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Giacomo Pagina
Giovanna Patri
Percorsi di matematica
per il ripasso e il recupero
2
per la Scuola secondaria di secondo grado
UNITÀ
CAMPIONE
Edizioni del Quadrifoglio
à
t
i
n
U
2
Radicali
In questa Unità affrontiamo l’operazione
inversa della potenza.
2.1
Radicali algebrici e aritmetici
2.2
Caratteristiche del radicale
2.3
Semplificazione e riduzione di radicali
2.4
Trasporto dentro-fuori il segno di radice
2.5
Operazioni con radicali
2.6
Razionalizzazione del radicale
Unità 2
2.1 Radicali algebrici e aritmetici
Prof
Considerato un numero reale a e un numero naturale n non nullo, si
definisce radice algebrica n-esima di a, il numero reale b tale che
​b n​ ​= a
In simboli, la radice algebrica n-esima di a si scrive come
__
√
​  n a ​ =
__
b
__
dove √
​  n a ​ è il radicale, n è l’indice della radice, a è il radicando, ​√  ​ è
il segno di radice e b è la radice algebrica n-esima di a (o semplicemente il valore del radicale).
Esempio
La radice algebrica quarta di 16 è ± 2; in simboli
__
√
​  4 16 ​ = ± 2
Infatti, se eleviamo alla quarta potenza i numeri + 2 o − 2 otteniamo 16, cioè
(± 2​) ​4​ = 16
Ricordiamo che la potenza con esponente pari è sempre positiva.
La radice di indice generico n di 0 è 0; in simboli
__
Infatti
n
​ √
0 ​ = 0 ∀n ∈ ℕ, n ≠ 0
​0 n​ ​= 0
La radice algebrica può non esistere per determinati valori del radicando. Occorre
quindi determinare il campo di esistenza (C.E.) del radicale, cioè l’insieme delle
condizioni per cui il radicale esiste, tenendo presente la seguente distinzione.
• Radicali con indice di radice n pari: il campo di esistenza per il radicando a comprende solo i numeri reali non negativi (a ∈ ​ℝ​  +0​ ​).
• Radicali con indice di radice n dispari: il campo di esistenza per il radicando a comprende tutti i numeri reali (a ∈ ℝ).
Esempio
____
4
Determiniamo il campo di esistenza di ​ √
a − 2 ​.
L’indice di radice è 4, dunque pari. Di conseguenza, occorre imporre che il
radicando sia maggiore o uguale a 0, cioè
a−2≥0
Il campo di esistenza della radice data comprende quindi i valori di a tali che
a≥2
36
Radicali
Oltre ai radicali algebrici, esistono anche i radicali aritmetici, in cui il radicando è
un numero non negativo. Il radicale aritmetico, pertanto, è un numero non negativo
ed è unico, qualunque sia l’indice della radice.
Quindi: considerato un numero reale non negativo a e un numero naturale non
nullo n, si definisce radice aritmetica n-esima di a il numero reale non negativo
b tale che
​b n​ ​= a
In simboli
__
n
​ √
a ​ = b
Esempio
La radice algebrica quadrata di 25 assume i valori + 5 e − 5. Invece la radice
aritmetica quadrata di 25 è solo uguale a 5.
Esercizi 2.1
Determina il C.E. dei seguenti radicali algebrici.
Trainer
____
4
x − 1 ​
1. ​ √
Poiché l’indice della radice è
..........
, l’esistenza del radicale algebrico
si ottiene imponendo che il radicando sia
..............................
, quindi
..................
≥ .................,
cioè x ≥ ...........
√
__
1 ​ ​
2. ​ ​ __
x
_____
√ 2x − 4
10  ​ ​
3. ​ ​ ______
_____
6
4. ​ √
1 − 2x ​
Trainer
____
3
x + 2 ​
5. ​ √
Poiché l’indice della radice è .........., l’esistenza del radicale algebrico è
garantita ...............................
_____
5
6. ​ √
2x − 6 ​
√
_____
x − 2  ​ ​
7. ​  ​ ______
2x − 1
3
____
4
8. ​ √
3​a 2​ ​b ​
____
√x − 1
x + 1 ​ ​
9. ​  ​ _____
4
_____
6
10. ​ √
4​x 2​ ​​y 2​ ​ ​
_____
11. ​√ ​x 2​ ​ + 6 ​
37
Unità 2
2.2 Caratteristiche del radicale
Prof
Da questo paragrafo considereremo solo radicali aritmetici, chiamandoli semplicemente radicali.
▶▶
__
n
Un radicale ​ √
a ​ può essere moltiplicato per un generico numero o un generico
monomio k. In tale caso si afferma che il radicale ha come coefficiente il numero
o monomio k e viene indicato come
__
n
k ​ √
a ​
▶▶
Due o più radicali sono definiti simili se hanno lo stesso indice di radice e lo stesso
radicando.
Esempio
__
__
I radicali √
​ 7 ​ e − 2​√7 ​hanno coefficienti diversi ma, avendo uguale indice di
__
23
√ 5 ​
radice e radicando,
sono
simili.
Anche
i
radicali
con
coefficienti
letterali
​
a
​
​ ​ 
__
e (a − b) √
​  3 5 ​sono simili.
▶▶
In generale, il radicando può essere una potenza con esponente m, cioè
___
n
​ √
​a m​ ​ ​
Quindi la radice n-esima di a
__
n
​ √
a ​
___
n
non è altro che ​ √
​a m​ ​ ​ con esponente del radicando unitario, cioè m = 1.
È possibile sostituire la radice con un esponente frazionario: si toglie il segno di
radice e si eleva il radicando a un esponente che ha come numeratore l’esponente
del radicando e come denominatore l’indice della radice, cioè
___
m
__
n
​ √
​a ​m​ ​ = ​a ​​  n​ ​
Esempio
__
__
​  1 ​
Il radicale √
​ 8 ​è uguale a ​8 ​2​.
__
__
​  3 ​
Se esprimiamo 8 come ​2 ​3​, il radicale è √
​ ​2 ​3​ ​, che risulta uguale a ​2 ​2​.
▶▶
Per i radicali è valida la seguente proprietà invariantiva: il valore di un radicale
non cambia se si moltiplicano o si dividono sia l’indice di radice che l’esponente
del radicando per uno stesso numero naturale non nullo, cioè
___
n
​ √
​a ​m​ ​ = ​ 
38
np
___
√ ​a ​mp​ ​ ___
n
√
o ​ 
​a ​m​ ​ = ​ 
n:p
___
√ ​a ​m:p​ ​
Radicali
Una conseguenza diretta della proprietà invariantiva è che
__
___
__
1
n
​ √
​a n​ ​ ​ = ​  n:n√ ​a n:n
​ ​ ​ = ​ √
​a 1​ ​ ​ = a
se cioè il radicando ha per esponente l’indice del radicale,“sparisce” il segno di radice.
Se n = 1, come già detto, il simbolo di radice non si scrive.
Se n = 2, si omette l’indice di radice e si ha la radice quadrata.
Esempi
_____
_____
3
6
Il radicale ​ √ a​b 2​ ​​c 3​ ​ ​è uguale al radicale ​ √ ​a 2​ ​​b 4​ ​​c 6​ ​ ​; infatti abbiamo applicato
la proprietà invariantiva moltiplicando per 2 l’indice della radice e l’esponente di ciascun fattore del radicando.
_____
______
3
6
Il radicale ​ √ ​a 10
​ ​​b 12
​ ​​c 4​ ​ ​è uguale al radicale ​ √ ​a 5​ ​​b 6​ ​​c 2​ ​ ​; infatti abbiamo diviso
