Esercizi circuiti a regime sinusoidale

A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2.2 - 2009
1. Esercizi introduttivi.
ES. 1.1 Esprimere la corrente i (t ) in termini di fasore nei seguenti tre casi:
a) i (t ) = 4 sin(ωt − 1.14)
b) i (t ) = 10 sin(ωt − π)
Risultato: a) I = 4 exp( − j1.14) ; b) I = −10 ;
c) i (t ) = 8 sin(ωt + π / 2)
c) I = 8 j .
ES. 1.2 Valutare (in coordinate cartesiane e polari) le impedenze viste ai capi dei morsetti:
2C
R
Università degli Studi di Cassino
Esercitazioni di Elettrotecnica:
circuiti in regime sinusoidale
prof. Antonio Maffucci
[email protected]
C
R
L
C
(a )
R = 10 Ω L = 1 mH
R = 8 Ω, L = 15 mH
(c)
R = 200 Ω, L = 16 mH
ω = 10 4 rad / s
C = 0.4 mF , f = 50 Hz
C = 10 µF , ω = 2.5 ⋅ 10 3 rad / s
Risultato:
(b)
a) Z& = 10 + 10 j = 10 2 exp( jπ / 4) Ω ; b) Z& = 8 + 11.54 j = 14 exp( j 0.965) Ω ;
c) Z& = 8 + 20 j = 21.5 exp( j1.19) Ω ;
ES. 1.3 Le seguenti coppie di fasori esprimono tensione e corrente relative ad un dato
bipolo. Dire, nei tre casi, se si tratta di un resistore, un condensatore o un
induttore e valutare il valore dei parametri corrispondenti R, C o L
a) v (t ) = 15 cos(400t + 1.2) , i (t ) = 3 sin(400t + 1.2) ;
b) v(t ) = 8 cos(900t − π / 3) , i (t ) = 2 sin(900t + 2 π / 3) ;
c) v (t ) = 20 cos(250t + π / 3) , i (t ) = 5 sin(250t + 5π / 6) ;
a) V = 15e j1.2 , I = 3e j (1.2−π / 2) . Posto V = Z&I si ha che:
arg(Z& ) = arg(V ) − arg( I ) =
π
2
⇒
Z& = jωL
⇒
L=
V
Iω
= 12.5 mH .
b) V = 8e − jπ / 3 , I = 2e j ( 2π / 3 −π / 2 ) = 2e − jπ / 6 . Posto V = Z&I si ha che:
arg(Z& ) = arg(V ) − arg( I ) = −
ver.2.2 – ottobre 2009
π
2
⇒
j
Z& = −
ωC
⇒
C=
I
Vω
= 0.28 mF .
c) V = 20e jπ / 3 , I = 5e j (5π / 6−π / 2 ) = 5e jπ / 3 . Posto V = Z&I si ha che:
arg(Z& ) = arg(V ) − arg( I ) = 0
⇒
Z& = R
⇒
R=
V
I
= 4Ω.
2
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2.2 - 2009
ES. 1.4 - Si consideri il circuito in figura, determinando L tale che la parte immaginaria
dell’impedenza vista ai capi dei morsetti risulti Im{Z& }= 100 Ω.
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2.2 - 2009
2. Equivalenza, sovrapposizione degli effetti, potenza.
R
L
ES. 2.1 - Con riferimento al seguente circuito, valutare l'impedenza Z& eq vista ai capi del
generatore e la potenza complessa S& erogata dal generatore.
C = 10 µF
f = 1 kHz
C
C
j (t ) = 10 sin(2t ) A
R
j (t )
L'impedenza totale vista ai capi dei morsetti è
R
R=2Ω
L
L =1H
C = 0.25 F
( jωL) /( jωC )
ωL
Z& = R +
=R+ j
,
j (ωL − 1 / ωC )
1 − ω 2 LC
quindi basta imporre
Im{Z& } =
ωL
1 − ω 2 LC
= 100 ⇒
L = 2.19 mH .
Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze:
J = 10,
ES. 1.5 - A quale di queste impedenze corrisponde la fase ϕ = − π / 4 ?
Z& L = jωL = 2 j ,
Z& R = R = 2.
L'impedenza di ingresso vista dal generatore è data da:
1: R-L serie
R = 10 Ω
2: R-C serie
R = 10 Ω
3: R-C parallelo
R = 0.5 Ω
4: L-C serie
C =1 F
L = 10 mH
ω = 100 rad / s
C = 10 mF
ω = 100 rad / s
C = 0.2 F
ω = 10 rad / s
L =1 H
ω = 1 rad / s
Caso 3:
Z& C = − j /(ωC ) = −2 j,
Z& eq = Z& R //[ Z& C // Z& R + Z& L ] = 0.8 + j 0.4 Ω.
La potenza complessa erogata da j(t) si valuta facilmente una volta nota Z& eq :
( 1
1 ( 1
(0.8 + j 0.4)100
A& J ≡ V J J = Z& eq JJ = Z& eq J 2 =
= 40 + j 20 .
2
2
2
2
1
1
1
π
Z& = =
=
= 0.25(1 − j ) ⇒ ϕ = tg −1 (− 1) = − .
4
Y& 1 / R + jωC 2 + 2 j
ES. 2.2 - Con riferimento al seguente circuito, valutare l'impedenza Z& eq vista ai capi del
generatore e le correnti i L (t ) e iC (t )
R
ES. 1.6 - Dati i seguenti fasori V1 = 10 exp( jπ / 6) , V2 = 10 exp( − jπ / 6) , V3 = 5 exp( − jπ / 3) :
a) rappresentare nel piano complesso i fasori V1 , V2 , V3 ;
i L (t )
b) calcolare i fasori: V1 + V2 , V1 − V2 , V1 + V3 , V1 − V3 ;
e(t ) = 10 cos(1000t ) V
iC (t )
L
C
+
e(t )
R = 10 Ω L = 20 mH
C = 0.1 mF
c) rappresentare nel piano complesso i fasori valutati al punto b)
d) rappresentare nel tempo le tensioni corrispondenti ai fasori dei punti a) e b),
Risultato: Z& eq = 5 − j15 Ω ; i L (t ) = 0.45 cos(1000t − 1.11) A, iC (t ) = − sin(1000t ) A .
definito la trasformazione fasoriale come segue:
v (t ) = V M sin(ωt + α) ↔ V = V M exp( jα)
3
4
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2.2 - 2009
ES. 2.3 - Applicando il teorema di Thévenin, valutare la potenza complessa e la potenza
istantanea assorbita dall’induttore L2 .
R
a
i L2 (t )
j (t ) = 10 2 sin(100t + 0.35) A
j (t )
L2
L1
R = 4 Ω,
ES. 2.4 - Con riferimento al seguente circuito valutare la corrente i L (t ) .
C = 3 mF,
Trasformiamo preliminarmente la rete in una rete di impedenze:
Z& L1 = 0.2 j ,
I L2 =
j1 ( t ) =
R = 1Ω
I L′ = J 1
Z& L1
Z& C
I
V
Z& L1
= 0.693 + j1.114 Ω.
+ Z& C + Z& R
J 2 = 10 A, Z& C = − j Ω,
Z& RL = R + jωL = 2 + j 2 Ω, Z& R = R = 2 Ω,.
Z& RC
= 3.33 A ,
&
Z RC + Z& RL
I L′′ = J 2
Z& L1
avendo posto
Z& R Z&C
Z& RC =
= 0.4-j 0.8 Ω
&
Z R + Z&C
Il contributo del solo generatore J 2 si ottiene dalla rete in cui J 1 è stato sostituito con un circuito
aperto:
Z& R
J
Risolvendo la rete equivalente ottenuta, si ha che
L
C = 1 mF
Questa rete può essere risolta con la sovrapposizione degli effetti. Il contributo del solo generatore
J 1 si ottiene dalla rete in cui J 2 è stato sostituito con un circuito aperto:
Z& R
Z& eq = Z& C // ( Z& L1 + Z& R ) = 1.721 − j1.985 Ω.
