Esercizi di riepilogo

ESERCIZI DI RIEPILOGO
PROBABILITÀ – 2010/2011
MARCO ROMITO
Esercizio 1. In un contenitore ci sono 20 palline ros- Esercizio 5. Un sacchetto contiene 2n caramelle (con
se, 15 palline blu e 18 palline verdi. Si estraggono 10 n > 5), delle quali n sono al gusto di menta e n al gusto
palline. Determinare la probabilità
di limone. Si pesca a caso nel sacchetto e si mangia la
caramella pescata. Ripetendo questa operazione, a un
di estrarre 10 palline rosse;
certo punto una delle due varietà di caramelle si esaupalline di tre colori differenti;
risce. Si calcoli la probabilità che il numero di caramelle
3 palline verdi, 4 palline rosse e 3 palline blu;
dell’altra varietà avanzate sia 5.
che nessuna pallina sia verde.
Esercizio 6. Un contenitore contiene r palline rosse e n
Esercizio 2. Calcolare qual è la probabilità che un
palline nere. Le palline vengono estratte una ad una,
giocatore di poker riceva
fino a quando rimangono solo palline dello stesso coloesattamente un asso;
re. Calcolare la probabilità che le palline rimaste siano
esattamente una coppia (cioè due carte dello di colore rosso.
stesso tipo);
Esercizio 7. Un circolo tennis organizza un torneo di
un tris d’assi;
doppio, in cui ogni giocatore gioca in coppia con ogni
un tris;
un poker servito (quattro carte dello stesso tipo); altro ed ogni coppia si scontra con ogni altra coppia. Al
un full (due carte di un tipo e tre carte di un altro torneo si iscrivono 10 partecipanti, di cui 5 uomini e 5
donne. Calcolare il numero totale di partite del torneo.
tipo);
un colore (le cinque carte sono tutte dello stesso Dire quale sarebbe il numero totale di partite se il torneo fosse di doppio misto (cioè ogni coppia è formata
seme).
da un uomo e una donna).
Esercizio 3. Il senato della repubblica è composto da
315 senatori. Durante una votazione ogni senatore vo- Esercizio 8. Alla fine di una concitata finale, i 22 giocata a caso (a favore oppure contro, indipendentemente tori delle due squadre si scambiano le maglie, ognuno
dagli altri) un certo progetto di legge. Qual è la proba- scegliendo a caso un giocatore tra gli altri 21 (si intende
bilità che un fissato senatore ha di votare per l’opzione che lo scambio è reciproco e ogni giocatore scambia la
sua maglia una volta sola).
che ottiene la maggioranza?
Qual è la probabilità che il numero di giocatori
Esercizio 4. Supponiamo che, durante delle votazioni,
che, dopo lo scambio, indossano ancora la maglia
2n persone votino per un candidato scelto tra k. Un
della propria squadra sia pari a 7?
candidato risulta eletto se riceve la maggioranza dei voQual è la probabilità che questo numero sia pari
ti (i.e. almeno n+1 voti). Determinare la probabilità che
a 6?
un fissato candidato ha di essere eletto. Determinare la
Qual è la probabilità che questo numero sia pari
probabilità che nessun candidato sia eletto.
a 8?
Esercizio 9. Da un contenitore, al cui interno vi sono di ritirarle, si accorgono che i tagliandi si sono mesco3 palline rosse e 5 palline nere, vengono estratte due lati. Sia Ai l’evento per cui la persona i riceve la propria
giacca. Dire se gli eventi A1 , A2 , A3 , A4 , sono o mepalline. Siano
no collettivamente indipendenti. Dire se sono o meno
A1 = {pallina rossa nella prima estrazione},
a due a due indipendenti.
A2 = {pallina nera nella seconda estrazione}.
Esercizio 11. Un’aula contiene 9 banchi, disposti in tre
file. Due studenti sono scelti a caso tra i nove seduti. Se
Dire se A1 e A2 sono indipendenti, sia nel caso in cui
A = {i due sono seduti in banchi d’angolo},
le estrazioni siano senza reinserimento, che nel caso in
cui siano con reinserimento.
