Università degli Studi di Parma Corso di Laurea in Matematica (A.A. 2016–2017) ESERCIZI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 3 4. Teorema di Baire Esercizio 1. Sia (X , d) uno spazio metrico completo e privo di punti isolati. Allora, (a) X non è numerabile; (b) D ⊂ X numerabile =⇒ X \ D denso; (c) E ⊂ X di prima categoria e denso =⇒ E∈ / Gδ . In particolare, l’insieme dei razionali Q non è un Gδ di R. Esercizio 2. Nell’intervallo [0, 1] costruite (a) per ogni 0 < ε < 1 un insieme Lebesgue misurabile Eε con int(cl(Eε )) = ∅ e |Eε | = ε; (b) un insieme di prima categoria F ∈ Fσ con misura |F | = 1; (c) un insieme G ∈ Gδ denso con misura |G| = 0. Perché non può essere G = Q ∩ [0, 1]? Esercizio 3. Siano (X , τ ) uno spazio topologico di Hausdorff, U(x) l’insieme degli intorni di x ∈ X e f : X → R una funzione. Provate che l’oscillazione di f definita da osc(f )(x) = inf sup |f (x1 ) − f (x2 )| : x1 , x2 ∈ U , x ∈ X, U ∈U (x) ha le seguenti proprietà: (a) f continua in x ⇐⇒ osc(f )(x) = 0; (b) l’insieme {osc(f ) ≥ ε} (ε > 0) è chiuso. Provate quindi che risulta C(f ) = x ∈ X : f è continua in x ∈ Gδ ; D(f ) = x ∈ X : f non è continua in x ∈ Fσ . Esercizio 4. Siano (X , d) uno spazio metrico completo, fn : X → R (n ≥ 1) una successione di funzioni continue e f : X → R una funzione tale che1 lim fn (x) = f (x), n→+∞ x ∈ X. Provate che (a) esiste W aperto denso di X tale che f è localmente limitata in W ; (b) l’insieme dei punti in cui f è continua è un Gδ denso di X. 1 La funzione f è nella prima classe di Baire. 2 Stabilite inoltre se la funzione di Dirichlet 1Q può essere scritta come limite puntuale di una successione di funzioni continue fn : R → R (n ≥ 1) e se la derivata f 0 di una funzione derivabile f : R → R può essere discontinua in ogni punto di un intervallo (non degenere) di R. Esercizio 5. Considerate le seguenti affermazioni: esiste una successione di funzioni continue e non negative fn : R → [0, +∞) (n ≥ 1) tale che (a) la successione {fn (x)}n è illimitata se e solo se x ∈ Q; (b) la successione {fn (x)}n è illimitata se e solo se x ∈ R \ Q; (c) lim fn (x) = +∞ se e solo se x ∈ R \ Q. n Quali di esse sono vere? 3 Suggerimenti Esercizio 1. Se fosse X = {xn : n ≥ 1}, X sarebbe . . . Esercizio 2. Pensate agli insiemi Kε e Vε di Esercizio 2.1 e 2.2. Esercizio 3. Per (b) ragionate come nella dimostrazione del teorema di Banach–Steinhaus. Esercizio 4. (a) Si ha X= [ \ |fn | ≤ k k≥1 n≥1 e quindi . . . Ripetete lo stesso argomento all’interno di ogni palla chiusa di X. (b) Si ha [ \ X= |fm − fj | ≤ ε , ε > 0, n≥1 m,j≥n e quindi . . . Passate poi al limite per j → +∞ e, procedendo come nella dimostrazione del teorema di Baire, determinate una successione di palle Brk [xk ] con Brk+1 [xk+1 ] ⊂ Brk (xk ) e una successione strettamente crescente di indici nk tali che n ≥ nk =⇒ |fn (x) − f (x)| ≥ 1/k x ∈ Brk [xk ]. Fate in modo che xk → x per k → +∞ e concludete che f è continua in x. Ripetete lo stesso argomento in ogni palla chiusa di X. Esercizio 5. (a) L’insieme dove sup fn = +∞ è un . . . n (b) Numerate i razionali {qk }k e per ogni n costruite fn in modo che sui ciascun razionale qk per k = 1, . . . , n valga k (o eventualmente meno) e cresca con pendenza n altrove. (c) Riesaminate meglio la successione costruita in (b).