Z& L1
L = 2 mH
i L (t )
J1 = j10 A,
L'impedenza equivalente nel circuito di Thévenin si valuta risolvendo la rete seguente:
E 0 = Z& C I C = Z& C J
a
R=2Ω
Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze:
Z& R = 4, Z& L 2 = 0.5 j
La tensione a vuoto, invece, si può calcolare a partire dalla
corrente che circola in Z& c , a sua volta ottenuta con un partitore
di corrente:
LC
j2 ( t )
L
i
j
j 2 (t ) = 10 sin (1000t ) A
R
C
j1( t )
R
b
Z C = −3.33 j ,
j1 (t ) = 10 cos(1000t ) A
R
L1 = 2 mH, L2 = 5 mH
J = 10e j 0.35 ,
ver 2.2 - 2009
E0
Z& C
Z& RC
= − j 3.33 A .
&
Z RC + Z& RL
Si ha, quindi
I L = I L′ + I L′′ = 3.33(1 − j ) = 4.71 exp( −0.78 j ) A
E0
= −0.089 + j 0.570 = 0.577e j1.726 A.
Z& L2 + Z& eq
a cui corrisponde, nel tempo la corrente
L’andamento della corrente nel tempo è allora dato da:
i L (t ) = 4.71sin(1000t − 0.78) A
i L2 (t ) = 0.577 2 sin(100t + 1.726) A
La potenza complessa assorbita da L2 sarà puramente reattiva:
ES. 2.5 - Applicando il teorema di Norton, valutare la potenza complessa e la potenza
istantanea assorbita dal parallelo R-C in figura.
A& L2 = jX L2 I 2L = 0.167 j VAr.
2
La potenza istantanea si può valutare, in generale, dalla conoscenza di corrente e tensione:
p L2 (t ) = v L2 (t )i L2 (t ). Si ha quindi:
V L2
= Z& L2 I L2 = 0.289e − j 2.986 A
⇔
v L 2 (t ) = 0.289 2 sin(100t − 2.986) V
L
R
e(t )
+
R
C
e(t ) = 5 2 sin(1000t + π / 3) V
R = 0.21 Ω,
L = 1 .12 mH
C = 1.23 mF.
p L2 (t ) = v L2 (t )i L2 (t ) = −0.167cos(200t − 1.260) W
Si osservi che in questo caso particolare (elemento dinamico) la potenza istantanea può anche
essere calcolata come derivata dell’energia:
p L2 (t ) = i L2 (t ) L2
di L2 (t )
dt
=
Risultato: A& = 29.72 W − j 7.68 VAr; p(t ) = [ 29.72 − 30.70 cos(2000t + 2.27)] W .
d  L2 2 
i L (t ) = 0.167 sin( 200t + 3.52) = −0.167 cos( 200t − 1.260) W .
dt  2 2 
5
6
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ES. 2.6
ver 2.2 - 2009
- Con riferimento al seguente circuito valutare la reattanza da inserire in
parallelo al generatore in modo che l'impedenza complessiva vista dal
generatore stesso assorba la stessa potenza media di prima ma abbia un fase
ϕ tale che cos ϕ = 0.9 (rifasamento).
L
C
R
R1
C
j1 (t ) = 4 cos(4t ) A
R2
j 2 (t ) = 2 cos(4t − 2π / 3) A
j1( t )
ω = 10 4 rad/s, R = 50 Ω
C = 10 µF,
ver 2.2 - 2009
ES. 2.7 - Con riferimento al seguente circuito, calcolare la potenza attiva P2 e la potenza
reattiva Q2 assorbita dalla serie R2 − L2 .
e(t ) = 100 sin(ωt ) V
e(t ) +
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
L1
j2 ( t )
L2
L = 1.2 mH
Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze:
J 1 = 4, J 2 = 2e − j 2π / 3 , Z& C = − j / 8 Ω, Z&1 = Z& 2 = 2 + 4 j Ω.
