LEZIONE DI ELETTRONICA per la classe 5° TIM e TSE 2° MODULO : Analisi dei circuiti lineari in regime sinusoidale PREMESSA L’analisi dei sistemi elettrici lineari, in regime sinusoidale, consente di determinare il funzionamento di tali sistemi qualunque siano le caratteristiche del segnale applicato. Motivazione : un qualunque segnale può essere espresso come somma di infinite sinusoidi con particolari caratteristiche; in base al principio di sovrapposizione degli effetti, l’effetto prodotto su un sistema lineare da un segnale di ingresso di qualsiasi forma è uguale alla somma degli effetti prodotti dalle armoniche che compongono il segnale. Lo studio dei circuiti elettrici in regime sinusoidale è perciò utile per poter svolgere successivamente l’analisi in frequenza dei quadripoli, argomento essenziale per affrontare le tematiche relative alle telecomunicazioni. È necessario comprendere bene i concetti introdotti in questa U.D. e il relativo simbolismo di rappresentazione. Prerequisiti il calcolo con i numeri complessi; le leggi e i principi fondamentali dell’elettrotecnica. Obiettivi Alla fine di questa Unità Didattica occorre: conoscere come si rappresentano le tensioni e le correnti sinusoidali mediante FASORI; sapere quali sono e come si determinano le relazioni vettoriali tensione-corrente nei circuiti resistivi, induttivi, capacitivi; saper analizzare in regime sinusoidale reti elettriche costituite da alcuni elementi circuitali in serie e parallelo ed in particolare quelle necessarie per comprendere successivamente il funzionamento dei filtri del primo ordine a vuoto e a carico; saper tracciare e analizzare i diagrammi vettoriali che consentono di visualizzare graficamente le relazioni tra le varie tensioni e correnti di un circuito elettrico; saper determinare la potenza assorbita da un circuito e quella dissipata dai suoi componenti. 1. RELAZIONI TENSIONE-CORRENTE NEL DOMINIO DEL TEMPO i(t) Tensione applicata : v(t) v(t) = VM sen t V(t) = VM ejt : vettore ruotante che 1 genera la sinusoide In tutti i casi la corrente ha la stessa pulsazione (e quindi la stessa frequenza) della tensione. Di conseguenza : In regime sinusoidale, in una qualsiasi rete elettrica di tipi R-C-L, tutte le correnti e le tensioni presenti nel sistema sono sinusoidali e hanno la stessa pulsazione. Tutti i vettori ruotanti associati alle grandezze sinusoidali presenti nel circuito hanno la stessa velocità angolare e perciò mantengono tra loro la stessa distanza angolare presente nell’istante iniziale (t = 0). Per questi motivi l’analisi dei circuiti in regime sinusoidale si può effettuare col metodo vettoriale, considerando vettori fissi, anziché vettori ruotanti. 2. RELAZIONI VETTORIALI TENSIONE-CORRENTE Resistore I =V/R Condensatore I = j CV V = I / j C = - j 1/C I V = - j XC I Induttore I = V / j L V = j L I V = j XL I V=RI Come si può notare le tre relazioni sono analoghe e sono riconducibili all’espressione dove Z è un numero complesso che nel primo caso ha solo la parte reale, mentre negli altri due casi ha solo la parte immaginaria. R resistenza XC = 1/C reattanza capacitiva XL = L reattanza induttiva Z V = ZI L’effetto prodotto da una reattanza capacitiva è opposto a quello prodotto da una reattanza induttiva impedenza L’impedenza di un bipolo passivo è il rapporto vettoriale tra la tensione applicata e la corrente assorbita dal bipolo ed è espressa da un numero complesso, in cui la parte reale rappresenta la componente resistiva, mentre la parte immaginaria rappresenta la componente reattiva. L’impedenza di un bipolo passivo si calcola applicando le stesse regole viste in continua : impedenze in serie : Zs = Z1 + Z2 impedenze in parallelo : 1/ Zp = 1/Z1 + 1/Z2 Alcuni esempi : resistore in serie con un condensatore resistore in serie con un induttore condensatore in serie con un induttore resistore in parallelo con un condensatore condensatore in parallelo con un induttore 2 Z = R - jXC Z = R + jXL Z = j (XL - XC ) Z = R . jXC / (R - jXC ) Z = XL XC / j(XL - XC ) 3. METODO per svolgere l’analisi vettoriale dei circuiti R, C, L in regime sinusoidale Si calcolano le reattanze presenti nel circuito tenendo conto della frequenza del segnale applicato Si sostituiscono i condensatori e le induttanze con le rispettive reattanze C -j / C L jL Si esprime la tensione sinusoidale applicata in forma vettoriale vi(t) Vi = Vi i Applicando i principi dell’elettrotecnica e usando il calcolo vettoriale