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reg-sinusoidale-ver2-2004

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Università degli Studi di Cassino
Esercitazioni di Elettrotecnica:
circuiti in regime sinusoidale
Antonio Maffucci
ver.2 – settembre 2004
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
1. Esercizi introduttivi.
ES. 1.1 Esprimere la corrente i (t ) in termini di fasore nei seguenti tre casi:
a) i (t ) = 4 sin(ωt − 1.14)
b) i (t ) = 10 sin(ωt − π)
Risultato: a) I = 4 exp( − j1.14) ; b) I = −10 ;
c) i (t ) = 8 sin(ωt + π / 2)
c) I = 8 j .
ES. 1.2 Valutare (in coordinate cartesiane e polari) le impedenze viste ai capi dei morsetti:
2C
R
C
(a )
R = 10 Ω L = 1 mH
4
ω = 10 rad / s
Risultato:
R
L
C
(c)
( b)
R = 8 Ω, L = 15 mH
R = 200 Ω, L = 16 mH
C = 0.4 mF , f = 50 Hz
C = 10 µF , ω = 2.5 ⋅ 10 3 rad / s
a) Z& = 10 + 10 j = 10 2 exp( jπ / 4) Ω ; b) Z& = 8 + 11.54 j = 14 exp( j 0.965) Ω ;
c) Z& = 8 + 20 j = 21.5 exp( j1.19) Ω ;
ES. 1.3 Le seguenti coppie di fasori esprimono tensione e corrente relative ad un dato
bipolo. Dire, nei tre casi, se si tratta di un resistore, un condensatore o un
induttore e valutare il valore dei parametri corrispondenti R, C o L
a) v (t ) = 15 cos(400t + 1.2) , i (t ) = 3 sin(400t + 1.2) ;
b) v(t ) = 8 cos(900t − π / 3) , i (t ) = 2 sin(900t + 2π / 3) ;
c) v (t ) = 20 cos(250t + π / 3) , i (t ) = 5 sin(250t + 5π / 6) ;
a) V = 15e j1.2 , I = 3e j (1.2−π / 2) . Posto V = Z&I si ha che:
arg(Z& ) = arg(V ) − arg( I ) =
π
2
⇒
Z& = jωL
⇒
L=
V
Iω
= 12.5 mH .
b) V = 8e − jπ / 3 , I = 2e j ( 2π / 3 −π / 2 ) = 2e − jπ / 6 . Posto V = Z&I si ha che:
arg(Z& ) = arg(V ) − arg( I ) = −
π
2
⇒
j
Z& = −
ωC
⇒
C=
I
Vω
= 0.28 mF .
c) V = 20e jπ / 3 , I = 5e j (5π / 6−π / 2) = 5e jπ / 3 . Posto V = Z&I si ha che:
arg(Z& ) = arg(V ) − arg( I ) = 0
⇒
Z& = R
⇒
R=
V
I
= 4Ω.
2
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
ES. 1.4 - Si consideri il circuito in figura, determinando L tale che la parte immaginaria
dell’impedenza vista ai capi dei morsetti risulti Im{Z& }= 100 Ω.
R
L
C = 10 µF
C
f = 1 kHz
L'impedenza totale vista ai capi dei morsetti è
( jωL) /( jωC )
ωL
Z& = R +
= R+ j
,
j ( ωL − 1 / ωC )
1 − ω 2 LC
quindi basta imporre
Im{Z& } =
ωL
1 − ω 2 LC
= 100 ⇒
L = 2.19 mH .
ES. 1.5 - A quale di queste impedenze corrisponde la fase ϕ = − π / 4 ?
1: R-L serie
R = 10 Ω
2: R-C serie
R = 10 Ω
3: R-C parallelo
R = 0.5 Ω
4: L-C serie
C =1 F
L = 10 mH
ω = 100 rad / s
C = 10 mF
ω = 100 rad / s
C = 0.2 F
ω = 10 rad / s
L =1 H
ω = 1 rad / s
Caso 3:
1
1
1
π
Z& = =
=
= 0.25(1 − j ) ⇒ ϕ = tg −1 (− 1) = − .
