A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale ES. 1.4 ES. 1.1 Esprimere la corrente i(t) in termini di fasore nei seguenti tre casi: a) i (t ) = 4 sin(ωt − 1.14) b) i(t) = 10sin(ωt − π) ver 2 - 2004 Si consideri il circuito in figura, determinando L tale che la parte immaginaria dell’impedenza vista ai capi dei morsetti risulti Im{Z& }= 100 Ω. R c) i(t) = 8sin(ωt + π / 2) L Risultato: a) I = 4 exp(− j1.14) ; b) I = −10 ; c) I = 8 j . C = 10 µF C f = 1 kHz ES. 1.2 Valutare (in forma cartesiana e polare) le impedenze viste ai capi dei morsetti: R 2C R R L'impedenza totale vista ai capi dei morsetti è C L ωL ( jωL) /( jωC) , Z& = R + = R+ j j(ωL −1/ ωC) 1 − ω 2 LC C quindi basta imporre (a ) R = 10 Ω = 1 mH L 4 ω = 10 rad / s Im{Z& } = (c) ( b) R = 8 Ω, L = 15 mH C = 0.4 mF , f = 50 Hz R = 200 Ω, L = 16 mH ωL 1 − ω 2 LC = 100 ⇒ L = 2.19 mH . C = 10 µF , ω = 2.5 ⋅ 10 3 rad / s ES. 1.5 - A quale di queste impedenze corrisponde la fase ϕ = −π / 4 ? Risultato: c) a) Z& = 10 + 10 j = 10 2 exp( jπ / 4) Ω ; b) Z& = 8 + 11.54 j = 14 exp( j 0.965) Ω ; Z& = 8 + 20 j = 21.5 exp( j1.19) Ω ; ES. 1.3 Le seguenti coppie di fasori esprimono tensione e corrente relative ad un dato bipolo. Dire, nei tre casi, se si tratta di un resistore, un condensatore o un induttore e valutare il valore dei parametri corrispondenti R, C o L a) v(t) = 15cos(400t + 1.2) , i(t) = 3sin(400t + 1.2) ; b) v(t) = 8cos(900t − π / 3) , i(t) = 2 sin(900t + 2π / 3) ; c) v(t) = 20 cos(250t + π / 3) , i(t) = 5sin(250t + 5π / 6) ; & si ha che: a) V = 15e j1.2 , I = 3e j(1.2−π / 2) . Posto V = ZI π arg(Z& ) = arg(V ) − arg(I ) = 2 ⇒ Z& = jωL ⇒ j Z& = − ωC ω = 100 rad / s Caso 3: ⇒ Z& = R 3: R-C parallelo R = 0.5 Ω C = 0.2 F ω = 10 rad / s 4: L-C serie C =1 F L =1 H ω = 1 rad / s 1 1 1 π Z& = = = = 0.25(1 − j) ⇒ ϕ = tg −1 (−1) = − . 4 Y& 1/ R + jωC 2 + 2 j ES. 1.6 - Dati i seguenti fasori V1 = 10 exp( jπ / 6) , V2 = 10 exp(− jπ / 6) , V3 = 5exp(− jπ / 3) : ⇒ L= Iω = 12.5 mH . ⇒ C= b) calcolare i fasori: V1 + V2 , V1 − V2 , V1 + V3 , V1 − V3 ; c) rappresentare nel piano complesso i fasori valutati al punto b) d) rappresentare nel tempo le tensioni corrispondenti ai fasori dei punti a) e b), I Vω = 0.28 mF . definito la trasformazione fasoriale come segue: v(t) = V M sin(ωt + α) ↔V = V M exp( jα) c) V = 20e jπ / 3 , I = 5e j(5π / 6−π / 2) = 5e jπ / 3 . Posto V = Z&I si ha che: arg(Z& ) = arg(V ) − arg(I ) = 0 2: R-C serie R = 10 Ω C = 10 mF ω = 100 rad / s a) rappresentare nel piano complesso i fasori V1 , V2 , V3 ; V b) V = 8e − jπ / 3 , I = 2e j(2π / 3−π / 2) = 2e − jπ / 6 . Posto V = Z&I si ha che: π arg(Z& ) = arg(V ) − arg(I ) = − 2 1: R-L serie R = 10 Ω L = 10 mH ⇒ R= V I = 4Ω. scaricato da www.riccardogalletti.com/appunti_gratis 2 A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale ver 2 - 2004 ES. 2.1 - Con riferimento al seguente circuito, valutare l'impedenza