caricato da paniced768

Corso di elettrotecnica ed elettronica 1 - Hoepli

annuncio pubblicitario
GAETANO CONTE
MATTEO CESERANI
EMANUELE IMPALLOMENI
CORSO DI
ELETTROTECNICA
ED ELETTRONICA
Per l’articolazione
ELETTROTECNICA degli Istituti
Tecnici settore Tecnologico
1
HOEPLI
CORSO DI ELETTROTECNICA
ED ELETTRONICA
GAETANO CONTE MATTEO CESERANI EMANUELE IMPALLOMENI
CORSO DI ELETTROTECNICA
ED ELETTRONICA
Per l’articolazione Elettrotecnica
degli Istituti Tecnici settore Tecnologico
VOLUME 1
EDITORE ULRICO HOEPLI MILANO
UN TESTO PIÙ RICCO E SEMPRE AGGIORNATO
Nel sito www.hoepliscuola.it sono disponibili:
• materiali didattici integrativi;
• eventuali aggiornamenti del testo;
• un estratto esemplificativo del volume in formato PDF
che può essere consultato, scaricato e stampato.
Copyright © Ulrico Hoepli Editore S.p.A. 2012
via Hoepli 5, 20121 Milano (Italy)
tel. +39 02 864871 – fax +39 02 8052886
e-mail [email protected]
www.hoepli.it
Tutti i diritti sono riservati a norma di legge
e a norma delle convenzioni internazionali
ISBN 978-88-203-4996-7
Ristampa:
4 3 2 1
2012 2013 2014 2015 2016
Copertina: mncg S.r.l., Milano
Realizzazione editoriale: Thèsis Contents S.r.l., Firenze-Milano
Stampa: LTV – La Tipografica Varese S.p.A., Varese
Printed in Italy
V
Indice
Prefazione
XIII
A2.1
A2.2
A2.3
A2.4
ELETTROTECNICA
Modulo A
Grandezze elettriche fondamentali
e loro legami, bipoli elettrici
3
Obiettivi
4
Prerequisiti
4
SCHEDA PRE-1
Unità di misura
4
SCHEDA PRE-2
Elementi di geometria analitica
A1
A1.1
A1.2
A1.3
A1.4
A1.5
A1.6
A1.7
A1.8
A1.9
A2.5
6
Grandezze elettriche
10
Intensità della corrente elettrica
Forma d’onda della corrente
Densità di corrente
Differenza di potenziale,
tensione elettrica
Potenza elettrica
Resistenza e conduttanza,
legge di Ohm
Resistività e conduttività
Variazione della resistività e della
resistenza con la temperatura
Effetto Joule
10
11
13
Esercizi di verifica
Test di verifica
A2
13
15
A2.6
A2.7
A2.8
A2.9
A2.10
A2.11
A2.12
A2.13
A2.14
15
17
A2.15
20
24
27
28
A2.16
A2.17
Bipoli elettrici e loro collegamenti
Concetto di bipolo elettrico
Convenzioni di segno
Caratteristica esterna
Tensione a vuoto e corrente
di cortocircuito
Bipoli ideali
GENERATORE IDEALE DI TENSIONE
GENERATORE IDEALE DI CORRENTE
RESISTORE IDEALE
CIRCUITO APERTO IDEALE
CORTOCIRCUITO IDEALE
Maglie e nodi, leggi di Kirchhoff
LEGGE DI KIRCHHOFF DELLE CORRENTI
(O PRIMO PRINCIPIO DI KIRCHHOFF)
LEGGE DI KIRCHHOFF DELLE TENSIONI
(O SECONDO PRINCIPIO DI KIRCHHOFF)
Tensione tra due punti
Bipoli in serie, in parallelo,
in serie-parallelo
Collegamento in serie dei resistori
Regola del partitore di tensione
Collegamento in parallelo dei resistori
Regola del partitore di corrente
Risoluzione dei circuiti con resistori
in serie-parallelo
Resistori collegati a stella e a triangolo
TRASFORMAZIONE DA TRIANGOLO A STELLA
TRASFORMAZIONE DA STELLA A TRIANGOLO
CASO PARTICOLARE DI TRE RESISTENZE UGUALI
Resistenza tra due punti di una rete
elettrica passiva
Circuito equivalente del generatore
reale
Generatore reale di tensione
FUNZIONAMENTO A VUOTO
30
30
31
32
33
34
34
34
35
35
36
36
37
39
40
42
44
46
47
50
52
55
57
57
58
61
63
64
64
VI
Indice
FUNZIONAMENTO IN CORTOCIRCUITO
CARATTERISTICA ESTERNA
PUNTO DI LAVORO
POTENZE E RENDIMENTO
ANALISI DELLE POTENZE AL VARIARE
65
65
65
66
DEL CARICO ESTERNO
68
71
72
72
72
73
73
A2.18 Generatore reale di corrente
FUNZIONAMENTO A VUOTO
FUNZIONAMENTO IN CORTOCIRCUITO
CARATTERISTICA ESTERNA
PUNTO DI LAVORO
POTENZE E RENDIMENTO
A2.19 Equivalenza tra i generatori reali
di tensione e di corrente
A2.20 Utilizzatore attivo
CARATTERISTICA ESTERNA
POTENZE E RENDIMENTO
Esercizi di verifica
Test di verifica
A3
Misure elettriche: aspetti generali
e misura delle grandezze fondamentali
A3.1 Concetto di misura
A3.2 Errori di misura e loro
classificazione
A3.3 Errore nella misura indiretta di una
grandezza
ERRORE RISULTANTE DALLA SOMMA
ERRORE RISULTANTE DALLA DIFFERENZA
ERRORE RISULTANTE DAL PRODOTTO
ERRORE RISULTANTE DAL QUOZIENTE
A3.4 Classificazione degli strumenti
di misura
A3.5 Caratteristiche degli strumenti
di misura
PORTATA
COSTANTE DI LETTURA
SENSIBILITÀ
CLASSE DI PRECISIONE
ERRORE SULL’ULTIMA CIFRA
A3.6 Misura di corrente
A3.7 Misura di tensione
A3.8 Misura di resistenza,
metodo volt-amperometrico
INSERZIONE CON VOLTMETRO A VALLE
INSERZIONE CON VOLTMETRO A MONTE
A3.9 Misura di resistenza,
ponte di Wheatstone
A3.10 Misura di potenza
INSERZIONE CON VOLTMETRO A VALLE
INSERZIONE CON VOLTMETRO A MONTE
MISURA DIRETTA DELLA POTENZA,
WATTMETRO
Esercizi di verifica
Test di verifica
74
76
77
78
80
85
88
88
89
91
92
93
95
96
98
99
99
99
100
100
101
101
103
105
106
107
109
111
111
112
112
115
117
A4
Attività di laboratorio proposte
A4.1 Misura della resistenza con il metodo
volt-amperometrico
A4.2 Misura della potenza con il metodo
volt-amperometrico
A4.3 Generatore reale di tensione
con carico variabile
118
118
119
120
Modulo B
Risoluzione delle reti elettriche lineari
in corrente continua
121
Obiettivi
122
Prerequisiti
122
SCHEDA PRE-1
Risoluzione di un sistema
di equazioni lineari
122
B1
126
Metodi di risoluzione delle reti lineari
B1.1 Applicazione dei principi di Kirchhoff
PRESENZA DI GENERATORI DI CORRENTE
B1.2 Bilancio delle potenze in una rete
elettrica
B1.3 Teorema di Millmann
B1.4 Sovrapposizione degli effetti
B1.5 Generatore equivalente di Thevenin
B1.6 Generatore equivalente di Norton
B1.7 Principio di dualità
B1.8 Reti con generatori dipendenti
Esercizi di verifica
Test di verifica
B2
Regolazione reostatica e verifica
dei metodi di risoluzione delle reti
B2.1
B2.2
B2.3
B2.4
B2.5
Reostati e potenziometri
Regolazione con reostato in serie
Regolazione potenziometrica
Verifica dei principi di Kirchhoff
Verifica della sovrapposizione
degli effetti
B2.6 Determinazione del generatore
equivalente
126
128
129
130
133
137
141
143
144
146
150
151
151
153
154
157
157
158
Esercizi di verifica
Test di verifica
159
159
B3
Attività di laboratorio proposte
160
B3.1 Regolazione reostatica della corrente
B3.2 Regolazione potenziometrica
della tensione
160
161
VII
Indice
B3.3 Verifica del primo principio
di Kirchhoff
B3.4 Verifica del secondo principio
di Kirchhoff
B3.5 Verifica della sovrapposizione
degli effetti
B3.6 Determinazione del generatore
equivalente
162
162
C2.3 Risoluzione di reti capacitive
nel periodo transitorio
C2.4 Rilievo sperimentale del transitorio
di carica e scarica mediante
oscilloscopio
212
216
163
164
Modulo C
Esercizi di verifica
Test di verifica
220
222
Modulo D
Reti elettriche capacitive
165
Elettromagnetismo, circuiti magnetici
223
Obiettivi
166
Obiettivi
224
Prerequisiti
166
Prerequisiti
224
SCHEDA PRE-1
Richiami di elettrostatica
166
SCHEDA PRE-1
Richiami di magnetismo
224
SCHEDA PRE-2
Funzioni trigonometriche
225
SCHEDA PRE-3
Relazioni tra i lati di un triangolo
rettangolo
227
SCHEDA PRE-2
Grandezze con andamento
esponenziale nel tempo
C1
Reti capacitive a regime costante
C1.1 Condensatore
POLARIZZAZIONE DEL DIELETTRICO
C1.2 Capacità di un condensatore
CAPACITÀ DEL CONDENSATORE PIANO
C1.3 Energia elettrostatica
C1.4 Condensatori in serie
CONDENSATORI CON CAPACITÀ UGUALI
DUE CONDENSATORI IN SERIE
C1.5 Regola del partitore di tensione
C1.6 Condensatori in parallelo
CONDENSATORI CON CAPACITÀ UGUALI
C1.7 Regola del partitore di carica
C1.8 Condensatori in serie-parallelo
C1.9 Collegamento a stella
e a triangolo
CASO DEI CONDENSATORI DI UGUALE CAPACITÀ
C1.10 Risoluzione delle reti capacitive
a regime costante
Esercizi di verifica
Test di verifica
C2
Fenomeni transitori
nei circuiti capacitivi
C2.1 Transitorio di carica
di un condensatore
ESPRESSIONE DELLA COSTANTE DI TEMPO
CASO DEL CONDENSATORE INIZIALMENTE CARICO
C2.2 Transitorio di scarica
di un condensatore
CASO DELLA SCARICA INCOMPLETA
169
174
174
176
176
178
178
180
181
181
182
184
185
186
187
188
190
191
197
200
203
203
207
207
209
211
D1
Grandezze magnetiche e loro legami,
circuiti magnetici
D1.1 Campo magnetico prodotto
da un conduttore rettilineo
D1.2 Vettore induzione magnetica
D1.3 Campo magnetico prodotto
da una spira circolare
D1.4 Campo magnetico prodotto
da un solenoide
D1.5 Forza magnetomotrice e forza
magnetizzante
D1.6 Permeabilità magnetica relativa,
classificazione dei materiali
magnetici
D1.7 Caratteristica di magnetizzazione
D1.8 Isteresi magnetica
D1.9 Flusso magnetico
➝
SUPERFICIE NON PERPENDICOLARE AL VETTORE B
D1.10 Riluttanza e permeanza,
legge di Hopkinson
UNITÀ DI MISURA
D1.11 Legge della circuitazione magnetica
D1.12 Induttanza
D1.13 Energia del campo magnetico
ENERGIA MAGNETICA SPECIFICA
ENERGIA PERSA NEL CICLO D’ISTERESI
Esercizi di verifica
Test di verifica
228
228
229
232
233
235
237
238
240
241
242
243
245
246
249
251
252
254
255
256
VIII
Indice
D2
Interazioni tra circuiti elettrici
e campi magnetici
D2.1 Forza agente su un conduttore elettrico
D2.2 Coppia agente su una spira
COPPIA PRODOTTA DA UN CAMPO MAGNETICO RADIALE
COPPIA AGENTE SU UNA BOBINA
D2.3 Forze agenti tra conduttori paralleli
D2.4 Induzione elettromagnetica
D2.5 Tensione indotta in un conduttore
in moto relativo rispetto al campo
magnetico
D2.6 Funzionamento da generatore e da
motore, potenza elettrica e meccanica
GENERATORE ELETTRICO
MOTORE ELETTRICO
D2.7 Tensione indotta in una spira
rotante in un campo magnetico
D2.8 Autoinduzione
D2.9 Mutua induzione
TENSIONE INDOTTA PER MUTUA INDUZIONE
Esercizi di verifica
Test di verifica
D3
257
257
259
260
260
261
262
264
268
268
268
269
272
275
277
279
281
Fenomeni transitori nei circuiti induttivi
D3.1 Transitorio di magnetizzazione
di un induttore
ESPRESSIONE DELLA COSTANTE DI TEMPO
CASO DELL’INDUTTORE INIZIALMENTE MAGNETIZZATO
D3.2 Transitorio di smagnetizzazione
di un induttore
CASO DELLA SMAGNETIZZAZIONE INCOMPLETA
D3.3 Risoluzione di reti induttive
nel periodo transitorio
Esercizi di verifica
Test di verifica
283
283
286
287
288
289
291
296
298
ELETTRONICA
Test di verifica
E2
301
Obiettivi
302
Prerequisiti
302
SCHEDA PRE-1
Semiconduttori, diodi e transistor
302
E1
307
307
Variabili binarie, operatori logici
elementari, porte logiche
E2.1 Variabili binarie, bit
E2.2 Operatori logici NOT, AND, OR,
circuiti con interruttori
OPERATORE NOT
OPERATORE AND
OPERATORE OR
TABELLE DELLA VERITÀ
CIRCUITI LOGICI CON RELÉ
E2.3 Circuiti logici integrati
CARATTERISTICHE GENERALI DEGLI INTEGRATI
FAMIGLIE TECNOLOGICHE DEI CIRCUITI LOGICI
DISPOSITIVI LOGICI ELEMENTARI INTEGRATI (SSI)
FAN-OUT (VENTAGLIO SULL’USCITA)
ALCUNI INTEGRATI CON PORTE LOGICHE ELEMENTARI
E2.4 Configurazioni d’uscita dei circuiti
logici integrati
STRUTTURA A TOTEM POLE
OPEN COLLECTOR, OPEN DRAIN
USCITE 3-STATE
E2.5 Porte logiche con trigger
di Schmitt
E2.6 Porte di trasmissione
(transmission gates)
308
309
310
311
311
311
312
312
313
314
314
315
315
316
317
318
318
319
319
320
321
322
323
Test di verifica
325
E3
Il laboratorio di elettronica digitale
327
Strumentazione di base
Uso della breadboard
I codici a colori dei resistori
Utilizzazione di diodi LED
e resistenze
Utilizzazione del tester
Utilizzazione dell’alimentatore
stabilizzato
Utilizzazione del generatore
di segnali
Utilizzazione dell’oscilloscopio
Organizzazione e realizzazione
di una verifica pratica
327
328
329
E3.1
E3.2
E3.3
E3.4
E3.7
Introduzione all’elettronica digitale
E1.1 L’elettronica analogica
E DISPOSITIVI DIGITALI
E3.5
E3.6
Modulo E
Gli ambiti dell’elettronica
E1.2 L’elettronica digitale
LA COMUNICAZIONE TRA DISPOSITIVI ANALOGICI
E3.8
E3.9
329
330
330
331
331
332
Test di verifica
334
E4
335
Sistemi di numerazione
E4.1 Sistemi di numerazione posizionali
E4.2 Sistema di numerazione binario
E4.3 Numerazione esadecimale
335
336
337
IX
Indice
E4.4 Conversione da decimale
a esadecimale/binario
E4.5 Conversione di numeri frazionari
da decimale a binario/esadecimale
E4.6 Operazioni aritmetiche con i numeri
binari
ADDIZIONE
SOTTRAZIONE
MOLTIPLICAZIONE
DIVISIONE
E4.7 Il codice binario BCD
E4.8 Il codice binario complemento a due
AND E OR COME RICONOSCITORI DI CODICE BINARIO
DECODER DI NUMERI BINARI
LA PROPRIETÀ DI IDEMPOTENZA
LA PROPRIETÀ DI ASSORBIMENTO
IL PRINCIPIO DI DUALITÀ
F1.7 L’algebra di Boole delle variabili
binarie
PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA
F1.8 Teoremi dell’algebra di Boole
LEGGE DI UNIFICAZIONE O DI ADIACENZA
SECONDO TEOREMA DI ASSORBIMENTO
TEOREMA DI CONSENSO
TEOREMA DI DE MORGAN
GENERALIZZAZIONI DEL TEOREMA DI DE MORGAN
TEOREMA DI ESPANSIONE DI SHANNON O DELLO SVILUPPO
338
338
339
339
340
340
340
340
340
Esercizi di verifica
Test di verifica
343
347
E5
349
DI FUNZIONI BOOLEANE
Attività di laboratorio proposte
E5.1 Verifica di porte logiche
E5.2 Caratteristica statica
di porta logica NOT
E5.3 Composizione e visualizzazione
di un numero binario con 8 bit
349
Esercizi di verifica
Test di verifica
350
F2
350
F2.1 Tutte le funzioni di n variabili
FUNZIONI DI 2 VARIABILI
OPERATORI XOR E XNOR
PROPRIETÀ ASSOCIATIVA DELLA XOR
FUNZIONI DI N VARIABLI
F2.2 Applicazione del teorema di Shannon
allo sviluppo di funzioni di n variabili
F2.3 Il multiplexer (MUX) o selettore
di linee di dato
APPLICAZIONE DEI MULTIPLEXER ALLA REALIZZAZIONE
Modulo F
Circuiti logici combinatori
351
Obiettivi
352
Prerequisiti
352
F1
353
Algebra di Boole e circuiti logici
F1.1 Rappresentazione di variabili
binarie mediante mappe
RAPPRESENTAZIONE DI NOT A
RAPPRESENTAZIONE DI DUE VARIABILI BINARIE INDIPENDENTI
RAPPRESENTAZIONE DELLE FUNZIONI AND E OR
F1.2 Struttura reticolare dell’insieme
delle variabili binarie
RETICOLO
LEGGI DI IDENTITÀ E DI ANNULLAMENTO
IL CONCETTO DI ABILITAZIONE
F1.3 Complemento di una variabile
binaria e operatore NOT
LEGGE DEI COMPLEMENTI
LEGGE DELLA DOPPIA NEGAZIONE
LA LEGGE DEI COMPLEMENTI E LE PORTE LOGICHE REALI,
L’ALEA STATICA
F1.4 Porte logiche NAND-NOR
REALIZZAZIONE DI NOT MEDIANTE NAND E NOR
F1.5 Regole di precedenza degli operatori
e uso delle parentesi
F1.6 Le proprietà del reticolo
PROPRIETÀ COMMUTATIVA
PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
Sviluppo e realizzazione di funzioni
booleane
DI FUNZIONI BOOLEANE
F2.4 Forme canoniche
COSTITUENTI O MINTERM
PROPRIETÀ DEI COSTITUENTI
COSTITUENTI O MINTERM DI UNA FUNZIONE
PRIMA FORMA CANONICA
ASSEGNAZIONE DI UNA FUNZIONE MEDIANTE ELENCO
353
354
355
355
DEI SUOI MINTERM
355
356
356
357
361
361
361
362
366
366
366
366
367
367
367
369
369
371
374
377
377
377
377
378
378
379
382
383
384
384
385
385
385
386
APPLICAZIONE DEI DECODER ALLA REALIZZAZIONE
DI FUNZIONI BOOLEANE
MAXTERM
PROPRIETÀ DEI MAXTERM
MAXTERM DI UNA FUNZIONE
SECONDA FORMA CANONICA
F2.5 Livelli delle porte logiche
di un circuito
358
358
359
359
360
361
363
364
364
364
365
Esercizi di verifica
Test di verifica
F3
Sintesi di forme algebriche minime
per le funzioni booleane
386
387
387
387
387
389
390
392
395
F3.1 Semplificazioni tra minterm
395
F3.2 Il codice Gray e le mappe di Karnaugh 396
X
Indice
F3.3 Minimizzazione della forma OR
di AND mediante mappa
di Karnaugh
F3.4 Minimizzazione della forma AND
di OR mediante mappa
di Karnaugh
F3.5 Alee statiche e copertura
ridondante
F3.6 Mappe di Karnaugh per funzioni
di più di 4 variabili
F3.7 Condizioni di indifferenza
399
400
401
402
403
Esercizi di verifica
Test di verifica
405
408
F4
410
Circuiti combinatori integrati di base
F4.1 Multiplexer o selettore di linee
L’INTEGRATO 74XX253
ESPANSIONE
F4.2 Decoder e demultiplexer
L’INTEGRATO 74XX139
ESPANSIONE IN PARALLELO
ESPANSIONE CON PIÙ LIVELLI
L’INTEGRATO 74XX138
ESPANSIONE
L’INTEGRATO 4051
F4.3 Codificatore con priorità
ESPANSIONE
L’INTEGRATO 4532
L’INTEGRATO 74XX148
F4.4 Decoder-driver per display
con 7 segmenti
DISPLAY A LED
DISPLAY A CRISTALLI LIQUIDI, LCD
GLI INTEGRATI 74LS47 E 74LS48
USO DELLE FUNZIONI RBI E RBO
L’INTEGRATO 9368
GLI INTEGRATI 4543 E 74HCT4543
F4.5 Generatore-verificatore di parità
L’INTEGRATO 74HCT280
ESPANSIONE
F4.6 Comparatore
L’INTEGRATO 74HCT85
ESPANSIONI
L’INTEGRATO 74HCT688
ESPANSIONE
F4.7 Sommatori e generatori
di riporto
FULL ADDER
RIPPLE ADDER
SOTTRAZIONE
GENERATORE E PROPAGATORE DI RIPORTO
LOOK AHEAD CARRY
SOMMATORI CON LOOK AHEAD CARRY
INTEGRATO 74XX283
ESPANSIONE
INTEGRATI 40182 E 74XX182
F4.8 Unità Aritmetico Logica (ALU) /
Generatore di Funzioni
GLI INTEGRATI 74181 E 40181
410
410
410
411
411
412
412
413
413
413
414
415
416
416
416
416
416
417
418
418
419
420
421
421
421
422
422
422
423
423
423
424
424
425
425
425
426
426
426
427
427
Esercizi di verifica
Test di verifica
429
431
F5
435
Attività di laboratorio proposte
F5.1 Leggi di identità e annullamento,
concetto di abilitazione
F5.2 Legge dei complementi, alea statica
F5.3 Teorema di De Morgan
F5.4 Circuito logico di un MUX 1 of 4
F5.5 Circuito generatore di funzione
mediante MUX 1 of 8
F5.6 Decoder/demultiplexer digitale
F5.7 Espansione di decoder
F5.8 Comparatore digitale
F5.9 Espansione di un comparatore digitale
F5.10 Decoder per display 7 segmenti
435
436
437
437
438
439
439
440
441
441
Modulo G
Circuiti logici sequenziali
443
Obiettivi
444
Prerequisiti
444
G1
Circuiti sequenziali di base:
latch e flip-flop
G1.1 Una semplice trappola elettronica
G1.2 Il concetto di stato di un sistema
TABELLE DEGLI STATI O DI ECCITAZIONE
DIAGRAMMA DEGLI STATI
G1.3 Latch SR
DIAGRAMMA DEGLI STATI DI UN SR
EQUAZIONE DELLO STATO SUCCESSIVO DI UN SR
G1.4 Circuito antirimbalzo
G1.5 Latch SR con abilitatore
G1.6 D-latch
G1.7 Registri a ingressi
e uscite paralleli
CORSA CRITICA
INTEGRATO 74LS75
INTEGRATO 74LS279
INTEGRATO 74LS373
INTEGRATO CD4042
G1.8 Caratteristiche di commutazione
dei latch
G1.9 Flip-flop
MASTER-SLAVE
INGRESSI ASINCRONI O DIRETTI
EDGE-TRIGGERED
DATA LOCK-OUT
445
445
446
446
447
447
449
449
449
450
450
451
451
452
452
452
453
453
453
453
454
455
456
XI
Indice
G1.10 Flip-flop JK
EQUAZIONE DELLO STATO SUCCESSIVO DI UN JK
G1.11 Dal SR al JK
G1.12 Il flip-flop D
G1.13 Il flip-flop T
G1.14 Flip-flop integrati
CARATTERISTICHE DI COMMUTAZIONE
G1.15 Trasformazioni di flip-flop
456
457
457
458
458
458
459
459
Esercizi di verifica
Test di verifica
461
462
G2
465
Circuiti generatori di segnali impulsivi
G2.1 Monostabile mediante un latch SR
CALCOLO DEL TEMPO T0
G2.2 Astabile mediante un latch SR
CALCOLO DEI TEMPI T1 E T2
G2.3 Monostabile con trigger
di Schmitt
G2.4 Astabile con trigger di Schmitt
G2.5 Astabile realizzato con porte
NOT CMOS
CALCOLO DEI TEMPI T1 E T2
G2.6 Circuiti monostabili e astabili
integrati
L’INTEGRATO 4047
INDICAZIONI PER L’UTILIZZAZIONE DELL’INTEGRATO
ASTABILE
MONOSTABILE
UTILIZZAZIONE DELL’INGRESSO RETRIGGER
TIMER 555
MONOSTABILE
ASTABILE
465
466
466
466
466
468
469
470
471
471
471
471
473
474
474
475
475
Esercizi di verifica
Test di verifica
477
479
G3
482
Contatori e registri a scorrimento
G3.1 Un modello per i sistemi sequenziali
sincroni
G3.2 Registri a scorrimento
G3.3 Contatori realizzati
con shift register
CONTATORE AD ANELLO SEMPLICE
CONTATORE JOHNSON
G3.4 Contatori binari sincroni
CONTATORE IN AVANTI (UP)
CONTATORE DOWN
CONTATORE UP/DOWN
FREQUENZA MASSIMA DEL CLOCK
ERRORI NEI CODICI
CONTATORI SINCRONI MODULO QUALUNQUE
G3.5 Contatori asincroni
CONTATORE BINARIO RIPLLE MODULO 2N
G3.6 Controllo ed espansione
dei contatori
482
482
484
484
484
485
485
487
488
488
488
489
489
489
490
START/STOP
PRESET
COLLEGAMENTO IN CASCATA DI PIÙ CONTATORI
490
490
491
Esercizi di verifica
Test di verifica
492
494
G4
496
Contatori e shift register integrati
G4.1 Contatori integrati binari e decadici
GLI INTEGRATI 4510 E 4516
L’INTEGRATO 4029
GLI INTEGRATI 74LS169 E 74LS168
L’INTEGRATO 40110
GLI INTEGRATI 74LS90 E 74LS93
G4.2 Shift register integrati
L’INTEGRATO 74LS164
L’INTEGRATO 74LS194
L’INTEGRATO 4015
L’INTEGRATO 4094
496
496
497
497
497
498
498
498
499
499
499
Esercizi di verifica
Test di verifica
500
501
G5
Attività di laboratorio proposte
504
Verifica di latch SR
Verifica di circuito antirimbalzo
Verifica di flip-flop JK
Monostabile con latch
Astabile con porte NOT CMOS
Contatore decimale con 7490
504
504
505
506
507
508
G5.1
G5.2
G5.3
G5.4
G5.5
G5.6
Modulo H
Circuiti programmabili e a programma
509
Obiettivi
510
Prerequisiti
510
H1
511
Memorie
H1.1 Memorie RAM (Random Access
Memory)
CICLI DI SCRITTURA E CICLI DI LETTURA
H1.2 Memorie ROM
MEMORIE A MASCHERA
MEMORIE PROM
MEMORIE EPROM
MEMORIE EEPROM E FLASH
H1.3 Applicazioni delle memorie
NEI CIRCUITI COMBINATORI
NEI CIRCUITI SEQUENZIALI
NEI SISTEMI A PROGRAMMA
Esercizi di verifica
Test di verifica
511
513
515
515
516
517
518
519
519
519
519
520
520
XII
Indice
H2
Dispositivi logici programmabili (PLD)
H2.1 Dalle PROM agli Array Logici
Programmabili PLA e FPLA
L’INTEGRATO PLS100
L’INTEGRATO PLS405
H2.2 Programmable Array
Logic (PAL, FPAL)
L’INTEGRATO 22V10
H2.3 Dispositivi Logici Programmabili
Complessi (CPLDs, FCPLDs)
H2.4 Gate Array Programmabili
(MPGAs, FPGAs)
Test di verifica
522
522
525
525
525
527
528
528
530
H3
Dispositivi logici esecutori di programma,
microprocessori
532
H3.1 Concepire un microprocessore
H3.2 Architettura di Von Neumann
H3.3 Modello di Harvard
532
535
536
Test di verifica
538
H4
539
Attività di laboratorio proposte
H4.1 Operazioni manuali di scrittura
e lettura su una memoria RAM
Soluzioni
539
541
XIII
Prefazione
L’opera recepisce le indicazioni contenute nei documenti ministeriali sui nuovi istituti tecnici del settore tecnologico per la disciplina Elettrotecnica ed elettronica sia per il secondo biennio, a cui sono dedicati i volumi 1 e 2, sia per il quinto anno, per il quale è stato previsto il volume 3.
Nel contempo viene proposto un percorso di apprendimento che tiene conto, oltre che degli elementi di
novità, anche di esperienze didattiche consolidate e funzionali alla formazione di una figura di tecnico intermedio in grado di inserirsi proficuamente in vari settori lavorativi con le competenze effettivamente richieste per le sue mansioni.
Altro obiettivo è quello di fornire agli studenti e ai docenti uno strumento didattico completo, efficace,
di facile consultazione e che consenta di misurare in modo continuo il grado di apprendimento degli argomenti. A tal fine la trattazione è arricchita da frequenti esempi, ogni unità didattica è corredata da numerosi
esercizi e test di verifica e sono state inserite delle unità di fine modulo che consentono di coniugare lo studio teorico con la necessaria attività didattica in laboratorio.
Struttura
Ciascun volume è articolato in moduli didattici, per ognuno dei quali vengono dichiarati gli obiettivi propri del modulo, sia in termini di conoscenze che di capacità che gli studenti dovranno acquisire, capacità che
concorreranno poi a formare le competenze associate alla disciplina e quelle più ampie connesse al profilo
professionale. Per ogni modulo vengono indicati o richiamati con apposite schede i prerequisiti che occorre
possedere per progredire nello studio.
Per i primi due volumi i moduli sono raggruppati in due parti: elettrotecnica ed elettronica. Tale divisione
è più formale che sostanziale e non esclude la possibilità di affrontare lo studio della materia con una diversa
sequenza dei moduli, in funzione della personale programmazione didattica.
Ogni modulo è diviso in unità didattiche, a loro volta comprendenti vari paragrafi e sottoparagrafi,
tutti indicati nell’indice generale del volume. Questa suddivisione consente di orientarsi facilmente nei contenuti del modulo. Per aumentare la facilità di consultazione sono state evidenziate le definizioni e, mediante brevi scritte poste sul colonnino delle varie pagine, vengono richiamate le formule principali e le parti
in cui sono suddivisi gli argomenti.
Ogni unità didattica è corredata da esercizi, numerici e non, e test di verifica, sotto forma di quesiti a
scelta multipla e a risposta aperta, per consentire un controllo continuo e graduale dell’apprendimento. I risultati degli esercizi sono riportati sotto il testo dell’esercizio stesso, in modo da avere un riscontro immediato, mentre quelli dei test sono consultabili nelle pagine finali del volume. Non sono riportati, per evidenti
ragioni, le soluzioni di quegli esercizi che non hanno un risultato univoco in quanto dipendente da scelte che
deve effettuare il risolutore.
Nella maggior parte dei moduli sono presenti delle unità finali con le proposte di attività di laboratorio, da svolgere sia con strumentazione reale sia, in alcuni casi, con strumenti virtuali, avvalendosi del software di simulazione fornito col testo.
XIV
Prefazione
Risorse online
Nel sito www.hoepliscuola.it i contenuti dei volumi sono ulteriormente arricchiti da utili risorse didattiche,
tra le quali:
• link di collegamento a siti significativi (aziende produttrici di componenti, macchine elettriche ecc.);
• manuale d’uso del software Multisim;
• simulazioni di circuiti elettrici ed elettronici svolte con tale software;
• temi d’esame degli anni precedenti svolti e commentati;
• esercizi aggiuntivi;
• svolgimento di alcuni degli esercizi di verifica proposti.
Contenuti del volume 1
Questo primo volume del Corso di elettrotecnica ed elettronica per il terzo anno dell’articolazione
Elettrotecnica comprende gli argomenti tipici della disciplina, trattati con un grado di approfondimento idoneo a fornire agli studenti una serie di conoscenze, abilità e competenze di base necessarie sia per lo studio
della materia negli anni successivi sia per il necessario raccordo con le altre discipline tecniche. Si è scelto
di presentare i vari temi partendo dai concetti iniziali, in modo da consentire al docente di individuare un
percorso didattico che tenga conto dell’effettivo livello di partenza della classe, escludendo eventualmente
delle unità quando lo ritiene opportuno.
Nel modulo A (Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici) vengono presentate le
varie grandezze elettriche e le leggi tra esse intercorrenti, vengono studiati i diversi bipoli elettrici e i circuiti
costituiti da più bipoli collegati tra loro e sono indicati i metodi di risoluzione dei circuiti con una sola sorgente di alimentazione. Nella parte di misure elettriche sono trattati gli aspetti generali e i metodi per la misura delle principali grandezze elettriche. L’unità conclusiva del modulo riporta alcune proposte di esercitazioni di laboratorio.
Nel modulo B (Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua) sono illustrati i principali
metodi di risoluzione delle reti elettriche lineari funzionanti in corrente continua e la loro verifica in laboratorio, con una vasta gamma di esercizi applicativi.
Il modulo C (Reti elettriche capacitive) tratta l’argomento delle reti capacitive limitando all’indispensabile i concetti relativi al campo elettrico, propri della Fisica. La trattazione è incentrata sullo studio del condensatore visto come bipolo e sul comportamento delle reti capacitive, sia nel funzionamento a regime sia
durante il periodo transitorio di carica e scarica, per il quale viene anche presentato un metodo per il rilievo
sperimentale delle grandezze.
Nel modulo D (Elettromagnetismo, circuiti magnetici) ampio spazio è riservato allo studio dell’elettromagnetismo e all’interazione tra circuiti elettrici e campo magnetico, nonché alla trattazione dei fenomeni
transitori nei circuiti induttivi, tutti argomenti basilari per molte applicazioni elettriche ed elettroniche e propedeutici allo studio delle macchine elettriche, sia tradizionali sia speciali.
Col modulo E (Introduzione all’elettronica digitale) inizia la parte del testo dedicata a questo tema, con
l’esposizione dei primi e più intuitivi concetti sulle variabili binarie, sugli operatori logici e sulle corrispondenti porte logiche con le loro reali caratteristiche fisiche e sui sistemi di numerazione. Il modulo comprende la presentazione del laboratorio di elettronica digitale e, come tutti i seguenti, anche un’unità finale
con le proposte di esercitazioni legate alle parti teoriche sviluppate.
Nel modulo F (Circuiti logici combinatori) si espone l’impianto teorico su cui si fonda lo sviluppo dei
circuiti logici, evidenziando contestualmente l’applicazione di ciascun enunciato al circuito che gli corrisponde. Si perviene così a concepire le strutture logiche delle più importanti funzioni combinatorie e i metodi per la sintesi di funzioni più complesse. Vengono poi presentati alcuni componenti della media scala
d’integrazione importanti per le loro applicazioni o per le particolari funzioni in essi realizzate, sottolineandone la modularità.
Prefazione
Il modulo G (Circuiti logici sequenziali) tratta i sistemi sequenziali: vengono analizzati il comportamento, le caratteristiche e le applicazioni di latch e flip-flop di vario tipo, dei circuiti generatori d’impulsi e
di segnali rettangolari e si mostra come è possibile progettare e realizzare i diversi tipi di registri e di contatori. Vengono poi presentati alcuni circuiti integrati in cui sono state realizzate tali funzioni.
Nel modulo H (Circuiti programmabili e a programma) vengono illustrati gli sviluppi dell’elettronica
digitale con l’introduzione dei circuiti a larga scala d’integrazione, partendo dalle memorie per arrivare ai
dispositivi logici programmabili e all’architettura di un microprocessore.
GAETANO CONTE MATTEO CESERANI EMANUELE IMPALLOMENI
CD-ROM allegato
Il CD-ROM allegato al volume 1 contiene il software Circuit Design Suite 11.0.2 di National Instruments
che include NI Multisim e Ultiboard (*). NI Circuit Design Suite è un ambiente integrato rivolto a insegnanti, studenti e professionisti, per la schematizzazione di circuiti, la relativa simulazione e la realizzazione
del circuito stampato.
NI Multisim è una piattaforma software intuitiva, ricca e semplice da utilizzare, che integra in un solo ambiente la schematizzazione di sistemi elettrici ed elettronici, la loro simulazione e la prototipizzazione su
breadboard. Multisim è ideale per motivare gli studenti e rafforzare le conoscenze teoriche, attraverso uno
studio attivo. È dotato di una vasta componentistica che consente, tra l’altro, di studiare circuiti elettrici in
corrente continua e in corrente alternata monofase e trifase, sia nel dominio del tempo che della frequenza,
sistemi elettronici digitali e analogici, convertitori elettronici di potenza e sistemi di automazione in quanto
include microcontrollori e componenti per ladder diagram.
NI Ultiboard è l’ambiente dove trasferire gli schemi progettati con Multisim, per la realizzazione del prototipo del circuito stampato (PCB layout) e l’esportazione nei formati standard industriali di fabbricazione.
Grazie all’accordo tra Hoepli e National Instruments, studenti e docenti che utilizzano il testo Corso di elettrotecnica ed elettronica potranno ottenere gratuitamente il proprio codice di attivazione collegandosi al sito
http://italy.ni.com/editoria/attivazione e attivare il software entro 30 giorni dalla data di installazione. Per
l’installazione dei software e per i requisiti minimi di sistema richiesti si consulti il file Leggimi contenuto
nel CD-ROM.
(*) Il software installato nel CD-ROM è copyright 2011 National Instruments Corporation. Tutti i diritti sono riservati.
LabVIEW, MULTISIM, National Instruments, NI, Ultiboard, il logo LabVIEW e il logo National Instruments sono marchi di
proprietà di National Instruments. Il Corso di Elettrotecnica ed elettronica, che comprende il primo volume e il CD-ROM allegato ad esso, sono prodotti da Hoepli che è la sola responsabile sia dei volumi che compongono il corso sia del CD-ROM
allegato al volume 1, nonché dei loro relativi contenuti. Né Hoepli né qualsiasi libro o altri beni o servizi offerti da Hoepli sono
pubblicazioni o servizi ufficiali di National Instruments o attribuibili in qualsiasi modo a National Instruments. L’utilizzo dei
software di National Instruments presenti nel CD-ROM è limitato a fini didattici in ambito domestico.
XV
ELETTROTECNICA
Modulo A
Grandezze elettriche
fondamentali
e loro legami,
bipoli elettrici
Obiettivi
Prerequisiti
Scheda PRE-1 Unità di misura
Scheda PRE-2 Elementi di geometria analitica
Contenuti
• A1 Grandezze elettriche
• A2 Bipoli elettrici e loro collegamenti
• A3 Misure elettriche: aspetti generali e misura
•
delle grandezze fondamentali
A4 Attività di laboratorio proposte
Esercitazioni
• Esercizi di verifica
• Test di verifica
4
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
Obiettivi
Al termine di questo modulo gli alunni dovranno:
1. conoscere le varie grandezze elettriche e saper scrivere correttamente
i loro valori, utilizzando le unità di misura appropriate;
2. conoscere i legami tra le varie grandezze;
3. saper analizzare, classificare e determinare le caratteristiche di un bipolo
elettrico secondo i vari modelli proposti;
4. saper ridurre al bipolo equivalente un insieme di bipoli variamente
collegati tra loro (limitatamente al caso dei resistori);
5. saper risolvere un circuito elettrico con una sola fonte di alimentazione;
6. saper misurare alcune grandezze elettriche (tensione, corrente, potenza,
resistenza), scegliendo in modo appropriato gli strumenti di misura;
7. saper valutare i risultati di una misura e gli errori commessi.
Gli obiettivi 2, 3, 4, 5, 6 si riferiscono ai circuiti funzionanti in corrente
continua.
Prerequisiti
SCHEDA PRE-1 Unità di misura
Le unità di misura delle grandezze fisiche sono raggruppate nel Sistema
Internazionale (SI), adottato da quasi tutte le nazioni. Esso si basa su sette
grandezze fondamentali, due grandezze supplementari e un certo numero di
grandezze derivate, le cui unità di misura sono esprimibili in funzione di quelle
fondamentali.
Le tabelle PRE-1.1 e PRE-1.2 riportano le grandezze e le unità fondamentali, quelle supplementari e alcune grandezze e unità derivate.
Tabella PRE-1.1 Grandezze e unità fondamentali e supplementari del Sistema Internazionale
Unità di misura
Grandezza
Nome
Simbolo
Grandezze e unità fondamentali
Lunghezza
Massa
Intervallo di tempo
Intensità di corrente elettrica
Temperatura
Intensità luminosa
Quantità di sostanza
metro
kilogrammo
secondo
ampere
kelvin
candela
mole
m
kg
s
A
K
cd
mol
Grandezze e unità supplementari
Angolo piano
Angolo solido
radiante
steradiante
rad
sr
Prerequisiti
5
Tabella PRE-1.2 Alcune grandezze e unità derivate del Sistema Internazionale
Grandezza
Nome dell’unità
Simbolo
Definizione
Area
metro quadrato
m2
Volume
metro cubo
m3
Forza, peso
newton
N
kg m/s2
Pressione
pascal
Pa
N/m2
Energia, lavoro, calore
joule
J
Velocità
metro al secondo
m/s
Accelerazione
metro al secondo quadrato
m/s2
Velocità angolare
radiante al secondo
rad/s
Accelerazione angolare
radiante al secondo quadrato
Potenza
watt
W
J/s
Carica elettrica
coulomb
C
As
Intensità del campo elettrico
newton al coulomb
Nm
rad/s2
N/C
Tensione, differenza di potenziale elettrico,
volt
V
Capacità elettrica
forza elettromotrice
farad
F
J/C
C/V
Resistenza elettrica
ohm
Ω
V/A
Resistività elettrica
ohm per metro
Induzione magnetica
tesla
T
N/(A m)
Flusso magnetico
weber
Wb
T m2
Ωm
Induttanza
henry
H
Ωs
Frequenza
hertz
Hz
1/s
Regole per la scrittura delle unità di misura
1. Il simbolo dell’unità di misura segue, e non precede, il numero (esempio: 5 V
e non V 5).
2. Il simbolo dell’unità di misura non deve essere seguito dal punto finale
(salvo al termine della frase).
3. I prefissi devono essere maiuscoli o minuscoli a seconda dei casi, come indicato nella tabella PRE-1.3 (esempi: 10 kV e non 10 KV, 5 GW e non 5 gW).
4. L’unità di misura non accompagnata da un numero in cifre si esprime con il
nome e non con il simbolo, salvo nei disegni, prospetti ecc. (esempio: due
ampere e non due A).
5. I nomi delle unità di misura devono essere generalmente scritti con caratteri
minuscoli, compresa la lettera iniziale, e, quando derivano da un nome proprio, sono invariabili al plurale (esempi: “la tensione vale cinque volt” e non
“la tensione vale cinque Volt” o “la tensione vale cinque volts”).
ESEMPI
1.
2.
3.
4.
25 mA = 25 × 10–3 A = 0,025 A
450 μF = 450 × 10–6 F = 0,450 × 10–3 F = 0,450 mF
0,15 MW = 0,15 × 106 W = 150 × 103 W = 150 kW
0,067 kJ = 0,067 × 103 J = 67 J
Tabella PRE–1.3
Prefissi per le unità di misura
Nome
Simbolo Moltiplica
per
exa
peta
tera
giga
mega
E
P
T
G
M
1018
1015
1012
109
106
kilo
etto
deca
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
k
h
da
d
c
m
μ
n
p
f
a
103
102
101
10–1
10–2
10–3
10–6
10–9
10–12
10–15
10–18
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
6
SCHEDA PRE-2 Elementi di geometria analitica
Piano cartesiano
Il piano dotato di un sistema di riferimento cartesiano viene detto piano cartesiano. Il sistema di riferimento cartesiano è costituito da due rette, denominate
asse x e asse y, perpendicolari e incidenti nel punto O, detto origine o centro del
riferimento.
Un qualsiasi punto P del piano (figura PRE-2.1) è completamente determinato conoscendo le distanze di P dagli assi; tali distanze sono le coordinate di P
e prendono il nome di ascissa e di ordinata, con il seguente significato:
•
•
l’ascissa xP è la distanza del punto P dall’asse y;
l’ordinata yP è la distanza del punto P dall’asse x.
y
xP
P (xP , yP)
yP
Figura PRE-2.1
Piano cartesiano
e coordinate del punto P.
x
O
y
P2
y
x
=m
+q
Δy = y2 – y1
P1
Figura PRE-2.2
Rappresentazione della retta
y = mx + q; significato di m
e di q.
α
O
6
Δy
m = –––– = tg α
Δx
α
Δ x = x 2 – x1
q = (y)x = 0
q
x
Equazione della retta
L’equazione y = mx + q rappresenta una retta sul piano cartesiano, dove m è il
coefficiente angolare della retta e q è il valore che assume y per x = 0 (figura
PRE-2.2). Il coefficiente angolare indica la pendenza della retta rispetto all’asse
x, corrisponde al rapporto Δy/Δx tra gli incrementi delle grandezze ed è pari al
valore della tangente trigonometrica dell’angolo α.
Si hanno i seguenti casi particolari (figura PRE-2.3):
•
•
•
•
•
per q = 0 la retta passa per l’origine (y = mx);
per m = 0 la retta è y = q ed è parallela all’asse x;
per m = 1 la retta è inclinata di 45°;
per m tendente al valore infinito la retta diventa parallela all’asse y (x = k), in
quanto l’angolo rispetto a x diventa di 90°;
per m < 0 la pendenza diventa superiore a 90°.
Prerequisiti
7
m
m➝∞
=
1
y
=
x
y=k
+
q
y
q=
0
x
y=m
Figura PRE-2.3
Rappresentazione
della retta: casi particolari.
α > 90°
45°
x
O
m=0
y=q
m<0
Equazione della parabola
L’equazione di 2° grado y = ax2 + bx + c rappresenta una parabola con asse di
simmetria parallelo all’asse y, avente vertice V di coordinate (figura PRE-2.4):
b
xV = – –––
2a
– b2 + 4ac
yV = ––––––––––
4a
y
y
y = x 2 – 2x + 4 (a > 0)
V (xV , yV )
O
x
0
x
y=
Figura PRE-2.4
Rappresentazione
della parabola
y = ax2 + bx + c.
Figura PRE-2.5
Parabola con concavità
verso l’alto (a > 0)
e verso il basso (a < 0).
–x 2
– 2x + 2 (a < 0)
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
8
y
y
y = x2 + 4
y = 2x 2
0
0
x
Figura PRE-2.6
Parabola con b = 0 e c = 0.
x
Figura PRE-2.7
Parabola con b = 0.
Si hanno i seguenti casi particolari:
•
•
•
per a > 0 la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto, mentre per a < 0
la concavità è verso il basso (figura PRE-2.5);
per b = 0 e c = 0 la parabola y = ax2 ha il vertice che coincide con l’origine degli assi (figura PRE-2.6);
per b = 0 l’ascissa del vertice è nulla e quindi l’asse di simmetria della parabola coincide con l’asse y (figura PRE-2.7).
a
a = 2b
8
6
4
2
Figura PRE-2.8
Grandezze direttamente
proporzionali.
0
1 2 3 4
b
Prerequisiti
9
Grandezze direttamente proporzionali
Due grandezze a e b sono direttamente proporzionali quando all’aumentare dell’una aumenta proporzionalmente anche l’altra e, quindi, il loro rapporto rimane
costante:
a
––– = k
b
Rappresentando le grandezze su un piano cartesiano si ottiene la retta a = kb
(figura PRE-2.8), dove k è il coefficiente angolare della retta. Nella figura è
stato posto k = 2 e quindi si ha sempre a = 2b.
Grandezze inversamente proporzionali
Due grandezze a e b sono inversamente proporzionali quando all’aumentare
dell’una diminuisce l’altra, in modo che il loro prodotto rimanga costante:
ab = k
La curva che rappresenta questa legge è detta iperbole equilatera; la figura
PRE-2.9 rappresenta l’andamento di a = f(b) nel caso a = 12/b e quindi ab = 12.
a
12
ab = 12
a = 12
–––
b
6
4
3
2
1
0
1 2 3 4
6
12
b
Figura PRE-2.9
Grandezze inversamente
proporzionali.
10
A1
Grandezze
elettriche
Verranno introdotte in questa unità, facendo riferimento ai circuiti funzionanti in corrente
continua, le principali grandezze elettriche e le relazioni che intercorrono tra esse.
A1.1 Intensità della corrente elettrica
La corrente elettrica che fluisce lungo un mezzo conduttore è costituita da cariche elettriche; a seconda del tipo di conduzione tali cariche possono essere negative (elettroni,
ioni negativi) o positive (ioni positivi).
Il verso di propagazione delle cariche dipende proprio dalla natura delle stesse: nello
studio dei circuiti elettrici, per ragioni storiche risalenti all’epoca in cui si credeva che le
cariche elettriche avessero soltanto polarità positiva, si suppone che la corrente sia formata da cariche positive che si muovono all’interno di un circuito elettrico secondo
un verso convenzionale.
Poiché l’energia necessaria a far muovere le cariche elettriche all’interno di un circuito è fornita dal generatore elettrico, il verso convenzionale della corrente è così determinato:
•
•
dal polo positivo a quello negativo all’esterno del generatore, dato che le cariche positive vengono respinte dalla polarità positiva e attirate da quella negativa;
dal polo negativo a quello positivo all’interno del generatore, in quanto è il generatore stesso che fornisce alle cariche l’energia necessaria a vincere la forza
contraria esercitata dalle proprie polarità, allo stesso modo che una pompa conferisce a una massa di liquido l’energia per passare da una quota più bassa a una più
alta, movimento che altrimenti sarebbe innaturale, dato che un liquido, per effetto
della gravità, è portato a scendere e non a salire.
Quanto detto in precedenza è riassunto nella figura A1.1.
Figura A1.1
Verso
convenzionale
della corrente
in un circuito
elementare.
L
G: generatore
+
G
U
U: utilizzatore
L: linea di
collegamento
–
L
Sorge, a questo punto, il problema di definire quantitativamente il flusso di cariche
elettriche, ossia introdurre una grandezza che consenta di dare un valore alla corrente
elettrica.
Per capire meglio la questione si consideri il seguente esempio: una persona, ferma su
A1 • Grandezze elettriche
un ponte dell’autostrada, guarda il movimento dei veicoli lungo una delle due direttrici di
marcia. Per valutare l’intensità del traffico stabilisce un certo intervallo di tempo (per
esempio 10 minuti) e conta i veicoli che passano sotto il ponte nel tempo prefissato (per
esempio 200). La persona a quel punto deduce, facendo il rapporto numero veicoli/tempo, che l’intensità media è di venti veicoli al minuto. Volendo ricavare informazioni più precise sull’intensità del traffico in un dato momento è necessario ridurre sempre più l’intervallo di tempo considerato; spingendo al limite tale ragionamento si arriva,
in astratto, a considerare un intervallo di tempo infinitesimo, a cui corrisponderà l’intensità di traffico istantanea.
In modo analogo si definisce intensità della corrente elettrica all’interno di un conduttore il rapporto tra la carica elettrica Δq che transita lungo una sezione trasversale
del conduttore in un certo intervallo di tempo Δt e la durata di tale intervallo:
I=
Δq
Δt
[A1.1]
L’espressione [A1.1] rappresenta l’intensità di corrente media nel tempo Δt; riducendo l’intervallo al valore infinitesimale dt, durante il quale transita la carica dq, si
ottiene il valore istantaneo dell’intensità di corrente:
i=
dq
dt
[A1.2]
L’intensità di corrente si misura in ampere (simbolo A), che è un’unità di misura
fondamentale SI; da essa si ricava l’unità di misura della carica elettrica.
Dalla formula [A1.1] si ottiene:
Δq = I Δt
[A1.3]
L’unità di misura della carica elettrica è il coulomb (simbolo C); dalla [A1.3] si ricava:
1 C=1 A × 1 s = 1 As
A1.2 Forma d’onda della corrente
In generale la corrente elettrica in un circuito può variare nel tempo; questa variabilità fa
sì che l’intensità di corrente istantanea i diventi una funzione del tempo t.
La relazione i = f(t), rappresentata sul piano cartesiano (t, i), indica la forma
d’onda della corrente e visualizza l’andamento della corrente nel tempo.
I circuiti elettrici ed elettronici possono funzionare, in teoria, con grandezze elettriche
aventi una qualsiasi forma d’onda; in pratica vi sono però delle forme d’onda più ricorrenti, alcune delle quali sono riportate nelle figure A1.2, A1.3, A1.4, A1.5, A1.6, A1.7:
•
•
•
corrente continua (figura A1.2): il valore della corrente si mantiene costante nel
tempo; il segno positivo indica la circolazione secondo il verso convenzionale,
quello negativo il verso opposto;
corrente alternata sinusoidale (figura A1.3): il valore della corrente cambia nel
tempo secondo una legge sinusoidale che si ripete periodicamente, alternando semionde positive ad altre negative; di conseguenza, cambia periodicamente anche il
verso di percorrenza della corrente;
corrente sinusoidale raddrizzata a doppia semionda (figura A1.4): la legge di
variazione è ancora sinusoidale, ma le semionde sono tutte positive e, quindi, la circolazione della corrente avviene sempre lungo il verso convenzionale;
11
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
12
i
i
I
O
O
t
t
Figura A1.2 a, b
Corrente continua.
I
a) I > 0
b) I < 0
i
i
O
t
O
t
Figura A1.4
Corrente sinusoidale raddrizzata
a doppia semionda.
Figura A1.3
Corrente alternata sinusoidale.
i
Figura A1.5
Corrente sinusoidale raddrizzata a semplice semionda.
i
O
t
i
O
t
Figura A1.6
Corrente rettangolare simmetrica.
•
O
t
Figura A1.7
Corrente rettangolare raddrizzata a semplice semionda.
corrente sinusoidale raddrizzata a semplice semionda (figura A1.5): non è consentita la circolazione delle semionde negative; nei corrispondenti intervalli di
tempo l’intensità di corrente è nulla;
corrente
rettangolare simmetrica (figura A1.6): la corrente assume valori alter•
nativamente positivi e negativi, con semionde di pari durata, durante le quali l’intensità di corrente rimane costante;
• corrente rettangolare raddrizzata a semplice semionda (figura A1.7): rispetto
al caso precedente mancano le semionde negative; nei corrispondenti intervalli di
tempo l’intensità di corrente è nulla.
Le forme d’onda che si ripetono dopo un determinato intervallo di tempo sono dette
periodiche. Elementi caratteristici di una grandezza periodica sono il periodo e la fre-
A1 • Grandezze elettriche
13
quenza, così definiti:
• il periodo è l’intervallo di tempo dopo il quale la grandezza riprende lo stesso andamento; si misura in secondi o nei suoi multipli e sottomultipli;
• la frequenza è il numero di periodi nell’unità di tempo e quindi rappresenta il numero di cicli descritti in 1 s; si misura in hertz (Hz).
Se, per esempio, una grandezza ha periodo T = 1/50 s, è evidente che in un secondo
il periodo si ripeterà 50 volte, ossia sarà f = 50 Hz. Questo valore è quello caratteristico
della corrente alternata utilizzata nella maggior parte delle applicazioni elettriche civili
e industriali, mentre per gli apparati elettronici (per esempio, nel campo delle telecomunicazioni) si usano segnali con frequenza molto più elevata. In generale il periodo e
la frequenza sono legati alla relazione f = 1/T.
A1.3 Densità di corrente
Si consideri una corrente di intensità I che circoli attraverso un conduttore di sezione
trasversale S, ipotizzando una distribuzione uniforme delle cariche lungo la sezione.
Si definisce densità di corrente J il rapporto tra l’intensità di corrente e l’area della sezione stessa, misurata normalmente in ampere su millimetri quadrati:
J=
I
S
[A1.4]
L’esame dell’espressione [A1.4] permette di capire il significato di densità di corrente: il suo valore rappresenta l’intensità di corrente che interessa l’unità di sezione del
conduttore. Per esempio, una densità di corrente di 5 A/mm2 indica che, mediamente,
passano 5 A per ogni millimetro quadrato di superficie trasversale di conduttore.
La densità di corrente rappresenta un indice di sfruttamento della sezione: un elevato valore di J indica una maggiore corrente a parità di sezione oppure una minore sezione a parità di corrente. Come si vedrà in seguito, è necessario limitare il valore della
densità di corrente per contenere le perdite di potenza nel conduttore e il conseguente
riscaldamento.
Conoscendo la densità di corrente e l’area della sezione è immediato il calcolo dell’intensità di corrente:
I=JS
[A1.5]
A1.4 Differenza di potenziale, tensione elettrica
La corrente elettrica può essere vista come un flusso di cariche elettriche, convenzionalmente di segno positivo. Affinché sia possibile tale movimento, alle cariche deve
essere conferita dell’energia; in un circuito elettrico elementare tale energia viene fornita dal generatore, che trasforma in elettrica l’energia ricevuta sotto altra forma (chimica, meccanica, luminosa ecc.).
Si supponga che una carica elettrica di valore Q1 debba fluire tra due punti di un circuito elettrico e che per tale spostamento sia necessario l’impiego di una energia W1; è
abbastanza intuitivo pensare che se la carica aumenta al valore Q2 anche l’energia necessaria aumenterà in maniera direttamente proporzionale, assumendo il valore W2.
Data la proporzionalità diretta tra le due grandezze, il loro rapporto rimarrà costante:
W1 W2
=
Q1 Q2
Legame tra
intensità
e densità
di corrente
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
14
Si definisce tensione elettrica tra due punti di un circuito il rapporto tra l’energia che
viene fornita alla carica elettrica durante il movimento tra i due punti considerati e il valore della carica stessa:
V=
W
Q
[A1.6]
Considerando la carica pari a 1 C, l’espressione [A1.6] mostra che la tensione coincide numericamente con l’energia che occorre fornire alla carica unitaria durante il
suo spostamento tra i punti considerati. L’unità di misura della tensione elettrica è il
volt (simbolo V); in base alla definizione si ha:
1V=
ESEMPIO
1
1J
1C
Un asciugacapelli viene collegato a una presa con tensione 230 V e fatto funzionare per
15 min, durante i quali assorbe una corrente costante, di intensità 4 A. Calcolare l’energia
necessaria per il funzionamento.
■ La carica elettrica che percorre il circuito durante il tempo indicato è pari a:
Q = It = 4 × 15 × 60 = 3600 C
Si deve immaginare che tutto il sistema elettrico a monte della presa sia equivalente a un generatore che, per far funzionare l’asciugacapelli, deve fornire l’energia:
W = VQ = 230 × 3600 = 828 000 J = 828 kJ
Nello studio dei circuiti elettrici la tensione elettrica (o semplicemente tensione) è
detta anche differenza di potenziale elettrico (d.d.p.) tra i due punti, dove per potenziale elettrico si deve intendere la tensione di un punto rispetto a un riferimento, che si
suppone a potenziale zero. Il concetto è analogo a quello delle altitudini geografiche,
dove il livello di riferimento è quello del mare: l’altezza di un punto rispetto al livello
del mare corrisponde al potenziale rispetto al riferimento, mentre la differenza di quota
tra due punti è analoga alla differenza di potenziale e quindi alla tensione elettrica.
I concetti espressi sono evidenziati nella figura A1.8, dove il punto GND indica
quello a potenziale zero, ossia la massa del circuito (in inglese ground).
VAB = 12 V
A
Figura A1.8
Esemplificazione
dei concetti
di potenziale,
differenza
di potenziale,
tensione.
VA: potenziale
del punto A
VB: potenziale
del punto B
VAB: differenza
di potenziale
(tensione)
tra i punti A e B
B
+
+
VB = 12 V
VA = 24 V
V=0
GND
Nel caso dei generatori elettrici, la tensione che si sviluppa al loro interno prende anche il nome di forza elettromotrice, spesso abbreviata in f.e.m.; il termine è esplicativo
in quanto induce a pensare alla forza che mette in movimento le cariche elettriche. In
realtà si tratta ancora di una tensione e corrisponde al valore dell’energia che il generatore
conferisce all’unità di carica elettrica che transita nel circuito in cui è inserito.
15
A1 • Grandezze elettriche
A1.5 Potenza elettrica
Si consideri una carica elettrica di valore Q che si muove all’interno di un circuito nell’intervallo di tempo t, tra due punti aventi differenza di potenziale V. L’energia da fornire
alla carica corrisponde al lavoro fatto dal generatore ed è pari a:
L = W = VQ
La potenza elettrica è data dal rapporto tra lavoro e tempo e quindi si ha:
P=
L VQ
=
t
t
dove il rapporto Q/t rappresenta l’intensità della corrente.
Si definisce potenza elettrica il prodotto:
P = VI
[A1.7]
L’espressione [A1.7] consente di calcolare la potenza elettrica di un qualsiasi elemento di circuito come prodotto tra la tensione e l’intensità di corrente; essa si presta,
inoltre, alle seguenti considerazioni:
•
•
•
•
se la tensione e la corrente sono ambedue costanti nel tempo, anche la potenza, pari
al loro prodotto, lo è;
se la tensione e la corrente sono, in generale, variabili nel tempo, l’espressione
[A1.7] fornisce una funzione del tempo p(t) = v(t)⋅i(t);
se in un circuito la corrente circola tra due punti allo stesso potenziale (V = 0), la potenza è nulla; l’elemento circuitale che consente la circolazione di corrente senza
tensione ai suoi capi è detto cortocircuito ideale;
se tra due punti a potenziale diverso non circola corrente (I = 0), la potenza è nulla;
un funzionamento di questo tipo è detto a vuoto e l’elemento circuitale che lo rappresenta prende il nome di circuito aperto ideale.
L’unità di misura della potenza è il watt (simbolo W); dalla definizione di potenza
e dalla formula [A1.7], si ricavano le due seguenti uguaglianze:
1J
1W=
1 W = 1 V ×1 A
1s
Calcolare la potenza elettrica dell’utilizzatore considerato nell’esempio 1.
■ Trattandosi di un circuito funzionante con tensione e corrente costanti, il calcolo è immediato:
P = VI = 230 × 4 = 920 W
Allo stesso risultato si perviene applicando la definizione fisica di potenza:
P=
W 828 000
=
= 920 W
t
15 × 60
A1.6 Resistenza e conduttanza, legge di Ohm
Nel paragrafo A1.4 si è visto che la tensione elettrica tra due punti di un circuito corrisponde all’energia che occorre fornire all’unità di carica che si sposta tra i punti suddetti.
La circolazione di carica implica il passaggio di corrente elettrica e, quindi, vi è un rapporto
di causa/effetto tra la tensione e la corrente: per far circolare una corrente di intensità I tra
due punti di un circuito elettrico è necessario che tra questi due punti vi sia una d.d.p. pari
a V, legata all’energia fornita alla carica.
ESEMPIO
2
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
16
Quanto sopra si può spiegare introducendo il concetto di resistenza elettrica: il mezzo
conduttore entro cui avviene il passaggio di carica si oppone alla circolazione della corrente, richiedendo un dispendio di energia per far sì che tale circolazione avvenga.
L’energia elettrica che viene messa in gioco sarà dissipata sotto forma di calore, come avviene, per esempio, nei conduttori di collegamento, oppure verrà trasformata in un’altra
forma di energia, come succede nel caso degli utilizzatori elettrici (lampade, motori ecc.).
Nei normali materiali conduttori la tensione necessaria a far circolare la corrente
aumenta proporzionalmente all’aumentare dell’intensità di corrente, per cui il rapporto
V/I può essere ritenuto costante e rappresenta il coefficiente di proporzionalità tra le
due grandezze.
Si definisce resistenza elettrica di un circuito il rapporto tra la tensione applicata e la
corrente circolante:
R=
V
I
[A1.8]
La resistenza elettrica si misura in ohm (simbolo Ω); dalla [A1.8] si ricava la seguente uguaglianza:
1Ω=
1V
1A
Se nella [A1.8] si considera I = 1 A, si vede che il valore della resistenza coincide
con quello della tensione; questo consente di definire la resistenza elettrica come il
valore della tensione che occorre applicare tra due punti per ogni ampere di corrente
circolante.
Supporre costante la resistenza elettrica tra due punti di un circuito significa ritenere direttamente proporzionali tra loro tensione e corrente e quindi considerare lineare
la legge di variazione V = f(I), come mostrato graficamente nella figura A1.9.
L’equazione della retta è data da:
Espressione
della legge
di Ohm
V = RI
[A1.9]
ed esprime analiticamente la legge di Ohm.
Il valore della resistenza R rappresenta il coefficiente angolare della retta e ne determina l’inclinazione: all’aumentare di R cresce, a parità di corrente, il valore della tensione e la retta ruota in senso antiorario, come mostrato nella figura A1.10.
Vi sono dei casi in cui la resistenza non è costante e quindi la legge che lega tensione e corrente non è lineare, come mostrato, per esempio, nel grafico di figura
Figura A1.9
Rappresentazione
grafica dell’equazione
V = RI.
V
V
R3 > R 2
R2 > R1
V3
V2
R1
V1 = R 1 I
V1
O
I
Figura A1.10
Influenza del valore
di R nel grafico V = f (I).
V2 = R 2 I
V3 = R 3 I
O
I
I
A1 • Grandezze elettriche
17
V
O
Figura A1.11
Caratteristica
tensione-corrente
di un resistore
non lineare.
I
A1.11, in cui è rappresentata la caratteristica tensione-corrente di un varistore, ossia di
un elemento circuitale la cui resistenza varia con la tensione.
Ricavando la corrente dall’equazione [A1.9] si ottiene la legge I = f(V):
I=
1
V
R
Si definisce conduttanza elettrica, indicata con il simbolo G, il rapporto:
G=
1 I
=
R V
In funzione della conduttanza la legge di Ohm diventa pertanto:
I = GV
[A1.10]
Altra espressione
della legge
di Ohm
La conduttanza si misura in siemens (simbolo S) e rappresenta il reciproco della resistenza: un elevato valore di G indica un piccolo valore di resistenza e, quindi, maggior corrente circolante a parità di tensione applicata. L’esame della [A1.10] mostra
inoltre che, considerando V = 1 V, il valore della conduttanza coincide con quello della
corrente conseguente all’applicazione della tensione unitaria.
Calcolare la resistenza e la conduttanza di un circuito, sapendo che l’applicazione di una tensione di 5 V determina la circolazione di una corrente pari a 20 mA.
■ Usando le formule viste in questo paragrafo, la risoluzione è immediata:
R=
5
V
=
= 0,25 × 103 = 250 Ω
I 20 × 10 −3
G=
I 20 × 10 −3
=
= 4 × 10 −3 S = 4 mS
5
V
A1.7 Resistività e conduttività
Si consideri (figura A1.12) un conduttore di lunghezza l e sezione S, che collega i
punti A e B di un circuito e nel quale circoli la corrente I, nel senso da A verso B. Tale
circolazione è possibile in quanto il generatore imprime al punto A un potenziale maggiore del punto B. Si può allora dire che vi è una diminuzione di potenziale elettrico
lungo il percorso della corrente, ossia una caduta di tensione (c.d.t.) tra i punti A e B,
pari a V = VA – VB, con un andamento lineare, supponendo che il conduttore abbia caratteristiche omogenee in tutti i punti.
ESEMPIO
3
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
18
A
I
B
V = VA – VB
V
VA
u
Figura A1.12
Rappresentazione
grafica della caduta
di tensione
per unità
di lunghezza.
1m
VB
Il rapporto:
u=
V
l
espresso in volt per metro, rappresenta allora la c.d.t. per unità di lunghezza, essendo
pari alla caduta di tensione per ogni metro di conduttore. La caduta di tensione totale
tra i punti A e B sarà data da:
V = ul
Introducendo anche la densità di corrente, la resistenza elettrica del tratto A-B può essere espressa nel modo seguente:
R=
V ul
=
I JS
[A1.11]
Le grandezze u e J, essendo riferite a lunghezza e sezione unitarie, non dipendono,
a differenza della resistenza, dalle dimensioni del conduttore, ma soltanto dal materiale
che lo costituisce e pertanto anche il valore del loro rapporto è solo funzione delle caratteristiche del materiale.
Il rapporto:
ρ=
u
J
prende il nome di resistività elettrica del materiale conduttore.
L’espressione [A1.11] diventa:
R=ρ
Resistenza
di un conduttore
l
S
[A1.12]
La relazione [A1.12] esprime la resistenza elettrica di un conduttore in funzione
delle sue dimensioni geometriche e delle caratteristiche fisiche del materiale. Dal suo
esame si possono trarre le seguenti conclusioni:
•
•
all’aumentare della sezione la resistenza elettrica diminuisce in quanto, a parità di
corrente, le cariche hanno più spazio per fluire attraverso il conduttore (J diminuisce) e quindi incontrano minore resistenza;
all’aumentare della lunghezza la resistenza elettrica aumenta perché diventa maggiore
la d.d.p. V = ul necessaria per far circolare la stessa corrente tra i due punti considerati;
A1 • Grandezze elettriche
•
•
19
la resistenza elettrica è direttamente proporzionale alla resistività del materiale conduttore, grandezza legata alle sue caratteristiche intrinseche; per avere la minima
resistenza deve essere di piccolo valore la resistività, come avviene nei buoni conduttori (argento, rame, alluminio);
il valore della resistività è pari a quello della resistenza di un conduttore avente lunghezza e sezione unitaria.
Dalla [A1.12] si ricava:
RS
l
ρ=
[A1.13]
Resistività
di un conduttore
L’unità di misura della resistività si ottiene dalla [A1.13], a seconda delle unità di
misura usate per S e l; normalmente si ha:
[ρ] =
Ω mm 2
m
In alcuni casi la sezione viene espressa in metri quadrati, ottenendo:
[ρ] =
Ω m2
=Ωm
m
Dalla relazione [A1.12] si può ricavare l’espressione della conduttanza:
G=
1 S
ρ l
La grandezza:
γ =
1
ρ
[A1.14]
è detta conduttività elettrica del materiale conduttore e rappresenta l’inverso della resistività.
La sua introduzione consente di esprimere la conduttanza in funzione delle caratteristiche fisiche del materiale e delle dimensioni del resistore:
G=γ
S
l
[A1.15]
Espressione
della
conduttanza
Il significato della conduttività è opposto a quello della resistività: un elevato valore
di γ implica, a parità di dimensioni, un elevato valore di conduttanza e quindi un basso
valore di resistenza.
Le unità di misura della conduttività elettrica si ricavano da quelle della resistività,
ottenendo:
⎛ Ω mm 2 ⎞
[γ ] = ⎜
⎟
⎝ m ⎠
−1
=
Ω −1 m
Sm
=
2
mm
mm 2
[ γ ] = (Ω m) −1 =
Ω −1 S
=
m
m
⎛
Ω mm2 ⎞
Calcolare la resistenza e la conduttanza di un conduttore in rame ⎜ ρ = 0,0178
m ⎟⎠
⎝
di lunghezza 100 m e sezione 4 mm2.
ESEMPIO
4
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
20
■ Applicando le formule viste si ottiene:
R=
ρl 0, 0178 × 100
=
= 0, 445 Ω
S
4
G=
ESEMPIO
5
1
1
=
= 2, 247 S
R 0, 445
Di un filo conduttore di sezione 6 mm2 si ignora il materiale di cui è costituito; provandone in laboratorio uno spezzone di lunghezza 1 m è stata misurata una caduta di tensione di 0,1 V facendo
circolare una corrente di 5 A. Calcolare resistenza, conduttanza, resistività e conduttività.
■ Applicando la legge di Ohm si ottengono i valori della resistenza e della conduttanza:
R=
V 0,1
=
= 0, 02 Ω
I
5
G=
1
1
=
= 50 S
R 0, 02
Usando le espressioni [A1.13] e [A1.14] si ricavano i valori della resistività e della conduttività:
1
1
Sm
RS 0, 02 × 6
Ω mm 2
γ = =
= 8, 333
ρ=
=
= 0,12
mm 2
ρ 0,12
l
1
m
A1.8 Variazione della resistività
e della resistenza con la temperatura
Vari fattori influiscono sul valore della resistenza elettrica, modificando i parametri da
cui essa dipende (resistività, lunghezza, sezione). Una delle grandezze fisiche che maggiormente incide sul valore della resistenza è la temperatura: per la maggior parte dei
materiali metallici la conducibilità elettrica diminuisce all’aumentare della temperatura
e quindi la resistività aumenta.
Fisicamente il fenomeno si può spiegare considerando che nei solidi cristallini gli
atomi vibrano attorno alla loro posizione di equilibrio e queste vibrazioni interferiscono con il movimento degli elettroni di conduzione, determinando quel complesso di
azioni contrastanti la conduzione delle cariche che viene espressa analiticamente con il
concetto di resistività elettrica e che determina, in ultima analisi, una perdita di energia
degli elettroni, perdita che deve essere compensata dal generatore esterno, per mantenere la conduzione nel circuito.
Aumentando la temperatura, l’agitazione termica aumenta e cresce pertanto anche
l’opposizione del mezzo conduttore al passaggio della corrente. Alla temperatura dello
zero assoluto, cessando del tutto l’agitazione termica degli atomi, la resistività dovrebbe
essere nulla; in realtà subentrano altri fattori di disturbo, come i difetti reticolari e la presenza di impurità, che producono una resistività residua ρr . L’andamento della resistività in funzione della temperatura assume pertanto la forma del grafico di figura A1.13,
ρ
Figura A1.13
Variazione
della resistività
nei metalli.
ρr
0
ϑ (K)
21
A1 • Grandezze elettriche
nel quale la resistività alle temperature di normale funzionamento risulta proporzionale
alla temperatura, con una legge lineare.
L’espressione R = ρl/S mostra che la resistenza dipende dalla resistività del materiale,
dalla lunghezza e dalla sezione del conduttore; si riterrà trascurabile la variazione di resistenza dovuta alla variazione di lunghezza e sezione per cause termiche, considerando
come unico fattore influente la resistività. In questo modo, ai fini pratici, non cambia
nulla se si considera la variazione della resistività o della resistenza, essendo le due grandezze legate da un fattore costante.
Per una trattazione analitica del fenomeno, si indichi con R0 il valore della resistenza alla temperatura di 0 °C (273 K) e con R quello alla temperatura generica ϑ; la
differenza tra i due valori rappresenta la variazione di resistenza:
ΔR = R − R0
Per semplificare lo sviluppo analitico si può ritenere tale differenza direttamente
proporzionale alla variazione di temperatura ϑ – 0 = ϑ, alla resistenza iniziale R0 e ad
un coefficiente α0 dipendente dal tipo di materiale; esprimendo queste considerazioni
in forma matematica si ha:
ΔR = R0α 0ϑ
[A1.16]
e, sostituendo nell’espressione precedente, si ottiene:
R − R0 = R0α 0ϑ
e, quindi:
R=R0 + R0α 0ϑ
R = R0 (1 + α 0ϑ )
[A1.17]
Resistenza alla
temperatura ϑϑ
in funzione
di quella a 0 °C
La relazione [A1.17] consente di calcolare il valore della resistenza a una certa temperatura, in funzione del suo valore alla temperatura di riferimento, del salto termico e
del fattore α0, detto coefficiente di temperatura della resistenza, dipendente dal tipo
di materiale.
Ricavando la formula inversa della [A1.16] si ottiene:
α0 =
ΔR
R0ϑ
[A1.18]
Espressione
del coefficiente
di temperatura
che consente di dedurre il significato del coefficiente di temperatura. Infatti, se nella
[A1.18] si pone R0 = 1 Ω e ϑ = 1 K, i valori di α0 e ΔR coincidono e, quindi, il valore
del coefficiente di temperatura rappresenta la variazione di resistenza di un conduttore
con resistenza iniziale 1 Ω, dovuta alla variazione di temperatura di 1 K (o di 1 °C).
La sua unità di misura si ricava dalla [A1.18]:
Ω
[α 0 ] = Ω K = K −1
(oppure °C –1)
Dalla [A1.17], in base alle ipotesi fatte inizialmente, è possibile ricavare un’analoga relazione per la resistività:
ρl ρ 0 l
=
(1 + α 0ϑ )
S
S
e, quindi:
ρ = ρ0 (1 + α 0ϑ )
da cui si deduce che α0 è anche il coefficiente di temperatura della resistività.
[A1.19]
Resistività alla
temperatura ϑϑ
in funzione
di quella a 0 °C
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
22
R
Figura A1.14
Andamento
della resistenza
in funzione della
temperatura,
ipotizzando
α0 costante.
Δ R = R0 α 0ϑ
R0
0
ϑ (°C)
Supponendo che il valore di a0 resti costante al variare della temperatura, le espressioni [A1.17] e [A1.19] indicano una variazione lineare della resistenza (o della resistività), corrispondente all’andamento del grafico di figura A1.14, valido nel caso che
la resistenza aumenti con la temperatura.
Spesso la temperatura di riferimento si assume pari a 20 °C; in questo caso bisogna
considerare come salto termico la differenza ϑ – 20 e l’espressione [A1.17] diventa:
Resistenza alla
temperatura ϑϑ
in funzione
di quella a 20 °C
R = R20 ⎡⎣1 + α 20 (ϑ − 20 ) ⎤⎦
[A1.20]
dove R20 è il valore della resistenza iniziale, R quello alla temperatura ϑ considerata e
a20 è il valore del coefficiente alla temperatura di 20 °C. Un’espressione analoga vale
per la resistività.
Nella tabella A1.1 sono riportati i valori della resistività, della conduttività e del coefficiente di temperatura di alcuni materiali di uso comune nelle applicazioni elettriche.
Tabella A1.1 Caratteristiche elettriche di alcuni materiali conduttori
Materiale
Resistività
a 20 °C (Ω mm2/m)
Conduttività
a 20 °C (MS/m)
Coefficiente di temperatura
a 20 °C (K–1)
Argento
Rame crudo
Rame ricotto
Rame ricotto campione
Alluminio
Aldrey
Tungsteno
Ferro puro
Acciaio
Ferro silicio (%Si = 1% ÷ 5%)
Argentana
Manganina
Costantana
Carbone
Zinco
Stagno
0,0163
0,0178
0,0175
0,017241
0,0284
0,032
0,055
0,098
0,10 ÷ 0,25
0,27 ÷ 0,67
0,38
0,44
0,5
66,67
0,06
0,12
61,3
56,2
57,1
58
35,2
31,2
18,2
10,2
10 ÷ 4
3,7 ÷ 1,5
2,63
2,27
2
0,015
16,7
8,33
3,8 × 10–3
3,81 × 10–3
3,93 × 10–3
3,9 × 10–3
4 × 10–3
3,6 × 10–3
4,5 × 10–3
6 × 10–3
4,7 × 10–3
/
0,07 × 10–3
0,015 × 10–3
0,002 × 10–3
–0,45 × 10–3
3,7 × 10–3
4,3 × 10–3
Riguardo alla variazione della resistenza con la temperatura si possono fare, prendendo in esame la relazione [A1.16], le seguenti considerazioni:
•
•
•
essendo R0 e ϑ entrambi positivi, α0 e ΔR hanno lo stesso segno;
se α0 è positivo lo è anche ΔR e, quindi, la resistenza aumenta con la temperatura,
come avviene, anche se in misura minima, in molti materiali conduttori (rame, alluminio, argento ecc.) e in modo accentuato per i materiali usati nella costruzione
dei termistori PTC (Positive Temperature Coefficient);
se α0 è negativo lo è anche ΔR e, quindi, la resistenza diminuisce con la temperatura, come avviene in modo significativo in alcuni ossidi metallici usati per la costruzione dei termistori NTC (Negative Temperature Coefficient);
23
A1 • Grandezze elettriche
•
nel caso fosse verificata la condizione α0 = 0 si avrebbe ΔR = 0, ossia la resistenza non
varierebbe con la temperatura (caso ideale); in realtà vi sono dei materiali che si avvicinano molto a questa condizione e vengono usati per costruire resistori campione da laboratorio, per i quali la variazione della resistenza comporterebbe un errore di misura.
Un altro modo per valutare la variazione di resistenza con la temperatura si basa sul
confronto tra i valori della resistenza a due diverse temperature, prescindendo dal valore assunto a 0 °C.
Indicando con R1 e R2 i valori delle resistenze alle temperature ϑ1 e ϑ2 e applicando
l’espressione [A1.17] si ottiene:
R1 = R0 (1 + α 0ϑ1 )
R2 = R0 (1 + α 0ϑ 2 )
Facendo il rapporto tra le due espressioni e dividendo numeratore e denominatore
per α0 si ha:
1
+ ϑ2
R2 1 + α 0ϑ 2
α0
=
=
1
R1 1 + α 0ϑ1
+ ϑ1
α0
Ponendo:
1
+ ϑ2
α
Kθ = 0
[A1.21]
1
+ ϑ1
α0
si ottiene:
R2 = R1Kϑ
[A1.22]
Fattore di riporto
della resistenza
Relazione tra
le resistenze
a due diverse
temperature
Il coefficiente introdotto dà anche il rapporto tra le resistività e si ha pertanto:
ρ2 = ρ1Kϑ
[A1.23]
Di particolare importanza pratica è il caso dei conduttori in rame e in alluminio, per i
quali i valori del coefficiente di temperatura α0 sono rispettivamente pari a 0,004264 K–1
e 0,0043 K–1; sostituendo questi valori nella [A1.21] si ottiene:
• rame:
•
Kϑ =
234, 5 + ϑ 2
234, 5 + ϑ1
[A1.24]
Kϑ =
232, 5 + ϑ 2
232, 5 + ϑ1
[A1.25]
alluminio:
Un filo di tungsteno ha diametro 0,8 mm e lunghezza 25 m. Calcolare la resistività e la resistenza a 150 °C.
■ Dalla tabella A1.1 si ricava:
ρ20 = 0, 055
Ω mm 2
m
α 20 = 4, 5 × 10 −3 K −1
ESEMPIO
6
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
24
Applicando l’espressione [A1.20] per la resistività se ne ricava il valore a 150 °C:
ρ = ρ20 ⎡⎣1 + α 20 (ϑ − 20 ) ⎤⎦ = 0, 055 ⎡⎣1 + 4, 5 × 10 −3 (150 − 20 ) ⎤⎦ = 0, 0872
Ω mm 2
m
Si calcola quindi la sezione del conduttore e la sua resistenza a 150 °C:
S=
ESEMPIO
7
π d 2 3,14 × 0, 8 2
=
= 0, 503 mm 2
4
4
R=
ρl 0, 0872 × 25
=
= 4, 334 Ω
0, 503
S
Un conduttore di rame presenta, a 20 °C, la resistenza di 0,5 Ω. Calcolarne il valore a 90 °C e
determinare l’aumento percentuale della resistenza.
■ Applicando le formule [A1.24] e [A1.22] si ottiene:
Kϑ =
234, 5 + ϑ 2 234, 5 + 90
=
= 1, 275
234, 5 + ϑ1 234, 5 + 20
R2 = R1Kϑ = 0, 5 × 1, 275 = 0, 6375 Ω
L’aumento percentuale, riferito al valore della resistenza iniziale, è dato da:
ΔR% =
ESEMPIO
8
( R − R1 ) × 100 = ( 0, 6375 − 0, 5 ) × 100 = 27, 5%
ΔR
× 100 = 2
0, 5
R1
R1
Un conduttore in alluminio presenta, a 35 °C, la resistenza di 2 Ω. Riscaldato, subisce un aumento di resistenza del 30%. Determinare la temperatura finale.
■ La variazione assoluta di resistenza si ricava applicando la formula inversa di quella vista
nell’esempio precedente:
ΔR% R1 30 × 2
=
= 0, 6 Ω
100
100
La resistenza finale sarà pertanto pari a:
ΔR =
R2 = R1 + ΔR = 2 + 0, 6 = 2, 6 Ω
Ricavando dalla [A1.22] il valore di Kϑ e applicando la [A1.25] si ottiene:
Kϑ =
e, infine:
R2 2, 6
=
= 1, 3
2
R1
232, 5 + ϑ 2
= 1, 3
232, 5 + 35
ϑ 2 = 1, 3 ( 232, 5 + 35 ) − 232, 5 = 115, 3 °C
A1.9 Effetto Joule
Tra i vari effetti provocati dal passaggio della corrente, particolarmente importante, ai
fini della costruzione e del funzionamento delle apparecchiature elettriche, è il cosiddetto effetto Joule, consistente nella trasformazione in calore dell’energia elettrica
prodotta dalla corrente.
Per far avvenire il passaggio di corrente attraverso un conduttore di resistenza R, è necessario che il generatore impieghi una potenza elettrica P, per consentire la circolazione
degli elettroni, potenza che, moltiplicata per il tempo di funzionamento, dà luogo a una
energia che viene dissipata in calore all’interno del mezzo conduttore, a causa delle inte-
25
A1 • Grandezze elettriche
razioni tra le particelle interessate alla conduzione. Il calore sviluppato determina il riscaldamento del conduttore e dell’eventuale isolante che lo circonda, facendo aumentare
la temperatura fino a un regime termico di equilibrio tra il calore prodotto e quello dissipato.
Partendo dal presupposto che la temperatura assunta da una qualunque apparecchiatura durante il funzionamento non può superare un determinato valore, dipendente principalmente dal tipo di isolamento, è evidente che la potenza dissipata che si trasforma in
calore, di cui spesso quella per effetto Joule è però soltanto una componente, deve essere
limitata, compatibilmente con la temperatura ammissibile e con l’efficacia dei mezzi di
raffreddamento di cui l’apparecchiatura dispone.
Per valutare quali siano i fattori da cui dipende il valore della potenza prodotta per
effetto Joule si parte dall’espressione [A1.7] della potenza e si applica la legge di
Ohm, ottenendo:
P = VI = RII
e, infine:
P = RI 2
[A1.26]
Potenza persa
per effetto Joule
da cui si vede che la potenza che si trasforma in calore è direttamente proporzionale
alla resistenza e al quadrato della corrente.
Sostituendo l’espressione della resistenza e introducendo la densità di corrente si
ottiene:
P=
ρl
ρl
( JS )2 = J 2 S 2
S
S
e, quindi:
P = ρ J 2 lS
[A1.27]
L’esame della [A1.27] porta ad alcune interessanti conclusioni:
•
•
•
la potenza persa per effetto Joule è direttamente proporzionale alla resistività del
materiale, aumentando la quale cresce la resistenza del mezzo e quindi le perdite;
notevole peso ha la densità di corrente che influisce al quadrato: raddoppiando il
suo valore quadruplica la potenza, triplicandolo la potenza diventa nove volte ecc.;
questo implica che, per limitare le perdite per effetto Joule, occorre mantenere relativamente basso il valore della densità di corrente, per esempio da 2 a 10 A/mm2
per i cavi elettrici e da 2 a 5 A/mm2 per le macchine elettriche;
la perdita per effetto Joule è direttamente proporzionale al prodotto lS, che rappresenta il volume del conduttore.
Considerando unitario il volume si ha che il termine:
PV = ρ J 2
[A1.28]
rappresenta la potenza persa per effetto Joule per unità di volume, espressa in watt al
metro cubo se le dimensioni del conduttore sono in metri e metri quadrati; tale fattore
non dipende dalle dimensioni del conduttore, ma solo dalla densità di corrente e dalla
resistività del materiale.
La potenza persa per effetto Joule può anche essere espressa in funzione della tensione, nel modo seguente:
P = VI = VGV
Potenza persa
per unità
di volume
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
26
Potenza persa
in funzione
della tensione
P = GV 2
[A1.29]
Da quanto esposto risulta evidente l’aspetto negativo dell’effetto Joule, che provoca perdita di potenza, riscaldamento delle apparecchiature, diminuzione del rendimento delle macchine. L’effetto termico della corrente viene però anche sfruttato, per
esempio nelle stufe elettriche, nei forni a resistenza, negli scaldacqua.
ESEMPIO
9
Calcolare la perdita per effetto Joule in un conduttore lungo 500 m, di sezione 25 mm2, di rame
(ρ = 0,0178 Ω mm2/m), che funziona con densità di corrente 6 A/mm2.
■ Applicando la [A1.27] si ha:
P = ρ J 2lS = 0,0178 × 6 2 × 500 × 25 = 8010 W
Considerando che il volume del conduttore è:
Sl = 25 × 10 −6 × 500 = 0, 0125 m 3
la potenza persa per unità di volume vale:
PV =
ESEMPIO
10
8010
P
=
= 640 800 W m 3
Sl 0, 0125
⎛
Ω mm2 ⎞
Calcolare la densità di corrente ammissibile in un conduttore di alluminio ⎜ ρ20 = 0,0284
,
m ⎟⎠
⎝
funzionante alla temperatura di 75 °C, di lunghezza 100 m e sezione 6 mm2, in modo che la potenza
persa per effetto Joule sia non superiore a 500 W.
■ Utilizzando le formule [A1.25] e [A1.23] si riporta a 75 °C la resistività dell’alluminio:
Kϑ =
232, 5 + 75
= 1, 218
232, 5 + 20
ρ75 = ρ20 Kϑ = 0, 0284 × 1, 218 = 0, 0346
Ω mm 2
m
Applicando la formula inversa della [A1.27] si ottiene:
J=
P
=
ρ75lS
500
A
= 4, 91
0, 0346 × 100 × 6
mm 2
Esercizi di verifica
Esercizio 1
Di un resistore sono noti P = 0,5 W e I = 50 mA. Calcolare la tensione, la resistenza, la conduttanza, la carica e
l’energia dopo 0,5 h di funzionamento.
[ Risultati: V = 10 V; R = 200 ΩΩ
; G = 5 mS; Q = 90 C; W = 900 J]
Esercizio 2
Di un resistore sono noti V = 5 V e R = 0,5 kΩ. Calcolare la corrente, la potenza e la conduttanza.
[ Risultati: I = 0,01 A; P = 0,05 W; G = 2 mS]
Esercizio 3
Un elettrodomestico è alimentato con tensione 230 V e assorbe la potenza di 460 W. Calcolare la corrente assorbita; calcolare inoltre la carica e l’energia per ogni ora di funzionamento.
[ Risultati: I = 2 A; Q = 7200 C; W = 1,656 MJ ]
Esercizio 4
Ai capi di un filo conduttore di lunghezza 16 m e diametro 1 mm vi è una caduta di tensione di 50 V quando
circola una corrente di 2,5 A. Calcolare la resistenza del conduttore, la resistività del materiale e la densità di
corrente.
[ Risultati: R = 20 ΩΩ
; ρρ= 0,981 ××10–6 ΩΩ
m; J = 3,18 A/mm2 ]
Esercizio 5
Un filo conduttore in rame, di sezione 4 mm2 e lunghezza 100 m, funziona alla temperatura di 75 °C con densità
di corrente 4 A/mm2. Calcolare la resistenza, la conduttanza, la conduttività, la corrente, la caduta di tensione e
la potenza prodotta per effetto Joule. Calcolare inoltre la sezione di un filo conduttore in alluminio che abbia lo
stesso valore di resistenza nelle stesse condizioni.
[ Risultati: R = 0,541 ΩΩ
; G = 1,85 S; γγ= 46,3 S m/mm2; I = 16 A;
V = 8,67 V; P = 138,5 W; SAl = 6,4 mm2 ]
Esercizio 6
Un filo conduttore in tungsteno, avente ρ0 = 0,05 Ω mm2/m e α0 = 4,5 × 10–3 K–1, ha un diametro di 0,8 mm, è
lungo 25 m e funziona alla temperatura di 150 °C con densità di corrente di 3,5 A/mm2. Calcolare, nelle condizioni di funzionamento, la resistenza elettrica, la corrente assorbita, la caduta di tensione, la potenza persa per
effetto Joule, l’energia dissipata dopo cinque ore di funzionamento, la carica transitata in tale tempo.
[ Risultati: R = 4,16 ΩΩ
; I = 1,76 A; V = 7,32 V; P = 12,9 W; W = 232 200 J; Q = 31 680 C ]
Esercizio 7
Un resistore avente R20 = 600 Ω scaldandosi da 20 °C a 120 °C assume un valore di resistenza pari a 750 Ω.
Calcolare la variazione percentuale di resistenza e il coefficiente α20.
–3 –1
[ Risultati: ΔΔ
R% = 25%; αα
20 = 2,5 ××10 K ]
27
Esercitazioni
A1 • Grandezze elettriche
Esercitazioni
28
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Spiegare che cosa s’intende per intensità della corrente elettrica.
2. Disegnare e spiegare le caratteristiche della forma d’onda di una tensione sinusoidale raddrizzata a doppia
semionda.
3. Che cos’è la tensione elettrica tra due punti di un circuito? Che differenza c’è tra la tensione e il potenziale?
4. Se, a parità di tensione, aumenta la corrente in un componente, come varia la potenza elettrica?
5. Definire la resistenza elettrica di un generico elemento circuitale.
6. Spiegare la differenza tra la resistenza elettrica e la resistività.
7. Definire la conduttanza elettrica di un generico elemento circuitale.
8. Spiegare la differenza tra la conduttanza elettrica e la conduttività.
9. Che cos’è il coefficiente di temperatura della resistività e come influisce sulla variazione della resistenza elettrica con la temperatura?
10. Spiegare come varia la potenza persa per effetto Joule in un elemento conduttore al variare della densità di
corrente.
11. Che cos’è la potenza persa per effetto Joule per unità di volume?
Quesiti a scelta multipla
Scegliere la risposta corretta tra quelle proposte.
1. Che cosa indica la forma d’onda di una corrente? (Una sola risposta corretta)
a L’andamento dell’intensità di corrente in funzione della tensione.
b L’andamento dell’intensità di corrente in funzione del tempo.
c L’andamento della densità di corrente in funzione del tempo.
d L’andamento della densità di corrente in funzione della tensione.
2. Come si calcola la densità di corrente? (Una sola risposta corretta)
a Mediante il rapporto tra l’intensità di corrente e la sezione del conduttore.
b Mediante il prodotto tra l’intensità di corrente e la sezione del conduttore.
c Mediante il rapporto tra l’intensità di corrente e la tensione.
d Mediante il prodotto tra l’intensità di corrente e la tensione.
3. Che cos’è la potenza elettrica? (Più risposte corrette)
a È il rapporto tra la tensione e l’intensità di corrente.
b È il prodotto tra la tensione e l’intensità di corrente.
c È l’energia fornita alle cariche elettriche nell’unità di tempo.
d È il potenziale elettrico di un punto.
4. Che cos’è la resistività elettrica? (Più risposte corrette)
a È la resistenza elettrica di un conduttore avente lunghezza e sezione unitarie.
b È la conduttanza elettrica di un conduttore avente lunghezza e sezione unitarie.
c È il rapporto tra la c.d.t. unitaria e l’intensità di corrente.
d È il rapporto tra la c.d.t. unitaria e la densità di corrente.
5. Come varia la resistenza elettrica di un conduttore con la temperatura? (Una sola risposta corretta)
a Aumenta con la temperatura solo se è negativo il suo coefficiente di temperatura della resistività.
b Rimane in ogni caso costante al variare della temperatura.
c Varia con la temperatura in funzione del valore e del segno del suo coefficiente di temperatura della resistività.
d Aumenta con la temperatura nello stesso modo per tutti i materiali aventi coefficiente di temperatura positivo.
6. Per un resistore con coefficiente di temperatura positivo come varia la potenza persa per effetto Joule
se aumenta la temperatura del componente? (Una sola risposta corretta)
a Aumenta.
b Rimane costante.
c Diminuisce.
d Le due grandezze non sono in relazione.
29
Esercitazioni
A1 • Grandezze elettriche
30
A2
Bipoli elettrici
e loro collegamenti
Gli argomenti di questa unità verranno trattati ritenendo verificate le seguenti ipotesi:
• il funzionamento dei circuiti verrà considerato in regime stazionario, ossia supponendo già
esauriti eventuali fenomeni transitori e quindi con grandezze elettriche che hanno assunto
definitivamente la propria forma d’onda;
• si considererà la forma d’onda continua delle varie grandezze elettriche, così come definita al
paragrafo A1.2, anche se le leggi e i principi introdotti hanno validità generale.
A2.1 Concetto di bipolo elettrico
In generale un sistema elettrico può essere visto come un insieme di componenti interconnessi tra loro. Vi sono molti elementi che vengono collegati al resto del sistema mediante due morsetti, come insegna l’esperienza comune (apparecchi illuminanti, elettrodomestici, conduttori di collegamento, pile elettriche ecc.).
È quindi possibile definire come bipolo elettrico un componente (o un insieme di componenti riducibili a uno equivalente) che interagisce col resto del sistema elettrico in due
punti soltanto.
A
B
In questi punti si può immaginare che siano posti i morsetti di collegamento del bipolo, anche se, in realtà, tali morsetti possono non esserci. I concetti espressi sono illustrati nelle figure A2.1 e A2.2.
Ogni bipolo è caratterizzato dalle due seguenti grandezze:
•
•
la tensione V tra i punti A e B, pari alla d.d.p. elettrico tra i due punti;
la corrente I che circola tra i punti A e B.
Figura A2.1
Componente
elettrico
rappresentato
con il simbolo
del bipolo.
A
A
Insieme di
componenti
variamente
collegati
B
Figura A2.2
Bipolo rappresentante un insieme
di componenti variamente collegati.
B
31
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
A2.2 Convenzioni di segno
La tensione e la corrente possono essere positive o negative, dove i termini precedenti
assumono i seguenti significati:
•
•
la tensione è positiva sul morsetto A del bipolo (e quindi negativa su B) quando un
voltmetro, inserito con il suo morsetto “+” nel punto A, dà una lettura positiva (figura A2.3); se il voltmetro, lasciando invariata l’inserzione, fornisce una lettura negativa, vuol dire che la tensione è positiva in B;
la corrente è positiva nel percorso tra A e B all’interno del bipolo quando un amperometro, inserito con il suo morsetto “+” in corrispondenza di A, dà una lettura positiva (figura A2.4); se l’amperometro, lasciando invariata l’inserzione, fornisce
una lettura negativa, vuol dire che la corrente è positiva nel percorso da B ad A.
Il segno positivo viene indicato sugli schemi con il simbolo “+” per la tensione e
con la freccia per la corrente. A volte si usa la freccia anche per la tensione.
I
A
+
A
+
A
+
V = VA – VB > 0
V
–
Figura A2.3
Significato
di tensione positiva.
–
B
B
Figura A2.4
Significato
di corrente positiva.
Supponendo di aver stabilito che la tensione è positiva in un punto (A o B), la corrente può essere entrante o uscente da tale punto. Per l’esatta definizione della caratteristica di un bipolo, ossia del legame tra la tensione e la corrente, occorre fissare una
convenzione di segno che permetta di definire operativamente i versi della tensione e
della corrente del bipolo, precisando come si intendono misurate queste due grandezze.
Vengono utilizzate le due seguenti convenzioni di segno:
•
•
convenzione di segno degli utilizzatori (figura A2.5 a, b): si considera positivo il verso
della corrente quando la stessa, all’interno del bipolo, va dal morsetto positivo a quello
negativo della tensione, ossia entra nel bipolo dal punto con tensione positiva;
convenzione di segno dei generatori (figura A2.6 a, b): si considera positivo il verso
della corrente quando la stessa esce dal bipolo dal morsetto positivo della tensione.
Le due convenzioni di segno indicate possono essere spiegate nel seguente modo: un
generatore è tale in quanto fornisce energia alle cariche elettriche, forzandole all’esterno di
esso dal polo positivo a quello negativo, mentre l’utilizzatore, assorbendo energia elettrica
dal circuito esterno, si comporta in modo opposto.
I
a)
I
+
–
+
–
V
V
V
V
–
+
–
+
b)
Figura A2.5 a, b
Convenzione di segno degli utilizzatori.
I
a)
b)
Figura A2.6 a, b
Convenzione di segno dei generatori.
I
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
32
A2.3 Caratteristica esterna
Tra la tensione e la corrente di un bipolo esiste in generale una relazione, che può essere espressa in forma analitica mediante leggi del tipo V = f (I ) e I = g(V ), ossia assumendo come variabile indipendente la corrente o la tensione, oppure in forma grafica
sul piano cartesiano.
La curva che indica il legame tensione-corrente viene detta caratteristica esterna
del bipolo (o caratteristica volt-amperometrica).
L’aggettivo “esterna” è significativo: esso indica infatti che il grafico descrive il
comportamento del bipolo verso l’esterno, ossia nei confronti del circuito a cui è
collegato, senza tener conto dei fenomeni che avvengono all’interno del bipolo
stesso.
Riguardo la rappresentazione grafica della caratteristica, esistono due diverse modalità:
•
•
ponendo sull’asse delle ascisse la corrente e su quello delle ordinate la tensione si
rappresenta graficamente la legge V = f (I );
ponendo sull’asse delle ascisse la tensione e su quello delle ordinate la corrente si
rappresenta graficamente la legge I = g (V).
Le figure A2.7 e A2.8 mostrano la caratteristica dello stesso bipolo (per ora non
specificato) nei due modi indicati.
I
V
10 V
50 A
50 A
0
I
Figura A2.7
Caratteristica esterna
di un bipolo nella forma V = f(I).
Figura A2.8
Caratteristica esterna
di un bipolo nella forma I = g(V ).
0
10 V V
I due tipi di rappresentazione grafica possono essere usati indifferentemente; nel
prosieguo del testo si utilizzerà prevalentemente il primo tipo.
La forma della caratteristica esterna consente di classificare i bipoli in:
•
•
bipoli lineari, aventi la caratteristica rappresentabile mediante una retta;
bipoli non lineari, il cui comportamento non è rappresentabile tramite una retta.
Sono di tipo lineare i bipoli aventi le caratteristiche indicate nelle figure A2.7 e
A2.8, mentre la figura A2.9 rappresenta la caratteristica di un elemento non lineare
(diodo).
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
I
O
Figura A2.9
Caratteristica esterna
di un bipolo non lineare (diodo).
V
A2.4 Tensione a vuoto e corrente di cortocircuito
Esaminando la caratteristica esterna di un generico bipolo elettrico è possibile definire
le due seguenti grandezze:
•
tensione a vuoto V0: è la tensione che si ha ai morsetti del bipolo quando è nulla la
corrente che vi circola, ossia quando il bipolo funziona a vuoto; essa è rappresentata dal segmento intercettato dalla caratteristica esterna sull’asse della tensione (figura A2.10);
V
V0
Figura A2.10
Tensione a vuoto
e corrente di cortocircuito.
•
O
Icc
I
corrente di cortocircuito Icc: è la corrente che si manifesta nel bipolo quando è
nulla la tensione ai morsetti, ossia quando gli stessi sono chiusi in cortocircuito;
graficamente è rappresentata dal segmento intercettato dalla caratteristica esterna
sull’asse della corrente (figura A2.10).
In base ai valori assunti da V0 e Icc i bipoli si dividono in:
•
•
bipoli passivi (o inerti), quando sia la tensione a vuoto che la corrente di cortocircuito sono nulle e, di conseguenza, la caratteristica passa per l’origine degli assi;
bipoli attivi, quando la tensione a vuoto e la corrente di cortocircuito sono entrambe
diverse da zero e la caratteristica esterna non passa per l’origine degli assi.
In sostanza, come si vedrà meglio in seguito, in un bipolo attivo è possibile avere
tensione ai morsetti anche in assenza di corrente (o corrente in assenza di tensione),
mentre nel bipolo passivo l’annullamento della tensione implica necessariamente anche quello della corrente.
La differenza risulta evidente considerando il comportamento di una batteria elettrica per auto e di una lampada: nel primo caso aprendo il circuito si annulla la corrente,
ma la tensione ai morsetti rimane (tensione a vuoto), mentre nel secondo l’apertura del
circuito determina lo spegnimento della lampada e l’annullamento anche della tensione.
33
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
34
A2.5 Bipoli ideali
Lo studio di un circuito elettrico richiede, in genere, una operazione di “modellizzazione” del circuito stesso, nel senso che occorre rappresentare un sistema, formato da
componenti reali come generatori, utilizzatori, conduttori di collegamento ecc., mediante degli elementi aventi dei comportamenti definiti e soggetti a determinate ipotesi
semplificative.
Per questa ragione vengono introdotti i bipoli ideali, che sono dei bipoli lineari, di
tipo astratto, aventi determinate proprietà e dalla cui composizione si possono ricavare
dei bipoli reali, ancora di tipo lineare.
Generatore ideale di tensione
È un bipolo attivo che mantiene ai suoi morsetti una tensione costante in valore e segno, qualunque sia la corrente erogata. La tensione si indica con E e prende il nome di
tensione impressa o forza elettromotrice; la sua equazione caratteristica è:
V=E
Il simbolo del bipolo e la sua caratteristica esterna sono rappresentati nella figura
A2.11 a, b.
V
I
+
+
Figura A2.11 a, b
Generatore ideale
di tensione:
a) simbolo;
b) caratteristica
esterna.
E
V
V=E
–
O
a)
I
b)
La potenza erogata dal generatore è data da:
P = VI = EI
Generatore ideale di corrente
È un bipolo attivo che fornisce una corrente costante in valore e segno, qualunque sia
la tensione ai suoi morsetti. La corrente si indica con I0 e prende il nome di corrente
impressa; la sua equazione caratteristica è:
I = I0
Il simbolo del bipolo e la sua caratteristica esterna sono rappresentati nella figura
A2.12 a, b.
V
I
+
I = I0
Figura A2.12 a, b
Generatore ideale
di corrente:
a) simbolo;
b) caratteristica
esterna.
I0
V
O
–
a)
b)
b)
I
35
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
La potenza erogata dal generatore è data da:
P 5 VI 5 VI0
Resistore ideale
È un bipolo passivo che conserva una resistenza elettrica costante qualunque siano i valori assunti dalla tensione e dalla corrente; il suo simbolo è riportato nella figura A2.13 a.
La sua equazione caratteristica si desume dalla legge di Ohm ed è:
V=RI
oppure:
I =G V
a seconda che si consideri come parametro la resistenza o la conduttanza.
La caratteristica esterna è una retta passante per l’origine, avente inclinazione dipendente dal valore della resistenza (figura A2.13 b).
I
V
+
V = RI
R
V
–
I
O
a)
b)
Figura A2.13 a, b
Resistore ideale:
a) simbolo;
b) caratteristica
esterna.
Questo tipo di bipolo approssima il comportamento di un resistore reale, qualora si
possano trascurare le variazioni di resistenza dovute alla temperatura e ad altre cause.
La potenza assorbita dal resistore è data da:
V2
P 5 VI 5 RI 2 5 ––– 5 GV 2
R
Circuito aperto ideale
È un bipolo passivo interessato da corrente nulla qualunque sia la tensione ai suoi morsetti e pertanto la sua equazione è:
I=0
Il simbolo del bipolo e la sua caratteristica esterna sono rappresentati nella figura
A2.14 a, b.
I
V
+
V
I=0
–
a)
O
b)
I
Figura A2.14 a, b
Circuito aperto
ideale:
a) simbolo;
b) caratteristica
esterna.
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
36
La potenza elettrica del bipolo è nulla, essendo data da:
P = VI
I=0
con
In pratica, questo bipolo approssima il comportamento di un qualunque circuito
aperto, come quello costituito dallo strato d’isolante tra i due poli di un interruttore, entro un determinato limite di tensione, superato il quale la tenuta dell’isolante viene
meno e tra i due poli si manifesta la scarica (arco elettrico).
Il circuito aperto ideale può anche essere visto come un resistore ideale di resistenza
infinita, che non consente il passaggio di corrente qualunque sia la tensione applicata.
Cortocircuito ideale
È un bipolo passivo che mantiene ai suoi morsetti tensione nulla qualunque sia il valore della corrente e pertanto la sua equazione è:
V =0
Il simbolo del bipolo e la sua caratteristica esterna sono rappresentati nella figura
A2.15 a, b.
+
Figura A2.15 a, b
Cortocircuito
ideale:
a) simbolo;
b) caratteristica
esterna.
V
I
V
V=0
–
I
O
b)
a)
La potenza elettrica del bipolo è nulla, essendo data da:
P = VI
con
V=0
Il cortocircuito ideale è assimilabile a un resistore ideale con resistenza nulla,
per il quale si ha sempre V = 0 3 I = 0 e quindi rappresenta il comportamento di un
qualsiasi collegamento elettrico per il quale sia trascurabile la resistenza.
A2.6 Maglie e nodi, leggi di Kirchhoff
Si consideri un insieme di bipoli elettrici collegati tra loro, costituenti in generale una
rete elettrica.
Si definisce maglia una qualunque successione di bipoli della rete, scelti in modo da costituire un percorso chiuso.
Si definisce nodo un qualsiasi punto della rete a cui sono connessi più di due bipoli.
Si consideri la rete rappresentata nella figura A2.16, costituita da sei generici bipoli collegati tra loro da corto circuiti ideali; in essa si possono individuare tre maglie (percorsi ABCDEFGA, ABCDA, ADEFGA) e due nodi (punti A e D), a ognuno
dei quali sono collegati tre bipoli. Gli altri punti della rete indicati con lettere non
sono nodi, dato che non soddisfano la condizione enunciata, essendo collegati a due
soli bipoli.
Si definiscono lati di una rete le parti che collegano tra loro due nodi adiacenti e che
comprendono uno o più bipoli.
37
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
A
G
B
4
1
F
5
3
2
E
6
D
Figura A2.16
Esempio di rete
di bipoli elettrici.
C
Nel caso della figura A2.16 vi sono tre lati, costituiti dai percorsi tra i nodi A e D e
comprendenti, rispettivamente, i bipoli 1 e 2, il bipolo 3 e i bipoli 4, 5 e 6.
Ai nodi e alle maglie di una rete vengono applicate le leggi di Kirchhoff delle correnti e delle tensioni, detti anche primo e secondo principio di Kirchhoff.
Legge di Kirchhoff delle correnti (o primo principio di Kirchhoff)
Si consideri (figura A2.17) il nodo A di una generica rete elettrica, in cui convergono
i bipoli 1, 2, 3, 4, 5, ognuno percorso da corrente nel verso indicato.
2
I2
I1
1
A
I5
I3
3
I4
5
4
Figura A2.17
Legge di Kirchhoff
delle correnti.
In regime stazionario non ci deve essere variazione di carica elettrica nel nodo, in
modo che il suo potenziale rimanga costante e quindi, nello stesso intervallo di tempo,
alla carica che arriva al nodo deve corrispondere una uguale quantità di carica in partenza dallo stesso.
Dato che la carica nell’unità di tempo corrisponde alla intensità di corrente, risulta
evidente che la corrente totale entrante nel nodo (somma delle singole correnti dirette
verso il nodo) deve essere uguale alla corrente totale uscente dal nodo (somma delle
singole correnti dirette dal nodo verso l’esterno).
Quanto sopra costituisce la legge di Kirchhoff delle correnti (KLC: Kirchhoff ’s
Law Currents), così esprimibile:
ÈÈla somma delle correnti dirette verso un nodo di una rete elettrica è uguale alla
somma delle correnti che se ne allontanano.
In forma analitica si ha:
I1 + I 3 + I 4 = I 2 + I 5
[A2.1]
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
38
Portando tutti i termini al primo membro, l’equazione [A2.1] diventa:
I1 − I 2 + I 3 + I 4 − I 5 = 0
[A2.2]
in cui le varie correnti compaiono in valore e segno, positive quelle entranti e negative
quelle uscenti.
Poiché cambiando segno a tutti i termini l’equazione [A2.2] rimane soddisfatta, si
ha anche:
− I1 + I 2 − I 3 − I 4 + I 5 = 0
[A2.3]
in cui figurano come negative le correnti entranti e con segno positivo quelle uscenti.
Le considerazioni precedenti consentono di esprimere la legge di Kirchhoff delle
correnti anche nel modo seguente:
ÈÈattribuendo un verso arbitrario alle correnti che confluiscono in un nodo, la
somma algebrica delle varie intensità di corrente deve essere nulla.
L’arbitrarietà del verso è giustificata dall’equivalenza delle espressioni [A2.2] e
[A2.3].
È evidente però che, in base al regime di funzionamento della rete, i versi delle varie correnti sono definiti. Come si vedrà in dettaglio nel Modulo B, riguardante la risoluzione di reti complesse, l’applicazione dei principi di Kirchhoff porta a un sistema di
equazioni aventi come incognite le correnti dei vari lati, risolvendo il quale si determinano, in valore e segno, le varie correnti.
L’esame dei segni dei vari risultati porta alle seguenti conclusioni:
•
•
ESEMPIO
1
per i lati con correnti positive il verso effettivo della corrente corrisponde a quello
arbitrariamente scelto all’atto della scrittura delle equazioni;
per i lati con correnti negative il verso effettivo della corrente è opposto a quello arbitrario.
Calcolare, per la parte di rete di figura A2.18, il valore della corrente nel bipolo 3.
I1 = 0,5 A
1
I2 = 1 A
2
A
I3
3
Figura A2.18
Esempio 1.
■ La corrente I3 dovrà essere senz’altro diretta verso il nodo A, per bilanciare la maggior corrente uscente e, quindi, si avrà:
I1 + I 3 = I 2
da cui:
I 3 = I 2 − I1 = 1 − 0, 5 = 0, 5 A
39
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
Legge di Kirchhoff delle tensioni (o secondo principio di Kirchhoff)
Si consideri la maglia rappresentata nella figura A2.19, formata da cinque generici bipoli, sui quali sono state indicate le polarità delle tensioni.
Se, partendo da un punto generico (per esempio dal nodo A), si effettua un percorso
chiuso secondo un verso di percorrenza arbitrario, orario o antiorario, e si sommano le
tensioni dei singoli bipoli, si ottiene una tensione risultante nulla, in quanto la d.d.p.
elettrico tra un punto e se stesso è necessariamente zero (VAA = 0).
A
+
5
V5
E
–
–
+
1
V4 4
V1
–
+
+
B
V3 +
V2
2
–
–
D
3
Figura A2.19
Legge di Kirchhoff
delle tensioni.
C
Supponendo di percorrere la maglia in senso antiorario e considerando positive
le tensioni dei bipoli che presentano, in base al senso di percorrenza scelto, come
punto d’ingresso il morsetto con tensione positiva e come punto d’uscita quello negativo, si ha:
V1 + V2 − V3 + V4 − V5 = 0
[A2.4]
Cambiando segno a tutti i termini, l’equazione [A2.4] rimane soddisfatta e quindi
si ha anche:
−V1 − V2 + V3 − V4 + V5 = 0
[A2.5]
Il cambiamento di segno equivale a considerare positive le tensioni dei bipoli che
vengono percorsi dal morsetto negativo a quello positivo della tensione e quindi la
scelta della convenzione di segno è indifferente.
L’equazione [A2.5] si ottiene anche percorrendo la maglia in senso orario e adottando la prima convenzione di segno, il che dimostra che anche la scelta del senso di
percorrenza è ininfluente sull’equazione.
Quanto sopra costituisce la legge di Kirchhoff delle tensioni (KLV: Kirchhoff ’s
Law Voltages), così esprimibile:
ÈÈla somma algebrica delle tensioni che agiscono in qualsiasi maglia di una rete
elettrica è uguale a zero.
Nelle espressioni [A2.4] e [A2.5] le tensioni dei singoli bipoli dovranno essere poi
esplicitate, utilizzando le leggi relative ai bipoli stessi, come evidenziato nell’esempio
seguente.
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
40
ESEMPIO
2
Scrivere l’equazione di Kirchhoff delle tensioni per la maglia di figura A2.20.
A
E1
+
–
+
R3
–
I3
R1
–
I1
+
I2
C
Figura A2.20
Esempio 2.
–
+
E2
+
R2
–
B
■ Nello schema in esame i tre lati della maglia sono costituiti da generatori ideali di tensione e
da resistori; per questi bipoli valgono le seguenti regole:
•
•
le tensioni dei generatori ideali sono già definite in valore e segno, dato che corrispondono
alle f.e.m.;
le tensioni dei resistori sono date dai prodotti V = RI, con il segno positivo nel morsetto in
cui entra la corrente (convenzione di segno degli utilizzatori).
Percorrendo la maglia in senso antiorario e considerando positive le tensioni dei bipoli in cui
si entra dal morsetto “+”, l’equazione richiesta è:
E1 − R1 I1 − E2 + R2 I 2 − R3 I 3 = 0
[A2.6]
È interessante osservare che per i resistori aventi corrente con il verso concorde a quello di percorrenza della maglia le relative tensioni figurano nell’equazione con il segno positivo e viceversa.
Dall’esempio precedente si possono ricavare le seguenti regole pratiche per la
scrittura della legge di Kirchhoff delle tensioni:
ÈÈper i generatori ideali di tensione le relative f.e.m. saranno considerate positive
se, in base al verso di percorrenza scelto, si entra dal morsetto positivo del generatore stesso e viceversa;
ÈÈper i resistori le relative tensioni saranno considerate positive se il verso di percorrenza coincide con quello della corrente e viceversa.
Dato che è possibile sempre invertire il segno dei vari termini dell’equazione è corretta anche la scelta opposta; nel prosieguo del testo, per evitare confusioni, le equazioni delle tensioni verranno scritte con le convenzioni sopra indicate.
A2.7 Tensione tra due punti
Si riconsideri il circuito di figura A2.20 dell’esempio 2. L’equazione [A2.6] può essere
scritta nel modo seguente:
E1 − R1 I1 − E2 + R2 I 2 = R3 I 3
Il secondo membro dell’equazione rappresenta la tensione sul resistore R3, ossia la
tensione tra i punti A e B; data l’uguaglianza dei due membri è evidente che anche il
primo corrisponde alla stessa tensione VAB e quindi si può scrivere:
41
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
VAB = R3 I 3
VAB = E1 − R1 I1 − E2 + R2 I 2
Questo consente di formulare la seguente regola per il calcolo della tensione tra
due punti di una rete elettrica:
ÈÈper calcolare la tensione tra due punti di una rete è necessario scegliere un
percorso qualsiasi che vada dal primo al secondo punto e sommare le tensioni
dei vari bipoli incontrati lungo il percorso, secondo le regole indicate per la
legge di Kirchhoff delle tensioni, ossia considerando positive le f.e.m. dei bipoli attivi quando il primo morsetto incontrato è il “+” e viceversa e positive le
tensioni sui resistori quando il percorso coincide con quello della corrente e
viceversa.
Calcolare la tensione VAC per la rete di figura A2.21, di cui sono già note le f.e.m. dei bipoli attivi e le correnti nei vari lati.
R1
R3
A
I2
I1
B
I5
I4
I3
+
+
E1
R4
R2
E5
ESEMPIO
E1 = 80 V
I1 = 2,75 A
I2 = 1,25 A
I3 = 1,5 A
I4 = 0,5 A
I5 = 1 A
3
R1 = 20 Ω
R2 = 20 Ω
R3 = 10 Ω
R4 = 20 Ω
E5 = 10 V
Figura A2.21
Esempio 3.
C
■ Per andare da A a C sono possibili quattro differenti percorsi e quindi si può calcolare la tensione richiesta in quattro modi differenti, ottenendo sempre lo stesso risultato:
VAC = − R1 I1 + E1 = −20 × 2, 75 + 80 = 25 V
VAC = R2 I 2 = 20 × 1,2
25 = 25 V
VAC = R3 I 3 + R4 I 4 = 10 × 1, 5 + 20 × 0, 5 = 25 V
VAC = R3 I 3 + E5 = 10 × 1, 5 + 10 = 25 V
La scelta del percorso più comodo per calcolare la tensione tra due punti dipende dai dati a
disposizione; nel caso in esame, conoscendo tutte le correnti, era possibile avvalersi di tutti i
percorsi; è evidente che quello che consente il calcolo più immediato è il percorso che comprende il solo resistore R2.
Per la rete di figura A2.22 calcolare la tensione VAB ai capi del generatore ideale di corrente.
A
I2
+
I01
B
ESEMPIO
R1
E1
R2
I01 = 0,5 A
R1 = 50 Ω
E1 = 12 V
R2 = 100 Ω
Figura A2.22
Esempio 4.
4
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
42
■ Il generatore ideale di corrente è un bipolo in cui è definito il valore della corrente, ma non
quello della tensione ai capi, che dipende dal regime di funzionamento del circuito; per questa
ragione non è possibile scegliere come percorso quello comprendente il generatore stesso.
Ricavando la tensione dai due percorsi possibili e tenendo conto che I2 = 0,12 A (E1/R2), si
ottiene:
VAB = R1 I 01 + E1 = 50 × 0, 5 + 12 = 37 V
VAB = R1 I 01 + R2 I 2 = 500 × 0, 5 + 100 × 0,12 = 37 V
A2.8 Bipoli in serie, in parallelo, in serie-parallelo
Si consideri, nel circuito di figura A2.22, il collegamento tra il generatore ideale di corrente
I01 e il resistore R1. Esso è tale che la corrente impressa dal generatore interessa anche il resistore, non essendoci bipoli intermedi in grado di derivare una parte della corrente.
Tale collegamento è detto in serie; in generale si ha che due o più bipoli sono collegati in serie quando sono soggetti alla stessa corrente.
Il collegamento in serie è caratterizzato dall’assenza di nodi tra i vari bipoli, dato
che nei punti intermedi (punto A di figura A2.22) confluiscono sempre due soli bipoli.
Nella figura A2.23 è rappresentata una serie di n bipoli, tutti caratterizzati dalla
stessa corrente I ma da tensioni diverse V1, V2 ,…,Vn e facenti capo ai punti A e B. Nei
riguardi della rete a cui sono collegati il complesso è equivalente a un unico bipolo,
avente come corrente il valore I e come tensione totale la tensione VAB, calcolata col
metodo della tensione tra due punti.
+
A
I
1
V1
+
VAB
2
A
I
V2
VAB
−
Figura A2.23
Serie di n bipoli
e bipolo
equivalente.
n
−
B
Vn
B
Si parla in questo caso di equivalenza esterna, nel senso che è possibile sostituire
a una serie di bipoli un bipolo equivalente avente la stessa tensione e la stessa corrente,
senza modificare il comportamento del circuito esterno.
L’equivalenza non vale ai fini interni: è evidente, infatti, che nel bipolo equivalente
non figurano più le tensioni dei singoli bipoli componenti.
43
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
Si consideri ora, sempre per il circuito di figura A2.22, il collegamento tra il generatore ideale di tensione E1 e il resistore R2.
I due bipoli sono connessi in modo tale che la tensione impressa dal generatore agisce anche sul resistore, ossia sono sottoposti alla stessa tensione.
Tale collegamento è detto in parallelo o in derivazione; in generale si ha che due
o più bipoli sono collegati in parallelo quando sono soggetti alla stessa tensione.
Il collegamento in parallelo è caratterizzato dal fatto che i bipoli sono collegati agli
stessi nodi della rete.
Nella figura A2.24 è rappresentato un parallelo di n bipoli, tutti caratterizzati dalla
stessa tensione V ma da correnti diverse I1, I2 ,…, In e collegati ai nodi A e B. Anche in
questo caso è possibile sostituire il complesso di n bipoli con un unico bipolo equivalente, caratterizzato dalla stessa tensione V e dalla corrente totale I, somma algebrica
della corrente dei singoli bipoli.
I
+
A
In
I1
I2
V
1
I
+
n
2
V
−
−
A
B
B
Figura A2.24
Parallelo di n bipoli
e bipolo
equivalente.
Si definiscono reti di tipo serie-parallelo quelle reti costituite da bipoli tutti collegati in serie o in parallelo; in questi casi si può arrivare al bipolo equivalente mediante successive riduzioni di bipoli in serie o in parallelo.
Non tutte le reti sono di tipo serie-parallelo: un esempio è la rete a ponte di figura A2.25.
A
1
B
2
C
3
4
5
D
In questo caso non è possibile individuare una successione di operazioni di riduzione di tipo serie-parallelo che consenta di arrivare al bipolo equivalente. Nel caso che
i bipoli siano tutti resistori, il bipolo equivalente si può determinare con le trasformazioni stella-triangolo di cui al paragrafo A2.14.
Figura A2.25
Rete a ponte.
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
44
A2.9 Collegamento in serie dei resistori
Si considerino (figura A2.26) n resistori collegati in serie e quindi interessati dalla
stessa corrente I, circolante dal morsetto A al morsetto B in seguito all’applicazione
della tensione V ai capi della serie.
I
A
+
R1
+
V1
–
+
R2
I
A
+
V2
–
Req
V
V
+
Ri
Vi
B
–
–
+
Figura A2.26
n resistori in serie
e resistore
equivalente.
Rn
Vn
–
B
–
Il problema è quello di determinare la resistenza del resistore equivalente alla serie,
ossia di quel resistore che, sottoposto alla stessa tensione, assorbe il medesimo valore di
corrente; l’inserzione del resistore equivalente al posto della serie originaria non comporta variazioni per la rete esterna di alimentazione.
Tenendo conto che le tensioni sui singoli resistori hanno tutte la polarità positiva
nel punto di ingresso della corrente, la tensione totale tra i punti A e B si calcola semplicemente come somma delle tensioni dei singoli resistori:
V = R1 I + R2 I + …
K + Rn I
V = ( R1 + R2 + …
K + Rn ) I
[A2.7]
Applicando la legge di Ohm al resistore equivalente, di resistenza Req, si ottiene:
V = Req I
Resistenza
equivalente
nel collegamento
in serie
[A2.8]
Il confronto tra le espressioni [A2.7] e [A2.8] consente di trovare immediatamente la
formula per il calcolo della resistenza equivalente di una serie di n resistori:
Req = R1 + R2 + K
… + Rn
[A2.9]
Dall’espressione [A2.9] discende la regola:
ÈÈla resistenza equivalente di n resistori in serie è data dalla somma delle resistenze
dei singoli resistori.
45
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
La [A2.9] può anche essere scritta in forma contratta, indicando con Ri la resistenza
del generico termine i-esimo della serie e introducendo il concetto di sommatoria:
n
Req = ∑ Ri
[A2.10]
i =1
Nel caso particolare di n resistori aventi uguale resistenza R, la resistenza equivalente risulta pari a n volte la resistenza di un singolo resistore:
Req = nR
[A2.11]
Serie di n
resistori uguali
Tenendo conto che, per effetto Joule, ogni resistore assorbe dal circuito esterno una
potenza elettrica data dall’espressione [A1.26], le potenze assorbite dai singoli resistori della serie sono pari a:
P1 = R1I 2
P2 = R2I 2
...
Pn = RnI 2
La potenza totale assorbita dalla serie risulta pari a:
Pt = R1 I 2 + R2 I 2 + K
… + Rn I 2 = ( R1 + R2 + K
… + Rn ) I 2
[A2.12]
Pt = Req I 2
[A2.13]
e, quindi:
Potenza totale
della serie
L’espressione [A2.13] porta alla conclusione, a cui si poteva arrivare anche intuitivamente, che:
ÈÈla potenza totale assorbita da un gruppo di resistori in serie è, a parità di corrente,
uguale a quella assorbita dal resistore equivalente.
Calcolare la resistenza equivalente di una serie di tre resistori aventi resistenze pari a 100 Ω,
180 Ω, 220 Ω . Calcolare le potenze assorbite dai singoli resistori e quella totale, supponendo
di applicare alla serie una tensione totale di 15 V.
■ La resistenza equivalente è data da:
Req = R1 + R2 + R3 = 100 + 180 + 220 = 500 Ω
La corrente che interessa tutta la serie è pari a:
I=
V
15
=
= 0, 03 A = 30 mA
Req 500
Le potenze dei singoli resistori sono date da:
P1 = R1 I 2 = 100 × 0, 032 = 0, 09 W = 90 mW P2 = R2 I 2 = 180 × 0, 032 = 0,162 W=162 mW
P3 = R3 I 2 = 220 × 0, 032 = 0,198 W = 198 mW
La potenza totale può essere calcolata nei due seguenti modi, ottenendo il medesimo risultato:
Pt = P1 + P2 + P3 = 90 + 162 + 198 = 450 mW Pt = Req I 2 = 500 × 0,, 032 = 0, 45 W = 450 mW
ESEMPIO
5
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
46
ESEMPIO
6
Una serie di quattro resistori uguali, alimentata con tensione 12 V, assorbe la potenza di 2 W.
Calcolare il valore della resistenza di ogni resistore.
■ Per risolvere il quesito è opportuno modificare la [A2.13], cercando un legame tra la potenza
totale e la tensione.
V
; sostituendo nella [A2.13] e semplificando si ha:
Dalla legge di Ohm si ottiene I =
Req
Pt =
V2
Req
[A2.14]
La formula inversa della [A2.14] consente di ricavare la resistenza equivalente:
Req =
V 2 12 2
=
= 72 Ω
2
Pt
Trattandosi di quattro resistenze uguali, la resistenza di ogni resistore è
R=
Req
4
=
1
di quella totale:
4
72
= 18 Ω
4
A2.10 Regola del partitore di tensione
Si riconsideri la serie di figura A2.26, con lo scopo di calcolare la tensione ai capi di un
qualsiasi resistore. Applicando la legge di Ohm a un generico resistore della serie (termine i-esimo), si ha:
Vi = Ri I
Ricavando la corrente dalla [A2.8] e sostituendo si ha:
V
Vi = Ri
Req
ossia:
Tensione ai capi
di un generico
resistore
della serie
Vi = V
Ri
R1 + R2 + …
K + Rn
[A2.15]
L’espressione [A2.15] consente di calcolare la tensione ai capi di un resistore della
serie in funzione della tensione totale e costituisce la regola del partitore di tensione,
così esprimibile:
ÈÈla tensione su un qualsiasi resistore di un gruppo di resistori connessi in serie è pari
alla tensione totale moltiplicata per un coefficiente di riduzione, dato dal rapporto
tra la resistenza del resistore considerato e quella equivalente della serie.
È possibile notare che la tensione è proporzionale alla resistenza e quindi per il collegamento in serie vale la regola che:
ÈÈil resistore di resistenza maggiore è soggetto alla tensione maggiore e viceversa,
ossia la tensione si ripartisce in maniera direttamente proporzionale alle resistenze dei vari elementi della serie.
Nel caso di n resistenze uguali di valore R, l’espressione [A2.15] diventa:
Vi = V
R
nR
47
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
da cui:
V
Vi =
n
[A2.16]
Ripartizione
della tensione
tra n resistori
uguali in serie
e, quindi, la tensione totale si ripartisce in n parti uguali.
Calcolare le tensioni parziali ai capi dei tre resistori dell’esempio 5.
ESEMPIO
7
■ Applicando la regola del partitore di tensione si ha:
V1 = V
R1
100
= 15
= 3V
R1 + R2 + R3
100 + 180 + 220
V3 = V
220
R3
= 6, 6 V
= 15
100 + 180 + 220
R1 + R2 + R3
V2 = V
R2
180
= 15
= 5, 4 V
R1 + R2 + R3
100 + 180 + 220
A2.11 Collegamento in parallelo dei resistori
Si considerino (figura A2.27) n resistori collegati in parallelo tra i nodi A e B e quindi
soggetti tutti alla stessa tensione V, supposta positiva sul morsetto A. Nei singoli resistori, da A verso B, circoleranno delle correnti, la cui somma, per il primo principio di
Kirchhoff, sarà pari alla corrente totale I.
I
A
Figura A2.27
n resistori in
parallelo e resistore
equivalente.
+
I
I2
I1
R1
Ii
R2
Ri
In
Rn
V
Req
A
+
V
–
B
B
–
Anche in questo caso il problema consiste nel determinare la resistenza del resistore
equivalente, che sarà pertanto interessato dalla corrente totale e dalla tensione V comune a tutti i resistori.
Utilizzando le conduttanze dei vari resistori si ottiene la corrente totale:
I = I1 + I 2 + …
K + I n = G1V + G2V + K
… + GnV
I = ( G1 + G2 + K
… + Gn )V
[A2.17]
Applicando la stessa legge al resistore equivalente, di conduttanza Geq, si ottiene:
I = GeqV
[A2.18]
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
48
Il confronto tra la [A2.17] e la [A2.18] consente di esprimere la conduttanza equivalente in funzione delle conduttanze dei singoli resistori:
Conduttanza
equivalente
nel collegamento
in parallelo
Geq = G1 + G2 + …
K + Gn
[A2.19]
Dall’espressione [A2.19] discende la regola:
ÈÈla conduttanza equivalente di n resistori in parallelo è data dalla somma delle
conduttanze dei singoli resistori.
Indicando con Gi la conduttanza del termine i-esimo del parallelo, si ha anche:
n
Geq = ∑ Gi
[A2.20]
i =1
Nel caso particolare di n resistori aventi uguale conduttanza G, la conduttanza
equivalente risulta pari a n volte la conduttanza di un singolo resistore:
Conduttanza
equivalente
di n resistori
uguali in parallelo
Geq = nG
[A2.21]
Nota la conduttanza equivalente, è immediato il calcolo della resistenza equivalente, utilizzando l’espressione generale:
Req =
1
Geq
Volendo comunque esprimere la resistenza equivalente in funzione delle singole resistenze, si può esplicitare la formula precedente, ottenendo:
Resistenza
equivalente
nel collegamento
in parallelo
Req =
1
K + Gn
G1 + G2 + …
Req =
1
1
1
1
+
+ ... +
R1 R2
Rn
[A2.22]
Nel caso di n resistori uguali, dalla [A2.21] si ottiene facilmente:
Req =
1
1
1
=
=
Geq nG n 1
R
da cui:
Parallelo
di n resistori
uguali
Req =
R
n
[A2.23]
L’espressione [A2.23] mostra che
ÈÈla resistenza equivalente di n resistori uguali in parallelo è pari alla resistenza di
un singolo resistore diviso il numero di rami del parallelo.
Particolarmente importante è il caso di due resistori in parallelo, di resistenze R1 e
R2. Dall’espressione [A2.22] si ricava:
49
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
Req =
1
1
=
1
1
R1 + R2
+
R1 R2
R1 R2
Req =
R1 R2
R1 + R2
[A2.24]
Resistenza
equivalente
di due resistori
in parallelo
Utilizzando l’espressione [A1.29], le potenze assorbite dai singoli resistori del
parallelo sono pari a:
P2 = G2V 2
P1 = G1V 2
…
Pn = GnV 2
La potenza totale assorbita dal parallelo sarà quindi uguale a:
Pt = G1V 2 + G2V 2 + K
… + Gn )V 2
… + GnV 2 = (G1 + G2 + K
[A2.25]
Pt = GeqV 2
[A2.26]
e, pertanto:
Potenza totale
del parallelo
L’espressione [A2.26] porta alla conclusione che la potenza totale assorbita da un
gruppo di resistori in parallelo è, a parità di tensione, uguale a quella del resistore
equivalente.
La regola enunciata, verificata sia per il collegamento in serie che per quello in
parallelo, ha validità generale e si può così esprimere:
ÈÈla potenza totale di un gruppo di resistori, pari alla somma delle singole potenze, è
uguale a quella del resistore equivalente, qualunque sia il collegamento dei resistori.
Calcolare la resistenza equivalente di tre resistori in parallelo, aventi resistenze pari a 1,2 kΩ,
1,8 kΩ, 3,6 kΩ; supponendo di applicare al parallelo la tensione V = 48 V, calcolare le potenze
assorbite dai singoli resistori e quella totale.
ESEMPIO
8
■ Le conduttanze dei vari resistori sono uguali a:
G1 =
1
1
=
= 0, 833 × 10 −3 S
R1 1, 2 × 10 3
G2 =
1
1
=
= 0, 556 × 10 −3 S
R2 1, 8 × 10 3
G3 =
1
1
=
= 0, 278 × 10 −3 S
R3 3, 6 × 10 3
Applicando la [A2.19] si ottiene:
Geq = G1 + G2 + G3 = (0, 833 + 0, 556 + 0, 278 ) × 10 −3 = 1, 667 × 10 −3 S
e, quindi:
Req =
1
1
=
= 600 Ω
Geq 1, 667 × 10 −3
Allo stesso risultato si arriva operando con le resistenze, mediante la formula [A2.22]:
Req =
1
1
1
3, 6
=
=
==
= 0, 6 kΩ = 600 Ω
1
1
1
1
1
1
3+ 2 +1
6
+
+
+
+
R1 R2 R3 1, 2 1, 8 3, 6
3, 6
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
50
Le potenze assorbite dai singoli resistori sono date da:
P1 = G1V 2 = 0, 833 × 10 −3 × 48 2 = 1, 92 W
P2 = G2V 2 = 0, 556 × 10 −3 × 48 2 = 1, 28 W
P3 = G3V 2 = 0, 278 × 10 −3 × 48 2 = 0, 64 W
e, quindi, la potenza totale è pari a:
Pt = P1 + P2 + P3 = 1,92 + 1,28 + 0,64 = 3,84 W
Allo stesso risultato si perviene applicando la formula [A2.26]:
Pt = GeqV 2 = 1, 667 × 10 −3 × 48 2 = 3, 84 W
ESEMPIO
9
Quattro resistori uguali, connessi in parallelo e alimentati con tensione 20 V, assorbono una potenza totale di 16 W. Calcolare il valore della resistenza di ogni resistore.
■ Applicando le formule inverse ricavabili dalla [A2.26] e della [A2.21] si ottiene:
Geq =
16
Pt
=
= 0, 04 S
V 2 20 2
G=
Geq
n
=
0, 04
= 0, 01 S
4
e, quindi, la resistenza di ogni resistore è data da:
R=
1
1
=
= 100 Ω
G 0, 01
A2.12 Regola del partitore di corrente
Si riconsideri il parallelo di figura A2.27, con l’intento di calcolare la corrente che interessa un generico resistore. Applicando la legge di Ohm (espressione [A1.10]) al termine i-esimo del parallelo, si ha:
I i = GiV
Ricavando la tensione dalla [A2.18] e sostituendo si ottiene:
I i = Gi
I
Geq
ossia:
Corrente in un
generico resistore
del parallelo
Ii = I
Gi
G1 + G2 + K
… + Gn
[A2.27]
L’espressione [A2.27] consente di calcolare la corrente in un ramo del parallelo in
funzione della corrente totale e costituisce la regola del partitore di corrente, così
esprimibile:
ÈÈla corrente in un qualsiasi resistore di un gruppo di resistori connessi in parallelo
è pari alla corrente totale moltiplicata per un coefficiente di riduzione, dato dal rapporto tra la conduttanza del resistore considerato e quella equivalente del parallelo.
Si può notare che la corrente è proporzionale alla conduttanza e quindi, per il collegamento in parallelo, vale la regola che:
ÈÈil resistore di conduttanza maggiore (ossia di resistenza minore) è interessato dalla
corrente maggiore e viceversa.
