Appunti di Analisi Matematica 1

A.A. 2014/2015
Corso di Analisi Matematica 1
Stampato integrale delle lezioni
(Volume 2)
Massimo Gobbino
Indice
Lezione 052: Introduzione agli integrali: notazioni, significato geometrico, funzioni
a gradino, definizione di integrale inferiore e superiore. Funzione di Dirichlet. .
Lezione 053: Prime proprietà dell’integrale: linearità, monotonia, additività rispetto alla zona di integrazione, disuguaglianza con il valore assoluto. Enunciato
dell’integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue. . . . . . . .
Lezione 054: Definizione di primitiva e di funzione integrale. Due primitive in un
intervallo differiscono per una costante. Teorema della media integrale. Teorema
fondamentale del calcolo integrale. Lipschitzianità della funzione integrale. . .
Lezione 055: Dimostrazione dell’integrabilità delle funzioni monotone. Dimostrazione che il valore assoluto di una funzione integrabile è integrabile. Discorso
sul +c negli integrali. Primitive elementari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lezione 056: Formula di integrazione per parti. Esempi classici di applicazione.
Tecnica del grande ritorno e dell’1 nascosto. Esempio paradossale utilizzando la
formula senza estremi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lezione 057: Formula di integrazione per sostituzione. Esempi classici di applicazione. Primitive di potenze di seno e coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lezione 058: Integrazione delle funzioni razionali: descrizione dell’algoritmo. . . .
Lezione 059: Precisazioni sui passi dell’algoritmo per integrare le funzioni razionali:
fattorizzazione reale/complessa di polinomi, dimostrazione della decomposizione
in fratti semplici, integrazione dei fratti semplici. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lezione 060: Esempi di calcolo di integrali propri, anche di integrande con valori assoluti. Utilizzo delle simmetrie per il calcolo di integrali di funzioni pari/dispari.
Integrali del quadrato di seno e coseno tra estremi multipli di un angolo retto.
Lezione 061: Trucco per il calcolo rapido dei coefficienti in una scomposizione in
fratti semplici. Sostituzioni razionalizzanti 1: funzioni razionali di esponenziali.
Sostituzioni razionalizzanti 2: funzioni razionali di radici di polinomi di primo
grado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lezione 062: Sostituzioni razionalizzanti 3: funzioni razionali di radici di polinomi
di secondo grado. Sostituzioni razionalizzanti 4: funzioni razionali di seno e
coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lezione 063: Interpretazione delle sostituzioni razionalizzanti in termini di parametrizzazioni razionali di curve algebriche. Primitive e derivare vs o piccolo. . . .
Lezione 064: Introduzione agli integrali impropri: definizione nel caso monoproblema e spezzamento nel caso con più problemi. Comportamento degli integrali
impropri con potenze negative della x, sia a 0 sia all’infinito. . . . . . . . . . .
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INDICE
Lezione 065: Criteri di convergenza per integrali impropri: confronto, confronto
asintotico (casi standard e casi limite), assoluta integrabilità. Esempi di applicazione. Osservazione della mancanza di un analogo per gli integrali impropri
della condizione necessaria per la convergenza delle serie. . . . . . . . . . . . .
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Lezione 066: Integrali impropri con problemi in punti diversi dall’origine. Esempio
di integrale improprio con problema in un punto che non si calcola esplicitamente. 73
Lezione 067: Confronto serie-integrali e applicazioni. . . . . . . . . . . . . . . . .
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Lezione 068: Integrali oscillanti: trucco dell’integrazione per parti e metodo dei
triangolini (o rettangolini). Esempi classici: integrale di Dirichlet e integrali di
Fresnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Lezione 069: Lemma di sommazione per parti (per le serie) di Abel. Applicazione
classica: criterio di Dirichlet per la convergenza di una serie. Enunciato analogo
per gli integrali impropri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Lezione 070: Funzione Gamma di Eulero. Esercizi sulla dipendenza di un integrale
proprio/improprio dall’insieme di integrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Lezione 071: Esercizi con funzioni definite mediante integrali. . . . . . . . . . . . .
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Lezione 072: Introduzione alle equazioni differenziali: nomenclatura. . . . . . . . . 103
Lezione 073: Introduzione alle equazioni differenziali: primi esempi di famiglie di
soluzioni dipendenti da parametri, problema di Cauchy, enunciato dei teoremi
di sola esistenza e di esistenza ed unicità, esempio di non unicità (pennello di
Peano). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Lezione 074: Equazioni differenziali a variabili separabili: descrizione della procedura per determinare una soluzione ed esempi di applicazione. Studio della
soluzione: intervallo massimale di esistenza, tempo di vita, eventuali blow up e
break down. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Lezione 075: Equazioni differenziali a variabili separabili: giustificazione della procedura per determinare una soluzione (che dimostra pure esistenza ed unicità).
