Teorema di estensione e completamento

1. ESTENSIONE DI FUNZIONI UNIFORMEMENTE CONTINUE
1
Teorema di estensione e completamento
1
Estensione di funzioni uniformemente continue
Fatto 1 Sia (X, d) spazio metrico; la topologia prodotto su X × X è indotta dalla metrica
prodotto
d∞ ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = max{d(x1 , y1 ), d(x2 , y2 )}.
La funzione d : X × X → R definita da (x1 , x2 ) → d(x1 , x2 ) è continua, anzi lipschitziana
con costante di Lipschitz 2.
Dimostrazione. Dalla disuguaglianza triangolare segue:
d(x1 , x2 ) − d(y1 , y2 ) = d(x1 , x2 ) − d(x1 , y2 ) + d(x1 , y2 ) − d(y1 , y2 ) ≤
≤ d(x2 , y2 ) + d(x1 , y1 ) ≤ 2 max{d(x1 , y1 ), d(x2 , y2 )}
Fatto 2 Usando la continuità della distanza d si ottiene che per ogni numero reale δ > 0
l’insieme
Aδ = {(x1 , x2 ) ∈ X × X : d(x1 , x2 ) < δ}
è aperto in X × X.
Fatto 3 Sia f : X → Y una funzione uniformemente continua tra spazi metrici. Allora
f trasforma successioni di Cauchy in successioni di Cauchy.
Dimostrazione. Sia (sj )j∈N una successione di Cauchy in X. Fissato ε > 0, sia δ > 0
associato a ε nella continuità uniforme di f . Esiste j ∈ N tale che dX (sj1 , sj2 ) < δ per ogni
j1 , j2 ≥ j. Allora dY (f (sj1 ), f (sj2 )) < ε per ogni j1 , j2 ≥ j.
Fatto 4 Sia f : X → Y un’isometria tra spazi metrici (non necessariamente suriettiva).
Se X è completo allora f (X) è completo.
Dimostrazione. Immediata.
Nel prossimo teorema indichiamo con d tanto la distanza su X quanto la distanza su Y .
Teorema 5 (Teorema di estensione.) Siano X e Y spazi metrici, con Y completo.
Siano D ⊆ X sottospazio denso di X e f : D → Y uniformemente continua. Esiste una
funzione f˜ : X → Y che estende f ed è continua (essa risulta unica perché D è denso
in X). Tale f˜ risulta anche uniformemente continua. Se f è lipschitziana allora f˜ è lipschitziana con la stessa costante di Lipschitz. Se f è un’isometria allora f˜ è un’isometria.
Dimostrazione. Dato x ∈ X, sia s = (sj )j∈N una successione di punti di D convergente
a x. Poiché s è di Cauchy, per il fatto 3 la successione f ◦ s è di Cauchy in Y e quindi
convergente a un limite che chiamiamo ls .
Per dimostrare che ls non dipende dalla successione s scelta, osserviamo che per un’altra
successione t convergente a x, anche f ◦ t converge a un limite lt . La successione r ottenuta
2
intercalando i termini di s e t nei posti pari e dispari converge pure lei a x e quindi, con lo
stesso ragionamento, f ◦ r converge a un limite che dovra necessariamente coincidere con
i limiti delle due sottosuccessioni pari e dispari. Quindi ls = lt .
Poniamo tale valore uguale a f˜(x).
Ovviamente f˜(x) = f (x) per ogni x ∈ D perché basta calcolarlo usando la successione
costantemente uguale a x.
Vediamo ora che f˜ risulta uniformemente continua. Fissato ε > 0, sia δ > 0 associato a ε
nella continuità uniforme di f . Il sottoinsieme A di X × X definito da
A = {(x1 , x2 ) : d(x1 , x2 ) < δ}
è aperto in X × X (fatto 2).
Fissiamo (x1 , x2 ) ∈ A. Scelte in D una successione s = (sj )j∈N convergente a x1 e
una successione t = (tj )j∈N convergente a x2 , si ottiene che s × t converge a (x1 , x2 ).
Pertanto la successione s × t sta definitivamente nell’aperto A e quindi la disuguaglianza
d(sj , tj ) < δ è soddisfatta definitivamente. L’uniforme continuità di f su D assicura che
d(f (sj ), f (tj )) < ε definitivamente. Passando al limite si ottiene d(f˜(x1 ), f˜(x2 )) ≤ ε, come
volevasi.
Se f è lipschitziana con costante l, allora d(f˜(x1 ), f˜(x2 )) ≤ ld(x1 , x2 ) è una disuguaglianza
soddisfatta su tutto D × D. Poiché le funzioni coinvolte sono continue e D × D è denso
in X × X, si ottiene che la disuguaglianza è soddisfatta su tutto X × X.