Nel caso di due soli resistori in parallelo (arco doppio) è possibile ricavare due formule operative molto usate in pratica, utilizzando l’espressione [A2.24]. Con semplici
passaggi si ottiene:
51
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
1
1
1
G1
R1
R1
=I
=I
=I
I1 = I
R1 + R2
1
Geq
⎛ R + R2 ⎞
R1 ⎜ 1
Req
R1 R2
⎝ R1 R2 ⎟⎠
e, infine:
I1 = I
R2
R1 + R2
[A2.28]
Regola
del partitore
di corrente
nel caso
di due resistori
In modo analogo si ricava la corrente nell’altro resistore:
I2 = I
R1
R1 + R2
[A2.29]
L’esame delle espressioni [A2.28] e [A2.29] consente di formulare la seguente
regola:
ÈÈla corrente in uno dei due rami di un arco doppio è data dalla corrente totale per
il rapporto di riduzione tra la resistenza dell’altro ramo e la somma delle due resistenze.
Nel caso di n resistenze uguali di valore R, l’espressione [A2.27] diventa:
Ii = I
G
nG
da cui:
I
Ii =
n
[A2.30]
Ripartizione
della corrente
tra n resistori
uguali in parallelo
e, quindi, la corrente totale si ripartisce in n parti uguali.
Calcolare le correnti parziali nei tre resistori dell’esempio 8.
■ La corrente totale è data da:
I = GeqV = 1, 667 × 10 −3 × 48 = 80 mA
Applicando la regola del partitore di corrente si ha:
I1 = I
G1
0, 833 × 10 −3
= 80
= 40 mA
G1 + G2 + G3
( 0, 833 + 0, 556 + 0, 278 ) 10 −3
I2 = I
G2
0, 556 × 10 −3
= 80
= 26, 7 mA
G1 + G2 + G3
( 0, 833 + 0, 556 + 0, 278 ) 10 −3
I3 = I
G3
0, 278 × 10 −3
= 80
= 13, 3 mA
G1 + G2 + G3
( 0, 833 + 0, 556 + 0, 278 ) 10 −3
ESEMPIO
10
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
52
A2.13 Risoluzione dei circuiti con resistori
in serie-parallelo
Per un circuito comprendente solo resistori collegati in serie o in parallelo e alimentato
su una coppia di morsetti, il calcolo della resistenza equivalente, delle correnti e delle
tensioni dei singoli resistori si può effettuare con un algoritmo di calcolo composto dai
seguenti passi:
• analisi della rete, con l’individuazione dei collegamenti tra i bipoli;
• riduzione al resistore equivalente dei gruppi di bipoli per i quali è stato individuato
il collegamento, fino ad arrivare a un unico bipolo;
• schematizzazione dei circuiti derivanti dalle varie riduzioni effettuate;
• calcolo delle correnti e delle tensioni per i vari circuiti equivalenti, partendo dall’ultimo, fino a risolvere completamente la rete; per tale calcolo si utilizzano la legge di
Ohm, i principi di Kirchhoff e le regole del partitore di tensione e di corrente.
I seguenti esempi hanno lo scopo di chiarire quanto indicato.
ESEMPIO
Data la rete resistiva di figura A2.28 calcolare la resistenza equivalente tra i morsetti A e B;
calcolare inoltre le correnti e le tensioni nei vari resistori quando VAB = 50 V.
11
+
A
I
R2
C
+
V2
I2
–
I1
R1
V1
–
+
R2
I1
+
V1
V2
I2
–
V5
R7
V7
–
I5
R3 = 30 Ω
R4 = R5 = 120 Ω
R6 = 40 Ω
R7 = 80 Ω
–
+
I3
+
V3
R3
–
E
+
V45
–
R45
B
R5
D
–
–
V4
+
R2 = 10 Ω
F
C
R1
+
R1 = 50 Ω
■ L’esame della rete mostra che:
• la corrente totale I si ripartisce, in corrispondenza del nodo C, nelle correnti I1 e I2;
• nel nodo D la corrente I2 si divide nelle correnti I3 e I67;
• la corrente I3 si divide, a sua volta, nelle correnti I4 e I5 (nodo E); le due correnti sono uguali,
essendo R4 = R5;
• i resistori R6 e R7 sono in serie, in quanto interessati dalla stessa corrente I67;
• i resistori R4 e R5 sono in parallelo, soggetti alla stessa tensione VEF = V4 = V5.
Eseguendo queste prime riduzioni si ottiene lo schema di figura A2.29 a, in cui non compaiono più le tensioni V6 e V7 e le correnti I4 e I5.
+
VAB
V6
–
+
R4
B
Figura A2.29 a, b
Successive riduzioni
del circuito di
figura A2.28.
I
R6
–
–
I4
Figura A2.28
Esempio 11.
+
V3
E
–
A
I3
+
R3
+
VAB
I67
D
F
R67
A
I
R2
C
+
I67
I1
+
+
V67
VAB R1
V1
V2
I2
D
–
+
V37
R37
–
–
a)
B
–
F
b)
53
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
+
I
A
I2
C
+
I
A
I1
+
VAB
R1
+
V1
R27
–
–
B
VAB
V27
Req
–
F
–
c)
B
d)
Osservando la nuova rete si può notare che:
•
•
i resistori R3 ed R45 sono in serie, in quanto percorsi dalla stessa corrente I3;
la serie precedente è in parallelo col resistore R67, in quanto ambedue soggetti alla tensione
VDF.
Effettuando queste riduzioni si ottiene lo schema di figura A2.29 b, dal quale risulta che i
resistori R2 ed R37 sono in serie in quanto interessati dalla stessa corrente I2.
Si ottiene quindi lo schema di figura A2.29 c, in cui i resistori R1 ed R27 sono in parallelo
perché soggetti entrambi alla tensione VAB = VCF e quindi possono essere ridotti alla resistenza
equivalente Req (figura A2.29 d).
Applicando le regole di riduzione valide per il collegamento in serie e per quello in parallelo
si ottiene:
R67 = R6 + R7 = 40 + 80 = 120 Ω
R45 =
120
R4 R5
R
= 4 =
= 60 Ω
2
2
R4 + R5
R35 = R3 + R45 = 30 + 60 = 90 Ω
R37 =
90 × 120
R35 R67
=
= 51, 4 Ω
R35 + R67 90 + 120
R27 = R2 + R37 = 10 + 51, 4 = 61, 4 Ω
Req =
50 × 61, 4
R1 R27
=
= 27, 56 Ω
R1 + R27 50 + 61, 4
Per il calcolo delle correnti e delle tensioni parziali si procede a ritroso, partendo dall’ultimo circuito ottenuto e applicando le leggi viste finora (legge di Ohm, regole di partizione).
Dallo schema di figura A2.29 d si ricava la corrente totale:
I=
VAB
50
=
= 1, 814 A
Req 27, 56
Applicando la legge di Ohm agli schemi c e b di figura A2.29 si ottiene:
I1 =
VCF VAB 50
=
=
=1A
R1
R1 50
V1 = VCF = VAB = 50 V
I2 =
50
VCF
=
= 0,814 A
R27 61,4
V2 = R2 I 2 = 10 × 0, 814 = 8,14 V
VDF = V37 = R37 I 2 = 51, 4 × 0, 814 = 41, 84 V
La risoluzione del circuito di figura A2.29 a porta ai seguenti risultati:
41, 84
V
41, 84
V
= 0, 349 A
I 6 = I 7 = I 67 = DF =
= 0, 465 A
I 3 = DF =
120
R67
90
R35
V3 = R3 I 3 = 30 × 0, 465 = 13, 95 V
V4 = V5 = V45 = R45 I 3 = 60 × 0, 465 = 27, 9 V
Ritornando, infine, allo schema di figura A2.28 si calcolano le ultime grandezze incognite:
Figura A2.29 c, d
Successive riduzioni
del circuito di figura
A2.28.
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
54
I4 = I5 =
I 3 0, 465
=
= 0, 2325 A
2
2
V6 = R6 I 67 = 40 × 0, 349 = 13, 96 V
V7 = R7 I 67 = 80 × 0, 349 = 27, 92 V
È possibile effettuare il controllo dei risultati ottenuti; nel caso in esame il primo principio
di Kirchhoff non è stato usato per la risoluzione e può quindi essere utilizzato per la verifica, ottenendo le seguenti identità:
•
•
•
nodo C:
I = I1 + I 2
1, 814 = 1 + 0, 814
nodo D:
I 2 = I 3 + I 67
nodo F:
I1 + I 4 + I 5 + I 67 = I
1, 814 = 1, 814
0, 814 = 0, 814
0, 814 = 0, 465 + 0, 349
1 + 0, 2325 + 0, 2325 + 0, 349 = 1, 814
1, 814 = 1, 814
Un altro modo per verificare i risultati ottenuti è quello di calcolare la tensione nota VAB scegliendo un percorso opportuno sul circuito originario; tenendo presente che VAC e VFB sono entrambe nulle perché relative a corto circuiti ideali, si ha:
VAB = VAC + R2 I 2 + R6 I 67 + R7 I 67 + VFB = 0 + 10 × 0, 814 + 40 × 0, 349 + 80 × 0, 349 + 0 = 50 V
ESEMPIO
Calcolare la resistenza equivalente, le correnti e le tensioni dei singoli bipoli per il circuito
di figura A2.30.
12
I7 = 1,2 A R1 = 20 Ω
R2 = 30 Ω R3 = 60 Ω
R4 = 30 Ω
R5 = R6 = 50 Ω
R7 = 40 Ω
+
R1
A
+
I1
C
V1 –
R2
I4
+
I23
+
V2
R4
–
VAB
R3
V4
+
R5
V3
–
I5
–
R6
V7
R7
+
V5
–
Figura A2.30
Esempio 12.
+
–
D
+
I7
–
V6
–
I6
E
B
■ L’esame della rete consente di individuare i collegamenti di seguito indicati e di ridurre progressivamente il circuito secondo gli schemi della figura A2.31 a, b, c:
•
•
•
•
Figura A2.31 a, b, c
Successive riduzioni
del circuito
di figura A2.30.
+
I1
R1
A
+
V1
collegamento in serie di R2 ed R3 (riduzione alla R23);
collegamento in parallelo di R5 ed R6, il tutto in serie con R4 (riduzione alla R46);
collegamento in parallelo tra R23, R46 ed R7 (riduzione alla R27);
collegamento in serie tra R1 ed R27, con riduzione finale alla Req .
C
–
I4
I23
+
VAB
R23
V23
V46
R46
a)
B
–
E
+
V1
C
+
–
A
I1
+
+
R7
I1
R1
A
I7
+
–
–
+
VAB
V7
V27
R27
VAB
–
–
–
b)
B
E
–
c)
B
Req
55
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
Eseguendo i calcoli si ottiene:
R46 = R4 + ( R5 /// R6 ) = 30 +
R23 = R2 + R3 = 30 + 60 = 90 Ω
R27 =
50
= 55 Ω
2
1
1
1
=
=
= 18, 42 Ω
1
1
1
1
1
1
0
,
0543
+
+
+
+
R23 R46 R7
90 55 40
Req = R1 + R27 = 20 + 18, 42 = 38, 42 Ω
In questo caso, non essendo nota la tensione VAB ma la corrente I7, si deve partire da R7,
ottenendo:
V
48
= 0,873 A
I 4 = CE =
VCE = V7 = R7 I7 = 40 × 1,2 = 48 V
R46 55
I5 = I6 =
I 4 0,873
=
= 0,4365 A
2
2
I2 = I3 = I23 =
VCE 48
=
= 0,533 A
R23 90
I1 = I23 + I 4 + I7 = 0,533 + 0,873 + 1,2 = 2,606 A
V1 = R1 I1 = 20 × 2,606 = 52,12 V
V2 = R2 I23 = 30 × 0,533 = 16 V
V3 = R3 I23 = 60 × 0,533 = 32 V
V4 = R4 I 4 = 30 × 0,873 = 26,2 V
V5 = V6 = R5 I5 = 50 × 0,4365 = 21,8 V
VAB = Req I1 = 38,42 × 2,606 = 100 V
A2.14 Resistori collegati a stella e a triangolo
Nel paragrafo A2.8 era stato già anticipato che vi sono dei collegamenti tra bipoli
non riconducibili a quelli in serie e in parallelo, portando come esempio la rete a
ponte, indicata nella figura A2.25.
Dal suo esame si vede che i bipoli 1, 3 e 4 hanno un terminale in comune (nodo B)
e gli altri collegati a tre nodi distinti (nodi A, C, D); lo stesso collegamento è riscontrabile per i bipoli 2, 3 e 5.
Considerando invece i bipoli 1, 2, 3, si vede che essi costituiscono un circuito
chiuso a tre lati, i cui vertici sono collegati a tre nodi della rete (A, B, C); lo stesso
tipo di collegamento si ha anche per i bipoli 3, 4, 5.
Nel caso di tre bipoli resistivi si possono introdurre i due seguenti tipi di collegamento tra resistori:
collegamento a stella, quando i resistori hanno tre dei loro terminali uniti assieme
a creare il centro stella O e gli altri tre sono connessi a tre diversi nodi della rete,
come indicato nella figura A2.32 a, b, c;
•
A
A
RA
A
Figura A2.32 a, b, c
Esempi di resistori
collegati a stella.
B
RA
RA
RB
RB
RC
O
O
RB
B
O
RC
C
B
a)
C
b)
C
c)
RC
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
56
collegamento a triangolo, quando i resistori hanno i terminali connessi uno di seguito all’altro a formare un circuito chiuso a tre lati (triangolo), i cui vertici sono
collegati a tre diversi nodi della rete, come indicato nella figura A2.33 a, b, c.
•
RCA
RAB
C
RAB
B
B
A
RCA
RBC
B
RBC
Figura A2.33 a, b, c
Esempi di resistori
collegati a triangolo.
RAB
A
A
C
a)
RBC
RCA
b)
c)
C
Nella valutazione del tipo di collegamento occorre fare bene attenzione ai nodi:
nello schema di figura A2.33 c, per esempio, se al punto B non fosse collegato alcun altro bipolo, lo stesso non sarebbe un nodo e quindi il collegamento sarebbe di tipo serie-parallelo (RAB in serie con RBC e il complesso in parallelo con RCA).
Per la risoluzione delle reti resistive occorre spesso sostituire a un gruppo di resistori a stella l’equivalente gruppo collegato a triangolo o viceversa; tale sostituzione è
corretta se i due gruppi sono equivalenti, ossia se il regime di funzionamento della rete
resta invariato.
Per ricavare le relazioni che consentono di trasformare un collegamento a stella in uno
equivalente a triangolo e viceversa, rispettando il principio precedentemente esposto, occorre che la resistenza equivalente valutata rispetto alla medesima coppia di morsetti sia
la stessa per il collegamento a stella e per quello a triangolo.
Considerando, per esempio, la coppia di morsetti A-B, le corrispondenti resistenze equivalenti possono essere dedotte dagli schemi delle figure A2.34 a, b, sui
quali sono indicati anche i percorsi delle correnti che l’eventuale generatore esterno
farebbe circolare nei resistori e da cui si vede che i resistori RA ed RB sono in serie,
mentre nel triangolo vi sono due rami in parallelo, costituiti dal resistore RAB e dalla
serie RCA ed RBC.
A
A
+
RA
G
Figura A2.34 a, b
Resistenza vista dai
morsetti A-B per i
collegamenti a
stella e a triangolo.
+
RCA
G
RAB
O
C
a)
RC
RB
)
C
B
RBC
B
b)
Ripetendo il ragionamento per le altre due coppie di terminali si ottengono le seguenti espressioni per le resistenze viste dalle tre coppie di morsetti:
• collegamento a stella:
RB-C = RB + RC
RC-A = RC + RA
RA-B = RA + RB
57
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
•
collegamento a triangolo:
RA-B =
RAB ( RBC + RCA )
RAB + RBC + RCA
RB-C
C =
RBC ( RCA + RAB )
RAB + RBC + RCA
RC-AA =
RCA ( RAB + RBC )
RAB + RBC + RCA
Uguagliando tra loro le espressioni delle resistenze viste dalle corrispondenti coppie di morsetti, si ottiene il seguente sistema di tre equazioni:
RAB ( RBC + RCA )
⎧
⎪ RA + RB = R + R + R
AB
BC
CA
⎪
⎪
R ( R + RAB )
⎪ RB + RC = BC CA
⎨
RAB + RBC + RCA
⎪
⎪
RCA ( RAB + RBC )
⎪ RC + RA = R + R + R
AB
BC
CA
⎪
⎩
[A2.31]
Condizioni
di equivalenza
tra i collegamenti
a stella
e a triangolo
Trasformazione da triangolo a stella
In questo caso sono note le tre resistenze del triangolo; risolvendo il sistema [A2.31]
considerando come incognite le resistenze RA, RB ed RC, si ottengono le resistenze della
stella equivalente al triangolo dato:
⎧
RCA RAB
⎪ RA = R + R + R
AB
BC
CA
⎪
⎪
RAB RBC
⎨ RB =
RAB + RBC + RCA
⎪
⎪
RBC RCA
⎪ RC =
R
RBC + RCA
+
AB
⎩
[A2.32]
Per ricordare facilmente le relazioni [A2.32] e, nello stesso tempo, svincolarsi dai
particolari simboli usati per indicare le resistenze, vale la seguente regola, che si può
dedurre osservando la struttura delle espressioni:
ÈÈla resistenza relativa a un nodo della stella è data dal rapporto tra il prodotto delle
resistenze dei lati del triangolo equivalente che confluiscono in quel nodo e la
somma delle resistenze del triangolo.
Trasformazione da stella a triangolo
In questo caso sono note le tre resistenze della stella; risolvendo il sistema [A2.31] considerando come incognite le resistenze RAB, RBC, RCA, si ottengono le resistenze del
triangolo equivalente alla stella data:
Resistenze
dei lati
della stella
in funzione
di quelle
del triangolo
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
58
⎧
RA RB + RB RC + RC RA
⎪ RAB =
RC
⎪
⎪
RA RB + RB RC + RC RA
⎨ RBC =
RA
⎪
⎪
RA RB + RB RC + RC RA
⎪ RCA =
RB
⎩
Resistenze
dei lati
del triangolo
in funzione
di quelle
della stella
[A2.33]
Esiste anche in questo caso una regola pratica per ricordare le relazioni [A2.33], indipendentemente dai simboli usati per indicare le resistenze:
ÈÈla resistenza di un lato del triangolo è data dal rapporto tra la somma dei prodotti
delle coppie di resistenze della stella equivalente e la resistenza del ramo della
stella che fa capo al vertice opposto al lato in esame.
Caso particolare di tre resistenze uguali
In questo caso particolare sia la stella che il triangolo sono formati da tre resistenze di
uguale valore tra loro. Indicando con:
RY = RA = RB = RC
le tre resistenze della stella e con:
RD = RAB = RBC = RCA
le tre resistenze del triangolo equivalente, l’applicazione di una qualsiasi delle relazioni
[A2.32] consente di ottenere il legame tra le due resistenze equivalenti:
RY =
Trasformazioni
stella-triangolo
nel caso
di tre resistori
uguali
RD RD
R2
= D
RD + RD + RD 3RD
RD
3
[A2.34]
RD = 3RY
[A2.35]
RY =
e, quindi:
Vale pertanto la seguente regola:
ÈÈtre resistori di uguale resistenza collegati a stella sono equivalenti a tre resistori
a triangolo aventi resistenza tripla.
ESEMPIO
13
Calcolare la resistenza equivalente della rete resistiva di figura A2.35.
■ Il circuito è composto dal resistore R1 in serie con una rete a ponte, per la quale si possono
individuare i seguenti collegamenti:
•
•
•
•
R2, R4, R5 collegate a stella
R3, R4, R6 collegate a stella
R2, R3, R4 collegate a triangolo
R4, R5, R6 collegate a triangolo
Per il calcolo della resistenza equivalente si può effettuare la trasformazione di uno qualsiasi
59
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
R1
A
R2
R3
R4
B
C
R1 = 5 Ω
R3 = 12 Ω
R5 = 25 Ω
R2 = 20 Ω
R4 = 16 Ω
R6 = 30 Ω
R6
R5
Figura A2.35
Esempio 13.
D
dei precedenti gruppi, ottenendo, ovviamente, lo stesso risultato. A titolo di esempio si risolverà
il problema nei quattro modi possibili.
A) Trasformazione della stella R2-R4-R5
Sostituendo la stella indicata con il triangolo equivalente si ottiene lo schema di figura A2.36 a.
Riducendo i collegamenti in parallelo RAC -R3 e RCD -R6 si arriva allo schema di figura A2.36 b,
per il quale i collegamenti sono facilmente riconoscibili.
R1
R1
A
A
RAC
R3
RDA
RDA
C
R6
RCD
D
a)
R3AC
R6CD
b)
D
Eseguendo i relativi calcoli si ha:
RAC =
R2 R4 + R4 R5 + R5 R2 20 × 16 + 16 × 25 + 25 × 20 12220
= 48, 8 Ω
=
=
25
25
R5
RCD =
RDA =
Req = R1 +
R2 R4 + R4 R5 + R5 R2 1220
=
= 61 Ω
20
R2
R2 R4 + R4 R5 + R5 R2 1220
=
= 76, 25 Ω
16
R4
R3 AC =
12 × 48, 8
R3 RAC
=
= 9, 63 Ω
R3 + RAC 12 + 48, 8
R6CD =
30 × 61
R6 RCD
=
= 20,11 Ω
R6 + RCD 30 + 61
RDA ( R3 AC + R6 CD )
76, 25 ( 9, 63 + 20,11)
= 5+
= 26, 4 Ω
RDA + R3 AC + R6 CD
76, 25 + 9, 63 + 20,11
Figura A2.36 a, b
Soluzione A:
trasformazione
del circuito di
figura A2.35.
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
60
B) Trasformazione della stella R3-R4-R6
Sostituendo la stella indicata con il triangolo equivalente si ottiene lo schema di figura A2.37 a.
Riducendo i collegamenti in parallelo RAB-R2 e RBD-R5 si arriva allo schema di figura A2.37 b,
con collegamenti serie-parallelo facilmente riducibili.
A
A
R1
R1
R2
R2AB
RAB
RDA
RDA
B
Figura A2.37 a, b
Soluzione B:
trasformazione del
circuito di
figura A2.35.
RBD
R5
R5BD
D
a)
D
b)
Eseguendo i calcoli relativi alle trasformazioni indicate si ha:
RAB =
R3 R4 + R4 R6 + R3 R6 12 × 16 + 16 × 30 + 12 × 30 10332
= 34, 4 Ω
=
=
30
30
R6
RBD =
RDA =
R3 R4 + R4 R6 + R3 R6 1032
=
= 86 Ω
12
R3
R3 R4 + R4 R6 + R3 R6 1032
=
= 64, 5 Ω
16
R4
R5 BD =
Req = R1 +
R2 AB =
20 × 34, 4
R2 RAB
=
= 12, 65 Ω
R2 + RAB 20 + 34, 4
25 × 86
R5 RBD
=
= 19, 37 Ω
R5 + RBD 25 + 86
( R2 AB + R5 BD ) RDA = 5 + (12, 65 + 19, 37 ) 64, 5 = 26, 4 Ω
R2 AB + R5 BD + RDA
12, 65 + 19, 37 + 64, 5
C) Trasformazione del triangolo R2-R3-R4
Sostituendo il triangolo indicato con la stella equivalente si ottiene lo schema di figura A2.38 a.
Riducendo i collegamenti in serie RB -R5 e RC -R6 si arriva allo schema di figura A2.38 b, dal
quale è semplice calcolare la resistenza equivalente.
R1
A
R1
A
RA
RA
RB
B
Figura A2.38 a, b
Soluzione C:
trasformazione
del circuito
di figura A2.35.
RC
C
R5B
R5
a)
D
R6C
R6
b)
D
61
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
Eseguendo i calcoli relativi alle varie trasformazioni si ha:
20 × 16
R2 R4
=
= 6, 67 Ω
R2 + R3 + R4 20 + 12 + 16
RA =
20 × 12
R2 R3
=
=5Ω
R2 + R3 + R4 20 + 12 + 16
RB =
RC =
12 × 16
R3 R4
=
=4Ω
R2 + R3 + R4 20 + 12 + 16
R5 B = R5 + RB = 25 + 6, 67 = 31, 67 Ω
R6 C = R6 + RC = 30 + 4 = 34 Ω
Req = R1 + RA +
R5 B R6 C
31, 67 × 34
= 26, 4 Ω
= 5+5+
R5 B + R6 C
31, 67 + 34
D) Trasformazione del triangolo R4-R5-R6
Sostituendo il triangolo indicato con la stella equivalente si ottiene lo schema di figura A2.39 a.
Riducendo i collegamenti in serie R2 -RB ed R3-RC si arriva allo schema di figura A2.39 b, dal
quale si determina facilmente la resistenza equivalente.
R1
R1
A
R2
R3
B
A
R2B
R3C
C
RC
RB
RD
RD
D
D
a)
b)
Eseguendo i calcoli relativi alle trasformazioni indicate si ha:
RB =
16 × 25
R4 R5
=
= 5, 63 Ω
R4 + R5 + R6 16 + 25 + 30
RD =
25 × 30
R5 R6
=
= 10, 56 Ω R2 B = R2 + RB = 20 + 5, 63 = 25, 63 Ω
R4 + R5 + R6 16 + 25 + 30
RC =
16 × 30
R4 R6
=
= 6, 76 Ω
R4 + R5 + R6 16 + 25 + 30
R3C = R3 + RC = 12 + 6, 76 = 18, 76 Ω
Req = R1 +
R2 B R3C
25, 63 × 18, 76
+ 10, 56 = 26, 4 Ω
+ RD = 5 +
R2 B + R3C
25, 63 + 18, 76
A2.15 Resistenza tra due punti di una rete
elettrica passiva
Si consideri (figura A2.40 a) una rete elettrica formata soltanto da resistori (bipoli passivi). Se si collega la rete a un generatore elettrico, circolerà una corrente che, a parità
di tensione applicata, dipenderà dalla resistenza presentata dalla rete nei confronti del
sistema esterno di alimentazione, resistenza che varierà in funzione dei punti in cui avviene il collegamento.
Figura A2.39 a, b
Soluzione D:
trasformazione
del circuito di
figura A2.35.
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
62
Si definisce resistenza tra due punti della rete passiva la resistenza elettrica che la rete
presenta verso un generatore esterno collegato nei punti considerati; essa corrisponde al
rapporto V tra la tensione applicata dal generatore e la corrente totale assorbita dalla rete.
I
Considerando, per esempio, le coppie di punti B-C e A-C e supponendo di applicare tra
gli stessi un generatore di tensione con f.e.m. E, i due circuiti si presenteranno come nelle
figure A2.40 b e A2.40 c.
R2
A
I1
R4
B
B
R1
R3
R2
R5
R4
a)
E
I1
E
R3
R5
R1
C
RBC =
+
C
b)
I2
R2
A
R4
B
+
R1
E
R3
R5
RAC =
E
I2
C
c)
Figura A2.40 a, b, c
Resistenza tra due
punti di una rete:
a) rete passiva;
b) rete vista tra
i morsetti B-C;
c) rete vista tra
i morsetti A-C.
Nel caso della figura A2.40 b la rete si presenta con tre rami in parallelo, due dei quali formati da resistori in serie (R1-R2 ed R4-R5), mentre nel circuito di figura A2.40 c la serie
R4-R5 è in parallelo con R3, il bipolo risultante è in serie con R2 e il tutto in parallelo con R1.
ESEMPIO
14
Calcolare le resistenze RBC ed RAC per la rete passiva di figura A2.40, nell’ipotesi che tutte le resistenze siano uguali tra loro e pari a 120 Ω. Supponendo di alimentare la rete con un generatore
di tensione avente E = 15 V, calcolare le correnti assorbite nei due casi.
■ Per il circuito di figura A2.40 b si ottiene:
R12 = R1 + R2 = 120 + 120 = 240 Ω
RBC =
R45 = R4 + R5 = 120 + 120 = 240 Ω
1
1
=
= 60 Ω
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
R12 R3 R45 240 120 240
La corrente che la rete richiede al generatore è uguale a:
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
I1 =
E
15
=
= 0,25 A
RBC 60
Per il circuito di figura A2.40 c si ottiene:
R45 = R4 + R5 = 120 + 120 = 240 Ω
R3-5 =
R3 R45
120 × 240
= 80 Ω
=
R3 + R45 120 + 240
R2-5 = R2 + R3-5 = 120 + 80 = 200 Ω
RAC =
R1 R2-5
120 × 200
=
= 75 Ω
R1 + R2-5 120 + 200
La rete presenta, rispetto al caso precedente, una resistenza maggiore e, di conseguenza, assorbe una minore corrente, data da:
15
E
=
= 0,2 A
I2 =
RAC 75
A2.16 Circuito equivalente del generatore reale
Nel paragrafo A2.5 sono stati introdotti due bipoli ideali chiamati, rispettivamente, generatore ideale di tensione e generatore ideale di corrente.
Si supponga ora di voler ricavare un bipolo che rappresenti un generatore elettrico
reale; occorre tenere presenti i seguenti aspetti:
•
•
un generatore elettrico non è mai solo “di tensione” o solo “di corrente”; esso, in realtà,
fornisce al circuito esterno una potenza elettrica, che esiste solo se vi sono contemporaneamente tensione e corrente; parlare di generatore di tensione o di corrente serve
solo a indicare qual è la grandezza elettrica che viene maggiormente messa in risalto;
all’interno di un generatore reale vi sono dei fenomeni dissipativi dovuti a cause
elettriche, magnetiche e meccaniche e quindi una parte della potenza generata viene
persa all’interno del componente; per tener conto di tale perdita bisogna inserire
una resistenza interna nel circuito equivalente.
Per rappresentare con un circuito equivalente un generatore elettrico reale, funzionante in corrente continua, vengono comunemente usati due modelli, corrispondenti a
due bipoli reali, detti rispettivamente:
•
•
generatore reale di tensione (figura A2.41), formato dalla serie tra un generatore
ideale di tensione e un resistore; esso può anche essere visto come il circuito equivalente serie del generatore;
generatore reale di corrente (figura A2.42), formato dal parallelo tra un generatore ideale di corrente e un resistore; può anche essere visto come il circuito equivalente parallelo del generatore.
+
E
I0
Ri
Ri
Figura A2.41
Generatore reale di tensione.
Figura A2.42
Generatore reale di corrente.
63
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
64
I
+
In entrambi i casi la resistenza Ri ha il significato di resistenza interna del generatore e, insieme alla f.e.m. E o alla corrente impressa I0, dipende dalla costituzione interna dell’apparecchio.
+
E
V
Vi
Ri
–
Figura A2.43
Generatore reale di
tensione collegato
alla resistenza di
carico.
Ru
A2.17 Generatore reale di tensione
Si consideri (figura A2.43) un generatore reale di tensione, collegato a una resistenza
Ru che rappresenta la resistenza equivalente dell’utilizzatore connesso al generatore
(resistenza di carico). Sotto l’azione della f.e.m. nel circuito circolerà una corrente I
che determinerà una caduta di tensione interna Vi nel generatore. La tensione V indica
invece la d.d.p. tra i due morsetti del generatore e corrisponde alla tensione applicata
sulla resistenza di carico.
Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni all’unica maglia presente, si ottiene:
− E + V + Vi = 0
V = E − Vi
e quindi:
V = E − Ri I
[A2.36]
L’espressione [A2.36] dice che in una determinata condizione di carico la tensione
V fornita dal generatore è minore della f.e.m. E; tale differenza corrisponde alla
c.d.t. interna e dipende in maniera direttamente proporzionale dalla corrente erogata e dalla resistenza interna.
L’equazione [A2.36] rappresenta anche, in forma analitica, la caratteristica
esterna del bipolo, ossia la legge V = f (I), considerando costanti i parametri E ed Ri e
utilizzando la convenzione di segno dei generatori.
La [A2.36] è l’equazione di una retta: scrivendola infatti nella forma V = − Ri I + E
e confrontandola con l’equazione caratteristica della retta y = mx + q, si deduce
che (− Ri ) rappresenta il coefficiente angolare ed E l’intercetta sull’asse delle ordinate.
Il tracciamento della caratteristica esterna in forma grafica si può fare considerando
due condizioni tipiche di funzionamento del generatore, corrispondenti ai due punti di
intersezione della retta con gli assi cartesiani.
Funzionamento a vuoto
Si ha quando il generatore non eroga corrente, ossia quando il carico non è collegato (la
resistenza di carico può essere considerata infinita), come indicato nella figura A2.44.
I=0
+
+
+
Ru
E
∞
E
V0 = E
Ri
Ri
I = Icc
V=0
Ru = 0
–
Figura A2.44
Funzionamento a vuoto.
Figura A2.45
Funzionamento in cortocircuito.
Ponendo I = 0 nella [A2.36] si ha che la c.d.t. interna è nulla e la tensione a vuoto
del generatore assume il valore:
65
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
V0 = E
[A2.37]
Tensione a vuoto
Il punto (0, V0 ) della caratteristica esterna indica tale funzionamento.
Funzionamento in cortocircuito
Si ha quando il generatore non fornisce tensione ai morsetti essendo collegato a un cortocircuito ideale (la resistenza di carico può essere considerata nulla), come indicato
nella figura A2.45.
Ponendo V = 0 nella [A2.36] si ha che la tensione interna sviluppata dal generatore
(f.e.m. E) coincide con la c.d.t. interna e la corrente erogata assume il valore della corrente di cortocircuito, che si ricava da:
0 = E − Ri I cc
da cui:
I cc =
E
Ri
[A2.38]
Corrente di
cortocircuito
Il punto (Icc, 0) della caratteristica esterna indica tale funzionamento.
Caratteristica esterna
Tracciando la retta passante per i due punti precedentemente determinati, si ottiene la
caratteristica esterna del bipolo in forma grafica, riportata nella figura A2.46.
V
a vuoto
V0 = E
in cortocircuito
O
Icc = E
Ri
Figura A2.46
Caratteristica
volt-amperometrica
del generatore
reale di tensione.
I
L’esame della figura A2.46 consente di classificare il bipolo in esame come bipolo
attivo lineare, essendo la caratteristica una retta non passante per l’origine.
Punto di lavoro
La determinazione del punto di lavoro del generatore richiede il calcolo della tensione
V e della corrente I corrispondenti a un dato valore della resistenza di carico Ru.
Per la sua determinazione analitica si applica la legge di Ohm al carico, ottenendo:
V = Ru I
[A2.39]
Confrontando l’espressione precedente con la [A2.36] si ha:
Ru I = E − Ri I
Ru I + Ri I = E;
( Ru + Ri ) I = E
Tensione ai capi
del carico
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
66
da cui si ottiene il valore della corrente erogata dal generatore in funzione dei suoi
parametri interni E ed Ri e della resistenza di carico Ru:
Corrente
assorbita
dal carico
I=
E
Ru + Ri
[A2.40]
Il valore della tensione V si calcola con la formula [A2.39] o con la [A2.36].
La determinazione del punto di lavoro può anche essere fatta graficamente, intersecando la caratteristica del generatore con quella del carico, che è una retta passante per
l’origine, disegnata con la convenzione di segno degli utilizzatori (figura A2.47). Dato
che i due bipoli devono avere la stessa tensione e la stessa corrente, il punto di lavoro
non può essere che quello d’intersezione P.
È importante notare che, a parità di altre condizioni, la diminuzione della resistenza
Ru, facendo abbassare la caratteristica del carico, determina lo spostamento del punto
di lavoro del generatore, con l’aumento della corrente e la diminuzione della tensione,
come mostrato nella figura A2.48. Per Ru variabile da infinito a zero il punto P si sposta da quello a vuoto a quello di cortocircuito.
V
V
Ru1
V = Ru I
Ru1 > Ru2 > Ru3
Ru2
P1
P(I,V)
P2
V = E – Ri I
O
P3
I
Figura A2.47
Punto di lavoro del generatore reale di tensione.
Ru3
O
I
Figura A2.48
Spostamento del punto di lavoro al variare di Ru.
Potenze e rendimento
Si consideri l’espressione [A2.36] e la si scriva nella forma:
E = V + Ri I
Moltiplicandone tutti i termini per la corrente si ottiene:
EI = VI + Ri I 2
[A2.41]
Tutti i termini della [A2.41] sono delle potenze elettriche, a cui si possono attribuire
dei precisi significati.
Il termine:
Potenza generata
Pg = EI
[A2.42]
rappresenta la potenza generata dal bipolo, dipendente dalla sua tensione interna E;
essa è la potenza elettrica che il generatore produce tramite la trasformazione della potenza di altro tipo (meccanica, chimica ecc.) che gli viene fornita.
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
67
Il termine:
Pu = VI
[A2.43]
Potenza utile
è invece la potenza utile del generatore, ossia quella che effettivamente esso fornisce
al circuito esterno, dipendente dalla tensione V con cui il generatore alimenta il carico
ai suoi morsetti. Applicando la legge di Ohm al resistore Ru si ha anche:
Pu = Ru I 2
[A2.44]
Potenza utile
Pp = Ri I 2
[A2.45]
Potenza persa
Il termine:
rappresenta, infine, la potenza persa all’interno del generatore, conglobata nella potenza dissipata per effetto Joule dalla resistenza interna Ri. Tale potenza è anche data da:
Pp = Vi I
[A2.46]
La [A2.41] può pertanto essere espressa nella seguente forma:
Pg = Pu + Pp = VI + Ri I 2
[A2.47]
Bilancio
delle potenze
del generatore
e definisce il bilancio delle potenze del generatore reale: la potenza che viene complessivamente generata è somma della potenza effettivamente fornita al carico
esterno (utile) e di quella persa all’interno del generatore.
Dalla [A2.47] si ricavano le formule equivalenti:
Pu = Pg − Pp = EI − Ri I 2
[A2.48]
Pp = Pg − Pu = ( E − V ) I
[A2.49]
Si definisce rendimento del generatore il rapporto tra la potenza utile e quella generata:
η=
Pu
Pg
[A2.50]
Altre formule derivate per il calcolo del rendimento sono le seguenti:
η=
VI V
=
EI E
[A2.51]
Ru I
Ru
η=
=
( Ru + Ri ) I Ru + Ri
η=
Pg − Pp
Pg
= 1−
Pp
Pg
[A2.52]
[A2.53]
Formule
per il calcolo
del rendimento
del generatore
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
68
Il valore del rendimento, essendo un rapporto tra grandezze omogenee, è un numero adimensionato; esso può variare tra 0 e 1, dove si ha:
•
•
η = 0 quando Pu = 0, ossia quando Ru = 0 (funzionamento in cortocircuito);
η = 1 quando Pu = Pg, ossia quando Pp = 0 e quindi Ri = 0 (generatore ideale senza
resistenza interna).
Nel caso del funzionamento a vuoto, non essendoci corrente, tutte le potenze sono
nulle e non ha senso parlare di rendimento.
Spesso il valore del rendimento si esprime percentualmente, moltiplicando per
cento il suo valore decimale; le espressioni del rendimento percentuale si ottengono
facilmente da quelle viste in precedenza:
η% = 100 Espressioni
del rendimento
percentuale
Pu
Pg
⎛
Pp ⎞
η% = 100 ⎜ 1 − ⎟
Pg ⎠
⎝
[A2.54]
[A2.55]
Analisi delle potenze al variare del carico esterno
La condizione di carico del generatore può variare tra i seguenti limiti:
•
•
funzionamento a vuoto, con Ru → ∞, V = V0 = E, I = 0
funzionamento in cortocircuito, con Ru = 0, V = 0, I = Icc = E/Ri
Per rappresentare le potenze in funzione della corrente erogata dal generatore si
consideri che:
• la potenza generata Pg = EI, con E costante, è analoga all’espressione y = mx,
che è l’equazione di una retta passante per l’origine; la potenza generata è
⎛
E2 ⎞
nulla a vuoto ed è massima in cortocircuito ⎜ PgM = EIcc =
Ri ⎠⎟
⎝
•
•
la potenza persa Pp = Ri I 2, con Ri costante, è analoga all’espressione y = ax 2, che è
l’equazione di una parabola con concavità verso l’alto (a > 0), asse coincidente con
quello delle ordinate e con vertice nell’origine; la potenza persa è nulla a vuoto e
massima in cortocircuito, quando coincide con quella generata;
la potenza utile Pu = Pg − Pp è data dalla differenza tra le ordinate delle due curve
precedenti; dalla [A2.48] si ha anche Pu = − Ri I 2 + EI, analoga all’espressione
y = ax2 + bx, che rappresenta una parabola con concavità verso il basso (a < 0) e
passante per l’origine (c = 0); la potenza utile è nulla sia a vuoto che in cortocircuito.
Rappresentando le tre curve in funzione della corrente si ottengono i grafici delle figure A2.49 e A2.50.
Il regime di funzionamento a cui corrisponde il massimo valore di potenza utile
corrisponde alla condizione di adattamento del generatore. Tale condizione di carico
si ha in corrispondenza del vertice della parabola, ossia per una corrente pari a:
Iv =
I cc
E
=
2
2 Ri
come si può facilmente verificare analiticamente mediante le espressioni delle coordinate del vertice.
69
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
P g , Pp
Figura A2.49
Variazione della potenza generata e della potenza persa in un generatore
reale di tensione, al variare della corrente.
Pu
Pg = EI
Pu
Pp = R i I 2
Icc
O
Figura A2.50
Variazione della
potenza
utile in un generatore
reale di tensione,
al variare della
corrente.
I
PuM
O
Iv =
Icc
2
Icc
Confrontando quest’espressione con la [A2.40] si vede che tale regime di funzionamento si ha quando la resistenza di carico è tale da soddisfare la relazione:
Ru + Ri = 2 Ri
Ru = Ri
da cui si ha:
[A2.56]
Condizione
di adattamento
del generatore
Nei circuiti elettronici la condizione di adattamento è molto importante: un generatore è adattato quando è caricato con un circuito esterno di resistenza equivalente a
quella interna del generatore: in tale condizione esso eroga la potenza utile massima.
Nella condizione di adattamento si ha:
Vad = Ru I v = Ru
E
E
E
= Ru
=
2 Ri
2 Ru 2
e, quindi, la massima potenza utile del generatore sarà pari a:
PuM = Vad I v =
E E
2 2 Ri
da cui:
PuM =
E2
4 Ri
[A2.57]
Massimo valore
della potenza
utile
Il rendimento nella condizione di adattamento è dato da:
ηad
E
PuM Vad I v
=
=
= 2
Pg
EI v
E
ossia:
ηad
1
= = 0, 5
2
La condizione di massima potenza utile non è conveniente per i generatori di
grande potenza, dato che, con rendimento 0,5, la potenza utile è solo il 50% di quella
generata e l’altro 50% se ne va in perdite. Nei circuiti elettronici, invece, le potenze in
gioco sono modeste e tale condizione di funzionamento non comporta, in assoluto, fenomeni dissipativi gravi.
Valore
del rendimento
nella condizione
di adattamento
I
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
70
ESEMPIO
15
Un generatore reale di tensione, avente E = 100 V ed Ri = 5 Ω, è collegato a un carico di resistenza Ru = 20 Ω. Calcolarne il punto di lavoro (corrente e tensione), le potenze (generata,
utile, persa) e il rendimento.
■ La risoluzione del problema è immediata; applicando le formule [A2.40], [A2.39], [A2.42],
[A2.43], [A2.45], [A2.50] si ottengono i valori delle grandezze richieste:
I=
E
100
=
=4A
Ru + Ri 20 + 5
V = Ru I = 20 × 4 = 80 V
16
η=
Pp = Ri I 2 = 5 × 4 2 = 80 W
Pu = VI = 80 × 4 = 320 W
ESEMPIO
Pg = EI = 100 × 4 = 400 W
Pu 320
=
= 0, 8
Pg 400
Un generatore reale di tensione, avente E = 10 V ed Ri = 2,5 Ω, eroga al carico a cui è collegato
una potenza pari a 8 W. Calcolarne il punto di lavoro, la resistenza del carico, la potenza generata, quella persa, il rendimento. Determinare il valore della resistenza da collegare in serie
o in parallelo a quella di carico per ottenere la condizione di adattamento del generatore.
■ DallÕesame della figura A2.50 si vede che per ogni valore della potenza utile vi sono due diversi valori della corrente, entrambi possibili, escluso il punto di vertice della parabola, a cui
corrisponde la potenza utile massima e un solo valore di corrente.
Nel caso in esame tale potenza è pari a:
PuM =
10 2
E2
=
= 10 W
4 Ri 4 × 2, 5
La potenza utile erogata al carico (8 W) è inferiore a tale valore e quindi vi saranno due possibili valori della corrente, corrispondenti a due diversi punti di lavoro (figura A2.51).
Pu
10 W
8W
Figura A2.51
Esempio 16.
O
I1
I2
Icc
I
Per il loro calcolo si parte dalla relazione [A2.47] che lega le potenze, ottenendo:
Pg = Pu + Pp
Pg − Pu − Pp = 0
EI − Pu − Ri I 2 = 0
10 I − 8 − 2, 5 I 2 = 0
Cambiando segno e ordinando i vari termini, si arriva alla seguente equazione di secondo
grado:
2, 5 I 2 − 10 I + 8 = 0
risolvendo la quale si ricavano i due valori della corrente:
I1,2 =
5 ± 25 − 20 5 ± 5
=
2, 5
2, 5
e, quindi:
I1 = 1,1 A
I 2 = 2,9 A
Il calcolo delle altre grandezze incognite dovrˆ essere fatto separatamente per le due soluzioni.
71
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
Prima soluzione
Applicando le formule viste nel paragrafo A2.17 si ottiene:
Pu
8
=
= 7, 27 V
I 1,1
Ru =
V 7, 27
=
= 6, 61 Ω
I
1,1
Pp = Ri I 2 = 2, 5 × 1,12 = 3 W
η=
Pu 8
=
= 0, 727
Pg 11
V=
Pg = EI = 10 × 1,1 = 11 W
Essendo Ru > Ri, per ottenere l’adattamento del generatore occorre ridurre la resistenza complessiva del carico. Questo si può ottenere ponendo in parallelo a Ru una resistenza R, tale che
sia soddisfatta la relazione:
RRu
6, 61 R
= Ri
= 2, 5
R + Ru
6, 61 + R
risolvendo la quale si ottiene:
6, 61 R = 16, 525 + 2, 5 R
6, 61 R − 2, 5 R = 16, 525
4,11 R = 16, 525
R=
16, 525
=4Ω
4,11
Seconda soluzione
Procedendo allo stesso modo si ha:
V=
Pu
8
=
= 2, 76 V
I
2, 9
Ru =
Pp = Ri I 2 = 2, 5 × 2, 9 2 = 21 W
V 2, 76
=
= 0, 952 Ω
I
2, 9
η=
Pg = EI = 10 × 2, 9 = 29 W
8
Pu
=
= 0, 276
Pg 29
Si può notare che nel secondo caso il rendimento è piuttosto basso e la maggior parte della
potenza generata viene persa nel generatore.
In questa condizione di funzionamento si ha Ru < Ri e quindi, per ottenere la condizione di
adattamento, bisogna aumentare la resistenza complessiva del carico, ponendo in serie a Ru una
resistenza R di valore tale che sia:
R + Ru = Ri
R = Ri − Ru = 2, 5 − 0, 952 = 1, 548 Ω
A2.18 Generatore reale di corrente
Si consideri un generatore reale di corrente collegato a una resistenza di carico Ru (figura A2.52). La corrente impressa I0 si dividerà nella corrente interna Ii, circolante
nella resistenza propria del generatore, e nella corrente I fornita al carico esterno.
I
+
Ii
I0
V
Ri
–
Applicando la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo si ha:
I 0 = I + Ii
Ru
Figura A2.52
Generatore reale
di corrente
collegato
alla resistenza
di carico.
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
72
dove:
Ii =
V
= GiV
Ri
Sostituendo e ricavando la corrente nel carico si ottiene:
Relazione
tra la corrente
e la tensione
I = I 0 − GiV
[A2.58]
L’espressione [A2.58] dice che, in una determinata condizione di carico, la corrente I fornita dal generatore è minore della corrente impressa I0; tale differenza
corrisponde alla corrente interna e dipende in maniera direttamente proporzionale
dalla tensione e dalla conduttanza interna.
L’equazione [A2.58] rappresenta anche, in forma analitica, la caratteristica
esterna del bipolo, ossia la legge I = f (V), considerando costanti I0 e Gi e utilizzando
la convenzione di segno dei generatori.
La [A2.58] è l’equazione di una retta: scrivendola nella forma I = − GiV + I0 viene
evidenziato il coefficiente angolare (− Gi) e l’intercetta con l’asse delle ordinate I0.
Analogamente al generatore reale di tensione, vi sono due condizioni tipiche di funzionamento, corrispondenti ai due punti di intersezione della retta con gli assi cartesiani.
Funzionamento a vuoto
Analizziamo il circuito di figura A2.53. Ponendo I = 0 nella [A2.58] si ricava:
0 = I 0 − GiV0
e, quindi:
V0 =
Tensione a vuoto
I0
= Ri I 0
Gi
[A2.59]
Il punto (V0, 0) della caratteristica esterna indica tale funzionamento.
I=0
+
Ii = I0
I0
Ru ➞ ∞
Ri
Figura A2.53
Funzionamento
a vuoto.
Ii = 0
V0 = Ri I 0
–
I0
Figura A2.54
Funzionamento
in cortocircuito.
Ri
Ru = 0
V=0
Icc = I0
Funzionamento in cortocircuito
Analizziamo il circuito di figura A2.54. Ponendo V = 0 nella [A2.58] si annulla la corrente interna e si ha:
I cc = I 0
Corrente di
cortocircuito
[A2.60]
Il punto (0, Icc) della caratteristica esterna indica il funzionamento in cortocircuito.
Caratteristica esterna
Tracciando la retta passante per i due punti precedentemente determinati, si ottiene la
caratteristica esterna del bipolo in forma grafica, indicata nella figura A2.55.
Anche il generatore reale di corrente è un bipolo attivo lineare, avendo come caratteristica una retta non passante per l’origine.
73
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
I
in cortocircuito
Icc = I0
Figura A2.55
Caratteristica
volt-amperometrica
del generatore
reale di corrente.
a vuoto
O
V
V 0 = Ri I 0
Punto di lavoro
Anche in questo caso il punto di lavoro può essere determinato per via analitica o grafica.
Operando nel primo modo occorre confrontare l’equazione [A2.58] con quella tipica del resistore di carico, data da:
I=
V
= GuV
Ru
[A2.61]
Corrente
assorbita
dal carico
[A2.62]
Tensione ai capi
del carico
Si ottiene:
GuV = I 0 − GiV
GuV + GiV = I 0
(Gu + Gi )V = I 0
e, infine:
V=
I0
Gu + Gi
Il valore della corrente si calcola con le espressioni [A2.61] o [A2.58].
Il metodo grafico (figura A2.56) consiste nel trovare il punto d’intersezione tra la
caratteristica del generatore e quella del resistore di carico, tracciata con la convenzione di segno degli utilizzatori e corrispondente all’equazione [A2.61]. Anche in questo caso si possono fare considerazioni analoghe a quelle relative al generatore reale di
tensione, in merito all’influenza del carico esterno Gu.
I
I = GuV
P (V, I)
I = I 0 – Gi V
O
V
Potenze e rendimento
Scrivendo l’equazione [A2.58] nella forma I0 = I + Gi V e moltiplicandone tutti i termini per V, si ottiene:
Figura A2.56
Punto di lavoro
del generatore
reale di corrente.
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
74
VI 0 = VI + GiV 2
[A2.63]
Tutti i termini della [A2.63] sono delle potenze, analogamente a quanto succede per
il generatore reale di tensione; essi rappresentano rispettivamente:
Potenze
del generatore
reale di corrente
Pg = VI0
•
potenza generata:
•
potenza utile:
Pu = VI = Ru I 2 =
•
potenza persa:
Pp = GiV
[A2.64]
V2
= GuV 2
Ru
[A2.65]
2
[A2.66]
Per i termini precedenti vale ancora il bilancio delle potenze indicato per il generatore reale di tensione, ossia Pg = Pu + Pp, con le relative formule inverse.
Il rendimento del generatore reale di corrente è ancora il rapporto tra la potenza
utile e quella generata e si può esprimere nei seguenti modi:
η=
Formule
per il calcolo
del rendimento
del generatore
η=
η=
Pu
Pg
VI
I
=
VI 0 I 0
GuV
(Gu + Gi )V
η=
[A2.67]
Pg − Pp
Pg
=
[A2.68]
Gu
Gu + Gi
[A2.69]
Pp
[A2.70]
= 1−
Pg
A2.19 Equivalenza tra i generatori reali
di tensione e di corrente
Nel paragrafo A2.16 è stato sottolineato che i generatori reali di tensione e di corrente sono
dei bipoli che rappresentano due modelli del generatore elettrico reale; per questa ragione
essi, rispettando determinate condizioni, devono essere equivalenti, ossia sostituendo
l’uno all’altro non deve mutare il funzionamento del circuito esterno e quindi, a parità di
tensione applicata, deve rimanere uguale la corrente erogata e viceversa.
Le condizioni di equivalenza si possono ricavare considerando il funzionamento
dei due bipoli con la stessa resistenza esterna e imponendo che siano uguali la tensione
e la corrente ai morsetti del carico.
Se si ricava l’espressione della corrente dalla [A2.36], relativa al generatore reale di
tensione, data la:
Ri I = E − V
I=
E −V E 1
=
− V
Ri
Ri Ri
e la si confronta con l’espressione [A2.58] tipica del generatore reale di corrente, si deduce che i due bipoli sono equivalenti quando sono soddisfatte le seguenti condizioni:
75
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
I0 =
E
Ri
[A2.71]
Gi =
1
Ri
[A2.72]
Formule
per il passaggio
da generatore
di corrente
a generatore
di tensione
corrispondenti alla regola:
ÈÈun generatore reale di tensione è equivalente a un generatore reale di corrente
avente la stessa resistenza interna e corrente impressa pari alla corrente di cortocircuito del generatore di tensione.
Dalla [A2.71] si ricava la condizione di equivalenza inversa:
E = I 0 Ri = V0
[A2.73]
e, quindi:
ÈÈun generatore reale di corrente è equivalente a un generatore reale di tensione
avente la stessa resistenza interna e f.e.m. pari alla tensione a vuoto del generatore di corrente.
Un generatore reale di corrente, avente I0 = 1 A e Ri = 10 Ω, è collegato a un carico di resistenza Ru = 10 Ω. Calcolarne il punto di lavoro (corrente e tensione), le potenze (generata,
utile, persa) e il rendimento. Ricavare, inoltre, le caratteristiche del generatore reale di tensione
equivalente.
ESEMPIO
17
ESEMPIO
18
■ Applicando le formule del paragrafo A2.18 si ottengono i valori delle grandezze richieste:
1
1
I0
1
V=
=
=
=5V
I = GuV =
× 5 = 0, 5 A
1
1
0
,
2
Gu + Gi
10
+
10 10
Pg = VI 0 = 5 × 1 = 5 W
Pp = GiV 2 =
Pu = VI = 5 × 0, 5 = 2, 5 W
1
× 5 2 = 2, 5 W
10
η=
Pu 2, 5
=
= 0, 5
5
Pg
Il valore ottenuto per il rendimento non è casuale: essendo, infatti, Ru = Ri, il generatore è in
condizioni di adattamento, con rendimento 50%.
Il generatore reale di tensione equivalente ha la stessa resistenza interna e f.e.m. pari a:
E = I 0 Ri = 1 × 10 = 10 V
Un generatore reale di corrente eroga a un carico di resistenza 0,5 kΩ una potenza utile pari a
15 W, funzionando con rendimento del 75%. Calcolare Pg, Pp, I, V, Ri , I0.
■ Dall’espressione del rendimento e dal bilancio delle potenze si calcolano le due potenze richieste:
15
P
Pp = Pg − Pu = 20 − 15 = 5 W
Pg = u =
= 20 W
η 0, 75
La resistenza interna si ricava dalla [A2.69], che lega il rendimento alle conduttanze del circuito:
Gu
G
G
η=
Gu + Gi = u
Gi = u − Gu
Gu + Gi
η
η
1
1
1
1
1
1
Gi = 500 −
=
−
= 0, 000667 S
Ri =
=
= 1500 Ω = 1, 5 kΩ
0, 75 500 375 500
Gi 0, 000667
76
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
Utilizzando le formule inverse ricavabili dalle relazioni [A2.64], [A2.65], [A2.66] si calcolano i valori delle altre grandezze richieste:
V=
Pp
Gi
= Ri Pp = 1500 × 5 = 86, 6 V I =
Pu
15
=
= 0,173 A
V 86, 6
I0 =
Pg
V
=
20
= 0, 231 A
86, 6
A2.20 Utilizzatore attivo
Si considerino due bipoli attivi di tipo serie, ognuno composto cioè da un generatore
ideale di tensione in serie a un resistore, collegati tra loro in opposizione, come indicato nella figura A2.57.
I
+
+
E1
E2
V
Figura A2.57
Collegamento
in opposizione
di due bipoli attivi
di tipo serie.
Vi1
Ri1
Vi2
Ri2
E1 > E 2
Il verso della corrente dipenderà dai valori delle due f.e.m.: supponendo che sia
E1 > E2, la corrente circolerà nel verso indicato in figura, in quanto prevale la f.e.m. del
primo bipolo.
Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia si ha:
− E1 + E2 + Ri 2 I + Ri1 I = 0
e quindi la corrente circolante è data da:
I=
E1 − E2
Ri1 + Ri 2
[A2.74]
Si possono fare a questo punto delle osservazioni sul comportamento del bipolo E2-Ri2:
•
•
è un bipolo attivo in quanto la presenza della E2 fa sì che, in mancanza di corrente, la
tensione non sia nulla e, quindi, la sua caratteristica esterna non passerà per l’origine;
la tensione interna E2 si oppone al passaggio della corrente, facendone diminuire il
valore rispetto a quello che si avrebbe se ci fosse solo la E1, come si vede chiaramente
I
+
E
V
Ri
Figura A2.58
Utilizzatore attivo
di tensione.
Vi
Rete
esterna
di alimentazione
77
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
•
dalla [A2.74]; per questa ragione essa è detta forza controelettromotrice ( f.c.e.m.),
indicando, con tale termine, una causa di opposizione al passaggio della corrente;
il bipolo riceve corrente dal circuito esterno e quindi si comporta da utilizzatore,
non da generatore.
Il bipolo in esame prende pertanto il nome di utilizzatore attivo di tensione e il suo
circuito equivalente è riportato nella figura A2.58.
Caratteristica esterna
Applicando la regola per il calcolo della tensione tra due punti, si ricava l’espressione
analitica della caratteristica volt-amperometrica V ==f(I) del bipolo:
V = E + Ri I
[A2.75]
Relazione
tra la tensione
e la corrente
dalla quale si deduce che per far circolare la corrente I occorre applicare una tensione
V tale da bilanciare la f.c.e.m. E e la caduta di tensione interna Vi = RiI.
Il grafico della caratteristica esterna dell’utilizzatore attivo, disegnato con la convenzione di segno degli utilizzatori, è mostrato nella figura A2.59.
V
P
V
V = E + Ri I
Ri I
E
E
O
I
I
Figura A2.59
Caratteristica
esterna
dell’utilizzatore
attivo di tensione.
Per determinare il punto di lavoro dell’utilizzatore attivo occorre conoscere la caratteristica della rete esterna di alimentazione. Supponendo che essa sia costituita da un
generatore di tensione (o che possa essere ricondotta a un generatore di tensione equivalente), si ha la situazione di figura A2.57; la corrente assorbita dall’utilizzatore attivo
si calcola con la [A2.74] e la tensione con la [A2.75].
Graficamente il punto di lavoro corrisponde all’intersezione delle due caratteristiche esterne (figura A2.60).
V
E1
V
P
E2
O
V = E2 + Ri 2 I (utilizzatore attivo)
V = E1 – Ri1 I (generatore)
I
I
Figura A2.60
Punto di lavoro
dell’utilizzatore
attivo di tensione.
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
78
Potenze e rendimento
Moltiplicando i due membri della [A2.75] per la corrente, si ottiene:
VI = EI + Ri I 2
[A2.76]
espressione nella quale tutti i termini sono delle potenze.
Il prodotto:
Pa = VI
Potenza assorbita
[A2.77]
indica la potenza che complessivamente la rete esterna di alimentazione fornisce all’utilizzatore attivo e rappresenta quindi la potenza assorbita dal componente.
Il termine:
Pp = Ri I 2
Potenza persa
[A2.78]
indica la potenza persa nell’utilizzatore attivo; nel circuito equivalente essa è rappresentata dalla potenza dissipata per effetto Joule nella resistenza interna.
Il termine:
Potenza utile
Pu = EI = VI − Ri I 2 = Pa − Pp
[A2.79]
è la differenza tra la potenza assorbita e quella persa e rappresenta pertanto la potenza
utile del componente, ossia la potenza elettrica netta che l’utilizzatore attivo trasforma
in un’altra forma di potenza.
Nello studio delle macchine elettriche si vedrà che l’utilizzatore attivo può rappresentare il circuito equivalente di un motore elettrico, nel qual caso la potenza utile è
quella parte di potenza che viene trasformata in meccanica e fornita al carico meccanico del motore.
Il rendimento dell’utilizzatore attivo è dato dal rapporto tra la potenza utile e la potenza assorbita e si può esprimere in uno dei seguenti modi:
Pu
Pa
[A2.80]
EI E
=
VI V
[A2.81]
η=
Formule
per il calcolo
del rendimento
dell’utilizzatore
attivo
η=
η=
Pa − Pp
Pa
= 1−
Pp
Pa
[A2.82]
79
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
Un generatore reale di tensione, avente f.e.m. E1 = 120 V e resistenza interna Ri1 = 4 Ω, alimenta un utilizzatore attivo con f.c.e.m. E2 = 100 V e resistenza interna Ri2 = 6 Ω. Calcolare il
punto di lavoro dei due bipoli, le potenze e il rendimento del generatore, le potenze e il rendimento dell’utilizzatore attivo.
■ La corrente circolante, comune ai due bipoli, si calcola con la [A2.74]:
I=
E1 − E2 120 − 100
=
=2A
4+6
Ri1 + Ri 2
La tensione ai capi dei bipoli si può determinare mediante l’equazione caratteristica del generatore o dell’utilizzatore attivo, ottenendo lo stesso risultato:
V = E1 − Ri1 I = 120 − 4 × 2 = 112 V
V = E2 + Ri 2 I = 100 + 6 × 2 = 112 V
Le potenze del generatore sono date da:
Pg1 = E1 I = 120 × 2 = 240 W
Pu1 = VI = 112 × 2 = 224 W
Pp1 = Ri1 I 2 = 4 × 2 2 = 16 W
Il rendimento del generatore risulta pari a:
η1 =
Pu1 224
=
= 0, 933
Pg1 240
Le potenze e il rendimento dell’utilizzatore attivo si calcolano applicando le formule viste in
questo paragrafo:
Pa2 = VI = 112 × 2 = 224 W
Pu 2 = E2 I = 100 × 2 = 200 W
Pp 2 = Ri 2 I 2 = 6 × 2 2 = 24 W
η2 =
Pu 2 200
=
= 0, 893
Pa 2 224
Si può notare che la potenza utile del generatore è uguale a quella assorbita dall’utilizzatore
attivo. Tale risultato non è casuale: l’utilizzatore attivo costituisce il carico del generatore e quindi
la potenza utile che il generatore eroga corrisponde a quella che l’utilizzatore attivo assorbe.
ESEMPIO
19
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
Esercitazioni
80
Esercizi di verifica
Esercizio 1
Tre resistori collegati in serie hanno resistenze R1 = 120 Ω, R2 = 60 Ω, R3 = 40 Ω e sono alimentati con tensione
V = 44 V. Calcolare la resistenza equivalente, l’intensità di corrente, le tensioni e le potenze di ogni resistore, la
potenza totale.
[Risultati: Req = 220 ΩΩ
; I = 0,2 A; V1 = 24 V; V2 = 12 V; V3 = 8 V;
P1 = 4,8 W; P2 = 2,4 W; P3 = 1,6 W; Pt = 8,8 W]
Esercizio 2
Quattro resistori uguali sono collegati in serie e dissipano la potenza P = 100 W, con corrente I = 5 A. Calcolare
la tensione sulla serie, la resistenza equivalente, la resistenza e la tensione dei singoli bipoli.
[Risultati: V = 20 V; Req = 4 ΩΩ
; Ri = 1 ΩΩ
; Vi = 5 V]
Esercizio 3
Tre resistori collegati in parallelo hanno resistenze R1 = 100 Ω, R2 = 150 Ω, R3 = 120 Ω e sono interessati dalla
corrente I = 125 mA. Calcolare la resistenza equivalente, la tensione, le correnti e le potenze di ogni resistore, la
potenza totale.
[Risultati: Req = 40 ΩΩ
; V = 5 V; I1 = 50 mA; I2 = 33,3 mA; I3 = 41,7 mA;
P1 = 0,25 W; P2 = 0,166 W; P3 = 0,209 W; Pt = 0,625 W]
Esercizio 4
Quattro resistori uguali sono collegati in parallelo e dissipano la potenza P = 16 W, con tensione V = 10 V.
Calcolare la corrente totale, la resistenza equivalente, la resistenza e la corrente dei singoli bipoli.
[Risultati: I = 1,6 A; Req = 6,25 ΩΩ
; Ri = 25 ΩΩ
; Ii = 0,4 A]
Esercizio 5
Per la rete di figura A2.61 tutte le resistenze valgono 60 Ω. Calcolare la resistenza equivalente tra le coppie di
nodi A-B, C-D, A-C e B-D.
R4
A
B
R2
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = R7 = R8 = 60 Ω
R6
R8
R1
R3
R7
R5
C
Figura A2.61
Esercizio 5.
D
[Risultati: RAB = RCD = 42 ΩΩ
; RAC = RBD = 32 ΩΩ
]
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
81
Del circuito di figura A2.62 calcolare la resistenza equivalente tra i punti A e D e la tensione VBC, sia con il contatto aperto che chiuso.
R1
R4
B
R3
K
R2
R1 = 50 Ω
R2 = 40 Ω
R3 = 60 Ω
R4 = 80 Ω
R5 = 30 Ω
VAD = 50 V
R5
C
A
D
Figura A2.62
Esercizio 6.
[Risultati: con K aperto: Req = 45,5 Ω; VBC = 9,34 V;
con K chiuso: Req = 44,8 Ω; VBC = 5,19 V]
Esercizio 7
Del circuito di figura A2.63 calcolare il valore da assegnare alla resistenza R per avere una resistenza equivalente tra i punti A e B pari a 10 Ω.
A
R1 = R2 = 10 Ω
R4 = R5 = 20 Ω
R2
R1
R3 = 5 Ω
R3
R
R4
R5
Figura A2.63
Esercizio 7.
[Risultato: R = 30 Ω]
B
Esercizio 8
Del circuito di figura A2.64 calcolare la resistenza equivalente vista dal generatore, le correnti nei vari resistori,
le tensioni E, VAC, VAD e la potenza erogata dal generatore.
I1
R1
R4
A
R2
I4
B
I6 = 0,5 A
I6
I5
R1 = 5 Ω
R2 = R3 = 25 Ω
+
E
R5
I23
R6
R4 = 10 Ω
R5 = R6 = 20 Ω
R3
C
D
Figura A2.64
Esercizio 8.
[Risultati: Req = 19,3 Ω; I1 = 1,4 A; I23 = 0,4 A; I4 = 1 A;
I5 = 0,5 A; E = 27 V; VAC = 20 V; VAD = 20 V; Pe = 37,8 W]
Esercitazioni
Esercizio 6
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
82
Esercitazioni
Esercizio 9
Del circuito di figura A2.65 calcolare la resistenza equivalente vista dal generatore, le correnti in tutti i rami del
circuito, la tensione del generatore.
R1 = 100 Ω R2 = 24 Ω
R4
R5
R1
+
R3 = 12 Ω
R4 = 20 Ω
R5 = 30 Ω
R6 = R7 = 100 Ω
I6 = 20 mA
R7
E
I6
R3
R2
R6
Figura A2.65
Esercizio 9.
[Risultati: Req = 51,9 Ω; I = 0,077 A; I1 = 0,037 A; I2 = 0,0123 A; I3 = 0,0247 A;
I45 = 0,04 A; I6 = I7 = 0,02 A; E = 4 V]
Esercizio 10
Dimostrare che per il circuito di figura A2.66 si ha I = 2 A per ognuna delle seguenti condizioni di funzionamento:
I
a) K1 aperto, K2 aperto
b) K1 aperto, K2 chiuso
R = 10 Ω
c) K1 chiuso, K2 aperto
E = 30 V
R
R
d) K1 chiuso, K2 chiuso
K1
+
E
R
R
K2
R
R
Figura A2.66
Esercizio 10.
Esercizio 11
Del circuito di figura A2.67 calcolare le correnti I e I3, la tensione V e la f.e.m. E, le potenze e il rendimento del
generatore.
R1
I
+
R2
E
I4
V
Ri
Figura A2.67
Esercizio 11.
I3
R3
Ri = 10 Ω
R1 = 100 Ω
R2 = 50 Ω
R3 = 50 Ω
R4 = 100 Ω
I4 = 0,5 A
R4
[Risultati: I = 1,5 A; I3 = 1 A; V = 275 V; E = 290 V; Pg = 435 W;
Pu = 412,5 W; Pp = 22,5 W; ηη= 0,948]
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
83
Nel circuito di figura A2.68 la potenza PR = 15 W è quella assorbita in totale dalle tre resistenze di carico.
Calcolare i valori delle resistenze R1 e R2, le correnti nei vari rami e la f.e.m. del generatore.
+
R2
R1
E
R 1 = R2
R3 = 40 Ω
V = 30 V
Ri = 10 Ω
PR = 15 W
V
Ri
R3
Figura A2.68
Esercizio 12.
[Risultati: R1 = R2 = 40 Ω; I = 0,5 A; I1 = I2 = 0,25 A; E = 35 V]
Esercizio 13
Un generatore reale di tensione, avente resistenza interna 5 Ω, alimenta, tramite una linea di resistenza 4 Ω,
un carico che assorbe una potenza di 500 W con tensione 200 V. Calcolare la tensione ai morsetti del generatore, il rendimento della linea, quello del generatore e il rendimento totale del complesso generatore-linea.
[Risultati: V = 210 V; ηηL = 0,952; ηηG = 0,944; ηηT = 0,899]
Esercizio 14
Un generatore reale di tensione avente E = 25 V e Ri = 5 Ω è collegato a un carico che assorbe la potenza Pu = 20 W.
Calcolare i valori di V, I, Ru, Pg, Pp ed η per entrambi i punti di lavoro possibili.
[Risultati 1° punto: I = 1 A; V = 20 V; Ru = 20 ΩΩ
; Pg = 25 W; Pp = 5 W; ηη= 0,8
Risultati 2° punto: I = 4 A; V = 5 V; Ru = 1,25 ΩΩ
; Pg = 100 W; Pp = 80 W; ηη= 0,2]
Esercizio 15
Un generatore reale di tensione avente E = 25 V e Ri = 5 Ω è collegato a un carico di resistenza Ru variabile.
Calcolare i valori di I, V, Pu, Pg, Pp facendo variare Ru da 0 a 25 Ω con variazioni di 1 Ω e rappresentare con
grafici cartesiani le cinque grandezze calcolate in funzione di Ru. Verificare che la potenza utile aumenta da 0 a
31,25 W (PuM per Ru = Ri, condizione di adattamento) e poi diminuisce. Si consiglia, per i calcoli e i grafici, l’utilizzazione di un foglio elettronico per PC (tipo Excel).
Esercizio 16
Dato il circuito di figura A2.69 calcolare le tensioni V e V2, le potenze assorbite dai vari resistori e quella totale.
R1
I0 = 20 mA
R1 = 0,25 k Ω
R2 = 0,33 k Ω
I0
Figura A2.69
Esercizio 16.
V
R2
R4
V2
R3 = R4 = 120 Ω
R3
[Risultati: V = 16,4 V; V2 = 6,6 V; P1 = 0,1 W; P2 = 0,132 W; P3 = P4 = 48 mW; Pt = 0,328 W]
Esercitazioni
Esercizio 12
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
84
Esercitazioni
Esercizio 17
Dato il circuito di figura A2.70 calcolare le correnti nei tre resistori, la tensione VAB e la potenza totale.
A
I1
R1
I2
R2
I3
R3
B
I0 = 60 mA
R1 = 0,12 k Ω
R2 = 80 Ω
I0
Figura A2.70
Esercizio 17.
R3 = 0,22 k Ω
[Risultati: I1 = 19,7 mA; I2 = 29,6 mA; I3 = 10,7 mA; VAB = 2,36 V; Pt = 0,142 W]
Esercizio 18
Un generatore reale di corrente, avente I0 = 1 A e V0 = 5 V, eroga la corrente I = 0,5 A. Calcolare V, Ru, Pg, Pu, Pp e η.
[Risultati: V = 2,5 V; Ru = 5 ΩΩ
; Pg = 2,5 W; Pu = 1,25 W; Pp = 1,25 W; ηη= 0,5]
Esercizio 19
Per il circuito di figura A2.71 verificare che il bipolo E2-R2 si comporti come utilizzatore attivo di tensione e calcolarne le potenze e il rendimento. Calcolare inoltre la tensione VAB.
A
+
E2
R1
R2 = 40 Ω
R3 = 120 Ω
I01 = 0,5 A
E2 = 12 V
R3
I01
R1 = 120 Ω
R2
Figura A2.71
Esercizio 19.
B
[Risultati: Pa2 = 3,456 W; Pu2 = 2,16 W; Pp2 = 1,296 W; ηη2 = 0,625; VAB = 19,2 V]
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Definire il concetto di bipolo elettrico.
2. Spiegare la differenza tra la convenzione di segno degli utilizzatori e quella dei generatori.
3. Che cosÕ• la caratteristica esterna di un bipolo?
4. Classificare i bipoli in base alla loro caratteristica esterna.
5. Che cosÕ• la corrente di cortocircuito di un bipolo?
6. Spiegare la differenza tra generatore ideale di tensione e di corrente.
7. PerchŽ un resistore in cui non • trascurabile la variazione della resistenza con la temperatura non • classificabile come resistore ideale?
8. Che cosa sÕintende per cortocircuito e per circuito aperto ideali?
9. Enunciare le leggi di Kirchoff delle correnti e delle tensioni.
10. Di tre resistori collegati in serie ricavare lÕespressione della resistenza equivalente.
11. Dimostrare che, collegando in serie due resistori aventi resistenza R e 2R, le tensioni sui due bipoli sono 1/3
e 2/3 di quella totale.
12. Di tre resistori collegati in parallelo ricavare lÕespressione della resistenza equivalente.
13. Dimostrare che, collegando in parallelo due resistori aventi resistenza R e 2R, le correnti nei due bipoli sono
2/3 e 1/3 di quella totale.
14. Ricavare le condizioni di equivalenza tra i collegamenti a stella e a triangolo.
15. Disegnare e spiegare la caratteristica esterna del generatore reale di tensione.
16. Definire le potenze e il rendimento del generatore reale di tensione e ricavarne le relative espressioni.
17. Disegnare e spiegare la caratteristica esterna del generatore reale di corrente.
18. Definire le potenze e il rendimento del generatore reale di corrente e ricavarne le relative espressioni.
19. Ricavare le condizioni di equivalenza tra i generatori reali di tensione e di corrente.
20. Spiegare in quali condizioni un bipolo attivo di tensione funziona da utilizzatore attivo.
Quesiti a scelta multipla
Scegliere la risposta corretta tra quelle proposte.
1. Per il circuito di figura A2.72 la resistenza equivalente vale:
R
a R
b 2R
c 3/2 R
3R
d R/3
2R
R
Figura A2.72
2R
85
Esercitazioni
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
86
Esercitazioni
2. Per il circuito di figura A2.73 la resistenza equivalente tra i punti A e B vale:
a 0
R
A
b 2/3 R
R
c R
d 2R
B
R
R
R
Figura A2.73
C
D
3. Per il circuito di figura A2.73 la resistenza equivalente tra i punti A e C vale:
a 2/3 R
b 0
c 2R
d R
4. Per il circuito di figura A2.73 la resistenza equivalente tra i punti A e D vale:
a 2R
b R
c 0
d 2/3 R
5. Per il circuito di figura A2.73 la resistenza equivalente tra i punti C e D vale:
a 0
b 2/3 R
c R
d 2R
6. Per il circuito di figura A2.74 la tensione VAB vale:
a 3V
R
b 6V
B
2R
3R
C
R
c 0
d 4V
12 V
A
+
D
Figura A2.74
7. Per il circuito di figura A2.74 la tensione VBC vale:
a 3V
b 6V
c 0
d 4V
8. Per il circuito di figura A2.75 la corrente I vale:
a 0
b 0,5 A
c 5A
R
d 1,5 A
3A
R
R
R
2
Figura A2.75
I
A2 • Bipoli elettrici e loro collegamenti
87
a È la tensione che si ha ai morsetti del bipolo quando la resistenza di carico è uguale a quella interna.
b È la tensione che si ha ai morsetti del bipolo quando la resistenza di carico è nulla.
c È la tensione che si ha ai morsetti del bipolo quando è nulla la corrente che vi circola.
d È la tensione che si ha ai morsetti del bipolo quando la resistenza di carico è doppia di quella interna.
10. Quanto vale la corrente di cortocircuito di un generatore reale di tensione?
a È uguale a zero.
b È data dal rapporto E/Ri.
c È data dal rapporto V/Ri.
d Assume valore infinito.
11. Nella condizione di adattamento, un generatore reale:
a eroga la massima potenza utile.
b funziona con il massimo rendimento possibile.
c fornisce la massima tensione al carico.
d non ha potenza persa.
Esercitazioni
9. Che cos’è la tensione a vuoto di un bipolo?
88
A3
Misure elettriche:
aspetti generali e misura
delle grandezze fondamentali
L’attività di laboratorio è di fondamentale importanza nello studio dell’Elettrotecnica: essa permette non solo di misurare i valori che assumono le varie grandezze elettriche durante il funzionamento di un circuito, ma anche di verificare sperimentalmente le leggi che legano tali grandezze, sia come conferma dello studio teorico che come anticipazione dello stesso.
In questa unità, dopo aver introdotto gli aspetti generali della misurazione, verranno presentati
alcuni metodi di misura delle principali grandezze elettriche.
A3.1 Concetto di misura
È noto che misurare una grandezza significa associare alla stessa un valore,
espresso con una appropriata unità di misura; tale valore indica il rapporto che lega
quantitativamente la grandezza in esame con un’altra, della stessa specie, assunta come
unità di misura.
Dire, per esempio, che la lunghezza misurata tra due punti di una pista di atletica
vale 100 m significa:
•
•
•
avere scelto il metro come unità di misura della lunghezza;
avere a disposizione un campione di lunghezza unitaria 1 m;
avere stabilito che questa unità di misura è contenuta 100 volte nella grandezza da
misurare e che, quindi, il rapporto grandezza/campione vale 100.
È chiaro che il confronto ha significato solo se la grandezza e il campione sono
omogenei; nell’esempio precedente sono ambedue delle lunghezze.
Affinché misure fatte su grandezze della stessa specie siano tra loro confrontabili,
è necessario che vengano espresse tutte nella stessa unità di misura: è evidente, per
esempio, che di due lunghezze, una in metri e l’altra in miglia, non si riesce a stabilire
immediatamente qual è la maggiore, ma occorre prima effettuare la conversione dei
metri in miglia o viceversa.
Per questa ragione è stato introdotto il Sistema Internazionale (SI) delle unità di
misura, descritto nella scheda PRE-1, alla quale si rimanda.
Le misure, in funzione del metodo utilizzato, possono essere divise in due differenti
categorie:
•
•
sono dette misure dirette quelle in cui la grandezza da misurare viene direttamente
letta sullo strumento utilizzato, come, per esempio, la misura di una temperatura con
un termometro, quella di una tensione con un voltmetro ecc.;
sono, invece, misure indirette quelle in cui la grandezza da misurare viene dedotta
dalla misura di altre grandezze (almeno due), utilizzando una relazione nota; sono,
89
A3 • Misure elettriche: aspetti generali e misura delle grandezze fondamentali
per esempio, indirette la determinazione dell’area di un rettangolo di cui sono stati
misurati i lati e quella di una resistenza ricavata dal rapporto tra la misura della tensione e quella dell’intensità di corrente.
A3.2 Errori di misura e loro classificazione
Si supponga di aver misurato una generica grandezza X e di conoscerne, quindi, il valore misurato Xm. Su ogni misurazione gravano però degli errori di misura, di diverso
tipo, dovuti alla strumentazione usata, al metodo di misura, all’operatore che ha eseguito la misura. L’errore commesso in quella particolare misura non è noto, però si può
valutare un intervallo di incertezza Δx, di ampiezza tale da poter ritenere che il valore
effettivo della grandezza misurata sia compreso tra i valori limite Xm − Δx e Xm + Δx.
Si potrà allora dire che il risultato della misura è dato da:
X = X m ± Δx
[A3.1]
Per esempio, scrivere che una tensione vale V = (24 ± 0,5) V significa che la tensione in oggetto ha un valore compreso tra 23,5 V e 24,5 V, con una incertezza valutata, al massimo, in ± 0,5 V.
Risultato
di una misura
in funzione
dell’intervallo
di incertezza
Nella teoria degli errori si fa spesso riferimento al valore vero Xv di una grandezza,
rispetto al quale:
si definisce come errore assoluto εa la differenza:
ε a = X m − Xv
[A3.2]
È da notare che il valore vero di una grandezza è un concetto solo teorico, in quanto
tale valore non è misurabile e, quindi, non si può conoscere; l’espressione [A3.2] non
si può, pertanto, utilizzare in modo diretto, per calcolare l’errore, ma occorre conoscere
εa per poter ricavare la grandezza:
Xv = X m − ε a
[A3.3]
che non è da intendere come valore vero della grandezza, ma come risultato X della misura, conseguente a un errore valutato, al massimo, pari a εa.
Da quanto detto e confrontando tra loro le espressioni [A3.1] e [A3.3], risulta che
l’incertezza Δx e l’errore assoluto εa hanno lo stesso significato, con la differenza che
Δx è da intendere sempre positivo, in quanto viene sommato e sottratto a Xm, mentre εa
è una grandezza con segno. Da come è stato definito, l’errore assoluto è:
•
•
positivo, se la misura è stata fatta in eccesso (Xm > Xv);
negativo, se la misura è stata fatta in difetto (Xm < Xv).
L’errore assoluto viene sempre espresso nella stessa unità di misura della grandezza
a cui si riferisce.
Si supponga di aver misurato la corrente Im = 10 A commettendo un errore assoluto sicuramente
positivo e non superiore a εa = 0,5 A.
■ Il valore della corrente sarà compreso tra i valori limite 10 A (corrispondente a un errore
nullo) e 9,5 A (corrispondente al valore massimo dell’errore).
ESEMPIO
1
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
90
Se 0,5 A è invece da considerare come incertezza sulla misura, allora il valore effettivo della
corrente sarà compreso tra 9,5 A e 10,5 A.
Nel caso in cui non sia possibile conoscere il segno dell’errore assoluto commesso, non vi è
più alcuna differenza numerica sul risultato della misura. Se εa = ± 0,5 A, si ha infatti:
I = I m − ε a = 10 − ( ± 0, 5 ) = ( 9, 5 ÷ 10, 5 ) A
come nel caso in cui 0,5 A rappresenta il valore dell’incertezza.
Spesso è importante riferire l’errore assoluto al valore misurato; è evidente, infatti,
che un errore di 10 cm è poco significativo se la lunghezza misurata è molto più grande
(per esempio 10 km), mentre incide molto di più se il valore misurato è più piccolo (per
esempio 10 m).
Il rapporto:
εr =
εa
Xm
[A3.4]
è detto errore relativo.
Esso è un numero adimensionato. essendo il rapporto di due grandezze omogenee,
ed è tanto minore quanto più piccolo è l’errore assoluto e maggiore è il valore misurato.
Si definisce come errore relativo percentuale il valore percentuale dell’errore relativo,
dato da:
εr % =
εa
100 = 100ε r
Xm
[A3.5]
Sia l’errore relativo che quello percentuale sono indici di qualità della misura, nel
senso che quanto più il loro valore è ridotto tanto più la misura è precisa.
ESEMPIO
2
Si supponga di aver misurato le due tensioni Vm1 = 10 V con un errore assoluto εa1 = 0,5 V e
Vm2 = 50 V con un errore assoluto εa2 = 1 V. Si calcolino i rispettivi errori relativi e percentuali.
■ Applicando le espressioni [A3.4] e [A3.5] si ottiene:
ε r1 =
ε a1 0, 5
=
= 0, 05
Vm1 10
ε r1% = 100 ε r1 = 100 × 0, 05 = 5%
εr 2 =
1
εa2
=
= 0, 02
Vm 2 50
ε r 2 % = 100 ε r 2 = 100 × 0, 02 = 2%
Si può notare che la seconda misura è più precisa della prima, pur se l’errore assoluto è maggiore.
Gli errori che si commettono nella esecuzione di una misura possono essere classificati, in base alle cause che li determinano, in:
•
•
•
errori sistematici;
errori accidentali;
errori soggettivi.
A3 • Misure elettriche: aspetti generali e misura delle grandezze fondamentali
Gli errori sistematici dipendono dal sistema di misura usato; rientrano in questo gruppo gli errori legati alla precisione degli strumenti utilizzati e quelli derivanti
dalle variazioni circuitali prodotte dall’inserzione degli apparecchi di misura,
aventi una loro resistenza elettrica che va ad aggiungersi a quelle proprie del circuito.
Gli errori sistematici si ripercuotono sul risultato della misura sempre nello stesso
senso e, pertanto, non possono essere compensati facendo la media dei risultati di più
determinazioni. Scegliendo in modo opportuno il sistema di misura e gli strumenti, tali
errori si possono ridurre e, conoscendone il massimo valore che possono assumere, se
ne può tenere conto nell’espressione del risultato della misura.
Gli errori accidentali sono quelli non prevedibili e sono sostanzialmente dovuti
alle condizioni ambientali in cui si svolge la misura. Le cause di perturbazione sono
varie: le più comuni riguardano l’influenza dei campi magnetici ed elettrici esterni
sul circuito di misura e la variazione delle caratteristiche delle apparecchiature per
cause termiche.
Gli errori accidentali sono di difficile valutazione, però si possono contenere entro
limiti tollerabili utilizzando strumenti poco sensibili ai disturbi indotti dall’esterno e se
ne può tenere conto con operazioni statistiche effettuate sui risultati di una serie di determinazioni della stessa grandezza.
Gli errori soggettivi sono quelli dovuti all’operatore che esegue la misura, il
quale può commettere degli errori di lettura, per motivi vari legati a disattenzione,
stanchezza o altro. Utilizzando strumenti analogici, per i quali la lettura è indicata
dalla posizione dell’indice su una scala, si possono commettere errori di apprezzamento, quando l’indice si ferma in una posizione intermedia tra due tacche adiacenti della scala, ed errori di parallasse, quando si guarda in direzione diversa rispetto alla perpendicolare alla scala passante per l’indice; mediante opportuni accorgimenti costruttivi questo tipo di errore può essere eliminato, mentre quello di
apprezzamento può essere ridotto utilizzando scale con un maggior numero di divisioni.
Caratteristica degli errori soggettivi è quella di non avere un segno proprio ben determinato, ma di influire in modo casuale sul risultato della misura. Eseguendo più letture è probabile che gli errori in più e in meno si compensino e, pertanto, dalla media
dei vari risultati si può ottenere un valore più attendibile della grandezza in esame, rispetto a quello relativo a una sola lettura. Sotto questo aspetto gli errori soggettivi si
comportano come accidentali.
A3.3 Errore nella misura indiretta
di una grandezza
Quando una grandezza viene dedotta dalla misura di altre grandezze secondo una relazione nota, è necessario saper valutare quale sarà l’errore risultante, in funzione degli
errori da cui sono affette le grandezze che compaiono nella relazione. Questo succede,
per esempio, quando si valuta la potenza come prodotto P = VI, supponendo di avere
misurato la tensione e la corrente.
Si considererà, per semplicità, solo il caso in cui le grandezze di partenza sono due; le
espressioni ottenute si possono comunque estendere a casi più complessi.
Indicando con X e Y le grandezze di partenza, con Xm e Ym i loro valori misurati e
con εaX ed εaY i relativi errori assoluti, i valori che risultano dalla misura, considerati
con l’errore, sono calcolabili con l’espressione [A3.3]:
X = X m − ε aX
Y = Ym − ε aY
91
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
92
Gli errori relativi saranno dati, secondo la [A3.4], da:
ε rX =
ε aX
Xm
ε rY =
ε aY
Ym
Ricavando gli errori assoluti e sostituendo, si ottiene:
ε aX = ε rX X m
Valori
delle grandezze
in funzione degli
errori relativi
ε aY = ε rY Ym
X = X m − ε rX X m
Y = Ym − ε rY Ym
X = (1 − ε rX ) X m
Y = (1 − ε rY )Ym
[A3.6]
[A3.7]
Errore risultante dalla somma
Indicando con S la grandezza misurata indirettamente come somma di X e Y, si ottiene:
S = X + Y = X m − ε aX + Ym − ε aY = ( X m + Ym ) − ( ε aX + ε aY )
Confrontando questa espressione con la [A3.3], si ricava il valore misurato della
somma, che è dato da:
Sm = X m + Ym
mentre l’errore assoluto è pari a:
Errore assoluto
sulla somma
ε aS = ε aX + ε aY
[A3.8]
Si deduce pertanto la seguente regola:
ÈÈl’errore assoluto commesso nella misura indiretta di una grandezza somma di
due o più grandezze è pari alla somma dei singoli errori assoluti.
Nell’applicazione della formula [A3.8] si deve tener presente che l’errore assoluto
è una grandezza con segno: la situazione più sfavorevole si ha quando i due errori
hanno lo stesso segno, nel qual caso i loro valori assoluti si sommano.
Per calcolare l’errore relativo sulla somma si applica la definizione, ottenendo:
ε rS =
ε aS ε aX + ε aY
=
Sm
X m + Ym
Esprimendo gli errori assoluti in funzione di quelli relativi, si ha:
Errore relativo
sulla somma
ε rS =
ε rX X m + ε rY Ym
X m + Ym
[A3.9]
93
A3 • Misure elettriche: aspetti generali e misura delle grandezze fondamentali
L’espressione [A3.9] indica che:
ÈÈl’errore relativo sulla somma è pari alla media ponderale degli errori relativi
commessi sulle grandezze componenti.
Il fatto che la media sia di tipo ponderale significa che i singoli errori influiscono proporzionalmente al valore della grandezza corrispondente e, quindi, l’errore sul termine di
valore più elevato influisce maggiormente sull’errore risultante; di conseguenza occorre
misurare con più accuratezza i termini della somma di valore maggiore.
Moltiplicando per 100 ambedue i membri della [A3.9] e tenendo presente che
100 εr = εr %, si ottiene la stessa relazione valida per l’errore relativo percentuale.
La tensione su un bipolo costituito da due bipoli in serie viene calcolata come somma delle tensioni sui bipoli componenti. Supponendo che i valori misurati siano V1m = 2 V con errore relativo εr1% = 5% e V2m = 12 V con errore relativo εr2% = 0,5%, calcolare l’errore relativo e assoluto sulla tensione somma.
ESEMPIO
3
■ Il valore misurato della tensione risultante è dato da:
Vm = V1m + V2 m = 2 + 12 = 14 V
Applicando la [A3.9] con i valori relativi percentuali si ottiene immediatamente l’errore relativo percentuale sulla somma:
εr% =
ε r1%V1m + ε r 2 %V2 m 5 × 2 + 0,5 × 12
=
= 1143%
,
V1m + V2 m
2 + 12
valore assai più vicino al secondo errore, corrispondente al termine maggiore, che al primo.
L’errore assoluto si può calcolare direttamente sulla tensione risultante oppure applicando la
[A3.8]. Si ottiene, infatti:
1,143 × 14
εr %
Vm =
= 0,16 V
100
100
5×2
ε %
= 0,1 V
ε a1 = r1 V1m =
100
100
0, 5 × 12
ε %
ε a 2 = r 2 V2 m =
= 0, 06 V
100
100
ε a = ε a1 + ε a 2 = 0,1 + 0, 06 = 0,16 V
ε a = ε rVm =
Errore risultante dalla differenza
Indicando con D la grandezza misurata indirettamente come differenza di X e Y, si ottiene:
D = X − Y = X m − ε aX − Ym + ε aY = X m − Ym − ( ε aX − ε aY )
Confrontando questa espressione con la [A3.3], si ricava il valore misurato della
differenza, che è dato da:
Dm = X m − Ym
mentre l’errore assoluto è pari a:
ε aD = ε aX − ε aY
[A3.10]
Errore assoluto
sulla differenza
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
94
Si deduce pertanto la seguente regola:
ÈÈl’errore assoluto commesso nella misura indiretta di una grandezza differenza di
due grandezze è pari alla differenza dei singoli errori assoluti.
Anche nell’applicazione della formula [A3.10] si deve tener presente che l’errore
assoluto è una grandezza con segno: la situazione più sfavorevole si ha quando i due
errori hanno segno opposto, nel qual caso i loro valori assoluti si sommano.
Per calcolare l’errore relativo sulla differenza si applica la definizione, ottenendo:
ε rD =
ε aD ε aX − ε aY
=
Dm
X m − Ym
Utilizzando le espressioni [A3.6] si ha:
Errore relativo
sulla differenza
ε rD =
ε rX X m − ε rY Ym
X m − Ym
[A3.11]
L’espressione [A3.11] mostra che la situazione più sfavorevole si ha quando i due
errori relativi hanno segno opposto e i valori misurati Xm e Ym non sono molto diversi
tra loro; in questo caso i termini al numeratore si sommano e il valore del denominatore tende ad annullarsi, facendo aumentare l’errore relativo risultante.
Moltiplicando per 100 ambedue i membri della [A3.11] e tenendo presente che
100 ε r = ε r %, si ottiene la stessa relazione valida per l’errore relativo percentuale.
ESEMPIO
4
Si vuole determinare la corrente in un bipolo come differenza tra le correnti circolanti in altri due
bipoli, collegati allo stesso nodo. Le correnti misurate e i relativi errori assoluti sono pari a:
Im1 = 5 A, Im2 = 4 A, εa1 = – 0,1 A, εa2 = + 0,12 A.
Calcolare l’errore assoluto e relativo percentuale sulla corrente risultante.
■ Il valore misurato della corrente risultante è dato da:
I m = I m1 − I m 2 = 5 − 4 = 1 A
Applicando la [A3.10] si calcola l’errore assoluto sulla differenza:
ε a = ε a1 − ε a 2 = − 0,1 − 0,12 = − 0, 22 A
L’errore relativo percentuale si può calcolare direttamente oppure applicando la [A3.11], ottenendo:
εr% =
εr % =
εα
− 0,22 × 100
100 =
= – 22%
Im
1
– 0,1 × 100
ε a1
= − 2%
100 =
I m1
5
εr % =
εr 2 % =
εa2
0,12 × 100
100 =
= 3%
Im2
4
ε r1% I m1 − ε r 2 % I m 2 −2 × 5 − 3 × 4
=
= −22%
I m1 − I m 2
5−4
Il valore dell’errore relativo percentuale sulla corrente differenza è notevolmente maggiore
di quelli commessi sulle correnti componenti, a causa dei valori abbastanza vicini tra loro delle
correnti misurate.
95
A3 • Misure elettriche: aspetti generali e misura delle grandezze fondamentali
Errore risultante dal prodotto
Indicando con P la grandezza misurata indirettamente come prodotto di X e Y, si ottiene:
P = XY = ( X m − ε aX ) (Ym − ε aY ) =
= X mYm − X m ε aY − Ym ε aX + ε aX ε aY = X mYm − ( X m ε aY + Ym ε aX − ε aX ε aY )
Confrontando questa espressione con la [A3.3], si ricava il valore misurato del
prodotto, che è dato da:
Pm = X mYm
mentre l’errore assoluto è pari a:
ε aP = X m ε aY + Ym ε aX − ε aX ε aY
Nell’espressione precedente il prodotto tra i due errori assoluti è trascurabile rispetto agli altri due termini e quindi si può ritenere, con sufficiente approssimazione,
che sia:
ε aP ≅ X m ε aY + Ym ε aX
[A3.12]
Errore assoluto
sul prodotto
L’errore relativo sul prodotto è dato da:
ε rP =
ε aP X m ε aY + Ym ε aX ε aY ε aX
=
=
+
Pm
X mYm
Ym X m
I due termini al secondo membro dell’espressione precedente rappresentano gli errori relativi sui singoli fattori e, quindi, si ha:
ε rP = ε rX + ε rY
[A3.13]
Errore relativo
sul prodotto
L’espressione [A3.13] stabilisce la seguente regola:
ÈÈl’errore relativo su una grandezza misurata indirettamente come prodotto di al-
tre grandezze componenti è pari alla somma algebrica degli errori relativi commessi sui singoli fattori.
Moltiplicando per 100 ambedue i membri della [A3.13], si ottiene la stessa relazione valida per l’errore relativo percentuale.
Come conseguenza della regola precedente si ha che:
•
•
la situazione più sfavorevole si ha quando tutti gli errori hanno lo stesso segno, nel
qual caso i valori assoluti dei singoli errori si sommano;
la probabilità di commettere un errore elevato cresce all’aumentare del numero dei
fattori, dato che aumenta il numero di errori da sommare, errori che potrebbero essere tutti di segno concorde.
Si vuole determinare la potenza P di un circuito, misurando la tensione e la corrente.
I valori ottenuti dalle prove sono pari a 25 V con errore 1,3% e 2 A con errore 0,7%.
Calcolare lÕerrore assoluto e relativo sulla potenza.
■ Il valore della potenza risultante dalle misure è dato da:
Pm = Vm I m = 25 × 2 = 50 W
ESEMPIO
5
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
96
Gli errori assoluti commessi sulla tensione e sulla corrente sono pari a:
ε aV =
ε rV %Vm 1, 3 × 25
=
= 0, 325 V
100
100
ε aI =
ε rI % I m 0, 7 × 2
=
= 0, 014 A
100
100
Applicando l’espressione [A3.12], si ricava l’errore assoluto sulla potenza:
ε aP = Vm ε aI + I m ε aV = 25 × 0, 014 + 2 × 0, 325 = 1 W
Il calcolo dell’errore relativo percentuale si può eseguire con la [A3.13], oppure partendo
dalla definizione; si ottiene:
ε rP % = ε rV % + ε rS % = 1, 3 + 0, 7 = 2%
100 ε aP 100 × 1
ε rP % =
= 2%
=
50
Pm
Errore risultante dal quoziente
Indicando con R la grandezza misurata indirettamente come rapporto tra X e Y, si ottiene:
R=
X X m − ε aX X m − ε rX X m X m (1 − ε rX )
=
=
=
Y Ym − ε aY
Ym − ε rY Ym
Ym (1 − ε rY )
Indicando con Rm il valore del rapporto derivante dalle misure, l’espressione precedente diventa:
R = Rm
1 − ε rX
1 − ε rY
[A3.14]
Partendo dalla definizione di errore assoluto si ricava:
ε aR = Rm − R = Rm − Rm
⎛ 1 − ε rX ⎞
1 − ε rY − 1 + ε rX
1 − ε rX
= Rm ⎜1 −
⎟ = Rm
1 − ε rY
1 − ε rY
⎝ 1 − ε rY ⎠
e, infine:
Errore assoluto
sul quoziente
ε aR = Rm
ε rX − ε rY
1 − ε rY
[A3.15]
Dividendo entrambi i membri della [A3.15] per Rm si ottiene l’espressione dell’errore relativo:
Errore relativo
sul quoziente
ε rR =
ε rX − ε rY
1 − ε rY
[A3.16]
Normalmente l’errore relativo εrY è molto minore di 1 e, quindi, la [A3.16] può essere scritta, con sufficiente approssimazione, nel seguente modo semplificato:
ε rR ≅ ε rX − ε rY
[A3.17]
97
A3 • Misure elettriche: aspetti generali e misura delle grandezze fondamentali
Dalle espressioni [A3.15] e [A3.17] si deduce che l’errore risultante sul rapporto
dipende dalla differenza algebrica degli errori sulle grandezze componenti e, quindi,
la situazione più sfavorevole si ha quando i due errori hanno segno discorde, nel qual
caso i loro valori assoluti si sommano.
Per trovare l’errore relativo percentuale basta moltiplicare per 100 le espressioni
[A3.16] e [A3.17]:
ε rR % = 100
ε rX − ε rY ε rX % − ε rY %
=
1 − ε rY
1 − ε rY
[A3.18]
Errore relativo
percentuale
sul quoziente
ε rR % ≅ ε rX % − ε rY %
[A3.19]
Dalle misure riportate nell’esempio 5 calcolare il valore della resistenza e i relativi errori, assoluto e percentuale.
■ Applicando la legge di Ohm si ricava:
Rm =
Vm 25
=
= 12, 5 Ω
Im
2
Gli errori relativi commessi sulla tensione e sulla corrente sono dati da:
ε rV =
ε rV % 1, 3
=
= 0, 013
100 100
ε rI =
ε rI % 0, 7
=
= 0, 007
100 100
Con la [A3.15] si calcola l’errore assoluto:
ε aR = Rm
ε rV − ε rI
0,013 − 0,007
= 12,5
= 0,0755 Ω
1 − ε rI
1 − 0,007
L’errore relativo e quello percentuale, utilizzando le formule esatte, sono dati da:
ε rR =
ε rV − ε rI 0, 013 − 0, 007
=
= 0, 00604
1 − ε rI
1 − 0, 007
ε rR % =
ε rV % − ε rI % 1, 3 − 0, 7
=
= 0, 604%
1 − ε rI
1 − 0, 007
Utilizzando, invece, le formule approssimate si ha:
ε rR = ε rV − ε rI = 0, 013 − 0, 007 = 0, 006
ε rR % = ε rI % − ε rV% = 1,3 − 0,7 = 0,6%
con risultati quasi identici.
ESEMPIO
6
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
98
A3.4 Classificazione degli strumenti di misura
Vi sono vari tipi di strumenti di misura, differenti tra loro per la grandezza misurata,
per il tipo di indicazione fornita, per il principio di funzionamento.
La classificazione in funzione della grandezza misurata viene effettuata indicando il
nome della grandezza o della sua unità di misura; alcuni esempi sono i seguenti:
• amperometro per la misura di correnti;
• voltmetro per la misura di tensioni;
• wattmetro per la misura di potenze;
• frequenzimetro per la misura di frequenze.
Vi sono anche degli strumenti multifunzione, ossia che possono misurare vari tipi
di grandezze elettriche, come i multimetri.
I
N
S
I
Figura A3.1
Schema costruttivo
di uno strumento
analogico
a bobina mobile.
Gli strumenti vengono distinti anche, in funzione del tipo di indicazione che forniscono, in:
• strumenti indicatori, che misurano il valore della grandezza in quel momento e,
quindi, non consentono di risalire ai valori assunti precedentemente;
• strumenti registratori che, appunto, registrano l’andamento della grandezza nel
tempo, per esempio mediante una penna scrivente su un disco di carta o usando memorie elettroniche;
• strumenti rivelatori, come i galvanometri, che non hanno il compito di misurare
la corrente circolante, ma solo di rilevarne l’esistenza.
Un’altra importante suddivisione si ha tra strumenti analogici e digitali.
Gli strumenti analogici indicano il valore misurato mediante lo spostamento di un indice su una scala graduata. Essi, quindi, misurano lo spostamento angolare dell’indice,
spostamento che viene reso corrispondente al valore della grandezza elettrica misurata,
stabilendo un’analogia (da qui la denominazione di tali strumenti) tra grandezze diverse.
Per il funzionamento è necessario che, all’interno dello strumento, si creino due
coppie di forze: una coppia motrice, proporzionale al valore della grandezza misurata
e che determina lo spostamento dell’indice, e una coppia antagonista, normalmente
fornita da due molle di torsione, che, equilibrando la coppia motrice, arresta l’indice
nella posizione corrispondente al valore misurato.
La figura A3.1 mostra uno strumento analogico in cui la coppia motrice è creata
dall’azione di un magnete permanente su una bobina percorsa da corrente. Volendo ottenere un amperometro, occorre fare in modo che la coppia motrice sia proporzionale
alla corrente, secondo la relazione:
C m = km I
La coppia antagonista è proporzionale all’angolo di rotazione α dell’indice, corrispondente all’angolo di torsione della molla:
Ca = kaα
In condizioni di equilibrio l’equipaggio mobile dello strumento è fermo, in quanto
le due coppie sono uguali, e quindi si ha:
km I = kaα
da cui:
Deviazione
dell’indice
in uno strumento
analogico
α=
km
I
ka
[A3.20]
La relazione [A3.20] mostra che i valori della corrente e dell’angolo di rotazione
sono direttamente proporzionali e, quindi, misurando α, si può risalire al valore di I.
A3 • Misure elettriche: aspetti generali e misura delle grandezze fondamentali
a)
b)
Quando viene effettuata la taratura dello strumento, sulla scala vengono indicati, mediante tacche graduate, i valori di corrente corrispondenti alle diverse deviazioni dell’indice, in modo che la lettura risulti immediata.
Negli strumenti digitali, invece, il valore misurato viene visualizzato mediante cifre che compaiono su un apposito display, per cui non vi sono né l’indice né la scala
graduata. La figura A3.2 a, b mostra l’aspetto esterno di due multimetri portatili, uno
analogico e l’altro digitale.
Gli strumenti digitali sono assai diffusi ed è opinione comune che siano più precisi
di quelli analogici. In realtà in essi non vi sono gli errori di parallasse e di apprezzamento, in quanto non si deve valutare la posizione dell’indice sulla scala, ma questo
non riguarda la precisione propria dello strumento, che potrebbe essere inferiore a
quella di uno di tipo analogico.
Un’ulteriore classificazione distingue gli strumenti elettrici in funzione del principio scientifico su cui si basa il loro funzionamento; per esempio, nel caso degli strumenti analogici, si possono avere strumenti elettromagnetici, elettrodinamici, elettrostatici, termici, a induzione.
A3.5 Caratteristiche degli strumenti di misura
Portata
La portata rappresenta il valore massimo misurabile dallo strumento, detto anche
range; per gli strumenti analogici corrisponde al valore di fondo scala Vfs.
Per esempio un voltmetro con portata 50 V può misurare una tensione fino a tale valore, superato il quale si rischia di danneggiare lo strumento.
Nel caso degli strumenti analogici valori superiori alla portata non possono essere letti, in quanto si esce dalla scala. Negli strumenti digitali, invece, può essere
prevista una certa percentuale di sovraccarico (overrange), che permette di estendere il campo di misura; la lettura viene resa possibile aumentando il numero di cifre a disposizione.
Molti strumenti possono operare su più portate, mediante commutatori di vario tipo.
Costante di lettura
Negli strumenti con indice e scala graduata la costante di lettura è il rapporto tra la portata e il numero di divisioni di fondo scala.
Per esempio un voltmetro di portata 50 V e numero di divisioni 100 ha una costante di
lettura pari a 50/100 = 0,5 V/div. Se la lettura effettuata è pari a 60 divisioni, la tensione
misurata sarà uguale a 60 × 0,5 = 30 V.
99
Figura A3.2 a, b
Multimetri portatili,
di tipo analogico (a)
e digitale (b).
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
100
Sensibilità
La sensibilità di uno strumento indica la capacità di rispondere a piccole variazioni
della grandezza da misurare e può essere definita come la più piccola variazione indicata, riferita alla portata minore.
Nel caso degli strumenti analogici essa dipende dal numero di divisioni della scala:
maggiore è il loro numero, più sensibile è lo strumento. Per esempio, su un amperometro con portate 1, 5 e 10 A e 100 divisioni di fondo scala si riesce ad apprezzare una
variazione minima di corrente pari a una divisione, che corrisponde, con la portata minore, a 1/100 = 0,01 A e, quindi, coincide numericamente con la costante di lettura
dello strumento, per quel valore di portata.
Per gli strumenti digitali la sensibilità dipende dal numero di cifre del display; per
esempio, un voltmetro a tre cifre, con portata minima 1 V, consente di misurare tensioni
da 1 mV a 999 mV, con sensibilità 1 mV, non essendo possibili valutazioni intermedie.
Classe di precisione
La classe di uno strumento indica la sua precisione intrinseca, indipendentemente dagli
altri errori commessi nella misura; essa dipende, in generale, dall’accuratezza con cui lo
strumento è stato costruito.
Per gli strumenti analogici la classe di precisione è indicata da un numero, che rappresenta l’errore relativo percentuale massimo riferito al valore di fondo scala e,
quindi, è data da:
εc =
ε a 100
V fs
[A3.21]
dove εc indica la classe ed εa è l’errore assoluto, supposto costante su tutta la scala dello
strumento.
Ricavando dalla [A3.21] l’errore assoluto e sostituendolo nell’espressione dell’errore relativo percentuale, si ricava il valore di tale errore commesso nella misura di un
generico valore Vm:
Errore assoluto
dovuto
alla classe
εa =
εr % =
Errore relativo
percentuale
dovuto
alla classe
ε cV fs
100
[A3.22]
ε a 100 ε cV fs 100
=
100 Vm
Vm
εr % =
ε cV fs
Vm
[A3.23]
Dall’esame dell’espressione [A3.23] risulta chiaramente che:
•
l’errore dovuto allo strumento è uguale alla classe solo quando la misura viene effettuata a fondo scala e rappresenta l’errore relativo minimo che lo strumento può
commettere;
101
A3 • Misure elettriche: aspetti generali e misura delle grandezze fondamentali
•
•
quando Vm < Vfs l’errore relativo è maggiore della classe ed è tanto più grande
quanto più la misura viene effettuata lontano dal fondo scala;
per migliorare la precisione di una misura occorre scegliere lo strumento con un valore di portata non molto maggiore del valore da misurare, per effettuare la misura
nella parte finale della scala.
Con un amperometro di portata 1 A e classe 0,5 si effettuano due misure, rilevando i valori 0,4 A e
0,95 A. Calcolare, supponendo che la sola causa di errore sia la classe di precisione dello strumento, il valore dell’errore assoluto e di quello relativo percentuale in entrambe le rilevazioni.
ESEMPIO
7
ESEMPIO
8
■ L’errore assoluto si calcola con la [A3.22] ed è indipendente dal valore misurato:
εa =
ε cV fs 0, 5 × 1
=
= 0, 005 A
100
100
L’errore relativo percentuale, applicando la [A3.23], è dato da:
ε r1 % =
ε cV fs 0, 5 × 1
=
= 1, 25%
0, 4
I m1
εr 2 % =
ε cV fs 0, 5 × 1
=
= 0, 526%
0, 95
Im2
L’esame dei risultati ottenuti conferma le conclusioni precedenti.
I valori assunti dalla classe dipendono dall’utilizzazione dello strumento: si va dalle
classi 0,1 o 0,2 per gli strumenti più precisi (strumenti da laboratorio) a 2,5 e 5 per quelli
a cui è richiesta una indicazione grossolana della grandezza (strumenti da quadro).
Errore sull’ultima cifra
Nel caso degli strumenti digitali l’ultima cifra del display (meno significativa) può essere affetta da errore; in questo caso si indica il numero di digit di incertezza, a cui bisogna sommare l’errore proprio dello strumento, che viene normalmente indicato con
la percentuale sulla lettura più quella sul fondo scala.
Un voltmetro digitale a tre cifre ha portata 1 V, errore sul fondo scala 0,2%, errore sulla lettura
1% ed errore sull’ultima cifra di 1 digit. Calcolare l’errore assoluto e quello relativo che si
commettono misurando la tensione di 600 mV.
■ Esprimendo tutto in millivolt e tenendo conto che l’errore sull’ultima cifra è di 1 mV, si ha:
εa =
1
0, 2
600 +
1000 + 1 = 6 + 2 + 1 = 9 mV
100
100
a cui corrisponde l’errore relativo percentuale:
εr % =
9
100 = 1, 5%
600
A3.6 Misura di corrente
La misura diretta di una corrente viene effettuata mediante uno strumento chiamato
amperometro, il cui simbolo è rappresentato nella figura A3.3. Esso va collegato in
serie al bipolo di cui si vuole misurare la corrente (o, in generale, al circuito in prova),
in modo che entrambi siano interessati dalla stessa corrente.
L’inserzione di un amperometro modifica il regime di funzionamento del circuito in
A
Figura A3.3
Simbolo
dell’amperometro.
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
102
prova, in quanto lo strumento presenta una resistenza interna RA non nulla, dovuta al
suo circuito interno, che fa variare la corrente circolante, introducendo un errore di misura, di tipo sistematico, dovuto all’autoconsumo dello strumento. Negli strumenti
elettronici, come i multimetri, questa resistenza è molto piccola e i suoi effetti si possono trascurare.
Quanto detto risulta evidente dall’esame della figura A3.4 a, b, in cui sono rappresentate, rispettivamente, l’inserzione di un amperometro ideale (privo di resistenza interna) e quella di uno strumento reale, con resistenza interna RA.
Im
Im
RA
A
A
+
+
R
E
Im =
R
E
E
R
Im =
a)
Figura A3.4 a, b
Inserzione
dell’amperometro:
amperometro
ideale (a);
amperometro
reale (b).
E
R + RA
b)
Nel primo caso l’amperometro misura realmente la corrente che il generatore fornisce al resistore di resistenza R:
Im = I =
E
R
[A3.24]
Nel secondo caso la corrente misurata è quella assorbita dalla serie RA + R, data da
E/(RA + R); sostituendo E = RI si ha:
Relazione
tra la corrente
reale e quella
misurata
Im =
RI
R + RA
[A3.25]
Dall’esame della [A3.25] si deduce che:
•
•
la corrente misurata è minore di quella che passerebbe nel circuito in assenza dell’amperometro;
la differenza tra le correnti è tanto più piccola quanto minore è RA rispetto a R; se
RA = 0, non vi è alcuna differenza tra le correnti (si ricade nel caso di figura A3.4 a).
L’errore assoluto dovuto all’autoconsumo dello strumento si può calcolare con la
formula [A3.2]:
εa = I m − I
Ricavando I dalla [A3.25] e sostituendo, si ha:
εa = I m − I m
R − R − RA
R + RA ⎞
R + RA
⎛
= I m ⎜1 −
⎟ = Im
⎝
R
R ⎠
R
e, infine:
Amperometro
reale: errore
assoluto
εa = − I m
RA
R
L’errore relativo percentuale si calcola con la [A3.5]:
[A3.26]
103
A3 • Misure elettriche: aspetti generali e misura delle grandezze fondamentali
εr % =
εa
I R 100
100 = − m A
Im
R
Im
e, quindi:
ε r % = −100
RA
R
[A3.27]
Amperometro
reale: errore
relativo
percentuale
Le espressioni [A3.26] e [A3.27] confermano le conclusioni precedenti, ossia che
ÈÈl’errore dovuto all’autoconsumo dello strumento è tanto minore quanto più è
piccola la resistenza interna dello strumento rispetto a quella del circuito in
prova.
L’autoconsumo dello strumento, espresso in termini di potenza persa per effetto
Joule all’interno dello stesso, è dato da:
PA = RA I m2
[A3.28]
Potenza persa
nell’amperometro
e dipende dalla corrente misurata; l’autoconsumo massimo si ha con la corrente di
fondo scala.
Un amperometro di portata 0,5 A e autoconsumo a fondo scala di 50 mW viene inserito in un
circuito di resistenza 50 Ω; la corrente misurata vale 0,4 A. Determinare, in valore assoluto e
percentuale, l’errore dovuto all’autoconsumo.
ESEMPIO
■ La resistenza interna dello strumento è data da:
RA =
PA 50 × 10 −3
=
= 0, 2 Ω
0, 5 2
I 2fs
Gli errori richiesti si calcolano direttamente applicando le formule [A3.26] e [A3.27]:
ε a = − Im
RA
0,2
RA
0,4 × 0,2
= −100
= − 0,4%
=−
= − 0,0016 A = −1,6 mA ε r % = −100
R
50
R
50
A3.7 Misura di tensione
La misura diretta di una tensione viene effettuata mediante uno strumento chiamato
voltmetro, il cui simbolo è rappresentato nella figura A3.5. Esso va collegato in
parallelo al bipolo di cui si vuole misurare la tensione (o, in generale, al circuito in
prova), in modo che entrambi siano interessati dalla stessa tensione.
Nel campo degli strumenti analogici sono molto diffusi i voltmetri amperometrici, derivati direttamente da amperometri di piccola portata (milli o microamperometri), nei quali la misura della tensione viene effettuata misurando, in realtà, una corrente che, circolando in una resistenza di valore noto, risulta proporzionale alla tensione che l’ha determinata.
Si consideri (figura A3.6) uno strumento amperometrico con resistenza interna RV,
collegato in parallelo a un bipolo resistivo di cui si vuole misurare la tensione; tutto il
circuito è alimentato da un generatore di corrente I0.
Indicando con kA la costante amperometrica dello strumento, la deviazione n dell’indice è legata alla corrente IV dalla relazione:
IV = k A n
V
Figura A3.5
Simbolo
del voltmetro.
9
104
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
I
A
I0
IV
Figura A3.6
Inserzione
di un voltmetro
amperometrico.
Vm
R
RV
La tensione ai morsetti dello strumento sarà data da:
Vm = RV IV = RV kA n
In questo modo si è ottenuto un voltmetro analogico, per il quale la deviazione dell’indice e la tensione misurata sono legate dalla relazione:
Vm = kV n
[A3.29]
dove kV = RV kA è la costante voltmetrica dello strumento.
L’inserzione di un voltmetro modifica il regime di funzionamento del circuito in
prova, in quanto lo strumento, per funzionare, deve assorbire dal circuito una corrente
IV non nulla, che fa variare la corrente circolante, introducendo un errore di misura, di
tipo sistematico, dovuto all’autoconsumo dello strumento. Tale errore è tanto minore
quanto più è piccola la corrente assorbita e, quindi, quanto più è elevata la resistenza
interna del voltmetro; il voltmetro ideale dovrebbe avere resistenza infinita e corrente
assorbita nulla.
Per quantificare l’errore dovuto all’autoconsumo, si riconsideri il circuito di figura
A3.6. In assenza del voltmetro il bipolo è interessato dalla corrente impressa dal generatore e la tensione ai suoi capi è data da:
V = RI 0
Inserendo il voltmetro, la tensione misurata è pari a:
Vm = RI = R ( I 0 − IV ) = RI 0 − RIV
Relazione
tra la tensione
reale e quella
misurata
Vm = V − R
Vm
RV
[A3.30]
Dall’esame della [A3.30] si deduce che:
•
•
la tensione misurata è minore di quella che si avrebbe in assenza del voltmetro;
la differenza tra le tensioni è tanto più piccola quanto maggiore è RV rispetto a R;
con resistenza teoricamente infinita non vi è alcuna differenza tra le tensioni.
L’errore assoluto dovuto all’autoconsumo dello strumento si può calcolare con la
formula [A3.2]:
ε a = Vm − V
105
A3 • Misure elettriche: aspetti generali e misura delle grandezze fondamentali
Ricavando V dalla [A3.30] e sostituendo, si ha:
⎛
⎞
R
Vm ⎟
ε a = Vm − ⎜ Vm +
RV
⎝
⎠
e, infine:
εa = −
R
Vm
RV
[A3.31]
Voltmetro reale:
errore assoluto
[A3.32]
Voltmetro reale:
errore relativo
percentuale
L’errore relativo percentuale si calcola con la [A3.5]:
εr % =
100
εa
R
100 = −
Vm
Vm
RV
Vm
e, quindi:
ε r % = −100
R
RV
Le espressioni [A3.31] e [A3.32] confermano le conclusioni precedenti, ossia che:
ÈÈl’errore dovuto all’autoconsumo dello strumento è tanto minore quanto più è elevata la resistenza interna del voltmetro rispetto a quella del circuito in prova.
Spesso la resistenza interna viene data per unità di tensione, in ohm/volt.
L’autoconsumo dello strumento, espresso in termini di potenza persa per effetto
Joule all’interno dello stesso, è dato da:
PV = GV Vm2 =
Vm2
RV
[A3.33]
Potenza persa
nel voltmetro
e dipende dalla tensione misurata; l’autoconsumo massimo si ha con la tensione di
fondo scala. Negli strumenti elettronici come i multimetri, la resistenza interna è molto
elevata e si possono trascurare i suoi effetti.
Un voltmetro, di portata 10 V e autoconsumo a fondo scala di 10 mW, viene inserito in un circuito di resistenza 500 Ω; la tensione misurata vale 8 V. Determinare, in valore assoluto e percentuale, l’errore dovuto all’autoconsumo.
■ La resistenza interna dello strumento è data da:
RV =
V fs2
PV
=
10 2
= 10 kΩ
0, 01
Gli errori richiesti si calcolano direttamente applicando le formule [A3.31] e [A3.32]:
εα = −
0,5 × 8
R
Vm = −
= − 0,4 V
10
RV
ε r % = −100
R
0, 5
= −100
= −5%
RV
10
A3.8 Misura di resistenza,
metodo volt-amperometrico
La misura diretta di una resistenza viene effettuata per mezzo di un ohmmetro, ossia
di uno strumento appositamente dedicato a tale funzione. In pratica si usa un multimetro, digitale o analogico, selezionando la funzione richiesta.
ESEMPIO
10
106
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
Im
IR
VA
I
A
IV
V
V
Im
A
Vm
Rx
V
V
Figura A3.7
Metodo volt-amperometrico: inserzione con voltmetro a valle.
VR
Vm
Rx
Figura A3.8
Metodo volt-amperometrico: inserzione con voltmetro a monte.
La misura diretta non è però molto precisa; maggiore accuratezza si ottiene con il
metodo volt-amperometrico, meno pratico e immediato di quello precedente. Con tale
metodo viene effettuata una misura indiretta della resistenza: il resistore in esame
viene alimentato da un apposito generatore e vengono misurati i valori della tensione e
della corrente; il rapporto V/I fornisce il valore della resistenza incognita.
A seconda di come gli strumenti vengono collegati al resistore in prova si possono
avere due tipi d’inserzione:
•
•
inserzione con voltmetro a valle (figura A3.7), in cui il voltmetro viene collegato
direttamente in parallelo al resistore e, quindi, a valle dell’amperometro, rispetto ai
morsetti di alimentazione;
inserzione con voltmetro a monte (figura A3.8), in cui l’amperometro viene collegato direttamente in serie al resistore e, quindi, il voltmetro si trova, con riferimento
all’alimentazione, a monte dell’amperometro.
In entrambi i casi la misura è affetta da un errore sistematico d’inserzione, dovuto
all’autoconsumo degli strumenti, che si può valutare ed eliminare conoscendo le caratteristiche degli stessi.
Inserzione con voltmetro a valle
In questo caso la tensione Vm misurata dal voltmetro è esattamente pari alla tensione VR
del resistore, mentre la corrente Im misurata dall’amperometro è la somma della corrente IR assorbita dal resistore e della IV del voltmetro:
VR = Vm
I R = I m − IV = I m −
Vm
RV
Il rapporto:
Rm =
Vm
Im
rappresenta la resistenza misurata, calcolata con i valori letti sui due strumenti, mentre
il rapporto:
V
Vm
Rx = R =
V
IR
Im − m
RV
corrisponde al valore effettivo della resistenza incognita; sviluppando l’espressione
precedente si arriva alla seguente formula:
Voltmetro
a valle: resistenza
incognita
Rx =
Rm RV
Rm
=
R
RV − Rm
1− m
RV
[A3.34]
107
A3 • Misure elettriche: aspetti generali e misura delle grandezze fondamentali
•
•
Dall’esame della [A3.34] si possono trarre alcune conclusioni:
il valore della resistenza effettiva differisce da quello misurato a causa della resistenza interna del voltmetro; se è noto il valore di RV con la [A3.34] si può calcolare il valore effettivo della resistenza incognita;
all’aumentare di RV rispetto a Rm la differenza si riduce, fino ad annullarsi se RV assume un valore teoricamente infinito.
Applicando la formula [A3.2] si valuta l’errore assoluto commesso nella misura:
R R
ε a = Rm − Rx = Rm − m V
RV − Rm
Sviluppando l’espressione precedente si arriva alla formula:
εa = −
Rm2
RV − Rm
[A3.35]
Voltmetro
a valle:
errore assoluto
Essendo, normalmente, RV > Rm, l’errore assoluto sarà negativo e quindi il valore
della resistenza misurata risulterà minore di quello effettivo.
Con la formula [A3.5] si valuta l’errore relativo percentuale:
ε
ε r % = a 100
Rm
Eseguendo opportuni passaggi matematici, si arriva all’espressione:
R
ε r % = −100 x
RV
[A3.36]
Voltmetro
a valle:
errore relativo
percentuale
dalla quale si deduce che l’errore commesso, derivante dall’inserzione usata, dipende
dal rapporto Rx /RV, diminuendo con esso. L’inserzione con voltmetro a valle risulta
pertanto conveniente per piccoli valori della resistenza incognita, tali da portare l’errore entro limiti accettabili, nel caso che non fosse possibile eliminarlo.
Inserzione con voltmetro a monte
In questo caso la tensione Vm misurata dal voltmetro è pari alla somma della tensione VR
del resistore e della caduta di tensione VA dovuta all’amperometro, mentre la corrente Im
misurata dall’amperometro è esattamente uguale a quella assorbita dal resistore:
IR = Im
VR = Vm − VA = Vm − RA I m
Il rapporto:
V
Rm = m
Im
rappresenta la resistenza misurata, calcolata con i valori letti sui due strumenti, mentre
il rapporto:
V
V − RA I m Vm
Rx = R = m
=
− RA
IR
Im
Im
corrisponde al valore effettivo della resistenza incognita. Sostituendo Rm nell’espressione precedente si arriva alla seguente formula:
Rx = Rm − RA
•
[A3.37]
Dall’esame della [A3.37] si possono trarre alcune conclusioni:
il valore della resistenza effettiva differisce da quello misurato a causa della resistenza interna dell’amperometro; se è noto il valore di RA con la [A3.37] si può calcolare il valore effettivo della resistenza incognita;
Voltmetro
a monte:
resistenza
incognita
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
108
•
al diminuire di RA rispetto a Rm la differenza si riduce, fino ad annullarsi se RA assume un valore teoricamente nullo.
Applicando la formula [A3.2] si valuta l’errore assoluto commesso nella misura:
ε a = Rm − Rx = Rm − Rm + RA
e, quindi:
Voltmetro
a monte:
errore assoluto
ε a = RA
[A3.38]
La [A3.38] mostra che l’errore assoluto è positivo e quindi il valore di resistenza
misurato risulta maggiore di quello effettivo e corrisponde alla somma della resistenza incognita più quella interna dell’amperometro. Applicando la formula [A3.5] e
tenendo conto della [A3.38], si valuta l’errore relativo percentuale, ottenendo:
Voltmetro
a monte: errore
relativo
percentuale
ε r % = 100
RA
Rm
[A3.39]
dalla quale si deduce che l’errore commesso, derivante dall’inserzione usata, dipende
dal rapporto RA /Rm, diminuendo con esso. L’inserzione con voltmetro a monte risulta
pertanto conveniente per elevati valori della resistenza misurata, tali da portare l’errore entro limiti accettabili, nel caso che non fosse possibile eliminarlo.
ESEMPIO
11
Utilizzando il metodo volt-amperometrico con voltmetro a valle sono stati rilevati i seguenti valori: Vm = 8 V, Im = 0,04 A. Gli strumenti utilizzati, entrambi di classe 1, hanno portate pari a
10 V e 50 mA e resistenze interne RA = 1 Ω e RV = 10 k Ω. Valutare gli errori assoluti e relativi
percentuali dovuti, rispettivamente, al tipo d’inserzione e alla classe degli strumenti.
■ La resistenza misurata e quella incognita sono date da:
Rm =
Vm
8
=
= 200 Ω
I m 0, 04
Rx =
Rm RV
200 × 10 × 10 3
=
= 204, 08 Ω
RV − Rm 10 × 10 3 − 200
L’errore assoluto dovuto all’inserzione si può ricavare sia dalla definizione sia applicando la
[A3.35], ottenendo:
ε a = Rm − Rx = 200 − 204,08 = − 4,08 Ω
εa = −
Rm2
200 2
=−
= − 4,08 Ω
RV − Rm
10 × 10 3 − 200
Applicando la [A3.36] si calcola l’errore relativo percentuale dovuto all’inserzione:
ε r % = −100
Rx
204, 08
= −100
= −2, 04%
RV
10 × 10 3
Gli errori relativi percentuali dovuti alla classe degli strumenti si calcolano con la formula
[A3.23], ottenendo:
ε rV % =
ε rI % =
ε cV fs 1 × 10
=
= 1, 25%
Vm
8
ε c I fs 1 × 0, 05
=
= 1, 25%
Im
0, 04
rispettivamente per la tensione e per la corrente.
109
A3 • Misure elettriche: aspetti generali e misura delle grandezze fondamentali
Si deve ora considerare l’effetto di questi errori sulla resistenza, pari al rapporto V/I.
Applicando la [A3.19] e considerando il caso più sfavorevole di errori con segni discordi, i cui
valori assoluti si sommano, l’errore risultante dovuto alla classe sarà dato da:
ε rc % = ε rV % + ε rI % = ± 1,25 ± 1,25 = ± 2,5%
a cui corrisponde un errore assoluto pari a:
ε ac =
ε rc % Rm ± 2, 5 × 200
=
= ±5 Ω
100
100
Occorre ora valutare la ripercussione di entrambi gli errori sulla misura; essendo negativo
quello dovuto all’inserzione, la condizione più sfavorevole si ha quando è negativo anche quello
derivante dalla classe, nel qual caso si ha:
ε rT % = ε r % + ε rc % = −2,04 − 2,5 = − 4,54%
che è un valore piuttosto elevato, tale da rendere poco accurata la misura.
Nel caso in esame, avendo potuto valutare l’errore d’inserzione, si può prendere come valore di resistenza non Rm ma Rx = 204,08 Ω e considerare come incertezza sul risultato solo l’errore dovuto alla classe. Occorre osservare che quando la resistenza interna del voltmetro non è
nota, tale correzione non può essere apportata.
Si supponga di ripetere la misura dell’esempio 11 con il collegamento del voltmetro a monte.
Calcolare l’errore dovuto al tipo d’inserzione.
■ L’applicazione delle espressioni [A3.38] e [A3.39] fornisce direttamente i valori richiesti:
ε a = RA = 1 Ω
ε r % = 100
RA 100 × 1
=
= 0, 5%
Rm
200
da cui si vede che l’errore d’inserzione è, in questo caso, nettamente inferiore al valore calcolato
nell’esempio precedente e, pertanto, l’inserzione con voltmetro a monte risulta più idonea per
l’effettuazione della misura esaminata.
A3.9 Misura di resistenza, ponte di Wheatstone
Per la misura di precisione di resistenze di valore medio viene usato un particolare metodo di riduzione a zero, detto ponte di Wheatstone, il cui schema elettrico è riportato nella figura A3.9.
Esso è costituito da un circuito a sei lati, comprendente:
•
•
•
•
•
una diagonale di alimentazione (lato AC), costituita da un generatore in corrente
continua (pila o accumulatore) con in serie un tasto d’inserzione TP, avente lo scopo
di alimentare tutto il circuito;
una diagonale di rilevazione (lato BD), in cui è inserito un galvanometro G e un tasto TG; il galvanometro ha la funzione di indicare in maniera molto precisa il passaggio della corrente nel lato BD, senza misurarla;
due lati di proporzione (AB e AD), in cui sono inserite le resistenze R1 e R2, ottenute
mediante resistori di precisione, regolabili in modo da poter realizzare diversi valori del rapporto R1/R2;
un lato di paragone (CD), costituito da un resistore di precisione variabile entro
un’ampia gamma di valori;
un lato (BC) in cui viene inserito il resistore di resistenza incognita Rx.
Poiché il generatore impone un potenziale positivo in A e negativo in C, il verso
delle correnti nei quattro lati e nella diagonale di alimentazione non può essere diverso
ESEMPIO
12
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
110
B
R1
I4
Rx
Tg
I1
A
G
I2
R2
C
R3
I
I3
Figura A3.9
Schema elettrico
del ponte
di Wheatstone.
D
+
–
Tp
E
da quello indicato nella figura, mentre la corrente nel galvanometro dipende, in intensità
e verso, dalla differenza di potenziale tra i punti B e D.
La particolarità del metodo sta proprio in questo: variando le resistenze R1, R2 e R3
si deve ricercare la condizione di equilibrio del ponte, che si avrà quando i potenziali
dei punti B e D saranno uguali e, quindi, la corrente nel galvanometro risulterà nulla e
lo strumento non avrà più alcuna deviazione.
La condizione IG = 0 comporterà, per il primo principio di Kirchhoff, l’uguaglianza
tra le correnti che interessano i nodi B e D, ossia:
I1 = I 4
I2 = I3
[A3.40]
Essendo uguali i potenziali dei nodi B e D, saranno uguali tra loro anche le seguenti
tensioni:
VAB = VAD
VBC = VDC
e, quindi:
R1 I1 = R2 I 2
Rx I 4 = R3 I 3
[A3.41]
Eseguendo il rapporto membro a membro delle espressioni [A3.41] e tenendo conto
delle [A3.40], si ottiene:
Rx I 4 R3 I 3
=
R1 I1 R2 I 2
Ponte di
Wheatstone:
condizione
di equilibrio
Rx I1 R3 I 3
=
R1 I1 R2 I 3
Rx R3
=
R1 R2
da cui si ha:
Rx R2 = R1 R3
[A3.42]
Dall’espressione [A3.42] si deduce che:
ÈÈil ponte è in condizioni di equilibrio quando i prodotti delle resistenze delle due
coppie di lati opposti tra loro rispetto alla diagonale del galvanometro sono
uguali.
111
A3 • Misure elettriche: aspetti generali e misura delle grandezze fondamentali
Noti i valori delle tre resistenze che consentono l’azzeramento del galvanometro,
quello della resistenza incognita è dato da:
Rx =
R1
R3
R2
[A3.43]
La ricerca della condizione di equilibrio viene comunemente effettuata fissando
il rapporto R1/R2 e variando la resistenza R3; se non si riesce a ottenere l’azzeramento si effettuano altri tentativi, con diversi valori del rapporto. In una prima fase
si cerca un azzeramento grossolano, inserendo un resistore nella diagonale del galvanometro e limitando la tensione di alimentazione, in modo da ridurre le correnti
nei rami; si passa poi all’azzeramento fine, togliendo il
resistore del galvanometro per aumentarne la sensibilità
Rx
e portando la tensione di alimentazione al massimo vaR1
x1k
lore compatibile con le caratteristiche dei resistori.
+
I ponti normalmente usati comprendono già i tre resistori variabili collegati tra loro e sono predisposti con morR3 x 100
setti per il collegamento del resistore incognito, della batteria e del galvanometro (figura A3.10). Nei ponti portatili,
–
x 10
R2
di minor precisione, sono inclusi anche l’alimentazione e il
galvanometro e, quindi, occorre collegare solo il resistore
Galv
x1
in prova.
Ponte di
Wheatstone:
resistenza
incognita
Figura A3.10
Schematizzazione
dell’aspetto esterno
di un ponte
di Wheatstone
a cassetta.
A3.10 Misura di potenza
La misura indiretta della potenza in un circuito funzionante in corrente continua può
essere eseguita con il metodo volt-amperometrico, illustrato nel paragrafo A3.8 relativamente alla misura di resistenza.
Essendo P = V I, la potenza misurata sarà data dal prodotto tra i valori misurati
della tensione e della corrente:
Pm = Vm I m
[A3.44]
Anche sulla misura della potenza influisce l’errore d’inserzione dovuto all’autoconsumo degli strumenti, in modo diverso a seconda del collegamento.
Inserzione con voltmetro a valle
Tenendo conto delle relazioni VR = Vm e IR = Im – IV, la potenza effettiva assorbita dall’utilizzatore in prova è data da:
Px = VR I R = Vm ( I m − IV ) = Vm I m − Vm IV
e, quindi:
Px = Pm −
Vm2
RV
dove il termine:
PV =
Vm2
RV
rappresenta la potenza relativa all’autoconsumo del voltmetro.
[A3.45]
Voltmetro
a valle:
potenza incognita
112
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
Se è noto il valore di RV, con la [A3.45] si calcola direttamente la potenza effettiva. In
caso contrario l’errore d’inserzione non si può eliminare, ma è possibile ridurlo usando
come voltmetro un multimetro digitale, avente un valore di RV molto elevato.
Va osservato, infine, che l’autoconsumo del voltmetro aumenta col quadrato di Vm,
per cui questo tipo di inserzione è adatto per circuiti funzionanti con piccoli valori della
tensione.
Inserzione con voltmetro a monte
Tenendo conto delle relazioni VR = Vm – VA e IR = Im, la potenza assorbita dall’utilizzatore in prova è data da:
Px = VR I R = (Vm − VA ) I m = Vm I m − VA I m
e, quindi:
Voltmetro
a monte:
potenza incognita
Px = Pm − RA I m2
[A3.46]
dove il termine:
PA = RA I m2
rappresenta la potenza relativa all’autoconsumo dell’amperometro.
Se è noto il valore di RA, con la [A3.46] si calcola direttamente la potenza effettiva. In
caso contrario l’errore d’inserzione non si può eliminare, ma è possibile ridurlo usando
come amperometro un multimetro digitale, avente un valore di RA molto elevato.
Va osservato, infine, che l’autoconsumo dell’amperometro aumenta col quadrato
di Im, per cui questo tipo di inserzione è adatto per circuiti funzionanti con piccoli valori della corrente.
ESEMPIO
13
Con i dati relativi all’esempio 11, calcolare i valori della potenza misurata e di quella effettiva.
■ Trattandosi dell’inserzione con voltmetro a valle, bisogna tener conto dell’autoconsumo del
voltmetro, ottenendo:
Pm = Vm I m = 8 × 0, 04 = 0, 32 W
PV =
8
Vm2
=
= 0, 8 mW
RV 10 × 10 3
Px = Pm − Pv = 320 − 0, 8 = 319, 2 mW = 0, 3192 W
Misura diretta della potenza, wattmetro
W
Figura A3.11
Simbolo
del wattmetro.
La misura diretta della potenza si effettua mediante un apposito strumento, detto wattmetro, il cui simbolo è riportato nella figura A3.11. Nel campo degli strumenti analogici è molto diffuso il wattmetro elettrodinamico, che si basa sul metodo volt-amperometrico e può essere visto come l’insieme di un amperometro e di un voltmetro racchiusi in un unico strumento, per il quale la deviazione dell’indice sulla scala è proporzionale alla potenza elettrica misurata.
Questo strumento si presenta verso l’esterno con due coppie di morsetti (figura
A3.12), precisamente:
•
•
+
−
due morsetti amperometrici (A e A ), corrispondenti ai terminali del circuito amperometrico interno, circuito da collegare in serie all’utilizzatore in prova, in modo
che sia interessato dalla stessa corrente;
+
−
due morsetti voltmetrici (V e V ), corrispondenti ai terminali del circuito voltmetrico
interno, circuito da collegare in parallelo all’utilizzatore in prova, in modo che sia interessato da una corrente proporzionale alla tensione.
