11. Sia y(t) la soluzione del problema di Cauchy
{
y ′ = 3 sin t + y 2
y(0) = π
Allora il graﬁco di y(t) nell’intorno di t0 = 0 ha:
a) concavità verso l’alto e retta tangente con pendenza positiva;
b) concavità verso il basso e retta tangente con pendenza positiva;
c) concavità verso l’alto e retta tangente con pendenza negativa;
d) concavità verso il basso e retta tangente con pendenza negativa
e) nessuna delle altre risposte è corretta
Paola Suria
2
49◦ Simulazione
12. Sia y(t) la soluzione del problema di Cauchy:
{
y
t+1
y(0) = 1
y′ =
Alloa y(1) =
a) e
b) 2
√
c) 2
√
d) e
e) 0
13. Sia f (x) : [a; b] → R una funzione continua. Se
∫
b
f (x) dx > (b − a)f (a)
a
allora è sicuramente vero che
a) f (x) < f (b), ∀x ∈ [a, b]
b) f è strettamente crescente in [a, b]
c) f (x) > f (a) ∀x ∈ [a, b]
∫ b
d)
f (x) dx < (b − a)f (b)
a
e) f (x) non è costante in [a, b]
14. Le funzioni continue f (x) e g(x) siano tali che
∫
∫
3
2
f (x) dx ≤
1
g(x) dx
1
Allora, considerando il valore massimo e il valore minimo nei rispettivi intervalli di integrazione, è vero
che
1
min(f )
2
b) max(f ) ≥ 2 min(g)
a) max(g) ≥
c) max(g) ≥ 2 min(f )
1
d) max(f ) ≥ min(g)
2
e) nesssuna delle altre risposte è esatta
15. Sia g(x) : R → R una funzione derivabile e tale che g(x) ≤ x, ∀x ∈ [0, 1]. Allora è sempre vero che
∫ x
a)
g(t) dt ≤ x · g(0)
0
b) g(0) ≥ 0
∫ x
x2
g(t) dt ≤
c)
2
0
d) g ′ (0) ≥ 1
e) g(0) = 0
Paola Suria
3
49◦ Simulazione
16. Sia f : R → R una funzione continua e periodica di periodo π. Quale delle seguenti aﬀermazioni è sempre
vera?
∫ b+2π
∫ b
a)
f (x) dx =
f (x) dx
a+2π
∫
a
2b
b) ∀a, b ∈ R →
∫
2a
a+2π
c) ∀a ∈ R →
∫
∫
f (x) dx = 2
b
f (x) dx
a
f (x) dx = 0
a−2π
π
f (x) dx = 0
d)
−π
∫ 2π
e)
f (x) dx = 0
−2π
17. Sia g : [a; b] → R. Se g(a) = −1, g(b) = 1 e g ′ (x) > 0, ∀x ∈ [a; b], allora:
∫
b
g(x) dx ≥ 0
a)
a
∫
b
b)
g(x) dx = 0
a
c) g non ha né massimo né minimo in [a; b]
a+b
d) g è simmetrica rispetto al punto xc =
2
e) g(x) = 2 non ha soluzione in [a; b]
18.
∫
+∞
−∞
1
dx =
1 + x2
a) π
π
b)
2
c) 0
d) +∞
e) diverge ad un numero positivo
19.
∫
1
∫
2
f (log x)
dx =
x
2
f (t) dt
a)
1
∫
log 2
b)
0
∫
f (t)
dt
et
log 2
c)
f (t) dt
0
∫
d)
2
f (t) dt
0
e) nessuna delle altre risposte è esatta
20. Il polinomio di Mac laurin, di ordine 2, della funzione f (x) = cos (log(1 + 2x)) è:
a) 1 + 2x2
b) 2x − 2x2
c) 1 + 2x + 2x2
Paola Suria
4
49◦ Simulazione
d) 1 + 4x2
e) 1 − 2x2
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
Paola Suria
1
d
2
e
3
c
4
c
5
a
6
e
7
a
8
b
9
d
10
a
11
a
5
12
b
13
e
14
c
15
c
16
a
17
e
18
a
19
c
20
e
49◦ Simulazione
CONSIGLI
Quesito n◦ 4
√
Deve venire in mente di sviluppare, al quart’ordine, la funzione f (x =
4
1
1 + x4 + o(x4 )
2
Quesito n◦ 5
E’ un’applicazione del teorema di Lagrange: esitono almeno due punti tali che f ′ (c) = m =
f (b) − f (a)
b−a
Quesito n◦ 8
Riscriviamo la potenza (i− 1)n =
Le potenze hanno periodo 4.
( )n
1
= (−i)n . Proviamo con alcuni n....
i
n
(−i)n
1
−i
2
(−i)2 = (−i) · (−i) = i2 = −1
3
(−i)3 = (−i)2 (−i) = −1(−i) = i
4
(−i)4 = (−i)3 (−i) = i(−i) = 1
5
(−i)5 = (−i)4 (−i) = −i
(i)−n = −i, n = 1 + 4k, k ∈ N
(i)−n = −1, n = 2 + 4k, k ∈ N
(i)−n = i, n = 3 + 4k, k ∈ N
(i)−n = 1, n = 4k, k ∈ N
Quesito n◦ 11
Ricaviamo informazioni sulla crescenza, sul coeﬃciente angolare della retta tangente, a partire dalla y ′ (x).
Le informazioni sulla concavità/convessità sono invece fornite dalla y”.
Unica certezza non dobbiamo (non sappiamo) risolvere l’equazione diﬀerenziale, del I ordine, ma nè a variabili
separabili nè lineare.
y ′ (t) = 3 sin t + y 2 −→ y ′ (0) = 3 sin 0 + (y(0))2 ;
Paola Suria
6
y ′ (0) = 3π 2 > 0
49◦ Simulazione
Dalla y ′ (0) > 0 si deduce che la funzione è crescente nell’intorno di t = 0
Per la concavita/convessità:
y ′′ (t) = 3 cos t + 2y · y ′ −→ y ′′ (0) = 3 + 2y(0) · y ′ (0) −→ y ′′ (0) = 3 + 2(3π) · π 2 > 0
Attenzione D(y 2 ) = 2y · y ′ derivata di funzione composta y = y(t)
Quesito n◦ 14
Il quesito fa riferimento al teorema della media integrale, ed in particolare alle proprietà dell’integrale deﬁnito,
di funzione continua
∫ b
∫ b
∫ b
f (x) dx = µ (f (b) − f (a)) ;
f (x) dx ≥ min(f ) · (b − a);
f (x) dx ≤ max(f ) · (b − a)
a
a
∫
a
∫
2
2
f (x) dx ≥ (2 − 1) min(f );
1
∫
f (x) dx ≤ (2 − 1) max(f )
∫
3
1
3
g(x) dx ≥ (3 − 1) min(g);
1
g(x) dx ≤ (3 − 1) max(g)
1
Ordinando le diequaglianze che sono possibili confrontare:
∫ 2
∫
(2 − 1) min(f ) ≤
f (x) dx ≤
1
3
g(x) dx ≤ (3 − 1) max(g)
1
si può dedurre che
(2 − 1) min(f ) ≤ (3 − 1) max(g)
Quesito n◦ 16
Per negare gli item d) ed e) è suﬃciente pensare ad una funzione goniometrica di periodo π : f (x) = sin 2x + 10.
