MAGGIORANTE, MINORANTE, ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE
Ritorniamo allo studio dell’insieme R.
Dato un insieme A ⊆ R un numero M ∈ R si dice maggiorante per A se
a≤M
, ∀a ∈A .
Se l’insieme A ha almeno un maggiorante, esso si dice limitato superiormente, cioè A è
superiormente limitato se ∃ M ∈ R : a ≤ M , ∀ a ∈ A .
Se A non ha maggioranti, si dice non limitato superiormente.
La non limitatezza superiore di A equivale alla seguente condizione :
∀ M ∈ R ∃ a ∈ A : a > M.
Definizioni analoghe per minorante e limitatezza inferiore.
L’insieme N non è superiormente limitato ma è inferiormente limitato.
1
, ∀ n ∈ N è limitato sia superiormente che inferiormente
L’insieme A = x ∈ R : x =
n
1
≤ 1 , ∀n ∈ N.
poiché 0 <
n
Osserviamo che se A ha un maggiorante, allora ne ha infiniti (tutti i numeri maggiori).
Se A è limitato sia superiormente che inferiormente si dice limitato e, in tal caso,
∃m,M ∈ R : m ≤a≤ M ,∀ a ∈ A
(ciò equivale a dire che A ⊆ [ m , M ] ).
Si può dimostrare che A limitato sse ∃ k > 0 : | a | ≤ k , ∀ a ∈ A .
Se M ∈ A ed è maggiorante per A allora M si dice massimo.
1
, ∀ n ∈ N ha massimo (1) ma non ha minimo ( 0 ∉ A ).
L’insieme A = x =
n
Dato
A ⊆ R
,
L ∈R
si dice
L = sup A = sup a = sup { a : a ∈ A} se
estremo superiore per A , e si scrive
a∈A
1) L è maggiorante per A (ossia a ≤ A , ∀ a ∈ A )
2) L è il più piccolo dei maggioranti di A
ossia comunque si prenda un numero reale b più piccolo di L, si ha che b non è maggiorante per A,
cioè non è vera la relazione a ≤ b , ∀ a ∈ A dunque c’è almeno un elemento a ∈ A che non
la verifica ossia tale che a > b .
Abbiamo allora una seconda definizione equivalente di estremo superiore. In generale il numero b <
L si indica con L − ε con ε > 0 e si ottiene
L = sup A sse
a ≤L , ∀a ∈A
i)
13
ii)
∀ ε > 0 ∃ a ∈A : a > L− ε
a = a (ε ) .
Osserviamo che a dipende da ε ossia si ha
Analogamente l ∈ R , l = inf A sse
1) l è minorante per A (cioè a ≥ l , ∀ a ∈ A )
2) l è il più grande dei minoranti di A ( cioè ∀ ε > 0 ∃ a * = a * ( ε ) ∈ A : a * < l + ε ).
Esempi :
1)
1
A= x=
, ∀ n ∈ N , 0 = inf A , 1 = sup A = max A ,
n
2)
A=
3)
{x ∈ Q
}
: x2 ≤2
,
2 = sup A
( −1) n
A= x = 1+
, ∀ n ∈ N , 0 = min A , 3/2 = max A .
n
Se l’insieme A non è limitato superiormente (inferiormente) scriveremo sup A = + ∞
( inf A = - ∞ ).
Esempi :
1) A =
{ x ∈ R : x = ( −1)
n
n , ∀n ∈N
}
è non limitato inferiormente e superiormente,
2)
A = N è non limitato superiormente,
3)
A = Z e A = Q sono non limitati inferiormente e superiormente.
Teorema di Weierstrass
Se si ha A ⊆ R inoltre A ≠Φ
ed è limitato superiormente allora ∃ L ∈ R tale che
L = sup A.
Il Teorema non vale nell’insieme Q ( cioè non è vero che A ⊆ Q , A limitato superiormente
⇒ ∃ L ∈ Q : L = sup A) poiché in Q non vale l’assioma di completezza.
Le definizione date per gli insiemi si possono estendere alle funzioni procedendo come segue.
Data una funzione f : A → B con A , B ⊆ R , diremo che è superiormente limitata se lo è
C f cioè se ∃ M ∈ R :
f ( x) ≤ M , ∀ x ∈ A .