4
Y& 1 / R + jωC 2 + 2 j
ES. 1.6 - Dati i seguenti fasori V1 = 10 exp( jπ / 6) , V2 = 10 exp( − jπ / 6) , V3 = 5 exp( − jπ / 3) :
a) rappresentare nel piano complesso i fasori V1 , V2 , V3 ;
b) calcolare i fasori: V1 + V2 , V1 − V2 , V1 + V3 , V1 − V3 ;
c) rappresentare nel piano complesso i fasori valutati al punto b)
d) rappresentare nel tempo le tensioni corrispondenti ai fasori dei punti a) e b),
definito la trasformazione fasoriale come segue:
v (t ) = V M sin(ωt + α) ↔ V = V M exp( jα)
3
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
2. Equivalenza, sovrapposizione degli effetti, potenza.
ES. 2.1 - Con riferimento al seguente circuito, valutare l'impedenza Z& eq vista ai capi del
generatore e la potenza complessa S& erogata dal generatore.
C
R
j (t )
R
j (t ) = 10 sin(2t ) A
R=2Ω
L =1H
C = 0.25 F
L
Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze:
J = 10,
Z& C = − j /(ωC ) = −2 j,
Z& L = jωL = 2 j,
Z& R = R = 2.
L'impedenza di ingresso vista dal generatore è data da:
Z& eq = Z& R //[ Z& C // Z& R + Z& L ] = 0.8 + j 0.4 Ω.
La potenza complessa erogata da j(t) si valuta facilmente una volta nota Z& eq :
( 1
1 ( 1
(0.8 + j 0.4)100
A& J ≡ V J J = Z& eq JJ = Z& eq J 2 =
= 40 + j 20 .
2
2
2
2
ES. 2.2 - Con riferimento al seguente circuito, valutare l'impedenza Z& eq vista ai capi del
generatore e le correnti i L (t ) e iC (t )
R
i L (t )
iC (t )
L
C
+
e(t )
e(t ) = 10 cos(1000t ) V
R = 10 Ω L = 20 mH
C = 0.1 mF
Risultato: Z& eq = 5 − j15 Ω ; i L (t ) = 0.45 cos(1000t − 1.11) A, iC (t ) = − sin(1000t ) A .
4
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
ES. 2.3 - Applicando il teorema di Thévenin, valutare la potenza complessa e la potenza
istantanea assorbita dall’induttore L2 .
R
a
i L2 (t )
j (t ) = 10 2 sin(100t + 0.35) A
j (t )
L2
L1
R = 4 Ω, C = 3 mF,
L1 = 2 mH, L2 = 5 mH
b
Trasformiamo preliminarmente la rete in una rete di impedenze:
J = 10e j 0.35 ,
Z& L1 = 0.2 j ,
Z C = −3.33 j ,
Z& R = 4, Z& L 2 = 0.5 j
L'impedenza equivalente nel circuito di Thévenin si valuta risolvendo la rete seguente:
Z& R
Z& eq = Z& C //( Z& L1 + Z& R ) = 1.721 − j1.985 Ω.
La tensione a vuoto, invece, si può calcolare a partire dalla
corrente che circola in Z& c , a sua volta ottenuta con un partitore
di corrente:
E 0 = Z& C I C = Z& C J
Z& L1
Z& C
I
V
Z& L1
= 0.693 + j1.114 Ω.
+ Z& C + Z& R
Z& R
J
Risolvendo la rete equivalente ottenuta, si ha che
I L2 =
Z& L1
Z& L1
E0
Z& C
E0
= −0.089 + j 0.570 = 0.577e j1.726 A.
&
&
Z L2 + Z eq
L’andamento della corrente nel tempo è allora dato da:
i L2 (t ) = 0.577 2 sin(100t + 1.726) A
La potenza complessa assorbita da L2 sarà puramente reattiva:
A& L2 = jX L2 I 2L = 0.167 j VAr.
2
La potenza istantanea si può valutare, in generale, dalla conoscenza di corrente e tensione:
p L2 (t ) = v L2 (t )i L2 (t ). Si ha quindi:
V L2 = Z& L2 I L2 = 0.289e − j 2.986 A
⇔
v L 2 (t ) = 0.289 2 sin(100t − 2.986) V
p L2 (t ) = v L2 (t )i L2 (t ) = −0.167cos(200t − 1.260) W
Si osservi che in questo caso particolare (elemento dinamico) la potenza istantanea può anche
essere calcolata come derivata dell’energia:
p L2 (t ) = i L2 (t ) L2
di L2 (t )
dt
=
d  L2 2 
i L (t ) = 0.167 sin( 200t + 3.52) = −0.167 cos(200t − 1.260) W .
dt  2 2 
5
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
ES. 2.4 - Con riferimento al seguente circuito valutare la corrente i L (t ) .
j1 (t ) = 10 cos(1000t ) A
R
C
j1( t )
j 2 (t ) = 10 sin (1000t ) A
R
R=2Ω
j2 ( t )
L
L = 2 mH
i L (t )
C = 1 mF
Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze:
J1 = j10 A,
J 2 = 10 A, Z& C = − j Ω,
Z& RL = R + jωL = 2 + j 2 Ω, Z& R = R = 2 Ω,.