B = {i due sono seduti nella stessa fila},
Esercizio 10. Quattro amici, 1, 2, 3 e 4, lasciano le pro- calcolare le probabilità dei due eventi. Dire se gli eventi
prie giacche al guardaroba di un locale. Al momento A, B sono indipendenti.
1
2
M. ROMITO
Esercizio 12. Un giocatore riceve 13 carte da un mazzo Esercizio 14. Il giocatore A lancia n + 1 monete, il gio-
di 52. Qual è la probabilità di ricevere due assi? Qual è catore B ne lancia n. Calcolare la probabilità che A
più grande tra
abbia più teste di B.
Esercizio 15. In un concorso a premi ogni solutore de1. la probabilità di ricevere esattamente due assi, ve spedire la sua risposta in una busta. Il vincitore viesapendo di ricevere l’asso di cuori,
ne poi estratto tra coloro che hanno inviato la rispo2. la probabilità di ricevere esattamente due assi, sta corretta. Tradizionalmente le buste vengono tutte
sapendo di ricevere almeno un asso.
controllate (e si scartano quelle sbagliate), e poi viene
Esercizio 13. Una malattia ha una incidenza dell’1%. Il estratto il vincitore. Quest’anno, per ridurre i costi, si
test per rivelare se un individuo è o meno malato risulta è deciso di estrarre le buste fino a quando non se ne
positivo il 95% delle volte per coloro che sono effettiva- trova una contenente la risposta corretta, il cui solutore
mente malati e il 10% delle volte per i sani. Se un indi- risulta il vincitore.
Calcolare la probabilità di vincere, avendo inviaviduo fa il test e questo è positivo, qual è la probabilità
to una risposta corretta, nei due casi. Discutere il
che abbia davvero contratto la malattia?
risultato.
Dire qual è la probabilità che l’individuo sia effettiCalcolare (nel caso del secondo metodo) il numevamente ammalato qualora vengano fatti due test indiro atteso di estrazioni necessarie per estrarre una
pendenti (dove cioè le fonti di errore sono indipendenti
risposta corretta.
da test a test).
Esercizio 16. Calcolare il numero medio di assi in una
mano di poker.
risultanti.
Esercizio 20. Un contenitore contiene n palline rosse e
Esercizio 17. Un mazzo contiene n chiavi. Una sola
n palline blu. Un giocatore le estrae una per una e guadi queste apre una porta. Qual è il numero medio di dagna un punto se la palla estratta è di colore diverso
chiavi che bisogna provare prima di trovare la chiave dalla precedente. Detta P la v. a. che indica il numero
giusta?
di punti, determinare la probabilità che il giocatore totalizzi almeno tre punti. Determinare il numero atteso
Esercizio 18. Un lettore MP3 contiene 5000 canzoni. Lo
di punti del giocatore.
shuffle mode del lettore sceglie a caso, indipendentemente da brano a brano, le canzoni da riprodurre. Detto T Esercizio 21. Vengono lanciati n dadi. Siano M il nuil numero di brani da ascoltare in modo che la canzo- mero di dadi che presentano la faccia di valore massine T -esima sia il primo brano che si ripete nella playlist mo ed N il numero di dadi che presentano la faccia di
casuale, determinare la distribuzione di T . Calcolare valore minimo.
inoltre il valore atteso di T .
1. Trovare la distribuzione di M e di N.
2.
Calcolare i valori attesi di M e N.