Definizioni analoghe per gli altri casi.
Ad esempio L = sup A ⇔
L = sup Cf
cioè
1)
f ( x) ≤ L , ∀ x ∈ A
2)
∀ ε > 0 ∃ x = x ( ε ) ∈ A : f (x) > L − ε .
Esempi :
1)
la funzione
f ( x) = x 2
non è limitata superiormente nel suo dominio R ma lo è
inferiormente,
14
2) la funzione
f ( x)=
R − {0} .
1
x
non è limitata inferiormente e superiormente nel suo dominio
Tra le funzioni hanno particolare importanza le successioni che sono funzioni il cui dominio è
l’insieme N.
In questo caso si usa una notazione diversa
funzioni
x → f ( x ) ( g ( x ), h ( x ) , ..... )
successioni
n → a n ( bn , c n , .....)
Se vogliamo indicare tutta la successione useremo i simboli
{ a n } n ∈ N , {a n } , { a n } n , ( a n ) n ∈ N , ( a n ) n , ( a n ) .
Alle successioni si estendono tutte le definizioni precedenti.
l = inf a n ( con l ∈ R ) ⇔
Ad esempio
n∈N
1)
2)
an ≥ l , ∀ n
∀ ε > 0 ∃ n = n ( ε )
:
an < l + ε .
Fare esempi con successioni
La funzione parte intera
Definiamo una funzione
f : R0+ → R che ad ogni
x ≥ 0
naturale o nullo minore o uguale a x e la indichiamo con [ x ] .
Si ha
0 ≤x < 1 ⇒ [x] = 0
1 ≤ x < 2 ⇒ [ x ] = 1 ...
1
Vale la proprietà
2
3
[ x] ≤ x < [ x] + 1 , ∀ x ≥ 0.
Funzioni monotone
Una funzione f : D f → R
monotona non decrescente
se
si dice
x1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 )
15
associa il più grande numero
monotona crescente
se
x1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) < f ( x 2 )
(analoghe definizioni per non crescente e decrescente).
La funzione f ( x ) = e x è crescente mentre f ( x ) = [ x ]
Osserviamo che
è non decrescente.
⇒ f iniettiva .
f crescente o decrescente
Successioni monotone
La successione { a n } n è
monotona non decrescente se
a n ≤ a n +1 , ∀ n
a n < a n +1 , ∀ n
monotona crescente se
(analoghe definizioni per non crescente e decrescente).
Osserviamo che se { a n } è non decrescente o crescente si ha
a 1 = min a
n∈ N
n
.
ELEMENTI DI TOPOLOGIA IN R
Vogliamo definire cosa significa essere vicino ad un punto x 0 ∈ R e, per questo, associamo al
punto la famiglia di tutti gli insiemi del tipo
] x0 - ε , x0 + ε [ (detti intervalli centrati in x0 di
+
0
raggio ε ) al variare di ε in R (con abuso di linguaggio li chiameremo intorni di x0 ).
Definizione : dato un insieme A ⊆ R, un punto x 0 ∈ R si dice di accumulazione per A se
∀ ε > 0, ∃ a ∈ A : a ≠ x0 e a ∈ ] x 0 − ε , x0 + ε [ o anche
∀ ε > 0 si ha che
A ∩ ] x0 − ε , x0 + ε [ −
{ x0 }
≠
Φ.
Si dimostra che :
Condizione necessaria perché A abbia un punto di accumulazione è che A abbia infiniti elementi.
L’avere infiniti elementi non è sufficiente perché ci siano punti di accumulazione, infatti l’insieme
N non ha punti di accumulazione in R.
Vale il Teorema ( di Bolzano –Weierstrass)
Se A ⊆ R è limitato e con infiniti elementi allora ∃ x 0 ∈ R :
IL REALE AMPLIATO
~
E’ l’insieme R = R ∪
{−∞,
x0 è di accumulazione per A.
+ ∞}.
Anche qui si vuole definire il concetto di vicinanza e, per gli elementi + ∞ e − ∞ , agli intervalli
centrati si sostituiscono le semirette. Più precisamente
a + ∞ si associano gli insiemi
]M , +∞ [
a
− ∞ si associano gli insiemi
]− ∞ , − M [
al variare di M in R+.