per 2 l’indice della radice e l’esponente di ciascun fattore del radicando.
▶▶
▶▶
Esercizi 2.2
Trasforma in radicali le seguenti potenze a esponente frazionario, considerando positive le lettere che compaiono.
Trainer
2 ​
​ __
5
12. ​3 ​ ​
La potenza equivale a un radicale che ha per indice il ...........................................
dell’esponente e per radicando una potenza che ha per base la stessa base e
per esponente il ............................................................ dell’esponente. Quindi
___
___
......
​3 ​ ​ = ​  √ 3 ​ ​ ​ ​ = ​  ....√ ........ ​
2 ​
​ __
5
....
2 ​
​ __
13. ​2 ​ 3​
( 3)
1
__
2 ​ ​ ​​ 2 ​​
14. ​​ ​ __
5 ​
​ __
15. ​(3x) ​8​
Trainer
2 ​
− ​ __
3
16. ​3 ​ ​
Applicando la proprietà delle potenze, rendi positivo l’esponente
2 ​
− ​ __
1  ​
​3 ​ 3​ = ​ ____
​ .​.....​
3
2 ​
− ​ __
1  ​ .
___
quindi trasforma la potenza in radicale 3
​  ​ 3​ = ​ ______
....
......
​  √ 3 ​ ​ ​ ​
1 ​
− ​ __
17. ​5 ​ 2​
3 ​
− ​ __
18. ​2 ​ 4​
2
__
1 ​​− ​ 5 ​​
19. ​​ __
6
39
Unità 2
Scrivi come potenze a esponente frazionario i seguenti radicali, considerando positive le lettere che compaiono.
Trainer
__
20. ​√ ​6 ​3​ ​
Il radicale equivale a una potenza che ha per base la stessa base del
..................................................
e come esponente una frazione avente denominatore uguale
..................................................
della radice e numeratore uguale .................................................. del radi-
cando. Quindi
__
......
​ ____​
√
​ ​6 ​3​ ​ = ​6 ​ ......​
__
____
5
21. ​ √
​2 ​3​ ​
3
23. ​ √
a + b ​
____
__
7
24. ​ √ a
​ 5​ ​​b 3​ ​ ​
4
22. ​ √
8 ​
________
25. √
​  3 ​x 2​ ​(x + ​y 2​ ​ ) ​
1__ ​
26. ​ ____
7
√
​  ​2 ​5​ ​
2.3 Semplificazione e riduzione di radicali
Prof
Un radicale è in forma irriducibile quando l’indice della radice e
l’esponente del radicando sono numeri primi fra loro.
Esempi
▶▶
▶▶
___
Il radicale ​ √ ​a 12
​ ​ ​non è irriducibile perché l’indice della radice 18 e l’esponente del radicando 12 non sono numeri primi fra loro.
__
5
Il radicale ​ √ ​a 2​ ​ ​è irriducibile perché l’indice della radice 5 e l’esponente del
radicando 2 sono numeri primi fra loro.
Ricordiamo che due o più numeri sono primi fra loro quando hanno come
divisore comune solo il numero 1.
18
La semplificazione di un radicale consiste nel ridurlo in forma irriducibile e si esegue con i seguenti passaggi:
1. si calcola il massimo comune divisore (M.C.D.) tra l’indice della radice e l’esponente del radicando;
2. applicando la proprietà invariantiva, si dividono l’indice della radice e l’esponente
del radicando per il M.C.D. trovato.
40
Radicali
Esempio
Il radicale
____
​  ​a ​ ​​b ​ ​​ ​
√​  ____
​c ​ ​
4
4
8
6
non è in forma irriducibile. Infatti l’indice della radice (4) e gli esponenti
dei fattori del radicando (4, 8 e 6) non sono fra loro numeri primi.
Procediamo alla semplificazione, cioè portiamo il radicale in forma irriducibile.
1. Il M.C.D tra l’indice 4 e gli esponenti 4, 8 e 6 è 2.
2. Dividiamo indice ed esponenti per 2, portando il radicale in forma irriducibile
____
√
2 4
​ ____
​  ​a ​ ​​b3 ​ ​​ ​
​c ​ ​
Attenzione: se il radicando è un polinomio, il radicale non si può semplificare, a
meno che il polinomio non si possa scomporre in fattori.
Esempi
▶▶
Il radicale
________
4
√
​  ​a 2​ ​ + 2a + 1 ​
ha come radicando un polinomio che possiamo scomporre in fattori come
quadrato del binomio a + 1. Quindi
______
​  4 (a + 1​) 2​ ​ ​
√
A questo punto procediamo con la semplificazione. Il M.C.D. tra l’indice
della radice e l’esponente del radicando è 2.
Quindi dividiamo indice ed esponente per 2, portando il radicale in forma
irriducibile
____
√
​ a + 1 ​
▶▶
Il radicale
________
√
​ ​a 3​ ​ + a
​ 2​ ​ + 1 ​
non può essere scomposto in fattori, quindi è irriducibile.
Può essere utile trasformare due o più radicali, inizialmente con indice di radice diverso, in radicali con lo stesso indice di radice. Tale operazione è definita riduzione
e si esegue con i seguenti passaggi:
1. si calcola il minimo comune multiplo (m.c.m.) tra tutti gli indici dei radicali e si
pone come indice comune per tutti i radicali;
2. si divide il m.c.m. per ciascun indice e si moltiplica il quoziente per l’esponente di
ciascun fattore del rispettivo radicando.
41
Unità 2
Esempio
Riduciamo al medesimo indice di radice i seguenti radicali
__
__
__
√ ​a ​ ​ ​ ​√ a ​
√
​  3 a ​ ​ 
4
2
1. Il m.c.m. tra gli indici 3, 4 e 2 è 12.
2. Dividiamo 12 per i tre indici, e moltiplichiamo ogni quoziente per i rispettivi esponenti dei radicandi: otteniamo la riduzione
__
__
__
​  √ ​a 4​ ​ ​ ​  √​a 6​ ​ ​ ​  √​a 6​ ​ ​
12
12
12
Riduciamo al medesimo indice di radice i seguenti radicali
____
_____
____
4 x − y ​ ​
​  8 x + y ​ ​ 
√​x ​ ​ + ​y ​ ​ ​
√
√
2
2
Il m.c.m. degli indici è 8; i rispettivi radicali con indice di radice comune diventano
____
______
_______
​  8 x + y ​ ​ 
√(x − y​) ​2​ ​ ​ √(​x ​ ​ + ​y ​ ​​) 4​ ​ ​
√
8
8
2
2
Esercizi 2.3
Semplifica i seguenti radicali aritmetici, considerando positive le lettere che
compaiono.
27.
Trainer
__
8
​ √
16 ​
Scomponi in fattori primi il radicando 16 = 2.......
Determina il M.C.D. tra l’indice della radice e l’esponente del radicando:
M.C.D. = ...........
Applica la proprietà invariantiva: dividi sia l’indice del radicale che l’esponente del radicando per il M.C.D. e ottieni
__
√
​  8 16 ​ = ..........
__
9
28. ​ √
27 ​
__
6
29. ​ √
81 ​
___
√ 64
27 ​ ​
30. ​  ​ ___
6
____
√ 25
144 ​ ​
31. ​  ​ ____
4
42
___
6
32. ​ √
512 ​
____
6
33. ​ √
​x 3​ ​​y 6​ ​ ​
_____
6
34. ​ √
8​a 9​ ​​b 3​ ​ ​
Radicali
35.
Trainer
__________
​√   
​x 2​ ​ + 10x + 25 ​
Il radicando è una somma algebrica. Dapprima trasforma la somma
in una potenza e quindi semplifica il radicale
__________
_____
​√   
​x 2​ ​ + 10x + 25 ​ = ​√ (..........​) ​2​ ​ = ..........
________________
6
36. ​ √
  
