Segnali Aleatori: Esercizi Risolti di Probabilità

Capitolo 2
Segnali aleatori
74
2.1
Probabilitá
2.1.1
Esercizio 47
Si consideri la coppia di variabili aleatorie (a1 , a2 ), ognuna delle quali assume
i valori 0, A con probabilitá P (0) = 1/4, P (A) = 3/4. Il coefficiente di correlazione tra le due vale 0.5. Si determini la probabilitá congiunta.
Soluzione
Il valor medio delle due variabili é η1 = η2 = 3A/4, il valore quadratico
medio é 3A2 /4, e la varianza di ognuna risulta pari a 3A2 /16, il coefficiente
di correlazione é
E{(a1 − η1 )(a2 − η2 )}
ρ=
= 0.5.
σ1 σ2
Si ricava facilmente
21A2
.
E{a1 a2 } =
32
Applicando la definizione di valore atteso si ottiene
E{a1 , a2 } =
X
X
a1 a2 P1,2 (a1 , a2 ) = A2 P1,2 (A, A),
a1 ∈{0,A} a2 ∈{0,A}
cioé P1,2 (A, A) = 21/32. Saturando rispetto ad a2 si ha
3
P1,2 (A, 0) + P1,2 (A, A) = P1 (A) = ,
4
dalla quale si ricava P1,2 (A, 0) = 3/32. Con procedimento simile si ricava
P1,2 (0, A) = 3/32 ed imponendo ancora
P1,2 (0, A) + P1,2 (0, 0) =
1
4
(oppure imponendo che la congiunta sommi ad 1), si ottiene
P1,2 (0, 0) =
75
5
.
32
2.1.2
Esercizio 48
Le variabili aleatorie a e b sono Gaussiane a media unitaria e varianza unitaria, ed hanno coefficiente di correlazione 0.5. Determinare la densita’ di
probabilita’ di c = a + b.
Soluzione
La somma di variabili Gaussiane e’ Gaussiana, dobbiamo dunque determinare valor medio e varianza di c. Per il valor medio si ha:
E{c} = E{a + b} = E{a} + E{b} = 2.
Per la varianza si ha :
σc2 = E{c2 } − E 2 {c}.
Il secondo termine e’ gia’ stato determinato, per il primo si ha:
E{c2 } = E{(a + b)2 } = E{a2 } + E{b2 } + E{2ab}.
Dai dati si ottiene facilmente:
E{a2 } = E{b2 } = 2,
E{ab} = 1.5,
che sostituite nella precedente danno
E{c2 } = 7.
Si ottiene pertanto
σc2 = 3.
76
2.2
2.2.1
Processi parametrici
Esercizio 49
É dato il processo aleatorio
X(t) = Acos(2πf0 t) − Bsin(2πf0 t)
ove A e B sono due variabili aleatorie indipendenti Gaussiane a valor medio
nullo e varianza σA2 = σB2 = σ 2 = 4. Questo processo é l’ingresso dei due
SLS in figura aventi le risposte in frequenza indicate. Ricavare la densitá di
probabilitá del primo ordine fY (y; t) del processo Y (t) nei due casi.
H1 (f)
1
Y(t)
X(t)
f
f 0 /2
H2 (f)
1
X(t)
Y(t)
2f0
f
Soluzione
1) Per ogni realizzazione xr (t), scelto A e B, é possibile calcolarne la
trasformata di Fourier in quanto xr (t) é periodico.
xr (t) ←→ Xr (f ) =
Bj
A
[δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )] −
[δ(f + f0 ) − δ(f − f0 )]
2
2
Yr (f ) = Xr (f )H1 (f ) = 0.
Poiché vale per ogni realizzazione il processo in uscita risulta essere identicamente nullo:
Y (t) = 0.
2) Per ogni realizzazione xr (t) in ingresso, il processo in uscita vale
77
1
yr (t) = xr (t)
2
in quanto H2 (f0 ) = 1/2. In uscita abbiamo dunque
1
Y (t) = X(t),
2
e dunque
fY (Y ) = 2fX (2Y ).
In particolare il processo Y (t) ha densita’ di probabilita’ con la stessa forma
della della densita’ di X(t), con valor medio ηY = 2 ηX , e varianza σY2 =
2
σX
/4.
Dato il processo
X(t) = X1 (t) + X2 (t),
con
X1 (t) = Acos(2πf0 t);
X2 (t) = −Bsin(2πf0 t),
e
A2
1
e− 2σ2 ,
2πσ
B2
1
e− 2σ2 ,
f (B) = √
2πσ
poiché X1 e X2 sono Gaussiani indipendenti (A e B sono indipendenti), X(t)
é un processo Gaussiano con media ηX pari alla somma delle medie e varianza
2
σX
pari alla somma delle varianze.
In particolare
f (A) = √
f (X1 ) = f (Acos(2πf0 t)) =
A2
1
1
−
√
e 2σ2 cos2 (2πf0 t) ,
cos(2πf0 t) 2πσ
2
Gaussiana con media ηX1 nulla e varianza σX
= σ 2 cos2 (2πf0 t).
1
2
1
1
− 2 B2
2σ cos (2πf0 t)
√
f (X2 ) = f (−Bsin(2πf0 t)) =
e
,
sin(2πf0 t) 2πσ
2
Gaussiana con media ηX2 nulla e varianza σX
= σ 2 sin2 (2πf0 t).
2
La densita’ di probabilita’ di X(t) vale dunque
2
(X−ηX )
−
1
2
e 2σX ,
f (X = X1 + X2 ) = √
2πσX
78
con
ηX = ηX1 + ηX2 = 0,
2
2
2
σX
= σX
+ σX
1
2
= σ 2 (cos2 (2πf0 t) + sin2 (2πf0 t))
= 4,
e la densita’ di proabilita’ di Y (t) =
1
2
X(t) varra’
2
(Y −ηY )
−
1
2
e 2σY ,
f (Y ) = √
2πσY
con media nulla e varianza
1 2
σY2 = σX
= 1.
4
79
2.2.2
Esercizio 50
Dato un processo casuale stazionario X(t) = A + cos(2πt + φ) dove A e φ
variano da realizzazione a realizzazione, con distribuzione uniforme negli intervalli 1 ≤ A ≤ 3 e −π ≤ φ ≤ π:
a) rappresentare graficamente due realizzazioni diverse del processo per due
coppie di valori (A1 , φ1 ) e (A2 , φ2 ) scelte fra i valori possibili. Determinare le
corrispondenti medie temporali e le funzioni di autocorrelazione temporali.
Il processo é ergodico?
b) Determinare il valor medio (d’insieme) e la densitá spettrale di potenza
del processo.
c) Determinare la potenza del processo Y (t) ottenuto filtrando il processo
1
X(t) con un filtro con risposta in frequenza H(f ) = (1+j2πf
.
)
1
1
(Si ricorda che: cos(a)cos(b) = 2 cos(a + b) + 2 cos(a − b))
Soluzione
a) Una qualsiasi realizzazione del processo é rappresentabile come la somma di una costante A e di una funzione coseno con periodo T = 1 sec e fase
iniziale φ.
Le due realizzazioni X1 e X2 mostrate in figura sono state ottenute con i
valori seguenti:
X1 :
A1 = 2,
φ1 = π/2;
X2 :
A2 = 1,
φ2 = 0.
3
2.8
2.6
2.4
x1(t)
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
80
3
3.5
4
4.5
5
2
1.8
1.6
1.4
x2(t)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
3
3.5
4
4.5
5
Fissato A1 e φ1 :
1 Z α/2
X1 (t)dt
< X1 (t) > = lim
α→∞ α −α/2
1 Z T /2
(1)
X1 (t)dt
=
T −T /2
= A1 .
1ZT
(A1 + cos(2π(t − τ ) + φ1 ))(A1 + cos(2πt + φ1 ))dt
T 0
1ZT
2
= A1 +
cos(2π(t − τ ) + φ1 )cos(2πt + φ1 )dt
T 0
Z T
1 ZT
1
2
cos(2πτ )dt +
cos(2π(2t − τ ) + φ1 )dt
= A1 +
2T 0
2T 0
1
= A21 + cos(2πτ ).
2
< X1 (t)X1 (t − τ ) > =
(2)
Il processo non é ergodico perché le medie temporali e le funzioni di
autocorrelazione temporali variano da realizzazione a realizzazione.
b)
EX {X(t)} = EA,φ {A + cos(2πt + φ)}
1
2
poiché il processo X(t) é periodico di periodo T
RT
RT
poiché 0 A1 cos(2πt + φ1 )dt = 0 A1 cos(2π(t − τ ) + φ1 )dt = 0
81
= E{A} +
Z
π
−π
1
cos(2πt + φ)dφ
2π
= E{A} = 2.