Con questa convenzione, la definizione di elemento di accumulazione diventa:
16
per un insieme
A
⊆
R
,
∀ M > 0 ∃ a ∈ A : a ∈ ] M , + ∞ [ ossia
+
∞
è
di
accumulazione
se
∀ M > 0 ∃ a ∈ A : a > M .
Dunque si può affermare che :
+ ∞ è di accumulazione per un insieme A ⇔ A è non limitato superiormente.
Analoghe definizioni e conclusioni per - ∞ .
Riassumendo, dato un insieme A ⊆ R con infiniti elementi, si hanno le seguenti possibilità:
1) A è limitato , allora per il Teorema di Bolzano – Weierstrass ∃ x 0 ∈ R di accumulazione
per A,
2) A non è limitato superiormente (inferiormente) , allora + ∞ ( - ∞ ) è di accumulazione per
A.
Punti interni
Dato A ⊆ R , x 0 ∈ A si dice interno ad A se ∃ ε > 0 : ] x 0 − ε , x 0 + ε [ ⊆ A .
Si pone
A0 =
{
x ∈ A : x è int erno ad A} .
Osservazione :
se A 0 ≠ Φ , allora A
se A è numerabile allora
è continuo,
A0=
Φ.
Esempio :
se A = ] a , b [ oppure A = [ a , b ] oppure A = [ a , b [ oppure A = ] a , b ] in tutti i casi si ha
A 0 = ] a , b [.
Se A = A 0 allora A si dice aperto, mentre A si dice chiuso se il suo complementare C A è aperto.
Esempi :
1) ] a , b [ è aperto
2) [ a , b ] è chiuso
3) ogni insieme formato da un numero finito di elementi è chiuso.
Punti frontiera
Dato A
⊆
R
,
x 0 ∈ A si dice di frontiera per A se ∀ ε > 0 si ha che
]x0 − ε , x0 + ε [ ∩ A ≠ Φ
e
]x0 − ε , x0 + ε [ ∩CA ≠ Φ .
Esempi:
1) i punti frontiera dell’insieme ] a , b [ sono i punti a e b,
2) se A ha un numero finito di elementi allora tutti i suoi punti sono di frontiera.
17
DEFINIZIONE DI LIMITE
f : A → R
Data
( con A = Df ⊆ R ) si vuole definire matematicamente la seguente
situazione :
quando x si avvicina ad un elemento x0 (rimanendo in A) ma senza raggiungerlo, si ha che la
relativa immagine f ( x ) si avvicina ad un elemento l che chiameremo limite di f ( x ) per x che
tende a x0 e scriveremo lim
f ( x) = l .
x → x0
Una prima definizione matematica è la seguente :
lim
f ( x ) = l ⇔ comunque si prenda un intorno I1 di l
x → x0
che
{ x0 }
∀ x ∈ I2 ∩ A −
esite un intorno I2 di x0 tale
si ha che f ( x ) ∈ I 1 .
Osservazione :
perché abbia senso parlare di limite, è necessario che x0 sia di accumulazione per A.
Dalla definizione generale precedente, si deducono le varie definizioni specificando chi sono gli
insiemi I1 e I2 .
10 caso :
x0 ∈ R , l ∈ R
( I1 e I2 sono intervalli centrati nei rispettivi punti) si ottiene
⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ = δ (ε )>0 : 0< |x − x0 | < δ, x ∈A
lim f ( x ) = l
x → x0
⇒ |f( x) −l|< ε .
20 caso :
x0
= +∞ , l ∈ R
( I1 è un intervallo centrato in l e I2 è una semiretta, osserviamo che è necessario che A sia non
limitato superiormente) si ottiene
lim f ( x ) = l ⇔ ∀ ε > 0 ∃ M = M ( ε ) > 0 : x > M , x ∈ A ⇒ | f ( x ) − l | < ε .
x→ + ∞
(Scrivere le definizioni negli altri casi)
Osserviamo che nel caso x 0 = + ∞ , rientrano le successioni che ora tratteremo.