​ 3​ ​ + ​b 3​ ​ + 3​a 2​ ​b + 3a​b 2​ ​ ​
a
______
37. √
​  8 (x + 1​) ​6​ ​
________
38. √
​  9 ​x 3​ ​(x − 5​) ​6​ ​
Riduci allo stesso indice i seguenti radicali aritmetici.
__
Trainer
__
5
​3 ​2​ ​
39. ​√ ​2 ​3​ ​; ​ √
Determina il m.c.m. tra gli indici della radice dei due radicali:
m.c.m.(2, 5) = ...........
Dividi il m.c.m. trovato per il “vecchio” indice di radice: per la prima radice
il quoziente è ...................., mentre per la seconda è .....................
Applica la proprietà invariantiva: moltiplica sia l’indice del radicale che l’esponente del radicando per i quozienti ottenuti
__
___
__
___
....
...
...
5
​√ ​2 ​ ​ ​ = ​  √ ​  2  ​ ​; ​ √
​3 ​2​ ​ = ​  √ ​  3  ​ ​
3
....
 ​ ​
 ​ ​
__
__
__
__
3
40. √
​ 3 ​; ​ √
2 ​
6
41. ​√ 2 ​; ​ √
3 ​
___
____
4
42. ​ √
a​b 4​ ​ ​; ​ √ ​a 3​ ​​b 2​ ​ ​
6
____
____
4
43. √
​ x + 1 ​; ​ √
x + 5 ​
___
Trainer
___
3
4
9​a 3​ ​ ​; ​ √ 8​a 4​ ​ ​
44. ​ √
Prima di procedere con la riduzione allo stesso indice, scomponi in
fattori primi i radicandi.
__
__
3
45. ​ √
12 ​; ​√ 27 ​
______
__
46. √
​  4 (x + 1​) ​3​ ​; ​√ x ​
43
Unità 2
2.4 Trasporto dentro-fuori il segno di radice
Prof
È possibile trasportare dentro il segno di radice il coefficiente
positivo k di un radicale elevandolo all’indice della radice, cioè
___
__
n
n
k​ √
a ​ = ​ √
​k n​ ​a ​
Se il coefficiente k ha esponente p, si ha, secondo le regole delle potenze,
____
__
n
n
​k p​ ​​ √
a ​ = ​ √
​k pn
​ ​a ​
Osserviamo che il termine trasportato dentro il radicale diventa fattore del radicando.
Esempi
▶▶
Dato il radicale
__
3
__
​  1 ​ ​ √
16 ​
2
1 ​ .
trasportiamo dentro il segno di radice il coefficiente ​ __
2
1 ​all’indice di radice 3 e portare la nuova
Dobbiamo semplicemente elevare ​ __
2
potenza sotto il segno di radice come fattore del radicando, cioè
______
√( )
__
__
3
3
3
__
​  1 ​ ​ √
16 ​ = ​  3 ​​ __
​  1 ​ ​ ​ ​16 ​ = ​ √
2 ​
2
2
▶▶
Dato il radicale
____
​a 2​ ​​b 4​ ​ ​ √2a​c 2​ ​ ​
5
trasportiamo dentro il segno di radice il coefficiente ​a 2​ ​​b 4​ ​, dopo averlo elevato all’indice di radice 5, cioè
____
________
_______
​a 2​ ​​b 4​ ​ ​ √2a​c 2​ ​ ​ = ​ √​a 10
​ ​​b 20
​ ​2a​c 2​ ​ ​ = ​ √2​a 11
​ ​​b 20
​ ​​c 2​ ​ ​
5
5
5
Se il radicando è composto da fattori, è possibile trasportare fuori dal segno di
radice i fattori che hanno esponenti maggiori o uguali all’indice della radice. Si possono presentare i seguenti due casi.
• Esponente divisibile per l’indice di radice: si divide l’esponente per l’indice di radice
e il quoziente diventa l’esponente del fattore fuori dalla radice.
Esempio
Dato il radicale
____
​√9​x 4​ ​y ​
valutiamo quali fattori possiamo trasportare fuori dal segno di radice.
Se poniamo 9 come ​3 ​2​, il radicale diventa
_____
​√​3 ​2​​x 4​ ​y ​
44
Radicali
A questo punto osserviamo che dei tre fattori che compongono il radicando,
solo ​3 ​2​e ​x 4​ ​hanno esponente maggiore o uguale a 2. Possiamo quindi trasportali fuori dalla radice, dividendo i rispettivi esponenti per 2 e ottenendo
_
3​x 2​ ​ ​√y ​
• Esponente non divisibile per l’indice di radice: si scompone il relativo fattore del radicando in un prodotto di fattori, in modo che un fattore abbia il massimo esponente
divisibile per l’indice di radice e si possa quindi trasportare fuori dal segno di radice.
Esempio
Dato il radicale
_____
3
√
​  8​a 7​ ​​b 2​ ​ ​
valutiamo quali fattori possiamo trasportare fuori dal segno di radice.
Se poniamo 8 come ​2 ​3​, il radicale diventa
_____
3
√
​  ​2 ​3​​a 7​ ​​b 2​ ​ ​
Osserviamo che i fattori ​2 ​3​e ​a 7​ ​hanno esponente uguale o maggiore di 3. Però
7 non è divisibile per 3. Scomponiamo quindi ​a 7​ ​in fattori, in modo che uno
dei fattori abbia esponente il massimo multiplo di 3, cioè a
​ 7​ ​ = (​a 6​ ​) (a).
Il radicale diventa
__________
​  3 ​2
  
