Estrazione problematica Ci sono due urne ciascuna delle

Estrazione problematica
Ci sono due urne ciascuna delle quali contiene palline bianche e nere in numero
sconosciuto, ma diverso. Il gioco consiste nell'estrarre due palline a caso: dopo ogni
estrazione la pallina viene rimessa nell'urna. Si vince se entrambe le palline sono
bianche.
Determinare qual è il procedimento piu' vantaggioso tra:
1. scegliere a caso un'urna, estrarre, reimbussolare, scegliere di nuovo a caso un'urna
ed estrarre;
2. scegliere a caso un'urna, estrarre, reimbussolare ed estrarre di nuovo dalla stessa
urna;
3. scegliere a caso un'urna, estrarre, reimbussolare ed estrarre dall'altra urna.
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Siano
X la probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 1 (rapporto tra le palline bianche e le
palline totali dell'urna 1)
Y la probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 2 (rapporto tra le palline bianche e le
palline totali dell'urna 2)
Le probabilità di estrarre due palline bianche sono calcolate come segue:
Procedimento 1
Probabilità di scegliere come prima urna la n. 1
Probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 1
Probabilità di scegliere come seconda urna la n. 1
Probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 1
Probabilità del verificarsi degli eventi ci cui sopra
0,5
X
0,5
X
Probabilità di scegliere come prima urna la n. 1
Probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 1
Probabilità di scegliere come seconda urna la n. 2
Probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 2
Probabilità del verificarsi degli eventi ci cui sopra
0,5
X
0,5
Y
Probabilità di scegliere come prima urna la n. 2
Probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 2
Probabilità di scegliere come seconda urna la n. 1
Probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 1
Probabilità del verificarsi degli eventi ci cui sopra
0,5
Y
0,5
X
Probabilità di scegliere come prima urna la n. 2
Probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 2
Probabilità di scegliere come seconda urna la n. 2
Probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 2
Probabilità del verificarsi degli eventi ci cui sopra
0,5
Y
0,5
Y
0,25 X 2
0,25 XY
0,25 YX
0,25 Y2
Probabilità di vincita con il procedimento n. 1:
p1= 0,25 X 2 + 0,25 XY+0,25 XY+ 0,25 Y2 = 0,25 (X + Y)2
Procedimento 2
Probabilità di scegliere come prima urna la n. 1
Probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 1
Probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 1
Probabilità del verificarsi degli eventi ci cui sopra
Probabilità di scegliere come prima urna la n. 2
Probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 2
Probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 2
Probabilità del verificarsi degli eventi ci cui sopra
Probabilità di vincita con il procedimento n. 2
0,5
X
X
0,5
Y
Y
0,5 X 2
0,5 Y2
p2= 0,5 (X 2 + Y2)
Procedimento 3
Probabilità di scegliere come prima urna la n. 1
Probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 1
Probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 2
Probabilità del verificarsi degli eventi ci cui sopra
Probabilità di scegliere come prima urna la n. 2
Probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 2
Probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna 1
Probabilità del verificarsi degli eventi ci cui sopra
Probabilità di vincita con il procedimento n. 3
E'
p2 - p1 = 0,25 (X - Y)2 ≥ 0
p2 - p3 = 0,5 (X - Y)2 ≥ 0
p1 - p3 = 0,25 (X - Y)2 ≥ 0
e quindi p2 ≥ p1 ≥ p3
Il procedimento n. 2 è quindi il più vantaggioso.
0,5
X
Y
0,5 XY
0,5
Y
X
0,5 YX
p3 = X Y
SCELTA URNA
1 0,5
2 0,5
ESTRAZ. DA U2
ESTRAZ. DA U1
B X
B Y
N 1-X
N 1-Y
SCELTA URNA
SCELTA URNA
1 0,5
1 0,5
2 0,5
ESTRAZ. DA U2
2 0,5
ESTRAZ. DA U1
ESTRAZ. DA U2
ESTRAZ. DA U1
B Y
B X
N 1-X
P1
N 1-Y
P2
P3
0,5 X
2
P4
0,5X (1-X)
P5
0,5(1-X)
P6
0,5(1-Y)
P7
2
0,5 Y
P8
0,5 Y(1-Y)
P9
P10
SCELTA URNA
1 0,5
2 0,5
ESTRAZ. DA U2
ESTRAZ. DA U1
B Y
B X
N 1-X
N 1-Y
ESTRAZ. DA U1
B X
ESTRAZ. DA U2
N 1-X
P1
0,5 X2
P2
0,5X (1-X)
P3
0,5(1-X)
P4
0,5(1-Y)
B Y
N 1-Y
P5
0,5 Y2
P6
0,5 Y(1-Y)
SCELTA URNA
1 0,5
2 0,5
ESTRAZ. DA U2
ESTRAZ. DA U1
B Y
B X
N 1-X
N 1-Y
ESTRAZ. DA U2
B Y
P1
0,5 XY
ESTRAZ. DA U1
B X
N 1-Y
P2
0,5X (1-Y)
P3
0,5(1-X)
P4
0,5(1-Y)
P5
0,5 YX
N 1-X
P6
0,5 Y(1-X)