Discussione di un primo esempio con valori soglia. . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Lezione 076: Teoria generale delle equazioni differenziali lineari: struttura dello
spazio delle soluzioni nel caso omogeneo e non omogeneo. . . . . . . . . . . . . 121
Lezione 077: Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: come determinare
una base dello spazio delle soluzioni passando per le radici del polinomio caratteristico. Primo esempio di ricerca per tentativi di una soluzione per un’equazione
non omogenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Lezione 078: Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti non omogenea:
ricerca per tentativi di una soluzione in casi semplici. Descrizione del metodo
di variazione delle costanti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Lezione 079: Equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti qualunque:
formula risolutiva, sua giustificazione (mediante fattore integrante o variazione
delle costanti), esempi di applicazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Lezione 080: Esempi classici di studio di equazioni differenziali con parametri: oscillatore armonico con risonanza, oscillatore armonico con dissipazione, equazione
lineare del primo ordine con valore soglia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Lezione 081: Sistemi di equazioni differenziali vs equazioni singole di ordine superiore. Legami con autovalori ed autovettori nel caso lineare. Ricerca degli
autovalori della derivata seconda con condizioni al bordo. . . . . . . . . . . . . 146
INDICE
Lezione 082: Esercizi misti sullo studio di soluzioni di equazioni differenziali al
variare di parametri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lezione 083: Successioni per ricorrenza lineari omogenee: formula risolutiva mediante le radici del polinomio caratteristico. Interpretazione matriciale e polinomiale
della formula (nel caso della successione di Fibonacci). . . . . . . . . . . . . .
Lezione 084: Sistemi di successioni per ricorrenza lineari: riduzione ad una successione singola. Successioni per ricorrenza lineari non omogenee: ricerca euristica
di una soluzione (analoga alle equazioni differenziali). . . . . . . . . . . . . . .
Lezione 085: Interpretazione polinomiale della formula per le ricorrenze lineari
del secondo ordine. Introduzione alle successioni per ricorrenza non lineari
autonome: primi esempi di studio mediante un piano basato sulla monotonia. .
Lezione 086: Interpretazione grafica delle successioni per ricorrenza autonome del
primo ordine. Esempi di studio mediante un piano basato sulla distanza dal
presunto limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lezione 087: Successioni per ricorrenza autonome spiraleggianti: studio mediante
il piano basato sulla monotonia ed il piano basato sulle due sottosuccessioni. .
Lezione 088: Primi esempi di studio di successioni per ricorrenza non autonome:
piani con la monotonia, con il rapporto, con limitatezza e carabinieri. . . . . .
Lezione 089: Ulteriori esempi di successioni per ricorrenza, autonome e non autonome. Legami tra la stabilità dei punti fissi di una funzione e valore assoluto
della derivata. Esempio di successione per ricorrenza senza limite (caos). . . .
Lezione 090: Esempio di studio di una successione per ricorrenza non autonoma
con valori soglia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lezione 091: Ulteriori esempi di studio di successioni per ricorrenza non lineari. .
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Lezione 052
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Lezione 053
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Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2014/2015
Lezione 086
Stampato integrale delle lezioni (Volume 2)
Lezione 086
171
172
Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2014/2015
Lezione 086
Stampato integrale delle lezioni (Volume 2)
Lezione 086
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Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2014/2015
Lezione 086
Stampato integrale delle lezioni (Volume 2)
Lezione 087
175
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Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2014/2015
Lezione 087
Stampato integrale delle lezioni (Volume 2)
Lezione 087
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Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2014/2015
Lezione 087
Stampato integrale delle lezioni (Volume 2)
Lezione 087
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Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2014/2015
Lezione 088
Stampato integrale delle lezioni (Volume 2)
Lezione 088
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Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2014/2015
Lezione 088
Stampato integrale delle lezioni (Volume 2)
Lezione 088
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Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2014/2015
Lezione 088
Stampato integrale delle lezioni (Volume 2)
Lezione 089
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Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2014/2015
Lezione 089
Stampato integrale delle lezioni (Volume 2)
Lezione 089
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Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2014/2015
Lezione 089
Stampato integrale delle lezioni (Volume 2)
Lezione 089
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190
Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2014/2015
Lezione 090
Stampato integrale delle lezioni (Volume 2)
Lezione 090
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Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2014/2015
Lezione 090
Stampato integrale delle lezioni (Volume 2)
Lezione 090
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Lezione 090
Stampato integrale delle lezioni (Volume 2)
Lezione 091
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Lezione 091
Stampato integrale delle lezioni (Volume 2)
Lezione 091
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Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2014/2015
Lezione 091