1. RELAZIONI TENSIONE-CORRENTE NEL DOMINIO DEL TEMPO
i(t)
Tensione applicata :
v(t)
v(t) = VM sen ωt
V(t) = VM ejωt : vettore ruotante che genera la sinusoide
RESISTORE
i(t) = v(t) / R = VM/ R sen ωt
⇒
i(t) = IM sen ωt
⇒
I(t) = IM ejωt
⇒
I(t) = IM ejπ/2 ejωt
Caratteristiche della corrente
funzione sinusoidale con :
• pulsazione uguale a quella della tensione
• fase uguale a quella della tensione
• ampiezza indipendente dalla frequenza : IM = VM/ R
CONDENSATORE
i(t) = C dv(t) / dt = ωCVM cos ωt
⇒
i(t) = IM sen (ωt + π/2)
Caratteristiche della corrente
funzione sinusoidale con :
• pulsazione uguale a quella della tensione
• fase : in anticipo di π/2 radianti
• ampiezza proporzionale alla frequenza : IM = ωCVM
INDUTTORE
i(t) = 1/L
∫ v(t)
dt = - VM/ωL cos ωt ⇒
i(t) = IM sen (ωt - π/2)
Caratteristiche della corrente
funzione sinusoidale con :
• pulsazione uguale a quella della tensione
• fase : in ritardo di π/2 radianti
• ampiezza inversamente proporzionale alla frequenza : IM = VM / ωL
ESERCIZIO
Disegnare nei tre casi :
• le correnti i(t), correlate con v(t)
• i vettori ruotanti associati a v(t) e i(t) nell’istante t = 0
2
⇒ I(t) = IM e-jπ/2 ejωt
In tutti i casi la corrente ha la stessa pulsazione (e quindi la stessa frequenza) della tensione.
Di conesuenza :
•
In regime sinusoidale, in una qualsiasi rete elettrica di tipi R-C-L, tutte le correnti e le tensioni
presenti nel sistema sono sinusoidali e hanno la stessa pulsazione.
•
Tutti i vettori ruotanti associati alle grandezze sinusoidali presenti nel circuito hanno la stessa
velocità angolare e perciò mantengono tra loro la stessa distanza angolare presente nell’istante
iniziale (t = 0).
Per questi motivi l’analisi dei circuiti in regime sinusoidale si può effettuare col metodo
vettoriale, considerando vettori fissi, anziché vettori ruotanti.
2. RELAZIONI VETTORIALI TENSIONE-CORRENTE
Resistore
⇒
I =V/R
⇒
V=RI
Condensatore
⇒
I = j ωCV
⇒
V = I / j ωC = - j 1/ωC I
⇒
V = - j XC I
Induttore
⇒
I = V / j ωL
⇒
V = j ωL I
⇒
V = j XL I
Come si può notare le tre relazioni sono analoghe e sono riconducibili all’espressione ⇒
dove Z è un numero complesso che nel primo caso ha solo la parte reale,
mentre negli altri due casi ha solo la parte immaginaria.
R
resistenza
XC = 1/ωC reattanza capacitiva
XL = ωL
reattanza induttiva
Z
V = ZI
L’effetto prodotto da una reattanza capacitiva
è opposto a quello prodotto da una reattanza induttiva
impedenza
L’impedenza di un bipolo passivo è il rapporto vettoriale tra la tensione applicata e la
corrente assorbita dal bipolo ed è espressa da un numero complesso, in cui la parte reale
rappresenta la componente resistiva, mentre la parte immaginaria rappresenta la componente reattiva.