Esercizio 19. Vengono lanciate n monete. Le monete che presentano testa vengono lanciate di nuovo. Determinare il valore atteso del numero di teste
Esercizio 22. Una moneta, che mostra testa con proba-
Esercizio 24. Estraendo, con reinserimento, i gettoni
bilità p, viene lanciata N volte, dove N è una v. a. di della tombola, stimare la probabilità che il gettone 1
Poisson di parametro λ. Siano X il numero di teste e Y esca al più 2 volte in 180 estrazioni.
il numero di croci. Determinare la distribuzione di X e
Esercizio 25. Lo scrittore P. ha appena terminato il
di Y. Dire se le v. a. X e Y sono indipendenti.
suo ultimo romanzo, di circa 30 000 parole. Dai suoi
Esercizio 23. Una moneta viene lanciata fino a quan- precedenti scritti, si è osservato che la probabilità di
do non siano apparse esattamente 2 teste consecutive. un refuso per una singola parola nella stesura finale è
Sia N la variabile aleatoria che indica il numero di lanci lo 0.01%. Qual è la probabilità che ci siano più di 10
effettuati. Determinare distribuzione e speranza di N. errori?
Se M è la v. a. che indica il minimo numero di lanIl correttore di bozze riesce ad individuare ogni erci necessari per vedere uscire (di seguito) la sequenza rore (indipendentemente l’uno dall’altro) con una protesta-croce, determinare distribuzione e valore atteso di babilità del 90%. Qual è il numero medio di errori che
M. Confrontare con il risultato precedente.
conterrà il libro dopo la revisione? Qual è la probabilità
che il romanzo non contenga errori?
ESERCIZI DI RIEPILOGO
3
Esercizio 26. Un ufficio ha 4 sportelli, denominati A, B,
Esercizio 28. Un supercomputer riceve richieste di uti-
C, D. Una pratica viene esaminata da un singolo sportello e poi passata per essere esaminata ad uno degli
altri tre sportelli con probabilità 13 ognuno.
Se una pratica viene presentata presso lo sportello
A, sia X il numero di passaggi tra gli uffici necessario
perché la pratica ritorni in A. Calcolare distribuzione e
valore atteso di X.
lizzo con distribuzione di Poisson con una media 0, 2
di richieste per ora. Ogni utilizzo richiede un numero
di minuti che ha distribuzione geometrica di parametro p ∈ (0, 1). Durante questo tempo ulteriori richieste
vengono cancellate.
Calcolare la probabilità che vi siano almeno due
richieste di utilizzo in una data ora.
Calcolare la probabilità che una richiesta di
utilizzo richieda più di 5 minuti.
Determinare la probabilità che vi siano r richieste di utilizzo cancellate durante l’esecuzione di
una data richiesta.
Determinare la probabilità che se vi sono state r
richieste di utilizzo cancellate durante l’esecuzione di una data richiesta, tale richiesta fosse della
durata di 3 minuti.
Esercizio 27. Una pulce salta, ad ogni secondo, da un
vertice a un altro adiacente di un quadrato, scegliendo
a caso la direzione in cui muoversi. Se S è il numero
totale di secondi che la pulce impiega per arrivare al
vertice B partendo dal vertice A, trovare distribuzione
e valore atteso di S se
1. i vertici A e B sono opposti,
2. i vertici A e B sono adiacenti.
Esercizio 29. Due amici fissano un appuntamento in TIR è stato sorpassato un minuto prima. Calcolare infi-
un certo luogo tra le 12 e le 13. L’accordo è che chi ar- ne la probabilità che il TIR sia stato sorpassato meno di
riva per primo aspetta 20 minuti (o le ore 13, secondo 250 volte in 10 ore.
quale sia l’attesa più breve) prima di andar via. Qual è
Esercizio 36. Tre concorrenti gareggiano in una gara
la probabilità che i due amici si incontrino?
ciclistica a cronometro. Il tempo medio di percorrenEsercizio 30. Si sceglie un punto a caso nel cubo di lato za del circuito è di 1h 27 0 . Il tempo di ogni concor1. Qual è la probabilità che le tre coordinate siano i tre rente è indipendente da quello degli altri due ed ha
lati di un triangolo?
distribuzione esponenziale.
