Liceo Scientifico “E - Liceo Marconi

LICEO SCIENTIFICO STATALE “G. MARCONI”
FOGGIA
PROGRAMMA DI MATEMATICA
Classe VB
Anno Scolastico 2014-2015
Insegnante: Prof.ssa La
1
Salandra
Incoronata
Nozioni di topologia su 
–
–
–
–
–
Intervalli;
Estremo superiore ed inferiore di un insieme limitato di numeri reali;
Intoni di un numero o di un punto;
Numeri o punti di accumulazione;
Punti interni, esterni ;
Funzioni reali di una variabile reale
–
–
–
–
–
–
–
Concetto di una funzione reale di una variabile reale;
Rappresentazione analitica di una funzione;
Grafico di una funzione;
Osservazioni sulla costruzione dei grafici di alcune funzioni;
Funzioni monotone);
Funzioni invertibili;
Funzioni inverse delle funzioni circolari;
Limiti delle funzioni di una variabile
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Limite delle funzioni reali di una variabile reale;
Limite finito per una funzione in un punto;
Definizione di limite infinito per una funzione in un punto;
Limite destro e sinistro di una funzione;
Definizione di limite per una funzione all’infinito;
Definizione più generale di limite;
Procedura per la verifica del limite;
Presentazione unitaria delle diverse definizioni di limite;
Teoremi fondamentali sui limiti;
Teorema della unicità del limite ;
Teorema della permanenza del segno ;
Teorema del confronto ;
Teoremi relativi alle operazioni sui limiti;
Dimostrazione che :
lim sen x
1
x0 x
–
–
Esercizi sul calcolo dei limiti;
Dimostrazione che:
lim sen g 