LIMITE DI SUCCESSIONI
In questo caso si ha A = N dunque l’unico valore possibile per x 0 è
+ ∞ (in quanto N è non
limitato superiormente e non ha punti di accumulazione in R). Dalla definizione scritta nel secondo
caso per le funzioni si ha
lim a n = l ∈ R ⇔ ∀ ε > 0 ∃ M = M ( ε ) > 0 : ∀ n > M si ha | a n − l | < ε
n →+∞
o, equivalentemente,
⇔ ∀ ε > 0 ∃ n = n ( ε ) : ∀ n > n ( ε ) si ha | a n − l | < ε .
Osserviamo che, poiché la variabile n può tendere solo a
scriveremo brevemente lim a n . ( o anche solo lim a
n
18
n
+ ∞ ,
oppure
invece di
an → l )
lim a n
n →+ ∞
Avremo poi
lim a n = + ∞ ( − ∞ ) ⇔ ∀ M > 0 ∃ n = n ( M ) : ∀ n > n si ha a n > M ( a n < − M ) .
n
l ∈ R , diremo che la successione è convergente
= + ∞ ( − ∞ ) , diremo che la successione è divergente
non esiste , diremo che la successione è in det er min ata o oscillante o irregolare
lim a n
n
Esempi :
k è convergente
a n = n è divergente
( − 1 ) n è in det er min ata
PRIMI TEOREMI SULLE SUCCESSIONI
Teorema 1 ( di unicità del limite)
Se ∃ lim a n esso è unico.
n
Teorema 2 (di limitatezza)
Se una successione è convergente allora essa è limitata.
Non vale il viceversa.
Teorema 3 ( della permanenza del segno)
Se ∃ lim a n = l ∈ R − { 0 }, allora ∃ n * :
a n l > 0 , ∀ n > n* .
n
Teorema 4 ( sul valore assoluto )
Se ∃ lim a n = l ∈ R allora
∃ lim | a n | = | l | .
n
n
Osservazioni :
- può esistere
lim | a n | e non
lim a n ;
n
- vale il seguente viceversa
n
: lim | a n | = 0 ⇒ lim a n = 0 .
n
n
Teoremi di confronto
Teorema 5
Se ∃ n * : a n ≤ b n , ∀ n > n * , si ha
lim a n = + ∞ ⇒ lim b n = + ∞ mentre
n
n
lim b n = − ∞ ⇒ lim a n = − ∞ .
n
n
Teorema 6 ( dei due carabinieri)
Se ∃ n * : a n ≤ b n ≤ c n , ∀ n > n * , inoltre
allora ∃ lim b n = l .
n
19
∃ lim a n = lim c n = l ∈ R ,
n
n
Teorema 7
Se ∃ n * : a n ≤ b n , ∀ n > n * e
∃ lim a n = l1 , ∃ lim b n = l 2
n
n
l1 ≤ l 2 .
allora
Osservazione : se in quest’ultimo teorema si ha come prima ipotesi a n < b n , ∀ n > n * , la
tesi è ancora
l1 ≤ l 2
( e non l1 < l 2 ) come mostra il seguente
Esempio :
an = 0
, bn =
1
n
in cui
l1 = l 2 = 0 .
Regole di calcolo dei limiti
Teorema 8 ( somma e prodotto )
Se ∃ lim a n = l1 ∈ R e ∃ lim b n = l 2 ∈ R
n
n
∃ lim ( a n + b n ) = l1 + l 2 ed
∃ lim
n
n
allora
a n b n = l1 l 2 .
Teorema 9 ( reciproco )
~
Se ∃ lim a n = l ∈ R allora
n
∃ lim
n
1
an
=
1
se l ∈ R − { 0 }
l
0 se l = + ∞ ( − ∞ )
+ ∞ ( − ∞ ) se l = 0 e ∃ n * : a n > 0 ( a n < 0 ) , ∀ n > n * .
Da questo Teorema con a n = n , si ottiene
lim
n
bn
an
Dai Teoremi sul prodotto e sul reciproco, poiché
1
= 0 .
n
=
bn
1
an
, si deduce il
Teorema 10 ( quoziente )
Se
∃ lim b n = l1 ∈ R
n
ed ∃ lim a n = l 2 ∈ R − { 0 } allora
n
∃ lim
n
bn
an
=
l1
.
l2
Osservazione
può esistere il limite di somme e prodotti ma non esistere i limiti degli addendi o
fattori.