Questa rete può essere risolta con la sovrapposizione degli effetti. Il contributo del solo generatore
J 1 si ottiene dalla rete in cui J 2 è stato sostituito con un circuito aperto:
I L′ = J 1
Z& RC
= 3.33 A ,
Z& RC + Z& RL
avendo posto
Z& R Z&C
Z& RC =
= 0.4-j 0.8 Ω
Z& + Z&
R
C
Il contributo del solo generatore J 2 si ottiene dalla rete in cui J 1 è stato sostituito con un circuito
aperto:
I L′′ = J 2
Z& RC
= − j 3.33 A .
Z& RC + Z& RL
Si ha, quindi
I L = I L′ + I L′′ = 3.33(1 − j ) = 4.71 exp( −0.78 j ) A
a cui corrisponde, nel tempo la corrente
i L (t ) = 4.71 sin(1000t − 0.78) A
ES. 2.5 - Applicando il teorema di Norton, valutare la potenza complessa e la potenza
istantanea assorbita dal parallelo R-C in figura.
e(t )
+
L
R
R
C
e(t ) = 5 2 sin(1000t + π / 3) V
R = 0.21 Ω, L = 1 .12 mH
C = 1.23 mF.
Risultato: A& = 29.72 W − j 7.68 VAr; p(t ) = [ 29.72 − 30.70 cos(2000t + 2.27)] W .
6
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ES. 2.6
ver 2 - 2004
- Con riferimento al seguente circuito valutare la reattanza da inserire in
parallelo al generatore in modo che l'impedenza complessiva vista dal
generatore stesso assorba la stessa potenza media di prima ma abbia un fase
ϕ tale che cos ϕ = 0.9 (rifasamento).
L
e(t ) = 100 sin(ωt ) V
e(t )
+
C
R
ω = 10 4 rad/s, R = 50 Ω
C = 10 µF, L = 1.2 mH
Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze:
E = 100 V , Z& C = −10 j Ω, Z& L = 12 j Ω, Z& R = 50 Ω.
L'impedenza equivalente vista dal generatore è
Z& C Z& R
Z& eq = Z& L +
= 1.92 + j 2.38 Ω,
Z& C + Z& R
quindi la potenza complessa erogata dallo stesso sarà
(
( 1 EE 1 E 2
1
A& = P + jQ = E I = ( = ( = 1.02 kW + j1.27 kVAr .
2
2 Z&
2 Z&
eq
eq
Il fattore di potenza è pari a
cos ϕ = cos[tg −1 (Q / P )] = 0.63
quindi occorre inserire un'opportuna Z& x tra l'impedenza Z& eq ed il generatore in modo che
l'impedenza complessiva Z& TOT verifichi tale richiesta. Affinché tale inserzione non alteri la
tensione, Z& deve essere posta in parallelo al generatore. Per lasciare invariata anche la
x
potenza media l’impedenza deve essere puramente reattiva:
Z& x = jX .Per stabilire il valore di tale reattanza si può
applicare il principio di conservazione delle potenze, che
impone, dopo l'inserzione di Z& x :
E
+
Z& x
Z& eq
Pdes = P, Q des = Q + Q x .
La potenza reattiva Q x si può quindi valutare come segue:
Q des = Pdes tgϕ des = Ptg[cos −1 (0.9)]
⇒
Q x = Ptg[cos −1 (0.9)] − Q = −0.77 kVAr
Imponendo la condizione desiderata su ϕ si ottiene una Q x negativa, il che significa che Z& x è
un'impedenza capacitiva. Ricordando l'espressione della potenza reattiva assorbita da un
condensatore ai capi del quale sia nota la tensione si può valutare il valore di capacità
necessario:
Q x = − ωC
E2
2
⇒ C=−
Qx
2ωCE 2
= 3.87 µF .
7
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
ES. 2.7 - Con riferimento al seguente circuito, calcolare la potenza attiva P2 e la potenza
reattiva Q2 assorbita dalla serie R2 − L2 .
R1
j1( t )
C
L1
j1 (t ) = 4 cos(4t ) A
j 2 (t ) = 2 cos(4t − 2π / 3) A
R2
j2 ( t )
L2
R1 = R2 = 2 Ω
L1 = L2 = 1 H
C=2F
Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze:
J 1 = 4, J 2 = 2e − j 2 π / 3 , Z& C = − j / 8 Ω, Z&1 = Z& 2 = 2 + 4 j Ω.