 ​3​(a
​ 6​ ​) (a) b
​ 2​ ​ ​
√
Applicando le regole del trasporto fuori dalla radice, otteniamo
____
2​a 2​ ​ ​ √a b
​ 2​ ​ ​
3
A volte i coefficienti di un radicale o il radicando non sono composti da fattori, ma da
polinomi. In questi casi per il trasporto dentro-fuori è necessario che il polinomio-coefficiente o il polinomio-radicando siano scomponibili in fattori (Unità 5, Volume 1).
Esempio
Dato il radicale
_____________
3
​√​a
  
​ ​b − 2​a 2​ ​​b 2​ ​ + a​b 3​ ​ ​
valutiamo se è possibile il trasporto fuori dal radicale.
Il radicando è un polinomio: occorre quindi scomporlo in fattori. Innanzitutto
raccogliamo il fattore ab, ottenendo
_____________
​√ab
  
(​a 2​ ​ − 2ab + ​b 2​ ​) ​
Il fattore tra parentesi è il quadrato di un binomio, quindi
________
​√ab (a − b​) ​2​ ​
A questo punto abbiamo nel radicando un fattore con esponente uguale all’indice 2 della radice e quindi possiamo portarlo fuori, ottenendo
___
(a − b) ​√ab ​
45
Unità 2
Esercizi 2.4
Trasporta sotto radice i fattori esterni, considerandoli positivi.
Trainer
__
4
47. 2 ​ √
5 ​
Puoi trasportare il coefficiente 2 all’interno della radice se lo elevi a
una potenza uguale ………………………… della radice, cioè
__
______
4
2 ​ √ 5 ​ = ​ √ ​  (​2 ​ ​) ​ (5) ​ = ​ √
4
4
...
____
.......... ​
___
√ 81
__
5  ​ ​
48. 3 ​  ​ ___
3
51. (x + y) √
​  4 x ​
____
√x + 1
__
√9
3  ​ ​
52. (x + 1) ​  3 ​ _____
3 ​ ​ ​ __
8 ​ ​
49. ​ __
2
__
50. 3a​b 2​ ​ ​√ 2b ​
Trasporta fuori dalla radice, considerando i fattori positivi.
Trainer
__
53. √
​ 12 ​
.....
Scomponi il radicando in fattori primi: 12 = (​2 ​ ​) (3).
Poiché l’esponente del fattore 2 è uguale all’indice della radice, 2 può essere
portato fuori dividendo l’esponente per ........... L’esponente di 3 è invece minore
dell’indice della radice e quindi il fattore 3 .............................................................................:
__
​√ 12 ​ = .......... ​√
____
.......... ​
__
__
55. ​√ 50 ​
54. ​√ 28 ​
Trainer
__
3
56. ​ √
48 ​
Scomponi il radicando in fattori primi: 48 = (​2 ​4​) (3).
Poiché l’esponente del fattore 2 è maggiore dell’indice della radice, 2 può
essere portato fuori. L’esponente di 2 non è multiplo dell’indice della radice,
.....
.....
quindi scrivi ​2 ​4​ = (​2 ​ ​) (​2 ​ )​ e porta fuori ........... L’esponente di 3 è invece minore
dell’indice della radice e quindi il fattore 3 .............................................................................:
__
3
√
​  3 48 ​ = .......... ​ √
46
____
.......... ​
Radicali
______
__
3
57. ​ √
81 ​
4
59. ​ √
​2 ​3​ ​3 ​7​ ​5 ​8​ ​
58. ​√ ​x 5​ ​​y 9​ ​ ​
60. ​ √ ​x 5​ ​ ​
____
62.
3
____
61. ​ √ ​a 7​ ​​b 4​ ​ ​
3
__
Trainer
_________
​√   
​a 3​ ​ + 2​a ​2​ + a ​
Scomponi dapprima il radicando, quindi esegui il trasporto fuori
dalla radice.
63.
______
√ 4a + 4b
_______________
​√   
12​a 3​ ​b − 12​a 2​ ​b + 3ab ​
3
5
64. ​ _______
​  3​a ​ ​​b ​ ​  ​ ​
2.5 Operazioni con radicali
Prof
Analizziamo le operazioni di addizione algebrica, moltiplicazione e divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice con
i radicali.
L’addizione algebrica è possibile solo tra radicali simili, cioè radicali con medesimo
indice di radice e radicando. La somma ottenuta è un radicale simile con coefficiente
uguale alla somma algebrica dei coefficienti dei radicali.
Esempio
Svolgiamo l’addizione algebrica
__
__
2 ​ ​√__
3 ​√5 ​ − 4 ​√5 ​ + ​ __
5 ​
3
I termini dell’addizione sono radicali simili, e dunque la somma è
(
)
2 ​ ​​√__
1 ​ ​√__
​ 3 − 4 + ​ __
5 ​ = − ​ __
5 ​
3
3
Svolgiamo l’addizione algebrica
____
____
__
__
3
3
3
3
a ​ √
x + 1 ​ + 2b ​ √
x ​ − 2a ​ √
x + 1 ​ + ​ √
x ​
Possiamo calcolare la somma del primo radicale e del terzo, del secondo radicale e del quarto
____
__
____
__
3
(a − 2a) √
​  3 x + 1 ​ + (2b + 1) √
​  3 x ​ = − a ​ √
x + 1 ​ + (2b + 1) √
​  3 x ​
Attenzione: non sempre i radicali da addizionare algebricamente appaiono simili;
in tal caso occorre procedere al trasporto dentro-fuori il segno di radice per eventualmente renderli tali e, dunque, procedere con il calcolo della somma algebrica.
47
Unità 2
Esempio
Svolgiamo l’addizione algebrica
___
__
____
3
3
3
b ​ √​a 3​ ​b ​ + a ​ √ ​b 4​ ​ ​ − 22 ​ √ ​a 3​ ​​b 4​ ​ ​
L’addizione non contiene radicali simili, ma possiamo effettuare il trasporto
fuori dal segno di radice per renderli tali. Infatti, se scomponiamo i rispettivi
radicandi nel seguente modo
______
___
________
3
3
3
b ​ √ ​a 3​ ​b ​ + a ​ √
(​b 3​ ​) (b) ​ − 22 ​ √
​a 3​ ​ (​b 3​ ​) (b) ​
possiamo trasportare i fattori fuori dal segno di radice in modo da rendere
simili i radicali, e quindi procedere con il calcolo della somma algebrica
__
__
__
__
3
3
3
3
ab ​ √
b ​ + ab ​ √
b ​ − 22ab ​ √
b ​ = − 20ab ​ √
b ​
La moltiplicazione e la divisione sono possibili solo tra radicali con il medesimo
indice di radice. Il prodotto è un radicale che mantiene il medesimo indice e con
radicando il prodotto dei radicandi, cioè
__
____
__
n
n
n
​ √
​a m​ ​ ​ ​ √
​b p​ ​ ​ = ​ √
​a m​ ​​b p​ ​ ​
Il quoziente è un radicale che mantiene il medesimo indice e con radicando il quoziente dei radicandi, cioè
__
√
___
n
m
​ √
​a m​ ​ ​
_____
​  n __p  ​ = ​  n ___
​  ​a ​p ​ ​​
​b ​ ​
​ √ ​b ​ ​ ​
Attenzione: non sempre i radicali da moltiplicare o dividere hanno il medesimo indice; in questi casi occorre procedere alla riduzione al medesimo indice dei radicali
coinvolti nella moltiplicazione e divisione.
Esempio
Svolgiamo la moltiplicazione
____
___
__
√ √
1
__
​  √8​x ​ ​​y ​ ​ ​ ​  ___
​  2x
y ​ ​ ​ ​  x ​ ​
10
3 2 5
Gli indici dei tre radicali non sono uguali: occorre quindi procedere alla riduzione. Il m.c.m. dei tre indici è 10. Dividiamo 10 per ciascun indice e moltiplichiamo ogni quoziente per gli esponenti dei fattori del relativo radicando
____
​  √8​x ​ ​​y ​ ​ ​ ​ 
10
____
√
3 2 10
√
__
​2 ​2​​x ​ ​2​ ​ ​  10 __
​ ____
​  15 ​ ​
2
​y ​ ​
​x ​ ​
Ora possiamo moltiplicare i tre radicali sotto la comune radice decima
______
√
​  10
32​x 5​ ​​y 2​ ​
______
​  5 2 ​ ​
​x ​ ​​y ​ ​
Semplificando, otteniamo il risultato finale
__
__
__
​  10√ 32 ​ = ​  10√​2 ​5​ ​ = ​√2 ​
48
Radicali
▶▶
L’elevamento a potenza di un radicale consiste nell’elevare a potenza il suo
radicando, cioè
___ p
___
n
n
(​​ ​ √
​a ​m​ ​)​ ​ ​ = ​ √
​a ​mp​ ​
Esempio
Svolgiamo l’elevamento a potenza
__
(​​ √
​  5 3 ​)​ ​4​
Dobbiamo elevare il radicando 3 a esponente 4, cioè
__
√
​  5 ​3 ​4​ ​
▶▶
L’estrazione di radice di un radicale consiste nel porre il radicando sotto un
unico segno di radice con indice uguale al prodotto dei due indici di radice
