esercizi 1

Sperimentazioni di Fisica I - A.A. 2014/15
Esercitazione di laboratorio
6 novembre 2014
1. La successione dei numeri di Fibonacci viene definita in maniera ricorsiva:
∀ i = 1, 2, . . .
f0 = 0, f1 = 1, fi+1 = fi + fi−1
Ad eccezione di f0 e f1 , ogni elemento della successione è la somma dei due elementi precedenti.
Una proprietà interessante della √
successione di Fibonacci è che il quoziente di due numeri
successivi tende al numero (1 + 5)/2. Scrivere un programma che stampi alcuni termini
della sequenza dei numeri di Fibonacci a partire da f2 e il rapporto del numero con quello
precedente della sequenza.
2. La costante e, base dei logaritmi naturali, è data, fino a 41 cifre significative da:
e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572
Si può dimostrare che per gli elementi della successione
xn = (1 + 1/n)n con n = 1, 2, . . .
nel limite n → ∞, xn → e.
Scrivere un programma che stampi, sullo standard output, l’elemento i-esimo della serie, il
valore di e approssimato e l’errore percentuale commesso con l’approssimazione;
3. Si esegua numericamente l’integrale della funzione f (x) = x, dove x ∈ [0, 1].
Dividere l’intervallo di integrazione in n parti uguali mediante i punti:
x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2 ∗ h, . . . xn = a + n ∗ h = b
con h = (b − a)/n. Siano m1 , m2 , . . ., mn e M1 , M2 , . . ., Mn rispettivamente i valori minimi
e massimi della funzione all’interno degli intervalli [xi−1 , xi ]. Definiamo
sn =
n
X
mi · h e S n =
i=0
n
X
Mi · h
i=0
le somme integrali per difetto ed eccesso, relative alla suddivisione in n parti eguali. Nel
limite n → ∞, gli elementi della successione sn e Sn convergono allo stesso valore che viene
indicato come integrale definito della funzione:
Z b
f (x)dx
a
Scrivere un programma che facendo variare il numero di suddivisioni, n, dell’intervallo [0, 1],
calcoli gli elementi della successione sn e Sn e li confronti con l’integrale analitico della funzione. Fornire inoltre gli errori relativi dati dall’approssimare il risultato esatto con gli elementi sn e Sn della successione.
Utilizzare lo stesso programma per calcolare l’integrale della funzione f (x) = x2 , sempre
nell’intervallo [0, 1].