PROBLEMI
1.
In un triangolo acutangolo con angoli α, β, γ, determina il coseno dell’angolo esterno a γ sapendo che
1
3
sen α = e cos β = .
2
4
⎡3 3 − 7 ⎤
⎢
⎥
8
⎣
⎦
2. In un triangolo acutangolo con angoli α, β, γ, determina il coseno dell’angolo esterno a γ sapendo che
2
4
cos α = e sen β = .
3
5
⎡6 − 4 5 ⎤
⎢
⎥
⎣ 15 ⎦
3. È data la funzione f ( x ) = sen ( 2π + aπ x ) cos ( 2π − bπ x ) , con a, b ∈ R .
1
a) Dimostra che, per a = −b , f ( x ) = sen ( 2aπ x ) .
2
b) Determina il periodo di f ( x ) quando a = 1 e b = −1 .
c) Trova per a =
1
π
e b=−
1
π
il dominio, il codominio e rappresenta f ( x ) in [ 0; 2π ] .
⎡
⎢ b) T = 1; c) D : ∀x ∈ R ,
⎣
⎡ 1 1 ⎤⎤
⎢⎣ − 2 ; + 2 ⎥⎦ ⎥
⎦
4. È data la funzione f ( x ) = sen ( 3π − aπ x ) cos ( 3π − bπ x ) , con a, b ∈ R .
1
a) Dimostra che, per a = b , f ( x ) = − sen ( 2aπ x ) .
2
b) Determina il periodo di f ( x ) quando a = −2 e b = −2 .
c) Trova per a =
1
π
e b=
1
π
il dominio, il codominio e rappresenta f ( x ) in [ 0; 2π ] .
⎡
1
⎢ b) T = 2 ; c) D : ∀x ∈ R,
⎣
⎡ 1 1 ⎤⎤
⎢⎣ − 2 ; + 2 ⎥⎦ ⎥
⎦
5. È data la funzione f ( x ) = a tg x − 2sen x , a ∈ R .
a) Determina il dominio.
⎛π
⎞
b) Trova il valore di a per il quale la funzione passa per il punto ⎜ ; 3 ⎟ e rappresenta la curva trovata
⎝3
⎠
in [ 0; 2π ] .
π
⎡
⎤
⎢⎣ a) D : x ≠ 2 + kπ , k ∈ Z; b) a = 2 ⎥⎦
6 . È data la funzione f ( x ) = 2 cotg x + a cos x , a ∈ R .
a) Determina il dominio.
⎛π
⎞
b) Trova il valore di a per il quale la funzione passa per il punto ⎜ ; 3 ⎟ e rappresenta la curva trovata
⎝6
⎠
in [ 0; 2π ] .
[a) D : x ≠ kπ , k ∈ Z; b) a = −2]
5
7. Di un triangolo ABC retto in A si ha che Cˆ = arctg
e che BC + AC = 50a . Calcola cos Bˆ e cos Cˆ e
12
le lunghezze dei lati del triangolo.
⎤
⎡
ˆ 12
ˆ 5
⎢⎣cos B = 13 ; cos C = 13 ; 10a, 24a, 26a ⎥⎦
7
e che BC − AB = 2a . Calcola cos Bˆ e cos Cˆ e le
8. Di un triangolo ABC retto in A si ha che Bˆ = arctg
24
lunghezze dei lati del triangolo.
⎡
⎤
ˆ 7
ˆ 24
⎢⎣ cos B = 25 ; cos C = 25 ; 48a, 14a, 50a ⎥⎦
9. Di un triangolo rettangolo ABC sono noti i seguenti elementi (espressi usando le convenzioni).
Determina quanto richiesto.
cos β = 0, 6; AB = 24 cm ; determina perimetro e area.
⎡⎣96 cm; 384 cm 2 ⎤⎦
sen γ = 0,8; AB = 12 cm ; determina perimetro e area.
⎡⎣36 cm; 54 cm 2 ⎤⎦
2
10. Calcola la misura dell’angolo che un cateto di un triangolo rettangolo forma con l’ipotenusa,
sapendo che il rapporto del cateto con la proiezione dell’altro cateto sull’ipotenusa vale 2 3 .
⎡π ⎤
⎢⎣ 6 ⎥⎦
11.Calcola la misura dell’angolo che un cateto di un triangolo rettangolo forma con l’ipotenusa,
1
sapendo che il rapporto tra la sua proiezione sull’ipotenusa e l’altro cateto vale
.
2 3
⎡π ⎤
⎢⎣ 3 ⎥⎦
12. In un rettangolo la diagonale è di 20 cm e forma con un lato un angolo di 20°. Calcola il
perimetro del rettangolo.
[51,26 cm ]
13. In un rettangolo la diagonale è di 30 cm e forma con un lato un angolo di 80°. Calcola il
perimetro del rettangolo.
[69,5 cm ]
14. In un triangolo rettangolo, un cateto è lungo 4 cm e forma con l’ipotenusa un angolo di 75°.
Determina la lunghezza dell’ipotenusa.
4 6 + 2 cm
[(
) ]
15. In un triangolo rettangolo, un cateto è lungo 4 cm e forma con l’ipotenusa un angolo di 15°.
Determina la lunghezza dell’ipotenusa.
4 6 − 2 cm
[(
3
) ]