RX (τ ) = EX {X(t)X(t − τ )}
= EA,φ {(A + cos(2πt + φ))(A + cos(2π(t − τ ) + φ))}
(3)
= EA {A2 } + Eφ {cos(2πt + φ)cos(2π(t − τ ) + φ)}
½
¾
1
1
2
= E{A } + Eφ
cos(2πτ ) + cos(2π(2t − τ ) + 2φ)
2
2
Z 3
1 2
1
=
A dA + cos(2πτ )
2
1 2
13 1
=
+ cos(2πτ ).
3
2
Poiché SX (f ) é la trasformata di Fourier di RX (τ ), dalla precedente otteniamo
13
1
1
SX (f ) = δ(f ) + δ(f − 1) + δ(f + 1).
3
4
4
c) La densitá spettrale del processo Y (t) é data da
SY (f ) = SX (f )|H(f )|2
1
= SX (f )
.
1 + 4π 2 f 2
La potenza del processo Y (t) si ottiene integrando la sua densitá spettrale
di potenza:
PY
=
=
3
Z
∞
−∞
SY (f )df
1
13 1
+
.
3
2 (1 + 4π 2 )
poiché EA,φ {Acos(2π(t + τ ) + φ)} = EA {A}Eφ {cos(2πt + φ)} = 0
82
2.2.3
Esercizio 51
É assegnato un segnale determinato periodico p(t) di periodo T0 . Dire se il
processo aleatorio X(t) = p(t − Θ), con Θ ∈ U (−T0 /2, T0 /2), é ergodico in
senso lato.
Soluzione
Il processo é stazionario ed ergodico nel valor medio, infatti
E{X(t)} = EΘ {p(t − Θ)}
T
1 Z 20
=
p(t − Θ)dΘ
T0 − T20
(1)
T
1 Z t+ 20
p(s)ds
=
T0 t− T20
T
1 Z 20
=
p(s)ds
T0 − T20
= < X(t) >
Il processo é stazionario ed ergodico nell’autocorrelazione:
RX (t, t − τ ) = EΘ {p(t − Θ)p(t − Θ − τ )}
1 Z T0
p(t − Θ)p(t − τ − Θ)dΘ
=
2π 0
Z t+T0
1
(2)
=
p(s)p(s − τ )ds
2π t
= Rp (τ ).
Fissato un valore Θi , cioé fissata una realizzazione, la sua funzione di autocorrelazione temporale non dipende da Θi :
< xΘi (t)xΘi (t − τ ) >=
1 Z
p(t − Θi )p(t − Θi − τ )dt = Rp (τ ).
T0 T0
In particolare
RX (τ ) =< X(t)X(t − τ ) >,
il processo dunque é stazionario ed ergodico in senso lato.
1
Effettuando un cambiamento di variabile:
s = t − Θ, ds = −dΘ, gli estremi diventano t + T0 /2 e t − T0 /2, li invertiamo e cambiamo
di segno.
2
Effettuando un cambiamento di variabile: s = t − Θ.
83
2.2.4
Esercizio 52
Il processo casuale stazionario X(t) é costituito dalle realizzazioni
X(t) = Acos(2πf0 t + ϕ),
dove ϕ é una variabile casuale distribuita uniformemente nell’intervallo [−π, π],
che varia da realizzazione a realizzazione.
Calcolare il valor medio e la funzione di autocorrelazione temporali.
Verificare che il processo sia ergodico nel valor medio e nella funzione di autocorrelazione e determinare la densitá spettrale di potenza.
{Si ricorda: cos(a)cos(b) = 21 (cos(a + b) + cos(a − b))}.
Soluzione
Ogni realizzazione del processo
X(t) = Acos(2πf0 t + ϕ),
con
µ
¶
1
ϕ
f (ϕ) =
,
rect
2π
2π
é rappresentata da un segnale periodico cosinusoidale con periodo T0 = 1/f0
(e fase casuale ϕ).
1 Z T /2
X(t)dt
T →∞ T −T /2
1 Z T0 /2
=
x(t)dt = 0,
T0 −T0 /2
Valor medio temporale =
(1)
lim
∀ϕ.
1 Z T0 /2
x(t)x(t − τ )dt
T0 −T0 /2
A2 Z T0 /2
=
cos(2πf0 t + ϕ) ·
T0 −T0 /2
· cos(2πf0 (t − τ ) + ϕ)dt
A2 Z T0 /2
=
cos(2πf0 2t − 2πf0 τ + ϕ)dt +
2T0 −T0 /2
a2 Z T0 /2
cos(2πf0 τ )dt
+
2T0 −T0 /2
A2
=
cos(2πf0 τ ), ∀ϕ.
2
Autocorrelazione temporale =
1
poiché il processo X(t) é periodico di periodo T0 = 1/f0 .
84
Poiché valor medio ed autocorrelazione temporale sono uguali per tutte
le realizzazioni il processo é ergodico nel valor medio e nella funzione di autocorrelazione.
Per determinare la densitá spettrale di potenza del processo, calcoliamo la
funzione di autocorrelazione di insieme. Essa, poiché il processo é ergodico,
coincide con quella temporale giá calcolata, infatti
RX (t, t − τ ) = EX {X(t)X(t − τ )}
= Eϕ {A2 cos(2πf0 t + ϕ)cos(2πf0 (t − τ ) + ϕ)}
A2
A2
=
Eϕ {cos(2πf0 2t − 2πf0 τ + ϕ)} +
Eϕ {cos(2πf0 τ )}
2
2
Z
A2 π
1
=
cos(2πf0 2t − 2πf0 τ + ϕ) dϕ +
2 −π
2π
2 Z π
1
A
cos(2πf0 τ ) dϕ
+
2 −π
2π
A2
=
cos(2πf0 τ ), ∀t.
2
Dalla precedente espressione si ricava la densitá spettrale di potenza:
SX (f ) =
A2
[δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )] ,
4
ovvero tutta la potenza del processo é concentrata alla frequenza f0 .
S x (f)
2
A /4
f0
-f 0
85
f
2.2.5
Esercizio 53 (solo testo)
Si consideri il processo casuale
Y (t) = cos(
1
5πf0 t
3πf0 t
+ φ) − cos(
+ ψ),
2
4
2
con φ e ψ variabili aleatorie indipendenti ed uniformemente distribuite in
(0, 2π]. Determinare la densita’ spettrale di potenza del processo. Il processo
e’ campionato a frequenza 2f0 . Determinare la densita’ spettrale di potenza
del processo campionato e disegnarla.
2.2.6
Esercizio 54 (solo testo)
Si consideri il processo parametrico
X(t) = (A + B)0.5 ,
ove A e B sono variabili aleatorie correlate con coefficiente di correlazione
ρ, entrambe uniformemente distribuite nell’ intervallo (0, α). Determinare la
potenza e la densita’ spettrale di potenza di X(t).
86
2.3
2.3.1
Processi non parametrici
Esercizio 55
Il processo SSL N (t) in figura é Gaussiano e ha densitá spettrale di potenza SN (f ) = N0 /2. Determinare la probabilitá che la variabile aleatoria X
assuma un valore maggiore di quello della variabile Y . Calcolare inoltre la
correlazione tra le variabili X e Y .
h (t)
1
3
T/2
T
t=T
X
t=T
Y
t
N(t)
h (t)
2
1
T/2
T
t
Soluzione
Siano X(t) e Y (t) le uscite dei filtri h1 (t) e h2 (t) rispettivamente; poiché
N (t) é un processo Gaussiano a valor medio nullo, anche X(t) e Y (t) sono
processi Gaussiani a valor medio nullo. Quindi X(T ) e Y (T ) sono variabili
Gaussiane.
Definiamo inoltre
Z(T ) = X(T ) − Y (T );
Z(T ) é Gaussiana a valor medio nullo, quindi
1
P (X > Y ) = P (Z > 0) = .
2
Calcoliamo ora la correlazione rXY tra X e Y :
rXY = E{XY } = RXY (0),
87
dove si definisce
RXY (τ ) = E{X(t)Y (t − τ )}.
Nel nostro caso, calcoliamo
RXY (τ ) = E{
=
Z
Z Z
α
=
s
N (β)h2 (t − τ − β)dβ} =
α
β
RN (α − β)h1 (t − α) h2 (t − τ − β) dα dβ =
= [s = α − β] =
Z
Z
N (α) h1 (t − α)dα
Z
s
RN (s)
Z
α
β
h1 (t − α)h2 (t − α − τ + s) ds dα =
RN (s)Rh1 h2 (τ − s) ds = RN (τ ) ⊗ Rh1 h2 (τ ) =
Poiché Rh1 h2 (0) = 0 le variabili X e Y sono incorrelate.