Essendo periodica, ma traslata, l’integrale non è nullo.
Paola Suria
7
50◦ non solo Simulazioni: so fare...2
CORSI DI ANALISI I
50◦ NON SOLO SIMULAZIONI
(2◦ MI METTO ALLA PROVA )
1. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni
f (x) = e−3x + tan2 x
4
2. (a) Sia data la funzione f : R → R, derivabile in x = 0. Sapendo che f (0) = 3; f ′ (0) = 4, cosa si può
dedurre per il comportamento della funzione g(x) = |f (x)| nel punto x = 0?
(b) Sia data la funzione f : R → R, derivabile in x = 0. Sapendo che f (0) = 3; f ′ (0) = 4, cosa si può
dedurre per il comportamento della funzione g(x) = f |x| nel punto x = 0?
(c) Sia data la funzione f : R → R, derivabile in x = 0. Sapendo che f (0) = 3; f ′ (0) = 0, cosa si può
dedurre per il comportamento della funzione g(x) = |f (x)| nel punto x = 0?
(d) Sia data la funzione f : R → R, derivabile in x = 0. Sapendo che f (0) = 3; f ′ (0) = 0, cosa si può
dedurre per il comportamento della funzione g(x) = f |x| nel punto x = 0?
(e) Sia data la funzione f : R → R, derivabile in x = 0. Sapendo che f (0) = 0; f ′ (0) = 3, cosa si può
dedurre per il comportamento della funzione g(x) = |f (x)| nel punto x = 0?
(f) Sia data la funzione f : R → R, derivabile in x = 0. Sapendo che f (0) = 0; f ′ (0) = 3, cosa si può
dedurre per il comportamento della funzione g(x) = f |x| nel punto x = 0?
(g) Sia data la funzione f : R → R, derivabile in x = 0. Sapendo che f (0) = 0; f ′ (0) = 0, cosa si può
dedurre per il comportamento della funzione g(x) = |f (x)| nel punto x = 0?
(h) Sia data la funzione f : R → R, derivabile in x = 0. Sapendo che f (0) = 0; f ′ (0) = 0, cosa si può
dedurre per il comportamento della funzione g(x) = f |x| nel punto x = 0?
3. Sia data la funzione f , derivabile in R, tale che f (0) = −5, f ′ (0) = −4. Allora g(x) = |f (x)|
a) g(x) presenta un punto angoloso in x = 0
b) P (0, 5) ∈ g(x) e g ′ (0) = −4
c) g è derivabile in x = 0 e g ′ (0) = 4
d) g è derivabile in x = 0 e g ′ (0) = −4
e) lim− g ′ (x) = −4; lim+ g ′ (x) = 4
x→0
x→0
4. Esercizi in applicazione dei teoremi delle funzioni definite in intervallo chiuso e limitato
(a) Sia data la funzione f : R → R, f ∈ C (1) , f (1) = 2, f (4) = −2. Allora per la funzione
h(x) = x2 − f (x), ∃c ∈ (1, 4) : h′ (c) =?
(b) Data una funzione f ∈ C (n) e sia x0 un punto di minimo locale derivabile, allora di quale ordine deve
essere la prima derivata non nulla, in x0 ?
(c) Siano date due funzioni f, g : [a, b] −→ R continue in [a, b] e derivabili almeno in (a, b). Si sa che
f (a) = g(a) e f (b) = g(b).
Quali ipotesi si possono fare su f, g?
5. Individuare alcuni intervalli in cui valga il Teorema di Rolle per la funzione
f1 (x) = | sin x|;
f2 (x) = | tan x|
6. Individuare intervalli in cui valga il Teorema di Lagrange per la funzione
f1 (x) = | sin x|;
Paola Suria
1
f2 (x) = | tan x|
50◦ non solo Simulazioni: so fare...2
7. (a) Calcolare la parte principale della funzione per x → 0 : f1 (x) =
5
2
sin x
+ 2+ 3
x4
x
x
sin x1
2
5
+
+
x4
x2
x
√
(c) Calcolare la parte principale della funzione per x → +∞ : f3 = 2x − 3 x3 + x4
(b) Calcolare la parte principale della funzione per x → +∞ : f2 (x) =
8. Calcolare i seguenti limiti
√
√
log(1 + x)
1) lim+
3
x→0
x2
2)
lim +
x→−2
9. Trovare l’equazione della funzione inversa di f (x) =
log(x2 − 3)
√
x x+2
3)
2
lim (2 + n) log n
n→+∞
√
9
x−5+3
10. Data la funzione f (x) = log x + 5x trovare la derivata della funzione inversa (f −1 )′5
11. Trovare le proprietà della funzione f (x) = x log(cosh x3 ) per x → 0, servendosi dello sviluppo di Mac
Laurin.
12. Trovare lo sviluppo del quinto ordine della funzione f (x) = x sin 3x+e−3x e leggere le proprietà del punto
x=0
2
√
e x+5
13. Trovare la primitiva della funzione f (x) = √
che passa per P(−5, 2)
x+5
14. Calcolare il seguente integrale
∫
+∞
1
log x
dx
x
15. Discutere la convergenza del seguente integrale
∫
0
Paola Suria
1
1−π
dx
xπ−3
2
50◦ non solo Simulazioni: so fare...2
Risposte
1. f (x) = e−3x + tan2 x
4
→
f ′ (x) = −12x3 e−3x +
4
2 tan x
cos2 x
2.
3. Quesito n◦ 3
Questo quesito si riallaccia al precedente, ma la funzione è negativa, nel punto preso in esame. Quindi il
valore assoluto ribalta il grafico.
Poiché la funzione f passa per P (0, −5) con f ′ (0) = −4, allora la funzione g(x) = |f (x)| passa per P ′ (0, 5)
con g ′ (0) = 4
Quindi la risposta corretta è la c).
Cosa diversa se avessimo lavorato con la funzione h(x) = f |x|. Questa funzione avrebbe avuto un punto
angoloso in P (0, −5)
Paola Suria
3
50◦ non solo Simulazioni: so fare...2
g(4) − g(1)
(42 − f (4)) − (12 − f (1))
16 − (−2)
18
=
=
=
=6
4−1
3
3
3
(b) f ′ (x0 ) = 0 e la prima derivata non nulla in x0 (se esiste) è di ordine pari
4. (a) g ′ (c) =
(c) Si possono trarre due conclusioni diverse:
1) I conseguenza: per il Teorema di Lagrange:
Poiché
∃c1 ∈ (a, b) : f ′ (c1 ) =
f (b) − f (a)
b−a
∃c2 ∈ (a, b) : g ′ (c2 ) =
g(b) − g(a)
b−a
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
=
−→ f ′ (c1 ) = g ′ (c2 )
b−a
b−a
2) II conseguenza: per il Teorema di Rolle, applicato alla funzione F (x) = f (x) − g(x)
1) F (x) è continua in [a, b]
2) F (x) è derivabile in (a, b)
3) F (a) = f (a) − g(a) = 0;
F (b) = f (b) − g(b) = 0
4) allora per il teorema di Rolle ∃ c ∈ (a, b) : F ′ (c) = 0 → F ′ (c) = f ′ (c)−g ′ (c) = 0; f ′ (c) = g ′ (c)
5. Rolle
6. Lagrange
7. (a) P.P(f1 (x))x → 0 :
5
x4
(b) P.P(f2 (x))x → 0 :
3
x2
4
(c) P.P(f3 (x)) = −x 3
8. 1) lim+
√
√
log(1 + x)
x→0
3
x2
= lim+
x→0
√√
x
3
x2
1
= lim+
x→0
x4
3
x2
= lim+
x→0
1
5
x4
= +∞
2) Cambio di variabile:
x+2=t→
lim + f (x) = lim+
x→−2
t→0
log(t2 − 4t + 4 − 3)
t2 − 4t
log(1 + t2 − 4t)
1
√
√
= lim+
= − lim+ √
2 t→0
t→0
t − 2) t
−2 t
t
lim f (x) =
x→−2+
√
1
−4t
lim √ = −2 lim t = 0
2 t→0+ t
t→0+
2
log(2+n)
3) lim e log n
= e2
n→+∞
Paola Suria
4
50◦ non solo Simulazioni: so fare...2
9.