113
A3 • Misure elettriche: aspetti generali e misura delle grandezze fondamentali
+
+
Figura A3.12
Distinzione
tra morsetti
amperometrici
e voltmetrici
in un wattmetro.
V+
–
A–
A+
–
V–
Le polarità “+” e “–” indicano i morsetti di entrata e di uscita della corrente e servono per il collegamento esterno delle bobine.
A seconda di come vengono collegate tra loro le due bobine si ha, in analogia al metodo volt-amperometrico, l’inserzione con bobina voltmetrica a valle e con bobina
voltmetrica a monte, come indicato nella figura A3.13.
Riguardo agli errori di autoconsumo dovuti all’inserzione, essi dipendono dalle resistenze interne RAW ed RVW dei due circuiti, in modo del tutto analogo a quanto indicato per la misura di potenza con il metodo volt-amperometrico.
Figura A3.13 a, b
Inserzione del
wattmetro con
bobina voltmetrica
a valle (a)
e a monte (b).
+
W
+
V
–
V
–
a)
+
W
+
V
–
V
–
b)
La portata di un wattmetro analogico utilizzato in corrente continua dipende dalle
portate delle due bobine; indicando con Vfs la portata voltmetrica e con Ifs quella amperometrica, la portata wattmetrica sarà data da:
Pfs = V fs I fs
[A3.47]
Entrambi i circuiti interni, amperometrico e voltmetrico, hanno normalmente più
portate; applicando la [A3.47] si calcolano le portate wattmetriche corrispondenti alle
coppie scelte.
Portata
di un wattmetro
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
114
ESEMPIO
14
Mediante un wattmetro analogico con 100 divisioni a fondo scala si esegue una misura di potenza, utilizzando le portate Vfs = 5 V e Ifs = 0,5 A. Supponendo che la lettura sia stata n = 85
divisioni, calcolare la potenza misurata.
■ La portata wattmetrica scelta è data da:
Pfs = V fs I fs = 5 × 0, 5 = 2, 5 W
La costante di lettura risulterà pari a:
kW =
Pfs
N fs
=
2, 5
W
= 0, 025
100
div
a cui corrisponde la potenza misurata:
Pm = kW n = 0, 025 × 85 = 2,125 W
Esercizi di verifica
Esercizio 1
Calcolare l’errore relativo e quello assoluto commessi nella misura di una corrente, sapendo che εr% = 2%
e Im = 0,5 A.
[Risultati: εεr = 0,02; εεa = 0,01 A]
Esercizio 2
Sapendo che l’errore assoluto commesso nella misura di una tensione è εa = – 1,2 V e che Vm = 12 V, calcolare
l’errore relativo e quello percentuale.
[Risultati: εεr = −−0,1; εεr% = −−10%]
Esercizio 3
Nello schema di figura A3.14 entrambi gli amperometri sono di classe 1 e hanno fondo scala 5 A e 100 div. Le
letture sono rispettivamente: l1 = 70 div e l2 = 55 div. Calcolare la corrente I risultante e gli errori, relativo percentuale e assoluto, commessi su tale grandezza.
I1
A1
I2
A2
I
Figura A3.14
Esercizio 3.
V
[Risultati: I = 6,25 A; εεa = 0,1 A; εεr% = 1,6%]
Esercizio 4
Nello schema di figura A3.15 entrambi i voltmetri sono di classe 1 e hanno 100 divisioni di fondo scala. Le portate sono rispettivamente pari a 50 V e 25 V e sono state effettuate le letture l1 = 80 div e l2 = 90 div.
Determinare la tensione incognita Vx e gli errori, assoluto e relativo percentuale, commessi su tale tensione.
[Risultati: Vx = 17,5 V; εεa = 0,75 V; εεr% = 4,286%]
V2
V
V1
Vx
Figura A3.15
Esercizio 4.
115
Esercitazioni
A3 • Misure elettriche: aspetti generali e misura delle grandezze fondamentali
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
116
Esercitazioni
Esercizio 5
Determinare la resistenza interna che deve avere un amperometro da utilizzare in un circuito di resistenza R = 330 Ω,
per avere un errore relativo percentuale dovuto all’autoconsumo non superiore allo 0,5% in valore assoluto.
Calcolare l’autoconsumo dello strumento quando Im = 0,5 A.
[Risultati: RA = 1,65 ΩΩ
; PA = 0,4125 W]
Esercizio 6
Determinare la resistenza interna che deve avere un voltmetro da utilizzare in un circuito di resistenza R = 220 Ω,
per avere un errore relativo percentuale dovuto all’autoconsumo non superiore allo 0,2% in valore assoluto.
Calcolare l’autoconsumo dello strumento quando Vm = 12 V.
[Risultati: RV = 110 kΩΩ
; PV = 1,31 mW]
Esercizio 7
Mediante il metodo volt-amperometrico con voltmetro a monte sono stati misurati i seguenti valori: Vm = 15 V, Im =
= 7,5 mA. Gli strumenti sono entrambi di classe 1, con portate 25 V e 10 mA e resistenze interne 10 Ω (amperometro)
e 5 kΩ (voltmetro). Calcolare i valori della resistenza e della potenza, depurati dall’autoconsumo degli strumenti,
e gli errori, assoluto e relativo percentuale, commessi su tali grandezze a causa della classe di precisione.
[Risultati: Rx = 1,99 kΩΩ
; Px = 111,9 mW; εεaR = 60 ΩΩ
;
εεaP = 3,375 mW; εεr% = 3%]
Esercizio 8
Calcolare i valori della costante di lettura kW di un wattmetro con portate voltmetriche 5 V, 10 V, 15 V, portate
amperometriche 1 A, 5 A e 100 divisioni a fondo scala.
[Risultati: 0,05 W/div – 0,1 W/div – 0,15 W/div
0,25 W/div – 0,5 W/div – 0,75 W/div]
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Definire il concetto di misura.
2. Spiegare la differenza tra una misura diretta e una indiretta.
3. Che cos’è l’errore assoluto commesso in una misura?
4. Definire l’errore relativo e quello relativo percentuale.
5. Spiegare la differenza tra errore sistematico e accidentale.
6. Che cos’è l’errore soggettivo? Fare due esempi di errori di questo tipo.
7. Ricavare le espressioni dell’errore assoluto e di quello relativo commessi sul prodotto di tre grandezze.
8. A che cosa sono uguali gli errori relativi commessi sulla somma e sulla differenza di due grandezze?
9. In quale caso l’errore relativo percentuale commesso sul quoziente di due grandezze è uguale alla somma algebrica degli errori del numeratore e del denominatore?
10. Classificare gli strumenti di misura in funzione del tipo di indicazione fornita.
11. Che cos’è la costante di lettura di uno strumento analogico?
12. Che cosa s’intende per sensibilità di uno strumento?
13. Ricavare l’espressione dell’errore relativo in funzione della classe di precisione di uno strumento analogico.
14. Spiegare perché un amperometro di piccola resistenza interna influenza poco il regime di funzionamento del
circuito in cui è inserito.
15. Spiegare perché un voltmetro di elevata resistenza interna influenza poco il regime di funzionamento del circuito in cui è inserito.
16. Spiegare il criterio di scelta della connessione degli strumenti per la misura di resistenza con l’inserzione voltamperometrica.
17. Ricavare le espressioni della resistenza Rx e della potenza Px, per entrambi i circuiti dell’inserzione volt-amperometrica.
18. Ricavare la condizione di equilibrio del ponte di Wheatstone.
117
Esercitazioni
A3 • Misure elettriche: aspetti generali e misura delle grandezze fondamentali
118
A4
Attività di laboratorio
proposte
L’attività di laboratorio è di fondamentale importanza nello studio dell’Elettrotecnica, sia
come verifica dei concetti studiati sia come approccio sperimentale ai vari argomenti. In questa unità vengono proposte delle esercitazioni attinenti ai contenuti del modulo che richiedono l’impiego della strumentazione di cui sono normalmente dotati i laboratori elettrici,
mentre per l’ultima proposta basta l’uso di un semplice PC.
A4.1 Misura della resistenza con il metodo
volt-amperometrico
Obiettivo dell’esercitazione è quello di misurare il valore della resistenza elettrica di un
resistore incognito, con l’uso di un voltmetro e di un amperometro. La prova comprenderà quindi la misura diretta della tensione, la misura diretta della corrente e la misura
indiretta della resistenza.
A seconda del valore presunto della resistenza incognita si potrà utilizzare uno degli schemi riportati nella figura A4.1 a, b.
+
=
+
A
+
+
–
V
Rx
=
+
–
a)
A
+
V
Rx
b)
Figura A4.1 a, b
Inserzione col voltmetro a valle (a); inserzione col voltmetro a monte (b).
Lo svolgimento della prova è simile nei due casi. Avendo a disposizione un alimentatore regolabile si possono eseguire più misure, con diversi valori di tensione e corrente, tenendo conto dei valori di targa del resistore incognito Rx. Per evitare un eccessivo riscaldamento del resistore è opportuno che la corrente massima di prova non superi il valore In/10, dove In è la corrente nominale del resistore, e che la misura venga
effettuata per valori decrescenti della corrente.
Per ogni prova sugli strumenti verranno letti i valori della tensione misurata Vm e
della corrente misurata Im, dai quali si deduce il valore della resistenza misurata con
A4 • Attività di laboratorio proposte
la relazione:
Rm =
Vm
Im
[A4.1]
Se vengono utilizzati strumenti elettronici come i multimetri, che hanno valori della
resistenza interna tali da non influire in modo significativo sulla misura, oppure se non
sono noti i valori della resistenza interna del voltmetro e dell’amperometro, il valore
della resistenza incognita coincide con quello misurato: Rx = Rm.
Se, invece, sono noti i valori delle resistenze interne del voltmetro e dell’amperometro, si calcola il valore della resistenza incongita con le relazioni:
• inserzione col voltmetro a valle: Rx = RmR
[A4.2]
1− m
RV
•
inserzione col voltmetro a monte: Rx = Rm – RA
[A4.3]
Avendo effettuato più misure, il valore della resistenza incognita piò essere calcolato come media aritmetica dei valori risultanti dalle varie prove.
Dai risultati delle misure è possibile ricavare la caratteristica volt-amperometrica del bipolo incognito, riportando sul piano cartesiano V, I (o I, V) i punti corrispondenti ai valori della tensione e della corrente misurati per ogni prova. Se l’oggetto
in prova è un normale resistore con comportamento lineare, i punti suddetti devono
stare su una retta passante per l’origine degli assi.
A4.2 Misura della potenza con il metodo
volt-amperometrico
Mediante il circuito di misura del paragrafo precedente può anche essere effettuata la
misura della potenza assorbita dal resistore in prova. In pratica, se il componente
usato non cambia, non è necessario fare altre misure ma si possono usare i valori della
tensione e della corrente della prova precedente.
La potenza misurata si calcola in modo indiretto con la relazione:
Pm = Vm Im
[A4.4]
Se vengono utilizzati strumenti elettronici come i multimetri, che hanno valori della
resistenza interna tali da non influire in modo significativo sulla misura, oppure se non
sono noti i valori della resistenza interna del voltmetro e dell’amperometro, il valore
della potenza incognita coincide con quello misurato: Px = Pm.
Se, invece, sono noti i valori delle resistenze interne del voltmetro e dell’amperometro, si calcola il valore della potenza incognita con le relazioni:
Vm2
RV
•
inserzione col voltmetro a valle: Px = Pm −
•
inserzione col voltmetro a monte: Px = Pm – RAIm2
[A4.5]
[A4.6]
Riportando su un grafico cartesiano i valori di Px sull’asse delle ordinate in funzione di quelli di V sull’asse delle ascisse, per le varie misure effettuate, si ricava la
curva della potenza in funzione della tensione. Se l’oggetto in prova è un normale resistore con comportamento lineare, avente resistenza e conduttanza costanti al variare
della tensione, i punti suddetti devono stare sul ramo di una parabola avente come vertice l’origine degli assi, di equazione P = GV 2.
119
Modulo A • Grandezze elettriche fondamentali e loro legami, bipoli elettrici
120
A4.3 Generatore reale di tensione
con carico variabile
Mediante l’uso di un PC e di un foglio elettronico (tipo Excel) si può studiare il comportamento di un generatore reale di tensione, per il quale vengono assegnati i valori
della f.e.m. E e della resistenza interna Ri, collegato a un utilizzatore passivo di resistenza Ru variabile da zero a RuM (da assegnare) con passo ΔRu, anch’esso da scegliere.
Per esempio, se si fissa Ri = 5 Ω e RuM = 25 Ω, si può scegliere ΔRu = 1 Ω e ottenere
una tabella di 25 valori oltre quello iniziale con Ru = 0, corrispondente alla condizione
di cortocircuito.
Per ogni valore della resistenza di carico si determinano i valori delle seguenti grandezze.
E
• corrente assorbita dal carico: I =
[A4.7]
Ri + Ru
•
tensione ai capi del carico: V = RuI = E – Ri I
•
potenza generata: Pg = EI =
•
potenza utile: Pu = VI = Ru I 2
[A4.10]
•
potenza persa: Pp = Pg – Pu = Ri I 2
[A4.11]
E2
Ri + Ru
[A4.8]
[A4.9]
Mediante le apposite funzioni del foglio elettronico si ricavano i grafici delle varie
grandezze, riportando sull’asse delle ascisse i valori di Ru, da zero a RuM. In accordo
con la teoria del bipolo generatore, i grafici cartesiani dovranno rispettare i seguenti andamenti:
•
la corrente dovrà diminuire all’aumentare di Ru, partendo dal valore Icc = E/Ri che
si ha con resistenza di carico nulla;
•
la tensione dovrà aumentare al crescere di Ru, partendo dal valore V = 0 in cortocircuito; dalla [A4.8] risulta, infatti, che se la corrente diminuisce si riduce anche la
c.d.t. interna al generatore e la tensione sul carico aumenta;
•
la potenza generata dovrà diminuire all’aumentare di Ru, dato che diminuisce l’intensità di corrente alla quale è proporzionale;
•
la potenza utile dovrà aumentare con Ru fino a un valore massimo che si avrà per
Ru = Ri (condizione di adattamento) e poi diminuirà al crescere ulteriore di Ru; il valore iniziale sarà Pu = 0 per V = 0 (cortocircuito), mentre il valore massimo sarà pari
a PuM = E2/(4 Ri);
•
la potenza persa dovrà diminuire all’aumentare di Ru, essendo legata al quadrato
dell’intensità di corrente che, a sua volta, diminuisce.
Modulo B
Risoluzione
delle reti elettriche
lineari in corrente
continua
Obiettivi
Prerequisiti
Scheda PRE-1 Risoluzione di un sistema di equazioni lineari
Contenuti
• B1 Metodi di risoluzione delle reti lineari
• B2 Regolazione reostatica e verifica dei metodi
•
di risoluzione delle reti
B3 Attività di laboratorio proposte
Esercitazioni
• Esercizi di verifica
• Test di verifica
122
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
Obiettivi
Al termine di questo modulo gli alunni dovranno:
1. conoscere i principali metodi di risoluzione di una rete elettrica lineare;
2. saper risolvere completamente una rete, ricavandone le grandezze elettriche
di tutti i lati, mediante il metodo di risoluzione indicato;
3. saper risolvere completamente una rete scegliendo autonomamente il metodo di risoluzione più appropriato;
4. saper risolvere parzialmente una rete, calcolando le grandezze elettriche richieste dalle specifiche del problema;
5. saper analizzare il comportamento dei bipoli costituenti la rete e saper eseguire il bilancio energetico della stessa;
6. essere in grado di verificare sperimentalmente i metodi di risoluzione studiati.
Tutti gli obiettivi si riferiscono a reti elettriche lineari di media complessità, funzionanti in corrente continua e alimentate da uno o più generatori.
Prerequisiti
SCHEDA PRE-1 Risoluzione di un sistema di equazioni lineari
Sistema di equazioni lineari
Un’equazione nelle n incognite x1, x2, …, xn, si dice di 1° grado o lineare
quando può essere ridotta alla forma seguente, in cui tutte le incognite compaiono alla prima potenza:
a1 x1 + a2 x2 + …
K + an xn = h
dove a1, a2, …, an sono dei numeri reali noti, detti coefficienti delle incognite,
e h è il termine noto, anch’esso di tipo reale. L’equazione è omogenea se
h = 0, non omogenea in caso contrario.
Considerando un insieme di n equazioni nelle n incognite indicate, si ottiene un
sistema di equazioni lineari:
K + a1n xn = h1
⎧a11 x1 + a12 x2 + …
⎪a x + a x + …
⎪ 21 1 22 2 K + a2 n xn = h2
⎨
⎪.................................................
⎪⎩an1 x1 + an 2 x2 + …
K + ann xn = hn
Si chiama soluzione del sistema un gruppo ordinato di n numeri che, sostituiti
alle n incognite, soddisfano tutte le equazioni del sistema.
Nel seguito, limitandosi a un massimo di tre equazioni, le incognite verranno indicate con i simboli x, y, z.
Metodo di confronto
Il metodo di confronto è adatto ai sistemi di due equazioni e si applica usando la
seguente procedura:
1. si ricava dalle due equazioni la stessa incognita, ponendo ogni equazione
nella forma x = …, oppure y = …;
Prerequisiti
2. si uguagliano i secondi membri, ottenendo un’equazione in una sola incognita;
3. si risolve l’equazione, ricavando il valore dell’incognita;
4. si sostituisce il valore in una delle equazioni e si ricava l’altra incognita.
Per chiarire la procedura, si segua la risoluzione del seguente sistema:
⎧5 x + 2 y = 18
⎨
⎩x = 4 y
Procedendo nel modo indicato si ottiene:
18 − 2 y
⎧
⎪x =
5
⎨
⎪⎩ x = 4 y
18 − 2 y
= 4y
5
22 y = 18
x=4
y=
9
11
18 − 2 y = 20 y
18
22
y=
x=
9
11
36
11
Metodo di sostituzione
Le operazioni da seguire per applicare il metodo di sostituzione sono le seguenti:
1. si ricava da un’equazione una delle incognite, ottenendo un’espressione in
funzione delle altre incognite;
2. si sostituisce l’espressione in tutte le restanti equazioni, ottenendo n – 1
equazioni in n – 1 incognite;
3. per questo sistema ridotto si ripetono le operazioni 1 e 2, fino a ottenere una
sola equazione in una incognita;
4. si risolve l’equazione e si ricava il valore dell’incognita;
5. rifacendo a ritroso il cammino percorso, si calcolano le altre incognite.
Per chiarire la procedura si segua la risoluzione del seguente sistema:
⎧2 x + y + 3z = 20
⎪
⎨x + 4 y – 2z = 3
⎪ 3x + 5 y + 4 z = 38
⎩
⎧ y = 20 − 2 x − 3z
⎪
⎨ x + 4 ( 20 − 2 x − 3z ) − 2 z = 3
⎪ 3x + 5 ( 20 − 2 x − 3z + 4 z = 38
)
⎩
⎧.................................................
⎪
⎨ x + 80 − 8 x − 12 z − 2 z = 3
⎪ 3x + 100 − 10 x − 15 z + 4 z = 38
⎩
⎧....................
⎪
⎨ 7 x + 14 z = 77
⎪ 7 x + 11z = 62
⎩
⎧..........................
⎪
⎨−7 x − 14 z = −77
⎪−7 x − 11z = −62
⎩
⎧
⎪...................
⎪
77 − 14 z
⎪
⎨x =
7
⎪
77
−
14
z
⎪
+ 11z = 62
⎪⎩ 7
7
⎧.................
⎪
⎨.................
⎪−3z = −15
⎩
123
124
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
15
3
z=
x=
z=5
77 − 14 × 5 77 − 70
=
7
7
x =1
y=3
y = 20 − 2 × 1 − 3 × 5
Metodo di riduzione
Nel caso di sistemi con due equazioni la procedura da seguire per applicare questo metodo è la seguente:
1. si moltiplica ogni equazione per un numero reale diverso da zero, in modo
che i coefficienti di una incognita (per esempio x) risultino opposti nelle due
equazioni;
2. si sommano membro a membro le due equazioni, in modo da ottenere una
terza equazione, combinazione lineare delle due iniziali, in una sola incognita (y, nell’esempio);
3. si risolve l’equazione ottenuta, determinando il valore di un’incognita;
4. si sostituisce tale valore in una delle equazioni iniziali e, risolvendola, si ottiene il valore dell’altra incognita.
Per maggiori chiarimenti si consideri l’esempio seguente:
⎧6 x − 7 y = 1
⎨
⎩ 4 x − 2 y = 10
I coefficienti di x, 6 e 4, hanno minimo comune multiplo pari a 12, per cui, moltiplicando la prima equazione per 2 e la seconda per – 3 e sommando membro a
membro, si ottiene:
+12 x − 14 y = 2
−12 x + 6 y = −30
8 y = 28
/ / − 8 y = −28
4x − 2
7
= 10
2
4 x − 7 = 10
x=
y=
7
2
17
4
Metodo di Cramer
Quello di Cramer è un metodo applicabile a sistemi lineari con un qualsiasi numero di equazioni e fa uso dei concetti di matrice e determinante.
Dato che tali concetti esulano dai limiti del testo, ci si limiterà a riportare le formule risolutive valide per un sistema di due equazioni, scritto nella forma:
⎧a1 x + b1 y = c1
⎨
⎩a2 x + b2 y = c2
La soluzione del sistema è data da:
x=
b2 c1 − b1c2
a1b2 − a2 b1
y=
a1c2 − a2 c1
a1b2 − a2 b1
Prerequisiti
valida quando è verificata la condizione: a1b2 − a2 b1 ≠ 0
Nel caso del sistema dell’esempio precedente, i coefficienti e i termini noti sono:
a1 = 6
b1 = −7
c1 = 1
a2 = 4
b2 = −2
c2 = 10
e, quindi, essendo rispettata la condizione:
a1b2 − a2 b1 = 6 × ( −2 ) − 4 × ( −7 ) = −12 + 28 = 16 ≠ 0
le soluzioni del sistema sono date da:
x=
( −2 ) × 1 − ( −7 ) × 10
16
y=
=
−2 + 70 68
=
16
16
6 × 10 − 4 × 1 60 − 4 56
=
=
16
16
16
x=
y=
7
2
17
4
125
126
B1
Metodi di risoluzione
delle reti lineari
In questa unità verranno presentati alcuni metodi di risoluzione delle reti lineari, formate cioè
dalla connessione di bipoli tutti lineari, sia di tipo attivo che passivo.
La risoluzione di una rete contenente un numero l di lati comporta, in generale, il calcolo della
corrente e della tensione per ogni lato; pur essendo molteplici i casi che possono presentarsi, è
possibile distinguere due categorie di problemi; precisamente:
• casi in cui è richiesta la risoluzione completa della rete e quindi il calcolo di l correnti e di l
tensioni, per effettuare il quale sono necessarie 2 l equazioni, di cui l sono rappresentate dalle
equazioni caratteristiche Vi = f (Ii) dei singoli lati;
• casi in cui è richiesta la risoluzione parziale della rete, ossia il calcolo della tensione e
della corrente in uno o più lati, senza curarsi del resto della rete, che può anche subire trasformazioni equivalenti durante la risoluzione.
B1.1 Applicazione dei principi di Kirchhoff
L’applicazione dei due principi di Kirchhoff, introdotti nel paragrafo A2.6, consente
di effettuare la risoluzione completa di una rete lineare, ossia di scrivere le l equazioni che, unite alle l equazioni caratteristiche dei lati, permettono il calcolo delle
tensioni e delle correnti incognite. Dal sistema completo di 2l equazioni è facile passare al sistema ridotto, detto sistema di Kirchhoff, scrivendo le equazioni dei singoli bipoli solo in funzione delle correnti, in modo da avere un sistema lineare di l
equazioni contenenti le l correnti incognite, una per lato.
Indicando con n il numero dei nodi, la scrittura delle l equazioni di Kirchhoff avviene adottando la procedura seguente:
•
•
•
•
•
si scelgono n – 1 nodi (tutti i nodi della rete meno uno) e si scrivono n – 1 equazioni
ai nodi, applicando a ogni nodo la legge di Kirchhoff delle correnti (KLC o primo
principio), con le modalità descritte al paragrafo A2.6, scegliendo arbitrariamente i
versi delle correnti;
si scelgono l – n + 1 maglie e si scrivono l – n + 1 equazioni alle maglie, applicando
a ogni maglia la legge di Kirchhoff delle tensioni (KLV o secondo principio), con le
modalità descritte al paragrafo A2.6, scegliendo arbitrariamente i versi di percorrenza e lasciando come incognite le sole correnti;
si ottiene così un sistema lineare di n – 1 + l – n + 1 = l equazioni, risolvendo il
quale si ottengono i valori delle l correnti dei lati;
si valutano i segni dei risultati ottenuti, tenendo presente che il segno negativo indica che il verso effettivo della corrente è opposto a quello inizialmente prefissato,
il quale va quindi cambiato se si vuole considerare positivo, da quel momento in
poi, il valore della corrente;
applicando le equazioni caratteristiche dei singoli bipoli si calcolano le tensioni, se
richieste.
127
B1 • Metodi di risoluzione delle reti lineari
Si calcolino le correnti circolanti nei lati della rete di figura B1.1 e le tensioni ai capi dei bipoli,
considerando le serie E1-R1 ed E2-R2 come singoli bipoli attivi.
I1
I3
A
I2
+
+
E2
E1
α
R1 = R2 = 10 Ω
E1 = 60 V
R3
β
R1
E2 = 40 V
R2
R3 = 15 Ω
Figura B1.1
Esempio 1.
B
■ La rete è formata da l = 3 lati ed n = 2 nodi; occorre pertanto scrivere n – 1 = 1 equazione ai
nodi e l – n + 1 = 2 equazioni alle maglie. Scegliendo il nodo A e le maglie α e β, con i versi indicati nella figura B1.1, si ottengono le seguenti tre equazioni nelle incognite I1, I2, I3:
nodo A) I1 + I 2 = I 3
maglia α) R1 I1 − E1 + E2 − R2 I 2 = 0
maglia β ) R2 I 2 − E2 + R3 I 3 = 0
Ponendole a sistema e risolvendole con il metodo di sostituzione si ha:
⎧ I1 + I 2 = I 3
⎪
⎨10 I1 − 60 + 40 − 10 I 2 = 0
⎪10 I − 40 + 15 I = 0
2
3
⎩
⎧ I 3 = I1 + I 2
⎪
⎨10 I1 − 20 − 10 I 2 = 0
⎪10 I − 40 + 15 I + I = 0
( 1 2)
2
⎩
⎧ I 3 = I1 + I 2
⎪
⎨ I1 − 2 − I 2 = 0
⎪10 I − 40 + 15 I + 15 I = 0
2
1
2
⎩
⎧ I 3 = I1 + I 2
⎪
⎨ I1 − 2 − I 2 = 0
⎪25 I − 40 + 15 I = 0
2
1
⎩
⎧ I 3 = I1 + I 2
⎪
⎨ I1 = 2 + I 2
⎪25 I − 40 + 15 2 + I = 0
( 2)
2
⎩
⎧ I 3 = I1 + I 2
⎪
⎨ I1 = 2 + I 2
⎪25 I − 40 + 30 + 15 I = 0
2
2
⎩
40 I 2 − 10 = 0
ESEMPIO
I2 =
10
40
I 2 = 0, 25 A
I1 = 2 + I 2 = 2 + 0, 25
I1 = 2, 25 A
I 3 = I1 + I 2 = 2, 25 + 0, 25
I 3 = 2, 5 A
Tutte le correnti hanno segno positivo e, quindi, i versi scelti corrispondono a quelli effettivi.
I due bipoli attivi, avendo correnti uscenti dal morsetto positivo della tensione, si comportano
come generatori reali di tensione, fornendo entrambi potenza al resistore R3.
I tre bipoli sono in parallelo, sottoposti alla stessa tensione VAB, per calcolare la quale si può
usare l’equazione caratteristica di uno qualsiasi dei bipoli. Calcolandola, per verifica, in tutti e
tre i modi si ottiene:
VAB = E1 − R1 I1 = 60 − 10 × 2, 25 = 37, 5 V
VAB = E2 − R2 I 2 = 40 − 10 × 0, 25 = 37, 5 V
VAB = R3 I 3 = 15 × 2, 5 = 37, 5 V
1
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
128
Presenza di generatori di corrente
Si supponga che nel lato di una rete vi sia un generatore ideale di corrente, che impone
la propria corrente impressa a tutti i bipoli del lato, collegati in serie tra loro. In questo
caso vi è una corrente incognita in meno, dal momento che la corrente impressa dal generatore è un dato; però compare come incognita la tensione ai capi del generatore e,
quindi, nel complesso, il numero di incognite rimane invariato.
Il metodo più conveniente per risolvere casi del genere è quello sintetizzato nella
seguente regola:
ÈÈin presenza di un numero p di lati contenenti generatori ideali di corrente con cor-
rente impressa nota, si considerano come incognite l – p correnti, riducendo di p il
numero delle equazioni alle maglie, con l’avvertenza di non scegliere come maglie
quelle che includono lati con generatori di corrente.
Per ulteriori chiarimenti si veda l’esempio seguente.
ESEMPIO
2
Del circuito di figura B1.2 calcolare le correnti nei lati e le tensioni ai capi dei generatori di corrente.
I1
C
I5
+
E1
R5
α
R1
I04
I03
A
B
R1 = 50 Ω
R2 = 30 Ω
R5 = 60 Ω
R6 = 80 Ω
I03 = 1 A
I04 = 0,5 A
E1 = 20 V
E2 = 40 V
+
E2
Figura B1.2
Esempio 2.
R6
I6
I2
R2
D
■ Nel caso in esame si ha: n = 4 nodi (A, B, C, D), l = 6 lati (A-B, A-C, A-D, B-C, B-D,
C-D), p = 2 lati con generatori ideali di corrente e quindi l – p = 4 equazioni, di cui n – 1 = 3 ai nodi
e una sola equazione alle maglie, a differenza delle tre necessarie nei casi ordinari.
Scegliendo i nodi A, B, C e la maglia α (maglia A-C-B-D-A che non contiene i due generatori
di corrente), con i versi indicati nella figura B1.2, si possono scrivere le seguenti equazioni:
nodo A) I1 + I 2 = I 03
nodo B) I 03 = I 5 + I 6
nodo C) I 5 + I 04 = I1
maglia α) E1 + R1 I1 + E2 − R2 I 2 − R6 I 6 + R5 I 5 = 0
Sostituendo i valori noti, si ottiene il seguente sistema, nelle incognite I1, I2, I5, I6:
⎧ I1 + I2 = 1
⎪1 = I + I
⎪
6
5
⎨
,5
I
+
0
=
I1
5
⎪
⎪⎩20 + 50 I1 + 40 − 30 I2 − 80 I6 + 60 I5 = 0
129
B1 • Metodi di risoluzione delle reti lineari
risolvendo il quale (la soluzione viene omessa per brevità), si arriva ai seguenti valori:
I1 = 0, 5454 A
I 2 = 0, 4546 A
I 5 = 0, 0454 A
I 6 = 0, 9546 A
I segni tutti positivi delle correnti indicano che i versi assunti sono quelli effettivi.
I valori delle tensioni ai capi dei generatori di corrente si calcolano usando il concetto di tensione tra due punti, illustrato al paragrafo A2.7.
Scegliendo i percorsi B-D-A e C-B-D si ottiene:
VBA = V03 = R6 I 6 + R2 I 2 − E2 = 80 × 0, 9546 + 30 × 0, 4546 − 40 = 50 V
VCD = V04 = − R5 I 5 + R6 I 6 = −60 × 0, 0454 + 80 × 0, 9546 = 73,664 V
B1.2 Bilancio delle potenze in una rete elettrica
In una rete elettrica sono presenti bipoli di vario tipo; precisamente:
•
•
•
•
utilizzatori passivi, costituiti da resistori che assorbono potenza elettrica, senza generarne alcuna;
generatori ideali, di tensione e di corrente, che erogano agli altri bipoli della rete
tutta la potenza elettrica generata, in quanto hanno perdite nulle;
generatori reali, di tensione e di corrente, che erogano agli altri bipoli della rete la
differenza tra la potenza generata e quella persa al loro interno;
utilizzatori attivi che assorbono dalla rete una potenza pari alla somma della potenza utilizzata e di quella persa al loro interno.
Poiché la rete è isolata rispetto all’esterno, è evidente che la somma delle potenze
erogate dai generatori (corrispondenti alle loro potenze utili) deve essere uguale alla
somma delle potenze assorbite dagli utilizzatori, attivi o passivi che siano.
Il bilancio delle potenze può quindi essere espresso con la seguente formula:
( ΣPu )Gen. = ( ΣPR )Ut . pass. + ( ΣPa )Ut .att .
[B1.1]
Bilancio delle
potenze di una
rete
dove per utilizzatori passivi si intendono tutti i resistori della rete, eccetto quelli che
rappresentano le resistenze interne dei generatori reali e degli utilizzatori attivi reali.
Eseguire il bilancio delle potenze per la rete dell’esempio 1.
ESEMPIO
■ Le potenze utili dei generatori E1-R1 ed E2-R2 sono date da:
Pu1 = V1 I1 = VAB I1 = 37, 5 × 2, 25 = 84, 375 W
Pu 2 = V2 I 2 = VAB I 2 = 37, 5 × 0, 25 = 9, 375 W
La potenza assorbita dall’utilizzatore passivo R3 è data da:
PR3 = R3 I 32 = 15 × 2, 5 2 = 93, 75 W
Il bilancio delle potenze è verificato in quanto si ha:
Pu1 + Pu 2 = PR 3
84, 375 + 9, 375 = 93, 75
93, 75 W = 93, 75 W
3
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
130
B1.3 Teorema di Millmann
Il teorema di Millmann è un mezzo molto efficace per risolvere le reti binodali, ossia
aventi soltanto due nodi, consentendo di calcolare in modo immediato la tensione tra i
due nodi, nota la quale è facile risalire alle correnti nei lati.
A
+
I23
I1
R2
E1
I02
R1
R3
Figura B1.3
Teorema di Millmann.
B
Si consideri il circuito di figura B1.3, in cui il nodo B, collegato a massa, si assume
come riferimento a potenziale zero (VB = 0). Scrivendo l’equazione al nodo A si ottiene:
E1 – VAB
VAB
I1 = I23 + I02
–––––––– = ––––– + I02
R1
R23
E1G1 – VAB G1 = VAB G23 + I02
VAB (G1 + G23) = E1G1 – I02
Ricavando VAB si ottiene:
VAB =
G1E1 − I 02
G1 + G23
Generalizzando la formula precedente per una rete binodale con l lati si può scrivere:
n
Calcolo della
tensione tra due
nodi col teorema
di Millmann
VAB =
m
∑ Gi Ei + ∑ I 0 j
i =1
l
j =1
[B1.2]
∑ Gq
q =1
dove n è il numero dei lati contenenti bipoli attivi di tensione con f.e.m Ei e conduttanze Gi, m è il numero dei lati con bipoli attivi di corrente con correnti impresse I0j e
l è il numero totale dei lati, le cui conduttanze Gq comprendono anche le Gi.
La regola generale si esprime pertanto nel seguente modo:
ÈÈla tensione tra i nodi di una rete binodale è data da un rapporto, il cui denomi-
natore è la somma aritmetica delle conduttanze di tutti i lati, mentre il numeratore si calcola come somma algebrica (con segno) delle correnti di cortocircuito
GiEi dei bipoli attivi di tensione più la somma algebrica delle correnti impresse
dai bipoli attivi di corrente.
131
B1 • Metodi di risoluzione delle reti lineari
I termini della prima sommatoria al numeratore sono positivi se il morsetto “+”
della relativa f.e.m. corrisponde al primo nodo (A per la tensione VAB) e negativi in caso
contrario. I termini della seconda sommatoria al numeratore sono positivi se le correnti
impresse sono dirette verso il primo nodo e viceversa.
Della rete di figura B1.4 calcolare la tensione VAB e le correnti nei lati.
ESEMPIO
A
+
E1 = 6 V
+
E1
R1 = 120 Ω
E3
I02 = 20 mA
R2
I02
R2 = 25 Ω
R1
E3 = 25 V
R3
R3 = 50 Ω
R5
R4
R4 = 80 Ω
B
R5 = 50 Ω
Figura B1.4
Esempio 4.
■ Le conduttanze dei singoli lati sono date da:
G14 =
1
1
1
=
=
= 0, 005 S
R14 R1 + R4 120 + 80
G2 =
G35 =
1
1
=
= 0, 04 S
R2 25
1
1
1
=
=
= 0, 01 S
R35 R3 + R5 50 + 50
Applicando il teorema di Millmann, si ha:
VAB =
G14 E1 − I 02 + G35 E3 0, 005 × 6 − 0, 020 + 0, 01 × 25
= 4, 73 V
=
0, 005 + 0, 04 + 0, 01
G14 + G2 + G35
Per decidere il verso delle correnti (figura B1.5) occorre osservare che:
I1
I3
A
I2
+
+
E1
E3
R2
I02
R3
R1
R5
R4
B
•
•
VAB > 0 e quindi VA > VB; nel resistore R2 la corrente andrà da A verso B;
VAB < E1 e pertanto il lato E1-R1-R4 si comporterà da generatore, con corrente uscente dal
“+” di E1;
Figura B1.5
Esempio 4.
Correnti nei lati.
4
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
132
•
VAB < E3 e quindi anche il lato E3-R3-R5 si comporterà da generatore, con corrente uscente
dal “+” di E3.
Eseguendo i calcoli, si ha:
VAB = E1 − ( R1 + R4 ) I1 ⇒
I1 =
E1 − VAB 6 − 4, 73
= 0, 00635 A = 6, 35 m
=
R1 + R4 120 + 80
VAB = R2 I 2 ⇒
I2 =
VAB 4, 73
=
= 0,1892 A=189,2 mA
25
R2
VAB = E3 − ( R3 + R5 ) I 3 ⇒
I3 =
E3 − VAB 25 − 4, 73
= 0, 2027 A=202,7 mA
=
50 + 50
R3 + R5
Per controllo si può verificare il primo principio di Kirchhoff al nodo A:
I1 + I 3 = I 02 + I 2
6, 35 + 202, 7 = 20 + 189, 2
209, 05 mA ≅ 209, 2 mA
La lieve differenza nei valori deriva dalle approssimazioni di calcolo.
ESEMPIO
5
Nel circuito di figura B1.6 calcolare la corrente I4 applicando il teorema di Millmann.
■ Essendo I4 = VAB /R4 il problema si può risolvere calcolando la tensione VAB. L’applicazione
del teorema di Millmann non è immediata, dato che la rete ha tre nodi.
R2
Figura B1.6
Esempio 5.
I02
C
A
+
+
E1
I4
E3
R4
R1
E1 = 50 V
R1 = 25 Ω
I02 = 4 A
R2 = 10 Ω
E3 = 60 V
R3 = 10 Ω
R4 = 100 Ω
R3
B
Per eliminare il nodo C si trasforma il bipolo attivo parallelo I02-R2 nell’equivalente bipolo
serie E2-R2, con E2 = I02 R2 = 4 × 10 = 40 V. Si ottiene il circuito di figura B1.7 a.
Il lato di sinistra comprende due resistori in serie e due bipoli attivi con f.e.m. agenti nello
stesso senso; può essere ridotto come mostrato nella figura B1.7 b, dove:
R12 = R1 + R2 = 25 + 10 = 35 Ω
E12 = E1 + E2 = 50 + 40 = 90 V
Applicando il teorema di Millmann si ottiene:
VAB
90 60
+
8, 57
G12 E12 + G3E3
35 10
=
= 61, 83 V
=
=
1
1
1
0
,1386
G12 + G3 + G4
+ +
35 10 100
133
B1 • Metodi di risoluzione delle reti lineari
R2
E2
A
A
+
+
+
E3
E1
+
I4
+
I4
E3
E12
R4
R4
R12
R3
R1
B
b)
I4 =
VAB 61, 83
=
= 0, 6183 A
100
R4
a)
R3
Figura B1.7 a, b
Trasformazioni
del circuito
di figura B1.6.
B
e, quindi:
B1.4 Sovrapposizione degli effetti
Si consideri il circuito di figura B1.8, del quale si vuole calcolare la corrente I.
Applicando il teorema di Millmann si ricava la tensione VAB:
A
+
I
E1
I02
R
R1
Figura B1.8
Sovrapposizione
degli effetti.
B
VAB =
G1E1 + I 02
G1 + G
E1
+ I 02
R
= 1
1 1
+
R1 R
Ponendo:
K=
1
RR
= 1
1 1
R
+ R1
+
R1 R
l’espressione [B1.3] diventa:
⎛E
⎞ K
R
RR
VAB = K ⎜ 1 + I 02 ⎟ =
E1 + KI 02 =
E1 + 1 I 02
R + R1
R + R1
⎝ R1
⎠ R1
[B1.3]
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
134
La corrente I è data da:
I=
VAB
1
R1
=
E1 +
I 02
R
R + R1
R + R1
[B1.4]
L’espressione [B1.4] mostra che la corrente I è data dalla somma di due termini;
precisamente:
•
E1
dovuta al solo generatore di tensione, supponendo nulla la
R + R1
la corrente I′ =
corrente I02 impressa dal generatore di corrente;
•
la corrente I ′′ =
R1
I 02 dovuta al solo generatore di corrente, supponendo nulla
R + R1
la f.e.m. E1 del generatore di tensione.
Le precedenti osservazioni consentono di individuare il seguente metodo di calcolo
della corrente I:
•
•
•
si annulla la corrente I02, sostituendo al generatore di corrente un circuito aperto
ideale (figura B1.9 a) e si determina la corrente I′ dovuta al generatore di tensione;
si annulla la f.e.m. E1, sostituendo al generatore di tensione un cortocircuito ideale
(figura B1.9 b) e si determina la corrente I′′ dovuta al generatore di corrente;
si calcola la corrente effettiva I sommando, tenendo conto dei versi di percorrenza,
i due contributi I′ e I′′.
A
A
+
I′ =
E1
I02 = 0
E1
R + R1
I′′ = I02
E1 = 0
R
I02
R1
R1
R + R1
R
R1
B
a)
B
b)
Figura B1.9 a, b
Circuito di figura B1.8: a) Effetto della f.e.m. E1; b) Effetto della corrente impressa /02.
La regola esposta corrisponde all’applicazione di un principio generale, detto di
sovrapposizione degli effetti, valido per tutti i sistemi fisici lineari, non solo per quelli
elettrici. Esso consente di ricavare la corrente o la tensione di un qualsiasi bipolo di una
rete lineare scomponendo il circuito complessivo in tanti circuiti elementari, in ognuno
dei quali agisce un solo generatore, in quanto vengono disattivati tutti gli altri.
La regola generale per la sua applicazione è quindi la seguente:
•
data una rete lineare contenente n bipoli attivi (di corrente o di tensione) di cui si
vuole calcolare una grandezza elettrica (tensione o corrente) in un generico punto
della rete, si scompone il circuito in n circuiti parziali, in ognuno dei quali agirà un
135
B1 • Metodi di risoluzione delle reti lineari
•
•
•
solo bipolo attivo, avente funzione di generatore in quanto rimane l’unico componente in grado di fornire energia elettrica al resto della rete;
ogni circuito parziale si ricava dalla rete iniziale disattivando tutti i bipoli attivi
meno uno, dove per “disattivazione” s’intende la sostituzione dei bipoli attivi di
corrente con circuiti aperti ideali (corrente impressa I0 = 0) e la sostituzione dei bipoli attivi di tensione con corto circuiti ideali (tensione interna E = 0);
si calcola la grandezza elettrica incognita in ognuno dei circuiti parziali; i vari risultati ottenuti sono da intendere come i contributi dei vari generatori alla grandezza incognita effettiva;
si sommano algebricamente gli n risultati ottenuti, tenendo conto dei segni dei risultati parziali; più specificamente, occorre tener conto dei versi delle correnti parziali e delle polarità delle tensioni parziali, a seconda dei casi.
Questo metodo si presta, in genere, alla risoluzione parziale di una rete, quando è
richiesto il calcolo di una determinata corrente o tensione. La sua applicazione alla risoluzione totale, che si basa sempre sulla procedura descritta precedentemente, risulta
normalmente piuttosto onerosa, dato che prevede la risoluzione completa di n circuiti,
ognuno con un solo generatore.
È utile osservare che la sovrapposizione degli effetti non è applicabile a reti non
lineari, ossia aventi anche un solo bipolo con parametri non costanti al variare delle
grandezze elettriche. Si consideri, per esempio, il semplice circuito di figura B1.10,
per il quale si suppone che il resistore abbia una resistenza R variabile con la tensione.
Ipotizzando che R valga 50 Ω con tensione 50 V e 80 Ω con tensione di 100 V, la corrente effettiva sarà pari a 100/80 = 1,25 A, in quanto nelle reali condizioni di funzionamento la resistenza è 80 Ω; l’applicazione della sovrapposizione degli effetti porterebbe invece a due contributi di corrente pari ognuno a 50/50 = 1 A e, quindi, a una corrente di 2 A, diversa da quella reale.
Determinare, in valore e verso, la corrente nel resistore R4 della rete di figura B1.11.
R4
A
+
+
E1
E3
I02
E1 = 12 V
R1 = 120 Ω
I02 = 0,25 A
E3 = 6 V
R3 = 60 Ω
R4 = 0,33 kΩ
R3
R1
Figura B1.11
Esempio 6.
B
■ La rete comprende tre bipoli attivi, due di tensione e uno di corrente. Per applicare il principio di
sovrapposizione degli effetti bisogna risolvere i circuiti parziali riportati nelle figure B1.12 a, B1.12 b
e B1.12 c, in cui le correnti parziali hanno i versi segnati, dipendenti dalle polarità dei generatori.
Applicando la legge di Ohm e la regola del partitore di corrente si calcolano i tre contributi
alla corrente I4:
I4a =
I 4 b = I 02
12
E1
=
= 0, 0235 A = 23, 5 mA
A
R1 + R3 + R4 120 + 60 + 330
R1
120
= 0, 25
= 0, 0588 A = 58, 8 mA
R1 + R3 + R4
120 + 60 + 330
I4c =
6
E3
=
= 0, 0118 A = 11, 8 mA
R1 + R3 + R4 120 + 60 + 330
I
+
E1 = 50 V
R
+
E2 = 50 V
Figura B1.10
Inapplicabilità della
sovrapposizione
degli effetti.
ESEMPIO
6
136
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
R4
+
R4
A
I4a
I4b
E1
I02
R3
R1
R3
R1
B
b)
a)
R4
+
I4c
E3
Figura B1.12 a, b, c
Applicazione della sovrapposizione
degli effetti: scomposizione
della rete di figura B1.11.
R3
R1
c)
La corrente totale avrà il verso di I4b e di I4c, in quanto prevalenti rispetto a I4a, e il suo valore sarà pari a:
I 4 = − I 4 a + I 4 b + I 4 c = −23, 5 + 58, 8 + 11, 8 = 47,1 mA
ESEMPIO
7
Calcolare la corrente I2 e il potenziale di B rispetto a massa nel circuito di figura B1.13.
+ 10 V
A
R1 = 220 Ω
B
I2
I02 = 100 mA
R2 = 100 Ω
Figura B1.13
Esempio 7.
Figura B1.14 a, b
Applicazione della
sovrapposizione
degli effetti
all’esempio 7.
■ Il circuito è disegnato in modo un po’ diverso dall’usuale, con le notazioni tipiche dei circuiti
elettronici. Si deve intendere che tra il punto A e massa è applicato un generatore di tensione
ideale con E1 = 10 V, mentre tra il punto B e massa agisce un generatore ideale di corrente di valore 100 mA.
I due circuiti parziali sono riportati nelle figure B1.14 a e B1.14 b.
R1
R1
B
B
+
E1
a)
I2a
R2
I2b
b)
R2
I02
137
B1 • Metodi di risoluzione delle reti lineari
Risolvendo i due circuiti, si ha:
I2a =
10
E1
=
= 0, 03125 A=31,25 mA
R1 + R2 220 + 100
VBa = R2 I 2 a = 100 × 0, 03125 = 3,125 V
I 2 b = I 02
R1
220
= 100
= 68, 75 mA
R1 + R2
220 + 100
VBb = R2 I 2 b = 100 × 68, 75 × 10 −3 = 6, 875 V
Dato che entrambi i contributi, per ambedue le grandezze, hanno lo stesso verso, la corrente
e la tensione richieste sono date da:
I 2 = I 2 a + I 2 b = 31, 25 + 68, 75 = 100 mA
VB = VBa + VBb = 3,125 + 6, 875 = 10 V
Si può notare che il potenziale di B rispetto a massa è esattamente uguale alla tensione applicata al punto A: questo significa che il generatore di tensione funziona a vuoto e, infatti, tutta
la corrente I02 = 100 mA fluisce nella resistenza R2 .
B1.5 Generatore equivalente di Thevenin
Si è visto nei paragrafi precedenti che nello studio delle reti elettriche lineari si fa
largo uso delle trasformazioni di bipoli in altri equivalenti (per esempio, da generatore reale di tensione a generatore reale di corrente) e delle riduzioni di più bipoli a
uno o più equivalenti (per esempio, trasformazione serie-parallelo e stella-triangolo).
In queste operazioni è fondamentale rispettare il concetto di equivalenza agli effetti esterni, per chiarire il quale si considerino (figura B1.15) le reti elettriche lineari
S e S′, facenti capo, rispettivamente, ai morsetti A-B e A′-B′.
A
S
V
B
I
A′
R
S′
V
I
R
B′
È evidente che S e S′ saranno equivalenti agli effetti esterni, prescindendo da come
si presentano internamente, se, collegate allo stesso resistore R (o, in generale, allo
stesso bipolo), impongono ai morsetti la stessa tensione V e fanno circolare la stessa
corrente I.
Essendo reti lineari, la cui caratteristica esterna risultante è una retta, l’equivalenza
tra S e S′ si avrà su tutti i punti della caratteristica e, quindi, anche nel funzionamento
a vuoto (circuito aperto) e in cortocircuito (circuito chiuso con R = 0).
Ci si può chiedere, a questo punto, quale sia la più semplice rete S′ equivalente a S:
per rispettare l’equivalenza tra S e S′, la rete cercata dovrà essere un bipolo attivo,
avente la stessa tensione a vuoto V0 e la stessa corrente di cortocircuito Icc della rete S.
Queste condizioni vengono rispettate sostituendo alla rete S un generatore reale
di tensione, avente f.e.m. ETh e resistenza interna RTh (figura B1.16).
Figura B1.15
Reti elettriche
equivalenti.
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
138
A'
A
I
I
+
ETh
S
Figura B1.16 a, b
Generatore
equivalente
di Thevenin.
V
R
V
R
RTh
B
a)
b)
B'
Per la rete di figura B1.16 a si ha:
•
•
tensione a vuoto V0;
corrente di cortocircuito Icc .
Per la rete di figura B1.16 b le omonime grandezze sono:
•
•
tensione a vuoto ETh;
corrente di cortocircuito Icc = ETh /RTh .
Imponendo l’equivalenza a vuoto e in cortocircuito si ha:
ETh = V0
F.e.m. e resistenza
interna del
generatore
equivalente
di Thevenin
RTh =
ETh V0
=
I cc I cc
[B1.5]
[B1.6]
Quanto sopra costituisce il teorema del generatore equivalente di Thevenin, che
afferma:
ÈÈuna rete elettrica lineare, facente capo a due morsetti, pu˜ essere sostituita, rispettando lÕequivalenza agli effetti esterni, da un generatore reale di tensione, avente
f.e.m. ETh pari alla tensione a vuoto della rete e resistenza interna RTh pari al rapporto tra la tensione a vuoto e la corrente di cortocircuito della rete; tale resistenza
coincide con quella interna della rete vista dai due morsetti considerati.
Per il calcolo delle due grandezze caratteristiche ETh e RTh si usa la seguente procedura:
•
•
•
si interrompe la rete in due punti, in modo da separare la parte di rete di cui si
vuole calcolare il generatore equivalente da quella che verrà poi collegata a tale
generatore;
si calcola la tensione che si ha a vuoto tra i due punti d’interruzione, per la parte
di rete da sostituire, e si attribuisce tale valore alla f.e.m. ETh;
si calcola la resistenza equivalente RTh della parte di rete da sostituire, vista tra i
due punti d’interruzione, in condizioni di “rete passiva”, ossia sostituendo i bipoli attivi di tensione con corto circuiti (E = 0) e quelli attivi di corrente con circuiti aperti (I0 = 0).
In genere si parla di generatore di tensione equivalente e ciò è certamente vero
per la parte di rete che viene sostituita, nel senso che il bipolo attivo ottenuto si
comporta da generatore per quella parte di rete, considerata da sola; quando, però,
tale bipolo attivo di tensione viene collegato con il resto della rete potrebbe anche
funzionare come utilizzatore attivo, nel caso in cui si venisse a localizzare ai suoi
capi una tensione superiore alla f.e.m. ETh.
139
B1 • Metodi di risoluzione delle reti lineari
Calcolare la corrente I3 nella rete di figura B1.17.
ESEMPIO
8
R4
R2
+
I3
E1 = 10 V
R1 = 10 Ω
I02 = 0,5 A
R2 = 20 Ω
R3 = 40 Ω
R4 = 80 Ω
E1
R3
I02
R1
Figura B1.17
Esempio 8.
■ Interrompendo il lato contenente R3 e sostituendo alla rete data (escluso R3) il generatore
equivalente di Thevenin si ottiene lo schema di figura B1.18.
R4
R2
+
+
ETh
E1
R3
I02
I3
R3
R1
RTh
Figura B1.18
Esempio 8.
Generatore
equivalente
di Thevenin.
Per il calcolo di RTh bisogna agire sulla rete passiva di figura B1.19, in cui sono stati disattivati i bipoli attivi.
R4
R2
R1
RTh
Si ottiene:
RTh =
20 × 80
R2 R4
+ R1 =
+ 10 = 26 Ω
20 + 80
R2 + R4
La f.e.m. ETh è la tensione a vuoto (con R3 scollegato) tra i punti d’interruzione. Considerando che R2 e R4 sono in parallelo, si ottiene il circuito di figura B1.20.
Figura B1.19
Esempio 8. Calcolo
della resistenza
del generatore
equivalente.
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
140
R24
+
E1
Figura B1.20
Esempio 8.
Calcolo della f.e.m.
del generatore
equivalente.
V0
I02
I02
R1
In R24 non circola corrente e non vi è caduta di tensione; la corrente I02 interessa l’unica maglia della rete e, quindi, si ha:
ETh = V0 = E1 + R1 I 02 = 10 + 10 × 0, 5 = 15 V
Dal circuito equivalente di figura B1.18 si ricava:
I3 =
ESEMPIO
9
15
ETh
=
= 0, 227 A
RTh + R3 26 + 40
Calcolare la corrente nel resistore R3 e la tensione VBC del circuito a ponte di figura B1.21.
A
R1
+
R2
R3
B
E1
C
R4
E1 = 10 V
R1 = 0,5 kΩ
R2 = 1 kΩ
R3 = 0,33 kΩ
R4 = 1,2 kΩ
R5 = 0,6 kΩ
R5
Figura B1.21
Esempio 9.
D
■ Interrompendo il lato B-C e disattivando il generatore, si ottiene il circuito di figura B1.22
per il calcolo di RTh:
RTh = R1 // R4 + R2 // R5 =
0, 5 × 1, 2 1 × 0, 6
+
= 0, 728 kΩ
0, 5 + 1, 2 1 + 0, 6
R1
A
B
R4
R1
B
Figura B1.22
Esempio 9.
Calcolo della
resistenza
del generatore
equivalente.
A D
R2
C
RTh
R2
R4
R5
C
D
R5
A D
141
B1 • Metodi di risoluzione delle reti lineari
Per il calcolo di ETh si consideri il circuito di figura B1.23. Le correnti nei due rami in parallelo sono date da:
I14 =
10
E1
=
= 5, 88 mA
R1 + R4 0, 5 + 1, 2
I 25 =
10
E1
=
= 6, 25 mA
R2 + R5 1 + 0, 6
A
I14
I25
R1
R2
+
E1
V0
B
R4
C
R5
Figura B1.23
Esempio 9.
Calcolo della f.e.m.
del generatore
equivalente.
D
La ETh, pari alla tensione a vuoto V0, corrisponde alla d.d.p. tra i punti B e C ed è data da:
ETh = V0 = − R1I14 + R2 I25 = − 0,5 × 5,88 + 1 × 6,25 = 3,31 V
Il risultato positivo indica che B è il punto a potenziale maggiore; il circuito equivalente è
rappresentato nella figura B1.24.
B
+
I3
ETh
VBC
R3
RTh
Figura B1.24
Esempio 9.
Circuito equivalente.
C
La corrente e la tensione cercate sono date da:
I3 =
3, 31
ETh
=
= 3,13 mA
RTh + R3 0, 728 + 0, 33
VBC = R3I3 = 0,33 × 3,13 = 1,03 V
B1.6 Generatore equivalente di Norton
Nel paragrafo A2.19 è stata dimostrata l’equivalenza tra un generatore reale di tensione, avente f.e.m. E e resistenza interna Ri, e un generatore reale di corrente avente la
stessa resistenza interna (o conduttanza Gi = 1/Ri) e corrente impressa I0 = E/Ri.
Applicando questo concetto al generatore equivalente di Thevenin si ottiene, per
trasformazione, un generatore reale di corrente (figura B1.25), le cui grandezze caratteristiche sono date da:
IN =
ETh
RTh
GN =
1
RTh
( o RN = RTh )
[B1.7]
Corrente impressa
e conduttanza
interna del
generatore
equivalente
di Norton
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
142
I
I
+
ETh
Figura B1.25
Trasformazione
del generatore
equivalente
di Thevenin
in quello di Norton.
R
V
GN
IN
V
R
RTh
Il rapporto ETh = I cc rappresenta la corrente di cortocircuito del generatore
RTh
di Thevenin e, quindi, anche la corrente di cortocircuito della rete S, a cui il generatore
è equivalente.
Quanto sopra costituisce il teorema del generatore equivalente di Norton che afferma:
ÈÈuna rete elettrica lineare, facente capo a due morsetti, può essere sostituita, rispettando l’equivalenza agli effetti esterni, da un generatore reale di corrente,
avente corrente impressa IN pari alla corrente di cortocircuito della rete e resistenza interna RN uguale alla resistenza presentata dalla rete, tra i due morsetti
considerati, in condizioni di “passività”, ossia con i bipoli attivi di tensione sostituiti da corto circuiti e con i bipoli attivi di corrente sostituiti da circuiti aperti.
La procedura per il calcolo delle grandezze caratteristiche è analoga a quella esposta per il generatore equivalente di Thevenin, con la differenza che per calcolare IN bisogna determinare la corrente di cortocircuito della parte di rete sostituita, ossia quella
che circolerebbe in un conduttore ideale, privo di resistenza, collegato tra i due punti
d’interruzione.
ESEMPIO
10
Ripetere l’esempio 8 (figura B1.17) con il metodo del generatore equivalente di Norton.
■ Il calcolo della resistenza rimane invariato rispetto all’esempio 8 e, quindi, si ha: RN = 26 Ω. Il
circuito per il calcolo di IN è quello di figura B1.26.
Applicando il teorema di Millmann ai nodi A-B, si ha:
VAB
E1
10
+I
+ 0, 5
R1 02
=
= 10
= 9,2
23 V
1
1
1
1
+
+
R1 R24
10 16
e quindi
IN =
VAB 9, 23
=
= 0, 577 A
16
R24
R24
A
+
E1
I02
Figura B1.26
Esempio 10.
Circuito per
il calcolo di IN.
R1
B
IN
143
B1 • Metodi di risoluzione delle reti lineari
Il circuito iniziale si trasforma in quello di figura B1.27, per il quale si ha:
I3 = IN
RN
26
= 0, 577
= 0, 227 A
RN + R3
26 + 40
I3
IN
RN
R3
Figura B1.27
Esempio 10.
Circuito equivalente.
B1.7 Principio di dualità
Si consideri la seguente frase, corrispondente a una legge dell’Elettrotecnica: “la resistenza equivalente di n resistori in serie è pari alla somma delle resistenze dei singoli resistori”.
Se si sostituiscono le parole “resistenza” e “serie” con i termini “conduttanza” e
“parallelo” si ottiene la seguente affermazione, anch’essa relativa a una delle leggi studiate: “la conduttanza equivalente di n resistori in parallelo è pari alla somma delle conduttanze dei singoli resistori”.
Quanto sopra corrisponde al principio di dualità, secondo il quale affermata una
certa proposizione, è possibile ricavare un’altra affermazione operando un cambiamento di termini, secondo una certa corrispondenza.
La corrispondenza, per i termini incontrati finora, è la seguente:
tensione ⇔ corrente
resistenza ⇔ conduttanza
maglia ⇔ nodo
serie ⇔ parallelo
a vuoto ⇔ in cortocircuito
aperto ⇔ chiuso
Questo principio non ha un’applicazione immediata per la risoluzione delle reti
elettriche, ma può essere un’utile regola per ricordare le varie leggi o controllarne l’esattezza della formulazione.
Dimostrare che i due principi di Kirchhoff sono duali.
■ Formulando il primo principio di Kirchhoff nel seguente modo:
“la somma algebrica delle correnti in un nodo è uguale a zero”
e sostituendo i termini “correnti” e “nodo” con “tensioni” e “maglia”, si ottiene:
“la somma algebrica delle tensioni in una maglia è uguale a zero”
corrispondente proprio al secondo principio di Kirchhoff.
ESEMPIO
11
144
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
B1.8 Reti con generatori dipendenti
Nello studio di alcuni dispositivi elettronici si ricorre spesso alla loro modellizzazione
mediante una rete elettrica, che costituisce il circuito equivalente del dispositivo in
esame. In tali circuiti equivalenti possono comparire dei bipoli particolari, detti generatori dipendenti (o pilotati), di tensione o di corrente, la cui tensione o corrente ai
morsetti dipende linearmente dalla tensione o dalla corrente presente in un’altra parte
della rete.
In particolare, si possono avere:
•
•
•
•
generatori di tensione dipendenti da tensione (figura B1.28 a), la cui tensione
impressa Ei dipende dalla tensione Vj presente tra due punti della rete, secondo un
coefficiente kV che, essendo un rapporto tra tensioni, è un numero adimensionato;
generatori di tensione dipendenti da corrente (figura B1.28 b), la cui tensione
impressa Ei dipende dalla corrente Ij presente in un lato della rete, secondo un coefficiente h che, essendo un rapporto tensione/corrente, ha le dimensioni di una resistenza;
generatori di corrente dipendenti da tensione (figura B1.28 c), la cui corrente
impressa I0i dipende dalla tensione Vj presente tra due punti della rete, secondo un
coefficiente γ che, essendo un rapporto corrente/tensione, ha le dimensioni di una
conduttanza;
generatori di corrente dipendenti da corrente (figura B1.28 d), la cui corrente
impressa I0i dipende dalla corrente Ij in un lato della rete, secondo un coefficiente
kA che, essendo un rapporto tra correnti, è un numero adimensionato.
Per la risoluzione delle reti contenenti anche generatori dipendenti si usano le leggi
viste finora, con le seguenti avvertenze:
•
•
•
•
l’uso della legge di Ohm, dei principi di Kirchhoff e del teorema di Millmann non
richiede particolari cautele;
il metodo della sovrapposizione degli effetti non è, in generale, conveniente in
quanto si applica solo ai generatori indipendenti e quindi non consente di considerare la rete come somma di n reti con un unico generatore;
nell’applicazione dei teoremi di Thevenin e di Norton si deve tener presente che
non è possibile separare un generatore dipendente da quelle parti di rete contenenti
la grandezza da cui il generatore dipende;
una parte di rete contenente solo generatori dipendenti, non avendo componenti in
grado di fornire energia elettrica, si comporta come un bipolo passivo ed è quindi
assimilabile a un resistore.
+
+
Ei = kV Vj
Figura B1.28 a, b, c, d
Generatori dipendenti.
a)
I0i = γ Vj
Ei = h Ij
b)
c)
I0i = kA Ij
d)
145
B1 • Metodi di risoluzione delle reti lineari
Risolvere la rete di figura B1.29 utilizzando i principi di Kirchhoff.
I1
ESEMPIO
12
A
+
I2
E1
E1 = 25 V
α
R2
β
I02 = γ VAB
R1 = R2 = 100 Ω
γ = 0,04 A
V
R1
Figura B1.29
Esempio 12.
B
■ Scegliendo il nodo A e le maglie α e β si ottiene il seguente sistema:
⎧ I1 + I 02 = I 2
⎪
⎨ R2 I 2 + R1 I1 − E1 = 0
⎪V − R I = 0
2 2
⎩ AB
⎧ I1 + 0, 04 VAB = I 2
⎪
⎨100 I 2 + 100 I1 − 25 = 0
⎪V − 100 I = 0
2
⎩ AB
Risolvendo il sistema nelle incognite VAB, I1, I2 (si omettono, per brevità, i passaggi matematici), si ottiene:
I1 = 0, 375 A
I 2 = − 0,125 A
VAB = −12, 5 V
La corrente impressa dal generatore dipendente è data da:
I 02 = 0, 04 VAB = 0, 04 ( −12, 5 ) = − 0, 5 A
I segni negativi di I2 e I02 indicano che i versi effettivi di queste correnti sono opposti rispetto
a quelli indicati nella figura; il segno negativo di VAB indica che il nodo B è a potenziale maggiore rispetto ad A.
Per il circuito dell’esempio precedente ricavare la tensione VAB applicando il teorema di
Millmann.
■ Si ha:
VAB
E1
25
+ I 02
+ 0, 04 VAB
0, 25 + 0, 04 VAB
R1
100
=
=
=
1
1
1
1
0,02
+
+
R1 R2
100 100
L’equazione è in forma implicita, contenendo VAB in ambedue i membri. Risolvendo si ottiene:
VAB = 12, 5 + 2 VAB
−2 VAB + VAB = 12, 5
VAB = −12, 5 V
−VAB = 12, 5
ESEMPIO
13
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
Esercitazioni
146
Esercizi di verifica
Esercizio 1
Per la rete di figura B1.30 calcolare le correnti I1 e I23, la tensione VAB, le potenze assorbite dai tre resistori e il
rendimento del bipolo attivo E1-R1. Eseguire infine il bilancio delle potenze.
I1
R1
R2
A
Figura B1.30
Esercizio 1.
I23
+
R3
I02
E1
E1 = 10 V
I02 = 20 mA
R1 = 200 Ω
R2 = 120 Ω
R3 = 80 Ω
B
[Risultati: I1 = 15 mA; I23 = 35 mA; VAB = 7 V; PR1 = 45 mW; PR2 = 147 mW; PR3 = 98 mW; ηη
1 = 0,7]
Esercizio 2
Per la rete di figura B1.31 calcolare le correnti I1 e I3 e le tensioni VAB e VCB.
I1
I3
A
Figura B1.31
Esercizio 2.
+
E1
R2
E1 = 20 V
R3
C
R1 = 50 Ω
I02 = 0,12 A
R1
I02
R2 = 15 Ω
R3 = 120 Ω
B
[Risultati: I1 = 33 mA; I3 = 153 mA; VAB = 18,36 V; VCB = 20,16 V]
Esercizio 3
Data la rete di figura B1.32, calcolare:
• le correnti I1, I2 e I4 mediante i principi di Kirchhoff;
• la tensione VAB con il teorema di Millmann;
• la corrente I4 col metodo del generatore equivalente di Thevenin;
• la corrente I2 applicando la sovrapposizione degli effetti;
• la corrente I2 col metodo del generatore equivalente di Norton.
147
B1 • Metodi di risoluzione delle reti lineari
+
I4
I2
E1 = 25 V
E1
R1 = 10 Ω
R2
R2 = 50 Ω
R4
I03
I03 = 0,5 A
R1
R4 = 80 Ω
Figura B1.32
Esercizio 3.
B
[Risultati: I1 = 0,991 A; I2 = 0,302 A; I4 = 0,189 A; VAB = 15,1 V]
Esercizio 4
Data la rete di figura B1.33, calcolare:
• la corrente I e la tensione V applicando la sovrapposizione degli effetti;
• la corrente I e la tensione V mediante il generatore equivalente di Thevenin;
• le potenze e il rendimento del generatore equivalente che alimenta la resistenza di carico;
• la tensione VAB e le correnti I e I1 applicando il teorema di Millmann;
• la corrente I e la tensione V col metodo del generatore equivalente di Norton.
I1
R2
A
Figura B1.33
Esercizio 4.
I
+
E1 = 12 V
E1
R1 = 48 Ω
I02
Ru
V
I02 = 0,2 A
R1
R2 = 10 Ω
Ru = 33 Ω
B
[Risultati: I = 0,2375 A; I1 = 0,0375 A; V = 7,83 V; VAB = 10,2 V; Pg = 5,13 W; Pu = 1,86 W;
Pp = 3,27 W; ηη= 0,363]
Esercizio 5
Calcolare le correnti I1 e I3 e le tensioni VBH, VCH e VAC del circuito di figura B1.34.
5V+
A
I1
B
R1
R2
C
10 mA
+
E3
R2 = 0,33 k Ω
I3
R3
Figura B1.34
Esercizio 5.
R1 = 0,25 k Ω
R3 = 100 Ω
E3 = 0,5 V
H
[Risultati: I1 = 10 mA; I3 = 20 mA; VBH = 2,5 V; VCH = 5,8 V; VAC = – 0,8 V]
Esercitazioni
A
I1
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
148
Esercitazioni
Esercizio 6
Calcolare le correnti nei lati della rete di figura B1.35, usando le equazioni di Kirchhoff.
R4
B
I1
I01
I4
R1
A
+
E2
I2
I3
R3
I01 = 2 A
R1 = 10 Ω
E2 = 40 V
R2 = 5 Ω
R3 = 20 Ω
R4 = 40 Ω
R2
C
Figura B1.35
Esercizi 6, 7, 8, 9, 10.
[Risultati: I1 = 2,222 A; I2 = 1,78 A; I3 = 1,558 A; I4 = 0,222 A]
Esercizio 7
Per la rete di figura B1.35 calcolare il potenziale del nodo A rispetto a massa usando il teorema di Millmann.
[Risultato: VA = 31,1 V]
Esercizio 8
Calcolare la corrente I3 nella rete di figura B1.35 usando la sovrapposizione degli effetti.
[Risultato: I3 = 1,558 A]
Esercizio 9
Calcolare la corrente I4 nella rete di figura B1.35 usando il teorema del generatore equivalente di Thevenin.
[Risultato: I4 = 0,222 A]
Esercizio 10
Calcolare la corrente I2 nella rete di figura B1.35 usando il teorema del generatore equivalente di Norton.
[Risultato: I2 = 1,78 A]
Esercizio 11
Dopo aver calcolato il potenziale del punto A rispetto a massa per la rete di figura B1.36, determinare le correnti nei lati ed eseguire il bilancio delle potenze.
[Risultati: VA = 12,73 V; I1 = 0,273 A;
I2 = 0,182 A; I3 = 0,227 A; I4 = 0,045 A]
B1 • Metodi di risoluzione delle reti lineari
149
Calcolare la corrente I3 nella rete di figura B1.36 usando il teorema del generatore equivalente di Thevenin.
R4
I4
I2
A
I1
B
R2
+
I3
E1
E1 = 10 V
R1 = 10 Ω
I02 = 0,5 A
R2 = 20 Ω
R3 = 40 Ω
R4 = 80 Ω
R3
I02
R1
Figura B1.36
Esercizi 11, 12, 13, 14.
C
[Risultato: I3 = 0,227 A]
Esercizio 13
Calcolare la corrente I4 nella rete di figura B1.36 usando il teorema del generatore equivalente di Norton.
[Risultato: I4 = 0,045 A]
Esercizio 14
Calcolare la corrente I2 nella rete di figura B1.36 usando la sovrapposizione degli effetti.
[Risultato: I2 = 0,182 A]
Esercizio 15
Calcolare la corrente I4 e la tensione d’uscita Vu della rete di figura B1.37.
R3
F
+
E1
I2
G
I4
I3
I04
R2
R1
Figura B1.37
Esercizi 15, 16, 17, 18.
E1 = 100 V
R1 = 25 Ω
R4
R2 = 50 Ω
Vu
R3 = 15 Ω
I04 = 0,5 A
R4 = 15 Ω
H
[Risultato: I04 = 1,767 A; Vu = 26,5 V]
Esercizio 16
Calcolare, per la rete di figura B1.37, il valore che deve assumere la corrente impressa I04 per avere I4 = 2 A.
[Risultato: I04 = 0,8425 A]
Esercitazioni
Esercizio 12
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
150
Esercitazioni
Esercizio 17
Calcolare la corrente I3 della rete di figura B1.37 usando i seguenti metodi: generatore equivalente di Thevenin,
generatore equivalente di Norton, sovrapposizione degli effetti.
[Risultato: I3 = 1,267 A]
Esercizio 18
Calcolare la corrente I2 della rete di figura B1.37 usando i seguenti metodi: generatore equivalente di Thevenin,
generatore equivalente di Norton, sovrapposizione degli effetti.
[Risultato: I2 = 0,91 A]
Esercizio 19
Calcolare la corrente d’ingresso I1 e la tensione d’uscita Vu nella rete di figura B1.38, contenente un generatore
di corrente dipendente da tensione.
I1
R1
R3
A
B
+
R2
Vi
I0
R4
Vu
H
Figura B1.38
Esercizio 19.
Vi = 10 V R1 = 100 Ω R2 = 200 Ω
R3 = 120 Ω R4 = 80 Ω I0 = 531023 VAH
[Risultati: I1 = 44,4 mA; Vu = 3,56 V]
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Disegnare una rete di almeno quattro lati e con almeno due bipoli attivi, in cui è applicabile direttamente il
teorema di Millmann e spiegare come si possono calcolare le correnti nei lati mediante tale applicazione.
2. Spiegare perché il principio di sovrapposizione degli effetti non è applicabile a reti non lineari.
3. Definire, utilizzando i termini specifici, che cosa si intende per generatore equivalente di Thevenin.
4. Definire, utilizzando i termini specifici, che cosa si intende per generatore equivalente di Norton.
5. Dimostrare che le definizioni di cui ai quesiti 3 e 4 rispettano il principio di dualità.
6. Definire che cosa si intende per generatore di tensione dipendente da corrente.
7. Definire che cosa si intende per generatore di corrente dipendente da tensione.
Regolazione reostatica
e verifica dei metodi
di risoluzione delle reti
B2
B2.1 Reostati e potenziometri
I reostati e i potenziometri sono dei resistori che consentono di inserire in un circuito
una resistenza variabile in funzione della posizione di una presa intermedia mobile,
detta cursore, come mostrato schematicamente nella figura B2.1, in cui R è la resistenza totale dell’elemento tra i terminali fissi 1 e 2 ed r è la resistenza tra il terminale
2 e il cursore 3, variabile con la posizione del contatto strisciante.
3
r
C
1
Figura B2.1
Resistore con
presa intermedia
mobile (reostato
o potenziometro).
2
R
I reostati, usati normalmente nei laboratori di misure elettriche per regolare la corrente
o la tensione in un circuito con alimentazione a tensione fissa, sono costituiti (figura B2.2)
da un filo nudo avvolto a spire su un supporto isolante e collegato ai morsetti 1 e 2; il cursore C, collegato al morsetto 3, scorre sulle spire con movimento rettilineo.
L’isolamento tra le spire è ottenuto mediante il sottile strato di aria dovuto al loro distanziamento.
x
C
3
2
1
R
r
Figura B2.2
Reostato a filo.
Indicando con x la distanza di C dal terminale 2, la lunghezza lx del filo compreso
tra i morsetti 2 e 3 è proporzionale a x, secondo la relazione: lx = kx, dove il coefficiente
k dipende dalle caratteristiche costruttive del reostato. La resistenza r inserita tra i morsetti 2 e 3 sarà pertanto data da:
r=
ρ lx ρ k
x
=
S
S
[B2.1]
Resistenza
di un reostato
in funzione
della posizione
del cursore
151
152
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
Supponendo che il filo abbia resistività e sezione costante per tutta la sua lunghezza, la relazione [B2.1] indica che r varia linearmente con x, secondo il grafico di
figura B2.3, dove lr è la lunghezza totale del reostato.
r
R
Figura B2.3
Variazione
della resistenza
in funzione
dello spostamento
del cursore.
lr
0
x
I potenziometri sono prevalentemente usati nei circuiti elettronici per la regolazione della tensione e in quelli di controllo come trasduttori, ossia come componenti in
grado di trasformare uno spostamento, rettilineo o rotatorio, in una variazione di resistenza. Vi sono vari tipi costruttivi: quelli rotativi sono costituiti da un elemento resistivo di forma circolare, sul quale può muoversi il cursore, con un movimento rotatorio, ottenibile in vari modi (albero rotante, vite ecc.), come mostrato schematicamente
nella figura B2.4.
αM
3
C
α
r
Figura B2.4
Schema di
un potenziometro
rotativo.
2
1
R
La posizione del cursore è indicata dall’angolo α, che può variare da zero a αM; di
conseguenza, la resistenza r inserita tra i morsetti 2 e 3 varierà da zero a quella totale
R di tutto l’elemento resistivo. Nel caso dei potenziometri lineari la costruzione del
componente viene fatta in modo che la variazione di r in funzione di α sia lineare,
come mostrato nel grafico di figura B2.5. Esistono comunque potenziometri costruiti
anche secondo altre leggi di variazione, come quelli logaritmici ed esponenziali.
Figura B2.5
Variazione
della resistenza
in funzione
dello spostamento
angolare del cursore
(potenziometro
lineare).
r
R
0
αM
α
153
B2 • Regolazione reostatica e verifica dei metodi di risoluzione delle reti
B2.2 Regolazione con reostato in serie
Questo tipo d’inserzione, il cui schema elettrico è indicato nella figura B2.6, viene generalmente realizzato con un reostato (e non con un potenziometro) e serve per variare
la corrente in un circuito alimentato con tensione d’ingresso costante Vi.
R
2
r
+
1
I
3
Vi
Vu
Figura B2.6
Regolazione
della corrente
con reostato in serie.
Rc
Indicando con r la resistenza della parte di reostato inserita nel circuito, collegata in
serie con la resistenza di carico Rc, la corrente circolante è data da:
Vi
I=
r + Rc
[B2.2]
Reostato in serie:
corrente
in funzione
della resistenza
inserita
Tale corrente può variare, a seconda della posizione del cursore, tra i seguenti due
valori estremi:
•
un valore minimo I min =
to, r = R);
•
Vi
con il cursore in posizione 1 (reostato tutto inseriR + Rc
un valore massimo I max =
r = 0).
Vi
con il cursore in posizione 2 (reostato disinserito,
Rc
La variazione non è lineare in quanto la [B2.2] non è l’equazione di una retta: il grafico indicativo è mostrato nella figura B2.7, mentre quello effettivo dipende anche dai
valori delle grandezze Vi e Rc che compaiono nella [B2.2].
I
lmax
lmin
0
R
r
Figura B2.7
Variazione
della corrente
in funzione di r.
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
154
La tensione Vu sul carico varia, di conseguenza, dal valore minimo Vu min = Rc Imin al valore massimo Vu max = Rc Imax; esplicitando le due espressioni precedenti si ottiene:
Vu min = Vi
1
1+
R
Rc
Vu max = Vi
È da notare che la regolazione con reostato in serie non consente di ottenere corrente nulla nel circuito: per portare la corrente a zero occorrerebbe un reostato di resistenza totale infinita. Il vantaggio di tale regolazione è costituito dalle ridotte perdite di
potenza che comporta, dato che la parte di reostato disinserita non è percorsa da corrente.
ESEMPIO
1
Con un reostato in serie si vuole regolare da 0,1 A a 1 A la corrente in un circuito con resistenza
di carico Rc = 50 Ω. Determinare la tensione di alimentazione e la resistenza totale che deve
avere il reostato.
■ La tensione di alimentazione si calcola in funzione della corrente massima:
Vi = Rc I max = 50 × 1 = 50 V
mentre dalla formula della corrente minima si ricava:
R + Rc =
50
Vi
=
= 500 Ω
I min 0,1
e, quindi:
R = 500 − Rc = 500 − 50 = 450 Ω
B2.3 Regolazione potenziometrica
Tale regolazione è tipica dei potenziometri, ma può essere effettuata anche mediante un
reostato; nel caso di funzionamento a vuoto (Rc infinita o comunque molto maggiore
della resistenza del potenziometro) lo schema d’inserzione è quello della figura B2.8,
dove tutto il reostato è collegato in parallelo all’alimentazione e la tensione d’uscita è
prelevata tra i morsetti 2 e 3 (il morsetto 2 potrebbe essere collegato a massa).
I1
+
Figura B2.8
Regolazione
potenziometrica:
funzionamento
a vuoto.
Vi
I2 = 0
1
R–r
3
R
Vu
Rc ➞ `
r
2
Potenziometro
a vuoto: tensione
d’uscita
in funzione
della resistenza
In questo caso la corrente in uscita è nulla (I2 = 0) e tutto il reostato è percorso dalla
corrente I1 = Vi /R; le due sezioni del reostato possono quindi essere considerate in serie. La tensione in uscita si calcola facilmente applicando la regola del partitore di tensione:
r
[B2.3]
Vu = Vi
R
155
B2 • Regolazione reostatica e verifica dei metodi di risoluzione delle reti
Essendo costante il rapporto Vi /R, l’espressione [B2.3] rappresenta l’equazione di
una retta, del tipo y = mx, e quindi la legge di variazione di Vu in funzione di r sarà rappresentata da una semiretta passante per l’origine (figura B2.9). La tensione in uscita
varierà linearmente dal valore zero (r = 0, cursore nella posizione 2) al valore massimo,
pari alla tensione d’ingresso Vi (r = R, cursore in posizione 1).
Vu
Vi
0
Figura B2.9
Variazione
di Vu in funzione
di r per il circuito
di figura B2.8.
r
R
Nel caso di funzionamento su una resistenza di carico di valore finito occorre
considerare lo schema di figura B2.10, corrispondente al circuito di figura B2.11 a,
I1
I2
1
R–r
+
3
R
Vi
I
Rc
Vu
Figura B2.10
Regolazione
potenziometrica:
funzionamento a
carico.
r
2
I1
I1
R–r
+
I2
Vi
I
r
R–r
+
Vi
Rc
Req
Vu
Vu
b)
a)
a sua volta equivalente a quello di figura B2.11 b, dove Req è la resistenza del parallelo
tra r e Rc, pari a:
rRc
Req =
r + Rc
Applicando la regola del partitore di tensione allo schema di figura B2.11 b e sostituendo l’espressione precedente si ottiene:
rRc
r + Rc
Vu = Vi
= Vi
rRc
Req + R − r
+ R−r
r + Rc
Req
Figura B2.11 a, b
Schemi equivalenti
del circuito
di figura B2.10.
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
156
Svolgendo i vari passaggi si arriva, infine, alla seguente espressione, che lega Vu
alla resistenza r della parte di potenziometro che alimenta il circuito secondario:
Potenziometro
a carico: tensione
d’uscita
in funzione
della resistenza
Vu = Vi
Rc
R−r+
[B2.4]
R
R
r c
L’espressione [B2.4] mostra che la variazione di Vu in funzione di r non è più lineare e, inoltre, dipende dal valore assunto da Rc. Gli estremi di variazione sono comunque sempre gli stessi, dato che per r = 0 si ha Vu = 0 e per r = R si ha Vu = Vi.
La corrente I2 erogata al carico, essendo pari a Vu /Rc, sarà legata a r dalla seguente
legge:
Potenziometro
a carico:
corrente erogata
in funzione
della resistenza
I2 =
Vi
R−r+
[B2.5]
R
R
r c
e varierà tra gli estremi I2 = 0 (r = 0) e I2 = Vi /Rc (r = R).
ESEMPIO
2
Mediante un potenziometro di resistenza R = 10 kΩ si vuole regolare la tensione ai capi di un
carico con Rc = 1 kΩ, alimentato con tensione Vi = 5 V. Ricavare il grafico di variazione della
tensione.
■ Sostituendo nella [B2.4] i valori noti (le resistenze si possono lasciare espresse in kiloohm,
dato che compaiono sia al numeratore che al denominatore), si ha:
Vu =
5
10 − r +
10
r
Assegnando a r dieci valori, da 1 kΩ a 10 kΩ, corrispondenti ad altrettante posizioni del cursore del potenziometro, e calcolando i relativi valori della tensione di uscita, si ottiene la tabella
seguente:
r (kΩ)
Vu (V)
1
2
3
4
5
6
7
0,263 0,385 0,484 0,588 0,714 0,882 1,13
8
9
10
1,54
2,37
5
Riportando sul piano cartesiano la tensione Vu in funzione della resistenza r si ricava il grafico di figura B2.12, dal quale si vede che la variazione di tensione non avviene linearmente e
che la pendenza della curva è maggiore per i valori più elevati di r: ciò significa che, a parità di
variazione della resistenza r inserita sul circuito secondario, la corrispondente variazione di tensione è maggiore se il cursore è prossimo al morsetto 1.
Figura B2.12
Esempio 2.
Grafico della
funzione Vu = f(r).
Vu (V)
5
4
3
2
1
0
5
10
r (kΩ)
157
B2 • Regolazione reostatica e verifica dei metodi di risoluzione delle reti
B2.4 Verifica dei principi di Kirchhoff
La verifica sperimentale in laboratorio delle leggi di Kirchhoff delle correnti e delle
tensioni non presenta particolari difficoltà.
Per quanto riguarda il primo principio è sufficiente realizzare una rete resistiva con
almeno due nodi, inserire in ogni lato un amperometro e alimentarla con tensione variabile, ottenuta con un alimentatore regolabile o con uno fisso con regolazione potenziometrica, in modo da poter eseguire diverse misure.
Per ogni prova si rilevano le correnti lette dai vari strumenti e con i risultati ottenuti
si verifica che per ogni nodo la somma algebrica delle correnti sia nulla.
Nell’esecuzione della misura e nella valutazione dei segni delle correnti è importante
considerare la polarità d’inserzione degli strumenti: ogni amperometro misura una corrente positiva quando la stessa è entrante nel morsetto “+”; se l’indicazione è negativa
la relativa corrente dovrà essere considerata con il segno meno.
Per la verifica del secondo principio bisogna misurare, per ogni prova, le tensioni
sui vari lati di una maglia e verificare che la loro somma algebrica sia nulla, tenendo
presente che la polarità positiva di ogni tensione corrisponde al morsetto “+” del relativo voltmetro e viceversa. È possibile utilizzare la stessa rete realizzata per la verifica
del primo principio.
Per maggiori dettagli si rimanda alle attività di laboratorio proposte dell’unità B3.
B2.5 Verifica della sovrapposizione degli effetti
Si supponga di voler verificare sperimentalmente che nella rete di figura B2.13 la corrente I3 è pari alla somma algebrica delle correnti I3a e I3b, dovute rispettivamente all’azione del generatore di f.e.m. E1 con E2 = 0 (generatore in cortocircuito) e all’azione
del generatore di f.e.m. E2 con E1 = 0 (generatore in cortocircuito).
R1
R3
A
R2
B
I3
+
E1
R4
+
R5
E2
Per effettuare tale verifica occorre realizzare in laboratorio una rete resistiva con
cinque resistori e alimentarla con due alimentatori regolabili che rappresentano i generatori dello schema, collegati in modo tale che sia possibile disconnetterli e sostituirli
con dei cortocircuiti. In serie a R3 va collegato un amperometro di resistenza interna
trascurabile, in modo che non influisca sul valore della resistenza del lato.
Lo svolgimento della prova prevede le seguenti fasi:
a) si fissa un determinato valore di E1, si pone in cortocircuito E2 e si misura la corrente I3a dovuta al primo generatore che, stante le polarità del circuito, dovrà essere
diretta da A verso B;
b) si fissa un determinato valore di E2, si pone in cortocircuito E1 e si misura la corrente I3b dovuta al secondo generatore che, stante le polarità del circuito, dovrà essere diretta da B verso A;
c) si inseriscono ambedue gli alimentatori, regolandoli ai valori di tensione E1 ed E2
usati nelle fasi precedenti, e si misura la corrente I3 dovuta all’azione congiunta dei
due generatori e se ne rileva il verso.
Figura B2.13
Rete resistiva
alimentata
da due generatori
di tensione.
158
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
Il principio di sovrapposizione degli effetti sarà rispettato se i risultati delle tre misure verificano le seguenti uguaglianze:
I 3 = I 3a − I 3b
nel caso di corrente I3 diretta da A verso B e:
I 3 = I 3b − I 3a
in caso contrario.
B2.6 Determinazione del generatore equivalente
Sull’argomento dell’equivalenza tra una rete elettrica lineare e un generatore di tensione (Thevenin) o di corrente (Norton) si può svolgere attività di laboratorio, con i seguenti obiettivi:
•
•
data una rete, di cui non si conosce la composizione interna, determinare, mediante
apposite misure, le caratteristiche del generatore di tensione o di corrente equivalente alla rete stessa;
partendo da una rete la cui composizione interna è nota, verificare che le caratteristiche del generatore equivalente di tensione o di corrente determinate mediante le
misure siano corrispondenti a quelle calcolate analiticamente.
In entrambi i casi la base di partenza è costituita da quanto visto nella trattazione
teorica, riassumibile nelle seguenti affermazioni:
•
•
•
•
la f.e.m. ETh del generatore equivalente di Thevenin corrisponde alla tensione a
vuoto V0 della rete;
la corrente impressa IN del generatore equivalente di Norton corrisponde alla corrente di cortocircuito Icc della rete;
la resistenza RTh del generatore equivalente di Thevenin è pari al rapporto V0 /Icc;
la conduttanza GN del generatore equivalente di Norton è pari al rapporto Icc /V0.
A questo punto dovrebbe essere chiaro che per determinare sperimentalmente le caratteristiche del generatore equivalente è sufficiente misurare la tensione a vuoto e la
corrente di cortocircuito della rete in esame, tra i punti corrispondenti ai terminali del
bipolo equivalente.
Esercizi di verifica
Esercizio 1
Ricavare per punti la curva di I in funzione di r per la regolazione con reostato in serie di cui all’esempio 1.
Esercizio 2
Ripetere l’esempio 2 relativo alla regolazione potenziometrica della tensione nei due seguenti casi:
Rc = 10 kΩ e Rc = 100 kΩ, lasciando inalterati gli altri valori. Verificare che all’aumentare della resistenza di
carico il grafico di Vu in funzione di r tende sempre più alla forma lineare; spiegarne intuitivamente il perché.
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Spiegare la costituzione di un reostato a filo e dire come varia la resistenza inserita in funzione della posizione
del cursore.
2. Disegnare lo schema del circuito per la regolazione della corrente con un reostato in serie e ricavare le leggi
della variazione della corrente e della tensione sul carico. Come variano queste grandezze in funzione della
resistenza della parte di reostato inserita?
3. Disegnare lo schema del circuito per la regolazione potenziometrica della tensione, nell’ipotesi di considerare
molto elevata la resistenza del carico. Ricavare l’espressione della tensione d’uscita e descriverne, anche graficamente, la sua variazione in funzione della resistenza della parte di potenziometro (o di reostato) collegata
con l’uscita.
4. Disegnare lo schema del circuito per la regolazione potenziometrica della tensione, nell’ipotesi di funzionamento a carico. Ricavare l’espressione della tensione d’uscita e della corrente erogata e descriverne, anche
graficamente, la loro variazione in funzione della resistenza della parte di potenziometro (o di reostato) collegata con l’uscita.
5. Quali grandezze elettriche bisogna misurare e quali relazioni occorre usare per determinare sperimentalmente
il generatore equivalente di Thevenin di una rete elettrica lineare?
6. Quali grandezze elettriche bisogna misurare e quali relazioni occorre usare per determinare sperimentalmente
il generatore equivalente di Norton di una rete elettrica lineare?
159
Esercitazioni
B2 • Regolazione reostatica e verifica dei metodi di risoluzione delle reti
160
B3
Attività di laboratorio
proposte
Le proposte presentate in questa unità hanno l’obiettivo di verificare sperimentalmente gli
argomenti di misure elettriche presentati nell’unità B2. La loro esecuzione richiede semplicemente l’impiego della strumentazione di cui sono normalmente dotati i laboratori elettrici.
B3.1 Regolazione reostatica della corrente
La prova ha lo scopo di ricavare la caratteristica di regolazione di un circuito in cui
un reostato è collegato in serie a una resistenza di carico, in modo da tracciare la curva
della corrente in funzione della resistenza r inserita. Il circuito di prova è riportato nella
figura B3.1. L’alimentazione viene effettuata con un alimentatore regolabile, sul quale
viene letto direttamente il valore della tensione d’ingresso Vi. In alternativa questa tensione può essere misurata mediante un voltmetro di controllo.
T
R
2
r
1
3
I
+
A
+
Figura B3.1
Regolazione della
corrente: circuito
di prova.
Vi
RC
Per effettuare la prova si divide la guida di scorrimento del reostato (generalmente
già graduata) in 10 parti uguali e, in ogni posizione, si effettua la lettura dell’amperometro, raccogliendo i risultati delle misure in una apposita tabella.
Ponendo in ordinate i valori della corrente misurata I e in ascisse le posizioni del cursore del reostato e i corrispondenti valori della resistenza inserita, si ricava la curva di regolazione del circuito. Se la prova è stata condotta correttamente la corrente deve diminuire
in modo non lineare dal valore massimo I max =
Vi
Vi
al valore minimo I min =
.
R + Rc
Rc
Indicando con In la corrente nominale della resistenza di carico e con Rn la sua resistenza nominale, i componenti dovranno essere scelti in modo da rispettare le condizioni seguenti:
•
il valore della Imax deve essere inferiore a quello della In, in modo da non surriscaldare il componente; per tale ragione la tensione di alimentazione deve essere
V i < R n I n;
B3 • Attività di laboratorio proposte
•
la corrente nominale del reostato deve essere anch’essa superiore a quella massima
prevista nel circuito;
•
•
la portata dell’amperometro va scelta in base alla corrente massima;
la resistenza R del reostato va scelta fissando il valore della Imin e facendo in modo
che si abbia:
V
R + Rn ≥ i
I min
B3.2 Regolazione potenziometrica della tensione
La prova ha lo scopo di ricavare la caratteristica di regolazione di un circuito in cui
un reostato (o un potenziometro) è collegato in parallelo a una resistenza di carico, in
modo da tracciare la curva della tensione d’uscita Vu in funzione della resistenza r inserita. Il circuito di prova è riportato nella figura B3.2. L’alimentazione viene effettuata con un alimentatore regolabile, sul quale viene letto direttamente il valore della
tensione d’ingresso Vi. In alternativa questa tensione può essere misurata mediante un
voltmetro di controllo.
D
+
+
Vi
R
V
r
1
Vu
Rc1
2
0
Rc2
Figura B3.2
Regolazione della tensione: circuito di prova.
Per effettuare la prova si divide la guida di scorrimento del reostato (generalmente
già graduata) in 10 parti uguali, in modo che alla posizione “10” corrisponda r = R. Per
ogni posizione si misura, mediante il voltmetro, la tensione di uscita Vu a vuoto, ponendo il deviatore D nella posizione “0” di aperto, e le due diverse tensioni d’uscita a
carico, rispettivamente con il deviatore nelle posizioni “1” (inserzione di Rc1) e “2” (inserzione di Rc2). I risultati delle misure vanno raccolti in un’apposita tabella.
Ponendo in ordinate i valori della tensione di uscita Vu e in ascisse le posizioni del
cursore del reostato e i corrispondenti valori della resistenza inserita, si ricavano le tre
curve di regolazione del circuito (a vuoto, con resistenza Rc1, con resistenza Rc2).
Se la prova è stata condotta correttamente le caratteristiche di regolazione avranno
il seguente andamento:
•
la caratteristica a vuoto aumenterà linearmente da zero al valore Vi della tensione
d’ingresso;
• le caratteristiche a carico aumenteranno anch’esse da zero a Vi, ma non in modo lineare;
• per ogni posizione del cursore la differenza tra la tensione a vuoto e quella a carico
sarà maggiore per la caratteristica con resistenza di carico minore.
Per la scelta dei componenti (potenziometro, voltmetro e resistori di carico) si dovrà tener conto del valore della tensione Vi, che è il massimo valore di tensione agente
sul circuito secondario.
161
162
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
B3.3 Verifica del primo principio di Kirchhoff
Scopo della prova è quello di verificare sperimentalmente, con l’uso di tre amperometri, l’enunciato della legge di Kirchhoff delle correnti. Usando lo schema di misura riportato nella figura B3.3, le letture dei tre amperometri devono soddisfare il primo
principio di Kirchhoff applicato al nodo B:
I1 = I2 + I3
+
I1
A1
R1
+
= –
B
+
+
A2
A3
I2
I3
R2
R3
Figura B3.3
Verifica del primo principio di Kirchhoff: circuito di prova.
Usando un alimentatore regolabile si possono effettuare più prove con diversi valori
della tensione di alimentazione, facendo comunque circolare correnti di valore non superiore a quelli nominali ammessi per i tre resistori. I risultati delle misure verranno
raccolti in una apposita tabella.
Se, per esempio, vengono utilizzati resistori di potenza nominale 1 W e resistenze
R1 = 120 Ω, R2 = 150 Ω, R3 = 220 Ω, le correnti massime che possono circolare saranno
pari a: I1M = 91,3 mA, I2M = 81,6 mA, I3M = 67,4 mA e si potranno utilizzare milliamperometri di portata 100 mA. Poiché la resistenza equivalente del circuito, data dalla
serie tra R1 e il parallelo R2//R3, è pari a 209,2 Ω, la tensione massima di alimentazione
dovrà essere: V1M = Req I1M = 19 V.
Se vengono considerati anche gli errori assoluti commessi sulle varie letture e dovuti alla classe degli strumenti, per ogni prova dovrà essere verificata la seguente disequazione:
(I2 + I3) – (εa2 + εa3) ≤ (I1 ± εa1) ≤ (I2 + I3) + (εa2 + εa3)
ossia i margini di variazione della corrente I1 devono essere compresi tra quelli di variazione della somma (I2 + I3).
B3.4 Verifica del secondo principio di Kirchhoff
Scopo della prova è quello di verificare sperimentalmente, con l’uso di tre voltmetri,
l’enunciato della legge di Kirchhoff delle tensioni. Usando lo schema di misura riportato nella figura B3.4, relativo alla stessa rete resistiva usata per la verifica del primo
principio, le letture dei tre voltmetri devono soddisfare il secondo principio di
Kirchhoff applicato alla maglia α:
V1 = V2 + V3
Usando un alimentatore regolabile si possono effettuare più prove con diversi valori
della tensione di alimentazione, facendo comunque circolare correnti di valore non su-
163
B3 • Attività di laboratorio proposte
periore a quelli nominali ammessi per i tre resistori. I risultati delle misure verranno
raccolti in una apposita tabella.
+
V2
α
R1
+
+
V1
= –
+
Figura B3.4
Verifica del secondo
principio di Kirchhoff:
circuito di prova.
R2
V3
R3
Se, per esempio, vengono utilizzati resistori con caratteristiche uguali a quelle indicate nel paragrafo precedente e con tensione massima di alimentazione 19 V, è facile verificare, con la regola del partitore di tensione, che si avrà: V1M = 10,9 V e V2M = 8,1 V.
Si potranno pertanto usare voltmetri con portate massime 20 V, 15 V e 10 V.
Se vengono considerati anche gli errori assoluti commessi sulle varie letture e
dovuti alla classe degli strumenti, per ogni prova dovrà essere verificata la seguente
disequazione:
(V2 + V3) – (εa2 + εa3) ≤ (V1 ± εa1) ≤ (V2 + V3) + (εa2 + εa3)
ossia i margini di variazione della tensione V1 devono essere compresi tra quelli di variazione della somma (V2 + V3).
B3.5 Verifica della sovrapposizione degli effetti
L’esercitazione ha lo scopo di verificare sperimentalmente il principio di sovrapposizione degli effetti applicato a una rete resistiva da realizzare in laboratorio.
Per effettuare la misura si costruisce il circuito di figura B3.5, utilizzando cinque
resistori fissi e due alimentatori regolabili, per realizzare i due generatori; i due cortocircuiti saranno costituiti da conduttori di piccola lunghezza e sezione tale da poter ritenere nulle le loro resistenze.
È opportuno che la prova si svolga velocemente e con valori di corrente decisamente inferiori a quelli nominali dei resistori, in modo da limitarne il riscaldamento,
che potrebbe essere causa di non linearità della rete.
Lo svolgimento della prova prevede le seguenti fasi:
• fase a: si porta il deviatore D1 in posizione 1 e D2 in posizione 2, in modo da inserire il primo generatore e cortocircuitare il secondo; sul voltmetro V1 si controlla la
tensione di alimentazione, mentre V2 dovrà segnare zero; in questa fase si legge sull’amperometro A3 la corrente misurata I3a, che dovrà circolare dal nodo A al nodo
B, data la polarità di E1;
R1
A
+
R3
A3
R2
B
D1
1
+
E1
Figura B3.5
Verifica del
principio di
sovrapposizione
degli effetti:
circuito di prova.
2
2
+
V1
+
R4
H
R5
V2
D2
1
+
E2
Modulo B • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente continua
164
fase b: si porta il deviatore D1 in posizione 2 e D2 in posizione 1, inserendo così il
secondo generatore e cortocircuitando il primo; il voltmetro V1 segnerà zero e V2 la
tensione di alimentazione; in questa fase si legge sull’amperometro A3 la corrente
misurata I3b, che dovrà circolare, data la polarità di E2, dal nodo B al nodo A (A3 dovrà essere invertito di polarità, in modo che la lettura sia positiva);
• fase c: si portano i due deviatori in posizione 1, in modo da inserire entrambi i generatori, e si regolano gli alimentatori in modo che i valori di E1 ed E2, letti sui voltmetri, siano esattamente uguali a quelli usati nelle fasi a e b; si legge su A3 la corrente effettiva I3; se l’amperometro è inserito con la polarità di figura B3.5 e la lettura è positiva vuol dire che I3 circola da A verso B; se la lettura è negativa si inverte
l’inserzione dell’amperometro e si considera la corrente circolante da B verso A.
I risultati delle misure dovranno soddisfare, pur con una certa approssimazione a
causa degli inevitabili errori, le seguenti relazioni:
• I3 = I3a – I3b se la corrente I3 è diretta dal nodo A al nodo B;
•
•
I3 = I3b – I3a
se la corrente I3 è diretta dal nodo B al nodo A.
B3.6 Determinazione del generatore equivalente
L’esercitazione ha lo scopo di determinare le grandezze caratteristiche del generatore
equivalente secondo Thevenin e Norton di una rete elettrica lineare da costruire in laboratorio e comprendente, come indicato nella schema di figura B3.6, un alimentatore
e tre resistori. Completano lo schema un amperometro, un voltmetro, un deviatore e un
reostato di carico.
Dovrà essere ricavata anche la caratteristica volt-amperometrica del generatore.
R1
R3
D
A
1
2
+
Figura B3.6
Generatore equivalente:
circuito di prova.
+
E
R2
+
V
R
Con il deviatore in posizione “1” si misura la tensione a vuoto V0, dopo aver regolato l’alimentatore nella posizione prescelta. Successivamente, con il deviatore in posizione “2” e il reostato R completamente disinserito, si misura la corrente di cortocircuito Icc; in tale condizione il voltmetro segnerà una tensione nulla.
Agendo sul reostato R si fa variare la corrente circolante e si misurano, per ogni condizione di funzionamento, i valori della tensione e della corrente. In questo modo è possibile ricavare, oltre ai valori a vuoto e in cortocircuito, altri punti intermedi della caratteristica esterna del generatore. Tutti i valori misurati verranno raccolti in una apposita tabella. Con i risultati ottenuti dalle misure si eseguono, infine, le seguenti elaborazioni:
• riportando sul piano cartesiano I-V le corrispondenti coppie di valori della corrente e
della tensione si disegna la caratteristica esterna del generatore, che dovrà essere un
segmento di retta avente come estremi il punto a vuoto e quello di cortocircuito;
• si determinano i parametri del generatore equivalente di Thevenin:
V
Rth = 0
Eth = V0
I cc
•
si determinano i parametri del generatore equivalente di Norton:
I
GN = cc
I N = I cc
V0
Modulo C
Reti elettriche
capacitive
Obiettivi
Prerequisiti
Scheda PRE-1 Richiami di elettrostatica
Scheda PRE-2 Grandezze con andamento
esponenziale nel tempo
Contenuti
• C1 Reti capacitive a regime costante
• C2 Fenomeni transitori nei circuiti capacitivi
Esercitazioni
• Esercizi di verifica
• Test di verifica
166
Modulo C • Reti elettriche capacitive
Obiettivi
Al termine di questo modulo gli alunni dovranno:
1. conoscere il bipolo “condensatore elettrico” e il suo comportamento
circuitale;
2. conoscere le leggi relative alle reti capacitive a regime costante;
3. saper risolvere completamente una rete capacitiva, scegliendo
autonomamente il metodo di risoluzione più appropriato;
4. saper risolvere parzialmente una rete, calcolando le grandezze elettriche
richieste dalle specifiche del problema;
5. conoscere i fenomeni che avvengono in una rete capacitiva durante
il periodo transitorio di carica e di scarica di un condensatore;
6. saper risolvere una rete capacitiva durante il periodo transitorio;
7. essere in grado di verificare sperimentalmente l’evoluzione delle grandezze
elettriche durante il periodo transitorio.
Gli obiettivi dal numero 5 al numero 7 si riferiscono a reti elettriche lineari di
media complessità, con una sola costante di tempo.
Prerequisiti
SCHEDA PRE-1 Richiami di elettrostatica
•
Legge di Coulomb (nel vuoto). Due corpi puntiformi, aventi cariche elettriche Q1 e Q2, posti a distanza r tra loro, si attraggono (se le cariche hanno segno opposto) o si respingono (se le cariche hanno lo stesso segno) con una
forza direttamente proporzionale al prodotto tra le cariche e inversamente
proporzionale al quadrato della distanza:
F0 = k0
Q1Q2
r2
dove la costante k0 vale:
k0 = 8, 99 × 10 9
•
Costante dielettrica assoluta (del vuoto). La costante dielettrica assoluta è
data da:
ε0 =
•
Nm 2
C2
2
1
1
−12 C
=
=
8
85
×
10
,
Nm 2
4π k0 4π 8, 99 × 10 9
Costante dielettrica del mezzo e costante dielettrica relativa. La forza di
Coulomb che si sviluppa non nel vuoto, ma in un mezzo dielettrico, è proporzionale non alla costante k0, ma alla costante k, data da:
k=
1
4π ε
Il rapporto:
1
ε
k0 4 π ε 0
=
=
= εr
1
ε0
k
4π ε
Prerequisiti
è la costante dielettrica relativa del mezzo isolante ed è un numero adimensionato. Invece il prodotto:
ε = ε0 εr
rappresenta la costante dielettrica di tale mezzo, espressa nella stessa unità
di misura di ε0.
Normalmente si ha εr > 1; quindi: ε > ε0, k < k0, F < F0, ossia la forza che si
crea tra due cariche poste in un mezzo isolante è minore di quella nel
vuoto, a parità di altre condizioni.
•
Campo elettrico. Una regione di spazio è sede di un campo elettrico se una
carica di prova, posta in un qualsiasi punto di quello spazio, è soggetta a una
forza di origine elettrica.
•
Vettore campo elettrico. Il vettore campo elettrico indica, in modo quantitativo, l’intensità del campo elettrico in un punto P dello spazio, intensità
che è tanto maggiore quanto maggiore sarà la forza agente su una carica q
posta in quel punto. È una grandezza vettoriale, definita dal rapporto:
ur
ur F
E=
q
e, quindi, è un vettore caratterizzato da:
F
, avente unità di misura [N/C] o [V/m];
q
b) direzione coincidente con quella della forza;
c) verso anch’esso coincidente con quello della forza.
a) intensità pari al rapporto E =
•
Linee di campo. Dette anche linee di forza, le linee di campo sono delle linee orientate che consentono di rappresentare graficamente l’azione del
campo elettrico (o di un qualsiasi altro campo vettoriale). La forza esercitata
dal campo su una carica esploratrice q, supposta convenzionalmente positiva e posta in un punto P, ha sempre direzione tangente alla linea di forza in
quel punto e verso coincidente con quello della linea di forza.
La figura PRE-1.1 a, b, c, d mostra l’andamento delle linee di forza nei seguenti casi: campo prodotto da una sola carica negativa, campo prodotto da
una sola carica positiva; campo prodotto da due cariche uguali e opposte;
campo prodotto da due cariche uguali, positive.
•
Campo elettrico uniforme. Si ha un campo elettrico uniforme quando il vettore E è costante in intensità, direzione e verso; questo significa che: la
forza F prodotta sulla stessa carica q deve essere costante in ogni punto del
campo; la direzione della forza non deve variare e, quindi, le linee di campo
devono essere rettilinee; il verso della forza non deve cambiare e, pertanto,
le linee di campo devono essere tutte orientate allo stesso modo.
La figura PRE-1.2 mostra un caso di campo elettrico uniforme, creato da
due lamine piane e parallele, di lunghezza teoricamente infinita, caricate
elettricamente con due cariche uguali e opposte, distribuite uniformemente
lungo la superficie delle lamine.
•
Differenza di potenziale elettrico (tensione elettrica). La forza F agente
sulla carica q provoca uno spostamento Δs della carica stessa, compiendo il
167
Modulo C • Reti elettriche capacitive
168
F P
+q
–
a) Campo elettrico prodotto
da una carica negativa.
P F
+q
+
b) Campo elettrico prodotto
da una carica positiva.
F
+q
F
P +q
P
+
+
–
c) Campo elettrico prodotto da
due cariche uguali e opposte.
+
d) Campo elettrico prodotto da
due cariche uguali, positive.
Figura PRE-1.1 a, b, c, d
Andamento delle linee di forza del campo elettrico, in quattro casi tipici.
+
F
Figura PRE-1.3
Superfici equipotenziali nel
caso del campo elettrico
uniforme.
–Q
120 V
F
+Q
125 V
+
–Q
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
150 V
F
175 V
Figura PRE-1.2
Campo elettrico
uniforme.
+
100 V
+Q
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Prerequisiti
lavoro ΔL. La possibilità che ha il campo elettrico di compiere lavoro testimonia che in ogni suo punto vi è dell’energia, a livello potenziale. Si definisce come differenza di potenziale elettrico (d.d.p.) tra due punti A e B del
campo la differenza di energia per unità di carica e quindi il rapporto:
ΔV =
WB − WA WB WA
=
−
= VB − VA
q
q
q
dove VB e VA sono i potenziali elettrici dei due punti, proporzionali ai loro
livelli energetici.
•
Superfici equipotenziali. Le superfici equipotenziali sono formate, nello
spazio sede del campo, da tutti i punti aventi lo stesso potenziale elettrico e
quindi lo stesso livello energetico. Una carica q che si muove tra due punti
di una superficie equipotenziale non subisce alcuna variazione di energia e
su di essa non si compie lavoro. Dato che il lavoro è nullo quando lo spostamento è perpendicolare alla direzione della forza, ne consegue che: le superfici equipotenziali sono perpendicolari, in ogni punto, alle linee di
forza.
Nella figura PRE-1.3 sono indicate le superfici equipotenziali relative al
campo elettrico uniforme di figura PRE-1.2.
SCHEDA PRE-2 Grandezze con andamento esponenziale
nel tempo
Andamento esponenziale crescente
Molti processi fisici (per esempio, il riscaldamento di un corpo, la carica di un
condensatore ecc.) avvengono, sotto determinate ipotesi, secondo una legge matematica descritta dalla funzione:
t
⎛
− ⎞
τ
y = Y f ⎜1 − e ⎟
⎝
⎠
[P2.1]
dove:
•
•
y è il valore della grandezza fisica in esame all’istante t (variabile dipendente
della funzione);
t è il tempo (variabile indipendente della funzione);
Yf è il valore finale della grandezza y;
τ è la costante di tempo, il cui ruolo nell’evoluzione della grandezza y verrà
definito nel seguito della trattazione;
e = 2,71828… è la base dei logaritmi naturali o neperiani;
•
e
•
•
•
−
t
τ
è una funzione esponenziale, con esponente negativo e base e.
I valori assunti dalla funzione [P2.1], in corrispondenza di determinati valori
del tempo, sono riportati nella tabella PRE-2.1. Per il calcolo dell’esponenziale
basta usare una normale calcolatrice provvista di tale funzione.
169
Modulo C • Reti elettriche capacitive
170
Tabella PRE-2.1 Valori tipici della funzione [P2.1]
t
t
ττ
e–
t
ττ
y
y
Yf
% del valore
finale
0
0
1
0
0
0
1τ
1
0,368
0,632 Yf
0,632
63,2
2τ
2
0,135
0,865 Yf
0,865
86,5
3τ
3
0,0498
0,950 Yf
0,950
95
4τ
4
0,0183
0,982 Yf
0,982
98,2
4,6 τ
4,6
0,010
0,990 Yf
0,990
99
5τ
5
0,00674
0,993 Yf
0,993
99,3
y
Yf 100%
86%
99%
95% 98%
63%
Figura PRE-2.1
Andamento esponenziale
crescente.
0
τ
1τ
2ττ
3ττ
4ττ
5ττ
t
Il grafico che mostra l’andamento di y in funzione del tempo è riportato nella
figura PRE-2.1.
Esaminando il grafico e la tabella si possono fare le seguenti considerazioni:
•
•
•
•
la grandezza y parte da un valore iniziale nullo e tende a un valore finale Yf ,
senza però mai raggiungerlo; nel linguaggio matematico Yf rappresenta l’asintoto orizzontale della funzione e i valori di y tendono asintoticamente a Yf;
in teoria la grandezza y non arriva mai a un valore costante; in pratica la sua
evoluzione si considera conclusa quando lo scostamento rispetto al valore finale diventa minore di un valore prefissato, normalmente pari all’1%;
particolarmente significativo diventa il valore 4,6τ, per il quale si ha
y = 0,99Yf (scostamento pari a 1%); il tempo Ta = 4,6τ è detto tempo di assestamento e rappresenta la durata pratica del processo di crescita esponenziale della grandezza y; esso è direttamente proporzionale al valore
della costante di tempo, dalla quale dipende, pertanto, tale durata;
l’aumento della grandezza y avviene con incrementi sempre decrescenti;
questo si nota facilmente dalla tabella: nel primo intervallo (da 0 a 1τ) la y
aumenta da 0 a 0,632Yf (incremento del 63,2%), mentre nel secondo intervallo (da 1τ a 2τ) cresce dal 63,2% all’86,5% del valore finale (incremento
del 23,3%) e successivamente sempre meno.
Prerequisiti
Calcolo del valore di y, noto t
Questa operazione si esegue direttamente usando l’espressione [P2.1], come riportato nell’esempio seguente.
ESEMPIO a)
Conoscendo τ = 2 s e Yf = 10, calcolare il valore y1 all’istante t1 = 5 s.
■ Si ha:
t
5
⎛
⎛
− ⎞
− ⎞
τ
y1 = Y f ⎜ 1 − e ⎟ = 10 ⎜ 1 − e 2 ⎟ = 10 1 − e−2, 5 = 10 (1 − 0, 0821) = 9, 18
⎝
⎠
⎝
⎠
(
)
Calcolo del valore di t, noto y
Questa operazione è più complessa della precedente, dato che t compare nell’espressione dell’esponente e non in modo esplicito. Si può ricavare una formula
diretta per il calcolo del tempo, operando nel seguente modo:
t
⎛
− ⎞
y = Y f ⎜1 − e τ ⎟
⎝
⎠
t
−
y
= 1− e τ
Yf
e
−
t
τ
= 1−
y
Yf
A questo punto, per ricavare l’esponente, si ricorre alla funzione inversa dell’esponenziale, ossia al logaritmo naturale ln (funzione anch’essa presente sulle
comuni calcolatrici), ottenendo:
−
⎛
t
y⎞
= ln ⎜ 1 − ⎟
τ
⎝ Yf ⎠
⎛
y⎞
−t = τ ln ⎜ 1 − ⎟
⎝ Yf ⎠
e, infine:
⎛
y⎞
t = −τ ln ⎜ 1 − ⎟
⎝ Yf ⎠
[P2.2]
ESEMPIO b)
Con i dati dell’esempio a) calcolare dopo quanto tempo la grandezza y assume
il valore 6.
■ Applicando la formula [P2.2] con y1 = 6, si calcola il tempo t1 richiesto:
⎛
y⎞
6⎞
⎛
t1 = − τ ln ⎜ 1 − ⎟ = −2 ln ⎜ 1 − ⎟ = −2 ln 0, 4 = −2(− 0, 916 ) = 1, 832 s
⎝
⎠
Y
10
⎝
f ⎠
Andamento esponenziale decrescente
L’andamento nel tempo di una grandezza y che parte da un valore iniziale Y0 e
tende esponenzialmente a zero è descritto dalla funzione:
y = Y0 e
−
t
τ
[P2.3]
171
Modulo C • Reti elettriche capacitive
172
I valori assunti dalla funzione [P2.3], in corrispondenza di determinati valori del tempo, sono riportati nella tabella PRE-2.2.
Tabella PRE-2.2 Valori tipici della funzione [P2.3]
y
Y0
% del valore
Y0
1
100
0,368
0,368 Y0
0,368
36,8
2
0,135
0,135 Y0
0,135
13,5
3τ
3
0,0498
0,0498 Y0
0,0498
4,98
4τ
4
0,0183
0,0183 Y0
0,0183
1,83
4,6 τ
4,6
0,010
0,010 Y0
0,010
1
5τ
5
0,00674
0,00674 Y0
0,00674
0,674
t
ττ
t
e– ττ
y
0
0
1
1τ
1
2τ
t
iniziale
Il grafico che mostra l’andamento di y in funzione del tempo è riportato nella
figura PRE-2.2.
y
100%
Y0
37%
14%
Figura PRE-2.2
Andamento esponenziale
decrescente.
5%
0
1τ t
2τt
3τt
2%
1%
4τ t
5 τt
t
Dall’esame del grafico e della tabella scaturiscono le seguenti considerazioni:
•
•
•
la grandezza y parte dal valore iniziale Y0 e tende a un valore finale nullo,
senza però mai raggiungerlo; nel linguaggio matematico si dice che y tende
asintoticamente a zero;
in teoria la grandezza y non si annulla mai; in pratica la sua evoluzione si
considera conclusa dopo il tempo di assestamento Ta = 4,6τ, quando il suo
valore è pari all’1% di quello iniziale;
la diminuzione della grandezza y avviene con decrementi sempre più piccoli;
questo si nota facilmente dalla tabella: nel primo intervallo (da 0 a 1τ) la y
diminuisce da Y0 a 0,368Y0 (decremento del 63,2%), mentre nel secondo intervallo (da 1τ a 2τ) diminuisce dal 36,8% al 13,5% del valore iniziale (decremento del 23,3%) e successivamente sempre meno.
Prerequisiti
Calcolo del valore di y, noto t
Questa operazione si esegue direttamente usando l’espressione [P2.3], come riportato nell’esempio seguente.
ESEMPIO c)
Conoscendo τ = 0,1 s e Y0 = 100, calcolare il valore y1 all’istante t1 = 0,35 s.
■ Si ha:
y1 = Y0 e
−
t1
τ
= 100 e
−
0, 35
0,1
= 100 e−
3, 5
= 100 × 0, 0302 = 3, 02
Calcolo del valore di t, noto y
In questo caso l’incognita t compare nell’espressione dell’esponente e non in
modo esplicito. Si può ricavare una formula diretta per il calcolo del tempo,
operando nel seguente modo:
e
−
t
τ
=
y
Y0
ln e
−
t
τ
⎛ y⎞
= ln ⎜ ⎟
⎝ Y0 ⎠
−
⎛ y⎞
t
= ln ⎜ ⎟
τ
⎝ Y0 ⎠
e, infine:
⎛ y⎞
t = −τ ln ⎜ ⎟
⎝ Y0 ⎠
[P2.4]
ESEMPIO d)
Con i dati dell’esempio c) calcolare dopo quanto tempo la grandezza y assume
il valore 70.
■ Applicando la formula [P2.4] con y1 = 70, si calcola il tempo t1 richiesto:
⎛y ⎞
⎛ 70 ⎞
t1 = −τ ln ⎜ 1 ⎟ = – 0, 1 ln ⎜
= − 0, 1 ln 0, 7 = − 0, 1(− 0, 357 ) = 0, 0357 s
⎝ 100 ⎟⎠
⎝ Y0 ⎠
173
174
C1
Reti capacitive
a regime costante
In questa unità verrà studiato un nuovo tipo di bipolo, detto condensatore, e verranno esaminate
le reti capacitive, ossia reti comprendenti condensatori variamente collegati tra loro. Lo studio
verrà condotto a regime costante, supponendo che si siano esauriti i fenomeni transitori di carica dei condensatori e che tutte le grandezze elettriche interessanti la rete si possano ritenere
costanti nel tempo.
C1.1 Condensatore
Nella sua forma più semplice (condensatore piano), un condensatore è un dispositivo
elettrico costituito da due piastre conduttrici (armature) piane e parallele, provviste di
due terminali di collegamento e separate tra loro da uno strato di isolante, detto dielettrico (figura C1.1); il suo simbolo elettrico è indicato nella figura C1.2.
terminale
Figura C1.1
Schematizzazione del
condensatore piano.
terminale
armature
dielettrico
Figura C1.2
Simbolo del
condensatore.
Quando il condensatore non è elettricamente carico, entrambe le armature sono
nello stato “neutro”, ossia possiedono in uguale misura cariche elettriche positive (protoni) e negative (elettroni). Collegando il condensatore a un generatore elettrico avente
f.e.m. E ai suoi capi (figura C1.3 a), gli elettroni dell’armatura A vengono forzati dal
generatore, che fornisce loro energia, a fluire verso l’armatura B, stabilendo così un
moto di elettroni da A verso B e quindi una circolazione di corrente elettrica (avente
convenzionalmente il verso delle cariche positive, opposto a quello degli elettroni) da
B verso A, in accordo con la polarità del generatore.
L’armatura A, perdendo elettroni, si caricherà positivamente (eccesso di cariche positive), mentre l’armatura B acquisterà un’uguale carica negativa; tra le due armature
nascerà una d.d.p. elettrica e, quindi, una tensione che aumenterà proporzionalmente
alla carica elettrica delle due armature.
175
C1 • Reti capacitive a regime costante
È importante tener presente che, durante tutto il processo di carica del condensatore, gli elettroni circoleranno soltanto all’esterno del condensatore stesso, attraverso i
terminali di collegamento e il generatore; nessun elettrone passerà attraverso il dielettrico, data la sua natura di isolante elettrico. Questo significa che la corrente di carica
di un condensatore interessa soltanto il circuito esterno.
La circolazione degli elettroni terminerà quando la tensione VC sul condensatore arriverà al valore della f.e.m. E del generatore: in queste condizioni le due tensioni,
agendo in opposizione, faranno sì che nella maglia non vi sia più alcuna tensione in
grado di far circolare corrente (figura C1.3 b).
Se il condensatore viene scollegato dall’alimentazione (figura C1.3 c), la carica accumulata sulle armature fino a quel momento rimarrà immagazzinata nel condensatore
stesso, dato che le due armature sono tra loro isolate dallo strato di dielettrico. In teoria il condensatore non si dovrebbe scaricare mai; in realtà, a causa delle inevitabili imperfezioni dello strato isolante, vi sarà una debolissima circolazione di elettroni da B
verso A, fino ad annullare la d.d.p. tra le armature.
Per far avvenire velocemente il processo di scarica occorre collegare tra loro le armature, tramite un resistore (figura C1.3 d): gli elettroni sull’armatura B, non più forzati dal generatore, fluiranno verso l’armatura A e si creerà pertanto una corrente di
scarica da A verso B, di verso opposto a quella di carica, che cesserà quando le armature ritorneranno allo stato neutro. L’energia elettrostatica immagazzinata nel condensatore durante la carica verrà interamente dissipata per effetto Joule nel resistore.
A
A
B
-
-
-
-
–
+
–
+
–
+
–
–
+
VC = E
I
I
B
+
I=0
–
-
-
+
+
a) Durante il processo di carica
gli elettroni passano
dall’armatura A alla B.
E
–
b) Il condensatore è carico alla
tensione VC = E ; il flusso di
elettroni si è interrotto.
A
B
+
–
+
–
+
–
+
–
VC = E
c) Il condensatore, scollegato dal
generatore, rimane carico.
-
I
+
–
+
–
+
–
+
–
I
VC
-
–
–
-
+
-
A
B
+
-
E
R
d) Durante il processo di scarica
gli elettroni ritornano sull’armatura
A e la tensione VC diminuisce.
Figura C1.3 a, b, c, d
Fasi del processo
di carica e di scarica
di un condensatore.
Modulo C • Reti elettriche capacitive
176
+Q
–Q
Nella pratica costruttiva le forme che assumono i condensatori sono varie, a seconda del tipo (condensatori ceramici, elettrolitici, a film plastico ecc.); la descrizione
delle particolarità tecnologiche esula dai limiti del testo.
Polarizzazione del dielettrico
La presenza di cariche elettriche uguali e opposte sulle armature di un condensatore fa
nascere al suo interno un campo elettrico, le cui linee di forza, nel caso di un condensatore piano ideale, sono rettilinee e parallele tra loro (figura C1.4).
L’intensità E del vettore campo elettrico, da non confondere con la f.e.m. di un
generatore, visto che hanno lo stesso simbolo, è legata alla tensione V tra le armature e
alla distanza d tra le stesse, secondo la relazione:
V
Figura C1.4
Campo elettrico
all’interno di un
condensatore piano.
+Q
–Q
–+
–+
–+
–+
–+
–+
–+
–+
–+
–+
–+
–+
–+
–+
–+
–+
–+
–+
–+
–+
–+
V
Figura C1.5
Polarizzazione
del dielettrico.
E=
V
d
[C1.1]
L’espressione [C1.1] mostra che E si misura in volt su metri (più frequentemente in
kilovolt su millimetro o kilovolt su centimetro) e che l’intensità del campo è tanto maggiore quanto più piccola è la distanza, a parità di tensione V.
Il campo elettrico agisce per induzione elettrostatica sulle molecole del dielettrico,
polarizzandole, ossia attirando la parte positiva delle stesse verso l’armatura negativa e
viceversa (figura C1.5); questo fenomeno è maggiormente evidente se il dielettrico è
formato da molecole di tipo polare, costituite con legami ionici.
A questa azione si oppongono le forze di coesione molecolare, per cui all’interno
del condensatore si crea uno stato di equilibrio tra forze contrapposte, simile a quello
che si ha in una molla tesa. Se la tensione tra le armature aumenta, anche l’intensità del
campo elettrico cresce e, di conseguenza, aumenta la forza esercitata sulle molecole
dalla carica presente sulle armature; lo stato di equilibrio permane sino a quando non si
supera la forza di coesione molecolare: oltre tale limite gli elettroni del dielettrico vengono “strappati” dalle molecole, innescando una scarica interna che danneggia il condensatore (scarica disruptiva). Il massimo valore del rapporto V/d sopportabile dal
dielettrico costituisce la sua rigidità dielettrica, che dipende dal tipo di isolante: normalmente si va da qualche unità alle centinaia di kilovolt al millimetro.
C1.2 Capacità di un condensatore
Un condensatore, dal punto di vista del comportamento circuitale, è un bipolo in grado
di accumulare carica elettrica sulle sue armature quando viene caricato da un circuito
esterno e di conservarla anche dopo essere stato scollegato.
Dato che il processo di carica continua fino a quando non si raggiunge la tensione
imposta dal circuito esterno (compatibilmente con la tensione massima sopportabile
dal condensatore), è evidente che la quantità di carica accumulata sarà direttamente
proporzionale alla tensione, secondo la relazione:
Carica di un
condensatore
Q=C V
[C1.2]
Si definisce capacità del condensatore il rapporto:
C=
Q
V
[C1.3]
Ponendo V = 1 V nell’espressione [C1.3] si ha che C e Q coincidono numericamente
e quindi si può affermare che:
177
C1 • Reti capacitive a regime costante
ÈÈla capacità di un condensatore rappresenta la carica elettrica accumulata sul
condensatore stesso per unità di tensione applicata.
La capacità si misura in farad (F): il valore di 1 F indica che il condensatore immagazzina la carica di 1 C per ogni volt di tensione applicata. Dato che i condensatori
reali hanno capacità molto inferiori a 1 F, in pratica si usano i sottomultipli microfarad
(1 μF = 1 × 10–6 F), nanofarad (1 nF = 1 × 10–9 F) e picofarad (1 pF = 1 × 10–12 F).
Dall’espressione [C1.2] si ottiene la formula inversa:
V=
Q
C
[C1.4]
Tensione
ai capi di un
condensatore
che consente di ricavare la tensione sul condensatore.
a) Un condensatore accumula la carica Q = 100 μ C con V = 10 V. Calcolare la sua capacità
in microfarad.
b) Un condensatore di capacità 5 μ F viene caricato con tensione 100 V. Calcolare la carica
immagazzinata.
c) Calcolare la tensione occorrente per avere una carica di 100 nC in un condensatore di capacità 0,005 μ F.
ESEMPIO
1
■ Per il calcolo a si ha:
C=
Q 100 × 10 −6
=
= 10 × 10 −6 F = 10 μF
10
V
Nel calcolo b la carica è data da:
Q = CV = 5 × 10 −6 × 100 = 500 × 10 −6 C=500 μC
Per il calcolo c si ha:
V=
100 × 10 −9
100 × 10 −9
Q
=
=
= 20 V
5 × 10 −9
C 0, 005 × 10 −6
L’espressione [C1.2], essendo C costante, può essere intesa come l’equazione di
una retta passante per l’origine (figura C1.6); essa costituisce l’equazione caratteristica del bipolo condensatore.
Q
Q=
O
CV
V
All’aumentare della capacità C la carica, a parità di tensione, aumenta; nella figura
C1.7 sono riportate le caratteristiche, limitate ai semiassi positivi, di due condensatori
di diversa capacità.
Figura C1.6
Caratteristica
carica-tensione
di un condensatore.
Modulo C • Reti elettriche capacitive
178
Q
C2 > C1
Q2 > Q 1
Figura C1.7
All’aumentare della
capacità aumenta la carica,
a parità di tensione.
C1
Q1
O
V
V
Capacità del condensatore piano
L’espressione [C1.3] è valida per un qualsiasi condensatore, in quanto discende dalla
definizione di capacità. Nel caso di un condensatore piano è possibile ricavare un’altra
espressione della capacità, in funzione delle caratteristiche costruttive del componente:
Capacità di un
condensatore
piano
C=
εA
d
[C1.5]
dove A è la superficie delle armature, d è la loro distanza ed ε è la costante dielettrica
del materiale isolante interposto, pari al prodotto:
ε = ε 0ε r
[C1.6]
tra la costante dielettrica assoluta del vuoto ε0 (detta anche permettività assoluta) e la
costante dielettrica relativa εr dell’isolante, dipendente dal tipo di materiale dielettrico.
Essendo ε0 = 8,85 × 10
Capacità
in funzione
della costante
dielettrica
relativa
−12
F/m, l’espressione [C1.5] diventa:
C=
( 8, 85 × 10−12 F m ) ε r A
[C1.7]
d
Esprimendo A in metri quadrati e d in metri, la [C1.7] fornisce il valore di C in farad.
La costante dielettrica relativa gioca un ruolo importante nella costruzione di condensatori di elevata capacità: usando materiali con elevati valori di εr aumenta la capacità del condensatore, a parità di dimensioni geometriche. Per la maggior parte dei dielettrici i valori di εr variano da 1 a 10, ma vi sono anche materiali particolari, come il
titanato di bario, con costante dielettrica relativa di qualche migliaio.
ESEMPIO
2
Calcolare la capacità di un condensatore piano avente A = 0,1 m2, d = 5 mm, εr = 5.
■ Mediante l’espressione [C1.7] si ricava immediatamente:
C=
8, 85 × 10 −12 ε r A 8, 85 × 10 −12 × 5 × 0,1
=
= 0, 885 × 10 −9 F=0,885 nF
5 × 10 −3
d
C1.3 Energia elettrostatica
Durante il processo di carica il generatore esterno fornisce al condensatore energia elettrica, che resta immagazzinata nel condensatore stesso sotto forma di energia potenziale elettrostatica.
Per calcolare la quantità di energia accumulata in un condensatore di capacità C si
consideri il grafico di figura C1.8, dove V e Q sono rispettivamente i valori finali della
tensione e della carica elettrica.
C1 • Reti capacitive a regime costante
179
q
Q
q2
q1
W
Figura C1.8
Energia
immagazzinata
in un condensatore.
ΔW
O
Δv
V
v
Quando il condensatore subisce una variazione di tensione Δv, la carica si
q +q
incrementa dal valore q1 al valore q2. Indicando con qm = 1 2 il valore medio del2
la carica nell’intervallo considerato, l’incremento di energia immagazzinata nel condensatore sarà pari a:
ΔW = qmΔv
e corrisponderà all’area del rettangolo evidenziato nella figura C1.8.
Durante tutto il processo di carica la tensione passerà da zero a V e la carica da zero
a Q; l’energia totale sarà data dalla somma di tutti gli incrementi:
W = ∑ ΔW
e corrisponderà all’area del triangolo sotteso al segmento di retta del grafico di figura
C1.8, area data da:
W=
QV
2
[C1.8]
Sostituendo nella [C1.8] le espressioni [C1.2] e [C1.4] si ha anche:
W=
1
CV 2
2
[C1.9]
W=
1 Q2
2 C
[C1.10]
Formule
per il calcolo
dell’energia
elettrostatica
Dalla formula [C1.9] si deduce che, a parità di tensione applicata, l’energia immagazzinata in un condensatore è direttamente proporzionale alla sua capacità.
Un condensatore di capacità C = 20 μF viene caricato con tensione V = 100 V; calcolare la carica e l’energia accumulate.
■ Usando le formule [C1.2] e [C1.8] si ha:
Q = CV = 20 × 10 −6 × 100 = 2000 × 10 −6 C = 2 mC
W =
QV 2 × 10 −3 × 100
=
= 100 × 10 −3 J=0,1 J
2
2
Allo stesso risultato si perviene calcolando l’energia con la [C1.9] o con la [C1.10]:
( 2 × 10−3 ) = 0,1 J
1 Q2
1
=
CV 2 = 0, 5 × 20 × 10 −6 × 100 2 = 0,1 J W =
2 C
2 × 20 × 10 −6
2
2
W =
ESEMPIO
3
Modulo C • Reti elettriche capacitive
180
C1.4 Condensatori in serie
Si considerino n condensatori di capacità C1, C2, …, Cn, collegati tra loro in serie, come
mostrato nella figura C1.9, con il terminale di uscita dell’uno connesso al terminale
d’ingresso dell’altro.
A
C1
B A
C2
B
A
I
Figura C1.9
Collegamento
in serie: la corrente
di carica è la stessa
per gli n condensatori.
Cn
B
I
I
+
R
E
Chiudendo il circuito esterno inizierà il processo di carica, durante il quale si avrà
la circolazione della stessa corrente I nei conduttori di collegamento tra un condensatore e l’altro e nel lato del generatore, fino a quando i condensatori saranno completamente carichi e la tensione totale bilancerà la f.e.m. E del generatore.
Dato che ogni condensatore viene caricato dalla stessa corrente e per lo stesso intervallo di tempo, le cariche saranno uguali per tutti i condensatori (Q = It, in generale) e si avrà la situazione indicata nella figura C1.10 a.
C1
+
C2
–
+
+
–
Vn
a)
–
Q
VT = E
+
R
Ceq
+
VT = E
I=0
Figura C1.10 a, b
Condensatori
in serie e circuito
equivalente.
–
V2
V1
Q1 = Q2 = . . . = Qn = Q
Cn
+
R
E
b)
E
Indicando con Q il valore comune della carica, le tensioni sui vari condensatori saranno date da:
Condensatori
in serie: tensioni
parziali
V1 =
Q
C1
V2 =
Q
C2
Vn =
Q
Cn
[C1.11]
La tensione totale sarà pari alla somma di quelle parziali:
VT = V1 + V2 +
+ Vn
[C1.12]
Gli n condensatori collegati in serie dello schema di figura C1.10 a saranno equivalenti a un solo condensatore di capacità Ceq (figura C1.10 b), avente la stessa carica Q
e tensione pari a quella totale; per questo condensatore vale la legge:
Condensatori
in serie: tensione
totale
VT =
Q
Ceq
[C1.13]
181
C1 • Reti capacitive a regime costante
Sostituendo le espressioni [C1.11] e [C1.13] nella [C1.12] si ha:
Q
Q Q
Q
=
+
+ ... +
Ceq C1 C2
Cn
e, quindi, semplificando Q:
1
1
1
1
=
+
+ ... +
Ceq C1 C2
Cn
da cui si ottiene:
Ceq =
1
1
1
1
+
+ ... +
C1 C2
Cn
[C1.14]
Capacità
equivalente
di una serie
di condensatori
L’espressione [C1.14] permette di calcolare il valore della capacità equivalente di n
condensatori in serie, note le capacità dei singoli condensatori.
È facile notare che l’espressione è analoga a quella di n resistori in parallelo. Ciò
consente di affermare che la capacità equivalente di una serie di condensatori ha valore inferiore a quello della capacità più piccola.
Per quanto riguarda le cariche e le tensioni parziali, valgono le seguenti regole:
• tutti i condensatori collegati in serie hanno carica elettrica uguale;
• le tensioni sui condensatori in serie sono inversamente proporzionali alle rispettive capacità, come risulta evidente dalle relazioni [C1.11]; il condensatore
con capacità minore assume la massima tensione e viceversa.
Condensatori con capacità uguali
Se tutti i condensatori in serie hanno la stessa capacità C, la formula [C1.14] diventa:
1
1 1
+ +
C C
Ceq =
1
+
C
=
1
1
n
C
e, quindi:
Ceq
C
=
n
[C1.15]
Capacità
equivalente
di una serie
di condensatori
uguali
La capacità equivalente è pari a quella dei vari condensatori divisa per il loro
numero.
Due condensatori in serie
In questo caso si ha:
Ceq =
1
1
=
1
1
C2 + C1
+
C1 C2
C1C2
e, quindi:
Ceq =
C1C2
C1 + C2
[C1.16]
Capacità
equivalente
di due
condensatori
in serie
Modulo C • Reti elettriche capacitive
182
formula analoga a quella di due resistori in parallelo.
Se C1 = C2 = C, dalla [C1.15] si ottiene:
Ceq =
C
2
ossia la capacità equivalente si dimezza.
ESEMPIO
4
Tre condensatori, di capacità C1 = 10 μF, C2 = 5 μF e C3 = 20 μF, sono collegati in serie e sottoposti alla tensione VT = 15 V. Calcolare la capacità equivalente e le tensioni parziali.