88
N0
Rh1 h2 (τ ).
2
2.3.2
Esercizio 56
Dato il processo casuale X(t) stazionario con valor medio nullo, potenza 10
e densitá spettrale di potenza triangolare nella banda −5Hz < f < 5Hz,
determinare Tc in modo che i campioni X(nTc ), ottenuti campionando X(t)
con passo Tc , risultino incorrelati.
Il segnale X(t) entra in un filtro ideale passa-basso con guadagno A e frequenza di taglio f0 =2.5Hz. Calcolare il valore quadratico medio del segnale
in uscita.
Soluzione
La densitá spettrale di potenza del processo casuale X(t) ha l’andamento
mostrato in figura
Sx
B
-5
f [Hz]
5
E{X(t)} = ηX = 0;
E{(X(t) − ηx )2 } = E{X(t)2 } = 10.
Inoltre
E{X(t)2 } =
=
Z
+∞
−∞
Z +∞
−∞
SX (f )df
Ã
!
Ã
!
|f |
f
B 1−
rect
df
5
10
= 5B,
da cui si ricava che B = 2.
La densitá spettrale di potenza ha la seguente espressione
Ã
!
Ã
!
f
|f |
SX (f ) = 2 1 −
rect
;
5
10
89
facendone la trasformata di Fourier otteniamo :
RX (τ ) = 10sinc2 (5τ ).
L’autocovarianza del processo campionato X[n] = X(nTc ) é uguale all’autocovarianza CX (τ ) del processo continuo X(t) campionata
CX[n] (m) = CX (τ = mTc ).
Il processo campionato X[n] = X(nTc ) risulta incorrelato se l’autocovarianza
é impulsiva, cioé se CX[n] (m) = Aδ(m), per un A qualsiasi.
CX (τ ) = RX (τ ) − (ηX )2 = RX (τ ).
Poiché
RX (0) = 10,
Ã
RX τ =
k
5
!
= 0 per k = ±1, ±2, ±3, ...
si ricava
CX[n] (m) = 10δ[m]
per un qualsiasi Tc multiplo di 1/5 sec.
Sia ora Y (t) l’uscita del filtro passa basso con risposta inpulsiva h(t) quando
in ingresso entra il segnale X(t). Il valore quadratico medio dell’uscita é dato
da
Z +∞
2
E{Y (t)} =
SY (f )df,
−∞
dove
SY (f ) = SX (f )|H(f )|2 .
Sostituendo otteniamo
E{Y 2 (t)} =
Z
+∞
−∞
= A
2
Z
SY (f )df
2.5
−2.5
2
= 7.5A .
90
SX (f )df
2.3.3
Esercizio 57
Dato lo schema in figura,
X(t)=s(t)+D(t)
Y(t)
H(f)
Y(kT)
Campionatore
in ingresso si sommano una componente deterministica s(t) e un rumore
bianco D(t) (stazionario e a valor medio nullo) con densitá spettrale bilatera
N0 /2.
Determinare la covarianza CX (t1 , t2 ) del segnale in ingresso X(t).
Ipotizzando nota la risposta in frequenza H(f ), determinare la covarianza
CY (i, k) dei campioni Y (iT ) e Y (kT ).
Soluzione
X(t) = s(t) + D(t),
dove s(t) é un segnale deterministico (reale) e D(t) é un processo casuale
(reale) con
N0
δ(τ ), E{D(t)} = 0.
RD (τ ) =
2
Dunque
ηx = E{s(t) + D(t)} = E{s(t)} + E{D(t)} = s(t)
CX (t1 , t2 ) = E{(s(t1 ) + D(t1 ) − E{s(t1 ) + D(t1 )})(s(t2 ) +
+ D(t2 ) − E{s(t2 ) + D(t2 )})}
= E{(s(t2 ) + D(t2 ) − s(t2 ))(s(t1 ) + D(t1 ) − s(t1 ))}
= RD (t1 , t2 )
N0
=
δ(t2 − t1 );
2
N0
δ(τ ).
2
Il processo in uscita al sistema lineare tempo-invariante Y (t) = su (t) + Du (t)
é dato dalla somma di una componente deterministica su (t) e di una componente casuale Du (t).
In particolare
H(f ) = F[h(t)];
CX (t1 , t2 ) = CX (τ = t2 − t1 ) =
91
su (t) = s(t) ⊗ h(t);
RDu (τ ) = RD (τ ) ⊗ h(τ ) ⊗ h(−τ );
E{Du (t)} = H(0)E{D(t)} = 0;
Perció, analogamente al calcolo per la covarianza di CX (t1 , t2 ),
ηy = E{su (t) + Du (t)} = E{su (t)} + E{Du (t)} = su (t);
CY (t1 , t2 ) = E{(su (t1 ) + Du (t1 ) − E{su (t1 ) + Du (t1 )})(su (t2 ) +
+ Du (t2 ) − E{su (t2 ) + Du (t2 )})};
N0
h(τ ) ⊗ h(−τ );
2
La covarianza tra due campioni Y (iT ) e Y (kT ), all’uscita del campionatore,
é uguale alla covarianza CY (τ ) del segnale Y (t) campionata con lo stesso
passo di campionamento T :
CY (t1 , t2 ) = RDu (t1 , t2 ) = RDu (τ = t2 − t1 ) =
CY (i, k) = CY ((k − i)T ).
92
2.3.4
Esercizio 58
Si consideri il segnale
X(t) = Acos(2πf0 t) + W (t),
ove W (t) é rumore Gaussiano bianco con densitá spettrale di potenza bilatera
pari a N0 /2. Il segnale X(t) transita attraverso un filtro la cui funzione di
trasferimento é
H(f ) = (α + j2πf )−1 , α > 0.
Il segnale all’ uscita del filtro ha la forma
Y (t) = Bcos(2πf0 t + φ) + D(t).
Determinare:
1) La potenza di D(t),
2) Il valore di α che massimizza il rapporto tra la potenza della sinusoide e
la potenza del rumore all’uscita del filtro,
3) La densitá di probabilitá di D(t),
4) L’autocorrelazione di D(t),
5) La densitá di probabilitá congiunta di D(t) e D(t + τ ).
Soluzione
Il modulo della funzione di trasferimento del filtro é:
1
|H(f )| = (α2 + 4π 2 f 2 )− 2 ,
ed é mostrato nella figura alla pagina seguente dove si é supposto α=1.
La potenza di D(t) é:
N0 Z ∞
|H(f )|2 df
2 −∞
N0
= Rh (0) ,
2
PD =
ove Rh (τ ) é la funzione di autocorrelazione della risposta all’impulso del filtro.
Essa si trova dalle tavole come antitrasformata di |H(f )|2 :
Rh (τ ) =
e−α|τ |
.
2α
Si ha pertanto (quesito 1)
PD =
93
N0
.
4α
1
0.9
0.8
0.7
|H(f)|
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-3
-2
-1
Il rapporto PS /PD é:
ρ=
0
f
1
2
3
2αA2
.
N0 (α2 + 4π 2 f02 )
Derivando rispetto ad α e ponendo la derivata a zero si ottiene (quesito 2):
α = 2πf0 .
Lo studio della derivata seconda é semplice e mostra che la radice trovata é
un massimo.
Il rumore in uscita dal filtro é ancora Gaussiano, a valor medio nullo e varianza pari alla PD giá trovata.
L’autocorrelazione del rumore é
RD (τ ) =
N0
Rh (τ ),
2
e la densitá congiunta cercata é Gaussiana bidimensionale, a valori medi nulli
e matrice di covarianza con elementi sulla diagonale pari a PD e con gli altri
due elementi pari all’autocorrelazione del rumore valutata in τ :
CD (τ ) =
"
RD (0) RD (τ )
RD (τ ) RD (0)
94
#
2.3.5
Esercizio 59
Si consideri un processo Gaussiano bianco con densitá spettrale di potenza
N0 /2 bilatera. Il processo é filtrato attraverso un filtro la cui funzione di
trasferimento é:
v
Ã
!
Ã
!
u
u A
|f |
f
t
G(f ) =
1−
rect
.
2B
2B
4B
Detto Y (t) il processo all’uscita del filtro, determinare la banda a 3dB di
1
Y (t), l’autocorrelazione di Y (t), la densitá congiunta di Y (t) e Y (t + 2B
).
Si consideri poi il segnale
Z(t) = Y (t) + 0.5Y
µ
1
t+
2B
¶
e si determini la densitá di probabilitá, la densitá spettrale di potenza e la
potenza di Z(t).
Soluzione
La densitá spettrale di Y (t) é:
N0
|G(f )|2
2 Ã
!
Ã
!
AN0
|f |
f
1−
rect
.