si determinano le altre correnti e tensioni dei sistema in forma vettoriale Se necessario si tracciano i diagrammi vettoriali per visualizzare in forma grafica le relazioni tra le varie grandezze Si esprimono nel dominio del tempo le tensioni e le correnti che si ritiene utile avere in questa forma. Vo = Vo Io = Io o vo(t) o io(t) 3 Esempio A vi = VM sen t L VL XL = L jXL B Vi C -jXc XC = 1/C ZT = R + jXL – jXC = R + j (L – 1/C ) VC I = Vi / ZT C VR = R I R Vi = VM 0° VL = jXL I VC = -jXC I VR Vi = VR + VL + VC D Diagramma vettoriale nel caso in cui XL < XC VR VL I Vi VC+VL VC ESERCIZI Con vi = 5 sen 103 t determinare tutte le correnti e le tensioni dei seguenti circuiti e tracciare i rispettivi diagrammi vettoriali. Resistore di 1 K in serie con condensatore di 1 MF Condensatore di 1 MF in parallelo con induttore di 2 Henry Resistenza di 2 K in serie col parallelo precedente Resistenza di 10 K in parallelo con condensatore di 100 nF Resistenza di 5 K in serie col parallelo precedente. Resistenza di 5 K in serie con condensatore di 100 nF in serie con induttore di 10 Henry. 4 4. POTENZA ELETTRICA IN REGIME SINUSOIDALE In regime sinusoidale solo le resistenze dissipano potenza sotto forma di calore, mentre le capacità e le induttanze scambiano potenza, ma non la dissipano. La potenza dissipata dai componenti resistivi di un circuito prende il nome di potenza attiva e si indica con P. La potenza media scambiata dai condensatori e dagli induttori prende il nome di potenza reattiva e si indica con Q. La potenza scambiata da condensatori e induttori sono di segno opposto : si considera positiva quella dell’induttore e negativa l’altra. Il valore efficace di una tensione v(t) o di una corrente i(t) è il valore della corrispondente grandezza continua che, applicata allo stesso circuito, determina una potenza attiva pari a quella prodotta dalla grandezza variabile. Si può dimostrare che, in regime sinusoidale, il valore efficace di una grandezza elettrica è pari al valore massimo fratto radice di due. __ __ Veff = VM / 2 Ieff = IM / 2 Potenza attiva in regime sinusoidale dissipata da una resistenza PR = Veff Ieff = VM / 2 IM / 2 = VM IM /2 PR = R Ieff Ieff = R Ieff 2 = R IM2 / 2 Potenza reattiva scambiata da un condensatore QC = Veff Ieff = - XC Ieff Ieff = - XC Ieff 2 = - XC IM2 / 2 Potenza reattiva scambiata da un induttore QL = Veff Ieff = XL Ieff Ieff = XL Ieff 2 = XL IM2 / 2 dove Ieff è il valore efficace della corrente che attraversa rispettivamente il resistore, il condensatore, l’induttore. Per un bipolo ohmico-reattivo si può dimostrare che : P = Veff Ieff cos Veff Ieff cos Q = Veff Ieff sen dove è il valore efficace della tensione applicata al bipolo è il valore efficace della corrente che attraversa il bipolo è l’argomento dell’impedenza del bipolo e dunque lo sfasamento della V rispetto alla I prende il nome di fattore di potenza 5 Si ha il massimo fattore di potenza, pari a 1, quando tensione e corrente sono in fase (Ø=0). A = Veff Ieff prende il nome di potenza apparente triangolo delle potenze A Q P Si definisce potenza complessa il prodotto: S = V·I* dove: I* = Icos(β) - jIsen(β) è il complesso coniugato di I (differisce da I per il segno della parte immaginaria). Si dimostra che S = V·I* = P + jQ Il modulo della potenza complessa: S = |S| = (P2 + Q2)½ è la potenza apparente. GRANDEZZA potenza attiva potenza reattiva potenza apparente UNITA' DI MISURA P watt W Q voltampere reattivi var A voltampere VA 6 RIEPILOGANDO …… POTENZA IN TENSIONE ALTERNATA La potenza in corrente alternata si esprime in tre modi diversi, ognuno con un suo significato particolare. 1) POTENZA ATTIVA La potenza attiva P è quella effettivamente assorbita e che viene trasformata in calore per effetto Joule o in lavoro utile nelle macchine elettriche. Si misura in watt e viene calcolata con la formula: P = Veff x Ieff x cosØ dove Ø è lo sfasamento tra tensione e corrente. In un circuito costituito da sole resistenze (circuito puramente ohmico), tensione e corrente non risultano sfasate (Ø=0 e cosØ=1): P=VeffxIeff In un circuito con il massimo sfasamento possibile (circuito puramente induttivo o circuito puramente capacitivo), non si ha potenza attiva (Ø=90° e cosØ=0): P=0 2) POTENZA REATTIVA La potenza reattiva Q riguarda l'energia che viene alternativamente assorbita e restituita dal campo magnetico (circuiti induttivi) o dal campo elettrico (circuiti capacitivi). Si misura in var (voltampere