■ Applicando la formula [C1.14] si ha:
Ceq =
1
1
=
= 2, 86 μF
1
1
1
1 1 1
+
+
+ +
C1 C2 C3 10 5 20
La carica Q, comune ai tre condensatori, è data da:
Q = CeqVT = 2, 86 × 10 −6 × 15 = 42, 9 μC
Con le espressioni [C1.11] si calcolano le tensioni sui tre condensatori:
V1 =
ESEMPIO
5
Q 42,9 × 10 −6
Q 42,9 × 10 −6
Q 42,9 × 10 −6
=
=
= 8,58 V V3 =
=
= 2,14 V
−6 = 4,29 V V2 =
−6
10 × 10
5 × 10
20 × 10 −6
C1
C2
C3
Calcolare quanti condensatori della stessa capacità C = 330 pF occorre collegare in serie per
avere una capacità equivalente pari a 22 pF.
■ Dalla formula inversa della [C1.15] si ricava:
n=
+
C1
C2
+
–
+
–
C
330
=
= 15
Ceq
22
C1.5 Regola del partitore di tensione
V1
V2
La regola del partitore di tensione capacitivo consente di calcolare le tensioni parziali
sui singoli condensatori in serie, in funzione della tensione totale, senza dover ricorrere
al calcolo della carica.
Considerando il condensatore i-esimo della serie di figura C1.11, la carica è data da:
Q = CiVi
VT
Ci
+
–
Vi
La stessa carica è pari a:
Q = CeqVT
e, quindi:
Cn
+
–
CiVi = CeqVT
Vn
da cui si ricava:
–
Figura C1.11
Regola del partitore
dI tensione.
Vi = VT
Ceq
Ci
[C1.17]
183
C1 • Reti capacitive a regime costante
Si può, quindi, affermare che:
ÈÈnel collegamento in serie la tensione su ogni condensatore è pari alla tensione
totale per il rapporto tra la capacità equivalente e quella del condensatore considerato.
I condensatori in serie sono spesso usati come divisori di tensione capacitivi, utilizzati per ottenere una tensione d’uscita (tensione su uno o più condensatori della serie) minore di quella d’ingresso (tensione totale). Il rapporto Ceq /Ci rappresenta allora
il fattore di riduzione, pari al rapporto Vout /Vin.
Nel caso di n condensatori uguali in serie la [C1.17] diventa:
C
n =V C
T
nC
C
Vi = VT
e, quindi:
V
Vi = T
n
[C1.18]
Condensatori
uguali in serie:
tensione su un
condensatore
ossia su n condensatori uguali in serie la tensione totale si divide in n parti uguali.
Nel caso di due condensatori, di capacità C1 e C2, l’applicazione della [C1.17] porta
alle seguenti espressioni:
C2
V1 = VT
C1 + C2
Partitore
di tensione
capacitivo
nel caso di due
condensatori
C1
V2 = VT
C1 + C2
la cui dimostrazione si lascia per esercizio.
Calcolare la tensione VAB per il circuito di figura C1.12.
C1
+
+
A
–
+
–
VT
+
–
C1 = 2,5 μF
C2
C2 = 1 μF
VAB
C3 = 2 μF
C4 = 10 μF
C3
VT = 5 V
+
–
–
ESEMPIO
C4
B
■ La Ceq della serie dei quattro condensatori è pari a:
Ceq =
1
1
5 μF
=
= 0,5
1
1
1
1
1 1 1 1
+
+
+
+ + +
C1 C2 C3 C4
2, 5 1 2 10
Figura C1.12
Esempio 6.
6
Modulo C • Reti elettriche capacitive
184
La tensione cercata è quella ai capi della serie C2-C3, la cui capacità equivalente è data da:
C2 C 3
1× 2
=
= 0, 667 μF
C2 + C 3 1 + 2
C23 =
Applicando la [C1.17] si ricava:
VAB = VT
Ceq
C23
=5
0, 5
= 3, 75 V
0, 667
C1.6 Condensatori in parallelo
Si considerino n condensatori di capacità C1, C2, …, Cn, collegati tra loro in parallelo,
come mostrato nella figura C1.13, con i terminali omonimi (armature di tipo A e di
tipo B) collegati tra loro.
I
A
Figura C1.13
Collegamento
in parallelo: ogni
condensatore viene
caricato da una
diversa corrente.
+
I2
I1
R
C1
B
E
I1
I
A
In
C2
B
A
Cn
B
I2
In
Durante il processo di carica, sul circuito esterno di ogni condensatore circolerà una
diversa corrente (I1, I2, …, In); il generatore fornirà una corrente I, somma delle correnti
parziali. Quando tutti i condensatori saranno carichi, la circolazione di corrente cesserà
e ogni condensatore presenterà ai suoi capi una tensione pari alla f.e.m. del generatore,
mentre le cariche saranno diverse, in quanto causate da differenti correnti (Q = I t, in
generale); la situazione si presenterà come indicato nella figura C1.14 a.
I=0
R
Figura C1.14 a, b
Condensatori
in parallelo e
circuito equivalente.
R
+
V
+ Q1
+ Q2
+ Qn
– C1
– C2
– Cn
V
+
+ QT
– Ceq
E
E
a)
V1 = V 2 = . . . = V n = V = E
b)
La carica totale sarà data dalla somma aritmetica delle cariche parziali:
QT = Q1 + Q2 + … + Qn
e, quindi:
Condensatori in
parallelo: carica
totale
QT = C1V + C2V + … + CnV = ( C1 + C2 + … + Cn ) V
[C1.19]
185
C1 • Reti capacitive a regime costante
Il parallelo degli n condensatori sarà equivalente a un solo condensatore di capacità
Ceq (figura C1.14 b), a patto che la carica totale e la tensione siano uguali. Per il condensatore equivalente si avrà:
QT = CeqV
[C1.20]
Uguagliando i secondi membri delle espressioni [C1.19] e [C1.20] si ha:
(C1 + C2 + … + Cn ) V = CeqV
da cui si ricava:
Ceq = C1 + C2 + … + Cn
[C1.21]
Capacità
equivalente dei
condensatori in
parallelo
Per il collegamento in parallelo la capacità equivalente è la somma aritmetica
delle capacità dei singoli condensatori, analogamente al collegamento in serie dei resistori. Si può notare che la capacità equivalente è sempre maggiore della capacità
più grande tra quelle dei singoli condensatori in parallelo.
Per quanto riguarda le cariche e le tensioni parziali, valgono le seguenti regole:
• tutti i condensatori collegati in parallelo hanno la stessa tensione;
• le cariche sui vari condensatori in parallelo, date da Qi = Ci V, sono direttamente
proporzionali alle rispettive capacità e quindi sul condensatore con capacità maggiore si accumulerà la maggiore carica elettrica e viceversa.
Condensatori con capacità uguali
Se tutti gli n condensatori in parallelo hanno la stessa capacità C, la formula [C1.21]
diventa:
Ceq = nC
[C1.22]
e quindi:
Capacità
equivalente
di condensatori
uguali in parallelo
la capacità equivalente è pari alla capacità di un condensatore moltiplicata per il
numero dei condensatori uguali in parallelo.
Tre condensatori di capacità C1 = 47 pF, C2 = 10 pF e C3 = 0,001 nF sono collegati in parallelo e sottoposti alla tensione V = 10 V. Calcolare la capacità equivalente, la carica totale e
quelle parziali.
■ Considerando che C3 = 0,001 nF = 1 pF, con l’applicazione della formula [C1.21] si ha:
Ceq = C1 + C2 + C3 = 47 + 10 + 1 = 58 pF
La carica totale è pari a:
QT = CeqV = 58 × 10 −12 × 10 = 580 pC
Le cariche parziali saranno date da:
Q1 = C1V = 47 × 10 −12 × 10 = 470 pC
Q2 = C2V = 10 × 10 −12 × 10 = 100 pC
Q3 = C3V = 1 × 10 −12 × 10 = 10 pC
ESEMPIO
7
Modulo C • Reti elettriche capacitive
186
C1.7 Regola del partitore di carica
La regola del partitore di carica consente di calcolare le cariche parziali sui singoli condensatori in parallelo, in funzione della carica totale, senza dover ricorrere al calcolo
della tensione.
Considerando il condensatore i-esimo del parallelo di figura C1.15, la tensione è
data da:
Q
V= i
Ci
+
V
Figura C1.15
Regola del partitore
di carica.
+ C1
+ C2
+ Ci
+ Cn
– Q1
– Q2
– Qi
– Qn
–
La stessa tensione è pari a:
V=
QT
Ceq
e, quindi:
Qi QT
=
Ci Ceq
da cui si ricava:
Partitore di carica
per i condensatori
in parallelo
Qi = QT
Ci
Ceq
[C1.23]
Si può quindi affermare che:
ÈÈnel collegamento in parallelo la carica su ogni condensatore è pari alla carica
totale per il rapporto tra la capacità del condensatore considerato e quella totale.
Nel caso di n condensatori in parallelo di uguale capacità, la [C1.23] diventa:
Qi = QT
C
nC
da cui si ricava:
Partitore di carica
nel caso
di condensatori
uguali in parallelo
Qi =
QT
n
[C1.24]
ossia su condensatori in parallelo di uguale capacità la carica totale si divide in parti
uguali.
187
C1 • Reti capacitive a regime costante
Tre condensatori in parallelo, di capacità C1 = C, C2 = 2 C, C3 = 3 C sono collegati in parallelo
e hanno carica totale QT = 600 μC. Calcolare le cariche parziali.
ESEMPIO
8
ESEMPIO
9
■ Essendo Ceq = C1 + C2 + C3 = C + 2 C + 3 C = 6 C, con l’applicazione della [C1.23] si ottiene:
Q1 = QT
C1
C
= 600
= 100 μC
Ceq
6C
Q3 = QT
Q2 = QT
C2
2C
= 600
= 200 μC
Ceq
6C
C3
3C
= 600
= 300 μC
Ceq
6C
C1.8 Condensatori in serie-parallelo
Per calcolare la capacità equivalente, le cariche e le tensioni parziali nel caso di reti capacitive dove sono presenti collegamenti di tipo serie e di tipo parallelo, basta applicare le regole viste nei paragrafi precedenti, come illustrato nell’esempio seguente.
In generale, analogamente a come si opera nelle reti con resistori, si inizia a risolvere la rete partendo dai lati più lontani dal generatore che impone la tensione sui condensatori.
Per la rete di figura C1.16 calcolare la capacità equivalente, la carica totale e le tensioni parziali.
C1
A
C4
B
C1 = 10 pF
C2 = 20 pF
C2
+
C3 = 40 pF
C5
V
C4 = 15 pF
C5 = 25 pF
C3
C6 = 50 pF
V = 250 V
H
C6
■ Riducendo le serie C2-C3 e C4-C5-C6 ai condensatori equivalenti si ottiene il circuito di figura C1.17 a, dove:
C23 =
C2 C 3
20 × 40
=
= 13, 3 pF
C2 + C3 20 + 40
C46 =
1
1
=
= 7, 89 pF
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
C4 C5 C6 15 25 50
Sostituendo al parallelo C23-C46 la capacità equivalente:
C26 = C23 + C46 = 13, 3 + 7, 89 = 21, 2 pF
si ottiene lo schema di figura C1.17 b, per il quale è immediato il calcolo della capacità equivalente:
CC
10 × 21, 2
Ceq = 1 26 =
= 6, 79 pF
C1 + C26 10 + 21, 2
Figura C1.16
Esempio 9.
Modulo C • Reti elettriche capacitive
188
C1
A
B
+
C23
V
Figura C1.17 a, b
Esempio 9.
Schemi equivalenti.
C1
A
B
+
C46
V
C26
H
H
b)
a)
La carica totale è data da:
QT = Ceq V = 6,79 × 10 −12 × 250 = 1698 pC
Applicando la regola del partitore di tensione allo schema di figura C1.17 b si ottiene:
V1 = V
C26
C1
21, 2
10
= 250
= 170 V VBH = V26 = V
= 250
= 80 V
C1 + C26
10 + 21, 2
C1 + C26
10 + 21, 2
Riapplicando tale regola tra i nodi B e H (figura C1.16) si calcolano le tensioni parziali sugli altri condensatori:
V2 = VBH
C3
C2
40
20
= 80
= 53, 3 V V3 = VBH
= 80
= 26, 7 V
C2 + C 3
20 + 40
C2 + C 3
20 + 40
V4 = VBH
C46
7, 89
= 80
= 42,1 V
C4
15
V6 = VBH
V5 = VBH
C46
7, 89
= 80
= 25, 3 V
C5
25
C46
7, 89
= 80
= 12, 6 V
C6
50
Per stabilire le polarità dei vari condensatori basta tener presente che tutte le armature dirette
verso il punto A (punto della rete di polarità positiva a potenziale maggiore) si caricheranno positivamente e le altre negativamente, come evidenziato sullo schema di figura C1.18.
C1
A
+
B
–
+
+
Figura C1.18
Esempio 9.
Indicazione delle
polarità delle
tensioni parziali.
–
C2
–
V
C4
+
+
+
–
C3
–
C5
+
–
H
C6
C1.9 Collegamento a stella e a triangolo
I condensatori C1, C2 e C3 di figura C1.19 a sono collegati a stella, in quanto hanno un
terminale in comune e gli altri connessi a tre diversi punti della rete. Nella figura C1.19 b
è invece rappresentato il collegamento a triangolo: i tre condensatori costituiscono un circuito chiuso, collegato in tre punti diversi al resto della rete.
189
C1 • Reti capacitive a regime costante
1
1
C31
C1
C3
C12
Figura C1.19 a, b
Condensatori
a stella (a)
e a triangolo (b).
C2
3
3
2
a)
2
C23
b)
Per ricavare le formule di conversione da un collegamento all’altro si segue un metodo analogo a quello usato per i resistori: considerando coppie omonime di morsetti si
uguagliano le capacità viste da ogni coppia per i due collegamenti, ottenendo:
•
morsetti 1-2: nella stella i condensatori C1 e C2 sono in serie e C3 risulta scollegato;
nel triangolo il condensatore C12 è in parallelo alla serie C23-C31; si ha pertanto:
C C
C1C2
= C12 + 23 31
C23 + C31
C1 + C2
•
morsetti 2-3: nella stella i condensatori C2 e C3 sono in serie e C1 risulta scollegato;
nel triangolo il condensatore C23 è in parallelo alla serie C31-C12; si ha pertanto:
C C
C2 C 3
= C23 + 31 12
C31 + C12
C2 + C 3
•
morsetti 3-1: nella stella i condensatori C3 e C1 sono in serie e C2 risulta scollegato;
nel triangolo il condensatore C31 è in parallelo alla serie C12-C23; si ha pertanto:
C C
C3C1
= C31 + 12 23
C12 + C23
C3 + C1
Considerando note le capacità della stella e risolvendo il sistema in cui sono incognite le capacità del triangolo, si ottengono le formule della trasformazione da stella
a triangolo:
⎧
C1C2
⎪C12 = C + C + C
1
2
3
⎪
⎪
C2 C 3
⎨C23 =
C1 + C2 + C3
⎪
⎪
C3C1
⎪C31 =
C1 + C2 + C3
⎩
[C1.25]
Se, invece, sono note le capacità del triangolo e si risolve il sistema considerando
come incognite quelle della stella, si ottengono le formule della trasformazione da
triangolo a stella:
Formule
per il calcolo
delle capacità
del triangolo
Modulo C • Reti elettriche capacitive
190
⎧
C12 C23 + C23C31 + C31C12
⎪C1 =
C23
⎪
⎪
C12 C23 + C23C31 + C31C12
⎨C 2 =
C31
⎪
⎪
C12 C23 + C23C31 + C31C12
⎪C3 =
C12
⎩
Formule
per il calcolo
delle capacitˆ
della stella
[C1.26]
Caso dei condensatori di uguale capacitˆ
In questo caso, indicando con CY la capacità dei condensatori a stella e con CD quella
dei condensatori a triangolo, dall’applicazione di una qualsiasi delle espressioni
[C1.25] si ricava:
CD =
Condensatori
uguali: capacitˆ
di un lato del
triangolo
CY CY
C2
= Y
CY + CY + CY 3 CY
da cui:
CD =
CY
3
[C1.27]
mentre da una qualsiasi delle espressioni [C1.26] si ha:
CY =
Condensatori
uguali: capacitˆ
di un lato della
stella
C D C D + C D C D + C D C D 3 C D2
=
CD
CD
e, quindi:
CY = 3 C D
[C1.28]
che è esattamente la formula inversa della [C1.27].
Le formule [C1.27] e [C1.28] mostrano che i collegamenti sono equivalenti se i
condensatori connessi a stella hanno capacità tripla rispetto a quelli collegati a triangolo.
ESEMPIO
10
Calcolare la capacità equivalente tra i morsetti A-F e la carica totale della rete di figura C1.20.
A
C1
C1 = 10 pF
B
C2 = C4 = 2 pF
C2
V
C3
C4
C
C5
C3 = C5 = 3 pF
C6 = C7 = 5 pF
D
C6
V = 50 V
Figura C1.20
Esempio 10.
F
E
C7
■ Nello schema si possono individuare due collegamenti a triangolo (C2-C3-C4 e C4-C5-serie
C67) e due a stella (C2-C4-C5 e C3-C4-serie C67), per cui il calcolo della capacità equivalente può
essere condotto in vari modi.
191
C1 • Reti capacitive a regime costante
C1
A
C1
A
B
B
CB
CB
V
G
CC
V
G
C5C
CD
C
D
C5
F
C67D
b)
E
C6
Figura C1.21 a, b
Esempio 10.
Trasformazione
del circuito
di figura C1.20.
a)
F
E
C7
Trasformando il triangolo C2-C3-C4 nella stella equivalente, si ottiene lo schema di figura
C1.21 a.
Per applicare le espressioni [C1.26] si calcola il numeratore comune N delle stesse, pari alla
somma dei prodotti delle varie coppie di capacità:
N = C2 C3 + C3C4 + C2 C4 = 2 × 3 + 3 × 2 + 2 × 2 = 16 ( pF )
2
Al denominatore di ognuna delle [C1.26] compare la capacità del lato del triangolo opposto
al nodo a cui converge il corrispondente condensatore della stella equivalente e, quindi, si ha:
CB =
N 16
N 16
N 16
=
= 8 pF CC =
=
= 5, 33 pF C D =
=
= 8 pF
2
3
2
C4
C3
C2
Riducendo i collegamenti in serie presenti nello schema di figura C1.21 a si ottiene quello
di figura C1.21 b, dove:
C 5 CC
3 × 5, 33
1
1
=
= 1, 92 pF C67 D =
C5 C =
=
= 1, 9 pF
1
1
1
1 1 1
C5 + CC 3 + 5, 33
+
+
+ +
8 5 5
C D C6 C 7
I condensatori di capacità C1, CB e CGE (parallelo tra C5C e C67D) sono in serie, quindi si ha:
CGE = C5 C + C67 D = 1, 92 + 1, 9 = 3, 82 pF
Ceq =
1
1
=
= 2, 05 pF
1
1
1
1 1
1
+
+
+ +
C1 C B CGE 10 8 3, 82
La carica totale è data da:
QT = CeqV = 2, 05 × 10 −12 × 50 = 102, 5 pC
C1.10 Risoluzione delle reti capacitive
a regime costante
Il comportamento a regime di una rete capacitiva può essere studiato tenendo presente
che, dopo il periodo transitorio durante il quale i vari condensatori si caricano, nella
rete avvengono i seguenti fenomeni:
Modulo C • Reti elettriche capacitive
192
•
•
•
•
ogni condensatore rimane carico, con un valore di tensione ai capi dipendente da
come si ripartiscono le tensioni imposte dai bipoli attivi presenti nella rete;
le correnti nei lati contenenti condensatori sono nulle, in quanto, esaurito il transitorio di carica, non vi è più flusso di cariche elettriche tra i vari condensatori e tra
questi e i generatori;
i generatori, essendo nulle le correnti, funzioneranno a vuoto, a meno che non vi
siano dei circuiti chiusi oltre quelli costituiti dai condensatori;
sulle armature di ogni condensatore di capacità Ci si stabilirà una carica elettrica
Qi = CiVi dipendente dalla tensione, positiva sull’armatura a potenziale elettrico
maggiore e negativa sull’altra.
Esiste un’analogia tra le reti resistive e quelle capacitive; se si considerano le equazioni:
I = GV e Q = CV
si nota che esse sono formalmente identiche se si rispettano le seguenti corrispondenze:
Analogia tra reti
resistive
e capacitive
corrente ⇔ carica
I⇔Q
conduttanza ⇔ capacità
G⇔C
tensione ⇔ tensione
V⇔V
Essendo G = 1/R si avrà anche la corrispondenza R ⇔ 1/C, dove la grandezza 1/C
(reciproca della capacità) è chiamata, in alcuni testi, elastanza.
Risolvere una rete capacitiva a regime costante significa, in generale, calcolare le
cariche parziali Qi, una per ogni lato della rete. Dato che ogni lato può comprendere
solo condensatori in serie (un parallelo di n condensatori corrisponde a n lati), aventi la
stessa carica, le cariche incognite sono, in ogni caso, pari al numero dei lati. Note le cariche si calcolano le tensioni, con le espressioni Vi = Qi/Ci .
È valido anche il procedimento inverso: si risolve la rete calcolando le tensioni e da
queste si risale alle cariche, con le relazioni Qi = Ci Vi. Per far questo occorre, però, ridurre
gli eventuali condensatori in serie sui lati a quello equivalente, in modo da avere sempre
un numero di tensioni incognite pari a quello dei lati della rete. Note le tensioni totali dei
lati è facile risalire a quelle parziali della serie, mediante la regola del partitore di tensione.
I metodi di risoluzione delle reti capacitive sono sostanzialmente gli stessi usati per
quelle resistive, ove si tenga conto dell’analogia illustrata in precedenza. I seguenti
esempi mostreranno l’applicazione dei metodi maggiormente usati.
ESEMPIO
11
Teorema di Millmann
Calcolare le tensioni e le cariche di ogni condensatore della rete di figura C1.22.
C2
C5
A
80 V +
C1
+ 40 V
C3
C1 = C2 = 5 nF
C3 = C4 = 10 nF
C4
Figura C1.22
Esempio 11.
B
C5 = 8 nF
193
C1 • Reti capacitive a regime costante
C12
C5
A
+
+
E1
C34
E2
Figura C1.23
Esempio 11.
Circuito equivalente.
B
■ Riducendo i condensatori in parallelo C1-C2 e quelli in serie C3-C4 e inserendo i generatori di
tensione con f.e.m. E1 = 80 V ed E2 = 40 V, per tener conto delle tensioni applicate tra i due
estremi della rete e massa, si ottiene lo schema di figura C1.23, dove:
C3 C4 10
=
=
= 5 nF
2
2
2
Il teorema di Millmann si applica alle reti resistive senza bipoli attivi di corrente nella
forma:
C12 = C1 + C2 = 5 + 5 = 10 nF
C34 =
n
VAB =
∑ Ei Gi
i =1
n
∑ Gi
i =1
Per l’analogia conduttanza ⇔ capacità, nel caso delle reti capacitive esso assumerà invece
la seguente forma:
n
VAB =
∑ Ei Ci
i =1
n
∑ Ci
[C1.29]
i =1
dove nella sommatoria al numeratore si deve tener conto delle polarità delle varie f.e.m. rispetto
al nodo A.
Nel caso in esame, con l’applicazione della [C1.29] si ricava:
VAB =
E1C12 + E2 C5
80 × 10 + 40 × 8
=
= 488, 7 V
10 + 5 + 8
C12 + C34 + C5
Essendo C3 = C4 si avrà:
V3 = V4 =
VAB 48, 7
=
= 24, 35 V
2
2
con polarità positiva verso il nodo A.
Poiché VAB < E1, per il lato di sinistra si avrà:
VAB = E1 − V12
V12 = E1 − VAB = 80 − 48, 7 = 31, 3 V
con polarità opposta a E1 (negativa verso il nodo A).
Il collegamento in parallelo tra C1 e C2 fa sì che sia:
V1 = V2 = V12 = 31, 3 V
Poiché VAB > E2, per il lato di destra si ha:
VAB = V5 + E2
V5 = VAB − E2 = 48, 7 − 40 = 8, 7 V
con polarità uguale a E2 (positiva verso il nodo A).
Teorema di
Millmann per le
reti capacitive
Modulo C • Reti elettriche capacitive
194
Note le tensioni, il calcolo delle cariche è immediato:
ESEMPIO
Q1 = C1V1 = 5 × 10 −9 × 31, 3 = 156, 5 nC
Q2 = C2V2 = 5 × 10 −9 × 31, 3 = 156, 5 nC
Q3 = Q4 = C3V3 = 10 × 10 −9 × 24, 35 = 243, 5 nC
Q5 = C5V5 = 8 × 10 −9 × 8, 7 = 69, 6 nC
Sovrapposizione degli effetti
12
Ripetere l’esempio 11 applicando il principio di sovrapposizione degli effetti.
■ L’applicazione della sovrapposizione degli effetti si svolge come per le reti resistive, facendo
agire separatamente i generatori. Gli schemi per il calcolo dei contributi di ogni generatore sono
rappresentati nella figura C1.24 a e b.
C2
C2
+
–
+
–
–
+
–
+
C5
C1
+
E1 = 80 V
A +
C5
–
A
C1
+
+
C3
–
+
–
+
C4
–
–
–
B
+
+
C3
E2
C4
B
Figura C1.24 a, b
Esempio 12.
a)
b)
Il circuito di figura C1.24 a si può risolvere applicando ancora il teorema di Millmann; si ha:
VAB
′ =
V3′ = V4′ =
E1C12
80 × 10
=
= 34, 8 V V5′ = VAB
′ = 34, 8 V
C12 + C34 + C5 10 + 5 + 8
VAB
34, 8
′
=
= 17, 4 V V1′ = V2′ = E1 − VAB
′ = 80 − 34, 8 = 45, 2 V
2
2
Con l’applicazione del teorema di Millmann si risolve anche il circuito di figura C1.24 b:
VAB
′′ =
E2 C 5
40 × 8
=
= 13, 9 V
C12 + C34 + C5 10 + 5 + 8
V3′′= V4′′=
VAB
′′ 13, 9
=
= 6, 95 V
2
2
V1′′= V2′′= VAB
′′ = 13, 9 V
V5′′= E2 − VAB
′′ = 40 − 13, 9 = 26,1 V
Nel sommare i contributi dei due generatori occorre tener conto dei relativi segni. Nel caso
in esame si ha:
V1 = V1′ − V1′′= 45, 2 − 13, 9 = 31, 3 V
V3 = V3′ + V3′′= 17, 4 + 6, 95 = 24, 35 V
V2 = V2′ − V2′′= 45, 2 − 13, 9 = 31, 3 V
V4 = V4′ + V4′′= 17, 4 + 6, 95 = 24, 35 V
V5 = V5′ − V5′′= 34, 8 − 26,1 = 8, 7 V
Il calcolo delle cariche si effettua come per l’esempio 11.
195
C1 • Reti capacitive a regime costante
Principi di Kirchhoff
ESEMPIO
13
Calcolare le cariche e le tensioni di ogni condensatore della rete di figura C1.25.
■ Per applicare i principi di Kirchhoff è opportuno che la rete venga ridotta a quella equivalente, contenente un solo condensatore per lato (figura C1.26). Eseguendo le riduzioni si ha:
C4
A
B
C5
C1
C6
E1 = E2 = 200 V
C2
C
+
C3
+
E2
E1
C1 = 10 pF
C2 = 20 pF
C3 = 30 pF
C4 = 60 pF
C5 = 20 pF
C6 = 30 pF
Figura C1.25
Esempio 13.
D
A
V1
–
+
+
C1
α
+
V23
–
V46
C23
β
E1
–
+
C46
+
E2
Figura C1.26
Esempio 13.
Schema equivalente,
con l’indicazione
della polarità.
D
C23 =
C2 C 3
20 × 30
=
= 12 pF
C2 + C3 20 + 30
C46 =
C4 ( C5 + C6 ) 60 ( 20 + 30 )
=
= 27, 3 pF
C4 + C5 + C6 60 + 20 + 30
Se si tiene conto dell’equivalenza corrente ⇔ carica, il primo principio di Kirchhoff per le
reti capacitive si può formulare nel seguente modo: la somma algebrica delle cariche sulle armature collegate a un nodo deve essere nulla.
Il secondo principio rimane lo stesso e può essere formulato come segue: la somma algebrica delle tensioni lungo una maglia deve essere nulla.
Per applicare questo metodo si fissano arbitrariamente le polarità dei vari condensatori e il
verso di percorrenza delle maglie, si scrivono n – 1 equazioni ai nodi e l – n + 1 equazioni alle
maglie e si risolve il relativo sistema.
Facendo riferimento allo schema di figura C1.26 si ha:
nodo A: − Q1 + Q23 − Q46 = 0
maglia α : +V23 − E1 + V1 = 0
maglia β : − V46 + E2 − V23 = 0
−C1V1 + C23V23 − C46V46 = 0
Sostituendo i valori noti si ottiene il sistema:
⎧−10 V1 + 12 V23 − 27, 3 V46 = 0
⎪
⎨V23 − 200 + V1 = 0
⎪−V + 200 − V = 0
23
⎩ 46
I risultati sono i seguenti (si omettono, per brevità, i passaggi matematici):
V1 = 48, 7 V
V23 = 151, 3 V
V46 = 48, 7 V
Principi di
Kirchhoff per le
reti capacitive
Modulo C • Reti elettriche capacitive
196
a cui corrispondono le cariche:
Q1 = C1V1 = 10 × 48, 7 = 487 pC
Q23 = C23V23 = 12 × 151, 3 = 1816 pC
Q46 = C46V46 = 27, 3 × 48, 7 = 1330 pC
Essendo C2 e C3 collegati in serie si avrà:
Q2 = Q3 = Q23 = 1816 pC
e, quindi:
V2 =
Q2 1816
=
= 90, 8 V
20
C2
V3 =
Q3 1816
=
= 60, 5 V
30
C3
Anche C4 e C56 sono collegati in serie, per cui:
Q4 = Q56 = Q46 = 1330 pC
V4 =
Q4 1330
=
= 22, 2 V
60
C4
V5 = V6 = V46 − V4 = 48, 7 − 22, 2 = 26, 5 V
Q5 = C5V5 = 20 × 26, 5 = 530 pC
ESEMPIO
14
Q6 = C6V6 = 30 × 26, 5 = 795 pC
Nel circuito di figura C1.27 calcolare il valore della capacità C1, in modo che la tensione di
uscita sia Vu = 50 V.
C1
R1
A
I
+
Vi = 200 V
C2
R2
Vi
Vu
C3
Figura C1.27
Esempio 14.
R1 = 60 Ω
R2 = 90 Ω
C2 = C3 = 8 μF
B
■ A regime, con i condensatori carichi, la corrente circola solo nella maglia contenente R1 e R2,
tra loro in serie. La parte capacitiva della rete sarà quindi soggetta a una tensione pari alla c.d.t.
su R2, uguale a:
VAB = Vi
R2
90
= 200
= 120 V
R1 + R2
60 + 90
La tensione Vu è legata alla VAB dalla relazione:
Vu = VAB
C1
C1 + C23
dove:
C23 =
C2 C 3 8
=
= = 4 μF
2
2
2
Sostituendo i valori noti e risolvendo l’equazione, si calcola il valore della capacità C1:
50 = 120
C1
C1 + 4
50(C1 + 4) = 120 C1
C1 =
50 C1 + 200 = 120 C1
200
= 2,86 μF
70
200 = 70 C1
Esercizi di verifica
Esercizio 1
Un condensatore piano, con dielettrico avente εr = 5,5, ha le armature di area 0,04 m2 e distanti tra loro 3 mm.
Il condensatore è stato caricato con Q = 0,2 μC. Calcolare la capacità del condensatore, la tensione ai capi,
l’energia elettrostatica immagazzinata, l’intensità del campo elettrico interno, la tensione massima sopportabile dal dielettrico se la sua rigidità dielettrica è di 25 kV/mm.
[Risultati: C = 0,649 nF; V= 308 V; W = 30,8 μJ; E = 102,7 kV/m; VM = 75 kV]
Esercizio 2
Risolvere la rete dell’esempio 10 trasformando nel triangolo equivalente la stella C2-C4-C5.
[Risultati: si rimanda all’esempio 10]
Esercizio 3
Data la rete capacitiva di figura C1.28, calcolare la capacità vista tra i punti A e H, la carica del condensatore
equivalente, le cariche e le tensioni dei vari condensatori.
100 V +
C1
A
Figura C1.28
Esercizio 3.
C1 = C2 = C3 = C4 = C5 = C6 = 10 pF
B
C2
C4
C3
C5
C6
H
[Risultati: Ceq = 5,39 pF; QT = 539 pC; V1 = 53,9 V; V2 = 23,1 V; V3 = 23,1 V;
V4 = 30,8 V; V5 = 15,4 V; V6 = 15,4 V; Q1 = 539 pC; Q2 = 231 pC; Q3 = 231 pC;
Q4 = 308 pC; Q5 = 154 pC; Q6 = 154 pC]
Esercizio 4
Per il circuito di figura C1.29 calcolare il valore della capacità C3 per il quale si ha VAB = – 50 V; calcolare
inoltre le tensioni e le energie elettrostatiche dei vari condensatori.
C1
C3
A
B
+
E
C2
C4
E = 250 V
R=5Ω
C1 = 2 μF
C2 = 4 μF
C4 = 0,5 μF
R
Figura C1.29
Esercizio 4.
[Risultati: C3 = 0,571 μμF; V1 = 166,7 V; V2 = 83,3 V; V3 = 116,7 V; V4 = 133,3 V;
W1 = 27,8 mJ; W2 = 13,9 mJ; W3 = 3,89 m J; W4 = 4,44 mJ]
197
Esercitazioni
C1 • Reti capacitive a regime costante
Modulo C • Reti elettriche capacitive
198
Esercitazioni
Esercizio 5
Della rete capacitiva di figura C1.30 calcolare la capacità e la carica del condensatore equivalente, l’energia
elettrostatica totale e la d.d.p. tra i punti A e B.
C5
C6
C3
C4
C1
Figura C1.30
Esercizio 5.
B
C7
C1 = 20 nF
C2 = 40 nF
C3 = C4 = 50 nF
C5 = 15 nF
C6 = 25 nF
C7 = 8 nF
V = 150 V
C2
A
V
+
–
[Risultati: Ceq = 19,8 nF; QT = 2973 nC;
WT = 223 μμ
J; VAB = − 71,7 V]
Esercizio 6
Mediante l’applicazione del teorema di Millmann risolvere la rete di figura C1.31, calcolando le tensioni e le cariche dei vari condensatori.
+ 150 V
C3
C4
A
B
C2
C5
C1
Figura C1.31
Esercizio 6.
C6
C1 = 10 pF
C2 = 20 pF
C3 = 15 pF
C4 = 10 pF
C5 = 12 pF
C6 = 8 pF
H
[Risultati: V1 = 52,9 V; V2 = 26,5 V; V3 = 70,6 V; V4 = 52,9 V; V5 = 26,5 V;
V6 = 26,5 V; Q1 = 529 pC; Q2 = 529 pC; Q3 = 1059 pC; Q4 = 529 pC;
Q5 = 318 pC; Q6 = 212 pC]
Esercizio 7
Risolvere la rete di figura C1.32, calcolando le cariche dei vari condensatori mediante i seguenti metodi: principi di Kirchhoff, sovrapposizione degli effetti, teorema di Millmann.
C1
C3
C4
E2
C2
Figura C1.32
Esercizio 7.
E1
C2 = 30 pF
C3 = 20 pF
C4 = 40 pF
C5 = 50 pF
+
+
C1 = 10 pF
C5
E1 = 100 V
E2 = 80 V
[Risultati: Q1 = 0,128 nC; Q2 = 0,128 nC; Q3 = 1,66 nC;
Q4 = 3,32 nC; Q5 = 4,85 nC]
Esercizio 8
Calcolare la capacità equivalente, la carica e l’energia totali del circuito capacitivo di figura C1.33.
B
C1
V = 200 V
C4
C6
A
+
C1 = 30 μ F
C3 = 60 μ F
D
C2
C4 = C5 = C6 = 10 μ F
C5
V
C3
C2 = 90 μ F
E
Figura C1.33
Esercizio 8.
[Risultati: Ceq = 13,04 μμ
F; QT = 2,608 mC;
WT = 0,2608 J]
Esercizio 9
Per il circuito di figura C1.34 calcolare il valore che deve assumere la f.e.m. E del generatore, in modo che si abbia, a regime, VAB = 70 V.
C1
R = 1,2 kΩ
A
+
E
C2
C1 = 50 μF
C2 = 20 μF
C3 = 40 μF
C4 = 80 μF
C4
C3
R
B
Figura C1.34
Esercizio 9.
[Risultato: E = 200 V]
Esercitazioni
199
C1 • Reti capacitive a regime costante
Modulo C • Reti elettriche capacitive
200
Esercitazioni
Esercizio 10
Per la rete di figura C1.35 calcolare, a regime: la tensione VAB, la capacità equivalente, la tensione d’uscita Vu,
le tensioni e le energie di tutti i condensatori, la carica e l’energia elettrostatica totali.
A
C1
C2
C3
R1
Vu
R2
+
C4
E1
Figura C1.35
Esercizio 10.
B
C5
E1 = 120 V
R1 = 0,5 k Ω R2 = 0,7 k Ω
C1 = 20 μ F
C2 = 10 μ F
C3 = 10 μ F
C4 = 50 μ F
C5 = 20 μ F
[Risultati: VAB = 70 V; Ceq = 5,88 μμ
F; Vu = 28,8 V; V1 = 20,6 V; V2 = 20,6 V;
V3 = 20,6 V; V4 = 8,2 V; V5 = 20,6 V; W1 = 4,24 mJ; W2 = 2,12 mJ;
W3 = 2,12 mJ; W4 = 1,68 mJ; W5 = 4,24 mJ; QT = 412 μμ
C; WT = 14,4 mJ]
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Definire la capacità di un condensatore elettrico.
2. In quali modi si può calcolare l’energia elettrostatica di un condensatore?
3. Ricavare la formula della capacità equivalente per il collegamento in serie dei condensatori.
4. Tra due condensatori in serie, uno di capacità doppia dell’altro, come si ripartisce la tensione?
5. Ricavare la formula della capacità equivalente per il collegamento in parallelo dei condensatori.
6. Per quale ragione, tra due condensatori in parallelo, quello di capacità maggiore è interessato da una maggiore
carica elettrica?
7. Dimostrare che l’energia elettrostatica accumulata in un condensatore piano è direttamente proporzionale al
volume del dielettrico interposto tra le armature.
8. Spiegare l’analogia tra reti resistive e reti capacitive.
9. Nel caso delle reti capacitive in quale modo si applicano i due principi di Kirchhoff?
C1 • Reti capacitive a regime costante
201
Esercitazioni
Quesiti a scelta multipla
Scegliere la risposta corretta tra quelle proposte, senza risolvere i circuiti.
1. Per il circuito di figura C1.36 la capacità equivalente vale:
a 3C
b C/3
c 2 C/3
d 3 C/2
2. Per il circuito di figura C1.36 la tensione d’uscita Vu vale:
a V/2
b V
c V/4
d V/3
C
C
2
V
C
2
Vu
Figura C1.36
C
3. Per il circuito di figura C1.37 la capacità equivalente vale:
a 2 C/3
b 3 C/2
c C/3
d 3C
4. Per il circuito di figura C1.37 la tensione d’uscita Vu vale:
a V/2
b V
c V/3
d (3/4) V
2C
V
C
C
2C
Vu
Figura C1.37
5. Per il circuito di figura C1.38 la tensione d’uscita vale:
a 50 V
b 100 V
c 25 V
d 75 V
6. Per il circuito di figura C1.38 la capacità equivalente vale:
a 10 pF
b 5 pF
100 V +
10 pF
c 2,5 pF
d 0,5 pF
10 pF
Vu
10 pF
10 pF
Figura C1.38
Modulo C • Reti elettriche capacitive
202
Esercitazioni
7. Per il circuito di figura C1.39 la tensione sul condensatore, a regime, vale:
a 15 V
I
b 25 V
+
c 0
50 V
d 50 V
C
VC
2,5 kΩ
2,5 kΩ
Figura C1.39
8. Per il circuito di figura C1.39 la corrente I, a regime, vale:
a 0
b 10 A
c 5 mA
d 10 mA
9. Per il circuito di figura C1.40 la tensione V1, a regime, vale:
a 0
b 25 V
c 50 V
d 100 V
10. Per il circuito di figura C1.40 la tensione V2 a regime, vale:
a 0
V1
V2
b 25 V
c 50 V
d 100 V
5 μF
+
100 V
10 μF
2 kΩ
Figura C1.40
C2
203
Fenomeni transitori
nei circuiti capacitivi
Si esaminerà, in questa unità, il comportamento di un circuito capacitivo durante l’intervallo di
tempo in cui il condensatore scambia energia elettrica con il resto del circuito a cui è collegato.
Durante questo tempo la carica elettrica sulle armature del condensatore varia: quando essa aumenta si parla di transitorio di carica, in caso contrario di transitorio di scarica.
Il termine “transitorio” indica che il fenomeno non è permanente, ma temporaneo e, quindi,
cessa dopo un certo tempo. Questo avviene nelle reti in cui sono presenti generatori elettrici di
tipo continuo, che impongono tensioni costanti nel tempo: quando i condensatori sono completamente carichi, le d.d.p. ai loro capi raggiungono i valori imposti dal regime di funzionamento
del circuito e la circolazione di corrente nei lati capacitivi della rete cessa. Così non avviene con
generatori in corrente alternata.
C2.1 Transitorio di carica di un condensatore
Si consideri (figura C2.1) un circuito formato da un generatore di tensione continua,
di f.e.m. E., collegato a un condensatore di capacità C, supposto inizialmente scarico;
un interruttore permette di collegare il condensatore al generatore. Il resistore R rappresenta la resistenza complessiva di tutto il circuito.
+
E
C
R
Alla chiusura dell’interruttore (figura C2.2 a) inizia il processo di carica del
condensatore e una corrente i fluisce nel circuito esterno; sul condensatore inizia ad
accumularsi una carica elettrica q e tra le armature comincia a manifestarsi una tensione vc che agisce in opposizione alla f.e.m. E e, quindi, si oppone anche alla corrente di carica.
Quando il condensatore sarà completamente carico (figura C2.2 b), la tensione
sullo stesso sarà pari alla E, la corrente si annullerà e il condensatore avrà accumulato
la carica finale Q = CE.
Figura C2.1
Il condensatore,
staccato
dal generatore,
è inizialmente
scarico (V0 = 0).
Modulo C • Reti elettriche capacitive
204
If = 0
+
i
+
E
E
+q
C
–q
vc
Vf = E
R
R
Figura C2.2 a, b
Carica
del condensatore.
+Q
C
–Q
a) Durante la fase di carica
la corrente i circola nel
circuito esterno; vc e q
aumentano.
b) Alla fine della fase di
carica la corrente è nulla
e la tensione assume
il valore finale.
Per studiare quello che avviene durante il periodo di carica, si consideri l’equazione
di Kirchhoff alla maglia, per il circuito di figura C2.2 a:
− E + vc + Ri = 0
[C2.1]
da cui si ricava la corrente di carica:
Corrente
di carica di
un condensatore
i=
E − vc
R
[C2.2]
L’esame della relazione [C2.2] consente di fare un’importante osservazione: all’aumentare della tensione vc, essendo E costante, il numeratore della [C2.2] diminuisce e, quindi, diminuisce anche la corrente; pertanto la carica di un condensatore avviene con corrente variabile nel tempo e man mano decrescente. Dato che, in realtà,
sono gli elettroni che si spostano da un’armatura all’altra, con verso opposto alla corrente, si può dire che il flusso di elettroni durante il processo di carica diventa sempre
meno intenso.
Si consideri ora un intervallo di tempo Δt, scelto sufficientemente piccolo da poter
ritenere costante la corrente per tutto l’intervallo (è, ovviamente, un’approssimazione,
dato che la corrente varia nel tempo); in tale intervallo vi sarà una variazione di carica
elettrica Δq sulle armature del condensatore, legata alla corrente dalla relazione:
Δq = i Δt
La variazione di carica comporterà una variazione della tensione sul condensatore,
data da:
Δvc =
Δq i Δt
=
C
C
[C2.3]
Anche l’esame della [C2.3] consente di fare un’importante osservazione: supponendo di dividere la durata del fenomeno di carica in tanti intervalli di tempo uguali tra
loro, nella [C2.3] il rapporto Δt/C rimane costante e, quindi, al diminuire della corrente, si riducono anche le variazioni della tensione; si deduce pertanto che la carica
del condensatore avviene con variazioni sempre minori della tensione ai suoi capi,
ossia la tensione sul condensatore andrà man mano aumentando, ma con incrementi sempre più piccoli. Dato che la corrente tende a zero quando nella [C2.2] vc
tende ad E, anche la Δvc tenderà a zero e la tensione vc tenderà a un valore costante,
dato appunto dalla f.e.m. E.
205
C2 • Fenomeni transitori nei circuiti capacitivi
Per trovare la funzione matematica vc = f (t) che descrive la legge di variazione
della tensione, occorre risolvere l’equazione che si ottiene dalla [C2.1] sostituendo in
essa l’espressione di i ricavata dalla [C2.3]; si ha:
i=C
− E + vc + RC
Δvc
Δt
Δvc
=0
Δt
[C2.4]
Equazione tipica
della carica
Nell’equazione [C2.4] compaiono gli incrementi finiti delle grandezze vc e t, ossia
variazioni piccole quanto si vuole, ma di valore ben definito (per esempio, nel caso di
Δt, un decimo di secondo, un centesimo di secondo, un millesimo di secondo ecc.); per
applicare i metodi dell’analisi matematica si devono considerare, invece, gli intervalli
infinitesimi dt e dvc, a cui non si possono attribuire dei valori. Procedendo in questo
modo, l’equazione [C2.4] diventa:
− E + vc + RC
dvc
=0
dt
[C2.5]
Equazione
differenziale
della carica
espressione che si chiama equazione differenziale, la cui soluzione esula dai limiti
del testo.
Ritornando alle considerazioni fatte prima, si può comunque affermare che la
curva che descrive l’andamento della tensione vc nel tempo dovrà possedere i seguenti requisiti:
•
•
•
•
valore iniziale nullo (condensatore inizialmente scarico);
andamento crescente nel tempo (la tensione sul condensatore aumenta al procedere
della carica);
incrementi della tensione man mano più piccoli;
tendenza a raggiungere un valore finale ben definito (la tensione sul condensatore
non aumenta fino all’infinito, ma tende al valore E).
La legge matematica che soddisfa le condizioni indicate e che è soluzione dell’equazione differenziale [C2.5] è la curva esponenziale crescente di figura C2.3; essa
rappresenta la curva di carica del condensatore collegato a un generatore di tensione
costante e corrisponde alla funzione:
t
⎛
− ⎞
vc = V f ⎜ 1 − e τ ⎟
⎝
⎠
[C2.6]
Tensione
sul condensatore
in funzione
del tempo
vc
Vf
O
t
Figura C2.3
Carica
del condensatore:
andamento
esponenziale
della tensione vc.
Modulo C • Reti elettriche capacitive
206
dove Vf = E è la tensione finale e τ è la costante di tempo del sistema, da cui dipende
la durata del fenomeno di carica.
L’analisi del grafico di figura C2.3 mostra che, in teoria, il processo di carica di un
condensatore, come tutti i processi che avvengono in maniera esponenziale, dura per
un tempo infinito, dato che la tensione vc si avvicina sempre più a quella finale, senza
tuttavia mai raggiungerla (in matematica si dice che tende asintoticamente).
In pratica, il processo di carica si considera concluso quando la tensione effettiva si
discosta da quella teorica finale di uno scarto percentuale prefissato. Normalmente si
considera uno scarto dell’1% e il tempo corrispondente viene detto tempo di assestamento (in questo caso all’1%).
Da quanto riportato nella scheda PRE-2 si ha:
Ta = 4, 6 τ
[C2.7]
espressione che giustifica l’affermazione qualitativa che considera concluso il fenomeno di carica dopo 4÷5 volte la costante di tempo.
Il ruolo della costante di tempo è fondamentale in questi processi: la durata del
transitorio di carica è direttamente proporzionale alla costante di tempo del circuito
di carica, aumentando con il suo valore.
Per quanto riguarda l’andamento della corrente si può dire che:
•
nell’istante iniziale del processo di carica, essendo ancora vc = 0, la corrente nel circuito assume il valore massimo; ponendo vc = 0 nella [C2.2] si ricava il valore iniziale della corrente:
Corrente iniziale
di carica
I0 =
•
•
E
R
[C2.8]
all’aumentare della tensione sul condensatore la corrente diminuisce;
quando il processo di carica è concluso, la corrente è nulla (If = 0); in teoria, dato che
la tensione non arriva mai al valore finale, anche la corrente non arriverà mai a zero.
La funzione che descrive l’andamento nel tempo della corrente è ancora di tipo
esponenziale, ma decrescente, data da:
Corrente di carica
in funzione
del tempo
i = I0 e
−
t
τ
[C2.9]
il cui grafico è rappresentato nella figura C2.4.
i
Figura C2.4
Carica
del condensatore:
andamento
esponenziale
della corrente i.
I0
O
t
C2 • Fenomeni transitori nei circuiti capacitivi
207
Espressione della costante di tempo
È possibile ricavare l’espressione della costante di tempo del circuito R-C partendo
dalla seguente definizione:
la costante di tempo è pari al tempo necessario per caricare il condensatore alla tensione E del generatore, supponendo che la carica avvenga con corrente costante, pari a
quella iniziale.
In questo caso la carica finale, data dal prodotto Q = CE, sarà anche pari a
Q = I0τ, dove I0 = E/R; uguagliando i secondi membri si avrà:
CE =
E
τ
R
da cui:
τ = RC
[C2.10]
Costante
di tempo
del circuito R-C
La formula [C2.10] mostra che la costante di tempo è direttamente proporzionale
al valore dei parametri R e C del circuito e, quindi, aumenta con essi. Considerando
che τ è legata alla durata del processo di carica, la dipendenza può essere spiegata nel
seguente modo: all’aumentare della capacità cresce anche la carica finale e quindi occorre più tempo per accumularla sulle armature del condensatore; invece all’aumentare
della resistenza diminuisce la corrente di carica e quindi aumenta il tempo necessario
per compiere il processo di carica.
Caso del condensatore inizialmente carico
Se il condensatore è inizialmente carico con tensione V0 e tende ad arrivare alla tensione finale Vf , la legge di variazione della tensione è data da:
(
)
vc = V f + V0 − V f e
−
t
τ
[C2.11]
Formula generale
della tensione
sul condensatore
rappresentata dal grafico di figura C2.5.
vc
Vf
V0
O
t
Si può verificare che i valori estremi sono rispettati:
•
•
per t = 0 si ha e − 0 = 1/e0 = 1 e vc = Vf + V0 − Vf = V0
per t → ∞ si ha e− ∞ = 1/e∞ = 0 e vc = Vf
L’espressione [C2.11] può essere considerata una formula generale, valida ogni
volta che la tensione varia esponenzialmente da un valore iniziale a uno finale. Da essa
si ricava anche l’espressione [C2.6], ponendo V0 = 0.
Figura C2.5
Andamento
della tensione
in un condensatore
inizialmente carico
con tensione V0.
Modulo C • Reti elettriche capacitive
208
Una formula analoga può essere scritta per la corrente:
Formula generale
della corrente
di carica
(
)
i = I f + I0 − I f e
−
t
τ
[C2.12]
Nel caso If = 0, dalla [C2.12] si ricava la [C2.9].
ESEMPIO
1
Un condensatore di capacità C = 10 μF, inizialmente scarico, viene caricato da un generatore
con f.e.m. E = 200 V, tramite un circuito che presenta complessivamente una resistenza di 1 kΩ.
Calcolare la costante di tempo, la corrente iniziale di carica, il tempo di assestamento all’1% e
l’energia elettrostatica accumulata dopo tale tempo.
■ Con le formule [C2.10] e [C2.7] si calcolano i valori della costante di tempo e del tempo di
assestamento:
τ = RC = 1 × 10 3 × 10 × 10 −6 = 10 × 10 −3 s = 10 ms
Ta = 4, 6 τ = 4, 6 × 10 = 46 ms
Al tempo di assestamento la tensione sul condensatore è pari al 99% di quella finale, ossia
uguale a:
Vc = 0, 99 E = 0, 99 × 200 = 198 V
e, quindi, l’energia sarà pari a:
W =
1
CVc2 = 0, 5 × 10 × 10 −6 × 198 2 = 0,196 J
2
La corrente iniziale di carica è data dalla [C2.8]:
I0 =
ESEMPIO
2
200
E
=
= 0, 2 A
R 1000
Per il condensatore dell’esempio precedente calcolare la tensione sul condensatore e la corrente nel circuito al tempo t1 = 30 ms e il tempo t2 necessario affinché la tensione arrivi al valore V2 = 60 V.
■ Dato che il condensatore è inizialmente scarico, la tensione e la corrente variano con le leggi
espresse dalla [C2.6] e dalla [C2.9]; sostituendo il valore di t1 si ha:
t
30
⎛
⎛
⎞
− 1⎞
−
V1 = V f ⎜ 1 − e τ ⎟ = 200 ⎜ 1 − e 10 ⎟ = 190 V
⎝
⎠
⎝
⎠
I1 = I 0 e
t
− 1
τ
= 0, 2 e
−
30
10
= 9,96 mA
Per calcolare la tensione V2 bisogna risolvere la seguente equazione con incognita t2, che deriva dall’applicazione della [C2.6]:
t
⎛
− 2 ⎞
V2 = V f ⎜ 1 − e τ ⎟
⎝
⎠
Usando la formula [P2.2] della scheda PRE-2 per il calcolo del tempo si ha:
⎛
V ⎞
60 ⎞
⎛
t 2 = −τ ln ⎜ 1 − 2 ⎟ = −10 × 10 −3 ln ⎜ 1 −
⎟ = 3, 57 ms
⎝
Vf ⎠
200 ⎠
⎝
209
C2 • Fenomeni transitori nei circuiti capacitivi
Un condensatore di capacità C = 20 nF, inizialmente carico con tensione 5 V, viene ulteriormente caricato fino alla tensione di 25 V. Il circuito di carica ha una costante di tempo di 20 ms.
Calcolare la resistenza del circuito, la carica iniziale, la carica finale, l’energia che il circuito
di carica ha fornito al condensatore, la tensione sul condensatore nell’istante t1 = 2τ.
ESEMPIO
3
■ La resistenza del circuito di carica è data da:
R=
τ 20 × 10 −3
=
= 1 × 10 6 Ω = 1 MΩ
C 20 × 10 −9
I valori iniziale e finale della carica elettrica sono legati ai corrispondenti valori di tensione:
Q f = CV f = 20 × 10 −9 × 25 = 500 nC
Q0 = CV0 = 20 × 10 −9 × 5 = 100 nC
Durante il transitorio di carica l’energia elettrostatica immagazzinata dal condensatore aumenta: l’incremento di energia nel condensatore sarà pari all’energia che il circuito esterno gli
ha fornito:
ΔW = W f − W0 =
(
)
1
1
1
CV f2 − CV02 = C V f2 − V02 = 0, 5 × 20 × 10 −9 ( 25 2 − 5 2 ) = 6 μJ
2
2
2
Il calcolo della tensione all’istante t1 si esegue applicando la [C2.11]:
(
)
V1 = V f + V0 − V f e
t
− 1
τ
= 25 + ( 5 − 25 ) e
−
2τ
τ
= 25 − 20 e−2 = 22, 3 V
C2.2 Transitorio di scarica di un condensatore
Si consideri (figura C2.6 a) un condensatore di capacità C, carico con tensione iniziale
V0 e quindi avente un’energia elettrostatica W0. Se il condensatore viene collegato con
un resistore R, inizia il processo di scarica del condensatore stesso (figura C2.6 b) e
nasce una corrente i, in senso opposto a quella che si aveva durante la carica. Il condensatore si comporta come un “generatore temporaneo”, nel senso che la circolazione
di corrente è sostenuta dalla tensione vc ed è il condensatore che fornisce energia al circuito esterno, energia che viene dissipata per effetto Joule nel resistore. Dato che nel
condensatore, a differenza di un vero generatore, non vi è alcun processo di trasformazione in grado di produrre continuamente energia, si andrà verso l’esaurimento di
quella disponibile e il conseguente annullamento della corrente (figura C2.6 c).
Figura C2.6 a, b, c
Scarica del
condensatore.
If = 0
R
V0
a) Il condensatore è inizialmente
carico con tensione V0.
+ Q0
C R
– Q0
i
vc
b) Durante la fase di scarica
la corrente i circola nel
circuito esterno; vc e q
diminuiscono.
+ q
C
– q
R
Vf = 0
c) Alla fine della fase di scarica
la corrente e la tensione sono
entrambe nulle.
Si comprende, pertanto, che anche il processo di scarica è un fenomeno transitorio
che, nei circuiti in corrente continua, non permane nel tempo.
C
Modulo C • Reti elettriche capacitive
210
La corrente e la tensione sul condensatore sono legate tra loro dalla legge di Ohm,
applicata al circuito di figura C2.6 b:
i=
vc
R
[C2.13]
e, quindi, man mano che la corrente tende a zero, anche la tensione tenderà ad annullarsi. Tenendo presente lo studio del fenomeno di carica, si possono fare le seguenti osservazioni:
•
•
•
•
•
la tensione sul condensatore partirà dal valore iniziale V0 e tenderà al valore finale
Vf = 0, con un decadimento esponenziale;
la corrente nel circuito di scarica partirà dal valore iniziale I0 = V0/R e tenderà al valore finale If = 0, anch’essa con legge esponenziale decrescente;
il verso della corrente sarà opposto a quello che aveva durante la carica;
la costante di tempo del processo è ancora data da τ = RC, dove R è la resistenza del
circuito di scarica e può non avere lo stesso valore della resistenza di carica;
la durata pratica del processo di scarica è ancora pari a 4,6 τ, istante nel quale la tensione sul condensatore sarà uguale all’1% di quella iniziale.
L’espressione analitica delle forme d’onda della tensione e della corrente si possono ricavare da quelle generali [C2.11] e [C2.12], considerando nulli i valori finali; si
ottengono le funzioni:
vc = V0 e
Espressioni
della tensione
e della corrente
nel processo
di scarica
i = I0 e
−
−
t
τ
[C2.14]
t
τ
[C2.15]
i cui grafici sono rappresentati nelle figure C2.7 e C2.8. Quando si vuole evidenziare
che la corrente di scarica è opposta a quella di carica, assunta come riferimento positivo, il relativo grafico viene invertito, come nella figura C2.9.
vc
i
V0
O
I0
O
t
Figura C2.8
Scarica del condensatore: andamento
esponenziale della corrente.
Figura C2.7
Scarica del condensatore: andamento
esponenziale della tensione.
i
O
– I0
t
t
Figura C2.9
Scarica del condensatore: andamento
esponenziale della corrente, considerata negativa.
211
C2 • Fenomeni transitori nei circuiti capacitivi
Caso della scarica incompleta
Si consideri il circuito di figura C2.10, in cui un condensatore carico con tensione V0
viene collegato a un bipolo attivo di tensione, con f.e.m. E < V0. Dato che la tensione
i
+
V0 > E
E
C
+
–
vc
Figura C2.10
Scarica parziale
di un condensatore
su un bipolo attivo.
R
del condensatore prevale su quella del generatore, nascerà una corrente i nel verso indicato, data da:
i=
vc − E
R
[C2.16]
essendo vc il valore di tensione sul condensatore nell’istante considerato.
Per effetto di questa corrente il condensatore si scaricherà e il bipolo attivo funzionerà da utilizzatore attivo, con la corrente entrante nel morsetto “+”. Il fenomeno proseguirà fino all’equilibrio tra le due tensioni e, quindi, il valore finale di vc sarà pari a
E, come indicato sul grafico di figura C2.11, la cui espressione matematica rientra
nella formula generale [C2.11].
vc
V0
Figura C2.11
Andamento
della tensione nel caso
della scarica incompleta
di un condensatore.
Vf = E
O
t
La corrente partirà dal valore iniziale:
V −E
I0 = 0
R
[C2.17]
Corrente iniziale
nel caso
della scarica
incompleta
e tenderà a zero, con l’andamento di figura C2.8 o di figura C2.9, a seconda del segno che si considera.
Un condensatore di capacità 1 μF e V0 = 50 V viene collegato con un resistore avente
R = 2,5 kΩ. Calcolare la carica sul condensatore all’istante t1 = 6 ms.
■ La costante di tempo del circuito di scarica è data da:
τ = RC = 2, 5 × 10 3 × 1 × 10 −6 = 2, 5 × 10 −3 s=2,5 ms
ESEMPIO
4
Modulo C • Reti elettriche capacitive
212
Usando la relazione [C2.14] si calcola la tensione V1 all’istante considerato:
V1 = V0 e
−
t1
τ
= 50 e
−
6
2,5
= 50 e −2,4 = 50 × 0, 0907 = 4, 54 V
La carica corrispondente è data da:
Q1 = CV1 = 1 × 10 −6 × 4, 54 = 4, 54 μC
ESEMPIO
5
Ripetere l’esempio precedente supponendo che il condensatore, carico con V0 = 50 V, venga
collegato con un bipolo attivo di tensione avente R = 2,5 kΩ ed E = 25 V.
■ La costante di tempo è la stessa dell’esempio 4. In questo caso il condensatore si scarica parzialmente, tendendo al valore finale Vf = 25 V. Usando l’espressione generale [C2.11] si ottiene:
(
)
V1 = V f + V0 − V f e
t
− 1
τ
= 25 + ( 50 − 25 ) e
−
6
2 ,5
= 25 + 25 e−2,4 = 27, 3 V
La carica Q1 è pari a:
Q1 = CV1 = 1 × 10 −6 × 27, 3 = 27, 3 μC
C2.3 Risoluzione di reti capacitive
nel periodo transitorio
Per risolvere una rete contenente condensatori, durante il periodo transitorio di carica e scarica degli stessi, bisogna tener conto che le grandezze elettriche (tensione
e corrente) nei lati capacitivi non sono costanti, ma variano nel tempo con legge
esponenziale.
È particolarmente importante calcolare tre elementi caratteristici di tali grandezze: il valore iniziale, il valore finale e la costante di tempo, note le quali si ricavano le leggi di variazione delle tensioni o delle correnti mediante le formule generali [C2.11] e [C2.12].
Occorre inoltre tener presente la durata del funzionamento: se il condensatore
resta collegato al circuito di carica o di scarica per un tempo non inferiore a 4,6τ , si
può considerare che la corrente e la tensione siano arrivate ai valori di regime, altrimenti occorre calcolarne i valori nell’istante in cui il condensatore viene scollegato dal circuito.
Per quanto riguarda gli altri elementi della rete, occorre valutare se il loro comportamento sia oppure no influenzato direttamente dai condensatori: per esempio la corrente in un resistore collegato in parallelo a un condensatore, essendo data da i = vc/R,
sarà direttamente proporzionale alla tensione sul condensatore e, pertanto, ne seguirà
l’andamento.
I seguenti esempi hanno lo scopo di chiarire quanto precedentemente esposto.
ESEMPIO
6
Nel circuito di figura C2.12 il condensatore è inizialmente scarico. Determinare il valore e
l’andamento nel tempo della corrente i2 prima e dopo la chiusura del tasto T, supponendo
che il condensatore resti poi collegato al circuito per un tempo superiore a quello di assestamento.
213
C2 • Fenomeni transitori nei circuiti capacitivi
+
R1
E
T
i2
Ri
R2
C
E = 60 V
Ri = 200 Ω
R1 = 1 kΩ
R2 = 4,8 kΩ
C = 50 μF
Figura C2.12
Esempio 6.
■ Con il tasto T aperto, in R2 circola una corrente costante nel tempo, pari a:
I2 =
60
E
=
= 10 mA
Ri + R1 + R2 0, 2 + 1 + 4, 8
Alla chiusura del tasto T inizia la carica del condensatore, per studiare la quale è conveniente
ridurre la rete resistiva al suo generatore equivalente di Thevenin, ottenendo:
RTh =
R2 ( Ri + R1 ) 4, 8 × ( 0, 2 + 1)
=
= 0, 96 kΩ
R2 + Ri + R1
4, 8 + 0, 2 + 1
ETh = E
RTh
R2
4, 8
= 60
= 48 V
Ri + R1 + R2
0,1 + 1 + 4, 8
i
+
ETh
Il circuito equivalente è riportato nella figura C2.13.
La tensione sul condensatore aumenterà esponenzialmente, da zero
fino al valore Vf = ETh = 48 V, con costante di tempo pari a:
C
+
–
vc
Figura C2.13
Esempio 6. Circuito
equivalente
di carica.
τ = RTh C = 960 × 50 × 10 −6 = 48 000 × 10 −6 s = 48 ms
e quindi la sua legge di variazione nel tempo è data da:
t
t
⎛
⎛
− ⎞
− ⎞
vc = V f ⎜ 1 − e τ ⎟ = 48 ⎜ 1 − e τ ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Nel periodo transitorio il condensatore è in parallelo con R2 e quindi la tensione su R2 seguirà la stessa legge di variazione; di conseguenza, la corrente i2 sarà data da:
t
⎛
− ⎞
48 ⎜ 1 − e τ ⎟
t
⎛
− ⎞
⎝
⎠
v
−3
τ
10
10
1
ic = c =
e
=
×
−
⎜
⎟⎠
4, 8 × 10 3
R2
⎝
La corrente aumenterà esponenzialmente, partendo dal valore zero e tendendo al valore finale 10 mA, esattamente uguale a quello che aveva prima della chiusura del tasto. Il grafico di
figura C2.14 mostra l’andamento nel tempo della corrente; l’istante zero del grafico corrisponde a quello di chiusura dell’interruttore.
i2 (mA)
10
0
t
Figura C2.14
Esempio 6. Grafico
della corrente i2
in funzione
del tempo.
Modulo C • Reti elettriche capacitive
214
ESEMPIO
7
La rete di figura C2.15, contenente un condensatore inizialmente carico con tensione V0 = 30 V,
funziona nel seguente modo:
•
•
dall’istante t = 0 all’istante t1 = 3 τ1 l’interruttore T1 è chiuso e T2 è aperto (τ1: costante di
tempo del circuito di carica);
dall’istante t1 in poi l’interruttore T1 è aperto e T2 è chiuso.
R1
T1
R3
+
E1
R2
T2
A
+
C
R4
V0
–
Figura C2.15
Esempio 7.
B
E1 = 400 V
R1 = 100 Ω
R2 = 150 Ω
R3 = 240 Ω
R4 = 2 kΩ
C = 100 nF
Determinare l’andamento nel tempo della tensione e della corrente nel lato capacitivo.
Determinare, inoltre, gli andamenti delle correnti nei resistori R3 e R4.
■ Primo periodo di funzionamento
Riducendo al generatore equivalente di Thevenin la parte di rete a sinistra del condensatore, si ha:
RTh = R3 +
R1 R2
100 × 150
= 240 +
= 300 Ω
R1 + R2
100 + 150
R2
150
= 400
= 240 V
R1 + R2
100 + 150
ETh = E1
Il circuito equivalente corrispondente al primo periodo di funzionamento è mostrato nella figura C2.16.
RTh
A
i
+
ETh
Figura C2.16
Esempio 7. Circuito
equivalente di carica.
+
C
–
vc
B
Durante questo periodo il condensatore si carica, essendo ETh > V0. Le grandezze caratteristiche della legge esponenziale di carica sono pari a:
V f = ETh = 240 V
V0 = 30 V
τ 1 = RTh C = 300 × 100 × 10 −9 = 30 μs
Mediante l’espressione [C2.11] si ricava la legge di variazione della tensione:
(
)
vc = V f + V0 – V f e
−
t
τ1
= 240 + ( 30 − 240 ) e
−
t
τ1
= 240 − 210 e
−
t
τ1
La carica non è però completa, dato che il primo periodo di funzionamento dura per un
tempo t1 = 3τ1, minore di quello necessario per considerare raggiunte le condizioni di regime.
L’effettivo valore finale della tensione sarà pertanto dato da:
V1 = 240 − 210 e
−
3 τ1
τ1
= 240 − 210 e−3 = 229, 5 V
215
C2 • Fenomeni transitori nei circuiti capacitivi
La corrente di carica diminuirà esponenzialmente, partendo dal valore iniziale I0 e tendendo
a zero; le grandezze caratteristiche della legge di variazione sono date da:
I0 =
ETh − V0 240 − 30
=
= 0, 7 A
300
RTh
If = 0
τ 1 = 30 μs
Utilizzando l’espressione [C2.12] si ricava la relativa legge di variazione:
(
)
i = I f + I0 − I f e
−
t
τ1
= 0 + ( 0, 7 − 0 ) e
−
t
τ1
= 0, 7 e
−
t
τ1
Il valore della corrente di carica, al termine del primo periodo di funzionamento, è dato da:
I1 = 0, 7 e
−
3 τ1
τ1
= 0, 7 e−3 = 0, 0349 A=34,9 mA
■ Secondo periodo di funzionamento
Il circuito relativo a questa fase è mostrato nella figura C2.17.
Il condensatore si scarica completamente, partendo dalla tensione V1 che aveva precedentemente assunto durante la carica; le grandezze caratteristiche della legge di variazione della tensione saranno quindi pari a:
V0 = V1 = 229, 5 V
Vf = 0
A
τ 2 = R4 C = 2 × 10 3 × 100 × 10 −9 = 200 μs
i
La legge esponenziale di scarica è la seguente:
(
)
vc = V f + V0 − V f e
t
−
τ2
C
= 0 + ( 229, 5 − 0 ) e
t
−
τ2
= 229, 5 e
t
−
τ2
t
–
vc
R4
B
La corrente nel ramo A-B ha verso di percorrenza opposto a quello di carica
e decresce esponenzialmente fino a zero, con la seguente legge:
−
+
Figura C2.17
Esempio 7.
Circuito di scarica.
t
−
229,5 e τ 2
v
i=− c =−
= − 0,115 e τ 2
2000
R4
dove 0,115 A è il valore iniziale e il segno “–” indica il cambiamento di verso.
Grafici di vc e i
Le figure C2.18 e C2.19 mostrano gli andamenti qualitativi della tensione e della corrente durante
tutto il funzionamento del circuito. Si può notare che la corrente subisce una brusca variazione nell’istante t1 di commutazione degli interruttori, mentre la tensione non presenta salti del genere.
i (mA)
vc (V)
700
240
229,5
34,9
0
– 115
30
0
3τ 1
Figura C2.18
Esempio 7. Grafico della tensione vc in funzione del tempo.
3τ 1
t
t
Figura C2.19
Esempio 7. Grafico della corrente i in funzione del tempo.
Modulo C • Reti elettriche capacitive
216
Correnti in R3 e in R4
Osservando il circuito iniziale (figura C2.15) si può osservare che:
•
•
nel primo periodo di funzionamento la corrente in R3 coincide con la corrente di carica nel
lato A-B, mentre nel secondo periodo è nulla (T1 aperto);
nel primo periodo di funzionamento la corrente in R4 è nulla (T2 aperto), mentre nel secondo
periodo essa coincide con quella di scarica nel lato A-B.
I grafici delle due correnti sono riportati nelle figure C2.20 e C2.21.
i3 (mA)
700
Figura C2.20
Esempio 7. Grafico
della corrente i3
in funzione
del tempo.
34,9
3τ1
0
t
i4 (mA)
Figura C2.21
Esempio 7. Grafico
della corrente i4
in funzione
del tempo.
3τ1
0
– 115
t
C2.4 Rilievo sperimentale del transitorio
di carica e scarica mediante oscilloscopio
Si consideri (figura C2.22) un circuito R-C alimentato con una tensione d’ingresso Vi
di tipo impulsivo, a onda rettangolare, con duty factor 50%, ossia caratterizzata da (figura C2.23):
Vi
R
A
VM
Vi
C
Vu
0
B
T/2
t
T
Figura C2.22
Circuito R-C alimentato con una tensione impulsiva.
Figura C2.23
Forma d’onda della tensione d’ingresso.
217
C2 • Fenomeni transitori nei circuiti capacitivi
•
•
andamento di tipo periodico, di periodo T e frequenza f;
presenza di una semionda di forma rettangolare, di valore costante VM e durata pari
a metà periodo (duty factor 50%), con un fronte di salita e uno di discesa idealmente
verticali;
• valore nullo per tutto il semiperiodo successivo.
Una forma d’onda del genere è ideale, in quanto, in realtà, il passaggio da zero a VM
e viceversa non avverrà istantaneamente; dato però che la durata dei fronti di salita e di
discesa è molto piccola (dell’ordine dei milionesimi di secondo o meno) la si può tranquillamente ritenere nulla. Il comportamento del circuito, in presenza di una tensione
d’ingresso di tipo impulsivo, sarà il seguente:
•
durante il semiperiodo in cui Vi = VM è come se tra i morsetti A-B vi fosse un generatore di tensione continua pari a VM: il condensatore si caricherà e la sua tensione
(Vu) tenderà, a regime, alla tensione VM;
• durante il semiperiodo in cui Vi = 0 è come se tra i morsetti A-B vi fosse un cortocircuito: il condensatore si scaricherà e la tensione Vu tenderà, a regime, al valore zero;
nei
successivi periodi i fenomeni di carica e scarica del condensatore si ripeteranno,
•
con le stesse modalità.
In questo discorso gioca, però, un ruolo importante il valore del periodo (e quindi
della frequenza) della tensione d’ingresso; ritenendo pari a 5τ il tempo necessario affinché si raggiunga il regime, la carica e la scarica saranno complete se la durata dell’impulso sarà sufficientemente lunga, altrimenti ambedue i fenomeni resteranno incompleti.
Più precisamente si avrà:
T
a) se è verificata la condizione ≥ 5τ , allora il condensatore raggiungerà le condizio2
ni di regime, sia durante la carica che durante la scarica;
T
b) se, invece, si ha
< 5τ , allora sia la carica che la scarica saranno incomplete.
2
Poiché della tensione d’ingresso si conosce, in genere, la frequenza e non il periodo, conviene convertire le due disequazioni precedenti in funzione di f, ottenendo:
•
caso a: T ≥ 10τ
1
≥ 10τ
f
e, quindi:
•
caso b: T ≥ 10τ
e, quindi:
f ≤
1
10τ
[C2.18]
Frequenza
per la quale
si ha la carica
completa
f >
1
10τ
[C2.19]
Frequenza
per la quale
la carica non
è completa
1
< 10τ
f
Gli andamenti nel tempo della tensione d’uscita, confrontati con quelli della tensione d’ingresso, sono rappresentati, per i due casi, nei grafici di figura C2.24 a e b.
Nel primo caso la tensione di uscita arriva, durante la carica, al valore VM e durante la
scarica si annulla; nel secondo caso la tensione d’uscita si stabilizza, dopo un certo
numero di periodi, tra un valore iniziale V0 e un valore finaleVf < VM; i due valori suddetti saranno tanto più prossimi tra loro quanto più è elevata la frequenza della tensione d’ingresso.
Modulo C • Reti elettriche capacitive
218
v
Vi
VM
Vu
a)
T ≥ 10τ
Figura C2.24 a, b
Forme d’onda
delle tensioni Vi e Vu
del circuito R-C,
per due diversi valori
della frequenza
della tensione
d’ingresso
(τ costante).
f≤
t
1
10τ
v
Vi
VM
Vi
Vu
Vu
Vf
V0
b)
T < 10τ
f>
1
10τ
t
Per visualizzare il fenomeno, e misurare anche i valori delle due tensioni e del
tempo, si può usare il circuito di prova di figura C2.25, impiegante un oscilloscopio a
doppia traccia, in grado di fornire contemporaneamente sullo schermo ambedue i segnali Vi e Vu, inviati, rispettivamente, ai canali 1 (CH1) e 2 (CH2) dell’oscilloscopio.
V/div
CH1
CH2
ms/div
OSC.
R
Figura C2.25
Rilievo
del transitorio
di carica e scarica
di un condensatore
mediante
oscilloscopio:
schema del circuito
di prova.
V/div
+
G.S.
G.S.
C
Vi
CH1
CH2
OSC.
Vu
generatore
di segnali
canale 1
canale 2
oscilloscopio
a doppia
traccia
Per ottenere la tensione d’ingresso si usa un generatore di segnali, in grado di fornire tensioni con diverse forme d’onda e frequenza regolabile; si selezionerà la forma
d’onda voluta e, con l’apposito comando, si potrà variare la frequenza.
In merito alla scelta del valore di frequenza da impiegare, occorre far riferimento ai
valori di R e di C. Supponendo di scegliere:
R = 1 kΩ
si avrà:
C = 100 nF
τ = RC = 1 × 10 3 × 100 × 10 −9 = 100 × 10 −6 s = 0,1 ms
e, quindi, la frequenza limite oltre la quale il circuito R-C non raggiunge il regime è
data da:
1
1
flim =
=
= 1000 Hz = 1 kHz
10τ 10 × 0, 1 × 10 −3
Dopo aver collegato il circuito e aver regolato le scale di lettura dell’oscilloscopio
(V/div. e ms/div.) si eseguono varie prove, con frequenza crescente; è opportuno effettuare almeno le seguenti quattro prove:
219
C2 • Fenomeni transitori nei circuiti capacitivi
1. f1 < flim (per esempio 0,5 kHz), per la quale la durata dell’impulso è tale da far certamente arrivare il circuito a regime; le tracce sullo schermo si presenteranno come
quelle della figura C2.26 a;
f = 0,5 kHz
v
T = 2 ms
T = 1 ms ττ = 0,1 ms
2
( T2 = 10 ττ)
Figura C2.26 a, b, c, d
Forme d’onda
delle tensioni
d’ingresso
e d’uscita,
per diversi valori
della frequenza.
Vi
VM
Vu
a)
t
2. f2 = flim (1 kHz), frequenza per la quale si ha la condizione limite di carica e scarica
complete (figura C2.26 b);
f = 1 kHz
v
T = 1 ms
T = 0,5 ms
2
τ = 0,1 ms
( 2T = 5ττ)
Vi
VM
Vu
b)
t
3. f3 > flim (per esempio 2 kHz), frequenza per la quale i transitori di carica e scarica risulteranno incompleti, ma con valori di V0 e Vf abbastanza diversi tra loro (figura
C2.26 c);
f = 2 kHz
v
VM
T = 0,5 ms
T = 0,25 ms
2
τ = 0,1 ms
( T2 = 2,5 ττ)
Vi
Vf
Vu
V0
c)
t
4. f4 >> flim (per esempio 5 kHz); sullo schermo i valori di V0 e Vf appariranno molto
più prossimi tra loro rispetto al caso precedente (figura C2.26 d).
v
VM
f = 5 kHz
T = 0,1 ms
2
ττ = 0,1 ms
( T2 = ττ)
Vi
Vu
d)
T = 0,2 ms
V0
Vf
t
Dalla lettura delle divisioni sullo schermo e usando le due scale selezionate si potranno rilevare, per ogni prova, i valori di: T/2 (semiperiodo dell’impulso), τ (costante
per le quattro prove e pari al valore T/10 misurato nella seconda prova), Ta ≅ 5 τ (pari
a T/2 nella seconda prova), VM , V0 e V f . Il valore sperimentale della costante di tempo
verrà poi confrontato con quello calcolabile dai parametri R e C del circuito, per valutare eventuali scostamenti.
Modulo C • Reti elettriche capacitive
Esercitazioni
220
Esercizi di verifica
Esercizio 1
Un condensatore di capacità C = 100 μF viene caricato da 0 a 100 V mediante un circuito con costante di tempo
20 ms. Calcolare: la carica e l’energia finali; la resistenza del circuito di carica; la tensione V1 all’istante t1 = 40 ms; il tempo t2 dopo il quale la tensione vale 80 V.
;
[Risultati: Qf = 10 mC; Wf = 0,5 J; R = 200 ΩΩ
V1 = 86,5 V; t2 = 32,2 ms]
Esercizio 2
Un condensatore inizialmente scarico, di capacità C = 50 μF, viene caricato mediante un generatore di tensione
avente f.e.m. E = 25 V. Misurando la tensione all’istante t1 = 0,2 s si trova il valore V1 = 20 V. Calcolare la costante di tempo e la resistenza del circuito di carica.
]
[Risultati: ττ= 0,124 s; R = 2,48 kΩΩ
Esercizio 3
Per il circuito di figura C2.27, in cui il condensatore è inizialmente scarico, calcolare: la costante di tempo del
circuito di carica; i valori finali della tensione e dell’energia del condensatore; la corrente iniziale di carica; la
corrente i2 prima e dopo la chiusura del tasto T, disegnandone l’andamento.
A
T
+
V0 = 0
i2
E1
C = 40 nF
R 1 = 0,5 k Ω
R2
C
R2 = 2 k Ω
E = 50 V
R1
B
Figura C2.27
Esercizio 3.
s; Vf = 40 V; Wf = 32 μμ
J; I0 = 0,1 A; prima della chiusura: I2 = 20 mA, costante;
[Risultati: ττ= 16 μμ
dopo la chiusura: i2 aumenta esponenzialmente da 0 a 20 mA]
Esercizio 4
Nel circuito di figura C2.28 il condensatore è inizialmente carico con tensione V0 = 30 V e, mediante la chiusura
di T1 (con T2 aperto), viene caricato fino al raggiungimento del regime. Successivamente, aprendo T1 e chiudendo T2, il condensatore viene completamente scaricato sulla resistenza R3.
Per la prima fase del processo calcolare: la costante di tempo τ1; la tensione finale sul condensatore; la corrente
iniziale di carica; la variazione di carica elettrica sul condensatore; l’andamento nel tempo della tensione v2.
Per la seconda fase del processo calcolare: la costante di tempo τ2; l’andamento della corrente nel resistore R3;
l’energia elettrica dissipata in R3.
221
C2 • Fenomeni transitori nei circuiti capacitivi
T1
A
T2
V0 = 30 V
R2
I01
I01 = 0,5 A
C
R1
R1 = 200 Ω
R3
V0
R2 = 150 Ω
R3 = 500 Ω
Figura C2.28
Esercizio 4.
C = 40 μF
B
[Risultati: ττ1 = 14 ms; Vf = 100 V; I0 = 0,2 A; ΔΔ
Q = 2,8 mC; v2 diminuisce esponenzialmente
da 30 V a zero; ττ2 = 20 ms; i3 diminuisce esponenzialmente da 0,2 A a zero; WR3 = 0,2 J]
Esercizio 5
Nella rete di figura C2.29 il condensatore C è inizialmente scarico. Calcolare il valore della corrente i3 con il tasto T aperto. Supponendo di chiudere T e di lasciare il circuito in tale condizione, calcolare: la costante di tempo
del circuito di carica, la corrente iniziale nel lato capacitivo, la tensione sul condensatore e la corrente di carica
al tempo t1 = 3 τ, il valore finale della tensione sul condensatore, l’andamento della corrente i3 durante il transitorio di carica. Disegnare gli andamenti della tensione vc e della corrente i3 in funzione del tempo.
+
E1
I01
R2
T
i3
R1
R3
E1 = 200 V
R1 = 20 Ω
I01 = 1 A
R2 = 400 Ω
R3 = 800 Ω
C = 50 nF
C
Figura C2.29
Esercizio 5.
[Risultati: I3 = 0,18 A; τ = 13,8 μμ
s; I0 = 0,523 A; V1 = 136,8 V; I1 = 26 mA;
Vf = 144 V; andamento esponenziale crescente, da zero a 0,18 A]
Esercizio 6
Nel circuito di figura C2.30 il condensatore è inizialmente scarico. Il funzionamento del circuito è il seguente:
per i primi 30 s è chiuso T1 ed aperto T2; per i seguenti 10 s è aperto T1 e chiuso T2; successivamente sono aperti
ambedue gli interruttori.
Calcolare: la corrente iniziale di carica; la tensione vc dopo i primi 30 s; la corrente ic subito prima e subito
dopo la chiusura di T2; la tensione vc e la corrente ic al tempo finale di 40 s.
Disegnare gli andamenti di vc e ic in funzione del tempo.
T2
T1
R1 = 500 kΩ
R2 = 100 kΩ
+
C = 20 μF
ic
E1
vc
C
R2
E1 = 400 V
R1
Figura C2.30
Esercizio 6.
[Risultati: I0 = 0,8 mA; V1 = 380 V; I1 = 0,04 mA (prima) e I1 = −−3,8 mA
(dopo); V2 = 2,56 V; I2 = −−0,0256 mA]
Esercitazioni
v2
Esercitazioni
222
Modulo C • Reti elettriche capacitive
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Dimostrare che la corrente di carica di un condensatore diminuisce all’aumentare della tensione sul condensatore stesso.
2. Dimostrare che durante il processo di carica la tensione su un condensatore aumenta con incrementi sempre
minori.
3. Definire la costante di tempo del processo di carica e ricavarne l’espressione.
4. Dopo quando tempo un condensatore è carico al 99% della sua tensione finale?
5. Perché all’aumentare dei valori di R e di C aumenta la durata del periodo transitorio di carica?
6. Come variano la carica elettrica e l’energia elettrostatica durante il transitorio di carica?
7. Per quale ragione, in termini energetici, un condensatore si scarica quando viene collegato a un resistore? E
perché la corrente di scarica non permane nel tempo?
8. Spiegare cosa succede quando un condensatore, carico con tensione iniziale V0, viene collegato a un bipolo
attivo di tensione, con tensione interna E e resistenza R. Esaminare i tre casi possibili: E > V0; E = V0;
E < V 0.
9. La costante di tempo del circuito di carica è necessariamente uguale a quella del circuito di scarica?
Modulo D
Elettromagnetismo,
circuiti magnetici
Obiettivi
Prerequisiti
Scheda PRE-1 Richiami di magnetismo
Scheda PRE-2 Funzioni trigonometriche
Scheda PRE-3 Relazioni tra i dati di un triangolo rettangolo
Contenuti
• D1 Grandezze magnetiche e loro legami, circuiti magnetici
• D2 Interazioni tra circuiti elettrici e campi magnetici
• D3 Fenomeni transitori nei circuiti induttivi
Esercitazioni
• Esercizi di verifica
• Test di verifica
224
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
Obiettivi
Al termine di questo modulo gli alunni dovranno:
1. conoscere le grandezze magnetiche e i loro legami;
2. conoscere le principali leggi dell’elettromagnetismo e saperle associare ai
relativi fenomeni;
3. conoscere il bipolo “induttore” e il suo comportamento circuitale;
4. conoscere i fenomeni che avvengono durante il periodo transitorio di magnetizzazione e smagnetizzazione di un induttore;
5. saper risolvere una rete elettrica di media complessità contenente un induttore, durante il periodo transitorio.
Prerequisiti
SCHEDA PRE-1 Richiami di magnetismo
•
Campo magnetico. Una regione di spazio è sede di un campo magnetico se
un magnete di prova, posto in un qualsiasi punto di quello spazio, è soggetto
a forze che tendono a farlo ruotare fino a disporlo in direzione parallela al
campo magnetico.
•
Magnete di prova. Per “magnete di prova” si intende un ago magnetico
(come quello della bussola), ossia una piccola calamita, di forma stretta e allungata, che può ruotare intorno a un perno centrale; esso è provvisto, come
tutti i magneti, di due poli magnetici, indicati con N (nord) e S (sud).
•
Origine del campo magnetico. Un campo magnetico è generato sempre da
cariche elettriche in movimento. Nel caso dei magneti permanenti il movimento di cariche è dovuto al moto degli elettroni degli atomi del magnete,
mentre nel caso degli elettromagneti è la corrente elettrica circolante entro
un filo conduttore che produce il campo magnetico.
•
Linee di campo. Dette anche linee di forza, sono linee orientate che consentono di rappresentare graficamente l’azione del campo magnetico. Un magnete di prova, posto in un punto del campo magnetico, sotto l’azione della
forza magnetica si orienta sempre nella direzione tangente alla linea di forza
in quel punto, mentre il verso della linea di forza va dal polo S al polo N del
magnete di prova.
Nella figura PRE-1.1 a, b sono rappresentate le linee di forza in due casi
tipici: barra magnetica rettangolare e magnete con polarità contrapposte.
•
Polarità di un magnete. Le polarità di un magnete permanente o di un elettromagnete sono determinate dal verso delle linee di forza: all’esterno del
magnete le linee di forza escono dal polo N ed entrano nel polo S (figura
PRE-1.1 a, b).
•
Poli magnetici isolati. Non è possibile avere un magnete con una sola polarità, a differenza di quanto accade per le cariche elettriche, che possono essere positive o negative. Dividendo in due parti una calamita, ciascuna parte
formerà un magnete, dotato di entrambe le polarità.
225
Prerequisiti
a)
b)
N S
S
N
N S
S N
Figura PRE-1.1 a, b
Le linee di forza, all’esterno del magnete che produce
il campo, segnano l’orientamento S-N del magnete di prova.
N
S
N
S
N
S
SCHEDA PRE-2 Funzioni trigonometriche
Nella figura PRE-2.1 è rappresentata una circonferenza trigonometrica,
avente raggio unitario, divisa in quattro quadranti dagli assi cartesiani x e y.
y
II
T
I
D
B
1
α
−1
O
III
−1
t2
P
C
IV
A
1
x
t1
––
Preso un punto P sulla circonferenza, con OP = 1 in quanto corrispondente
al raggio, e individuati i punti A e C sull’asse x, B sull’asse y, T sulla retta t1 e D
sulla retta t2, si definiscono le seguenti funzioni trigonometriche aventi per argomento l’angolo α:
funzione seno:
senα =
CP
= CP
OP
funzione coseno:
cos α =
OC
= OC
OP
funzione tangente:
tgα =
AT
= AT
OP
funzione cotangente:
ctgα =
BD
= BD
OP
L’andamento delle funzioni trigonometriche al variare di α è indicato nella
figura PRE-2.2 a, b, relativamente all’intervallo da zero a 2π, corrispondente a
un giro del punto P sulla circonferenza.
Figura PRE-2.1
Definizioni delle funzioni
trigonometriche.
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
226
tg αa; ctg α
ctg α a
tg α a
cos αa; sen α a
cosα a
senα a
1
1
0
α
0
2π
π
−1
2π
π
−1
α
a)
Figura PRE-2.2 a b
Andamento delle funzioni
trigonometriche sen α,
cos α, tg α, ctg α
nell’intervallo 0 ≤ α ≤ 2 π.
b)
Nella tabella PRE-2.1 sono riportati i valori delle quattro funzioni per alcuni valori particolari dell’angolo α .
Tabella PRE-2.1 Valori delle funzioni trigonometriche per alcuni angoli notevoli
Archi
sen
cos
tg
ctg
0
0
1
0
∞
30
π
6
1
2
3
2
3
3
45
π
4
2
2
2
2
1
60
π
3
3
2
1
2
90
π
2
1
0
∞
0
180
π
0
–1
0
∞
270
3π
2
–1
0
∞
0
360
2π
0
1
0
∞
gradi
radianti
0
3
1
3
3
3
Tra le quattro funzioni trigonometriche introdotte valgono le seguenti identità trigonometriche:
sen 2 α + cos2 α = 1
tgα =
senα
cos α
ctgα =
cos α
1
=
senα tgα
Prerequisiti
227
SCHEDA PRE-3 Relazioni tra i lati di un triangolo
rettangolo
In un triangolo rettangolo di cateti a e b e ipotenusa c (figura PRE-3.1) valgono
le seguenti relazioni, ricavabili dalla similitudine tra il triangolo dato e quello
corrispondente sul cerchio trigonometrico:
a = c senα
b = c senβ
[P3.1]
a = c cosβ
b = c cosα
[P3.2]
a = b tgα
b = a tgβ
[P3.3]
c
β
a
γ = 90°
α
b
Le formule scritte corrispondono alle seguenti regole:
•
la misura di un cateto è uguale a quella dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto al cateto (formule [P3.1]);
•
la misura di un cateto è uguale a quella dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo compreso tra cateto e ipotenusa (formule [P3.2]);
•
la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto per la tangente
dell’angolo opposto al primo (formule [P3.3]).
Valgono anche tutte le relazioni ricavabili come formule inverse da quelle riportate.
Figura PRE-3.1
Relazioni tra i lati
e gli angoli di un triangolo
rettangolo.
228
D1
Grandezze magnetiche
e loro legami,
circuiti magnetici
In questa unità verranno trattate le grandezze fisiche tipiche del campo magnetico e le leggi che
le riguardano, facendo riferimento a campi magnetici prodotti da correnti elettriche circolanti entro circuiti di varia conformazione. Verrà, inoltre, introdotto un bipolo caratteristico delle reti elettromagnetiche, detto induttore.
D1.1 Campo magnetico prodotto
da un conduttore rettilineo
Un conduttore rettilineo, percorso dalla corrente I, genera nello spazio che lo circonda
un campo magnetico, in quanto è in grado di orientare un ago magnetico di prova, secondo la direzione tangente alla circonferenza passante per il punto in cui si trova l’ago
e avente come centro il punto in cui si trova il conduttore (figura D1.1). L’ago di prova
si orienta con le polarità S/N nel verso del palmo della mano destra, con il pollice posto secondo la direzione e il verso della corrente. Questo vale se il conduttore agisce da
solo nello spazio considerato, ossia se si possono ritenere trascurabili le azioni di eventuali altre sorgenti del campo magnetico.
Linee di forza
I
S
N
S
Figura D1.1
Campo magnetico
prodotto da un
conduttore
percorso da
corrente.
I
N
I
I
N
S
S
N
Si può pertanto dire che:
ÈÈun conduttore rettilineo percorso da corrente produce un campo magnetico
nello spazio circostante, le cui linee di forza, per ogni piano perpendicolare al
conduttore, sono delle circonferenze aventi il centro nel punto d’intersezione tra
229
D1 • Grandezze magnetiche e loro legami, circuiti magnetici
il conduttore e il piano considerato e orientate secondo il palmo della mano destra, con il pollice che indica la direzione e il verso della corrente (esperienza di
Oersted).
Considerando un qualsiasi piano perpendicolare al conduttore, le linee di forza si
possono rappresentare come indicato nella figura D1.2 a e b, per la quale si è adottata
la convenzione comune di rappresentare la corrente uscente dal piano con la punta di
una freccia (figura D1.2 a) e quella entrante nel piano con la coda della freccia (figura
D1.2 b). L’orientamento delle linee di forza viene stabilito con la regola precedentemente illustrata, oppure utilizzando quella della vite destrorsa: il verso delle linee di
forza coincide con quello di rotazione della vite, quando il verso di avanzamento della
stessa corrisponde al verso della corrente.
SN
NS
I
I
Figura D1.2 a, b
Orientamento delle
linee di forza del
campo magnetico
prodotto da una
corrente.
b) I “entra” nel piano
a) I “esce” dal piano
Ci si può chiedere, a questo punto, quanto sarà “intenso” il campo magnetico in un
punto qualsiasi dello spazio attorno al conduttore. È intuitivo pensare che tale intensità
dipenderà da vari fattori; precisamente:
•
•
•
dall’intensità della corrente elettrica: dato che tale corrente produce il campo, lo
stesso aumenterà in maniera direttamente proporzionale con la corrente;
dalla distanza del punto considerato dal conduttore: all’aumentare di tale distanza
l’effetto della corrente sarà sempre più debole e, quindi, l’intensità del campo magnetico andrà man mano diminuendo;
dal tipo di ambiente entro cui il campo si sviluppa, ambiente che può essere il
vuoto, l’aria o un qualsiasi materiale magnetico; il campo sarà tanto più intenso
quanto più il mezzo magnetico interposto sarà facilmente magnetizzabile.
D1.2 Vettore induzione magnetica
L’intensità
del campo magnetico viene definita mediante il vettore induzione magne➝
tica B , avente la direzione tangente alla linea di forza passante nel punto considerato
e verso determinato da quello delle linee di forza (figura D1.3
a). Nel caso in esame
➝
di campo prodotto da un conduttore, l’intensità del vettore B in un punto a distanza r
dal conduttore è data, in accordo con le osservazioni fatte nel paragrafo precedente, da:
μI
B=
2π r
[D1.1]
Induzione del
campo magnetico
prodotto
da un conduttore
rettilineo
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
230
L’espressione [D1.1] mostra che il valore di B decresce all’aumentare della distanza
r, secondo il grafico rappresentato nella figura D1.3 b.
B
Figura D1.3 a, b
Campo magnetico
prodotto da un
conduttore
rettilineo:
andamento di B in
funzione della
distanza r.
I
r1 < r2 ⇒ B1 > B2
B1
B2
B1
a)
B2
r2
r1
O
r
b)
Il fattore μ, dipendente dal tipo di mezzo entro cui si sviluppa il campo magnetico,
è detto permeabilità magnetica: maggiore è il valore della permeabilità magnetica,
tanto più elevato è il campo magnetico prodotto, a parità di altre condizioni. La permeabilità magnetica costituisce, quindi, un indice dell’attitudine del materiale a farsi
magnetizzare.
Il valore della permeabilità magnetica nel vuoto è una costante fisica, detta permeabilità assoluta μ0, pari a:
μ0 = 4π × 10 −7 = 1, 257 × 10 −6
H
m
Per l’aria, per i gas e, in generale, per tutti i materiali non ferromagnetici, il valore
della permeabilità μ è praticamente uguale a quello della permeabilità del vuoto.
Nello studio dell’elettromagnetismo, per definire l’intensità del vettore induzione
magnetica si parte da un altro fenomeno, che si verifica quando interagiscono un
campo magnetico e un conduttore percorso da corrente, fenomeno evidenziato dall’esperienza di Faraday:
ÈÈsu un filo conduttore percorso da corrente e immerso in un campo magnetico, si
sviluppa una forza che agisce in direzione perpendicolare sia al campo magnetico che alla corrente (figura D1.4).
F
B
Figura D1.4
Forza prodotta dal
campo magnetico
su un conduttore
percorso da
corrente.
F
xI
I
B
Per individuare il verso della forza si possono usare varie regole, di cui una è la regola della mano sinistra: il verso della forza elettromagnetica è indicato dal pollice
231
D1 • Grandezze magnetiche e loro legami, circuiti magnetici
della mano sinistra disposta lungo il conduttore nel verso della corrente, con le linee di
forza del campo entranti nel palmo della mano.
Ripetendo l’esperimento con vari valori della corrente si vede che il valore della
forza varia, ma rimane sempre costante il rapporto:
F
=B
Il
[D1.2]
dove l è la lunghezza della parte di conduttore interessata dal campo magnetico.
Questo rapporto rappresenta, per definizione, l’intensità B del vettore induzione
magnetica nel punto dello spazio in cui è posto il conduttore, intensità che può essere
determinata sperimentalmente misurando il valore della forza prodotta da un valore di
corrente noto.
L’induzione magnetica si misura in tesla (T); per definizione si ha:
1 T=1
N
Am
La forza agente sul conduttore sarà data da:
F = BIl
[D1.3]
Ponendo nella [D1.3] I = 1 A e l = 1 m, i valori numerici di F e B coincidono e,
quindi, si ha che un campo magnetico ha induzione magnetica pari a 1 T se produce
la forza di 1 N su un conduttore di lunghezza 1 m percorso dalla corrente di 1 A.
Forza su un
conduttore posto
in un campo
magnetico
Il valore B = 1 T indica un campo magnetico piuttosto intenso; per confronto si
consideri che il valore del campo magnetico terrestre varia da 0,6 × 10 – 4 T ai poli a
0,3 × 10 – 4 T all’equatore e, quindi, è mediamente ventimila volte più piccolo.
Calcolare il campo magnetico prodotto nell’aria da un conduttore percorso dalla corrente
I = 10 A, nei casi in cui la distanza sia 1 cm e 10 cm dal conduttore stesso.
H
, si ha nei due casi:
■ Essendo μ ≅ μ0 = 1,257 × 10–6
m
B1 =
μI
1, 257 × 10 −6 × 10
=
= 2 × 10 −4 T
2π r1
2π × 1 × 10 −2
B2 =
ESEMPIO
1
ESEMPIO
2
ESEMPIO
3
μI
1, 257 × 10 −6 × 10
=
= 0, 2 × 10 −4 T
2π r2
2π × 10 × 10 −2
e, quindi, l’intensità del campo magnetico è, nel secondo punto, dieci volte minore rispetto al
primo, diminuendo in misura inversa rispetto all’aumento della distanza.
Calcolare la forza prodotta da un campo magnetico con B = 0,5 T su un conduttore percorso
dalla corrente I = 5 A, per ogni metro di lunghezza del conduttore stesso.
■ Applicando l’espressione [D1.3] con l = 1 m, si ha:
F = BIl = 0,5 × 5 × 1 = 2,5 N
La forza elettromagnetica misurata su un conduttore di lunghezza l = 25 cm percorso dalla corrente I = 4 A è pari a 0,8 N. Calcolare l’intensità del vettore induzione magnetica nel punto in
cui è posto il conduttore.
■ Applicando la formula [D1.2], si ha:
B=
F
0,8
=
= 0,8 T
Il 4 × 0,25
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
232
D1.3 Campo magnetico prodotto
da una spira circolare
Se il conduttore rettilineo di cui al paragrafo D1.1 viene avvolto in modo che formi
una circonferenza di raggio r, si ottiene una spira circolare, in cui il verso di percorrenza della corrente può essere orario o antiorario (figura D1.5 a). Le linee di forza
del campo magnetico prodotto, che nel caso del conduttore rettilineo si disponevano
su piani tra loro paralleli, si disporranno adesso su piani perpendicolari al conduttore,
non più paralleli tra loro, ma posti su direzioni radiali, convergenti nel centro della
spira. Immaginando di tagliare la spira con un piano perpendicolare alla spira stessa,
si ottiene la rappresentazione di figura D1.5 b, in cui le linee di forza sono linee
chiuse attorno al conduttore, più dense all’interno della spira e più rade all’esterno.
Man mano che ci si avvicina al centro della spira, la lunghezza delle linee di forza aumenta, diventando infinita per quella centrale, rettilinea, ma che va immaginata come
una linea chiusa all’infinito.
Il verso delle linee di forza può ancora essere determinato con il palmo chiuso della
mano destra, orientando il pollice secondo il verso della corrente.
A
I
r
B
I
+
Figura D1.5 a, b
Campo magnetico
prodotto da una
spira circolare.
a)
sezione A-B
B
b)
L’intensità del campo magnetico varia, a seconda del punto dello spazio considerato; il valore maggiore lo si ha nel centro della spira, che è il punto che più risente dell’azione combinata dei due conduttori; in tale punto l’intensità del vettore induzione
magnetica è pari a:
Induzione
del campo
magnetico
prodotto da una
spira circolare
B=
μI
2r
[D1.4]
Il campo magnetico risulta, quindi, tanto più intenso quanto maggiore è il valore
della corrente magnetizzante che l’ha prodotto e quanto minore è il raggio r della spira
(i conduttori risultano più vicini al punto considerato e, quindi, la loro azione magnetizzante è maggiore); il valore di B è, inoltre, tanto più elevato quanto maggiore è la
permeabilità del mezzo, ossia quanto più facilmente il materiale magnetico si presta a
essere magnetizzato.
233
D1 • Grandezze magnetiche e loro legami, circuiti magnetici
Calcolare la corrente che deve circolare in una spira di raggio 1,5 cm, in aria, per produrre al
suo interno un’induzione magnetica di 0,05 T.
ESEMPIO
4
■ Utilizzando per la permeabilità il valore di quella del vuoto e ricavando la formula inversa
della [D1.4], si ottiene:
I=
2 rB 2 × 1, 5 × 10 −2 × 0, 05
=
= 1193 A
1, 257 × 10 −6
μ
Il risultato ottenuto mostra che per creare un campo magnetico di valore apprezzabile occorre impiegare correnti di valore molto elevato; a questo si può porre rimedio, come si vedrà in
seguito, aumentando il numero di spire in serie e usando materiali magnetici con permeabilità
magnetica molto maggiore di quella dell’aria.
D1.4 Campo magnetico prodotto da un solenoide
Si considerino due spire accostate, percorse nello stesso senso dalla stessa corrente I
(figura D1.6). Osservando i versi delle linee di forza prodotte separatamente dalle due
spire, si può osservare che all’interno e all’esterno delle spire le linee di forza hanno lo
stesso verso, mentre nello spazio tra i conduttori hanno verso opposto. Dato che le
spire sono uguali e percorse dalla stessa corrente, è lecito affermare che i due contributi al campo risultante saranno uguali e opposti e, quindi, l’intensità del campo sarà
nulla nello spazio compreso tra le spire.
Per ottenere un solenoide rettilineo occorre avvolgere più spire attorno a un supporto
(figura D1.7), in modo che tutte le spire siano percorse dalla stessa corrente, nello stesso
senso. Le linee di forza del campo magnetico prodotto dal solenoide si svilupperanno sia
all’interno che all’esterno dello stesso, dando luogo alla configurazione indicata nella figura D1.7, simile a quella di un magnete permanente della stessa forma del solenoide.
Il campo magnetico avrà polarità N all’estremità del solenoide dove escono le linee di
forza ed S all’altro estremo (linee di forza entranti). Dato che il verso delle linee di forza
dipende da quello della corrente, ne consegue che invertendo il verso di percorrenza della
corrente nell’avvolgimento, si invertono le polarità del campo magnetico prodotto.
Figura D1.6
Due spire
accostate percorse
da corrente:
all’esterno
e all’interno
delle spire le linee
di forza sono
concordi, mentre
nello spazio
tra le spire esse
sono discordi.
+
Figura D1.7
Solenoide rettilineo.
S
+
N
I
I
+
−
Il campo➝magnetico all’interno del solenoide si può ritenere costante e l’intensità
del vettore B è data da:
μNI
B=
l
dove N è il numero di spire ed l è la lunghezza del solenoide.
[D1.5]
Induzione del
campo magnetico
prodotto
da un solenoide
rettilineo
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
234
L’espressione [D1.5], pur non essendo stata dimostrata analiticamente, si può giustificare intuitivamente, considerando che:
•
•
•
l’intensità del campo magnetico è direttamente proporzionale alla permeabilità del
mezzo e all’intensità della corrente magnetizzante, così come avveniva per i campi
prodotti da un conduttore e da una spira;
all’aumentare del numero di spire aumenta B, in quanto la corrente, percorrendo le
N spire, ripete per N volte la sua azione magnetizzante;
l’intensità del campo magnetico è inversamente proporzionale alla lunghezza del
solenoide, in quanto all’aumentare di l diventa più lungo il tratto da magnetizzare
e, quindi, meno efficace l’azione della corrente.
Se le spire vengono avvolte attorno a un supporto chiuso su se stesso, di forma circolare, si ottiene un solenoide toroidale (figura D1.8), nel quale le linee di forza sono
tutte confinate all’interno delle spire. In questo caso le polarità N/S non sono più evidenti, a meno che non si pratichi un’interruzione nel supporto (detta traferro), le cui
estremità costituiranno i poli N e S del magnete (figura D1.9).
B
I
+
r
–
I
Figura D1.9
Solenoide toroidale
con traferro.
Figura D1.8
Solenoide toroidale.
S
−
I
N
I
+
➝
L’intensità del vettore B può ancora essere calcolata con la formula [D1.5]; indicando con r il raggio medio del toroide, la lunghezza l del solenoide sarà pari a quella
della circonferenza media e, quindi, il valore di B relativo alla linea di forza centrale
sarà dato da:
Induzione del
campo magnetico
prodotto
da un solenoide
toroidale
B=
μNI
2π r
[D1.6]
Dato che la differenza di lunghezza tra le varie linee di forza è trascurabile, si può
ritenere che il valore di B calcolato con la [D1.6] sia costante per tutti i punti interni al
toroide.
ESEMPIO
5
Calcolare il numero di spire occorrente affinché all’interno di un solenoide rettilineo avvolto su
un nucleo di materiale avente μ ≅ μ0, di lunghezza 15 cm, si crei un campo di induzione magnetica B = 0,01 T quando la corrente magnetizzante è pari a 20 A.
■ Se si ricava N dall’espressione [D1.5] si ha:
N=
0, 01 × 0,15
Bl
=
≅ 60 spire
μ I 1, 257 × 10 −6 × 20
D1 • Grandezze magnetiche e loro legami, circuiti magnetici
Su un solenoide toroidale, di raggio medio r = 10 cm, sono avvolte 100 spire percorse dalla corrente I = 5 A. Calcolare il valore dell’induzione magnetica nei due casi seguenti:
a) spire avvolte su un nucleo con permeabilità magnetica circa pari a quella del vuoto;
b) spire avvolte su un nucleo con permeabilità pari a 1000 μ0.
■ Per entrambi i casi si può usare la formula [D1.6], ottenendo:
caso a
B=
μ N I 1, 257 × 10 −6 × 100 × 5
=
= 1 × 10 −3 T
2π r
2 π × 0,10
caso b
B=
μ N I 1000 × 1, 257 × 10 −6 × 100 × 5
=
=1T
2π r
2 π × 0,10
Come era logico attendersi, nel secondo caso il campo ottenuto ha un’induzione magnetica
di valore 1000 volte superiore rispetto al primo, a conferma dell’importanza della permeabilità
magnetica del materiale.
D1.5 Forza magnetomotrice e forza magnetizzante
μNI
che esprime l’intensità del vettore
l
➝
induzione B all’interno di un solenoide rettilineo, si possono definire altre due grandezze che interessano lo studio dei circuiti magnetici.
Riprendendo in esame la formula B =
Il prodotto:
Fm = N I
[D1.7]
tra il numero di spire e l’intensità della corrente magnetizzante è detto forza magnetomotrice (f.m.m.).
La sua unità di misura è l’ampere, dato che il numero di spire è adimensionato.
Nella terminologia pratica si usa però misurare la f.m.m. in amperspire (Asp), per mettere in risalto la funzione di N.
Analogamente alla f.e.m., che è la grandezza che produce la circolazione della corrente in un circuito elettrico, la f.m.m. deve essere intesa come la grandezza che produce la magnetizzazione di un circuito magnetico.
Il rapporto:
H=
Fm N I
=
l
l
[D1.8]
tra la f.m.m. e la lunghezza della linea di forza sulla quale essa agisce può essere definito come la forza magnetizzante e rappresenta il valore della f.m.m. per unità di
lunghezza della linea di forza.
Dalla [D1.8] si ricava immediatamente la sua unità di misura, che è l’amperspire su
metro (Asp/m), equivalente all’ampere su metro (A/m).
235
ESEMPIO
6
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
236
Sostituendo l’espressione di H nella [D1.5] si ricava il legame tra B e H:
Legame
tra induzione
magnetica
e forza
magnetizzante
B = μH
[D1.9]
L’espressione [D1.9], pur essendo stata ricavata per un caso particolare, è del tutto
generale e stabilisce la relazione tra l’induzione magnetica e la forza magnetizzante per
ogni punto del campo magnetico. Il rapporto fra le due grandezze, pari al valore della
permeabilità magnetica μ, dipende solo dal tipo di materiale entro il quale si sviluppa
il campo magnetico.
Le relazioni [D1.8] e [D1.9] possono essere interpretate nel seguente modo:
•
la corrente elettrica che circola in una bobina di N spire produce una forza magnetizzante H direttamente proporzionale alla f.m.m. Fm = NI e inversamente proporzionale alla lunghezza della linea di forza interessata da tale f.m.m.; nel linguaggio
tecnico si parla di linea di forza concatenata con le N spire della bobina (figura
D1.10), nel senso che la linea di forza passa attraverso tutte le spire della bobina;
I
Figura D1.10
La linea di forza 1 è
concatenata con le
N spire della
bobina; la linea 2
solo con una parte
delle spire.
I
N
2
1
•
•
la forza magnetizzante H non dipende dal tipo di materiale entro cui si sviluppa il
campo magnetico;
l’intensità del campo
magnetico creato, indicata tramite il modulo del vettore indu➝
zione magnetica B , dipende, invece, in misura direttamente proporzionale dalla permeabilità del materiale magnetico, vale a dire che la stessa forza magnetizzante H
produce effetti diversi a seconda del mezzo magnetico interessato dal campo.
L’espressione [D1.9] può anche essere scritta in forma vettoriale:
ur
ur
u
B=μ H
Legame➝➝
tra i➝➝
vettori B e H
[D1.10]
➝
➝
In questo modo si introduce il vettore H che, essendo legato a B da una grandezza
scalare positiva, avrà le seguenti caratteristiche:
•
•
➝
direzione e verso coincidenti
con quelli del vettore B ;
➝
intensità legata a quella di B dalla relazione:
H=
ESEMPIO
7
B
μ
[D1.11]
Calcolare il valore della f.m.m. e della forza magnetizzante relative allÕesempio 6.
■ Usando le formule [D1.7] e [D1.8] si ha:
Fm = NI = 100 × 5 = 500 Asp H =
NI
NI
500
Asp
=
=
= 796
l
2 π r 2 π 0,1
m
237
D1 • Grandezze magnetiche e loro legami, circuiti magnetici
D1.6 Permeabilità magnetica relativa,
classificazione dei materiali magnetici
Nel paragrafo 1.2 sono state introdotte la permeabilità magnetica μ di un materiale e
quella del vuoto μ0 = 4 π × 10–7 H/m, detta permeabilità magnetica assoluta.
Riferendo il valore della permeabilità magnetica di un materiale a quella del vuoto,
si ottiene la permeabilità magnetica relativa, data dal rapporto:
μr =
μ
μ0
[D1.12]
Definizione
di permeabilità
magnetica
relativa
che indica quante volte la permeabilità del materiale considerato è maggiore di quella
del vuoto, presa come riferimento. È evidente che la permeabilità relativa, essendo un
rapporto tra grandezze che hanno la stessa unità di misura, è un numero adimensionato.
A parità di forza magnetizzante H, l’induzione magnetica B creata in un materiale di
permeabilità μ e l’induzione B0 creata nel vuoto sono legate dal rapporto:
B
μH
μ
=
=
= μr
B0 μ0 H μ0
e, quindi:
B = μr B0
[D1.13]
A seconda del valore di μr, i materiali magnetici possono essere classificati come di
seguito indicato.
•
•
•
Materiali diamagnetici, per i quali si ha μr < 1 (μ < μ0; B < B0): in questo caso il
campo prodotto nel materiale è meno intenso di quello che si produrrebbe nel
vuoto, in quanto il materiale stesso si oppone alla magnetizzazione.
Hanno tale comportamento, per esempio, l’acqua, l’argento e il rame. È da tenere
presente che il comportamento diamagnetico non è mai vistoso, nel senso che la
permeabilità relativa, anche se inferiore a 1, non si discosta molto dall’unità. Per
esempio, la permeabilità relativa del rame è pari a 1 – 10 × 10–6.
Materiali paramagnetici, per i quali si ha μr > 1 (μ > μ0; B > B0): in questo caso il
campo prodotto nel materiale è più intenso di quello che si produrrebbe nel vuoto,
in quanto il materiale stesso favorisce la magnetizzazione.
Comportamento paramagnetico è presentato dall’alluminio, dal platino e, in misura
molto limitata, dall’aria, per la quale si considera, in pratica, μ = μ0. Anche il comportamento paramagnetico è, in genere, poco vistoso e la permeabilità relativa supera di poco l’unità. Per esempio, nel caso dell’alluminio, si ha: μr = 1 + 22 × 10–6.
Materiali ferromagnetici, per i quali si ha μr >> 1 (μ >> μ0; B >> B0): per questi
materiali il comportamento paramagnetico è molto accentuato, dato che hanno valori della permeabilità migliaia di volte più elevati di quella del vuoto. Il loro uso
consente di ottenere induzioni molto intense con limitati valori di H e, quindi, di
corrente magnetizzante.
Tra i metalli il più importante materiale ferromagnetico è il ferro (da cui la denominazione attribuita a questi materiali); hanno questo comportamento anche il nichel e il cobalto. Nelle applicazioni pratiche non vengono usati metalli allo stato puro, ma numerose leghe, generalmente a base di ferro, e materiali particolari, denominati ferriti.
Tutti i materiali ferromagnetici perdono le loro peculiari caratteristiche e si comportano come paramagnetici al disopra di una certa temperatura, detta temperatura di Curie, che è una grandezza tipica del materiale. Per esempio, il ferro ha una
temperatura di Curie di 770 °C.
Classificazione
dei materiali
magnetici
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
238
D1.7 Caratteristica di magnetizzazione
Si consideri (figura D1.11) un nucleo di materiale magnetico su cui è avvolta una bobina di N spire, percorsa dalla corrente I. Sul nucleo agirà una f.m.m. Fm = NI, che darà
luogo a una forza magnetizzante H = Fm/l, essendo l la lunghezza della linea di forza
media concatenata con la bobina. All’interno del nucleo verrà prodotto un campo magnetico di induzione B = μH, dipendente dal valore della permeabilità magnetica.
Lunghezza media
( )
Numero
di spire
N
H=
Figura D1.11
Forza
magnetomotrice Fm
e forza
magnetizzante H.
I
Fm = NI
Fm
I
+
−
Supponendo di far variare la corrente I, cambieranno, di conseguenza, la f.m.m. Fm
e la forza magnetizzante H, entrambe in modo direttamente proporzionale alla corrente. La variazione dell’induzione magnetica B sarà legata, oltre che ai valori assunti
da H, anche a quelli di μ; si possono avere i seguenti due casi:
•
•
per i materiali diamagnetici e paramagnetici la permeabilità magnetica si mantiene
costante al variare di H; la legge B = μH, analoga all’equazione y = mx, rappresenterà allora l’equazione di una retta passante per l’origine del piano cartesiano
avente H come ascisse e B come ordinate;
per i materiali ferromagnetici la permeabilità magnetica non è costante al variare di
H e il legame tra B e H non è più di tipo lineare.
Il grafico che descrive l’andamento dell’induzione magnetica al variare della forza
magnetizzante prende il nome di caratteristica di magnetizzazione. Nel caso di materiali con μ costante si ha l’andamento lineare di figura D1.12, in cui la pendenza
della retta è proporzionale al valore della permeabilità.
B
μ
μ
B=
Figura D1.12
Caratteristica di
magnetizzazione di
un materiale con μ
costante.
O
H
H
Nei materiali ferromagnetici il fenomeno della magnetizzazione è più complesso e
non si svolge linearmente, in quanto la permeabilità varia con il grado di magnetizzazione del materiale; nel caso di materiali non precedentemente magnetizzati si ottiene
239
D1 • Grandezze magnetiche e loro legami, circuiti magnetici
una curva di prima magnetizzazione, avente la forma tipica mostrata nella figura
D1.13, in cui sono distinguibili vari tratti.
Nel primo tratto (fino al punto A) l’induzione aumenta poco al variare di H, a causa
di una permeabilità magnetica iniziale piuttosto bassa.
Nel tratto A-B la caratteristica diventa pressoché lineare e presenta la massima pendenza: questo significa che, a parità di incremento ΔH della forza magnetizzante, si ha
il massimo incremento ΔB dell’induzione.
Aumentando il valore di H oltre il punto B, l’induzione aumenta ancora, ma con incrementi sempre più piccoli, fino a quando, oltre il tratto B-C (detto ginocchio della
curva), interviene il fenomeno della saturazione magnetica e il materiale si comporta
come paramagnetico: l’induzione aumenta pochissimo, anche incrementando notevolmente il valore di H, e la curva prosegue linearmente, con pendenza circa uguale a
quella di magnetizzazione del vuoto (linea tratteggiata). In termini fisici la saturazione
è dovuta al fatto che i vari domini magnetici in cui il materiale può essere suddiviso
sono ormai tutti orientati e non possono essere ulteriormente magnetizzati; il contributo del materiale al campo magnetico totale raggiunge il suo massimo e l’ulteriore
magnetizzazione è dovuta solo alla forza magnetizzante della bobina.
Dall’esame della caratteristica di magnetizzazione è possibile trarre un’interpretazione geometrica della permeabilità magnetica. Considerando, infatti, il grafico di figura D1.14, si ha che il termine:
tg α =
PF B
= =μ
OF H
rappresenta proprio la permeabilità del materiale quando è magnetizzato nel punto P
della caratteristica. Facendo variare P lungo tutta la caratteristica di magnetizzazione
si vede che tg α varia, raggiunge un punto massimo e poi decresce, secondo l’andamento rappresentato nella figura D1.14.
B
B
C
B
P
ΔB
B0 = μ0H
A
O
ΔH
Figura D1.13
Caratteristica di magnetizzazione di un
materiale ferromagnetico.
α
H
O
F
μ = f(H)
H
Figura D1.14
Andamento qualitativo della permeabilità
di un materiale ferromagnetico.
I valori della permeabilità magnetica e della forza magnetizzante, corrispondenti a
determinati valori di induzione magnetica, sono riportati, per i materiali ferromagnetici
di più comune impiego, nella tabella D1.1 della pagina successiva.
Per “lamiere normali” si intendono quelle composte dalla lega ferro-carbonio (acciaio normale), senza l’aggiunta di silicio; comunemente si parla di “nucleo in ferro”,
anche se sarebbe più corretto il termine “acciaio”. Le “lamiere al silicio” sono invece
formate da una lega ferro-carbonio-silicio, mentre le “lamiere a cristalli orientati” sono
quelle sottoposte a particolari procedimenti tecnologici che ne esaltano le proprietà
magnetiche in una determinata direzione di magnetizzazione.
Significato
geometrico
di μμ
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
Tabella D1.1 Caratteristiche di magnetizzazione di alcuni materiali ferromagnetici e dell’aria
Induzione
magnetica
240
Materiale
AcciaIo fuso
e ferro
fucinato
μμ
r
Ghisa
H
Lamiere
normali
μμ
r
μμ
r
μμ
r
μμ
r
H =
B
μ0
(T)
(A/m)
0,10
0,20
0,30
0,40
70
90
100
120
1140
1770
2390
2650
200
450
800
1300
400
350
300
245
45
50
60
70
1770
3180
4980
4550
80
100
125
145
1000
1590
1910
2200
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
80 000
160 000
240 000
320 000
0,50
0,60
0,70
0,80
150
170
220
270
2840
2810
2530
2360
2000
2800
4000
5500
200
170
140
115
90
130
170
230
4420
3670
3280
2770
160
180
200
250
2500
2650
2800
2550
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
400 000
480 000
560 000
640 000
0,90
1,00
1,10
1,20
320
400
500
620
2240
1990
1750
1540
8000
11 000
15 000
20 000
90
72
58
48
330
470
630
800
2170
1700
1390
1200
310
400
500
700
2310
2000
1750
1360
Ð
40
58
75
Ð
20 000
15 100
12 700
720 000
800 000
880 000
960 000
1,30
1,40
1,50
1,60
850
1200
2000
3500
1220
930
600
365
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
1050
1350
1800
3100
990
830
660
410
1200
2300
4000
7500
860
480
300
170
88
100
140
450
11 800
11 140
8 500
2 830
1 040 000
1 120 000
1 200 000
1 280 000
1,70
1,80
1,90
2,00
6000
10 000
16 000
25 000
225
140
95
64
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
5200
9000
14 800
30 000
260
160
100
53
14 000
24 000
Ð
Ð
100
60
Ð
Ð
1 600
Ð
Ð
Ð
850
Ð
Ð
Ð
1 360 000
1 440 000
1 520 000
1 600 000
(A/m)
H
Aria
H
(A/m)
H
Lamiere
a cristalli
orientati
B
(A/m)
H
Lamiere
al silicio
(A/m)
(A/m)
D1.8 Isteresi magnetica
Un altro fenomeno peculiare dei materiali magnetici • lÕisteresi magnetica: magnetizzando un nucleo ferromagnetico e annullando poi la forza magnetizzante H, il materiale rimane magnetizzato con una induzione residua Br, anche in assenza di corrente
magnetizzante.
Per illustrare tale fenomeno si supponga di magnetizzare un nucleo di materiale ferromagnetico (per esempio, quello di figura D1.11) e di riportare su un grafico cartesiano
le relative coppie di valori B-H, ipotizzando che la corrente magnetizzante possa variare
sia in intensitˆ (da zero a IM) che come verso di percorrenza dellÕavvolgimento, determinando, di conseguenza, una forza magnetizzante variabile tra gli estremi +HM e ÐHM;
il cambiamento di segno implica anche lÕinversione delle linee di forza del campo magnetico allÕinterno del nucleo.
Con riferimento al grafico di figura D1.15, si ha che inizialmente, facendo variare H
da zero a +HM, si ottiene lÕandamento della curva di prima magnetizzazione O-a, al termine della quale lÕinduzione magnetica assume il valore +BM.
Facendo diminuire il valore della corrente, la forza magnetizzante si riduce, il materiale si smagnetizza e si riduce di conseguenza il valore dellÕinduzione, seguendo
per˜ un andamento diverso dal precedente (curva a-b), caratterizzato da valori di B pi•
elevati, a paritˆ di H, rispetto alla prima magnetizzazione. Annullando H (corrente
nulla nella bobina) permane una induzione residua Br, dipendente dal tipo di materiale,
ossia il nucleo magnetico rimane magnetizzato anche in assenza di una causa esterna
(punto b del grafico).
241
D1 • Grandezze magnetiche e loro legami, circuiti magnetici
B
+BM
Br
a
–Hc
b
–HM
c
+HM H
f
+Hc
O
e
d
–Br
–BM
Figura D1.15
Ciclo di isteresi di
un materiale
ferromagnetico.
Questo comportamento, verificabile sperimentalmente, è giustificato dal fatto che
una parte dei domini magnetici che costituiscono il nucleo rimangono orientati nella
precedente direzione di magnetizzazione, anche in assenza della forza magnetizzante
esterna.
Invertendo il senso della corrente e facendone aumentare l’intensità fino a IM, il valore di H passa da zero a –HM, a cui corrisponde l’induzione –BM, secondo l’andamento
della curva b-d. Il valore –Hc che produce l’annullamento dell’induzione (punto c) è
detto forza coercitiva, dicitura derivata dal verbo “coercire” che significa forzare, costringere. Esso è, infatti, il valore della forza magnetizzante che determina la smagnetizzazione forzata del nucleo magnetico.
Riducendo fino all’annullamento il valore della corrente, diminuisce fino a zero il
valore di H (curva d-e), però il nucleo resta magnetizzato con induzione residua negativa –Br (le linee di campo hanno verso opposto al precedente). Per smagnetizzare
completamente il nucleo si deve far crescere positivamente H fino al valore della forza
coercitiva +Hc (punto f). Facendo ulteriormente aumentare fino ad HM la forza magnetizzante, il nucleo si magnetizza nuovamente e si ritorna al punto a di induzione +BM,
seguendo la curva f-a.
Ripetendo le vicende descritte, senza variare il valore HM, le fasi di magnetizzazione e smagnetizzazione si ripetono identicamente alle precedenti, salvo la curva di
prima magnetizzazione, che non verrà più percorsa. L’insieme delle curve a-b-c-d e
d-e-f-a viene detto ciclo d’isteresi, denominando come isteresi magnetica il complesso dei fenomeni che accompagnano la magnetizzazione ciclica dei materiali ferromagnetici.
La forma effettiva del ciclo d’isteresi dipende dal tipo di materiale ferromagnetico,
di cui costituisce una caratteristica peculiare. In particolare, vengono denominati materiali duri quelli con elevata forza coercitiva e materiali dolci quelli che si smagnetizzano facilmente, in quanto aventi piccoli valori di Hc.
D1.9 Flusso magnetico
Si consideri (figura D1.16) un campo magnetico di induzione B costante, con linee di
forza rettilinee e parallele e si supponga di disporre, perpendicolarmente al campo
stesso, una superficie che abbracci le linee di forza del campo.
90°
B
Figura D1.16
Flusso magnetico:
caso della superficie perpendicolare
➝
al vettore B .
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
242
Si definisce flusso magnetico Φ relativo alla superficie considerata il prodotto dell’intensità del vettore induzione per l’area della superficie perpendicolare alle linee di
campo:
Φ = ΒS
[D1.14]
L’unità di misura del flusso magnetico è il weber (Wb); dalla [D1.14] si ha:
1 Wb
1 Wb = 1 T × 1 m 2
1T=
1 m2
e quindi il flusso di 1 Wb si ha quando l’induzione di 1 T interessa la superficie di 1 m2.
Il flusso magnetico è una grandezza che indica, in un certo senso, il numero di linee
di forza (che si possono denominare, a questo punto, anche linee di flusso) che si concatenano con una superficie normale alla loro direzione. Infatti, supponendo per convenzione che al valore B = 1 T corrisponda una certa densità di linee di flusso (numero
di linee per unità di superficie), il prodotto Φ = BS indicherà il numero totale di linee
di flusso che interessano la superficie considerata.
L’esame della relazione [D1.14] porta alle seguenti conclusioni:
•
•
•
Figura D1.17
Aumentando
la sezione del
tubo di flusso,
l’induzione
magnetica
diminuisce.
il flusso magnetico, a parità di superficie, aumenta con l’induzione magnetica, in
quanto sulla superficie interessata si ha una maggiore densità di linee di flusso;
il flusso magnetico, a parità di induzione, aumenta con l’area della superficie, in
quanto, a parità di densità di linee di flusso, una superficie maggiore abbraccerà un
maggior numero di linee;
a parità di flusso magnetico l’induzione è inversamente proporzionale alla superficie; nella figura D1.17 le due superfici si concatenano con lo stesso flusso e quindi
dovrà essere B1S1 = B2S2.
S1
B2
S2
B1
Φ1 = Φ
Φ2 B 1 S 1 = B 2 S 2
Φ
S 2 > S 1 ⇒ B2 < B1
Φ
➝
Superficie non perpendicolare al vettore B
➝
Se la superficie piana considerata forma col vettore B un angolo α diverso da 90° (figura D1.18 a), nella [D1.14] si deve considerare
l’area della superficie che si ottiene
➝
proiettandola su un piano perpendicolare a B .
α
Figura D1.18 a, b
Calcolo del flusso
magnetico
nel caso α ≠ 90°.
B
b
b′
b
a
a)
α
α
b′ = b senα
b)
Nell’esempio considerato la dimensione a rimane inalterata, mentre la dimensione
b diventa b ′ = b senα, come evidenziato nella figura D1.18 b.
243
D1 • Grandezze magnetiche e loro legami, circuiti magnetici
La nuova superficie sarà pari a S ′ = a b senα = S senα e il flusso magnetico sarà
dato da:
Φ = BS senα
[D1.15]
Flusso magnetico
per una
superficie
inclinata di➝αα
rispetto a B
L’espressione [D1.15] è una formula generale, nella quale rientra la [D1.14] come caso
particolare (α = 90°; senα = 1); nel caso che sia α = 0° (superficie parallela alle linee di
flusso) si ha Φ = 0, in quanto nessuna linea di flusso si concatena con la superficie.
Una spira elettrica di forma rettangolare, con lati a = 5 cm e b = 10 cm, è posta in un campo
magnetico di induzione B = 0,6 T. Calcolare il flusso magnetico quando l’angolo α vale: 30°,
45°, 60°, 90°.
ESEMPIO
8
■ La superficie della spira è pari a:
S = ab = 5 × 10 −2 × 10 × 10 −2 = 50 × 10 −4 m 2
La funzione trigonometrica senα vale, nei casi indicati:
sen 30° = 0,5
sen 45° = 0,707
sen 60° = 0,866
sen 90° = 1
Applicando la formula [D1.15] nei quattro casi richiesti, si ha:
Φ1 = BS sen 30°=0,6 × 50 × 10 −4 × 0, 5 = 15 × 10 −4 Wb
Φ2 = BS sen 45°=0,6 × 50 × 10 −4 × 0, 707 = 21, 2 × 10 −4 Wb
Φ3 = BS sen 60°=0,6 × 50 × 10 −4 × 0, 866 = 26 × 10 −4 Wb
Φ4 = BS sen 90°=0,6 × 50 × 10 −4 × 1 = 30 × 10 −4 Wb
Come era lecito attendersi, il flusso magnetico maggiore si ha nel caso di spira perpendicolare al vettore induzione.
D1.10 Riluttanza e permeanza, legge di Hopkinson
Si consideri un nucleo magnetico costituito da un materiale di permeabilità magnetica
μ, con sezione perpendicolare alle linee di flusso di valore S costante e lunghezza media l, sul quale è avvolta una bobina di N spire, percorse dalla corrente I. Nella figura
D1.19 è stato rappresentato un nucleo toroidale, ma nulla cambia nel caso di un nucleo
di forma diversa.
S
N
I
I
−
+
Il flusso magnetico che si crea nel nucleo è dato da:
Φ = BS = μ HS = μ
Fm
S
l
Figura D1.19
Nucleo toroidale
di sezione circolare.
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
244
Il fattore:
℘=
μS
l
[D1.16]
è detto permeanza magnetica del nucleo e dipende dalle caratteristiche magnetiche
del materiale e dalle dimensioni geometriche del nucleo.
La grandezza reciproca della permeanza, data da:
ℜ=
1
l
=
℘ μS
[D1.17]
è detta riluttanza magnetica del nucleo e dipende anch’essa dalle caratteristiche magnetiche e dalle dimensioni del nucleo stesso.
Sostituendo la [D1.16] e la [D1.17] nell’espressione del flusso, si ottengono due diverse relazioni tra il flusso magnetico nel nucleo e la forza magnetomotrice del circuito
magnetizzante, che esprimono ambedue, in forma matematica, la legge di Hopkinson
dei circuiti magnetici:
Φ = ℘Fm
Espressioni
della legge
di Hopkinson
Φ=
[D1.18]
Fm
ℜ
[D1.19]
Dall’espressione [D1.19] si deduce che la riluttanza è una grandezza che indica
l’opposizione di un nucleo magnetico a farsi magnetizzare; infatti, all’aumentare di ℜ
diminuisce il flusso magnetico prodotto da una data f.m.m. e quindi, se è costante S, diminuisce l’induzione B. L’aumento di ℜ implica la diminuzione di℘ e quindi la permeanza magnetica è una grandezza che indica la facilità di magnetizzazione di un
nucleo magnetico; essa rappresenta, per la [D1.18], il valore del flusso magnetico per
unità di f.m.m. Entrambe queste grandezze sono legate alla permeabilità magnetica e
alle dimensioni del nucleo. In particolare, dall’esame delle espressioni [D1.16] e
[D1.17] si deduce che:
• all’aumentare di μ la permeanza aumenta e la riluttanza diminuisce, in accordo con
il significato di permeabilità, che indica proprio la facilità di magnetizzazione di un
materiale magnetico;
• all’aumentare di S la permeanza aumenta e la riluttanza diminuisce, in quanto, a parità di altre condizioni, il flusso magnetico aumenta;
• all’aumentare di l la permeanza diminuisce e la riluttanza aumenta, dato che diminuisce, a parità di f.m.m., la forza magnetizzante H = Fm/l agente sul nucleo.
La legge di Hopkinson consente di stabilire un’analogia tra circuiti magnetici ed
elettrici, secondo la seguente corrispondenza:
flusso Φ
f.m.m. Fm
riluttanza ℜ
permeanza ℘
⇔
⇔
⇔
⇔
corrente I
tensione V
resistenza R
conduttanza G
legge di Hopkinson Φ =℘Fm = Fm/ℜ ⇔ legge di Ohm I = GV = V/R
Per questa ragione la legge di Hopkinson è detta anche legge di Ohm magnetica.
245
D1 • Grandezze magnetiche e loro legami, circuiti magnetici
Unità di misura
Per definire in modo appropriato l’unità di misura della permeanza e della riluttanza si
può partire dalla seguente relazione, che verrà chiarita nel capitolo seguente, quando si
troverà un legame tra la tensione indotta in un circuito e la variazione del flusso magnetico che lo interessa:
1 Wb = 1 V × 1 s
Dalla relazione [D1.18] si ricava:
Φ
[℘] = [F ]
[ m]
=
Vs
=Ωs=H
A
dove per la f.m.m. è stato usato l’ampere e non l’amperspire, dato che il numero di spire
è, in realtà, adimensionato ed è stata introdotta una nuova unità di misura, l’henry (H),
pari a: 1 H = 1 Ω × 1 s.
Per la riluttanza, essendo ℜ = 1/℘, si avrà:
[ℜ ] = H −1
Quanto sopra consente anche di giustificare l’uso dell’henry su metro come unità di
℘l
misura della permeabilità; essendo μ =
si ricava infatti:
S
[μ] =
Hm H
=
m2
m
Un nucleo di forma toroidale, con sezione circolare, è costituito da materiale ferromagnetico
che presenta una permeabilità relativa pari a 1500 quando l’intensità del vettore induzione è di
1 T. Il toroide ha diametro interno 16 cm e diametro esterno 20 cm. Calcolarne la permeanza e
la riluttanza; calcolare, inoltre, il flusso magnetico e la f.m.m. necessaria per ottenere B = 1 T.
ESEMPIO
9
■ Rappresentando il nucleo in sezione, si ottiene il disegno di figura D1.20, nel quale sono evidenziati il diametro interno Di, quello esterno De, il diametro medio Dm corrispondente alla linea di forza centrale, e il diametro d della sezione del nucleo, perpendicolare alle linee di forza. d
Con semplici relazioni geometriche si ottiene:
Dm =
d=
De + Di 20 + 16
=
= 18 cm = 0,18 m
2
2
De Di 20 16
−
=
−
= 2 cm
2
2
2
2
l = π Dm = π × 0,18 = 0, 565 m
S=
π d 2 π × 0, 02 2
=
= 3,14 × 10 −4 m 2
4
4
Figura D1.20
Esempio 9.
La permeabilità del nucleo magnetico è pari a:
μ = μ0 μr = 1, 257 × 10 −6 × 1500 = 1, 886 × 10 −3
H
m
Con le espressioni [D1.16] e [D1.17] si calcolano la permeanza e la riluttanza:
℘=
μ S 1, 886 × 10 −3 × 3,14 × 10 −4
=
= 10, 5 × 10 −7 H
l
0, 565
ℜ=
Di Dm De
l
1
1
= =
= 9, 52 × 10 5 H −1
μ S ℘ 10, 5 × 10 −7
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
246
Il flusso magnetico nel nucleo è pari a:
Φ = BS = 1 × 3,14 × 10 −4 = 3,14 × 10 −4 Wb
La f.m.m. necessaria a produrre l’induzione di 1 T si ricava, con la legge di Hopkinson, mediante la formula inversa della [D1.19]:
Fm = ℜΦ = 9, 52 × 10 5 × 3,14 × 10 −4 = 299 Asp
Questo valore, pari anche a NI, serve poi per dimensionare la bobina magnetizzante.
ESEMPIO
10
Ripetere l’esempio 9 nel caso che il nucleo toroidale sia costituito da materiale non ferromagnetico, con μ ≅ μ0.
■ Le dimensioni geometriche del nucleo non cambiano, mentre per le altre grandezze si ricava:
μ ≅ μ0 = 1, 257 × 10 −6
℘=
H
m
l
1
1
μ S 1, 257 × 10 −6 × 3,14 × 10 −4
= =
= 0,143 × 1010 H −1
=
= 6, 98 × 10 −10 H ℜ =
μ S ℘ 6, 98 × 10 −10
l
0, 565
Fm = ℜΦ = 0,143 × 1010 × 3,14 × 10 −4 = 449 × 10 3 Asp
Φ = BS = 1 × 3,14 × 10 −4 = 3,14 × 10 −4 Wb
Dai risultati ottenuti si vede che, a causa della minore permeabilità, la permeanza è diminuita
e la riluttanza è aumentata; il flusso magnetico è rimasto costante, ma la f.m.m. necessaria per
ottenerlo è aumentata. Se si eseguono i calcoli di confronto si vedrà che gli aumenti e le diminuzioni sono proprio in rapporto 1:1500, che è il valore della permeabilità relativa.