L’impedenza di un bipolo passivo si calcola applicando le stesse regole viste in continua :
impedenze in serie :
Zs = Z1 + Z2
impedenze in parallelo :
1/ Zp = 1/Z1 + 1/Z2
Alcuni esempi :
•
•
•
•
•
resistore in serie con un condensatore
resistore in serie con un induttore
condensatore in serie con un induttore
resistore in parallelo con un condensatore
condensatore in parallelo con un induttore
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
Z = R - jXC
Z = R + jXL
Z = j (XL - XC )
Z = R . jXC / (R - jXC )
Z = XL XC / j(XL - XC )
3. METODO per svolgere l’analisi vettoriale dei circuiti R, C, L in regime sinusoidale
3
Si calcolano le reattanze presenti nel circuito
tenendo conto della frequenza del segnale applicato
Si sostituiscono i condensatori e le induttanze
con le rispettive reattanze
C
-j / ωC
L
jωL
Si esprime la tensione sinusoidale applicata in forma vettoriale
vi(t)
Vi = Vi
ϕi
Applicando i principi dell’elettrotecnica
e usando il calcolo vettoriale
si determinano le altre correnti e tensioni dei sistema
in forma vettoriale
Se necessario si tracciano
i diagrammi vettoriali
per visualizzare in forma grafica le relazioni tra le varie grandezze
Si esprimono nel dominio del tempo
le tensioni e le correnti che si ritiene utile avere in questa forma.
Vo = Vo
Io = Io
ϕo
vo(t)
αo
io(t)
4
Esempio
A
vi = VM sen ωt
L
VL
XL = ωL
jXL
Vi = VM ∠0°
XC = 1/ωC
B
ZT = R + jXL – jXC = R + j (ωL – 1/ωC )
C
-jXc
Vi
VC
I = Vi / ZT
C
VR = R I
R
VL = jXL I
VC = -jXC I
VR
Vi = VR + VL + VC
D
Diagramma vettoriale
nel caso in cui XL < XC
VR
VL
I
Vi
VC+VL
VC
ESERCIZI
Con vi = 5 sen 103 t determinare tutte le correnti e le tensioni dei seguenti circuiti e tracciare i
rispettivi diagrammi vettoriali.
•
•
•
•
•
•
Resistore di 1 KΩ in serie con condensatore di 1 MF
Condensatore di 1 MF in parallelo con induttore di 2 Henry
Resistenza di 2 KΩ in serie col parallelo precedente
Resistenza di 10 KΩ in parallelo con condensatore di 100 nF
Resistenza di 5 KΩ in serie col parallelo precedente.
Resistenza di 5 KΩ in serie con condensatore di 100 nF in serie con induttore di 10 Henry.
5
4. POTENZA ELETTRICA IN REGIME SINUSOIDALE
In regime sinusoidale solo le resistenze dissipano potenza sotto forma di calore, mentre le capacità
e le induttanze scambiano potenza, ma non la dissipano.
La potenza dissipata dai componenti resistivi di un circuito prende il nome di potenza attiva e si
indica con P.
La potenza media scambiata dai condensatori e dagli induttori prende il nome di potenza reattiva
e si indica con Q.
La potenza scambiata da condensatori e induttori sono di segno opposto : si considera positiva
quella dell’induttore e negativa l’altra.
Il valore efficace di una tensione v(t) o di una corrente i(t) è il valore della corrispondente grandezza
continua che, applicata allo stesso circuito, determina una potenza attiva pari a quella prodotta dalla
grandezza variabile.
Si può dimostrare che, in regime sinusoidale, il valore efficace di una grandezza elettrica è pari al valore
massimo fratto radice di due.
__
Veff = VM / √ 2
Ieff = IM / √ 2
__
Potenza attiva dissipata da una resistenza
⇒
PR = R Ieff 2 = R IM2 / 2
Potenza reattiva scambiata da un condensatore ⇒
QC = - XC Ieff 2 = - XC IM2 / 2
Potenza reattiva scambiata da un induttore
QL = XL Ieff 2 = XL IM2 / 2
⇒
dove Ieff è il valore efficace della corrente che attraversa rispettivamente il resistore, il condensatore, l’induttore.
Per un bipolo ohmico-reattivo si può dimostrare che :
P = Veff Ieff cos ϕ
Veff
Ieff
ϕ
Q = Veff Ieff sen ϕ
dove
è il valore efficace della tensione applicata al bipolo
è il valore efficace della corrente che attraversa il bipolo
è l’argomento dell’impedenza del bipolo e dunque lo sfasamento della V rispetto alla I
cos ϕ
prende il nome di fattore di potenza
A = Veff Ieff
prende il nome di potenza apparente
triangolo delle potenze
A
Q
ϕ
P
ESERCIZI
Nei bipoli indicati negli esercizi di pag. 5 determinare : la potenza assorbita dai bipoli, quella dissipata dalle
singole resistenze e il cos ϕ.
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