____
___
___
pn
n
​ √ ​ √
​a ​m​ ​ ​ = ​  √ ​a ​m​ ​
p
Esempio
Svolgiamo l’estrazione di radice
___
__
3
√
​  ​√3 ​ ​
Dobbiamo porre il radicando 3 sotto il segno di radice con indice uguale al
prodotto degli indici dei due radicali (3 e 2), cioè
__
√
​  6 3 ​
Esercizi 2.5
Calcola le seguenti somme algebriche di radicali, considerando positivi tutti
i fattori.
__
__
Trainer
__
65. 3 ​√ 5 ​ + 6 ​√ 5 ​ − 4 ​√ 5 ​
I tre addendi sono radicali simili, quindi la somma algebrica è un radicale .............................. con coefficiente pari alla .............................. dei .............................. dei radicali
__
__
__
3 ​√ 5 ​ + 6 ​√ 5 ​ − 4 ​√ 5 ​ = .......... ​√
__
__
__
____
.......... ​
__
3
3
3
3
66. 2 ​ √
6 ​ − 4 ​ √
6 ​ + 8 ​ √
6 ​ − ​ √
6 ​
__
__
__
___
___
__
67. ​x 2​ ​ ​√ 3 ​ + 2x ​√ 3 ​ + ​√ 3 ​
__
___
___
5
5
5
5
68. 3 ​ √
2a ​ − 7 ​ √
2a ​ + ​√ 2 ​ + 4 ​√ 2 ​ + ​ √
2a ​ − 5 ​ √
2a ​
__
__
__
69. ​√ 12 ​ + 5 ​√ 3 ​ − ​√ 27 ​
49
Unità 2
__
__
__
__
1 ​ ​√ 2 ​ + 2 ​√ 18 ​ − 4
70. √
​ 16 ​ + ​√ 12 ​ − ​ __
__
__
2
__
__
__
__
71. 2 ​√ 2 ​ + 3 ​√ 32 ​ + 2 ​√ 50 ​ − ​√ 48 ​ − 15 ​√ 2 ​ + 3 ​√ 3 ​
___
__
__
3
1 ​ ​ √
3
72. ​ √
27x ​ − ​ √ ​x 3​ ​ ​ + ​ __
x ​
9
2
___
_____
_
3
3
3 y ​ + ​ √
73. ​ √
​x 6​ ​y ​ + ​ √
8​x 3​ ​​y 4​ ​ ​
______
_____
______
_____
74. ​√ 4 + 4​x 2​ ​ ​ − ​√ 1 + ​x 2​ ​ ​ − ​√ 9 + 9​x 2​ ​ ​ + 4 ​√ 1 + ​x 2​ ​ ​
_______
__________
________
75. ​√ 4​a 3​ ​ + 8​a 2​ ​ ​ + ​√   
4​a 3​ ​​b 2​ ​ + 8​a 2​ ​​b 2​ ​ ​ − 2 ​√ 9​a 3​ ​ + 18​a 2​ ​ ​
Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni di radicali, considerando positivi tutti i fattori e trasporta, se possibile, esternamente i fattori.
__
Trainer
__
76. ​ √ 2 ​ ​ √ 5 ​
3
3
I due radicali hanno lo stesso indice: il prodotto è un radicale avente
....................
indice e per radicando .................... dei radicandi; quindi
__
__
___
3
√
5 ​ = ​  ....√ .......... ​
​  3 2 ​ ​ √
__
__
__
__
__
___
__
5
78. ​ √
2x ​ √
​  4​x 2​ ​ ​
3
3
77. ​ √
8 ​ ​ √
2 ​
5
___
___
79. √
​ 2 ​ ​√ 7a ​ √
​ a​b 2​ ​ ​
Trainer
80. ​ √ 2 ​ ​√ 2 ​
4
Riduci dapprima i due radicali allo stesso indice:
___
__
4
...
√
​  2 ​ √
​  ​​  2 ​ ​ ​ ​
4
Esegui la moltiplicazione e ottieni il prodotto:
___
4
...
√
​  ​​  2 ​ ​ ​ ​
__
__
√
__
81. √
​ 6 ​ ​ √ 5 ​
3
82. ​ √ 4 ​ ​ √ 6 ​ ​√ 5 ​
3
9
____
√
____
____
√
_____
____
√ 4a​b ​​
__
√​ __53 ​ ​
125
88. ​  ​ ____
 ​ ​ : ​  4
3
4
6
4
1  ​ ​
​  2a​b 2​ ​ ​ ​  3 ​ _____
85. ​ √
4​a 2​ ​ ​ √
3
50
2
√
_____
2xy 27​a 2​ ​b
84. ​  6 ​ ____ ​ ​ ​  4 ​ ______
 ​ ​
3ab 8​x 2​ ​​y 2​ ​
___
√
______
√
_______
(2a − 3​) 2​ ​
2a + 3 ​ ​ ​ ________
87. ​ √ 4​a ​ ​ − 9 ​ ​  6 ​ ______
​ 
 ​ ​
2a − 3
2a + 3
___
√
______
3
4
83. ​ √
8​a 3​ ​b ​ √
​  6 4a ​
____
√
____
(a + 2​) 3​ ​
a − 2 ​ ​ ​  4 ​ _____
​a 2​ ​  ​ ​ ​  8 _______
86. ​ ​ _____
​ 
 ​ ​
a+2 a−2
​ 3​ ​
a
__
__
____
__
__
___
9
89. ​√ 3 ​ : √
​  6 3 ​
_____
90. ​ √ 2​a 3​ ​ ​ : √
​  8​a 5​ ​​b 2​ ​ ​
6
Radicali
__
___
__
__
√3 √ 9
__
__
x ​ ​ √
3
2
93. ​√ ​ __
​  6 ​ __
y ​  ​y ​ ​ ​ : √
x ​ ​
3
32 ​ ​
2 ​ ​ : ​  4 ​ ___
91. ​ √
4 ​ ​ ​ __
__
__
__
4
92. ​ √
18 ​ ​√ 8 ​ : √
​  3 2 ​
√
y
___________
____
√(
)
a ​ + ​ __
b ​ + 2 ​ ​ ___
a  ​ ​ : ​   
1  ​ ​
94. ​  ​ _____
​ ​ __
a+b
b a
ab
3
Esegui l’elevamento a potenza dei seguenti radicali.
__
______
3
98. ​​(​ √
(x + 1​) ​2​ ​)​ ​4​
95. ​​(​√ 5 ​)​ ​4​
__
___
3
96. ​​(​ √
2 ​)​ ​5​
(√ 2 )
__
3
99. ​​(​a 2​ ​b ​ √
ab ​)​  3​ ​
3
3 ​ ​ ​ ​ ​
97. ​​ ​ ​ __
__
__
Trainer
100. (​​ 2 ​√ 2 ​ + ​√ 5 ​)​ ​ ​
2
__
__
​ 2 ​)​ ​2​ = .........., il quaCalcola il quadrato del primo termine: (​​ 2 ​√ 2 ​)​ ​2​ = ​2 ​2​ ​​(√
__ 2
drato del secondo termine: (​​ ​√ 5 ​)​ ​ ​ = .......... e il doppio prodotto del primo termi__
__
ne per il secondo: 2 ​(2 ​√ 2 ​)​ ​(√
​ 5 ​)​ = 4 ​√
____
. Il risultato è
.......... ​
__
__
2
​​(2 ​√ 2 ​ + ​√ 5 ​)​ ​ ​ = ......................................................................
__
__
__
__
3
102. (​​ ​ √
a ​ + ​ √ ​b 2​ ​ ​)​ ​ ​
2
3
3
101. ​​(​ √
2 ​ − ​ √
5 ​)​ ​ ​
3
3
Esegui l’estrazione di radice dei seguenti radicali, considerando positivi tutti
i fattori.
103.
Trainer
___
__
√
​ √
​  5 4 ​ ​
La radice di un radicale è un radicale che ha per indice il ................................
__
degli indici, quindi ​ ...√ 4 ​. Scomponi il radicando in fattori primi 4 =
semplifica il radicale, ottenendo il risultato ​ √
...
___
__
104. ​√ √
​  3 9 ​ ​
____
__
4 3
√
105. ​ √
​  12 ​ ​
____
..........
e
.
.......... ​
______
____
3
106. √
​ √
​  25​a 2​ ​ ​ ​
Trainer
____
__
4
107. √
​  2 ​ √
3 ​ ​
3
Porta dentro la radice quarta il fattore 2, quindi estrai la radice.
108.
____
__
6
​√ 3 ​ √
2 ​ ​
____
__
√ √2
1 ​ ​ ​
109. ​  2 ​  3 ​ __
4
_______
____
110. ​√ a ​√ a + 1 ​ ​
51
Unità 2
2.6 Razionalizzazione del radicale
Prof
La razionalizzazione del radicale consiste nel trasformare frazioni
con a denominatore uno o più radicali in frazioni equivalenti senza
radicali a denominatore. In questo modo risulta più semplice elaborare le frazioni per calcolare, per esempio, un m.c.m.
La razionalizzazione sfrutta la proprietà invariantiva delle frazioni: moltiplicando il
numeratore e il denominatore per uno stesso termine diverso da zero, il valore della
frazione non cambia.
A seconda di come si presentano i radicali al denominatore della frazione, si procede
a una diversa razionalizzazione. Esaminiamo quattro casi.
b__ ​
Primo caso: frazione del tipo ​ ____
√
​ a ​
__
Si razionalizza moltiplicando numeratore e denominatore per il termine ​√ a ​
__
__
__
√
​ a ​ b​√ a ​ _____
b​√ a ​
b__ ​ = ​ ____
b__ ​ ____
​  __ ​ = ​ _____
__ ​ = ​ 
​ ____
a ​
√
2
​ a ​ ​√ a ​ ​√ a ​ √
​ ​a ​ ​ ​
dove nel secondo passaggio si è calcolato il prodotto tra due radicali con uguale indice di radice e nell’ultimo si è semplificato il radicale a denominatore.
Esempio
Razionalizziamo la frazione
_____
​  5 __ ​
7 ​√3 ​
__
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per √
​ 3 ​e procediamo con i calcoli e le semplificazioni
5 __ ​
_____
​  5 __ ​ = ​ _____
7 ​√3 ​ 7 ​√3 ​
__
__
√
​ __
3 ​ _____
5 ​√ 3 ​
​ ____
 ​ = ​ 
 ​
21
√
​ 3 ​
b___ ​
Secondo caso: frazione del tipo ​ _____
n
​ √
​a m​ ​ ​
____
n
Si razionalizza moltiplicando numeratore e denominatore per il termine ​ √ ​a ​n−m​ ​
b__ ​ = ​ _____
b__ ​
​ _____
n
n
​ √
​a m​ ​ ​ ​ √
​a m​ ​ ​
____
____
____
____
n
n
n
n
n−m
​ √
​a ​n−m​ ​ ____________
b ​ √
​a n−m
​ ​ ​
b ​ √
​a
​ ​ ​ _______
b ​ √
​a n−m
​ ​ ​
______
________ ​ = ​ _______
__ ​
 ​
​  n ____
= ​ 
  