Z& eq vista ai capi del generatore e la potenza complessa S& erogata dal generatore. R j (t ) R j (t ) = 10 sin(2t ) A R=2Ω L =1H C = 0.25 F L ver 2 - 2004 ES. 2.3 - Applicando il teorema di Thévenin, valutare la potenza complessa e la potenza istantanea assorbita dall’induttore L2 . R a i L2 (t ) j (t ) = 10 2 sin(100t + 0.35) A R = 4 Ω, C = 3 mF, L2 j (t ) L1 L1 = 2 mH, L2 = 5 mH b 2. Equivalenza, sovrapposizione degli effetti, potenza. C A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale Trasformiamo preliminarmente la rete in una rete di impedenze: J = 10e j 0.35 , Z C = −3.33 j, Z& L1 = 0.2 j, Z& R = 4, Z& L 2 = 0.5 j L'impedenza equivalente nel circuito di Thévenin si valuta risolvendo la rete seguente: Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze: J = 10, Z& C = − j /( ωC ) = −2 j, Z& L = jωL = 2 j, La tensione a vuoto, invece, si può calcolare a partire dalla corrente che circola in Z& c , a sua volta ottenuta con un partitore di corrente: Z& R = R = 2. L'impedenza di ingresso vista dal generatore è data da: Z& eq = Z& R //[ Z& C // Z& R + Z& L ] = 0.8 + j 0.4 Ω. E 0 = Z& C I C = Z& C J La potenza complessa erogata da j(t) si valuta facilmente una volta nota Z& eq : ( 1 1 ( 1 (0.8 + j0.4)100 A& J ≡ V J J = Z& eq JJ = Z& eq J 2 = = 40 + j20 . 2 2 2 2 ES. 2.2 - Con riferimento al seguente circuito, valutare l'impedenza Z& eq vista ai capi del L C + Z& C I V Z& R J Z& L1 E0 Z& C E0 = −0.089 + j0.570 = 0.577e j1.726 A. Z& L2 + Z& eq L’andamento della corrente nel tempo è allora dato da: generatore e le correnti i L (t) e iC (t) R iC (t ) Z& L1 Z& L1 = 0.693 + j1.114 Ω. & Z L1 + Z& C + Z& R Risolvendo la rete equivalente ottenuta, si ha che I L2 = i L (t ) Z& R Z& eq = Z& C //(Z& L1 + Z& R ) = 1.721 − j1.985 Ω. i L2 (t) = 0.577 2 sin(100t + 1.726) A e(t) e(t) = 10 cos(1000t) V R = 10 Ω L = 20 mH C = 0.1 mF La potenza complessa assorbita da L2 sarà puramente reattiva: A& L2 = jX L2 I 2L = 0.167 j VAr. 2 La potenza istantanea si può valutare, in generale, dalla conoscenza di corrente e tensione: Risultato: Z& eq = 5 − j15 Ω ; i L (t ) = 0.45 cos(1000t −1.11) A, iC (t) = −sin(1000t) A . p L2 (t) = v L2 (t)i L2 (t), ma in questo caso particolare (elemento dinamico) basta la sola conoscenza della i L2 (t) : pL2 (t) = vL2 (t)iL2 (t) = iL2 (t) scaricato da www.riccardogalletti.com/appunti_gratis 3 diL2 (t) dt = 2 L2 diL2 (t) = 0.167sin(200t −1.260)W . 2 dt 2 4 A. Maffucci: C ircuiti in regime sinusoidale ver 2 - 2004 ES. 2.6 ES. 2.4 - Con riferimento al seguente circuito valutare la corrente i L (t ) . j1 (t) = 10 cos(1000t ) A R j1( t ) j 2 (t) = 10sin (1000t ) A R C j2 ( t ) L i L (t ) A. Maffucci: C ircuiti in regime sinusoidale ver 2 - 2004 riferimento al seguente circuito valutare la reattanza da inserire in - Con parallelo al generatore in modo che l'impedenza complessiva vista dal generatore stesso assorba la stessa