=
4B
2B
4B
SY (f ) =
La banda a 3 dB é
S(0) = 2S(B3dB )
=⇒
B3dB = B.
L’autocorrelazione si ottiene antitrasformando SY (f ):
RY (τ ) =
AN0
sinc2 (2Bτ ).
2
I campioni a distanza t = 1/2B sono incorrelati(in quanto sinc(1) = 0)
ed essendo Gaussiani sono anche indipendenti. La congiunta é pari dunque
al prodotto delle marginali, ognuna delle quali é Gaussiana a valor medio
nullo e varianza pari all’autocorrelazione in τ = 0, cioé σY2 = AN0 /2. La
variabile Z(t) é somma di variabili Gaussiane incorrelate, la sua densitá sará
ancora Gaussiana, a valor medio nullo, con varianza pari alla somma delle
varianze, cioé σZ2 = 5σY2 /4. Lo spettro di densitá di potenza di Z(t) si ottiene
95
considerando il filtraggio di Y (t) attraverso un filtro con risposta all’impulso
1
). Si ha:
h(t) = δ(t) + 0.5δ(t + 2B
Ã
5
πf
|H(f )| = + cos
4
B
2
!
;
SZ (f ) = SY (f )|H(f )|2 .
1
0.9
0.8
Sy(f) normalizzata
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
f/B
0.5
1
1.5
La potenza di Z(t) é giá stata calcolata ed é pari a σZ2 .
96
2
2.3.6
Esercizio 60
Un processo casuale X(t) = S + W (t) é dato dalla somma del rumore W (t)
Gaussiano bianco (stazionario a valor medio nullo) con densitá spettrale di
potenza bilatera N0 /2, e della variabile casuale discreta S, che assume valore
0 o 1 con uguale probabilitá e che varia da realizzazione a realizzazione.
Il segnale X(t) entra in un filtro passabasso ideale H(f ) con frequenza di
taglio 2 Hz (H(f ) = 2rect (f /4)).
Caratterizzare il processo stazionario Y (t) all’uscita del filtro, determinandone la densitá di probabilitá, il valor medio e la funzione di autocorrelazione
(S e W (t) sono indipendenti).
Soluzione
All’uscita del filtro abbiamo
Y (t) = A + D(t),
ove A é il valore di S all’uscita del filtro e D(t) é il rumore filtrato.
E{D(t)} = 0;
à !
N0
f
SD (f ) = 4 rect
;
2
4
PD =
2
σD
2
= E{D } =
Z
SD (f )df = 8N0 ;
D2
1
e 16N0 ;
2π8N0
A = SH(0) = 2S;
1
1
f (A) = δ(A) + δ(A − 2).
2
2
La densitá di probabilitá del processo Y (t) é data da
f (D) = √
f (Y ) = f (A + D)
= f (A) ⊗ f (D)
(D−2)2
D2
1
1
1
1
16N
0
√
+ √
=
e
e 16N0 .
2 2π8N0
2 2π8N0
La densitá di probabilitá di Y (t) dunque é data dalla somma di due gaussiane, centrate in 0 e in 2, con ampiezza 1/2 e varianza σ 2 = 8N0 .
E{Y (t)} = E{X(t)}H(0) = 1;
97
E{Y (t)Y (t + τ )} = E{(A + D(t))(A + D(t + τ ))}
(1)
= E{A2 } + E{D(t)D(t + τ )}
"
à !#
1
f
1
−1
SD (f ) = 2N0 rect
= 0( ) + 4( ) + F
2
2
4
= 2 + 8N0 sinc(4τ ).
1
A e D(t) sono indipendenti, inoltre E{D(t)} = 0, quindi il valor medio dei prodotti
incrociati é nullo.
98
2.3.7
Esercizio 61
Il processo casuale stazionario X(t) é noto statisticamente.
Determinare la fuzione di autocorrelazione e la densitá spettrale di potenza
del processo casuale
Y (t) = X(t) − X(t − t0 ).
Se il processo X(t) é Gaussiano con valor medio ηX e densitá spettrale di
potenza
à !
f
2
SX (f ) = rect
+ ηX
δ(f ),
4
determinare la densitá di probabilitá del processo Y (t), con t0 = 0.25 sec.
Soluzione
RY (τ ) = E{Y (t)Y (t − τ )}
= E{(X(t) − X(t − t0 ))(X(t − τ ) − X(t − t0 − τ ))}
= E{X(t)X(t − τ )} + E{X(t − t0 )X(t − t0 − τ )} +
− E{X(t − t0 )X(t − τ )} − E{X(t)X(t − t0 − τ )}
= 2RX (τ ) − RX (τ + t0 ) − RX (τ − t0 ).
Poiché SY (f ) = F[RY (τ )] abbiamo che
SY (f ) = 2SX (f ) − SX (f )(ej2πt0 f + e−j2πf0 f )
= 2SX (f )(1 − cos(2πt0 f )).
Se X(t) é Gaussiano, anche Y (t) ha densitá di probabilitá Gaussiana, poiché
la trasformazione é lineare.
Il processo é stazionario ed il valor medio é
ηY (t) = E{Y (t)}
= E{X(t)} − E{X(t − t0 )} = 0.
La varianza é
σY2
= E{(Y (t) − ηY )2 }
= E{Y 2 } − ηY2
=
Z
2
−2
2(1 − cos(2π0.25f ))df = 8.
f (Y ) = q
1
2πσY2
99
e
−
Y2
2σ 2
Y
.
2.3.8
Esercizio 62
Una tensione costante v0 viene disturbata da rumore bianco additivo D(t)
avente densitá spettrale di potenza SN (f ) = ζ. Per reiettare tale disturbo si
usano i due sistemi in cascata mostrati in figura in cui B = 1/2T .
Determinare i valori dei coefficienti a, b e c che minimizzano l’errore quadratico medio
ε = E{[Y (t) − v0 ]2 }
tra l’uscita Y (t) e il valore costante v0 .
H(f)
v0
−Β
1
Z(t)
Β
T
T
f
a
D(t)
b
Σ
Y(t)
Soluzione
Sia Z(t) = v0 + N (t) l’uscita del filtro H(f ), con
E{N (t)} = 0,
Ã
!
f
SN (f ) = rect
ζ,
2B
2
σN
= E{N (t)2 } = 2Bζ.
L’uscita del sistema é
Y (t) = az(t) + bz(t − T ) + cz(t − 2T )
= (a + b + c)v0 + aN (t) + bN (t − T ) + cN (t − 2T );
L’autocorrelazione RN (τ ) si ottiene antitrasformando SN (f )
RN (τ ) = 2Bζsinc(τ 2B),
RN (τ ) = E{N (t)N (t − τ )}.
Considerando che
• E{N (t)N (t − T )} = RN (T ) = 0,
• E{N (t)N (t − 2T )} = RN (2T ) = 0,
100
c
• E{n(t)} = 0,
l’errore quadratico medio ε risulta
ε = E{[Y (t) − v0 ]2 }
= E{Y (t)}2 + E{v02 } − 2E{Y (t)v0 }
2
= (a + b + c)2 v02 + (a2 + b2 + c2 )σN
+
2
2
v0 − 2(a + b + c)v0
2
= (a + b + c − 1)2 v02 + (a2 + b2 + c2 )σN
.
L’errore quadratico medio é una forma convessa e quindi il suo minimo si
trova imponendo
∂ε
∂ε
∂ε
= 0,
= 0,
= 0.
∂a
∂b
∂c
Dalle tre equazioni precedenti otteniamo il seguente sistema lineare di 3
equazioni in 3 incognite:

2
2

 2(a + b + c − 1)v0 + 2aσN = 0


2
2(a + b + c − 1)v02 + 2bσN
=0
2
2(a + b + c − 1)v02 + 2cσN
=0



(1 +



2
σN
)a + b + c
v02
σ2
(1 + vN2 )b + c
0
σ2
b + (1 + vN2 )c
0
a+




 a+
=1
=1
=1
I valori di a, b e c che minimizzano l’errore quadratico medio sono
a=b=c=
1
v02
=
.
2
2
σ2
3v0 + σN
3 + vN2
0
Ricaviamo il valore dell’errore quadratico medio minimo:

εmin = 

3
3+
2
σN
v02
σ2
=
2
2
− 1
 v0 + 3
2
( vN2 )v02 + 3σN
0
(3 +
2
σN
)2
v02
σ2
=
=
2
( vN2 + 3)
σN
0
(3 +
2
σN
)2
v02
2
σN
3+
2
σN
v02
.
101
2
σN
(3 +
2
σN
)2
v02
Se non avessimo usato il filtro
a=b=c=0
⇒
2
ε = E{[z(t) − v02 ]} = E{N (t)2 } = σN
.