= ​ 
 ​
n
n
m
n−m
a
n
√
​ √ ​a ​n−m​ ​ ​ √
​ 
a
​
​
​ ​
  
(​a ​ ​) (​a ​ ​) ​
dove nel secondo passaggio si è calcolato il prodotto tra due radicali con uguale indice di radice e nell’ultimo si è semplificato il radicale.
52
Radicali
Esempio
Razionalizziamo la frazione
____
​  5 3__ ​
√
​  8 ​
__
5
Scriviamo il denominatore
come ​ √
​2 ​3​ ​, quindi moltiplichiamo numeratore e
__
5
denominatore per ​ √​2 ​2​ ​e procediamo con i calcoli e le semplificazioni
__
__
__
√ ​2 ​2​ ​ _____
√ 4 ​
√ ​2 ​2​ ​ ______
3__ ​ ____
____
​  5 3__ ​ = ​ ____
​  ​ 5 __
 ​ = ​  3 ​ 5 __
 ​ = ​  3 ​   ​
5
3
3
2
5
2
√
​  ​2 ​ ​ ​ √
​  ​2 ​ ​ ​ √
​  ​2 ​ ​ ​ √
​  ​2 ​ ​ ​
5
5
5
m __ ​
Terzo caso: frazione del tipo ​ _________
__
√
​ a ​ ± ​√ b ​
Si esegue la razionalizzazione moltiplicando numeratore e denominatore per il ter__
__
mine ​√ a ​ ∓ ​√ b ​ , in modo da avere a denominatore il prodotto notevole somma per
differenza (Unità 4, Volume 1).
__
__
(​ √
​ a ​ ∓ ​√ b ​)​
m __ ​ = ​ __________
m __  ​ ___________
​ _________
​   
__  ​
__
__
__
√
​ a ​ ± ​√ b ​ (​ √
​ a ​ ± ​√ b ​)​ (​ √
​ a ​ ∓ ​√ b ​)​
Eseguiamo il prodotto e otteniamo
__
__
__
__
__
__
m ​(√
​ a ​ ∓ ​√ b ​)​ _____________
m ​(​√ a ​ ∓ ​√ b ​)​ _____________
m ​(​√ a ​ ∓ ​√ b ​)​
__
​ _____________
  
  
  
 ​
__ 2 ​ = ​   
__ ​ = ​   
__ 2
a−b
(
√
​​ √
​ a ​)​  ​ ​ − ​​(√
​ b ​)​  ​ ​
​ ​a 2​ ​ ​ − ​√ ​b 2​ ​ ​
dove nel primo passaggio abbiamo usato la definizione di potenza di un radicale e
nell’ultimo abbiamo semplificato i radicali.
Esempio
Razionalizziamo la frazione
10 __ ​
__________
__
​ 
2 ​√2 ​ − ​√3 ​
__
__
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per 2 ​√2 ​ + ​√3 ​e procediamo con
i calcoli e le semplificazioni
__
__
__
__
​(2 ​√ 2 ​ + ​√3 ​)​ ______________
10 ​(2​√2 ​ + ​√ 3 ​)​ ( √__ √__)
10 __ ​ = ​ ___________
10 __  ​ ​ ___________
__
​ __________
  
  
 ​ = 2 ​ 2​ 2 ​ + ​ 3 ​ ​
__
__
__  ​ = ​   
8−3
2 ​√2 ​ − ​√3 ​ ​(2 ​√2 ​ − ​√3 ​)​ ​(2 ​√2 ​ + ​√3 ​)​
m
Quarto caso: frazione del tipo ​ _________
__ 3 __ ​
√
​  3 a ​ ± ​ √
b ​
Si esegue la razionalizzazione moltiplicando numeratore e denominatore per il termi__
__ 3 __
3
3
ne √
​  ​a ​2​ ​ ∓ ​ √
ab ​ + ​ √ ​b ​2​ ​ , in modo da avere a denominatore il prodotto notevole che
dà la somma o la differenza di due cubi (Unità 4, Volume 1).
__
__
__
3
3
(​ √
​  ​a ​2​ ​ ∓ ​ √
ab ​ + ​ √
​b ​2​ ​)​
m __ ​ = ​ __________
m __  ​ __________________
​ _________
 ​
  
​ 
__
__
__
__
__
3
3
3
3
3
√
​  3 a ​ ± ​ √
b ​ ​(√
​  3 a ​ ± ​ √
b ​)​ (​ √
​  ​a ​2​ ​ ∓ ​ √
ab ​ + ​ √
​b ​2​ ​)​
3
53
Unità 2
Eseguiamo il prodotto e otteniamo
__
__
__
__
__
__
__
__
__
3
3
3
3
3
3
3
3
3
m ​(√
​  ​a 2​ ​ ​ ∓ ​ √
ab ​ + ​ √
​b 2​ ​ ​)​ ____________________
m ​(√
​  ​a 2​ ​ ​ ∓ ​ √
ab ​ + ​ √
​b 2​ ​ ​)​ ____________________
m ​(√
​  ​a 2​ ​ ​ ∓ ​ √
ab ​ + ​ √
​b 2​ ​ ​)​
__
​ ____________________
  
