Numeri naturali
Definizione:
Si chiama numero naturale una parola (un segno, un simbolo) che
esprime quanti sono gli elementi di un insieme finito, e di ogni
altro insieme a esso equipotente.
Ogni elemento di un insieme si chiama «unità» dell’insieme.
È noto che:
all’insieme vuoto,
a ogni insieme singolo,
a ogni coppia,
all’insieme delle dita della mano, è associato il numero
, è associato il numero zero;
, è associato il numero uno;
, è associato il numero due;
cinque
ecc.
Esistono vari metodi per leggere i numeri naturali; questi metodi
sono detti «sistemi di numerazione».
Fra questi viene abitualmente usato il «sistema decimale», che fu
introdotto in India e portato in Europa dagli Arabi.
In esso tutti i numeri naturali si rappresentano utilizzando solo
dieci simboli particolari, detti «cifre», che come è noto, sono:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
A partire de queste cifre si scrivono tutti i numeri naturali, nel
modo noto fin dalle Scuole Elementari.
L’insieme dei numeri naturali si indica con N, cioè nel sistema
decimale si pone:
Per comodità, gli elementi di N vengono indicati con le lettere
minuscole dell’alfabeto:
Quindi la scrittura
, significa «a è un numero naturale».
Successivo di un numero naturale
I
numeri
naturali,
nell’ordine
scritto,
formano
la
cosiddetta
successione dei numeri naturali.
Si chiama successivo di un numero naturale quel numero che lo
segue immediatamente nella successione naturale.
Per esempio: il successivo di 0 è 1, quello di 3 e 4 e così via.
Ogni numero naturale ammette il successivo.
Inoltre:
ogni numero naturale, eccetto lo zero, è il successivo di un
numero naturale.
Qualunque
numero
naturale
si
pensi,
si
può
sempre
trovare
il
successivo, quindi non esiste in N l’ultimo numero.
Si può, quindi, concludere che:
L’insieme N è illimitato.
Confronto tra numeri naturali
Si presenta frequentemente la questione di confrontare due numeri
naturali, cioè di saper riconoscere quando due numeri naturali
siano eguali e, in caso contrario, quale dei due sia minore.
Definizione:
Dati due numeri naturali, a e b, si dice che:
a
e
b
sono
uguali,
se
occupano
lo
stesso
posto
nella
successione naturale, o nella rappresentazione cartesiana;
si scrive
a è minore di b, se lo precede nella successione naturale;
si scrive
;
;
a è maggiore di b, se lo segue nella successione naturale;
si scrive
.
L’uguaglianza dei numeri gode delle proprietà:
RIFLESSIVA:
SIMMETRICA:
; ogni numero è uguale a se stesso.
; se un numero naturale è uguale
a un altro, quest’ultimo è uguale al primo.
TRANSITIVA: se
; se un numero naturale è
uguale a un secondo numero e questo è uguale a un terzo
numero, anche il primo è uguale al terzo.
La
diseguaglianza
invece
gode
di
dei
due
numeri,
proprietà,
facilmente verificabili tramite la
rappresentazione
cartesiana,
che
sono le proprietà:
TRANSITIVA: se
PROPRIETA’ DI TRICOTOMIA: dati due numeri naturali
e
allora
e
sussiste sempre una e una sola delle seguenti tre relazioni;
;
;
Le proprietà di cui gode la diseguaglianza tra due numeri si
esprimono dicendo che:
N è un insieme ordinato.