potenza media di prima ma abbia una fase ϕ tale che cos ϕ = 0.9 ( rifasamento) e la corrente assorbita sia in ritardo rispetto alla tensione. L R=2Ω L = 2 mH e(t) + C = 1 mF e(t) = 100 sin(ωt) V R C ω = 10 4 rad/s, R = 50 Ω C = 10 µF, L Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze: J1 = j10 A, J 2 = 10 A, Z& C = − j Ω, Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze: Z& RL = R + jωL = 2 + j2 Ω, Z& R = R = 2 Ω,. E = 100V , Z& C = −10 j Ω, Z& L = 12 j Ω, Z& R = 50 Ω. Questa rete può essere risolta con la sovrapposizione degli effetti. Il contributo del solo generatore J 1 si ottiene dalla rete in cui J 2 è stato sostituito con un circuito aperto: I L′ = J 1 Z& RC = 3.33 A , av endo posto & Z RC + Z& RL L'impedenza equivalente vista dal generatore è Z& C Z& R Z& eq = Z& L + = 1.92 + j2.38 Ω, & Z C + Z& R Z& R Z&C Z& RC = = 0.4-j 0.8 Ω & Z R + Z&C quindi la potenza complessa erogata dallo stesso sarà ( 1 ( 1 EE 1 E 2 A& = P + jQ = EI = ( = ( = 1.02 kW + j1.27 kVAr . 2 2 Z& 2 Z& eq eq Il contributo del solo generatore J 2 si ottiene dalla rete in cui J 1 è stato sostituit o con un circuito aperto: I L′′ = J 2 Z& RC = − j 3.33 A . & Z RC + Z& RL Il fattore di potenza è pari a Si ha, quindi cos ϕ = cos[tg −1 (Q / P)] = 0.63 I L = I L′ + I L′′ = 3.33(1 − j ) = 4.71exp(−0.78 j ) A quindi occorre inserire un'opportuna Z& x tra l'impedenza Z& eq ed il generatore in modo che l'impedenza complessiva Z& TOT verifichi tale richiesta. Affinché tale inserzione non alteri la tensione, Z& x deve essere posta in parallelo al generatore. Per lasciare invariata anche la potenza media l’impedenza deve essere puramente reattiva: Z& x = jX .Per stabilire il valore di tale reattanza si può Z& eq applicare il principio di conservazione delle potenze, che Z& x E + impone, dopo l'inserzione di Z& x : a cui corrisponde, nel tempo la corrente i L (t ) = 4.71sin(1000t − 0.78) A ES. 2.5 - Applicando il teorema di Norton, valutare la potenza complessa e la potenza istantanea assorbita dal parallelo R-C in figura. Pdes = P, Q des = Q + Q x e(t) + L R R C = 1.2 mH e(t) = 5 2 sin(1000t + π / 3) V R = 0.21 Ω, . La potenza reattiva Q x si può quindi valutare come segue: L = 1.12 mH Q des = Pdes tgϕ des = Ptg[cos −1 (0.9)] C = 1.23 mF. ⇒ Q x = Ptg [cos −1 (0.9)] − Q = −0.77 kVAr Imponendo la condizione desiderata su ϕ si ottiene una Q x negativa, il che significa che Z& x è un'impedenza capacitiva. Ricordando l'espressione della potenza reattiva assorbita da un condensatore ai capi del quale sia nota la tensione si può valutare il valore di capacità necessario: Risultato: A& = 29.72 W − j 7.68 VAr; p(t ) = 29.72 − 30.70 cos(2000t + 2.27)] W . Q x = −ωC scaricato da www.riccardogalletti.com/appunti_gratis 5 E2 2 ⇒ C =− Qx 2ωCE 2 = 3.87 µF. 6 A. Maffucci: C ircuiti in regime sinusoidale ver 2 - 2004 ES. 2.7 - Con riferimento al seguente circuito, calcolare