y=
10. (f −1 )′5 =
√
9
x − 5 + 3 → (y − 3)9 = x − 5;
x = (y − 3)9 + 5;
y = (x − 3)9 + 5
1
6
(
)
(
)
1
1 6
1
f (x) = x log 1 + x6 + o(x6 ) = x
x + o(x6 ) = x7 + o(x7 )
2
2
2
11.
Lo sviluppo è stato troncato alla prima potenza, ma avendo controllato di NON perdere i pezzi. La
potenza successiva avrebbe coinvolto x12
Allora la funzione, nell’intorno di x = 0 cambia di segno.
x = 0 è flesso ascendente, la prima derivata che non si annulla è la settima e f (7) (0) =
12.
7!
2
(
) (
)
1
1
1
1
f (x) = x 3x − (3x)3 + o(x4 ) + 1 − 3x2 + (−3x2 )2 + o(x4 ) = 3x2 − 27x4 +1−3x2 + 9x4 +o(x4 ) = 1+o(x4 )
6
2
6
2
La funzione in x = 0 non è infinitesima e tutte le derivate, fino alla quarta, sono nulle. x = 0 è pertanto
punto stazionario ma non si hanno informazioni per stabilire la natura dl punto critico.
13.
∫
√
e x+5
√
dx = 2
x+5
∫
√
√
e x+5
√
dx = e x+5 + c → 2e0 + c = 1 → c = 0
2 x+5
14. Integrale improprio da calcolare
lim
t→+∞
log3 x
3
(
+∞
= lim
1
t→+∞
)
ln3 t
− 0 = +∞
3
15. La funzione, ha segno costante negativo, nell’intervallo di integrazione. La funzione non è limitata in
x = 0. Per il criterio asintotico di convergenza, essendo α = π − 3 < 1, l’integrale converge ad un numero
negativo
Paola Suria
5
51◦ non solo Simulazioni: so fare...2
CORSI DI ANALISI I
51◦ ANCORA UNA SIMULAZIONE
√
n
√
lim √
=
n→+∞
n−3− n+3
1.
a) −∞
b) 0
c) +∞
d) @
e) 1
√
n
√
=
lim √
n→+∞
n+3− n−3
2.
a) −∞
b) 0
c) +∞
d) @
e) 1
√
n
√
lim √
=
n→+∞
n+3+ n−3
3.
a) −∞
b) 0
c) +∞
d) @
1
e)
2
4. Siano f : [0, 4] → R, g : [0, 4] → R due funzioni che soddisfano le ipotesi del teorema di Rolle. Allora
a) ∃x0 ∈ (0, 4) : tale f ′ (x0 ) = 0 e g ′ (x0 ) = 0
b) ∃x0 ∈ (0, 4) : tale f ′ (x0 ) < 0 e g ′ (x0 ) < 0
c) ∃x0 ∈ (0, 4) : tale f ′ (x0 ) > 0 e g ′ (x0 ) > 0
d) ∃x0 ∈ (0, 4) : tale f ′ (x0 ) = g ′ (x0 )
e) nessuna delle risposte precedenti è corretta
5. Siano f : [0, 4] → R, g : [0, 4] → R due funzioni che soddisfano le ipotesi del teorema di Lagrange. Se
f (0) = g(0) e f (4) = g(4), allora:
a) ∃x0 ∈ (0, 4) : tale f ′ (x0 ) = g ′ (x0 )
b) ∃ un solo punto x0 ∈ (0, 4) : tale f ′ (x0 ) = g ′ (x0 )
c) ∃x0 ∈ (0, 4) : tale f (x0 ) = g(x0 )
d) ∃x0 ∈ (0, 4) : tale f (x0 ) = g ′ (x0 )
e) nessuna delle risposte precedenti è corretta
Paola Suria
1
51◦ non solo Simulazioni: so fare...2
6. Siano f : [0, 4] → R, g : [0, 4] → R due funzioni che soddisfano le ipotesi del teorema di Lagrange. Se
f (0) = g(0) e f (4) = g(4), allora:
a) ∃x0 ∈ (0, 4) : tale f ′ (x0 ) = g(x0 )
b) ∃x1 e x2 ∈ (0, 4) : tale f ′ (x1 ) = g ′ (x2 )
c) ∃x0 ∈ (0, 4) : tale f (x0 ) = g(x0 )
d) ∃x0 ∈ (0, 4) : tale f (x0 ) = g ′ (x0 )
e) nessuna delle risposte precedenti è corretta
7. L’equazione diﬀerenziale y ′ = sin(y − x) + 1 ha soluzione
3
a) y(x) = x + π
2
π
b) y(x) = x +
2
c) y(x) = x − 1
π
d) y(x) = x −
2
e) y(x) = x + π
8.
lim
x→+∞
1 + cos(2x)
=
log(1 + 5/x)
a) 0
b) +∞
2
c)
5
1
d)
5
e) @
9. ∀x ∈ R : x + 1 ≤ f (x) ≤ x + 2. Allora
f (x)
3
=
x
2
(
)
x+1
b) lim
− x = +∞
x→−∞
x
)
(
x+2
c) lim
− x = −∞
x→−∞
x
a)
lim
x→−∞
d) la funzione ha per asintoto una retta del tipo y = x + q, 1 < q < 2
e) la funzione ha per asintoto una retta del tipo y = x + q, 1 ≤ q ≤ 2
10.