E = 100 V , Z& C = −10 j Ω, Z& L = 12 j Ω, Z& R = 50 Ω.
Applicando la sovrapposizione degli effetti, valutiamo il contributi dovuti a J 1 ed a J 2
L'impedenza equivalente vista dal generatore è
Z& C Z& R
Z& eq = Z& L +
= 1.92 + j 2.38 Ω,
&
Z C + Z& R
quindi la potenza complessa erogata dallo stesso sarà
(
1 ( 1 EE 1 E 2
A& = P + jQ = E I = ( = ( = 1.02 kW + j1.27 kVAr .
2
2 Z&
2 Z&
eq
eq
I 2′ = J 1
Z&1
= 2.03 + j 0.01 A,
&
Z C + Z& 2 + Z&1
I 2′′ = J 2
Z&1 + Z& C
= −0.50 − j 0.85 A.
&
Z C + Z& 2 + Z&1
Pertanto si ha
I 2 = I 2′ + I 2′′ = 1.53 − j 0.84 = 1.75 exp(− j 0.502) A,
Il fattore di potenza è pari a
quindi la potenza complessa assorbita da Z& 2 sarà
cos ϕ = cos[tg −1 (Q / P )] = 0.63
1 (
1
2+4j
A& = P2 + jQ 2 = V2 I 2 = Z& 2 I 22 =
1.75 2 = 3.06 W + j 7.12 VAr .
2
2
2
Nota: si svolga l’esercizio utilizzando l’equivalente di Thévenin ai capi della serie considerata.
quindi occorre inserire un'opportuna Z& x tra l'impedenza Z& eq ed il generatore in modo che
l'impedenza complessiva Z&
verifichi tale richiesta. Affinché tale inserzione non alteri la
TOT
tensione, Z& x deve essere posta in parallelo al generatore. Per lasciare invariata anche la
potenza media l’impedenza deve essere puramente reattiva:
Z& x = jX .Per stabilire il valore di tale reattanza si può
Z& eq
applicare il principio di conservazione delle potenze, che
Z& x
E +
impone, dopo l'inserzione di Z& x :
ES. 2.8 - Applicando il teorema di Thévenin, valutare la potenza complessa e la potenza
istantanea assorbita dal condensatore C .
Pdes = P, Q des = Q + Q x .
j (t )
La potenza reattiva Q x si può quindi valutare come segue:
⇒
Q x = Ptg[cos −1 (0.9)] − Q = −0.77 kVAr
⇒ C =−
2Q x
ωE 2
j (t ) = 2 2 cos(20t + 0.23) A
R1 = 12 Ω R 2 = 2 Ω
R1
R2
C
Imponendo la condizione desiderata su ϕ si ottiene una Q x negativa, il che significa che Z& x è
un'impedenza capacitiva. Ricordando l'espressione della potenza reattiva assorbita da un
condensatore ai capi del quale sia nota la tensione si può valutare il valore di capacità
necessario:
E2
Q x = −ωC
2
L1 = L2 = 1 H
C=2F
Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze:
Q des = Pdes tgϕ des = Ptg[cos −1 (0.9)]
R1 = R2 = 2 Ω
L = 0.2 H
C = 0.1 F
L
Risultato: A& = − j 0.49 VAr; p(t ) = -0.49 cos(40t − 3.12)] W .
= 15.40 µF .
7
8
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2.2 - 2009
ES. 2.9 - Valutare la corrente che circola nel condensatore e la potenza complessa da
esso assorbita.