ESEMPIO
11
Mediante un flussometro (strumento per misurare il flusso magnetico) e un amperometro sono
stati misurati i valori Φ = 2 mWb nel nucleo magnetico di un solenoide e I = 5 A nella bobina
magnetizzante, composta da 500 spire. Calcolare la riluttanza e la permeanza del circuito
magnetico.
■ Dalla legge di Hopkinson scritta nella forma [D1.19] si ricava, come formula inversa:
ℜ=
Fm NI 500 × 5
=
=
= 1, 25 × 10 6 H −1
Φ
Φ 2 × 10 −3
e, quindi:
℘=
1
1
=
= 0, 8 × 10 −6 H
ℜ 1, 25 × 10 6
D1.11 Legge della circuitazione magnetica
NI
che consente di calcolare la forza magnetizzante, sia
l
per un solenoide rettilineo che toroidale, dando l’opportuno valore a l.
Da essa si ricava facilmente l’espressione:
Si consideri la relazione H =
Fm = NI = Hl
che sancisce l’uguaglianza tra la f.m.m. e il prodotto Hl.
[D1.20]
247
D1 • Grandezze magnetiche e loro legami, circuiti magnetici
All’espressione [D1.20] si può dare un’interpretazione più generale: considerata
una linea di forza chiusa, scomponibile in➝tratti elementari di lunghezza Δl1, Δl2, …,
Δli, …, Δln, per ognuno dei quali il vettore H agisce nella direzione della linea di forza,
con intensità H1, H2, …, Hi, …, Hn, vale la relazione:
n
FmT = ∑ H i Δli
[D1.21]
i =1
Legge della
circuitazione
magnetica
dove il primo termine è la f.m.m. totale agente lungo la linea chiusa, somma delle
f.m.m. di tutte le bobine magnetizzanti concatenate con la linea considerata, mentre il
secondo termine, pari alla somma dei prodotti tra il valore assunto dalla forza magnetizzante e la lunghezza
del tratto in cui tale valore si mantiene costante, è detta circui➝
tazione del vettore H .
La legge precedente prende il nome di legge della circuitazione magnetica e consente di calcolare la f.m.m. necessaria per ottenere un determinato valore della forza
magnetizzante nei vari tratti di un circuito magnetico.
È importante osservare che la f.m.m. totale va calcolata tenendo conto del segno dei
vari contributi, nel senso che se una bobina esercita un’azione magnetizzante opposta
a quella assunta come positiva, la sua f.m.m. va considerata negativa nel computo della
f.m.m. totale.
Nel nucleo magnetico di figura D1.21, di spessore costante e permeabilità relativa uguale a
1500, la lunghezza della linea di flusso media è pari a lm = 20 cm e la lunghezza della parte in
aria (traferro) è δ = 1 mm. Se N1 = 100 spire e N2 = 20 spire, calcolare il valore della corrente
I per avere una induzione al traferro di 0,5 T.
+
ESEMPIO
I
N1
δ
N2
I
–
■ Le due bobine sono collegate in serie, in quanto interessate dalla stessa corrente I. Tenendo
conto del senso di avvolgimento e del verso di percorrenza della corrente, si vede che la loro
azione magnetizzante è concorde ed è tale da orientare le linee di campo in senso orario. Per verificarlo basta porre il palmo della mano destra nel senso di percorrenza della corrente: il pollice
indicherà il verso delle linee di forza.
Le due f.m.m. si sommeranno e si avrà:
FmT = Fm1 + Fm 2 = N1 I + N 2 I = ( N1 + N 2 ) I
e, quindi, è come se agisse una sola bobina di (N1 + N2) spire.
Figura D1.21
Esempio 12.
12
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
248
L’intero percorso della linea di forza può essere diviso in due parti:
•
•
una parte, di lunghezza l1 = lm − δ = 20 − 0,1 = 19, 9 cm = 0,199 m, che si svolge nel materiale ferromagnetico;
una parte, di lunghezza l2 = δ = 1 mm = 1 × 10 −3 m , che si svolge in aria.
I due tratti sono magneticamente in serie, ossia sono interessati dallo stesso valore del flusso
magnetico; tutte le linee di forza, infatti, interessano sia il tratto in aria che quello nel materiale
ferromagnetico.
Φ
Φ
Le induzioni nei due tratti saranno pari a B1 =
e B2 =
. Le aree delle due sezioni
S1
S2
trasversali alle linee di flusso sono praticamente uguali, in quanto il nucleo ha spessore costante
ed è del tutto trascurabile il fenomeno magnetico per il quale, passando dalla parte in ferro a
quella in aria, la larghezza del tubo di flusso tende ad aumentare (figura D1.22).
Si può ritenere pertanto che sia:
Φ
S
Quello che invece non è costante nei due tratti è il valore della forza magnetizzante, data dal
rapporto B/μ, poiché il materiale ferromagnetico e l’aria hanno valori della permeabilità molto
diversi tra loro. Tenendo conto del valore dato B = 0,5 T, per i due tratti si avranno i seguenti valori di H:
B1 = B2 = B =
Figura D1.22
Allargamento
delle linee di flusso
a causa
dell’interruzione
del circuito
magnetico
(traferro).
H1 =
0, 5
Asp
B
B
=
=
= 265, 2
m
μ1 μ0 μr 1, 257 × 10 −6 × 1500
H2 =
0, 5
Asp
B
B
=
=
= 398 × 10 3
−6
m
μ2 μ0 1, 257 × 10
Il valore 1500 volte più elevato di H2 rispetto ad H1 testimonia la maggiore difficoltà che si
incontra nel magnetizzare l’aria rispetto a un materiale ferromagnetico.
Applicando la legge [D1.21] della circuitazione magnetica alla linea di forza media, concatenata con entrambe le bobine, si ha:
FmT = H 1l1 + H 2 l2
( N1 + N 2 ) I = H1l1 + H 2 l2
(100 + 20 ) I = 265, 2 × 0,199 + 398 × 10 3 × 1 × 10 −3
120 I = 52, 8 + 398
e, quindi:
I=
52, 8 + 398
= 3, 76 A
120
È da notare che la f.m.m. necessaria per magnetizzare il traferro (398 Asp) è, in realtà, non
molto maggiore di quella necessaria per la parte in ferro (52,8 Asp), nonostante l’elevata differenza tra i valori di H; questo è dovuto al fatto che la lunghezza del traferro è molto minore di
quella del nucleo ferromagnetico.
ESEMPIO
13
Ripetere l’esempio 12 nel caso che la bobina di N2 spire venga avvolta in senso opposto all’altra.
■ In questo caso le due f.m.m. sono discordi e, quindi, si ha:
FmT = Fm1 – Fm 2 = N1 I – N 2 I = ( N1 – N 2 ) I = 80 I
Tutto il resto dell’esercizio rimane uguale; dall’applicazione della legge della circuitazione
si ricava:
52, 8 + 398
I=
= 5, 64 A
80 I = 52, 8 + 398
80
La corrente necessaria per la magnetizzazione è, in questo caso, ovviamente maggiore, dato
che una delle due bobine esercita un’azione smagnetizzante.
D1 • Grandezze magnetiche e loro legami, circuiti magnetici
249
D1.12 Induttanza
Una bobina elettrica di N spire, avvolta su un nucleo magnetico, che può essere anche
di tipo non ferromagnetico come l’aria, costituisce un induttore. L’induttore può essere visto come un bipolo, dato che interagisce con il resto del circuito a cui è collegato
mediante due morsetti (figura D1.23). Come il resistore è caratterizzato dalla resistenza e il condensatore dalla capacità, anche l’induttore ha un parametro che lo identifica, l’induttanza.
Figura D1.23
Simbolo generale
dell’induttore.
L
Per definire tale parametro si consideri il funzionamento dell’induttore: quando è
percorso da una corrente di intensità costante I, esso produce un campo magnetico, le
cui linee di forza si concatenano con le spire della bobina, come nel caso del solenoide
rettilineo, che è un tipico esempio di induttore.
Il prodotto:
Φc = NΦ
[D1.22]
tra il flusso magnetico e il numero di spire della bobina è detto flusso concatenato.
Per definizione si considera come induttanza il rapporto:
L=
Φc
I
[D1.23]
tra il flusso concatenato e l’intensità della corrente che lo ha prodotto.
Se nella [D1.23] si pone I = 1 A, si vede che numericamente L e Φc coincidono e,
quindi, si può dire che l’induttanza rappresenta il valore del flusso concatenato per
unità di corrente magnetizzante.
L’equazione caratteristica dell’induttore è data da:
Φc = LI
[D1.24]
Flusso
concatenato
in funzione
della corrente
Nel caso che sia L costante, la [D1.24] è l’equazione tipica di una retta passante per
l’origine, del tipo y = mx, rappresentata nella figura D1.24.
Φc
Φc
Φ
O
=L
I
I
Figura D1.24
Caratteristica
Φc = f (I )
per un induttore
con L costante.
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
250
Applicando la legge di Hopkinson alla [D1.23] si ottiene:
L=
Φc ΝΦ N℘Fm N℘NI
=
=
=
Ι
I
I
I
L = N 2℘ =
N2
ℜ
[D1.25]
Sostituendo nella [D1.25] l’espressione della permeanza, si ha anche:
Espressione
dell’induttanza
in funzione dei
parametri della
bobina
L=
N 2 μS
l
[D1.26]
formula che lega l’induttanza di una bobina alle sue caratteristiche costruttive.
La [D1.26] mostra che l’induttanza aumenta con il numero di spire e con la sezione
del nucleo su cui è avvolta la bobina, mentre diminuisce all’aumentare della lunghezza
del nucleo. Il valore di L dipende anche, in modo direttamente proporzionale, da quello
della permeabilità magnetica. È da rilevare inoltre che, per avere un’induttanza costante per tutti i valori della corrente magnetizzante, la permeabilità deve essere costante al variare del grado di magnetizzazione del nucleo.
Ciò porta alla seguente conclusione: un induttore si comporta da bipolo lineare,
presentando un’induttanza costante, solo quando è costante il valore della permeabilità del nucleo e, quindi, se il materiale usato non è di tipo ferromagnetico o se funziona solo sul tratto lineare della caratteristica di magnetizzazione.
L’unità di misura dell’induttanza è l’henry (H); dalla [D1.25] si vede infatti che L,
essendo legato a ℘ da un fattore adimensionato, deve avere la sua stessa unità di misura che è, appunto, l’henry.
ESEMPIO
14
Calcolare l’induttanza di un solenoide rettilineo composto da 200 spire avvolte su un nucleo non
ferromagnetico, di diametro 2 cm e lunghezza 10 cm.
■ La sezione del nucleo è pari a:
S=
π d 2 π × 22
=
= 3,14 cm 2 = 3,14 × 10 −4 m 2
4
4
Usando la [D1.26] con μ ≅ μ0, si ottiene:
L=
ESEMPIO
15
N 2 μ S 200 2 × 1, 257 × 10 −6 × 3,14 × 10 −4
=
= 1, 58 × 10 −4 H=0,158 mH
0,1
l
Calcolare il numero di spire occorrente per avere L = 1 mH nel caso del solenoide dell’esempio
14.
■ Il valore di N si ricava con la formula inversa della [D1.26]:
N=
1 × 10 −3 × 0,1
Ll
=
= 503 sppire
1, 257 × 10 −6 × 3,14 × 10 −4
μS
251
D1 • Grandezze magnetiche e loro legami, circuiti magnetici
D1.13 Energia del campo magnetico
Quando un circuito elettrico crea un campo magnetico vi è uno scambio di energia: il
circuito, durante la fase di magnetizzazione, fornisce energia elettrica all’induttore,
energia che, a magnetizzazione conclusa, resta immagazzinata nello spazio interessato
dal campo magnetico a livello di energia potenziale, in grado di compiere lavoro, come
avviene, per esempio, in un elettromagnete che attira un pezzo di ferro. Durante la
smagnetizzazione, invece, l’energia viene restituita al circuito induttore.
Per valutare analiticamente il valore dell’energia del campo magnetico si consideri
un induttore lineare, di induttanza L costante, con le N spire percorse da una corrente
variabile i. Facendo aumentare i da zero al valore finale I, il flusso concatenato ϕc varierà anch’esso da zero a Φc = LI, con la legge lineare ϕc = Li, rappresentata dal segmento di retta di figura D1.25.
ϕc
Φc
I
W = Φc
2
B
A
ΔW
Δϕ c
O
im
I
Δi
Figura D1.25
Induttore con L
costante: l’area del
triangolo OAB
corrisponde
all’energia
magnetica.
i
Prendendo in esame l’incremento finito di flusso concatenato Δϕc e considerando il
valore medio im della corrente in tale intervallo, l’area del rettangolo evidenziato rappresenta il prodotto Δϕc im. Esso equivale all’incremento di energia elettromagnetica
che si ha nell’induttore, conseguente all’incremento del flusso concatenato. Che tale
prodotto sia un’energia lo si può vedere esaminando le unità di misura:
[Δϕ c im ] = Wb × A = V × s × A = W × s = J
Si avrà, quindi:
ΔW = Δϕ c im
Per calcolare l’energia totale che, in seguito alla magnetizzazione del volume interno all’induttore, resta immagazzinata nel componente, occorre sommare tutti i contributi che si hanno quando il flusso concatenato passa da zero al valore Φc. La somma
delle aree dei vari rettangoli corrisponde a quella del triangolo OAB e, quindi:
W=
Φc I
2
[D1.27]
Energia
magnetica
[D1.28]
Energia
magnetica
in funzione
dell’induttanza
Sostituendo l’espressione Φc = LI si ricava facilmente:
1
W = LI 2
2
L’energia immagazzinata in un induttore dipende, quindi, dalla sua induttanza e
dal valore della corrente magnetizzante, che gioca un ruolo importante in quanto compare al quadrato: un aumento del doppio della I fa aumentare di quattro volte l’energia e così via.
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
252
1
CV 2 dell’energia del campo elet2
trico: la struttura matematica è la stessa, L e C hanno lo stesso ruolo, mentre vi è lo scambio tra V e I, dato che un condensatore si “carica in tensione”, a differenza dell’induttore,
per il quale la grandezza che indica il livello di magnetizzazione è la corrente.
Operando sulla [D1.27] con le leggi che legano le grandezze magnetiche, si ottengono altre utili espressioni dell’energia del campo magnetico:
Si noti l’analogia tra la [D1.28] e la formula W =
Altre espressioni
dell’energia
magnetica
W=
ESEMPIO
16
F Φ
Φc I NΦ I
=
⇒ W= m
2
2
2
[D1.29]
FmΦ ℜΦΦ
1
1 Φ2
=
⇒ W = ℜΦ 2 =
2
2 ℘
2
2
[D1.30]
W=
Calcolare l’energia magnetica immagazzinata in un induttore di induttanza L = 5 mH, quando
la corrente vale 2 A. Calcolarne inoltre la riluttanza, sapendo che la bobina è composta da 100
spire.
■ Con la [D1.28] si calcola l’energia magnetica:
1 2
LI = 0, 5 × 5 × 10 −3 × 2 2 = 10 mJ
2
Il flusso magnetico è dato da:
W =
Φ=
Φc LI 5 × 10 −3 × 2
=
=
= 0,1 mWb
N
N
100
La riluttanza del circuito magnetico si calcola con la formula inversa ricavabile dalla [D1.30]:
ℜ=
2 W 2 × 10 × 10 −3
−1
6
=
2 = 2 × 10 H
Φ2
0,1 × 10 −3
(
)
Energia magnetica specifica
Per energia magnetica specifica si intende il rapporto tra l’energia del campo magnetico e il volume del mezzo magnetico sede del campo stesso e quindi essa rappresenta l’energia magnetica per unità di volume, espressa in joule su metro
cubo.
Nel caso di un induttore di lunghezza l e sezione S, il volume è dato da lS e l’energia dalla [D1.29]. Tenendo conto che Fm = Hl e Φ = BS, si avrà:
Ws =
W FmΦ HlBS
=
=
lS 2 lS
2 lS
e, quindi:
Energia
magnetica
specifica
Ws =
1
BH
2
[D1.31]
253
D1 • Grandezze magnetiche e loro legami, circuiti magnetici
Usando la relazione B = μH si ottengono le espressioni equivalenti:
Ws =
Ws =
1
μH 2
2
[D1.32]
1 B2
2 μ
[D1.33]
Nel caso di materiale magnetico con permeabilità costante, la legge B = μH è l’equazione di una retta passante per l’origine e la formula [D1.31] corrisponde all’area
del triangolo evidenziato sulla caratteristica di magnetizzazione di figura D1.26.
B
Ws =
BH
2
B
O
H
H
Figura D1.26
Materiale
magnetico con μ
costante: l’area
evidenziata in
colore corrisponde
all’energia
magnetica
specifica.
La corrispondenza tra l’area compresa fra la curva di magnetizzazione e l’asse delle
ordinate e l’energia magnetica specifica vale, in realtà, anche se la caratteristica non è
lineare (figura D1.27).
B
Ws
B
O
H
H
Calcolare l’energia magnetica specifica del solenoide rettilineo dell’esempio 14, quando la
corrente magnetizzante è pari a 5 A.
■ La forza magnetizzante è data da:
H=
Fm NI 200 × 5
Asp
=
=
= 1 × 10 4
m
l
l
0,1
L’energia specifica si calcola con la [D1.32], ottenendo:
Ws =
1
2
μ H 2 = 0, 5 × 1, 257 × 10 −6 × (10 4 ) = 62, 85 J m 3
2
Figura D1.27
Materiale
ferromagnetico
(μ variabile): l’area
evidenziata in
colore corrisponde
all’energia
magnetica
specifica.
ESEMPIO
17
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
254
Energia persa nel ciclo d’isteresi
Si consideri (figura D1.28) una parte del ciclo d’isteresi di un materiale ferromagnetico, composto dalla curva di magnetizzazione f-a e da quella di smagnetizzazione a-b.
Durante le varie fasi del ciclo vi è uno scambio di energia tra il circuito esterno e
l’induttore sede del campo magnetico, precisamente:
•
•
durante la magnetizzazione il circuito esterno fornisce energia, che viene immagazzinata nello spazio sede del campo magnetico;
durante la smagnetizzazione l’induttore restituisce energia al circuito.
B
BM
Figura D1.28
Rappresentazione
grafica degli
scambi energetici
durante il ciclo
d’isteresi.
g
Energia restituita dal nucleo magnetico
durante la smagnetizzazione
a
Energia che rimane nel nucleo
magnetico
b
O
f
HM
+
H
Energia fornita al nucleo magnetico
durante la magnetizzazione
Nel caso in esame l’energia specifica fornita durante la magnetizzazione corrisponde all’area della figura piana O-f-a-g, mentre quella restituita durante la smagnetizzazione è data dall’area della figura b-a-g. Dato che le due curve non coincidono,
l’energia restituita è minore di quella fornita e la differenza corrisponde all’area della
figura interna O-f-a-b.
Considerando tutto il ciclo d’isteresi succede che per ogni ciclo la differenza tra
l’energia specifica fornita dal circuito elettrico magnetizzante e quella restituita a
tale circuito corrisponde all’area interna del ciclo d’isteresi ed è, quindi, tanto più
elevata quanto maggiore è l’area del ciclo stesso. Questa energia si trasforma in calore,
producendo il riscaldamento del nucleo magnetico.
Il valore dell’energia persa nell’unità di tempo corrisponde a una potenza, detta
perdita per isteresi magnetica.
B
BM
Figura D1.29
In un materiale non
ferromagnetico
(μ costante) non vi
sono né ciclo di
isteresi né perdite
per isteresi.
– HM
O
HM H
– BM
Nei materiali non ferromagnetici, di permeabilità costante, il fenomeno non si verifica, in quanto, essendo le caratteristiche di magnetizzazione e smagnetizzazione lineari e coincidenti, non vi è isteresi e l’area interna alle curve è nulla (figura D1.29).
Esercizi di verifica
Esercizio 1
Un nucleo di materiale magnetico ha permeabilità magnetica costante, con μr = 1500. Il nucleo è di forma rettangolare, con dimensioni medie 20 × 15 cm e sezione 4 cm2; su di esso è montata una bobina, attraversata da
una corrente di valore 0,5 A. Calcolare il numero di spire necessario per ottenere B = 0,5 T, il flusso magnetico,
la forza magnetizzante, la permeanza, la riluttanza e l’induttanza. Supponendo di praticare nel nucleo un traferro
di spessore 0,5 mm, calcolare la corrente necessaria per ottenere lo stesso valore di B, le energie magnetiche specifiche nel ferro e nel traferro e l’energia magnetica totale.
A ; ℘ = 1,075 × 10–6 H;
[Risultati: N = 372 spire; Φ = 2 ××10–4 Wb; H = 265,4 m
ℜ = 9,3 ××105 H–1; L = 0,149 H; I ′ = 1,034 A; Ws0 = 99,5 kJ/m3; Ws1 = 66,4 J/m3; W = 0,0385 J]
Esercizio 2
Un nucleo magnetico di forma toroidale, di sezione circolare, con De = 30 cm e Di = 25 cm, è composto da materiale non ferromagnetico, con permeabilità relativa circa pari a 1. Facendo circolare nell’avvolgimento una
corrente di 2 A si ottiene un flusso magnetico di 2,5 μWb. Calcolare il numero di spire dell’avvolgimento, i valori dell’induzione e della forza magnetizzante, la riluttanza e la permeanza del nucleo, l’induttanza della bobina, l’energia magnetica totale.
[Risultati: N = 1751 spire; B = 5,09 mT; H = 4053 A/m; ℜ = 14 ××108 H–1;
℘ = 7,143 × 10–10 H; L = 2,188 mH; W = 4,376 mJ]
Esercizio 3
Un nucleo magnetico di forma toroidale, di sezione circolare, ha diametro esterno 18 cm e interno 14 cm. Il nucleo è costituito da acciaio fuso, presenta un traferro di spessore 0,2 mm ed è magnetizzato mediante una bobina
di 500 spire. Calcolare la corrente necessaria per avere B = 0,7 T, il flusso magnetico, l’induttanza, l’energia magnetica totale, le energie specifiche del ferro e del traferro, la corrente magnetizzante necessaria per avere la
stessa induzione in assenza di traferro.
[Risultati: I = 0,444 A; Φ = 2,2 ××10–4 Wb; L = 0,248 H; W = 0,0244 J;
Ws0 = 195 kJ/m3; Ws1 = 77 J/m3; I ′ = 0,221 A]
Esercizio 4
In un solenoide rettilineo le spire sono avvolte in un solo strato su un nucleo di materiale con permeabilità magnetica costante con μr ≅ 1, di forma cilindrica, lungo 30 cm e con diametro d = 4 cm. L’avvolgimento è in filo tondo,
con diametro del filo df = 0,8 mm, copre interamente il nucleo e funziona con densità di corrente 4 A/mm2.
Trascurando il campo esterno al solenoide, calcolare la forza magnetizzante, il flusso magnetico, l’induzione magnetica, la permeanza, la riluttanza e l’induttanza.
A ; Φ = 3,95 μμ
Wb; B = 3,14 mT; ℘ = 5,26 × 10–9 H;
[Risultati: H = 2500 m
ℜ = 190 × 106 H–1; L = 0,741 mH]
Esercizio 5
In un solenoide rettilineo la bobina elettrica, avente 333 spire, è montata su un nucleo di materiale magnetico
avente permeabilità magnetica costante, con μr = 2500, di lunghezza 20 cm e diametro 8 cm. Calcolare la corrente
necessaria per produrre l’induzione magnetica di 1,2 T, il flusso magnetico, l’induttanza del solenoide, l’energia
magnetica totale e specifica.
J
[Risultati: I = 0,23 A; Φ = 6,03 mWb; L = 8,73 H; W = 0,231 J; Ws = 229,3 —3 ]
m
255
Esercitazioni
D1 • Grandezze magnetiche e loro legami, circuiti magnetici
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
256
Esercitazioni
Esercizio 6
Un induttore ha L = 0,1 H e N = 250 spire. Calcolare la corrente necessaria affinché esso accumuli un’energia magnetica pari a 1,25 J. Calcolare inoltre il flusso magnetico, la f.m.m., la permeanza e la riluttanza magnetiche.
H; ℜ = 625 × 103 HÐ1]
[Risultati: I = 5 A; Φ = 2 mWb; Fm = 1250 Asp; ℘ = 1,6 μμ
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Spiegare che cosa sono le linee di forza di un campo magnetico e come si determina la loro direzione e il loro
verso.
2. Definire le caratteristiche (direzione, verso, intensità) del vettore induzione magnetica.
3. Come varia l’induzione magnetica nel punto centrale di una spira circolare in funzione dell’intensità di corrente e del raggio della spira?
4. Dato un solenoide rettilineo, per il quale si suppone trascurabile il campo magnetico esterno, dire come si determinano, partendo dal numero di spire, dall’intensità di corrente e dalla lunghezza del solenoide, la forza
magnetomotrice, la forza magnetizzante e l’intensità del vettore induzione magnetica.
5. Spiegare la differenza tra la forza magnetomotrice e la forza magnetizzante.
6. Dato un solenoide toroidale dire come si determinano, partendo dal numero di spire, dall’intensità di corrente
e dal raggio medio del toroide, la forza magnetomotrice, la forza magnetizzante e l’intensità del vettore induzione magnetica.
7. Definire che cos’è la permeabilità relativa e classificare, in funzione di essa, i materiali magnetici.
8. Disegnare e spiegare la caratteristica di prima magnetizzazione di un materiale ferromagnetico.
9. Spiegare il fenomeno dell’isteresi magnetica.
10. Se si suppone costante la sezione di un tubo di flusso, come varia il flusso magnetico in funzione dell’induzione?
11. Indicare il legame tra il flusso e la forza magnetomotrice secondo la legge di Hopkinson.
12. Che cosa stabilisce, per un circuito magnetico chiuso, la legge della circuitazione magnetica?
13. Definire l’induttanza di un induttore.
14. Come si calcola l’energia magnetica in funzione dell’induttanza?
15. Che cos’è e da quali fattori dipende l’energia magnetica specifica?
16. Che cosa sono le perdite per isteresi magnetica?
D2
257
Interazioni
tra circuiti elettrici
e campi magnetici
In questa unità verranno presentati alcuni fenomeni dell’elettromagnetismo che rivestono particolare interesse per le loro applicazioni in campo elettrico, in quanto costituiscono i principi fondamentali su cui si basa il funzionamento di varie apparecchiature, dalle macchine elettriche
(trasformatore, motori e generatori elettrici) agli strumenti di misura analogici (amperometri,
voltmetri, wattmetri ecc.).
D2.1 Forza agente su un conduttore elettrico
Nel paragrafo D1.2 è stata introdotta l’esperienza di Faraday, secondo la quale su un
filo conduttore, percorso da corrente elettrica e posto in un campo magnetico, si sviluppa una forza che, considerata come grandezza vettoriale, ha le seguenti caratteristiche:
•
•
•
intensità F = BIl direttamente proporzionale al valore dell’induzione magnetica nel
punto in cui è posto il conduttore, all’intensità della corrente e alla lunghezza della
parte di conduttore interessata dal campo magnetico;
direzione perpendicolare sia al campo magnetico che alla corrente;
verso individuato dal pollice della mano sinistra disposta lungo il conduttore nel
senso della corrente, con le linee di forza del campo entranti nel palmo della mano.
➝
Le figure D2.1 e D2.2 mostrano la direzione e il verso del vettore F , secondo
due diverse rappresentazioni grafiche: nella prima figura le linee di forza del campo
magnetico sono perpendicolari al piano del disegno ed entranti nello stesso (indicate
dai segni + + + ...), nella seconda la corrente è perpendicolare al piano del disegno ed
Figura D2.1
Forza agente su
un conduttore posto in
un campo magnetico
➝
di induzione B costante,
con linee di forza
entranti nel foglio.
B
I
F
I
F
Figura D2.2
Forza agente su un conduttore posto
in un campo magnetico di induzione
➝
B costante, con linee di forza giacenti
su piani paralleli al foglio.
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
258
Bt
α
entrante nello stesso (indicata dalla coda della freccia), mentre le linee di campo giacciono sul piano del disegno e su quelli a esso paralleli, per una certa lunghezza l. In
ogni caso la lunghezza da considerare è sempre quella interessata dalle linee del campo
magnetico; la parte di conduttore fuori dall’azione del campo magnetico non è soggetta
ad alcuna forza.
La legge F = BIl vale quando l’induzione magnetica è costante in ogni punto del
conduttore elettrico. In caso contrario bisogna dividere il conduttore in tanti tratti elementari, di lunghezza Δl1, Δl2, …, Δli, …, Δln, su ognuno dei quali l’induzione magnetica, supposta perpendicolare al tratto di conduttore, vale B1, B2, …, Bi, …, Bn, calcolare le forze elementari su ognuno dei tratti con la legge ΔFi = Bi IΔli e sommare vettorialmente le varie forze, calcolandone la risultante.
B
Bn
I
Figura D2.3
La forza agente
sul conduttore
è proporzionale
a Bn = B senα.
Si consideri ora (figura D2.3) un conduttore disposto non perpendicolarmente alla
direzione delle linee di forza di un campo magnetico costante, avente la stessa
induzione magnetica B in ogni punto. Il vettore B può essere scomposto in due vettori
componenti, Bn perpendicolare al conduttore e Bt nella direzione del conduttore
stesso. La forza esercitata dal campo magnetico è dovuta alla componente normale dell’induzione, pari a Bn = B senα e quindi si avrà:
Forza agente
su un conduttore
F = Bn Il = BIl senα
[D2.1]
A seconda del valore di α la forza varierà, assumendo il valore massimo FM = BIl
quando α = 90° (figura D2.4 a) e il valore zero quando α = 0° (figura D2.4 b). Quindi
un conduttore immerso in un campo magnetico avente la stessa direzione della corrente non è soggetto ad alcuna forza.
I
Figura D2.4 a, b
La forza agente
è massima se il
conduttore
è perpendicolare
alle linee di flusso,
nulla se è allineato
con esse.
ESEMPIO
1
α = 90°
B
B
I
a) α = 90°
senαα = 1
F = FM = BI
b) α = 0 °
senαα = 0
F=0
Un conduttore di lunghezza l = 0,5 m, percorso dalla corrente I = 10 A, • posto in un campo magnetico di induzione costante B = 1 T. Calcolare la forza agente sul conduttore nei seguenti
casi: α = 30¡, α = 45¡, α = 60¡, α = 90¡.
■ Applicando la formula [D2.1] per i quattro casi previsti si ha:
α = 30°⇒ F = BIl sen 30° = 1 × 10 × 0,5 × 0,5 = 2,5 N
α = 45° ⇒ F = BIl sen 45° = 1 × 10 × 0,5 × 0,707 = 3,535 N
α = 60° ⇒ F = BIl sen 60° = 1 × 10 × 0,5 × 0,866 = 4,33 N
α = 90° ⇒ F = BIl sen 90° = 1 × 10 × 0,5 × 1 = 5 N
259
D2 • Interazioni tra circuiti elettrici e campi magnetici
D2.2 Coppia agente su una spira
Si consideri (figura D2.5) una spira elettrica, percorsa dalla corrente I, posta in un
campo magnetico di induzione costante, con linee di forza parallele tra loro. I lati BC
e AD (lati attivi) sono posti all’interno del campo per una lunghezza a, mentre i lati AB
e CD, di lunghezza d, sono fuori dal campo magnetico.
Su ognuno dei lati attivi agirà una forza F perpendicolare a B e al conduttore,
come mostrato nella rappresentazione piana di figura D2.6.
B
a
α
d
I
A
Figura D2.5
Spira posta in un campo
magnetico di induzione
➝
B costante. Si suppone
che i lati AB e CD siano
fuori dal campo.
C
I
B
D
B
Figura D2.6
Coppia di forze agenti
su una spira posta in un
campo magnetico di
➝
induzione B costante.
b = d cos α
F
d
F
α
d
B
b
La forza agente su ogni conduttore di lunghezza a è data da: F = BIa.
Essendoci due forze uguali, parallele e di verso opposto, sulla spira agirà una coppia di forze, il cui momento è dato da: C = Fb = BIab, dove b è il braccio della coppia,
legato alla dimensione d della spira e all’angolo α di inclinazione della spira rispetto
alle linee di campo, secondo la relazione b = d cos α (figura D2.7). Sostituendo nell’espressione del momento si ha:
C = BIad cosα
α
b
Figura D2.7
Calcolo del braccio
della coppia
di forze.
[D2.2]
Il prodotto ad tra le dimensioni della spira è pari all’area S della sua sezione interna
e, quindi, si ottiene:
C = BIS cosα
[D2.3]
Coppia agente su
una spira
L’espressione [D2.3] mostra che il momento della coppia (o, semplicemente, la
coppia) agente sulla spira varia in funzione dell’angolo α, con valori estremi dati da:
•
•
C = CM = BIS quando α = 0° (cosα = 1), ossia quando il piano della spira è parallelo alle linee di campo e il braccio della coppia è massimo (figura D2.8 a);
C = 0 quando α = 90° (cosα = 0), ossia quando il piano della spira è perpendicolare
alle linee di campo e il braccio della coppia è nullo (figura D2.8 b).
F
B
B
F
B
F
b=d
F
B
a) αα = 0°
b=d
C = BIS
b) α
α = 90°
b=0
C=0
Figura D2.8 a, b
Spira posta in un
campo magnetico di
➝
induzione B
costante: casi α = 0°
e α = 90°.
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
260
Coppia prodotta da un campo magnetico radiale
Per avere una coppia costante, indipendente dalla posizione della spira, il campo magnetico deve essere radiale, ossia con le linee di forza dirette tutte verso il centro della
spira e perpendicolari in ogni punto alla circonferenza che la spira stessa descriverebbe
con un movimento rotatorio intorno al proprio centro.
In questo caso il braccio delle forze è sempre pari alla dimensione d e, quindi, si ha:
Coppia su una
spira in un
campo
magnetico
radiale
C = BIS
[D2.4]
per qualsiasi posizione della spira.
Un modo per ottenere un campo magnetico radiale è quello di porre, tra le
espansioni polari di un magnete, un nucleo cilindrico di ferro dolce, in grado di modificare l’andamento delle linee di forza e di renderle radiali nel traferro circostante il nucleo stesso (figura D2.9).
Figura D2.9
L’interposizione di
un nucleo di ferro
dolce tra
le espansioni polari
di un magnete
rende radiale
il campo nel
traferro.
S
N
Coppia agente su una bobina
Se invece di una spira si considera una bobina di N spire, ogni lato sarà composto da N
conduttori e quindi la forza agente su un lato sarà pari a N volte quella relativa a una
spira, come pure la coppia totale ottenuta.
Si avrà pertanto:
Coppia agente
su una bobina
C = NBIS cos α
[D2.5]
C = NBIS
[D2.6]
oppure:
a seconda che la coppia sia dovuta a un campo con linee di forza parallele o radiali.
ESEMPIO
2
Calcolare la coppia agente su una spira quadrata, di dimensioni 10 × 10 cm, percorsa dalla
corrente I = 5 A e posta in un campo magnetico di induzione costante B = 1 T con linee di forza
parallele, nelle seguenti posizioni: α = 0°, α = 30°, α = 60°, α = 90°.
■ La sezione della spira è S = 10 × 10 = 100 cm2 = 100 × 10 – 4 m2; applicando la formula [D2.3]
per i diversi valori dell’angolo si ottiene:
α = 0° ⇒ C = BIS cos 0° = 1 × 5 × 100 × 10 −4 × 1 = 500 × 10 −4 Nm
α = 30°⇒ C = BIS cos 30° = 1 × 5 × 100 × 10−4 × 0,866 = 433 × 10−4 Nm
α = 60°⇒ C = BIS cos 60° = 1 × 5 × 100 × 10 −4 × 0,5 = 250 × 10−4 Nm
α = 90°⇒ C = BIS cos 90° = 1 × 5 × 100 × 10 −4 × 0 = 0
261
D2 • Interazioni tra circuiti elettrici e campi magnetici
Ripetere l’esempio precedente nel caso di una bobina di 100 spire posta in un campo magnetico
con linee di forza radiali.
ESEMPIO
3
■ In questo caso occorre applicare l’espressione [D2.6], dato che il valore di C è indipendente
dalla posizione:
C = NBIS = 100 × 1 × 5 × 100 × 10 −4 = 5 Nm
e il valore che si ottiene è pari a 100 volte quello dell’esempio 2 nel caso α = 0°.
D2.3 Forze agenti tra conduttori paralleli
Tra due conduttori percorsi da corrente, considerati per semplicità rettilinei e paralleli,
si instaurano delle forze, di attrazione o di repulsione a seconda dei versi delle correnti,
dovute al campo magnetico creato da un conduttore e agente sull’altro. La forza agente
su ogni conduttore è direttamente proporzionale al prodotto delle correnti e inversamente proporzionale alla distanza tra i conduttori (figura D2.10 a, b). Questo fenomeno fu evidenziato per la prima volta mediante l’esperienza di Ampère e le forze
agenti sui conduttori sono comunemente dette forze elettrodinamiche.
I2
I1
F
F
F
I2
I1
F
Figura D2.10 a, b
Forze
elettrodinamiche
tra conduttori
percorsi da
corrente.
d
d
a) Conduttori percorsi da
correnti nello stesso
verso si attirano.
b) Conduttori percorsi da
correnti di verso opposto
si respingono.
Nella figura D2.11 a, b è stata rappresentata la situazione che si crea su un piano
perpendicolare al conduttore, nei due casi di correnti concordi (a) e discordi (b).
B2
B1
I1
1
F
F
2
I2
F
B1
1
I1
F
2
I2
B2
a) Correnti nello stesso verso
b) Correnti in verso opposto
Supponendo di essere nel vuoto (o nell’aria, avente quasi la stessa permeabilità magnetica), l’intensità del vettore induzione B1 creato dalla corrente I1 nel
punto in cui è posto il conduttore 2 è data dalla [D1.1], facendo comparire d invece di r:
μ I
B1 = 0 1
2π d
Figura D2.11 a, b
Forze
elettrodinamiche:
rappresentazione
➝ ➝
dei vettori F e B .
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
262
Sul conduttore 2 agirà la forza F, che dipende dalla corrente I2 e dall’induzione B1:
F = B1I2l, essendo l la lunghezza comune dei due conduttori. Sostituendo si ha:
F=
μ 0 I1 I2 l
2π d
[D2.7]
Facendo lo stesso ragionamento per il conduttore 1, soggetto all’induzione B2, si ottiene la stessa espressione.
Nel caso di conduttori posti in un mezzo magnetico di permeabilità μr ≠ 1, occorre
considerare la permeabilità del mezzo invece di quella del vuoto, ottenendo:
Forza tra
conduttori
paralleli
F=
μ 0 μ r I1 I2 l
2π d
[D2.8]
e la forza diventa maggiore, dipendentemente dal valore di μr.
Nel caso di due conduttori percorsi dalla stessa corrente (come i due fili di andata
e ritorno di un cavo elettrico), si ha I1 = I2 = I e, quindi:
Forza tra
conduttori
paralleli con
correnti uguali
F=
μ 0 μ r I 2l
2π d
[D2.9]
Quanto è stato detto a proposito delle forze elettrodinamiche si può così riassumere:
➔ due conduttori paralleli, percorsi da corrente, sono soggetti ognuno a una forza
di attrazione (correnti concordi) o di repulsione (correnti discordi), che aumenta
con il prodotto delle intensità delle due correnti (o con il loro quadrato, se
uguali), con la permeabilità del mezzo magnetico dove sono posti i conduttori e
con la lunghezza degli stessi; la forza diminuisce, invece, all’aumentare della distanza tra i conduttori.
ESEMPIO
4
Calcolare le forze elettrodinamiche agenti per ogni metro di lunghezza su due conduttori, percorsi dalla stessa corrente I = 100 A, posti a distanza di 5 cm, nei seguenti due casi: in aria e
all’interno di una materiale ferromagnetico con μr = 2000.
■ Usando l’espressione [D2.9], con l = 1 m, μr = 1 e μr = 2000 per i due casi, si ha:
F=
μ 0 I 2l 1,257 × 10 −6 × 100 2 × 1
N
=
= 0,04
−2
2π d
2π 5 × 10
m
F=
μ 0 μ r I 2l
N
= 2000 × 0,04 = 80
m
2π d
D2.4 Induzione elettromagnetica
Il fenomeno dell’induzione elettromagnetica (da non confondere con il vettore induzione magnetica), scoperto nella prima metà dell’800, consiste nella generazione di
tensioni e di correnti indotte all’interno di circuiti elettrici, interessati da un campo magnetico variabile. La variabilità del campo magnetico, e più precisamente del flusso
magnetico concatenato con il circuito, è proprio la condizione imprescindibile affinché
vi sia nel circuito la nascita di una tensione indotta, cioè provocata dalla variazione del
flusso, e di una conseguente corrente, se il circuito è chiuso.
263
D2 • Interazioni tra circuiti elettrici e campi magnetici
Se il circuito si concatena con un flusso costante nel tempo, non si crea alcuna
tensione e non circola in esso alcuna corrente.
Vari esperimenti hanno verificato tale fenomeno e hanno mostrato che il valore
della tensione indotta è direttamente proporzionale alla variazione ΔΦc del flusso
concatenato e inversamente proporzionale all’intervallo di tempo Δt durante il quale
si ha tale variazione, secondo la relazione:
ΔΦc
E=
Δt
Relazione tra
la variazione
di flusso e
la tensione
indotta
[D2.10]
nota come legge di Faraday-Neumann.
L’espressione [D2.10] indica che la tensione indotta è pari al rapporto incrementale
tra le grandezze Φc e t e quindi dipende dalla pendenza della curva che lega le due
grandezze: quanto maggiore è la pendenza tanto più grande è la variazione ΔΦc a
parità di Δt e quindi tanto più elevata è la tensione indotta.
La [D2.10] giustifica anche la relazione che lega il weber al volt: essendo
ΔΦc = E Δt, si ha che 1 Wb = 1 V × 1 s.
Calcolare la tensione indotta in un circuito che si concatena con un flusso variabile nel tempo
secondo il grafico di figura D2.12.
ESEMPIO
5
■ L’intervallo di tempo considerato può essere diviso in quattro intervalli elementari, durante i
quali il flusso varia linearmente, la pendenza dei singoli tratti rimane costante e, di conseguenza,
è costante anche la tensione indotta. I valori degli intervalli di tempo e delle rispettive variazioni
di flusso concatenato sono pari a:
Δt1 = 2 − 0 = 2 ms
Δt2 = 3 − 2 = 1 ms
ΔΦc1 = 10 − 0 = 10 mWb
Δt3 = 7 − 3 = 4 ms
ΔΦc 2 = 10 − 10 = 0 mWb
Δt4 = 9 − 7 = 2 ms
ΔΦc 3 = 12 − 10 = 2 mWb
ΔΦc 4 = 0 − 12 = −12 mWb
Applicando la [D2.10] si ricavano i corrispondenti valori della tensione indotta:
E1 =
ΔΦc1 10 × 10 −3
=
=5V
2 × 10 −3
Δt1
E2 =
ΔΦc 2
0
=
=0V
1 × 10 −3
Δt 2
E3 =
ΔΦc 3 2 × 10 −3
=
= 0, 5 V
4 × 10 −3
Δt 3
E4 =
ΔΦc 4 −12 × 10 −3
=
= −6 V
2 × 10 −3
Δtt 4
Φ c (mWb)
Figura D2.13
Esempio 5.
Variazione della
tensione indotta
in funzione
del tempo.
E (V)
12
10
5
0
0
2 3
Δt1 Δt2
7
Δt3
9
t (ms)
5V
0
2 3
0,5 V
7
Δt4
Figura D2.12
Esempio 5. Variazione del flusso concatenato in funzione
del tempo.
–6
–6 V
9
t (ms)
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
264
il cui grafico, in funzione del tempo, è riportato nella figura D2.13, dalla quale si può notare che:
•
•
•
negli intervalli di tempo in cui la pendenza è maggiore si ha la maggiore tensione indotta;
negli intervalli di tempo in cui il flusso concatenato rimane costante la tensione indotta è
nulla;
negli intervalli di tempo in cui il flusso concatenato diminuisce (variazione negativa) si inverte il segno della tensione.
Se il circuito che subisce il fenomeno dell’induzione elettromagnetica è chiuso e
non vi è alcun altro generatore in grado di far circolare corrente, la tensione indotta si
comporta da forza elettromotrice e genera una corrente che, a sua volta, provoca un
campo magnetico indotto. Esperimenti successivi a quelli di Faraday hanno dimostrato
che la corrente indotta genera un campo magnetico che si oppone alle variazioni di
quello induttore; se il flusso concatenato induttore tende a diminuire il campo indotto
ha un effetto magnetizzante, concorde con quello induttore, e viceversa.
Queste osservazioni hanno portato alla formulazione della legge di Lenz:
➔ il verso della tensione indotta è sempre tale da opporsi alla variazione del flusso
concatenato induttore.
Per tener conto di tale opposizione, nella relazione [D2.10] viene spesso posto il segno “–”, esprimendo matematicamente la legge di Faraday-Neumann-Lenz nel modo
seguente:
Legge di FaradayNeumann-Lenz
E=−
ΔΦc
Δt
[D2.11]
Nel prosieguo della trattazione si userà spesso anche la formulazione senza il segno: il non tenere conto del segno “−” è una procedura corretta se, nell’attribuire il
verso della tensione indotta, si tiene conto del fatto che la stessa deve opporsi alla variazione del flusso induttore.
Dall’espressione [D2.10] si ricava:
Espressione
dell’impulso
di tensione
E Δt = ΔΦc
[D2.12]
Il prodotto EΔt, pari alla variazione del flusso concatenato, è detto anche impulso
di tensione; esso si misura in weber o in volt per secondo e corrisponde, sul grafico
E = f(t), all’area del rettangolo elementare avente altezza E e base Δt.
D2.5 Tensione indotta in un conduttore
in moto relativo rispetto al campo magnetico
Si consideri (figura D2.14) un conduttore elettrico che si muove di moto rettilineo uniforme, con velocità costante v, in un campo magnetico di induzione B costante, le cui
linee di forza sono tra loro parallele ed “entranti” perpendicolarmente nel piano del disegno. Il conduttore è collegato, mediante due guide conduttrici, a un resistore esterno
di resistenza R; si suppone che la resistenza propria del conduttore e quella delle guide
sia trascurabile rispetto a R.
Tutto il complesso costituirà una bobina con N = 1 spira, di sezione S variabile in
funzione della posizione del conduttore, concatenata con un flusso Φc = NΦ = Φ = BS
che sarà anch’esso variabile con la sezione e quindi sul conduttore verrà indotta una
tensione che, comportandosi da f.e.m., farà circolare una corrente I, dato che il circuito è chiuso e non vi sono altri generatori.
265
D2 • Interazioni tra circuiti elettrici e campi magnetici
H
H′
I
I
v
Fr
B
Fm
K
R
Figura D2.14
Conduttore in moto
rettilineo uniforme
in un campo
magnetico
➝
di induzione B
costante:
funzionamento
da generatore.
K′
t1
t2
Δs
b
a
Se nell’intervallo di tempo Δt = t2 – t1 il conduttore ha percorso lo spazio
Δs = vΔt, la variazione del flusso concatenato è stata pari a:
ΔΦc = Φc 2 − Φc1 = BS2 − BS1 = Bbl − Bal = Bl (b − a) = Bl ( −Δ s)
La tensione indotta è data da:
E=−
Bl ( − Δs) BlΔs
ΔΦc
=−
=
Δt
Δt
Δt
Il rapporto Δs = v è pari alla velocità di traslazione del conduttore e quindi si avrà:
Δt
E = Blv
[D2.13]
ossia:
➔ la tensione indotta in un conduttore che si muove di moto traslatorio in un campo
magnetico di induzione costante è direttamente proporzionale ai valori dell’induzione magnetica, della velocità e della lunghezza del conduttore interessato dalle
linee di flusso.
È facile constatare che allo stesso risultato si sarebbe arrivati facendo traslare le linee di campo con il conduttore fermo, alla stessa velocità, ma in senso opposto; questo
perché la velocità che compare nella [D2.13] è la velocità relativa del conduttore rispetto al campo magnetico, pari alla differenza vettoriale tra le due velocità. Se entrambi i sistemi (circuito elettrico e magnete induttore) si muovessero alla stessa velocità e nello stesso senso, non ci sarebbe tensione indotta, dato che il conduttore risulterebbe fermo rispetto al campo magnetico.
La presenza di una tensione in un circuito chiuso determina la circolazione di
una corrente che, per la legge di Lenz, deve opporsi alla causa che l’ha determinata.
Dato che, nel caso in esame, il flusso concatenato diminuisce, la corrente deve produrre un campo magnetico avente lo stesso verso di quello preesistente e quindi
deve circolare in senso orario nella spira e dal punto K al punto H nel conduttore (figura D2.14).
Affinché la corrente possa circolare in questo senso, la tensione indotta deve comportarsi da f.e.m., con la polarità positiva in H e negativa in K.
Tensione indotta
in un conduttore
in movimento
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
266
I
H
Il valore della corrente circolante è dato da:
+
E
R
–
Figura D2.15
Funzionamento
da generatore:
schema elettrico
equivalente.
v
(pollice)
90°
90°
(indice)
90°
E
E Blv
=
R
R
[D2.14]
Si è ottenuto, in questo modo, un generatore elettrico elementare, che forza la circolazione della corrente sul circuito esterno, dalla sua polarità positiva a quella negativa (figura D2.15).
La polarità della tensione indotta può essere stabilita, oltre che con il ragionamento
precedente, anche con la regola di Fleming o delle tre dita della mano destra (figura
D2.16): disponendo il medio, l’indice e il pollice a 90° tra loro, vi è la seguente corrispondenza:
K
B
I=
–
+
medio ⇒ indica la polarità della grandezza elettrica (tensione indotta)
indice ⇒ indica il verso della grandezza magnetica (vettore induzione)
pollice ⇒ indica il verso della grandezza meccanica (vettore velocità)
La circolazione della corrente nel conduttore fa nascere una forza meccanica (conduttore percorso da corrente, posto in un campo magnetico), diretta nella direzione del
moto, ma in verso opposto (figura D2.14), in base alla regola della mano sinistra richiamata al paragrafo D2.1.
Tale forza è da intendere come forza resistente, in quanto opposta alla direzione del
moto: per far muovere il conduttore a velocità v costante occorre allora applicare una
forza motrice uguale e opposta a quella resistente esercitata dal campo, in modo da
avere:
Fm − Fr = ma = 0
Fm = Fr = F = BIl
(medio)
dato che v = costante implica un’accelerazione nulla.
Figura D2.16
Regola delle tre dita
della mano destra
(di Fleming)
per individuare il
verso della tensione
indotta.
Quanto descritto corrisponde al comportamento da generatore elettrico, al quale
il sistema meccanico esterno fornisce la forza motrice che determina il movimento
della parte mobile, movimento a cui si oppone il sistema elettromagnetico, mediante la
forza resistente. La tensione indotta si comporta da forza elettromotrice e determina la
circolazione della corrente elettrica verso l’utilizzatore esterno, così come avviene nei
bipoli generatori.
Si consideri ora (figura D2.17) lo stesso sistema di figura D2.14, ma alimentato da un
generatore di corrente costante I. I fenomeni elettromagnetici che avvengono sono gli
stessi, ma la loro sequenza logica cambia. In particolare si ha che:
H
H′
I
Fr
Figura D2.17
Conduttore in moto
rettilineo uniforme
in un campo
magnetico
➝
di induzione B
costante:
funzionamento
da motore.
I
v
B
Fm
K
t1
K′
t2
Δs
b
a
V
267
D2 • Interazioni tra circuiti elettrici e campi magnetici
•
la corrente I, circolando da H verso K nel conduttore posto in un campo magnetico,
fa nascere una forza motrice Fm = BIl, diretta verso destra;
supponendo che questa forza motrice sia contrastata da una forza resistente Fr applicata da un sistema meccanico esterno, uguale e opposta a Fm, il conduttore si
muoverà di moto rettilineo uniforme verso destra;
sul conduttore, a causa della diminuzione del flusso concatenato con la spira, nasce una tensione indotta E = Blv, positiva in H e negativa in K, che si comporta
come forza controelettromotrice, in quanto contrasta la circolazione della corrente
I del generatore; essa, infatti, tenderebbe a creare una circolazione di corrente in
senso orario nella spira, in modo da rinforzare il flusso concatenato che è diminuito (figura D2.18).
•
•
Si ottiene, in questo modo, il comportamento da motore elettrico in cui il sistema elettromagnetico crea la forza motrice che determina il movimento della parte
mobile, movimento a cui si oppone il carico meccanico collegato al motore, mediante
la forza resistente. La corrente elettrica deve essere fornita da un generatore esterno e
a essa si oppone la tensione indotta, così come avviene negli utilizzatori attivi.
H
Figura D2.18
Funzionamento
da motore: schema
elettrico equivalente.
I
+
E
vn
I
V
α
vt = v cosα
vt
–
vn = v senα
v
Figura D2.19
La tensione indotta
nel conduttore dipende
solo dalla componente
normale
v➝
n della velocità.
B
K
Se il conduttore (figura D2.19) si muove nel campo magnetico in direzione non
perpendicolare alle linee di forza, occorre scomporre il vettore velocità nelle seguenti
componenti:
•
•
velocità tangenziale vt = v cosα , che non produce alcuna tensione indotta, in
quanto origina un movimento che “non taglia” le linee di flusso del campo e quindi
non fa variare il flusso concatenato;
velocità normale vn = v senα , dalla quale dipende la tensione indotta, essendo l’unica componente che determina la variazione del flusso concatenato.
L’espressione [D2.13] diventa pertanto:
E = Blvn = Blv senα
[D2.15]
Per il sistema elettromagnetico di figura D2.14 la corrente indotta è pari a 5 mA, R = 1 kΩ,
B = 1 T, l = 0,5 m. Calcolare la velocità normale di traslazione del conduttore e la tensione indotta.
■ La tensione indotta è data da:
E = IR = 5 × 10 −3 × 1 × 10 3 = 5 V
Dalla [D2.13] si ricava:
v=
E
5
=
= 10 m/s
Bl 1 × 0,5
Tensione indotta
in un conduttore
in movimento
(αα≠ 90°)
ESEMPIO
6
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
268
D2.6 Funzionamento da generatore e da motore,
potenza elettrica e meccanica
Nel paragrafo precedente sono stati descritti i principi di funzionamento elementari dei
generatori e dei motori elettrici, di tipo elettromagnetico; le macchine elementari viste
sono del tutto ideali e hanno un movimento di traslazione, non rotatorio come avviene
in pratica. Nonostante questi limiti, i concetti espressi sono pienamente validi e possono essere approfonditi considerando le potenze in gioco nei due casi.
Generatore elettrico
Un generatore elettrico è, in generale, un sistema che trasforma la potenza meccanica
Pm fornita da un motore primo nella potenza elettrica Pe data a una rete elettrica utilizzatrice (figura D2.20). Indicando con Pp la potenza persa nel blocco di generazione, il
bilancio delle potenze impone che sia:
Pm = Pp + Pe
Figura D2.20
Schema a blocchi
di un sistema di
trasformazione
della potenza
meccanica
in elettrica.
Motore
primo
Pm
Generatore
elettrico
[D2.16]
Pe
Utilizzatore
elettrico
Nel caso di figura D2.14 la potenza meccanica fornita dall’esterno è quella che
serve a far muovere il conduttore nel campo magnetico e quindi è legata alla forza motrice secondo la relazione:
Pm = Fm v
La potenza elettrica è quella che il sistema fornisce al resistore esterno, data da:
Pe = EI
Il sistema che genera potenza elettrica è stato considerato ideale, in quanto non si è
tenuto conto né dell’attrito né della resistenza elettrica del filo generatore. Le due potenze, meccanica ed elettrica, dovranno quindi essere uguali. Si ha infatti:
Pm = Fm v = BIlv = BlvI = EI = Pe
Motore elettrico
Un motore elettrico è, in generale, un sistema che trasforma la potenza elettrica Pe fornita da una rete elettrica di alimentazione nella potenza meccanica Pm data a un utilizzatore meccanico (figura D2.21). Indicando con Pp la potenza persa nel blocco motore,
il bilancio delle potenze impone che sia:
Pe = Pp + Pm
Nel caso di figura D2.17 la potenza elettrica fornita dall’esterno è pari a:
Pe 5 VI 5 EI
[D2.17]
269
D2 • Interazioni tra circuiti elettrici e campi magnetici
dato che la tensione V imposta dal generatore è uguale a quella indotta, avendo trascurato le cadute di tensione interne.
Rete elettrica
di alimentazione
Pe
Pm
Motore
elettrico
Utilizzatore
meccanico
Figura D2.21
Schema a blocchi di
un sistema di
trasformazione
della potenza
elettrica
in meccanica.
La potenza meccanica che il sistema fornisce all’esterno è legata alla forza motrice
prodotta dal motore, secondo la relazione:
Pm = Fm v = BlIv = BlvI = EI
ed è esattamente pari a quella elettrica, avendo considerato il sistema privo di perdite
di potenza.
Il sistema funzionante da motore di figura D2.17 viene alimentato con tensione V = 5 V.
Sapendo che B = 1 T e l = 0,20 m, calcolare la velocità del conduttore necessaria per avere una
potenza meccanica di 10 W.
■ Essendo Pm = Pe e V = E, la corrente circolante è data da: I =
La velocità del conduttore dovrà essere uguale a: v =
ESEMPIO
Pe 10
=
=2A
V
5
Pm
P
10
= m =
= 25 m/s
Fm BlI 1 × 0,2 × 2
D2.7 Tensione indotta in una spira
rotante in un campo magnetico
Si supponga che una spira aperta di forma rettangolare (figura D2.22), di dimensioni l e
d, venga posta in rotazione con velocità angolare ω costante all’interno di un campo magnetico di induzione B costante, con linee di forza perpendicolari all’asse della spira. Il
movimento della spira presuppone che sulla stessa agisca una coppia motrice, in grado di
produrne la rotazione. Si ipotizza, inoltre, che i lati FG e MN siano attivi durante il movimento, mentre i lati FN e GM siano posti fuori dal campo magnetico.
Rappresentando lo schema su un piano perpendicolare alla spira stessa, si ottiene la
v è quella periferica di ogni conduttore, legata alla
figura D2.23, nella quale la velocità ➝
velocità angolare dalla relazione:
ωd
v=ω r =
2
G
d
M
F
ω
N
B
Figura D2.22
Spira rotante
in un campo
magnetico
➝
di induzione B
costante.
7
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
270
La componente della velocità che “taglia” le linee di flusso è quella normale, perpendicolare alle linee di campo e data da:
vn = v senα = ω r senα =
ωd
senα
2
Su ogni conduttore attivo, in movimento all’interno del campo magnetico, nasce
una tensione indotta Ec, data dall’espressione [D2.15]:
Ec = Blv sen α = Bl
ωd
sen α
2
le cui polarità, individuate con la regola delle tre dita della mano destra, sono riportate
nella figura D2.24. Le tensioni indotte nei due conduttori hanno lo stesso valore e agiscono in modo concorde tra loro e quindi la tensione indotta nella spira sarà la somma
delle due:
Es = 2 Ec = 2 Bl
ωd
sen α = Bl ω d sen α
2
[D2.18]
Essendo ld = S la sezione della spira, il prodotto Bld = BS = ΦM rappresenta il flusso
magnetico massimo che si può concatenare con la spira, ossia il flusso che la spira abbraccia quando è perpendicolare alle linee di campo (α = 0°).
Considerando inoltre che α è lo spostamento angolare della spira rispetto alla posizione verticale di partenza (t = 0), dato da α = ω t, e sostituendo nella [D2.18] si ottiene:
es = ω Φ M sen (ω t )
[D2.19]
dove con la lettera minuscola è stato evidenziata la variabilità nel tempo della tensione
indotta.
La relazione [D2.19] è molto importante: da essa si vede che:
➔ la tensione indotta in una spira che si muove di moto circolare uniforme in un
campo magnetico di induzione costante non è costante nel tempo, ma varia con la
funzione sen (ωt), ossia varia con legge sinusoidale.
–G
d
B
v
vn
α
vt
r
ω
B
Figura D2.23
Scomposizione della
velocità nelle sue
componenti,
normale e
tangenziale.
Ec
vn
F
+M
+
vn
Ec
vn
v
B
vt
+
Es
–
N–
Figura D2.24
Polarità delle
tensioni indotte.
271
D2 • Interazioni tra circuiti elettrici e campi magnetici
Si è ottenuta, in questo modo, una tensione alternata sinusoidale.
Dato che il seno di un angolo può assumere al massimo il valore uno, indicando con
EM = ω ΦM il valore massimo della tensione sinusoidale, la (D2.19) diventa:
es = E M sen (ω t )
[D2.20]
Tensione indotta
in una spira
rotante
L’andamento nel tempo della tensione es è rappresentato nella figura D2.25: la tensione varia periodicamente, riprendendo gli spessi valori a ogni giro della spira. Le posizioni della spira relative ai valori α = 0, α = π/2, α = π, α = 3π/2, α = 2π, sono riportate nella figura D2.26 a, b, c, d.
es
EM
π
2
0
3π
2 2π
π
5π
2
Figura D2.25
Andamento
sinusoidale della
tensione indotta
nella spira.
ωt
Ð EM
2
1
α=0
α = 2π
B
α=π
2
1
2
B
2
a) es = 0
α=π
α=3π
2
1
2
B
B
1
b) es = EM
c) es = 0
d) es = – EM
In merito ai fenomeni elettromagnetici che si hanno nel caso della spira rotante, si
possono ripetere le considerazioni fatte per il conduttore in movimento traslatorio; brevemente si può osservare che:
•
•
•
si ha tensione indotta anche se la spira è ferma e ruota il campo magnetico, dato che, anche in questo caso, conta la velocità relativa della spira rispetto al campo;
nel funzionamento da generatore la spira è posta in rotazione da un motore primo
esterno, che fornisce la coppia motrice e la potenza meccanica, mentre la spira erogherà corrente (e, quindi, potenza elettrica) all’utilizzatore elettrico collegato ai
suoi capi (la tensione indotta si comporta da f.e.m.); su ogni lato della spira nascerà,
a causa del campo magnetico, una forza meccanica e quindi una coppia di forze
avente la funzione di coppia resistente;
nel funzionamento da motore la spira è alimentata da un generatore elettrico esterno
che fornisce la potenza elettrica (la tensione indotta si comporta da f.c.e.m.); la coppia di forze generate dal campo magnetico ha funzione di coppia motrice e pone in
rotazione la spira che trasmette il suo moto al carico meccanico, moto al quale si
opporrà la coppia resistente del carico.
Figura D2.26 a, b, c, d
Posizioni tipiche
della spira: la
tensione è nulla
quando la spira è
perpendicolare
➝
al vettore B .
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
272
ESEMPIO
8
Calcolare la tensione massima che si ha in una spira che ruota con velocità di 1000 giri /min in
un campo magnetico di induzione B = 1,2 T e ha una sezione di 200 cm2. Calcolare, inoltre, la
tensione indotta dopo 1/8 di giro.
■ Una velocità di 1000 giri/min corrisponde a 1000/60 giri/s; dato che 1 giro = 2π radianti, la
velocità angolare sarà data da:
ω=
1000 × 2π
= 104, 7 rad s
60
Il flusso massimo è pari a:
ΦM = BS = 1, 2 × 200 × 10 −4 = 24 mWb
e, quindi, il valore massimo della tensione indotta è uguale a:
E M = ω ΦM = 104, 7 × 24 × 10 −3 = 2, 51 V
Dopo un ottavo di giro si ha α =
sarà pari a:
2π π
= e, quindi, la tensione indotta nella spira
8
4
⎛π⎞
e2 = E M sen ⎜ ⎟ = 2, 51 × 0, 707 = 1, 775 V
⎝ 4⎠
D2.8 Autoinduzione
I
+
V
L
R
Si consideri (figura D2.27) un induttore di induttanza L costante, inserito in un circuito in cui è possibile variare la corrente circolante I. Il flusso concatenato con l’induttore è dato da Φc = LI ed è variabile nel tempo con la corrente.
L’induttore sarà soggetto a un flusso concatenato variabile, prodotto dalla sua stessa
corrente, e quindi ai suoi capi nascerà una tensione per autoinduzione magnetica,
dove il termine “autoinduzione” indica che la causa del fenomeno induttivo è da imputare allo stesso circuito che ha prodotto il flusso magnetico.
Indicando con ΔΦc la variazione del flusso concatenato nell’intervallo di tempo Δt,
dovuta alla variazione ΔI della corrente, si avrà:
ΔΦc = L ΔI
Figura D2.27
Autoinduzione
magnetica.
Tensione indotta
per autoinduzione
ΔΦc
e, quindi, la tensione indotta per autoinduzione nella bobina sarà data da E = −
,
Δt
da cui si ricava immediatamente:
E = −L
ΔI
Δt
[D2.21]
formula in cui compare il rapporto incrementale ΔI/Δt, che può essere interpretato
come la velocità di variazione della corrente nel tempo, analogamente al rapporto
Δs/Δt che rappresenta la velocità di un corpo che percorre lo spazio Δs nel tempo Δt.
Dall’esame della [D2.21] si deduce che il valore della tensione di autoinduzione •
direttamente proporzionale allÕinduttanza della bobina e alla velocitˆ di variazione
della corrente; quanto più la corrente nel circuito varia rapidamente, tanto maggiore è
l’incremento (o il decremento) ΔI nello stesso intervallo di tempo Δt e tanto maggiore
sarà la tensione indotta.
273
D2 • Interazioni tra circuiti elettrici e campi magnetici
Considerando un intervallo infinitesimo di tempo dt, a cui corrisponde la variazione
di, il rapporto incrementale diventa la derivata di/dt della corrente rispetto al tempo e
la [D2.21] assume la forma:
e = −L
di
dt
[D2.22]
In merito alla polarità della tensione indotta va precisato che:
•
•
se la corrente aumenta, si ha ΔI > 0 e quindi dalla [D2.21], essendo L e Δt entrambi positivi, si ricava E < 0; la tensione indotta, per la legge di Lenz, deve opporsi all’aumento della corrente e quindi dovrà avere la polarità indicata nella figura D2.28 a, in modo
che il verso effettivo della tensione (– E), positiva, sia in opposizione alla corrente;
se la corrente diminuisce, si ha ΔI < 0 ed E > 0; la tensione indotta deve opporsi alla
diminuzione della corrente, favorendone la circolazione nella maglia e quindi dovrà avere la polarità indicata nella figura D2.28 b.
I
I
+
+
–
V
E = – L ΔI (> 0)
Δt
E = – L ΔI (< 0)
Δt
– E (> 0)
R
–
V
R
+
a) I aumenta, ΔI > 0, E < 0
Figura D2.28 a, b
Polarità della
tensione di
autoinduzione con
la convenzione di
segno dei
generatori.
+
b) I diminuisce, ΔI < 0, E < 0
In entrambi i casi la corrente esce dal “+” della tensione indotta, secondo la convenzione di segno dei generatori. Dato che nelle reti elettriche gli induttori sono considerati come utilizzatori, conviene usare la convenzione di segno di questi ultimi, con
corrente entrante dove c’è il “+” della tensione indotta; per far questo occorre considerare le espressioni [D2.21] e [D2.22] senza il segno “–”, ottenendo:
Δi
E=L
Δt
[D2.23]
Tensione di
autoinduzione:
convenzione
di segno degli
utilizzatori
Le polarità della tensione indotta sono indicate nella figura D2.29 a, b.
I
I
+
+
V
V
+
E = L ΔI (> 0)
Δt
R
–
a) I aumenta, ΔI > 0, E > 0
+
E = L ΔI (< 0)
Δt
– E (> 0)
R
b) I diminuisce, ΔI < 0, E < 0
–
Figura D2.29 a, b
Polarità della
tensione di
autoinduzione con
la convenzione di
segno degli
utilizzatori.
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
274
ESEMPIO
9
La corrente in una bobina di induttanza L = 10 mH aumenta linearmente da 0 a 5 A in 5 ms, rimane poi costante per 10 ms e si annulla nei successivi 20 ms. Calcolare la tensione indotta e
l’impulso di tensione nei tre intervalli di tempo indicati.
■ Le variazioni di corrente nei tre intervalli sono date da:
ΔI1 = 5 − 0 = 5 A
ΔI 2 = 5 − 5 = 0 A
Applicando la [D2.23] si ottiene: E1 = L
E2 = L
ΔI 3 = 0 − 5 = −5 A
ΔI1
5
= 10 × 10 −3
= 10 V
Δt1
5 × 10 −3
ΔI 2
ΔI
0
−5
= 10 × 10 −3
= 0 V E3 = L 3 = 10 × 10 −3
= −2, 5 V
−3
Δt 2
Δt 3
10 × 10
20 × 10 −3
Per ogni intervallo di tempo l’impulso di tensione è dato da: U = EΔt = LΔI e, quindi, si ha:
U1 = E1 Δt1 = 10 × 5 × 10 −3 = 50 mWb
U 2 = E2 Δt 2 = 0 mWb
U 3 = E3 Δt 3 = −2, 5 × 20 × 10 −3 = −50 mWb
Sommando i tre valori si ottiene zero, dato che la variazione totale di corrente è nulla.
Nella figura D2.30 sono riportati gli andamenti nel tempo della corrente e della tensione indotta; le aree del grafico E = f(t) rappresentano gli impulsi di tensione.
I (A)
5
0
5
15
35
t (ms)
E (V)
10
U1
U2 = 0
Figura D2.30
Esempio 9.
0
Ð 2,5
5
15
U3
35
t (ms)
Si può notare che la tensione indotta è maggiore nei tratti in cui la pendenza del grafico di
I(t) è più accentuata, mentre è nulla nei tratti in cui la corrente è costante. Inoltre, la tensione è
positiva quando la corrente aumenta e viceversa.
275
D2 • Interazioni tra circuiti elettrici e campi magnetici
D2.9 Mutua induzione
Nella figura D2.31 sono rappresentate due bobine di N1 e N2 spire, avvolte sullo stesso
nucleo magnetico. Le due bobine sono mutuamente accoppiate, in quanto la circolazione di corrente in una delle due produce un flusso magnetico nel nucleo, che va a interessare, in tutto o in parte, anche l’altra bobina. Questo è quanto avviene, per esempio, nei trasformatori elettrici.
N1
N2
Figura D2.31
Bobine mutuamente
accoppiate, avvolte
sullo stesso nucleo
magnetico.
Figura D2.32
Bobine montate
coassialmente
attorno al nucleo
magnetico.
Nella pratica costruttiva, per migliorarne l’accoppiamento, le due bobine vengono spesso disposte in modo coassiale, una all’interno dell’altra (come indicato
nella figura D2.32).
Nella figura D2.33 a, b è riportato lo schema di due bobine mutuamente accoppiate,
nei casi in cui è alimentata la bobina 1 e l’altra è aperta (figura D2.33 a) e viceversa (fig.
D2.33 b). I flussi magnetici che compaiono nello schema hanno il seguente significato:
• nel caso a il flusso Φu è il flusso utile che, prodotto dalla bobina 1, va a interessare
anche tutte le spire della bobina 2; il flusso Φd1 è, invece, il flusso disperso che,
prodotto dalla bobina 1, non si richiude entro nessuna spira della bobina 2; Φ1 è il
flusso totale della bobina 1, somma dei due flussi;
• nel caso b il flusso Φu è ancora il flusso utile, questa volta prodotto dalla bobina 2
e che si richiude in tutte le spire della bobina 1; il flusso Φd2 è, invece, il flusso disperso che, prodotto dalla bobina 2, non si richiude entro nessuna spira della bobina 1; Φ2 è il flusso totale della bobina 2, somma dei due flussi.
I1
I2
Φu
1
N1
Φ d1
2
1
N2
N1
2
Φ d2
N2
Φu
a) Φ 1 = Φ u + Φ d1
b) Φ 2 = Φ u + Φ d2
Considerando il caso di figura D2.33 a e applicando la legge di Hopkinson e la relazione ℘ = L/N2, si ricava l’espressione del flusso totale prodotto dalla bobina 1:
Φ1 = ℘Fm1 = ℘N1 I1 =
LI
L1
N1 I1 = 1 1
2
N1
N1
Il flusso utile che si richiude nella bobina 2 è una parte di questo flusso; introducendo il coefficiente adimensionato α1 = Φu/Φ1, variabile tra 0 (flusso utile nullo) e 1
(flusso utile uguale a quello totale e quindi flusso disperso nullo), si ottiene:
α LI
Φu = α1Φ1 = 1 1 1
N1
Figura D2.33 a, b
Circuiti
mutuamente
accoppiati: flusso
utile e flussi
dispersi.
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
276
Il flusso concatenato con la bobina 2 è dato da:
Φc 2 = Φu N 2 =
α1 L1 I1 N 2
N1
Si definisce coefficiente di mutua induzione M il rapporto tra il flusso concatenato
con la bobina 2 e la corrente della bobina 1 che l’ha prodotto:
M=
Φc 2 α1 L1 N 2
=
I1
N1
[D2.24]
Ripetendo il ragionamento precedente per il caso della figura D2.33 b è facile verificare che il coefficiente di mutua induzione tra le bobine, pari in questo caso al rapporto Φc1/I2 sarà dato da:
M=
α 2 L2 N1
N2
[D2.25]
Moltiplicando membro a membro le espressioni [D2.24] e [D2.25] si ha:
M2 =
α1 L1 N 2 α 2 L2 N1
= α1α 2 L1 L2
N1
N2
Indicando con k = α1α 2 il coefficiente o fattore di accoppiamento tra le due bobine, si ottiene infine:
Coefficiente di
mutua induzione
M = k L1 L2
[D2.26]
relazione che lega il coefficiente di mutua induzione alle induttanze delle due bobine e
al loro fattore di accoppiamento.
Il coefficiente k è un numero adimensionato, per cui l’unità di misura di M è la
stessa dell’induttanza, cioè l’henry (H).
Se le due bobine hanno la stessa induttanza L si ricava facilmente la relazione M = kL.
Riguardo i valori che può assumere il fattore di accoppiamento, si ha che:
•
•
k = 0 (M = 0) indica che l’accoppiamento tra le bobine è nullo e quindi nessuna linea di flusso prodotta dall’avvolgimento magnetizzante si concatena con l’altro;
k = 1 M = L1 L2 indica che l’accoppiamento tra le due bobine è perfetto, in quan-
(
)
to tutto il flusso prodotto da una bobina si concatena con l’altra (flussi dispersi nulli).
L’accoppiamento è tanto più stretto quanto più k si avvicina a 1, tanto più debole o
lasco quanto più il valore di k è prossimo a zero.
ESEMPIO
10
Calcolare il coefficiente di mutua induzione tra due bobine le cui induttanze sono L1 = 0,1 H e
L2 = 25 mH, con coefficiente di accoppiamento 75%.
■ Utilizzando la [D2.26] con k = 0,75, si ricava:
M = k L1 L2 = 0, 75 0, 1 × 25 × 10 −3 = 0, 0375 H=37,5 mH
277
D2 • Interazioni tra circuiti elettrici e campi magnetici
Tensione indotta per mutua induzione
Se nel circuito di figura D2.33 a la corrente I1 viene resa variabile nel tempo, accadono
due fenomeni di induzione elettromagnetica:
•
•
nella bobina 1 nasce una tensione per autoinduzione, dovuta alla variazione di I1, in
modo analogo a quanto visto nel paragrafo precedente;
nella bobina 2 nasce una tensione di mutua induzione, dovuta alla variazione del
flusso concatenato Φc2, variazione conseguente a quella di I1; l’avvolgimento 1 è
detto induttore in quanto produce la variazione di flusso, mentre l’avvolgimento 2
è detto indotto, dato che subisce gli effetti di tale variazione.
Indicando con ΔI1 la variazione della corrente nell’intervallo di tempo Δt e supponendo M costante, la variazione del flusso concatenato con la bobina 2, in base alla
[D2.24], è pari a:
ΔΦc 2 = M ΔI1
e, quindi, la tensione indotta nella bobina 2 sarà data, per la legge di Faraday-Neumann, da:
E2 = M
ΔI1
Δt
[D2.27]
Tensione indotta
di mutua
induzione
Come si vede, è stata usata l’espressione senza il segno “−”; però si deve sempre tener conto della legge di Lenz e quindi la polarità di E2 deve essere tale da opporsi alla
variazione del flusso concatenato Φc2. Per capire come va applicata la legge di Lenz in
questo caso, si consideri lo schema di figura D2.34, in cui si suppone che entrambe le
bobine siano avvolte in senso antiorario e che la bobina 2 sia chiusa su un resistore.
A
C
I1
I2
–
1
C
2
–
N1
N2
E2
R
+
+
R
I2
D
I2
B
D
Se I1 aumenta (ΔI1 > 0) per la [D2.27] si ha E2 > 0; tale tensione deve far circolare
nel secondario la corrente I2 in modo che essa, attraversando la bobina 2, produca un
flusso di reazione diretto verso l’alto, opposto al flusso induttore che sta aumentando;
ciò avviene se la tensione E2 è positiva in D e negativa in C. Si può anche dire, più correttamente, che la f.m.m. di reazione N2I2 deve essere smagnetizzante, in modo da opporsi all’aumento della f.m.m. N1I1.
Per evitare possibili confusioni dovute al senso di avvolgimento delle bobine che,
cambiando, fa variare il senso del flusso, viene adottata la seguente convenzione per i
circuiti mutuamente accoppiati (figura D2.35): quando la corrente entrante nel morsetto segnato con il pallino di una bobina aumenta, la tensione mutuamente indotta
nell’altra è positiva sul corrispondente morsetto segnato. Ovviamente se la corrente entrante nel morsetto segnato diminuisce, si inverte la polarità della tensione indotta.
Figura D2.34
Se I1 aumenta, la
corrente I2 deve
circolare in modo
tale da sviluppare
una f.m.m.
in opposizione al
flusso induttore.
Figura D2.35
Convenzione di
segno per i circuiti
mutuamente
accoppiati.
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
278
Il fenomeno della mutua induzione è molto importante ed è alla base del funzionamento di molte macchine elettriche: sfruttando questo fenomeno è possibile trasferire energia elettrica tra due circuiti elettricamente separati, dato che la variazione
della corrente in un circuito fa nascere tensione nell’altro (e anche corrente, se il circuito è chiuso).
ESEMPIO
11
Con i dati dell’esempio 10 si calcolino le tensioni indotte di auto e mutua induzione che si hanno
quando la corrente nella prima bobina subisce una variazione incrementale di 50 A/s.
■ Il dato 50 A/s corrisponde al rapporto incrementale ΔI1 /Δt. Nella prima bobina si ha una tensione di autoinduzione, mentre nella seconda avviene un fenomeno di mutua induzione. Le due
tensioni indotte saranno pari a:
E1 = L1
ΔI1
= 0,1 × 50 = 5 V
Δt
E2 = M
ΔI1
= 0, 0375 × 50 = 1, 875 V
Δt
Esercizi di verifica
Esercizio 1
Nello schema di figura D2.36 il conduttore H-K ha una resistenza propria R2 e si muove di moto rettilineo uniforme entro un campo magnetico di induzione B costante. Calcolare: la velocità del conduttore; la tensione indotta; la forza esercitata dal campo sul conduttore, specificando se è motrice o resistente; la tensione VHK, le potenze elettriche e il rendimento del sistema in movimento. Supponendo di invertire il senso del moto, calcolare i
nuovi valori della corrente e della forza.
H
R1
E1 = 6 V
= 40 cm
I
R1 = 2 Ω
v
+
B=1T
R2 = 0,5 Ω
B
R2
E1
I = 1,6 A
Figura D2.36
Esercizio 1.
K
[Risultati: v = 5 m/s; E2 = 2 V; F = 0,64 N (motrice); VHK = 2,8 V; Pa = 4,48 W;
Pu = 3,2 W; Pp = 1,28 W; η = 0,714; I′= 3,2 A; F′= 1,28 N, resistente]
Esercizio 2
Nello schema di figura D2.37 il conduttore H-K ha una resistenza propria Ri e si muove di moto rettilineo uniforme entro un campo magnetico di induzione B costante. Calcolare: la forza esercitata dal campo sul conduttore, specificando se è motrice o resistente; la tensione indotta sul conduttore; la tensione VHK; le resistenze Ri e
R; le potenze elettriche del sistema in movimento.
I
H
v = 2,5 m
s
= 50 cm
v
Ri
K
V
R
B = 0,6 T
I=2A
ηη = 0,75
B
Figura D2.37
Esercizio 2.
[Risultati: F = 0,6 N (resistente); E = 0,75 V; VHK = 0,563 V; Ri = 0,0937 Ω;
R = 0,281 Ω; Pg = 1,5 W; Pu = 1,125 W; Pp = 0,375 W]
Esercizio 3
Per la bobina di figura D2.38, interessata da un campo magnetico di induzione B costante, calcolare: la coppia
prodotta dal campo, con la bobina nella posizione di figura; la forza agente su ogni conduttore; la forza agente
su ogni lato; la coppia massima che il campo può produrre sulla bobina, specificando in quale posizione si ha
tale coppia; la corrente necessaria per produrre la stessa coppia se l’angolo α vale 30° anziché 45°.
279
Esercitazioni
D2 • Interazioni tra circuiti elettrici e campi magnetici
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
280
Esercitazioni
F
d
N = 150 spire
B
45°
= 60 cm
I = 1,5 A
F
d = 30 cm
α = 45°
B = 0,21 T
Figura D2.38
Esercizio 3.
[Risultati: C = 6 Nm; Fc = 0,189 N; Fl = 28,4 N; CM = 8,5 Nm; I′= 1,22 A]
Esercizio 4
Calcolare la coppia agente sulla bobina dell’esercizio 3, nel caso di campo magnetico con linee di forza radiali.
[Risultato: C = 8,5 N]
Esercizio 5
Determinare la forza elettrodinamica che si origina tra due conduttori a barra, lunghi 10 m, di sezione rettangolare 5 × 20 mm, posti in aria alla distanza di 20 cm, quando la densità di corrente in ognuno di essi è di 5 A/mm2.
[Risultato: F = 2,5 N]
Esercizio 6
Calcolare la forza di cui all’esercizio precedente, nel caso che, in seguito a un cortocircuito, la corrente nelle
barre diventi 20 volte maggiore di quella che si ha nel funzionamento normale.
[Risultato: F = 1000 N]
Esercizio 7
Una spira elettrica, di dimensioni 10 × 15 cm, ruota con velocità angolare costante in un campo magnetico uniforme di induzione B = 1,3 T. Calcolare: il flusso magnetico massimo concatenato con la spira; la velocità di rotazione, espressa in giri/min, per avere nella spira una EM = 2 V.
[Risultati: ΦM = 19,5 mWb; n = 980 giri/min]
Esercizio 8
Su un nucleo chiuso di materiale ferromagnetico con traferro, avente permeabilità relativa μr = 1200 supposta
costante, lunghezza della parte in ferro 60 cm, lunghezza del traferro 0,3 mm, sezione trasversale 10 cm2, sono
montate due bobine con N1 = 500 spire ed N2 = 800 spire, con coefficiente di accoppiamento k = 0,8. Calcolare:
le induttanze delle bobine; il coefficiente di mutua induzione; le tensioni indotte nelle due bobine quando nella
prima la corrente circolante, pari a 2 A, si annulla linearmente in 10 ms e la seconda bobina è aperta.
[Risultati: L1 = 0,393 H; L2 = 1 H; M = 0,501 H; E1 = − 78,5 V; E2 = − 100 V]
Esercizio 9
Due bobine, aventi rispettivamente N1 = 400 spire e N2 = 250 spire, mutuamente accoppiate al 75%, sono montate su un nucleo magnetico di riluttanza totale 358,1 kH−1. Calcolare: le induttanze delle due bobine; il coefficiente di mutua induzione; le tensioni indotte quando nella prima bobina la corrente varia secondo il grafico di
figura D2.39 e la seconda bobina è aperta.
281
D2 • Interazioni tra circuiti elettrici e campi magnetici
0,3
0
2
5
7
10
t (ms)
Figura D2.39
Esercizio 9.
Andamento nel tempo
della corrente I1.
– 0,3
[Risultati: L1 = 0,447 H; L2 = 0,175 H; M = 0,21 H;
E1: 67 V, 0 V, – 134 V, 44,7 V; E2: 31,5 V, 0 V, − 63 V, 21 V]
Esercizio 10
Su due bobine mutuamente accoppiate sono state svolte le seguenti prove:
a) tenendo aperta la seconda bobina e facendo aumentare linearmente la corrente nella prima da zero a 10 A
in 0,1 s, sono state misurate le tensioni indotte E1 = 10 V e E2 = 6 V;
b) tenendo aperta la prima bobina e facendo aumentare linearmente la corrente nella seconda da zero a
10 A in 0,1 s, sono state misurate le tensioni indotte E1 = 6 V e E2 = 5 V.
Calcolare: le induttanze delle due bobine; il coefficiente di mutua induzione; il fattore di accoppiamento;
il numero di spire della seconda bobina, sapendo che N1 = 300 spire.
[Risultati: L1 = 0,1 H, L2 = 0,05 H, M = 0,06 H; k = 0,849; N2 = 212 spire]
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Spiegare come varia l’intensità della forza prodotta da un campo magnetico uniforme su un conduttore rettilineo percorso da corrente, in funzione dell’angolo di inclinazione del conduttore rispetto alle linee di forza
del campo magnetico.
2. Su due spire perfettamente uguali tra loro agiscono due campi magnetici diversi: uno con linee di forza tra
loro parallele e l’altro con linee di forza radiali. A parità di induzione magnetica B, quali differenze vi sono
tra le coppie di forze prodotte nei due casi?
3. Da quali fattori dipendono il verso e l’intensità delle forze agenti tra due conduttori rettilinei e paralleli, percorsi da due correnti diverse?
4. Enunciare, in generale, la legge dell’induzione elettromagnetica di Faraday-Neumann-Lenz e spiegare la sua
applicazione nel caso dell’autoinduzione.
5. In quale caso un conduttore che si muove di moto rettilineo uniforme in un campo magnetico costante si comporta da utilizzatore attivo?
6. In quale caso un conduttore che si muove di moto rettilineo uniforme in un campo magnetico costante si comporta da generatore elettrico?
7. Ricavare l’espressione della tensione indotta in una spira rotante con velocità angolare costante in un campo
magnetico uniforme.
8. Spiegare il fenomeno della generazione di una tensione indotta per mutua induzione magnetica.
Esercitazioni
I1 (A)
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
282
Esercitazioni
Quesiti a scelta multipla
Scegliere la risposta corretta tra quelle proposte.
1. La forza esercitata da un campo magnetico su un conduttore elettrico disposto perpendicolarmente al vettore B è una grandezza di che tipo?
a È una grandezza scalare, la cui intensità è data dal prodotto BIl.
b È una grandezza vettoriale, diretta perpendicolarmente rispetto B e I, di intensità pari a BIl.
c È una grandezza vettoriale, di intensità pari a BIl, avente lo stesso verso della corrente elettrica.
d È una grandezza vettoriale, diretta perpendicolarmente rispetto B e I, di intensità pari a Blv.
2. Considerando due conduttori paralleli, di lunghezza unitaria e percorsi da corrente, su ognuno di essi
si genera una forza avente quali caratteristiche?
a Direttamente proporzionale alle intensità delle correnti e alla permeabilità magnetica del mezzo e inversamente
proporzionale alla distanza tra i conduttori.
b Direttamente proporzionale alle intensità delle correnti, alla permeabilità magnetica del mezzo e alla lunghezza dei conduttori e inversamente proporzionale alla loro distanza.
c Di valore indipendente dalla permeabilità magnetica relativa del mezzo.
d Inversamente proporzionale alla distanza tra i conduttori e quindi crescente man mano che i conduttori vengono allontanati.
3. Un conduttore che si muove di moto rettilineo uniforme, perpendicolarmente alle linee di forza di un
campo magnetico di induzione costante, quando si comporta da generatore?
a Quando la tensione indotta nel conduttore si oppone alla circolazione di corrente nel conduttore stesso.
b Quando la forza esercitata dal campo magnetico sul conduttore è di tipo motrice, avente lo stesso verso della
velocità.
c Quando diventa sede di una tensione indotta E = Blv che, agendo da f.e.m., provoca la circolazione di una
corrente verso l’utilizzatore esterno.
d Quando diventa sede di una tensione indotta E = BlI che, agendo da f.e.m., provoca la circolazione di una corrente verso l’utilizzatore esterno.
4. La tensione indotta in una spira che si muove di moto circolare uniforme in un campo magnetico di induzione B costante come varia nel tempo e che valore massimo ha?
a Varia sinusoidalmente nel tempo e ha valore massimo indipendente dalla velocità angolare della spira.
b Varia sinusoidalmente nel tempo e ha valore massimo direttamente proporzionale alla velocità angolare della
spira e al flusso magnetico.
c È costante nel tempo, di valore direttamente proporzionale alla velocità angolare della spira.
d Varia sinusoidalmente nel tempo e ha valore massimo indipendente dall’intensità dell’induzione magnetica.
5. A che cosa è dovuta la tensione indotta per autoinduzione in un induttore magnetico?
a
b
c
d
Alla variazione del flusso prodotto da un altro induttore.
Al movimento della bobina all’interno di un campo magnetico.
Alla variazione nel tempo della corrente circolante in un altro induttore, mutuamente accoppiato col primo.
Alla variazione nel tempo della corrente circolante nell’induttore.
283
Fenomeni
transitori nei circuiti
induttivi
Si esaminerà, in questa unità, il comportamento di un induttore durante l’intervallo di tempo in
cui esso scambia energia con il circuito a cui è collegato. Durante questo tempo il flusso magnetico concatenato con le spire dell’induttore varia: quando esso aumenta si parla di transitorio di magnetizzazione, in caso contrario di transitorio di smagnetizzazione.
Il termine “transitorio” indica, analogamente alla carica e scarica di un condensatore, che il
fenomeno non è permanente, ma temporaneo, e pertanto cessa dopo un certo tempo; questo avviene nelle reti in cui sono presenti generatori elettrici di tipo continuo, che impongono
tensioni e correnti costanti nel tempo: quando l’induttore è completamente magnetizzato, la
corrente che lo percorre raggiunge il valore costante imposto dal regime di funzionamento
del circuito e la tensione ai suoi capi, nel caso di induttore ideale privo di resistenza, si annulla. Così non avviene nel caso di reti alimentate con generatori in corrente alternata.
D3.1 Transitorio di magnetizzazione
di un induttore
Si consideri (figura D3.1) un circuito formato da un generatore di tensione continua,
di f.e.m. E, collegato a un induttore di induttanza L, supposto inizialmente smagnetizzato; un interruttore permette di collegare l’induttore al generatore.
La resistenza R rappresenta quella complessiva del circuito, compresa la resistenza
interna del generatore.
+
E
L
R
t = 0Ð
i=0
vL = 0
Figura D3.1
Magnetizzazione di un induttore: istante immediatamente
precedente la chiusura dell’interruttore.
D3
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
284
La trattazione verrà svolta supponendo che l’induttore sia lineare, con induttanza L
2
costante; dato che L = N ℘, l’ipotesi fatta implica che sia costante la permeanza magnetica e che quindi l’induttore sia avvolto in aria o su un materiale non ferromagnetico oppure che funzioni sul tratto lineare della caratteristica di magnetizzazione di un
nucleo ferromagnetico. Si ipotizzerà inoltre, salvo quando diversamente specificato,
che l’induttore abbia una resistenza elettrica propria nulla o comunque trascurabile
rispetto a quella totale del circuito esterno.
Per spiegare quello che avviene nel circuito durante il transitorio di magnetizzazione, occorre considerare che il comportamento di un induttore è determinato dalla
tensione di autoinduzione, data da:
vL = L
Δi
Δt
[D3.1]
L’esame della [D3.1] porta a due importanti considerazioni.
•
In un induttore ideale, senza resistenza elettrica propria, attraversato da una corrente costante I e soggetto al solo flusso concatenato di autoinduzione, tale flusso è
costante nel tempo e non vi è alcuna tensione indotta (nella formula [D1.1] l’incremento ΔI è nullo); questo significa che l’induttore ideale, attraversato da corrente
costante nel tempo, si comporta come un cortocircuito.
i
• L’induttore non consente brusche variazioni di corrente nel circuito
in cui è inserito, ossia la corrente non può “saltare” da un valore all’altro nello stesso istante di tempo, come avverrebbe, per esempio, nel caso
indicato nella figura D3.2. Se così fosse si avrebbe una variazione Δi di
valore finito (1 A nel caso di figura) in un intervallo di tempo Δt = 0 e,
in base alla [D3.1], nascerebbe una tensione indotta di valore infinito,
cosa evidentemente impossibile. La corrente in un induttore deve variare, quindi, con continuità.
2A
1A
0
t
Δt = 0
Figura D3.2
La corrente in un
induttore non può
variare
con discontinuità.
Si consideri, adesso, quello che avviene nel circuito di figura D3.1 in seguito alla
–
chiusura dell’interruttore. Verrà indicato con t = 0 l’istante immediatamente prece+
dente la chiusura dell’interruttore, con t = 0 quello immediatamente successivo a tale
chiusura e con t → ∞ il termine del periodo transitorio, quando le grandezze elettriche
sono a regime.
−
•
per t = 0 (figura D3.1) l’induttore è scollegato dal generatore ed è smagnetizzato,
per cui si ha i = 0 e vL = 0;
•
per t = 0 (figura D3.3 a) la corrente è ancora nulla, dato che, non essendo trascorso alcun tempo dalla chiusura dell’interruttore e non essendo possibili salti di
corrente, si conserverà il valore precedente; per quanto riguarda la tensione vL,
essendo Ri = 0, si avrà: VL0 = E, ossia sull’induttore si localizzerà tutta la f.e.m.
del generatore;
+
+
+
i
i
E
Figura D3.3 a, b
Magnetizzazione
di un induttore:
condizioni iniziali
(a) e a regime (b).
E
L
R
a) t = 0+
L
vL
vL
R
i=0
vL = VL0 = E
b) t ➝ ∞
i ➝ If = E vL ➝ VLf = 0
R
285
D3 • Fenomeni transitori nei circuiti induttivi
•
per t → ∞ (figura D3.3 b) la fase transitoria si è estinta e l’induttore si comporta
come un cortocircuito, con VLf = 0; la corrente nel circuito assumerà il suo valore finale, dato da:
If =
E
R
[D3.2]
Valore finale
della corrente
Durante il transitorio di magnetizzazione, l’equazione che lega la corrente alle altre grandezze del circuito si ricava applicando il secondo principio di Kirchhoff alla
maglia:
− E + Ri + vL = 0
[D3.3]
da cui, sostituendo la [D3.1], si ricava:
Δi
− E + Ri + L
=0
Δt
[D3.4]
Equazione
caratteristica
del processo di
magnetizzazione
Nell’equazione [D3.4] compaiono, analogamente a quella della carica del condensatore, gli incrementi finiti delle grandezze i e t; passando agli infinitesimi di e dt, si ottiene l’equazione differenziale seguente:
− E + Ri + L
di
=0
dt
[D3.5]
la cui soluzione dà la funzione i = f(t) che descrive l’andamento della corrente durante
la fase di magnetizzazione dell’induttore.
La tensione indotta è legata alla f.e.m. e alla corrente dalla relazione seguente, che
si ricava dalla [D3.3]:
vL = E − Ri
[D3.6]
Per arrivare in modo intuitivo a definire i grafici della corrente e della tensione indotta si possono fare le seguenti considerazioni:
•
•
•
•
all’istante iniziale di chiusura dell’interruttore, la corrente è nulla e la tensione indotta ha il valore iniziale VL0 = E;
a regime la corrente arriva al valore finale If = E/R e la tensione tende a zero;
durante il periodo transitorio la corrente aumenta e la tensione indotta, per la
[D3.6], diminuisce;
la pendenza della curva della corrente, rappresentata dai valori del rapporto incrementale:
ΔI vL
=
Δt
L
diminuisce, in quanto si riduce vL; la corrente, pertanto, aumenterà con incrementi
sempre minori.
Tensione
sull’induttore
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
286
La corrente e la tensione indotta varieranno, in base alle considerazioni esposte e
analogamente a quanto succede nella carica di un condensatore, secondo gli andamenti
esponenziali di figura D3.4 a, b, di tipo crescente per la corrente e decrescente per la
tensione.
Figura D3.4 a, b
Magnetizzazione
di un induttore:
andamento
nel tempo della
corrente e della
tensione indotta.
vL
a)
i
If
b)
VL0
O
t
O
t
Le relative espressioni matematiche sono le seguenti:
t
⎛
− ⎞
i = I f ⎜1 − e τ ⎟
⎠
⎝
Leggi di
variazione
della corrente
e della tensione
vL = VL 0 e
−
t
τ
[D3.7]
[D3.8]
dove τ è la costante di tempo del sistema.
Anche in questo caso è possibile definire il tempo di assestamento all’1%, dato da:
Ta = 4, 6τ
[D3.9]
e avente significato identico a quello introdotto nel paragrafo C2.1 e nella scheda
PRE-2.
Espressione della costante di tempo
È possibile ricavare l’espressione della costante di tempo del circuito R-L partendo
dalla seguente definizione:
la costante di tempo è uguale al tempo necessario per magnetizzare l’induttore fino a
una corrente pari a quella finale E/R, supponendo che la magnetizzazione avvenga con
tensione costante, uguale a quella iniziale.
In questo caso la tensione indotta dovrà sempre essere uguale a quella iniziale E; il
flusso concatenato varierà da zero a Φc = LIf nel tempo τ e quindi dovrà essere:
E=
ΔΦc Φc − 0 Φc LI f L E
=
=
=
=
Δt
τ
τ
τ
τ R
da cui si ricava:
Costante
di tempo del
circuito R-L
τ=
L
R
[D3.10]
287
D3 • Fenomeni transitori nei circuiti induttivi
Dall’esame dell’espressione [D3.10] si deduce che:
•
•
all’aumentare della resistenza elettrica del circuito la costante di tempo diminuisce
e la magnetizzazione dell’induttore avviene più velocemente;
all’aumentare dell’induttanza la costante di tempo aumenta e il fenomeno diventa
più lento; dato che l’energia magnetica è direttamente proporzionale a L, aumenta
anche l’energia accumulata nell’induttore al termine della sua magnetizzazione.
Caso dell’induttore inizialmente magnetizzato
Se l’induttore è inizialmente magnetizzato, con corrente iniziale I0, e tende esponenzialmente alla corrente If , la legge di variazione della corrente è data da:
(
)
i = I f + I0 − I f e
−
t
τ
[D3.11]
Legge di
variazione della
corrente
rappresentata dal grafico di figura D3.5.
i
If
Figura D3.5
Andamento
nel tempo
della corrente,
partendo dal valore
iniziale I0.
I0
O
t
L’espressione [D3.11] può essere considerata una formula generale, valida ogni
volta che la corrente varia esponenzialmente da un valore iniziale a uno finale. Da essa
discende l’espressione [D3.7], come caso particolare per I0 = 0.
Una formula analoga può essere scritta per la tensione indotta:
(
)
vL = VLf + VL 0 − VLf e
−
t
τ
[D3.12]
Legge di
variazione
della tensione
Nel caso VLf = 0, dalla [D3.12] si ricava la [D3.8].
Un induttore di induttanza L = 0,1 H, inizialmente smagnetizzato, viene collegato a un generatore
di f.e.m. E = 100 V, tramite un circuito che presenta complessivamente una resistenza di 10 Ω.
Calcolare: la costante di tempo, la tensione indotta iniziale, la corrente finale, il tempo di assestamento all’1% e l’energia magnetica accumulata dopo tale tempo.
■ Con le formule [D3.10] e [D3.9] si calcolano i valori della costante di tempo e del tempo di
assestamento:
τ=
L 0,1
=
= 0, 01 s=10 ms
R 10
Ta = 4, 6 τ = 4, 6 × 10 = 46 ms
La tensione indotta iniziale è uguale alla f.e.m. del generatore: VL0 = E = 100 V
ESEMPIO
1
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
288
E 100
=
= 10 A
R 10
Al tempo di assestamento la corrente nell’induttore è il 99% di quella finale, ossia uguale a:
La corrente finale è data dalla [D3.2]: I f =
I = 0, 99 I f = 0, 99 × 10 = 9, 9 A
e, quindi, l’energia magnetica accumulata nell’induttore è pari a:
W =
ESEMPIO
2
1 2
LI = 0, 5 × 0,1 × 9, 9 2 = 4, 9 J
2
Per l’induttore dell’esempio precedente calcolare la corrente nel circuito e la tensione indotta
al tempo t1 = 30 ms e il tempo t2 necessario affinché la corrente arrivi al valore I2 = 8 A.
■ Dato che l’induttore è inizialmente smagnetizzato, la corrente e la tensione varieranno con le
leggi espresse dalla [D3.7] e dalla [D3.8]; sostituendo il valore di t1 si ha:
t
30
⎛
⎛
⎞
− ⎞
−
I1 = I f ⎜ 1 − e τ ⎟ = 10 ⎜ 1 − e 10 ⎟ = 9, 5 A
⎝
⎠
⎝
⎠
VL1 = VL 0 e
t
− 1
τ
= 100 e
−
30
10
= 4, 98 V
Per calcolare il tempo t2 bisogna applicare la formula [P2.2] della scheda PRE-2 del modulo
C, ottenendo:
⎛
I ⎞
8⎞
⎛
t 2 = −τ ln ⎜ 1 − 2 ⎟ = −10 ln ⎜ 1 − ⎟ = 16,1 mss
⎠
⎝
I
10
⎝
f ⎠
D3.2 Transitorio di smagnetizzazione
di un induttore
Si consideri un induttore lineare di induttanza L, inserito nel circuito di figura D3.6 a,
in cui un tasto T può mettere in cortocircuito il generatore di tensione, in modo da annullare la tensione VAB. Si deve anche supporre che il generatore venga diseccitato o
aperto, in modo che non fornisca più alcuna corrente.
–
Nell’istante immediatamente prima della chiusura di T (t = 0 ), supponendo che il
circuito sia a regime, la corrente sarà uguale a quella finale I′f = E/R raggiunta durante
il precedente transitorio di magnetizzazione e la tensione indotta sarà nulla, essendo la
corrente costante.
+
All’istante t = 0 (immediatamente dopo la chiusura di T) il circuito si presenterà come
nella figura D3.6 b. La corrente nell’induttore, dovendo conservare il valore che aveva
precedentemente, sarà pari a I0 = I′f , mentre la tensione indotta sarà esattamente uguale a
quella sul resistore, con polarità opposta rispetto alla fase precedente; si avrà quindi:
Tensione iniziale
sull’induttore
vL = VL 0 = − RI 0
[D3.13]
L’induttore, non più collegato al generatore, inizierà a smagnetizzarsi, trasferendo
l’energia accumulata durante la magnetizzazione al resistore, che la dissiperà sotto
forma di calore. L’induttore, in questo caso, si comporta da “generatore temporaneo”, sostenendo la circolazione della corrente con l’energia posseduta; dato, però, che tale energia diminuisce man mano che viene dissipata in calore dal resistore, la corrente circolante
diminuirà nel tempo, tendendo a zero. È da notare che il verso della corrente non subisce
variazioni, passando dalla fase di magnetizzazione a quella di smagnetizzazione.
289
D3 • Fenomeni transitori nei circuiti induttivi
A
+
i
E
T
L
B
i
vL
vR
R
L
i
vL
R
vR
L
vL
R
a)
a) t = 0–
b)
i = I′f = E
R
vL = 0
c)
b) t = 0+ i = I0 = I′f
vR = RI0
vL = VL0 = – RI0
t ➝ ∞ i ➝ If = 0
vR ➝ 0
Per t → ∞ (figura D3.6 c) il processo di smagnetizzazione risulterà concluso, tutta
l’energia dell’induttore sarà stata dissipata dal resistore e nel circuito non vi sarà più né
corrente né tensione indotta.
Riassumendo quanto detto in precedenza e tenendo presente che anche per la smagnetizzazione gli andamenti nel tempo delle grandezze sono di tipo esponenziale, si
può osservare che:
•
•
•
•
•
•
vL ➝ VLf = 0
Figura D3.6 a, b, c
Smagnetizzazione
di un induttore:
condizioni iniziali
(a, b) e a regime (c).
la corrente nel circuito dell’induttore partirà dal valore iniziale I0 e tenderà al valore
finale If = 0, con un decadimento esponenziale;
la corrente conserverà il verso che aveva nella fase di funzionamento precedente la
magnetizzazione;
la tensione indotta partirà dal valore iniziale VL0 e tenderà al valore finale VLf = 0,
anch’essa con legge esponenziale decrescente;
il verso della tensione indotta sarà opposto rispetto a quello che aveva durante la
magnetizzazione;
la costante di tempo del processo è ancora data da τ = L/R, dove R è la resistenza
del circuito di smagnetizzazione e può non avere lo stesso valore della resistenza
di magnetizzazione;
la durata pratica del processo di smagnetizzazione è ancora pari a 4,6τ, istante nel
quale la corrente nell’induttore sarà uguale all’1% di quella iniziale.
Le espressioni analitiche delle forme d’onda della corrente e della tensione indotta
si possono ricavare da quelle generali [D3.11] e [D3.12], considerando nulli i valori finali; si ottengono le funzioni:
i = I0 e
−
vL = VL 0 e
t
τ
−
[D3.14]
t
τ
[D3.15]
i cui grafici sono rappresentati nelle figure D3.7 e D3.8. Nella figura D3.8 è stato evidenziato che la tensione indotta durante la smagnetizzazione è opposta (e quindi negativa) rispetto a quella che si ha durante la magnetizzazione, assunta come riferimento
positivo.
Caso della smagnetizzazione incompleta
Se l’induttore non si smagnetizza completamente, ma, a causa del circuito in cui è inserito, la corrente passa dal valore iniziale I0 a quello finale If < I0, si ha ancora una di-
Leggi di
variazione
della corrente
e della tensione
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
290
i
Figura D3.7
Smagnetizzazione di
un induttore: andamento
nel tempo della corrente.
I0
i
I0
If
O
t
vL
O
t
Figura D3.9
Smagnetizzazione incompleta di un induttore.
O
VL0
t
VL0 = – RI0
Figura D3.8
Smagnetizzazione
di un induttore: andamento
nel tempo della tensione
indotta.
minuzione esponenziale della corrente, la cui equazione rientra nella formula generale
[D3.11] e il cui grafico è rappresentato nella figura D3.9.
La tensione indotta partirà da un valore iniziale dipendente dai parametri del circuito è tenderà a zero, dato che a transitorio estinto si ha ancora ΔI = 0, secondo l’andamento esponenziale decrescente descritto dalla formula [D3.15].
ESEMPIO
3
Un induttore di induttanza L = 0,15 H, inizialmente magnetizzato con I0 = 2 A, si smagnetizza
in un circuito avente resistenza R = 3 Ω . Calcolare l’energia magnetica nell’induttore all’istante t1 = 0,1 s.
L 0,15
= 0, 05 s
■ La costante di tempo del circuito di smagnetizzazione è data da: τ = =
R
3
Usando la [D3.14] si calcola la corrente nell’istante t1: I1 = I 0 e
valore a cui corrisponde l’energia: W1 =
ESEMPIO
4
t
− 1
τ
=2e
−
0 ,1
0 ,05
= 0, 271 A
1 2
L I1 = 0, 5 × 0,15 × 0, 2712 = 5, 51 mJ
2
Ripetere l’esempio precedente supponendo che la corrente finale nell’induttore sia If = 0,5 A.
■ In questo caso la corrente I1 si calcola applicando la [D3.11]:
(
)
I1 = I f + I 0 − I f e
t
− 1
τ
= 0, 5 + ( 2 − 0, 5 ) e
−
0 ,1
0 ,05
= 0, 703 A
e, quindi:
W1 =
1 2
L I 1 = 0, 5 × 0,15 × 0, 7032 = 37,1 mJ
2
291
D3 • Fenomeni transitori nei circuiti induttivi
D3.3 Risoluzione di reti induttive
nel periodo transitorio
In questo paragrafo verranno esaminate reti elettriche contenenti un solo induttore,
di induttanza costante. Non si considererà la presenza contemporanea di più induttori e quindi l’unico fenomeno elettromagnetico di cui bisognerà tener conto è l’autoinduzione.
Per risolvere la rete nel periodo transitorio di magnetizzazione e smagnetizzazione
dell’induttore, durante il quale le grandezze elettriche (corrente e tensione) nel lato
contenente l’induttore variano nel tempo con legge esponenziale, bisogna calcolare tre
elementi caratteristici di tali grandezze: il valore iniziale, il valore finale e la costante
di tempo, noti i quali si ricavano le leggi di variazione della corrente e della tensione
indotta mediante le formule generali [D3.11] e [D3.12]. Per il calcolo della resistenza
del circuito di magnetizzazione o di smagnetizzazione che compare nell’espressione
[D3.10] della costante di tempo si ricorre generalmente alla determinazione del generatore equivalente di Thevenin del relativo circuito.
Occorre inoltre tener presente la durata del funzionamento: se l’induttore resta collegato al circuito di magnetizzazione o di smagnetizzazione per un tempo non inferiore
a 4,6τ, si può considerare che la corrente e la tensione siano arrivate ai valori di regime,
altrimenti occorre calcolarne i valori nell’istante in cui si ha la variazione di configurazione del circuito.
Per quanto riguarda gli altri elementi della rete, occorre valutare se il loro comportamento sia oppure no influenzato direttamente dall’induttore: per esempio la tensione
in un resistore collegato in serie con un induttore, data da v = Ri, segue l’andamento
esponenziale della corrente.
Gli esempi seguenti hanno lo scopo di chiarire quanto precedentemente esposto.
Per la rete di figura D3.10 calcolare, dopo la chiusura dell’interruttore T, la costante di tempo
del circuito di magnetizzazione e gli andamenti della corrente e della tensione sull’induttanza,
disegnandone i relativi grafici. Determinare, inoltre, l’andamento della corrente nel resistore
R2, sia prima che dopo la chiusura di T.
R1
T
A
R3
+
R2
E
ESEMPIO
L
E = 25 V
R1 = 10 Ω
R2 = 40 Ω
R3 = 2 Ω
L = 0,2 H
Figura D3.10
Esempio 5.
B
■ Con l’applicazione del teorema di Thevenin alla rete a sinistra dell’interruttore, si ottiene:
RTh =
R1 R2
10 × 40
=
=8Ω
R1 + R2 10 + 40
ETh = E
R2
25 × 40
=
= 20 V
R1 + R2 10 + 40
Il circuito equivalente è riportato nella figura D3.11. Il valore della costante di tempo è dato
da:
τ=
0, 2
L
=
= 0, 02 s
RTh + R3 8 + 2
5
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
292
A
Figura D3.11
Esempio 5.
Riduzione
del circuito
di figura D3.10
mediante
l’applicazione
del teorema
di Thevenin.
R3
+
i
ETh
vL
L
RTh
i
2A
Figura D3.12
Esempio 5.
Andamento nel
tempo della
corrente i.
B
0
t
Poiché a regime l’induttanza si comporta come un cortocircuito, il valore finale della corrente i è uguale a:
If =
20
ETh
=
=2A
RTh + R3 8 + 2
La corrente aumenterà esponenzialmente da zero a 2 A, secondo la legge:
t
t
⎛
⎞
−
⎛
− ⎞
i = I f ⎜ 1 − e τ ⎟ = 2 ⎜ 1 − e 0,02 ⎟
⎠
⎝
⎝
⎠
rappresentata nella figura D3.12.
La tensione indotta vL partirà dal valore iniziale VL0 = ETh = 20 V (I0 = 0) e tenderà esponenzialmente a zero, secondo la legge:
vL = VL 0 e
−
t
τ
= 20 e
−
vL
t
0 ,02
20 V
rappresentata nella figura D3.13.
Figura D3.13
Esempio 5.
Andamento
nel tempo
della tensione vL.
0
t
Per calcolare l’andamento della corrente in R2, si considerino i circuiti di figura D3.14 a, b,
rappresentanti, rispettivamente, la rete data prima della chiusura di T e dopo tale chiusura, in
condizioni di regime, con l’induttanza sostituita da un cortocircuito.
R1
Figura D3.14 a, b
Esempio 5.
Circuiti per il
calcolo del valore
iniziale (a) e finale
(b) della corrente i2.
I1f
A
I20
+
a)
B
Si ricava:
I 20 =
25
E
=
= 0, 5 A
R1 + R2 10 + 40
A
I2f
+
R2
E
R1
R2
E
b)
B
R3
293
D3 • Fenomeni transitori nei circuiti induttivi
I1 f =
E
=
Req
I 2 f = I1 f
25
E
=
= 2,1 A
40 × 2
R2 R3
10 +
R1 +
40 + 2
R2 + R3
R3
2,1 × 2
=
= 0,1 A
R2 + R3 40 + 2
La corrente i2 diminuirà esponenzialmente da 0,5 A a 0,1 A, con la seguente legge, ricavata
applicando l’espressione [D3.11]:
(
)
i2 = I 2 f + I 20 − I 2 f e
−
t
τ
= 0,1 + ( 0, 5 − 0,1) e
−
t
0 ,002
= 0,1 + 0, 4 e
−
t
0 ,02
il cui grafico è riportato nella figura D3.15.
i2
0,5 A
0,1 A
0
t
Per il circuito di figura D3.16, a regime con l’interruttore aperto, calcolare le correnti i1, i2,
iL e la tensione vL e disegnarne gli andamenti nel tempo, prima e dopo la chiusura dell’interruttore.
i1
i2
iL
R2
+
L
E1 = 24 V
R1 = R2 = 100 Ω
vL
R3 = 50 Ω
E1
L = 200 mH
Figura D3.16
Esempio 6.
B
■ Interruttore aperto
La corrente nell’induttore è nulla, essendo il ramo aperto; anche la tensione vL è nulla, dato che
l’induttore si comporta a regime come un cortocircuito. Nella maglia a sinistra dell’interruttore le
due correnti sono uguali, essendo le resistenze in serie. Si avrà quindi:
IL0 = 0
ESEMPIO
R3
A
R1
Figura D3.15
Esempio 5.
Andamento nel
tempo della
corrente i2.
–
VL 0 = 0 (istante t = 0 )
I10 = I 20 =
E1
24
=
= 0,12 A
R1 + R2 100 + 100
■ Interruttore chiuso
Applicando il teorema di Thevenin si ottiene il circuito equivalente di figura D3.17, per il quale
si ha:
RTh = ( R1 / / R2 ) + R3 =
100
+ 50 = 100 Ω
2
ETh =
E1 24
=
= 12 V
2
2
6
294
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
+
iL
ETh
Figura D3.17
Esempio 6.
Circuito equivalente
di Thevenin con
l’interruttore chiuso.
vL
L
RTh
Il valore della costante di tempo è dato da: τ =
L
200 × 10 −3
=
= 2 ms
RTh
100
La corrente iL avrà un andamento esponenziale crescente, da zero al valore finale:
I Lf =
⎛
secondo la legge: iL = I Lf ⎜ 1 − e
⎝
−
t
τ
ETh
12
=
= 0,12 A
RTh 100
t
⎛
⎞
−
⎞
0 ,002
⎟⎠ = 0, 12 ⎜⎝ 1 − e
⎟⎠
+
La tensione indotta partirà, all’istante t = 0 , dal valore iniziale VL 0 = ETh = 12 V e tenderà
esponenzialmente a zero, con legge:
vL = VL 0 e
−
t
τ
= 12 e
−
t
0 ,002
Con l’interruttore chiuso la tensione vAB sarà data da:
t
t
t
t
t
–
⎞
⎛
−
−
−
−
vAB = R3iL + vL = 50 × 0,12 ⎜ 1 − e 0,002 ⎟ + 12 e 0,0002 = 6 − 6 e 0,002 + 12 e 0,002 = 6 + 6 e 0,002
⎠
⎝
t
⎞
⎛
−
vAB = 6 ⎜ 1 + e 0,002 ⎟
⎠
⎝
+
legge che indica un andamento esponenziale decrescente da 12 V (t = 0 ) a 6 V (t → ∞ ).
Applicando la legge di Ohm e il primo principio di Kirchhoff, si calcolano gli andamenti
delle correnti i1 e i2:
t
⎞
⎛
−
6 ⎜ 1 + e 0,002 ⎟
t
⎞
⎛
−
⎠
⎝
v
= 0, 06 ⎜ 1 + e 0,002 ⎟
i2 = AB =
100
R2
⎠
⎝
i1 = i2 + iL = 0, 06 + 0, 06 e
−
t
0 ,002
+ 0,12 − 0,12 e
−
t
0 ,002
i1 = 0,18 − 0, 06 e
−
t
0 ,002
+
Per t = 0 gli esponenziali assumono il valore 1 e si ha:
i1 ( 0 + ) = 0,18 − 0, 06 = 0,12 A
i2 ( 0 + ) = 0, 06 (1 + 1) = 0,12 A
che sono esattamente i valori che avevano le due correnti prima della chiusura dell’interruttore.
Per t → ∞ gli esponenziali si annullano e si ricavano i valori di regime delle due correnti:
I1 f = 0,18 A
I 2 f = 0, 06 A
Si può notare che è rispettata la condizione I1f = I2f + ILf stabilita dal primo principio di
Kirchhoff.
D3 • Fenomeni transitori nei circuiti induttivi
Gli andamenti richiesti delle correnti e della tensione sono riportati nelle figure D3.18,
D3.19, D3.20, D3.21.
iL (A)
vL (V)
0,12 A
12 V
0
t (ms)
Figura D3.18
Esempio 6.
Andamento nel tempo della corrente iL.
0
t (ms)
Figura D3.19
Esempio 6.
Andamento nel tempo della tensione vL.
i1 (A)
0,18
i2 (A)
0,12
0,12
0,06
0
Figura D3.20
Esempio 6.
Andamento nel tempo della corrente i1.
t (ms)
0
Figura D3.21
Esempio 6.
Andamento nel tempo della corrente i2.
t (ms)
295
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
Esercitazioni
296
Esercizi di verifica
Esercizio 1
Un induttore viene magnetizzato mediante un generatore reale di tensione, avente E = 12 V e R = 6 Ω; sapendo
che la corrente iniziale nell’induttore è nulla e che all’istante t1 = 0,1 s si ha I1 = 0,5 A, calcolare: la costante di
tempo; l’induttanza; il tempo t2 necessario per avere una corrente pari all’85% di quella finale; l’energia magnetica nell’induttore in tale istante.
[Risultati: τ = 0,348 s; L = 2,09 H; t2 = 0,66 s; W2 = 3,02 J]
Esercizio 2
Un induttore di induttanza L = 0,5 H viene magnetizzato, partendo da corrente nulla, mediante un generatore
reale di tensione avente E = 10 V; la costante di tempo del circuito è 0,1 s. Calcolare: la resistenza del circuito;
la corrente finale nell’induttore; la tensione iniziale ai suoi capi; la corrente e la tensione indotta nell’istante
t1 = 0,25 s; il tempo t2 necessario per avere una tensione ai capi dell’induttore di 4 V; l’energia magnetica immagazzinata nell’induttore al termine del periodo transitorio.
[Risultati: R = 5 Ω; If = 2 A; V0 = 10 V; I1 = 1,84 A; V1 = 0,821 V;
t2 = 91,6 ms; Wf = 1 J]
Esercizio 3
Durante la fase di magnetizzazione il flusso concatenato con un induttore di induttanza L = 0,1 H passa dal valore iniziale di 5 mWb al valore finale, a regime, di 50 mWb. Sapendo che la resistenza del circuito di magnetizzazione vale 10 Ω determinare: la legge di variazione della corrente nel tempo; l’istante t1 in cui il flusso concatenato vale 15 mWb.
t
– ––––
0,01;
[Risultati: i = 0,5 – 0,45 e
t1 = 2,51 ms]
Esercizio 4
Una bobina di induttanza L = 25 mH viene magnetizzata e, a regime, raggiunge un livello di energia magnetica
pari a 0,45 J. Supponendo di smagnetizzarla mediante un circuito di resistenza R = 2,5 Ω, calcolare: la corrente
e la tensione iniziali di smagnetizzazione, la corrente I1 dopo 20 ms dall’inizio della smagnetizzazione, il tempo
t2 dopo il quale l’energia magnetica della bobina diventa la metà di quella iniziale.
[Risultati: I0 = 6 A; VL0 = – 15 V; I1 = 0,812 A; t2 = 3,466 ms]
Esercizio 5
Nel circuito di figura D3.22 la chiusura del contatto T determina la magnetizzazione dell’induttore, fino alle condizioni di regime. Calcolare: la costante di tempo; l’intensità di corrente e l’energia finale dell’induttore; gli andamenti della tensione vL, della corrente iL e della corrente i1 prima e dopo la chiusura di T, disegnandone i relativi grafici.
R2
A
T
i1
I01
iL
R1
L
VL
I01 = 0,5 A
R1 = 40 Ω
R2 = 10 Ω
L = 0,2 H
B
Figura D3.22
Esercizio 5.
[Risultati: ττ= 4 ms;
ILf = 0,4 A; WLf = 16 mJ; vL
diminuisce esponenzialmente
da 20 V a zero;
iL aumenta esponenzialmente
da zero a 0,4 A; I1 = 0,5 A
(prima della chiusura)
e diminuisce
esponenzialmente da 0,5 A
a 0,1 A dopo la chiusura]
297
D3 • Fenomeni transitori nei circuiti induttivi
Nel circuito di figura D3.23 l’interruttore T viene chiuso e lasciato in tale posizione fino al termine del periodo
transitorio. Calcolare: la costante di tempo; le espressioni di iL e vL in funzione del tempo, disegnandone i grafici; il valore iniziale e finale della tensione VAB; l’espressione in funzione del tempo della tensione su R2.
R2
A
T
+
R3
E1
iL
I02
R1
L
B
E1 = 20 V
R1 = 20 Ω
I02 = 0,5 A
R2 = 5 Ω
R3 = 15 Ω
L = 0,08 H
vL
[
(
Risultati: ττ= 2 ms; iL = 0,75 1 – e
Figura D3.23
Esercizio 6.
t
– ––
ττ
)
; vL = 30 e
t
– ––
ττ ;
VAB0 = 30 V;
(
VABf = 15 V; vR2 = 3,75 1 – e
t
– ––
ττ
)]
Esercizio 7
La rete di figura D3.24 è inizialmente in condizioni di regime, con T aperto. L’interruttore T viene poi chiuso,
fino al raggiungimento del nuovo regime, e infine riaperto. Calcolare: i valori di VAB e iL prima della chiusura
di T; il valore di VAB subito dopo la chiusura di T; la costante di tempo con T chiuso; i valori finali della corrente
e dell’energia dell’induttore con T chiuso; la costante di tempo con T aperto; la tensione iniziale sull’induttore
con T aperto.
Verificare che il valore finale della iL con T aperto coincide con quello iniziale della prima fase e disegnare
gli andamenti nel tempo della tensione e della corrente dell’induttore.
T
A
iL
R1
R2
L
+
I03
E1
E1 = 25 V
R1 = 10 Ω
L = 50 mH
I03 = 0,5 A
R2 = 50 Ω
E2 = 10 V
E2
+
B
Figura D3.24
Esercizio 7.
′ = 2,5 V; ττ1 = 6 ms; ILf = 2,8 A;
[Risultati: VAB0 = 0 V; IL0 = 2,5 A; V AB0
]
Wf = 0,196 J; ττ2 = 5 ms; V′′
AB0 = – 3 V
Esercitazioni
Esercizio 6
Esercitazioni
298
Modulo D • Elettromagnetismo, circuiti magnetici
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Spiegare come varia la corrente durante il transitorio di magnetizzazione di un induttore inizialmente non magnetizzato e disegnarne il relativo grafico. Specificare, in particolare, quanto vale la corrente finale e perché
le variazioni di corrente che si hanno nei successivi intervalli Δt sono sempre più piccoli.
2. Disegnare e spiegare l’andamento della tensione vL durante il transitorio di magnetizzazione di un induttore.
3. Ricavare l’espressione della costante di tempo del circuito di magnetizzazione di un induttore.
4. Come varia il tempo di assestamento in funzione dei valori di R e di L?
5. Dimostrare che durante il transitorio di magnetizzazione il flusso concatenato con un induttore varia esponenzialmente con la stessa legge della corrente.
6. Spiegare come variano la corrente e la tensione durante il transitorio di smagnetizzazione di un induttore e disegnarne i relativi grafici.
7. Per quale ragione un induttore di resistenza propria trascurabile si comporta, a regime, come un cortocircuito?
8. Le costanti di tempo di magnetizzazione e di smagnetizzazione di un induttore sono necessariamente uguali?
ELETTRONICA
Modulo E
Introduzione
all’elettronica
digitale
Obiettivi
Prerequisiti
Scheda PRE-1 Semiconduttori, diodi e transistor
Contenuti
• E1 Gli ambiti dell’elettronica
• E2 Variabili binarie, operatori logici elementari, porte logiche
• E3 Il laboratorio di elettronica digitale
• E4 Sistemi di numerazione
• E5 Attività di laboratorio proposte
Esercitazioni
• Esercizi di verifica
• Test di verifica
302
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
Obiettivi
Al termine di questo modulo gli alunni dovranno:
1. conoscere la struttura generica di un sistema elettronico e della
comunicazione tra parti analogiche e parti digitali;
2. saper descrivere i campi di variabilità di una grandezza analogica e di una
grandezza digitale;
3. conoscere l’insieme delle variabili binarie con gli operatori logici
elementari;
4. saper definire e rappresentare gli operatori logici elementari;
5. conoscere le principali famiglie tecnologiche dei circuiti integrati logici
TTL e CMOS, le loro caratteristiche essenziali, le configurazioni dei
circuiti d’uscita;
6. saper descrivere le caratteristiche di ingresso e di uscita di un circuito
logico integrato e i problemi di compatibilità tra integrati di famiglie
logiche differenti;
7. conoscere le funzionalità dei principali strumenti e attrezzature del
laboratorio di elettronica digitale e le modalità della loro utilizzazione;
8. saper descrivere i criteri da osservare nella realizzazione di esperienze in
laboratorio di elettronica digitale;
9. conoscere i principali sistemi di numerazione posizionale;
10. saper rappresentare e convertire i numeri nei codici posizionali di base 2,
16, BCD, complemento a due, ed eseguire su essi operazioni aritmetiche.
Prerequisiti
SCHEDA PRE-1 Semiconduttori, diodi
e transistor
Si suppone che lo studente conosca il significato delle grandezze elettriche tensione,
corrente, resistenza, e che conosca e sappia applicare la legge di Ohm, le regole di
calcolo di un partitore di tensione e il principio di sovrapposizione degli effetti.
La conoscenza delle strutture di diodi e transistor, dei modelli che ne illustrano il funzionamento, e dei simboli che li rappresentano, sono utili per una
maggiore comprensione delle caratteristiche elettriche dei circuiti delle varie famiglie tecnologiche.
Semiconduttori puri
Semiconduttori come il Silicio (Si) e il Germanio (Ge) sono tetravalenti (quattro elettroni periferici vengono condivisi tra atomi vicini). In un cristallo puro
di Si o di Ge la densità di atomi è di 5 o 4,4 · 1022 atomi per cm3. A temperatura
ambiente la concentrazione intrinseca di cariche libere di muoversi al loro interno è rispettivamente di 1,5 · 1010/cm3 e 2,5 · 1013/cm3, meno di una carica
ogni miliardo di atomi. Quando, a causa dell'agitazione termica, un elettrone
sfugge al legame che lo teneva vincolato agli atomi del reticolo cristallino, uno
di quegli atomi resta con una carica positiva non più compensata da quella dell’elettrone divenendo uno ione positivo. Ogni elettrone che sfugge lascia un
buco, una lacuna, e anche la lacuna, come l’elettrone, inizia a vagare all’interno
del cristallo; ciò perché l’atomo rimasto senza un elettrone tende ad attirarne
uno a spese dei suoi vicini, con l’effetto di una carica positiva che si sposta da
Prerequisiti
303
un atomo all’altro. Naturalmente può capitare che un elettrone libero si ricombini con una lacuna. In un semiconduttore puro la densità intrinseca di elettroni
liberi è uguale a quella delle lacune ni = pi. Il loro valore dipende dal materiale
e dalla temperatura.
Semiconduttori con impurità
Se nella struttura cristallina di un semiconduttore intrinseco si introducono
atomi di un elemento pentavalente, questi cedono facilmente uno degli elettroni
periferici che, entrando in conduzione, lasciano altrettanti ioni positivi bloccati
nella struttura cristallina; questi non tendono a catturare un altro elettrone. Si
dice che il semiconduttore è stato drogato con impurità di tipo n poiché in esso
le cariche libere di muoversi sono in maggioranza elettroni.
Se gli atomi introdotti sono invece di tipo trivalente, ciascuno di essi cattura
un elettrone a spese degli atomi di semiconduttore vicini, diviene uno ione negativo bloccato nella struttura cristallina, e genera una lacuna che, con la sua carica positiva, comincia a vagare. In questo caso si dice che il semiconduttore è
drogato con impurità di tipo p poiché le cariche in esso libere di muoversi, le lacune, sono positive.
In un semiconduttore drogato i portatori di carica maggioritari si ricombinano in parte con quelli minoritari facendo così diminuire la loro densità. Dette
n e p la densità degli elettroni di conduzione e quella delle lacune, vale la legge
di azione di massa: n · p = n2i .
Giunzione p -n, diodi a semiconduttore
In un cristallo di semiconduttore si creano una zona di tipo p e una di tipo n confinanti l’una con l’altra, poiché i portatori maggioritari tendono, in assenza di
forze contrarie, a distribuirsi uniformemente su tutto il cristallo; da ciascuna
delle rispettive zone un po’ di essi migra, diffonde, nell’altra zona. Il fenomeno
termina però non appena sul confine tra le due zone si forma un campo elettrico
di intensità sufficiente a contrastare il fenomeno. La figura PRE-1.1 rappresenta la situazione finale: nella zona n gli elettroni sono rappresentati da piccoli
pallini neri e gli ioni donatori da cerchietti col segno +; nella zona p le lacune
sono rappresentate da piccoli cerchietti blu e gli ioni accettori da cerchietti col
segno –; alcuni elettroni della zona n passano nella zona p lasciando in parte non
compensata la carica positiva (+) degli ioni donatori, e, in prossimità del confine, colmano un corrispondente numero di lacune; analogo discorso vale per le
lacune della zona p. Il risultato complessivo è una sottile zona (mezzo micron),
priva di cariche di conduzione, depletion layer, a cavallo del confine, con un
campo elettrico interno diretto da n a p che contrasta la diffusione.
Il dispositivo così realizzato è un diodo; la zona di tipo n è detta catodo e
quella di tipo p, anodo. La figura PRE-1.2 ne riporta il simbolo.
Figura PRE-1.1
Giunzione p – n.
A
Anodo
p
n
K
Catodo
Figura PRE-1.2
Simbolo di un diodo.
304
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
Polarizzazione diretta della giunzione p-n
L’applicazione di una tensione positiva tra anodo e catodo contrasta il campo
elettrico del depletion layer, il fenomeno di diffusione riprende e il diodo entra
in conduzione: elettroni diffondono nella zona p, dove sono cariche minoritarie,
e lacune diffondono nella zona n, dove sono minoritarie. Il depletion layer è popolato da cariche minoritarie provenienti dalle due zone opposte, cariche che
vengono via via neutralizzate da quelle maggioritarie. In questo caso si dice che
il diodo è polarizzato in modo diretto.
Per tensioni dirette inferiori a una soglia Vγ (0,7 V per i diodi al silicio), la
corrente resta fino a 100 volte inferiore al massimo consentito, poi la tensione
ai suoi capi si mantiene quasi costante e la corrente cresce esponenzialmente;
occorre perciò porre in serie al diodo una resistenza che ne limiti la corrente
massima.
Diodi LED
La ricombinazione di una coppia elettrone-lacuna avviene grazie a imperfezioni nella struttura cristallina e ad impurità di tipo metallico che funzionano
come trappole; grazie a esse si riesce a dosare il tempo di vita dei portatori di
carica (da 1 ns a 1 μ s).
Nella ricombinazione elettrone-lacuna viene restituita energia sotto forma
di calore. In altri semiconduttori come l’arseniuro di gallio una buona parte
delle ricombinazioni avviene direttamente e in questo caso l’energia viene restituita sotto forma di radiazione in buona parte infrarossa e in parte visibile. I
diodi LED sono realizzati con questi materiali.
Polarizzazione inversa
L’applicazione di una tensione positiva tra catodo e anodo, cioè nel verso opposto al precedente, allontana ancora di più i portatori maggioritari dal depletion layer; in tal caso può esserci solo una corrente molto piccola (corrente inversa di
saturazione), dovuta a coppie elettrone-lacuna che si originano all’interno del
depletion layer; questa corrente per i diodi al silicio è dell’ordine dei 10–9 A.
Anche per la tensione inversa c’è un limite oltre il quale all’interno del depletion
layer il campo elettrico diviene così forte da generare molte coppie elettrone-lacuna o da provocare, per urto delle cariche minoritarie contro gli atomi del cristallo, un effetto a valanga.
Reverse recovery time
Quando la tensione applicata a un circuito con resistore e diodo in serie commuta
da diretta a inversa, la migrazione delle cariche da una zona all’altra si interrompe; tuttavia, a causa delle cariche minoritarie inizialmente presenti nel depletion layer, per un breve intervallo di tempo il diodo si comporta come un corto
circuito, ciò finché l’eccesso di cariche minoritarie non viene eliminato grazie
alla loro ricombinazione. A quest’intervallo va aggiunto un tempo di transizione
dovuto all’effetto capacitivo proprio della giunzione. Complessivamente questo
ritardo (detto tempo di recupero nel passaggio alla polarizzazione inversa) può
valere da 1 ns a 1 μ s.
Transistor BJT
BJT è l’acronimo di bipolar junction transistor. I BJT sono dotati di tre elettrodi collegati rispettivamente a tre zone, dette Emettitore, Base e Collettore.
Questo tipo di transistor è realizzato con una struttura simile a quella di figura
PRE-1.3 dove sono visibili due giunzioni, una tra emitter e base e l’altra tra
base e collettore. Qui gli elettroni di conduzione sono rappresentati da piccoli
segni “–”, le lacune da pallini blu, gli ioni da cerchietti con segno + o segno –.
305
Prerequisiti
Figura PRE-1.3
Struttura di un BJT n-p-n.
Emitter
Base
n
p
n
Collettore
Con riferimento al drogaggio delle tre zone, un BJT può essere di tipo npn,
come nel caso di figura, o pnp; la figura PRE-1.4 ne riporta schemi e simboli.
C
C
C
C
Collettore
B
p
B
B
Base
n
B
n
Base
p
Emettitore
Emettitore
E
E
E
Collettore
p
n
Figura PRE-1.4
Schemi e simboli
di BJT pnp e npn.
a)
E
b)
c)
d)
Se, come in figura PRE-1.3, in un BJT npn si polarizza in modo diretto la
giunzione emitter-base, e inversamente la giunzione base-collettore, gli elettroni dell’emitter diffondono nella base; di essi una piccola percentuale si ricombina con le lacune mentre la maggior parte si diffonde nel depletion layer
base-collettore dove incontra un forte campo elettrico che la porta nel collettore
e da qui nel circuito di polarizzazione. In queste condizioni la tensione VBE è
quella di un diodo polarizzato direttamente e la corrente di collettore IC è dell’ordine di 100 volte quella di base, da cui dipende principalmente. Dette Ie, Ib,
Ic, le correnti di emitter, base e collettore, è Ie = Ic + Ib.
Il BJT come interruttore
Il transistor viene usato anche per realizzare amplificatori analogici; qui interessa il suo funzionamento come interruttore.
Nel circuito di figura PRE-1.5 il transistor va in conduzione quando è applicata una tensione VBE che polarizza in modo diretto la giunzione base-emettitore; se la corrente IC e la resistenza RC sono tali da provocare una sufficiente
caduta di tensione, la tensione VCE diviene abbastanza piccola (circa 0,2 V),
tanto che la giunzione base-collettore risulta polarizzata direttamente e il collegamento collettore-emitter si può considerare come un interrutore chiuso. In
queste condizioni si dice che il transistor è in saturazione.
RC
VCC
RB
VBB
IC
IB
VBE
VCE
E
IE
Figura PRE-1.5
BJT npn in conduzione.
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
306
Se la polarizzazione base-emitter viene annullata o invertita, la corrente si
interrompe, il collegamento collettore-emitter è come un interruttore aperto, e si
dice che il transistor è in interdizione. I tempi di ritardo tra una commutazione
sul circuito di polarizzazione di base e la conseguente transizione da una condizione all’altra sono dell’ordine di alcune decine di ns.
Discorsi del tutto analoghi valgono per il BJT di tipo pnp.
Transistor MOSFET
I transistor MOSFET hanno tre elettrodi detti Source, Drain e Gate. Nei MOS
a canale n source e drain fanno capo a due zone n+, cioè fortemente drogate di
tipo n, immerse in un substrato debolmente drogato di tipo p, e tra loro distanti
qualche decina di micron. Il gate consiste in una lamina di alluminio o di silicio
policristallino drogato con boro intermedia tra gli altri due elettrodi e isolata dal
resto del dispositivo mediante una sottilissima zona di biossido di silicio. La figura PRE-1.6 rappresenta la struttura di un MOS a canale n. Il substrato è in genere internamente collegato con il source.
MOSFET a riempimento
In questi MOS non c’è inizialmente un canale conduttivo tra Source e Drain.
Quando tra gate e substrato di un MOS a canale n si impone una tensione positiva superiore al valore di soglia (da 2.5 a 6 V); allora le cariche minoritarie che
si accumulano nella zona sotto il gate stabiliscono un collegamento sufficientemente conduttivo tra source e drain. Discorso del tutto analogo vale per i MOSFET a riempimento a canale p, dove il substrato è di tipo n e source e drain
sono di tipo p+.
MOSFET a svuotamento
Esistono anche MOSFET a svuotamento nei quali il canale nel substrato è precostituito da una zona leggermente drogata dello stesso tipo del drain e del
source. In questo caso la tensione tra gate e source, a seconda del suo segno e
dell’intensità, regola la conducibilità del canale aumentandola o diminuendola
fino alla sua chiusura. La figura PRE-1.7 mostra i simboli utilizzati per i vari
tipi di MOSFET.
Source
Figura PRE-1.6
Struttura di un MOS
a canale n.
Gate
Drain
n
n
p
Substrato
D
D
G
D
G
D
D
G
D
G
G
G
S
a)
S
b)
S
c)
S
d)
S
e)
S
f)
Figura PRE-E1.7
Simboli di MOS. a) e b) a canale p a riempimento, c) e d) a canale n a riempimento, e) e f) a svuotamento a canale n e a canale p.