∫
0
1
sin x
dx
1 − cos 2x
a) E’ integrabile in senso improprio
b) è Riemann integrabile
c) diverge ad un numero positivo
d) converge a zero
e) converge ad un numero positivo
Paola Suria
2
51◦ non solo Simulazioni: so fare...2
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
a
2
c
3
e
4
e
5
a
6
b
7
e
8
e
9
b
10
c
CONSIGLI
Quesito n◦ 1
Firmato razionalizza
)
√
√ (√
√
√
n n−3+ n+3
n
n·2 n
lim
= lim
= − = −∞
n→+∞
n→+∞
n−3−n−3
−6
3
Quesito n◦ 2
Firmato razionalizza
)
√
√ (√
√
√
n n+3+ n−3
n·2 n
n
= lim
= = +∞
lim
n→+∞
n→+∞
n+3−n+3
6
3
Quesito n◦ 3
Firmato trascura
√
n
1
√ =
n→+∞ 2 n
2
lim
quesito n◦ 4
Il quesito parla di due funzioni che soddisfano alle ipotesi di Rolle. Ciacuna funzione ha un punto a tangente
orizzontale f ′ (x0 ) = 0, g ′ (x1 ) = 0. I due punti non coincidono necessariamente
Quesito n◦ 5
Il quesito fa riferimento al teorema di Rolle applicato alla funzione H(x) = f (x) − g(x). H(x) soddisfa alle
ipotesi di Rolle e quindi esiste un punto x0 ∈ (0, 4) : H ′ (x0 ) = 0 → f ′ (x0 ) = g ′ (x0 )
Quesito n◦ 6
Il quesito fa riferimento al teorema di Lagrange
Paola Suria
3
51◦ non solo Simulazioni: so fare...2
f (4) − f (0)
g(4) − g(0)
; g ′ (c2 ) =
4−0
4−0
′
Ma i due secondi membrri sono uguali per ipotesi e quindi f (c1 ) = g ′ (c2 )
f ′ (c1 ) =
Quesito n◦ 7
E’ un’equazione del I ordine, né a variabili separabili nè lineare.
Non resta che cercare la soluzione sostituendo (e sperare di non dover fare 5 derivate!
(
)
( )
3
3
3
′
a) y = x + π −→ y = 1;
1 ≡ sin x + π − x + 1??; 1 ≡ sin
π + 1??? NO
2
2
2
(
)
(π)
π
π
b) y = x + −→ y ′ = 1;
1 ≡ sin x + − x + 1??; 1 ≡ sin
) + 1??? NO
2
2
2
c) y = x + 1 −→ y ′ = 1;
d) y = x −
π
−→ y ′ = 1;
2
e) y = x + π −→ y ′ = 1;
1 ≡ sin (x + 1 − 1) + 1 NO
(
)
π
1 ≡ sin x + − x + 1 NO
2
1 ≡ sin (x + π − x) + 1 Siiiiiiiiii!
Quesito n◦ 8
Può trarre in inganno la somiglianza con i limiti notevoli, ma x → +∞!
Allora viene in mente il teroema di Pinocchio, ma il binomio 1 + cos 2x oscilla tra 0 e 2.
0
2
2x
≤ f (x) ≤
→ 0 ≤ f (x) ≤
5
5
5
x
x
Il primo limite tende a zero, l’ultimo tende a +∞, quindi il limite non esiste.
P.S. la prima funzione del confronto NON tende a zero (sarebbe indeterminata), ma è ZERO!
Quesito n◦ 9
Il quesito ci ricorda il teorema di Pinocchio: la funzione può anche oscillare tra le due rette, ma al limite tende
a +∞
Questa risposta non viene proposta.
L’item a) è sbagliato perché il limite converge a 1
l’item b) è esatto perché il I addendo converge a 1, il secondo a −(−∞) quindi a +∞
l’item c) è sbagliato perché è sbagliata la funzione x + 2 e non (x − 2)
Gli ultimi due item sono sbaglaiti, perchè la funzione può anche non avere asintoto, come la funzione
f (x) = x + sin x
Quesito n◦ 10
La funzione ha segno costante nell’intervallo di integrazione, ma la funzione non è limitata in x = 0.
f (x) ∼
∫
Poiché
0
1
x
1
2
2 4x
=
1
dx diverge ad un numero positivo, allora anche
x
Paola Suria
4
1
2x
∫ 1
f (x) dx diverge ad un numero positivo
0
52◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
52◦ SIMULAZIONE
1. Indicare la condizione necessaria, ma non suﬃciente, aﬃnché sia possibile il risultato del III limite proposto
(per ogni caso cercare un esempio che lo soddisﬁ):
f (x)
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = −∞
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = −∞
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = 0+
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
Paola Suria
f (x) g(x)
g(x)
lim g(x) =
x→+∞
lim g(x) =
x→+∞
lim g(x) =
x→+∞
lim g(x) =
x→+∞
lim g(x) =
x→+∞
lim g(x) =
x→+∞
lim g(x) =
x→+∞
lim g(x) =
x→+∞
lim g(x) =
x→+∞
lim g(x) =
x→+∞
lim g(x) =
x→+∞
lim g(x) =
x→+∞
lim g(x) = +∞
x→+∞
lim g(x) = 0
x→+∞
1
lim f (x) · g(x) = −4
x→+∞
lim f (x) · g(x) = −4
x→+∞
lim f (x) · g(x) = 0
x→+∞
lim f (x) · g(x) = −∞
x→+∞
lim
f (x)
= −4
g(x)
lim
f (x)
= −4
g(x)
lim
f (x)
=0
g(x)
lim
f (x)
= −∞
g(x)
x→+∞
x→+∞
x→+∞
x→+∞
lim f (x) + g(x) = 0
x→+∞
lim f (x) + g(x) = −∞
x→+∞
lim f (x) − g(x) = −4
x→+∞
lim f (x) + g(x) = −∞
x→+∞
lim (f (x))
g(x)
=
lim (f (x))
g(x)
=
x→+∞
x→+∞
52◦ Simulazione
2. Siano date le due successioni an , bn :
an = bn +
sicuramente vera?
4n
. Quale delle seguenti aﬀermazioni è
n2 + 3n + 4
a) la successione an − bn diverge
b) la successione an converge a zero
c) nessuna delle altre risposte è vera
d) la successione an + bn converge
e) la successione an − bn converge
3. Siano date le due successioni an , bn . Se lim an · bn = −3 e lim bn = −∞ allora
n→+∞
a)
b)
c)
d)
n→+∞
lim an = 0+
n→+∞
lim an = 0−
n→+∞
lim an = −3
n→+∞
lim an = +∞
n→+∞
e) nessuna delle altre risposte è corretta
4. Se lim an = 0+ e lim bn = +∞, allora
n→+∞
a)
b)
c)
d)
e)
n→+∞
lim abnn = 0
n→+∞
lim abnn = +∞
n→+∞
lim abnn = −∞
n→+∞
lim abnn = @
n→+∞
lim abnn = 1
n→+∞
5. Sia data l’equazione diﬀerenziale y ′ =
x − x2
. Allora
y − y2
a) y = x è soluzione dell’equazione
b) l’equazione è del I ordine, lineare
c) y = x, x ̸= {0, 1}, è soluzione dell’equazione
d) y = 0 è soluzione dell’equazione
e) y = 1 è soluzione dell’equazione
6. Se y = e−t cos 2t è una soluzione dell’equazione diﬀerenziale y ′′ + ay ′ + by = 0, allora
a) a = 2, b = −5
b) a = 5, b = 2
c) a = 2, b = 5
d) ∀a, b ∈ R
e) a, b ∈ C
7.
