ANALISI DI CIRCUITI SENZA MEMORIA
Nullore
Trasformatore
Giratore
Modelli Matematici nel dominio del tempo
Condensatore
Induttore
Ind. Mut. Acc. (puntini allineati)
I1 = 0
V1 = n V2
V1 = - r I 2
i(t) = C d/dt (v(t))
v(t) = L d/dt (i(t))
V1 = L1 d/dt I1 + M d/dt I2
V1 = 0
I1 = -1/n I2
V2 = r I1
V2 = L2 d/dt I2 +M d/dt I1
Metodi di Analisi per un circuito
Metodo Base Maglie: scegliere, se possibile, un albero il cui co-albero contenga tutti i generatori di corrente; nel caso in cui non siamo riusciti a comprendere tutti i
generatori nel co-albero, per ogni generatore escluso avremo un'equazione aggiuntiva detta equazione di vincolo.
Metodo Base Nodi: verificare che il circuito sia a Nodi Completi; scegliere un nodo come riferimento a massa ovvero riferimento zero volt; orientare le correnti dei rami
dell'albero verso il nodo a massa; se possibile, includere tutti i generatori di tensione nell'albero; nel caso in cui non siamo riusciti a comprendere tutti i generatori di tensione
nell'albero, per ogni generatore escluso bisogna aggiungere un'equazione di vincolo al sistema risolvente.
Caratterizzazione esterna dei circuiti
Teo. Thevenin
Teo. Norton
Teo. Thevenin Generalizzato
Teo. Norton Generalizzato
A
A
-
Rth
+
Vg
Eth
I*=1 A
Rth
INo
+
B
Ig
+
E* = 1 v
+
V1
C
I1
Rete
2-Porte
I2
+
V2
Matrice [Y]
B
Eth1
Eth2
A
C
+
INo1
D
[Y]
INo2
B
D
D
Trasformatore
Giratore
V1(s) = n V2(s) V1(s) = - r I2(s)
I1(s) = -1/n I2(s) V2(s) = r I1(s)
Eth1 =VAB (con entrambi i morsetti aperti) INO1 = IAB da A → B (a morsetti in corto)
Eth2 =VCD (con entrambi i morsetti aperti) INO2 = ICD da C → D (a morsetti in corto)
SISTEMA
V1 = Z11 I1 + Z12 I2
V2 = Z21 I1 + Z22 I2
SISTEMA
I1 = Y11 V1 + Y12 V2
I2 = Y21 V1 + Y22 V2
ANALISI DI CIRCUITI CON MEMORIA
I1(s) = 0
V1(s) = 0
[Z]
B
Rth = E* / I* = 1 / (- Ig) (gen. disarm.)
INO = IAB (a morsetti cortocircuitati)
A
Nullore
C
+
B
Rth =VAB / I* =VAB = - Vg (gen. disarm.)
Eth =VAB (a morsetti aperti)
Reti 2-Porte, Matrice [Z], Matrice [Y]
Matrice [Z]
A
I*
+
I1
V1
+
I2
I 1*
+
V1
I1
I2
Z11 = V1/I1*
Z21 = V2/I1*
V2
+
V2
Y11 = I1/E1*
Y21 = I2/E1*
+
I1
V1
V1
I1
+
I2
V2
I2
I2*
+
E2*
Z22 = V2/I2*
Z12 = V1/I2*
Y22 = I2/E2*
Y12 = I1/E2*
Modelli Matematici nel dominio di Laplace
Condensatore
Induttore
Ind. Mut. Acc.
I(s) = sCV(s) – CV(0)
se V(0) = 0 allora:
V(s) = (1/sC) I(s)
→ Zc = 1/sC
V(s) = s L I(s) – L I(0)
se I(0) = 0 allora:
V(s) = s L I(s)
→ ZL = s L
V1(s) =
s L1 I1(s) + s M I2(s) – L1 I1(0) – M I2(0)
V2(s) =
s L2 I2(s) + s M I1(s) – L2 I2(0) – M I1(0)
Risposta di un circuito e Stabilità
Funzione di rete: F(s) = Vu(s)/Vi(s) (u = uscita, i = ingresso)
Risposta impulsiva: h(t) = L-1[F(s)]
Stabilità asintotica: se tutti i poli di F(s) hanno parte reale negativa → Risposta Suddivisibile.
Stabilità semplice: se i poli di F(s) hanno parte reale minore o uguale a zero (nel caso sia uguale a zero i poli devono essere semplici) → Risposta Suddivisibile solo se il
sistema è passivo e i poli della F(s) a parte reale nulla non coincudono con i poli dell'eccitazione.
Sinusoidi e Fasori
Sinusoide: e(t)=eM cos(ωt+φ); ω = 2пf = 2п/T
Fasore: E = eM e^(± j φ) = eM (cos φ ± j sin φ); se φ = 0 → fasore reale
Vettore Rotante: V = E e^( j ω t ) = eM e^( j φ ) e^( j ω t ) → risulta che e(t) = RE{ V }
Metodo derivato da Laplace (per determinare la risposta a regime di un circuito alimentato da una eccitazione sinusoidale)
U = E * F(s = jω0) = [eM e^(± j φ)] * F(s = jω0), ove ω0 = pulsazione di e(t)
Metodo analitico dei Fasori (per determinare la risposta a regime di un circuito alimentato da una eccitazione sinusoidale)
–
OSS: il metodo è applicabile solo se la risposta è suddivisibile; bisogna prima verificare le condizioni di suddivisibilità.