102
2.3.9
Esercizio 63
Nello schema in figura il processo aleatorio N (t) é Gaussiano con densitá
spettrale di potenza SN (f ) = N0 /2.
Campionando agli istanti tk = 2kT (k = 1, 2, ..., n) il processo X(t) in uscita al filtro H(f ) (di banda B = 1/T ) si ottiene un sistema di n variabili
aleatorie Xk ≡ X(2kT ). Determinare la densitá di probabilitá congiunta
fX (x1 , x2 , ..., xn ) di tale sistema.
N(t)
T
+
1
W(t)
tK
H(f)
X(t)
-B
B
f
Soluzione
W (t) = N (t − T ) − N (t);
RW (τ ) = E{W (t)W (t − τ )}
= E{[N (t − T ) − N (t)][N (t − T − τ ) − N (t − τ )]}
= E{N (t − T )N (t − T − τ )} + E{N (t)N (t − τ )} −
−E{N (t)N (t − T − τ )} − E{N (t − T )N (t − τ )}
= 2RN (τ ) − RN (τ − T ) − RN (τ + T )
N0
(δ(τ − T ) − δ(τ + T )).
= N0 δ(τ ) −
2
RX (τ ) = RW (τ ) ⊗ Rh (τ ).
µ
¶
2
2τ
.
Rh (τ ) = F [|H(f )| ] = sinc
T
T
!
!
Ã
Ã
µ ¶
N0
2(τ − T )
N0
2(τ + T )
2
2τ
RX (τ ) = N0 sinc
−
−
.
sinc
sinc
T
T
T
T
T
T
−1
2
X(tk = 2kT ) = Xk ,
fXk = gauss
µ
2
0, σX
2N0
= RX (0) =
T
103
¶
=q
1
2
2πσX
e
−
X2
k
2σ 2
X
.
XK
Sia [X1 , ...Xn ] il vettore delle variabili congiuntamente Gaussiane. Poiché
RX (2kT ) = 0 le variabili Xk sono tra loro incorrelate ed essendo Gaussiane
2
sono anche indipendenti, ognuna con valor medio nullo e varianza σX
=
RX (0) = N0 2/T , da cui
f (X1 ...Xn ) = f (X1 )f (xX2 )...f (Xn ) = q
104
1
2n
(2π)n σX
e
−
P
X2
i
2σ 2
X
2.3.10
Esercizio 64
Nello schema in figura il processo N (t) é Gaussiano con densitá spettrale di
potenza SN (f ) = ζ. Dire se il processo in uscita X(t) é Gaussiano e determinarne la funzione valor medio ηX (t) e la funzione di autocorrelazione RX (t, τ ).
H(f)
N(t)
W(t)
1
Interpolatore
cardinale
kT
f
-1/2T
Wk
X(t)
1/2T
Soluzione
La densitá spettrale di potenza di W (t) é data da
Ã
f
SW (f ) = SN (f )|H(f )| = ζrect
T
2
!
.
La funzione di autocorrelazione del processo W (t) vale dunque
µ
ζ
τ
RW (τ ) = sinc
T
T
¶
.
Il processo W (t) é a valor medio nullo, allora
CW (τ ) = RW (τ ),
e all’uscita del campionatore
Ci,j = CW (iT, jT ) = RW ((i − j)T ) =
ζ
δ(i − j),
T
cioé le variabili Wk , congiuntamente gaussiane, sono incorrelate e quindi
anche indipendenti con η = 0 e σ 2 = RW (0) = ζ/T .
Il processo X(t), per un generico impulso interpolatore p(t),
X(t) =
X
k
Wk p(t − kT ),
ηX = 0,
é una combinazione lineare di variabili Gaussiane a valor medio nullo,
dunque é a sua volta Gaussiano a valor medio nullo.
105
La funzione di autocorrelazione si calcola nel modo seguente
=
X
X
Ws p(t − τ −
Wk p(t − kT )
s
k
X
p(t − kT )p(t − τ − kT ).
E{Wk2 }
k
RX (t, τ ) = E
(1)
(
sT )
)
Se poniamo
y(t, τ ) = p(t)p(t − τ ),
possiamo riscrivere la funzione di autocorrelazione come
RX (t, τ ) =
ζ X
y(t − kT, τ ),
T k
da cui risulta che, per un generico impulso interpolatore p(t), la funzione di
autocorrelazione RX (t, τ ) e’ periodica nella variabile t, con periodo T .
Nel caso particolare dell’interpolatore cardinale, con
µ ¶
t
p(t) = sinc
,
T
verifichiamo che il processo X(t) e’ stazionario nell’autocorrelazione (essendo gaussiano e stazionario nell’autocorrelazione, il processo risulterá stazionario in senso stretto).
Infatti, detta Y (f ) = Y (f, τ ) la trasformata di Fourier di
µ
t
y(t) = sinc
T
¶
µ
¶
t−τ
sinc
,
T
Y (f ) = T 2 rect(f T ) ⊗ (rect(f T )e−j2πf τ ).
La trasformata Y (f ) risulta nulla, nella variabile f, per valori della frequenza
esterni all’intervallo −1/T < f < −1/T , e, applicando la formula di Poisson,
otteniamo
X
k
y(t − kT ) =
1X
1
Y (s/T )ej2πst/T =
Y (0).
T s
T
La funzione di autocorrelazione in questo caso, dunque, non dipende da
t, ma solo da τ , e il processo X(t) risulta stazionario.
In particolare, calcolando il valore di Y (0),
Z
τ
2
rect(φT ) rect(−φT ) ej2πφτ dφ = T sinc( ),
Y (0) = T
T
1
Le variabili sono incorrelate, E{Wk Ws } 6= 0 se e solo se k = s.
106
si ricava l’espressione dell’autocorrelazione
RX (t, τ ) = ζ sinc
107
µ
τ
T
¶
.
2.3.11
Esercizio 65
Si consideri il sistema in figura nel quale il processo Gaussiano di ingresso
X(t) é caratterizzato dalla funzione di autocorrelazione (B=1/T)
RX (τ ) = N0 Bsinc(Bτ ).
Ricavare la densitá di probabilitá del primo ordine fY (y; t) del processo
aleatorio d’uscita Y (t) nei due casi seguenti :
a) H(f ) = 1;
b) H(f )=rect(f /B).
X(t)
+
H(f)
Y(t)
T
Soluzione
RX (τ ) = N0 Bsinc(Bτ )
F
⇐⇒
f
SX (f ) = N0 rect( ).
B
a) H(f ) = 1.
La funzione di trasferimento dell’intero sistema é data da
Ht (f ) = 1 − e−j2πf T
T
T
T
= e−j2πf 2 (ej2πf 2 − e−j2πf 2 )
µ
¶
T
−j2πf T2
2jsen 2πf
.
= e
2
La densitá spettrale di potenza del processo Y (t) é data da
SY (f ) = SX (f )|Ht (f )|2
à !
µ
¶
f
T
= N0 4rect
sen2 2πf
.
B
2
108
σy2 = N0
Z
1
2T
1
− 2T
4sen2 (2πf
T
)df = 2N0 B.
2
X(t) Gaussiana, E{x} = 0 ⇐⇒ Y (t) Gaussiana, E{y} = 0, σY2 = 2N0 B.
La densitá di probabilitá cercata é dunque data da
2
− Y2
1
fY = √
e 2σY .
2πσY
b) H(f ) = rect(f /B).
H(f)
X(t)
1
SX (f)
-B/2
B/2
XOUT(t)
S
(f)
X OUT
La densitá spettrale di potenza del processo Xout in uscita dal filtro é la
stessa del processo X(t) in ingresso, cioé
SXout (f ) = SX (f ),
dunque, come nel punto precedente,
SY (f ) = SX |H(f )|2
ottenendo lo stesso risultato per la densitá di probabilitá di Y (t).
109
2.3.12
Esercizio 66
Premessa: Due processi X(t) e Y (t) si dicono indipendenti se qualunque
insieme di variabili aleatorie estratte da X(t) é indipendente da qualunque
insieme di variabili aleatorie estratte da Y (t).
Sono dati due processi stazionari in senso lato e indipendenti X(t) e Y (t)
con funzione di autocorrelazione RX (τ ) = RY (τ ) = σ 2 sinc2 (Bτ ). Costruito
il processo
Z(t) = X(t)cos(2πBt) − Y (t)sin(2πBt)
dimostrare che Z(t) é stazionario in senso lato. Determinare e rappresentare
poi la densitá spettrale di potenza SZ (f ) di Z(t).