∫
∀c ∈ (1, +∞),
1
a) log | log c|
1
b)
log3 c
3
c) log c
d) log c2
1
e)
log2 c
2
Paola Suria
2
c
log2 x
dx =
x
52◦ Simulazione
8.
lim
n→+∞
an
= −2;
bn
lim bn = 0+
n→+∞
allora lim an =
n→+∞
a) 0+
b) −∞
c) −2
d) ∀k ∈ R
e) 0−
9. L’equazione −x7 − 3x5 − 1 = 0 ha :
a) una sola soluzione reale positiva
b) una sola soluzione reale negativa
c) almeno una soluzione reale, di cui una negativa
d) ha 7 soluzioni in R
e) ha 7 soluzioni in C, di cui almeno due reali
10. Dato il numero complesso z = 2 + 3i quanto vale ρ = |z 2 + 5|
√
a) 194
b) 136
c) 144
d) 12i
e) 12
11. La derivata della funzione f (x) = arctan
a) −
5
x
+ arctan
x
5
5
x2 + 25
b) 5
c) 0
10
x2 + 25
10
e) − 2
x + 25
d)
12. L’integrale improprio
∫
+∞
1
(
)
1
x log 1 + 5 dx
x
a) converge a zero
b) diverge ad un numero positivo
c) è indeterminato
d) converge ad un numero positivo
e) è Riemann integrabile
(π )
della funzione f (x) = (sin x)5 sin x ?
13. Quanto vale f ′
2
a) 1
b) 5
c) 0
d) @
e) nessuna delle altre risposte è corretta
Paola Suria
3
52◦ Simulazione
14. Trovare la parte principale, per x → 0, della funzione f (x) = x + x2 −
a)
b)
c)
d)
e)
√
5
x5 + x6
4 2
x
5
2x
2x2
x2
1 2
x
5
15. Trovare la parte principale, per x → +∞, della funzione f (x) = x + x2 −
a)
b)
c)
d)
e)
6
x5
x
2x2
nessuna delle altre risposte è corretta
x2
16. Quanti sono gli zeri della funzione f (x) =
a)
b)
c)
d)
e)
√
5
x5 + x6
sin 3x
, x ∈ (−1, 1)
1 − x2
uno
tre
due
nessuno
quattro
17. Sia data la funzione f : (−1, 1) =⇒ R
{
f (x) =
−x3
a
x ̸= 0
x=0
Per quali valori di a la funzione ammette massimo oppure minimo
a)
b)
c)
d)
e)
a=1
a>1
a < −1 ∨ a > |
|a| ≥ 1
|a| ≤ 1
18. Siano date le due successioni an , bn tali che
lim (an + bn ) = −7 mentre
n→+∞
lim an = −∞; allora
n→+∞
necessariamente
a)
b)
c)
d)
lim bn = ∞
n→+∞
lim bn = −7
n→+∞
lim bn = +∞
n→+∞
lim bn = −∞
n→+∞
e) nessuna delle altre risposte è corretta
19. Siano date le due successioni an , bn . Sapendo che an = (−1)n
a)
b)
c)
d)
e)
lim an + bn = @
n→+∞
lim an + bn = 0
n→+∞
lim an − bn = 0
n→+∞
lim an − bn = @
n→+∞
lim an · bn = 0
n→+∞
Paola Suria
4
n2
1
− bn , allora necessariamente
+ sin n + 1
52◦ Simulazione
20. Sia data una funzione f : R −→ R con f ∈ C (n) e pari.
Allora necessariamente, se f (n) è la prima derivata che non si annulla in x = 0,
a) n ≥ 2k + 1, k ∈ N
b) n ≥ 2k + 2, k ∈ N
c) n > k, k ∈ N
d) n = k + 1, k ∈ N
e) nessuna delle altre risposte è corretta
21. Sia data una funzione f : R −→ R con f ∈ C (n) e dispari.
Allora necessariamente
a) f ′′ (0) = 0
b) f ′ (0) = 0
c) f ′ (0) ̸= 0
d) f ′′ (0) ̸= 0
e) f (n) (0) ̸= 0, n ≥ 2
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
2
e
3
a
4
a
5
c
6
c
7
b
8
e
9
b
10
e
11
c
12
d
13
c
14
a
15
e
16
a
17
d
18
c
19
b
20
b
21
a
CONSIGLI
Quesito n◦ 1
Indicare la condizione necessaria, ma non suﬃciente, aﬃnché sia possibile ottenere il risultato del III limite
proposto (cioè dare la soluzione per ognuno dei limiti assegnati):
La molla per la soluzione è che il limite deve coinvolgere necessariamente una forma indeterminata:
0 ∞
;
, +∞ − ∞
0 ∞
Inoltre è necessario prestare attenzione al segno del risultato: se negativo i due limiti coinvolti devono avere
segno diverso.
0 · ∞;
Paola Suria
5
52◦ Simulazione
f (x)
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim g(x) = 0−
lim f (x) · g(x) = −4
x→+∞
x→+∞
g(x) = −4e−x
f (x) = ex
lim f (x) = −∞
x→+∞
f (x) = −e
f (x) g(x)
g(x)
x
lim f (x) = +∞
x→+∞
f (x) = log x
lim f (x) = +∞
x→+∞
2
f (x) = x
lim f (x) = +∞
x→+∞
f (x) = 4x4
lim f (x) = −∞
√
f (x) = −4 x
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
f (x) = log x
lim f (x) = +∞
x→+∞
f (x) = x7
lim f (x) = +∞
x→+∞
x
f (x) = e√
f (x) = x2 + 1
lim f (x) = +∞
x→+∞
f (x) = log x
lim f (x) = +∞
√
f (x) = x2 − 5
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
f (x) = log x
lim f (x) = 0+
x→+∞
lim f (x) · g(x) = −4
lim g(x) = 0+
x→+∞
g(x) = 4e
x→+∞
−x
lim f (x) · g(x) = 0
lim g(x) = 0
x→+∞
g(x) = e
x→+∞
−x
lim g(x) = −∞ ∨ k, k ∈ R−
x→+∞
g(x) = −x
lim f (x) · g(x) = −∞
x→+∞
3
lim g(x) = −∞
x→+∞
lim
f (x)
= −4
g(x)
lim
f (x)
= −4
g(x)
lim
f (x)
=0
g(x)
lim
f (x)
= −∞
g(x)
x→+∞
g(x) = −x4
lim g(x) = +∞
√
g(x) = x
x→+∞
x→+∞
lim g(x) = ∞
x→+∞
x→+∞
g(x) = x4
lim g(x) = −∞ ∨ k, k ∈ R−
x→+∞
x→+∞
g(x) = −x3
lim g(x) = −∞
lim f (x) + g(x) = 0
x→+∞
x→+∞
g(x) = −e√
g(x) = − x2 − 2
x
lim g(x) = −∞
lim f (x) + g(x) = −∞
x→+∞
x→+∞
g(x) = −x
4
lim f (x) − g(x) = −4
lim g(x) = +∞
√
g(x) = x2 + 8x
x→+∞
x→+∞
lim g(x) = −∞
lim f (x) + g(x) = −∞
x→+∞
x→+∞
g(x) = −x
lim g(x) = +∞
lim (f (x))
x→+∞
x→+∞
g(x)·log(f (x))
e
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim g(x) = 0
lim (f (x))
x→+∞
x→+∞
g(x)
=0
→ e+∞·(−∞) = e−∞
g(x)
=
h(x) = e
→ e0·(+∞) = e??
log x
−x
h(x) = ee log x = e ex = 1
g(x)·log(f (x))
f (x) = x
g(x) = e−x
Ed ora dal discreto al continuo...
