Analisi dei circuiti lineari in regime sinusoidale

Analisi dei circuiti lineari in regime sinusoidale
L’analisi dei sistemi elettrici lineari, in regime sinusoidale, consente di determinare il
funzionamento di tali sistemi qualunque siano le caratteristiche del segnale applicato.
1. RELAZIONI TENSIONE-CORRENTE NEL DOMINIO DEL TEMPO
i(t)
Tensione applicata :
v(t)
v(t) = VM sen t
V(t) = VM et : vettore ruotante che genera la sinusoide
RESISTORE
i(t) = v(t) / R = VM/ R sen t

i(t) = IM sen t
Caratteristiche della corrente
funzione sinusoidale con :
 pulsazione uguale a quella della tensione
 fase uguale a quella della tensione
 ampiezza indipendente dalla frequenza : IM = VM/ R
CONDENSATORE

i(t) = IM sen (t + /2)

I(t) = IM ej/2 ejt
Caratteristiche della corrente
funzione sinusoidale con :
 pulsazione uguale a quella della tensione
 fase : in anticipo di /2 radianti
ampiezza proporzionale alla frequenza : IM = CVM

INDUTTORE

i(t) = IM sen (t - /2)
 I(t) = IM e-j/2 ejt
Caratteristiche della corrente
funzione sinusoidale con :
 pulsazione uguale a quella della tensione
 fase : in ritardo di /2 radianti
 ampiezza inversamente proporzionale alla frequenza : IM = VM / L
1

I(t) = IM ejt
In tutti i casi la corrente ha la stessa pulsazione (e quindi la stessa frequenza) della tensione.
Di conesuenza :

In regime sinusoidale, in una qualsiasi rete elettrica di tipi R-C-L, tutte le correnti e le tensioni
presenti nel sistema sono sinusoidali e hanno la stessa pulsazione.

Tutti i vettori ruotanti associati alle grandezze sinusoidali presenti nel circuito hanno la stessa
velocità angolare e perciò mantengono tra loro la stessa distanza angolare presente nell’istante
iniziale (t = 0).
Per questi motivi l’analisi dei circuiti in regime sinusoidale si può effettuare col metodo
vettoriale, considerando vettori fissi, anziché vettori ruotanti.
2. RELAZIONI VETTORIALI TENSIONE-CORRENTE
Resistore

I =V/R

Condensatore

I = j CV

V = I / j C = - j 1/C I

V = - j XC I
Induttore

I = V / j L

V = j L I

V = j XL I
V=RI
Come si può notare le tre relazioni sono analoghe e sono riconducibili all’espressione 
dove Z è un numero complesso che nel primo caso ha solo la parte reale,
mentre negli altri due casi ha solo la parte immaginaria.
R
XC = 1/C
XL = L
resistenza
reattanza capacitiva
reattanza induttiva
Z
impedenza
V = ZI
L’effetto prodotto da una reattanza capacitiva
è opposto a quello prodotto da una reattanza induttiva
L’impedenza di un bipolo passivo è il rapporto vettoriale tra la tensione applicata e la
corrente assorbita dal bipolo ed è espressa da un numero complesso, in cui la parte reale
rappresenta la componente resistiva, mentre la parte immaginaria rappresenta la componente reattiva.
L’impedenza di un bipolo passivo si calcola applicando le stesse regole viste in continua :
impedenze in serie :
Zs = Z1 + Z2
impedenze in parallelo :
1/ Zp = 1/Z1 + 1/Z2
Alcuni esempi :





resistore in serie con un condensatore
resistore in serie con un induttore
condensatore in serie con un induttore
resistore in parallelo con un condensatore
condensatore in parallelo con un induttore





2
Z = R - jXC
Z = R + jXL
Z = j (XL - XC )
Z = R . jXC / (R - jXC )
Z = XL XC / j(XL - XC )
3. METODO per svolgere l’analisi vettoriale dei circuiti R, C, L in regime sinusoidale
Si calcolano le reattanze presenti nel circuito
tenendo conto della frequenza del segnale applicato
Si sostituiscono i condensatori e le induttanze
con le rispettive reattanze
C
-j / C
L
jL
Si esprime la tensione sinusoidale applicata in forma vettoriale
vi(t)
Vi = Vi
i
Applicando i principi dell’elettrotecnica
e usando il calcolo vettoriale
si determinano le altre correnti e tensioni dei sistema
in forma vettoriale
Se necessario si tracciano
i diagrammi vettoriali
per visualizzare in forma grafica le relazioni tra le varie grandezze
Si esprimono nel dominio del tempo
le tensioni e le correnti che si ritiene utile avere in questa forma.
Vo = Vo
Io = Io
o
vo(t)
o
io(t)
3
Esempio
A
vi = VM sen t
L
VL
XL = L
jXL
B
Vi
C
-jXc
XC = 1/C
ZT = R + jXL – jXC = R + j (L – 1/C )
VC
I = Vi / ZT
C
VR = R I
R
Vi = VM 0°
VL = jXL I
VC = -jXC I
VR
Vi = VR + VL + VC
D
Diagramma vettoriale
nel caso in cui XL < XC
VR
VL
I
Vi
VC+VL
VC
ESERCIZI
Con vi = 5 sen 103 t determinare tutte le correnti e le tensioni dei seguenti circuiti e tracciare i
rispettivi diagrammi vettoriali.