Gli ambiti
dell’elettronica
E1
Oggetto di studio dell’elettronica è la generazione, l’elaborazione e la trasformazione di segnali
elettrici di potenza relativamente piccola.
L’elettronica interagisce con altre grandezze del mondo fisico mediante trasduttori, ad esempio
i segnali elettrici in uscita da un microfono possono essere amplificati e poi inviati a degli altoparlanti, o essere trasformati in onde elettromagnetiche ricevute a distanza dall’antenna di un
ricevitore; o ancora: un computer riceve segnali dalla tastiera, dal mouse, e da altri dispositivi, li
interpreta, esegue i comandi ricevuti, e ne visualizza i risultati sul monitor.
Attualmente il mondo dell’elettronica è fatto di componenti passivi come resistori, condensatori,
induttanze, diodi, e di componenti attivi discreti, come i transistor di vario genere, e integrati
come gli amplificatori operazionali, i generatori di tensione di riferimento, i circuiti logici, le memorie, i circuiti programmabili. La conoscenza delle loro caratteristiche ne consente il corretto
utilizzo e l’applicazione nella realizzazione delle funzioni più complesse.
L’elettronica ha due rami principali che si sviluppano ampiamente in modo abbastanza indipendente l’uno dall’altro, essi sono il digitale e l’analogico.
E1.1 L’elettronica analogica
L’elettronica analogica è una parte dell’elettronica che studia il modo di generare, controllare e trasformare i segnali elettrici considerandoli come grandezze che possono acquisire tutti i possibili valori compresi all’interno del loro campo di variabilità. Segnali
di questo tipo sono rappresentati in figura E1.1. Sono dispositivi analogici i raddrizzatori, i filtri, gli amplificatori, gli oscillatori e vari altri circuiti la cui risposta a un segnale di ingresso è una funzione continua.
vI
VSS
t
VSI
v2
Vmin
t
Figura E1.1
Segnali di tipo
analogico.
307
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
308
E1.2 L’elettronica digitale
L’elettronica digitale è una parte dell’elettronica che si occupa di circuiti i cui segnali
d’ingresso e d’uscita, per la parte significativa del loro tempo, possono acquistare valori compresi solo in alcuni e ben distinti intervalli del loro campo di variabilità.
La figura E1.2 mostra due esempi di segnali digitali.
Figura E1.2
Segnali di tipo
digitale.
R/W
CS
Bit
Come si vedrà in questa parte del testo, questo ramo si estende dalle più semplici
porte logiche ai più complessi circuiti integrati, dai semplici flip-flop ai circuiti di conteggio, di memoria, di generazione o riconoscimento di sequenze, e infine ai circuiti
programmabili e ai microprocessori che sono il cuore degli attuali computer.
Il termine ‘digitale’ viene dalla parola inglese ‘digit’ che significa cifra. I numeri
sono espressi in cifre. Di una somma di centinaia di milioni si dice che è a 9 cifre, poiché la si pensa espressa nel sistema decimale, dunque con 9 caselle ciascuna destinata
a ospitare uno dei simboli da 0 a 9. I digit dell’elettronica sono cifre binarie, bit (acronimo di binary digit). In un numero espresso in binario ciascun bit può ospitare o uno
zero (0) o un uno (1); ciò non impedisce di esprimere numeri comunque grandi, posto
che si disponga di un adeguato numero di bit.
Dal punto di vista concettuale la traduzione di un bit in segnale elettrico è presto
fatta: un bit vale zero oppure uno; a ciascun bit si fa corrispondere l’uscita di un circuito la cui tensione deve essere compresa in due ben distinte fasce di valori (figura
E1.3): una definita come livello basso (0), l’altra fascia definita come un livello alto
(1); sono esclusi valori intermedi. Un circuito che rappresenti più bit disporrà di tante
uscite quanti sono i suoi bit. La figura E1.4 propone un semplice esempio in cui con
componenti passivi alimentati da una batteria si realizza elettronicamente un numero di
4 bit: con tutti gli interruttori aperti il numero in binario ABCD è 1111; se si chiudono
gli interruttori SWB e SWC il numero diventa 1001, e così di seguito.
Figura E1.3
Livelli logici.
V
Livello Alto
Livello Basso
Normalmente un sistema elettronico contiene sia circuiti digitali che circuiti analogici. Si pensi come esempio a un moderno sistema di registrazione dove l’input è costituito da microfoni che trasformano il segnale audio, che è analogico, in segnale elettrico, da amplificatori che portano questo segnale a livelli adatti alle caratteristiche di
ingresso di dispositivi di conversione in formato digitale, da circuiti di elaborazione e
memorizzazione digitale.
309
E1 • Gli ambiti dell’elettronica
Figura E1.4
Rappresentazione
elettrica di un
numero di 4 bit.
VCC
R1
330
R2
330
A
SWA
R3
330
C
B
SWB
R4
330
SWC
D
SWD
GND
La comunicazione tra dispositivi analogici e dispositivi digitali
Della comunicazione tra le due parti, l’analogica e la digitale, si occupano particolari
dispositivi elettronici detti convertitori A-D e D-A. I primi traducono un segnale analogico in una sequenza di numeri che indicano la successione dei valori del segnale
analogico campionato a intervalli regolari abbastanza frequenti da consentire l’eventuale precisa ricostruzione del segnale originario. I secondi trasformano ogni numero
binario, espresso mediante livelli alti e bassi, sui suoi ingressi, in un corrispondente livello di tensione.
In figura E1.5 il segnale analogico, in nero, viene campionato a una frequenza 4
volte maggiore della sua massima frequenza; il segnale che se ne ottiene, in blu, presenta una successione di livelli di tensione che un convertitore A/D tradurrà in una successione di codici binari.
5
Figura E1.5
Trasformazione
di una grandezza
analogica in una
digitale.
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
50
100 150 200 250 300 350 400 450 500
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
Esercitazioni
310
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Descrivere la caratteristica comune delle grandezze di tipo analogico.
2. Dire che cosa si intende per segnale di tipo digitale.
3. Descrivere gli ambiti dell’elettronica analogica e dell’elettronica digitale.
4. Dire attraverso quali dispositivi riescono a comunicare tra loro circuiti elettronici di tipo analogico e di tipo
digitale.
5. Spiegare il significato di bit.
Quesiti a scelta multipla
Scegliere la risposta corretta tra quelle proposte.
1. I valori di tensione di un segnale analogico possono:
a variare con continuità da un valore estremamente negativo a uno estremamente positivo.
b assumere alcuni valori compresi tra un massimo e un minimo.
c assumere uno qualsiasi dei valori compresi tra un massimo e un minimo.
d variare con continuità per la maggior parte del tempo all’interno di uno dei livelli consentiti.
2. I valori di tensione di un segnale digitale:
a variano con continuità tra due soli livelli ammessi.
b restano per la maggior parte del tempo compresi all’interno di due sole fasce di valori.
c possono valere solo 0 V o 5 V.
d saltano continuamente da un livello all’altro dei due soli livelli consentiti.
3. Un digit:
a può valere 0 oppure 1.
b può valere da 0 a 9.
c è un bit.
d è un simbolo mediante cui si esprimono i numeri.
4. In un sistema complesso:
a l’elettronica digitale può da sola effettuare qualsiasi operazione, anche interfacciandosi col mondo fisico.
b l’elettronica digitale è più adatta a realizzare le parti di elaborazione dei segnali.
c l’elettronica digitale è più adatta a realizzare le parti di interfacciamento col mondo fisico.
d l’elettronica analogica è più adatta a realizzare le parti di elaborazione dei segnali.
5. Un segnale analogico può essere digitalizzato:
a campionandolo periodicamente.
b campionandolo periodicamente a una frequenza sufficientemente alta.
c codificandone con un numero sufficiente di bit i campioni prelevati a frequenza abbastanza alta.
d codificandone, mediante un convertitore D-A e un numero sufficiente di bit, i campioni prelevati a frequenza
abbastanza alta.
Variabili binarie,
operatori logici elementari,
porte logiche
E2
Ingressi e uscite dei circuiti digitali possono assumere solo valori di tensione compresi in una di
due fasce dette livello basso e livello alto. Poiché le variabili di ingresso e di uscita di questi circuiti sono del tutto simili ai predicati contenuti in una qualsiasi proposizione ai quali si attribuiscano i valori di vero o di falso, e le funzioni da essi svolte corrispondono alle più semplici regole
della logica in base alle quali, accertata la verità delle premesse, è possibile dedurre la verità o
falsità delle conclusioni, questi circuiti sono anche detti circuiti logici.
E2.1 Variabili binarie, bit
Una variabile binaria può assumere di volta in volta uno tra due ben distinti valori
possibili.
Un interruttore, un LED, diodo a emissione di luce, un semaforo in cui non sia previsto il giallo, una proposizione come: “Il limite di velocità su questa strada è di 70
km/h”, sono tutti esempi di variabili binarie. In generale, i valori assunti da una variabile binaria sono convenzionalmente indicati semplicemente con 0 e 1.
Si dice che si usa una logica positiva quando zero sta per basso, falso, spento,
aperto, rosso, mentre uno sta per alto, vero, chiuso, acceso, verde. Quando si sostituisce zero ad alto, vero, chiuso, acceso, verde, e uno a basso, falso, spento, aperto, rosso
la logica adottata è negativa.
Una variabile binaria va pensata come un cassettino con giusto lo spazio per contenere uno 0 oppure un 1; per esprimere il suo valore è cioè sufficiente un bit.
E2.2 Operatori logici NOT, AND, OR, circuiti con
interruttori
Verso la metà del XIX secolo, un matematico di nome George Boole, presentò la sua
Indagine sulle leggi del pensiero…. Egli intese proporre un formalismo matematico
che, applicato alle proposizioni, consentisse di calcolarne la veridicità. Egli scoprì che
nella formulazione di costrutti logici, e nella loro verifica, si utilizza una struttura costituita da proposizioni che possono avere uno solo dei due valori, “vero” e “falso”, e
da semplici leggi di composizione come il prodotto logico, AND (il connettivo “e”), e
la somma logica, OR (il connettivo “o”).
Dopo circa cento anni le leggi formulate da George Boole sono state applicate allo
studio dei circuiti con interruttori che, perciò, sono anche detti circuiti logici. Un interruttore e una proposizione semplice condividono in effetti la stessa natura di una variabile binaria.
Logica positiva
e logica negativa
311
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
312
A
–
A
Operatore NOT
0
1
1
0
Per ogni proposizione che dichiara per vero un fatto è possibile crearne un’altra che
dice esattamente il contrario. Entrambe le proposizioni possono rivelarsi vere oppure
false, e tuttavia, se una risulta vera l’altra non può che essere falsa. Ad esempio di una
stessa persona si potrà dire che A): “ha conseguito la laurea in matematica”, oppure che
B): “non ha conseguito la laurea in matematica”. Ora, sia A che B possono essere dichiarazioni vere o false; ma se A è vera, B non può che essere falsa; se invece B è vera,
A è falsa. Evidentemente queste due variabili A e B non sono tra loro indipendenti. Se
la variabile indipendente è A, allora è B = B(A), cioè B è funzione di A, e visto che B
Ð
nega ciò che A afferma, si può scrivere: B = NOT(A) = A . La sopralineatura sul nome
della variabile ne indica la negazione.
La funzione NOT () è definita dalla tabella E2.1 e la si può anche pensare come un operatore: NOT è un operatore che applicato a una variabile A ne assegna una seconda
B = NOT(A) che vale 1 quando A = 0 e vale 0 quando A = 1.
La figura E2.1 rappresenta un circuito in cui il LED si accende quando l’interruttore è aperto (Off): quando l’interruttore è chiuso cortocircuita il ramo con il LED, assorbendo tutta la corrente erogata dalla batteria; se invece l’interruttore è aperto, tutta
la corrente va sul LED.
Tabella E2.1
NOT.
Figura E2.1
LED = NOT(Sw).
+VCC
5V
470
SW
LED
SW
LED
off
on
on
off
GND
Se nella tabella che descrive la relazione tra la variabile SW e la variabile LED si
sostituiscono Off o Spento con 0, e On o Acceso con 1, si ottiene esattamente la tabella
della funzione NOT. Pertanto: LED = NOT(SW).
B
A
P
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Tabella E2.2
P = AND(A, B).
Operatore AND
Si consideri ora il seguente problema: una cassaforte si apre se in ciascuna delle due
serrature A e B sono inserite le chiavi giuste. Due nuovi cassieri hanno ricevuto ciascuno una chiave ma non sanno se si tratta di chiavi della cassaforte.
Come potranno andare le cose quando essi tenteranno di accedervi?
Mediante la tabella E2.2, con tre colonne, una per ciascuna serratura e una per l’esito dell’operazione, si possono descrivere ordinatamente tutti i possibili casi. Le colonne A e B rappresentano, una per ciascuna serratura, le proposizioni: “è inserita la
chiave giusta”. La colonna P rappresenta la proposizione: “la cassaforte si apre”; i valori 0 e 1 stanno rispettivamente per falso e vero.
P(A, B), è una funzione binaria a due ingressi, la cui tabella della verità si riassume
in questo modo: “La cassaforte si apre solo se nella serratura A e nella B (contemporaneamente) sono inserite le chiavi appropriate”.
Il connettivo e (AND), che mette insieme le due frasi, “la chiave giusta è inserita in
A” e “la chiave giusta è inserita in B”, ha il significato di congiungerle, attribuendo alla
frase complessiva, e quindi alla sua conclusione “la cassaforte si apre”, il valore di vero
solo se entrambi i presupposti sono veri. La verifica delle due affermazioni A e B consente di dedurre la verità della conclusione P.
La funzione P (A, B), definita dalla tabella E2.2 è detta AND e la si può anche pensare come
un operatore: si definisce AND un operatore che associa a una coppia di variabili binarie A
e B una terza variabile P che vale 1 solo se contemporaneamente sono A = 1 e B = 1.
313
E2 • Variabili binarie, operatori logici elementari, porte logiche
Si scrive P(A, B) = A AND B o, più brevemente, P(A, B) = A · B, con il segno di prodotto
al posto di “AND“. Le due espressioni si leggono nello stesso modo: “P è il prodotto logico di A e B“ o anche “P è la AND di A e B”.
Quando si collegano tra loro due interruttori uno dietro l’altro, come in figura E2.2 a,
si dice che sono posti in serie. Due dispositivi collegati in serie sono percorsi dalla stessa
corrente. Nel circuito qui rappresentato la corrente può attraversare il LED e accenderlo
solo se entrambi gli interruttori vengono chiusi. Se nella tabella di figura E2.2 b che descrive il comportamento del circuito si sostituiscono Off e Spento con 0, e On e Acceso
con 1, essa coincide esattamente con quella di una AND.
+VCC
5V
R1 330
SW1
SW2
LED
a)
GND
SW1
SW2
LED
off
off
off
off
on
off
on
off
off
on
on
on
Figura E2.2 a, b
LED = AND(Sw1,
Sw2).
b)
Operatore OR
Un analogo ma diverso esempio è quello di due amici che si sono dati appuntamento
per visionare un appartamento di cui entrambi hanno ricevuto la chiave. Cosa può avvenire se entrambi si recano all’appuntamento un po’ sovrappensiero?
Anche qui ci sono due variabili binarie: A = “il 1° amico ha con sé la chiave” e
B = “il 2° amico ha con sé la chiave”, e una funzione binaria S(A, B) = “sarà possibile
entrare”. Ciascuna delle due proposizioni A e B può essere vera oppure falsa, mentre S
dipende dal valore delle prime due.
Di nuovo tutte le possibilità sono descritte da una tabella che si può sintetizzare con
la frase: “Sarà possibile entrare se uno o (OR) l’altro (o entrambi) hanno con sé la
chiave”.
Questa volta le due frasi A e B sono messe insieme dal connettivo o, che ha il significato di attribuire alla conclusione S il valore di vero se uno o l’altro, anche separatamente (la o è un connettivo che disgiunge), dei presupposti è vero.
B
A
S
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Tabella E2.3
S = OR(A, B).
Si dice OR una funzione S(A, B ) definita dalla tabella della verità E2.3; essa vale 1 se almeno una o entrambe le sue variabili valgono 1.
Per l’operatore OR si usa il segno “+”, e si potrà scrivere: S(A, B) = A OR B, oppure
S(A, B) = A + B. S(A, B) è anche detta somma logica di A e B.
Nella figura E2.3 a i due interruttori sono tra loro collegati in parallelo: essi sono
due possibili percorsi per la corrente che, giunta al primo nodo dove due estremità degli interruttori sono collegate insieme, si divide in due parti (non necessariamente
uguali), che vanno poi a confluire sul secondo nodo.
In questo caso il LED si accende se almeno uno dei due interruttori è chiuso. Se
nella tabella di figura E2.3 b che descrive il comportamento del circuito si scrive 0 al
posto di Off e 1 al posto di On, essa coincide esattamente con quella di una OR.
Figura E2.3 a, b
LED = OR(Sw1,
Sw2).
+VCC
5V
SW1
R1 330
SW2
GND
a)
LED
SW1
SW2
LED
off
off
off
off
on
on
on
off
on
on
on
on
b)
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
314
Tabelle della verità
Tabelle che definiscono le funzioni binarie di variabili binarie, come quelle di NOT, AND e
OR, sono dette tabelle della verità.
L’operatore NOT si applica a una singola variabile (è unario), AND e OR sono invece
applicate ad almeno due variabili.
Ciò che rende diverse AND e OR, è la terza colonna delle rispettive tabelle; le due
colonne di sinistra nelle due tabelle sono identiche perché entrambe indicano, nello
stesso ordine, le possibili combinazioni di valori dei due ingressi binari. Esse corrispondono ai primi quattro numeri binari espressi con 2 bit.
Le funzioni binarie di variabili binarie sono anche dette funzioni booleane, esse
possono avere molte variabili di ingresso, e sono definite ciascuna dalla sua tabella
della verità.
Nella compilazione delle tabelle della verità si ricorre alla numerazione binaria in
modo da non dimenticare nessuna delle possibili combinazioni di valori delle variabili
di ingresso. Seguendo quest’ordine è inoltre possibile riconoscere facilmente alcune
funzioni fondamentali. Il numero di righe necessarie dipende dal numero di variabili
indipendenti; se il loro numero è n, 2n è il numero di righe della tabella. Per definire
una funzione binaria Q(A, B, C), di tre variabili A, B e C, occorre una tabella di 8 righe
(più l’intestazione), per potervi inserire tutte le combinazioni di valori delle variabili di
ingresso, cioè i codici binari dei numeri da 0 a 7. Per una funzione di quattro variabili
le righe necessarie oltre all’intestazione saranno 16.
Circuiti logici con relè
Il relè più semplice è un dispositivo con un circuito di ingresso costituito da un avvolgimento di rame intorno a un nucleo magnetico, e da un circuito d’uscita costituito da
un interruttore normalmente aperto. Quando nell’avvolgimento di rame viene fatta
passare una corrente, si genera una forza magnetica che chiude l’interruttore del circuito d’uscita. In assenza della corrente, e del campo magnetico da essa generato, una
molla mantiene aperto l’interruttore.
Nel circuito di figura E2.4, i due interruttori in serie sono quelli di due relè i cui ingressi, rispettivamente A e B, possono essere collegati a massa oppure alla tensione di alimentazione. Le resistenze in serie agli avvolgimenti hanno la funzione di limitare in essi
la corrente. Quando i circuiti d’entrata vengono interrotti, l’energia in essi accumulata si
scarica velocemente e senza shock attraverso i diodi. I due livelli di tensione applicabili
ad A e B sono indicati con L (Low = basso) o 0, e con H (High = alto) o 1. Se a entrambi
gli ingressi viene applicato il livello 1, l’uscita U viene collegata direttamente alla tensione Vcc, e si dirà che U = H, o U = 1, altrimenti essa resta collegata a massa attraverso
la resistenza R, e si dirà che U = L, o U = 0. Il circuito realizza dunque la funzione AND.
In modo del tutto analogo, ma collegando in parallelo gli interruttori dei due relè, si
realizza una OR.
Figura E2.4
AND realizzata
con due relè.
VCC
5V
A
SW1
GND
B
SW2
U
GND
R 1k
GND
315
E2 • Variabili binarie, operatori logici elementari, porte logiche
E2.3 Circuiti logici integrati
Dopo i relè e le valvole elettroniche sono stati inventati dispositivi come i diodi e i
transistor di vario tipo che si costruiscono dentro minuscoli cristalli di semiconduttore,
e si sono realizzati circuiti con transistor e diodi che si comportano secondo le tabelle
della NOT, della AND e della OR. In essi i transistor sono utilizzati come interruttori
elettronici comandati da un livello di tensione basso oppure alto. Spesso ci si riferisce
a questi circuiti di base indicandoli come porte logiche.
Si è successivamente trovato il modo di costruire, all’interno di piccoli cristalli di
semiconduttore, circuiti elettronici contenenti un gran numero di porte logiche collegate in modo da ottenere le più varie e complesse funzioni. A seconda del numero di
porte logiche elementari, essi sono catalogati come circuiti integrati della piccola, o
della media o della larga scala di integrazione… rispettivamente: SSI, MSI, LSI, …
Caratteristiche generali degli integrati
Come nella costruzione di frasi composte da più proposizioni, AND, OR e NOT sono
gli elementi costitutivi dei circuiti logici; per questo a ciascuno di essi è stata assegnata
una rappresentazione grafica. La figura E2.5 mostra nell’ordine a sinistra i simboli
delle porte logiche OR ed AND, e a destra quelli delle porte NOT.
OR
A
B
C
A
B
NOT
A
AND B
C
A
B
I circuiti logici vengono costruiti dentro piccoli cristalli di semiconduttore e con caratteristiche che consentono di collegarne diversi tra loro, e in vari modi, per costruire
funzioni più complesse.
Alcuni integrati mettono a disposizione dell’utente singole porte logiche o singole
funzioni elementari, altri forniscono funzioni logiche di media complessità frequentemente utilizzate, altri ancora sono circuiti molto complessi e potenti, capaci di eseguire
più funzioni secondo come vengono programmati. Naturalmente il numero di porte logiche in essi contenuto è tanto più elevato quanto maggiore è la complessità delle funzioni realizzate. Nella realizzazione di qualunque dispositivo che utilizzi circuiti logici
sono spesso necessari anche i circuiti più elementari.
I dispositivi fisici che realizzano le funzioni logiche hanno dei limiti entro i quali il
loro funzionamento resta coerente con il modello astratto di riferimento. Un esempio
di questi limiti è l’esistenza di fasce di valori per le tensioni da applicare agli ingressi.
Per questi limiti, e a seconda della tecnologia con cui i dispositivi sono costruiti,
sono rispettati degli standard. Nei data sheet i produttori forniscono tutte le informazioni per l’uso corretto, inclusi gli schemi logici, l’individuazione di ingressi, uscite e
alimentazioni, le caratteristiche elettriche, le condizioni fisiche entro cui è garantito il
loro corretto funzionamento.
Si segnalano qui di seguito alcune delle caratteristiche più importanti:
•
•
•
•
•
•
la piedinatura, ovvero la corrispondenza tra i piedini del dispositivo integrato e i
suoi circuiti logici;
le tabelle della verità;
la tensione di alimentazione, spesso indicata con Vcc, da applicare tra i pin Vcc e
GND, o VDD e VSS;
la massima tensione riconosciuta come livello basso, ViLmax;
la minima tensione riconosciuta come livello alto, ViHmin;
la massima tensione in uscita al livello basso, VoLmax;
Figura E2.5
Simboli di porte
logiche OR, AND,
NOT.
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
316
•
•
•
•
la minima tensione in uscita al livello alto, VoHmin;
le correnti massime agli ingressi ai livelli basso e alto, IiLmax e IiHmax;
le correnti massime alle uscite a livello basso e alto, IoLmax e IoHmax;
i tempi di propagazione, tp, e di transizione tt.
Ad esempio, per i circuiti logici di tecnolgia TTL-LS per uso non militare, identificati con sigle del tipo 74LSNN, dove NN identifica il particolare circuito integrato,
sono forniti i seguenti valori:
Vcc = 5 ± 0,25 V;
VILmax = 0,8 V;
VIHmin = 2,0 V;
VoLmax = 0,5 V,
VoHmin = 2,7 V;
IILmax = –0,36 mA;
IIHmax = 20 μA;
IoLmax = 8 mA,
IoHmax = –0,4 mA;
tpmax = 15 ns.
Il segno della corrente indica che esce (segno –) o che entra (segno +) nel dispositivo.
La figura E2.6 mostra lo schema logico-funzionale del circuito integrato 74HCT32;
esso indica che all’interno del suo corpo, a forma di un rettangolino con 14 pin (piedini
per i collegamenti), distribuiti equamente su ciascuno dei lati più lunghi, e numerati andando in senso antiorario a partire da un segno di riferimento, l’integrato contiene quattro OR e che la tensione di alimentazione va applicata tra i pin 14 e 7.
Figura E2.6
Circuito integrato
74HCT32.
14
13
12
11
10
9
8
VCC
74HCT3212
GND
1
2
3
4
5
6
7
Famiglie tecnologiche dei circuiti logici
Dai due principali tipi di transistor discende la sigla che contraddistingue le due principali famiglie di circuiti integrati logici; si tratta dei transistor a giunzione bipolare,
BJT, e dei transistor unipolari a metallo, ossido e semiconduttore, MOS.
Per ciascuna di queste tecnologie, quella a BJT e quella a MOS, allo scopo di migliorare la velocità o il consumo energetico, sono state sviluppate le diverse soluzioni elencate nello schema di figura E2.7. In essa sono anche indicati i valori della
potenza dissipata (Pd) da una porta logica in condizioni di riposo e della frequenza
massima dei segnali a onda rettangolare cui i dispositivi possono rispondere in modo
corretto.
I dispositivi TTL sono per lo più contraddistinti da una sigla che nella parte iniziale
include le cifre 54 o 74; la serie 54 può essere utilizzata in condizioni di temperatura
più estreme, come quelle previste nelle applicazioni militari; la serie 74, di tipo più
economico, è più adatta per applicazioni commerciali.
Le sigle che contraddistinguono gli integrati CMOS contengono nella parte iniziale
le cifre 40 o 45.
Le lettere all’inizio delle sigle indicano la casa costruttrice, le cifre finali la particolare funzione dell’integrato; per le TTL, tra le cifre iniziali (54 o 74) e le finali sono
inserite delle lettere che ne specificano la particolare tecnologia (come LS, ALS, F …).
317
E2 • Variabili binarie, operatori logici elementari, porte logiche
BJT
Figura E2.7
Famiglie
tecnologiche TTL
e CMOS.
ECL (Emitter Coupled Logic, le più veloci)
Pd (mW) fmax(Mhz)
TTL
STD (Standard)
10
35
LS (Low power Schottky)
5
45
S (Schottky)
20
125
ALS (Advanced L S)
1
70
AS (Advanced S)
8
200
F (Fast)
4
130
Pd (mW) fmax(Mhz)
CMOS
0.001
0.025
Serie 4000
HC/HCT
10
50
Nell’utilizzazione in uno stesso circuito di integrati di famiglie logiche diverse
come CMOS e TTL occorre affrontare problemi legati alle diverse caratteristiche elettriche di ciascun integrato. I CMOS-HCT alimentati a 5 V hanno caratteristiche compatibili con i circuiti TTL.
Dispositivi logici elementari integrati (SSI)
Nella tabella E2.4 si riportano i valori tipici di alcune principali caratteristiche degli
integrati TTL e CMOS tratti da data book.
Gli integrati HCT sono perfettamente compatibili con quelli TTL, mentre quelli HC
possono pilotare direttamente TTL, ma non vale il viceversa: la VoH di un TTL è inferiore alla ViHmin di qualunque CMOS.
HCT e TTL
sono compatibili
Le serie 54 e 74 di tutti questi integrati e i loro equivalenti HCT hanno in genere la
stessa piedinatura; perciò un integrato 74LSNN e uno 74HCTNN alimentati a 5 V sono
il più delle volte intercambiabili. Per questo motivo nelle sigle degli integrati qui di seguito presentati le lettere “xx” che specificano la particolare tecnologia stanno a indicare sia gli integrati TTL che i QMOS-HCT.
Dai valori di tensione di ingresso di un CMOS e di uscita di un TTL si deduce che
un TTL non può direttamente pilotare un CMOS: il livello alto d’uscita assicurato per
un TTL LS è 2,7 V, ed è ancora più basso per un TTL standard, mentre un CMOS riconosce come alto un livello di almeno 3.5 V.
Un TTL non può
pilotare un CMOS
Un CMOS della serie 4000B non può pilotare direttamente l’ingresso di un TTL STD,
non a causa dei livelli di tensione in uscita del CMOS ma perché la corrente che questo tipo
di CMOS è in grado di assorbire a livello basso non è sufficiente (0,44 contro 1,6 mA).
Un CMOS non può
pilotare
un TTL STD
Tabella E2.4 Alcune caratteristiche elettriche di integrati TTL e CMOS
TTL - Alimentazione Vcc = 5 V ± 5%
STD
TTL-LS
VIL
VIH
IIL
IIH
VOL
VOH
IOL
IOH
fmax
0,8 V
0,8 V
2V
2V
–1,6 mA
–0,36 mA
40 μA
20 μA
0,4 V
0,5 V
2,4 V
2,7 V
16 mA
8 mA
–0,4 mA
–0,4 mA
35 MHz
45 MHz
CMOS - Alimentazione 3÷18 V
Vdd – Vss = 5V
Serie 4000B
HC
HCT
VIL
VIH
IIL
IIH
1,5 V
1,35 V
0,8 V
3,5 V
3,15 V
2V
–0,1 μA
–0,1 μA
–1 μA
0,1 μA
0,1 μA
1 μA
VOL con IO
VOH con IO
0,4 V
0,4 V
0,4 V
4,6 V –0,16 mA
3,7 V –4 mA
3,7 V –4 mA
0,44 mA
4 mA
4 mA
fmax
10 MHz
50 MHz
50 MHz
318
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
Fan-Out (ventaglio sull’uscita)
Fan-out è termine con cui si indica il numero di ingressi della stessa famiglia tecnologica collegabili a un’uscita. Si tratta in definitiva del rapporto Io/Ii; esso vale 10 nel
caso di TTL-STD e 20 nel caso di TTL-LS. Ha poco senso parlare di fan-out per i
CMOS dal momento che questi circuiti hanno correnti di ingresso particolarmente
basse.
Alcuni integrati con porte logiche elementari
Le figure E2.8 e E2.9 riportano gli schemi funzionali degli integrati TTL (serie 74) e
CMOS (serie 40) qui di seguito descritti.
Figura E2.8
Porte logiche
integrate TTL.
14
13
12
11
10
9
8
14
VCC
13
12
11
10
9
VCC
74ALS00
74LS02
GND
1
14
2
13
3
12
4
11
5
10
6
9
GND
7
8
1
14
2
13
3
12
4
11
5
10
6
9
74ALS04
74ALS08
GND
GND
1
14
2
13
3
12
4
11
5
10
6
9
7
8
1
14
VCC
2
13
3
12
4
11
5
10
6
9
7
8
VCC
74xx10
74HCT32
GND
1
14
7
8
VCC
VCC
Figura E2.9
Porte logiche
integrate CMOS.
8
2
13
3
12
4
11
5
10
6
9
GND
7
8
Vdd
1
14
2
13
3
12
4
11
5
10
6
9
7
8
Vdd
4001
4011
Vss
Vss
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
14
13
12
11
10
9
8
16
15
14
13
12
11
10
Vdd
Vdd
4049
4012
Vss
1
9
2
3
4
5
6
7
Vss
1
2
3
4
5
6
7
8
319
E2 • Variabili binarie, operatori logici elementari, porte logiche
L’integrato 74xx00 è un Quad 2-input NAND Gate. La funzione NAND corrisponde
alla negazione della AND; il cerchietto sull’uscita della AND indica la negazione.
L’integrato 74xx02 è un Quad 2-input NOR Gate. La funzione NOR corrisponde
alla negazione della OR.
L’integrato 74xx04 e il 74LS05 sono HEX Inverter (NOT), hanno la stessa piedinatura, ma il secondo ha uscite open collector.
L’integrato 74xx08 è un Quad 2-input AND Gate; stessa piedinatura del 74xx00.
L’integrato 74xx10 è un Triple 3-input NAND Gate.
L’integrato 74xx32 è un Quad 2-input OR Gate.
L’integrato 4001 è un Quad 2-input NOR gate.
L’integrato 4011 è un Quad 2-input NAND gate.
L’integrato 4012 è un Dual 4-input NAND gate.
L’integrato 4049 e il 4050 hanno la stessa piedinatura e sono rispettivamente un
HEX Inverter e un HEX buffer; essi hanno la speciale (per la serie 4000B) caratteristica di poter pilotare due ingressi TTL.
E2.4 Configurazioni d’uscita dei circuiti logici
integrati
Struttura a totem pole
I circuiti d’uscita dei circuiti logici sono il più delle volte realizzati con due transistor,
T1 e T2, posti tra i due estremi di alimentazione del circuito; la loro rappresentazione, figura E2.10, ricorda un palo scolpito come un totem. I due transistor funzionano come
interruttori controllati in modo che se uno è chiuso l’altro è aperto. L’uscita del circuito
sta proprio tra i due transistor e perciò essa presenta un livello alto, o basso, a seconda
di quale dei due transistor è in conduzione; per questo i due transistor sono detti l’uno di
pull up (spinge la tensione d’uscita verso il livello alto) e l’altro di pull down.
Con questo tipo di uscite i limiti delle correnti IOH e IOL sono entrambi legati alle
caratteristiche dei due transistor.
Normalmente non è possibile collegare sulla stessa linea più uscite di circuiti logici.
Lo schema in figura E2.11 mostra che se le uscite di due circuiti logici vengono collegate sulla stessa linea, può avvenire che mentre una va al livello 0 (T2) l’altra va a livello 1 (T1), e in tal caso tra l’alimentazione e massa si stabilisce un cortocircuito, attraverso il transistor di pull up del primo circuito e il transistor di pull down del secondo circuito. Ciò determina la rottura di almeno uno dei due transistor a causa della
corrente eccessiva.
V
CC
VCC
A
T1
u
T1
A
B
T2
u
B
GND
VCC
T2
GND
Figura E2.10
Uscita Totem pole.
A
T1
u
B
T2
GND
Figura E2.11
Cortocircuito a
causa del collegamento di due uscite
totem pole.
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
320
Open collector, open drain
Altre volte il circuito d’uscita ha solo un transistor con un terminale non collegato, il collettore nel caso di transistor bipolari o il drain nel caso dei CMOS, cui fa capo l’uscita del
dispositivo. In tal caso si dice che l’uscita è di tipo open collector, o open drain.
Questa configurazione richiede il collegamento dell’uscita a un resistore di pull up,
figura E2.12. Il valore della sua resistenza si calcola in base alla corrente da fornire al
circuito esterno da pilotare quando il livello è alto (e il transistor non è in conduzione).
Dunque non è più prescritto il limite massimo per la corrente IoH. La resistenza si calcola con R = (Vcc – VoHmin)/Iu, dove Iu è la corrente complessiva minima richiesta in ingresso dal dispositivo pilotato dall’uscita u, e VoHmin è il valore minimo consentito per
un livello alto della tensione in uscita.
È possibile collegare tra loro e ad un unico resistore di pull up più uscite di tipo
open collector o open drain, figura E2.13, realizzando così una AND cablata (wired
AND) delle uscite. In effetti, se per esempio si collegano in tal modo due uscite, u1 e
u2, e si indica con U l’uscita del circuito così ottenuto, se anche solo una delle due
uscite u1 o u2 viene cortocircuitata al livello 0, anche U va al livello 0; perché U sia al
livello logico 1 occorre che entrambi i circuiti di u1 e u2 si comportino come interruttori aperti, cioè siano al livello alto. Dunque è U = u1 · u2.
Nel caso di un open collector la corrente d’uscita è comunque positiva, nel senso
che sia al livello basso che a quello alto il transistor d’uscita riceve corrente dall’esterno. La resistenza di pull-up va inoltre dimensionata in modo da rispettare i valori
limite di VoH e VoL normalmente garantiti nei circuiti pilotati dalla AND cablata.
Figura E2.12
Uscita open
collector.
VCC
VCC
R
Iu
u
A
B
R
A
u1
T1
T
GND
GND
U
VCC
B
u2
T2
Figura E2.13
Collegamento
di due uscite open
collector.
GND
ESEMPIO
1
Si dispone dell’integrato 74LS09 che ha al suo interno 4 porte AND open collector a due ingressi; con esso si vuole realizzare una AND cablata con 8 ingressi che sia in grado di pilotare
8 ingressi di integrati TTL-LS. Le caratteristiche d’uscita dell’integrato sono le seguenti:
IoLmax = 8 mA; IoH = 100 μA. Si dimensioni un adeguato resistore di pull-up.
■ La AND con 8 ingressi si ottiene collegando le quattro uscite di ciascuna AND del 74LS09
a un unico resistore di pull-up.
Dovendo dimensionare questo resistore, si dovrà tener conto dei seguenti valori caratteristici
degli integrati TTL-LS: Vccmin = 4,75 V, Vccmax = 5,25 V, IiHmax = 20 μA = 0,02 mA, IiLmax =
= –0,36 mA; VoHmin = 2,7 V, VoLmax = 0,5 V.
Occorre garantire che l’uscita della AND cablata al livello alto valga almeno 2,7 V. La resistenza di pull-up in questo caso sarà attraversata da 4 correnti IoH, una per ogni transistor d’uscita, più 8 correnti IiH, una per ogni ingresso da pilotare. Inoltre nel caso più sfavorevole la tensione di alimentazione può valere Vccmin, quindi sulla resistenza di pull-up la caduta di tensione
deve restare inferiore a Vccmin – VoHmin. Applicando la legge di Ohm si calcola il massimo valore
per la resistenza:
Rmax = (Vccmin – VoHmin)/(4 · IoHmax + 8 · IiHmax) = (4,75 – 2,7)/(4 · 0,1 + 8 · 0,02) V/mA = 3,66 kΩ
321
E2 • Variabili binarie, operatori logici elementari, porte logiche
Occorre anche garantire che la tensione della AND cablata al livello basso resti inferiore alla
VoLmax. In questo caso la caduta di tensione sulla resistenza deve essere superiore a Vccmax – VoLmax.
D’altra parte in questo caso la corrente sulla resistenza di pull-up è pari a (x · IoL – 8 · IiL), dove x è
il numero degli open collector che potrebbero andare al livello basso trascinando a quel livello l’uscita della AND cablata. Il caso meno favorevole è qui che la corrente sulla resistenza sia piccola,
(x = 1), provocando una caduta di tensione inferiore; in questo caso la resistenza deve avere un valore sufficiente da garantire comunque in uscita il livello di tensione basso:
Rmin = (Vccmax – VoLmax)/(IoLmax – 8 · IiLmax) = (5,25 – 0,5)/(8 – 8 · 0,36) = 0,93 kΩ
Dovendo scegliere una resistore con valore nominale compreso tra 0,93 e 3,66 kΩ si può scegliere R = 2,7 kΩ.
Uscite 3-state
Quando è necessario che più dispositivi condividano la stessa linea per comunicare i
loro dati in uscita occorre assicurarsi che solo un dispositivo per volta sia in grado di
condizionare con il suo livello logico la linea di comunicazione mentre tutti gli altri
dispositivi restano disconnessi da essa.
Per realizzare la disconnessione del dispositivo occorre controllare i transistor del
circuito d’uscita in modo che si comportino entrambi contemporaneamente come interruttori aperti. A tale scopo questi circuiti sono dotati di un particolare ingresso di
abilitazione, E, e di appositi circuiti di controllo dei transistor d’uscita, figura E2.14.
Uno dei due livelli logici applicato all’abilitatore porta entrambi i transistor in interdizione (cioè ne impedisce la conduzione), e in tal caso l’impedenza, che qui basta intendere come resistenza, tra l’uscita u e il circuito d’alimentazione è dell’ordine di
300 kΩ. L’altro livello di E abilita il circuito al suo funzionamento logico normale. In
questi circuiti, l’uscita può perciò trovarsi al livello alto, al livello basso, oppure nella
condizione di alta impedenza. Per questo motivo si dice che questi circuiti hanno uscite
di tipo three-state, che cioè possono trovarsi in una di tre possibili condizioni.
Alcuni dispositivi logici hanno la semplice funzione di ripetere potenziandolo il
segnale logico ricevuto in ingresso, e sono detti buffer.
Altri dispositivi a questa caratteristica uniscono quella di poter isolare la loro
uscita dalla linea su cui è collegata; essi sono detti buffer three-state.
La figura E2.15 ne mostra i simboli del tutto simili a quelli della NOT, ma senza
alcun cerchietto e, nel caso dei 3-state, con un ingresso di controllo.
I buffer possono anche essere invertenti, e in questo caso sul loro ingresso ricompare il cerchietto; un buffer 3-state trasferisce sull’uscita il segnale sul suo ingresso
solo se abilitato; altrimenti si comporta come un interruttore aperto.
VCC
T1
E
A
u
B
A
A
B
B
A
B
E
T2
A
E
GND
Figura E2.14
Uscita 3-state.
B
Figura E2.15
Simboli di buffer.
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
322
E2.5 Porte logiche con trigger di Schmitt
La figura E2.16 a mostra le caratteristiche minima e massima a 25 °C di un inverter
della serie 40 (CMOS) alimentato a 5 V. Essa è coerente con i dati ViLmax = 1,5 V e
ViHmin = 3,5 V che indicano rispettivamente il valore al di sotto del quale il segnale in
ingresso è sicuramente riconosciuto come basso e quello al di sopra del quale esso è riconosciuto sicuramente come alto.
Si supponga ora che l’inverter utilizzato abbia una caratteristica intermedia prossima
a quella di figura E2.16 b dove VT si è indicato il valore della tensione Vi superato il
quale la tensione in uscita passa da un livello all’altro.
Figura E2.16 a, b, c
Porta logica NOT,
sue caratteristiche:
reale e ideale.
V0
Vi
V0
V0
1,5
a)
3,5 5
Vi
Vi
VT
b)
c)
Infine si immagini di realizzare con due inverter di questo tipo il circuito di figura
E2.17 e, nell’ipotesi che le correnti entranti o uscenti dalle porte NOT siano sempre trascurabili, se ne analizzi la caratteristica ingresso-uscita.
Partendo da Vi = VA = Vo = 0, man mano che si aumenta Vi e fino a quando resta
Vo = 0 è VA = Vi · R2/(R1 + R2).
Non appena VA supera il valore VT si ha la transizione dell’uscita al livello alto. Sia
VT+ il valore di Vi nel momento in cui VA raggiunge VT e non è ancora avvenuta la transizione: dalla relazione precedente, e posto VA = VT, si ricava VT+ = VT · (R1 + R2)/R2; si
tratta di una tensione di soglia superiore alla VT.
Figura E2.17
Realizzazione di
trigger di Schmitt
mediante porte
NOT.
V0
R2
V0
Vi
R1
A
VT– VT+
Vi
A transizione avvenuta e con Vi sostanzialmente ancora uguale a VT+ si ha V0 = Vcc
(livello logico alto) e, applicando la sovrapposizione degli effetti:
VA = Vi · R2/(R1 + R2) + Vcc · R1/(R1 + R2) =
= VT+ · R2/(R1 + R2) + Vcc · R1/(R1 + R2) = VT + Vcc · R1/(R1 + R2)
il che non fa altro che confermare il livello alto in uscita e fa intuire che (per effetto
della retroazione positiva), non appena Vi raggiunge la soglia VT+ la transizione dal livello basso a quello alto avviene alquanto velocemente.
Diminuendo ora la Vi, perché la transizione inversa possa avvenire occorre che VA
torni ad attraversare, questa volta andando verso i valori più piccoli, la tensione VT.
Poiché ora è VA = Vi · R2/(R1 + R2) + Vcc · R1/(R1 + R2), il valore di Vi per cui ciò avviene è dato da:
Vi · R2/(R1 + R2) = VA – Vcc · R1/(R1 + R2) = VT – Vcc · R1/(R1 + R2) da cui:
Vi = VT– = VT · (R1 + R2)/R2 – Vcc · R1/R2 = VT+ – Vcc · R1/R2
323
E2 • Variabili binarie, operatori logici elementari, porte logiche
Ciò significa che per avere la transizione inversa occorre superare verso il basso la
soglia precedente VT+, della quantità VH = Vcc · R1/R2. VH è l’ampiezza della curva di
isteresi che caratterizza questo circuito.
Circuiti con questo tipo di comportamento sono detti trigger di Schmitt; essi possono essere invertenti o non invertenti e si realizzano anche con amplificatori di vario
tipo.
Sui simboli dei circuiti logici con trigger di Schmitt si riporta il segno della curva
di isteresi.
Per le porte TTL-LS i valori delle soglie e dell’isteresi a 25 °C sono:
VT– = 0,8 ÷1,2 V, VT+ = 1,4 ÷ 2 V,
VHmin = 0,5 V
Per le porte CMOS alimentate a 5 V sono:
VT– = 1,9 ÷2,8 V,
VT+ = 2,9 ÷ 3,6 V,
VHmin = 0,9 V
L’integrato 74ALS14 è un “Hex inverters with Schmitt Trigger Inputs”.
Della stessa famiglia è l’integrato 74ALS132, un “Quad 2-input NAND Gates with
Schmitt Trigger Inputs”. La figura E2.18 ne riporta gli schemi funzionali.
14
13
12
11
10
9
8
14
13
12
11
10
9
Vcc
Vcc
74ALS14
74ALS132
GND
1
8
2
3
4
5
6
7
GND
1
2
3
4
5
6
7
Le porte con trigger di Schmitt sono molto utili quando il segnale in ingresso varia lentamente. Poiché esso attraversa lentamente la zona tra il livello alto e quello
basso, una comune porta logica manifesterebbe sbalzi di tensione o livelli errati. Ciò
non avviene con le porte triggerate dal momento che la loro uscita non si muove dal
livello raggiunto finché il segnale d’ingresso non raggiunge la soglia necessaria per la
transizione.
E2.6 Porte di trasmissione (transmission gates)
La tecnologia CMOS è la più adatta alla realizzazione di veri e propri interruttori elettronici controllati in tensione detti transmission gates. Essi sono costruiti mediante due
transistor MOS, uno a canale n e l’altro a canale p.
La figura E2.19 mostra lo schema elettronico e quello funzionale di questo tipo di
dispositivi.
Vi controlla i due gate G1 e G2 dei transistor; se Vi è a livello alto, entrambi i transistor
vanno in conduzione e presentano una resistenza di qualche decina di ohm; se invece
Vi è a livello basso entrambi i transistor vanno in interdizione, cioè non lasciano passare la corrente. I due terminali in/out e out/in possono dunque essere collegati in modo
bidirezionale, o scollegati. Anche un segnale analogico, contenuto nell’intervallo delle
tensioni di alimentazione del dispositivo, può essere applicato sull’uno o l’altro dei terminali ed essere trasmesso sull’altro.
L’integrato 4016 è un quad bilateral switch; i suoi elementi hanno una particolare
struttura che conferisce loro la caratteristica di veri e propri interruttori elettronici. La
Figura E2.18
Porte logiche
triggerate.
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
324
figura E2.20 ne mostra lo schema funzionale e la piedinatura. I pin di controllo sono
contraddistinti dalla lettera C; gli altri pin fungono da ingresso/uscita. Quando un
switch è in conduzione presenta una resistenza di alcune centinaia di ohm, quando è
aperto la corrente di dispersione che può attraversarlo è dell’ordine di 0,1 μ A. In
questo integrato, a parte i circuiti di protezione sull’ingresso di controllo, il circuito
di ciascun switch è realizzato come nello schema della figura E2.19, perciò un
switch entra in conduzione quando la tensione di controllo è al livello alto.
Figura E2.19
Transmission gate.
Vi
G1
n
in/out
out/in
G2
p
Vi
in/out
Figura E2.20
Integrato con 4
transmission gate.
14
13
out/in
SW
12
11
10
VDD CA
9
8
CD
SW
D
SW
C
4016
SW
A
SW
B
CB
1
2
3
4
5
CC VSS
6
7
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Proporre tre esempi di variabili binarie.
2. Dire cosa si intende per logica positiva e per logica negativa.
3. Produrre e commentare la tabella della funzione NOT.
4. Compilare la tabella della funzione AND e descriverla con una frase sintetica.
5. Compilare e descrivere sinteticamente la tabella della funzione OR.
6. Disegnare uno schema elettrico con switch e led che realizzi la funzione OR.
7. Disegnare uno schema elettrico con switch e led che realizzi la funzione AND.
8. Disegnare i simboli delle porte logiche NOT, AND e OR.
9. Riprodurre lo schema logico funzionale dell’integrato 7432.
10. Riprodurre e commentare lo schema funzionale di una configurazione d’uscita tipo totem pole.
11. Spiegare perché non si devono collegare direttamente tra loro due uscite di tipo totem pole.
12. Spiegare l’utilità di porte logiche con uscita di tipo open collector o open drain.
13. Dimostrare che collegando tra loro due uscite di porte logiche di tipo open drain si realizza la AND cablata
delle uscite.
14. Dire in cosa consiste un’uscita di tipo 3-state e quale sia la sua utilità.
15. Descrivere gli intervalli dei livelli di tensione in ingresso e in uscita per i dispositivi logici.
16. Dire perché un dispositivo TTL non può pilotare l’ingresso di un CMOS.
17. Dire perché un CMOS può pilotare un dispositivo TTL-LS.
18. Predisporre e compilare la tabella della verità di una porta NAND a due ingressi.
19. Predisporre e compilare la tabella della verità di una porta NOR a due ingressi.
20. Descrivere la caratteristica ingresso-uscita di una porta NOT triggerata.
21. Descrivere la struttura di una giunzione p-n.
22. Disegnare i simboli di un transistor npn e di un pnp.
23. Disegnare i simboli di un MOS a riempimento a canale n e uno a canale p.
24. Dire come va polarizzato un transistor npn perché ci sia una corrente di collettore.
25. Dire come va polarizzato un MOS a canale n perché si comporti come un interruttore aperto.
26. Spiegare cos’è un transmission gate e se ne produca lo schema con CMOS.
Quesiti a scelta multipla
Scegliere la risposta corretta tra quelle proposte.
1. La funzione AND di due variabili:
a vale 1 se entrambe assumono contemporaneamente il valore 0.
b vale 0 se una delle due variabili vale 1.
c vale 0 se e solo se una delle due o entrambe valgono 0.
d vale 1 ogni volta che gli ingressi assumono lo stesso valore.
325
Esercitazioni
E2 • Variabili binarie, operatori logici elementari, porte logiche
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
Esercitazioni
326
2. La funzione OR di due variabili:
a vale 1 se entrambe assumono contemporaneamente il valore 0.
b vale 0 se una delle due variabili vale 1.
c vale 0 se e solo se una delle due o entrambe valgono 0.
d vale 1 ogni volta che almeno un ingresso vale 1.
3. Si può realizzare la AND cablata di due uscite collegando insieme:
a le uscite di due porte logiche.
b le uscite di due open collector.
c le uscite di due open collector a una resistenza di pull up.
d le uscite di due 3-state.
4. Collegando insieme le uscite di una porta 7405 a un resistore di pull up si ottiene:
a la AND cablata degli ingressi.
b la NAND degli ingressi.
c la NOR degli ingressi.
d la OR degli ingressi.
5. Scegliere la frase corretta.
a Una porta TTL-STD può pilotare un CMOS.
b Un CMOS 4000B non può pilotare un TTL a causa dei livelli delle sue uscite.
c Una porta TTL-LS può pilotare non più di 5 ingressi di TTL-STD.
d Qualunque CMOS può pilotare un TTL.
Il laboratorio
di elettronica digitale
E3
Note per la realizzazione di verifiche sperimentali su circuiti logici elettronici.
E3.1 Strumentazione di base
Molte verifiche sui circuiti logici, sia combinatori che sequenziali, si possono effettuare con poca spesa utilizzando le seguenti attrezzature che però da sole non consentono di osservare il comportamento dei circuiti durante le loro commutazioni.
•
•
•
Una breadboard, base per il montaggio di prototipi, figura E3.1.
Forbici, pinze e pinzette da elettricista, figura E3.2.
Fili rigidi isolati di vario colore dal diametro di 0.5 mm, figura E3.3.
Figura E3.2
Pinze, forbice,
cacciavite.
Figura E3.3
Fili rigidi con
estremità spellate.
Figura E3.1
Breadboard.
•
•
Resistori da 1⁄4 di watt, figura E3.4.
Diodi LED, figura E3.5.
Figura E3.4
Resistori da 1/4 di watt.
Figura E3.5
Diodi LED.
327
328
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
•
•
Un tester, figura E3.6.
Un alimentatore stabilizzato che fornisca una tensione di 5 V e sia in grado di fornire correnti fino ad alcune centinaia di mA, figura E3.7.
Figura E3.6
Tester.
Figura E3.7
Alimentatore stabilizzato.
L’osservazione dei transitori, richiede in più la disponibilità di:
•
•
un generatore di segnali a onda quadra, strumento che fornisce tensioni impulsive di ampiezza, frequenza e durata regolabile, con frequenze fino ad alcuni MHz,
figura E3.8;
un oscilloscopio con almeno due canali, capace di visualizzare segnali fino a
qualche decina di MHz, figura E3.9.
Figura E3.8
Generatore di segnali.
Figura E3.9
Oscilloscopio.
E3.2 Uso della breadboard
Le distanze tra i fori della breadboard corrispondono a quelle tra i piedini degli integrati DIP (Dual In Line, cioè con i pin disposti su due linee parallele). I fori in ciascuna zona centrale sono disposti su due lati separati da un solco isolante e organizzati in gruppi di 5. Sotto ciascun gruppo c’è un incavo contenente una striscia metallica incurvata ed elastica capace di serrare le estremità dei componenti elettronici che
vi vengono inseriti, stabilendo tra essi il collegamento ohmico. Gli integrati con i pin
su due linee parallele vanno inseriti a cavallo del solco; accanto a ciascuno dei pin restano disponibili 3 o 4 fori per l’inserimento di fili di collegamento con altri punti del
circuito da realizzare.
I fori periferici sono organizzati su due righe parallele corrispondenti ciascuna a
due gruppi di fori metallicamente collegati. In genere si usa collegarli all’alimentazione, ciò consente di alimentare i vari dispositivi posti sulla breadboard attraverso
brevi ponticelli realizzati con fili rigidi.
329
E3 • Il laboratorio di elettronica digitale
E3.3 I codici a colori dei resistori
Il valore nominale di un resistore e la sua precisione sono segnati su di esso mediante
quattro cerchietti colorati di cui l’ultimo, il più interno, indica la precisione: 10% se
di colore argento o 5% se di colore oro. I due primi cerchietti stanno al posto di due cifre decimali, e il terzo indica la potenza del 10 per cui va mol- Tabella E3.1 Codice dei colori delle
resistenze
tiplicato il numero espresso dalle prime due cifre. Per esempio la successione di colori giallo-viola-arancio-oro significa 47000 Ω con la precisione
Colore
1°o 2°
3°
posto
posto
del 5%. Il cerchietto giallo infatti indica un 4 (o quattro zeri se sta al penultimo posto), quello viola sta a indicare un 7, quello colore arancio, il penero
0
x100
nultimo, sta per 3 zero da porre dopo le prime due cifre. In particolare il co1
x101
lore nero al secondo posto sta per uno zero, e al terzo posto indica che bi- marrone
rosso
2
x102
sogna moltiplicare per 100, cioè per 1. La tabella E3.1 riporta i valori da
arancio
3
x103
attribuire a ciascun colore.
giallo
4
x104
Sui resistori di precisione i cerchietti colorati sono 6, di essi i primi tre
formano un numero di tre cifre da moltiplicare per una potenza del 10 con
verde
5
x105
esponente da –1, colore oro, a +7 dal marrone al viola come nella tabella
blu
6
x106
precedente; il quinto cerchietto indica la precisione, 5% se colore oro, 1% se
viola
7
x107
marrone, 2% se rosso, 0,5% se verde, 0,25% se blu, 0,1% se viola, e infine
grigio
8
–
l’ultimo cerchietto indica il coefficiente di temperatura in ppm/K, 200 se
bianco
9
–
nero, 100 se marrone, 50 se rosso, 25 se arancio, 15 se giallo.
E3.4 Utilizzazione di diodi LED e resistenze
Il LED è un diodo realizzato con semiconduttori che può emettere luce. Per ora basti
sapere che esso ha due estremità dette anodo e catodo, che polarizzato direttamente,
cioè con una tensione Vd positiva tra anodo e catodo, può essere attraversato da una
corrente Id compresa tra i 5 e i 20 mA e quando ciò avviene emette luce. In questo caso
la tensione Vd si mantiene intorno ai 2 V. Con una polarizzazione diretta insufficiente,
o se polarizzato inversamente entro i limiti non distruttivi, il diodo sostanzialmente non
è attraversato da corrente e non emette luce.
Il catodo di un LED si può riconoscere perché corrisponde all’elettrodo più grosso
all’interno dell’involucro trasparente, inoltre il suo piedino metallico è il più corto e
l’involucro è appiattito dal lato del catodo.
Un circuito costituito da una resistenza R e un LED, come in figura E3.10, V
CC
collegati in serie è adatto a verificare i livelli di tensione sui circuiti logici.
5V
A e K indicano i terminali del LED connessi all’anodo e al catodo; il simbolo
del LED sta a indicare la sua unidirezionalità nel lasciar passare la corrente entro
i limiti consentiti dalle sue caratteristiche elettriche. Si preferisce collegare il circuito alla tensione di alimentazione, mentre l’altra sua estremità, P, verrà collegata al punto da testare: il LED si accenderà se la tensione sul punto P è ad un livello basso. Infatti il più delle volte l’uscita di un circuito logico è in grado di pilotare un LED con una corrente sufficiente a farlo accendere solo se essa è al livello basso (si rivedano i valori di IOL e IOH; si ricordi però che un CMOS della
serie 4000B non è comunque in grado di accendere un LED mantenendo il corP
retto valore di tensione in uscita).
Per dimensionare il circuito si supponga di doverlo sottoporre a una tensione di valore massimo Vcc = 5 V, e di volere per la corrente un valore Id = 10 mA. Poiché in
queste condizioni sarà Vd = 2 V, sul resistore che limita la corrente si deve avere una
caduta di tensione VR = Vcc – Vd = (5 – 2) = 3 V. Si può perciò calcolare R1 applicando
su di essa la legge di Ohm:
R1 = VR1/Id = 3 V/10 mA = 3/(10 · 10-3) = 300 Ω
da cui il valore commerciale più prossimo di 330 Ω proposto in figura.
R1 330
A
LED
K
Figura E3.10
Realizzazione di
una semplice sonda
logica.
330
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
Le sonde logiche sono dispositivi analoghi a quello così realizzato, adatti a rivelare
il livello logico su un punto di un circuito; esse hanno la forma di una matita la cui
punta va posta sul punto da verificare e il suo LED indica il livello di tensione. Le
sonde logiche possono anche segnalare, con uno o più lampeggi, un impulso o un treno
di impulsi. Esistono inoltre dispositivi più complessi detti pinze logiche, adatti a verificare contemporaneamente lo stato logico di più punti di un circuito.
E3.5 Utilizzazione del tester
Un tester elettronico, figura E3.6, è uno strumento facilmente acquistabile che consente di effettuare misure di tensione, di corrente (continua o alternata) e di resistenza;
per questo motivo è anche detto multimetro.
Un commutatore consente di scegliere la funzione di misura desiderata e il valore
massimo (fondo scala) previsto. Il tester si collega mediante due connettori (puntali) ai
punti su cui va fatta la misurazione. Il connettore nero va inserito nel foro (boccola) indicato come COM (comune), l’altro va inserito nella boccola contrassegnata dai simboli V, mA ecc.
La figura E3.11 mostra come collegare il tester nelle sue diverse applicazioni.
n
v
VCC
VCC
Vr
I
LED
GND
Misura di resistenza
A
LED
GND
Misura di tensione
Misura di corrente
Figura E3.11
Principali utilizzazioni del tester.
Per le misure di resistenza occorre portare i puntali sulle estremità (reofori) del resistore non collegato ad altri circuiti
Per le misure di tensione sul ramo di un circuito i puntali vanno portati sulle estremità di quel ramo: lo strumento viene collegato in parallelo al ramo in questione.
Per le misure di corrente in un ramo di un circuito occorre interrompere il ramo e
inserirvi in serie il il tester in funzione di milliamperometro in modo che esso venga attraversato dalla stessa corrente che attraversa il ramo.
Naturalmente sia la misura di tensione che quella di corrente, come del resto qualunque intervento di misura su un fenomeno fisico, altera la realtà del circuito rispetto a
quando lo strumento non viene collegato. Tuttavia le caratteristiche del multimetro sono
oggi tali da poter considerare abbastanza piccole tali alterazioni da cui la misura è affetta.
Per non danneggiare lo strumento è inoltre necessario prevedere l’ordine di grandezza della misura che si intende effettuare e predisporre il commutatore dello strumento su un valore di fondo scala appena superiore al valore previsto.
E3.6 Utilizzazione dell’alimentatore stabilizzato
Questo strumento fornisce tra i suoi due morsetti d’uscita una tensione continua regolabile attraverso delle manopole, e il cui valore viene indicato su un quadrante. In genere è anche possibile regolare la massima corrente che può essere fornita dall’alimentatore; si tratta di una protezione dai cortocircuiti sia per l’alimentatore che per il
331
E3 • Il laboratorio di elettronica digitale
suo carico. Per i circuiti digitali si utilizza il più delle volte una tensione di 5 V. Spesso
gli alimentatori stabilizzati sono doppi e ciò consente di utilizzarli in circuiti che necessitano di doppia alimentazione.
Nello stabilire la tensione di alimentazione per i circuiti digitali occorre tener conto
della precisione del 5% richiesta, pertanto conviene preventivamente controllare mediante un tester la tensione continua fornita dall’alimentatore.
E3.7 Utilizzazione del generatore di segnali
In laboratorio si può disporre di segnali di forma rettangolare forniti da uno strumento
generatore di segnali. Questo tipo di strumento può dare in uscita, attraverso un collegamento di tipo BNC, segnali la cui forma va scelta mediante un commutatore.
Un altro commutatore e una manopola consentono di scegliere l’ordine di grandezza e di regolare la frequenza; l’ampiezza del segnale si regola mediante un’altra
manopola. Spesso è anche possibile regolare la simmetria del segnale rispetto al suo
periodo. Per il laboratorio di elettronica digitale si utilizza il più delle volte la forma
d’onda rettangolare con commutazioni tra 0 e 5 V e se ne regola la frequenza.
La figura E3.12 a mostra un cavo con connettore BNC. La sua parte esterna, la
schermatura, si collega a massa, mentre la sua parte interna porta il segnale; il connettore BNC si avvita all’uscita del generatore di segnali.
Utilizzando anche un connettore BNC a T, figura E3.12 b, è possibile inviare il segnale del generatore sia all’ingresso del circuito che all’ingresso di un oscilloscopio.
Figura E3.12 a, b
Cavo con
connettore BNC (a)
e connettore BNC
a T (b).
a)
b)
E3.8 Utilizzazione dell’oscilloscopio
Questo strumento è dotato di almeno due ingressi, canali, di tipo BNC per i segnali da
visualizzare sul suo schermo. Ciascun canale dispone di manopole per selezionare la
corrispondenza tra la graduazione verticale sullo schermo e i valori della tensione; ciò
consente di rilevare le ampiezze dei segnali visibili sullo schermo. Mediante un altro
commutatore si regola la periodicità con cui i segnali in entrata vengono rilevati e la
loro traccia riportata sullo schermo in modo da poterli osservare come una traccia fissa.
Con questo commutatore si stabilisce la scala dei tempi, ed è quindi possibile misurare
anche altri parametri come il periodo, la durata di ciascun impulso, i tempi di salita, il
ritardo tra un segnale e l’altro.
Agli oscilloscopi a raggi catodici stanno subentrando strumenti con display a LCD,
più leggeri e compatti; un computer dotato di una opportuna scheda e relativo software
può svolgere le medesime funzioni di un oscilloscopio e in più memorizzare i segnali
rilevati.
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
332
E3.9 Organizzazione e realizzazione di una verifica
pratica
Conviene innanzi tutto disegnare uno schema logico del circuito oggetto della verifica
di laboratorio e indicarvi chiaramente i collegamenti da realizzare. Oltre alle lettere
con cui si contraddistinguono i punti più importanti del circuito occorre che per ogni
pin di ingresso o di uscita delle parti degli integrati utilizzati sia indicato il numero che
lo contraddistingue. È bene inoltre riflettere preliminarmente su come condurre l’esperienza e predisporre delle tabelle con l’elenco delle misurazioni o delle grandezze oggetto della verifica.
Si consideri, come esempio da seguire nella maggior parte delle verifiche su circuiti
logici, il semplice caso qui proposto in cui si voglia verificare il comportamento di una
porta NAND contenuta nell’integrato 74LS00 e della successiva realizzazione di una
AND con l’inserimento in uscita di una porta NOT dell’integrato 74LS04.
Come prima cosa si produce lo schema dei collegamenti da realizzare, e la tabella
con l’elenco dei valori da porre in ingresso e gli spazi per la registrazione delle osservazioni. Essi sono riportati in figura E3.13.
Si osservi che su ciascun pin della porta usata è indicato il numero che lo identifica
sull’integrato.
+VCC
5V
Figura E3.13
Schema dei
collegamenti e
predisposizione di
tabella in una
verifica di
laboratorio.
R2
1k
R1
1k
R3
330
R4
330
LED
A
1
B
SW1
SW2
2 1/4
7400
3
U
1
1/6
7404
LED
2
U
A
B
L
L
L
H
L
H
H
H
U
U
GND
Gli ingressi A e B del circuito sono collegati a Vcc mediante resistori di pull-up da
1 kΩ e a massa mediante due switch; in tal modo si impone loro un livello logico alto
oppure basso a secondo che lo switch
– sia aperto oppure chiuso.
I livelli logici delle uscite U ed U sono visualizzati da LED con anodi collegati a
Vcc mediante resistori da 330 Ω, e catodi collegati alle uscite; essi si accendono se il livello di quell’uscita è basso, altrimenti restano spenti. Il collegamento dei LED va
fatto così perché questi integrati possono fornire una corrente massima al livello alto
IOH = –0,4 mA, insufficiente a fare accendere un diodo LED, mentre la corrente massima che possono ricevere al livello basso è IOL = 8 mA.
Il circuito viene poi realizzato sulla breadboard come in figura E3.14. Essa vuol
suggerire alcuni criteri da seguire nel cablaggio del circuito per evitare di trovarsi a gestire un groviglio di fili dai collegamenti difficilmente controllabili.
•
•
I fili rigidi vanno ripiegati opportunamente in modo da poterne seguire visivamente
il percorso senza eccessiva difficoltà.
Fili rigidi con percorsi simili devono correre parallelamente l’uno all’altro ed è
bene che siano di diverso colore.
333
E3 • Il laboratorio di elettronica digitale
•
I fili che vanno ai pin di un integrato conviene vi giungano con una direzione perpendicolare al corpo dell’integrato stesso.
Si notino inoltre alcuni particolari di utilità pratica:
•
•
•
Il dispositivo sulla sinistra è un gruppo di 8 interruttori, detto dip-switch. Ciascun
switch utilizzato va collegato da un lato a una resistenza di pull-up e dall’altro a
massa. I due switch utilizzati nel circuito di figura controllano ciascuno un ingresso
della NAND. Nella foto l’ingresso 1 della NAND (integrato al centro della figura)
è a livello basso, il 2 è a livello alto, l’uscita (pin 3) come ci si aspetta, è al livello
alto (LED a sinistra spento), l’uscita della NOT è al livello basso (LED a destra acceso).
In alternativa al dip switch è sufficiente un resistore di pull-up da 1 kΩ sull’ingresso
e un filo che da quell’ingresso va a massa o resta scollegato; si può vedere questo
tipo di soluzione sui pin 9 e 10; il 9 è al livello alto mentre il 10 è al livello basso.
Il LED a destra è stato montato per funzionare da sondino logico: il suo catodo non
è stato fissato direttamente su un’uscita determinata, ma a un filo abbastanza lungo
la cui altra estremità può essere facilmente spostata su diversi punti da testare; nella
foto l’altra estremità del filo verso va sul pin 2 della 7404.
Seguire le raccomandazioni ora proposte è tanto più necessario quanto più il circuito da realizzare diviene complesso a causa della molteplicità dei collegamenti. In
questi casi, inoltre, non conviene mai realizzare tutto il circuito prima di iniziare a controllarne il funzionamento, ma è meglio suddividerlo in varie sezioni da realizzare con
molta cura e da verificare singolarmente. Solo dopo essersi accertati del loro buon funzionamento si procederà a collegarle l’una all’altra verificandone progressivamente il
corretto funzionamento.
Figura E3.14
Cablaggio di un
circuito in una
verifica di
laboratorio.
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
Esercitazioni
334
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Elencare le principali funzioni del tester.
2. Elencare le principali funzioni di un alimentatore stabilizzato.
3. Elencare le principali funzioni di un oscilloscopio.
4. Elencare le principali funzioni di un generatore di segnali.
5. Descrivere i collegamenti tra generatore di segnali, ingresso del circuito da testare, uscita del circuito da testare, oscilloscopio.
6. Disegnare lo schema per l’utilizzo di un LED come sonda logica.
Quesiti a scelta multipla
Scegliere la risposta corretta tra quelle proposte.
1. Per misurare la corrente che fluisce in un resistore che fa parte di un circuito si deve:
a collegare il tester in serie al resistore.
b interrompere il circuito e collegare il tester al posto del resistore.
c dopo aver predisposto il commutatore del tester sul corretto fondo scala in mA, portare i puntali del tester
sui capi del resistore.
d predisporre il tester per la misura dei volt e inserirlo in serie al resistore.
2. La tensione ai capi di un ramo di un circuito si misura:
a predisponendo il tester sul corretto fondo scala in volt e collegandolo in parallelo al ramo.
b predisponendo il tester sul corretto fondo scala e inserendo il tester in serie al ramo.
c predisponendo il commutatore sulla scala dei volt e portando i puntali del tester sulle estremità del ramo
dopo avere prudentemente spento il circuito.
d ponendo il puntale nero a massa e l’altro sull’estremità del ramo da cui convenzionalmente entra la
corrente.
3. Un LED si accende:
a collegando il catodo a massa e l’anodo a 5 volt.
b polarizzandolo direttamente.
c collegando l’anodo a massa e il catodo all’alimentazione attraverso una resistenza di protezione.
d collegando il catodo a massa e l’anodo all’alimentazione attraverso una resistenza di protezione.
4. Posto che la tensione di un diodo LED acceso valga 2 V, e che la tensione di alimentazione valga 5 V, la
resistenza che limita la corrente a 5 mA deve valere:
a 300 Ω
b 330 Ω
c 1,2 kΩ
d 600 Ω
E4
Sistemi di
numerazione
Nei circuiti digitali sia le variabili d’ingresso che quelle d’uscita sono binarie. Le combinazioni di
valori delle variabili sia d’entrata che d’uscita sono perciò interpretabili come numeri binari.
Inoltre alcuni circuiti digitali eseguono funzioni di calcolo basate sui numeri binari; codici binari
sono anche quelli utilizzati nei circuiti di conteggio, o nei circuiti con microprocessori per selezionare locazioni di memoria, o individuare operazioni da eseguire. Lo studio dei circuiti logici richiede dunque una sufficiente familiarità con numeri binari, operazioni in binario e codici affini.
E4.1 Sistemi di numerazione posizionali
L’abitudine al sistema di numerazione decimale porta a volte a dimenticarne il geniale
meccanismo, concepito in India e diffuso in Europa dagli arabi fin dall’ottavo secolo,
su cui esso si fonda. Occorre ora ricordarlo perché lo stesso meccanismo vale per altri
analoghi sistemi di numerazione come il binario e l’esadecimale.
Come è noto, nel sistema di numerazione decimale, ogni numero è espresso mediante una sequenza ordinata costruita con le cifre [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] e una virgola che separa la parte intera da quella frazionaria. I posti occupati da ciascuna cifra
nella sequenza sono numerati a partire dalla virgola e, cominciando con 0, in ordine
crescente verso sinistra e decrescente verso destra. Si dice che dieci è la base del sistema di numerazione sia per il numero dei simboli che per il meccanismo di calcolo
del valore rappresentato: il valore di una cifra che occupa il posto i si ottiene moltiplicando la cifra stessa per la potenza, bi, della base b = 10. Per questo fatto, un sistema di
numerazione di questo tipo è detto posizionale.
Nello schema di tabella E4.1, sotto ciascuna delle cifre si è indicata la posizione da
essa occupata; la posizione zero è quella delle unità. Nel calcolo del valore di ciascuna
cifra la posizione corrisponde all’esponente del 10: nel calcolo del numero N di tabella
E4.1, il peso della cifra 9 è 102, quello della cifra 1 è 101, e così di seguito.
Dunque nel sistema decimale il numero N = 912,33 vale NoveCento + Dieci + Due
+ TreDecimi + TreCentesimi, ovvero:
N = 912,33 = 9 · 102 + 1 · 101 + 2 · 100 + 3 · 10–1 + 3 · 10–2
Non esiste una cifra per esprimere il valore della base, b = dieci, essa viene espressa
con la sequenza 10. Nel contare da zero a nove non ci sono problemi, ciascun numero
ha un suo simbolo; quando non si hanno più simboli diversi da usare non si fa altro che
aggiungere una cifra in più a sinistra, riempirla con l’1, e azzerare la cifra più a destra:
dopo il 9 viene il 10.
Dopo il 10, il conteggio può proseguire fino al 19, poi la cifra delle decine si incrementa mentre quella delle unità si riazzera: 20. E così via fino al 99.
A questo punto le cifre non bastano più, e allora si ripete il trucco: 100 indica il numero successivo di 99.
9
1
2,
2
1
0 –1 –2
3
3
Tabella E4.1
Numerazione dei
posti occupati dalle
cifre in un sistema
posizionale.
335
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
336
Occorre pensare come se le cifre più significative esistessero già tutte con valore
iniziale 0. Se nel contare si esplicitano solo le prime quattro cifre significative la numerazione sopra descritta appare così:
p
3
2
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
2
0
0
1
0
3
0
0
1
1
4
0
1
0
0
5
0
1
0
1
6
0
1
1
0
7
0
1
1
1
8
1
0
0
0
d
Tabella E4.2
Codici binari dei
primi 9 numeri.
ESEMPIO
1
0000... 0009, 0010... 0099, 0100... 0999, 1000... 9999
Di sistemi posizionali se ne possono inventare quanti se ne vuole: basta stabilire
una base maggiore di 1 e un corrispondente numero di simboli.
E4.2 Sistema di numerazione binario
Il sistema di numerazione binario usa la base due e i due simboli 0 e 1. Utilizzando una
sola cifra si può contare solo da 0 a 1; il due, la base, è espresso da 10b, e il tre da 11b.
Per esprimere il 4 è necessaria un’altra cifra: 100b. Con tre cifre si arriva fino al sette...
Il pedice “b” sulla destra del numero indica, quando necessario, che si tratta di un codice binario.
Lo schema di tabella E4.2 rappresenta i codici binari dei numeri da 0 a 8, accanto
ai corrispondenti codici decimali. Nella riga in testa sono indicate le posizioni di ciascuna cifra. Questa volta la base b vale due, e il valore di una cifra si ottiene moltiplicandola per il peso, b p, che le è assegnato in base al posto occupato.
Il valore in decimale del numero binario 0111, è dato da:
0111b = 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 7
p
d
9
3
2
1
0
1
0
0
1
10 1
0
1
0
11 1
0
1
1
12 1
1
0
0
13 1
1
0
1
14 1
1
1
0
15 1
1
1
1
ESEMPIO
2
Per rappresentare il numero 8 si deve porre a 1 il bit di posto 3, e vanno azzerate le cifre meno significative. Per esprimere i numeri successivi nelle tre cifre meno significative si ripete la sequenza precedente; si arriva così al 15, tabella E4.3.
Per proseguire oltre il quindici, occorre utilizzare anche la cifra in posizione 4 e
porla a 1. Il suo valore è 1 · 24, cioè sedici.
Con un 1 come cifra di posto 4 e ripetendo la solita sequenza per le cifre meno significative, si può contare fino a 11111b = 16d + 15d = 31d. I pedici ‘b’ e ‘d’ distinguono
i numeri in notazione binaria da quelli in notazione decimale.
Tabella E4.3 Codici binari per i numeri da 9 a 15.
Dopo 01111b seguono: 10000b, 10001b, 10010b, 10011b, …
rispettivamente:
16d,
17d,
18d,
19d,
…
Il numero di digit utilizzabile da un punto di vista astratto è infinito, nei fatti esso è limitato per esempio dalla struttura della memoria in cui i numeri vengono memorizzati;
è bene pertanto avere un’idea del massimo numero, Nmax, rappresentabile quando si
dispone di un certo numero n di digit. Nel sistema decimale, con n = 1 si conta fino a
9, con n = 2 fino a 99, con n = 3 fino a 999; dunque è sempre Nmax = bn – 1. Questa relazione, Nmax = bn – 1, vale, per ogni sistema di numerazione posizionale, qualunque
sia la base b. Infatti bn è il valore della cifra di posto n (si ricordi che le cifre sono numerate a partire da 0), da aggiungere a sinistra delle precedenti n cifre disponibili, azzerandole, per esprimere il numero successivo a quello massimo precedentemente ottenuto. Nel caso del sistema di numerazione binario, con n cifre si potrà al massimo contare fino a Nmax = 2n – 1. Dovendo acquisire una certa familiarità con il sistema binario
di numerazione, conviene ricordare il valore delle prime potenze del 2, tabella E4.4.
Tabella E4.4
Potenze del 2.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
...
10
...
16
2n
1
2
4
8
16
32
64
128
256
...
1024
...
65536
337
E4 • Sistemi di numerazione
Esprimere in binario il numero 45d.
ESEMPIO
3
■ La tabella delle potenze del 2 mostra che sono necessari 6 digit il più significativo dei quali,
di posto 5, vale 25, cioè 32d. Occorre poi, con gli altri digit, formare il numero binario di valore
13d che sommato a 32 fa proprio 45. Si ha quindi 45d = 101101b.
E4.3 Numerazione esadecimale
Quando le cifre utilizzate diventano numerose, per una maggiore leggibilità del numero si usa separare gruppi di più cifre mediante un punto o una virgola. Per esempio
nel sistema decimale la sequenza 1.799.920 appare più leggibile di 1799920. Per
quanto riguarda i numeri binari è conveniente utilizzare gruppi di 4 cifre, così il numero binario 11011100 può essere scritto: 1101.1100. In esso il valore del gruppo
meno significativo si riconosce facilmente: (8 + 4 = 12d). Il gruppo più significativo,
1101, vale (128 + 64 + 16)d; si noti però che tutti i suoi addendi sono multipli di 16,
così come i pesi di tutti i suoi bit: 27, 26, 25, 24. Se si mette in evidenza il fattore 16,
diventa relativamente facile calcolarne il significato decimale: (128 + 64 + 16)d =
= (8 + 4 + 1) · 16: basta cioè riconoscere il numero di 4 bit che gli corrisponde e poi
moltiplicarlo per 16. Analogamente il valore del numero binario 1010.1101.1100 può
essere calcolato come 10d · 162 + 13d · 161 + 12d · 160, dove 10d, 13d, 12d, sono i valori
di ciascun gruppo preso a sé.
Come si vede c’è una stretta corrispondenza tra il sistema di numerazione binario e
quello a base 16 (esadecimale). Il passaggio dal sistema binario a quello esadecimale è
praticamente immediato, e il ricorso al codice esadecimale può esser visto come un
modo più compatto di esprimere i numeri binari.
Poiché il sistema a base 16 ha bisogno di 16 simboli elementari, per i primi dieci si
utilizzano gli stessi del sistema decimale (da 0 a 9), poi si ricorre alle lettere da A a F alle
quali sono assegnati i valori di base da dieci a quindici. La tabella E4.5 riporta la corrispondenza tra le cifre esadecimali da A a F e i valori espressi in binario e in decimale.
Si può dunque scrivere:
1010.1101.1100.0101b = A D C 5H = 10 · 163 + 13 · 162 + 12 · 161 + 5· 160
La conversione da esadecimale a binario è altrettanto immediata di quella da binario a esadecimale poiché consiste nella sostituzione di ciascun digit esadecimale con il
corrispondente gruppo di quattro bit.
Esprimere in binario il numero 8E2FH.
HEX
b
d
A
1010
10
B
1011
11
C
1100
12
D
1101
13
E
1110
14
F
1111
15
Tabella E4.5
Codici esadecimali e
binari da 10 a 15.
ESEMPIO
4
ESEMPIO
5
■ 8 E 2 FH = 1000 1110 0010 1111b, dove ciascun gruppo di 4 bit corrisponde, nell’ordine, a un
digit del numero in esadecimale.
Utilizzando la tabella E4.6 si esprima in codice decimale il valore del numero 8 E 2 FH.
■ 8 E 2 FH = 8 · 163 + 14 · 162 + 2 · 16 + 15 = 8 · 4096 + 14 · 256 + 32 + 15 =
= 32768 + 3584 + 32 + 15 = 36399
È utile ricordare le prime potenze del 16 riportate nella tabella E4.6
n
0
1
2
3
16
16n
1
16
256
4096
65536
Tabella E4.6
Potenze del 16.
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
338
E4.4 Conversione da decimale a esadecimale/binario
Per convertire in codice esadecimale o binario un numero intero espresso in decimale
si può procedere col metodo delle divisioni successive; esso consiste nel dividere per
la nuova base (16 o 2) il numero dato e i successivi quozienti ottenuti e accantonare i
resti, fino a quando non si ottiene il quoziente zero. Il nuovo codice si ottiene scrivendo
ordinatamente in successione e a partire dall’ultimo i resti ottenuti.
ESEMPIO
6
Per convertire in esadecimale il numero N = 8228d applicare il metodo delle divisioni successive.
■ La figura E4.1 mostra l’applicazione di questo metodo: la prima divisione dà resto 4 e quo-
ziente 514, la seconda dà resto 2 e quoziente 32 ecc.
Il resto, r, della prima divisione corrisponde alle unità che restano dopo aver tolto 514
gruppi da 16; il resto della seconda divisione corrisponde ai gruppi da 16 rimasti dopo avere raccolto 32 gruppi ciascuno con 256 elementi; questi ultimi infine si possono organizzare in due
gruppi ciascuno da 4096 elementi...
Pertanto la successione dei resti ottenuti dice che
N = 4unità + 2gruppi_da_16 + 0gruppi_da_162 + 2gruppi_da_163 = 8228d = 2024H
Lo stesso metodo può essere applicato nella conversione
in codice binario, ma, se non si hanno problemi con le divisioni per 16, conviene prima effettuare la conversione in esadecimale, e da questa passare al corrispondente codice binario:
8228 : 16
4
514 : 16
2
Figura E4.1
Conversione in
esadecimale per
divisioni successive.
32 : 16
0
2 : 16
2
0
N = 8228d = 2024H = 0010.0000.0010.0100b
E4.5 Conversione di numeri frazionari da decimale
a binario/esadecimale
La conversione si ottiene con il metodo delle moltiplicazioni successive; questo consiste nel moltiplicare per 2 la parte frazionaria del numero dato, stornare dal risultato e conservare la parte intera, ripetere le stesse operazioni sulla parte frazionaria rimanente, finché non rimane una parte frazionaria nulla o non si ottiene l’approssimazione desiderata.
Si consideri il numero 0, N dove N è espresso in decimi, centesimi, millesimi …, la
sua conversione in binario corrisponde a trovare il codice 0, b–1b–2b–3 dove le b–i rappresentano i vari bit di peso 2–i. Ora b–1 è il numero intero di volte (0 o 1) che la quantità
2–1 è contenuta in 0,N, e per trovarlo occorre eseguire 0,N/2–1 ovvero 0,N · 2. Il risultato
sarà costituito da una parte intera di valore 0 o 1 e di una parte frazionaria. La parte intera dice quante volte il 2–1 è contenuta in 0, N. Accantonata e tolta questa parte, una seconda divisione per 2–1 di questo risultato, ovvero una seconda moltiplicazione per 2,
dirà quanti 2–2 possono essere contenuti ancora nel numero frazionario dato... e così via.
Nel procedimento conviene utilizzare una variabile F che contenga il numero frazionario su cui effettuare i calcoli successivi e porre inizialmente F = 0, N. Supponendo
che basti fermare il calcolo alla terza cifra dopo la virgola, i passaggi successivi sono i
seguenti:
•
•
•
•
•
•
•
F = 0,N
F · 21 = b–1, abc (b–1, a, b, c sono le cifre del risultato ottenuto)
si accantona b–1 e si pone F = 0, abc
F · 21 = b–2, def
si accantona b–2 e si pone F = 0, def
F · 21 = b–3, ghi
si accantona b–3 e si pone F = 0, ghi
339
E4 • Sistemi di numerazione
Si è ottenuto:
•
0, N = b–1 · 2–1 + b–2 · 2–2 + b–3 · 2–3 + 0, ghi · 2–3
ovvero:
•
0, Nd = (0, b–1 b–2 b–3)b
Si noti l’iteratività del procedimento.
Si converta in binario il decimale N = 0,927d.
■ Per una esecuzione più veloce e ordinata conviene utilizzare una tabella dove nella prima co-
lonna vengono trascritti i risultati interi dei prodotti per 2, nella seconda le parti frazionarie, tabella E4.7.
Poiché N/2–1 = N · 2 = 0,927 · 2 = 1,854, il 2–1, cioè 0,5, è contenuto 1,854 volte in 0,927; risulta b–1 = 1. Si accantona questo valore, sulla colonna b–i della tabella, si impone F = 0,854. Si
ripete: 0,854 · 2 = 1,708, dunque b–2 = 1; 0,708 · 2 = 1,416, dunque è b–3 = 1; …
Infine si scrivono in sequenza e nello stesso ordine in cui sono stati ottenuti i valori di b–i:
0,927 = 0,11101.
Il procedimento dovrebbe terminare con la parte frazionaria uguale a zero, tuttavia continuare ostinatamente oltre il necessario livello di approssimazione non ha senso. Nell’esempio
proposto il numero 0,927 da convertire è approssimato di ± 0,001, dunque occorrerebbe procedere fino alla cifra di peso 2–i ≤ 10–3 cioè 103 ≤ 2i da cui si trova i ≥ 10, (210 = 1024); sarebbero
perciò richieste 10 iterazioni. In questo caso perciò la via più breve consiste nell’applicare il
metodo passando per la conversione in codice esadecimale che sarà poi facilmente tradotto in
binario.
7
ESEMPIO
b– i
F
0,927
b–1 = 1
0,854
b–2 = 1
0,708
b–3 = 1
0,416
b–4 = 0
0,832
b–5 = 1
0,664
Tabella E4.7
Da decimale
a binario.
Quanto appena detto a proposito della conversione nel codice in base 2 è a tutti gli
effetti valido qualunque sia la base B del codice da ottenere; nel formalismo proposto
le equazioni e i passaggi algebrici restano infatti validi se al posto delle potenze del 2k
si sostituiscono le potenze Bk dove B può valere per esempio 16. Naturalmente se
B = 16, dopo ogni moltiplicazione per 16 la quantità intera da accantonare potrà valere da 0 a 15 e verrà trascritta in esadecimale.
Si applichi il metodo delle moltiplicazioni successive per convertire in esadecimale il numero
0,927d; successivamente si traduca il risultato in codice binario.
ESEMPIO
r
■ La tabella E4.8 riporta i risultati delle successive moltiplicazioni per 16.
Si ottiene: 0,927 = 0,E D 4H = 0,1110.1101.0100b.
Come si vede i primi cinque bit così ottenuti combaciano con quelli precedentemente calcolati.
Come si è detto, nel caso esaminato il numero di cifre binarie richieste dopo la virgola è 10,
dunque: 0,927 = 0,1110.1101.01b.
Tabella E4.8 Da decimale a esadecimale.
8
F
0,927
E(=14)
0,312
D(=13)
0,708
4
0,992
E4.6 Operazioni aritmetiche con i numeri binari
Addizione
Seguendo l’esempio in figura E4.2 (0111 + 1), e cominciando dalle cifre
meno significative, l’operazione viene eseguita così:
“1 + 1 = 2,
1 di riporto +1 = 2,
1 di riporto +1 = 2,
1 di riporto + 0 = 1,
scrivo 0 e riporto 1;
scrivo 0 e riporto 1;
scrivo 0 e riporto 1;
scrivo 1 (con riporto 0).”
111
0 1 1 1+
1
1000
Come si vede essa è del tutto analoga all’operazione di addizione con numeri decimali.
riporti
1° addendo
2° addendo
somma
Figura E4.2
Eseguendo
l’addizione.
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
340
Sottrazione
L’operazione viene eseguita come nell’esempio in figura E4.3:
11
0 1 1 0–
11
0011
prestiti
1° operando
2° operando
differenza
Figura E4.3
Eseguendo
la sottrazione.
0 1 1 0*
11
0110
0110
10010
“0 – 1 non si può; prendo una coppia in prestito dal valore della cifra accanto a
sinistra; 2 – 1 = 1;
1 – 1 di prestito fa 0; prendo un prestito (che che vale 2) dalla cifra accanto a sinistra; 2 – 1 = 1;
1 – 1 di prestito fa 0.”
Moltiplicazione
Moltiplicare per due equivale ad aggiungere uno 0 a destra del numero, o a spostare la
virgola a destra di un posto. Es.: 011 · 10 = 0110.
L’operazione viene eseguita come nell’esempio in figura E4.4:
“Moltiplico il primo operando per l’1 più a destra del secondo operando (che
1° operando
qui vale 1), e scrivo il risultato;
2° operando
lo moltiplico per il secondo 1 (che vale 2) e scrivo il risultato spostato a sinistra di un posto per tener conto che le sue cifre valgono il doppio rispetto a
quelle del risultato precedente;
prodotto
sommo i due risultati parziali”
Figura E4.4
Eseguendo
la moltiplicazione.
Divisione
Dividere per 2 equivale a spostare la virgola a sinistra di un posto; per esempio:
01100/10 = 0110,0.
L’operazione viene eseguita come nell’esempio di figura E4.5:
dividendo
1100 11
= 00 100
resto
divisore
quoziente
Figura E4.5
Eseguendo
la divisione.
“ Comincio dalla cifra più significativa del dividendo:
il 3 del divisore non sta nell’1; sul dividendo prendo una cifra in più: 3 : 3 fa
1; scrivo 1; il resto è 0 ( );
considero la prima cifra successiva del dividendo: 0/3 fa 0; scrivo 0;
considero la cifra successiva del dividendo 0: 00/3 fa 0; scrivo 0.”
E4.7 Il codice binario BCD
L’acronimo BCD sta per Binary Coded Decimal. Si tratta di un metodo di rappresentazione dei numeri che utilizza il sistema di numerazione decimale, ma codifica con 4
bit le singole cifre.
ESEMPIO
9
Il numero 721d viene codificato con 0111.0010.0001BCD; i punti sono opzionali e separano i
gruppi di 4 cifre binarie che rappresentano rispettivamente le cifre 7, 2 e 1.
E4.8 Il codice binario complemento a due
Uno dei modi di rappresentare i numeri interi (positivi e negativi) è il codice binario in
complemento a due; esso consiste nell’utilizzare un numero fisso di bit, e nell’assegnare al bit più significativo il valore della corrispondente potenza di due, ma di segno
negativo. Con questa convenzione il valore del numero binario Bn Bn–1 ... B0, di n + 1
bit, si calcola con la formula
Bn Bn–1 ... B0 = –Bn · 2n + (Bn–1 · 2n–1 + ... + B0 · 20)
[E4.1]
341
E4 • Sistemi di numerazione
Con questa codifica i numeri positivi hanno tutti come prima cifra lo 0, e il loro valore
va da 0 a 2n – 1; mentre i numeri negativi hanno come prima cifra l’1 e vanno da –1 a –2n.
La figura E4.6 riporta i codici in complemento a due per numeri di 4 bit. Essa suggerisce che tutti i codici possibili a 4 bit possono esser disposti in sequenza ordinata su
una ruota orientata, in modo che dal codice di –8 si va verso –1, poi si passa a 0 e da
qui si va fino a +7 per poi tornare a –8. In questo caso, non essendoci il 5° bit, non è
possibile rappresentare numeri di modulo maggiore.
Se i bit utilizzati fossero 8, i numeri interi rappresentabili andrebbero da –128 a
+127. Con 16 bit si potrebbero rappresentare i numeri interi da –32768 a 32767.
P
P
2
1
0
d
2
1
0
0 0
0
0
-1 1 1
1
1
1 0 0
0
1
-2 1 1
1
0
2 0 0
1
0
-3 1 1
0
1
3 0 0
1
1
-4 1 1
0
0
4 0
1
0
0
-5 1
0
1
1
5 0
6 0
1
0
1
-6 1
0
1
0
1
1
0
-7 1
0
0
1
7 0
1
1
1
-8 1
0
0
0
d
0
3
3
Figura E4.6
Codici
complemento
a due con 4 bit.
Il nome di codice in complemento a due discende dal calcolo che si fa nel determinare la parte positiva del codice di un numero negativo: essa corrisponde a ciò che
manca al modulo del numero da rappresentare per raggiungere il valore 2n rappresentabile con le n + 1 cifre disponibili.
Con 4 cifre binarie si rappresenti in complemento a due il numero decimale –5.
ESEMPIO
10
ESEMPIO
11
■ Con n + 1 = 4 cifre disponibili n = 3; poiché il numero da rappresentare è negativo, la cifra
più significativa deve essere 1 e vale –23 = –8; dunque le altre tre cifre del numero devono in
tutto valere +3. Si ha dunque:
–5 = –23 + 3 = 1011
Si noti che 011b = 3d è proprio ciò che manca a 5 per raggiungere il valore di 23.
Il codice in complemento a due di un numero negativo si può anche ottenere dal codice binario del modulo del numero dato, mediante complemento a 1, bit per bit, e
somma con 1.
Con 4 bit si calcoli mediante complementazione a 1 del modulo il codice in complemento a due
di –6.
■ Il procedimento si applica con i seguenti passi:
•
•
•
•
+6 = 0110b;
complemento a 1 di 0110 = 1001;
1001 + 1 = 1010;
–6 = 1010.
Lo stesso meccanismo funziona più in generale per cambiare il segno di un numero
espresso in complemento a due.
342
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
ESEMPIO
12
Si cambi il segno del numero –6, espresso nel suo codice in complemento a due.
■ Il procedimento si applica con i seguenti passi:
•
•
•
•
ESEMPIO
13
(–6) = 1010;
il complemento a 1 di 1010 è 0101;
0101 + 1 = 0110;
+6 = 0110.
Si calcoli con 8 bit e mediante complementazione a 1 il codice complemento a due di –76.
■ Il procedimento si applica con i seguenti passi:
•
•
76d = 01001100b → –76 = 10110011 + 1 = 10110100
verifica: 10110100 = –27 + (32 + 16 + 4) = –76d
Il codice complemento a due si applica alla somma tra numeri relativi, nel senso
che il risultato della somma tra numeri relativi espressi con questo codice si ottiene
semplicemente per mezzo dell’addizione. L’unica cosa cui bisogna stare attenti è che il
risultato non vada oltre i limiti consentiti dal numero di bit utilizzato; quando ciò succede si dice che si è verificato un errore di overflow (traboccamento).
Se non si va in overflow la somma di numeri con segno funziona anche nel caso di
un risultato negativo. D’altra parte l’overflow si verifica solo nel caso di somme tra numeri dello stesso segno ed è facilmente riconoscibile perché il segno del risultato è diverso da quello dei due operandi.
ESEMPIO
14
In complemento a due con 4 bit si calcoli –3 + 7.
–3 = 1101(cp2); 7 = 0111(cp2);
■ La loro somma, eseguita in figura E4.7 dà 1101 + 0111 = 0100 = 4.
Nel calcolo non si considera il riporto risultante dalla somma dei bit più significativi; esso costituirebbe un quinto bit che in questa rappresentazione non è previsto, ma proprio questo fatto
rende corretto il risultato.
1111
Figura E4.7
Somma in
complemento a 2.
ESEMPIO
15
1 1 0 1+
111
0100
riporti
1° addendo
2° addendo
somma
Si dimostri che in complemento a due con quattro bit non è possibile eseguire la somma di –6 e –3.
■ –6 – 3 = –9, il codice complemento a due con 4 bit di –9 non esiste, dunque la corrispondente
operazione di somma non può funzionare.
Eseguendo comunque l’operazione, figura E4.8, si osserva che il risultato è un numero di
segno positivo (la cifra più significativa è 0), chiaramente non valido dato che i due operandi
sono entrambi negativi.
Figura E4.8
Somma in
complemento
a 2 con overflow.
1
1 0 1 0+
1101
0111
riporti
1° addendo
2° addendo
somma
Esercizi di verifica
Esercizio 1
Esprimere come somma di esponenti del 10 il valore del numero in base 10: 805,74.
Esercizio 2
Per un sistema di numerazione posizionale di base 5 stabilire i simboli necessari e il corrispondente peso decimale delle cifre di posto 2, 1, 0, –1, –2.
Esercizio 3
Esprimere in decimale il valore del numero in base 5: 421,02.
Esercizio 4
Ricavare i codici dei numeri in base 5 con 2 cifre intere.
Esercizio 5
Esprimere il massimo numero con 4 cifre intere in base 5 (a), e calcolarne il corrispondente valore decimale (b).
Esercizio 6
Scrivere in codice binario i numeri da 0 a 18.
Esercizio 7
Dire fino a che numero si può contare con 9 cifre binarie indicandone il valore in codice decimale.
Esercizio 8
Scrivere i successivi codici binari dei numeri da 32 a 64.
Esercizio 9
Scrivere i successivi 16 codici binari di 1010.1111b.
Esercizio 10
Calcolare i codici decimali di 1010.1110b e di 0101.0111b.
Esercizio 11
Contare in esadecimale da 100H a 120H.
343
Esercitazioni
E4 • Sistemi di numerazione
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
344
Esercitazioni
Esercizio 12
Tradurre in decimale il codice del numero 14AH; calcolarne poi il codice binario.
Esercizio 13
Calcolare il valore decimale del massimo numero naturale rappresentabile con 4 digit esadecimali.
Esercizio 14
Convertire in esadecimale (a) e poi in decimale (b) il numero 1001.0011.1110b.
Esercizio 15
Convertire in binario (a) e in decimale (b) il numero 1029H.
Esercizio 16
Convertire col metodo delle divisioni successive in esadecimale (a) e poi direttamente in binario (b) il numero
12800d.
Esercizio 17
Trovare le potenze massime del 16 contenute nel numero 12800d (a) e utilizzarle per ricavarne il codice esadecimale (b).
Esercizio 18
Convertire in esadecimale il numero 65536d.
Esercizio 19
Calcolare quanti digit esadecimali sono necessari per esprimere in quel codice il numero 2.800.000d.
Esercizio 20
Convertire prima in binario (a) e, da qui, in esadecimale (b) il numero 4097d.
Esercizio 21
Esprimere in codice decimale il numero binario frazionario 01.1100,011.
Esercizio 22
Esprimere in binario il numero frazionario 0,82d.
Esercizio 23
Esprimere in binario il numero A0,2AH.
E4 • Sistemi di numerazione
345
Calcolare in decimale il valore di 1B,7EH.
Esercizio 25
Esprimere in binario (a) e, da qui, in esadecimale (b) il numero 535,96d.
Esercizio 26
Eseguire le seguenti operazioni tra numeri binari e verificare la coerenza dei risultati con il corrispondente calcolo in decimale: a) 1101 + 0110; b) 1.0011 + 01111; c) 1101 – 0111; d) 1011.1110 – 1001.0111.
Esercizio 27
Eseguire le seguenti operazioni tra numeri binari e verificare la coerenza dei risultati con il corrispondente calcolo in decimale: a) 1101 · 011; b) 1.0011 · 110; c) 1.1001 : 101; d) 1011.1110 : 101.
Esercizio 28
Eseguire le seguenti operazioni tra numeri binari: a) 1011,0111 + 0101,1010; b) 1011,0111 – 0101,1010.
Esercizio 29
Premessa:
Le operazioni di addizione e di sottrazione in esadecimale possono rendere più breve il calcolo rispetto a quello
dei corrispondenti codici in binario; le regole sono analoghe a quelle del calcolo in decimale o in binario; il riporto scatta quando si supera il numero 16, inoltre riporti e prestiti valgono 16.
Per esempio l’addizione 0B + 0F viene eseguita così: B + F = 26d che in esadecimale si scrive 1A; scrivo A
(dieci) e riporto 1 (sedici); 0 + 0 + 1 = 1. Risultato: 0B + 0F = 1AH.”
La sottrazione viene eseguita come nel seguente esempio: “BA – AD: poiché è A < D prendo da B un 16 in prestito; ora ho 16 + 10 che fa 26; 26 – 13 fa 13; scrivo D. B meno il prestito dato fa A; A – A = 0; scrivo 0. Risultato:
BA – AD = 0D.”
Proposta:
Eseguire le seguenti operazioni in esadecimale: a) EF + 2A; b) ED – 2F; c) D,7 + 5,A; d) B,7 – 5,A.
Esercizio 30
Esprimere in codice BCD il numero 13784.
Esercizio 31
Convertire da BCD a decimale il numero 1001.0111.0110,1000.0101.
Esercizio 32
Esprimere in BCD il numero 870,42.
Esercizio 33
Eseguire in BCD le seguenti operazioni:
a) 1000.0110,0111.0101 + 0110.1000,0011.0110;
Esercitazioni
Esercizio 24
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
Esercitazioni
346
b) 1000.0110,0111.0101 – 0110.1000,0011.0110.
(occorre ricordare che ciascun gruppo di 4 bit va trattato come un numero decimale, es.: 1001 + 0111 =
= 0001.0110 perché 9 + 7 = 16; scrivo 6 in BCD e riporto una decina …).
Esercizio 34
Convertire in binario il codice BCD 0110.1000,0101.
Esercizio 35
Esprimere in codice complemento a due con 8 bit i numeri 36d e –68d.
Esercizio 36
Convertire in codice decimale i seguenti numeri espressi in complemento a due:
a) 1010.1101.1100;
b) 0111.0110.1110.
Esercizio 37
Eseguire in complemento a due le seguenti operazioni tra numeri binari:
a) 1011.1100 + 0111.0110;
b) 1101.1100 – 0010.1000.
(i numeri con segno – vanno prima convertiti nel corrispondente codice complemento a due).
Esercizio 38
Riconoscere i casi di overflow nelle seguenti operazioni in complemento a due:
a) 1011 + 1110);
b) 0110 + 1000;
c) 1010 + 1101;
d) 1011 + 1101;
e) 01110 + 00010.
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Dire perché certi sistemi di numerazione sono detti posizionali.
2. Definire un sistema di numerazione posizionale con base dodici.
3. Definire il sistema di numerazione binario.
4. Definire il sistema di numerazione esadecimale.
5. Dimostrare la corrispondenza tra il sistema di numerazione binario e quello esadecimale (limitarsi al caso di
2 digit esadecimali).
6. Spiegare la codifica BCD.
7. Spiegare la codifica in complemento a due e indicarne i vantaggi.
8. Il codice in complemento a due con 4 bit di –6 è 1010; confrontarlo con il corrispondente codice a 8 bit.
9. Confrontare i codici in complemento a due a 4 bit e quello a 8 bit indicandone differenze e corrispondenze.
10. Spiegare il significato di overflow nel caso di somma in complemento a due.
Quesiti a scelta multipla
Scegliere la risposta corretta tra quelle proposte.
1. I codici di numerazione posizionali necessitano di:
a un numero di simboli pari al valore della base elevata a n – 1.
b un numero di simboli pari al numero di cifre da utilizzare.
c un numero di simboli pari al valore della base.
d tanti simboli quanti ne contiene la base.
2. In un sistema di numerazione posizionale di base b:
a con n cifre intere si può contare fino a 2n.
b con n cifre intere si può contare da 0 a 2n–1.
c con n cifre intere si può contare da 0 a bn.
d con n cifre intere si può contare fino a bn – 1.
3. Nel sistema di numerazione binario il peso delle cifre vale:
a 2n con n = numero di posto della cifra contato a partire da 0 e dalla virgola andando verso sinistra.
b 2n dove n è il numero delle cifre utilizzate.
c 2n con n = numero di posto della cifra a partire da 1 e dalla virgola andando verso sinistra.
d 2n–1 dove n è il posto occupato dalla cifra.
4. Nel sistema di numerazione esadecimale:
a le cifre utilizzate sono in tutto 16.
b si conta più velocemente che con i sistemi binario o decimale.
c il valore di ciascuna cifra si calcola moltiplicandone il valore del simbolo per 16n dove n è il numero di posto
della cifra.
d il peso di ciascuna cifra è pari al posto da essa occupato moltiplicato per 16.
347
Esercitazioni
E4 • Sistemi di numerazione
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
Esercitazioni
348
5. Il passaggio da esadecimale a binario si ottiene:
a sostituendo ciascun digit esadecimale con il corrispondente valore binario.
b sostituendo ciascun digit esadecimale preso singolarmente con quattro bit di valore binario equivalente.
c calcolando ciascun digit in base al posto occupato e sostituendolo con un numero binario equivalente.
d con il metodo delle divisioni successive per 2.
6. Il passaggio da esadecimale a BCD si ottiene:
a sostituendo ciascun digit esadecimale preso singolarmente con quattro bit che ne esprimano il valore.
b traducendo il suo codice in binario e da qui in BCD.
c calcolando il valore del numero mediante le potenze del 16 e convertendone il risultato in codice binario.
d traducendo in BCD il valore del numero preliminarmente convertito in codice decimale.
7. Il codice BCD è:
a un codice posizionale binario le cui cifre sono raggruppate a quattro a quattro.
b un codice decimale posizionale i cui dieci simboli sono costituiti ciascuno dalla corrispondente codifica in
numero binario di 4 bit.
c un codice che utilizza la base dieci e due soli simboli.
d un codice posizionale binario che utilizza la base due e dieci simboli.
8. In codice binario le cifre dopo la virgola valgono:
a 20, 2–1, 2–2,..., 2–n.
b 0,5; 0,25; 0,125; 0,0615.
c 0 oppure 1.
d 2–1, 2–2,..., 2–n.
9. In codice esadecimale il valore decimale delle cifre dopo la virgola si calcola:
a moltiplicandone il singolo valore per le potenze negative del 16.
b col metodo delle moltiplicazioni successive per 16.
c traducendole prima in binario e poi mediante le potenze negative di 2.
d assegnando a ciascuna di esse il valore 16–n, dove n è il posto occupato dopo la virgola.
10. Il codice complemento a due con 5 bit esprime in binario i numeri con segno:
a da –15 a +15.
b da –16 a +16.
c da 00000 a 11111
Cp2
Cp2.
d da –16 a +15.
11. Per esprimere in complemento a due i numeri da –128 a +127:
a sono necessari almeno 7 bit.
b occorre un numero di bit ≥8.
c non bastano 8 bit.
d si devono usare esattamente 8 bit.
Attività di laboratorio
proposte
Nell’unità E3 si sono date indicazioni generali sulla preparazione e realizzazione di esperienze di laboratorio di elettronica digitale. Le successive schede di laboratorio in questo e nei prossimi moduli
propongono alcune esperienze significative. Nelle prime esercitazioni si dovrebbe fare pratica con
tester, breadboard, alimentatori, resistori, diodi LED. Le cose da fare potrebbero essere le seguenti:
• eseguire una mappatura dei collegamenti tra i fori della breadboard;
• misurare la resistenza di alcuni resistori verificando la corrispondenza con il codice dei colori;
• regolare la tensione di un alimentatore e predisporre i collegamenti tra alimentatore e
breadboard;
• realizzare e collaudare un semplice sondino costituito da resistore e diodo LED.
Le esercitazioni di questo modulo consistono nella verifica di porte logiche. A ciascun gruppo potrebbe essere affidato un integrato con funzioni e caratteristiche tecnologiche diverse, corredato
della necessaria documentazione. Se si dispone di software per il disegno elettronico lo si può
utilizzare per predisporre gli schemi dei collegamenti. I gruppi di laboratorio aggiungeranno alle
schede di lavoro qualche nota essenziale sulle operazioni effettuate e proporranno brevemente
delle considerazioni sull’esito delle misure effettuate.
E5.1 Verifica di porte logiche
I livelli delle tensioni sugli ingressi A e B e sull’uscita y si possono verificare utilizzando un tester come voltmetro e inserendo i puntali tra un morsetto di ingresso o di
uscita e massa. I valori misurati vanno riportati nella prima delle tabelle E5.1.
Per compilare la seconda tabella si devono valutare le tensioni della prima tabella
in base alle caratteristiche dell’integrato come livelli alti (H) o bassi (L). In questo caso
(integrato della famiglia LS) va ricordato che VILmax = 0,8 V, VIHmin = 2 V, VOLmax = 0,5 V,
VOHmin = 2,7 V. In alternativa, per verificare i livelli logici, si può usare una sonda logica realizzata con diodo e resistenza, come quella che nello schema è inserita sull’uscita del circuito. L’estremità con il resistore della sonda va sull’alimentazione mentre
il catodo del diodo va inserito sul punto da verificare (il diodo acceso rivela un livello
basso).
VA
+VCC
5V
R1
R2
R3
1k
1k
330
A
B
SW1
GND
SW2
1
3
2
74LS32
LED
Y
VB Vy
A
B
y
Tabella E5.1
a) tensione in volt; b) livelli logici.
Figura E5.1
Schema per la verifica statica di una porta
logica OR dell’integrato 74LS32.
E5
349
Modulo E • Introduzione all’elettronica digitale
350
E5.2 Caratteristica statica di porta logica NOT
Si monti su breadboard il circuito di figura E5.2. Se si dispone di un doppio alimentatore si può utilizzare la seconda alimentazione per controllare direttamente l’ingresso
A (lo studente ricordi che le masse vanno collegate insieme); altrimenti si utilizza un
potenziometro come nello schema in figura.
+VCC
5V
VA(V)
2
10 k
3
A
3
VA ≥ VIHmin
Io(mA) Vy(V)
R2
2k
1
R1
Vy(V)
R3
10 k
2
Y
4049
Va
Vy
GND
Figura E5.2
Rilievo della caratteristica statica di I/O.
Tabella E5.3
Tabella E5.2
Senza carico
Con carico
a) Misurazioni senza carico sull’uscita.
Si regola la tensione dell’ingresso VA cominciando da VA = 0 e si rileva la tensione
in uscita Vy. Ciascuna coppia di valori VA, Vy si registra sulla tabella E5.2. Si registrino in particolare i valori con VILmax e VIHmin che nel caso di questo integrato sono
rispettivamente 1,5 V e 3,5 V.
b) Misurazioni con il carico sull’uscita.
Si fissa la tensione di ingresso con un valore VA ≥ VIHmin; ciò assicura una tensione
in uscita a vuoto Vy ≤ VOLmax, cioè un livello basso. Il carico è costituito da un resistore fisso di 2 kΩ in serie con un potenziometro da 5 o 10 kΩ. Il resistore da 2k limita la corrente massima assorbita per evitare di danneggiare l’integrato. Si inserisce un tester usato come milliamperometro tra il terminale libero del potenziometro
e l’uscita della porta logica per rilevare la corrente Io assorbita dall’uscita dell’integrato. Con un altro tester usato come voltmetro si misura la tensione Vy. Si registrano
in tabella E5.2 le coppie Io, Vy man mano che si abbassa il valore del carico RL.
E5.3 Composizione e visualizzazione di un numero
binario con 8 bit
1
2
3
4
5
6
7
8
8
7
6
5
4
3
2
1
16
15
14
13
12
11
10
9
9
10
11
12
13
14
15
16
Si realizzi il circuito in figura E5.3. Lo schema proposto suggerisce anche il posizionamento dei componenti per il cablaggio su breadboard. Sul dip switch si compone il
numero binario: ciascun interruttore chiuso corrisponde a uno 0 e aperto corrisponde a
un 1. I bit più significativi sono a sinistra. A ciascun interruttore aperto corrisponde un
LED acceso. Lo studente può comporre qualunque numero da 0 a 255.
Figura E5.3
R
Composizione e 330
visualizzazione
di un numero
+VCC
binario.
5V
Modulo F
Circuiti logici
combinatori
Obiettivi
Prerequisiti
Contenuti
• F1 Algebra di Boole e circuiti logici
• F2 Sviluppo e realizzazione di funzioni booleane
• F3 Sintesi di forme algebriche minime per le funzioni booleane
• F4 Circuiti combinatori integrati di base
• F5 Attività di laboratorio proposte
Esercitazioni
• Esercizi di verifica
• Test di verifica
352
Modulo F • Circuiti logici combinatori
Obiettivi
Al termine di questo modulo gli alunni dovranno:
1. conoscere la struttura dell’algebra di Boole;
2. sapere enunciare, rappresentare, verificare le proprietà dell’algebra di
Boole delle variabili binarie con gli operatori NOT, AND, OR e saperle applicare ai circuiti logici reali;
3. conoscere i teoremi dell’algebra di Boole, il teorema di De Morgan, il teorema di Shannon;
4. sapere applicare i teoremi dell’algebra di Boole ai circuiti logici per realizzare funzioni combinatorie;
5. conoscere i metodi di semplificazione di espressioni booleane;
6. sapere applicare i metodi di semplificazione alla sintesi di funzioni booleane;
7. conoscere le principali funzioni della logica combinatoria;
8. saper descrivere i circuiti che realizzano queste funzioni e saper utilizzare la
modularità di detti circuiti per aumentare il numero di ingressi o di uscite.
Prerequisiti
Per lo studio di questo modulo è richiesta una sufficiente conoscenza di quanto
esposto nel modulo E.
Algebra di Boole
e circuiti logici
Con la definizione degli operatori AND, OR, NOT l’insieme delle variabili binarie acquisisce una
struttura costituita da precise regole di composizione e di calcolo. Anche i circuiti logici sono descritti da variabili binarie e per essi valgono le stesse regole di composizione.
Le porte logiche AND, OR e NOT operano sugli ingressi di questi circuiti esattamente come i corrispondenti operatori nell’ambito delle variabili binarie; con esse è possibile costruire qualunque
altro dispositivo digitale.
F1
George Boole,
matematico,
(Lincoln, 1815 –
Cork, 1860)
F1.1 Rappresentazione di variabili binarie
mediante mappe
Una mappa di Venn è un disegno delimitato da un rettangolo all’interno del quale si
rappresentano insiemi come parti delimitate da curve chiuse; l’insieme più ampio possibile è delimitato dai bordi stessi della mappa e viene detto insieme universo, poiché
contiene la totalità degli elementi di cui si sta trattando.
Nella figura F1.1, I rappresenta l’insieme universo, x un suo elemento, A un sottoinsieme di I.
I
x
A
Di volta in volta l’insieme universo e i suoi sottoinsiemi possono essere definiti secondo l’ambito che si vuole studiare. Le mappe di Venn applicate alle variabili binarie
consentono di renderne evidenti alcune semplici proprietà.
È possibile stabilire una corrispondenza tra l’insieme delle variabili binarie e i sottoinsiemi dell’insieme universo con il seguente meccanismo: a ogni variabile binaria a
si assegna una suddivisione in due parti dell’insieme universo costituita da un sottoinsieme A, che rappresenta tutte e solo le condizioni in cui la variabile binaria è vera, e
dal suo complemento, cioè tutta la parte che manca all’insieme A, e che rappresenta
tutte e sole le condizioni in cui la variabile a è falsa.
Tra i possibili sottoinsiemi definibili all’interno dell’insieme universo I vanno considerati lo stesso insieme I, e l’insieme vuoto, Φ. Le variabili binarie a essi associate
valgono rispettivamente sempre 1 e sempre 0, cioè sono delle costanti.
John Venn,
filosofo, logico,
matematico (Hull,
1834 – Cambridge
1923)
Figura F1.1
Rappresentazione
di un insieme A
su mappa di Venn.
353
Modulo F • Circuiti logici combinatori
354
ESEMPIO
1
Su una mappa di VENN siano I l’insieme di tutti gli esseri viventi, A il sottoinsieme contenente
tutti gli umani; e x un elemento di I. Sia a la proposizione: “l’essere vivente x fa parte della specie uomo”.
Ora la proposizione a risulta vera se x è contenuto in A, altrimenti è falsa. Inoltre all’interno dell’universo degli esseri viventi si possono individuare molte altre categorie più o meno ampie
come i vegetali, le leguminose, gli ovipari, i rettili, i felini e così via; per ciascuna di esse si possono inoltre assegnare una proposizione binaria come: b = “x é un felino”, e un sottoinsieme B
contenente tutti i felini.
ESEMPIO
2
Il monitor di un computer sia l’insieme universo: esso contiene tutto ciò che si può attivare con
il click del mouse. Si consideri poi l’insieme A dei punti dell’area sensibile di un’icona di collegamento al programma pa.
Col mouse si può toccare quell’area per avviare il corrispondente programma pa, altrimenti quel
programma non verrà avviato. L’icona A rappresenta perciò la proposizione a: “avvia il programma pa”, che in base alla posizione del mouse può essere “vera” o “falsa”. Ancora l’icona A,
sottoinsieme, suddivide il monitor, universo, in due zone complementari, che individuano univocamente le condizioni in cui la frase a è vera o è falsa.
In definitiva si può stabilire di volta in volta una perfetta corrispondenza (biunivoca) tra l’insieme dei sottoinsiemi di I e l’insieme delle variabili binarie in modo che
l’uno sia l’immagine dell’altro. All’insieme I corrisponde una particolare variabile binaria il cui valore resta sempre uguale a 1, e che viene chiamato elemento 1. L’insieme
vuoto Φ corrisponde a un altro elemento il cui valore è sempre uguale a 0, e che viene
chiamato elemento 0. Data la corrispondenza tra una variabile binaria e il sottoinsieme
di I che ne rappresenta la condizione in cui essa è vera, da ora in avanti si userà per entrambi lo stesso nome.
Rappresentazione di NOT A
Definiti ora una variabile A e il corrispondente insieme
A nella rappresentazione su
–
mappa di Venn,
si
osserva
subito
che
alla
variabile
A
=
NOT
A corrisponde, come in–
sieme in cui A è vera, il complemento di A in I, I – A; essa infatti vale 1 nei punti dove
A vale 0, e vale 0 dove A vale 1.
–
La figura F1.2 rappresenta su mappa di Venn le due variabili A e A evidenziando
che l’una è il complemento dell’altra.
Figura F1.2
A e NOT A.
I
A=I-A
A
–
Si noti che nel caso di una variabile A con valore –fisso pari a 1, si avrebbe A = costante = 0 e sulle mappe di Venn si avrebbe A = I e A = Φ: l’insieme universo e l’insieme vuoto sono l’uno il complemento dell’altro.
355
F1 • Algebra di Boole e circuiti logici
Rappresentazione di due variabili binarie indipendenti
Due variabili binarie indipendenti vanno rappresentate (figura F1.3) come due insiemi
con una parte in comune; ciò consente di considerare tutte le possibili combinazioni
dei loro valori.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Figura F1.3
Mappa di Venn di
due variabili binarie
indipendenti.
I
A
B
La figura mostra che a ciascuna combinazione di valori di A e B corrisponde un particolare sottoinsieme. AB = 00 corrisponde all’insieme dei punti che non appartengono
né ad A né a B, AB = 01 all’insieme dei punti di B ma non condivisi con A, AB = 10 ai
punti di A ma non anche di B, AB = 11 ai punti che sono sia di A che di B. Se si fossero
scelti due insiemi senza punti comuni si sarebbero rappresentate due variabili non del
tutto indipendenti, avendo escluso per una variabile la possibilità di valere 1 contemporaneamente all’altra.
Rappresentazione delle funzioni AND e OR
Il prodotto logico e la somma logica di due variabili binarie A e B sono variabili binarie dipendenti.
La AND di due variabili, P = A · B, vale 1 solo se entrambe le variabili valgono 1.
Sulla mappa di Venn (figura F1.4) ciò corrisponde al sottoinsieme dei punti comuni di
A e B, P = A ∩ B, cioè l’intersezione di A e B. Il simbolo ∩ è l’operatore di intersezione
tra insiemi.
La OR di due variabili, S = A + B, vale 1 se una o l’altra, o entrambe, valgono 1.
Sulla mappa di Venn l’insieme che corrisponde a S è costituito dai punti di A e di B, comuni e non. Si tratta dell’insieme unione S = A ∪ B. Il simbolo ∪ è l’operatore unione
tra insiemi.
I
A
I
A
Figura F1.4
A AND B e A OR B.
B
B
A
B
A
A AND B
B
A OR B
F1.2 Struttura reticolare dell’insieme
delle variabili binarie
Tra due sottoinsiemi A e B di I è a volte possibile stabilire quale di essi è il più grande
e quale il più piccolo; ciò avviene quando uno dei due sottoinsiemi è contenuto nell’altro. A
B significa che l’insieme A contiene l’insieme B, e quindi è più grande.
Non sempre però è possibile stabilire questa relazione (si pensi ad A e B di figura
F1.4): si dice perciò che la relazione d’ordine è parziale.
Relazione
d’ordine parziale
⊂
⊂
Modulo F • Circuiti logici combinatori
356
Massimo
limite inferiore
Minimo
limite superiore
Ciò che invece è sempre possibile, qualunque sia la coppia di sottoinsiemi di I, è
trovarne l’intersezione e l’unione.
Ora, come mostra la figura F1.5, l’intersezione di A e B è il più grande dei sottoinsiemi contenuto sia in A che in B e viene detto il massimo limite inferiore di A e B.
Invece l’unione di A e B è il più piccolo dei sottoinsiemi che contiene sia A che B, ciò
che viene detto il minimo limite superiore.
Figura F1.5
P ’, un limite
inferiore di A e B;
S ’, un limite
superiore di A e B.
P=A
I
B
S =A
I
A
A
B
B
S'
P'
P', un limite inferiore di A e B
Chiusura di un
insieme rispetto a
un operatore
ESEMPIO
3
B
S', un limite superiore di A e B
Queste due operazioni, l’unione e l’intersezione, danno sempre un risultato in I grazie al fatto che, come si è stabilito, dell’insieme dei sottoinsiemi di I fanno parte I
stesso e l’insieme vuoto Φ. Ciò corrisponde a dire che l’insieme dei sottoinsiemi di I è
chiuso rispetto alle operazioni d’unione e di intersezione.
Vista la corrispondenza tra variabili binarie e insiemi, e tra gli operatori AND e OR
e gli operatori ∩ e ∪, questi concetti si trasferiscono automaticamente all’insieme
delle variabili binarie: esso è parzialmente ordinato; gli operatori AND e OR di due
variabili binarie sono il loro massimo limite inferiore e il minimo limite superiore; l’insieme delle variabili binarie è chiuso rispetto agli operatori AND e OR (cioè si tratta di
due operazioni sempre possibili e il cui risultato è ancora una variabile binaria).
Si considerino due variabili binarie A e B tali che se B = 1 allora anche A = 1, mentre A = 1 non
implica necessariamente che lo valga anche B. La rappresentazione su mappa di Venn corrisponde a un insieme A che contiene B, A
B. Nell’ambito delle variabili binarie questa relazione si traduce in A > B.
⊂
Reticolo
Si definisce reticolo un insieme parzialmente ordinato e chiuso rispetto alle operazioni
di massimo limite inferiore e di minimo limite superiore.
Da quanto esposto finora l’insieme delle variabili binarie con gli operatori AND e OR
ha la struttura di un reticolo.
Leggi di identità e di annullamento
Dalle definizioni di I e Φ, il più grande dei sottoinsiemi di I e l’insieme vuoto, discendono le seguenti proprietà:
per qualunque sottoinsieme A di I
Leggi di identità e
annullamento
Identità
a) A ∩ I = A
b) A ∪ Φ = A
[F1.1]
Annullamento:
a) A ∩ Φ = Φ
b) A ∪ I = I
[F1.2]
La loro traduzione nell’ambito delle variabili binarie è immediata:
357
F1 • Algebra di Boole e circuiti logici
per qualunque variabile binaria A:
Identità:
a) A · 1 = A
b) A + 0 = A
[F1.3]
Annullamento:
a) A · 0 = 0
b) A + 1 = 1
[F1.4]
Come si vede Φ e I, 0 e 1 sono gli elementi neutri rispettivamente dell’unione, o
della somma logica, e dell’intersezione, o del prodotto logico, così come nell’aritmetica lo sono lo 0 per l’addizione e l’1 per la moltiplicazione; inoltre, come in aritmetica, 0 · A = 0, legge di annullamento del prodotto. Qui però, diversamente che nell’aritmetica, l’elemento 1 ha nella somma logica un effetto simile a quello dello 0 nel
prodotto logico: la somma logica di 1 con qualunque altro elemento ne annulla la visibilità: 1 + A = 1.
Il concetto di abilitazione
Se dalla tabella della verità della AND si estraggono le due righe con B = 1, e dalla
tabella della OR le due righe con B = 0 si ottiene il risultato previsto dalla legge di
identità, cioè Y = A · 1 = A e Y = A + 0 = A. Ciò significa che l’uscita segue esattamente l’andamento di A.
Analogamente, se un ingresso della AND viene mantenuto al livello 0 il segnale
sull’altro ingresso non giunge all’uscita che resta bloccata sullo 0. Se uno degli ingressi
della OR viene fissato a 1 l’altro ingresso non arriva sull’uscita, essa resta bloccata sul
livello 1.
Da questo punto di vista la OR e la AND si comportano come porte (gate) in cui uno
degli ingressi può essere usato come segnale di controllo che abilita o non abilita il passaggio del segnale posto sull’altro ingresso. In questi casi si preferisce indicare l’ingresso di controllo–con una E (enable = abilitatore) se lascia passare il segnale quando
vale 1, o con una E se lascia passare il segnale quando vale 0.
La figura F1.6 mostra i casi ora esposti: sulla AND l’abilitatore E = 1 consente il
passaggio
del segnale sull’altro ingresso A, mentre E = 0 lo blocca; –sulla OR l’abilita–
tore E = 1 blocca il passaggio del segnale sull’altro ingresso, mentre E = 0 lo fa passare.
+VCC
Figura F1.6
Verifica sui circuiti
logici delle leggi
di identità e di
annullamento.
+VCC
R1
1k
R1
1k
B
A
Y=A
B
A
Y=1
B=E
B=E
A
A
Y=0
Y=A
B
B
GND
GND
AND e OR come
porte logiche
Modulo F • Circuiti logici combinatori
358
Di un abilitatore si usa dire che è attivo al livello alto o che è attivo al livello basso
a seconda che abiliti quando vale 1 o quando vale 0.
Un negatore posto all’ingresso di abilitazione della porta AND, rende l’abilitatore
attivo al livello basso.
Il concetto di abilitazione si estende facilmente al caso più generale di circuiti logici con più ingressi. Se infatti F(...) è la funzione di tale circuito (figura F1.7) per munirlo di abilitatore è sufficiente collegare l’uscita del circuito a uno degli ingressi di una
AND, e utilizzare l’altro ingresso come abilitatore. Nota la funzione F(...), il circuito
munito di abilitatore sarà ora sinteticamente descritto dalla tabella F1.1.
Figura F1.7
Utilizzazione come
abilitatore di un
ingresso di porta
AND.
VCC
1k
R
SW1
GND
E
F(...)
y = E · F(...)
E
y
0
0
1 F(...)
Tabella F1.1
Tabella di funzione con ingresso di
abilitazione.
F1.3 Complemento di una variabile binaria
e operatore NOT
Per ogni variabile
A appartenente all’insieme delle variabili binarie esiste ed è unica
–
una variabile A che è falsa quando A è vera, ed è vera quando A è falsa. Le due variabili sono dette una il complemento dell’altra. L’operatore NOT associa a una variabile
il suo complemento. Una porta logica NOT fornisce in uscita la negazione della variabile in ingresso.
Si è visto (figura F1.2) che, rappresentata una variabile A su mappa di Venn, si individua subito l’unico insieme corrispondente al suo complemento. Se la variabile A
coincide con l’insieme universo I, cioè vale sempre 1, il suo complemento è l’insieme
vuoto Φ, cioè è la “variabile” che vale sempre 0.
Si dice reticolo complementato un reticolo che per ogni sua variabile A possiede il suo
complemento. L’insieme delle variabili binarie è un reticolo complementato.
Legge dei complementi
–
–
a) A · A = 0
b) A + A = 1
Legge dei
complementi
[F1.5]
La prima di queste due espressioni esprime il fatto che per queste variabili non è
prevista una via di mezzo: se una variabile è vera, nello steso istante la sua negazione
non può che essere falsa; a essa corrisponde, nella rappresentazione di Venn, la proprietà A ∩ (I – A) = Φ.
La seconda espressione indica che, nel mondo delle variabili binarie, A e la sua negazione coprono tutte le possibilità esistenti per quanto riguarda i valori che si possono
assumere; a essa corrisponde l’espressione A ∪ (I – A) = 1.
Come nel mondo della logica, almeno quella del buon senso, non è consentito a un
oggetto di possedere nello stesso istante un attributo e il suo contrario.
ESEMPIO
4
–
Se A afferma che un determinato biglietto da 500 euro è falso, allora A afferma che esso è vero;
le due possibilità non si verificano mai contemporaneamente ma, in ogni caso, l’una o l’altra
delle due possibilità è in atto.
359
F1 • Algebra di Boole e circuiti logici
È TEOREMA. Condizione necessaria e sufficiente perché due variabili binarie A e B
siano una il complemento dell’altra è che valgano contemporaneamente entrambe le espressioni A · B = 0 e A + B = 1.
Necessità: se A è il complemento di B le due espressioni sono vere per la legge
dei complementi.
Sufficienza: se le due espressioni sono contemporaneamente vere, mentre per la
prima relazione almeno una delle due vale 0, per la seconda almeno una delle due
vale 1, quindi o A = 0 e B = 1, o B = 0 e A = 1, perciò A e B sono una il complemento dell’altra.
Legge della doppia negazione
–
La negazione di NOT A è ancora la variabile A: A = NOT(NOT A) = A.
Questa legge riconosce che una proposizione della forma “non è vero che non è vero
che...”, equivale a “è vero che...”. Insomma, applicare due volte la negazione a una variabile equivale a non negarla affatto.
Coerentemente con questa proprietà, con due porte NOT collegate in cascata, l’uscita della seconda porta logica riproduce ciò che entra sulla prima porta. Tuttavia, date
le caratteristiche reali dei circuiti elettronici, il ritardo del segnale in uscita è pari a due
volte il tempo di propagazione attraverso una singola porta NOT.
–
A= A
La legge dei complementi e le porte logiche reali, l’alea statica
La figura F1.8 fornisce gli schemi per la verifica della legge dei complementi. Agli ingressi della AND o della OR giungono A e NOT A. Il Led sull’uscita della AND resta
sempre acceso, rivelando un livello basso, qualunque sia la posizione dello switch in
ingresso. Il led sull’uscita della OR resta invece sempre spento rivelando un livello
sempre alto.
+VCC
Figura F1.8
Circuiti per la
verifica della legge
dei complementi.
+VCC
5V
5V
R1
1k
R2
330
R1
1k
R2
330
LED
1
2
1
GND
2
SW1
1
A
2
7404
LED
1
3
7408
A·A
1
GND
2
SW1
1
A
2
2
3
7432
7404
Tuttavia occorre tener conto che in questa esperienza le cose avvengono con i nostri tempi di manovra e di osservazione.
Se per controllare gli ingressi si usa un generatore di onda quadra con frequenza
dell’ordine di qualche MHz, e se si osservano i segnali con un oscilloscopio, sulle
uscite si notano degli impulsi molto brevi durante i quali la legge dei complementi appare non rispettata.
Il fatto è che le porte logiche, come ogni altro dispositivo, hanno delle caratteristiche fisiche per le quali si discostano dai modelli ideali che li descrivono, caratteristiche
che a volte non possono esser trascurate. In questo caso non si può trascurare il ritardo
di propagazione del segnale attraverso la porta NOT che rende i due segnali sugli ingressi della AND e della OR non del tutto complementari.
A+A
Modulo F • Circuiti logici combinatori
360
Alea statica
e ritardo
di propagazione
Se, come in figura F1.9, se ne analizza l’andamento tenendo conto del ritardo di
propagazione e se ne calcola la risposta in uscita, si osserva nel caso del circuito con la
AND che, per un breve intervallo di tempo, gli ingressi della AND si trovano entrambi
al livello alto, e in quell’intervallo l’uscita della AND deve perciò valere 1. Analogo
discorso vale per l’altro circuito dove i segnali all’ingresso della OR per un breve intervallo valgono entrambi 0, provocando un guizzo verso il livello basso.
Il ritardo di propagazione attraverso una porta TTL è dell’ordine di 10 ns; per osservare
– più facilmente il fenomeno all’oscilloscopio conviene aumentare il ritardo tra
A e A inserendo 3 o 5 porte NOT in cascata ottenendo così degli impulsi della durata
di 30 o 50 ns.
A fenomeni come quelli or ora esaminati si è dato il nome di alea statica; la parola
latina alea significa dado. Anche se con il termine alea ci si riferisce il più delle volte
a fenomeni del tutto casuali come quello del lancio dei dadi, l’alea statica è del tutto
prevedibile se sono ben note le caratteristiche di ritardo dei dispositivi logici reali.
L’alea statica, quando non prevista, può avere delle conseguenze indesiderate, ma
in certi casi la si utilizza per generare brevi impulsi.
+VCC
+VCC
R1
1k
1
A
Figura F1.9
Alee statiche sui
circuiti di verifica
della legge dei
complementi.
R1
1k
1
2
2
7404
A
Y=A·A
3
A
7408
1
1
Y=A+A
2
7404
A
7432
3
A
A
t
A
t
Y
t
A
t
Y
t
t
F1.4 Porte logiche NAND-NOR
Collegando l’uscita di una porta logica all’ingresso di una NOT si ottiene la negazione
della funzione originaria.
La colonna d’uscita della tabella della verità della nuova funzione è esattamente il
complemento di quella della funzione di partenza. In tal modo, da una AND e da una
OR si ottengono rispettivamente una NAND e una NOR; le tabelle e i simboli di queste porte logiche sono riportati nella figura F1.10.
Figura F1.10
Porte logiche NAND,
NOR e relative
tabelle della verità.
A
0
0
1
1
B A·B
0
1
1
1
0
1
1
0
A
B
A·B
NAND
A
0
0
1
1
B A+B
0
1
1
0
0
0
1
0
A
B
A+B
NOR
361
F1 • Algebra di Boole e circuiti logici
Realizzazione di NOT mediante NAND e NOR
Si può subito osservare che, se si collegano tra loro gli ingressi A e B di una porta
NAND o NOR, imponendo con ciò A = B, allora le uscite sono esattamente la negazione degli ingressi; si ottiene perciò una porta NOT (delle tabelle delle funzioni restano in tal caso valide solo la prima e l’ultima riga).
Lo stesso risultato si ottiene per una NAND fissando uno degli ingressi al livello 1:
l’uscita nega l’altro ingresso. Analogamente da una NOR, fissando uno degli ingressi
al livello 0, si ottiene la NOT dell’altro ingresso. Ciò dal punto di vista algebrico corrisponde nell’ordine alle operazioni:
–––– – ––––– –
––– – –––– –
A · A = A , A + A = A, A · 1 = A , A + 0 = A
NOT da NAND e
NOR
La figura F1.11 ne mostra i corrispondenti circuiti logici.
A
A
B
A
B
Figura F1.11
NAND e NOR
utilizzate come NOT.
A
+VCC
R1
1k
A
A
A
B
A
GND
F1.5 Regole di precedenza degli operatori
e uso delle parentesi
Il significato di un’espressione con AND e OR può cambiare a seconda dell’ordine di
esecuzione degli operatori. Come nell’aritmetica, anche nelle espressioni dell’algebra
di Boole si conviene di dare la precedenza all’operatore AND per cui nell’espressione
A · B + C si intende che prima si effettua il prodotto A · B e poi si somma il risultato a
C. Se le parentesi racchiudono un’espressione, allora essa va calcolata prima di eseguire altre operazioni esterne alle parentesi. Così l’espressione A · (B + C) indica che
prima va calcolato (B + C) e poi il risultato deve essere posto in AND con A. Come nell’aritmetica, il segno · tra due variabili si può omettere, così AB va inteso come prodotto logico di A e B.
F1.6 Le proprietà del reticolo
L’insieme delle variabili binarie con gli operatori + e · , l’insieme dei sottoinsiemi di I
con gli operatori ∪ e ∩, e l’insieme delle proposizioni semplici con i connettivi AND
e OR sono tre esempi perfettamente simili, più precisamente isomorfi, di reticolo.
Si esaminano ora le proprietà degli operatori AND e OR sulle variabili binarie.
Proprietà commutativa
Le definizioni tabellari di AND e di OR, e la loro rappresentazione su mappe di Venn
come insiemi intersezione e unione, implicano che il risultato della AND e della OR non
dipende dall’ordine usato nel considerare le due variabili. Valgono perciò le relazioni:
a) A · B = B · A
b) A + B = B + A
[F1.6]
Modulo F • Circuiti logici combinatori
362
I
A
B
C
A B C
(A · B) · C = A · (B · C)
I
A
B
C
A B C
(A + B) + C = A + (B + C)
Figura F1.12
Verifica su mappe di
Venn della proprietà
associativa.
Metodo di
perfetta induzione
ESEMPIO
5
Proprietà associativa
OR e AND sono stati introdotti come operatori su due variabili, tuttavia dopo una
prima applicazione della AND il risultato può ancora essere posto in AND con una
terza variabile. Lo stesso vale per la OR.
La proprietà associativa afferma che il risultato finale non dipende dalla scelta delle
prime due variabili su cui si opera:
a) (A · B) · C = A · (B · C)
b) (A + B) + C = A + (B + C)
[F1.7]
La figura F1.12 mostra una verifica della proprietà associativa mediante mappe di
Venn: il prodotto e la somma delle tre variabili corrispondono, comunque li si esegua,
all’intersezione e all’unione dei tre insiemi che li rappresentano.
Vista la validità della proprietà associativa, nel prodotto o nella somma di più variabili è possibile omettere le parentesi.
La figura mostra inoltre che il prodotto vale 1 solo quando tutte e tre i suoi fattori
valgono 1; e che la somma vale 1 se almeno uno dei suoi termini vale 1.
La proprietà associativa si dimostra anche applicando il metodo di perfetta induzione che consiste nel verificare una proprietà, o un teorema, considerando tutti i possibili casi. Questo metodo si adatta bene alla logica combinatoria, dove i casi da verificare
sono i risultati per ciascuna delle combinazioni di valori delle variabili di ingresso.
Si applichi il metodo di perfetta induzione per dimostrare la validità della proprietà associativa
della AND e della OR.
■ Si preparano innanzi tutto due tabelle organizzate come quelle di tabella F1.2 e tabella F1.3.