Soluzione
I valori medi di X(t) e di Y (t) sono nulli in quanto le funzioni di autocorrelazione tendono a zero, da cui deriva
E{Z(t)} = E{X(t)}cos(2πBt) − E{Y (t)}sin(2πBt) = 0.
Per la funzione di autocorrelazione:
RZ (t, t − τ ) = E{Z(t)Z(t − τ )}
= E{[X(t)cos(2πBt) − Y (t)sin(2πBt)] ·
· [X(t − τ )cos(2πB(t − τ )) − Y (t − τ )sin(2πB(t − τ ))]}.
I termini che contengono E{X(t)}, E{Y (t)}, E{X(t − τ )}, E{Y (t − τ )} si
annullano. Inoltre E{X(·)Y (·)} = E{X(·)}E{Y (·)} per ipotesi. Quindi
RZ (t, t − τ ) = EX,Y {X(t)X(t − τ )cos(2πBt)cos(2πB(t − τ ))} +
+ E{Y (t)Y (t − τ )sin(2πBt)sin(2πB(t − τ ))}
·
¸
1
1
(1)
= RX (τ ) cos(2πBτ ) + cos(2πB(2t − τ )) +
2
2
·
¸
1
1
+ RY (τ ) cos(2πBτ ) − cos(2πB(2t − τ ))
2
2
(2)
= RX (τ )cos(2πBτ ).
1
Ricordando che
cos(α)cos(β) = 12 [cos(α + β) + cos(α − β)];
sin(α)sin(β) = 21 [cos(α − β) − cos(α + β)].
2
Poiché RX (τ ) = RY (τ )
110
La densitá spettrale di potenza del processo Z(t) si ottiene attraverso
la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione RZ (τ ), dalla
proprietá di modulazione
1
SZ (f ) = [SX (f − B) + SX (f + B)],
2
dove
Ã
!
Ã
!
|f |
f
σ2
1−
rect
.
SX (f ) = F(RX (τ )) =
B
B
2B
σ
Β
2
SX (f)
-B
f
B
SZ (f)
σ
2
2Β
-B
B
111
f
2.3.13
Esercizio 67
Sia S(t) un processo casuale stazionario.
Il processo
Y (t) = S(t)cos(2πf0 t)
con f0 6= 0 é stazionario?
Soluzione
Il processo non é stazionario, infatti
E{Y (t)} = E{S(t)}cos(2πf0 t).
Il valor medio di Y (t) dipende dal tempo e quindi il processo non puó essere
stazionario se E{S(t)} 6= 0.
Nota: se E{S(t)} = 0 il valor medio di Y (t) si annulla; si possono allora
considerare la varianza o la densitá di probabilitá per giungere alla stessa
conclusione:
E{Y (t)} = 0.
E{Y (t)2 } = E{S(t)2 cos2 (2πf0 t)}
½
¾
1
2
= E
S(t) (1 + cos(4πf0 t))
2
1
=
E{S(t)2 } + E{S(t)2 }cos(4πf0 t).
2
112
2.3.14
Esercizio 68
É possibile che un processo casuale stazionario abbia la funzione di autocorrelazione indicata in figura?
R(t)
A
-T
t
T
(si consiglia di esaminare la densitá spettrale di potenza).
Soluzione
La densitá spettrale di potenza di questo processo dovrebbe essere quella
riportata in figura.
2AT
-1/2T
\
1/2T
/
f
Poiché peró S(f ) non puó essere negativa, non possono esistere processi
casuali con funzione di autocorrelazione rettangolare.
113
2.3.15
Esercizio 69
Dati due processi casuali stazionari indipendenti X(t) e Y (t), si consideri il
processo Z(t) = X(t) + Y (t).
Se ne determini la densitá spettrale di potenza SZ (f ).
Soluzione
La funzione di autocorrelazione del processo Z(t) é data da
RZ (τ ) = E{Z(t)Z(t − τ )}
= E{[X(t) + Y (t)][X(t − τ ) + Y (t − τ )]}
= E{X(t)X(t − τ )} + E{X(t − τ )Y (t)} + E{Y (t − τ )X(t)} +
+E{Y (t − τ )X(t)}
= RX (τ ) + RY (τ ) + 2ηX ηY .
Si ha quindi
SZ (f ) = SX (f ) + SY (f ) + 2ηX ηY δ(f ).
Ovvero: a frequenza diversa da zero i processi si sommano in potenza. Se i
processi hanno valor medio diverso da zero, i valori medi, invece, si sommano
in tensione: infatti, la potenza della componente continua, cioe’ l’area dell’impulso nell’origine, che compare nella densita’ spettrale di potenza Sz (f ),
vale
2
(ηX + ηY )2 = ηX
+ ηY2 + 2ηX ηY .
114
2.3.16
Esercizio 70
Il processo casuale stazionario X(t) abbia densitá spettrale di potenza SX (f ).
Determinare la densitá spettrale di potenza del processo
Y (t) = X(t − t0 ).
Soluzione
Dall’espressione dell’autocorrelazione
RY (t, t − τ ) =
=
=
=
E{Y (t)Y (t − τ )}
E{X(t − t0 )X(t − t0 − τ )}
RX (t − t0 , t − t0 − τ )
RX (τ )
si ottiene
SY (f ) = SX (f ).
D’altra parte, basta osservare che le realizzazioni del processo Y (t) sono
identiche a quelle del processo X(t) traslate di t0 per cui, dalla stazionarietá
di X(t), segue che i due processi sono descritti dalle stesse funzioni di densitá
di probabilitá.
115
2.3.17
Esercizio 71
Si consideri un processo Gaussiano di densitá spettrale di potenza N0 /2 tra
−B e B, e 0 altrove. Il processo viene campionato a frequenza fc = 3B/2.
Determinare intervallo fondamentale, potenza e densitá spettrale di potenza
della sequenza campionata. I campioni vengono poi sovracampionati di un
fattore 2, e convertiti in analogico tramite un convertitore ed un passa basso,
la cui cascata é modellata come un interpolatore cardinale di banda 3B/2.
Determinare la densitá spettrale di potenza del segnale analogico.
Soluzione
L’ intervallo fondamentale é (−3B/4, 3B/4). Poiché il processo é stazionario, la potenza del segnale campionato é uguale a quella del segnale non
campionato, cioé:
P = N0 B.
L’ autocorrelazione di un segnale casuale campionato é ottenuta dal campionamento dell’ autocorrelazione del segnale casuale tempo-continuo.
L’ autocorrelazione del segnale tempo-continuo é:
R(τ ) = N0 Bsinc(2τ B).
Dunque i suoi campioni presi a frequenza 3B/2 si ottengono ponendo τ = k2/3B:
Ã
!
4k
R(k) = N0 Bsinc
.
3
Trasformando la sequenza secondo la formula
X(f ) =
∞
X
−∞
x[n]e−j2πnf T = F[x[n]],
nell’ intervallo fondamentale si ottiene
S(f ) =
(
3BN0
4
3BN0
2
0 ≤ |f | < B/2
B/2 ≤ |f | < 3B/4.
É comunque piú semplice ed intuitivo ottenere lo stesso risultato sommando
direttamente le trasformate S(f ) di R(τ ) replicate a passo 3B/2 e moltiplicate per 3B/2 secondo la formula (5.4.7) del libro di testo. Resta inteso che,
quando si dovesse calcolare la potenza come integrale della densitá spettrale
di potenza, bisogna ricordarsi di dividere per l’ intervallo fondamentale
Pz = Rz (0) =
2 Z 3B/4
S z (f )df = N0 B.
3B −3B/4
116
Ovviamente, nulla cambia se si usano con attenzione le frequenze normalizzate. Infatti, trasformando ancora la sequenza secondo la formula (5.2.5)
del libro di testo, nell’ intervallo fondamentale (−0.5, 0.5) delle frequenze
normalizzate F (3B/4 7→ 1/2, B/2 7→ 1/3), si ottiene
S(f ) =
(
3BN0
4
3BN0
2
0 ≤ |f | < 1/3
1/3 ≤ |f | < 1/2.
Naturalmente per la potenza bisogna integrare come di seguito riportato
Pz = Rz (0) =
Z
1/2
−1/2
S z (F )dF = N0 B.
Il sovracampionamento raddoppia il numero di campioni dell’ autocorrelazione tramite interpolazione cardinale. Nel dominio delle frequenze, questo
corrisponde a cancellare le repliche dispari e raddoppiare le ampiezze della
trasformata, cioé della densitá spettrale di potenza. Detta S 0 (f ) la densitá spettrale di potenza del segnale sovracampionato, nel nuovo intervallo
fondamentale (−3B/2, 3B/2) si ha:
0
S (f ) =
(
3BN0
2
3BN0
0 ≤ |f | < B/2
B/2 ≤ |f | < 3B/4.