Applicando la sovrapposizione degli effetti, valutiamo il contributi dovuti a J 1 ed a J 2
I 2′ = J 1
Z&1
= 2.03 + j 0.01 A,
Z& C + Z& 2 + Z&1
I 2′′ = J 2
Z&1 + Z& C
= −0.50 − j 0.85 A.
Z& C + Z& 2 + Z&1
Pertanto si ha
I 2 = I 2′ + I 2′′ = 1.53 − j 0.84 = 1.75 exp(− j 0.502) A,
quindi la potenza complessa assorbita da Z& 2 sarà
1 (
1
2+4j
A& = P2 + jQ 2 = V2 I 2 = Z& 2 I 22 =
1.75 2 = 3.06 W + j 7.12 VAr .
2
2
2
Nota: si svolga l’esercizio utilizzando l’equivalente di Thévenin ai capi della serie considerata.
ES. 2.8 - Applicando il teorema di Thévenin, valutare la potenza complessa e la potenza
istantanea assorbita dal condensatore C .
j (t )
R1
R1 = 12 Ω R2 = 2 Ω
R2
C
j (t ) = 2 2 cos(20t + 0.23) A
L = 0.2 H
C = 0.1 F
L
Risultato: A& = − j 0.49 VAr; p(t ) = -0.49 cos(40t − 3.12)] W .
8
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
ES. 2.9 - Valutare la corrente che circola nel condensatore e la potenza complessa da
esso assorbita.
R
+
e(t )
i (t )
j (t ) = 2 2 sin(2πft + 0.12) A,
L
j (t )
R
C
e(t ) = 10 2 cos(2πft ) V , f = 50 Hz
R = 1 Ω, C = 1 mF , L = 3 mH
Risultato: i (t ) = 3.15 sin(2πft + 0.23) A; A& = -j15.80 VAr .
ES. 2.10 - Valutare la potenza istantanea e complessa assorbita da R.
R
j1 (t ) = 2 sin(2πft ) A,
j1 (t ) C
L
j2 (t ) = 2 2 sin(2πft + π / 4) A, f = 50 Hz
j 2 (t )
R = 1.3 Ω, C = 2.0 mF , L = 1.1 mH
Risultato: p(t ) = 4.74[1 − cos(4πft − 0.18) W; A& = 4.74 W .
ES. 2.11 - Con riferimento alla seguente rete in regime sinusoidale, valutare:
a) il circuito equivalente di Thévenin ai capi di R2
b) la corrente circolante in R2
c) la potenza istantanea e complessa assorbita da R2 .
L
R1
a
i
e(t)
+
j(t)
C
R2
e(t ) = 10 2 sin(ωt + π / 3) V ,
j (t ) = 2 sin(ωt + π / 4) A, ω = 103 rad / s
R1 = 1.2 Ω, R2 = 3.3 Ω,
b
C = 4.1 mF , L = 3.2 mH
a) Z& eq = 0.05 + j 2.97Ω; E 0 = 2.09 − i 0.76 V
Risultato:
b) i (t ) = 0.71sin(1000t − 1.08) A
c) A& = 0.82 W ; p(t ) = 0.82[1 − cos(2000t − 2.15)] W
9
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
3. Sistemi trifase.
ES. 3.1 - Con riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna
simmetrica diretta di tensioni, di valore efficace E,
a) valutare l’indicazione dell’amperometro;
b) rifasare a cos ϕ = 0.9 alla sezione 1-2-3.
E1
+
1
E2
+
E3
+
I1
A
2
P
sinϕ
3
R
R
E = 220 V
R = 50 Ω
P = 12 kW
sinϕ = 0.554
f = 50 Hz
R
a) L’indicazione dell’amperometro fornisce il valore efficace I della corrente di linea I1 . Per
valutare tale valore si può preliminarmente valutare la potenza complessa totale assorbita alla
sezione 1-2-3. Il carico a valle dei resistori assorbe la potenza complessa
P = 12 kW,
Q = Ptgϕ = Ptg[sin −1 (0.554)] = 7.99 kVAr .
Per valutare la potenza complessa assorbita dalla stella di resistori, basta osservare che tale
carico è posto in parallelo rispetto al precedente e che la tensione su ciascun resistore è
proprio la tensione stellata dei generatori. Si ha, allora:
E2
PR = 3
= 2.90 kW,
R
QR = 0 .
