Parte 4 - Università degli Studi di Parma

Università degli Studi di Parma
Corso di Laurea in Matematica (A.A. 2016–2017)
ESERCIZI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 3
4. Teorema di Baire
Esercizio 1. Sia (X , d) uno spazio metrico completo e privo di punti isolati. Allora,
(a) X non è numerabile;
(b) D ⊂ X numerabile
=⇒
X \ D denso;
(c) E ⊂ X di prima categoria e denso
=⇒
E∈
/ Gδ .
In particolare, l’insieme dei razionali Q non è un Gδ di R.
Esercizio 2. Nell’intervallo [0, 1] costruite
(a) per ogni 0 < ε < 1 un insieme Lebesgue misurabile Eε con
int(cl(Eε )) = ∅
e
|Eε | = ε;
(b) un insieme di prima categoria F ∈ Fσ con misura |F | = 1;
(c) un insieme G ∈ Gδ denso con misura |G| = 0.
Perché non può essere G = Q ∩ [0, 1]?
Esercizio 3. Siano (X , τ ) uno spazio topologico di Hausdorff, U(x) l’insieme degli intorni di x ∈ X
e f : X → R una funzione. Provate che l’oscillazione di f definita da
osc(f )(x) = inf sup |f (x1 ) − f (x2 )| : x1 , x2 ∈ U ,
x ∈ X,
U ∈U (x)
ha le seguenti proprietà:
(a) f continua in x
⇐⇒
osc(f )(x) = 0;
(b) l’insieme {osc(f ) ≥ ε} (ε > 0) è chiuso.
Provate quindi che risulta
C(f ) = x ∈ X : f è continua in x ∈ Gδ ;
D(f ) = x ∈ X : f non è continua in x ∈ Fσ .
Esercizio 4. Siano (X , d) uno spazio metrico completo, fn : X → R (n ≥ 1) una successione di
funzioni continue e f : X → R una funzione tale che1
lim fn (x) = f (x),
n→+∞
x ∈ X.
Provate che
(a) esiste W aperto denso di X tale che f è localmente limitata in W ;
(b) l’insieme dei punti in cui f è continua è un Gδ denso di X.
1 La funzione f è nella prima classe di Baire.
2
Stabilite inoltre se la funzione di Dirichlet 1Q può essere scritta come limite puntuale di una
successione di funzioni continue fn : R → R (n ≥ 1) e se la derivata f 0 di una funzione derivabile
f : R → R può essere discontinua in ogni punto di un intervallo (non degenere) di R.
Esercizio 5. Considerate le seguenti affermazioni: esiste una successione di funzioni continue e
non negative fn : R → [0, +∞) (n ≥ 1) tale che
(a) la successione {fn (x)}n è illimitata se e solo se x ∈ Q;
(b) la successione {fn (x)}n è illimitata se e solo se x ∈ R \ Q;
(c) lim fn (x) = +∞ se e solo se x ∈ R \ Q.
n
Quali di esse sono vere?
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Suggerimenti
Esercizio 1. Se fosse X = {xn : n ≥ 1}, X sarebbe . . .
Esercizio 2. Pensate agli insiemi Kε e Vε di Esercizio 2.1 e 2.2.
Esercizio 3. Per (b) ragionate come nella dimostrazione del teorema di Banach–Steinhaus.
Esercizio 4.
(a) Si ha
X=
[ \
|fn | ≤ k
k≥1 n≥1
e quindi . . . Ripetete lo stesso argomento all’interno di ogni palla chiusa di X.
(b) Si ha
[ \ X=
|fm − fj | ≤ ε ,
ε > 0,
n≥1 m,j≥n
e quindi . . . Passate poi al limite per j → +∞ e, procedendo come nella dimostrazione
del teorema di Baire, determinate una successione di palle Brk [xk ] con
Brk+1 [xk+1 ] ⊂ Brk (xk )
e una successione strettamente crescente di indici nk tali che
n ≥ nk
=⇒
|fn (x) − f (x)| ≥ 1/k
x ∈ Brk [xk ].
Fate in modo che xk → x per k → +∞ e concludete che f è continua in x. Ripetete lo
stesso argomento in ogni palla chiusa di X.
Esercizio 5.
(a) L’insieme dove sup fn = +∞ è un . . .
n
(b) Numerate i razionali {qk }k e per ogni n costruite fn in modo che sui ciascun razionale qk
per k = 1, . . . , n valga k (o eventualmente meno) e cresca con pendenza n altrove.
(c) Riesaminate meglio la successione costruita in (b).