Determinare la distribuzione del tempo dell’ultiEsercizio 31. Le v. a. X, Y sono indipendenti e distribuimo classificato.
te uniformemente sull’intervallo [0, 1]. Su un segmento
Calcolare il tempo medio del primo classificato.
di lunghezza 1 vengono segnate due tacche a distanze
Calcolare il tempo medio del secondo classificaX e Y dall’estremo sinistro. Qual è la probabilità che
to.
i tre segmenti delimitati dalle tacche siano i lati di un
triangolo?
Esercizio 37. Le v. a. X e Y sono indipendenti e hanno
entrambe distribuzione normale N(0, 1). Si consideri il
punto
(aleatorio) del piano (X, Y) e siano (R, Θ) le sue
conferenza unitaria. Qual è la probabilità che il centro
della circonferenza sia un punto interno del triangolo coordinate polari. Trovare la distribuzione di R e di Θ e
mostrare che R e Θ sono indipendenti.
di vertici i tre punti scelti?
Esercizio 32. Si scelgono a caso tre punti su una cir-
Esercizio 38. Siano X e Y due v. a. indipendenti con
distribuzione
uniforme sull’intervallo [0, 1], e sia α ∈
N(0, 1), allora X2 ha distribuzione chi-quadro χ2 (1).
Verificare che X2 + Y 2 ha distribuzione χ2 (2) se X, Y [0, 1]. Qual è la distribuzione di αX + (1 − α)Y?
Siano poi fX e fY le densità di X e Y. Descrivere una
sono due normali N(0, 1) indipendenti.
v. a. avente densità αfX + (1 − α)fY .
Esercizio 34. Mostrare che, se U è una v. a. distribuita
uniformemente su [0, 1], allora − log U ha distribuzione Esercizio 39. Un dispositivo hardware fornisce numeri
casuali distribuiti uniformemente nell’intervallo [0, 1].
Γ (1, 1).
Chiamiamo X la v. a. che indica il numero letto dal diEsercizio 35. Percorrendo un’autostrada, il conducen- spositivo. Spiegare, giustificando opportunamente le
te di un TIR realizza che il suo veicolo viene superato proprie risposte, come ottenere, a partire da X, una v. a.
in media una volta ogni 2 minuti. Detto T il tempo che la cui legge descriva
intercorre tra due sorpassi, qual è una ragionevole diil risultato del lancio di una moneta;
stribuzione di T ? Qual è la probabilità che il TIR non
il risultato del lancio di un dado;
subisca sorpassi nei 5 minuti successivi, se è stato apla distribuzione esponenziale;
pena sorpassato? Determinare la stessa probabilità se il Quale può essere un metodo per ottenere una v. a. che
abbia, approssimativamente, legge normale?
Esercizio 33. Mostrare che, se X è una v. a. normale
4
M. ROMITO
Esercizio 40. Siano A e R rispettivamente il numero
Esercizio 42. All’ufficio delle poste ci sono due spor-
di assi ed il numero di re che un giocatore riceve in
una mano di poker. Determinare la distribuzione congiunta della coppia (A, R). Calcolare il coefficiente di
correlazione tra A e R.
telli. Il tempo medio di attesa per essere serviti è, per
entrambi, di 20 minuti. Se si indicano con T1 , T2 i tempi
di attesa ai due sportelli, qual è una distribuzione ragionevole per T1 e T2 ? Supponendo che i tempi di attesa ai
due sportelli siano indipendenti, calcolare
la distribuzione del tempo di attesa M minimo
tra i due sportelli;
la distribuzione della v. a. D che rappresenta la
differenza (positiva) di tempo che intercorre tra i
due tempi di attesa.
Dire se le v. a. M, D sono indipendenti.
Esercizio 41. Definiamo una moneta aleatoria nel seguente modo. Lanciamo 10 monete eque ed indichiamo con T il numero di teste; noto il valore di T , la moT
neta aleatoria darà testa con probabilità 10
. Qual è la
probabilità che una moneta aleatoria dia testa?
Sia S il numero di teste che si ottengono lanciando
10 monete aleatorie indipendenti, tutte con lo stesso
parametro.