Applicando la conservazione delle potenze, possiamo affermare che la potenza complessa
totale assorbita alla sezione 1-2-3 è data da:
PTOT = P + PR = 14.90 kW,
QTOT = Q + Q R = 7.99 kVAr,
cioè:
A& TOT = PTOT + j QTOT = (14.90 + j 7.99) ⋅ 10 3
Ricordando l’espressione della potenza apparente:
2
2
ATOT = PTOT
+ QTOT
= 3EI ,
si ha immediatamente che
I=
2
2
+ QTOT
PTOT
3E
= 25.62 A.
10
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
b) Alla sezione 1-2-3 si ha un fattore di potenza pari a
cos ϕ = cos[tg −1 (QTOT / PTOT )] = 0.88
quindi occorre inserire dei condensatori per rifasare. Il rifasamento porterà ad avere una
potenza reattiva totale desiderata pari a
Q des = PTOT tgϕ des = PTOT tg[cos −1 (0.9)] = 7.22 kVAr
quindi il banco di condensatori dovrà assorbire una potenza reattiva totale pari a
Q c = Q des − QTOT = −0.77 kVAr .
Inserendo i condensatori a stella, come in figura, la tensione che agisce su ciascuno di essi è
quella stellata dei generatori, quindi:
E1
1
2
E
+
Q c = −3
= −6πfCY E 2
XC
E2
Qc
2
P
CY = −
=
16
.
82
µF.
2
+
6πfE
sinϕ
Se, invece, i condensatori
vengono inseriti a triangolo, la
tensione è la concatenata, quindi:
C∆ = −
Qc
6πfV 2
E3
3
+
R
R
R
= 5.61 µF.
Osserviamo che CY = 3C ∆ .
ES. 3.2 - Con riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna
simmetrica diretta di tensioni:
a) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3;
b) rifasare a cos ϕ = 0.9 alla sezione 1-2-3.
1
R
XL
V12
2
R
R
V12 = 380 V
R = X L = 10 Ω
XL
Q = −5kVAr
cosϕ = 0
XL
3
Q, cosϕ
Risultato: a ) A& = 21.66 kW + j16.66 kVAr, b) C ∆ = 45.33 µF.
11
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
ES. 3.3 - Con riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica
diretta di tensioni (con valore efficace della tensione concatenata pari a V):
a) valutare l’indicazione dell’amperometro;
b) valutare le indicazioni dei wattmetri;
c) rifasare a cos ϕ = 0.9 alla sezione 1-2-3.
+
1
2
Wa
V = 380 V
P = 10 kW
P, Q
A
+
3
+
Q = 7 kVAr
R = 1 kΩ
f = 50 Hz
Wb
+
R
R
R
a) L’indicazione dell’amperometro fornisce il valore efficace I della corrente di linea alla
sezione 1-2-3. Per calcolarla si può valutare la potenza complessa totale assorbita a tale
sezione, sommando i contributi di tutti i carichi. I resistori assorbono la potenza complessa
V2
= 0.43 kW,
PR = 3
R
QR = 0 ,
quindi alla sezione 1-2-3 si ha:
A& TOT = PTOT + j QTOT = ( P + PR ) + j (Q + Q R ) = 10.43 kW + j 7 KVAr .
La lettura dell’amperometro sarà, quindi:
I=
2
2
PTOT
+ QTOT
3V
= 19.09 A.
b) Per il teorema di ARON, essendo il sistema equilibrato, si ha:
W a + Wb = PTOT = 10.43 ⋅ 10 3

Q TOT

= 4.03 ⋅ 10 3
 Wb − Wa =
3

⇒
Wa = 3.20 ⋅10 3

 Wb = 7.23 ⋅ 10 3
c) Alla sezione 1-2-3 si ha un fattore di potenza pari a
cos ϕ = cos[tg −1 (QTOT / PTOT )] = 0.83 ,
quindi occorre inserire dei condensatori per rifasare. Dopo il rifasamento si avrà
Q des = PTOT tgϕ des = PTOT tg[cos −1 (0.9)] = 5.05 kVAr
quindi, montando tre condensatori a triangolo:
Q c = Q des − QTOT = −1.95 kVAr
⇒
C∆ = −
Qc
6πfV 2
= 14.30 µF.
12
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
ES. 3.4 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica
diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell’amperometro sia 0.7A.
a) valutare l’indicazione del voltmetro;
b) valutare le indicazioni dei wattmetri;
c) rifasare a cos ϕ = 0.9 alla sezione 1-2-3.