Ciascuna di esse ha tre colonne A, B, C per i valori delle variabili d’ingresso, due colonne per i
prodotti/somme di A e B, e di B e C, due colonne per i risultati complessivi. Si noti l’ordine della
numerazione binaria da 0 a 7 con cui si sono inserite le combinazioni di valori delle tre variabili
d’ingresso. I valori inseriti nelle altre colonne derivano dall’applicazione riga per riga delle definizioni di AND e di OR a due ingressi considerando, nel caso dei calcoli intermedi, i valori
delle variabili d’ingresso, A e B o B e C, e nel caso dei risultati complessivi i valori dei risultati
intermedi e della terza variabile. Così alla quarta riga della tabella F1.2 A · B = 0 e C = 1 danno
(A · B) · C = 0; alla quinta riga della tabella F1.3 A = 1 e B + C = 0 danno A + (B + C) = 1. Infine
si osserva che in ciascuna tabella le colonne con i risultati complessivi contengono gli stessi valori.
A
B
C
A·B
(A·B )·C
B·C
A·(B·C )
A
B
C
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Tabella F1.2
Verifica della proprietà associativa della AND.
AND e OR
di più variabili
A+B (A+B )+C B+C A+(B+C )
Tabella F1.3
Verifica della proprietà associativa della OR.
La corrispondenza tra variabili binarie AND-OR e sottoinsiemi di I intersezioneunione e le proprietà associativa e commutativa dei rispettivi operatori consentono di
estendere le definizioni di AND e OR al caso di un numero qualsiasi di variabili.
La AND di più variabili vale 1 quando e solo tutte le variabili assumono il valore 1; la funzione OR di più variabili vale 1 se almeno una delle variabili lo vale.
363
F1 • Algebra di Boole e circuiti logici
Dispositivi AND e OR con due, tre, quattro, otto ingressi sono disponibili in circuiti
integrati della piccola scala di integrazione; a parte il numero di ingressi, i loro simboli
logici sono del tutto simili a quelli già noti per le porte con due soli ingressi.
Anche il concetto di abilitazione viene esteso al caso di porte con più ingressi. In
una AND a tre ingressi se ne possono utilizzare due come abilitatori; il terzo ingresso
ha la funzione di dato, e raggiunge l’uscita solo se entrambi gli abilitatori valgono 1.
Se invece si usa uno solo degli ingressi come abilitatore, in uscita si avrà o uno 0 fisso
(dispositivo disabilitato) oppure la AND degli altri due ingressi.
In una OR a tre ingressi, utilizzandone due come abilitatori, il segnale del terzo ingresso passa in uscita solo se entrambi gli abilitatori sono al livello 0, altrimenti l’uscita resta bloccata sul livello 1.
Il discorso si estende facilmente nel caso di un numero qualsiasi di ingressi.
AND e OR come riconoscitori di codice binario
Una AND con n ingressi può esser descritta come un dispositivo che riconosce il codice binario di n bit tutti uguali a 1 segnalando con un 1 in uscita se questo fatto avviene. Ad esempio, se n = 3 si può dire che la AND con tre ingressi riconosce il codice
B2B1B0 = 111b.
Più in generale si può utilizzare la AND per riconoscere il codice di qualunque altro numero binario con un numero ragionevole di bit non necessariamente fatto solo di
1: il trucco sta nel negare con una NOT quegli ingressi sui quali si prevede uno 0 del
codice da riconoscere. A questa funzione, che è detta di decodifica, si ricorre tutte le
volte che si deve segnalare il verificarsi di un particolare evento codificato in binario,
per esempio per attivare un particolare dispositivo. Essa può anche essere svolta segnalando con uno 0 piuttosto che con un 1 il fatto che interessa; in questo caso si ricorre a una NAND, si dice che la decodifica è attiva al livello basso, e per sottolineare
questo fatto se ne indica la funzione d’uscita con un negatore.
Si utilizzi una AND con tre ingressi per ottenere un dispositivo che segnala con un 1 la presenza
in ingresso del codice 100.
ESEMPIO
6
ESEMPIO
7
■ Il circuito logico è rappresentato in figura F1.13 a. Detti B2, B1 e B0 gli ingressi del dispositivo che si vuole realizzare, si collegano B1 e B0 ciascuno sull’ingresso di una NOT e poi si
collegano le uscite delle NOT e B2 ciascuno su un ingresso della AND. In tal modo quando
B2B1B0 = 100, le uscite di ciascuna delle NOT valgono 1, la AND riceve in ingresso tre livelli
alti e risponde con un 1 in uscita.
In alternativa si può realizzare il circuito di figura F1.13 d dove l’uscita vale 1 solo se i tre
ingressi della NOR sono al livello 0 e ciò avviene solo se il codice immesso è 100.
Si realizzi un dispositivo che segnala con uno 0 la presenza in ingresso del codice 100b.
■ È sufficiente negare le uscite dei due circuiti proposti nell’esempio precedente. Si ottengono
gli schemi di figura F1.13 b, c.
B2
B1
1
2
1
2
13
74LS04
B0
3
3
74LS11
B1
1
1
2
B2
1
2
8
c)
1
y
B1
B0
12
74LS10
y
b)
2
74LS04
CD4075
1
2
13
2
74LS04
a)
B1
2
74LS04
B0
CD4049
B0
y
4
74LS04
B2
B2
12
1
2
13
74LS27
d)
y
Figura F1.13 a, b, c, d
Esempi di decodifica
del numero 100b.
Modulo F • Circuiti logici combinatori
364
Decoder di numeri binari
Con 4 AND, ciascuna di due ingressi B1 e B0, e opportuni negatori si può realizzare un
dispositivo le cui quattro uscite segnalano con un 1 quale dei codici di due bit è presente in ingresso. È sufficiente infatti che le uscite corrispondano ordinatamente ciascuna a una diversa funzione di riconoscimento del codice binario di due bit:
–
–
– –
y3 = B1 · B0 y2 = B1 · B0, y1 = B1 · B0, y0 = B1 · B0
Un dispositivo di questo tipo è detto decoder/demultiplexer da 2 bit in ingresso a
quattro linee d’uscita, o più brevemente: decoder da 2 a 4, dove 2 si riferisce ai bit del
codice in entrata e 4 al numero complessivo delle uscite. Sul termine demultiplexer si
tornerà più avanti.
In genere i decoder integrati sono attivi a livello basso, si realizzano perciò con
delle NAND e hanno anche almeno un ingresso di abilitazione. Quando il decoder non
è abilitato, tutte le sue uscite restano sul livello non attivo. La figura F1.14 mostra il
circuito logico (a) e il simbolo (b) di un decoder da 2 a 4 linee; la tabella F1.4 ne definisce le funzioni.
Un decoder da 3 a 8 decodifica numeri di tre bit attivando una sola delle sue 8 uscite
per volta.
Se le uscite di un decoder binario sono 2n il codice binario in ingresso è di n bit.
Naturalmente un decoder può anche essere decadico nel senso che attiva una sola di 10
uscite; in questo caso ai suoi ingressi deve poter ricevere i codici dei numeri da 0 a 9,
e quindi deve comunque avere 4 ingressi di dato.
E
y3
B1
B0
–
E
y2
E
y1
B1
B0
b)
y0
a)
y3
y2
y1
y0
Figura F1.14
Decoder da 2 a 4 linee.
–
S1
–
S0
y–3
y–2
y–1
y–0
1
x
x
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
Tabella F1.4
Tabella di decoder da 2 a 4 linee.
La proprietà di idempotenza
a) A · A = A
A
a)
A
A
b)
Figura F1.15
a) A · A = A
b) A + A = A
A
b) A + A = A
[F1.8]
Questa proprietà è implicita nelle definizioni e nelle rappresentazioni già date per
le variabili binarie e per gli operatori AND e OR: si pensi alla rappresentazione su
mappe di Venn della AND o della OR di una variabile A con una variabile B che istante
per istante coincida con A.
Dal punto di vista delle porte logiche, A · A o A + A equivalgono a collegare insieme
tutti gli ingressi della porta (figura F1.15) rendendoli perciò tutti uguali alla variabile A.
La proprietà di assorbimento
Questa proprietà fornisce uno strumento di semplificazione nelle espressioni logiche:
a) A · (A + B) = A
b) A + A · B = A
[F1.9]
Una frase come “Possono votare i cittadini maggiorenni oppure i cittadini maschi e
maggiorenni” contiene una parte che è superflua: se con A si indica l’insieme dei cittadini maggiorenni e con B quello dei cittadini maschi, l’insieme dei cittadini maschi e
365
F1 • Algebra di Boole e circuiti logici
maggiorenni (A · B) è contenuto in quello più ampio dei cittadini maggiorenni, dunque
è inutile specificarlo nella frase.
La rappresentazione su mappe di Venn (figura F1.16) mostra facilmente la parte
superflua delle due frasi. Altrettanto semplice è la dimostrazione per perfetta induzione, cioè mediante tabelle della verità.
(A
A
B)
I
B
A
(A
B)
Il principio di dualità
La tabella F1.5 riporta le proprietà e le leggi del reticolo delle variabili binarie con gli
operatori AND e OR. Si è visto che ciascuna di esse consiste in due relazioni diverse
ma simili nella forma. Si osserva dalla tabella che, per ciascuna delle proprietà del reticolo, presa una delle due relazioni e sostituendo ogni segno · con un + e ogni segno +
con un · si ottiene l’altra. Come mostra la tabella, questa regola funziona ancora nel
caso delle leggi di identità, di annullamento e dei complementi a patto che gli 1 e 0
della relazione di partenza vengano sostituiti rispettivamente da 0 e da 1. Tutto ciò si
riassume dicendo che le proprietà e le leggi del reticolo sono duali.
In generale da ogni espressione valida con variabili binarie, AND e OR, se ne può
scrivere una duale altrettanto valida sostituendo il + con il · e gli 1 con gli 0 e viceversa.
È questo il principio di dualità che si può riformulare nel seguente modo: se mediante le leggi del reticolo si dimostra una nuova proprietà espressa come relazione tra
espressioni con variabili e operatori + e · , allora anche la forma duale della relazione è
vera (e perciò non è necessario dimostrarla).
Leggi/Proprietà
Relazione a
Relazione b
Associativa
Commutativa
Idempotenza
Assorbimento
A + (B + C ) = A + (B + C )
A+B=B+A
A+A=A
A + (A · B ) = A
A · (B · C ) = A · (B · C )
A·B=B·A
A·A=A
A · (A + B ) = A
Identità
Annullamento
Complementi
A+0=A
A+1=1
–
A+A =1
A·1=A
A·0=0
–
A·A =0
(A
B)
I
A
B
A
(A
B)
Figura F1.16
Verifica su mappe
di Venn della
idempotenza.
Principio
di dualità
Tabella F1.5
Dualità delle
proprietà del reticolo delle variabili
binarie.
Dalle espressioni a sinistra della freccia si ricavino per dualità quelle a destra:
–––
A · 0 = 1 → A + 1 = 0;
ESEMPIO
8
ESEMPIO
9
A · B + 1 = 1 → (A + B) · 0 = 0;
A⋅ B⋅C = A + B + C → A + B + C = A⋅ B⋅C
Il principio di dualità si applica anche al caso di definizioni o verifiche mediante tabelle. Se y = f(A, B) è una funzione definita mediante tabella della verità, seguendo la
regola di sostituzione di 1 con 0 e 0 con 1 e riordinando la tabella si ricava la funzione
duale yd = fd(A, B) di y.
Dalla tabella della verità della funzione AND si ricavi la funzione duale.
■ Il procedimento è in parte riportato in tabella F1.6: la
tabella della AND è stata complementata in ogni sua cella;
si è così ottenuta la seconda tabella nella quale è riconoscibile la funzione OR.
La frase che definisce la AND: “A · B vale 1 solo se
entrambe le variabili valgono 1” diviene: “A + B vale 0
solo se entrambe le variabili valgono 0”.
A
B
A·B
A
B A+B
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
Tabella F1.6
Dualità della AND e
della OR.
Modulo F • Circuiti logici combinatori
366
F1.7 L’algebra di Boole delle variabili binarie
Si è precedentemente detto che l’insieme delle variabili binarie con gli operatori AND
e OR ha la struttura di un reticolo complementato. Inoltre, come si vedrà qui di seguito,
in esso vale la proprietà distributiva tra gli operatori AND e OR. Si dice allora che esso
è un reticolo complementato e distributivo o, più concisamente e in omaggio a George
Boole, che esso è un’algebra di Boole.
Proprietà distributiva
Il prodotto logico per una somma si può eseguire distribuendolo su ciascuno degli addendi e poi eseguendo la somma logica dei risultati parziali.
La somma logica per un prodotto di operandi si può eseguire distribuendola su ciascuno dei fattori e eseguendo il prodotto dei risultati parziali.
a) A · (B + C) = A · B + A · C
b) A + (B · C) = (A + B) · (A + C)
[F1.10]
La prima relazione è del tutto simile a quella ben nota dell’aritmetica; la seconda relazione è duale della prima, ma non ne ha una simile nell’aritmetica.
La tabella F1.7 dimostra la validità della seconda relazione: prima si sono ricavate
le funzioni parziali B · C, A + B e A + C, poi i valori assunti dal primo e dal secondo
membro della relazione A + (B · C) = (A + B) · (A + C). Le due colonne evidenziate in
grigio, che ne contengono i valori, risultano identiche.
Per il principio di dualità anche l’altra espressione della proprietà distributiva resta
dimostrata. In alternativa a questa dimostrazione si può ricorrere alle mappe di Venn
individuando i due insiemi corrispondenti ai termini dell’equazione e verificandone la
coincidenza.
Tabella F1.7
Verifica della
proprietà
distributiva.
A
B
C
B·C
A+(B·C )
A+B
A+C
(A+B )·(A+C )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
F1.8 Teoremi dell’algebra di Boole
Nelle dimostrazioni che seguono si ricorrerà a passaggi algebrici; sono altrettanto validi metodi grafici (Venn) o il ricorso alla perfetta induzione.
Per il principiò di dualità sarà sempre sufficiente dimostrare una delle due relazioni duali.
Legge di unificazione o di adiacenza
–
a) A · B + A · B = A
–
b) (A + B) · (A + B) = A
[F1.11]
–
–
Dimostrazione: A · B + A · B = A · (B + B) = A · 1 = A
Nei passaggi si sono applicate nell’ordine: la proprietà distributiva, la legge dei
complementi e la legge di identità. Per il principio di dualità anche la seconda forma
resta dimostrata.
367
F1 • Algebra di Boole e circuiti logici
Secondo teorema di assorbimento
–
–
a) A + A · B = A + B
b) A · (A + B) = A · B
[F1.12]
–
–
Dimostrazione: A + A · B = (A + A) · (A + B) = 1 · (A + B) = A + B
Si sono applicate nell’ordine: la proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto, la legge dei complementi e quella di identità.
Teorema del consenso
–
–
a) AB + BC + AC = AB + AC
–
–
b) (A + B)(B + C)(A + C) = (A + B)(A + C) [F1.13]
Dimostrazione:
–
–
–
–
–
AB + BC + AC = AB + (A + A)BC
+ (ABC + AC) =
– + AC = (AB + ABC)
–
= AB(1 + C) + AC(B + 1) = AB + AC
–
Nel primo passaggio si è moltiplicato BC per (A + A); poi si sono applicate la proprietà distributiva, la associativa, ancora la proprietà distributiva, la legge di identità e
infine le leggi di annullamento.
Teorema di De Morgan
––– – –
a) A · B = A + B
– –
b) A + B = A · B
[F1.14]
Augustus De
Morgan,
matematico,
(India, 1806 –
Inghilterra, 1871)
Il complemento del prodotto logico di due variabili è uguale alla somma logica dei
loro complementi, e il complemento della somma logica è uguale al prodotto logico dei
complementi. Come al solito le due espressioni sono una la duale dell’altra.
Dimostrazione: Si è visto che due variabili binarie sono una il complemento dell’altra
se il loro prodotto
– –vale sempre 0 e la loro somma sempre 1.
Dunque (A + B) e (A · B) sono una la negazione dell’altra, come il teorema afferma,
se la loro somma fa 1 e il loro prodotto fa 0.
In effetti:
– –
– –
– –
– –
– –
1) (A + B)–+ A · B– = ((A + B) + A ) · ((A + B) + B ) = (A + B + A) · (A + B + B) =
= (1 + B)(1 + A) = 1
– –
–
–
2) AB · (A + B) = ABA + ABB = 0 + 0 = 0
Nella prima riga si sono applicate nell’ordine la proprietà distributiva della somma
rispetto al prodotto, la proprietà associativa, le leggi dei complementi e di annullamento. Nella seconda riga: la proprietà distributiva e la legge dei complementi.
Con ciò il teorema è dimostrato.
La figura F1.17 mostra l’applicazione del teorema di De Morgan alle porte logiche: l’equivalente di una porta NAND è una OR con gli ingressi negati, e l’equivalente
di una porta NOR è una AND con gli ingressi negati. Dal punto di vista grafico e mnemonico, nel passaggio da un circuito al suo equivalente il negatore si trasferisce dall’uscita agli ingressi della porta logica distribuendosi su ciascuno di essi e questa si trasforma da AND in OR, o da OR in AND.
A
B
A
B
AB
A
B
A
B
B
A
A·B
B
Figura F1.17
Il teorema
di De Morgan
applicato alle porte
AND e OR.
Modulo F • Circuiti logici combinatori
368
Se poi si aggiunge una NOT sulle uscite di ciascuno dei circuiti di figura F1.17 si
ottiene anche il seguente risultato (figura F1.18): la AND di A e B si può realizzare utilizzando una NOR con ingressi negati; la OR di A e B si può realizzare mediante una
NAND con ingressi negati.
Ciò del resto discende dalla–––
proprietà della doppia negazione e dall’applicazione
del teorema di De Morgan ad A · B e A + B :
A · B = A⋅B = A+ B
NAND e NOR
come porte
logiche universali
(A + B) = A + B = A ⋅ B
[F1.15]
D’altra parte si è visto che con le NAND o con le NOR è possibile realizzare le
NOT. Dunque con le sole porte NAND si possono realizzare le NOT, le AND, le OR e
le NOR; con le sole porte NOR si possono realizzare le NOT, le OR, le AND, le
NAND. In pratica, a quanto pare (e come è effettivamente), le NAND da sole o le NOR
da sole bastano a comporre ogni frase contenente proposizioni semplici; le omonime
porte logiche bastano da sole a realizzare ogni tipo di circuito logico. Per questo motivo le porte NAND e le NOR sono dette universali.
A
B
A
B
AB
A
B
A
A
B
B
B
A·B
Figura F1.18
Realizzazione di AND mediante NOR e di OR mediante NAND.
ESEMPIO
10
Applicare il teorema di De Morgan all’espressione AB(C + D) ⋅ 1 .
– – – – –
■ AB(C + D ) ⋅1 = AB + ( C + D ) + 1 = A + B + C · D + 0
Dal confronto dell’espressione data e di quella finale si nota il seguente meccanismo: il negatore si è spezzato distribuendosi su ciascuna variabile e su ciascuna costante, i · sono stati sostituiti da + e i + da · ; in particolare l’effetto della negazione sulle costanti è quello di cambiare
gli 0 con 1 e gli 1 con 0.
ESEMPIO
11
Il circuito di figura F1.19 esegue il confronto tra i suoi ingressi considerati come numeri binari
di un solo bit e segnala con uno 0 alle sue uscite quale di tre eventi, A > B, A = B, o A < B è
in corso.
Ricavare 1) la tabella della verità del circuito, 2) le espressioni algebriche di y1, y2 e y3, 3) applicare il teorema di De Morgan alle espressioni di y1, y2 e y3 e, se possibile, semplificarle.
Figura F1.19
Comparatore di
due bit.
5
6
y1
4
A
B
1
3
9
74LS00
13
y2
10
2
12
8
11
y3
369
F1 • Algebra di Boole e circuiti logici
■ 1) Si predispone una tabella della verità con i due ingressi e le uscite delle porte
A
NAND, poi, per ciascuna combinazione degli ingressi A e B e seguendo sul circuito i se0
gnali, si calcolano prima l’uscita della prima NAND, poi nell’ordine y1, y3, y2. Nel fare ciò
aiuta ricordare che la funzione NAND vale 0 solo se entrambi i suoi ingressi valgono 1.
0
Si ottiene così la tabella F1.8.
1
La tabella mostra che le tre funzioni indicano con uno zero l’esito del confronto tra i
due bit A e B: y1 = 0 indica che A > B; y3 = 0 che A < B; y2 = 0 che A = B.
1
––
2) L’uscita della prima NAND è uguale ad AB; questa è anche un ingresso per la seconda e la
terza NAND le cui uscite sono perciò:
y1 = AB ⋅ A
e
y3 = AB ⋅ B
B
––
AB
y1
y3
y2
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
Tabella F1.8
Funzioni dei circuiti
F1.19.
Queste a loro volta sono ingressi per la quarta NAND la cui uscita vale perciò:
y2 = y1 ⋅ y3 = AB ⋅ A ⋅ AB ⋅ B
––
––
– –
–
– –
–
3) y1 = AB · A = (A + B) · A = AB ; y3 = AB · B = (A + B) · B = A B;
––
––
––
– –
–
–
y2 = AB ⋅ A ⋅ AB ⋅ B = AB · A + AB · B = AB · (A + B) = (A + B) · (A+ B) = AB + AB.
Nel calcolo di y2 si sono applicate nell’ordine anche la proprietà della doppia negazione, la
distributiva, e la legge dei complementi.
Si potrebbe compilare la tabella della verità delle funzioni ora ricavate; la sua coincidenza
con la tabella costruita sulla base del circuito logico confermerebbe la correttezza dei risultati.
Generalizzazioni del teorema di De Morgan
Il teorema di de Morgan si applica anche al caso di NAND e NOR con più ingressi. Per
verificarlo è sufficiente considerare il caso di una NAND con tre ingressi, suddividere
il prodotto mediante la proprietà associativa e applicare il teorema a ciascuna delle due
parti.
–
– – –
–
– –
ABC = ( AB)C = ( AB ) + C = (A + B) + C = A + B + C
[F1.16]
Più in generale il teorema si può applicare ordinatamente a qualsiasi espressione
booleana:
sia E(A, B, C, ..., 0, 1, +, ·) un’espressione booleana in cui compaiono le variabili A, B,
C, ... , le costanti 0 e 1, e i segni + e ·, dal teorema di De Morgan discende che:
– – –
E ( A, B, C , ..., 0, 1, +, ⋅) = E(A, B, C , ...,1, 0, ·, +)
[F1.17]
Teorema di espansione di Shannon o dello sviluppo di funzioni booleane
Siano f(A) una funzione booleana della variabile A, f(0) il valore di f(A) quando A = 0
e f(1) il valore di f(A) quando A = 1, allora valgono le seguenti relazioni:
–
a) f(A) = A · f(1) + A · f(0)
–
b) f(A) = (A + f(0)) · (A + f(1))
[F1.18]
La prima delle equazioni afferma che il valore della funzione f(A) è f(0) se A = 0 oppure f(1) se A = 1. La seconda equazione è la duale della prima, e in questo caso afferma esattamente la stessa cosa.
La dimostrazione per completa induzione è immediata: se è A = 1, sostituendolo
nella prima relazione si ottiene l’identità f(1) = f(1); se invece è A = 0 si ottiene
f(0) = f(0).
Anche la seconda relazione si può verificare per perfetta induzione ma, data la dualità, ciò non è necessario.
Claude Elwood
Shannon,
matematico (USA,
1916 – USA, 2002)
Modulo F • Circuiti logici combinatori
370
ESEMPIO
12
Si verifichi su un circuito logico la forma a) del teorema di Shannon per tutte le possibili funzioni della sola variabile A.
■ La figura F1.20 riporta la schema del circuito richiesto. Si può osservare che in essa A funziona da abilitatore di una o l’altra delle due porte AND, consentendo il passaggio di f (1)
quando A = 1, e di f (0) quando A = 0. In queste condizioni uno degli ingressi della porta OR vale
comunque 0 e lascia passare il segnale abilitato. In altre parole l’ingresso A sceglie quale dei due
segnali d1 o d2 deve giungere in uscita.
1
6
A
f0
f1
f2
f3
5 74LS08
0
0
0
1
1
f(0)
1
0
1
0
1
f(1)
1
d1 = f(1)
1
2
3
74LS04
A
1
d0 = f(0)
Tabella F1.9
Tutte le funzioni
di una sola variabile.
y = f(A)
1 74LS32
2
3
2
2 74LS08
Figura F1.20
Esempio 12.
Le funzioni di una sola variabile sono in tutto 4, e sono riportate in tabella F1.9. Si può notare che queste funzioni sono definite da una tabella di due righe. Se si considera ciascuna colonna che definisce una funzione come un numero binario si vede che in questo caso si possono
esprimere solo i numeri che vanno da 0 a 3.
Nel caso della funzione f2 la verifica consiste nell’imporre sull’ingresso d0 il valore f(0) = 1,
e sull’ingresso d1 il valore f(1) = 0. I valori sulle uscite delle porte logiche nei due casi A = 0 e
A = 1 si possono prevedere considerando che con A = 0 l’uscita della prima AND vale 0, quella
della seconda vale f(0) = 1, quindi y = f(0) = 1; e con A = 1 la prima AND dà f(1) = 0, la seconda
dà 0, quindi y = f(1) = 0.
Il teorema fu a suo tempo enunciato dal matematico George Boole, che cercava
un’analogia tra la scomposizione di funzioni logiche e lo sviluppo in serie di funzioni
matematiche. Il suo significato è più ampio di quanto possa apparire in prima lettura.
Esso si applica infatti a qualunque funzione booleana f(x, A) di più variabili (x sta per
tutte le altre variabili) e in questo caso f(x, 1) e f(x, 0) sono le funzioni ottenute da f(x,
A) considerando i casi in cui A è presa come costante con valore 1 oppure con valore 0.
ESEMPIO
Nella tabella F1.10 è definita la funzione f(A, B); accanto sono state riportate le funzioni
f(0, B) e f(1, B) ottenute dalla tabella completa della funzione prendendo le righe
– con A = costante; esse sono due funzioni di B, e in questo caso valgono rispettivamente B e B.
13
f(1,B)
A B f(A,B) f(0,B) f(1,B)
0 0
1
1
–
0 1
0
0
–
1 0
0
–
0
1 1
1
–
1
A
4
5
1
6
74LS08
2
74LS04
1
2
Tabella F1.10
Funzioni parziali di una funzione
f(A, B).
1
74LS04
B
3
4
A · f(1,B)
f(0,B)
2
3
74LS32
f(A,B)
3
74LS08
A · f(0,B)
■ Applicando la forma a) del teorema di Shannon si ottiene pertanto:
–
– –
f(A, B) = A · f(1, B) + A · f(0, B) = A · B + A · B
La funzione si può dunque realizzare mediante il circuito logico di figura F1.21.
Figura F1.21
Esempio 13.
F1 • Algebra di Boole e circuiti logici
Esercitazioni
Esercizi di verifica
Esercizio 1
Su mappa di Venn rappresentare A⋅B .
Esercizio 2
Su mappa di Venn rappresentare A + B .
Esercizio 3
Utilizzare uno dei due ingressi di una AND come abilitatore attivo a livello basso.
Esercizio 4
Utilizzare uno dei tre ingressi di una OR come abilitatore. Costruire la tabella della verità sintetica del dispositivo e dire se in questo caso l’abilitatore è attivo (cioè lascia che gli altri segnali abbiano effetto) quando si trova
al livello basso o al livello alto.
Esercizio 5
Dei tre ingressi di una AND utilizzarne due come abilitatori, uno attivo a livello basso e uno attivo a livello alto.
Produrre lo schema logico.
Esercizio 6
Costruire la risposta di una AND quando ai due ingressi sono applicati i segnali di figura F1.22.
Figura F1.22
Segnali
d’ingresso
per la AND
dell’esercizio 6.
A
B
Esercizio 7
Lo stesso segnale rettangolare viene inviato ai due ingressi di un circuito. Il primo va direttamente sull’ingresso
A di una AND, l’altro porta al secondo ingresso, B, della medesima AND ma attraverso tre porte NOT in cascata.
Costruire la risposta della AND.
Esercizio 8
Il ritardo di propagazione del segnale attraverso un tipo di porte NOT vale 10 ns. Proporre un circuito che sfruttando l’alea statica fornisca impulsi positivi della durata di 50 ns; costruire la risposta y del circuito quando l’ingresso è un’onda quadra di periodo 200 ns (figura F1.23).
Figura F1.23
Diagrammi per
l’esercizio 8.
A
B
y
0
371
50
100
200
250
s
Modulo F • Circuiti logici combinatori
372
Esercitazioni
Esercizio 9
Utilizzare tre AND dell’integrato 7408 per ottenere una AND con 4 ingressi.
Esercizio 10
L’integrato 74LS09 contiene 4 AND open collector a due ingressi. Realizzare con esso una AND a 8 ingressi e dimensionare la resistenza di pull-up in modo che sia possibile pilotare due ingressi di TTL-LS.
[Risultato: 666 ΩΩ
< R < 1,97 kΩΩ
]
Esercizio 11
Utilizzare le due NAND con 4 ingressi dell’integrato 7420 e le porte NOT che si ritengono necessarie per realizzare la decodifica dei codici binari di 11d e 14d.
Esercizio 12
Utilizzare 3 integrati 7412, contenenti ciascuno 3 NAND con tre ingressi, per realizzare un decoder da 2 a 4 con
abilitatore attivo a livello basso.
Esercizio 13
Compilare la tabella e produrre lo schema funzionale di un decoder da 3 a 8.
Esercizio 14
Realizzare una decodifica per numeri di 6 bit che riconosca il numero 47d.
Esercizio 15
Proporre un circuito che segnala con 1 logico sulla sua unica uscita la presenza ai suoi ingressi di un 24 o di un 22.
Esercizio 16
Un decoder con abilitatore deve riconoscere i codici dei numeri naturali da 0 a 31. Dire quante porte logiche
sono necessarie e quanti ingressi deve avere ciascuna di esse. Proporre uno schema parziale del circuito logico
con le ultime 4 decodifiche.
Esercizio 17
Proporre lo schema logico di un decoder da 3 a 8 con abilitatore e uscite attivi al livello alto; scrivere le espressioni algebriche per ciascuna delle uscite.
Esercizio 18
Proporre lo schema logico di un decoder da 3 a 8 con abilitatore e uscite attivi al livello basso; scrivere le espressioni algebriche per ciascuna delle uscite.
Esercizio 19
Disegnare il circuito logico di un decoder da 3 a 8 con due abilitatori di cui uno attivo al livello basso.
Esercizio 20
Scrivere le leggi del reticolo per l’insieme delle variabili binarie.
373
F1 • Algebra di Boole e circuiti logici
– –
Scrivere la duale dell’espressione A · B + 1 · (A · B + 0).
Esercizio 22
–
–
Semplificare l’espressione AB · C + A · BC + ABC + AB · C.
[Risultato: C + AB]
Esercizio 23
Semplificare e dire quale regola si è applicata:
–
–
a) A + BC ; b) A +AB; c) A + AB; d) A + AB.
Esercizio 24
Semplificare
– e dire quale– regola si è applicata:
–
a) AB + AB; b) AB + AB; c) AB + BC + 1; d) B + ABC.
Esercizio 25
Semplificare e dire
– quale regola si è– applicata:
a) AB +–BCD + A–CD;–
b) (A + B)(A
– + B + C);
–
–
c) (A + B + C) · C + A; d) A(B + C) + (B + C)D + AD.
–
–
–
– –
[Risultato: a) AB + ACD; b) A + B C; c) A + C; d) AC + AD + AB]
Esercizio 26
Dimostrare per perfetta induzione la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
Esercizio 27
Applicare il teorema di De Morgan alle seguenti espressioni ed eventualmente semplificare:
a) A + B + C ; b) A ⋅ B + C ; c) AB + BC + AC ; d) ( A + B) ⋅ ( B + C ) ⋅ ( A + C ) .
– –
[Risultato: c) A + B + C; d) 1]
Esercizio 28
Del circuito di figura F1.24: a) applicando il teorema di De Morgan, ricavare le espressioni algebriche semplificate delle funzioni y1, y2, y3; b) ricavare le loro tabelle della verità; c) dire sinteticamente quale funzione aritmetica svolge.
–
[Risultati: y1 = AB
8
–
–
10
y2 = A · B + A ·–B
y1
y3 = AB ]
9
A
B
6
4
74LS02
5
11
12
3
1
2
Esercizio 29
Applicare il teorema di Shannon alla funzione
di tabella F1.11 rispetto alla variabile A.
13
y2
y3
Figura F1.24
Circuito logico
dell’esercizio 28.
A B f(A,B) f(0,B) f(1,B)
0 0
0
0 1
1
1 0
1
1 1
0
Tabella F1.11
Funzione dell’esercizio 29.
Esercitazioni
Esercizio 21
Modulo F • Circuiti logici combinatori
374
Esercitazioni
Esercizio 30
a) Applicare alla funzione di tabella F1.12 il teorema di Shannon rispetto alla variabile A.
b) Ripetere l’esercizio applicandolo alla variabile B.
A
B
C
f()
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
f(0, B, C)
f(1, B, C)
f(A, 0, C)
f(A, 1, C)
Tabella F1.12
Esercizio 30.
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Dire in che modo alle variabili binarie corrispondono sottoinsiemi nelle mappe di Venn.
2. Spiegare perché la rappresentazione di due variabili indipendenti su mappa di Venn deve prevedere che i due
insiemi a esse corrispondenti abbiano una parte in comune.
3. Definire con una frase del tipo “se B vale 1 allora ….. ma se vale 0 allora .....” la relazione tra due variabili A
e B nel caso in cui i due insiemi rappresentativi di A e B non abbiano punti in comune e non siano uno il complemento dell’altro.
4. Definire la relazione tra due variabili A e B nel caso che l’insieme rappresentativo di B sia contenuto in quello
di A, ma non coincida con esso.
5. Il prodotto di due variabili A e B fa sempre 0. Rappresentare su mappa di Venn A e B, e spiegare perché questa condizione non basta per dire che A e B sono una il complemento dell’altra.
6. La somma di due variabili A e B fa sempre 1. Spiegare perché ciò non basta per affermare che esse sono una
il complemento dell’altra.
7. Spiegare cosa può significare la relazione A > B nel caso di due variabili binarie.
8. Dire in che modo si possono utilizzare NAND e NOR per ottenere NOT.
9. Spiegare il concetto di alea statica.
10. Dire che cos’è in matematica un reticolo.
11. Enunciare le proprietà caratteristiche di un reticolo.
12. Spiegare il principio di dualità.
13. Scrivere le due espressioni della proprietà distributiva degli operatori AND e OR.
14. Verificare mediante tabella la proprietà distributiva della OR rispetto alla AND.
15. Mediante mappe di Venn verificare la proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto.
16. Dimostrare la legge di adiacenza utilizzando la forma b).
17. Dimostrare il secondo teorema di assorbimento nella sua forma b).
18. Dimostrare il teorema del consenso nella sua forma b).
19. Dimostrare il teorema di De Morgan nella sua forma b).
20. Spiegare perché si può ottenere una AND da una NOR negandone gli ingressi.
21. Spiegare come si può ottenere una OR utilizzando solo porte NAND.
22. Spiegare il teorema di Shannon dello sviluppo di funzioni applicandolo al caso di una funzione di due variabili.
F1 • Algebra di Boole e circuiti logici
375
Scegliere la risposta corretta tra quelle proposte.
1. Su una mappa di Venn due variabili binarie indipendenti A e B sono rappresentate da:
a due insiemi del tutto separati.
b due insiemi A e B di cui uno contiene l’altro.
c due insiemi con qualche punto comune più piccoli dell’insieme universo.
d due insiemi con tanti punti in comune e tali da riempire, insieme, tutto l’insieme universo.
2. Su una mappa di Venn due insiemi che corrispondono alla variabile A e alla sua negazione:
a non hanno punti in comune e la loro unione non copre l’insieme universo.
b condividono solo i punti di confine e la loro intersezione è un insieme praticamente vuoto.
c uniti fanno l’insieme universo ma singolarmente danno l’insieme vuoto.
d uniti coprono l’insieme universo mentre la loro intersezione è un insieme vuoto.
3. Su una mappa di Venn il massimo limite inferiore di due insiemi A e B che non hanno punti in comune:
a è l’insieme vuoto.
b è l’insieme universo meno A e B.
c è l’unione di A e B.
d è l’insieme universo.
4. Il minimo limite superiore di due insiemi A e B con B che contiene A:
a è A.
b è B.
c è l’insieme intersezione di A e B.
d è l’insieme vuoto.
5. Le mappe di Venn sono utili per:
a dimostrare la proprietà distributiva dell’unione e dell’intersezione.
b la dimostrazione di semplici proprietà degli operatori aritmetici.
c dimostrare che i sottoinsiemi di I rappresentano le variabili binarie.
d dimostrare alcune semplici proprietà degli operatori · e + nell’insieme delle variabili binarie.
6. Gli operatori AND e OR:
a rappresentano il massimo limite inferiore e il minimo limite superiore di due variabili binarie.
b sono operatori universali.
c possiedono tutte le proprietà del reticolo e la proprietà distributiva.
d sono sufficienti a comporre ogni tipo di frase fatta con proposizioni semplici.
7. LÕalgebra di Boole:
a è un insieme di regole che valgono per le operazioni AND e OR.
b è un insieme complementato e distributivo.
c si basa sulle operazioni binarie.
d è un reticolo complementato e distributivo.
Esercitazioni
Quesiti a scelta multipla
Modulo F • Circuiti logici combinatori
Esercitazioni
376
8. La legge dei complementi afferma che:
a A e NOT (A) sono una il complemento dell’altra.
–
b A+A
= 0.
–
c A + 0 = 1.
–
–
d A+A
= 1 e A · A = 0.
9. La legge di annullamento dice che:
a A · I = 0 e A + I = 1.
b A · 1 = A e A · 0 = 0.
c A + 1 = 1 e A · 0 = 0.
d A + 0 = A e A · 1 = A.
10. La proprietà di assorbimento dice che:
a B · (A + B) = B e B + A · B = B.
–
b A · (A + B) = A e A + A · B
= A.
–
–
c AB + AB = A e (A + B) · (A + B
) = A.
d A · AB = AB e A + (A + B) = A + B.
11. È corretto dire che sono duali una dell’altra:
a la OR e la NOR.
b la funzione NOR e la NAND.
c la AND e la NOR.
d la AND e la NOR con ingressi negati.
12. Il concetto di abilitazione discende:
a dalle leggi di assorbimento e di idempotenza.
b dalle proprietà della AND e della OR.
c dalla proprietà associativa.
d dalle leggi di identità e di annullamento.
13. Il teorema di De Morgan afferma che:
– –
– – ––
a A
· B = A+ B
e
A + B = AB.
b A+ B = A⋅B
– –
c A⋅B = A
+B
– –
d A+B =A
·B
e
e
e
AB = A + B .
– – ––
A + B = AB.
– –
A · B = A + B.
14. Per il teorema di scomposizione funzionale:
–
a f(A, B) = B
· f(0, B) + B · f(1, B).
–
b f(A, B) = A
· f(0, B) + B · f(1, B).
–
c f(A, B) = (A
+ f(1, B)) · (A + f(0, B)).
–
d f(A, B) = A + f(1, B) + A + f(0, B).
F2
Sviluppo e realizzazione
di funzioni booleane
Una funzione booleana è definita dalla sua tabella della verità o, ciò che è lo stesso, dai suoi
uno, oppure dai suoi zero; ciascuno dei suoi uno si manifesta al verificarsi di una particolare
combinazione di valori delle variabili di ingresso; la funzione cioè vale 1 se una o l’altra di queste combinazioni si realizzano, altrimenti vale zero. Perciò, data una funzione booleana, deve essere possibile scrivere un’espressione algebrica fatta di OR, AND e NOT delle variabili che rispecchia la tabella della funzione. La traduzione in circuito logico di questa espressione è poi
cosa relativamente semplice.
F2.1 Tutte le funzioni di n variabili
Funzioni di 2 variabili
Ogni funzione di due variabili ha una tabella della verità di quattro righe oltre all’intestazione; una riga per ciascuna combinazione di valori delle sue variabili. Se si
guarda alla colonna che definisce la funzione come a un numero di quattro bit con le
cifre più significative più in alto, si comprende che a ogni funzione si può associare un
numero di quattro bit. Le funzioni di due variabili che si possono definire sono perciò
in tutto 16 e si possono indicare con f0.. fF. Esse sono tutte riportate in tabella F2.1. La
tabella riporta anche il nome o l’espressione algebrica di ciascuna funzione.
Tabella F2.1
Tutte le funzioni
di due variabili.
A
B
f0
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
f9
fA
fB
fC
fD
fE
fF
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
–
AB
1
0
–
AB
1
0
1
0
1
0
–
B
1
0
–
A
0
AND
A
B
XOR
OR
NOR
XNOR
–
A+B
1
0
–
A + B NAND
1
1
Operatori XOR e XNOR
In particolare si notino la funzione f6, la XOR, acronimo di eXclusive OR, cioè una OR
salvo il fatto che non vale 1 se i due ingressi coincidono, e perciò detta anche anticoincidenza, e la funzione f9, la XNOR, eXclusive NOR, che è esattamente una XOR negata, ed è come una NOR salvo il fatto che vale 1 anche se entrambi gli ingressi valgono 1. Anche la XOR e la XNOR si possono considerare come operatori e in tal caso
si rappresentano con i simboli + e · , così si può scrivere y = XOR(A, B) = A + B e
y– = XNOR (A, B) = A · B. Poiché queste funzioni sono utilizzate abbastanza di frequente, a ciascuna di esse è stato assegnato un simbolo grafico; sono disponibili circuiti
integrati che le realizzano.
La figura F2.1 riporta le tabelle della verità e i simboli grafici della XOR e della
XNOR.
377
Modulo F • Circuiti logici combinatori
378
Figura F2.1
Tabella e simboli
di XOR e XNOR.
A
B
C
XOR
A
B
C
XNOR
A B A+B A
·B
0 0
0
1
0 1
1
0
1 0
1
0
0
1
1 1
XOR XNOR
Si può ora riconoscere che le tabelle della verità della funzione y2 dell’esempio 12
e della funzione f(A, B) dell’esempio 14 nel precedente capitolo sono esattamente
quella della XOR e quella della XNOR, dunque per queste due funzioni valgono le
espressioni algebriche allora ricavate:
Ð
Ð
XOR(A, B) = A + B = AB + A B
[F2.1]
Ð Ð
[F2.2]
XNOR(A, B) = A · B = A á B + A á B
XOR e XNOR
come negatori
o ripetitori
Una delle applicazioni della XOR consiste nell’utilizzare un suo ingresso per decidere se negare o no il segnale che arriva sull’altro. Si nota infatti dalla tabella della verità
che,
Ð preso A come controllore, se A = 0 l’uscita è uguale a B; se invece
Ð A = 1 l’uscita vale
B. Analogo discorso vale per la XNOR, ma qui è A = 0 che impone B in uscita.
Proprietà associativa della XOR
Queste ultime osservazioni si possono applicare alla XOR di A con (B + C):
se A = 0 → A + (B + C) = B + C, e se A = 1 → A + (B + C) = B · C
Tabella F2.2
XOR di 3 variabili.
A B
C
A + (B + C )
0 0
0
0
0 0
1
1
0 1
0
1
0 1
1
0
1 0
0
1
1 0
1
0
1 1
0
0
1 1
1
1
Si ricava così la tabella F2.2.
Si applichino ora le espressioni [F2.1] e [F2.2] alla XOR di
A + B con C si ottiene:
ÐÐÐÐ
Ð
(A + B) + C = (A + B) · C + (A + B) · C =
Ð Ð
Ð
Ð Ð
= (A · B + A · B) · C + (AB + AB) · C
ÐÐ
Ð Ð
ÐÐ
Da cui: (A + B) + C = ABC + ABC + ABC + ABC
Si può verificare che gli 1 di questa funzione sono esattamente quelli di tabella F2.2, dunque
A + (B + C) = (A + B) + C
[F2.3]
Si dimostra così che per la XOR vale la proprietà associativa.
Si può verificare che valgono anche la proprietà commutativa e la proprietà distributiva del prodotto logico rispetto alla XOR. Si noti inoltre che A + (B + C) vale 1
solo se la combinazione di valori ABC ha un numero dispari di uno.
Gli integrati 74XX86 e 4077, di cui si riportano gli schemi funzionali in figura
F2.2, sono rispettivamente un quadruplo XOR e un quadruplo XNOR.
Funzioni di n variabili
Una funzione di n variabili è definita da una tabella di 2n righe oltre all’intestazione,
tante quante le possibili combinazioni di valori delle variabili.
Se n = 3 le righe sono 8, dunque la colonna che definisce la funzione ha 8 bit, e
le funzioni che è possibile definire sono in tutto 256. Con n = 4 si possono definire
216 = 65536 funzioni, con n = 5 se ne possono definire 232 = 4.294.967.296. La regola di calcolo è 2^(2n), cioè 2 elevato a 2n.
379
F2 • Sviluppo e realizzazione di funzioni booleane
14
13
12
11
10
9
Figura F2.2
Integrati con porte
XOR e con porte
XNOR.
8
VCC
74LS86
Quad XOR
GND
1
2
3
4
5
6
7
14
13
12
11
10
9
8
Vdd
Quad XNOR
4077
Vss
1
2
3
4
5
6
7
Poiché ogni funzione è definita dalla sua tabella della verità, se si stabilisce in che
ordine si dispongono le colonne con i valori delle variabili è possibile identificare in
modo univoco ogni funzione con un numero, nello stesso modo in cui lo si è fatto in
tabella F2.1. Per esempio la colonna che definisce la funzione f7B di tre variabili ABC
contiene dall’alto verso il basso la sequenza 0111.1011.
F2.2 Applicazione del teorema di Shannon
allo sviluppo di funzioni di n variabili
Si consideri una funzione booleana di due variabili f(A,B) e si applichi la forma a)
del teorema di Shannon, espressione F1.18 a, prima rispetto alla variabile A, poi lo si
applichi alle due sotto-funzioni f(0, B) e f(1, B), e infine si calcoli l’espressione algebrica complessiva per la funzione data:
f ( A, B) = A ⋅ f (1, B) + A ⋅ f (0, B); f (1, B) = B ⋅ f (1, 1) + B ⋅ f (1, 0 );
f (0, B) = B ⋅ f (0, 1) + B ⋅ f (0, 0 );
f ( A, B) = A ⋅ ( B ⋅ f (1, 1) + B ⋅ f (1, 0 ) ) + A ⋅ ( B ⋅ f (0, 1) + B ⋅ f (0, 0 ) );
f ( A, B) = AB ⋅ f (1, 1) + AB ⋅ f (1, 0 ) + AB ⋅ f (0, 1) + A ⋅ B ⋅ f (0, 0 )
[F2.4]
Anche questo risultato sembrerebbe scontato: dopo tutto l’espressione trovata
significa che se la coppia AB vale 11, allora la funzione vale f(1,1); oppure, se AB
vale 10, la funzione vale f(1,0) ecc.
La figura F2.3 mostra il circuito logico corrispondente all’espressione [F2.4]. Gli
ingressi A e B funzionano come abilitatori delle porte AND da essi controllati e, a seconda della combinazione di valori da essi assunti, abilitano uno degli ingressi d3, d2, d1
e d0 su ciascuno dei quali è imposto il valore che la funzione f(A, B) deve assumere in
corrispondenza alla combinazione
di A e B che lo abilita: AB fa passare f(1,1) se in in–
gresso c’è il codice 11, AB fa passare f(1,0) se in ingresso c’è 10 e così di seguito.
Modulo F • Circuiti logici combinatori
380
Figura F2.3
Applicazione
del teorema
di Shannon
alla realizzazione
di funzione
di due variabili.
A B
d3 = f(1,1)
AB á f(1,1)
d2 = f(1,0)
AB á f(1,0)
f(A,B)
d1 = f(0,1)
AB á f(0,1)
d0 = f(0,0)
AB á f(0,0)
L’espressione F2.4 tuttavia dà informazioni importanti per lo sviluppo di qualunque altra funzione di n variabili.
1) L’espressione di f(A,B) è la somma logica di tanti termini quante le possibili combinazioni delle variabili, ciascuno dei quali è il prodotto del valore della funzione
per una
–
AND di decodifica di quella combinazione (AB decodifica il codice 11, AB decodifica
10, e così via).
2) Questo discorso si applica a funzioni booleane di qualsiasi numero di variabili, per
esempio una funzione di tre variabili f(A,B,C) vale f(1,1,1) se è ABC = 111, e vale
f(1,1,0) se è ABC = 110, ... .
3) Nella forma a) di Shannon lo sviluppo completo di una funzione di n variabili conterrà la somma di tutti i 2n prodotti costituiti ciacuno dal valore della funzione assunto
per una combinazione di valori delle variabili per il prodotto di decodifica di quella
combinazione.
4) Applicando il principio di dualità alla [F2.4] si ottiene direttamente l’espressione
dello sviluppo completo di una funzione di due variabili nel caso si applichi la forma
b) del teorema di Shannon:
f ( A, B) = ( A + B + f (0, 0 )) ⋅ ( A + B + f (0, 1)) ⋅ ( A + B + f (1, 0))) ⋅ ( A + B + f (1, 1)) [F2.5]
Dunque nella forma b) lo sviluppo completo di una funzione di n variabili conterrà
il prodotto di 2n somme logiche costituite ciascuna dal valore assunto dalla funzione
per ciascuna delle combinazioni di valori delle variabili più la OR di decodifica di
quelle combinazioni.
ESEMPIO
A
B f(A, B)
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
Tabella F2.3
Esempio 1.
1
Applicando il teorema della scomposizione funzionale si progetti il circuito logico che realizza la funzione di tabella F2.3
■ Lo schema di figura F2.3 viene applicato imponendo ordinatamente in entrata sul terzo ingresso delle AND i valori della tabella che definisce la funzione.
La figura F2.4 propone il circuito logico richiesto. Per realizzare la funzione OR si è applicato il teorema di De Morgan, ciò consente di utilizzare porte NAND e un minor numero di integrati. Poiché l’integrato 7410 contiene solo 3 porte NAND, si è utilizzata la seconda NAND
dell’integrato 7420 fissandone a livello alto il suo quarto ingresso, pin #5, non utilizzato. Si noti
la corrispondenza tra la sequenza di valori imposti in ingresso e quelli della colonna f(A,B) della
tabella.
Si noti inoltre che in questo caso la NAND che riceve in ingresso il valore 0 è in realtà inutile, essa infatti dà in uscita un 1 fisso, quindi per realizzare il circuito sono sufficienti quattro
NAND da tre ingressi.
381
F2 • Sviluppo e realizzazione di funzioni booleane
A
Figura F2.4
Realizzazione
del circuito
dell’esempio 1.
B
R1
1K
1 U2A
12
2
13
74LS10
1
2
1
74LS04
1
9
8
U1D
0
3 U2B
6
4
5
74LS10
9
10
11
U2C
8
9 U3B
10
8
12
13 74LS20
74LS10
1 U3A
2
6
4
5 74LS20
1
GND
Generalizzando si può fin da ora osservare che l’applicazione dello sviluppo funzionale implica l’eliminazione di tutti i prodotti che hanno come coefficiente un valore
0 della funzione.
È possibile dimostrare che il teorema di Shannon vale in generale anche quando le
variabili sono n.
Per una funzione booleana di tre variabili si può direttamente scrivere:
f ( A, B, C ) = ABC ⋅ f (1, 1, 1) + ABC ⋅ f (1, 1, 0 ) + ABC ⋅ f (1, 0, 1) + A B C ⋅ f (1, 0, 0 ) +
+ ABC ⋅ f (0, 1, 1) + ABC ⋅ f (0, 1, 0 ) + A BC ⋅ f (0, 0, 1) + A BC ⋅ f (0, 0, 0 )
[F2.6]
Cioè se ABC = 111 la funzione vale f(1,1,1), ..., se ABC = 011 è f(A,B,C)) =
= f(0,1,1), ..., se ABC = 000 è f(A,B,C)) = f(0,0,0). Si tratta della somma di otto prodotti
ciascuno dei quali contiene come coefficiente il valore della funzione assunto per una
particolare combinazione di ingresso e la corrispondente AND che riconosce (decodifica) quella combinazione. Vi sono incluse tutte le possibili combinazioni d’ingresso.
La forma duale di questa espressione è:
f ( A, B, C ) = ( A + B + C + f (0, 0, 0 )) ⋅ ( A + B + C + f (0, 0, 1)) ⋅ ( A + B + C + f (0, 1, 0 )) ⋅
⋅ ( A + B + C + f (0, 1, 1)) ⋅ ( A + B + C + f (1, 0, 0 )) ⋅ ( A + B + C + f (1, 0, 1)) ⋅
⋅ ( A + B + C + f (1, 1, 0 )) ⋅ ( A + B + C + f (1, 1, 1))
[F2.7]
Si tratta di una AND di OR. Per ciascuna combinazione di valori delle variabili c’è
una OR che
– lascia passare solo il corrispondente valore assunto dalla funzione; per
esempio A + B + C abilita il passaggio di f(1,0,0).
f(A,B)
Modulo F • Circuiti logici combinatori
382
F2.3 Il multiplexer (MUX) o selettore di linee di dato
Un multiplexer (brevemente: MUX) possiede n ingressi di selezione, 2n ingressi di
dato e un’uscita. La combinazione di valori sugli ingressi di selezione decide quale
degli ingressi di dato va in uscita.
Nel circuito di figura F2.3 gli ingressi di selezione A e B decidono, scelgono, quale
dei dati posti sugli ingressi d3, d2, d1, d0 deve passare all’uscita; esso è un “1 of 4 line
data selector”. Il circuito di figura F1.20 è un “1 of 2 line data selector”; in esso il selettore A sceglie quale delle due linee d1, d0 va in uscita. Questi due esempi suggeriscono che un multiplexer con un adeguato numero di ingressi sia utilizzabile per realizzare qualunque funzione booleana.
I multiplexer integrati possiedono anche un abilitatore generale che abilita la loro
funzione o impone un livello fisso in uscita. Gli abilitatori conferiscono modularità:
essi consentono di collegare più dispositivi simili per ottenerne uno con un maggior
numero di ingressi o di uscite. La figura F2.5 mostra lo schema logico di un mux da 4
linee a una con abilitatore attivo al livello basso. Qui i selettori sono più propriamente
indicati con S1 e S0.
E S1 S0
Figura F2.5
MUX da 4 linee
a 1 con abilitatore.
D3
D2
y
D1
D0
E
S1
S0
Quando l’abilitatore vale 1 l’uscita y resta bloccata a 0 indipendentemente dagli altri ingressi. L’espressione algebrica per la funzione y è:
y
1
x
x
0
0
0
0
D0
0
0
1
D1
0
1
0
D2
0
1
1
D3
y = E (S1 S0 ⋅ D3 + S1 S 0 ⋅ D2 + S1 S0 ⋅ D1 + S1 S 0 ⋅ D0 )
Tabella F2.4
MUX 1 of 4.
D7
D6
D5
D4
D3
D2
D1
D0
Y
E
S 2 S1 S 0
Figura F2.6
MUX 1 of 8.
[F2.8]
Applicando il teorema di De Morgan il circuito di un multiplexer si può realizzare
anche utilizzando solo porte NAND analogamente a quanto fatto in figura F2.4.
La tabella della verità di un dispositivo come questo, con sette ingressi, prevede 27
righe, ma è possibile sintetizzarla efficacemente con le sole 5 righe della tabella F2.4.
La funzione di un multiplexer è sinteticamente indicata dalla sigla MUX e dal numero di ingressi di dato. Così “1 of 8 mux” indica che il multiplexer sceglie tra 8 linee
di dato, e perciò deve avere tre selettori.
Quando non interessa conoscere in dettaglio lo schema logico del dispositivo e si
vuole rappresentarne solo la funzione è sufficiente uno schema come quello di figura
F2.6; in esso si riconosce un mux 1 of 8 con abilitatore
– attivo al livello basso. Si noti
che, per coerenza di rappresentazione, l’indicazione E è stata posta prima del segno di
negazione; se la si fosse posta dopo il negatore, cioè all’interno del rettangolo, la si sarebbe indicata con E.
Oltre che nella realizzazione di funzioni booleane i multiplexer si applicano alla
utilizzazione di una linea di comunicazione da parte di più dispositivi. In questo caso
si collega l’uscita di ciascun dispositivo su un diverso ingresso di dato del multiplexer
e si usano gli ingressi di selezione per far passare l’uno o l’altro dei segnali sugli ingressi di dato.
383
F2 • Sviluppo e realizzazione di funzioni booleane
Scrivere l’espressione algebrica della funzione d’uscita del multiplexer 1 of 8.
ESEMPIO
2
ESEMPIO
3
ESEMPIO
4
■ Il circuito logico di questo dispositivo è simile a quello di figura F2.5 ma ora gli ingressi di
selezione sono tre e controllano 8 linee abilitandone una sola per volta. La linea D7 è abilitata se
S2S1S0 = 111, la D6 se S2S1S0 = 110 …; la D0. se S2S1S0 = 000. A ciascuna di queste condizioni corrisponde una AND abilitata dalla combinazione S2S1S0 uguale al–numero
della linea controllata.
–
Ad esempio la AND che controlla D4 deve essere abilitata da S2S1 S0.
In conclusione l’espressione [F2.8] viene estesa come segue al caso di tre selettori:
y = E (S2 S1S0 ⋅ D7 + S2 S1 S 0⋅ D6 + S2 S 1S0 ⋅ D5 + S2 S 1 S 0⋅ D4 +
+ S 2 S1S0 ⋅ D3 + S 2 S1 S 0⋅ D2 + S 2 S 1S0 ⋅ D1 + S 2 S 1 S 0⋅ D0 )
Applicazione dei multiplexer alla realizzazione di funzioni booleane
Il teorema di Shannon della scomposizione di funzioni nella forma (a) porta a espressioni equivalenti a quelle dell’uscita di un MUX. Per rendersene conto è sufficiente sostituire con i selettori le variabili cui si è applicato il teorema e le sotto-funzioni con gli
ingressi di dato del multiplexer. Dunque un mux è utilizzabile per realizzare funzioni
booleane. Se il numero di selettori è uguale a quello delle variabili della funzione, gli
ingressi di dato del MUX che la realizza corrispondono esattamente ai valori assunti
dalla funzione per ciascuna combinazione di valori delle sue variabili. Più in generale
si sviluppa la funzione assegnata rispetto a tante variabili quanti sono gli ingressi di selezione del MUX che si vuole utilizzare, e sugli ingressi di dato si applicano le uscite
di blocchi che realizzano le sotto-funzioni delle variabili rimanenti.
Verificare la corrispondenza tra le espressioni dello sviluppo funzionale di una funzione f(A, B)
applicata alla sola variabile A e della funzione d’uscita di un MUX 1 of 2.
■ A parte l’abilitatore del MUX, che va posto sul livello che lo rende attivo, si hanno le espressioni:
f ( A, B) = A ⋅ f (1, B) + A ⋅ f (0, B) e
y = S0 ⋅ D1 + S 0 ⋅ D0
Se si impone S0 = A; f(1, B) = D1 e f(0, B) = D0. le due espressioni coincidono.
Si utilizzi un mux 1 of 8 per realizzare la funzione y(C, B, A) di tabella F2.5.
■ Il numero di selettori del mux da utilizzare è uguale a quello
delle variabili della funzione. Su ciascun ingresso di dato del mux
va posto il valore che la funzione assume per la combinazione di
valori d’entrata che seleziona quel dato. La figura F2.7 mostra lo
schema logico funzionale del circuito richiesto.
C
B
A
y
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
Tabella F2.5
Funzione y( ) dell’esempio 4.
+VCC
R1
0
0
0
0
1
1
1
D7
D6
D5
D4
D3
D2
D1
D0
Y
y(C,B,A)
E
FIgura F2.7
Realizzazione
della funzione
esempio 4.
C B A
Modulo F • Circuiti logici combinatori
384
La colonna con i valori imposti sugli ingressi di dato è quella di tabella riportata partendo dal
basso, poiché sullo schema il dato D7 = f(1,1,1) sta in cima mentre nella tabella è l’ultimo.
Fissato l’abilitatore, sul livello basso per l’uscita y vale la relazione:
y = CBA ⋅ D7 + CBA ⋅ D6 + C BA ⋅ D5 + C B A ⋅ D4 + CBA ⋅ D3 + CBA ⋅ D2 + C BA ⋅ D1 + C B A D0
ESEMPIO
Si utilizzi un MUX 1 of 2 per realizzare la funzione di tabella F2.6.
5
■ Il mux ha un solo selettore; si sceglie la variabile C come selettore e si applica lo sviluppo
funzionale:
–
f(C, B, A) = C · f(1, B, A) + C · f(0, B, A)
y = S0 · D1+ S 0 · D0; S0 = C
Le due sotto-funzioni sono definite dalle due metà della tabella della funzione e sono state
riportate nelle due ultime colonne di tabella F2.6; in esse si riconoscono:
–
f(0, B, A) = B XNOR A e f(1, B, A) = B + A, dunque: f(C, B, A) = C · (B + A) + C · ( B · A)
Il circuito richiesto è riportato in figura F2.8.
Tabella F2.6
Funzioni
dellÕesempio 5.
C
B
A
f()
f(0, B, A)
f (1, B, A)
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
C
B
A
E
E
S0
D1
D0
f(C,B,A)
Figura F2.8
Realizzazione della funzione di tabella F2.6.
F2.4 Forme canoniche
Nella forma a) lo sviluppo completo di una funzione di n variabili conterrà la somma
di 2n prodotti costituiti dai valori assunti dalla funzione in ciascuna delle combinazioni
di valori delle variabili per i prodotti di decodifica di quelle combinazioni. Di tutti questi prodotti restano nella somma solo quelli i cui coefficienti sono non nulli, corrispondenti cioè alle combinazioni di valori per le quali la funzione vale 1.
Nella forma b) lo sviluppo completo di una funzione di n variabili conterrà il prodotto di 2n somme logiche costituite dal valore assunto dalla funzione per ciascuna
delle combinazioni di valori delle variabili più la OR di decodifica di quelle combinazioni. Di tutti questi fattori restano solo quelli il cui valore non è 1, cioè quelle somme
di variabili corrispondenti alle combinazioni di valori per le quali la funzione vale 0.
Costituenti o minterm
Un costituente o minterm di n variabili è un prodotto in cui compaiono tutte le n variabili, ciascuna una sola volta, nella forma naturale oppure negata.
Costituente, minterm o decodifica sono sinonimi. Se le variabili sono n si tratta di
AND con n ingressi; le loro tabelle della verità hanno in uscita un solo 1 corrispondente a un determinato codice binario di ingresso. Si ha un minterm mk per ciascun numero binario k che costituisce una combinazione di valori delle variabili.
Se per esempio le variabili, nell’ordine in cui sono inserite nella tabella della verità
di una funzione, sono B2, B1, e B0, i minterm sono:
F2 • Sviluppo e realizzazione di funzioni booleane
385
m0 = B 2 B 1 B 0, m1 = B 2 B 1 B0 , m2 = B 2 B1 B 0, m3 = B 2 B1 B0 ,
m4 = B2 B 1 B 0, m5 = B2 B 1 B0 , m6 = B2 B1 B 0, m7 = B2 B1 B0
Ciascuno di essi si ricava molto semplicemente scrivendo per ciascuna combinazione il prodotto di tutte le variabili e ponendo il negatore su quelle che valgono 0.
Scrivere tutti i minterm di quattro variabili D, C, B, A.
ESEMPIO
6
ESEMPIO
7
■ Si scrivono ordinatamente le combinazioni di valori per le variabili e, accanto, i corrispondenti minterm:
DCBA = 0000 → m0 = D ⋅ C ⋅ B ⋅ A;
DCBA = 0001 → m1 = D ⋅ C ⋅ B ⋅ A;
DCBA = 0010 → m2 = D ⋅ C ⋅ B ⋅ A;
DCBA = 0011 → m3 = D ⋅ C ⋅ B ⋅ A;
DCBA = 0100 → m4 = D ⋅ C ⋅ B ⋅ A;
DCBA = 0101 → m5 = D ⋅ C ⋅ B ⋅ A;
DCBA = 0110 → m6 = D ⋅ C ⋅ B ⋅ A;
DCBA = 0111 → m7 = D ⋅ C ⋅ B ⋅ A;
DCBA = 1000 → m8 = D ⋅ C ⋅ B ⋅ A;
DCBA = 1001 → m9 = D ⋅ C ⋅ B ⋅ A;
DCBA = 1010 → m10 = D ⋅ C ⋅ B ⋅ A;
DCBA = 1011 → m11 = D ⋅ C ⋅ B ⋅ A;
DCBA = 1100 → m12 = D ⋅ C ⋅ B ⋅ A;
DCBA = 1101 → m13 = D ⋅ C ⋅ B ⋅ A;
DCBA = 1110 → m14 = D ⋅ C ⋅ B ⋅ A;
DCBA = 1111 → m15 = D ⋅ C ⋅ B ⋅ A;
Proprietà dei costituenti
1. Il prodotto di due costituenti diversi fa 0.
Ciascuno di essi, infatti, contiene il prodotto di tutte le variabili e, poiché sono uno
diverso dall’altro, deve contenere almeno una variabile che in uno è naturale e nell’altro negata, dunque per la legge dei complementi il loro prodotto fa 0.
2. La somma di tutti i costituenti fa 1.
Infatti in una somma siffatta, qualunque sia la combinazione di valori imposta alle
variabili, ci sarà sempre un minterm che vale 1.
Costituenti o minterm di una funzione
I costituenti corrispondenti agli 1 della funzione sono appunto i costituenti della funzione.
Nella forma a) dello sviluppo funzionale di Shannon applicato su tutte le variabili, cancellati i prodotti con coefficiente 0, restano solo questi costituenti.
Prima forma canonica
La somma di tutti i costituenti di una funzione è detta prima forma canonica.
Essa deriva dall’applicazione del teorema dello sviluppo funzionale nella forma a).
Nella tabella F2.7 accanto ai valori 1 della colonna f(A, B) sono stati inseriti i costituenti della
funzione. La prima forma canonica per questa funzione è la OR dei suoi minterm:
f ( A, B) = A ⋅ B + AB + AB
■ Si noti che la funzione qui proposta è quella dell’esempio 1, la cui soluzione prevedeva un
multiplexer con 4 AND. D’altra parte si era già notato che in quel circuito la AND con l’entrata
f(0,1) era non necessaria dato che la sua uscita restava fissa sul livello 0.
Conviene ora anche osservare che, in questo esempio, sull’espressione ottenuta è possibile applicare la proprietà di idempotenza e il teorema dell’adiacenza ottenendo una notevole semplificazione:
f ( A, B) = A ⋅ B + AB + AB = ( A ⋅ B + AB) + ( AB + AB) = B + A
A B f(A, B)
y
A ⋅B
0
0
1
0
1
0
1
0
1
–
AB
1
1
1
AB
Tabella F2.7
Una funzione
e i suoi mintern.
Modulo F • Circuiti logici combinatori
386
Ciò significa, più in generale, che la forma canonica è solo il primo passo verso il calcolo dell’espressione più semplice ed economica per la funzione da realizzare.
ESEMPIO
8
Si scriva la prima forma canonica per la funzione y di tabella F2.8.
C B
A
y
0 0
0
0
0 0
1
1
C ⋅B ⋅A
0 1
0
1
C ⋅B ⋅A
0 1
1
0
1 0
0
0
1 0
1
1
1 1
0
0
1 1
1
1
■ Accanto agli 1 della funzione data si scrivono i minterm corrispondenti alle combinazioni di valori delle variabili come descritto
nell’esempio precedente.
Infine si scrive la somma logica dei minterm della funzione.
y = C ⋅B⋅A + C ⋅B⋅A + C ⋅B⋅A + C ⋅ B⋅ A
C ⋅B ⋅A
C á B áA
Tabella F2.8
Tabella dellÕesempio 8.
Assegnazione di una funzione mediante elenco dei suoi minterm
Ogni funzione booleana è definita dalla sua tabella della verità, ma è anche sufficiente
dire quali sono i suoi uno, o ciò che è lo stesso, i suoi minterm. Per definirla è dunque sufficiente elencare i minterm della funzione o ancor meglio dire che essa è la somma logica dei suoi minterm scrivendo:
f(A, B, ...) = ∑(mi , mj , mk ,..., mz )
[F2.9]
dove ∑ sta per somma logica ed mW sono i minterm della funzione.
ESEMPIO
– –
f(A, B) = ∑(m0, m3) ha i minterm m0 = A · B e m3 = A · B; la colonna che la definisce contiene,
dall’alto verso il basso, la sequenza di valori 1001; si tratta dunque della funzione f9(A, B), cioè
della XNOR di A e B.
9
Applicazione dei decoder alla realizzazione di funzioni booleane
Un decoder di numeri binari di n bit contiene in genere tutte le 2n decodifiche dei codici in entrata, ma queste altro non sono che i 2n minterm di n variabili binarie; perciò
se si ha un decoder con n bit d’ingresso e si deve realizzare una funzione booleana di n
variabili, tutto ciò che resta da fare è di utilizzare le decodifiche corrispondenti ai costituenti della funzione e metterle in OR.
ESEMPIO
10
Si utilizzi un decoder da 2 ingressi a 4 uscite per realizzare la funzione f(A, B) = ∑(m0, m3).
GND
A
B
Figura F2.9
Realizzazione mediante
decoder della funzione
f(A, B) = ∑(m0, m3).
■ Gli ingressi di codice sono
utilizzati come variabili A e B (figura F2.9); si mettono in OR le
uscite y3 e y0 che ora sono i minterm della funzione; il decoder
viene abilitato.
y3
E
B1
B0
AáB
y2
f9(A,B)
y1
y0
AáB
387
F2 • Sviluppo e realizzazione di funzioni booleane
Si realizzi mediante decoder la funzione di tabella F2.8.
ESEMPIO
11
■ La funzione espressa come somma dei suoi minterm è f(C, B, A) = ∑(m1, m2, m5, m7); essa
ha tre ingressi, quindi serve un decoder da tre ingressi a 8 uscite. L’integrato 74LS38 ha queste
caratteristiche.
Come ingressi C, B, e A della funzione si useranno gli ingressi S2, S1 e S0 del decoder. Le uscite
di decodifica y1, y2, y5 e y7 realizzate con porte NAND, attive al livello basso, forniscono i minterm negati della funzione. La OR dei minterm si ottiene applicando il teorema di De Morgan
mediante un’altra NAND. Il circuito è quello di figura F2.10.
+VCC
R1
1k
Figura F2.10
Realizzazione
della funzione
dell’esempio 11.
GND
5
4
6
C
B
A
3
2
1
G2B
G2A
G1
S2
S1
S0
Y7
Y6
Y5
Y4
Y3
Y2
Y1
Y0
7
9
10
11
12
13
1
2
4
5
6
y(C,B,A)
14
15
Maxterm
Un maxterm di n variabili è una somma logica in cui compaiono tutte le n variabili, ciascuna una sola volta, nella forma naturale oppure negata. Si tratta perciò di una OR con
n ingressi la cui tabella della verità ha in uscita un solo 0.
A ciascun numero binario k che costituisce una combinazione di valori delle variabili corrisponde un maxterm Mk. Se ad esempio, nell’ordine in cui sono inserite nella tabella
della verità di una funzione, le variabili sono B2, B1 e B0, i maxterm sono
M 7 = B 2 + B 1 + B 0,
M 6 = B 2 + B 1 + B0 ,
M 5 = B 2 + B1 + B 0 ,
M 4 = B 2 + B1 + B0 ,
M 3 = B2 + B 1 + B 0,
M 2 = B2 + B1 + B 0,
M 1 = B2 + B1 + B 0,
M 0 = B2 + B1 + B 0
Ciascuno di essi si ricava molto semplicemente scrivendo per ciascuna combinazione la somma di tutte le variabili e ponendo il negatore su quelle che valgono 1.
Proprietà dei maxterm
1. La somma di due maxterm diversi fa 1.
Ciascuno di essi infatti contiene la somma di tutte le variabili e, poiché sono uno diverso dall’altro, devono contenere almeno una variabile che in uno è naturale e nell’altro negata, dunque per la legge dei complementi la loro somma fa 1.
2. Il prodotto di tutti i costituenti fa 0.
Infatti in un prodotto siffatto, qualunque sia la combinazione di valori imposta alle
variabili, ci sarà sempre un maxterm che vale 0.
Maxterm di una funzione
I maxterm di una funzione data sono quei maxterm corrispondenti agli 0 della funzione.
Se dalla forma b) dello sviluppo funzionale di Shannon si cancellano i maxterm con termine costante 1 rimane solo il prodotto dei maxterm della funzione.
Seconda forma canonica
Il prodotto di tutti i maxterm di una funzione è detto seconda forma canonica.
Come visto, essa deriva dall’applicazione del teorema dello sviluppo funzionale nella
forma b).
Modulo F • Circuiti logici combinatori
388
ESEMPIO
12
Si scriva la seconda forma canonica per la funzione di tabella F2.9.
■ La tabella F2.9 propone la stessa funzione dell’esempio 8. Ora però nella colonna più a destra sono indicati i maxterm della funzione. Si può dunque scrivere:
– –
–
– –
y = (C + B + A) · (C + B + A) · (C + B + A) · (C + B + A)
Il corrispondente circuito logico è rappresentato in figura F2.11.
Figura F2.11
Circuito della
funzione di tabella
F2.9 ottenuto
dalla seconda
forma canonica.
C+B+A
C+B+A
C
B
A
y(C,B,A)
C+B+A
C+B+A
Tabella F2.9
Funzione dell’esempio 12.
ESEMPIO
13
C B A
y
0 0
0
0 C+B+A
0 0
1
1
0 1
0
1
0 1
1
0 C +B+A
1 0
0
0 C +B+A
1 0
1
1
1 1
0
0 C +B+A
1 1
1
1
Si scriva la seconda forma canonica per la funzione XNOR.
A B f(A,B)
■ Nella tabella F2.10 accanto ai valori 0 della colonna f(A,B)
sono stati inseriti i maxterm della funzione.
La seconda forma canonica per questa funzione è:
0
0
1
0
1
0
A+B
1
0
0
A+B
1
1
1
f ( A, B) = ( A + B) ⋅ ( A + B)
Tabella F2.10
Funzione dell’esempio 13,
suoi maxterm.
La seconda forma canonica di una funzione si può sinteticamente esprimere con:
f(A, B, ...) = ∏ (Mi, Mj,..., Mz)
[F2.10]
dove ∏( ) indica il prodotto dei termini compresi tra le parentesi e MK sono i maxterm
della funzione. Questa forma è anche sufficiente per definire una funzione.
ESEMPIO
14
La funzione di tabella F2.10 può essere definita con l’espressione:
f(A, B) = ∏ (M1, M2)
F2 • Sviluppo e realizzazione di funzioni booleane
F2.5 Livelli delle porte logiche di un circuito
Tra le caratteristiche fisiche di un circuito logico c’è il ritardo di propagazione tra le variazioni dei segnali in ingresso e il loro effetto sull’uscita. A parità di tecnologia utilizzata, questo è tanto maggiore quanto più numerose sono le porte logiche che il segnale
deve attraversare. Quando si realizza una forma canonica le porte logiche che il segnale deve attraversare sono sostanzialmente due. Prendendo per esempio la prima
forma canonica e seguendo a ritroso il percorso del segnale, cioè partendo dall’uscita,
si incontra prima una OR e poi una delle AND. Si dice allora che il segnale deve attraversare due livelli di porte logiche. Lo stesso avviene se il circuito è quello della seconda forma canonica.
I circuiti delle figure F2.8 e F2.10 sono invece esempi dove i livelli di porte logiche che il segnale deve attraversare sono più di due; percorrendo a ritroso i due schemi
si incontra un terzo livello costituito nel primo caso da una XOR o da una OR e nel secondo caso da una AND.
Più livelli di porte logiche da superare implicano maggiori ritardi nella propagazione del segnale. Tuttavia il ricorso a circuiti con un maggior numero di livelli di porte
logiche può portare il vantaggio di un minore e più efficiente utilizzo di integrati.
Inoltre può capitare di trovare funzioni intermedie (sotto-funzioni) comuni a più parti
di un circuito complesso e che perciò conviene realizzare a parte per risparmiare numero di porte logiche e di ingressi. Il circuito di figura F1.19, per esempio, si realizza
con un unico integrato anche se in esso i livelli di propagazione sono 3.
389
Modulo F • Circuiti logici combinatori
Esercitazioni
390
Esercizi di verifica
Esercizio 1
Compilare la tabella della verità della funzione f128(A, B, C) e indicare il più semplice circuito per realizzarla.
Esercizio 2
Dimostrare la proprietà distributiva della AND rispetto alla XOR.
Esercizio 3
Realizzare lo schema di un dispositivo che riconosce con un livello basso un codice di due bit settabile mediante due XNOR utilizzate come dispositivi che possono negare oppure no un dato in ingresso.
Esercizio 4
Compilare la tabella sintetica di un multiplexer con un abilitatore e tre ingressi di selezione.
Esercizio 5
Realizzare mediante multiplexer 1 of 8 la funzione fB7(A, B, C).
Esercizio 6
Realizzare mediante multiplexer 1 of 2 la funzione f1E(A, B, C).
Esercizio 7
Scrivere la prima forma canonica per la funzione f9A(A, B, C).
Esercizio 8
Utilizzare un decoder per realizzare la funzione f67H(A, B, C).
Esercizio 9
Disegnare tre circuiti che realizzino la funzione f(A, B, C) = ∑ (0, 3, 5, 6, 7) utilizzando: a) un MUX, b) un decoder, c) porte logiche.
Esercizio 10
Progettare il circuito della funzione f(A, B, C, D) = ∑ (0, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14) utilizzando un MUX 1 of 4.
Esercizio 11
La tabella della verità della funzione f(B2, B1, B0) ha un 1 nelle righe 2, 3, 5 e 7.
a. Scriverne l’espressione secondo la prima forma dello sviluppo funzionale.
b. Realizzarne i corrispondenti circuiti utilizzando decoder e porte logiche.
c. Realizzarne i corrispondenti circuiti utilizzando un MUX.
F2 • Sviluppo e realizzazione di funzioni booleane
391
Scrivere i maxterm M14, M7 ed M9 di quattro variabili e disegnarne i corrispondenti circuiti logici.
Esercizio 13
Scrivere le espressioni della seconda forma canonica per la XOR(A, B) e la XNOR(A, B).
Esercizio 14
Scrivere la seconda forma canonica per la funzione f9A(A, B, C).
Esercizio 15
Dalla seconda forma canonica della funzione f9A(A, B, C) ottenere un circuito realizzato con una NOR di NOR.
Esercizio 16
Data la funzione f(B2, B1, B0) = ∑ (0, 2, 4, 6, 7):
a) applicare lo sviluppo nella forma (a) rispetto alle variabili B2 e B1;
b) proporne la realizzazione mediante un MUX 1 of 4;
c) proporne la realizzazione utilizzando un MUX 1 of 2.
Esercizio 17
Della funzione f(B2, B1, B0) = ∑ (0, 1, 5, 6, 7) scrivere la prima forma canonica, e proporre gli schemi di realizzazione mediante un decoder e mediante un MUX.
Esercizio 18
Scrivere la seconda forma canonica della funzione f(B2, B1, B0) = ∑ (1, 3, 4, 5, 6, 7) e disegnare lo schema del
corrispondente circuito logico.
Esercizio 19
Trasformare il circuito della funzione f(B2, B1, B0) = ∏ (0, 5) in una NOR di AND; utilizzare poi un MUX 1 of 2
e le porte logiche necessarie per realizzarlo.
Esercitazioni
Esercizio 12
Modulo F • Circuiti logici combinatori
Esercitazioni
392
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Dire, motivando la risposta, quante funzioni si possono definire con 5 variabili.
2. Spiegare che la forma a) del teorema dello sviluppo funzionale porta alla prima forma canonica.
3. Spiegare che la forma b) del teorema dello sviluppo funzionale porta alla seconda forma canonica.
4. Spiegare perché un mux 1 of 4 è particolarmente adatto a realizzare funzioni di due variabili.
5. Spiegare perché un decoder da 3 a 8 è adatto per realizzare funzioni di 3 variabili.
6. Spiegare perché un solo decoder da 3 a 8 non è adatto per realizzare funzioni con più di tre variabili.
7. Spiegare perché la prima forma canonica di una funzione si può realizzare mediante una NAND di NAND.
8. Spiegare perché la seconda forma canonica di una funzione si può realizzare mediante una NOR di NOR.
Quesiti a scelta multipla
Scegliere la risposta corretta tra quelle proposte.
1. La funzione f12(A, B):
–
a corrisponde alla A
.
b è la XOR di A e B.
–
c corrisponde a B
.
d corrisponde a B.
2. Mediante una XOR si può realizzare una NOT:
a negandone l’uscita.
b collegando insieme i suoi ingressi.
c inserendo una NOT su un ingresso e collegando l’altro ingresso con quello della NOT.
d imponendo un 1 logico su uno dei due ingressi.
3. Una XOR:
a deve avere necessariamente 2 ingressi.
b può avere 3 ingressi.
c deve avere due livelli logici diversi sugli ingressi.
d deve avere due livelli logici uguali sugli ingressi.
4. Una XOR con tre ingressi:
a non può esistere.
b dà sempre 0 in uscita.
c deve avere due livelli logici diversi sugli ingressi.
d con un ingresso a 0 dà la XOR degli altri due.
5. Un costituente:
a è una AND di alcune variabili.
b è una AND di tutte le variabili e corrisponde a un 1 della funzione.
c è una OR di tutte le variabili naturali oppure negate prese una volta sola.
d corrisponde a una combinazione di valori delle variabili della quale esegue il riconoscimento.
6. Il prodotto di tutti gli implicanti di una stessa funzione:
a fa 1.
b contiene almeno due variabili di cui una è il complemento dell’altra.
c corrisponde alla seconda forma canonica.
d è sufficiente a definire la funzione.
7. La somma di tutti gli implicanti di una funzione:
a fa 1.
b fa zero.
c costituisce la seconda forma canonica.
d è sufficiente a definire la funzione.
8. Un multiplexer 1 of 16:
a contiene tutti i minterm con 4 variabili.
b dirotta con 4 selettori l’accesso da un ingresso a una di 16 linee d’uscita.
c ha 16 ingressi e una sola uscita.
d ha 4 selettori per scegliere quale dei 16 ingressi mandare all’uscita.
9. Con un multiplexer 1 of 16:
a si può realizzare una di 216 funzioni di 4 variabili imponendo i valori assunti dalla funzione sugli ingressi di
dato e sui selettori.
b si può realizzare una di 216 funzioni di 4 variabili imponendo un minterm della funzione su ciascun ingresso
di dato.
c si può realizzare una di 216 funzioni di 4 variabili usando gli ingressi di dato come sotto-funzioni dello sviluppo di Shannon.
d si può realizzare una di 216 funzioni di 4 variabili imponendo i valori assunti dalla funzione sugli ingressi di
dato e utilizzando i selettori come variabili della funzione.
10. Un decoder da 4 a 16:
a contiene tutti i minterm con 4 variabili.
b è tutto ciò che occorre per realizzare una funzione di 4 variabili.
c ha 16 ingressi e una sola uscita.
d ha 4 selettori per scegliere quale dei 16 ingressi di selezione mandare all’uscita.
393
Esercitazioni
F2 • Sviluppo e realizzazione di funzioni booleane
Esercitazioni
394
Modulo F • Circuiti logici combinatori
11. La prima forma canonica di una funzione:
a è l’elenco dei suoi minterm.
b è la OR di tutti i suoi costituenti.
c è la NAND di tutti i suoi costituenti.
d è la OR di tutti i suoi minterm ed è la sua forma minima.
12. La seconda forma canonica di una funzione:
a è la AND di tutti i suoi minterm.
b è l’elenco dei suoi maxterm.
c è la NOR di tutti i suoi maxterm.
d è la AND di tutti i suoi maxterm.
Sintesi di forme algebriche
minime per le funzioni
booleane
F3
Sulle espressioni algebriche delle funzioni booleane si possono spesso operare semplificazioni.
Ciò porta a una riduzione sia del numero di porte logiche che dei loro ingressi. I corrispondenti
circuiti elettronici saranno perciò più semplici, meno costosi e più efficienti, anche per il minor
numero di collegamenti richiesti. In base alle regole dell’algebra di Boole sono stati messi a
punto dei metodi che consentono di individuare in modo semplice e sicuro le forme minime in
cui una funzione può essere espressa algebricamente.
F3.1 Semplificazioni tra minterm
Una funzione è definita dalla somma dei suoi minterm ciascuno dei quali corrisponde
a un 1 della funzione e, posto in OR con gli altri, assicura che la funzione valga 1 per
quella combinazione di valori per cui esso stesso lo vale. In questo senso ciascun minterm provvede alla copertura degli 1 della funzione.
Spesso è possibile semplificare la somma fondendo tra loro alcuni minterm in una
sola AND con un minor numero di variabili e coprente più 1 della funzione. Le regole
che si applicano in queste operazioni sono principalmente le proprietà di idempotenza
e la legge di adiacenza.
Si definisce implicante di una funzione qualunque prodotto di sue variabili che valga
1 esclusivamente per combinazioni di valori per le quali la funzione vale 1.
Il termine “implicante” sta a significare che se il suo valore è “vero” lo è anche
quello della frase più ampia, la funzione, che nella sua composizione fatta con il connettivo OR lo contiene. Un implicante copre uno o più 1 della funzione. I minterm di
una funzione sono anche suoi implicanti (con un solo 1), non viceversa.
Si dice che due minterm sono adiacenti quando differiscono per una sola delle variabili (quindi la variabile per cui differiscono è naturale in uno e negata nell’altro).
Per il teorema di adiacenza la somma di due minterm adiacenti è riducibile a un
unico implicante con in meno la variabile per cui essi sono diversi.
Anche due implicanti qualsiasi possono essere adiacenti, nel senso che differiscono
solo per una stessa variabile; in tal caso la loro somma è l’implicante ottenuto da ciascuno di essi con in meno la variabile per cui sono diversi.
–
I due implicanti ABC e ABC differiscono per la sola variabile B.
–
■ Per il teorema di adiacenza ABC + ABC = AC.
La loro somma si riduce a un’unica AND con in meno la variabile B, quella che rende diversi i
due implicanti. Si noti inoltre che, sebbene AC come AND di A e C abbia un solo 1, la funzione
f(A, B, C) vale 1 quando A = C = 1 indipendentemente da B, cioè sia con B = 0 che con B = 1; in
tal senso l’implicante AC di questa funzione copre due dei suoi 1.
ESEMPIO
1
395
Modulo F • Circuiti logici combinatori
396
Può capitare che nella somma di più minterm uno di essi sia adiacente a due altri
che tra loro non lo sono. Per effettuare una maggiore riduzione conviene allora replicare il minterm adiacente a entrambi gli altri due; ciò è lecito grazie alla proprietà di
idempotenza.
ESEMPIO
2
–
–
–
–
ABC + ABC + ABC = ABC + ABC + ABC + ABC = AC + AB.
■ Il primo minterm è adiacente agli altri due. Lo si scrive due volte, poi si eseguono le due semplificazioni. Il circuito si riduce da una OR di tre AND con tre ingressi, a una OR di due AND
con due ingressi.
F3.2 Il codice Gray e le mappe di Karnaugh
Tabella F3.1
Codice Gray
per i primi
sedici numeri.
Costruzione
di codice Gray
Tabella F3.2
Codici Gray
su tabella
bidimensionale.
Per facilitare l’individuazione dei minterm adiacenti di una
funzione onde procedere alle semplificazioni conviene scri0
0
0
0
0
vere la sua tabella della verità con un diverso ordine facendo
1
0
0
0
1
in modo che le combinazioni di valori delle variabili diverse
2
0
0
1
1
per un solo bit siano in qualche modo anche esse adiacenti. In
una tale rappresentazione agli uno vicini della funzione corri3
0
0
1
0
sponderanno minterm adiacenti.
4
0
1
1
0
Il codice Gray ha proprio la caratteristica di far variare un
5
0
1
1
1
solo bit nel passaggio da una combinazione di valori dei suoi
6
0
1
0
1
bit alla successiva. È questa una caratteristica comune ai codici ciclici di cui il codice Gray fa parte; essa è utile anche in
7
0
1
0
0
alcune applicazioni pratiche come negli encoder trasduttori
8
1
1
0
0
da posizione angolare a numero binario.
9
1
1
0
1
La tabella F3.1 mostra il codice Gray dei numeri da 0 a
10 1
1
1
1
15. Le sottolineature colorate vogliono evidenziare il metodo
delle riflessioni successive con cui è possibile costruire la se11 1
1
1
0
quenza di questo codice:
12 1
0
1
0
a) si considerano inizialmente solo i due bit meno significa13 1
0
1
1
tivi e si scrive in colonna la sequenza 00, 01;
14 1
0
0
1
b) si immagina poi un piano di riflessione (rappresentato
dalla sottolineatura), posto sull’ultima riga, e si riproduce la
15 1
0
0
0
sequenza del bit meno significativo come se la si vedesse
nello specchio posto su quel piano: 1, 0;
c) il bit più significativo invece viene complementato dallo specchio;
d) per aumentare il numero di bit si aggiunge uno zero a sinistra dei codici fin qui ottenuti e si ricomincia dal punto b) riflettendo su un nuovo specchio posto sotto l’ultima
riga tutta la sequenza precedente.
In questa disposizione le coppie di combinazioni adiacenti sono, oltre che quelle su
celle consecutive, anche quelle simmetriche rispetto alle linee di riflessione.
Riportando poi le combinazioni del codice Gray di tabella F3.1 su una tabella bidimensionale (tabella F3.2) seguendo l’ordine di compilazione in essa indicato dalle
frecce, la visibilità delle coppie adiacenti migliora di molto.
d
B3
B2
B1
B0
B3 B2 B1 B0
0000 0001
0011
0010
0100 0101
0111
0110
1100 1101
1111
1110
1000 1001
1011
1010
Ora le combinazioni adiacenti sono in celle tutte fisicamente adiacenti, a patto che
si considerino tali anche quelle che si corrispondono tra due bordi opposti.
397
F3 • Sintesi di forme algebriche minime per le funzioni booleane
Si noti che in questa tabella le celle di ciascuna riga hanno in comune le combinazioni di valori di B3 e B2, che perciò si possono usare come coordinate di riga,
mentre quelle di ciascuna colonna hanno in comune le combinazioni di B1B0, che si
possono usare come coordinate di colonna. Ogni cella ha così le sue coordinate di
riga e di colonna che, messe insieme, formano esattamente una combinazione di valori delle variabili.
Si possono dunque introdurre un’intestazione di riga e una di colonna con le relative coordinate delle celle e lasciare libero lo spazio al loro interno per copiarvi la colonna dei valori assunti da qualunque funzione di 4 variabili (tabella F3.3): basta eventualmente rinominare le intestazioni e riportare all’interno di ciascuna cella il valore fk
della funzione assunto per la combinazione di valori che individua la cella. La nuova
tabella è detta mappa di Karnaugh della funzione. Essa è ancora una tabella della verità ma ordinata in modo da rendere visivo il riconoscimento della maggior parte degli
uno, e quindi dei minterm, adiacenti.
B1B0
00
B3B2
01
11
10
00
f0
f1
f3
f2
01
f4
f5
f7
f6
11 f12
f13
f15
f14
f8
f9
f11
f
10
Mappa
di Karnaugh
Tabella F3.3
Tabella della verità
bidimensionale.
Naturalmente se le variabili sono solo tre la mappa si riduce della metà e, nel caso
di 5 variabili, la mappa raddoppia...
Su una mappa di Karnaugh si individuano facilmente gruppi di minterm semplificabili.
1) Riportare su mappa di Karnaugh la funzione di tabella F3.4;
2) individuare le coppie di minterm adiacenti;
3) eseguire le semplificazioni sulla prima forma canonica.
■ 1. Data la disposizione in tabella delle tre variabili, si considera C come il bit più significativo dei numeri binari CBA, si predispone una mappa vuota, con solo le intestazioni C/BA e le
combinazioni di valori in codice Gray sui bordi (00, 01, 11, 10 per i valori di BA). Nella mappa
ciascuna cella è individuata da un numero formato dalla combinazione dei valori di C e BA.
Si copia in ciascuna cella il corrispondente valore della funzione (f0 nella cella 0, ... f7 nella
cella 7). Si ottiene così la mappa di figura F3.1.
C
BA
00
01
11
10
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
Figura F3.1
Mappa di Karnaugh
della funzione
di tabella F3.4.
■ 2. Le coppie di uno adiacenti sono segnate con delle curve idealmente chiuse: sono adiacenti
anche il primo e l’ultimo 1 della seconda riga.
Gli 1 che appartengono a più coppie corrispondono a minterm da usare eventualmente più volte
come nell’esempio 2. Le coppie di minterm adiacenti sono dunque le seguenti:
––
–
–
––
C B A e C B A;
C B A e C B A;
– –
–
–
––
C B A e C B A;
C B A e C B A.
■ 3. Si scrive la prima forma canonica della funzione:
––
–
––
– –
–
y=CBA +CBA+CBA+CBA +CBA
In essa i primi due e gli ultimi due minterm sono coppie immediatamente semplificabili; il terzo
minterm, m1, si può semplificare con il secondo, m5, che va perciò utilizzato due volte.
ESEMPIO
3
C
B
A
y
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
Tabella F3.4
Funzione
dell’esempio 3.
Modulo F • Circuiti logici combinatori
398
Si ottiene: – –
–
–
––
– –
–
– –
–
y = (C B A + C B A) + (C B A + C B A) + (C B A + C B A ) = CB + B A + BA .
La somma degli implicanti così ottenuta copre esattamente tutti gli 1 della funzione e
perciò ne è una forma equivalente. Si noti che la somma di ogni coppia di costituenti adiacenti è un implicante che copre gli 1 associati ai due minterm, contiene solo la parte comune
dei costituenti, non
– – contiene la– variabile che nel passaggio
– da un costituente all’altro cambia.
Così da m4 = C B A e m5 = C B A si ottiene m4 + m5 = CB : la variabile A che nella cella 4 vale
0 e nella 5 vale 1 non compare nel risultato, mentre con la variabile C e la variabile B che valgono 1 e 0 si compone il nuovo costituente.
4
ESEMPIO
C
BA
0
00 01 11 10
1 1 1 1
1
1
1
0
0
BA BA CB CB
Figura F3.2
Coppie di implicanti
–– –
adiacenti (B A , B A),
–– –
(C B , C B).
C
BA
0
00 01 11 10
1 1 1 1
1
1
1
B
0
0
C
–– –
In figura F3.2 è definita la funzione f(C, B, A). B A e B A sono le due coppie di implicanti evidenziate sulle colonne
– – –00 e 01.
– Esse vengono da m0 + m4 e m1 + m5 e a loro volta sono adiacenti.
La loro OR dà B A + B A = B e copre le 4 celle associate ai minterm di cui è la somma.
Si noti che, se ci si muove all’interno del blocco delle 4 celle,
le variabili C e A cambiano
–
mentre resta B = 0. Ora C e A sono sparite dal risultato che è B.
Le due coppie adiacenti di celle si
– possono allora considerare come un unico blocco al quale
associare direttamente l’implicante B.
–– –
Lo stesso discorso vale per la coppia di implicanti C B e C B sulla riga– 0; essi vengono da
m0 + m1 e m3 + m2, si tratta ancora di implicanti adiacenti, la loro somma fa C, copre il blocco di
4 celle corrispondenti ai minterm di cui è la OR. Il risultato della semplificazione si può scrivere
direttamente facendo la AND delle sole variabili che se ci si sposta all’interno di quel blocco
non cambiano.
In entrambi i casi le due coppie adiacenti di celle si possono raccogliere in unico blocco (figura F3.3); da ciascuno
– –dei blocchi si ricava direttamente l’implicante che lo copre e infine si
scrive: f(C, B, A) = B + C .
Figura F3.3
– –
Blocchi di 4 minterm adiacenti e relativi implicanti B e C .
Si definisce sottocubo ogni blocco di 2k celle ciascuna adiacente a k celle del blocco.
Dai precedenti esempi discende la seguente regola:
ÈÈA ogni sottocubo corrisponde un implicante che lo copre esattamente: esso è uguale alla
AND delle sole variabili che, all’interno del blocco, mantengono un valore costante:
quelle che valgono 1 vi compaiono naturali, e quelle che valgono 0 vi compaiono negate.
La corrispondenza tra implicante e sottocubo consente di usare i due termini come
sinonimi.
ESEMPIO
Figura F3.4
Sottocubi per la
funzione y( ).
5
La figura F3.4 mostra alcuni sottocubi corrispondenti a implicanti della funzione di 4 variabili
assegnata nella mappa.
Al sottocubo più ampio corrisponde l’implicante D che è l’unica variabile
che al suo interno non
–
cambia. Al sottocubo di 4 celle in basso a sinistra corrisponde DB, le altre due variabili cambiano –all’interno
–
–di esso. Ai sottocubi di due celle sulle righe 00 e 10 corrispondono gli implicanti D C B e D C B che sono anche adiacenti;
essi si possono perciò fondere in un unico sotto–
cubo di 4 celle dando così l’implicante C B.
BA
00 01 11 10
DC
00 0 0 1 1
01
0
11
10
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
y()
399
F3 • Sintesi di forme algebriche minime per le funzioni booleane
F3.3 Minimizzazione della forma OR di AND
mediante mappa di Karnaugh
Un implicante di una funzione si dice primo se il corrispondente sottocubo non può essere coperto da un sottocubo più grande.
Maurice
Karnaugh, fisico,
ricercatore,
docente di
informatica
(New York, 1924)
Un implicante primo è anche essenziale se copre qualche 1 che non è ricoperto da alcun altro implicante primo.
Nella figura F3.5 tutti gli implicanti evidenziati sono primi; quelli in azzurro sono anche essenziali, quello in nero non lo è.
ESEMPIO
6
BA
00 01 11 10
DC
00 1 0 0 0
01
1
0
1
1
11
10
1
0
1
1
1
0
0
0
Figura F3.5
Implicanti primi
essenziali e non.
y()
La ricerca mediante mappa di Karnaugh di una forma minima OR di AND per una
funzione consiste nel realizzare una copertura degli 1 della funzione con il minimo numero possibile di sottocubi quanto più possibile ampi. Si comincia individuando tutti
gli implicanti primi essenziali, poi si sceglie il più piccolo insieme di implicanti primi
in grado di completare la copertura della mappa.
Le figure F3.6 e F3.7 propongono due coperture diverse per la stessa funzione y. Gli implicanti
nelle colonne 01 e 10 sono essenziali. Si ottengono perciò due forme minime:
–– –
–
–– –
–
y = C B + B A + BA
e
y = C A +B A + BA
C
BA
BA
00
01
11
10
00
01
11
10
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
C
Ricerca di una
forma minima
ESEMPIO
7
ESEMPIO
8
Figura F3.7
Copertura col minimo numero di sottocubi.
Figura F3.6
Copertura col minimo numero di sottocubi.
Si determini la forma OR di AND minima per la funzione di figura F3.8.
■ La mappa della funzione può esser coperta dai 3 implicanti primi ed essenziali indicati in figura. Si ha perciò:
–
– –
–
y = B 1 + B 3B2 + B 2B 0.
B1B0
00 01 11 10
B3B2
00 1 1 0 1
01
1
1
1
1
11
1
1
0
0
10
1
1
0
1
Figura F3.8
Copertura
di y, esempio 8.
Modulo F • Circuiti logici combinatori
400
9
ESEMPIO
Calcolare una forma minima per la funzione f = ∑ (1, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15).
■ Si compila la mappa di Karnaugh della funzione e si individua una copertura della mappa
mediante il minor numero possibile di sottocubi di massima estensione. In figura F3.9 gli implicanti utilizzati sono primi ed essenziali e sono sufficienti a coprire la mappa. Si procede poi
alla individuazione delle espressioni algebriche di ciascun implicante primo essenziale e al suo
inserimento nella somma logica richiesta:
–
–
y = B 3B2 + B 1B0 + B3B1
B1B0
00 01 11 10
B3B2
00 0 1 0 0
Figura F3.9
Copertura
di y, esempio 9.
ESEMPIO
10
1
1
1
01
1
11
0
1
1
1
10
0
1
1
1
Calcolare una forma minima per la funzione f = ∑ (0, 2, 3, 4, 5, 7, 13, 15).
■ In figura F3.10 è riportata la mappa di Karnaugh per la funzione assegnata. La figura ne propone inoltre una copertura. Gli implicanti primi corrispondenti ai sottocubi di due celle non
sono essenziali poiché i loro 1 sono coperti anche da altri implicanti primi. Un’altra scelta però
avrebbe richiesto un implicante in più.
Si ottiene infine:
– – –
– –
y = B 3B 1B 0 + B2B0 + B 3B 2B1
B1B0
00 01 11 10
B3B2
00 1 0 1 1
Figura F3.10
Copertura
di y, esempio 10.
01
1
1
1
0
11
0
1
1
0
10
0
0
0
0
F3.4 Minimizzazione della forma AND di OR
mediante mappa di Karnaugh
Per calcolare una forma minima AND di OR di una funzione si può molto semplicemente lavorare sul complemento della funzione data, determinare per essa una forma
minima OR di AND e poi applicarvi un negatore e il teorema di De Morgan.
ESEMPIO
11
Si determini una forma minima AND di OR per la funzione y( ) definita in tabella F3.5.
C
B
A
y
0
0
0
0
0
0
1
1
■ Dalla mappa di Karnaugh della funzione negata, figura F3.11, si ricava la forma minima
––
y() = C A + B; da questa, per la doppia negazione e il teorema di De Morgan, si ottiene:
–– –
–
y( ) = C A · B = (C + A) · B
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
C
Tabella F3.5
Funzione y( ) di esempio 11.
BA
00
01
11
10
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
Figura F3.11
Copertura di y( ) , esempio 11.
401
F3 • Sintesi di forme algebriche minime per le funzioni booleane
In alternativa si applica adattandolo il discorso fatto nel precedente paragrafo considerando i maxterm e gli 0 al posto dei minterm e degli 1 e sottocubi di celle con zero
e corrispondenti implicanti-OR al posto di implicanti-AND.
La regola per ricavare gli implicanti OR che coprono esattamente un sottocubo di 0
diviene:
ÈÈa ogni sottocubo di 0 corrisponde un implicante-OR che lo copre esattamente.
Esso è uguale alla OR delle sole variabili che all’interno del blocco mantengono
un valore costante: quelle che valgono 0 vi compaiono naturali e quelle che valgono 1 vi compaiono negate.
Si determini una forma minima AND di OR per la funzione definita in tabella F3.5.
ESEMPIO
12
■ Si compila la mappa di Karnaugh della funzione (figura F3.12), si esegue una copertura dei
suoi 0 con il minimo numero di sottocubi ampi quanto più possibile, si scrivono le
– espressioni
degli implicanti-OR corrispondenti ai sottocubi: (C + A) è l’implicante con due 0, B copre il sottocubo con quattro 0. Infine si scrive il prodotto logico degli implicanti-OR:
–
y( ) = (C + A) · B
C
BA
00
01
11
10
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
Figura F3.12
Copertura degli
zero con il minimo
numero di
sottocubi.
Si noti che la funzione assegnata è la stessa dell’esempio precedente e che questo diverso metodo porta alla medesima soluzione.
F3.5 Alee statiche e copertura ridondante
Il circuito elettronico che mette in atto la forma minima trovata per una funzione può
presentare qualche problema non trascurabile a causa dell’alea statica. Questo può avvenire quando il valore di una variabile cambia e, corrispondentemente, sulla mappa di
Karnaugh si attraversa il confine tra due sottocubi.
Dalla
della funzione y in figura F3.13 si è ricavata la sua forma minima
– –mappa
– di Karnaugh
–
y = CA + BA + BA. Si esamini graficamente l’andamento dei segnali nel corrispondente circuito
logico quando dalla combinazione di valori CBA = 001 si passa alla combinazione CBA = 000.
■ Nel passaggio dalla prima alla seconda combinazione resta B = 0 quindi
Ð Ðl’uscita della terza
AND,
e
terzo
ingresso
della
OR,
resta
al
livello
0.
Inizialmente
l’uscita
di
C
A vale 0 e quella di
–
B A vale 1. Dopo il cambiamento del valore di A i valori in uscita delle due AND si scambiano.
In entrambe le situazioni l’uscita della OR dovrebbe restare 1. Il problema si pone nel transitorio tra una situazione e l’altra.
La figura F3.14 mostra l’andamento dei segnali: a causa del ritardo di propagazione attraverso
la porta NOT sull’ingresso A la prima AND tarda a passare al livello 1 mentre la seconda ha già
raggiunto il livello 0. Come conseguenza sull’uscita della OR si manifesta un breve impulso
verso il basso.
C
BA
0
Figura F3.13
Mappa dell’esempio 13.
1
ESEMPIO
13
Figura F3.14
Alea statica nel
passaggio di CBA
da 001 a 000.
A
A
CA
00
01
11
10
1
1
0
1
1
0
1
BA
y
t
Modulo F • Circuiti logici combinatori
402
Il problema si risolve con una copertura ridondante della mappa inserendo un implicante di raccordo tra i due sottocubi. Nel caso dell’esempio 13 si introduce l’impli– –
cante C · B corrispondente al sottocubo tratteggiato: nel passaggio tra le due celle 001
e 000 esso resta uguale a 1 e quindi garantisce che durante il transitorio l’uscita y mantenga il livello alto.
F3.6 Mappe di Karnaugh per funzioni
di più di 4 variabili
I valori delle variabili sui bordi della mappa bidimensionale sono ancora riportati seguendo la numerazione in codice Gray; ora però vanno individuate righe e colonne
adiacenti non immediatamente visibili.
ESEMPIO
14
Figura F3.15
Copertura
con implicanti primi
di mappa
con 5 variabili.
La figura F3.15 mostra una mappa di Karnaugh in cui è definita una funzione di 5 variabili. Si
noti la sequenza secondo il codice Gray sulla riga di intestazione delle colonne. In questa rappresentazione sono adiacenti anche le colonne simmetriche rispetto alla linea che divide in due
la mappa, pertanto i raggruppamenti delle colonne 1 e 3 e quelli delle colonne 5 e 7 formano un
unico implicante primo, B0.
La forma minima così ottenuta è:
–
–
–
–
y = B4B 1 + B0 + B 4B3B1 + B 3B2B 1
B2B1B0
B4B3 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 1 0 0 1 1 1
01 0 1 1 1 1 1 1 0
11 1 1 1 0 0 1 1 1
10 1 1 1 0 0 1 1 1
B4B1 B0
ESEMPIO
15
Figura F3.16
Copertura
con implicanti primi
di mappa
con 5 variabili.
B4B3B1 B3B2B1
Nella figura F3.16 è stata definita su mappa di Karnaugh una funzione di 5 variabili e ne è stata
effettuata la copertura. La corrispondente forma minima OR di AND è:
–
– –
–
y = B 0 + B 4B 2B1 + B2B 1
B2B1B0
B4B3 000 001 011 010 110 111 101 100
00 1 0 1 1 1 0 1 1
01 1 0 1 1 1 0 1 1
11 1 0 0 1 1 0 1 1
10 1 0 0 1 1 0 1 1
B4B2B1 B0
B2B1
Il metodo delle mappe di Karnaugh si può ancora applicare senza eccessive difficoltà quando le variabili sono 6. La mappa viene organizzata come in figura F3.17.
Con questo schema la funzione è suddivisa in 4 sottomappe di altrettante sottofunzioni
nelle quali due delle variabili sono, di volta in volta, tenute costanti.
Si potrebbe a questo punto applicare il teorema di espansione rispetto a queste variabili e minimizzare solo le sottofunzioni, tuttavia su questo schema è ancora facile riconoscere sottocubi di celle appartenenti a più sottomappe.
403
F3 • Sintesi di forme algebriche minime per le funzioni booleane
y()
B5
B4
0
B1B0
00
B3B2
01
Figura F3.17
Minimizzazione
su mappa
di Karnaugh
di 6 variabili.
1
11
10
10
11
01
00
00
1
1
1
1
01
1
1
1
1
0
11
1
1
10
1
1
10
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
01
1
1
1
1
00
1
1
1
1
In questa rappresentazione le celle appartenenti a sottomappe diverse ma in posizioni simmetriche rispetto alle linee che dividono le quattro mappe sono adiacenti.
Per la funzione y definita in figura F3.17 i sottocubi di 4 celle raccolti sugli spigoli costituiscono
un unico implicante primo; lo stesso discorso vale per i sottocubi di due celle segnati sulle righe
011 e 111. Si ottiene:
– –
–
y = B 3B 1 + B3B2B0 + B 4B3B0
Con un numero superiore di variabili l’individuazione di una copertura minima con
le mappe di Karnaugh diviene sempre più complicata. Esiste un altro metodo di calcolo
della forma minima, detto di Quine-Mc Cluskey; esso è più analitico, meno visivo, ma
più adatto al calcolo automatico.
F3.7 Condizioni di indifferenza
A volte, quando si definiscono le caratteristiche di un dispositivo logico, si esclude
qualche combinazione di valori in ingresso perché si ritiene impossibile il suo verificarsi. Ciò lascia al progettista, per quelle combinazioni, la libertà di assegnare alla funzione valori del tutto arbitrari. Inizialmente questi valori vengono indicati in tabella
con delle ‘x’: sono dette condizioni di indifferenza, e il loro valore sarà assegnato in
base alle esigenze di minimizzazione.
Quando, in alternativa alla definizione mediante tabella della verità, si assegna una
funzione come somma dei suoi minterm, le condizioni di indifferenza vengono elencate in una somma di eventuali minterm marcata dal pedice “Φ”.
Così l’espressione f(B3, B2, B1, B0) = ∑(0, 2, 5, 7, 13, 15) + ∑Φ(3, 4, 8, 10) definisce una funzione i cui minterm sono quelli corrispondenti alle combinazioni indicate
dentro le parentesi di ∑( ), e tra le parentesi di ∑Φ( ) sono elencate le combinazioni di
valori in ingresso per le quali il valore della funzione non è stato assegnato.
Le condizioni di indifferenza consentono spesso una maggiore semplificazione
della forma algebrica che realizza la funzione.
ESEMPIO
16
Modulo F • Circuiti logici combinatori
404
ESEMPIO
17
Si calcoli una forma minima per la funzione f(B3, B2, B1, B0) = ∑(0, 2, 5, 7, 13, 15) + ∑Φ(3, 4,
8, 10) definita in modo incompleto.
■ Si compila la mappa di Karnaugh della funzione segnando con delle ××le celle in cui il valore
della funzione non è stato assegnato (figura F3.18).
Le celle 8 e 10, con la ××
, vengono raccolte con le celle 0 e 2 per formare il sottocubo degli spigoli.
Si decide così la copertura indicata in figura. Questo significa che, ora, per le combinazioni 8 e
10 che sono state incluse in un sottocubo è assegnato alla funzione il valore 1, mentre per le
combinazioni 3 e 4, che non sono state incluse in alcun sottocubo, alla funzione è assegnato il
valore 0.
La forma minima per la funzione è dunque:
– –
f( ) = B2B0 + B 2B 0
Figura F3.18
Copertura minima
di mappa
con condizioni
di indifferenza.
B1B0
00 01 11 10
B3B2
00 1 0 x 1
01
x
1
1
0
11
0
1
1
0
10
x
0
0
x
f()
Esercizi di verifica
Esercizio 1
Semplificare le seguenti espressioni:
–
–
1) XYZ + XY Z + XYZ
–––
– –– – –
–
2) A B C D +A BC D +A BC D +A BCD
––– –– –
– –
––
3) AB C D +A B CD + AB CD + ABC D
– –
–
– –
–
4) A BC D +A BCD + ABCD + ABCD + AB CD
––
– – –
–– – –
–
–
[Risultati: 1) XZ + XY; 2) A C D + A BC + A BD; 3) AC D + B CD; 4) A BD + ABC + ACD]
Esercizio 2
Compilare la mappa di Karnaugh della funzione f6E(B2, B1, B0).
Esercizio 3
Rappresentare su mappa di Karnaugh i minterm delle espressioni dell’esercizio 1.
Esercizio 4
Dei seguenti implicanti di funzioni di 4 variabili mostrare i corrispondenti sottocubi.
–
1) B3B1
2) B0
–
3) B 3B2B1
–
–
4) B 3B2B 0
Esercizio 5
Elencare tutte le possibili coppie di minterm adiacenti della funzione f(B2, B1, B0) = ∑(0, 2, 4, 6, 7); da ciascuna
di esse ottenere un implicante con due variabili; poi formare tutte le possibili coppie adiacenti di implicanti con
due variabili e semplificare ancora.
Esercizio 6
Della funzione f 34FF(B3, B2, B1, B0):
a) individuare implicanti primi e primi essenziali;
b) scrivere la forma minima OR di AND;
c) trasformare il circuito definito dalla forma minima in NAND di NAND.
–
–
[Risultati: b) f( ) = B3 + B2 B1B0 + B2B1]
Esercizio 7
Della funzione f(B2, B1, B0) = ∑(0, 2, 4, 6, 7) trovare, mediante mappa di Karnaugh, le possibili forme minime.
–
–
[Risultati: b) f( ) = B0 + B2B1]
Esercizio 8
Calcolare, mediante mappa di Karnaugh, una forma minima per la funzione f(B4, B3, B2, B1, B0) = ∑(30, 28, 27,
22, 20, 16, 14, 12, 9, 7, 5, 1, 0).
405
Esercitazioni
F3 • Sintesi di forme algebriche minime per le funzioni booleane
Modulo F • Circuiti logici combinatori
406
Esercitazioni
Esercizio 9
Della funzione f8BAB(B3, B2, B1, B0):
a) individuare implicanti primi e primi essenziali;
b) scrivere la forma minima OR di AND;
c) trasformare il circuito definito dalla forma minima in NAND di NAND.
Ð
Ð Ð
[Risultati: b) f() = B1B0 + B2B1 + B3B0]
Esercizio 10
Della funzione f34BF(B3, B2, B1, B0):
a) individuare implicanti primi e primi essenziali;
b) scrivere le forme minime OR di AND.
Ð
Ð
Ð
[Risultati: b) f() = B2B0 + B2B1B0 + B3B0 + B3B2;
Ð
Ð
Ð
f() = B2B0 + B2B1B0 + B3B0 + B3B1]
Esercizio 11
Della funzione f(B3, B2, B1, B0) = ∑(0, 1, 5, 6, 7, 12, 15) calcolare, mediante mappa di Karnaugh, una forma minima, individuare poi le possibili alee statiche ed eliminarle mediante ridondanza della copertura.
Esercizio 12
Della funzione y53H(C, B, A):
a) scrivere la forma minima OR di AND;
b) individuare eventuali alee statiche e, se ci sono, proporre una adeguata copertura ridondante.
Ð
Ð
[Risultati: a) y = C A + CB; b) y = C A + CB + BA]
Esercizio 13
Della funzione y55CC(D, C, B, A):
a) scrivere la forma minima OR di AND;
b) individuare eventuali alee statiche e, se ci sono, proporre una adeguata copertura ridondante.
Ð Ð
Ð Ð
Ð
[Risultati: a) y = DB + DA; b) y = DB + DA + B A]
Esercizio 14
Calcolare mediante mappa di Karnaugh una forma minima AND di OR della funzione:
f(B2, B1, B0) = ∑(1, 3, 4, 5, 6, 7).
[Risultati: f( ) = B2 + B0]
Esercizio 15
Della funzione f34FF(B3, B2, B1, B0):
a) individuare implicanti-OR primi e primi essenziali;
b) scrivere la forma minima AND di OR.
Ð Ð
Ð Ð
[Risultati: b) f() = (D + C + B)(D + C + B )(D + C + A );
Ð Ð
Ð Ð
f() = (D + C + B)(D + C + B )(D + B + A )]
Esercizio 16
Della funzione f8BAB(B3, B2, B1, B0):
a) individuare implicanti-OR primi e primi essenziali;
b) scrivere la forma minima AND di OR.
Ð
[Risultati: b) f() = (B1 + B0)(B3 + B2 +
Ð
f() = (B1 + B0)(B3 + B2 +
Ð
Ð
Ð
B1)(B2 + B1 + B0);
Ð Ð
Ð
B1)(B3 + B2 + B0)]
F3 • Sintesi di forme algebriche minime per le funzioni booleane
407
Della funzione f34BF(B3, B2, B1, B0):
a) individuare implicanti-OR primi e primi essenziali;
b) scrivere le forme minime AND di OR.
–
–
–
–
–
[Risultati: b) f() = (B3 + B2 + B1)(B3 + B2 + B1)(B2 + B1 + B0)(B3 + B2 + B0);
–
–
–
–
f() = (B3 + B2 + B1)(B3 + B2 + B1)(B2 + B1 + B0)(B3 + B1 + B0)]
Esercizio 18
Della funzione y53H(C, B, A):
a) scrivere la forma minima AND di OR;
b) individuare eventuali alee statiche e, se ci sono, proporre una adeguata copertura ridondante.
–
–
[Risultati: a) y = (C + A)(C + B); b) y = (C + A) (C + B) (B + A)]
Esercizio 19
Della funzione y55CC(D, C, B, A):
a) scrivere la forma minima AND di OR;
b) individuare eventuali alee statiche e, se ci sono, proporre una adeguata copertura ridondante.
–
–
–
– –
[Risultati: a) f() = (B3 + B0)(B3 + B1); b) f( ) = (B3 + B0)(B3 + B1)(B1 + B0)]
Esercizio 20
Applicare alla funzione di 5 variabili y55C66A7A( ) il teorema di scomposizione funzionale, applicare poi alle sottofunzioni la minimizzazione con mappe di Karnaugh per ottenere un’espressione nella forma OR di AND.
–
– –
–
–
–
[Risultati: b) f() = B4 (B3B2 B1 + B1B0 + B3B0 + B3B2B1B0) +
–
–
–
– –
+ B4 (B1B0 + B2B0 + B3B2B1 + B2B1B0)]
Esercizio 21
Calcolare una forma minima OR di AND per la funzione di 5 variabili y558C667F( ).
– –
– – –
–
–
–
[Risultati: a) y = B4B3B0 + B4B3B1B0 + B3B2B1 + B4B1B0 + B4B3B1 + B4B1B0]
Esercizio 22
Calcolare una forma minima OR di AND per la funzione parzialmente definita:
f(B3, B2, B1, B0) = ∑(0, 2, 6, 8, 13, 15) + ∑Φ(3, 4, 7, 10).
–
– –
[Risultati: a) f( ) = B2B0 + B3B1 + B3B2B0]
Esercizio 23
Calcolare una forma minima AND di OR per la funzione parzialmente definita:
f(B3, B2, B1, B0) = ∑(0, 2, 6, 8, 14, 15) + ∑Φ(3, 4, 7, 10, 13).
– –
–
[Risultati: a) f( ) = B2B0 + B3B1 + B2B1]
Esercitazioni
Esercizio 17
Esercitazioni
408
Modulo F • Circuiti logici combinatori
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Definire e proporre un esempio di due minterm adiacenti.
2. Definire e proporre un esempio di sotto-cubi adiacenti.
3. Dare una definizione di implicante ed esemplificare nel caso di una funzione di tre variabili.
4. Distinguere tra implicanti, implicanti primi e implicanti essenziali.
5. Dire perché in genere è possibile semplificare una forma canonica.
6. Dire perché in una mappa di Karnaugh per i valori delle variabili si segue l’ordine della numerazione in codice Gray.
7. Descrivere il procedimento di riduzione di un’espressione algebrica booleana mediante mappa di Karnaugh.
8. Spiegare perché a una forma minima AND di OR di una funzione si può giungere mediante individuazione
degli implicanti primi della sua negata.
9. Spiegare cosa sono e come si sfruttano le condizioni di indifferenza.
10. Dire come si può applicare il metodo delle mappe di Karnaugh a una funzione espressa mediante suoi implicanti non necessariamente primi. Proporre un esempio.
Quesiti a scelta multipla
Scegliere la risposta corretta tra quelle proposte.
1. Due implicanti sono adiacenti se:
a hanno tutte le variabili ma differiscono solo per una di esse.
b hanno le stesse variabili.
c corrispondono a due 1 adiacenti sulla mappa di Karnaugh.
d hanno le stesse variabili e differiscono solo per una di esse.
2. Nella semplificazione della somma di due implicanti con le stesse variabili:
a si applicano la proprietà distributiva e la legge di annullamento.
b si applicano le proprietà distributiva e di idempotenza.
c si applicano le proprietà di assorbimento e idempotenza.
d si applica il teorema di adiacenza.
3. La proprietà di idempotenza è utile nella semplificazione di espressioni perché:
a si possono aggiungere minterm alla prima forma canonica.
b si può utilizzare più volte un implicante per semplificarlo con più implicanti a esso adiacenti.
c si può ridurre una forma canonica fino a ottenere un’espressione minima.
d la somma di più implicanti uguali non cambia.
4. Un implicante di una funzione di 3 variabili corrisponde a un sottocubo di:
a 23 celle, ciascuna delle quali è adiacente a 3 celle del sottocubo.
b 2k celle, con k ≤ 3, ciascuna delle quali è adiacente a 3 celle del sottocubo.
c 2k celle, ciascuna delle quali è adiacente a 3 celle del sottocubo.
d 2k celle, con k ≤ 3, ciascuna delle quali è adiacente a k celle del sottocubo.
5. Un sottocubo di una mappa di 4 variabili:
a può includere da 1 a 24 celle, tutte tra loro adiacenti.
b può includere 2n celle, con n ≤ 4, ciascuna delle quali è adiacente, a n celle dello stesso sottocubo.
c può includere 2n celle con n ≤ 4.
d corrisponde a un implicante con lo stesso numero di variabili.
6. Un implicante primo essenziale:
a è una AND di tutte le variabili che all’interno del sottocubo non variano.
b è l’unico sottocubo che copre in modo esclusivo qualche minterm.
c copre il più grande sottocubo che contiene qualche 1 non coperto da altri implicanti primi.
d è un implicante primo indispensabile per scrivere l’espressione algebrica di una funzione.
7. Un implicante primo:
a corrisponde a un sottocubo che non è ricoperto da un sottocubo più grande.
b è una AND di tutte le variabili che copre il massimo numero di uno.
c è una AND col minimo numero possibile di variabili necessario a coprire un sottocubo.
d è una OR che copre il massimo numero di zero di una funzione.
8. Per ottenere una forma minima AND di OR di una funzione:
a occorre effettuare una copertura degli zero della mappa di Karnaugh della funzione.
b è sufficiente trovare una forma minima per la funzione negata.
c occorre effettuare una copertura degli zero della funzione con gli implicanti-OR primi essenziali e col minimo numero di implicanti-OR primi.
d occorre effettuare una copertura degli zero della funzione con gli implicanti-OR primi essenziali e primi.
9. Quando nella minimizzazione si utilizzano le condizioni di indifferenza:
a si decide che per le corrispondenti combinazioni di valori la funzione assumerà il valore 1.
b si assegna alla funzione il valore 1 per le combinazioni che corrispondono a condizioni di indifferenza incluse
nella copertura della funzione e 0 per quelle non incluse.
c le si inglobano tutte in sottocubi il più possibile ampi.
d si decide in modo arbitrario il valore che la funzione assumerà per ciascuna di esse.
10. La forma minima di una funzione nella forma AND di OR e quella nella forma OR di AND:
a si ottengono una dall’altra per semplice applicazione del teorema di De Morgan.
b sono uniche.
c sono uniche se discendono solo da implicanti primi essenziali.
d sono uniche se ottenute da implicanti primi e primi essenziali.
409
Esercitazioni
F3 • Sintesi di forme algebriche minime per le funzioni booleane
410
F4
Circuiti combinatori
integrati di base
Le funzioni combinatorie si realizzano sia ricorrendo alle tecniche di sintesi e minimizzazione, sia
mediante scomposizioni e utilizzo di circuiti integrati come il multiplexer o il decoder.
Alcune funzioni di uso più ricorrente sono realizzate in circuiti integrati utili per costruire circuiti
più complessi. In genere questi circuiti hanno la caratteristica comune della modularità cioè
con più moduli uguali se ne può costruire uno con la stessa funzione ma con maggior numero
di ingressi e di uscite. Al progettista conviene conoscerne la disponibilità e le potenzialità applicative di questi circuiti. L’analisi della loro struttura logica ne consente una piena comprensione
ed è anche un ottimo esercizio di approfondimento delle tecniche fin qui esaminate.
F4.1 Multiplexer o selettore di linee
I multiplexer integrati si distinguono per la famiglia tecnologica di appartenenza, per
numero di ingressi, di abilitatori, e per il tipo di circuito di uscita.
L’integrato 74xx253
L’integrato 74xx253 è un ‘dual 1 of 4 data selector/multiplexer’. Esso contiene due selettori di 4 linee (1 of 4) ciascuno. Essi condividono i selettori. Le rispettive uscite 3state sono controllate ciascuna da un proprio abilitatore attivo al livello basso. Con i selettori si sceglie una tra 4 coppie di linee d’ingresso e la si invia sulle due linee d’uscita.
La figura F4.1 mostra la piedinatura e lo schema funzionale di questo integrato.
13 12 11 10
Figura F4.1
Integrato 74253.
2 14
I3 I2 I1 I0 S1
15
OE2
3
4
5
6
S0 I3 I2 I1 I0
b)
a)
Y2
Y1
9
7
OE1
1
VCC = 16
GND = 8
Espansione
Se dai due mux nello stesso integrato se ne vuole ottenere uno con doppio numero di linee di ingresso si procede come in figura F4.2.
Si collegano tra loro le due uscite (il che è consentito perché sono uscite 3-state e
perché se ne abiliterà una sola alla volta). Dei due ingressi delle OR che vanno a controllare gli ingressi di abilitazione, uno è usato da abilitatore OE di tutto il circuito,
l’altro è usato come ulteriore ingresso di selezione S2: poiché questo giunge naturale alla
OR che controlla il circuito a) e negato all’altra, quando è S2 = 1 si abilita il mux b); e
quando è S2 = 0 si abilita il mux a).
411
F4 • Circuiti combinatori integrati di base
Figura F4.2
Utilizzazione
dell’integrato 74253
come MUX 1 of 8.
OE
S2
I7 I6 I5 I4 S1 S0 I3 I2 I1 I0
OE2
I3 I2 I1 I0
b)
a)
Y2
Y1
OE1
Y
Coerentemente con i valori assunti da S2S1S0 conviene rinominare come I7..4 gli ingressi di dato del mux abilitato da S2 = 1.
Se le uscite dei due mux non fossero di tipo 3-state, per ottenere l’unica uscita richiesta occorrerebbe metterle in OR.
Il circuito ottenuto è a sua volta espandibile con la stessa tecnica or ora proposta.
F4.2 Decoder e Demultiplexer
La tabella F4.1 definisce un decoder ‘da 2 a 4’ con abilitatore e uscite attivi al livello
basso. Ora, presa una qualunque delle uscite –yk, si può osservare che quando è selezionata essa vale 1 se è E = 1 e 0 se E = 0.
Si può perciò descrivere lo stesso dispositivo con la tabella F4.2, equivalente alla
precedente tabella, e interpretare E come una linea di dato in ingresso D che viene indirizzata da S1S0 a una delle quattro uscite. Da questo punto di vista il decoder esegue
la funzione opposta del multiplexer; da qui il secondo nome, demultiplexer, o brevemente, demux.
–
E
S1
S0
y–3
y–2
y–1
y–0
Tabella F4.1
Tabella
di decoder da 2 a 4.
S1 S0
y–3
y–2
y–1
1
–
E
1
x
x
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
–
E
1
–
E
0
1
1
0
1
1
1
1
y–0
–
E
1
1
1
1
1
Poiché questi dispositivi sono spesso utilizzati per selezionare chip di memoria o per
instradare dati verso il giusto destinatario, il significato del codice posto sugli ingressi di
selezione è il più delle volte quello dell’indirizzo parziale del dispositivo che si va a selezionare, perciò essi sono anche detti ingressi di indirizzo. Per lo stesso motivo una
delle caratteristiche importanti per questo tipo di dispositivi è il ritardo di propagazione.
L’integrato 74xx139
L’integrato 74xx139 è un “Dual 2-to-4 Line decoder/demux”. Esso contiene due circuiti logici identici e distinti il cui schema, insieme con l’indicazione dei numeri di pin,
è riportato in figura F4.3 (Vcc e GND vanno ai pin 16 e 8). Per essi è valida la tabella
F4.2. Nel caso di tecnologia LS, se il carico (RL e CL) è appropriato, il ritardo di propagazione va dai 24 ai 40 ns.
Tabella F4.2
Tabella
di demux da 1 a 4.
Modulo F • Circuiti logici combinatori
412
Figura F4.3
Integrato 74139.
S1
2(14)
y3
7(9)
S0
1(15)
y2
6(10)
y1
E
5(11)
3(13)
y0
4(12)
Espansione in parallelo
Utilizzando le due sezioni dell’integrato si può ottenere un decoder da 3 a 8 linee. Si
procede collegando in parallelo gli ingressi di selezione delle due sezioni e utilizzando
gli abilitatori per una nuova linea di selezione S2.
La figura F4.4 mostra lo schema del circuito di espansione. In esso ciascun abilitatore viene pilotato da una OR con due ingressi. Un ingresso di una OR e un ingresso
dell’altra si collegano insieme e si utilizzano come unico abilitatore di tutto il circuito.
Il terzo segnale di selezione S2 va direttamente alla OR che controlla la sezione ‘0’ del–
l’integrato, mentre il suo complemento S 2 va all’altra OR che controlla la sezione ‘1’.
In tal modo, a circuito abilitato, quando è S2 = 0 “funziona” la sezione ‘0’ le cui
uscite resteranno indicate come –y3.... –y0, mentre con S2 = 1 è selezionata l’altra sezione
le cui uscite vengono rinominate come –y7... –y4.
Questa tecnica si può naturalmente applicare ad altri decoder indipendenti.
Figura F4.4
Espansione
in parallelo
applicata
al decoder 74139.
E
E
S1
S0
S2
S1
S0
1
E
S1
S0
0
y7
y6
y5
y4
y3
y2
y1
y0
Espansione con più livelli
Si considerino 5 decoder ‘1 of 4’ (come quello di una sezione del 74xx139) e si utilizzino le 4 uscite di uno di essi per abilitare ciascuno degli altri 4 decoder (figura F4.5).
Si useranno gli ingressi di selezione del decoder più a monte come S3 e S2 mentre i decoder più a valle condivideranno gli ingressi S1 e S0. In tal modo si ottiene un decoder
da 4 a 16 linee che ha anche un abilitatore, quello del decoder più a monte.
Si potrebbe applicare ancora la stessa tecnica controllando, da ciascuna delle 4
uscite dei decoder (3)...(0), un altro decoder da 2 a 4 linee e ottenendo così un decoder
con 64 linee d’uscita e 6 di selezione. Il limite sta nell’aumento del ritardo con cui il
circuito ottenuto risponde al cambiamento dei segnali in ingresso per cui il circuito potrebbe risultare non utilizzabile quando si richiedono prestazioni veloci.
La tecnica di espansione con più livelli si può applicare naturalmente ad altri decoder integrati.
413
F4 • Circuiti combinatori integrati di base
E
S1
S0
E
E
S3
S2
E
S1
S0
0
S1
S0
y3
y2
y1
y0
E
S1
S0
S1
S0
E
S1
S0
y3
(3) y2
y1
y0
y15
y14
y13
y12
y3
(2) y2
y1
y0
y11
y10
y9
y8
y3
(1) y2
y1
y0
y7
y6
y5
y4
y3
(0) y2
y1
y0
y3
y2
y1
y0
Figura F4.5
Espansione
con più livelli
del decoder 74139.
L’integrato 74xx138
L’integrato 74xx138 è un “1 of 8 Line Decoder/Demux”. Esso ha tre abilitatori, attivi due a
livello basso e uno al livello alto, tre ingressi di selezione, 8 uscite attive di livello basso.
Espansione
La disponibilità di più abilitatori rende semplice l’utilizzazione di due di questi integrati per ottenere, con una semplice espansione in parallelo, un decoder da 4 a 16 linee.
Il quarto selettore si ottiene dall’abilitatore attivo al livello alto di uno collegato a un
abilitatore attivo al livello basso dell’altro.
L’integrato 4051
L’integrato 4051 è un “8-Channel Analog Multiplexer/Demultiplexer”. La figura F4.6 ne
riporta uno schema funzionale e la piedinatura. Esso è costituito da un decoder ‘da 3 a 8’
e da 8 switch analogici (o transmission gate) i cui terminali ‘out/in’ sono collegati su un’unica linea X; il decoder controlla gli otto switch analogici chiudendone uno solo per volta.
Nell’utilizzazione come multiplexer, X7...X0 sono gli ingressi di dato, X è l’uscita; e
S2...S0 sono gli ingressi di selezione che decidono quale degli ingressi di dato può portare il suo segnale su X.
X4 X5 X6 X7
1 5 2 4 in/out
Vdd
SW7
16
3 to 8
decoder
SW6
SW5
S2
S1
S0
9
10
11
SW4
SW3
SW2
E
VEE
Vss
6
7
8
SW1
SW0
12 1514 13 in/out
X2 X1 X0
3
X
out/in
Figura F4.6
Integrato 4051.
Modulo F • Circuiti logici combinatori
414
Se si utilizza il dispositivo come demux, X è l’ingresso di dato, il cui segnale viene
dirottato su una delle uscite X7...X0 dagli ingressi di selezione. L’ingresso E è un abilitatore attivo a livello basso; se è al livello 1 logico tutti gli switch vengono aperti (e i
segnali di dato non passano). VDD e VSS sono i terminali di alimentazione; VEE regola i
valori minimo e massimo consentiti per i segnali di dato; per esempio se VDD = 5 V,
VSS = 0 V e VEE = –5 V il segnale analogico può assumere valori da + 5 V a
– 5 V.
Ciascun switch, quando è in conduzione, ha una resistenza di qualche centinaio di
ohm, mentre quando è aperto lascia passare correnti di dispersione molto piccole.
F4.3 Codificatore con priorità
I3
I2
I1
I0
B1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
Tabella F4.3
Codifiche
corrispondenti
all’attivazione
di un solo tasto.
Un codificatore produce in uscita il codice binario di n bit corrispondente a quello dei
suoi 2n ingressi che è stato attivato. Si pensi per semplicità a un dispositivo (il codificatore) che debba produrre il codice di due bit del tasto che viene premuto su un tastierino con solo 4 tasti, T0, T1, T2, T3. Supponendo che l’attivazione di un tasto porti a
un livello alto il conduttore a esso collegato, il codificatore dovrebbe funzionare secondo la tabella F4.3.
Se il tastierino avesse 8 tasti il codificatore dovrebbe produrre codici di 3 bit,
B0
se i tasti fossero 16 i bit dovrebbero essere 4, e così via.
Quando i tasti sono numerosi sia l’hardware della tastiera che il progetto del
0
codificatore
si complicano a causa del gran numero di variabili. In questo caso
1
l’hardware si organizza in una matrice di conduttori isolati con un interruttore a
0
ciascun incrocio di una riga con una colonna, ciascun interruttore controllato
1
dalla pressione di un tasto stabilisce quando è chiuso il contatto tra la riga e la colonna su cui è piazzato e il tutto viene controllato da un sistema sequenziale o a
programma.
Quando i tasti sono pochi sia l’hardware della tastiera che il progetto del codificatore non sono complicati, tuttavia un dispositivo che funzioni secondo la tabella F4.7
non è sufficiente perché non tiene conto dei seguenti problemi:
l
l
l
Ei
I3
I2
I1
I0
0
x
x
x
x
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
x
1
0
1
x
x
1
1
x
x
x
Tabella F4.4
Tabella di un
encoder con priorità.
capita spesso di schiacciare insieme senza volerlo più tasti;
quando non si schiaccia alcun tasto il codice in uscita deve essere diverso da qualunque altro codice;
il dispositivo così concepito non ha la caratteristica della modularità.
Il primo problema si risolve stabilendo che nel caso di più ingressi contemporaneamente attivi il codice prodotto sia quello del tasto cui è assegnato il numero più alto. Il
dispositivo diviene così un codificatore con priorità (priority encoder).
Il secondo problema pone la necessità di un ulteriore bit in uscita che segnali se il
codice in uscita corrisponde effettivamente a un tasto attivo in quel momento. Questa
uscita, indicata con GS (segnale di gruppo), non è altro che la OR degli ingressi I3..I0.
Il terzo problema si risolve introducendo in ingresso un abilitatore Ei che abiliti il
circuito a produrre i suoi codici e aggiungendo un ulteriore uscita E0
B1 B0 E0 GS
attiva solo quando il dispositivo è abilitato mentre gli altri ingressi
sono non attivi. Quest’ultimo segnale sarà usato per abilitare o no un
0 0
0 0
eventuale altro codificatore con priorità inferiore.
0 0
1 0
Si concepisce così la tabella F4.4; in essa la prima riga indica che
0 0
0 1
se il dispositivo è disabilitato le sue uscite sono tutte non attive; in
0 1
0 1
particolare la disabilitazione si propaga sull’uscita E0. Nelle altre righe il dispositivo è abilitato: nella seconda riga nessun ingresso Ii è
1 0
0 1
attivo, GS segnala il fatto con uno 0 e contemporaneamente l’uscita
1 1
0 1
E0 = 1 può abilitare un eventuale altro codificatore di priorità immediatamente inferiore; nelle righe sottostanti qualche tasto è attivato,
GS vale 1, E0 = 0 disabilita l’eventuale altro codificatore di priorità più bassa e B1B0
fornisce il codice del tasto attivato.
415
F4 • Circuiti combinatori integrati di base
Le x in questa tabella non vanno confuse con condizioni di indifferenza per le funzioni: esse infatti indicano più combinazioni delle variabili di ingresso.
Espansione
Con lo schema di figura F4.7 da due priority encoder se ne ottiene uno con un doppio
numero di ingressi. Esso si può ricavare dalle seguenti considerazioni.
1. Stabilito che il codificatore (a) deve avere priorità su (b) e rinominati con I7, I6, I5,
I4 i suoi ingressi, si collega E oa con Eib, così se (a) sta ponendo in uscita un codice
disabilita (b); se invece (a) è abilitato ma gli altri suoi ingressi sono inattivi, abilita (b).
Ei
Ei
I7
I6
I5
I4
I3
I2
I1
I0
GS
(a)
Figura F4.7
Espansione
di un encoder
con priorità.
GS
B1
B0
B2
E0
B1
GS
Ei
I3
I2
I1
I0
I3
I2
I1
I0
(b)
B0
B1
B0
E0
E0
2. Il nuovo segnale di gruppo deve indicare che su uno o sull’altro dei due codificatori
c’e un codice valido, dunque è GS = GSa + GSb.
3. Occorre disporre di un terzo bit B2 in uscita e ottenere da questo e dai segnali B1 e
B0 dei due encoder i codici corrispondenti agli ingressi attivati. Poiché B2 deve valere 1 tutte le volte che su (a) c’è un codice valido, altrimenti deve valere 0, è
B2 = GS.