Altro Teorema sul prodotto è il seguente :
Teorema 11
Se ∃ lim a n = 0
n
Esempio :
Terminologia
ed ∃ M > 0 : | b n | ≤ M , ∀ n
a n = ( −1)n
:
se
1
.
n
lim a n = 0 ,
allora
∃ lim a n b n = 0 .
n
si dice che la successione è infinitesima;
n
se
lim a n = + ∞ ( − ∞ ) , si dice che è un infinito.
n
Forniamo ora Teoremi per il calcolo di limiti di somme o prodotti quando almeno uno degli addendi
o dei fattori ha limite + ∞ oppure − ∞ .
20
Teorema 12
Se ∃ lim a n
n
=
+ ∞ ( − ∞)
ed
∃ M ∈ R : b n > M ( bn < M ) , ∀ n ∈ N
allora ∃ lim ( a n + b n ) = + ∞ ( − ∞ ) .
n
~
Osserviamo che se ∃ lim b n = l ∈ R , l’ipotesi del Teorema precedente è certamente verificata
n
se l = + ∞ oppure l ∈ R .
Teorema 13
Se ∃ lim a n = + ∞ ed ∃ M > 0 e ∃ n * : b n > M ( b n < − M ) , ∀ n > n *
n
allora ∃ lim a n b n = + ∞ ( − ∞ ) .
n
~
Osserviamo che se ∃ lim b n = l ∈ R , l’ipotesi del Teorema precedente è certamente verificata
n
se l = + ∞ ( - ∞ )
Analogo Teorema vale se
oppure l ∈ R + ( l ∈ R − ).
∃ lim a n = − ∞ .
n
Con queste Proposizioni si possono studiare anche i limiti di quozienti.
Osserviamo che dai Teoremi esposti rimangono escluse alcune situazioni. Sono le cosiddette forme
indeterminate ossia forme nelle quali non si può dare una risposta di carattere generale ma che
devono essere trattate caso per caso.
Le forme indeterminate sono:
per la somma + ∞ + ( − ∞ ) , per il prodotto
0 ⋅ ∞ , e per il quoziente
0
∞
,
0
∞
intendendo con quei simboli successioni che tendono a quei valori.
Teorema 14 ( sulle successioni monotone)
~
Se { a n } è monotona, allora ∃ lim a n = l ∈ R , in particolare
n
l
sup a n se c' è monotonia crescente o non decrescente
= n
a n se c' è monotonia decrescente o non crescente
inf
n
Caso particolare
:
an
= ( 1+
1 n
) ,
n
è crescente dunque
∃ lim a n = sup a n .
n
Poiché la succesione è limitata, tale limite è finito. Si pone, per definizione
1 n
lim ( 1 +
) = e (numero di Nepero, base dei logaritmi naturali).
n
n
Si dimostrano le seguenti estensioni del precedente risultato :
1 m
1 an
lim ( 1 +
) = e ; lim a n = + ∞ ( − ∞ ) ⇒ lim ( 1 +
)
= e .
m→ −∞
n
n
m
an
Per proseguire lo studio di limiti di successioni in forma particolare premettiamo
Alcune proprietà delle funzioni e x e ln x
21
n
Si dimostrano le seguenti uguaglianze
e x0 ∀ x 0 ∈ R
ln x 0 se x 0 ∈ R +
lim ln x = 0
lim e x = + ∞ se x 0 = + ∞ ;
se x0 = 0
x → x0
x → x0
0
se x0 = − ∞
+ ∞ se x0 = + ∞
~
Da ciò si deduce che se lim f ( x ) = l ∈ R , si ottiene
x → x0
e se l ∈ R
= + ∞ se l = + ∞
0 se l = − ∞
ln l
se l ∈ R +
ln f ( x ) = + ∞ se l = + ∞
− ∞ se l = 0
l
lim e f ( x )
x → x0
lim
;
x → x0
Analoghe uguaglianze si ottengono per le successioni
e an
, { ln a n } .
{
}
Successioni in forma esponenziale
Sono successioni del tipo
( a n ) bn
{
( a n ) bn = e ln
Si ha
an
bn
= e bn
}
ln an
che esistono , se bn ∈ R, per an > 0.