R
+
e(t )
i (t )
L
C
ES. 3.1 - Con riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna
simmetrica diretta di tensioni, di valore efficace E,
a) valutare l’indicazione dell’amperometro;
b) rifasare a cos ϕ = 0.9 alla sezione 1-2-3.
e(t ) = 10 2 cos(2πft ) V , f = 50 Hz
R = 1 Ω, C = 1 mF , L = 3 mH
E1
Risultato: i (t ) = 3.15 sin(2πft + 0.23) A; A& = -j15.80 VAr .
E2
A
R
R = 50 Ω
2
E3
P
sinϕ
+
j1 (t ) = 2 sin(2πft ) A,
R
Q = Ptgϕ = Ptg[sin −1 (0.554)] = 7.99 kVAr .
Per valutare la potenza complessa assorbita dalla stella di resistori, basta osservare che tale
carico è posto in parallelo rispetto al precedente e che la tensione su ciascun resistore è
proprio la tensione stellata dei generatori. Si ha, allora:
ES. 2.11 - Con riferimento alla seguente rete in regime sinusoidale, valutare:
a) il circuito equivalente di Thévenin ai capi di R2
b) la corrente circolante in R2
PR = 3
c) la potenza istantanea e complessa assorbita da R2 .
i
j(t)
C
R2
e(t ) = 10 2 sin(ωt + π / 3) V ,
PTOT = P + PR = 14.90 kW,
j (t ) = 2 sin(ωt + π / 4) A, ω = 103 rad / s
QR = 0 .
QTOT = Q + Q R = 7.99 kVAr,
cioè:
R1 = 1.2 Ω, R2 = 3.3 Ω,
b
E2
= 2.90 kW,
R
Applicando la conservazione delle potenze, possiamo affermare che la potenza complessa
totale assorbita alla sezione 1-2-3 è data da:
L
a
+
R
a) L’indicazione dell’amperometro fornisce il valore efficace I della corrente di linea I1 . Per
valutare tale valore si può preliminarmente valutare la potenza complessa totale assorbita alla
sezione 1-2-3. Il carico a valle dei resistori assorbe la potenza complessa
P = 12 kW,
e(t)
R
R = 1.3 Ω, C = 2.0 mF , L = 1.1 mH
Risultato: p(t ) = 4.74[1 − cos(4πft − 0.18) W; A& = 4.74 W .
R1
P = 12 kW
sinϕ = 0.554
f = 50 Hz
3
j2 (t ) = 2 2 sin(2πft + π / 4) A, f = 50 Hz
j 2 (t )
E = 220 V
+
ES. 2.10 - Valutare la potenza istantanea e complessa assorbita da R.
j1 (t ) C
I1
1
+
L
ver 2.2 - 2009
3. Sistemi trifase.
j (t ) = 2 2 sin(2πft + 0.12) A,
j (t )
R
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
A& TOT = PTOT + j QTOT = (14.90 + j7.99) ⋅10 3
C = 4.1 mF , L = 3.2 mH
Ricordando l’espressione della potenza apparente:
a) Z& eq = 0.05 + j 2.97Ω; E0 = 2.09 − i 0.76 V
Risultato:
2
2
ATOT = PTOT
+ QTOT
= 3EI ,
b) i (t ) = 0.71sin(1000t − 1.08) A
c) A& = 0.82 W ; p (t ) = 0.82[1 − cos(2000t − 2.15)] W
si ha immediatamente che
9
10
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
I=
ver 2.2 - 2009
2
2
PTOT
+ QTOT
3E
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2.2 - 2009
ES. 3.3 - Con riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica
diretta di tensioni (con valore efficace della tensione concatenata pari a V):
a) valutare l’indicazione dell’amperometro;
b) valutare le indicazioni dei wattmetri;
c) rifasare a cos ϕ = 0.9 alla sezione 1-2-3.