g   0 g 
180
–
–
Forma indeterminata (+; -);
Tabelle riassuntive sui teoremi relativi alle operazioni sui limiti;
2
–
–
Esempi di indeterminazione della funzione somma e della funzione prodotto;
Studio dei limiti:
lim f ( x )
lim f ( x )
x   g ( x)
x  0 g ( x)
con f(x) e g(x) funzioni algebriche;
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Teorema del limite della funzione potenza;
Esercizi relativi;
Teorema dell’esponenziale di due funzioni;
Esercizi sul calcolo dei limiti;
Il numero di Nepero;
Teorema del limite della funzione composta;
Teorema del limite della radice;
Teorema del limite del logaritmo;
Teorema del limite di una funzione esponenziale;
Un caso notevole di funzione: le successioni;
Limite di una successione;
Definizione di successione convergente;
Definizione di successione divergente;
Definizione di successione indeterminata;
Calcolo dei limiti notevoli.
LE SUCCESSIONI E LE SERIE
– Le successioni;
– Alcuni tipi di successioni;
– Il limite di una successione;
– I teoremi sui limiti di una successione;
– I limiti delle progressioni;
– Che cos’è una serie numerica;
– Serie convergenti, divergenti,indeterminate.
Funzioni continue
–
–
–
–
–
–
–
La continuità delle funzioni elementari;
Teorema della permanenza del segno per le funzioni continue;
Teorema sulla continuità delle funzioni composte;
Verifica di alcune funzioni continue;
Teorema sulla continuità delle funzioni inverse;
Risoluzione di problemi di massimo e di minimo.
Le proprietà globali delle funzioni continue
–
–
–
–
–
–
–
–
Teorema di Bolzano-- Weierstrass;
Teorema degli zeri di una funzione continua;
Risoluzione approssimata di equazioni di terzo e quarto grado applicando il teorema degli zeri.
Discontinuità di una funzione
Definizione di punto di discontinuità di prima specie;
Definizione di punto di discontinuità di seconda specie;
Definizione di punto di discontinuità di terza specie;
Esempi relativi.
3
Gli asintoti
–
–
–
–
–
–
–
Asintoti verticali;
Gli asintoti in generale:
Criterio per verificare se una retta assegnata r : y = m x + q è un asintoto obliquo per f(x);
Considerazione necessaria e sufficiente perché una funzione ammette asintoti obliqui;
Asintoti orizzontali;
Studio del grafico probabile di una funzione;
Esercizi relativi.
Derivate delle funzioni di una variabile
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Definizione di rapporto incrementale di una funzione;
Esercizi relativi;
Interpretazioni del rapporto incrementale di una funzione;
Definizione di derivata di una funzione;
Definizione di derivata destra;
Definizione di derivata sinistra;
Interpretazione geometrica della derivata;
Equazione della tangente ad una curva;
Esercizi relativi;
Continuità e derivabilità;
Definizione di funzione derivata;
Derivazione di alcune funzioni elementari;
Esercizi relativi;
Operazioni con le derivate;
Derivate del prodotto di una costante per una funzione;
Derivate della somma di due funzioni;
Derivate del prodotto di due funzioni;
Derivate della potenza di una funzione;
Derivate del rapporto di due funzioni;
Esercizi relativi;
La derivata di una funzione composta;
Esercizi relativi;
Derivata della potenza reale di una funzione;
Derivata della funzione:
y  [ f ( x)]g ( x )
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Derivata logaritmica;
Derivata della funzione inversa di una funzione;
Derivata di arcsen x
Derivata di arccos x
Derivata di arctg x
Derivata di valore assoluto di una funzione;
Derivate successive;
Esercizi relativi;
Le applicazioni delle derivate alla Fisica.
4
Teoremi fondamentali sul calcolo differenziale
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Teorema di Rolle ;
Interpretazione geometrica del teorema di Rolle;
Esercizi relativi;
Teorema di Lagrange o del valore medio;
Interpretazione geometrica del teorema di Lagrange;
Esercizi relativi;
Dimostrazione della prima e seconda conseguenza del teorema di Lagrange;
Teorema d i Cauchy;
Teorema di De L’Hospital;
Calcolo delle forme indeterminate: la regola di De L'Hospital;
Esercizi relativi;
Le prime applicazioni del calcolo differenziale: gli estremi di una funzione
Massimi e minimi relativi
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Definizione di punto massimo relativo o locale;
Definizione di massimo relativo o locale;
Definizione di punto minimo relativo o locale;
Definizione di minimo relativo o locale;
Definizione di punto estremante;
Definizione di punto critico o stazionario di una funzione;
Teorema di Fermat.
Definizione di punto regolare;
Criterio per la ricerca del massimo e del minimo assoluti di una funzione;
Enunciato del teorema delle funzioni crescenti e decrescenti (terza conseguenza del teorema di
Lagrange);
Primo criterio generale per la ricerca degli estremi relativi di una funzione;
Esercizi relativi;
Definizione di flesso orizzontale ascendente;
Definizione di flesso orizzontale discendente;
Concavità e convessità;
Caratterizzazione di una funzione convessa;
Caratterizzazione di una funzione concava;
Definizione di punto di flesso ascendente;
Definizione di punto di flesso discendente;
Secondo criterio generale per la ricerca degli estremi relativi;
Esercizi relativi;
Problemi di massimo e minimo;
Calcolo dei limiti con le regole di De L’Hopital;
Forme 00; 1; 0, +–;
Caratteristiche più importanti da determinare nello studio del grafico di una funzione;
Studio del grafico di funzioni razionali intere;
Studio del grafico di funzioni razionali fratte;
Studio del grafico di funzioni trascendenti;
Studio del grafico di funzioni col valore assoluto;
Definizione di punto di diramazione di una funzione algebrica irrazionale;
Studio del grafico di funzioni irrazionali.
5
Differenziali
– Definizione di differenziale;
– Significato geometrico di differenziale;
– Regole per la differenziazione;
Integrali indefiniti
– Funzioni primitive di una funzione;
– Dimostrazione del teorema sulle funzioni primitive;
– Integrale indefinito;
– Integrali indefiniti immediati;
– Metodi elementari di integrazione indefinita;
– Integrazione per scomposizione;
– Integrazione per cambiamento di variabile (o per sostituzione);
– Integrazione per parti;
– Integrazione indefinita delle funzioni razionali fratte;
– Esercizi relativi.
Integrali definiti
– Definizione di integrale definito;
– Proprietà dell’integrale definito;
– Area delimitata dal grafico di due funzioni;
– Funzione integrale;
– Relazione tra funzione integrale e l'integrale indefinito;
– Dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale o teorema di TorricelliBarrow;
– Formula fondamentale del calcolo integrale o di Newton - Leibniz;
– Calcolo di integrali definiti;
– Esempi di determinazione di aree;
– Valore medio di una funzione;
– Il teorema della media e il suo significato geometrico (dimostrazione);
– Volume di un solido di rotazione;
– Enunciato della formula:
b
V    [ f ( x )]2 dx
a
–
–
–
Esempi particolari di calcolo di volumi:
 Calcolo del volume della sfera di raggio r;
 Calcolo del volume del cono;
 Volume del toroide.
 Dimostrazione della formula per il calcolo del volume di un solido nota la funzione S(x)
che esprime l’area della generica sezione del solido al variare di x
Lunghezza di un arco di curva piana;
Dimostrazione della formula:
L
b
a
–
1  [ f ' ( x )]2 dx
Lunghezza di un arco di curva piana nel caso in cui l’equazione della curva è data in forma
parametrica;
Dimostrazione della formula:

L

x' (t )2   y' (t )2 dt
6
–
–
–
–
–
–
-Dimostrazione della formula per il calcolo dell’area di una superficie di rotazione.
Esercizi relativi;
Teorema di Guldino (enunciato);
Calcolo del baricentro di una figura piana omogenea;
Esercizi relativi;
Applicazione del calcolo integrale alla fisica: il lavoro di una forza;
Integrali impropri.
–
–
–
Applicazione dello studio del grafico di una funzione: discussione di un equazione parametrica .
Risoluzione di problemi di minimo assoluto e di massimo assoluto.
Risoluzione di quesiti assegnati agli esami d i Stato.
LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
-Le equazioni differenziali del primo ordine;
-Le equazioni differenziali del tipo y’= f(x);
-Le equazioni differenziali a variabili separabili;
-Le equazioni differenziali del primo ordine;
-Le equazioni differenziali del secondo ordine;
- Applicazioni delle equazioni differenziali alla Fisica.
LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’
Le variabili casuali discrete e le distribuzioni di probabilità.
La funzione di ripartizione;
Operazioni sulle variabili casuali;
I giochi aleatori.
La speranza matematica .
Foggia
Maggio 2015
Gli studenti
___________________
L’insegnante
Prof.ssa
___________________
7