Paola Suria
6
52◦ Simulazione
Quesito n◦ 2
lim an − bn = lim
n→+∞
n→+∞
4n
=0
n2 + 3n + 4
Quesito n◦ 3
il limite del prodotto è un numero ﬁnito, ma uno dei due fattori è un inﬁnito: l’unica possibilità aﬃnché questo
possa avvenire è che si passi attraverso una forma indeterminata del tipo 0 · ∞. Si potrà quindi eliminare la
0
∞
forma di indeterminazione trasformando il prodotto in rapporto del tipo
oppure
, con la possibilità che
0
∞
possa dare un risultato ﬁnito
Quesito n◦ 4
lim abnn = lim ebn ·log an = e−∞ = 0
n→+∞
n→+∞
Quesito n◦ 7
E’ possibile procedere in due modi diversi:
1. Impongo che la soluzione dell’equazione la soddisﬁ:
y = e−t cos 2t; y ′ = −e−t cos 2t − 2e−t sin 2t;
y ′′ = e−t cos 2t + 2e−t sin 2t + 2e−t sin 2t − 4e−t cos 2t
Annullo i coeﬃcienti del seno e del coseno
(
)
(
)
e−t cos 2t + 2e−t sin 2t + e−t sin 2t − 4e−t cos 2t + a −e−t cos 2t − 2e−t sin 2t + b e−t cos 2t = 0
Raccogliamo e sempliﬁco per e−t e poi applichiamo principio di identità:
(1 − 4 − a + b) cos 2t + (2 + 2 − 2a) sin 2t = 0
Raccolgo il seno e il coseno e poi annullo i coeﬃcienti del seno e del coseno
{
{
a − b = −3
a=2
4 − 2a = 0
b=5
2. II metodo
La soluzione ha una parte esponenziale e un coseno: l’equazione caratteristica deve avere ∆ < 0
(
)
√
√
2 − 4b
2 − 4b
−a
±
a
−a
a
λ2 + aλ + b = 0 =⇒ λ =
=
±
2
2
2
con a2 − 4b < 0
Deve essere quindi:
 √
√

−∆
4b − a2


=
=2

2
2



 −a = −1
2

 a√= 2
4b − 4

=2
2

 a=2

 a=2
 √
4b − 4 = 4

4b − 4 = 16 → b = 5
Quesito n◦ 9
E’ un’equazione di grado 7: è opportuno riﬂettere su questi argomenti
1. l’equazione può essere interpretata in campo reale alla luce del teorema dei valori intermedi, degli zeri:
f (x) = −x7 −3x5 −1 è una funzione continua in R, somma di funzioni monotone, strettamente decrescenti,
quindi la funzione interseca l’asse x in un solo punto (unico zero dell’equazione)
2. d’altra parte lim f (x) = +∞, quindi la funzione incontra l’asse x in fase discendente.
x→−∞
Paola Suria
7
52◦ Simulazione
3. f (0) = −1, cioè taglia l’asse y nel semiasse negativo, quindi avendo già tagliato l’asse x prima, nel semiasse
negativo
4. L’equazione ha una sola radice, negativa
5. L’equazione può anche ricordare il teorema fondamnetale dell’algebra, se leggiamo i risultati in campo
complesso. L’equazione ammette 7 radici, in campo complesso. Poiché i coeﬃcienti sono reali, l’equazione,
se ammette una radice complessa, deve ammettere anche la complessa coniugata con la stessa molteplicità.
Quindi l’equazione ha almeno una radice reale. Le radici reali possono essere 1 oppure 3, oppure 5 oppure
7. Il teorema non ci consente di sapere quante sono eﬀettivamente le reali.
6. Volessimo trovare le radici reali, riusciremmo a trovare, se esistono, solo le radici razionali, con la regola
di Ruﬃni.
Quesito n◦ 10
Attenzione, il modulo di un prodotto è il prodotto dei moduli, il modulo di un rapporto è il rapporto dei moduli,
il modulo di una potenza è la potenza del modulo, ma il modulo di una somma o di una diﬀerenza NON è la
somma/diﬀerenza dei moduli
w = z 2 + 5 =⇒ w = (2 + 3i)2 + 5 = 4 + 12i − 9 + 5 = 12i;
|w| = 12
Quesito n◦ 13
(
cos x )
f (x) = (sin x)5 sin x = e5 sin x·log(sin x) =⇒ f ′ (x) = (sin x)5 sin x 5 cos x · log(sin x) + 5 sin x
sin x
(π )
(
)
π
f′
= (1)5 5 · 0 · log 1 + 5 cos
=0
2
2
Quesito n◦ 14
5
Per x → 0 la potenza che conta è la minore. In questo caso è x1 , x 5 , però si elidono, allora è bene rivolgerci a
Mac Laurin dopo aver raccolto x con la potenza minore, sotto radice.
(
)
(
)
1 1
√
−
1
1
x → 0, f (x) = x + x2 − 5 x5 (1 + x) = x + x2 − x 1 + x + 5 5
x2 + o(x2 )
5
1·2
1
4
x → 0, f (x) = x + x2 − x − x2 + o(x2 ) =⇒ P.P. = x2
5
5
Quesito n◦ 15
Per x tendente a inﬁnito conta la potenza con esponente maggiore, che è x2 .
x → +∞,
P.P = x2
Quesito n◦ 18
Il quesito richiama l’algebra dei limiti, per n → +∞. Anche in questo caso, essendo il limite della somma ﬁnito,
il limite di un addendo deve essere inﬁnito, necessariamente siamo in presenza di una forma indeterminata del
tipo +∞ − ∞.
Quesito n◦ 19
La successione an è diﬀerenza tra una successione convergente a zero, a segno alterno, ed una successione di cui
non si conosce il comportamento.
1. Se bn converge a k ∈ R allora an converge a −k
2. Se bn diverge a +∞ allora an diverge a −∞
3. Se bn è indeterminata allora anche an è indeterminata
Paola Suria
8
52◦ Simulazione
Quesito n◦ 20
Se la funzione è pari e derivabile in R, necessariamente x = 0 è un punto a tangente orizzontale, massimo o
minimo derivabile.
Quindi sicuramente f ′ (x) = 0 e la prima derivata che non si annulla in x = 0 è di ordine pari. Si può pensare
al teorema delle derivate successive
Pur sapendo che un esempio non mi darà mai sicuramente ragione, mentre un controesempio mi darà definitivamente torto (A.Einstein), penso a qualche funzione pari, per convincermi se le ipotesi poste sono corrette:
Pensare a funzioni pari:
f (x) = cos x; f (x) = x2 ; f (x) = x4 ; f (x) = x100 ; f (x) = x6 + 2; f (x) = cosh x...