+
1
S
+
Wa
V
3
+
Wb
R
jX
R
jX
R
Z&1
Z&1
2
jX
A
Z&1
+
Ap
sinϕp
Dati: Z& 1 = 2 + 1 j Ω, R = 1 kΩ, X = 2 kΩ, A p = 12 kVA, sin ϕ p = 0.707, f = 50 Hz.
a)
Detto I ′ = 0.7 A il valore efficace della corrente letta dall’amperometro, la potenza
complessa totale assorbita dalle impedenze R-L sarà
A& RL = 3( R + jX ) I ′ 2 = 1.47 kW + j 2.94 kVAr .
La tensione stellata che insiste su questa stella di impedenze e sul carico posto in parallelo
sarà
E′ =
ARL
= 1.57 kV.
3I ′
La potenza complessa assorbita dal carico parallelo sarà
A& p = A cos ϕ p + jA sin ϕ p = 8.49 kW + j8.49 kVAr ,
quindi la potenza complessa totale assorbita alla sezione S indicata in figura sarà
A& s = A& p + A& RL = 9.95 kW + j11.42 kVAr .
La corrente I che attraversa tale sezione sarà data da:
I=
As
= 3.23 A.
3E ′
quindi la potenza assorbita dal carico in serie Z& 1 sarà
A&1 = 3Z& 1 I 2 = 0.06 kW + j 0.03 kVAr .
Alla sezione 1-2-3 di ingresso, quindi, si ha:
A& TOT = A& 1 + A& s = PTOT + j QTOT = 10.02 kW + j11.46 KVAr
13
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
per cui la lettura del voltmetro sarà:
V=
2
2
PTOT
+ QTOT
3I
= 2.72 kV.
b) Per il teorema di ARON, essendo il sistema equilibrato, si ha:
W a + Wb = PTOT = 10.02 ⋅ 10 3

Q TOT

= 6.61 ⋅ 10 3
 Wb − Wa =
3

Wa = 1.70 ⋅ 10 3

 Wb = 8.32 ⋅ 10 3
⇒
c) Alla sezione 1-2-3 si ha un fattore di potenza pari a
cos ϕ = cos[tg −1 (QTOT / PTOT )] = 0.66 ,
quindi occorre inserire dei condensatori per rifasare. Dopo il rifasamento si avrà
Q des = PTOT tgϕ des = PTOT tg[cos −1 (0.9)] = 4.85 kVAr
quindi, montando tre condensatori a triangolo
Q c = Q des − QTOT = −6.60 kVAr
⇒
C∆ = −
Qc
6πfV 2
= 0.94 µF.
ES. 3.5 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica
diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell’amperometro sia 5A.
a) valutare la tensione stellata dei generatori
b) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3;
1
jX L
RL
R
2
jX L
RL
R
3
jX L
R = 0.12 kΩ
RL = 3 Ω
XL = 3Ω
RL
R
A
− jX C
X C = 90 Ω
− jX C
− jX C
Risultato: a ) E = 560 V; b) A& = 12.83 kW − j 32.18 kVAr.
14
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
ES. 3.6 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica
diretta di tensioni.
a) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3;
b) rifasare a cos ϕ = 0.9 alla sezione 1-2-3.
jX L
R
jX L
R
1
P, cosϕP
V
2
R
jX L
R = 10 Ω,
X L = 5 Ω,
Z& = 100 + 100 j Ω,
V = 380V ,
f = 50 Hz
3
Z&
P = 1 kW,
cosϕ P = 0.707,
Z&
Z&
Risultato: a ) A& = 3.63 kW + j 4.25 kVAr; b) C ∆ = 12.94 µF.
ES. 3.7 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica
diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell’amperometro sia 10A.
a) valutare il fattore di potenza del carico M;
b) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3;
c) valutare il fattore di potenza alla sezione 1-2-3;
R
+
1
+
Wa
M
A
2
R
Wa = 4 kW
+
3
− jX c
− jX c − jX c
R = 20 Ω
X C = 100 kΩ
Wb = 10 kW
Wb
+
Risultato: a ) cos ϕ M = 0.80; b) A& = 20.00 kW + j10.38 kVAr; c) cos ϕ = 0.89;
15
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
4. Doppi-bipoli, generatori pilotati, regime periodico.
ES. 4.1 - Con riferimento al seguente circuito, valutare:
a) la matrice delle ammettenze Y& del doppio-bipolo visto ai capi dei generatori;
b) la potenza complessa A& erogata dai generatori;
i1 (t )
i 2 (t )
+
e1 (t )
e1 (t ) = 10 cos(1000t ) V
L
R
+
C
R
e2 (t ) = 20 sin(1000t ) V
e2 (t )
R = 1 Ω L = 1 mH
C = 1 mF
a) Y&11 = 0.5 Ω −1 , Y&m = 0.5 j Ω −1 , Y&22 = 0.5 − j Ω −1 ;
b) A& er = 75 W , A& er = 50 W + j 200 VAr .