– ω0 = pulsazione dell'eccitazione; sostituire ad ogni induttore L → ZL = jω0L; sostituire ad ogni condensatore C → ZC = 1/(jω0C).
– quando si calcola la risposta permanente bisogna applicare i normali metodi risolutivi, ma impiegare le impedenze in jω0 e i fasori delle sinusoidi.
–
il risultato è un fasore da riconvertire in una sinusoide tramite la formula di conversione.
Potenze in regime sinusoidale (bisogna passare al circuito fittizio e sostituire i componenti con la stessa modalità del metodo analitico dei fasori)
v(t) = VMcos(ω0t + φV) → V = VM e^( j φV ) → V* = VM e^( - j φV )
i(t) = IMcos(ω0t + φI) → I = IM e^( j φI ) → I* = IM e^( - j φI )
Potenza Istantanea: P(t) = v(t) i(t) = ½ RE{V I*} + ½ VM IM cos(2ω0t + φV + φI)
Potenza Attiva: PA = ½ RE{V I*} = ½ RE{VM e^( j φV ) IM e^( - j φI ) } = ½ VM IM cos(Φ) (OSS: Φ = φV – φI , e cos(Φ) è detto fattore di potenza)
Potenza Reattiva: PR = ½ IM{V I*} = ½ VM IM sin(Φ) = Veff ieff sin(Φ)
[VAR] = Volt-Ampere Reattvi
Potenza Complessa: PC = ½ V I* → |PC| = ½ |V| |I*| = ½ VM IM = Veff ieff
(OSS: PC = PA + j PR)
Potenza Apparente: Pa = ½ VM IM = Veff ieff = |PC|
[VA] = Volt-Ampere
Valori delle potenze per i vari elementi circuitali
Resistore
Induttore
Condensatore
Trasformatore
Giratore
|V| = R |I| → ( Φ=0→cos(Φ)=1)
VM = R IM → Veff = R ieff
PA = Pa = Veff ieff = R (ieff)2
PR = 0
PC = PA
V = jω0L I→|V| = ω0L |I| →
VM = ω0L IM → Veff = ω0L ieff
φV=φI – п/2→Φ=п/2→sin(Φ)=1
PR = Pa = Veff ieff = ½ VM IM =
= ½ ω0L (IM)2
PA = 0; PC = j PR
V = I/(jω0C)→|V| = |I|/(ω0C) → Non assorbe potenza
VM = IM /(ω0C)→Veff = ieff /(ω0C)
φI=φV+п/2→Φ= -п/2→sin Φ= -1
PR = Pa = - Veff ieff = - ½ VM IM =
= - ½ ω0C (VM)2
PA = 0; PC = j PR
PC = ½ V1 I1* + ½ V2 I2* =
= - ½ r I2 I1* + ½ r I1 I2* =
= 2 j IM {½ r I1 I2*} =
= j IM {r I1 I2*}
PA = 0
PR = IM {r I1 I2*}
Bilancio Energetico (Proprietà di conservazione delle potenze)
Conservazione Potenza Complessa: ΣNg (PCgi) = ΣNR (PCRi) + ΣNL (PCLi) + ΣNC (PCCi) + ΣNG (PCGi) [g=generatori, R=resistenze, L=induttori, C=condensatori, G=giratori]
Conservazione Potenza Reattiva: ΣNg (PRgi) - ΣNG (PRGi) = 2ω0 [ ΣNL (εLi) – ΣNC (εCi) ] (OSS: εLi = ¼ L (IM)2, εCi = ¼ C (VM)2 ; energie immagazzinate medie)
Conservazione Potenza Attiva: ΣNg (PAgi) = ΣNR (PARi)
Per i grafici
e^-t/τ → circuito RC serie τ = RC; circuito RL serie τ = L/R; → I segnali raggiungono un valore costante dopo circa 5 volte τ.
Varie
Trasformate di Laplace
Antitrasformate di Laplace
Formule di conversione
L[u-1(t)] = 1/s
L[u0(t)] = 1
L[sin(ωt)] = ω/(s2 + ω2)
L[cos(ωt)] = s/(s2 + ω2)
L[e^-s0t] = 1/(s + s0)
L[tn e^-s0t u-1(t)] = n!/(s + s0)n+1
L-1[1/s] = u-1(t)
L-1[1] = u0(t)
L-1[ω/(s2 + ω2)] = sin(ωt)
L-1[s/(s2 + ω2)] = cos(ωt)
L-1[1/(s + s0)] = e^-s0t
L-1[1/(s + s0)n] = (1/(n-1)!) tn-1 e^-s0t u-1(t)
L-1[1/sn] = (1/(n-1)!) tn-1 u-1(t) = u-n(t)
L-1[sn] = un(t)
a±jb = sqrt(a2 + b2) e^±j arctg(b/a) {OSS: se a>0 → arctg(b/a), se a<0 → arctg(b/a + п)}
Bcos(x + arctgA) = (B/sqrt(A2+1))cosx – (AB/sqrt(A2+1))sinx
Acosx – Bsinx = sqrt(A2 + B2) cos(x + arctg(B/A))
Asin(ωt) = Acos(ωt -п/2)