Quesito n◦ 21
Se la funzione è dispari e derivabile in R, allora la funzione passa sicuramnete per l’origine che può essere un
ﬂesso, anche a tangente obliqua. Pensare alle funzione
f (x) = x; f (x) = x3 ; f (x) = x9 ; f (x) = sin x; f (x) = sinh x; f (x) = arctan x
Non sono dispari funzioni del tipo
f (x) = sin x + 3; f (x) = sinh x − 5
La derivata prima può non essere nulla, come avviene con la funzione f (x) = sin x.
In x = 0 si annulla sempre la derivata seconda, anche nel caso banale
f1 (x) = x : f ′ (x) = 1; f ′′ (x) = 0 −→ f (0) = 0; f ′ (0) ̸= 0; f ′′ (0) = 0
g(x) = sin x; g ′ (x) = cos x; g ′′ (x) = − sin x −→ g(0) = 0; g ′ (0) = 1; g ′′ (0) = 0
h(x) = x3 ; h′ (x) = 3x2 ; h′′ (x) = 6x −→ h(0) = 0; h′ (0) = 0; h′′ (0) = 0
Nell’ultimo caso si annulla anche la derivata prima, ma un esempio....
Paola Suria
9
53◦ Simulazione
CORSO DI ANALISI I
53◦ SIMULAZIONE
1. Quelle delle riposte NON è esatta?
∫
0
a)
b)
c)
d)
e)
1
2 + 2x3
dx
4x + x4 + 4
1
1
log 9 − log 4
2
2
3
log
2
1
9
log
2
4
1
log 9 − log 4
2
log 3 − log 2
2. Per x → 0 la parte principale della funzione f (x) =
√
3
x3 + x6 − x + x4 + x6 è:
a) x
4
b) x4
3
c) x4
1
d) x3
3
e) 0
3. Il polinomio di Mac Laurin, di ordine 3, della funzione f (x) = ex − x sin2 x è:
1
5
a) 1 + x2 − x3 + o(x3 )
2
6
1 3
b) 1 + x
2
1
7
c) 1 + x2 + x3 + o(x3 )
2
6
d) nessuna delle altre risposte è corretta
1
5
e) 1 + x2 − x3
2
6
4. Siano date le successioni an , bn , cn . Sapendo che la successione cn è infinitesima, sotto quali condizioni la
successione an = bn · cn è infinitesima?
a) an è infinitesima qualsiasi sia il comportamento della successione bn
b) an è infinitesima solo se bn è convergente ad un numero positivo
c) an è infinitesima solo se bn è convergente ad un numero reale
d) an è infinitesima solo se bn non è indeterminata
e) an è infinitesima solo se bn è limitata
5. La derivata prima della funzione f (x) = arctan
2
x
− arctan è
2
x
a) 0
4
4 + x2
2
c)
4 + x2
d) 1
4
e)
1 + x2
b)
Paola Suria
1
53◦ Simulazione
6. Se z = 1 + 2i; w = 3 + 4i, allora
z
=
w
1 2
a) − + i
5 5
1
2
b) − − i
5 25
1 2
c) − − i
5 5
d) −1 − 2i
e) nessuna delle altre risposte è esatta
7.
lim+
x→0
√
x2 log4 x + x log2 x
√
=
x + x log x
a) 0
b) @
c) 1
d) +∞
e) −∞
8. Sia z = −1 + 2i. Allora z 2 + 3 è
a) 4
b) 4i
c) 5
d) 8
e) nessuna delle altre risposte
9. L’integrale improprio
∫
1
0
1
√ dx
x+ x
a) converge a 2
b) converge ad un numero maggiore di 2
c) converge a zero
d) converge ad un numero positivo
e) diverge positivamente
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
1
d
2
b
3
d
4
e
5
b
CONSIGLI
Paola Suria
2
6
c
7
e
8
a
9
d
53◦ Simulazione
Quesito n◦ 1
A numeratore, a meno di un fattore 2, c’è la derivata dl denominatore e quindi la primitiva è il logaritmo del
denominatore.
Tutte le proposte sfruttano l’algebra dei logaritmi.
Quesito n◦ 2
√
3
Ad occhio si vede che le potenze con esponente minore x3 e −x si elidono, quindi è necessario far ricorso a
Mac Laurin, dopo aver raccolto la x con esponente minore, sotto radice.
)
(
)
(
(
)1
1
1 3 1 6
6
4
6
3 3
4
6
+ 1 x4 + o(x4 )
f (x) = x 1 + x
− x + x + x = x 1 + x − x + o(x ) − x + x + x =
3
9
3
Quesito n◦ 3
(
)2
1 2 1 3
1 3
1
1
3
f (x) = 1 + x + x + x − x x − x + o(x ) + o(x3 ) = 1 + x + x2 + x3 − x3 + o(x3 )
2
6
6
2
6
Quesito n◦ 4
Il quesito si richiama all’algebra dei limiti ed in particolare al fatto che infinitesimo per limitato è infinitesimo.
E’ invece indeterminato infinitesimo per infinito (0 · ∞)
1
· sin n = 0 anche se la successione bn = sin n è indeterminata
n→+∞ n
lim
lim
n→+∞
1 n
· e =? è una forma indeterminata ed è necessario eliminare la forma di indeterminazione
n
Quesito n◦ 5
Attenzione
x
2
4
− arctan
=⇒ f ′ (x) =
2
x
4 + x2
x
2
f (x) = arctan + arctan
=⇒ f ′ (x) = 0
2
x
f (x) = arctan
Quesito n◦ 6
z
1 − 2i
(1 − 2i)(3 − 4i)
−5 − 10i
1 2
=
=
=
=− − i
w
3 + 4i
25
25
5 5
Quesito n◦ 7
(
√ )
√
log2 x · x2 log2 x + x
x2 log4 x + x log2 x
√
√
= lim+
x + x log x
x + x log x
x→0
x→0
In una somma di infiniti si deve trascurare l’infinito di ordine minore; in una somma di infinitesimi si deve
trascurare l’infinitesimo di ordine maggiore (quello che va a zero più velocemente: x → 0, x2 = o(x).
lim+
E’ opportuno ricordare che
lim xα · logβa x = 0, α, β, a ∈ (0, +∞) e a ̸= 1
x→0+
quindi sia il numeratore sia il denominatore sono somma di due infinitesimi.
l’infinitesimo di ordine maggiore?
√
Sappiamo che x → 0+ x = o( x)
Paola Suria
3
Ma chi dei due addendi è
53◦ Simulazione
Proviamo a confrontare tra loro gli infinitesimi a numeratore, per sapere quali addendi possiamo trascurare
( √
)
√
x2 log4 x
lim √
= lim x x log2 x = 0 =⇒ x2 log4 x = o( x log2 x),
2
+
x→0+
x→0
x log x
x → 0+
Quindi a numeratore è trascurabile (infinitesimo di ordine maggiore) x2 log4 x.