  
 ​ = ​ 
  
  
 ​ = ​ 
  
  
 ​
__
__
__
3
3
a±b
(​​ √
√
​  3 a ​)​  3​ ​ ± ​​(√
​  3 b ​)​  3​ ​
​  ​a 3​ ​ ​ ± ​ √
​b 3​ ​ ​
dove nel primo passaggio abbiamo usato la definizione di potenza di un radicale e
nell’ultimo abbiamo semplificato i radicali.
Esempio
Svolgiamo la razionalizzazione della frazione
2a
_____________
_____ 3 __ ​
​   
3
√
​  2a + 3 ​ − ​ √3 ​
_______
_______
__
3
3
3
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per ​ √
​​(2a + 3)​ ​2​ ​ + ​ √
3(2a + 3) ​ + ​ √
​3 ​2​ ​
e procediamo con i calcoli e le semplificazioni
_______
_____
__
3
3
2a ​(√
​  3 (​​ 2a + 3)​ ​2​ ​ + ​ √
6a + 9 ​ + ​ √
9 ​)​
2a
_____________
_____
__ ​ = ​ _______________________________________
​    
    
    
_______
_____
__
_____
__  ​ =
3
3
3
3
3
√
​  2a + 3 ​ − ​ √3 ​ ​(√
​  3 2a + 3 ​ − ​ √
3 ​)​​(√
​  3 ​​(2a + 3)​ ​2​ ​ + ​ √
6a + 9 ​ + ​ √
9 ​)​
_______
_____
__
3
3
_____ 3 __
2a ​(√
​  3 (​​ 2a + 3)​ ​2​ ​ + ​ √
6a + 9 ​ + ​ √
9 ​)​ 3 _______
3
(​​ 2a + 3)​ ​2​ ​ + ​ √
   
  
 ​ = ​ √
6a + 9 ​ + ​ √9 ​
= ​ ____________________________
2a + 3 − 3
Esercizi 2.6
Razionalizza i seguenti radicali del primo caso.
Trainer
4__ ​
111. ​ ____
​√ 6 ​
Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per .......... e semplifica:
4.......... _____
2..........
..........
4__ ​ ​ ____
_____
​ ____
 ​ = ​ 
 ​= ​ 
 ​
..........
..........
..........
√
​ 6 ​
2__ ​
112. ​ ____
√
​ 2 ​
20
__ ​
113. ​ _____
√
​ 10 ​
2 __ ​
114. ​ _____
3 ​√ 5 ​
2
____ ​
115. ​ _______
​√ x + y ​
Razionalizza i seguenti radicali del secondo caso.
Trainer
3__ ​
116. ​ ____
8
√
​  ​2 ​5​ ​
Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per ..........:
3..........
..........
3__ ​ ​ ____
_____
​ ____
 ​ = ​ 
 ​
8
..........
..........
√
​  ​2 ​5​ ​
54
Radicali
14__ ​
117. ​ ____
3
21__ ​
119. ​ _____
5
3__ ​
118. ​ ____
4
3__ ​
120. ​ _____
3
√
​  2 ​
x__ ​
121. ​ ____
​  5 ​y 2​ ​ ​
√
5 ​ √ 7 ​
√
​  ​a 2​ ​ ​
√
​  2 ​
Razionalizza i seguenti radicali del terzo caso.
Trainer
5 __ ​
__
122. ​ _________
√
​ 2 ​ + ​√ 7 ​
Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per .......... − ..........:
.......... − ..........
5 __ ​ ​   
_________
__
​ _________
 ​
√
√
​ 2 ​ + ​ 7 ​ .......... − ..........
A denominatore applica il prodotto notevole somma per differenza e semplifica:
5 (.......... − ..........)
5 (.......... − ..........) ____________
.....................................
​ _____________
 ​ = ​   
 ​ = ​ ____________
  
  
  
= .........
 ​
2
2
..........
−
..........
..........
(..........​) ​ ​ − (..........​) ​ ​
123.
__
__
__
√
​ __
2 ​ − ​√__
3 ​
_________
​ 
 ​
√
√
​ 2 ​ + ​ 3 ​
1 + ​√ 2 ​__ ​
125. ​ ________
3 − 2​√ 2 ​
_____
x − ​√_____
​x 2​ ​ − 1 ​
127. ​ ___________
 ​
x + ​√ ​x 2​ ​ − 1 ​
x + 1 __ ​
____
126. ​ ____________
  
3 __ ​
__
124. ​ __________
​√ x + 4 ​ − ​√ 3 ​
2​√ 5 ​ − ​√ 3 ​
Razionalizza i seguenti radicali del quarto caso.
Trainer
1 __ ​
__
128. ​ _________
3
3
√
​  5 ​ + ​ √ 2 ​
Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per:
___
___
__
__
3
3
...
...
3
√
​  ___
​  ​ ___
​  3 5 ​ ​ √
​  5 ​  ​ ​ + √
2 ​  ​ ​ − √
2 ​
1 __ ​ ____________________
__
  
​ 
​ _________
​ ...​ 3 ​ ...​
3
3
__ __ ​
3
√
√
3
3
​  5 ​ + ​  2 ​ √
​  ​  2 ​  ​ ​ − ​ √ 5 ​ ​ √ 2 ​
​  ​  5 ​  ​ ​ + √
​ ​
​ ​
A denominatore applica il prodotto notevole che dà la somma di cubi e semplifica:
___
___
__
__
___
___
​ ​
..........
__
3
3
...
...
√
√
​  ​  5 ​  ​ ​ + √
​  ​  2 ​  ​ ​ − √
​  3 10 ​
​  ​  5 ​  ​ ​ + √
​  ​  2 ​  ​ ​ − ​ √ 5 ​ ​ √ 2 ​ __________________
____________________
 ​ =   
​ 
​ 
 ​
  
  
3
...
3
...
3
3
​ 3​ __ ...​ ​ 3 __ ...
(​​ √
​  5 ​)​ ​ ​ + ​​(√
​  2 ​)​ ​ ​
6
__ 3 __ ​
129. ​ _________
3
√
​  4 ​ − ​ √ 6 ​
​ ​
__
3
​ √
20 ​ __
__
130. ​  _________
 ​
3
3
√
​  4 ​ + ​ √
2 ​
x ____ ​
131. ​ ____________
  
3
3 __
√
​  x ​ + ​ √ x
+ 1 ​
55
Unità 2
Esercizi di riepilogo
Semplifica i seguenti radicali (i fattori letterali sono positivi).
__
__
________
___
__
_____
____
[ 6 ​√ 2 ​  ]​
[ 3a ​√ a + 2 ​  ]​
132. ​√ 72 ​​
137. √
​ 9​a 3​ ​ + 18​a 2​ ​ ​​
___
5
4 25
4
[ 10 ​√ 2 ​  ]​
​x 21
​ ​​y 14
​ ​ ​​
133. ​√ 200 ​​
138. ​ √
[ ​x​ ​​y​ ​ ​ √ x​y ​ ​ ​  ]​
_____
√(27)
_________
___
√ ​x ​​
2
x+y
8  ​ ​ ​2​ ​​
1  ​ + ​ __
1  ​ + ​ ___
2
_____
139. ​   
​ __
134. ​  9 ​​ ​ ___
​  3 ___
​  ​22 ​ ​ ​ ​  ]​
2
2
[√
[ ​  xy ​  ]​
xy ​ ​​
​3 ​ ​
__
__
√
​y ​ ​
________
[ 21 ​√ 7 ​  ]​
135. 7 ​√ 63 ​​
​a 2​ ​b + ​a 4​ ​c  ​ ​​
a ​  ​
140. ​ ​ _________
​ __
2
[ ]
____
___
4​a ​ ​c + 4b
9
3
[√
136. ​ √
64​x 6​ ​ ​​
​  4​x2​ ​ ​  ]​
2
Calcola il risultato delle seguenti espressioni.
√
___
√
___
__
7 ​√ 3 ​
3  ​ ​ − ​  4 ​ ___
9  ​ ​ + 2​√__
141. ​ ​ ___
3 ​​
​ _____
 ​  ​
[
4 ]
16
16
__
__
__
[ 70 − 20 ​√ 10 ​  ]​
142. (​​ 2 ​√ 5 ​ − 5 ​√ 2 ​)​ ​2​​
__
__
__
[ 4 ​√ 2 ​  ]​
143. (​​ √
​ 2 ​ + 1)​ ​2​ − ​​(√
​ 2 ​ − 1)​ ​2​​
__
__
__
__
__
__
[ 6 ​√ 6 ​ − 59 ]​
144. √
​ 3 ​ − ​​(3 ​√ 6 ​ − 2)​ ​2​ − ​(2 − ​√ 3 ​)​ ​(2 + ​√ 3 ​)​ − ​√ 3 ​​
____
___
____
______
____
___
___
6
4
[ 2 ​√ 3a ​  ]​
145. ​  √ ​3 ​5​​a 5​ ​ ​ + 2 ​ √
9​a 2​ ​ ​ − 2 ​ √ 27​a 3​ ​ ​ + ​√ 3a ​​
10
√
____________
x−y
​ 2​ ​ − ​y 2​ ​
x
x+2
146. ​  ​ _____ ​ ​ : ​ ______
​ 
 ​ ​​
​  6   
​ _____________
  