Resistore di 1 K in serie con condensatore di 1 MF
Condensatore di 1 MF in parallelo con induttore di 2 Henry
Resistenza di 2 K in serie col parallelo precedente
Resistenza di 10 K in parallelo con condensatore di 100 nF
Resistenza di 5 K in serie col parallelo precedente.
Resistenza di 5 K in serie con condensatore di 100 nF in serie con induttore di 10 Henry.
4
4. POTENZA ELETTRICA IN REGIME SINUSOIDALE
In regime sinusoidale solo le resistenze dissipano potenza sotto forma di calore, mentre le capacità
e le induttanze scambiano potenza, ma non la dissipano.
La potenza dissipata dai componenti resistivi di un circuito prende il nome di potenza attiva e si
indica con P.
La potenza media scambiata dai condensatori e dagli induttori prende il nome di potenza reattiva
e si indica con Q.
La potenza scambiata da condensatori e induttori sono di segno opposto : si considera positiva
quella dell’induttore e negativa l’altra.
Il valore efficace di una tensione v(t) o di una corrente i(t) è il valore della corrispondente grandezza
continua che, applicata allo stesso circuito, determina una potenza attiva pari a quella prodotta dalla
grandezza variabile.
Si può dimostrare che, in regime sinusoidale, il valore efficace di una grandezza elettrica è pari al valore
massimo fratto radice di due.
__
__
Veff = VM /  2
Ieff = IM /  2

Potenza attiva dissipata da una resistenza
Potenza reattiva scambiata da un condensatore 

Potenza reattiva scambiata da un induttore
PR = R Ieff 2 = R IM2 / 2
QC = - XC Ieff 2 = - XC IM2 / 2
QL = XL Ieff 2 = XL IM2 / 2
dove Ieff è il valore efficace della corrente che attraversa rispettivamente il resistore, il condensatore, l’induttore.
Per un bipolo ohmico-reattivo si può dimostrare che :
P = Veff Ieff cos 
Veff
Ieff

Q = Veff Ieff sen 
dove
è il valore efficace della tensione applicata al bipolo
è il valore efficace della corrente che attraversa il bipolo
è l’argomento dell’impedenza del bipolo e dunque lo sfasamento della V rispetto alla I
cos 
prende il nome di fattore di potenza
Si ha il massimo fattore di potenza, pari a 1, quando tensione e corrente
sono in fase (Ø=0).
A = Veff Ieff
prende il nome di potenza apparente
triangolo delle potenze
A
Q

P
5
Si definisce potenza
complessa il prodotto:
S = V·I* = P + jQ
Il modulo della potenza complessa:
S = |S| = (P2 + Q2)½
è la potenza apparente.
GRANDEZZA
potenza attiva
potenza reattiva
potenza apparente
UNITA' DI MISURA
P
Q
A
watt
voltampere reattivi
voltampere
W
var
VA
POTENZA IN TENSIONE ALTERNATA
La potenza in corrente alternata si esprime in tre modi diversi, ognuno con un
suo significato particolare.
POTENZA ATTIVA
La potenza attiva P è quella effettivamente assorbita e che viene trasformata
in calore per effetto Joule o in lavoro utile nelle macchine elettriche. Si misura
in watt e viene calcolata con la formula:
P = Veff Ieff cosØ
dove Ø è lo sfasamento tra tensione e corrente.
In un circuito costituito da sole resistenze (circuito puramente ohmico),
tensione e corrente non risultano sfasate (Ø=0 e cosØ=1): P=VxI
In un circuito con il massimo sfasamento possibile (Ø=90° e cosØ=0 - circuito
puramente induttivo o circuito puramente capacitivo), non si ha potenza
attiva: P=0
POTENZA REATTIVA
La potenza reattiva Q riguarda l'energia che viene alternativamente assorbita e
restituita dal campo magnetico (circuiti induttivi) o dal campo elettrico (circuiti
capacitivi). Si misura in var (voltampere reattivi) e viene calcolata con la
formula:
Q = Veff Ieff senØ
dove Ø è lo sfasamento tra tensione e corrente.
In un circuito puramente ohmico (Ø=0; senØ=0): Q=0
In un circuito con sfasamento Ø=90° (senØ=1): Q=VxI
POTENZA APPARENTE
La potenza apparente non ha un significato particolare, ma è utile poichè è
legata al valore della corrente I effettivamente in gioco nel circuito in esame.
Non viene influenzata dall'angolo di sfasamento tra tensione e corrente. Può
essere considerata come il valore massimo di potenza attiva che otterremmo
annullando lo sfasamento tra tensione e corrente. Si misura in voltampere
(VA) e viene calcolata con la semplice formula: A = Veff Ieff
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ESERCIZI
Nei bipoli indicati negli esercizi di pag. 5 determinare : la potenza assorbita dai bipoli, quella dissipata dalle
singole resistenze e il cos .
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