4. Se GSa = 1 i codici B2B1aB0a corrispondono correttamente agli ingressi I7, I6, I5, I4 e
contemporaneamente sono B1b = B0b = 0; se GS = 1 ma GSa = 0 sono validi i codici
formati da B2 B1bB0b mentre B1a = B0a = 0. Dunque si deve porre B1 = B1a + B1b e
B0 = B0a + B0b.
Il dispositivo così ottenuto dispone ancora dei segnali GS ed E0 e perciò è a sua
volta adatto alla espansione.
8
Vss
5
4
3
2
1
13
12
11
10
16
D1
E0
15
D7
3
2
D6
E0
15
1
D4
D3
D2
GS
14
13
12
A2
6
11
D1
A1
10
D0
A0
7
9
16
VCC
Q2
6
Q1
7
9
Vdd
4532
Ei
4
Q0
D0
5
14
D5
D4
D3
D2
GND
GS
D7
D6
8
a)
D5
74LS148
b)
Figura F4.8
Priority encoder
integrati.
Modulo F • Circuiti logici combinatori
416
L’integrato 4532
L’integrato CMOS 4532, figura F4.8 a, è un “8-BIT Priority Encoder”, con ingressi e
uscite tutti attivi al livello alto. L’espansione a 16 ingressi viene fatta in modo del tutto
simile a quello sopra descritto.
L’integrato 74xx148
L’integrato TTL 74xx148, figura F4.8 b, è un priority encoder con 8 linee di ingresso,
tre linee d’uscita per il codice binario, un ingresso di abilitazione, i segnali E 0 e GS
per l’espansione. Ingressi e uscite sono tutti attivi al livello basso.
F4.4 Decoder-driver per display con 7 segmenti
Per visualizzare cifre decimali, o anche esadecimali, si ricorre a dispositivi a LED o a
LCD, nei quali ciascuna cifra viene costruita mediante segmenti che si illuminano o si
scuriscono disegnando così la cifra richiesta.
Esistono integrati adatti al controllo di display a LED a catodo comune, o ad anodo
comune, altri ancora sono adatti al controllo di display a LCD.
Display a LED
In un display a sette segmenti costruito con LED (figura F4.9) i diodi sono disposti in
modo da formare, se tutti accesi, la cifra 8.
Figura F4.9
Struttura
di display
con 7 segmenti
a LED.
a
a
f
b
f
b
g
g
a
f
b
g
c
e
e
c
e
c
d
d
Anodo Comune
d
Catodo Comune
Ciascuno dei segmenti è costituito da uno o più LED e tutti i segmenti sono collegati insieme dal lato del catodo o dal lato dell’anodo. Nel tipo a catodo comune il catodo va collegato a massa e i segmenti si accendono se il loro terminale viene collegato
attraverso un adeguato resistore a una tensione positiva. Nel tipo ad anodo comune l’anodo va collegato a una tensione positiva e i catodi vanno collegati a massa attraverso
un resistore. I dispositivi di questo tipo sono robusti, poco sensibili alle condizioni di
temperatura e offrono una buona visibilità della cifra in essi rappresentata, però richiedono per ciascun segmento una corrente dell’ordine di una decina di mA, con conseguente consumo delle batterie eventualmente usate.
Display a cristalli liquidi, LCD
I display a LCD sono più delicati, il range di temperatura richiesto per il loro funzionamento è più ristretto, le cifre rappresentate sono meno visibili, devono essere controllati
con impulsi senza componente continua; in compenso richiedono correnti molto basse.
Essi sono composti da due superfici di vetro separate da uno strato di circa 10 μ m di un
materiale che ha caratteristiche intermedie tra quelle di un cristallo e quelle di un liquido
e che agisce diversamente sulla luce polarizzata a secondo che sia o no sottoposto a un
campo elettrico. La superficie posteriore dell’LCD, backplane, è in genere riflettente e su
417
F4 • Circuiti combinatori integrati di base
di essa è depositato un sottile strato conduttore, sull’altra superficie sono depositati dei
segmenti di conduttore, tanto sottili da essere trasparenti, ciascuno collegato a un suo terminale. Il backplane costituisce l’elettrodo comune. Sui due vetri sono inoltre applicate
due pellicole polarizzanti della luce ruotate di 90 gradi l’una rispetto all’altra.
In assenza di campo elettrico la luce attraversa l’LCD che invece sotto l’azione di
un campo elettrico appare oscurato.
L’applicazione di un campo elettrico costante danneggia però l’LCD; una componente continua maggiore di 100 mV applicata tra il piano posteriore e un qualunque
suo segmento sulla superficie anteriore lo renderebbe definitivamente opaco. Per questo motivo i segmenti dell’LCD che si vogliono visualizzare e il backplane devono essere pilotati da due segnali a onda quadra in controfase (e quindi uno negato rispetto all’altro) di frequenza compresa tra i 30 e i 150 Hz.
La quantità di energia consumata dagli LCD è molto inferiore a quella dei display
a LED che perciò sono stati sostituiti dagli LCD.
Gli integrati 74LS47 e 74LS48
Gli integrati 74LS47 e 74 LS48 sono “Decoders/Drivers BCD/7-Segment” per display a
LED, figura F4.10. Il primo è adatto per i display ad anodo comune, il secondo per quelli
a catodo comune. Nelle rispettive tabelle della verità, del tutto simili, le funzioni da a a g
del secondo sono esattamente il complemento di quelle del primo. La tabella F4.5 si riferisce al circuito 74LS47, in essa H e L indicano i livelli logici basso (Low) e alto (High).
3
4
LT
RBI
6
2
1
7
B3
B2
B1
B0
Vcc=16
GND=8
g
f
e
d
c
b
a
14
15
9
10
11
12
13
3
4
LT
RBI
6
2
1
7
B3
B2
B1
B0
4
Vcc=16
GND=8
BI/RBO
g
f
e
d
c
b
a
BI/RBO
74LS47
14
15
9
10
11
12
13
Figura F4.10
Integrati
decoder/driver
BCD/7 segmenti.
4
74xx48
LT
RBI
B3
B2
B2
B0
H
H
L
L
L
L
H
L
H
x
L
L
L
H
H
H
H
x
L
L
H
L
H
L
H
x
L
L
H
H
H
L
L
H
x
L
H
L
L
H
H
L
H
x
L
H
L
H
H
L
H
H
x
L
H
H
L
H
H
H
H
x
L
H
H
H
H
L
L
H
x
H
L
L
L
H
L
L
H
x
H
L
L
H
H
L
H
x
H
L
H
L
H
H
x
H
L
H
H
H
H
x
H
H
L
L
H
H
H
x
H
H
L
H
H
L
H
x
H
H
H
L
H
H
H
H
L
L
L
L
H
x
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
BI / RBO a
b
c
d
e
f
g
Note
L
L
L
L
L
H
0
L
L
H
H
H
H
1
L
H
L
L
H
L
2
L
L
H
H
L
3
L
H
H
L
L
4
L
L
H
L
L
5
L
L
L
L
L
6
L
H
H
H
H
7
L
L
L
L
L
8
L
L
H
H
L
L
9
H
H
H
L
L
H
L
H
H
L
L
H
H
L
L
H
H
H
L
L
H
H
L
H
L
L
blank
x
x
x
x
x
x
L
H
H
H
H
H
H
H
BI
H
L
L
L
L
L
L
H
H
H
H
H
H
H
RBO
L
x
x
x
x
x
H
L
L
L
L
L
L
L
LT
Tabella F4.5
Tabella
dell’integrato
7447.
Modulo F • Circuiti logici combinatori
418
Oltre agli ingressi per il codice BCD, B3 B2 B1 B0, l’integrato ha altri due ingressi,
LT (Lamp Test) ed RBI (Ripple Blanking Input) e un ingresso/uscita BI / RBO
(Blanking Input / Ripple Blanking Output). Attivando LT (livello L), tutti i LED si devono accendere: ciò indica che il display funziona correttamente. Attivando BI tutte le
uscite vengono disattivate spegnendo così tutti i LED. RBI ed RBO vengono utilizzati quando si mettono insieme più decoder.
Uso delle funzioni RBI e RBO
Quando RBI è attivo (L), e B3B2B1B0 = 0000, il display viene spento e il valore di RBI
si propaga sull’uscita RBO.
Per visualizzare numeri con più digit si devono mettere uno accanto all’altro più
display e i relativi decoder. RBI ed RBO sono stati progettati per evitare di visualizzare
gli zero (blanking = cancellare) non significativi, cioè gli zero che in un numero intero
precedono la prima cifra non nulla o quelli che dopo la virgola seguono l’ultima cifra
non nulla. Si consideri per esempio il circuito di figura F4.11 a e si supponga che in
ingresso ci sia il numero di 4 digit 0092: poiché è RBI 3 = 0, la prima cifra 0 non si accende e RBO 3 = 0; poiché RBI2 è collegato a RBO3 anche la seconda cifra con il valore 0 resta spenta; il numero è dunque visualizzato come 92.
Figura F4.11
Uso di RBI e RBO
per spegnere
gli zero non
significativi.
GND
RBI3
B3 B 2 B 1 B 0
RBO3
7
RBI2
B3 B2 B1 B0
RBO2
a...g
7
RBI1
B3 B2 B1 B0
RBO1
a...g
7
RBI0
B3 B2 B1 B0
,
a...g
7
a)
b)
B3 B2 B1 B0 RBI–1
,
RBO–1
a...g
7
B3 B2 B1 B0 RBI–2
RBO–2
a...g
7
B3 B2 B1 B0 RBI–3
RBO–3
a...g
7
B3 B2 B1 B0 RBI–4
RBO–4
GND
a...g
7
Nel caso di cifre frazionarie il collegamento tra gli RBI e RBO (figura F4.11 b)
deve partire dalla cifra meno significativa; in tal modo, per esempio, il numero 0.1200
sarà visualizzato come .12. Il percorso dei collegamenti RBI-RBO dalla forma ondeggiante spiega il motivo del termine inglese “ripple”.
L’integrato 9368
L’integrato 9368 è un decoder BCH-7 segmenti a catodo comune. BCH sta per Binary
Code Hexadecimal, esso cioè traduce il numero binario acquisito in un codice adatto
per la sua visualizzazione in esadecimale su un display a catodo comune (le sue uscite
a...g sono attive a livello alto) e, quando attive, si comportano come generatori di corrente da 20 mA, perciò si possono direttamente collegare (senza resistori) ai pin del
display. La figura F4.12 mostra lo schema funzionale del circuito e i caratteri esadecimali corrispondenti ai codici binari.
In questo circuito il codice in entrata passa inizialmente attraverso 4 latch controllati dall’abilitatore LE attivo al livello basso. LE sta per Latch Enable.
419
F4 • Circuiti combinatori integrati di base
3
5
LE
RBI
6
2
1
7
B3
B2
B1
B0
VCC = 16
GND = 8
g
f
e
d
c
b
a
14
15
9
10
11
12
13
BI/RBO
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Figura F4.12
Integrato 9368
e sue rappresentazioni
dei codici esadecimali.
4
Dei latch ci si occuperà più avanti, qui è sufficiente sapere che “latch” significa serratura con scatto: quando la porta di un appartamento si chiude a causa d’una corrente
d’aria, resta chiusa e l’evento resta così memorizzato; la porta però non risponde più
alle sollecitazioni finché il meccanismo non viene sbloccato.
In elettronica un latch è un dispositivo che quando è abilitato (LE attivo) scatta ad
ogni nuovo valore presente sul suo ingresso di dato e quando è disabilitato (LE non attivo) non sente più i cambiamenti su quell’ingresso ma mantiene in uscita l’ultimo valore memorizzato.
Con questa funzione l’integrato 9368 consente di effettuare letture del valore di un
dato che sta velocemente cambiando. Per esempio se il dato proviene da un cronometro è possibile effettuare letture di tempi parziali ponendo di volta in volta il pin3, LE
a livello alto, cioè disabilitando i latch interni.
Gli integrati 4543 e 74HCT4543
Gli integrati 4543 e 74HCT4543 sono “BCD to 7-Segment Latch/Decoder/Driver for
LCD” realizzati entrambi in tecnologia CMOS; il secondo è compatibile TTL. La figura F4.13 ne riporta la piedinatura, lo schema funzionale e le cifre formate in corrispondenza agli ingressi BCD da 0 a 9. Per gli altri valori le uscite restano non attive.
4
2
3
5
D
C
B
A
6
7
1
Ph
BL
LE
Vdd=16
Vss=8
9
10
11
12
13
15
14
a
b
c
d
e
f
g
D
C
B
A
9
Display 10
Driver 11
12
13
15
14
BCD
To
7-Seg.
Decoder
Latch
a
b
c
d
e
f
g
LE
BL
Ph
4543
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
BL è un ingresso di Blanking ed è attivo al livello alto, LE è il latch enable ed è attivo
al livello alto.
Con Ph = 0 le uscite a...g sono attive al livello alto e il circuito può pilotare display
a LED con catodo comune. Con Ph = 1 le uscite a...g si invertono, cioè sono il complemento di quelle ottenute con Ph = 0, sono attive al livello basso e possono pilotare
display a LED con anodo comune.
Per pilotare un display a LCD l’ingresso Ph (fase), altre volte indicato con DF
(Display Frequency), deve ricevere un’onda quadra e deve anche essere connesso al
backplane del display.
Figura F4.13
Integrato 4543,
sua struttura,
visualizzazioni.
Modulo F • Circuiti logici combinatori
420
BCD to 7seg.
decoder
a'
b'
c'
d'
e'
f'
g'
a
a
b
c
d
e
f
g
Ph
b
f
g'
g
g
e
c
Ph
+5
g-Ph
–5
d
backplane
Figura F4.14
Logica del display
driver dell’integrato
4543, ed esemplificazione
del controllo
sul segmento g.
Dal punto di vista logico le cose funzionano così (figura F4.14): le uscite, a'...g', del
circuito di decodifica interno all’integrato vanno ciascuna a una porta XOR a due ingressi; all’altro ingresso delle XOR va il segnale Ph; se ora, per esempio, si ha g' = 1, la
XOR si comporta come un negatore del segnale Ph, la sua l’uscita g sarà un’onda quadra di fase opposta a quella di Ph, la tensione applicata tra l’elettrodo g e il backplane
del display, g – Ph, sarà un’onda quadra di ampiezza doppia rispetto a quella di Ph, e
il segmento g è reso visibile. Se invece g' = 0 l’uscita g della XOR sarà uguale a Ph, tra
backplane ed elettrodo risulterà applicata una differenza di potenziale uguale a 0, e il
segmento viene nascosto.
F4.5 Generatore-verificatore di parità
I sistemi digitali di trasmissione e ricezione di dati devono anche verificare che la trasmissione avvenga senza errori. Una verifica consiste nel controllare su ciascuna parola ricevuta, se il suo numero di bit di valore 1 è pari o dispari. Tra ricevitore e trasmettitore si stabilisce preliminarmente qual è il numero di bit di ogni parola trasmessa, si stabilisce di aggiungere in coda a ciascuna parola un bit di parità e se il numero complessivo di 1 di ciascuna parola più il bit di parità deve essere pari o dispari.
Per esempio, stabilito che ciascuna parola è fatta di 4 bit più uno di parità, e che la parità deve essere pari, la parola 0111 viene trasmessa come 10111; il bit di parità in questo caso deve valere 1 per rendere pari il numero complessivo di bit; se invece si stabilisse una parità dispari la parola da trasmette è 00111.
Per potere effettuare il controllo di parità il circuito che trasmette deve aggiungere
a ogni parola il bit di parità e il circuito che riceve deve verificare la parità della parola
ricevuta.
Si supponga ora di voler calcolare se il numero di 1 contenuti in una parola AB di
due soli bit è dispari. La funzione d = A + B vale 1 proprio se in AB il numero di 1 è dispari (e vale 0 nel caso opposto) e il codice di 3 bit dAB avrà perciò un numero pari di
1. La funzione p = d indica invece con un 1 che AB ha parità pari, e il codice dAB contiene un numero dispari di 1. Se si è stabilito che ogni parola, incluso il bit di parità,
deve avere una parità dispari si dovrà spedire pAB se invece la parità deve essere pari
la parola da spedire sarà dAB.
Bit di parità
ESEMPIO
1
Si è stabilito che ogni parola di due bit più il bit di parità deve avere un numero pari di bit. Si
calcoli il bit di parità da aggiungere a ciascuna parola del messaggio 00 10 11 01 e si scriva il
messaggio che deve essere ricevuto.
■ l Calcolo del bit di parità pari: 00 → d = 0; 10 → d = 1; 11 → d = 0; 01 → d = 1;
l messaggio in ricezione: 000 110 011 101.
421
F4 • Circuiti combinatori integrati di base
Il discorso ora fatto è valido anche se la lunghezza delle parole da trasmettere è di 3 bit:
la funzione d = A + B + C (tabella F2.2) segnala con un 1 che ABC contiene un numero
dispari di 1 e con uno 0 che ne contiene un numero pari, perciò se si usa una parità pari
ogni parola deve essere composta come dABC....
Poiché per la XOR valgono le proprietà associativa e commutativa è possibile collegare in cascata XOR con tre ingressi per ottenere il calcolo della parità su parole con
più bit.
L’integrato 74HCT280
L’integrato 74HCT280 è un “9-bit Odd/Even Parity Generator/Checker” (generatore/verificatore di parità dispari/pari). La documentazione tecnica dice che esso contiene 4 XOR e una XNOR ciascuna con tre ingressi, collegate come in figura F4.15.
La figura riporta anche l’assegnazione dei pin. L’uscita e (even, pari) è il complemento
di d (odd, dispari). La XNOR serve a generare la funzione e. Con un numero pari di 1
in ingresso è e = 1 e d = 0, viceversa sono e = 0 e d = 1.
Se la parola su cui si vuole calcolare la parità ha un numero di bit inferiore a 9 gli ingressi non utilizzati vanno collegati a massa per evitare l’inserimento casuale di altri 1.
74xx280
8
9
10
11
12
13
1
2
4
A
B
C
D
E
F
G
H
I
A
B
C
e
5
d
6
Vcc=14, GND=7
D
E
F
G
H
I
Figura F4.15
Integrato 74280,
e sua struttura
interna.
y1d
d
y2d
e
y3d
Espansione
Si può riprodurre lo schema di espansione di figura F4.15 collegando le uscite d
(XOR) di 2 o più integrati 74280 ad altrettanti ingressi di un’altra XOR o di un altro
integrato 74280. La cosa funziona altrettanto bene se si ricorre a un numero pari di
uscite e. Nel primo caso si ottiene la disparità complessiva delle parole in ingresso,
nel secondo caso la parità.
F4.6 Comparatore
Il circuito di figura F4.16, simile a quello di figura F1.19 ma con le uscite attive al livello alto, realizza la funzione di confronto tra i due bit in ingresso.
Il confronto tra due numeri di n bit si ottiene utilizzando n di questi blocchi opportunamente collegati ad altre porte logiche.
Si noti innanzi tutto che, se si vuole fare un veloce confronto tra due numeri aventi
lo stesso numero di cifre, conviene confrontare ordinatamente le singole cifre dei due
numeri cominciando dalle più significative. Se se ne trovano due che sono diverse il
confronto si conclude poiché il numero più grande è quello con la cifra maggiore. Se
le cifre confrontate sono uguali si passa a confrontare le successive. Se infine anche le
ultime cifre sono uguali lo sono anche i due numeri.
Si confrontino i numeri 99998888758466666 e 99998898758466666.
■ Si parte dalle cifre più significative; si incontrano quattro coppie di 9, due coppie di 8, poi un
8 e un 9, dunque il numero più grande è il secondo.
ESEMPIO
2
Modulo F • Circuiti logici combinatori
422
Figura F4.16
Circuito logico
che confronta
due bit.
y A>B
A
y A=B
B
y A<B
Il discorso è valido qualunque sia la base del sistema di numerazione posizionale. In
particolare un numero binario è più grande dell’altro se i bit più significativi lo sono,
oppure, nel caso questi risultino uguali, se i successivi bit più significativi lo sono ecc.
Il ragionamento corrisponde a un circuito logico che abilita il confronto tra i bit via
via meno significativi man mano che trova uguali i bit superiori, e che fa la OR dei risultati yA>B dei vari blocchi elementari usati.
Detti a = An...Ak ...A0 e b = Bn...Bk...B0 i due numeri binari, e Ya<b, Ya = b, Ya>b le
uscite del circuito comparatore, si possono trarre le seguenti conclusioni:
l
l
l
si deve avere Ya = b = 1 se tutte le coppie di cifre (Ak, Bk) dello stesso peso sono
uguali. Ciò significa che Ya = b deve essere il prodotto logico di tutte le uscite yk A = B;
deve risultare Ya>b = 1 se yn A>B, oppure se yn A = B = 1 e yn-1 A>B, e così via…
deve risultare Ya<b = 1 se yn A<B, oppure se yn A = B = 1 e yn-1 A<B, e così via…
L’integrato 74HCT85
Figura F4.17
Espansione
del comparatore
7485.
L’integrato 74HCT85, figura F4.18 a, è un comparatore di numeri di 4 bit con ingressi
di espansione IA>B, IA<B e IA = B che vengono “interrogati” se i numeri A e B in entrata
sono uguali. Se gli ingressi di espansione non vengono utilizzati del tutto, conviene
configurarli rispettivamente con 001; se serve solo un bit in più si utilizzano IA>B e IA<B
come bit meno significativi e si impone IA = B = 0.
A24...A21
a
B24...B21
b
ya<b
IA>B
IA<B
IA=B
ya=b
A20
B20
A9...A6
B9...B6
A5
B5
a
#4
#1
ya>b
b
ya<b
IA>B
IA<B
IA=B
ya=b
A4...A1
a
B4...B1
b
ya<b
IA>B
IA<B
IA=B
ya=b
A0
B0
#0
Espansioni
ya>b
ya>b
A3
B3
A0
B0
IA>B
IA<B
IA=B
ya>b
ya<b
ya=b
Uno schema di espansione del comparatore 7485 si realizza mediante una cascata di integrati, innestando le
uscite del dispositivo che confronta il gruppo di bit meno
significativo sugli ingressi di espansione del dispositivo
che confronta il gruppo di bit immediatamente più significativo.
Un altro modo per ottenere un comparatore più capace, otre che più veloce, è quello riportato nello schema
di figura F4.17 dove le uscite ya>b e ya<b degli integrati
più a monte sono utilizzate come ingressi Ak e Bk del
comparatore più a valle. Si può così ottenere un comparatore di numeri da 25 bit con un ritardo nella risposta
molto ridotto rispetto a quello di un corrispondente comparatore realizzato con integrati collegati in cascata.
L’integrato 74HCT688
L’integrato 74HCT688, figura F4.18 b, è un comparatore di numeri di 8– bit dotato solo di un abilitatore
G e una sola uscita YA = B entrambi attivi al livello logico basso.
423
F4 • Circuiti combinatori integrati di base
Il suo schema interno presenta due gruppi di 4 XOR che confrontano bit a bit rispettivamente i bit A7..A4 con i bit B7..B4 e A3..A0 con B3..B0; le uscite di ciascun gruppo
vanno in una OR costruita con due NOR a 4 ingressi e una NAND a tre ingressi, uno
dei quali è abilitato da G. Se il dispositivo è disabilitato o se in una o più coppie AiBi i
bit sono diversi, la loro XOR dà 1 e la OR dà un 1 in uscita. Se il dispositivo è abilitato
e in ciascuna coppia AiBi i bit sono uguali, l’uscita del dispositivo dà 0.
A=B0
A<B0
A>B0
19
Vcc
B3
B2
B1
B0
A3
A2
A1
A0
A<Bi
A=Bi
A>Bi
GND
Vcc
Q7
Q6
Q5
Q4
Q3
A2
A1
A0
P7
P6
P5
P4
P3
P2
P1
P0
G
GND
1
14
11
9
15
13
12
10
2
3
4
8
20
18
16
14
12
9
7
5
3
17
15
13
11
8
6
4
2
1
10
74LS688
16
74LS85
Figura F4.18
Circuiti comparatori
integrati:
a) 74LS85;
b) 74LS88.
P=Q
b)
6
7
5
a)
Espansione
Utilizzando due comparatori 74688 si collega l’uscita di uno sull’abilitatore dell’altro.
Si ottiene un comparatore di numeri di 16 bit: quello più a monte abilita il secondo se
è a sua volta abilitato e se i codici sui suoi ingressi sono uguali; il secondo integrato dà
in uscita uno zero se anche i suoi codici in entrata sono uguali.
La cosa può ripetersi abilitando il primo integrato con l’uscita di un altro comparatore ancora più a monte e così via. In alternativa, e se si devono usare più di due comparatori, conviene realizzare la OR delle loro uscite.
F4.7 Sommatori e generatori di riporto
Full adder
Si consideri l’operazione di addizione di due numeri binari, a e b, di n cifre. Si comincia dalle cifre meno significative: A0 + B0 = S0 con riporto C1, si continua con A1 + B1+
+ C1 = S1 con riporto C2, e così di seguito (figura F4.19).
Le operazioni si ripetono con le stesse regole partendo dalla cifra meno significativa. Per esempio alla somma delle cifre di posto 2, A2 + B2, va aggiunto il riporto C2 ottenuto dalla somma delle cifre di posto 1; il risultato dà un bit di somma, S2, e un bit di
riporto, C3. Il numero di due bit C3S2 è proprio il risultato dell’addizione A2 + B2 + C2.
La tabella F4.6 definisce le funzioni di riporto e di somma delle cifre di un generico
posto k ricavate semplicemente dalla somma dei bit in ingresso. Per esempio nell’ultima riga si ha Ak + Bk + Ck = 11b, dunque Ck + 1 = 1 e Sk = 1. Il circuito che esegue queste funzioni è un full adder.
Ck
Bk
Ak
Ck+1
Sk
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
Tabella F4.6
Funzioni
di un full adder.
Figura F4.19
Operazione di
addizione
con 4 cifre.
C3
A3
B3
C2
A2
B2
C1
A1
B1
A0 +
B0 =
C4 S3
S2
S1
S0
Ck+1
Ak
Bk
Ck
Figura F4.20
Circuito logico di un full adder.
Sk
Modulo F • Circuiti logici combinatori
424
Le forme algebriche per le due funzioni si ricavano direttamente dalla tabella considerando separatamente e poi sommandoli i casi con Ck = 0 e Ck = 1:
–
–
Ck+1 = Ck · AkBk + Ck · [(AkBk) + (Ak + Bk)] = Ck ·AkBk + Ck ·AkBk + Ck · (Ak + Bk)
–
Sk = Ck · (Ak + Bk) + Ck · (Ak + Bk)
Si ottengono così le due espressioni:
Ck + 1 = Ak · Bk + Ck · (Ak
+ Bk)
[F4.1]
Sk = Ck + Ak + Bk
[F4.2]
e il corrispondente circuito di figura F4.20.
In esso si riconoscono due moduli identici contenenti una XOR e una AND le cui
funzioni sono quelle di un sommatore senza riporto in entrata, detto half adder.
Ripple adder
Con più full adder si possono realizzare sommatori di numeri con più bit. Con lo
schema di figura F4.21 si ottiene un sommatore di due numeri, ciascuno di 4 bit.
Ciascun full adder passa il suo riporto uscente al full adder immediatamente più significativo. Il nome ripple adder di questo sommatore discende dall’andamento ondeggiante del collegamento tra i riporti.
In un ripple adder il giusto risultato è però disponibile solo dopo che il riporto del
primo elemento abbia avuto effetto sul secondo, e poi sul terzo e così via, perciò col
crescere del numero di bit il ritardo diviene inaccettabile.
Figura F4.21
Ripple adder.
A3 B3 C3
C4
S3
A2 B2 C2
C3
A1 B1 C1
S2
C2
S1
A0 B0 C0
C1
S0
Sottrazione
Un sommatore opera correttamente anche su numeri in complemento a due. Se perciò si
vuole effettuare l’operazione A – B tra due numeri in codice binario occorre rappresentare – B nel suo codice complemento a due, poi si pongono A e – B sui rispettivi ingressi
del sommatore. In figura F4.22 mediante le XOR si ottiene il complemento a 1 di B e
lo stesso 1 che controlla le XOR si utilizza come riporto entrante sul sommatore, il che
equivale ad aggiungere 1 al numero B 3 B 2 B1 B 0 , ottenendo così il codice in complemento a due di – B.
Figura F4.22
Schemi di circuiti
sottrattori in
complemento a due:
a) sottrattore a 4 bit;
b) sommatoresottrattore.
A 3 A2 A 1 A 0 B 3 B 2 B1 B 0
CO
Sommatore
a)
S3 S2 S1 S0
A3 A2 A1 A0 B3 B2 B1 B0
CI=1
CO
Sommatore
b)
S3 S 2 S 1 S 0
CI
F4 • Circuiti combinatori integrati di base
Generatore e propagatore di riporto
L’espressione algebrica [F4.1] suggerisce che il riporto in uscita si genera quando Ak e Bk
valgono entrambi 1, oppure si ottiene per propagazione del riporto di ingresso se Ak + Bk
vale 1. Per questo motivo le due uscite di un half adder Gk = Ak · Bk e Pk = Ak + Bk sono
detti generatore e propagatore di riporto. L’espressione del riporto in uscita diviene:
con:
Ck + 1 = Gk + Pk · Ck,
[F4.3]
Gk = Ak · Bk e Pk = Ak + Bk
[F4.4]
Queste funzioni si utilizzano nei circuiti di calcolo anticipato del riporto per sommatori di numeri binari con più cifre.
Look ahead carry
Se si utilizza più volte la relazione [F4.3], per ciascun riporto si può ottenere un’espressione di due soli livelli di propagazione. I circuiti che realizzano queste espressioni calcolano simultaneamente i vari riporti da passare agli ingressi dei full adder che
perciò vedono in anticipo il riporto da utilizzare e danno ciascuno autonomamente il
proprio risultato.
Si applica dunque la relazione Ck + 1 = Gk + Pk · Ck al calcolo di C1, poi di C2, C3, e
così via:
C1 = G0 + P0C0;
C2 = G1 + P1C1 = G1 + P1(G0 + P0C0) = G1 + P1G0 + P1P0C0;
C3 = G2 + P2C2 = G2 + P2( G1 + P1G0 + P1P0C0) = G2 + P2G1 + P2P1G0 + P2P1P0C0;
C4 = G3 + P3C3 = G3 + P3( G2 + P2G1 + P2P1G0 + P2P1P0C0 ) =
= G3 + P3G2 + P3P2G1 + P3P2P1G0 + P3P2P1P0C0.
Si vede che l’espressione finale per ciascun riporto di indice k + 1 si può costruire
meccanicamente a partire dal generatore e dal propagatore di riporto di indice k: si inizia con Gk + PkGk-1, si aggiungono via via prodotti con un propagatore in più e con un
generatore di indici sempre più bassi; l’ultimo termine è un prodotto di tutti i propagatori per C0:
Ck + 1 = Gk + PkGk-1 + PkPk-1Gk-2 + PkPk-1Pk-2Gk-3 + …
+ PkPk-1...P1G0 + PkPk-1...P1P0C0
[F4.5]
Più in generale, se si indica Cn come riporto entrante in un generico sommatore veloce, i riporti successivi saranno Cn + 1, Cn + 2,... , Cn + x.
Per un sommatore a 4 bit con riporto in ingresso Cn si possono definire un generatore
e un propagatore di riporto di gruppo:
g = G3 + P3G2 + P3P2G1 + P3P2P1G0 e p = P3P2P1P0
per poi scrivere in modo più semplice l’espressione del riporto in uscita:
Cn + 4 = g + pCn
Il discorso si può estendere al caso di un sommatore di numeri di x bit e la relazione
diviene:
Cn + x = g + pCn
[F4.6]
Sommatori con look ahead carry
All’interno di un sommatore con look ahead carry ciascun modulo di somma tra due bit
produce il proprio generatore e il proprio propagatore di riporto che sono gli ingressi per
il generatore di riporto anticipato, e da questo riceve il proprio riporto in entrata.
425
Modulo F • Circuiti logici combinatori
426
Integrato 74xx283
Il 74xx283 è un sommatore da 4 bit con look ahead carry. La figura F4.23 ne riporta
la piedinatura.
Espansione
Utilizzando due integrati 74283 si collega l’uscita di riporto del meno significativo all’ingresso del più significativo. Si ottiene così un sommatore di numeri di 8 bit. Il collegamento tra gli integrati è di tipo ripple.
Figura F4.23
Integrato 74283.
Figura F4.24
Integrato xx182.
74LS283
5
3
14
12
A1
A2
A3
A4
6
2
15
11
B1
B2
B3
B4
7
C0
S1
S2
S3
S4
4
1
13
10
C4
9
Vcc=16; GND=8
40182
3
3
14
5
G0
G1
G2
G3
4
2
15
6
P0
P1
P2
P3
13
Cn
CN+X
CN+Y
CN+Z
12
11
9
P
G
7
10
Vcc=16; GND=8
Integrati 40182 e 74xx182
Gli integrati 40182 e 74xx182 sono generatori di riporto anticipato: il primo in tecnologia CMOS e il secondo in tecnologia TTL. Essi hanno la stessa piedinatura riportata in
figura F4.24 e circuiti logici praticamente uguali. Gli ingressi sono un riporto
– iniziale
– –
C
,
e
4
coppie
di
generatori
e
propagatori
di
riporto
attivi
al
livello
basso
G
0, P0, G1
–n – – – –
P–1, G2, P2, G3, P3. Le uscite sono
– i riporti Cn + x, Cn + y, Cn + z, un generatore di riporto
G e un propagatore di riporto P anch’essi attivi al livello basso.
Per comprendere l’utilità di questi circuiti si supponga di disporre di 4 integrati
sommatori veloci rispettivamente di x, y, z e w bit che abbiano come uscite anche il generatore e il propagatore del riporto più significativi si supponga di voler realizzare con
essi un sommatore con un maggior numero di bit senza i ritardi dovuti all’espansione
di tipo ripple. Si utilizza allora un xx182: si collega l’ingresso Cn del sommatore meno
significativo con l’ingresso CN del generatore di riporto e si riportano ordinatamente le
uscite g– e p– dei quattro sommatori sui corrispondenti ingressi del generatore di riporto.
Questo– produce
i riporti Cn + x, Cn + y, Cn + z per i tre sommatori più significativi e le fun–
zioni G e P da utilizzare per una ulteriore espansione.
In effetti Cn + x è il riporto calcolato in base a Cn e al generatore g e al propagatore
di riporto p, del primo e meno significatico sommatore, è dunque il risultato di riporto
della somma dei primi x bit e va passato all’ingresso del secondo sommatore, e così di
seguito per Cn + y e Cn + z.
La figura F4.25 mostra i collegamenti di 4 sommatori veloci di 4 bit con il generatore esterno di riporto. Ciascun sommatore provvede alla propagazione veloce del riporto al suo interno, mentre il circuito esterno di look ahead carry provvede alla propagazione veloce dei riporti tra i sommatori.
Le uscite P e G servono per ulteriori espansioni. Si pensi a 4 gruppi, ciascuno costruito con un circuito come quello di figura F4.25, e ad un ulteriore integrato xx182
utilizzato per calcolare il riporto d’ingresso per ciascun gruppo, figura F4.26. Esso riceve lo stesso ingresso C0 del primo gruppo e i valori di P e G da ciascun gruppo, e
passa i valori di Cn + x, Cn + y e Cn + z ai tre gruppi più significativi.
427
F4 • Circuiti combinatori integrati di base
S15-12 A15-12 B15-12
g
P
G
p
S11-8 A15-8 B15-8
C12
p3 g3
g
Cn+12
p
S7-3 A7-3 B7-3
C8
g
Cn+8
p2 g2
S3-0 A3-0 B3-0
C4
p
p1 g1
g
Cn+4
p
Figura F4.25
Espansione
di sommatori
con generatore
di riporto anticipato
esterno.
C0
p0 g0
Cn
Figura F4.26
Sommatore a 64 bit,
realizzato con
gli integrati 74181
e 74182.
In alternativa si può realizzare un’espansione di tipo ripple in cui il riporto uscente
da ciascun gruppo è posto sull’ingresso di riporto del gruppo immediatamente più significativo.
74181
74181
74181
74181
74181
74181
74181
74181
74181
74181
74181
74181
Cn
P G
Cn
P G
Cn
P G
Cn
P G
Cn
P G
Cn
P G
Cn
P G
Cn
P G
Cn
P G
Cn
P G
Cn
P G
Cn
P G
P 3 G3
P G
Cn+z P2 G2
Cn+y P1 G1
74182
Cn+x P0 G0
Cn
P3 G3
Cn+z P3 G3
P G
13
P3 G3
Cn+z
P 3 G3
Cn+z P3 G3
Cn
74182
74182
12
11
Cn+z P2 G2
Cn+y P1 G1
74182
P 3 G3
Cn+z P2 G2
P G
Cn+y P1 G1
74182
Cn+x P0 G0
Cn
14
F4.8 Unità Aritmetico Logica (ALU) / Generatore
di Funzioni
Le 16 funzioni definibili tra due variabili binarie si possono applicare bit a bit su due
parole a e b aventi lo stesso numero di bit. Per esempio se a e b sono dati di 8 bit, a · b
significa A7 · B7, A6 · B6, ..., A0 · B0.
Con le conoscenze fin qui acquisite si può concepire un dispositivo dotato di selettori
che opera su due parole della stessa lunghezza in base alle funzioni selezionate.Una
unità aritmetico logica (ALU) è un circuito che oltre alle 16 funzioni logiche esegue
alcune operazioni di calcolo aritmetico disponendo dei necessari sommatori, di un ulteriore ingresso di riporto dei necessari selettori per scegliere la funzione che si vuole sia
eseguita.
Gli integrati 74181 e 40181
Gli integrati 74181 e 40181 sono unità aritmetico logiche / generatori di funzioni. Essi
operano su due parole da 4 bit di ingresso, A3A2A1A0 e B3B2B1B0 e sul riporto Cn. Le operazioni logiche vengono eseguite bit a bit, cioè tra A3 e B3, A2 e B2 ecc.; le operazioni aritmetiche sono invece eseguite sulle due parole da 4 bit calcolando anche i riporti.
– La
– figura F4.27 riporta la piedinatura identica nei due integrati. Si notino le uscite
P e G per l’espansione con generatore di riporto esterno. Il dispositivo ha cinque ingressi di selezione: con l’ingresso M si seleziona il tipo di funzione da eseguire, logica
se M = H, o aritmetica se M = L; con i selettori S3, S2, S1, S0, si sceglie la particolare
funzione/operazione aritmetica.
10
Cn+x P0 G0
Cn
Co
Modulo F • Circuiti logici combinatori
428
La tabella F4.7 riporta le funzioni corrispondenti a ciascuna selezione. In essa dati
e uscite non di riporto sono considerati attivi al livello alto mentre i riporti in entrata e
in uscita sono attivi al livello basso. Le operazioni logiche sono indicate con i segni
consueti (il + indica OR, i segni ·, AND, sono sottintesi). Il segno ‘–’ indica sottrazione
in complemento a due, e ‘più’ indica l’operazione di addizione. Per esempio, con MS3S2
S1S0 = 00000 l’operazione scelta è AplusC
– n, e se Cn = 0 c’è riporto in entrata e il risultato è Aplus1. A – B si ottiene come A + B + Cn, ciò richiede che Cn sia attivo.
Questi integrati dispongono anche di un’uscita UA = B ricavata come AND open-collector delle uscite che segnala con un 1 l’uguaglianza delle due parole in ingresso.
Questa funzione va usata selezionando l’operazione aritmetica AminusB con un riporto
in ingresso Cn = 1 (non attivo) così se A = B si ottiene F3F2F1F0 = 1111.
Per lo stesso circuito è data anche una seconda tabella valida quando siano considerati come attivi al livello basso i dati e le uscite, e attivi al livello alto i riporti. Per
questa seconda tabella si rimanda al data sheet del dispositivo.
Dati attivi alti
74LS181
8
3
4
5
6
7
M
S3
S2
S1
S0
CN
18
20
22
1
B3
B2
B1
B0
19
21
23
2
A3
A2
A1
A0
P
G
15
17
S3 S2
16
14
L
L
L
L
CN+4
A=B
L
L
L
H
L
L
H
L
L
L
H
H
L
H
L
L
L
H
L
H
L
H
H
L
F3
F2
F1
F0
13
11
10
9
Vcc=24; GND=12
Figura F4.27
Piedinatura degli integrati 74181 e 40181.
M=L
Funzioni Aritmetiche
M=H
Funzioni Logiche
S1
S0
–
A
––––
A+B
–
AB
0
––
AB
–
B
A +B
–
AB
–
A+B
–––––
A +B
Cn = H
Cn = L
A
A più 1
A+B
–
A+B
(A + B) più 1
–
(A + B ) più 1
–1
–
A più AB
–
(A + B) più AB
0
–
A più AB più 1
–
(A + B) più AB più 1
A–B–1
–
AB – 1
A-B
–
AB
A più AB
A più AB più 1
A più B
–
(A + B ) più AB
A più B più 1
–
(A + B ) più AB più 1
L
H
H
H
H
L
L
L
H
L
L
H
H
L
H
L
B
H
L
H
H
AB
AB – 1
AB
H
H
L
L
A più A più 1
H
H
L
H
1
–
A+B
A più A
H
H
H
L
A+B
(A + B) più A
–
(A + B ) più A
(A + B) più A più 1
–
(A + B ) più A più 1
H
H
H
H
A
A–1
A
Tabella F4.7 Funzioni della ALU 74181.
Esercizi di verifica
Esercizio 1
Scrivere l’equazione della funzione d’uscita di uno dei circuiti dell’integrato 74253 quando è abilitato.
Esercizio 2
Scrivere l’equazione della funzione realizzata con il circuito di figura F4.2 quando è abilitato.
Esercizio 3
–
Scrivere l’equazione dell’uscita Y (E , S, I1, I0) di un MUX 1 of 2.
Esercizio 4
Utilizzando integrati 74157 realizzare un dispositivo in grado di selezionare una di due sorgenti di dato, ciascuna
di 8 bit.
Esercizio 5
Scrivere l’equazione della funzione Y3 di figura F4.5.
Esercizio 6
Scrivere le equazioni delle uscite di un decoder 74138.
Esercizio 7
Utilizzando un integrato 74139 e un 7410 realizzare la funzione f(B2, B1, B0) = ∑(0, 3, 5, 6). (Si utilizza il primo
integrato per ottenere un decoder 3-to-8. Esso fornisce tutti i minterm negati necessari, … si applica il teorema
di De Morgan).
Esercizio 8
Mediante 3 integrati 74139 realizzare un decoder 4-to-16 (una sezione di un integrato va usata per controllare
gli abilitatori degli altri 2 integrati).
Esercizio 9
Mediante 2 integrati 74139 e le necessarie porte logiche realizzare un decoder 4-to-16.
Esercizio 10
Mediante un solo integrato 74138 e le necessarie porte logiche realizzare le funzioni ya = ∑(0, 3, 5, 6),
yb = ∑(1, 2, 4, 7), yc = ∑(3, 5, 6, 7).
Esercizio 11
Proporre uno schema logico per un decoder 4 to 16.
429
Esercitazioni
F4 • Circuiti combinatori integrati di base
Modulo F • Circuiti logici combinatori
430
Esercitazioni
Esercizio 12
Utilizzare due encoder 4532 per ottenere un encoder con priorità di 16 ingressi.
Esercizio 13
Produrre lo schema del circuito logico del codificatore con priorità con 4 ingressi.
Esercizio 14
Mediante porte logiche trasformare un encoder con priorità con 4 ingressi in un encoder a 6 ingressi.
Esercizio 15
Da un priority encoder con 8 ingressi ottenerne uno a 10 ingressi.
Esercizio 16
Progettare le funzioni a...g del decoder interno all’integrato 9368 (figura F4.12).
Esercizio 17
Produrre la tabella della verità di un verificatore di parità per parole di 3 bit, ed esprimere poi la forma algebrica della funzione d come somma dei suoi minterm.
Esercizio 18
Verificare il funzionamento di un generatore di parità realizzato con tre integrati 74280 se si portano le uscite dei
primi due su altrettanti ingressi del terzo.
Esercizio 19
Utilizzare due integrati 7485 per ottenere un comparatore di due numeri binari di 8 bit.
Esercizio 20
Utilizzare due integrati 7486 e appositi integrati NOR e NAND per realizzare lo schema equivalente di un comparatore 74688.
Esercizio 21
Mediante un integrato 74688 realizzare un dispositivo in grado di riconoscere il codice di 8 bit 7BH.
Esercizio 22
Realizzare un comparatore di numeri di 12 bit mediante tre integrati 7485.
Esercizio 23
Mediante tre integrati 74688 realizzare un comparatore di codici a 24 bit.
F4 • Circuiti combinatori integrati di base
431
Mediante un doppio multiplexer 1 of 2 e altre porte logiche realizzare un full adder (si utilizzi l’ingresso di riporto come selettore).
Esercizio 25
Realizzare un sommatore di numeri di 4 bit mediante 4 full adder.
Esercizio 26
Utilizzare due integrati 74283 per ottenere un sommatore di numeri da 8 bit ciascuno.
Esercizio 27
Proporre uno schema per la visualizzazione mediante 7-segmenti dei codici in entrata e in uscita di un sommatore di numeri di 8 bit.
Esercizio 28
Utilizzare l’integrato 74182 e 4 full adder (con le rispettive funzioni intermedie P e G) per ottenere un addizionatore a 4 bit con look ahead carry.
Esercizio 29
Realizzare un circuito che effettua somme in complemento a due su numeri di 4 bit e segnala l’eventuale errore
di overflow.
Esercizio 30
Utilizzare 2 ALU 74181 e altrettanti integrati 74182 per realizzare una ALU che operi su parole di 8 bit.
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Spiegare l’utilità degli abilitatori di un multiplexer integrato ai fini dell’espansione.
2. Utilizzare più mux con 2 ingressi e senza abilitatori per ottenere un mux con 4 ingressi.
3. Spiegare perché un decoder con abilitatore funziona anche da demultiplexer.
4. Descrivere in quali modi si può effettuare l’espansione di un decoder.
5. Spiegare la particolare funzione dei transmission gate nella realizzazione di un mux/demux a canali analogici.
6. Spiegare le funzioni dei segnali GS e E0 in un codificatore con priorità.
7. Descrivere un display con 7 segmenti a LED.
8. Descrivere un display con 7 segmenti a LCD.
9. Descrivere le funzioni LT, RBI, BI/RBO di un decoder per display con 7 segmenti a LED.
10. Produrre e descrivere uno schema in cui si applicano le funzioni RBI e RBO.
11. Descrivere la funzione del segnale ph in un decoder da BCD a 7 segmenti per LCD e spiegare perché questo
tipo di decoder si può applicare anche a display a LED.
12. Spiegare i due principali modi in cui si può espandere un comparatore come l’integrato 7485.
Esercitazioni
Esercizio 24
Esercitazioni
432
Modulo F • Circuiti logici combinatori
13. Descrivere come si può utilizzare un comparatore 74688 come riconoscitore di un codice di più di 8 bit come
per esempio il numero A78H.
14. Descrivere le funzioni di un full adder.
15. Descrivere un sommatore di numeri di 8 bit realizzato con altrettanti full adder e spiegare i limiti di questo
tipo di soluzione.
16. Dire quale funzione ha il circuito di calcolo anticipato di riporto all’interno di un sommatore come il circuito
integrato 74283.
17. Descrivere gli ingressi e le uscite che deve avere un generatore di riporto anticipato e dire con quali tipi di
sommatore è utilizzabile.
18. Descrivere ingressi e uscite di una ALU come la 74281 indicandone le funzionalità e l’uso.
Quesiti a scelta multipla
Scegliere la risposta corretta tra quelle proposte.
1. I multiplexer all’interno di un integrato:
a si possono utilizzare tutti, l’uno indipendentemente dall’altro.
b dispongono di abilitatori che ne consentono l’espansione.
c dispongono sempre di abilitatori separati ma condividono i selettori.
d condividono gli abilitatori e i selettori.
2. Con un doppio multiplexer ‘1 di 4’ 74253:
a se ne può fare uno ‘1 di 8’ sfruttando i due abilitatori separati a patto di mettere in OR le uscite Y.
b se ne può fare uno ‘1 di 8’ sfruttando i due abilitatori separati e collegando insieme le uscite Y.
c se ne può fare uno ‘1 di 8’ sfruttando i due abilitatori separati e collegando insieme le uscite Y dato che sono
di tipo open collector.
d se ne può fare uno ‘1 di 8’ utilizzando una OR per controllare i due abilitatori separati.
3. Per realizzare un dispositivo che, mediante dip-switch consenta di scegliere una tra le 256 funzioni di 3
variabili che può fornire, si utilizzano un integrato 74139, una NOT, una NAND con 8 ingressi e un dipswitch con 8 interruttori collegati nel seguente modo:
a la NOT tra i due abilitatori, i selettori con la stessa sigla insieme, gli switch tra le uscite dei decoder e gli ingressi della NAND, pull-up sugli ingressi della NAND.
b la NOT tra i due abilitatori, gli switch tra le uscite dei decoder e gli ingressi della NAND, pull-up sugli ingressi della NAND.
c i due abilitatori insieme controllati dalla NOT, i selettori con la stessa sigla insieme, gli switch tra le uscite
dei decoder e gli ingressi della NAND, pull-up sugli ingressi della NAND.
d la NOT tra i due abilitatori, i selettori con la stessa sigla insieme, gli switch tra le uscite dei decoder e gli ingressi della NAND.
4. L’abilitatore di un decoder consente di distinguere se il codice ai suoi ingressi è intenzionale o fortuito:
a perché tutte le uscite del decoder si attivano solo se esso è abilitato.
b perché il decoder attiva l’uscita corrispondente al codice entrante solo se è abilitato, altrimenti nessuna delle
sue uscite viene attivata.
c perché il valore dell’abilitatore segnala a chi osserva le uscite se il codice entrante è inserito volutamente.
d perché il decoder attiva solo l’uscita corrispondente al codice entrante.
5. In un codificatore con priorità:
a il segnale GS indica la presenza di almeno un ingresso attivo e serve ad attivare o disattivare eventuali codificatori con priorità maggiore.
b il segnale GS indica la presenza di almeno un ingresso attivo mentre il segnale E passa a eventuali codificao
tori con priorità minore il valore dell’ingresso Ei.
c il segnale GS indica la presenza di almeno un ingresso attivo mentre il segnale E serve ad attivare o disattio
vare un eventuale codificatore con priorità minore.
d il segnale GS indica la presenza di almeno un ingresso attivo mentre il segnale E serve ad attivare o disattio
vare eventuali codificatori con priorità maggiore.
6. Un decoder da BCD-7 segmenti per LED a catodo comune:
a porta tutte le sue uscite al livello basso quando il codice entrante vale 8.
b porta al livello alto le uscite a, b, c, g se sugli ingressi c’è il codice 0111.
c porta tutte le sue uscite a...g e RBO al livello basso quando RBI = 0 e il codice entrante è 0.
d porta tutte le sue uscite al livello alto quando il codice entrante vale 8.
7. In un decoder da BCD-7 segmenti per LCD:
a il segnale ph va al back-plane e alle XOR che controllano i segnali a...g da mandare a ciascun segmento;
quelli di questi segnali che valgono 1 fanno sì che ai corrispondenti segmenti dell’LCD giunga la negazione
di ph.
b il segnale ph va al back-plane e alle XOR che controllano i segnali a...g da mandare a ciascun segmento;
quelli di questi segnali che valgono 1 fanno sì che ai corrispondenti segmenti dell’LCD giunga lo stesso segnale ph.
c il segnale ph va a ciascun segmento e alle XOR che controllano i segnali a...g da mandare a ciascun segmento; quelli di questi segnali che valgono 1 fanno sì che ai corrispondenti segmenti dell’ LCD giunga la negazione di ph.
d il segnale ph va alle XOR che controllano i segnali a..g da mandare a ciascun segmento; quelli di questi segnali che valgono 0 fanno sì che ai corrispondenti segmenti dell’LCD giunga la negazione di ph.
8. Un verificatore di parità utilizza:
a la funzione XOR la quale dà un 1 in uscita se il numero di 1 ai suoi ingressi è pari.
b la funzione XOR la quale dà un 1 in uscita se il numero di 1 ai suoi ingressi è dispari.
c tre XOR le quali danno un 1 in uscita se il numero di 1 ai loro ingressi è dispari.
d la proprietà associativa della funzione XOR che dà uno 0 in uscita se il numero di 1 ai suoi ingressi è dispari.
9. Un comparatore è concepito sulla base del seguente ragionamento:
a tra due numeri il maggiore è quello che ha i digit più significativi più grandi.
b tra due numeri il maggiore è quello che ha il primo digit meno significativo maggiore.
c tra due numeri il maggiore è quello che ha il primo digit più significativo maggiore.
d tra due numeri il maggiore è quello che ha il primo digit più significativo minore.
433
Esercitazioni
F4 • Circuiti combinatori integrati di base
Modulo F • Circuiti logici combinatori
Esercitazioni
434
10. Utilizzando due integrati 7485, per raddoppiare il numero di bit dei numeri da confrontare:
a si innestano le uscite dell’integrato più significativo sugli ingressi di espansione di quello meno significativo.
b si mettono in AND le uscite y
A = B; si abilitano con l’uscita yA = B del più significativo i segnali yA>B e yA<B del
meno significativo e li si mettono in OR con gli omologhi del più significativo.
c si mettono in AND le uscite y
A = B; si abilitano con l’uscita yA = B del più significativo i segnali yA>B e yA<B del
meno significativo e li si mettono in OR con gli omologhi del più significativo; si configurano con 001 gli ingressi di espansione IA>B, IA<B , IA = B dei due integrati.
d si innestano le uscite dell’integrato meno significativo sugli ingressi di espansione di quello più significativo.
11. Un full adder con ingressi A, B, Cn esegue la somma con riporto in ingresso di numeri di 1 bit dando in
uscita:
a C
= P + G • C , S = A + B + C , dove P = AB e G = A + B
n+1
n
n
b C
n + x = AB + (A + B)Cn, S = A + B + Cn.
c C
= G + P • C , S = A + B + C , dove P = A
n+1
n
d C
•
n + 1 = P + G Cn, S = A
n
+ B e G = AB
+ B + Cn, dove P = AB e G = A + B
12. In un full adder veloce 74283:
a i riporti sono calcolati tutti insieme da un circuito logico look ahead carry in base ai generatori e ai propagatori di riporto.
b i riporti sono calcolati tutti insieme da un circuito logico look ahead carry in base ai generatori, ai propagatori di riporto e al riporto in entrata.
c i riporti sono calcolati mediante i generatori, i propagatori di riporto e i riporti delle somme dei bit meno significativi.
d i riporti sono calcolati mediante i generatori di riporto anticipato.
13. Un circuito esterno di look ahead carry:
a calcola gli ingressi di riporto per ciascun blocco di somma più significativo in base al riporto iniziale entrante
nel primo circuito sommatore meno significativo e ai generatori e propagatori di riporto uscenti da ciascun
sommatore.
b calcola gli ingressi di riporto per ciascun blocco di somma più significativo in base al riporto iniziale entrante
nel circuito sommatore meno significativo e ai generatori e propagatori di riporto interni a ciascun sommatore.
c calcola i generatori e propagatori di riporto per ciascun blocco di somma in base anche al riporto iniziale entrante nel primo circuito sommatore.
d calcola i riporti finali per ciascun blocco di somma in base al riporto iniziale entrante anche nel primo circuito
sommatore e ai generatori e propagatori di riporto interni a ciascun sommatore.
Attività di laboratorio
proposte
In questa sezione alcune esperienze sono dedicate alla verifica di proprietà algebriche, di
porte logiche, di circuiti integrati precedentemente presentati. Altre ripropongono le applicazioni di MUX e decoder e i metodi di espansione di alcuni integrati di più frequente uso.
F5.1 Leggi di identità e annullamento,
concetto di abilitazione
La figura F5.1 mostra lo schema del circuito da realizzare. L’ingresso E fa da abilitatore.
Nella prima fase si può osservare che con E = 1 il LED resta spento qualunque cosa si
faccia sull’ingresso A della OR, mentre con E = 0 il LED risponde alle variazioni dell’ingresso A imposte tramite un cavetto con cui lo si collega e scollega con GND.
+VCC
R1
1k
R2
1k
R3
330
Figura F5.1
Schema
per verificare
l’abilitazione
di una porta logica.
LED
2
A
2
E
1
3
74LS32
y
SW1
1
GND
a)
b
c)
Figura F5.2 a, b, c
Tracce sull’oscilloscopio:
a) ingresso;
b) y con E = 0;
c ) y con E = 1.
F5
435
Modulo F • Circuiti logici combinatori
436
Si può poi ricorrere a un generatore di onda quadra e ad un oscilloscopio:
l
predisporre il generatore di segnali per emettere un segnale a onde quadre di
ampiezza 5 V e frequenza 100 kHz e collegarne l’uscita al canale A dell’oscilloscopio e all’ingresso A della OR;
collegare l’ uscita y della OR al canale B dell’oscilloscopio;
predisporre la base dei tempi dell’oscilloscopio su 1 μs per divisione.
l
l
Infine, acceso il generatore di segnali, registrare sullo schema di figura F5.2 quanto
visto sullo schermo dell’oscilloscopio quando si pone E = 0 e quando si pone E = 1.
F5.2 Legge dei complementi, alea statica
La figura F5.3 mostra lo schema del circuito da realizzare.
Per rendere agevole l’osservazione si inseriscono 5 porte NOT in modo che il ri–
tardo tra i segnali A e A sia 5 volte quello di una singola porta NOT.
Se si usano semplici TTL il ritardo di propagazione per ciascuna porta è dell’ordine
di 10 ns e il ritardo complessivo è di circa 50 ns.
Si utilizzano un generatore di onda quadra e un oscilloscopio:
l
predisporre il generatore di segnali su una frequenza di 1 MHz e collegarne l’uscita
al canale A dell’oscilloscopio e all’ingresso A del circuito;
collegare l’uscita y della AND al canale B dell’oscilloscopio;
predisporre la base dei tempi dell’oscilloscopio su 0.1 μs per divisione.
l
l
VCC
Figura F5.3
Circuito
per l’osservazione
dell’alea statica.
R1
10k
1
A
2
A
11
7404
3
9
5
1
2
8
A
7404
4
7404
10
Y=A·A
3
7408
6
7404
Registrare sullo schema di figura F5.4 quanto visto sullo schermo dell’oscilloscopio e valutare il ritardo di propagazione di una singola porta NOT.
a)
b)
Figura F5.4 a, b
Tracce
sull’oscilloscopio:
a) ingresso;
b) uscita y.
F5 • Attività di laboratorio proposte
F5.3 Teorema di De Morgan
Gli schemi a) e b) di figura F5.5 realizzano le funzioni A ⋅ B e A + B .
Ricavare sperimentalmente e compilare le tabelle F5.1 e F5.2 della verità delle due funzioni. Commentare brevemente i risultati.
+VCC
+VCC
R1
1k
R2
1k
R3
330
1
A
2
B
2
LED
3
2
9
R1
1k
4
8
1
R3
330
5
A
6
5
4
6
11
Y
10
2
SW2
SW1
R2
1k
SW1
B 2
GND
1
Y
13 2
12
SW2
1
1
LED
3
1
GND
Figura F5.5
Schemi per la verifica del teorema di De Morgan.
A
B
Tabella F5.1
Tabella della
funzione
y = A ⋅B .
y
A
B
Tabella F5.2
Tabella della
funzione
y = A +B.
y
F5.4 Circuito logico di un MUX 1 of 4
Realizzare il circuito di figura F5.6 per poi verificarne il funzionamento. Dopo il cablaggio del circuito e la verifica delle sue varie parti, si stabilisce un valore per gli ingressi di selezione e si fanno variare uno per volta gli ingressi I per scoprire quale di
essi viene trasferito sull’uscita.
Registrare i risultati sulla tabella F5.3.
Tabella F5.3
Verifica
del circuito
di figura F5.6
S 1 S0
1
2
13
I3
U2A
12
S1 S0
74LS10
1
R1 10k
U1A
2
74LS04
3
4
5
I2
U2B
6
74LS10
9
R2 10k
U1D
74LS04
9
10
11
I1
R3 10k
R6
10k
R7
10k
1
2
4
5
I0
9
10
12
13
8
U2C
U3B
8
74LS20
8
U3A
6
74LS20
R4 10k
+VCC
Figura F5.6 Circuito logico di un mux 1 of 4.
R5 330
y
y
437
Modulo F • Circuiti logici combinatori
438
F5.5 Circuito generatore di funzione
mediante MUX 1 of 8
Mediante gli switch del circuito di figura F5.7 si impone la tabella della verità della
funzione y(S2, S1, S0): un interruttore per ciascun ingresso Di del MUX impone il valore della funzione, uno 0 se è chiuso e un 1 se è aperto. In tal modo ciascuna combinazione di valori S2, S1, S0 sui selettori del mux corrisponde in uscita al valore imposto
alla corrispondente linea d’ingresso del mux.
S 10k
5
GND
11
S0
9
10
GND
S1
7
E
S2
12
D7
13
D6
14
D5
15
D4
1
D3
2
D2
3
D1
4
D0
8
7
6
5
4
3
2
1
W
Y
+VCC
330
74151
9
10
11
12
13
14
15
16
R
10k
16
15
14
13
12
11
10
9
1
2
3
4
5
6
7
8
+VCC
6
y(S2, S1, S0)
Figura F5.7
Generatore di funzione y(S2, S1, S0) realizzato con multiplexer 1 of 8.
Lo schema proposto suggerisce il posizionamento dei vari componenti sulla bread
board.
Il mux va abilitato mediante un ponticello tra il pin 7 e massa.
I livelli logici per gli ingressi S2, S1, S0, inizialmente posti a 1 mediante resistori di
pull up, si impongono mediante ponticelli realizzati con fili rigidi.
Poiché il diodo LED è collegato all’uscita W, attiva al livello basso, esso si accende
quando y vale 1.
Verificare il funzionamento del circuito nella realizzazione delle funzioni yE7H,
yACH, y85H registrando i risultati sulle tabelle F5.4; in esse la prima colonna va compilata con la posizione di ciascuno switch (SW1 … SW8).
SW
S2 S1
S0
Y
SW
S2 S1
S0
Y
SW
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
SW chiusi = 0, aperti = 1
Funzione E7H
a)
b)
SW chiusi = 0
Funzione ACH
c)
S2 S1
S0
SW chiusi = 0
Funzione 85H
Tabelle F5.4 a, b, c Verifica delle funzioni realizzate col circuito di figura F5.7
Y
F5 • Attività di laboratorio proposte
F5.6 Decoder/demultiplexer digitale
Dopo aver montato il circuito di figura F5.8 lo studente osservi:
1. decoder: i valori delle uscite y corrispondenti alle varie combinazioni degli ingressi di selezione, a) quando il decoder non è abilitato, b) quando il decoder è abilitato;
2. demultiplexer: per ciascuna combinazione
– di valori degli ingressi di selezione,
su quale delle uscite è trasferito il valore di E che si fa variare azionando ripetutamente l’interruttore.
Le osservazioni vanno registrate sulle tabelle F5.5 e F5.6.
Trarre poi brevemente le opportune conclusioni.
+VCC
1
SW1
R
10k
2
R 330
74139
E
15
13
14
S1
S0
Y3
Y2
Y1
Y0
G
B
A
y3
9
10
y0
12
GND
–
E
S1
–
S0 y 3
– – –
y2 y1 y0
1
Tabella F5.5
Tabella
del decoder.
Figura F5.8
Circuito per
la verifica di un
decoder/demux.
11
S1
S0
– –
y3 y2
– –
y1 y0
Tabella F5.6
Tabella
del demux.
0
F5.7 Espansione di decoder
Dopo aver montato il circuito di figura F5.9 verificare il funzionamento e registrare le
osservazioni sulla tabella F5.7.
Spiegare in una breve relazione quanto osservato sul funzionamento del circuito.
+VCC
R 10 k
R 330
S2
1
1
G
3
2
B
A
Y3
Y2
Y1
Y0
7
6
5
4
S2
S1
–
S0 y 7
–
y6
– – – – – –
y5 y4 y3 y2 y1 y0
74LS04
2
74LS139
S1
R 330
15
S0
13
14
G
B
A
Y3
Y2
Y1
Y0
9 y7
10
11
12
y4
GND
Figura F5.9 Espansione di decoder.
Tabella F5.7
Tabella del circuito di figura F5.9.
439
Modulo F • Circuiti logici combinatori
F5.8 Comparatore digitale
Sul circuito di figura 5.10 esaminare il funzionamento dell’integrato 7485 quando sui
suoi ingressi B e A si impongono le coppie (B, A) di numeri: (F, E), (F, F), (A, B), (A, A):
a) con ingressi di espansione IA>B = L, IA<B = L,
IA = B = H.
b) con ingressi di espansione IA>B = H, IA<B = L,
IA = B = L.
c) con ingressi di espansione IA>B = L, IA<B = H, IA = B = L.
Registrare le osservazioni nella tabella F5.8 sotto predisposta e commentare brevemente i risultati.
+VCC
Figura F5.10
Circuito per la verifica del componente 7485.
R 10k
1
SW1 DIP-4
1
2
3
4
74LS85
8
7
6
5
1
14
11
9
15
13
12
10
SW2 DIP-4
1
2
3
4
8
7
6
5
B3
B2
B1
B0
D3
UA>B
UA=B
UA<B
A3
A2
A1
A0
5
6
7
D2
D1
R 330
IA>B
IA=B
IA<B
1
440
4 3
+VCC
2
R 10k
R 10k
GND
IA>B IA=B IA<B B A UA>B UA=B UA<B
L
H
L
H
L
L
L
L
H
Tabella F5.8
Verifica del comparartore 7485.
F5 • Attività di laboratorio proposte
F5.9 Espansione di un comparatore digitale
Realizzare l’espansione di figura F5.11 e verificare il funzionamento del circuito
quando si inseriscono ai suoi ingressi le coppie (B, A) di valori (0F, 1E), (1F, 1F), (1A,
0B), (0A, 0A). Registrare i risultati delle prove effettuate in tabella F5.9.
+VCC
R 10k
1
2
3
4
1
SW1 DIP-4
74LS85
8
7
6
5
UA>B
UA=B
UA<B
8
7
6
5
5
6
7
D2
D1
R 330
IA>B
IA=B
IA<B
1
D3
15
A3
13
A2
12
A1
10
A0
SW2 DIP-4
1
2
3
4
+VCC
1
B3
14
B2
11
B1
9
B0
4 3 2
1
1
B0
A0
SW1
SW2
2
R 10k
2
6
5
A 0>B0
A 0=B0
A0<B0
GND
R 10k
8
4
9
3
10
11
74LS02
13
1 12
2
Figura F5.11
Espansione di comparatore da 4 a 5 bit.
B A yA>B yA=B yA<B
0F 1E
Tabella F5.9
Verifica del circuito di figura F5.11.
NOTA: Il circuito comparatore da 1 bit realizzato con porte NOR va collaudato a
parte; lo si collegherà agli ingressi di espansione dell’integrato 7485 dopo averne verificato il buon funzionamento.
F5.10 Decoder per display 7 segmenti
Realizzare il circuito logico di figura F5.12. Esso utilizza due decoder per display con
7 segmenti a catodo comune. La piedinatura dell’integrato 9368 è compatibile con
quella degli integrati 7447, per anodo comune e 4748 per catodo comune, ma in questi
integrati l’ingresso LT sostituisce LE. Se al posto delle 9368 si usano questi integrati,
le loro uscite a...f vanno collegate ai rispettivi ingressi dei display attraverso resistori
da 330 Ω. I display qui usati sono a catodo comune.
441
Modulo F • Circuiti logici combinatori
L’assegnazione per i display a LED è in genere quella riportata in tabella F5.10
dove K/A sta per Catodo/Anodo e dp è il punto decimale.
In mancanza di documentazione è possibile verificare il display collegando due pin
per volta tra massa e Vcc attraverso una resistenza limitatrice di corrente.
Le due parti vanno montate e collaudate una alla volta.
Si verifichino successivamente le funzioni di RBI e RBO, e la funzione LE.
Lo studente riferisca brevemente sulle prove e le osservazioni effettuate.
pin
1
2
3
4
5
6
7
input e d K/A c dp b
8
9 10
a K/A f
g
Tabella F5.10 Piedinatura di un display 7-seg.
a
a
f
b
b
g
e
c
c
4
LE
Figura F5.12
Circuito per la verifica di decoder per 7 segmenti.
2
3
4
2
3
4
+VCC
1
SW1 DIP-4 SW2 DIP-4 1
1
R 10k
7
6
5
3
2
1
4
8
1
7
8
6
BI/RB0
9
15
14
F
G
E
12
13
11
10
C
D
B
A
RBI
9368
5
4
LE
3
2
1
1
7
BI/RB0
9
15
14
F
G
E
12
11
10
4
2
8
6
7
6
5
8
5
RBI
9368
1
GND
d
C
D
B
A
13
d
R 10k
k
e
2
GND
f
g
k
R 10k
442
GND
Modulo G
Circuiti logici
sequenziali
Obiettivi
Prerequisiti
Contenuti
• G1 Circuiti sequenziali di base: latch e flip-flop
• G2 Circuiti generatori di segnali impulsivi
• G3 Contatori e registri a scorrimento
• G4 Contatori e shift register integrati
• G5 Attività di laboratorio proposte
Esercitazioni
• Esercizi di verifica
• Test di verifica
444
Modulo G • Circuiti logici sequenziali
Obiettivi
Al termine di questo modulo gli alunni dovranno:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
conoscere il significato di stato di un sistema;
saper rappresentare l’evoluzione di un sistema digitale;
conoscere i dispositivi logici sequenziali di base (latch e flip-flop);
saper definire i principali tipi di latch e di flip-flop, rappresentarne funzioni
e struttura logica;
conoscere i principi su cui si basano i circuiti multivibratori monostabili e
astabili;
saper realizzare gli schemi dei circuiti suddetti utilizzando latch e porte
logiche, o appositi integrati, e indicare i tempi che li caratterizzano;
conoscere le strutture di un sistema sequenziale sincrono e di uno asincrono;
saper distinguere tra un sistema sequenziale sincrono e uno asincrono;
conoscere la struttura, le funzioni, le fondamentali applicazioni di un generico registro a scorrimento;
saper disegnare la logica interna di un registro a scorrimento, saper realizzare un contatore ad anello;
conoscere il metodo di progetto di un contatore sincrono, le strutture di contatori binari sincroni up e down e dei contatori binari asincroni;
saper riprodurre gli schemi e le relazioni delle funzioni di eccitazione di
detti contatori;
conoscere le funzioni necessarie per espandere il modulo dei contatori o per
alterarne il ciclo;
saper collegare più contatori per ottenere contatori di modulo desiderato.
Prerequisiti
Sono necessarie le conoscenze e le abilità acquisite con lo studio dei precedenti
moduli di elettronica. In particolare è richiesta una sufficiente conoscenza dell’algebra di Boole, delle regole di semplificazione, scomposizione e minimizzazione di funzioni booleane e una sufficiente familiarità con l’applicazione di circuiti della media scala d’integrazione.
445
Circuiti sequenziali
di base: latch e flip-flop
G1
Un circuito combinatorio risponde sempre nello stesso modo a una combinazione di valori imposta ai suoi ingressi. In esso non resta traccia della storia degli input cui è stato sottoposto. Quando
però l’uscita di un circuito combinatorio viene collegata su un suo ingresso avviene qualcosa di
diverso: il circuito reagisce agli input esterni tenendo conto anche della condizione di quell’uscita.
Si ottengono così i circuiti dell’elettronica sequenziale, dai più semplici latch ai più complessi microcontrollori.
G1.1 Una semplice trappola elettronica
Si consideri il primo schema di figura G1.1 e si operi ordinatamente seguendo le sue
varie sezioni: (1) chiudendo l’interruttore si porta l’uscita a livello 0; (2) si collega l’uscita y all’ingresso B (non c’è conflitto tra i livelli poiché entrambi sono al livello 0);
(3) si taglia il collegamento tra B e massa: ora B resta al livello 0 perché riceve questo
valore dall’uscita e, poiché A non è cambiato, l’uscita resta al livello 0. Dunque, in questo momento, con l’ingresso A = 0 l’uscita del circuito dà uno 0.
Si porti ora (4) l’ingresso A al livello 1: la porta OR risponde con un 1 in uscita. Da
questo momento sull’ingresso B è riportato il livello 1. Se ora (5) si riporta l’ingresso
A al livello 0, l’uscita resta al livello logico 1.
VCC
VCC
R
(1)
R
y=0
A
VCC
(2)
R
y= 0
A
(3)
y= 0
A
B
B
GND
B
GND
GND
VCC
VCC
R
R
(4)
y=1
A
y= 1
A
B
GND
(5)
GND
B
Si noti che nelle fasi (3), (4), e (5) il circuito è sempre lo stesso, eppure, all’inizio,
quando A = 0, si ha y = 0, ma quando, dopo l’evento (4), si ritorna ad A = 0, si ha y = 1.
Alla stessa sollecitazione sull’ingresso A il circuito ha risposto in modo diverso; a
quanto pare esso ricorda l’evento (4) in cui l’interruttore è stato aperto. Il suo comportamento è simile a quello di una trappola che scatta e non può essere riaperta senza che
il suo meccanismo venga nuovamente forzato (ponendo in questo caso A = 0 e cortocircuitando B a massa). Questo è un primo esempio di circuito sequenziale.
Figura G1.1
Trappola
elettronica: 1), 2),
3) predisposizione;
4) la trappola
scatta, 5) e non si
riapre.
Modulo G • Circuiti logici sequenziali
446
G1.2 Il concetto di stato di un sistema
X
1
S
Figura G1.2
Sistema dinamico.
Studiando l’evoluzione nel tempo dei sistemi fisici si è osservato che il più delle volte il
loro comportamento non dipende solo dai segnali imposti ai loro ingressi indipendenti,
ma anche da qualche altra loro condizione interna, indicata come stato del sistema e descrivibile attraverso alcune variabili diverse da quelle di ingresso e dette perciò variabili
di stato. Queste non corrispondono necessariamente alle uscite del sistema, ma contribuiscono a determinarne il valore. Sistemi di questo tipo sono detti dinamici.
La figura G1.2 rappresenta un generico sistema dinamico. Nel blocco 1 l’uscita S
in un determinato istante determina, insieme con gli ingressi indipendenti X, il suo valore successivo. I valori assunti da S sono gli stati del sistema e S sono le
Y
variabili di stato. Gli ingressi indipendenti X sono spesso definiti ingressi
2
primari o di eccitazione, le uscite Y sono primarie, mentre le uscite e gli
ingressi S sono detti secondari o di stato.
In generale si definisce stato di un sistema ciò che, insieme con gli ingressi indipendenti, determina lo stato successivo.
Si dice sequenziale un sistema digitale la cui evoluzione dipende, oltre che dagli ingressi indipendenti anche dal suo stato.
Detti Sn lo stato all’istante tn e Sn+1 lo stato dell’istante successivo, tn+1, un sistema
sequenziale è descritto da due equazioni:
Sn+1 = λ (X, Sn)
e Y = δ (X, Sn)
[G1.1]
dove è λ è la funzione di stato prossimo; essa indica, per ogni configurazione d’ingresso e per ogni stato presente quale sarà lo stato successivo;
δ è la funzione d’uscita; essa indica, per ogni configurazione d’ingresso e ogni stato
presente, la corrispondente configurazione d’uscita.
Nel circuito precedentemente analizzato lo stato del sistema coincide con l’uscita
della porta OR; si ha Sn+1 = λ( ) = A + Sn: dallo stato S = 0 iniziale, con l’ingresso
A = 0 si resta nello stato 0; mentre, dal medesimo stato, con A = 1 si passa allo stato
S = 1, e da questo (indipendentemente dal valore di A) si resta in S = 1.
La funzione d’uscita è δ( ) = Sn.
Tabelle degli stati o di eccitazione
In un sistema digitale anche le variabili di stato sono binarie; pertanto, a un numero finito n di variabili di stato corrisponde un numero finito 2n di stati possibili.
Le tabelle della verità che descrivono le funzioni di stato prossimo di un sistema sequenziale devono in qualche modo rappresentare il legame tra stato successivo e stato
presente. Esse sono dette tabelle di eccitazione. Le colonne degli ingressi devono pertanto prevedere tutte le possibili combinazioni di valori dello stato iniziale e degli ingressi indipendenti; nelle colonne delle uscite si riportano i valori successivi delle medesime variabili di stato. Si ricorre a una simbologia dove la stessa variabile S, con pedice n, cioè Sn, significa stato presente, mentre con pedice n + 1, cioè Sn +1, significa
stato successivo.
ESEMPIO
1
Il sistema del circuito di figura G1.1, è descritto dalla tabella G1.1.
Tabella G1.1
Tabella di eccitazione Sn+1 = A + Sn
A
Sn Sn+1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
447
G1 • Circuiti sequenziali di base: latch e flip-flop
A volte, quando la dipendenza dello stato successivo è semplice, è possibile ridurre
la tabella a una forma più sintetica, in cui gli ingressi di stato sono omessi e lo stato
successivo viene riferito a quello precedente.
La prima riga di tabella G1.2 corrisponde alle prime due righe di tabella G1.1; la
seconda riga corrisponde alle altre due righe.
Tabella G1.2
Versione sintetica di tabella G1.1.
A Sn–1
0
Sn
1
1
ESEMPIO
Diagramma degli stati
In questi diagrammi gli stati del sistema si rappresentano mediante forme ovali con all’interno la combinazione di valori delle variabili di stato, e le transizioni mediante archi orientati con su indicata la combinazione di entrata che le determina.
Nel caso del primo circuito proposto gli stati sono due: S0 = 0 e S1 = 1, e la figura
G1.3 ne rappresenta il diagramma degli stati. La x sull’arco uscente da S1 indica che in
quel caso qualunque sia il valore 1 o 0 dell’ingresso A, il comportamento del sistema è
il medesimo. Gli archi che rientrano nello stesso stato, autoanelli, indicano che con
quel valore in ingresso lo stato è stabile e non si hanno transizioni.
A=0
A= x
S0
A=1
Figura G1.3
Esempio di
diagramma
degli stati.
S1
G1.3 Latch SR
Il significato della parola inglese latch è chiavistello, più precisamente qui si riferisce
al meccanismo a scatto di cui sono dotate molte porte, quello per cui, se mentre si è
fuori si chiude la porta di casa per rientrare occorrono le chiavi. Il circuito proposto all’inizio di questo capitolo è un latch elettronico.
Come nell’elettronica combinatoria anche nella sequenziale i circuiti più complessi
si compongono mediante dispositivi standard elementari che ne costituiscono i mattoni, il primo di questi è il latch SR.
La tabella G1.3 definisce questo tipo di latch che si realizza con i circuiti logici di
figura G1.4.
S
S
R Qn+1
0
0
Qn
0
1
0
1
0
1
1
1
–
Q
R
Q
S
Q
Tabella G1.3
Definizione di latch SR.
R
Q
Figura G1.4
Latch SR realizzati con NOR e con NAND.
2
Modulo G • Circuiti logici sequenziali
448
Il trattino nell’ultima riga della tabella riguarda il caso che entrambi gli ingressi
vengano posti al livello logico alto ed è motivato dalle 3 seguenti considerazioni:
•
•
•
SR = 01 →→
Reset
SR = 10 →→
Set
le uscite dei latch di figura non sono più l’una il complemento dell’altra come invece la figura suggerisce;
le uscite del latch realizzato con porte NAND valgono entrambe 1, mentre quelle
del latch realizzato con porte NOR valgono entrambe 0;
quando da questa ultima condizione (due uno o due zero in uscita) si riportano contemporaneamente entrambi gli ingressi al livello 0, lo stato successivo è imprevedibile.
Si analizza ora il funzionamento di un SR con riferimento allo schema con porte
NOR.
1. SR = 01 Posti S = 0 e R = 1 indipendentemente dallo stato presente, R = 1 porta l’uscita Q al livello
– 0; perciò nell’altra NOR si hanno entrambi gli ingressi a livello
zero e l’uscita Q varrà 1; quest’ultimo non ha conseguenze sulla NOR in cui entra
R. Si dice che la condizione SR = 01 determina un RESET del latch.
Resettare un latch significa imporre un livello 0 al suo stato individuato da Q. Più
in generale resettare un dispositivo sequenziale significa azzerare tutte le sue uscite
di stato.
2. SR = 10 In modo del tutto simmetrico è possibile descrivere
quanto avviene se si
–
impone SR = 10: il latch si pone nello stato Q = 1 (e Q = 0), stato di SET. Settare
un latch equivale a imporre il suo stato al livello 1.
Si può notare che in questi due casi il comportamento del circuito non dipende dal
suo stato precedente.
SR = 00 →→
Memoria
3. SR = 00 L’analisi del caso SR
– = 00 richiede di tener conto dello stato iniziale.
a. Se si parte con Q = 0 (e Q –= 1) si osserva che la NOR con ingresso S ha due zero
in ingresso; ciò impone Q = 1 che impone Q = 0 sull’uscita
dell’altra NOR.
–
Questa rientra sulla NOR con ingresso S e conferma Q = 1. Dunque lo stato iniziale di reset si mantiene.
–
b. Se si impone SR = 00 partendo da uno stato di SET (Q = 1 e Q = 0), in modo del
tutto simmetrico al caso precedente si perviene a un’analoga conclusione: lo
stato di partenza viene mantenuto.
Si può riassumere ciò dicendo che portando S e R entrambi al livello 0, il circuito
ricorda e mantiene lo stato di partenza; o, più sinteticamente, che SR = 00 pone il latch
nella condizione di memoria.
SR = 11 →→
Not used 4. SR = 11 Si consideri ora il caso con S = R = 1. Un uno all’ingresso di una NOR impone uno zero alla sua uscita, e questo vale per entrambe le NOR del latch. In questo caso le due uscite non sono più l’una la negazione dell’altra. Inoltre, si immagini di aver collegato insieme i due ingressi S e R e di riportarli contemporaneamente al livello 0. Da questo momento sono possibili tre diversi ragionamenti.
•
•
•
I due zero delle uscite, essendo riportati agli ingressi delle NOR, hanno contemporaneamente effetto, le due NOR ricevono contemporaneamente due zero
in ingresso, e ciò le fa commutare portandone le uscite contemporaneamente al
livello 1. Poi i due 1, riportati agli ingressi, contemporaneamente fanno commutare le due NOR portandone le uscite a zero, e così via...
La NOR con ingresso S commuta per prima portando l’uscita al livello 1; questa, per prima ha effetto sulla NOR con ingresso R, che si porta al livello 0. Da
questo momento la NOR con ingresso S ha due zero in ingresso e continua a
dare un 1 in uscita, quella con ingresso R continua a dare 0 in uscita. Si è pertanto raggiunto uno stato di equilibrio di RESET.
Lo stesso ragionamento vale nel caso che commuti prima la NOR con ingresso
R, ma ora con la conclusione che si raggiunge uno stato di equilibrio di SET.
449
G1 • Circuiti sequenziali di base: latch e flip-flop
Ciò che nella realtà accade lo dicono le prove sperimentali (si collegano insieme S e
R, li si porta prima entrambi a 1 e poi entrambi a 0); ripetendo più volte la stessa prova si
nota che passando da SR = 11 a SR = 00 a volte si raggiunge uno stato, a volte l’altro.
Un problema come questo è indicato come problema di corsa critica.
Questo spiega perché la condizione SR = 11 è indicata come not used (non usata).
Lo stato in cui il circuito andrà ad assestarsi dopo una commutazione da SR = 11 a
SR = 00 non è prevedibile.
Per il circuito SR realizzato mediante NAND le cose vanno in maniera del tutto simile a quella testé esaminata, salvo che con SR = 11 le uscite vanno entrambe a 1.
Da ora in poi quando non interessa il particolare circuito che realizza un latch SR lo
si rappresenterà con uno schema
– a blocchi costituito da un rettangolo con i due ingressi
S e R e le uscite di stato Q e Q .
Corsa critica
Diagramma degli stati di un SR
0x
10
x0
Nel caso dell’SR gli stati sono due, corrispondenti rispettivamente ai valori Q = 0 e Q = 1. La tabella di eccitazione viene tradotta nel diagramma deQ=1
Q=0
SR
gli stati riportato in figura G1.5.
Gli autoanelli corrispondono alle situazioni in cui lo stato presente e lo
01
stato successivo coincidono, esse si verificano quando SR = 00, o quando si è
Figura G1.5
nello stato Q = 0 e si impone un reset, oppure si è nello stato 1 e si impone un set. La x
Diagramma degli
indica indifferenza rispetto al valore della variabile a cui è riferita.
stati di un SR.
Equazione dello stato successivo di un SR
La tabella di eccitazione può essere trascritta in una mappa di Karnaugh con ingressi
Qn, S e R, e uscita Qn + 1( ) (tabella G1.4). Risolvendo si trova l’espressione di Qn + 1 in
funzione dello stato precedente e degli ingressi:
–
Qn + 1 = S + QnR
[G1.2a]
Poiché nella copertura della mappa si sono incluse le condizioni di indifferenza, la
soluzione proposta corrisponde al caso di SR realizzato con NAND. Alla stessa espressione si giunge partendo dal circuito logico dell’SR realizzato con porte NAND.
Se invece si impone x = 0, e si utilizzano maxterm, si ottiene l’espressione che corrisponde allo schema con porte NOR:
–
Qn + 1 = R (Qn + S)
[G1.2b]
G1.4 Circuito antirimbalzo
Quando si pilotano manualmente circuiti sequenziali sensibili ai fronti di discesa o di
salita del segnale di sincronismo, l’utilizzo di switch comporta l’osservazione di anomalie dovute al fatto che la commutazione degli switch genera in realtà un segnale con
un transitorio molto sporco. Con un oscilloscopio a memoria si può osservare che il segnale della commutazione di un interruttore, prima di assestarsi sul nuovo livello presenta una serie imprevedibile di passaggi da un livello all’altro
– – (rimbalzi).
Il circuito antirimbalzo di figura G1.6 utilizza un latch S R; pilotato da uno switch,
restituisce un segnale privo di disturbi. Esso consente perciò, quando richiesto, il controllo manuale dei segnali di
– sincronismo. Nella figura si suppone che inizialmente il
deviatore tocchi l’ingresso S , che essendo attivo, setta il latch.
–
––
Successivamente, nello spostamento del deviatore verso R i valori di S R passano diverse volte da–11 a 01, condizioni in cui il latch mantiene lo
– –stato di set. Quando il deviatore tocca R si verifica per la prima volta la condizione S R = 10 che resetta lo stato,
poi, a causa dei rimbalzi, i valori degli ingressi passano diverse volte da 11 a 10, condizioni in cui il latch mantiene lo stato di reset. Si vede perciò che l’uscita Q non risente
dei rimbalzi.
SR
Qn 00 01
0 0 0
1
1
0
11 10
x 1
x
Tabella G1.4
Qn+1(Qn, S, R).
1
Modulo G • Circuiti logici sequenziali
450
S
4
VCC
5
8
R
3
R
Q
6
S
R
1
Figura G1.6
Circuito
antirimbalzo: sua
risposta alle
variazioni di S ed R.
12
Q
11
13
R
Q
G1.5 Latch SR con abilitatore
L’introduzione di un abilitatore sugli ingressi R ed S di un latch costituisce un primo
passo verso la soluzione del problema costituito dalla necessità di evitare S = R = 1 e
verso la sincronizzazione del dispositivo. L’abilitatore ha lo scopo di rendere insensibile il dispositivo durante le manovre sugli ingressi imponendogli la condizione di
mantenimento dello stato. Ciò si ottiene facendo passare S ed R attraverso porte AND
controllate da un abilitatore.
La figura G1.7 mostra lo schema di un latch con abilitatore attivo al livello basso.
Il blocco con ingressi S’ ed R’ è un latch SR senza abilitatore
e con ingressi rinominati.
––
I nuovi ingressi S e R sono ora sulle due AND. Con LE = 1 le uscite delle AND vanno
a 0 e il latch mantiene lo stato attuale; come fosse “anestetizzato” esso non
–– sente
quanto avviene durante le manovre su S ed R. Terminate le manovre si pone LE = 0, e
i nuovi valori di S ed R giungono al latch che si comporterà di conseguenza. Il dispositivo è ora descritto dalla tabella G1.5 e dall’equazione:
––
–
Qn + 1 = LE · (S + R · Qn) + LE · Qn
[G1.3]
Un SR con abilitatore si rappresenta più semplicemente come in figura G1.8 con
un blocco funzionale dotato di ingressi e uscite. Normalmente il latch enable (LE)
viene realizzato in modo da essere attivo (cioè abilitare) al livello basso e viene indicato come in figura con un negatore sul suo nome e un negatore in corrispondenza al
suo punto di applicazione al blocco. Nei data sheet il latch enable è indicato spesso con
la lettera G.
S
1
2
2
R
1
3
3
S'
R'
Q
Q
LE
Figura G1.7
Introduzione del latch enable in un SR.
––
LE
S
R
Qn+1
1
x
x
Qn
0
0
0
Qn
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
Ð
Tabella G1.5
SR con latch enable.
S
Q
R
Q
LE
Figura G1.8
Latch SR con latch enable
attivo al livello basso.
G1.6 D-latch
Un latch di tipo D si ottiene da un SR collegando R a S mediante un negatore (figura
G1.9). All’unico– ingresso rimasto, S, viene assegnato il nuovo nome D. Ora, poiché si
è imposto R = S , eliminando dalla tabella di eccitazione dell’SR le due righe con
S = R si ottiene la tabella del latch di tipo D (tabella G1.6).
––
I diagrammi in figura mostrano le correlazioni tra i segnali LE, D e Q; in essi si è
supposto che inizialmente lo stato fosse alto. Il primo valore basso di D non viene letto
451
G1 • Circuiti sequenziali di base: latch e flip-flop
––
se prima il latch enable non diviene basso. L’ultimo ––
valore di D prima che LE ritorni
alto, resta memorizzato fino al successivo ritorno di LE al valore 0.
Il tutto si riassume dicendo che, quando l’abilitatore del latch è attivo, il latch è trasparente nel senso che il latch copia sulla sua uscita Q il valore dell’ingresso D, mentre quando viene disabilitato conserva (ricorda) l’ultimo valore di Q che gli era stato
imposto.
L’uscita di stato viene ritardata rispetto all’ingresso D per tutto il tempo in cui l’abilitatore resta non attivo. Probabilmente ciò è all’origine del nome dato all’ingresso
D, da Delay, cioè ritardo.
D
S
Q
R
Q
––
LE
LE
D
LE
Q
D
Qn+1
1
x
Qn
0
0
0
0
1
1
Un latch D
abilitato
è trasparente
t
Figura G1.9
Latch di tipo D, sua risposta agli ingressi D ed LE.
Tabella G1.6
Latch D con LE.
G1.7 Registri a ingressi e uscite paralleli
Si prendano più D-latch e si colleghino tra loro i vari abilitatori; il dispositivo così ottenuto (figura G1.10) ha un unico latch enable, più ingressi Di, e altrettante uscite Qi.
Se i latch utilizzati sono 8, è possibile registrare nel dispositivo così ottenuto un dato di
8 bit; per farlo si predispone il dato sugli ingressi Di e si abilita il latch per un breve e
sufficiente intervallo di tempo. In tal modo il dato viene copiato sulle uscite di stato e
ivi mantenuto fino a un nuovo impulso sull’abilitatore. Questo tipo di dispositivo è un
registro a ingressi e uscite paralleli.
Una delle funzioni dei registri è quella di mantenere fermo il dato in uscita affinché
esso possa essere ben visualizzato mentre il dato in ingresso sta cambiando o continua
a essere aggiornato. Questa esigenza si ha per esempio quando, nel cronometrare i
tempi durante una gara, si vuole leggere il tempo parziale impiegato al termine di un
giro senza per questo fermare il cronometro. Alcuni circuiti integrati come i decoder
per 7 segmenti 9368 e 4543 contengono registri.
D1
D0
D
EN
D2
D
Q
EN
Q
D
EN
Q0
D3
Q
D
EN
Q1
Figura G1.10
Esempio di registro
realizzato con 4
latch.
Q
EN
Q2
Più latch collegati
in parallelo
costituiscono
un registro
Q3
Corsa critica
Collegare in cascata più latch, ad esempio l’uscita Q del precedente sull’ingresso D del successivo, e controllare i latch enable con un unico segnale, non ha molto senso poiché il dato
posto sull’ingresso D del primo latch si propagherebbe velocemente su tutte le uscite Q alla
prima abilitazione.
Modulo G • Circuiti logici sequenziali
452
Un simile circuito avrebbe lo scopo di caricare serialmente, cioè un bit dietro l’altro,
un dato di n bit diversi in un registro di altrettanti D-latch, ma per poterlo fare bisognerebbe mettere le briglie alla veloce propagazione del dato o essere in grado di controllare
il latch enable con impulsi di durata appena sufficiente da consentire a ciascun latch l’acquisizione del proprio ingresso D, e abbastanza brevi da impedirgli di leggerne il successivo cambiamento. In tal modo i bit del dato potrebbero essere immessi uno dopo l’altro
sull’ingresso del primo latch e avanzare di un posto a ogni impulso.
Si tratta ancora di un problema di corsa critica: questa volta la competizione, persa
in partenza dal manovratore del latch enable, è tra il manovratore e la propagazione del
segnale attraverso i latch.
Integrato 74LS75
La figura G1.11 mostra lo schema di un D-latch costruito direttamente senza ricorrere
a un SR. L’integrato contiene due coppie di questi dispositivi controllate ciascuna da un
latch enable attivo al livello alto. Ciascun latch funziona così: quando è LE = 1, D è
abilitato e impone il suo valore sull’uscita Q; contemporaneamente il rientro di Q viene
disabilitato. Quando diviene LE = 0, D è disabilitato mentre Q rientra e si conferma attraverso la OR. Il circuito è una versione più evoluta del primo esempio proposto all’inizio di questo capitolo.
Figura G1.11
D-latch 74LS75.
D
Q
LE
Q
Integrato 74LS279
– –
L’integrato 74LS279 è un quadruplo latch con ingressi S e R . Il circuito logico di ciascuno di questi latch è costituito da due porte NAND collegate come in figura G1.4,
ma senza negatori
– agli ingressi delle NAND. Due dei latch di quest’integrato hanno un
doppio ingresso S.
Latch integrati
Integrato 74LS373
Figura G1.12
Alcuni integrati con
latch.
5
VCC
2
3
13
D1
D2
G-1,2
6
7
4
D3
D4
G-3,4
12
GND
L’integrato 74LS373 contiene 8 D-latch con uscite 3-state. ––
Essi condividono un unico
latch enable G attivo sul livello
alto,
e
un
unico
abilitatore
OE
delle uscite attivo al li––
vello basso. Con G = 1 e OE = 0 i latch sono trasparenti.
Q1
Q1
Q2
Q2
16
1
15
14
Q3
Q3
Q4
Q4
10
11
9
8
74LS75
16
1
2
3
VCC
1R
1S1
1S2
1Q
5
6
2R
2S
2Q
7
10
11
12
3R
3S1
3S2
3Q
14
15
8
4R
4S
GND
4Q
74LS279
20
VCC
9
3
4
7
8
13
14
17
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
13
11
1
G
OE
10
GND
4
Q2
Q3
Q4
2
5
6
9
Q5
Q6
Q7
Q8
12
15
16
19
74LS373
16
VDD
4
7
13
14
D0
D1
D2
D3
5
6
CLK
POL
8
VSS
4042
Q0
Q0
Q1
Q1
2
3
10
9
Q2
Q2
Q3
Q3
11
12
1
15
453
G1 • Circuiti sequenziali di base: latch e flip-flop
Integrato 4042
L’integrato CD4042 è un quadruplo “clocked D-latch”. Il clock, che più propriamente
è un latch enable, è comune ai quattro latch e può essere negato grazie a una XOR il
cui altro ingresso è indicato come “polarità”. Con polarità = 0 il latch enable è attivo,
cioè il latch è trasparente, quando è al livello alto.
G1.8 Caratteristiche di commutazione dei latch
Si è visto che, per il buon funzionamento dei circuiti reali, occorre rispettare le loro caratteristiche fisiche come le tensioni di alimentazione, le correnti e i livelli delle tensioni in ingresso e in uscita, i ritardi di propagazione.
Con i circuiti sequenziali le caratteristiche che riguardano l’andamento dei segnali
divengono particolarmente importanti. Qui di seguito si elencano le principali caratteristiche di commutazione dei latch:
• tpLH e tpHL sono i ritardi di propagazione tra una variazione su un ingresso (di eccitazione o di latch enable) e la corrispondente commutazione (quando prevista) da
basso ad alto e da alto a basso dell’uscita Q;
t
• su, tempo di setup, è il minimo intervallo di tempo che precede il passaggio del
latch enable al livello che memorizza il dato durante il quale gli ingressi di eccitazione devono restare costanti;
• th, tempo di hold, è il minimo intervallo di tempo che segue il passaggio del segnale
del latch enable al livello che memorizza il dato durante il quale gli ingressi di eccitazione devono ancora mantenere il loro valore;
• tw, durata dell’impulso, è la durata minima di un impulso di acquisizione di un dato
per memorizzarlo.
La tabella G1.7 riporta alcuni valori tipici in ns per gli integrati LS e CMOS alimentati a 5 V precedentemente presentati.
tpLH
LS
CMOS
tpHL
tsu
th
tw
15
15
da110 a 250
20
0
5
60
20
100
Tabella G1.7
Tempi di
commutazione
dei latch.
G1.9 Flip-flop
I latch leggono gli ingressi non appena sono abilitati e questo, a parte il ritardo di propagazione, ha subito effetto sullo stato del dispositivo. Il problema di corsa critica nel collegamento a cascata ne è una conseguenza. I flip-flop (nel seguito FF) non commutano sul
livello del clock ma su un suo fronte, con ciò risolvendo il problema della corsa critica.
Master-slave
I master-slave sono costituiti da due latch collegati in cascata, i cui abilitatori sono collegati insieme, ma attivi su livelli opposti (figura G1.13 a). Il segnale che controlla i
due latch-enable è ora indicato con Ck (clock).
S
R
Ck
Master
Q
S Q M
Slave
S Q
EN
EN
R
Q
QM
R
Ck
Q
a)
Q
Q
S
R
0
0
Ck
Q0 Q 0
Memoria
0
1
0
1
Reset
1
0
1
0
Set
1
1
Q
Q
NV
Non valida
b)
Figura G1.13 a, b
Flip-flop SR masterslave: a) schema
di principio;
b) tabella della
verità.
454
Modulo G • Circuiti logici sequenziali
Il primo dei due latch, quello che riceve direttamente gli ingressi S ed R, è detto master (padrone), e il secondo è lo slave (schiavo). Se, come nell’esempio di figura, il
master è abilitato al livello alto e lo slave al livello basso, nell’intervallo di tempo in
cui il segnale ck è alto, il master legge gli ingressi S ed R e può commutare, mentre lo
slave, non essendo abilitato, resta insensibile ai cambiamenti avvenuti ai suoi ingressi
collegati alle uscite del master. Quando successivamente il ck va al livello basso, lo
slave può leggere i valori passatigli dal master, valori che intanto restano costanti, dal
momento che il master è ora disabilitato. Se si guarda il tutto come un unico dispositivo, si può dire che esso recepisce il valore dei suoi ingressi sul livello alto del clock,
ma aggiorna il suo stato (ora individuato dalle uscite dello slave) non appena il clock
diventa basso. Alla tabella di eccitazione dell’SR si aggiunge spesso la colonna con il
segnale di clock, figura G1.13 b, la cui simbologia sta a significare appunto che dal
primo dei fronti e fino a quando il clock resta alto la sezione master acquisisce il dato
sui suoi ingressi ed eventualmente commuta, mentre lo slave lo fa sul secondo fronte.
A parte il ritardo di propagazione, il master-slave ora descritto aggiorna il suo stato
dal momento in cui il segnale di clock passa da un livello alto a uno basso, cioè sul
fronte di discesa. Il suo simbolo logico è riportato in figura G1.14.
Naturalmente è sufficiente negare lo stesso segnale per ottenere un master-slave
che commuti sul fronte di salita e in questo caso nella tabella di eccitazione il segnale
del clock appare come un impulso alto-basso-alto, a significare che il dispositivo acquisisce gli ingressi per tutto il tempo in cui il clock è basso, e commuta quando il
clock va al livello alto.
I flip-flop master-slave costituiscono una soluzione per il problema di corsa critica
precedentemente descritto, ciò perché il dato letto durante una fase del clock viene trasferito sullo slave non direttamente ma solo nella fase successiva del clock. Tuttavia essi
sono relativamente lenti perché occorre rispettare i tempi di transizione di ciascuna delle
due sezioni che li compongono.
Ingressi asincroni o diretti
Oltre agli ingressi di eccitazione, i flip-flop dispongono di uno o due ingressi diretti, attraverso i quali è possibile settare o resettare il dispositivo in maniera indipendente dal
clock, figura G1.15. Per questo motivo, questi ingressi sono anche detti asincroni.
L’ingresso asincrono che setta è indicato con Pr, o Preset; quello che resetta è indicato
con Cl, o Clear.
Gli ingressi asincroni sono in genere attivi al livello basso e funzionano come il
Set e il Reset di un normale SR quindi non vanno attivati contemporaneamente. La
loro utilità è legata all’esigenza di imporre al dispositivo un determinato stato indipendentemente dal segnale di clock. Ciò può essere necessario per imporre a un dispositivo con più flip-flop un particolare stato, per esempio appena lo si collega all’alimentazione.
Pr
S
Q
CLK
R
Q
Q
S
CLK
R
Q
CI
Figura G1.14
Commuta sul fronte di discesa del clock.
Figura G1.15
Flip-flop con ingressi asincroni.
455
G1 • Circuiti sequenziali di base: latch e flip-flop
Edge-triggered
Una tecnica alternativa a quella del master-slave consiste nel realizzare, a monte dell’ingresso di abilitazione del latch, un dispositivo in grado di trasformare il segnale di
clock entrante in un impulso di durata appena sufficiente a consentire una transizione.
A tale scopo si può sfruttare il fenomeno dell’alea statica. Nel circuito di figura
G1.16 si utilizza l’alea statica delle OR. Nella figura è riportato anche un esempio della
correlazione tra i segnali di risposta––agli ingressi
S e ck. Con ck = 1 si abilitano
––
– gli in–
gressi S ed R, questi condizionano–Sd ed–Rd che però non possono passare su S 1 ed R1
perché disabilitati dallo stesso ck. S 1 ed R1 valgono 1 e il latch mantiene lo stato in cui
si trovava.
S
Sd
Cl
S1
Figura G1.16
SR edge-triggered.
S
Q
ck
ck
Sd
R
R1
Rd
Pr
Q
S1
t
–– ––
Appena ck = 0 i segnali Sd ed Rd vengono immediatamente abilitati e, per un intervallo di tempo Δt pari al ritardo di propagazione––
delle ––
NAND da cui provengono, possono condizionare il latch. Dopo questo tempo Sd ed Rd tornano al livello 1 perché le
NAND da cui escono sono state disabilitate; ciò impone al latch di restare sullo stato
appena raggiunto.
I circuiti con questo tipo di sincronismo sono detti edge-triggered (cioè triggerati
sul fronte) a ritardo di propagazione. Nel caso ora esaminato il fronte attivo, quello che
segna la commutazione dell’uscita, è quello di discesa.
In sintesi, sul fronte attivo un edge-triggered acquisisce e subito dopo commuta.
Il simbolo grafico e la tabella di un edge-triggered sono riportati in figura G1.17.
Il triangolino sull’ingresso di sincronismo indica che le commutazioni avvengono sul
fronte di salita; o, se il triangolino è preceduto dal segno di negazione, sul fronte di discesa del clock.
Nella tabella di eccitazione la freccetta rivolta verso l’alto o verso il basso ha lo
stesso significato del triangolino sul simbolo grafico.
Gli edge-triggered hanno dei tempi di risposta più brevi di quelli dei master-slave.
S
R
0
0
Q0 Q0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
Ck
Q
Q
NV
S
Q
Ck
R
Q
Figura G1.17
SR edge-triggered
con clock attivo sul
fronte di salita.
Modulo G • Circuiti logici sequenziali
456
ESEMPIO
3
Il circuito di figura G1.18 è un SR edge-triggered, a ritardo di propagazione.
Verificarne la logica di funzionamento.
Sd
S
a
1
Figura G1.18
Altro schema di SR
edge-triggered.
2
Q
c
ck
d
3
Q
4
b
R
Rd
■ Con ck = 0 resta abilitata la parte di circuito costituita dalle porte 1, 2, 3 e 4; si tratta di un
latch con ingressi Sd Rd = 11 , quindi: Qn + 1 = Qn.
Con ck = 1 l’equazione dello stato successivo, ricavabile dal circuito, dà:
(
)(
)
Qn+1 = Qn 1 + R 1 + S = Qn
cioè lo stato si conserva anche in questo caso.
Tuttavia con il fronte di discesa del clock le porte c e d ricevono in ingresso uno 0 mentre
– –le
porte 1 e 4 ricevono, ancora per un tempo pari al ritardo di propagazione in a e b, i valori di S ed R.
In questo breve intervallo di tempo l’equazione del circuito è esattamente quella del latch
SR:
–
– –
Qn + 1 = R · Qn · S = RQn + S
e perciò risponde ai valori di S ed R appena precedenti il fronte di discesa del clock.
Data lock-out
J
Ck
K
Figura G1.19
Simbolo di un data
lock-out.
I flip-flop di questo tipo sono dei master-slave nei quali però il master è sensibile agli
ingressi di eccitazione solo sul fronte positivo del segnale di clock, e non più per tutto
il tempo in cui il clock resta sul livello alto. Lo slave torna attivo quando il clock torna
sul livello basso. Questi dispositivi sono più lenti degli edge-triggered, ma superiori ai
master-slave perché non richiedono più che gli ingressi di eccitazione siano tenuti costanti per tutto il tempo richiesto per una transizione del master. La figura G1.19 riporta il simbolo utilizzato per questo tipo di flip-flop.
G1.10 Flip-flop JK
La tabella di eccitazione, il diagramma degli stati e il simbolo di un flip-flop JK sono riportati in figura G1.20. Si noti la quarta riga della tabella del JK. Ora la condizione con
ingressi uguali a 1 è consentita e porta nello stato opposto a quello precedente.
Se è J = K = 1, con l’arrivo del fronte attivo del clock il flip-flop passerà dallo stato presente Qn = 0 allo stato Qn + 1 = 1; o dallo stato presente Qn = 1 allo stato Qn + 1 = 0. Con
J = K = 1, fissi a ogni impulso di clock, il dispositivo commuta da uno stato all’altro. Se
invece di un flip-flop JK si fosse realizzato un latch di tipo JK, questo, con i due ingressi
di eccitazione al livello alto, entrerebbe in oscillazione non appena abilitato e non sarebbe possibile prevedere in quale dei due stati andrebbe a fermarsi disabilitandolo.
457
G1 • Circuiti sequenziali di base: latch e flip-flop
Nel diagramma degli stati, che è la versione grafica della tabella di eccitazione, le
× indicano indifferenza del comportamento rispetto alla variabile cui si riferiscono:
dallo stato 0 con JK = 11 o JK = 10 si passa comunque nello stato 1, e dallo stato 1 si
va nello stato 0 se K = 1, qualunque sia il valore di J.
K
Ck Qn+1Qn+1
0
0
Qn Qn Memoria
0
1
0
1
Reset
1
0
1
0
Set
1
1
Qn Qn Toggle
1X
0
0X
1
X1
J
X0
b)
Q
Ck
a)
K
Q
c)
Equazione dello stato successivo di un JK
Traducendo la tabella di eccitazione del JK in mappa di Karnaugh con ingressi Qn, J,
K e uscita Qn + 1, tabella G1.8, si ricava l’equazione che esprime lo stato successivo in
funzione degli ingressi J e K e dello stato presente, Qn.
–
–
Qn + 1 = JQn + KQn
[G1.4]
G1.11 Dal SR al JK
Il flip-flop JK deriva da un SR con qualche modifica: si fa in modo che a ciascuna combinazione di valori dei nuovi ingressi J e K e dello stato presente del sistema corrispondano valori di S e R tali da imporre lo stato successivo desiderato.
S e R divengono cioè funzioni di Qn, J, e K i cui valori vanno imposti considerando
lo stato successivo voluto per il nuovo flip-flop. A tale scopo conviene preparare la tabella G1.9 con gli ingressi Qn, J, K, con in più una colonna per lo stato successivo desiderato, Qn + 1, e con le uscite S e R che sono le funzioni da definire. Si procede poi a
compilare le colonne delle due funzioni:
1a e 2a riga: Qn = 0,
3a e 4a riga: Qn = 0,
5a e 7a riga: Qn = 1,
6a e 8a riga: Qn = 1,
Figura G1.20
Flip-flop JK
edge-triggered:
a) tabella di
eccitazione;
b) diagramma
degli stati
c) simbolo.
JK
J
Qn + 1 = 0
Qn + 1 = 1
Qn + 1 = 1
Qn + 1 = 0
SR = 0×;
SR = 10;
SR = ×0;
SR = 01.
→
→
→
→
Qn
J
K
Qn+1
S
R
0
0
0
0
0
x
0
0
1
0
0
x
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
x
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
x
0
1
1
1
0
0
1
Tabella G1.9
Assegnazione di S ( ) e R ( ).
Q
JK
0
00 01
0 0
11 10
1 1
1
1
0
0
1
Qn+1(Qn, J, K)
Tabella G1.8
Calcolo della
funzione stato
prossimo di un JK.
Modulo G • Circuiti logici sequenziali
458
Infine mediante mappe di Karnaugh, tabelle G1.10, si ricavano le espressioni e il
corrispondente circuito di figura G1.21.
–
S = JQ n R = KQn
[G1.5]
1
x
0
–
S = JQn
11 10
1 1
0
JK
Qn 00 01
0 x x
x
1
0
1
11 10
0 0
1
0
S
J
K
R
Q
CLK
JK
Qn 00 01
0 0 0
Q
Q
Q
R = KQn
Tabella G1.10
Calcolo delle funzioni S (Qn , J, K ) e R (Qn , J, K ).
Figura G1.21
Realizzazione di flip-flop JK.
G1.12 Il flip-flop D
Collegando K a J attraverso una NOT, si impone K = J e dalla tabella del JK restano
escluse le righe con J = K. Diversamente dal latch D, il flip-flop D memorizza il valore
in ingresso sui fronti attivi del segnale di clock. Come per gli altri flip-flop, se si tratta
di un master-slave la lettura dell’ingresso avviene nella fase del segnale di clock precedente il fronte attivo; se si tratta di un edge-triggered la lettura avviene sul fronte attivo.
–
Un flip-flop di tipo D si ottiene anche da un flip-flop di tipo SR imponendo R = S.
G1.13 Il flip-flop T
Se si collegano insieme i due ingressi di un JK si ottiene un flip-flop di tipo T (figura
G1.22). Il nome T di questo tipo di flip-flop viene dall’inglese toggle (switch elettrico
che funziona scambiando la posizione di una piccola leva ogni volta che viene premuto). La sua tabella di eccitazione corrisponde alle due righe di quella del JK con
J = K. Quando T = 0 il dispositivo conserva lo stato in cui si trova; quando T = 1 a ogni
fronte attivo del segnale di sincronismo avviene una commutazione. Se il flip-flop è resettato, un impulso di clock lo setta e, se è settato, lo resetta. Questo tipo di risposta si
osserva comunemente per esempio quando su una tastiera di computer si attiva, o disattiva, la scrittura in maiuscolo.
Figura G1.22
Flip-flop T,
edge-triggered.
T
Ck
PRE
Q
J
Ck
Ck
K
PRE
Q
T
Q
Q
CLR
CLR
G1.14 Flip-flop integrati
La figura G1.23 riporta la disposizione dei pin di alcuni flip-flop integrati.
• L’integrato 74LS74 è un “dual positive-edge-triggered D flip-flop” con Preset e
Clear attivi al livello basso.
• L’integrato 74LS76 è un “dual negative-edge-triggered JK flip-flop” con Preset e
Clear attivi al livello basso.
459
G1 • Circuiti sequenziali di base: latch e flip-flop
•
L’integrato 74LS109 è un “dual JK positive-edge-triggered flip-flop” con Preset e
Clear attivi al livello basso.
•
L’integrato CD 4027 è un “dual JK master-slave flip-flop”. Ciascuno dei due circuiti è dotato di clock attivo sui fronti di salita, e di ingressi asincroni propri, attivi
al livello alto.
14
13
VCC
CL
Q
12
11
D
CLK
10
PR
1
CL
Q
Q
D
CLK
4
PR
7
GND
Q
9
8
5
5
VCC
9
12
6
J
K
CLK
Q
PR
CL
Q
J
K
CLK
Q
7
8
4
16
1
6
2
3
13
PR
CL
GND
74LS74
11
16
VCC
10
15
14
13
12
11
CL
J
K
CLK
PR
1
2
3
4
5
CL
J
K
CLK
PR
8
GND
15
14
Q
74LS76
Q
10
Q
9
Q
6
Q
7
16
VDD
9
10
11
13
12
S
J
K
CLK
R
7
6
5
3
4
S
J
K
CLK
R
8
VSS
74LS109
Caratteristiche di commutazione
• tpLH e tpHL sono i ritardi di propagazione tra una variazione su un ingresso (di eccitazione, di ck, di clear o di preset) e la corrispondente commutazione (quando
prevista) da basso ad alto e da alto a basso dell’uscita Q;
•
tsu, tempo di setup, è il minimo intervallo di tempo che precede un fronte del clock
durante il quale gli ingressi di eccitazione devono restare costanti;
•
th, tempo di hold, è il minimo intervallo di tempo successivo al fronte del clock di
acquisizione del dato durante il quale gli ingressi di eccitazione devono ancora
mantenere il loro valore;
•
tw, durata dell’impulso, è la durata minima di un impulso di clock o di un impulso
di preset o di clear.
Q
15
Q
14
Q
Q
4027
Figura G1.23
Alcuni flip-flop
integrati.
La tabella G1.11 riporta a titolo di esempio alcuni tipici valori in ns per gli integrati
74 LS74 e 4027 alimentati a 5 V.
tpLH
LS
CMOS
tpHL
tsu
th
tw
13
25
da 150 a 200
25
100
5
–
25
90
G1.15 Trasformazioni di flip-flop
Si è già visto come da un flip-flop di tipo SR si ottiene un JK, e da un JK si ottengono
il tipo D e il tipo T. In generale da un flip-flop di un certo tipo se ne può ottenere uno
di un altro tipo condizionando i vecchi ingressi, in base ai nuovi ingressi e allo stato
che si vuole come prossimo. I vecchi ingressi divengono così funzione dei nuovi e
dello stato presente.
Tabella G1.11
Tempi di
commutazione dei
flip-flop.
1
2
Modulo G • Circuiti logici sequenziali
460
ESEMPIO
4
Trasformare un flip-flop di tipo D in un JK.
■ L’ingresso D diviene funzione di Qn, J e K. Per definire la funzione D(Qn, J, K) si predispone
la tabella G1.12 con le colonne Qn, J, K come variabili di ingresso, Qn + 1 stato successivo da ottenere in base alla definizione del JK, e la colonna della funzione D. Questa va compilata in base
allo stato di partenza Qn, quello di arrivo, Qn + 1, e al comportamento noto del flip-flop di tipo D.
Qn
J
K
Qn+1
D
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
Tabella G1.12
Assegnazione di D(Qn , J, K ).
Dalla mappa di Karnaugh della funzione D( ) si ottengono l’espressione:
–
–
D( ) = J · Q n + K · Qn
e il corrispondente circuito logico di figura G1.24.
1
J
K
12
13
Pr
3
2
4
74LS00
11
10
2
6
5
1
8
9
74LS74
4
Cl
PR
6
Q
D
CL
5
Q
Q
Q
3
Figura G1.24
Trasformazione in
JK di un flip-flop D.
ck
ESEMPIO
5
Trasformare un flip-flop di tipo D in uno di tipo T.
■ Si compila la tabella G1.13 di D in funzione di Q e T. Si riconosce che D = T
corrisponde il circuito di figura G1.25.
Qn
T Qn+1
D
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
Tabella G1.13
Assegnazione di D(Qn , T ).
Figura G1.25
Trasformazione
di flip-flop D in T.
D
T
Q
ck Q
ck
+
Qn, a cui
Esercizi di verifica
Esercizio 1
Disegnare il circuito logico di un latch SR realizzato con porte NOR e indicare su di esso gli ingressi di eccitazione e le uscite.
Esercizio 2
Di un latch SR disegnare il diagramma degli stati.
Esercizio 3
Ricavare le espressioni algebriche dello stato prossimo di un latch SR.
Esercizio 4
Disegnare il circuito logico di un latch di tipo D con abilitatore realizzato con porte logiche NAND.
Esercizio 5
Scrivere l’equazione dello stato prossimo di un latch di tipo D con abilitatore.
Esercizio 6
Disegnare il circuito logico di un antirimbalzo realizzato con porte NOR.
Esercizio 7
Utilizzando un integrato 7475 (quadruplo D latch) realizzare un registro parallelo di 4 bit.
Esercizio 8
A partire dall’andamento dei segnali D e ck di figura G1.26 costruire l’andamento dei segnali Qm e Qs di un flipflop D master-slave la cui uscita Qs commuta sul fronte di discesa del clock.
D
ck
Qm
Qs
t
Figura G1.26
Correlazioni dei segnali in un master-slave.
Esercizio 9
A partire dall’andamento dei segnali D e ck di figura G1.26 costruire l’andamento dei segnali Qm e Qs di un flipflop D di tipo data lock-out la cui uscita Qs commuta sul fronte di discesa del clock.
461
Esercitazioni
G1 • Circuiti sequenziali di base: latch e flip-flop
Modulo G • Circuiti logici sequenziali
462
Esercitazioni
Esercizio 10
A partire dall’andamento dei segnali D e ck di figura G1.26 costruire l’andamento dell’uscita Q di un flip-flop
D edge-triggered con clock attivo sul fronte di discesa.
Esercizio 11
Disegnare il diagramma degli stati di un flip-flop JK, scriverne la tabella di eccitazione e infine ricavare l’espressione dello stato successivo.
Esercizio 12
A partire da tutte le possibili situazioni provare che il circuito che trasforma un flip-flop SR in un JK (figura
G1.21) funziona correttamente.
Esercizio 13
Trasformare un flip-flop di tipo T in uno di tipo D.
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Spiegare la differenza tra un circuito combinatorio e uno sequenziale.
2. Illustrare il problema della corsa critica in un latch SR.
3. Spiegare perché non ha molto senso collegare più latch in cascata.
4. Descrivere un master-slave e il suo funzionamento.
5. Spiegare perché un flip-flop JK si deve realizzare con edge-triggered o con master-slave.
6. Spiegare come funziona un circuito realizzato con 4 flip-flop D collegati in cascata.
7. Dire in che modo un edge-triggered risolve il problema di corsa critica dei latch collegati in cascata.
8. Esporre la tecnica di trasformazione dei flip-flop da un tipo a un’altro.
Quesiti a scelta multipla
Scegliere la risposta corretta tra quelle proposte.
1. Un circuito logico sequenziale si distingue da uno combinatorio:
a per via dei diagrammi degli stati.
b perché al suo interno non ci sono solo porte logiche.
c perché il suo comportamento non è sempre lo stesso.
d perché almeno una sua uscita ritorna su qualcuno dei suoi ingressi.
2. La tabella di eccitazione di un latch SR:
a ha come ingressi S e R e come uscita lo stato successivo Q.
b non è per niente diversa da qualsiasi tabella della verità.
c in realtà ha tre ingressi: Q, S ed R, dove Q è lo stato presente.
d ha un’uscita che dipende dalle combinazioni di valori di S ed R.
3. Il problema della corsa critica in un SR consiste nel fatto che:
a con il valore SR = 11 l’uscita Q dipende dal tipo di porte NOR o NAND che realizzano il latch.
b passando da SR = 11 a SR = 00 lo stato successivo non è prevedibile.
–
c la combinazione 11 porta le uscite Q e Q
ad avere lo stesso livello logico.
d con la combinazione 11 non è prevedibile lo stato successivo.
4. In un latch di tipo D:
a lo stato successivo è esattamente quello imposto dall’ingresso.
b lo stato successivo dipende anche dall’abilitatore del latch.
c lo stato non può cambiare se il latch-enable è attivo.
d lo stato diviene uguale all’ingresso D non appena il latch-enable viene disattivato.
5. Il latch-enable:
a è un segnale di sincronismo che con il suo fronte attivo consente al latch di reagire agli altri ingressi.
b consente di manovrare sugli ingressi di eccitazione eliminando i problemi di corsa critica.
c quando non è attivo disabilita gli ingressi di eccitazione.
d quando è attivo abilita il latch a reagire agli ingressi di eccitazione mentre quando non è attivo pone il latch
nella condizione in cui mantiene lo stato appena raggiunto.
6. L’equazione di stato di un SR realizzato con porte NAND è:
–
a Q
n + 1 = S + R · Qn
–
b Q
n + 1 = S + R · Qn
–
c Q
n + 1 = S + R · Qn
– –
d Q
n + 1 = S + R · Qn
7. In un master-slave attivo sul fronte di discesa del clock:
a il master legge gli ingressi di eccitazione sul fronte di salita del clock e lo slave legge sul fronte di discesa ciò
che il master gli passa.
b lo slave commuta non appena il clock va sul livello basso, contemporaneamente il master conserva lo stato
ultimamente raggiunto e vi resta fino a che il clock non torna alto.
c il master legge gli ingressi di eccitazione durante tutto il tempo in cui il clock resta alto e lo slave può commutare durante tutto il tempo in cui il clock resta basso.
d il master legge gli ingressi di eccitazione fino a un istante prima della commutazione del clock al livello basso
e lo slave può commutare appena il clock passa dal livello alto a quello basso.
8. In un edge-triggered:
a si fa in modo che a ogni fronte attivo del clock i latch interni al dispositivo possano leggere gli ingressi di eccitazione durante intervalli di tempo appena sufficienti da consentire una sola commutazione per volta e poi
restino nella condizione di memoria.
463
Esercitazioni
G1 • Circuiti sequenziali di base: latch e flip-flop
Modulo G • Circuiti logici sequenziali
Esercitazioni
464
b è necessario utilizzare impulsi di clock così brevi da consentire una sola commutazione per volta.
c le commutazioni possono avvenire sul fronte attivo del clock mentre gli ingressi di eccitazione vengono
acquisiti durante tutto il precedente intervallo di tempo.
d le commutazioni possono avvenire sul fronte attivo del clock mentre gli ingressi di eccitazione vengono
acquisiti sul livello logico che precede il fronte attivo.
9. Un JK ha equazione di stato:
–
–
a S = JQ
n; R = KQn.
–
–
b Q
n + 1 = J Qn + KQ n.
–
c S = JQ
n; R = KQn.
–
–
d Q
= JQ + KQ .
n+1
n
n
10. Un JK si ottiene da un flip-flop SR mediante i seguenti collegamenti:
–
a l’uscita della AND di J con Q va su S, l’uscita della AND di K e Q
va su R.
n
n
b l’uscita della AND di J con Q va su S, l’uscita della AND di K e Q va su R.
n
n
–
c l’uscita della AND di J con Q
n va su S, l’uscita della AND di K e Qn va su R.
–
–
d l’uscita della AND di J con Q
n va su S, l’uscita della AND di K e Q n va su R.
465
Circuiti generatori
di segnali impulsivi
G2
Si propongono qui alcune applicazioni dei circuiti logici alla generazione di segnali adatti a pilotare in modo automatico sistemi sequenziali. Contestualmente si danno indicazioni su come
analizzare i processi in questi circuiti e calcolarne i tempi che li caratterizzano. I latch sono anche
detti multivibratori bistabili; posti in uno dei due stati stabili essi vi restano fino a che non
vengono dall’esterno sollecitati a passare nell’altro stato. I circuiti multivibratori monostabili
e astabili sono invece caratterizzati da uno o due stati quasi stabili. Raggiunto uno stato quasi
stabile essi vi restano solo per un intervallo di tempo determinato da processi di carica e scarica
di circuiti con resistenza e capacità trascorso il quale passano nell’altro loro stato.
G2.1 Monostabile mediante un latch SR
La figura G2.1 propone lo schema di un monostabile realizzato mediante un latch e ne
mostra la correlazione fra i segnali.
Inizialmente il circuito è resettato e se non lo fosse andrebbe a resettarsi dopo un
tempo sufficiente a far diventare attivo l’ingresso di reset del latch.
Quando l’impulso di trigger Vi setta il latch; l’uscita Vo passa al livello alto e comincia a caricare la capacità C2 attraverso la resistenza R2. La tensione Vc sull’ingresso
di reset cresce fino al livello ViH riconosciuto come alto; a questo punto il latch si resetta, Vo torna al livello basso e la capacità C2 si scarica attraverso il diodo.
Il circuito C1 – R1 in ingresso, sostituibile con un sistema che sfrutta l’alea statica
(come quello che vedremo in figura G2.3 b) deve rendere breve ma di durata sufficiente il segnale di set che avvia il transitorio; in tal modo, quando diviene R = 1 è già
S = 0. Dopo il reset il latch si trova con S = R = 0, e il suo stato non cambia fino all’arrivo di un nuovo impulso Vi.
V0
Vi
C1
S
Q
R
Q
V0
VCC
VC
t0
Figura G2.1 a, b
Monostabile
con SR (a) e
correlazione fra i
suoi segnali (b).
ViH
R1
R2
C2
VS
Vi
a)
b)
Modulo G • Circuiti logici sequenziali
466
Calcolo del tempo t0
La tensione Vc segue la legge di carica di una capacità C attraverso una resistenza R =
R2.
Supponendo che nella fase di carica sia Vo = Vcc , si ha: Vc = Vcc (1 – e–t/RC).
Detto t0 l’istante in cui diviene Vc = ViH, si scrive ViH = Vcc (1 – e–t0/RC) e si ricava t0:
Vcc – ViH = Vcc e–t0/RC Vcc/( Vcc – ViH) = et0/RC
t0 = RC ln(Vcc /( Vcc – ViH))
[G2.1]
Occorre tuttavia osservare che la tensione Vo al livello alto potrebbe essere diversa
da Vcc e dipendere dal valore della corrente fornita. Occorre perciò dimensionare R in
modo da limitare la corrente massima.
G2.2 Astabile mediante un latch SR
–
Il circuito di figura G2.2 utilizza anche l’uscita Q del latch per caricare un circuito RC e
agire sull’ingresso di set. Inizialmente le due capacità sono scariche, quindi è S = R = 0.
Si supponga il latch nello stato Q = 1: mentre resta Vs = 0 la tensione VR cresce con la
legge di carica del circuito R1C1 fino a raggiungere, dopo un tempo t1, la tensione
ViH. A questo punto il latch commuta allo stato Q = 0, la capacità C1 si scarica velocemente attraverso il diodo, e contemporaneamente inizia il processo di carica della capacità C2. Dopo un tempo t2, Vs raggiunge il valore riconosciuto come alto e il latch si
setta, C2 si scarica attraverso il diodo, VR torna a crescere e il ciclo si ripete.
La figura mostra anche la correlazione tra i segnali.
Calcolo dei tempi t1 e t2
I processi di carica di C1 e C2 sono del tutto simili a quello descritto per il precedente
circuito monostabile, pertanto valgono le relazioni:
t1 = R1C1ln(Vcc /(Vcc – ViH)) t2 = R2C2ln(Vcc /(Vcc – ViH))
[G2.2]
R2
Figura G2.2
Astabile con SR e
correlazione dei
segnali.
V0
t1
S
Q
R
C2
C1
Q
R1
V0
VR
t2
VCC
ViH
VCC
VS
ViH
G2.3 Monostabile con trigger di Schmitt
Il circuito monostabile di figura G2.3 a utilizza un trigger di Schmitt. Per comprenderne il funzionamento si consideri il MOS come un semplice interruttore normalmente aperto. In questa condizione di riposo i due ingressi della porta NAND sono normalmente al livello 1 e quindi è Vo = 0. Se l’interruttore viene chiuso la capacità si scarica abbastanza velocemente e divengono Vc = 0 e Vo = Vcc. Non appena l’interruttore
467
G2 • Circuiti generatori di segnali impulsivi
viene riaperto la capacità comincia a caricarsi, e la sua tensione, Vc, sale per raggiungere il valore finale Vcc. Questo processo si interrompe non appena viene raggiunta la
soglia Vt+ che fa tornare la Vo al livello 0.
L’impulso che provoca la scarica della capacità dovrebbe essere di durata trascurabile rispetto a quello generato in uscita, ma sufficiente a fare scaricare del tutto la capacità; è possibile ottenerlo con un circuito come quello di figura G2.3 b che sfrutta
l’alea statica; occorre però che il MOS possa essere attraversato da un impulso di corrente sufficientemente intensa. Nel caso proposto in figura l’uscita V1 si mantiene normalmente al livello alto; quando si schiaccia il pulsante si ottiene su V1 un breve impulso di trigger verso il basso durante il quale la capacità dovrebbe scaricarsi completamente, e terminato il quale inizia il transitorio. Vo resta sul livello alto dall’inizio dell’impulso a transitorio esaurito.
I diagrammi di figura G2.3 mostrano la correlazione tra i segnali: Vi diventa alto per
tutto il tempo in cui si agisce sul pulsante P; dal primo istante di attivazione del pulsante si genera l’impulso di trigger V1 che chiude l’interruttore MOS, e provoca la
transizione su Vo = 1. Terminato l’impulso V1 l’interruttore MOS si riapre e la carica
della capacità inizia; il ritorno allo stato d’equilibrio con interruttore aperto avviene
dopo un tempo:
t0 = RC ln(Vcc /(Vcc – Vt+ ))
[G2.3]
quando Vc raggiunge la soglia Vt+.
V0
VCC
t0
R
V0
U
V1
VC
VT+
VTÐ
C
VC
Figura G2.3 a, b, c
a) Monostabile con
trigger di Schmitt,
b) circuito di
comando,
c) correlazione
tra i segnali.
a)
V1
VCC
P
Vi
Vi
V1
b)
c)
Calcolo del tempo t0
L’equazione di carica della capacità C attraverso R con valore iniziale 0 e valore finale cui tende
Vcc è: Vc = Vcc(1 – e –t/RC ).
Quando t = t0 è Vc = Vt +, quindi:
Vt+ = Vcc (1 – e– t0/RC ); Vcc – Vt + = Vcc e– t0/RC;
ESEMPIO
1
ESEMPIO
2
Vcc /(Vcc – Vt+ ) = et0/RC
ln(Vcc /(Vcc – Vt+ )) = t0/ RC
da cui segue la relazione [G2.3].
Calcolare t0 dati R = 470 kΩ, C = 100 nF, Vcc = 5 V, Vt+ = 1,7 V.
■ t0 = RCln(Vcc /( Vcc – Vt +)) = 470
= 470 ·
10-4
· 0,42 = 20 ms
10 + 3
· 100 ·
10–9
· ln(5/(5 – 1,7)) =
Modulo G • Circuiti logici sequenziali
468
G2.4 Astabile con trigger di Schmitt
Un multivibratore astabile è un circuito che commuta con regolarità tra due livelli di
tensione: esso perciò è un generatore di impulsi. Lo schema di figura G2.4 mostra
un’applicazione delle porte NAND con trigger di Schmitt per generare segnali impulsivi. Se ne descrive di seguito il funzionamento.
Se si alimenta il circuito con Vcc = 5 V, quando V1 = 0 è Vo = H = 5 V; in queste condizioni la capacità si carica fino a che diviene Vi = 5 V.
Non appena si pone V1 = 5 V l’uscita della NAND (anche su Vi c’è un uno logico)
si porta al livello basso, Vo = L = 0 V; la capacità comincia a scaricarsi attraverso la resistenza R, Vi scende dal valore 5 V verso il valore 0 V, ma non appena diviene Vi = VT–
il trigger scatta e impone Vo = H = 5 V.
Da questo istante la capacità comincia a ricaricarsi e la Vi sale verso i 5 V, ma
quando dopo un tempo t1 la tensione Vi raggiunge il valore VT+ il trigger scatta nuovamente questa volta imponendo Vo = L = 0 V. La capacità torna a scaricarsi verso Vi = 0,
fino a raggiungere di nuovo dopo un tempo t2 la tensione Vi = VT–, e così di seguito. La
figura mostra anche la correlazione tra i segnali Vi e Vo. Per gli intervalli di tempo t1 e
t2 valgono le relazioni:
a) t1 = RC ln[(Vcc – VT–)/(Vcc – VT+ )]
Figura G2.4
Astabile con trigger
di Schmitt e
correlazione dei
segnali.
b) t2 = RC ln(VT+ /VT-)
V0
V1
t1
V0
VCC
Vi
C
ESEMPIO
3
[G2.4]
t2
Vi
VT+
R
VT–
Calcolo dei tempi t1 e t2
Supponendo che la porta logica sia in grado di fornire la massima corrente di carica e scarica del
circuito RC, si scrivono le due equazioni di carica e scarica della capacità, e si calcolano i valori
di t nel momento in cui Vi raggiunge il valore della soglia di commutazione. VH = VT+ – VT– è la
larghezza del ciclo di isteresi.
Durante la carica del condensatore è:
Vi = VT– + (Vcc – VT–)(1 – e–t/RC )
Imponendo t = t1 e Vi = VT+ si ottiene:
1 – (VT+ – VT-)/(Vcc – VT– ) = e– t1/RC
ln[1 – VH /(Vcc – VT– )] = – t1/RC
t1
= − ln ⎡⎣((Vcc − VT − ) − VH ) / (Vcc − VT − ) ⎤⎦ = ln ⎡⎣(Vcc − VT − ) / (Vcc − VT + ) ⎤⎦
RC
da cui la relazione [G2.4a]
Durante la scarica del condensatore è:
Vi = VT+ e–t/RC
imponendo t = t2 e Vi = VT– si ottiene:
VT– = VT+ e– t2/RC
et2/RC = VT+ / VT–
t2 = RC·ln(VT+ /VT– )
469
G2 • Circuiti generatori di segnali impulsivi
G2.5 Astabile realizzato con porte NOT CMOS
Le porte logiche CMOS hanno correnti di ingresso molto piccole (dell’ordine di
10 pA); inoltre i lori ingressi sono protetti da circuiti con diodi che impediscono ai segnali di ingresso troppo alti o negativi di giungere sui gate danneggiandoli (figura
G2.5 a). Questi circuiti “agganciano” una tensione positiva che supera quella di alimentazione a un livello di poco superiore a quello dell’alimentazione stessa; e una tensione negativa a un livello di poco inferiore a quello di riferimento.
Queste caratteristiche consentono di realizzare un generatore di impulsi mediante
schemi come quelli di figura G2.5 b e c utilizzando l’integrato 4049B. Con Vcc = 5 V
per la famiglia della serie 4000 si hanno ViLmax = 1,5 V e ViHmin = 3,5 V con una curva
di I/O piuttosto ripida. Inoltre, nei circuiti proposti, durante le transizioni di Vo la capacità realizza una retroazione positiva, rendendo ancora più brusca la commutazione.
Figura G2.5 a, b, c
a) Diodi di
protezione in
entrata sui CMOS;
b) e c) astabili
realizzati con porte
NOT CMOS.
VC
D2
in
R
CMOS
D1
out
N
M
a)
V0
R1
R2
R
VSS
B
A
C
b)
V0
C
D
VC
c)
Circuito di figura G2.5 b
Si consideri una caratteristica ingresso-uscita intermedia delle porte CMOS con livelli
di ingresso riconosciuti come uno zero logico fino a Vt = 2,5 V e come un uno logico
da Vt in su. Si pensino inoltre i circuiti d’uscita degli inverter come generatori di tensione Vcc accesi se i rispettivi ingressi sono al livello logico 0.
Se inizialmente è Vo = VM = 0, e quindi VN = Vcc, la resistenza R è percorsa da una
corrente nella direzione N a M che attraverso il circuito N-R-C-Vo, con Vo = 0, va a
caricare la capacità. In questa situazione, mentre resta Vo = 0, la tensione VM cresce tendendo al valore finale Vcc, ma, non appena superato il valore Vt essa è riconosciuta
come un livello alto, fa commutare l’uscita N (al livello basso), e Vo passa al livello
alto. Per breve tempo diviene VM = Vcc + Vt a causa della capacità che tra i suoi estremi
M e Vo ha ancora la tensione + Vt. Qui intervengono i diodi di protezione D2 che scaricano velocemente sull’alimentazione la capacità.
A questo punto la situazione è la seguente: Vo = VM = Vcc, VN = 0 V, una corrente attraversa il circuito Vo-C-R-N percorrendo la resistenza R in direzione M a N e la capacità si carica in senso opposto a quello precedente. Mentre rimane Vo = Vcc, la tensione del punto M dal valore iniziale Vcc scende tendendo al valore 0, ma non appena
questa supera il valore Vt viene riconosciuta come un livello basso e avviene una nuova
commutazione. Un istante prima erano VM = Vt, VN = 0 e Vo = Vcc; ora divengono
VN = Vcc e Vo = 0 e per breve tempo VM = –Vcc + Vt a causa della carica posseduta dalla
capacità nell’istante della commutazione. Questa volta sono i diodi D1 a
scaricare velocemente la capacità e la tensione VM torna subito al valore 0. V0
Il processo riprende quindi ciclicamente dal punto in cui se ne è iniziata
la descrizione. I diagrammi di figura G2.6 ne descrivono l’andamento.
I fenomeni di carica e scarica della capacità avvengono con legge puramente esponenziale se il circuito d’uscita delle NOT è in grado di fornire
le massime correnti previste, perciò deve essere Vcc /R < IOH. Se si utilizza
l’integrato 4049 alimentato a 5 V i valori tipici delle correnti d’uscita sono VM
IOL = 5,2 mA e IOH = –1,2 mA; in questo caso conviene utilizzare valori di
R > Vcc/IOH = 4,2 KΩ. Inoltre, poiché la capacità si carica alternativamente
con polarità diverse, non si possono utilizzare condensatori polarizzabili
solo in un verso come, per esempio, quelli elettrolitici o al tantalio.
Figura G2.6
Correlazione dei
segnali del circuito
di figura G2.5 b.
VCC
t1
t2
VCC
VT
Modulo G • Circuiti logici sequenziali
470
Calcolo dei tempi t1 e t2
Nella fase di crescita è VM = Vc = Vcc (1 – e–t/RC); detto t1 il tempo necessario a VM per
raggiungere il valore di soglia Vt, si ricava t1:
Vt = Vcc (1 – e–t1/RC)
e–t1/RC = 1 – Vt / Vcc
e+t1/RC = Vcc /( Vcc – Vt);
t1 = RC · ln(Vcc / (Vcc – Vt ))
[G2.5a]
Nella fase discendente è VM = Vcc · e–t/RC; detto t2 il tempo per tornare al valore Vt
si ricava t2:
Vt = Vcc · e–t2/RC; e +t2/RC = Vcc /Vt;
t2 = RC · ln(Vcc / Vt)
[G2.5b]
Nel caso sia p