 ​ ​  ​
[ (x + y​) ​3​ (x − y) ]
x+2
x+2
√
3
√
____
√
√
____
2 3
___
16  ​ ​​
[√
147. ​  ____
​  ​a ​ ​​b ​​ ​  ​​  6 ​ ____
​  6 ab ​  ]​
3
5
4
​a ​ ​​b ​ ​
3
__
__
√ √ √
____
__
3 ​ ​ ​ ​ __
125
4 ​ ​ ​  6 ​ ____
[√
148. ​  ​ __
 ​ ​​
​  8 24 ​  ]​
2 5
8
8
√
_____________
√
________
_______
3 (x + y​) ​2​ (x − y​) ​5​ 6 _________
(x + y​) ​3​
3 (x − y​)3​ ​
4 ________
149. ​  4   
​ _______________
  
 ​ ​
:
​ 
​ 
 ​ ​
​
(x
−
y) ​ 
​ 
 ​ ​  ]​
[
2
2​x 4​ ​
​x 6​ ​ (x − y​) ​3​
____
__
__
√
__
3
[ ​√ 3 ​  ]​
150. ​√ 3 ​ √
2 ​ ​ : √
​  6 2 ​​
___
__
__
__
3
[√
151. (​​ ​ √ ​√ 2 ​ ​)​ ​ ​ ​ √
2 ​​
​  3 4 ​  ]​
3
(√
2
√ 2 ) (√ 4 )
____
__
2
____
__
1 ​ ​ ​ ​ ​ ​​​ ​  3 ​ __
1 ​ ​√ 2 ​ ​ ​ ​ ​​
1
__
152. ​​ ​  4 ​ ​ __
[ ​   ​  ]​
3
56
4
2
Radicali
Razionalizza le seguenti frazioni.
__
​√ 2 ​
2__ ​​
153. ​ ____
​ [ ____
 ​  ​
2 ]
√
​ 8 ​
__
5 __ ​​
5 ​ 2 ​
_____
154. ​ _____
[ ​   ​  ]​
√
6
3 ​√ 2 ​
__
__
√
​ 3 ​ __
+2
3 + 2 ​√ 3 ​
155. ​ _______
 ​
​
​ ________
 ​  ]​
[
9
√
​ 27 ​
____
3
3 ​√ a +  ​ 
b ​ ​
____ ​​
156. ​ _______
​ ________
[
]
a
+
b
√
​ a + b ​
__
2__ ​​
​x​ ​ ​ ​
157. ​ ____
​  2 ​  x ​ 
[ ______
]
5
5
√
√
​  ​x 2​ ​ ​
3
_____
2a + b
[√
_______ ​​
158. ​ __________
​  3 2a + b ​  ]​
​  3 (2a + b​) 2​ ​ ​
√
__
__
3 ​√ 2 ​ __ ​​
[ 3 ​√ 6 ​ − 6 ]​
__
159. ​ _________
√
​ 2 ​ + ​√ 3 ​
__
__
__
__
3__
− 3 ​ 2 ​
3 ​ 2 ​ − 2 ​ 3 ​ + 2 ​ 6 ​ − 6
_____________________
__ ​​
160. ​ ___________
  
 ​  ]​
[ ​   
√
√
​ 12 ​ + ​√ 18 ​
√
√
√
2
_____
​a ​ ​ − 9  ​​
[√
_____
161. ​ ___________
​ ​a 2​ ​ − 5 ​ + 2 ]​
2
​√ ​a 2​ ​ − 5 ​ − 2
___
___
6a ___ ​​
[ ​(2 ​√ 5a ​ − √
___
162. ​ ___________
  
​ 2a ​)​  ]​
​√ 2a ​ + ​√ 5a ​
__
__
__
2 ​( √
​  25 ​ + ​  √ 4 ​ + √
​  10 ​  )​
2 __ ​​
__
163. ​ _________
​ ____________________
  
 ​  ]​
3
3
[
3
√
​  5 ​ − ​ √ 2 ​
3
3
__
3
__
1 __ ​​
4 + ​  49 ​ − ​ 
2 ​  7 ​ ​
______________
164. ​ _______
3
[ ​   
]
2 + ​ √ 7 ​
3
√
15
3
√
57
Unità 2
Test di autovalutazione
Prof
Trainer
Per valutare il tuo livello di preparazione sugli argomenti
dell’Unità, risolvi i seguenti esercizi e confronta i risultati
con quelli riportati a pagina 232. Se hai svolto correttamente almeno sei esercizi, la tua preparazione è sufficiente.
1. Vero o falso?
____
a. ​√ − 25 ​ = − 5
V
F
b. ​ √ − 27 ​ = − 3
V
F
c. ​ √ 16 ​ = ​√ 2 ​
V
F
V
F
e. ​√ a ​ + ​√ b ​ = ​√ a + b ​
V
F
f. √
​ a ​ √
​ b ​ = ​√ ab ​
V
F
V
F
V
F
____
3
__
8
__
__
3 ​
​ __
5
d. ​ √ x
​ 3​ ​ ​ = ​x ​ ​
5
__
__
__
__
______
____
___
____
g. ​ √ ​a ​ ​ + ​b ​ ​ ​ = ​√ a + b ​
6
__
3
3
__
√9
​√ 2 ​
2 ​ ​
h. ​ ____
 ​ = ​ ​ __
3
Trasporta, se possibile, i fattori fuori da radice.
_________
_____
3
4
2. ​ √
​a 11
​ ​​b 17
​ ​ ​
3. ​ √
  
27​x 6​ ​ − 27​x 9​ ​ ​
Calcola.
___
__
__
4. ​√ 125 ​ − ​√ 45 ​ + ​√ 20 ​
__
__
__
__
5. ​(4 + ​√ 3 ​)​​(4 − ​√ 3 ​)​ − ​​(2 + 3​√ 3 ​)​ ​2​ − ​​(2 − ​√ 3 ​)​ ​2​
___
__
___
____
6
4
6. ​√ 2x ​ − 3​ √
4​x 2​ ​ ​ + 2​ √ 8​x 3​ ​ ​ − ​  √ 32​x 5​ ​ ​
______
__________
√ ​a ​​ + 2ab + ​b ​​
10
____
6
3
√
7. ​√ ​a 2​ ​ − ​b 2​ ​ ​ ​  3   
​ ____________
  
 ​ ​
:
​ 
a − b ​
2
2
Razionalizza.
__
__
√
√ x ​
​ 3 ​ + ​
_________
__
8. ​ 
 ​
2​√ 3x ​
2
16​a ​ ​
______ ​
9. ​ ________
4
√
​  4​a 2​ ​​b 3​ ​c ​
__
2 ​√
6 ​ + 4__
__
10. ​ _________
 ​
√
​ 3 ​ − ​√ 2 ​
58
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