Risultato:
1
2
ES. 4.2 -Con riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal
resistore R e verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie.
R
i
j1 (t ) = cos(100t ) A
j1 (t )
j 2 (t ) = sin(200t ) A
j 2 (t )
C
L
R = 1 Ω L = 1 mH
C = 0.1 mF
Poiché i generatori non sono isofrequenziali, cioè ω1 ≠ ω 2 , il circuito non ammette un regime
sinusoidale ma un regime periodico e quindi non è possibile trasformare la rete in una rete di
impedenze. Tuttavia, essendo la rete lineare, si può applicare la sovrapposizione degli effetti e
ricavare la corrente che circola in R come i = i ′ + i ′′ , dove i ′ si ricava dal circuito ausiliario I e
i ′′ dal circuito ausiliario II.
R
R
i′
L
C
L
j 2 (t )
C
I
Ciascuna di queste due reti può essere rappresentata da una rete di impedenze:
rete I:
J 1 = 1,
rete II:
J 2 = 1,
Z& C′ = −100 j ,
Z& ′′ = −50 j ,
C
Z& L′ = 0.1 j ,
Z& L′′ = 0.2 j ,
Z& R′ = 1.
Z& R′′ = 1.
Applicando i partitori di corrente:
16
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
I ′ = J1
ver 2 - 2004
Z& L′
= 10 −3 e j 3.13
&
&
&
Z L′ + Z C′ + Z R′
⇒
i ′(t ) = cos(100t + 3.13) mA.
Z& C′′
= e j 3.12
&
&
&
Z C′′ + Z L′′ + Z R′′
⇒
i ′′(t ) = sin(200t + 3.12) A.
I ′′ = − J 2
Quindi la corrente che circola in R sarà
i (t ) = i ′(t ) + i ′′(t ) = 10 −3 cos(100t + 3.13) + sin(200t + 3.12) A.
Nota la corrente si può calcolare la potenza istantanea assorbita da R e quindi la potenza media:
T
T
T
T
T
R
R
1
1
2R
P = ∫ p(t )dt = ∫ Ri 2 (t )dt = ∫ i ′ 2 (t )dt + ∫ i ′′ 2 (t )dt +
i ′(t )i ′′(t )dt
T0
T0
T 0
T 0
T ∫0
 2π 2π 

T = max ,
 ω1 ω 2 
I primi due contributi rappresentano le potenze medie dissipate nei circuiti I e II, quindi sono:
T
T
R 2
R
i ′ (t )dt = I ′ = 0.5 ⋅ 10 −6 W ,
∫
T 0
2
R
R
i ′′ 2 (t )dt = I ′′ = 0.5 W
∫
T 0
2
.
L'ultimo contributo è nullo perché per ω1 ≠ ω 2 si ha:
T
∫ cos(ω1t + α)sin(ω2t + β)dt = 0
0
∀α, β
.
In definitiva se ω1 ≠ ω 2 è possibile sovrapporre le potenze medie: P ≈ 0.5 W .
ES. 4.3 -Con riferimento al seguente circuito, valutare la corrente i(t).
i (t )
E
+
j (t ) = J m cos ωt
L
R
C
R
j (t )
J m = 1 A, ω = 10 6 rad / s
E = 1V
R = 1Ω, L = 1mH , C = 1mF
La corrente i (t ) si può calcolare con la sovrapposizione degli effetti nel dominio del tempo:
i (t ) = i1 + i 2 (t ) .
Il contributo i1 è dovuto al solo generatore di tensione e si ottiene tenendo conto che, in regime
stazionario, l'induttore si riduce ad un corto-circuito ed il condensatore ad un circuito aperto:
i1 = E / 2 R = 1 / 2 A .
Il contributo i 2 (t ) è dovuto al solo generatore j(t) e si ottiene risolvendo la rete in regime
sinusoidale:
J = 1 , Z& R = 1 , Z& C = − j10 −3 , Z& L = j10 3 .