la potenza attiva P2 e la potenza reattiva Q2 assorbita dalla serie R2 − L2 . R1 j1( t ) C L1 A. Maffucci: C ircuiti in regime sinusoidale ver 2 - 2004 ES. 2.9 - Valutare la corrente che circola nel condensatore e la potenza complessa da o assorbita. ess j1 (t) = 4 cos(4t ) A j 2 (t) = 2 cos(4t − 2π / 3) A R2 j2 ( t ) L2 R R1 = R2 = 2 Ω + e(t) i (t ) j(t) = 2 2 sin(2πft + 0.12) A, L C j(t) R L1 = L2 = 1 H e(t) = 10 2 cos(2πft) V , f = 50 Hz R = 1 Ω, C = 1 mF, L = 3 mH C=2F Risultato: i(t) = 3.15sin(2πft + 0.23) A; A& = -j15.80 VAr . Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze: J 1 = 4, J 2 = 2e − j 2π / 3 , Z& C = − j / 8 Ω, Z&1 = Z& 2 = 2 + 4 j Ω. Applicando la sovrapposizione degli effetti, valutiamo il contributi dovuti a J 1 ed a J 2 ES . 2.10 - Valutare la potenza istantanea e complessa assorbita da R. R Z&1 I 2′ = J 1 = 2.03 + j0.01 A, & Z C + Z& 2 + Z&1 I 2′′ = J 2 Z&1 + Z& C = −0.50 − j0.85 A. & Z C + Z& 2 + Z&1 j1 (t) = 2 sin(2πft) A, j1 (t ) C L j2 (t) = 2 2 sin(2πft + π / 4) A, f = 50 Hz j 2 (t ) R = 1.3 Ω, C = 2.0 mF, L = 1.1 mH Pertanto si ha I 2 = I 2′ + I 2′′ = 1.53 − j0.84 = 1.75exp(− j0.502) A, Risultato: p(t) = 4.74[1 − sin(4πft + 6.10) W; A& = 4.74 W . quindi la potenza complessa assorbita da Z& 2 sa rà 1 ( 1 2+4j A& = P2 + jQ2 = V2 I 2 = Z& 2 I 22 = 1.75 2 = 3.06 W + j7.12 VAr . 2 2 2 Nota: si svolga l’esercizio utilizzando l’equivalente di Thévenin ai capi della serie considerata. ES. 2.11 - Con riferimento alla seguente rete in regime sinusoidale, valutare: a) il circ uito equivalente di Thévenin ai capi di R2 b) la corrente circolante in R2 ES. 2.8 - Applicando il teorema di Thévenin, valutare la potenza complessa e la potenza istantanea assorbita dal condensatore C . c) la potenza istantanea e complessa assorbita da R2 . L R1 a j(t) R1 e(t) R1 = 12 Ω R2 = 2 Ω R2 C i j(t) = 2 2 cos(20t + 0.23) A L = 0.2 H + j(t) C = 0.1 F L C e(t) = 10 2 sin(ωt + π / 3) V , R2 j(t) = 2 sin(ωt + π / 4) A, ω = 103 rad / s b C = 4.1 mF, L = 3.2 mH R1 = 1.2 Ω, R2 = 3.3 Ω, a) Z& eq = 0.05 + j2.97Ω; E0 = 2.09 − i0.76 V Ris Risultato: A& = − j0.49 VAr; p(t) = -0.49 cos(2000t − 3.12)] W . ultato: b) i(t) = 0.71sin(1000t −1.08) A c) A& = 0.82 W ; p(t) = 0.82[1 − sin(2000t − 2.15)] W scaricato da www.riccardogalletti.com/appunti_gratis 7 8 A. Maffucci: C ircuiti in regime sinusoidale ver 2 - 2004 A. Maffucci: C ircuiti in regime sinusoidale 3. Doppi-bipoli, generatori pilotati, regime periodico. I ′ = J1 ES. 3.1 - Con riferimento al seguente circuito, valutare: i1 (t) e1 (t ) C R Z& C′′ = e j 3.12 & Z C′′ + Z& L′′ + Z& R′′ ⇒ i ′′(t ) = sin(200t + 3.12) A. Nota la corrente si può calcolare la potenza istantanea assorbita da R e quindi la potenza media: e1 (t) = 10 cos(1000t) V + i ′(t ) = cos(100t + 3.13) mA. i (t ) = i ′(t ) + i ′′(t ) = 10 −3 cos(100t + 3.13) + sin(200t + 3.12) A. L R ⇒ Quindi la corrente che circola in R sarà