, pertanto, per le proprietà precedenti, per studiare il limite
della successione ( a n ) bn si studia il limite della successione
bn ln a n che si presenta sotto
forma di prodotto. La prima successione si presenta in forma indeterminata tutte le volte che la
seconda è in forma indeterminata ossia quando per il prodotto si ha la forma 0 ⋅ ∞ . Sempre tenuto
conto delle proprietà precedenti sulle funzioni e x
e ln x , si ottengono le seguenti forme
indeterminate per le successioni in forma esponenziale
0 0 , ∞ 0 , 1∞ .
n
1
Osserviamo che la successione 1 + è in forma esponenziale ed è in forma indeterminata del
n
terzo tipo.
Qualora la successione in forma esponenziale non sia in forma indeterminata, utilizzando i Teoremi
precedenti se ne può studiare il limite, ad esempio vale il seguente
Teorema 15
se lim a n = l1 ∈ R + , lim bn = l 2 ∈ R allora lim ( a n ) bn = ( l1 ) l2 .
n
n
n
Infiniti e loro confronto
Come già detto, una successione è un infinito se lim a n = + ∞ ( − ∞ ) . Se abbiamo due infiniti,
n
li confrontiamo studiando il limite del loro quoziente. Poniamo la seguente
22
Definizione
lim
n
an
bn
=
Esempi :
l ∈ R − {0} ⇔ i due inf initi sono dello stesso ordine
0 ⇔ l ' inf inito a numeratore è di ordine inf eriore a quello a den om inatore
+ ∞ ( − ∞ ) ⇔ l ' inf inito a numeratore è di ordine sup eriore a quello a den om inatore
non esiste ⇔ inf initi non confrontabili .
con
bn = n si ha
1)
an = n 2
2)
a n = 2 n + 1 dello stesso ordine
3)
an =
4)
a n = ( 2 + ( −1 ) n ) n non confrontabili.
a
lim n = 1 (caso particolare di infiniti dello stesso ordine) diremo che an è
n
bn
Se
di ordine superiore
n + 1 di ordine inferiore
bn e scriveremo an
asintotico a
ι bn .
Vale il seguente Principio di sostituzione degli infiniti : nello studio di limiti di quozienti di
∞
infiniti ( f. i.
)si possono trascurare a numeratore e/o a denominatore (separatamente) quegli
∞
infiniti che sono di ordine inferiore rispetto ai rimanenti.
Infiniti fondamentali :
gli infiniti che seguono sono disposti in ordine crescente rispetto alla loro “velocità”
ln n ( log a n , ∀ a > 1 ) ; n a , ∀ a > 0 ; e n ( a n , ∀ a > 1 ) ; n ! ; n n .
Limite notevole
:
lim
Sottosuccessioni
Data una successione
chiama sottosuccesione
n
n
n = 1.
{ a n }n ∈ N , considerato un insieme
{ a n }n ∈ N , la legge che a ∀ n
'
N ' ⊆ N con infiniti elementi, si
∈ N'
associa
an (in pratica si
trascurano i termini di indice che non sta nell’insieme fissato, ossia si restringe il dominio).
La sottosuccessione può anche essere così indicata an / N’ (an ristretta ad N’ )
Casi particolarmente importanti sono N’ = P , N’ = D .
lim a n / N ' = l ∈ R ⇔
Si ha n
∀ ε > 0 ∃ n * ( ε ) : ∀ n > n * ( ε ) con n ∈ N ' si ha
Analoghe definizioni con l = ± ∞ .
23
an − l
<ε
Vale il Teorema 16
~
se ∃ lim a n = l ∈ R allora
n
∀ N' ⊆ N
si ha
lim a n / N ' = l .
n
Dunque, se ∃ N 1 ⊆ N ed ∃ N 2 ⊆ N : lim a n / N 1 = l1
, lim a n / N 2 = l 2 ≠ l1
n
n
si può concludere che non esiste lim a n .
n
Vale pure il Teorema 17
~
se ∃ lim a n / P = l ∈ R ,
n
∃ lim a n / D = l allora ∃ lim a n = l .
n
n
24