Si osservi che, poiché raddoppia l’ intervallo fondamentale, la potenza del
segnale sovracampionato é uguale a quella del segnale non sovracampionato.
Il passa basso successivo, cascata del convertitore e del filtro di ricostruzione,
puó essere visto come un convertitore ideale che trasforma la sequenza numerica in un segnale tempo-continuo costituito da δ di Dirac, seguito da un passa
basso ideale. All’ uscita del convertitore ideale il segnale tempo-continuo ha
la forma
∞
x0 (t) =
X
i=−∞
x0 [k]δ(t − iTc + t0 ),
ove Tc = 1/3B, t0 é una variabile aleatoria uniformemente distribuita in
(−Tc /2, Tc /2), che tiene conto di una inevitabile incertezza presente sull’
istante iniziale della sequenza, e x0 (k) sono i campioni del segnale sovracampionato. L’ autocorrelazione del segnale x0 (t) si ottiene mediando su t0 e
sulle x0 [k]. Il risultato é
R0 (τ ) =
∞
1 X
R0 (i)δ(τ − iTc ),
Tc i=−∞
ove R0 (i) sono i campioni dell’ autocorrelazione del segnale sovracampionato.
Trasformando si ottiene
S 0 (f ) = 3BS 0 (f ).
117
La risposta all’impulso dell’interpolatore cardinale é
h(t) = sinc(3Bt).
La risposta in frequenza é
!
Ã
f
1
,
rect
H(f ) =
3B
3B
!
Ã
1
f
|H(f )| =
.
rect
2
9B
3B
2
La densitá spettrale di potenza del segnale all’ uscita del passa-basso é
pertanto
00
0
2
S (f ) = S (f )|H(f )| =


N0
2
 N0
0
0 ≤ |f | < B/2
B/2 ≤ |f | < 3B/4
altrove.
La situzione é illustrata in figura. Si osservi che lo stesso risultato puó essere ottenuto in maniera piú semplice, anche se formalmente meno corretta,
ignorando tutti i fattori di scala dovuti al campionamento, al sovracampionamento, e alla successiva conversione digitale-analogico. É infatti sufficiente
sommare le repliche della densitá spettrale di potenza del segnale tempocontinuo, cancellare le repliche dispari, e poi modellare la conversione come
un passa-basso ideale avente guadagno in continua unitario.
S(f)
N0 /2
-B
B
118
f
S(f)
3BN0 /4
-3B
-3B/2
-B/2
-B
B/2
B
3B/2
f
3B
S(f)
3BN0 /2
3BN0 /4
3B/4
-3B
-3B/2
-B
-3B/4
B/2
-B/2
3B/2
B
3B
f
S(F)
3BN0 /2
3BN0 /4
-1/2
F
1/2
Intervallo fondamentale
S’(f)
3BN0
3BN0 /2
-3B
-3B/2
-3B/4
3B/4
3B/2
S’’(f)
N0
N 0/2
-3B/4
3B/4
119
f
3B
f
2.3.18
Esercizio 72
Si consideri una sequenza di variabili aleatorie {ak } ognuna delle quali e’ distribuita uniformemente nell’ intervallo (−0.5, 0.5). L’ indice di correlazione
tra ak e ak+i e’ 0.5 per i = 1, mentre e’ nullo per i 6= 1. Determinare la
potenza della sequenza e la densita’ spettrale di potenza.
Si consideri ora la sequenza {bk = ak + m}, in cui le ak sono descritte al
punto precedente ed m e’ una variabile aleatoria uniformemente distribuita
in (0, 1) ed indipendente dalla sequenza {ak }. La sequenza cosı́ ottenuta e’
ergodica? Si determini la densita’ spettrale di potenza della sequenza {bk }.
Soluzione
La potenza della sequenza e’ semplicemente
Pa =
Z
0.5
−0.5
x2 dx =
1
.
12
L’ autocorrelazione della sequenza ha due valori non nulli. Quello in 0 e’
Ra (0) =
1
,
12
quello in 1 si ricava imponendo
ρ=
Ra (1)
= 0.5.
σ1 σ2
Si ha
σ12 = σ22 =
1
,
12
da cui si ottiene
1
.
24
La densita’ spettrale di potenza e’ pertanto
Ra (1) =
Sa (f ) =
1
1
+ cos(2πf ).
12 12
Il valor medio temporale della sequenza {bk } e’ m: poiché il valor medio temporale m dipende da realizzazione a realizzazione, essendo m una variabile
casuale, il processo non é ergodico.
Ogni realizzazione della sequenza {bk } si ottiene sommando alla realizzazione
120
della sequenza {ak } un valore costante m. Il processo discreto parametrico
m ha potenza
Z 1
1
x2 dx = .
E{m2 } =
3
0
Poiche’ m e’ indipendente da {ak }, la densita’ spettrale di potenza di {bk }
si ottiene dalla somma delle due densita’ spettrali di potenza (entrambe
periodiche):
∞
X
1
δ(f − j) + Sa (f ).
Sb (f ) =
j=−∞ 3
121
2.3.19
Esercizio 73
Si consideri il processo X(t) = Ag(t − t0 ) + W (t), ove W (t) e’ rumore Gaussiano bianco con densita’ spettrale di potenza N0 /2, ed A e g(t) sono assegnati
e rappresentano un segnale utile. Il processo e’ filtrato attraverso un filtro
la cui risposta all’ impulso e’ g(−t), e poi e’ campionato all’ istante t = t 0 .
Si determini il rapporto segnale-rumore relativo al detto campione. Si determini di nuovo il rapporto segnale rumore quando A e’ variabile aleatoria a
valor medio nullo e varianza σ 2 .
Soluzione.
Campionando la convoluzione, per la parte utile del segnale si ottiene (vedi
figura)
Z
u(t0 ) =
∞
−∞
Ag 2 (τ − t0 )dτ = AEg ,
ove Eg e’ l’ energia di g(t), pertanto la potenza della parte utile e’
Pu = A2 Eg2 .
La potenza del rumore all’ uscita del filtro e, dunque, al campionatore e’
1
P n = N0 E g .
2
Il rapporto segnale rumore e’ dunque
SN R =
2A2 Eg
.
N0
Quando A e’ variabile aleatoria, la potenza del segnale utile e’
Pu = σ 2 Eg2 ,
mentre la potenza del rumore e’ invariata. Pertanto
SN R =
2σ 2 Eg
.
N0
122
Ag(t- to)
t
t0
h(-t)=g(t)
h(-t+to)=g(t-to)
t
t0
Ag2(t-to)
t0
t
2
u(t 0)= Ag ( τ-t 0)d τ
123
2.3.20
Esercizio 74 (solo testo)
Si consideri un processo Gaussiano bianco con densita’ spettrale di potenza
N0 /2 bilatera. Il processo e’ filtrato attraverso un filtro la cui funzione di
trasferimento e’:
G(f ) = sinc(f T ).
Detto y(t) il processo all’ uscita del filtro, determinare la banda a 3.9 dB di
y(t), l’ autocorrelazione di y(t), la densita’ congiunta di y(t) e y(t + 2T ).
2.3.21
Esercizio 75 (solo testo)
Si consideri un processo Gaussiano bianco con densita’ spettrale di potenza
N0 /2 bilatera. Il processo e’ filtrato attraverso un filtro la cui funzione di
3
.
trasferimento e’ G(f ) = rect(f T ) ed e’ poi campionato a frequenza fc = 4T
Determinare l’ intervallo fondamentale e la densita’ spettrale di potenza della sequenza campionata, e disegnarla in un intervallo fondamentale. Determinare inoltre la densita’ di probabilita’ congiunta dei campioni k-esimo e
(k + 1)-esimo.
124
2.3.22
Esercizio 76 (solo testo)
Si consideri la sequenza casuale {ak }, dove le ak sono variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite. La distribuzione e’ Gaussiana a valor
medio 1 e varianza 1. La sequenza casuale viene filtrata attraverso un filtro
FIR la cui funzione di trasferimento e’
H(z) = 1 + 0.5z −1 .
Determinare la densita’ di probabilita’ dei campioni all’ uscita del filtro. Determinare la densita’ spettrale di potenza della sequenza all’ uscita del filtro.
2.3.23
Esercizio 77 (solo testo)
Si consideri la sequenza casuale {ak }, dove le ak sono variabili aleatorie indipendenti ognuna con distribuzione uniforme nell’ intervallo [−2, 2). La
sequenza casuale viene filtrata attraverso un filtro FIR la cui funzione di
trasferimento e’
H(z) = 1 + 0.5z −1 .
Disegnare la densita’ di probabilita’ dei campioni all’ uscita del filtro indicando chiaramente ascissa e ordinata, e determinarne la varianza. Determinare
la densita’ spettrale di potenza della sequenza all’ uscita del filtro.