i2 (t) + Z& L′ = 10 −3 e j 3.13 Z& L′ + Z& C′ + Z& R′ I ′′ = − J 2 a) la matrice delle ammettenze Y& del doppio-bipolo visto ai capi dei generatori; b) la potenza complessa A& erogata dai generatori; ver 2 - 2004 T e2 (t) = 20sin(1000t) V e2 (t) R = 1 Ω L = 1 mH P= C = 1 mF T T T T 1 1 2R R R p (t )dt = ∫ Ri 2 (t )dt = ∫ i ′ 2 (t )dt + ∫ i ′′ 2 (t )dt + i ′(t )i ′′(t )dt T ∫0 T0 T 0 T 0 T ∫0 2π 2π T = max , ω1 ω 2 I primi due contributi rappresentano le potenze medie dissipate nei circuiti I e II, quindi sono: a) Y&11 = 0.5 Ω −1 , Y&m = 0.5 j Ω −1 , Y&22 = 0.5 − j Ω −1 ; b) A&1er = 75W , A& 2er = 50W + j200VAr . Risultato: T ES. 3.2 -Con riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal resistore R e verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie. R i j1 (t) = cos(100t) A j1 (t ) R R i ′′ 2 (t)dt = I ′′ = 0.5 W T ∫0 2 . L'ultimo contributo è nullo perché per ω1 ≠ ω 2 si ha: T ∫ cos(ω1t + α)sin(ω2t + β)dt = 0 0 ∀α,β . In definitiva se ω1 ≠ ω 2 è possibile sovrapporre le potenze medie: P ≈ 0.5 W . j 2 (t) = sin(200t) A j 2 (t) C L T R 2 R i′ (t)dt = I ′ = 0.5 ⋅10 −6 W , T ∫0 2 R = 1 Ω L = 1 mH ES. 3.3 -C on riferimento al seguente circuito, valutare la corrente i(t). C = 0.1 mF i(t) E + j(t) = J m cosωt L R Poiché i generatori non sono isofrequenziali, cioè ω1 ≠ ω 2 , il circuito non ammette un regime sinusoidale ma un regime periodico e quindi non è possibile trasformare la rete in una rete di impedenze. Tuttavia, essendo la rete lineare, si può applicare la sovrapposizione degli effetti e ricavare la corrente che circola in R come i = i ′ + i ′′ , dove i ′ si ricava dal circuito ausiliario I e i ′′ dal circuito ausiliario II. R R i′ C R j(t) J m = 1 A, ω = 10 6 rad / s E = 1V R = 1Ω, L = 1mH , C = 1mF La corrente i(t ) si può calcolare con la sovrapposizione degli effetti nel dominio del tempo: i (t ) = i1 + i 2 (t ) . L C L j 2 (t ) C Il contributo i1 è dovuto al solo generatore di tensione e si ottiene tenendo conto che, in regime stazionario, l'induttore si riduce ad un corto-circuito ed il condensatore ad un circuito aperto: i1 = E / 2R = 1/ 2 A . I Il contributo i 2 (t ) è sinusoidale: Ciascuna di queste due reti può essere rappresentata da una rete di impedenze: rete I: J 1 = 1, rete II: J 2 = 1, Z& C′ = −100 j, Z& ′′ = −50 j, C Z& L′ = 0.1 j, Z& L′′ = 0.2 j, Z& R′ = 1. Z& R′′ = 1. dovuto al solo generatore j(t) e si ottiene risolvendo la rete in regime J = 1 , Z& R = 1 , Z& C = − j10 −3 , Z& L = j10 3 . Posto Z& a = Z& R // Z& C + Z& L , la corrente I 2 si ottiene con un semplice partitore di corrente: Applicando i partitori di corrente: I 2 = −J Z& R ≈ −10 −6 + j10 −3 ≈ j10 −3 = 10 −3 e jπ / 2 Z& R + Z& a ⇒ i 2 (t) = −10 −3 sin(ωt) A. scaricato da www.riccardogalletti.com/appunti_gratis 9 10 A. Maffucci: C ircuiti in regime sinusoidale ver 2 - 2004 ES. 3.4 -Con riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal resistore R2 e verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie. j (t ) e(t) R1 L = 0.2 H L v S (t) + Ro C vin C = 10 mF v S (t) = 10 cos(ωt) V L RU gvin (t ) Ri − Risultato: P = 0.41 kW . ver 2 - 2004 ES. 3.6 - Il circu ito seguente riproduce lo schema equivalente di un amplificatore a transistor per alta frequenza. Determinare la tensione ai capi del resistore RU. RS + R1 = 12 Ω R2 = 2 Ω R2 C C j(t) = 14 A e(t) = 110 cos(20t) V + A. Maffucci: C ircuiti in regime sinusoidale + ω = 10 8 rad / s vU R S = Ro = 1Ω, Ri = 5 Ω − L = 1 pH C = 1 nF g = 100 Ω −1 Risultato: vU (t) = 95.9 cos(ωt + 3.06) . ES. 3.5 -Valutare l'equivalente di Thévenin ai capi dei morsetti 1-1'. i(t) ES. 3.7 - Con riferimento al seguente circuito valutare la corrente i1 (t) nel circuito 1 e(t) = 2sin(ωt + π / 6) V R =2Ω r =3Ω C e(t) + + R ri(t) XL = 4Ω primario. i1 (t) XC =1Ω 1′ kV + e(t) e(t) = 10 2sin(1000t) V R1 L2 L1 R1 = 1 Ω R2 = 200 Ω R2 L1 = 3 mH E = 2e jπ / 6 , Z& C = − j , Z& L = 4 j , Z& R = 2. Per calcolare V0 basta applicare la LKT alla maglia di sinistra della rete E = Z& L I + rI ⇒ I = Poiché L1 L2 ≠ M 2 l' accoppiamento non è perfetto. Posto L1 = L1′ + L1′′ , possiamo scegliere L1′′ in modo che l'aliquota L1′′ verifichi le condizioni di E = 0.368 − j 0.157 Z& L + r . ′ 2 = M 2: accoppiamento perfetto L1′L Applicando un partitore di tensione si ha, quindi: V0 = rI L2 = 200 mH M = 20 mH Passando alla rete di impedenze si avrà: L1′′L2 = M 2 Z& R = 1.070 + j0.064 = 1.07e j0.06 V . Z& R + Z& C ⇒ L1′′ = M 2 / L2 = 2 mH . A questo punto il circuito equivalente sarà il seguente Per calcolare Z& eq occorre spegnere tutti (e soli) i generatori indipendenti, cioè E . Applicando ancora la la LKT alla maglia di sinistra della rete: 0 = Z& L I + rI ⇒ I =0 e(t) quindi nella rete per il calcolo di Z& eq risulta spento anche il generatore controllato, visto che la sua variabile di controllo è nulla, per cui in definitiva: Z& R Z& C Z& eq = = 0.4(1 − 2 j) Ω & Z R + Z& C L1′ i1 (t ) + R1 a L1′′ R2 a= L1′′ = 0.1 M Per la formula del trasporto dell'impedenza in un trasformatore ideale, il circuito è anche equivalente al seguente: scaricato da www.riccardogalletti.com/appunti_gratis 11 12 A. Maffucci: C ircuiti in regime sinusoidale ver 2 - 2004 L1′ i1 (t) e(t ) + R1 a 2 R2 Trasformato il circuito in una rete di impedenze, nella quale si è introdotto il fasore E = 10 V , l'impedenza equivalente vista dal generatore è: a 2 R jωL1′′ = 2+2j Ω Z& eq = R1 + jωL1′ + 2 2 a R2 + jωL ′′ da cui I1 = E 5 5 − jπ / 4 = (1 − j) = e A Z& eq 2 2 ⇒ i1 (t) = 5sin(1000t − π / 4) A . ES. 3.8 - Con riferimento al seguente circuito valutare la potenza complessa assorbita dal condensatore. R2 j(t) L1 R1 L2 C j(t) = 10 2 cos(100t) A R1 = R2 = 5 Ω L1 = 1 mH , L2 = 4 mH M = 2 mH , C = 12.5 mF Risultato: A& = − j5 . VAr scaricato da www.riccardogalletti.com/appunti_gratis 13