= 25.62 A.
b) Alla sezione 1-2-3 si ha un fattore di potenza pari a
cos ϕ = cos[tg −1 (QTOT / PTOT )] = 0.88
quindi occorre inserire dei condensatori per rifasare. Il rifasamento porterà ad avere una
potenza reattiva totale desiderata pari a
+
+
Wa
1
Q des = PTOT tgϕ des = PTOT tg[cos −1 (0.9)] = 7.22 kVAr
2
quindi il banco di condensatori dovrà assorbire una potenza reattiva totale pari a
Q c = Q des − QTOT = −0.77 kVAr .
C∆ = −
Qc
6πfV 2
E3
P, Q
A
+
Inserendo i condensatori a stella, come in figura, la tensione che agisce su ciascuno di essi è
quella stellata dei generatori, quindi:
E1
1
E2
2
+
Q c = −3
= −6πfCY E
XC
E2
Qc
2
P
CY = −
= 16.82 µF.
2
+
6πfE
sinϕ
Se, invece, i condensatori
vengono inseriti a triangolo, la
tensione è la concatenata, quindi:
3
Wb
+
R
PR = 3
R
R
R
R
a) L’indicazione dell’amperometro fornisce il valore efficace I della corrente di linea alla
sezione 1-2-3. Per calcolarla si può valutare la potenza complessa totale assorbita a tale
sezione, sommando i contributi di tutti i carichi. I resistori assorbono la potenza complessa
3
+
V = 380 V
P = 10 kW
Q = 7 kVAr
R = 1 kΩ
f = 50 Hz
V2
= 0.43 kW,
R
QR = 0 ,
quindi alla sezione 1-2-3 si ha:
R
A& TOT = PTOT + j QTOT = ( P + PR ) + j (Q + Q R ) = 10.43 kW + j7 KVAr .
= 5.61 µF.
La lettura dell’amperometro sarà, quindi:
Osserviamo che CY = 3C ∆ .
I=
ES. 3.2 - Con riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna
simmetrica diretta di tensioni:
a) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3;
b) rifasare a cos ϕ = 0.9 alla sezione 1-2-3.
1
R
XL
V12
2
V12 = 380 V
= 19.09 A.
b) Per il teorema di ARON, essendo il sistema equilibrato, si ha:
Wa + Wb = PTOT = 10.43 ⋅ 10 3

QTOT

= 4.03 ⋅ 10 3
 Wb − Wa =
3

⇒
Wa = 3.20 ⋅ 10 3

 Wb = 7.23 ⋅10 3
cos ϕ = cos[tg −1 (QTOT / PTOT )] = 0.83 ,
R = X L = 10 Ω
XL
Q = −5kVAr
quindi occorre inserire dei condensatori per rifasare. Dopo il rifasamento si avrà
cosϕ = 0
Q des = PTOT tgϕ des = PTOT tg[cos −1 (0.9)] = 5.05 kVAr
XL
3
3V
c) Alla sezione 1-2-3 si ha un fattore di potenza pari a
R
R
2
2
PTOT
+ QTOT
quindi, montando tre condensatori a triangolo:
Q, cosϕ
Q c = Q des − QTOT = −1.95 kVAr
Risultato: a ) A& = 21.66 kW + j16.66 kVAr, b) C ∆ = 45.33 µF.
11
⇒
C∆ = −
Qc
6πfV 2
= 14.30 µF.
12
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2.2 - 2009
ES. 3.4 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica
diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell’amperometro sia 0.7A.
a) valutare l’indicazione del voltmetro;
b) valutare le indicazioni dei wattmetri;
c) rifasare a cos ϕ = 0.9 alla sezione 1-2-3.