Posto Z& a = Z& R // Z& C + Z& L , la corrente I 2 si ottiene con un semplice partitore di corrente:
I 2 = −J
Z& R
≈ −10 −6 + j10 −3 ≈ j10 −3 = 10 −3 e jπ / 2
Z& R + Z& a
⇒ i 2 (t ) = −10 −3 sin(ωt ) A.
17
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
ES. 4.4 -Con riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal
resistore R2 e verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie.
j (t )
e(t )
+
R1
j (t ) = 14 A
e(t ) = 110 cos(20t ) V
R1 = 12 Ω R2 = 2 Ω
R2
C
L = 0.2 H
L
C = 10 mF
Risultato: P = 0.41 kW .
ES. 4.5 -Valutare l'equivalente di Thévenin ai capi dei morsetti 1-1'.
i (t )
1
e(t ) = 2 sin(ωt + π / 6) V
C
e(t )
+
R = 2Ω r =3Ω
+
R
ri(t )
XL = 4Ω
XC =1Ω
1′
Passando alla rete di impedenze si avrà:
E = 2 e jπ / 6 ,
Z& C = − j ,
Z& L = 4 j ,
Z& R = 2.
Per calcolare V0 basta applicare la LKT alla maglia di sinistra della rete
E = Z& L I + rI
⇒
I =
E
= 0.368 − j 0.157
&
ZL + r
.
Applicando un partitore di tensione si ha, quindi:
V 0 = rI
Z& R
= 1.070 + j 0.064 = 1.07e j 0.06 V .
&
&
Z R + ZC
Per calcolare Z& eq occorre spegnere tutti (e soli) i generatori indipendenti, cioè E . Applicando
ancora la la LKT alla maglia di sinistra della rete:
0 = Z& L I + rI
⇒
I =0
quindi nella rete per il calcolo di Z& eq risulta spento anche il generatore controllato, visto che la
sua variabile di controllo è nulla, per cui in definitiva:
Z& R Z& C
Z& eq =
= 0.4(1 − 2 j ) Ω
Z& R + Z& C
18
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
C
ver 2 - 2004
ES. 4.6 - Il circuito seguente riproduce lo schema equivalente di un amplificatore a
transistor per alta frequenza. Determinare la tensione ai capi del resistore RU.
RS +
v S (t )
+
Ro
C
vin
−
RU
gvin (t )
Ri
v S (t ) = 10 cos(ωt ) V
L
+
ω = 10 8 rad / s
vU
RS = Ro = 1 Ω, Ri = 5 Ω
−
L = 1 pH C = 1 nF
g = 100 Ω −1
Risultato: vU (t ) = 95.9 cos(ωt + 3.06) kV .
ES. 4.7 - Con riferimento al seguente circuito valutare la corrente i1 (t ) nel circuito
primario.
i1 (t )
+
e(t )
e(t ) = 10 2 sin(1000t ) V
R1 = 1 Ω R2 = 200 Ω
R1
L2
L1
R2
L1 = 3 mH
L2 = 200 mH
M = 20 mH
Poiché L1 L2 ≠ M 2 l'accoppiamento non è perfetto.
Posto L1 = L1′ + L1′′ , possiamo scegliere L1′′ in modo che l'aliquota L1′′ verifichi le condizioni di
accoppiamento perfetto L1′′L2 = M 2 :
L1′′L2 = M 2
⇒
L1′′ = M 2 / L2 = 2 mH .
A questo punto il circuito equivalente sarà il seguente
L1′
i1 (t )
e(t )
+
R1
a
L1′′
R2
a=
L1′′
= 0 .1
M
Per la formula del trasporto dell'impedenza in un trasformatore ideale, il circuito è anche
equivalente al seguente:
19
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
L1′
i1 (t )
e(t )
+
R1
a 2 R2
Trasformato il circuito in una rete di impedenze, nella quale si è introdotto il fasore E = 10 V ,
l'impedenza equivalente vista dal generatore è:
a 2 R jω L1′′
Z& eq = R1 + jω L1′ + 2 2
= 2+2j Ω
a R2 + jω L ′′
da cui
I1 =
5 − jπ / 4
5
E
= (1 − j ) =
e
A
Z& eq 2
2
⇒
i1 (t ) = 5sin(1000t − π / 4) A .
ES. 4.8 - Con riferimento al seguente circuito valutare la potenza complessa assorbita dal
condensatore.
j (t )
j (t ) = 10 2 cos(100t ) A
R2
R1
L1
L2
C
R1 = R2 = 5 Ω
L1 = 1 mH ,
L2 = 4 mH
M = 2 mH , C = 12.5 mF
Risultato: A& = − j 5 VAr .
20
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