Analogamente si ragiona se f è isometria.
Il teorema di estensione 5 ha la seguente formulazione nel caso degli spazi di Banach:
Teorema 6 Siano X e Y spazi normati, con Y di Banach. Siano E un sottospazio lineare
denso in X e f : E → Y un operatore lineare continuo. Allora esiste un operatore lineare
continuo fˆ : X → Y che estende f . Tale estensione ha la stessa norma operatoriale di f .
Dimostrazione. Poiché f è lineare continuo, f è lipschitziano e quindi per il teorema 5
ammette un’estensione lipschitziana con la stessa costante di Lipschitz. Poiché le funzioni
che intervengono nelle uguaglianze
fˆ(x1 + x2 ) = fˆ(x1 ) + fˆ(x2 )
fˆ(λx) = λfˆ(x)
sono continue e le uguaglianze sono soddisfatte sui sottoinsiemi densi E × E e K × E, ne
consegue che esse sono soddisfatte rispettivamente su tutto X × X e K × X, da cui la
linearità di fˆ.
2
Completamento
Ricordiamo che ogni spazio metrico X si immerge isometricamente nello spazio metrico
completo B(X, R) = L∞ (X, R). Detta ϕ l’immersione isometrica, lo spazio X̂ = ϕ(X) è
uno spazio metrico completo (chiuso in un completo) che contiene come sottospazio denso
una copia isometrica di X.
Questo spazio X̂ si chiama il completamento di X, grazie alla seguente proposizione.
2. COMPLETAMENTO
3
Proposizione 7 Siano X̂ e X̃ due spazi metrici completi che contengono come sottospazio denso una copia
isometrica di X. Siano ϕ e ψ le rispettive immersioni isometriche. Esiste allora una biiezione isometrica
F : X̂ → X̃ tale che F ◦ ϕ = ψ.
* X̂
©©
©
ϕ ©
©
©
©
X
©©
H
HH
HH
ψ HH
HH
j ?
X̃
Dimostrazione. Consideriamo la funzione f : ϕ(X) → X̃ definita da:
f (ϕ(x)) = ψ(x)
che è ben definita per l’iniettività di ϕ.
Dal fatto che ϕ e ψ sono immersioni isometriche, segue immediatamente che f è un’isometria. Siccome X̃ è completo, per il teorema di estensione 5 l’isometria f si estende a
un’isometria F definita su tutto X̂.
Il fatto che F è un’estensione di f dice esattamente che F ◦ ϕ = ψ.
Poiché F è un’isometria e X̂ è completo, da 4 si ottiene che F (X̂) è completo e quindi
chiuso in X̃. Poiché F (X̂) ⊇ F (ϕ(X)) = ψ(X) e quest’ultimo spazio è denso in X̃, si deve
avere F (X̂) = X̃.
In conclusione F è una biiezione isometrica.
Per comodità di scrittura consideriamo il completamento X̂ di X come uno spazio metrico
completo che contiene X come sottospazio denso (e la metrica di X è la restrizione della
metrica di X̂).
Vogliamo vedere che se X è uno spazio normato allora esiste su X̂ una struttura di spazio
vettoriale per cui la metrica è indotta da una norma, che su X dovrà coincidere con la
norma originale.
Se v e w appartengono a X̂, allora esistono due successioni s e t fatte di punti di X
convergenti a v e w rispettivamente. Poiché le due successioni s e t sono di Cauchy, si
verifica immediatamente che la somma puntuale s + t è ancora una successione di Cauchy
e quindi convergente a un elemento z in X̂. È routine dimostrare che tale limite z non
dipende dalla scelta delle successioni s e t. Definiamo v + w = z.
Per ogni scalare λ, anche la successione λs è di Cauchy e quindi convergente a un elemento
che chiameremo λv (c’è ancora l’indipendenza dalla scelta di s).
È noioso e facile verificare che le proprietà di spazio vettoriale sono verificate e che la
metrica di X̂ è invariante per traslazioni e assolutamente omogenea (v. Analisi DUE,
2.3.1). Pertanto la posizione kvk = dist(v, 0) è una norma su X̂ che induce su X la norma
originale, dato che la distanza di X̂ induce su X la distanza originale.
Osservazione 8 Chi conosce il teorema di Hahn-Banach può fare più presto immergendo X nel biduale X ∗∗ e poi facendo la chiusura (X ∗∗ è completo per Analisi Due,
2.12.6).