+
S
+
Wa
1
jX
+
Wb
R
jX
R
2
2
+ QTOT
PTOT
3I
= 2.72 kV.
b) Per il teorema di ARON, essendo il sistema equilibrato, si ha:
Wa + Wb = PTOT = 10.02 ⋅10 3

Q TOT

= 6.61 ⋅ 10 3
 Wb − Wa =
3

Wa = 1.70 ⋅ 10 3

 Wb = 8.32 ⋅ 10 3
⇒
c) Alla sezione 1-2-3 si ha un fattore di potenza pari a
A
V
3
V=
R
jX
ver 2.2 - 2009
per cui la lettura del voltmetro sarà:
Z&1
Z&1
2
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
cos ϕ = cos[tg −1 (QTOT / PTOT )] = 0.66 ,
quindi occorre inserire dei condensatori per rifasare. Dopo il rifasamento si avrà
Z&1
Q des = PTOT tgϕ des = PTOT tg[cos −1 (0.9)] = 4.85 kVAr
+
Ap
sinϕp
quindi, montando tre condensatori a triangolo
Q c = Q des − QTOT = −6.60 kVAr
Dati: Z& 1 = 2 + 1 j Ω, R = 1 kΩ, X = 2 kΩ, A p = 12 kVA, sin ϕ p = 0.707, f = 50Hz.
a)
Detto I ′ = 0.7 A il valore efficace della corrente letta dall’amperometro, la potenza
complessa totale assorbita dalle impedenze R-L sarà
A& RL = 3( R + jX ) I ′ = 1.47 kW + j 2.94 kVAr .
2
La tensione stellata che insiste su questa stella di impedenze e sul carico posto in parallelo
sarà
E′ =
ARL
= 1.57 kV.
3I ′
C∆ = −
Qc
6πfV 2
= 0.94 µF.
ES. 3.5 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica
diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell’amperometro sia 5A.
a) valutare la tensione stellata dei generatori
b) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3;
1
jX L
RL
R
2
jX L
RL
R
jX L
RL
R
La potenza complessa assorbita dal carico parallelo sarà
A& p = A cos ϕ p + jA sin ϕ p = 8.49 kW + j8.49 kVAr ,
⇒
R = 0.12 kΩ
RL = 3 Ω
X L = 3Ω
quindi la potenza complessa totale assorbita alla sezione S indicata in figura sarà
3
X C = 90 Ω
A
A& s = A& p + A& RL = 9.95 kW + j11.42 kVAr .
La corrente I che attraversa tale sezione sarà data da:
− jX C
A
I = s = 3.23 A.
3E ′
− jX C
− jX C
quindi la potenza assorbita dal carico in serie Z& 1 sarà
Risultato: a ) E = 560 V; b) A& = 12.83 kW − j 32.18 kVAr.
A&1 = 3Z& 1 I 2 = 0.06 kW + j 0.03 kVAr .
Alla sezione 1-2-3 di ingresso, quindi, si ha:
A& TOT = A& 1 + A& s = PTOT + j Q TOT = 10.02 kW + j11.46 KVAr
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A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2.2 - 2009
ES. 3.6 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica
diretta di tensioni.
a) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3;
b) rifasare a cos ϕ = 0.9 alla sezione 1-2-3.
jX L
R
jX L
R
1
P, cosϕP
V
2
R
jX L
R = 10 Ω,
X L = 5 Ω,
Z& = 100 + 100 j Ω,
V = 380V ,
3
Z&
P = 1 kW,
cosϕ P = 0.707,
f = 50Hz
Z&
Z&
Risultato: a ) A& = 3.63 kW + j 4.25 kVAr; b) C ∆ = 12.94 µF.
ES. 3.7 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica
diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell’amperometro sia 10A.
a) valutare il fattore di potenza del carico M;
b) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3;
c) valutare il fattore di potenza alla sezione 1-2-3;
R
+
+
Wa
1
R = 20 Ω
M
A
2
R
X C = 100 kΩ
Wa = 4 kW
Wb = 10 kW
+
Wb
3
− jX c
− jX c − jX c
+
Risultato: a ) cos ϕ M = 0.80; b) A& = 20.00 kW + j10.38 kVAr; c) cos ϕ = 0.89;
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