Analizziamo il denominatore
[
]
√
x
0
x
=
= 0−
lim √
= lim
−∞
x log x x→0+ log x
x→0+
√
x = o( x log x), x → 0+
Quindi il limite diventa
lim+
x→0
x log2 x
= lim+ log x = −∞
x log x
x→0
Quesito n◦ 8
z = −1 − 2i =⇒ z 2 = 1 + 4i − 4 = −3 + 4i
z 2 + 3 = |−3 + 4i + 3| = 4
Quesito n◦ 9
1
1
√ ≤ √ =⇒
0<x<1: 0<
x+ x
x
Paola Suria
∫
1
0
1
√ dx ≤
x+ x
4
∫
0
1
1
√ dx = lim
x
a→0+
∫
1
a
√
1
√ dx = lim 2 x
+
x
a→0
1
a
=2
Ultimo test di prova
1. Sia A un sottoinsieme di R. Una funzione f : A → R e’ limitata inferiormente se e solo se
(a) il dominio A e’ limitato inferiormente
(b) l’immagine f (A) e’ limitata inferiormente
(c) f (x) ammette limite per x → −∞
(d) f (x) ammette limite finito per x → −∞
(e) f (x) ammette minimo
2. Sia f (x) = sin x − |x|. Allora
(a) f −1 ({0}) = {0}
(b) f −1 ({0}) = {x ∈ R : sin x = 0}
(c) f −1 ({0}) = ∅
(d) f −1 ({0}) = 0
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
3. Dati gli insiemi A = {z ∈ C : |z − 4i| = 2} e B = {z ∈ C : z 4 = 16}, allora A ∩ B e’ costituito da
(a) nessun elemento
(b) un elemento
(c) 2 elementi
(d) 3 elementi
(e) 4 elementi
4. Sia f : R → R una funzione continua, con f (3) = −1. Allora possiamo dire che
(a) f (x) < 0 in ogni intorno di x = −1
(b) f (x) < 0 in qualche intorno di x = −1
(c) f (x) < 0 in ogni intorno di x = 3
(d) f (x) < 0 in qualche intorno di x = 3
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
√
5. Il limite lim
x→0
x+1−1
√
vale
3
e x−1
(a) 1
(b) +∞
(c) −∞
(d) 0
(e)
1
2
1
6. Sia f : R → R una funzione che non soddisfa f (x) = o(1) per x → +∞. Allora possiamo dire che
(a) esiste > 0 tale che per ogni K > 0 esiste x > K per cui |g(x)| > (b) esiste > 0 tale che per ogni K > 0 esiste x > K per cui |g(x)| < (c) per ogni > 0 esiste x > 0 per cui |g(x)| < (d) per ogni > 0 esiste x > 0 per cui |g(x)| > (e) esiste > 0 tale che per ogni x > 0, risulta |g(x)| > √
(−1)n n + 1
7. La successione an =
n! + sin n
(a) e’ monotona
(b) e’ crescente
(c) e’ infinitesima
(d) e’ indeterminata
(e) e’ divergente
8. La derivata della funzione f (x) = x2 log |x| e’ data da
(a) f 0 (x) = 2x log |x|
(b) f 0 (x) = 2x log |x| + 2
(c) f 0 (x) = 2x log x + 2
(d) f 0 (x) = 2x log |x| + x
(e) f 0 (x) = 2x log x + x
1
9. Si consideri la funzione f definita da f (x) = x sin per x 6= 0 e f (0) = 0. Il suo rapporto incrementale
x
nel punto x0 = 0 vale
1
x
1
x sin
x
1
1
− 2 cos
x
x
1
sin
x
nessuna delle altre risposte e’ corretta
(a) − cos
(b)
(c)
(d)
(e)
10. La funzione f (x) = |x − 4|a , dove a e’ un parametro positivo, e’ derivabile due volte in R se e solo se
(a) a > 2
(b) a ≥ 2
(c) a ≥ 1
(d) a > 1
(e) a > 0
2
11. Sia f (x) = x + 3x2 + x3 per x → 0 e g(x) = sin(f (x)). Allora per x → 0 risulta
(a) g(x) = x + 3x2 + 56 x3 + o(x3 )
(b) g(x) = x + 3x2 + 16 x3 + o(x3 )
(c) g(x) = x + 3x2 + x3 + o(x3 )
(d) g(x) = x + 3x2 − 56 x3 + o(x3 )
(e) g(x) = x + 3x2 + o(x3 )
12. Sia f (x) = o(x3 ) per x → 0. Allora, sempre per x → 0,
(a) sin x + f (x) ∼ x
(b)
f (x)
sin x
∼ x2
(c) la funzione
(d) la funzione
(e) la funzione
f (x)
sin x3 tende a 1
f (x)
x3 cos x3 tende a
3
3
x cos x
f (x)
1
e’ limitata in un intorno destro di x = 0
13. Per ogni valore di a ∈ R, possiamo dire che il grafico della funzione f (x) = arctan((arctan x)3 + x5 )
interseca la retta di equazione y = a
(a) in almeno un punto
(b) in al piu’ un punto
(c) in piu’ di un punto
(d) in nessun punto
(e) esattamente in un punto
14. Sia f : R → R una funzione derivabile tale che f (−2) = 0, f (2) = 4. Allora nell’intervallo (−2, 2) la
derivata f 0 (x)
(a) assume il valore 2 in almeno un punto
(b) assume il valore 0 in almeno un punto
(c) assume il valore 1 in almeno un punto
(d) assume il valore 4 in almeno un punto
(e) assume il valore 1 in piu’ di un punto
15. Se per x → +∞, f (x) =
π
2
+ x1 + o x1 , allora la funzione g(x) = cos(f (x)) verifica (sempre per x → +∞)
(a) g(x) = − x1 + o x1
(b) g(x) = − x12 + o x12
(c) g(x) = 1 − 2x1 2 + o x12
(d) g(x) = 1 − x1 + o x1
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
3
16. Una primitiva della funzione f (x) =
√
√
x sin(x x) su (0, +∞) e’ data da
√
(a) − 23 sin( x)
√
(b) 23 cos( x)
√
(c) − 23 cos(x x)
√
(d) 23 cos(x x)
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
17. La funzione f (x) =
Rx −1
arctan t3 +
√
5
t dt
(a) e’ crescente
(b) si annulla in x = 1
(c) ha una cuspide in x = 0
(d) si annulla in x = 0
(e) e’ sempre strettamente positiva
18. La media integrale della funzione mantissa sull’intervallo [−1, 0] vale
(a) 1
(b) −1
(c) − 21
(d)
1
2
(e) non si puo’ calcolare perche’ la funzione mantissa non e’ continua su tale intervallo
19. Se f : R → R e’ una funzione continua, soddisfacente f (x) = 3x3 + x5 + o(x5 ) per x → 0 allora l’integrale
Z 1
f (x) sin x
dx
improprio
xα
0
(a) converge per ogni α < 1
(b) converge per ogni α < 5
(c) converge per ogni α > 1
(d) converge per ogni α > 5
(e) e’ indeterminato per ogni α
20. L’equazione differenziale y 0 − 5 log x cos y = 0
(a) e’ a variabili separabili
(b) e’ lineare
(c) ammette soluzioni costanti definite su tutto R
(d) ammette la soluzione costante y(x) = 1 in (0, +∞)
(e) non ammette soluzioni costanti
Soluzioni
1 b, 2 a, 3 b, 4 d, 5 d, 6 a, 7 c, 8 d, 9 d, 10 b, 11 a, 12 a, 13 b, 14 c, 15 a, 16 c, 17 b, 18 d, 19 b, 20 a.
4