Leggi di Keplero 1 Le orbite dei pianeti sono ellissi col Sole in uno dei fuochi 2 Il raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali 3 I quadrati dei periodi di rivoluzione sono proporzionale ai cubi dei raggi (semiassi maggiori) • Osservazioni sperimentali (Brahe, Keplero) ricondotte da Newton alla legge di gravitazione universale e ai principi della dinamica Trascurando l’influsso degli altri pianeti, il problema si può ricodurre ad un problema a due corpi nel quale, dati i valori delle masse, la massa ridotta coincide con la massa del pianeta e il Sole è praticamente fermo. • Forza centrale ♦ conservazione del momento angolare r r r r r p = r " mv = r " m r˙rˆ + r#˙$ˆ = mr 2#˙kˆ = mr 2% ( ) p costante, k costante ⇒ moto piano ! ♦ conservazione dell’energia meccanica E= 5/27/05 M S mp 1 2 1 2 mv + V(r) = mv ! G 2 2 r 37 prima legge (1) scomponendo la velocità in coordinate polari: v 2 = r˙ 2 + r 2!˙ 2 M S mp 1 2 M S mp 1 p2 2 2 ˙2 E = m r˙ + r ! " G = mr˙ + " G 2 r 2 2mr 2 r ( ) Se si introduce il potenziale efficace M S mp p2 Veff (r) = !G = Vc (r) + VG (r) 2mr2 r la conservazione dell’energia si scrive 1 E = mr˙ 2 + Veff (r) 2 Vc(r) r Veff V(r) Come si interpreta? In un riferimento rotante col pianeta, questo è soggetto alla gravitazione, attrattiva e alla forza centrifuga, repulsiva. E’ facile verificare che Vc rappresenta il potenziale della forza centrifuga: essendo " = si ha ! 5/27/05 ! p mr 2 p2 p2 f c = mr" = mr 2 4 = m r mr 3 p2 p2 Vc = # $ f c dr = # $ dr = # 3 mr m 2 $ dr 1 p 2 = 3 r 2 mr 2 38 prima legge (2) Vc(r) E= 1 2 mr˙ + Veff (r) 2 r Veff V(r) Per piccoli r, domina Vc, per cui il pianeta non può cadere sul Sole, a grandi r domina VG Il pianeta non può allontanarsi indefinitamente se E<0. Se E coincide col minimo di Veff, l’orbita è perfettamente circolare, altrimenti il pianeta oscilla tra afelio (rmax) e perielio (rmin), descrivendo un’orbita ellittica. perielio energia potenziale gravitazionale energia meccanica totale 5/27/05 afelio r energia cinetica radiale energia cinetica di rotazione 39 orbite circolari e terza legge Quando l’orbita è circolare, r˙ = 0 (moto circolare uniforme) MS m p p2 E= ! G 2mr 2 r Il valore di r corrisponde al minimo del potenziale efficace (equilibrio dinamico): M m d p2 Veff (r) = " 3 + G S 2 p = 0 dr mr r 2 rcirc = ! p GMm2 inoltre per questo valore si ha: rcirc GMm2 1 Mm p2 1 k= = = G = ! V 2 2 2mrcirc 2mrcirc 2 rcirc 2 ossia l’energia cinetica è sempre la metà del modulo del potenziale gravitazionale e quindi aumenta al diminuire del raggio Per orbite circolari, la terza legge è immediata: f = ma 2 2 Mm v 4# !G 2 = m = m" 2 r = m 2 r r r T T 2 4# ! 3 = r GM 5/27/05 40