125
2.4
2.4.1
Segnale dati
Esercizio 78
Si consideri il processo
X(t) =
X
i
ai g(t − iT + t0 ),
essendo l’ autocorrelazione Ra [k] dei dati e g(t) note, ed essendo t0 variabile
aleatoria uniformemente distribuita in (−T /2, T /2]. Si determini la potenza
e la densita’ spettrale di potenza del processo.
Soluzione
Dalla definizione di funzione di autocorrelazione, mediando sulla sequenza
casuale ai e sulla variabile t0 , e sfruttando l’ipotesi di stazionarieta’ della
sequenza ai , si ottiene
Rx (τ ) =
1X
Ra [k] Rg (τ − kT ),
T k
dove Rg (τ ) e’ l’autocorrelazione del segnale deterministico g(t).
Infatti
Rx (τ ) = E{
X
j
=
XX
j
=
k
aj g(t − jT − t0 )
X
Ra [k]
X
Ra [k]
k
=
s
as g(t − τ − sT − t0 )}
E{aj aj−k }Et0 {g(t − jT − t0 )g(t − τ − jT + kT − t0 )}
X 1 Z
j
k
=
X
T
T
2
− T2
g(t − jT − t0 )g(t − jT − t0 − τ + kT )dt0
1Z∞
g(α)g(α − τ + kT )dα
T −∞
1X
Ra [k] Rg (τ − kT ).
T k
La densita’ spettrale di potenza si calcola come Sx (f ) = F[Rx (τ )]
Sx (f ) =
1X
1X
1
Ra [k]F[Rg (τ −kT )] =
Ra [k]F[Rg (τ )]e−j2πf kT = S a (f ) Sg (f ),
T k
T k
T
con S a (f ) densita’ spettrale di potenza di {ai }, e Sg (f ) = |G(f )|2 densita’
spettrale di energia di g(t).
126
La potenza di x(t) vale
2
E[x (t)] =
Z
Sx (f ) df = Rx (0) =
127
1X
Ra [k] Rg (−kT ).
T k
2.4.2
Esercizio 79
Si consideri il segnale
+∞
X
µ
¶
t − iT + t0
ai sinc
X(t) =
,
τ
i=−∞
ove ai sono variabili aleatorie i.i.d., ognuna delle quali assume con eguale
probabilitá i valori −A, 0, A, e t0 é una variabile aleatoria uniformemente
distribuita nell’intervallo (−T /2, T /2).
Determinare lo spettro di densitá di potenza di X(t) e la potenza.
Soluzione
L’autocorrelazione di X(t) si trova mediando sui dati ai e su t0 . Si ottiene:
RX (τ ) =
1
E{a2i }Rg (τ ),
T
ove Rg (τ ) é l’autocorrelazione dell’impulso elementare g(t) = sinc(t/τ ).
Lo spettro di densitá di potenza si ottiene trasformando la precedente espressione:
1
SX (f ) = E{a2i }|G(f )|2 ,
T
ove G(f ) é la trasformata dell’impulso elementare, cioé:
·
G(f ) = F sinc
Poiché E{a2i } =
2A2
,
3
µ ¶¸
t
τ
= τ rect(f τ ).
si ottiene
SX (f ) =
2A2 τ 2
rect(f τ ).
3T
La potenza si ottiene integrando la precedente espressione:
PX =
2A2 τ
.
3T
128
2.4.3
Esercizio 80
Si consideri il segnale
x(t) =
∞
X
µ
ai sinc
i=−∞
¶
t − iT − t0
,
T
ove t0 e’ variabile aleatoria uniformemente distribuita in (−T /2, T /2], ed
{ai } e’ una sequenza di variabili aleatorie Gaussiane, indipendenti ed identicamente distribuite, a valor medio nullo e varianza σa2 . Determinare il valor
medio, la potenza e la densita’ spettrale di potenza di x(t).
Si consideri poi il segnale
y(t) = x(t) + w(t),
ove w(t) e’ rumore Gaussiano bianco con densita’ spettrale di potenza bilatera N0 /2. Il segnale y(t) viene filtrato attraverso un passa-basso ideale di
banda 1/2T , e campionato agli istanti kT + t0 . Detti zk i campioni all’ uscita
del campionatore, si determini la densita’ di probabilita’ congiunta di zk e
zk+1 , ed il rapporto tra la potenza del segnale e quella del rumore presenti
nella sequenza {zk }.
Soluzione
Mediando su t0 e sulle ai si ottiene l’ autocorrelazione del segnale x(t):
σa2
Rg (τ ),
T
Rx (τ ) =
ove Rg (τ ) e’ l’ autocorrelazione dell’ impulso elementare g(t) = sinc(t/T ).
Trasformando si ha la densita’ spettrale di potenza
Sx (f ) =
con
·
σa2
|G(f )|2 ,
T
µ
¶¸
t
= T rect(f T ).
G(f ) = F sinc
T
Poiche’ non e’ presente la riga spettrale a frequenza zero, il valor medio di x(t)
e’ nullo. Integrando Sx (f ), oppure prendendo Rx (0), si ottiene la potenza:
Px = σa2 .
129
All’ uscita del campionatore, il segnale ha la forma
zk = u k + n k ,
ove uk e’ la componente di segnale, ed nk quella di rumore. Il segnale x(t)
passa inalterato dal passa basso, e viene poi letto agli istanti kT + t0 . In tali
istanti, si ha:
uk = a k .
Pertanto la potenza della componente di segnale e’
Pu = σa2 .
Il rumore all’ uscita del passa basso ha densita’ spettrale di potenza
Sn (f ) =
N0
rect(f T ).
2
Poiche’ il processo e’ stazionario, la potenza del segnale campionato e’ uguale
a quella del segnale tempo continuo. Integrando la precedente densita’ spettrale di potenza si ottiene
N0
.
Pn =
2T
Pertanto il rapporto segnale rumore e’
SN R =
Pu
2T σa2
=
.
Pn
N0
Poiché sia il segnale che il rumore sono Gaussiani, bianchi, a media nulla, e
tra loro indipendenti, la loro somma zk e’ ancora Gaussiana bianca a media
nulla, con varianza pari a Pu + Pn .
La densitá di probabilitá congiunta di zk e zk+1 é una Gaussiana bidimensionale con vettore dei valori medi nulli a matrice di covarianza diagonale.
La varianza su ognuna delle dimensioni vale Pn + Pu .
130
2.4.4
Esercizio 81
Si consideri il segnale
x(t) =
∞
X
i=−∞
ai δ(t − iT − t0 ),
dove t0 é una variabile aleatoria uniformemente distribuita in (−T /2, T /2],
ed {ai } é una sequenza di variabili aleatorie che assumono i valori 0, A con
probabilitá P (0) = 1/4, P (A) = 3/4. Inoltre le ai sono correlate con coefficiente di correlazione ρi,j = 0.5 per j = i + 1, e ρi,j = 0 per j > i + 1.
Determinare la densitá spettrale di potenza di x(t).
Soluzione
Mediando su t0 si ottiene l’autocorrelazione di x(t) nella forma
∞
1 X
E{ai ai+j }δ(τ + jT ).
Rx (τ ) =
T j=−∞
Il valor medio di ciascuna delle variabili aleatorie ai é 3A/4, il valore quadratico medio é 3A2 /4 e la varianza di ognuna risulta pari a 3A2 /16.
Osservando che ρi,j = ρj,i , per i valori attesi si ha
E{ai ai } =
3A2
.
4
E{ai ai+1 } = E{ai ai−1 } =
21A2
,
32
9A2
, j 6= 0, 1.
16
Inserendo questi risultati nell’autocorrelazione si ottiene
E{ai ai+j } = E{ai ai−j } =
∞
3A2
3A2
9A2 X
δ(τ ) +
(δ(τ − T ) + δ(τ + T )).
δ(τ + jT ) +
Rx (τ ) =
16T j=−∞
16T
32T
Trasformando si ha
Ã
¶
µ
∞
9A2 X
3A2
2πf
3A2
j
Sx (f ) =
+
+
cos
δ
f
−
2
16T j=−∞
T
16T
16T
T
131
!
.
2.4.5
Esercizio 82 (solo testo)
Si consideri il segnale dati
x(t) =
∞
X
(ai + ai−1 )sinc(
i=−∞
t − iT + t0
),
τ0
ove ai sono variabili aleatorie i.i.d., ognuna delle quali assume con eguale
probabilita’ i valori −A, A, e t0 e’ una variabile aleatoria uniformemente
distribuita nell’ intervallo (−T /2, T /2]. Determinare lo spettro di densita’ di
potenza di x(t) e la potenza.
132