reattivi) e viene calcolata con la formula: Q = Veff x Ieff x senØ dove Ø è lo sfasamento tra tensione e corrente. In un circuito puramente ohmico (Ø=0; senØ=0): Q=0 In un circuito con sfasamento (Ø=90° senØ=1): Q=VeffxIeff 3) POTENZA APPARENTE La potenza apparente non ha un significato particolare, ma è utile poichè è legata al valore della corrente I effettivamente in gioco nel circuito in esame. Non viene influenzata dall'angolo di sfasamento tra tensione e corrente. Può essere considerata come il valore massimo di potenza attiva che otterremmo annullando lo sfasamento tra tensione e corrente. Si misura in voltampere (VA) e viene calcolata con la semplice formula: A = Veff Ieff ESERCIZI Nei bipoli indicati negli esercizi di pag. 5 determinare : la potenza assorbita dai bipoli, quella dissipata dalle singole resistenze e il cos . 7 Il Prezzo della Reattiva La potenza attiva compie un lavoro trasformandosi in altre forme di energia, come calore, illuminazione, movimento, mentre la potenza reattiva (induttiva) non si trasforma, ma è necessaria per l’eccitazione dei circuiti elettromagnetici di trasformatori, motori, reattori. L’energia reattiva non trasformandosi in altre energie compie uno spostamento ciclico a frequenza di rete, tra la centrale di produzione di energia (fornitore) e gli utilizzatori (utente). Ciò comporta un trasporto ozioso di corrente reattiva lungo le linee, introducendo maggiori perdite elettriche e limitando la trasmissione di una maggiore potenza attiva. Il cosfi (Ø ) minimo, per non dover pagare penali, deve essere di 0,9 (φ < 25°). Questo numero corrisponde ad avere un consumo di energia reattiva inferiore al 50% del corrispondente valore di energia attiva. Reattiva... Ma quanto ci costi? Per quantificare i costi aggiuntivi dei corrispettivi dovuti per l'energia reattiva si valuta il "rapporto" tra il totale dell'energia attiva e l'energia reattiva assorbite in ciascuna fascia. Il 50% del prelievo totale per fascia di energia attiva determinerà la "franchigia" entro la quale nessuna penale è dovuta. Le eccedenze di energia reattiva tra 50% ed il 75% dei valori di energia attiva, registrati nella fascia considerata, sono soggetti al pagamento di un corrispettivo fissato. Le eccedenze di energia reattiva che invece superano il 75% dei valori di energia attiva registrati nella fascia, sono soggetti al pagamento di un corrispettivo fissato più alto. Reagire alla reattiva: conviene un impianto di rifasamento? Il "fattore di potenza" è un indicatore importante non solo per tenere sotto controllo la fornitura energetica, ma anche per valutare l'andamento e l'efficienza di alcuni aspetti importanti della produzione. Un elevato assorbimento di energia reattiva, infatti, comporta diversi svantaggi tecnici, come l'aumento delle cadute di tensione e le perdite di energia nei conduttori. Quindi, migliorare questo indicatore significa non solo ridurre i costi ma anche migliorare l'efficienza degli impianti, evitando danni e inconvenienti. Come fare? Si può ricorrere ad accorgimenti tecnici che possono essere effettuati direttamente sugli impianti, oppure è possibile valutare l'introduzione di un impianto di rifasamento. Nel primo caso (intervento sull'impianto - sistema diretto) è necessario intervenire direttamente sugli impianti dell'azienda, seguendo alcune importanti linee guida: utilizzare motori e trasformatori correttamente dimensionati, in modo che non debbano funzionare a carico ridotto; non lasciare in funzione impianti senza carico o a tensioni superiori a quelle nominali, perché tale condizione comporta un maggior assorbimento di potenza reattiva; non mantenere in esercizio motori difettosi Se tutto ciò non fosse sufficiente occorre allora "rifasare", ovvero inserire nel ciclo produttivo uno o più "elementi capacitivi" (detti "rifasatori"- il sistema "indiretto"), che consente di compensare l'eccessiva energia reattiva richiesta dal carico impedendo che essa venga prelevata dalla rete del Distributore Locale. Questa opzione non esclude il sistema diretto, ma piuttosto lo integra. Per affrontare la scelta sulle modalità e sugli strumenti per rifasare, è necessario effettuare valutazioni molto attente e specifiche. Il posizionamento e il dimensionamento dei condensatori deve essere valutato in funzione della natura e dell'andamento giornaliero dei carichi seguendo metodologie di rifasamento centralizzato, distribuito, "per gruppi" o misto. 8 9