Esercizio 43. Alberto e Marco lanciano ognuno una
moneta (la cui probabilità di dare testa è p ∈ (0, 1)) per
1. Mostrare che E[S] = E[T ].
n volte. Se A, M indicano il numero di teste di Alberto
2. Mostrare che E[ST ] = E[T 2 ].
e Marco, rispettivamente, trovare la distribuzione con3. Dire se S e T sono indipendenti, giustificando dizionale di A sapendo che il numero totale di teste è
opportunamente la risposta.
esattamente n.
Esercizio 44. Un automobilista viene sottoposto al test
dell’etilometro. Il tasso alcolemico è risultato, sulla base
di misurazioni successive, il seguente (i valori sono in
g/l),
1,10 1,11 1,03 1,37 1,14 0,91 0,54
0,48 0,94 0,51 0,24 1,34 1,29 0,79
0,53 0,47 0,53 1,01 0,30 0,83 1,07
0,89 0,73 0,93 1,06 0,42 0,88 0,65.
Classificare i dati, rappresentarne le frequenze in forma di tabella e di istogramma e calcolare gli indicatori
di centralità (media, mediana, moda) e di dispersione
(varianza, quartili).
Esercizio 45. Ci sono 100 lampadine, di ognuna del-
le quali si afferma che il tempo di vita medio è 200 ore.
Tuttavia ben 58 lampadine funzionano meno di 160 ore.
Pensate che vi sia qualcosa di strano?
Esercizio 46. Si ritiene che una barra di metallo abbia
una lunghezza di 40 cm. Si effettuano 500 misurazioni e
si trova una misura media di 39, 3 cm e una deviazione
standard empirica di 5 cm.
Ci sono elementi per dubitare che la lunghezza
effettiva sia di 40 cm?
macchina?
Esercizio 49. La BNE, una ditta produttrice di CPU,
dichiara che solo il 0.3% dei loro chip risulta difettoso.
Si acquista una partita di 20 000 CPU e se ne trovano 76 difettose. Valutare se si possa accusare la BNE di
dichiarazioni ingannevoli.
Stimare poi la probabilità di trovare 2 CPU difettose
in una partita di 1000.
Esercizio 50. Una scatola contiene un numero ignoto
di monete n0 . Per darci modo di indovinare tale numero, le monete vengono lanciate e viene contato il numero di teste. Ripetendo questo esperimento, riceviamo i
seguenti suggerimenti,
692 695 665 674 719
680 686 658 691 645.
Quale numero è opportuno rispondere? Giustificare la
propria risposta.
Esercizio 51. Si suppone che l’intensità del segnale
emesso da un access point e percepito dalla scheda wireless di un laptop segua la statistica di Rayleigh, di
densità
2
2r − rω
e
,
r > 0,
ω
fω (r) =
Esercizio 47. Un montacarichi da cantiere ha una por0
altrimenti.
tata di 1500 kg. Sapendo che il peso medio di un uomo
adulto è 74.3 kg, con deviazione standard 6.8 kg, stimab di massima verosimi1. Trovare lo stimatore ω
re con quale probabilità il peso combinato di 20 persone
glianza di ω.
può superare la portata del montacarichi.
b quando la scheda rileva i
2. Calcolare il valore di ω
valori
Esercizio 48. La macchina che fa i buchi di una fab7 6 21 12 17 14 25 13.
brica di ciambelle produce, in condizioni normali, all’incirca il 5% di ciambelle difettose (cioè senza il buco
b è uno stimatore non distorto.
3. Dire se ω
centrale). Le ciambelle sono poi inscatolate in pacchi
Esercizio 52. Un dado viene lanciato ripetutamente.
contenenti 300 ciambelle ognuno.
Durante un controllo di qualità viene aperto un pac- Determinare approssimativamente il numero di lanci
co e vengono trovate 22 ciambelle senza buco. Che necessario affinché la frequenza del 3 disti da 61 per
conclusioni si possono trarre sul funzionamento della meno di 10−3 con probabilità superiore al 99%.