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Leggi di Keplero
1
Le orbite dei pianeti sono ellissi col Sole in uno dei
fuochi
2 Il raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali
3 I quadrati dei periodi di rivoluzione sono
proporzionale ai cubi dei raggi (semiassi maggiori)
•
Osservazioni sperimentali (Brahe, Keplero)
ricondotte da Newton alla legge di gravitazione
universale e ai principi della dinamica
Trascurando l’influsso degli altri pianeti, il problema si
può ricodurre ad un problema a due corpi nel quale,
dati i valori delle masse, la massa ridotta coincide
con la massa del pianeta e il Sole è praticamente
fermo.
•
Forza centrale
♦
conservazione del momento angolare
r r
r r
r
p = r " mv = r " m r˙rˆ + r#˙$ˆ = mr 2#˙kˆ = mr 2%
(
)
p costante, k costante ⇒ moto piano
!
♦
conservazione dell’energia meccanica
E=
5/27/05
M S mp
1 2
1 2
mv + V(r) = mv ! G
2
2
r
37
prima legge (1)
scomponendo la velocità in coordinate polari:
v 2 = r˙ 2 + r 2!˙ 2
M S mp 1 2
M S mp
1
p2
2
2 ˙2
E = m r˙ + r ! " G
= mr˙ +
"
G
2
r
2
2mr 2
r
(
)
Se si introduce il potenziale efficace
M S mp
p2
Veff (r) =
!G
= Vc (r) + VG (r)
2mr2
r
la conservazione
dell’energia si scrive
1
E = mr˙ 2 + Veff (r)
2
Vc(r)
r
Veff
V(r)
Come si interpreta?
In un riferimento rotante col pianeta, questo è
soggetto alla gravitazione, attrattiva e alla forza
centrifuga, repulsiva.
E’ facile verificare che Vc rappresenta il potenziale
della forza centrifuga:
essendo " =
si ha
!
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!
p
mr 2
p2
p2
f c = mr" = mr 2 4 =
m r
mr 3
p2
p2
Vc = # $ f c dr = # $
dr = #
3
mr
m
2
$
dr 1 p 2
=
3
r
2 mr 2
38
prima legge (2)
Vc(r)
E=
1 2
mr˙ + Veff (r)
2
r
Veff
V(r)
Per piccoli r, domina Vc, per cui il pianeta non può
cadere sul Sole, a grandi r domina VG
Il pianeta non può allontanarsi indefinitamente se E<0.
Se E coincide col minimo di Veff, l’orbita è
perfettamente circolare, altrimenti il pianeta
oscilla tra afelio (rmax) e perielio (rmin), descrivendo
un’orbita ellittica.
perielio
energia potenziale
gravitazionale
energia meccanica totale
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afelio
r
energia cinetica radiale
energia cinetica di rotazione
39
orbite circolari e terza legge
Quando l’orbita è circolare, r˙ = 0
(moto circolare uniforme)
MS m p
p2
E=
!
G
2mr 2
r
Il valore di r corrisponde al minimo del potenziale
efficace (equilibrio dinamico):
M m
d
p2
Veff (r) = " 3 + G S 2 p = 0
dr
mr
r
2
rcirc =
!
p
GMm2
inoltre per questo valore si ha:
rcirc GMm2 1 Mm
p2
1
k=
=
=
G
=
!
V
2
2
2mrcirc
2mrcirc
2 rcirc
2
ossia l’energia cinetica è sempre la metà del modulo del
potenziale gravitazionale
e quindi aumenta al diminuire del raggio
Per orbite circolari, la terza legge è immediata:
f = ma
2
2
Mm
v
4#
!G 2 = m
= m" 2 r = m 2 r
r
r
T
T 2 4#
! 3 =
r
GM
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