Sperimentazioni di Fisica I - A.A. 2014/15 Esercitazione di laboratorio 6 novembre 2014 1. La successione dei numeri di Fibonacci viene definita in maniera ricorsiva: ∀ i = 1, 2, . . . f0 = 0, f1 = 1, fi+1 = fi + fi−1 Ad eccezione di f0 e f1 , ogni elemento della successione è la somma dei due elementi precedenti. Una proprietà interessante della √ successione di Fibonacci è che il quoziente di due numeri successivi tende al numero (1 + 5)/2. Scrivere un programma che stampi alcuni termini della sequenza dei numeri di Fibonacci a partire da f2 e il rapporto del numero con quello precedente della sequenza. 2. La costante e, base dei logaritmi naturali, è data, fino a 41 cifre significative da: e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 Si può dimostrare che per gli elementi della successione xn = (1 + 1/n)n con n = 1, 2, . . . nel limite n → ∞, xn → e. Scrivere un programma che stampi, sullo standard output, l’elemento i-esimo della serie, il valore di e approssimato e l’errore percentuale commesso con l’approssimazione; 3. Si esegua numericamente l’integrale della funzione f (x) = x, dove x ∈ [0, 1]. Dividere l’intervallo di integrazione in n parti uguali mediante i punti: x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2 ∗ h, . . . xn = a + n ∗ h = b con h = (b − a)/n. Siano m1 , m2 , . . ., mn e M1 , M2 , . . ., Mn rispettivamente i valori minimi e massimi della funzione all’interno degli intervalli [xi−1 , xi ]. Definiamo sn = n X mi · h e S n = i=0 n X Mi · h i=0 le somme integrali per difetto ed eccesso, relative alla suddivisione in n parti eguali. Nel limite n → ∞, gli elementi della successione sn e Sn convergono allo stesso valore che viene indicato come integrale definito della funzione: Z b f (x)dx a Scrivere un programma che facendo variare il numero di suddivisioni, n, dell’intervallo [0, 1], calcoli gli elementi della successione sn e Sn e li confronti con l’integrale analitico della funzione. Fornire inoltre gli errori relativi dati dall’approssimare il risultato esatto con gli elementi sn e Sn della successione. Utilizzare lo stesso programma per calcolare l’integrale della funzione f (x) = x2 , sempre nell’intervallo [0, 1].